close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Svanidze Krasolenko Analit geom Vekt 14

код для вставкиСкачать
Г. В. КРАСОЛЕНКО, Н. В. СВАНИДЗЕ, Г. В. ЯКУНИНА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Г. В. КРАСОЛЕНКО, Н. В. СВАНИДЗЕ, Г. В. ЯКУНИНА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
1
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
УДК 514.122 + 514.742.2 + 517.2
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Введение
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент А. Е. Михайлов (СПбГАСУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент В. Г. Пак (СПбГПУ)
Красоленко, В. Г.
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов: учеб. пособие / Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина; СПбГАСУ. – СПб., 2014. – 115 с.
ISBN 978-5-9227-0498-4
Предназначено для самостоятельного изучения разделов курса высшей
математики: «Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов» студентами факультета безотрывной формы обучения. Приводятся основные определения и теоремы. Рассматривается методика решения типовых
задач. Теоретический материал, задачи и их решения снабжены иллюстрациями.
Табл. 1. Ил. 70. Библиогр.: 12 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
Ранее кафедрой математики СПбГАСУ были изданы методические указания только для студентов заочной формы обучения,
причем в них в основном рассматривались методы решения практических задач, теоретический материал был представлен недостаточно полно. С тех пор изменились учебные программы прохождения курса математики для студентов заочной формы обучения, возобновился набор студентов на вечернее отделение. Таким образом,
возникла необходимость создания учебного пособия, приемлемого
как для студентов заочной, так и вечерней форм обучения.
Пособие содержит рабочую программу и три раздела курса
высшей математики:
1. Аналитическая геометрия на плоскости.
2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве.
3. Теория пределов.
В первом разделе приведены основные виды уравнений прямой на плоскости и изложена теория кривых второго порядка.
Текст сопровождается решениями задач. Теоретический материал,
задачи и их решения снабжены рисунками.
Во втором разделе излагаются основные понятия векторной
алгебры и аналитической геометрии в пространстве. Текст также
сопровождается решениями задач и множеством иллюстраций.
Третий раздел является одним из основных разделов математики. Основные теоретические положения этого раздела сопровождаются иллюстрациями, облегчающими усвоение сложного материала. Особое внимание уделяется задачам, связанным с раскрытием неопределенных выражений, которые в дальнейшем используются в других разделах математики.
ISBN 978-5-9227-0498-4
 Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина,
2014
 Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2014
2
3
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
8. Парабола. Выбор системы координат и вывод ее канонического уравнения (например, уравнения y 2  2 px ). Свойства симметрии параболы, исследование ее формы по ее уравнению. Геометрический смысл параметра р в каноническом уравнении параболы и влияние его изменения на форму параболы. Каноническое
уравнение параболы, осью симметрии которой является:
1) отрицательная полуось абсцисс ( y 2  2 px );
Аналитическая геометрия на плоскости
1. Метод координат как взаимно однозначное соответствие
между точкой на плоскости и упорядоченной парой вещественных
чисел. Декартова система координат и декартовы координаты точек. Координатная сетка прямоугольной системы координат.
2. Основные задачи на координаты точек: 1) расстояние между двумя точками; 2) деление отрезка в данном отношении и, в частности, пополам.
3. Линия как геометрическое место точек, обладающих какимлибо определенным свойством. Уравнение линии как связь между
координатами произвольной ее точки, выраженная аналитически.
Окружность и ее уравнение.
4. Прямая линия. Общее уравнение прямой. Взаимно однозначное соответствие между уравнением первой степени с двумя
переменными Ax  By  C  0 и прямой линией. Вертикальные
и наклонные прямые. Уравнение наклонной прямой в форме с угловым коэффициентом.
5. Основные задачи на прямую линию:
1) определение угла между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых;
2) нахождение точки пересечения двух прямых;
3) пучок прямых и его уравнение;
4) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
6. Эллипс. Выбор системы координат и вывод eгo канонического уравнения. Свойства симметрии эллипса, исследование его формы
по его уравнению. Полуоси эллипса, связь между длинами полуосей
и полуфокусным расстоянием. Эксцентриситет и влияние его изменения на форму эллипса. Окружность как частный случай эллипса.
7. Гипербола. Выбор системы координат и вывод ее канонического уравнения. Свойства симметрии гиперболы, исследование
ее формы по ее уравнению. Асимптоты гиперболы, ее характеристический прямоугольник. Связь между длинами полуосей и полуфокусным расстоянием. Эксцентриситет и влияние его изменения
на форму гиперболы. Равнобочная гипербола, взаимная перпендикулярность ее асимптот. Сопряженная гипербола.
4
2) положительная полуось ординат ( x 2  2 py );
3) отрицательная полуось ординат ( x 2  2 py ).
9. Преобразование декартовых координат при параллельном
переносе осей. Формулы прямого и обратного перехода.
10. Преобразование уравнений второго порядка при параллельном переносе осей координат. Уравнения эллипса и гиперболы
со смещенными центрами при условии параллельности их осей
осям координат; уравнение параболы со смещенной вершиной при
условии параллельности ее оси симметрии одной из осей координат.
11. Геометрический смысл уравнения второго порядка
Ax 2  Cy 2  2 Dx  2 Ey  F  0 .
Определение геометрических образов, соответствующих этому
уравнению, путем преобразования его к каноническому виду методом выделения полных квадратов и последующего параллельного
переноса координатных осей.
12. Полярная система координат и полярные координаты точки. Координатная сетка полярной системы. Связь декартовых и полярных координат точки и ее зависимость от способа совмещения
декартовой и полярной систем координат. Уравнение линии в полярной системе. Лемниската Бернулли, ее декартово и полярное
уравнения, исследование ее формы по ее уравнению. Построение
кривой, заданной уравнением, в полярной системе координат (на
примерах спирали Архимеда   a , улитки Паскаля   b  a cos  ,
кардиоиды   a (1  cos ) ).
13. Параметрические уравнения линии. Параметрические
уравнения окружности, эллипса. Построение кривой, заданной
в параметрической форме (на примере астроиды x  a cos3 t ,
y  a sin 3 t , 0  t  2 ).
5
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
лельности и перпендикулярности двух прямых, а также прямой
и плоскости.
8. Расстояние от точки до плоскости.
1. Скалярные и векторные величины. Геометрическая интерпретация вектора как направленного отрезка. Основные определения (длина вектора, нуль-вектор, единичный вектор, свободный
вектор):
1) равенство векторов;
2) сложение векторов и его свойства (переместительное
и сочетательное свойства);
3) вычитание векторов;
4) умножение вектора на скаляр и его свойства (сочетательное и распределительное свойства);
5) нахождение орта произвольного вектора.
2. Проекция вектора на ось и ее свойства. Выражение вектора,
его длины, направляющих косинусов и проекции на любую ось через проекции вектора на три взаимно перпендикулярные оси.
3. Радиус-вектор и декартовы координаты точки в пространстве. Основные задачи на координаты точек в пространстве: 1) определение расстояния между двумя точками; 2) деление отрезка прямой в данном отношении и, в частности, пополам.
4. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов на три взаимно перпендикулярные оси. Выражение длины
вектора через скалярное произведение. Вычисление угла между
двумя векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.
5. Задание плоскости в пространстве, ее направляющий вектор
(вектор нормали). Уравнение плоскости в векторной и координатной формах. Угол между плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности двух плоскостей.
6. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых
векторов на три взаимно перпендикулярные оси. Условие коллинеарности двух векторов.
7. Задание прямой в пространстве, ее направляющий вектор.
Уравнение пространственной прямой в векторно-параметрической
форме. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между
двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью. Условия парал6
Функция одной переменной, ее предел и непрерывность
1. Независимая переменная (аргумент) и функция. Область
определения функции:
1) промежуток (открытый, полуоткрытый, замкнутый);
2) множество дискретно расположенных точек числовой
оси (на примере функции целочисленного аргумента или последовательности).
Функциональная зависимость и способы ее задания:
1) аналитический (явное и неявное задание функции
и функции, заданные в параметрической форме);
2) графический;
3) табличный.
Переход от одного способа выражения функциональной зависимости к другому, основные соображения:
1) табулирование аналитически заданной функции;
2) построение графика функции по точкам;
3) снятие значений функции с графика;
4) нахождение приближенного аналитического выражения,
таблично или графически заданной функции.
2. Многозначные функции и их однозначные ветви. Взаимно
обратные функции. Сложная функция (композиция функций, функция от функции).
3. Основные элементарные функции и их графики (степенная,
показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные
тригонометрические функции). Классификация функций (элементарные и неэлементарные функции). Число e . Натуральные логарифмы и их связь с десятичными логарифмами.
4. Понятие  -окрестности точки x0 . M – окрестность бесконечно удаленной точки. Определение локально ограниченной
функции.
5. Функция бесконечно малая в точке и ее свойства: 1) сумма
бесконечно малых; 2) произведение бесконечно малой на локально
ограниченную и на бесконечно малую.
7
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
6. Функция бесконечно большая в точке и ее связь с бесконечно малой.
7. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел
функции в бесконечно удаленной точке. Основные свойства предела функции в точке:
1) единственность предела;
2) локальная ограниченность функции, имеющей предел;
3) предельный переход в неравенстве;
4) теорема о трех функциях, связанных неравенством (теорема о сжатой переменной).
8. Основные теоремы о пределах функции в точке (предел
суммы, произведения, частного). Понятие неопределенности. Перsin x
 1.
вый замечательный предел lim
x 0 x
9. Непрерывность функции в промежутке. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке (теорема Больцано –
Коши и теорема Вейерштрасса).
10. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно
малые.
Основные виды бесконечно малых:
(1  x)  1
sin x ~ x , ln (1  x) ~ x, e x  1 ~ x,
~ x.
x 0
x 0
x0
x 0

Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
8
Аналитическая геометрия была придумана одновременно
и независимо двумя учеными: философом Рене Декартом и юристом Пьером Ферма.
Основная идея аналитической геометрии проста: положение
точки на плоскости можно описать двумя числами и таким образом
перевести любое утверждение о точках в утверждение о числах [11].
§ 1. Декартова система координат
Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые и назовем одну из них осью абсцисс, а другую – осью ординат.
Точка их пересечения O называется началом координат. На каждой
оси задается положительное направление и выбирается единица
длины. Обе оси вместе с выбранной единицей длины образуют декартову систему координат на плоскости. Каждой точке M, лежащей на плоскости, ставится в соответствие упорядоченная пара чисел x и y. Эти числа называются прямоугольными декартовыми координатами точки M, число х называется абсциссой точки М, а y –
ее ординатой. Обратно, каждой упорядоченной паре чисел ( x, y )
можно поставить в соответствие некоторую точку плоскости, для
которой x является ее абсциссой, а y – ординатой (рис. 1.1). Соответственно этому ось абсцисс называют осью x, а ось ординат –
осью y.
y
Этот принцип взаимно
однозначного соответствия леM ( x, y)
I
II
жит в основе аналитической
y
геометрии.
Оси координат делят плоскость на четыре четверти или чеx
тыре квадранта. Первым квадx
O
рантом является четверть между
положительной полуосью Ox
IV
III
и положительной полуосью Oy.
Далее квадранты нумеруются по
порядку против часовой стрелки
Рис. 1.1
(см. рис. 1.1).
9
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
§ 2. Простейшие задачи на координаты точек
1. Расстояние между двумя точками
Если на плоскости известны координаты точек M 1 ( x1 , y1 )
и M 2 ( x2 , y2 ) , то расстояние между этими точками находится по
формуле (рис. 1.2)
d  |M 1M 2 |  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 ,
(1)
которая следует из теоремы Пифагора, примененной к треугольнику M 1M 2 M 3 .
2. Деление отрезка в данном отношении
Координаты точки M ( x, y ) , которая делит отрезок M 1M 2 
прямой, расположенный между точками M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x2 , y2 ) ,
| M 1M |
в данном отношении  
, находятся по формулам (рис. 1.3):
| MM 2 |
у  у 2
х  х2
у 1
х 1
,
.
(2)
1 
1 
y
y2
O
M2
y2
d
y1
y
M2
y2
M1
x2
x1
M3
x2
x1
M
y
y1
y1
x
O
Рис. 1.2
M1
x
x1
x2
Рис. 1.3
Чаще всего приведенные выше простейшие задачи являются
составной частью более сложных задач. Ограничимся рассмотрением одной задачи.
Задача. Даны вершины треугольника A(–1;1), B(0;5) и C(6;3).
Найти длину медианы, опущенной из вершины A.
Решение.
1. Сделаем рисунок, соответствующий нашей задаче, в декартовой системе координат (рис. 1.4).
y
B(0; 5)
D( xD; yD )
4
3
A( 1;1)
C(6; 3)
1
1
x
3
O
6
Рис. 1.4
2. Найдем координаты точки D, которая является серединой
отрезка BC:
x  xC 0  6
y  yC 5  3
xD  B

 3 , yD  B

 4.
2
2
2
2
Таким образом, точка D имеет координаты (3;4).
3. Найдем длину медианы как расстояние между точками
A (–1; 1) и D (3; 4)
AD  ( x D  x A ) 2  ( y D  y A ) 2  (3  1) 2  (4  1) 2  5 .
§ 3. Прямая линия
В частном случае, когда точка M делит отрезок M 1M 2  пополам, т. е.   1, координаты точки M – середины отрезка – определяются по формулам:
у  у2
х  х2
, у 1
.
х 1
(3)
2
2
Перевод геометрических утверждений в алгебраические формулы, т. е. в утверждения о числах, основан на формуле расстояний
и другом результате, сформулированном в следующей теореме [11].
10
11
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Теорема. Пусть A, B, C – числа, причем A и B не равны нулю
одновременно. Тогда множество всех точек, координаты которых
удовлетворяют уравнению
Ax  By  C  0 ,
(1)
где  – угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ox .
Положительным направлением вращения считается то
y
y kx b
l
направление, в котором надо
повернуть на 90 ось абсцисс
Ox до совпадения с осью ординат Оy. Это же направление
k  tg α
вращения называется направb
лением вращения против часовой стрелки.
Уравнение (2) определяет
O
x
любую наклонную прямую, т. е.
Рис. 1.5
прямую, не перпендикулярную
оси Ох.
3. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
M 0 ( x0 , y0 ) в данном направлении, имеет вид
есть прямая линия. Обратно, каждая прямая линия есть множество
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению такого вида.
При изучении этого раздела следует помнить, что в декартовой системе координат прямая линия задается алгебраическим
уравнением первой степени (1) и существуют различные формы
представления уравнения прямой.
1. Общее уравнение прямой имеет следующий вид:
Ax  By  C  0 ,
где A, B, C – числовые коэффициенты, причем A и B не равны нулю
одновременно.
Частные случаи:
а) C  0 , A  0 и B  0 . Уравнение Ax  By  0 определяет
прямую, которая проходит через начало координат;
б) A  0 , B  0 и C  0 . Уравнение имеет вид By  C  0 , или
C
y   , и определяет прямую, параллельную оси Ox;
B
в) B  0 , A  0 и C  0 . Уравнение (1) принимает вид
C
Ax  C  0 , или x   , и определяет прямую, параллельную
A
оси Oу.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть в уравнении (1) коэффициент B  0 . Разрешив его относительно у, получим уравнение вида
y  kx  b,
(2)
где k – угловой коэффициент прямой и b – ордината точки пересечения прямой с осью ординат (рис. 1.5).
Угловой коэффициент прямой
k  tg ,
12
(3)
y  y0  k ( x  x0 ) .
(4)
Коэффициент k может принимать различные значения. Уравнение (4) называется уравнением пучка прямых, проходящих через
заданную точку M 0 ( x0 , y0 ) . В этот пучок не входит только вертикальная прямая x  x0 .
Выведем уравнение (4). Используя уравнение прямой с угловым коэффициентом (2), получим y  kx  b и y0  kx0  b , так как
точка M 0 ( x0 , y0 ) принадлежит прямой и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению (2). Вычитая из первого уравнения второе, получим (4).
4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x2 , y2 ) , имеет вид
y  y1
x  x1

.
(5)
y2  y1 x2  x1
Для вывода уравнения (5) воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через заданную точку M 1 ( x1 , y1 ) . В результате
получим уравнение
13
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y  y1  k ( x  x1 ) .
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
(6)
Так как прямая проходит через точку M 2 ( x2 , y2 ) , то ее координаты
удовлетворяют уравнению y2  y1  k ( x2  x1 ) , из которого находим угловой коэффициент
y  y1
(7)
.
k 2
x2  x1
Подставляя найденный угловой коэффициент (7) в уравнение (6),
получим
y  y1
y  y1
x  x1
y  y1  2
( x  x1 ) или

.
x2  x1
y2  y1 x2  x1
5. Уравнение прямой в отрезках на осях.
Пусть прямая проходит через две точки M 1 (a, 0) и M 2 (0, b)
(рис. 1.6). Подставляя их координаты в уравнение (5), получим
y0 xa
x y

или   1.
b0 0a
a b
(8)
Последнее уравнение называется уравнением прямой в отрезках на
осях.
y
В заключение этого паl
раграфа
выведем формулу
x y
1
вычисления «направленноa b
b
го» угла между двумя пряM 2 (0, b)
мыми и приведем формулу
для вычисления расстояния
точки до прямой.
M1(a, 0)
1. Угол между двумя
прямыми.
Условия паралa
x
O
лельности и перпендикулярРис. 1.6
ности двух прямых.
Рассмотрим две прямые, предполагая, что ни одна из прямых
не перпендикулярна к оси Ox . Назовем одну из них первой l1 (все
равно какую), другую второй l2 (рис. 1.7). Тогда прямые l1 и l2
могут быть заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
k1  tg 1 и k 2  tg  2 , где 1 и  2 – углы, которые образуют прямые l1 и l2 с положительным направлением оси Ox .
Углом между двумя
прямыми l1 и l2 назовем
y
l2
k11  tg
угол, на который нужно поtg α11
вернуть против часовой
l1
tg α 2
kk22  tg
2
стрелки первую прямую l1
2
до совмещения ее со второй
прямой l2 .
1
На рис. 1.7 прямую l1
следует повернуть против
2
часовой стрелки (в положи1
O
тельном направлении) на
x
угол  так, чтобы она совпаРис. 1.7
ла с прямой l2 .
Из рис. 1.7 видно, что  2  1   или    2  1 .
Отсюда
tg  2  tg 1
tg   tg ( 2  1 ) 
.
1  tg 1tg  2
Так как tg 1  k1 и tg  2  k 2 , то окончательно получаем
tg  
k 2  k1
.
1  k1k 2
Условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами k1  tg 1 и k 2  tg  2 , является
равенство
k1  k 2 .
14
(9)
15
(10)
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Так как в этом случае 1 и  2 – углы, которые образуют прямые l1 и l2 с положительным направлением оси Ox , равны, т. е.
1   2 .
Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами k1  tg 1 и k 2  tg  2 , является
равенство
1
k1  k 2  1 или k 2   .
(11)
k1


Действительно, в этом случае   и  2  1  . Используя
2
2
формулу приведения и соотношение tg   ctg   1, последовательно получаем
y
Прямые l1 : x  y  1  0
l2
l3
и l2 : 3 x  y  5  0 целесообB
разно строить, находя точки
пересечения их с осями коорl4
динат.
Подставляя x  0 в уравl1
5
M (3; 3)
C(7; 4)
нение x  y  1  0 , находим
l3
y  1 и координаты первой A( 1; 2)

1
точки (0; 1) , точку пересечения
5


прямой l1 с осью ординат.
3 O 1
x
Подставляя y  0 в уравl2
D
нение x  y  1  0 , находим
l1
x  1 и координаты второй
l4
точки (1; 0) , точку пересечения
Рис. 1.9
прямой l1 с осью абсцисс.

1
1

tg  2  tg  1    ctg 1  
или k 2   .
2
tg 1
k1

2. Расстояние точки до прямой.
y
y0
Расстояние
точки
M 0 ( x0 , y0 ) до прямой
Ax  By  C  0 находится по формуле (рис. 1.8)
M0 ( x0 , y0 )
l
d
d
O
Ax0
By0
2
A
B
C
2
x0
d
Ax0  By0  C
A2  B 2
. (12)
x
Рис. 1.8
Задача. Даны уравнения двух сторон параллелограмма
x  y  1  0 , 3x  y  5  0 и точка пересечения его диагоналей (3; 3) . Найти уравнения двух других сторон.
Решение
1. Сделаем рисунок к данной задаче в декартовой системе координат (рис. 1.9).
16
Аналогично строим прямую l2 , для построения которой полу 5 
чим две точки   ; 0  и (0; 5) .
 3 
2. Пусть A является точкой пересечения прямых l1 и l2 . Для
нахождения координат точки A необходимо решить систему из
двух линейных уравнений
 x  y 1  0 ,

3 x  y  5  0 .
Складывая эти уравнения, получаем 4 x  4  0 или x  1 . Подставляя x  1 в первое уравнение x  y  1  0 , получаем y  2  0
или y  2 . Таким образом, точка A имеет координаты (1; 2) .
3. Найдем координаты вершины C параллелограмма, используя формулы (3) § 2. Точка M (3; 3) является серединой отрезка АС
(диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения пополам), отсюда
x  xC
y  yC
xM  A
, yM  A
.
2
2
17
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Разрешая эти уравнения относительно xC и yC , получаем
xC  2 xM  x A  2  3  1  7 ,
yC  2 y M  y A  2  3  2  4 .
Следовательно, координаты точки C (7; 4) .
4. Прямая l3 | | l1 и проходит через точку C (7; 4) (см. рис. 1.9), поэтому ее уравнение будем искать в виде уравнения пучка прямых (4)
y  yC  k3 ( x  xC ) или y  4  k3 ( x  7) .
Неизвестный угловой коэффициент найдем из условия (10)
параллельности прямых: k3  k1 . Для определения углового коэффициента k1 общее уравнение прямой l1 : x  y  1  0 приведем
к виду с угловым коэффициентом (2)
y  k1 x  b1 или y  (1) x  1 .
Сравнивая эти уравнения, находим k1  1 и, следовательно,
k3  1 .
Таким образом, уравнение прямой l3 , одной из сторон параллелограмма, имеет вид
y  4  (1)( x  7) или y   x  11 .
5. Аналогично находим уравнение стороны СD параллелограмма (см. рис. 1.9), т. е. прямой l4 .
Прямая l4 | | l2 и проходит через точку C (7; 4) , поэтому ее
уравнение будем искать в виде уравнения пучка прямых (4)
y  yC  k 4 ( x  xC ) или y  4  k 4 ( x  7) .
Неизвестный угловой коэффициент найдем из условия (10)
параллельности прямых: k 4  k 2 . Для определения углового коэффициента k2 общее уравнение прямой l2 : 3 x  y  5  0 приведем
к виду с угловым коэффициентом (2)
y  k 2 x  b2 или y  3 x  5 .
18
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Сравнивая эти уравнения, находим k 2  3 и, следовательно, k 4  3 .
Таким образом, уравнение прямой l4 , одной из сторон параллелограмма, имеет вид
y  4  3( x  7) или y  3 x  17 .
Ответ. Стороны параллелограмма BC и CD имеют вид
x  y  11  0 и 3 x  y  17  0 .
§ 4. Кривые второго порядка
Кривой второго порядка на плоскости называется плоская алгебраическая кривая порядка 2, т. е. множество точек плоскости,
декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению второй
степени
Ax 2  2 Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 ,
(1)
где A, B,…, F – некоторые числа, причем A, B и С не равны нулю
одновременно.
Кривая второго порядка может совсем не содержать точек (например, уравнение x 2  1  0 задает «пустое» множество точек);
она может состоять из одной точки (пример: x 2  y 2  0 ), из одной
прямой (пример: x 2  0 ), из двух параллельных прямых (пример:
x 2  1  0 ) или из двух пересекающихся прямых (пример: xy  0 ).
Такие кривые называются вырожденными.
В этом параграфе будут рассмотрены невырожденные кривые
второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола [11], [7].
1. Окружность
Определение. Окружностью называется геометрическое место
точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.
Пусть M 0 ( x0 , y0 ) – центр окружности, а R – ее радиус, тогда
в декартовой системе координат уравнение имеет вид (рис. 1.10)
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  R 2 .
19
(2)
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y
O
y0
x
 y0 ) 2  R 2 и центр этой окружности лежит на оси Oy в точке
M 0 (0, y0 ) ;
M
y
y0
Для вывода этого уравнения
достаточно воспользоваться формулой для квадрата расстояния
между центром M 0 ( x0 , y0 ) и точкой M ( x, y ) , лежащей на окружности (см. пункт 1 § 2).
Возможны частные случаи:
а) x0  0 , тогда x 2  ( y 
M0
R
y
x x0
x0
Рис. 1.10
x
б) y0  0 , тогда ( x  x0 ) 2  y 2  R 2 и центр этой окружности
лежит на оси Ox в точке M 0 ( x0 , 0) ;
в) x0  0 и y0  0 , тогда x 2  y 2  R 2 и центр этой окружности совпадает с началом координат.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Найти координаты центра и радиус окружности
x2  y2  4x  6 y  9  0 .
Решение. Преобразуем заданное уравнение к каноническому
виду (2). Вначале сгруппируем члены уравнения, содержащие переменные x и y, получим ( x 2  4 x)  ( y 2  6 y )  9  0 . Затем дополним выражения, стоящие в скобках до полного квадрата, используя
бином Ньютона a 2  2ab  b 2  (a  b) 2 , сохраняя значения числовых коэффициентов в слагаемых, содержащих переменные x и y,
в результате получим
( x 2  2  x  2  2 2 )  2 2  ( y 2  2  y  3  3 2 )  32  9  0
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
2. Эллипс
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек F1
и F2 есть величина постоянная. Эта величина обозначается 2a .
Точки F1 , F2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними обозначается 2c и называется фокусным расстоянием. Число а
называется большой полуосью эллипса, середина О отрезка F1 F2 –
центром эллипса.
y
M ( x; y)
Получим
уравнение
F1M F2M 2a
эллипса. Введем прямоугольную систему координат. Ось Оx проведем через
x
фокусы F1 и F2 , ось Oy
(рис. 1.11) – через центр О.
O
F1( c; 0)
F2 (c; 0)
Пусть M ( x; y ) – произвольная точка эллипса.
Рис. 1.11
По определению эллипса
2a  F1M  F2 M  F1F2  2c и, следовательно, a  c , так как сумма
расстояний произвольной точки М от двух фиксированных точек F1
и F2 не может быть меньше расстояния между точками F1 и F2 .
В такой системе координат назовем F1 (c; 0) левым фокусом,
а F2 (c; 0) правым фокусом. Тогда имеем:
F1M  ( x  c) 2  y 2 ;
Эти расстояния r1  F1M и r2  F2 M (так же, как и отрезки
F1M и F2 M ) называются фокальными радиусами точки М.
Итак, для точек эллипса выполняется условие
или
( x  2) 2  ( y  3) 2  2 2.
Сравнивая полученное уравнение с каноническим уравнением окружности (2), находим центр окружности M 0 (2, 3) и ее радиус R  2 .
20
F2 M  ( x  c) 2  y 2 .
F1M  F2 M  2a,
или
( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a.
21
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Оставим первый квадратный корень в левой части уравнения, а второй корень перенесем в правую часть. После этого обе
части уравнения возведем в квадрат. В результате в новом уравнении останется только второй квадратный корень, который уединим
в левой части уравнения, и вновь обе части уравнения возведем
в квадрат. В процессе вычислений введем новую величину
c
называется эксцентриситетом кривой.
a
Для эллипса 0    1 , так как c  a . Эксцентриситет   0
в том и только в том случае, когда c  0 , т. е. когда фокусы совпадают F1  F2 . Тогда эллипс превращается в окружность с центром
O  F1  F2 и радиусом а. Более знакомо следующее уравнение такой окружности:
x2  y 2  a2.
b  a2  c2 .
(3)
После несложных вычислений получим уравнение
x2 y 2

 1,
a 2 b2
y
b B1
A1
F1
a
c
O
F2
A2
c
a
x
Если обе части равенства (3) разделим на a , то получим
(4)
которое называется каноническим уравнением эллипса.
Следует запомнить
соотношение между величинами a, b, c:
b2  a2  c2.
b B2
(5)
Сам эллипс изображен на рис. 1.12.
Рис. 1.12
Определение. Число  
Отметим характерные элементы эллипса:
 A1 (a; 0) и A2 (a; 0) – левая и правая вершины;
 B1 (0; b) и B2 (0;  b) – верхняя и нижняя вершины;
 F1 (c; 0) и F2 (c; 0) – левый и правый фокусы;
 A1 A2  2a и B1 B2  2b – большая и малая оси;
b
 1  2 .
a
Из этого равенства следует, что при малом значении  полуоси а и b почти равны между собой, т. е. форма эллипса близка к
форме окружности. При  , близком к 1, величина а значительно
больше b, и эллипс более вытянут вдоль оси Ох.
Задача 2. Эллипс проходит через точку M (1;1) , и его эксцентриситет равен   0,6 . Найти каноническое уравнение эллипса.
Решение. Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными a 2 и b 2 .
1. По условию задачи эксцентриситет эллипса равен   0,6 ,
3
c 3
отсюда    и, следовательно, c  a . Так как параметры a, b,
a 5
5
2
2
2
c связаны соотношением b  a  c , то получаем первое уравнение системы:
9
16
a 2  a 2  b2 и b2  a 2 .
25
25
 OA1  OA2  a и OB1  OB2  b – большие и малые
полуоси.
Для характеристики формы кривых второго порядка служит
число, называемое эксцентриситетом.
2. Точка M (1;1) принадлежит эллипсу и, следовательно, ее
координаты удовлетворяют уравнению эллипса (4).
В результате имеем систему уравнений
22
23
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
1
1
 a 2  b 2  1,

16
 b2  a 2

25
Пусть M ( x, y ) – произвольная точка гиперболы. Тогда для
всех точек гиперболы по определению выполняется равенство
относительно неизвестных a 2 и b 2 . Решив ее, получим
41
иb  .
25
Ответ. Каноническое уравнение эллипса имеет вид
a2 
41
16
2
41
x2 y2
41
и b2  .
 2  1, где a 2 
2
16
25
a
b
3. Гипербола
Определение. Гиперболой называется геометрическое место
точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых
до двух фиксированных точек F1 и F2 (фокусов) есть положительное число. Это число обозначается через 2а. Расстояние между фокусами F1F2 обозначается 2с, оно называется фокусным расстоянием. Середина О отрезка F1F2 называется центром гиперболы.
Вывод канонического уравнения гиперболы аналогичен выводу уравнения эллипса, однако в этом случае c  a .
Вновь введем прямоугольную систему координат так, что ось
Ох проходит через фокусы F1 и F2 , а центр гиперболы совпадает
с началом системы координат (рис. 1.13).
y
F1M
F2M
M ( x; y)
2a
x
F1( c; 0)
O
F2 (c; 0)
Рис. 1.13
24
MF1  MF2  2a.
Из рис. 1.13 видно, что F1F2  2c  MF1  MF2  2a , и поэтому c  a .
Раскрывая модуль
MF1  MF2  2a
и используя формулу для расстояния между двумя точками, получим следующее уравнение:
( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a.
Оставим первый квадратный корень в левой части уравнения,
а второй корень перенесем в правую часть. После этого обе части
уравнения возведем в квадрат. В результате в новом уравнении останется только второй квадратный корень, который уединим в левой части уравнения, и вновь обе части уравнения возведем
в квадрат. В процессе вычислений введем новую величину
b  c2  a2 .
(6)
После несложных вычислений получим уравнение
x2 y2

 1,
a2 b2
(7)
которое называется каноническим уравнением гиперболы.
Следует запомнить соотношение между величинами a, b, c:
b2  c2  a 2.
Сама гипербола изображена на рис. 1.14.
25
(8)
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
b
y x
a
y
y
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
b
x
a
b B1
F1

c
A
 a1
A2

a
O
F2

c
x
 b B2
Рис. 1.14
Отметим характерные элементы гиперболы:
 A1 (a; 0) и A2 (a; 0) – левая и правая действительные вершины;
 B1 (0; b) и B2 (0;  b) – верхняя и нижняя мнимые вершины;
 F1 (c; 0) и F2 (c; 0) – левый и правый фокусы;
 A1 A2  2a и B1 B2  2b – действительная и мнимая оси;
 OA1  OA2  a и OB1  OB2  b – действительная и мнимая полуоси.
Построение гиперболы начинают с построения характеристического прямоугольника гиперболы, стороны которого лежат на
прямых x  a , x  a и y  b , y  b .
Диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы,
которые имеют следующие уравнения
b
b
x и y   x.
(9)
a
a
c
Эксцентриситет гиперболы    1 характеризует ее форму,
a
b
это видно из соотношения   2  1.
a
Рассмотрим частные уравнения гиперболы.
1. Если a  b , то уравнение гиперболы принимает вид
x 2  y 2  a 2 . Такая гипербола называется равнобочной или равносторонней, ее асимптотами являются биссектрисы координатных
y
26
углов y   x , которые взаимно перпендикулярны. В данном случае
характеристический прямоугольник гиперболы есть квадрат.
Если при выводе уравнения гиперболы введем прямоугольную систему координат так, что ось Оу проходит через фокусы F1 и
F2 , а центр гиперболы совпадает с началом системы координат, то
уравнение гиперболы примет вид
x2 y 2
(10)
 2  2  1.
a
b
Две гиперболы, которые определяются уравнениями (7) и (10)
в одной и той же системе координат и при одних и тех же значениях параметров a и b, называются сопряженными друг другу.
Задача 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если
ее эксцентриситет  равен 2, а фокусы ее совпадают с фокусами элx2 y2
липса

 1.
25 9
Решение. Пусть a, b, c – параметры гиперболы, а aэ , bэ и cэ –
параметры эллипса.
c
1. По условию задачи эксцентриситет гиперболы    2
a
и, следовательно, c  2a .
2. Рассмотрим уравнение эллипса и найдем его фокусы. Для
эллипса параметры aэ , bэ и cэ связаны соотношением
cэ 2  aэ 2  bэ 2 , т. е. cэ 2  25  9  16 и так как cэ  0 , то cэ  4 .
3. Для гиперболы c  cэ  4 . Найдем ее параметры a и b. Так
как c  2a  4 , то a  2 . Для гиперболы параметры a, b, c связаны
соотношением b 2  c 2  a 2 , поэтому b 2  16  4  12 .
Таким образом, задача имеет следующий ответ.
Ответ. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
x2 y2

 1.
4 12
27
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
4. Парабола
Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Введем систему координат следующим образом (рис. 1.15).
y
d
p
N ( ; y)
2
O
p
2
d:x
M ( x, y)
p
F ( ; 0)
2
p
2
y2 2 px
x
p
2
d
Рис. 1.15
Проведем через фокус F перпендикулярно директрисе d ось
Ох с положительным направлением от директрисы к фокусу. Начало координат О поместим в середине между фокусом F и директрисой d. Тогда ось Оу пройдет параллельно директрисе d. Расстояние от фокуса F до прямой d обозначим через р ( p  0 ). Во введенной выше системе координат получим уравнение директрисы
p
p 
x   и координаты фокуса F  , 0  .
2
2 
Пусть точка M ( x, y ) – произвольная точка параболы. Тогда по
определению параболы точка M удовлетворяет условию
MN  MF . Используя формулу для расстояния между двумя точками, получаем
MN  x 
p
и
2
2
p

MF   x    y 2 или
2

28
2
p
p

x    x    y2 .
2
2

Возведем обе части уравнения в квадрат, и, упростив результат, получим уравнение
(11)
y 2  2 px ,
которое называется каноническим уравнением параболы.
Построенная парабола (см. рис. 1.15) симметрична относительно оси абсцисс, и направление ее ветвей совпадает с положительным направлением оси Ox.
Возможны другие частные случаи. Во всех рассматриваемых
ниже случаях вершина параболы совпадает с началом выбранной
декартовой системы.
 p 
1. Парабола y 2  2 px имеет фокус F   ; 0  и директрису
 2 
p
x  . Она симметрична относительно оси абсцисс и направление
2
ее ветвей совпадает с отрицательным направлением оси Ox.
 p
2. Парабола x 2  2 py имеет фокус F  0;  и директрису
 2
p
y   . Она симметрична относительно оси ординат и направле2
ние ее ветвей совпадает с положительным направлением оси Oу.
p

3. Парабола x 2  2 py имеет фокус F  0;   и директрису
2

p
y  . Она симметрична относительно оси ординат и направление
2
ее ветвей совпадает с отрицательным направлением оси Oу.
Задача 4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале
системы координат, если известно, что ее фокус совпадает с центром окружности x 2  y 2  4 y  0 .
29
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Решение
1. Найдем координаты центра окружности x 2  y 2  4 y  0 .
Преобразуем заданное уравнение к каноническому виду (2). Вначале сгруппируем члены уравнения, содержащие переменную y, получим x 2  ( y 2  4 y )  0 . Затем дополним выражение, стоящее
в скобках, до полного квадрата, используя бином Ньютона
a 2  2ab  b 2  (a  b) 2 , сохраняя значения числовых коэффициентов в слагаемых, содержащих переменную y, в результате получим
ния, стоящие в скобках, до полного квадрата, используя бином
Ньютона a 2  2ab  b 2  (a  b) 2 , сохраняя значения числовых коэффициентов в слагаемых, содержащих переменные x и y, в результате получим
x 2  ( y 2  2  y  2  22 )  22  0
или
x 2  ( y  2) 2  2 2 .
Сравнивая полученное уравнение с каноническим уравнением
окружности (2), находим центр окружности M 0 (0; 2) .
2. Таким образом, фокус параболы имеет координаты F (0; 2) ,
ее вершина совпадает с началом декартовой системы координат
и ветви направлены вверх в положительном направлении оси Оу.
Следовательно, уравнение параболы имеет вид x 2  2 py . Найдем
 p
значение параметра p. Сравнивая F (0; 2) с F  0;  , получаем
 2
p
 2 , p  4 и x2  8 y .
2
Ответ. Каноническое уравнение параболы имеет вид x 2  8 y .
( x 2  2  x  3  32 )  3 2  ( y 2  2  y  2  2 2 )  2 2  3  0
или
( x  3) 2  ( y  2) 2  4 2 .
Сравнивая полученное уравнение с каноническим уравнением
окружности (2), находим центр окружности M 0 (3; 2) .
2. Найдем координаты фокуса параболы x 2  4 y . Сравнивая
это уравнение с каноническим уравнением параболы x 2  2 py , для
 p
которой координаты фокуса Fп  0;  , последовательно получаем:
 2
p
2 p  4 ,  1 и Fп 0; 1 .
2
x2 y2
3. Найдем координаты левого фокуса гиперболы

 1.
64 36
x2 y 2
Для гиперболы с каноническим уравнением 2  2  1 левый фоa
b
2
2
кус имеет координаты F1г (c; 0) , где c  a  b . В нашей задаче
a 2  64 и b 2  36 и c  a 2  b 2  64  36  10 . Таким образом,
находим левый фокус гиперболы F1г (10; 0) .
4. Составим уравнение прямой l1 , проходящей через две заданные точки Fп 0; 1 и F1г (10; 0) :
Задача 5. Найти уравнение прямой, проходящей через центр
окружности x 2  y 2  6 x  4 y  3  0 , параллельно прямой, соединяющей фокус параболы x 2  4 y и левый фокус гиперболы
x2 y2

 1.
64 36
Решение
1. Преобразуем заданное уравнение к каноническому виду (2).
Вначале сгруппируем члены уравнения, содержащие переменные x
и y, получим ( x 2  6 x)  ( y 2  4 y )  3  0 . Затем дополним выраже-
5. Найдем уравнение прямой l2 , проходящей через точку
1
M 0 (3; 2) параллельно прямой l1 : y  x  1. Уравнение прямой l2
10
будем искать в виде пучка прямых
30
31
y 1
x0
1
y  y1г
x  x1г
и y  x  1.

,

yп  y1г xп  x1г 0  1  10  0
10
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
y  y0  k 2 ( x  x0 ) или y  2  k 2 ( x  3) .
Так как прямая l2 параллельна прямой l1 , то их угловые коэф1
фициенты равны: k 2  k1  . Таким образом, уравнение прямой l2
10
имеет вид
1
1
17
y  2  ( x  3) или y  x  .
10
10
10
1
17
Ответ. l2 : y  x  .
10
10
x1O1 y1 . Из рисунка видно, что старые и новые координаты точки М
связаны следующим образом:
§ 5. Преобразование декартовых координат.
Параллельный перенос осей
Рассмотрим на плоскости декартову систему координат xOy,
в которой произвольная точка М имеет координаты (х, у) (рис. 1.16).
y
y1
y1
y
x x1
y y1
x1
 х1  х  ,

 у1  у  .
или
(1)
Эти формулы называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей.
§ 6. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными
центрами и параболы со смещенной вершиной
при параллельном переносе осей
Системы координат, которые мы использовали в § 4 для вывода канонических уравнений эллипса (4), гиперболы (7) и параболы (11), будем также называть каноническими.
1. Уравнение эллипса со смещенным центром
Рассмотрим на плоскости декартову систему координат xOy
и произвольный эллипс с центром O1 (, ) и осями, параллельными
осям координат (рис. 1.17).
( x, y) M ( x1, y1)
O1
 х  х1  ,

 у  у1  
y
x1
y1
b
x
O
a
x
F2
F1
O1
Рис. 1.16
a
x1
b
Произведем параллельный перенос исходной системы координат хОу в точку с координатами (, ) , получим новую систему
координат x1O1 y1 с началом координат O1 (, ) . При таком преобразовании предполагается, что меняется только начало координат,
а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Тогда точка М, имеющая координаты (х, у) в старой системе
координат хОу, имеет другие координаты ( x1 , y1 ) в новой системе
На рисунке фокальная ось F1F2 параллельна оси Ox и эллипс
имеет полуоси a и b. Введем новую (каноническую) систему коор-
32
33
x
O
Рис. 1.17
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
динат x1O1 y1 с центром O1 (, ) , которая получена параллельным
переносом осей.
В новой системе x1O1 y1 получаем каноническое уравнение эллипса (см. § 4)
х12 у12

 1.
а2 b2
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
х12 у12

 1.
а 2 b2
(1)
Подставляя сюда формулы (1) § 5 преобразования координат
при параллельном переносе, получим искомое уравнение гиперболы со смещенным центром (, )
Подставляя сюда формулы (1) § 5 преобразования координат
при параллельном переносе, получим искомое уравнение эллипса
со смещенным центром (, )
( х  ) 2 ( у  ) 2

 1.
а2
b2
( х  ) 2 ( у  ) 2

 1.
а2
b2
3. Уравнение параболы со смещенной вершиной
Рассмотрим на плоскости декартову систему координат xOy
и параболу с вершиной в точке O1 (, ) , параметром р и осью симметрии, параллельной оси абсцисс Ox (рис. 1.19).
2. Уравнение гиперболы со смещенным центром
Рассмотрим на плоскости декартову систему координат xOy
и гиперболу с центром O1 (, ) и осями, параллельными осям координат (рис. 1.18).
y
y
y1
F
y1
F1
b
a
O1 b
a
O1
F2
p
2
x
Рис. 1.18
На рисунке фокальная ось F1F2 параллельна оси Ох, и гипербола имеет вещественную a и мнимую b полуоси. Введем новую
(каноническую) систему координат x1O1 y1 с центром O1 (, ), которая получена параллельным переносом осей.
В новой системе x1O1 y1 получаем каноническое уравнение гиперболы (см. § 4)
34
x1
x1
x
O
O
(2)
Рис. 1.19
На рисунке фокальная ось O1F параллельна оси Ox . Введем
новую (каноническую) систему координат x1O1 y1 с центром
O1 (, ) , которая получена параллельным переносом осей.
В новой системе x1O1 y1 получаем каноническое уравнение параболы (см. § 4)
y12  2 px1 .
35
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
 х1  х    x  3,

 у1  у    y  2 ,
Подставляя сюда формулы (1) § 5 преобразования координат
при параллельном переносе, получим искомое уравнение параболы
со смещенной вершиной (, )
( y  ) 2  2 p ( x  ) .
Задача. Привести уравнение x 2  3 y 2  6 x  12 y  39  0 к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому
уравнению.
Решение
1. Вначале сгруппируем члены уравнения, содержащие переменные x и y, получим ( x 2  6 x)  3( y 2  4 y )  39  0 . Затем дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата, используя бином Ньютона a 2  2ab  b 2  (a  b) 2 , сохраняя значения
числовых коэффициентов в слагаемых, содержащих переменные x
и y, в результате получим
( x 2  2  x  3  32 )  32  3 ( y 2  2  y  2  2 2 )  3  2 2  39  0
В новой системе x1O1 y1 получаем каноническое уравнение гиперболы (см. § 4)
х12
у12

 1.
6 2 (2 3) 2
y1
2
-–10
10
-–5
5
-–22
O1
3
5
x1
-–66
Разделив обе части последнего уравнения на 36, получим
уравнение гиперболы со смещенным центром
36
x
O
-–44
( x  3) 2  3 ( y  2) 2  36 .
Сравнивая его с уравнением (2), находим   3 ,   2 и значения вещественной и мнимой полуосей гиперболы a  6
и b  2 3.
Для построения гиперболы введем новую (каноническую) систему координат x1O1 y1 с центром O1 (3; 2) , которая получена параллельным переносом осей (рис. 1.20). Старые и новые координаты одной и той же точки М связаны следующим образом (см. § 5):
y
4
или
( х  3) 2 ( у  2) 2

 1.
62
(2 3 ) 2
 х  х1  3,

 у  у1  2.
или
Рис. 1.20
Построение гиперболы в канонической системе координат
x1O1 y1 начинают с построения характеристического прямоугольника гиперболы, стороны которого лежат на прямых x1  6 , x1  6
и y1  2 3 , y1  2 3 .
Диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы,
которые имеют следующие уравнения:
y1 
3
x1
3
и y1  
37
3
x1 .
3
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторы
1. Направленные отрезки или геометрические векторы
Геометрическим вектором называется направленный отрезок
прямой. Такой направленный отрезок изображают символом AB
и обычно изображают как стрелку (рис. 2.1).
B
Первая из двух точек А
называется началом направленного отрезка, вторая В –
его концом. Расстояние между точками А и В называется
длиной или модулем направленного отрезка AB . Модуль
отрезка AB будем обозначать через | AB | .
Конечная
точка
AB
Начальная
 A точка
Рис. 2.1
Геометрический вектор называется нулевым вектором, если
его начало и конец совпадают. Нулевой вектор будем обозначать
символом O , его длина | O | 0 , и он не имеет направления.
Геометрические векторы также называют связанными векторами.
Определение 1. Векторы называются коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Определение 2. Говорят, что два направленных отрезка AB
и CD находятся в отношении « ~ » и пишут AB ~ CD , если они
коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление, хотя, возможно, разные начала.
Это отношение называют отношением эквивалентности. Если AB ~ CD , то будем говорить, что эти два направленных отрезка
эквивалентны [11].
38
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
На рис. 2.2 изображены
пять эквивалентных друг другу
векторов (они коллинеарные,
имеют одинаковые длины
и направления) и два пунктирных отрезка, один из которых
имеет иную длину, второй –
другое направление.







Рис. 2.2
2. Векторы или свободные векторы
Рассмотрим направленный отрезок AB и обозначим символом
a множество всех направленных отрезков, эквивалентных AB . Это
множество называют классом эквивалентности, отвечающим направленному отрезку AB .
Определение 3. Класс эквивалентности, т. е. определенное
множество направленных отрезков, называется вектором или свободным вектором.
В отличие от свободного вектора связанный вектор является
просто направленным отрезком.
Конечно, свободные векторы тоже можно изображать в виде
направленных отрезков или стрелок, помня, что выбор начала вектора не имеет значения.
Если a – вектор, а AB – любой направленный отрезок, принадлежащий a , то говорят, что AB представляет или определяет
a [11].
Длина вектора a (ее обозначим символом | a | ) – это длина любого направленного отрезка, представляющего вектор a .
§ 2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами являются операции
сложения и умножения на вещественное число.
1. Сложение векторов
Определение 1. Сумма a  b векторов a и b может быть определена с помощью одного из двух эквивалентных правил:
39
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
1. Правило треугольника: совместим начало вектора b с концом вектора a ; тогда сумма a  b представляет собой вектор, направленный из начала вектора a в конец вектора b (рис. 2.3). Замечание. Правило треугольника распространяется на сумму
любого конечного числа векторов. Чтобы получить сумму векторов
a1  a2    an , следует совместить начало a2 с концом a1 , начало
a3 с концом a2 ,…, начало an с концом an 1 и затем направить
3. Разность векторов
Определение 3. Разностью векторов a и b называется такой
вектор c  a  b , который в сумме с вектором b дает вектор a , т. е.
a  b c.
С помощью параллелоD
C
грамма можно дать интерпретаb
цию
разности
векторов
a b
(рис. 2.6). Направленный отрезок
AC изображает сумму a  b . ОтB
резок DB представляет разность A
a
a  b . Таким образом, чтобы
Рис. 2.6
получить разность a  b , нужно
вектор суммы a1  a2    an из начала a1 в конец an . Это правило
называется правилом многоугольника.
2. Правило параллелограмма: приведем векторы a и b к единому началу и построим на них как на сторонах параллелограмм; сумма a  b является диагональю параллелограмма, исходящей из общего начала (рис. 2.4).
B
b
D
b
C
a
C
ab
ab
A
A
B
a
Рис. 2.4
Рис. 2.3
2. Умножение вектора на число (скаляр)
0
|A
|A
B|
B|
C
B
a
A
Рис. 2.5
a
Определение 2. Произведением вектора a на число λ называется вектор  a , коллинеарный
вектору a и направленный так
же, как вектор a (рис. 2.5), если
  0 , и противоположно вектору a , если   0 . Если   0 , то
 a – нулевой вектор.
40
привести векторы a и b к единому началу и направить вектор разности из конца вычитаемого b в конец уменьшаемого a (см. рис. 2.6).
Замечание. Разность векторов выражается через операции сложения и умножения вектора на число: a  b  a  (1) b .
4. Орт вектора
Определение 4. Ортом вектора a называется вектор a0 , коллинеарный вектору a , если его длина | a 0 |  1 и направление совпадает с направлением вектора a .
Вектор a и его орт a0 связаны следующим соотношением
a  | a |  a0 .
§ 3. Векторы в декартовой системе координат
Пусть в пространстве введена правая декартова система координат и декартов базис ( i , j , k ) , изображенные на рис. 2.7. Направление единичных векторов i , j , k совпадает с направлением
декартовых осей координат Ox , Oy , Oz соответственно. Обозначим проекции вектора a на координатные оси через a x , a y и a z ,
тогда вектор a однозначно представляется в виде
a  ax i  a y j  az k .
41
(1)
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
§ 4. Скалярное произведение векторов
z
Определение. Скалярным произведением двух векторов a
и b называется число, равное произведению длин этих векторов на
косинус угла  между ними. Скалярное произведение двух векторов
a и b будем обозначать символом (a , b ) , тогда по определению
k
j
i
x
y
O
(a , b )  | a | | b | cos  .
Свойства скалярного произведения:
 скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из
сомножителей равен нулю или векторы перпендикулярны;
 скалярное произведение самого вектора на себя равно квад-
Рис. 2.7
Декартов базис позволяет установить взаимно однозначное
соответствие между векторами a и тройками чисел (a x , a y , a z ) .
Представление вектора a в виде a  a x i  a y j  a z k и в виде
a  (a x , a y , a z ) считаем эквивалентными. Числа a x , a y и a z назы-
ваются координатами вектора a в базисе ( i , j , k ) .
Если
даны
координаты
векторов
a  (a x , a y , a z ) ,
b  (bx , by , bz ) и число  , то операции сложения и умножения вектора на число примут вид
a  b  (a x  bx , a y  by , a z  bz ),
 a  (a x , a y , a z ).
Если даны координаты начала
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
(2)
и конца
M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) вектора a , то координаты вектора a вычисляются
по формулам:
a x  x2  x1 , a y  y2  y1 и a z  z 2  z1 .
(3)
2
рату длины вектора (a , a )  | a | ;
 скалярное произведение коммутативно, т. е.
(a , b )  (b , a ) ;
 справедлив распределительный (дистрибутивный) закон
скалярного умножения относительно операции сложения:
(a , b  c)  (a , b )  (a , c ) ;
 скалярный множитель можно выносить за знак скалярного
произведения:
( a , b )   ( a , b ) .
Имеет место следующее утверждение.
Утверждение. Если a  (a x , a y , a z ) и b  (bx , by , bz ) , то
(a , b )  a x bx  a y by  a z bz .
Формулы (1) и (2) позволяют найти длину вектора
42
(1)
43
(2)
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
a  (a , a )  a x2  a 2y  a z2
Векторное произведение будем обозначать символом [a , b ]  c .
и косинус угла между двумя ненулевыми векторами
cos  
(a , b )
a b

a x bx  a y by  a z bz
a x2  a 2y  a 2z
bx2  by2  bz2
z
.
c [ a , b ]
(4)
Замечание. Если векторы a и b перпендикулярны (a  b ) ,

то угол   , cos   0 и скалярное произведение этих векторов
2
равно нулю:
( a , b )  a x bx  a y b y  a z bz  0 .
(5)
§ 5. Векторное произведение векторов
Напомним, что в трехмерном векторном пространстве выбран
правый ортонормированный базис ( i , j , k ) , изображенный
на рис. 2.7 и 2.8. Выбор базиса, который по определению считается
правым, равносилен ориентации пространства. Будем говорить, что
векторы ( i , j , k ) образуют правую тройку.
Определение векторного произведения двух векторов включает в себя выбор ориентации пространства.
Определение. Векторным произведением двух упорядоченных
векторов a и b называется новый вектор c , удовлетворяющий
следующим условиям:
 вектор c перпендикулярен векторам a и b ;
 направление вектора c выбирается так, чтобы тройка векторов (a , b , c ) образовывала правую тройку;
 длина вектора c численно равна площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b , приведенных к общему
началу. Пусть  – угол между векторами a и b , тогда
44
| c | S  | a | | b | sin  .
(3)
k
b
j
i
y
O

S | c |
a
x
Рис. 2.8
Для определения направления вектора c  [a , b ] удобно применять также правило «правой руки»: если векторы a , b и c приведены к общему началу, то вектор c должен быть направлен так,
как направлен средний палец правой руки, большой палец которой
направлен по первому сомножителю (т. е. вектору a ), а указательный – по второму сомножителю (т. е. вектору b ). Это правило чаще всего используется для определения направления вектора c .
Свойства векторного произведения:
 векторное произведение равно нулю, если хотя бы один из
сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны;
 векторное произведение антикоммутативно, т. е.
[a , b ]  [b , a ] ;
 скалярный множитель можно выносить за знак векторного
произведения:
[ a , b ]  [a , b ] ;
45
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
 справедлив распределительный (дистрибутивный) закон
векторного умножения относительно операции сложения:
произведение [ AB, AC ] ; 3) площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AC .
Решение
1. Найдем координаты векторов AB и AC , используя формулу (3) § 3:
AB  (3  1; 0  2; 5  4)  (2; 2; 9) ,
[a , b  c]  [a , b ]  [a , c ].
Имеют место следующие утверждения.
Утверждение. Если известны координаты векторов
a  a x i  a y j  a z k и b  bx i  by j  bz k , то координаты векторного произведения этих векторов определяются по формуле
[a , b ]  (a y bz  a z by ) i  (a z bx  a x bz ) j  (a x by  a y bx ) k .
(1)
Для вычисления координат векторного произведения удобно
использовать определитель
i
j
[a , b ]  a x
bx
ay
by
k
ay
az  i
by
bz
az
bz
j
ax
az
bx
bz
k
ax
ay
bx
by

 (a y bz  a z by ) i  (a x bz  a z bx ) j  (a x by  a y bx ) k .
Если векторы a и b коллинеарны (введем для них обозначение a | | b ), то [a , b ]  0 . Иногда коллинеарные векторы называют
параллельными. В координатной форме условие коллинеарности
векторов a и b выглядит так:
ax a y az

 ,
(2)
bx by bz
AC  (1  1; 4  2; 2  4)  (2 ;6; 6) .
Используя формулы (2) § 3, сначала находим координаты вектора 2 AB  (4; 4; 18) , затем координаты вектора 2 AB  AC 
 (6; 2; 12) .
Скалярное произведение векторов 2 AB  AC и AC вычисляем по формуле (2) § 4:
(2 AB  AC , AC )  6  (2)  (2)  6  (12)  (6)  48 .
2. Векторное произведение векторов AB  (2; 2; 9) и AC 
 (2; 6; 6) находим по формуле (1) § 5:
3.
c  [a , b ]  (2  (6)  (9)  6) i  ((9)  (2)  2  (6)) j 
 (2  6  2  (2)) k  42 i  30 j  16 k .
Таким образом, получаем, что [a , b ]  c  ( 42; 30;16) .
4. Из определения векторного произведения следует, что площадь S параллелограмма, построенного на векторах AB и AC ,
равна длине векторного произведения, т. е. S  | [a , b ] |  | c | .
Для определения длины вектора [a , b ]  c воспользуемся
формулой (3) § 4 :
S  | [a , b ] |  | c |  42 2  30 2  16 2  2920  54,04 .
т. е. координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Задача. Даны три точки A(1; 2; 4) , B(3; 0;5) и C (1; 4;2) .
Найти: 1) скалярное произведение (2 AB  AC , AC ) ; 2) векторное
46
Ответ:
1) (2 AB  AC , AC )  48 ;
2) [a , b ]  (42; 30; 16) ;
47
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
3) площадь S параллелограмма, построенного на векторах
AB и AC , равна S  | [a , b ] |  | c |  2920  54,04 .
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Тогда расстояние
и M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) равно
между
двумя
точками
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
| M 1 M 2 |  | r2  r1 |  (r2  r1 , r2  r1 )
или в координатной форме
§ 6. Радиус-вектор
1. Радиус-вектор точки
Пусть в пространстве заданы декартова система координат
xOy и декартов базис ( i , j , k ) , а М – произвольная точка (рис. 2.9).
Тогда свободный вектор r , представляемый направленным отрезком OM , называется радиус-вектором точки М.
В дальнейшем будем предполагать, что начало радиус-вектора
r совпадает с началом декартовой системы координат.
Если точка М имеет координаты (x, y, z), то радиус-вектор
точки М в базисе ( i , j , k ) представим в виде
| M 1 M 2 |  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 .
3. Деление отрезка прямой в данном отношении
Пусть точка M(x, y, z) принадлежит отрезку прямой M 1M 2
и делит его в отношении
| M 1M |
.

| MM 2 |
Если r  ( x, y, z ) , r1  ( x1 , y1 , z1 ) и r2  ( x2 , y2 , z 2 ) – радиусвекторы точек M ( x, y, z ) , M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) , то
r  x i  y j  z k  ( x, y , z ) .
2. Расстояние между двумя точками
Пусть r1  ( x1 , y1 , z1 ) – радиус-вектор точки M 1 ( x1 , y1 , z1 )
и r2  ( x2 , y2 , z 2 ) – радиус-вектор точки M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) .
r
M ( x, y, z)
k
r ( x, y, z)
i
j
O
x
Рис. 2.9
y
1
(r1   r2 )
1 
(2)
или в координатной форме
x
z
(1)
x1   x2
,
1 
y
y1   y2
,
1 
z
z1   z 2
.
1 
Следствие. Радиус-вектор середины отрезка прямой M 1M 2
равен (в этом случае  = 1)
1
r  (r1  r2 )
(3)
2
или
x x
y  y2
z z
,
x 1 2, y 1
z 1 2.
2
2
2
§ 7. Уравнение плоскости
Пусть в пространстве заданы декартова система координат
xOy и декартов базис ( i , j , k ) . Плоскость в пространстве вполне
48
49
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
определяется точкой M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , расположенной на плоскости,
и вектором N  ( A, B, C ) , перпендикулярным к ней. Вектор N называется вектором нормали плоскости (рис. 2.10) .
( r , n)  p ,
где p  (r0 , n) – расстояние начала координат до плоскости.
Уравнение (1) в координатной форме имеет вид
z
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
r r0
r
M0 ( x0 , y0 , z0 )
r0
,
O
y
A x  B y  C z  D  0,
Рис. 2.10
Выведем уравнение плоскости. Для этого возьмем произвольную точку M ( x, y, z ) , принадлежащую плоскости, и рассмотрим
радиус-векторы r0  ( x0 , y0 , z0 ) и r  ( x, y, z ) точек M 0 ( x0 , y0 , z0 )
и M ( x, y, z ) . Вектор разности этих векторов имеет координаты
r  r0  ( x  x0 , y  y0 , z  z0 )
которое называется общим уравнением плоскости.
Обращаем ваше внимание, что координаты вектора нормали
N  ( A, B, C ) являются коэффициентами при переменных x , y и z
в общем уравнении плоскости (4).
Расстояние точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) до плоскости (4) вычисляется
по формуле
| Ax1  By1  Cz1  D |
d
.
A2  B 2  C 2
(r  r1 , N1 )  0 и (r  r2 , N 2 )  0
(5)
равен углу между нормалями N1 и N 2 и определяется
(1)
Если уравнение (1) нормировать, выбрав в качестве нормали
орт n вектора N , направленный от начала координат к плоскости,
то получим нормальное уравнение плоскости
50
(4)
Угол между двумя плоскостями
и перпендикулярен вектору нормали N  ( A, B, C ) плоскости, поэтому их скалярное произведение равно нулю.
В результате получаем уравнение плоскости в векторной форме
(r  r0 , N )  0 .
(3)
и называется уравнением плоскости, проходящей через точку
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и имеющей нормальный вектор N  ( A, B, C ) .
Если в уравнении (3) раскрыть скобки, перегруппировать члены и ввести обозначение D   A x0  B y0  C z0 , то получим уравнение
M ( x, y, z)
N ( A, B, C)
x
(2)
cos  
( N1 , N 2 )

| N1 | | N 2 |
A1 A2  B1B2  C1C2
A12
 B12  C12
51
A22  B22  C22
.
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Условие параллельности двух плоскостей (5)
[ N1 , N 2 ]  0 ,
или
N1   N 2 ,
или
A1 B1 C1
.


A2 B2 C2
B  A  3C  D 
(6)
Условие перпендикулярности двух плоскостей (5)
( N1 , N 2 )  0 , или
A1 A2  B1B2  C1C2  0 .
(7)
Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через
три точки M 1 (1; 1; 3) , M 2 (1; 0; 2) и M 3 (2; 3; 0) .
Решение 1. Эти точки не принадлежат одной прямой, поэтому
искомая плоскость определена однозначно. Ее уравнение будем искать в виде (4)
A x  B y  C z  D  0,
и так как данные три точки лежат на рассматриваемой плоскости,
то их координаты удовлетворяют данному уравнению:
A  B  3C  D  0 ,
 A  2C  D  0 ,
 2 A  3B  D  0 .
Мы получили три линейных уравнения, связывающие четыре
неизвестных A, B, C и D. В этом находит отражение то обстоятельство, что, умножая все коэффициенты уравнения (4) на одно и то
же число   0 , мы получим уравнение, равносильное исходному
уравнению. Попытаемся выразить три неизвестных А, В, С через D.
Умножим первое уравнение на 3 и прибавим к нему второе
и третье уравнения, в результате получим:
5
11C  5D  0 или C   D .
11
Из второго уравнения находим
10
1
A  2C  D   D  D  D .
11
11
Первое уравнение позволяет найти коэффициент В:
52
1
15
3
D  D  D   D.
11
11
11
Подставляя значения коэффициентов А, В, С в уравнение (4),
получаем
1
3
5
D x  D y  D z  D  0.
11
11
11
Умножим это уравнение на 11 и разделим на D, окончательно получим искомое уравнение плоскости
x  3 y  5 z  11  0 .
Решение 2. Будем искать уравнение плоскости в виде (3)
A( x  x1 )  B ( y  y1 )  C ( z  z1 )  0 ,
(8)
в виде уравнения плоскости, проходящей через точку M 1 ( x1 , y1 , z )
и имеющей нормальный вектор N  ( A, B, C ) . Координаты вектора
нормали определяются с точностью до постоянного множителя, не
равного нулю (рис. 2.11).
N ( A, B, C) [r2 r1, r3 r1]
r3 r1
M1
r2 r1
M3
M2
Рис. 2.11
В качестве вектора нормали можно взять векторное произведение векторов
r2  r1  ( x2  x1 , y2  y1 , z 2  z1 ) и r3  r1  ( x3  x1 , y3  y1 , z3  z1 ) ,
53
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
где r1  ( x1 , y1 , z1 ) , r2  ( x2 , y2 , z 2 ) и r3  ( x3 , y3 , z3 ) суть радиусвекторы точек M 1 ( x1 , y1 , z ) , M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) и M 3 ( x3 , y3 , z3 ) .
Таким образом, сначала находим координаты
векторов
r2  r1  (2;1;  1) и r3  r1  (3; 4;  3) , а затем вычисляем их векторное произведение
i
j k
1 1
 2 1
2 1
N  [r2  r1 , r3  r1 ]   2 1  1  i
j
k

4 3
3 3
3 4
3 4 3
Выведем уравнения прямой. Для этого возьмем произвольную
точку M ( x, y, z ) , принадлежащую прямой, и рассмотрим радиусвекторы r0  ( x0 , y0 , z0 ) и r  ( x, y , z ) точек M 0 ( x0 , y0 , z0 )
и M ( x, y, z ) . Вектор разности этих векторов имеет координаты
 i (3  4)  j (6  3)  k (8  3)  i  3 j  5 k  1; 3; 5  ( A, B, C ) .
Подставляя значения коэффициентов A  1, B  3 , C  5
и координаты точки M 1 (1; 1; 3) в уравнение (8), получаем
( x  1)  3( y  1)  5( z  3)  0 или x  3 y  5 z  11  0 .
Ответ. x  3 y  5 z  11  0 – уравнение искомой плоскости.
Пусть точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) принадлежит прямой L и прямая
параллельна вектору s  (l , m, n) . Вектор s будем называть направляющим вектором прямой (рис. 2.12).
L
M ( x, y, z)
r r0
M0 ( x0 , y0 , z0 )
s (l, m, n)
r
r0
y
O
и он коллинеарен направляющему вектору прямой s  (l , m, n) .
Различные формы записи условия коллинеарности двух векторов r  r0 и s приводят к различным формам уравнений прямой.
1. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение
равно нулю, т. е.
[r  r0 , s ]  0 .
(1)
Это уравнение называется векторным уравнением прямой.
2. Записывая условие коллинеарности векторов в векторнопараметрической форме
r  r0  t s
§ 8. Прямая линия в пространстве
z
r  r0  ( x  x0 , y  y0 , z  z0 )
или
r  r0  t s ,
(2)
получим векторно-параметрическое уравнение прямой. Здесь параметр t  (,) .
3. Переписывая уравнение (2) в координатной форме, получим
параметрические уравнения прямой
 x  x0  l t ,

 y  y0  m t ,
z  z  n t .
0

   t   .
(3)
4. Исключая из уравнений (3) параметр t, получим канонические уравнения прямой
x  x0 y  y0 z  z0
(4)


.
l
m
n
Из уравнений (4) видно, что прямая в пространстве может
быть задана как линия пресечения двух плоскостей
x
Рис. 2.12
54
55
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 ,

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .
Если прямая проходит через две заданные точки M 1 ( x1 , y1 , z1 )
и M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) , то в качестве направляющего вектора следует
взять
s  r2  r2  ( x2  x1 , y2  y1 , z 2  z1 ) ,
что позволяет написать ее уравнения в любой из форм (1)–(4).
Например, канонические уравнения прямой (4) принимают вид
x  x1
y  y1
z  z1
.


x2  x1 y2  y1 z 2  z1
Они называются каноническими уравнениями прямой, проходящей
через две заданные точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) .
Рассмотрим две прямые L1 и L2 . Пусть s1  (l1 , m1 , n1 )
и s2  (l2 , m2 , n2 ) – их направляющие векторы. Тогда угол между
двумя прямыми можно найти как угол между их направляющими
векторами
l1l2  m1m2  n1n2
(s , s )
.
cos   1 2 
| s1 | | s2 |
l12  m12  n12 l22  m22  n22
Если прямые L1 и L2 параллельны, то их направляющие векторы s1  (l1 , m1 , n1 ) и s2  (l2 , m2 , n2 ) коллинеарны и, следовательно,
s1   s2
l1 m1 n1

 .
l2 m2 n2
или
Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то их направляющие
векторы s1  (l1 , m1 , n1 ) и s2  (l2 , m2 , n2 ) тоже перпендикулярны
и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т. е.
( s1 , s2 )  0 , или
l1l2  m1m2  n1n2  0 .
56
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
§ 9. Взаимное расположение прямых и плоскостей
Рассмотрим прямую L с направляющим вектором
s  (l , m, n) и плоскость P с вектором нормали N  ( A, B, C ) .
Тогда прямая L либо целиком содержится в плоскости P , либо пересекает P в одной точке, либо параллельна P .
Если L и L1 – две прямые, то либо L1 совпадает с L , либо пересекает L , либо параллельна L , либо L и L1 не лежат в одной плоскости, в этом случае прямые L и L1 называются скрещивающимися.
1. Если прямая параллельна плоскости, то направляющий вектор s  (l , m, n) и вектор нормали N  ( A, B, C ) взаимно перпендикулярны и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
( s, N )  0 или l A  m B  n C  0 .
2. Если прямая перпендикулярна плоскости, то направляющий
вектор s  (l , m, n) и вектор нормали N  ( A, B, C ) коллинеарны и,
следовательно, их координаты пропорциональны:
l m n
  .
A B C
3. Угол между прямой и плоскостью (рис. 2.13). Пусть угол  –
угол между прямой L и ее проекцией L на плоскость, и угол  –
угол между направляющим вектором s  (l , m, n) и вектором нор
мали N  ( A, B, C ) , тогда     .
2
Следовательно,
( s, N )

cos   cos(   )  sin  
| s || N |
2
и
l A  m B  nC
  arcsin
.
l 2  m 2  n 2 A2  B 2  C 2
57
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
L
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Пример 2. Определить взаимное расположение прямой (1)
и плоскостей
(3)
3 x  13 y  2 z  5  0
и
(4)
3x  13 y  2 z  82  0 .
N ( A, B, C)
s (l, m, n)
2
P
L
Рис. 2.13
4. Покажем на примерах, как аналитически распознают взаимное расположение прямых и плоскостей.
Пример 1. Даны прямая
и плоскость
L : x  2  3t , y  6  t , z  1 2t
(1)
P : 3x  y  2 z  5  0 .
(2)
Решение. Подставим выражения (1) в уравнение (3), получим
равенство 77 = 0. Так как оно неверно, то прямая (1) и плоскость (3)
не пересекаются – они параллельны.
Подставляя выражения (1) в уравнение (4), получим тождество 0 = 0 (оно не содержит параметр t). Следовательно, прямая (1)
принадлежит плоскости (4) – все ее точки являются также точками
плоскости (4).
Пример 3. Определить взаимное расположение прямой (1)
и прямой
x  1  6 , y  2 , z  4  4 .
(5)
В качестве параметра прямой (5) используем новую букву  .
Решение. Выясним сначала, будут ли эти прямые иметь общую точку. Если такая точка существует, то ей соответствует такое
значение параметра t и такое значение , при которых получаются
одни и те же значения x, y, z. Следовательно, мы должны иметь
Каково их взаимное расположение?
Решение. Выясним, какие точки прямой (1) лежат в плоскости
(2). Для этого подставим в уравнение (2) вместо x, y, z их выражения (1). В результате получим
2  3t  1  6 ,
6  t  2 ,
 1  2t  4  4 .
3(2  3t )  (6  t )  2(1  2t )  5  0 ,
Эти уравнения не удовлетворяются ни при каких значениях t и  ,
так как из первого уравнения следует 3t  6  3 или t  2  1, в то
время в силу второго уравнения t  2  6 . Следовательно, наши
прямые не пересекаются, т. е. либо они параллельны, если лежат
в одной плоскости, либо скрещиваются.
Рассмотрим направляющие векторы прямых (1) и (5)
s1  (3, 1; 2) и s2  (6; 2; 4) . Так как векторы коллинеарны (координаты векторов пропорциональны), то прямые (1) и (5) параллельны.
или
t
1
 0.
2
Последнее равенство выполняется при t  0,5 . Следовательно,
прямая (1) пересекает плоскость (2) в точке с координатами
x  2  3(0,5)  3,5 , y  6  (0,5)  5,5 , z  1  2(0,5)  0 , т. е.
в точке (3,5; 5,5; 0) .
58
59
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Задача. Найти проекцию точки P(2; 1; 3) на плоскость
2 x  3 y  z  10  0 .
Решение
1. Сделаем схематический рисунок (рис. 2.14).
Глава 3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
2. Пусть точка Q является
ортогональной
проекцией
NN((22;3;–1
, 3, 1))
точки P на плоскость. Уравнение плоскости 2 x  3 y 
 z  10  0 , следовательно,
ее вектор нормали есть векQ
N (2; 3; 1) , который
тор
можно рассматривать как наРис. 2.14
правляющий вектор прямой,
проходящей через точку P(2; 1; 3) перпендикулярно плоскости.
Напишем параметрические уравнения этой прямой (см. формулу
(3) § 7):
x  2  2t , y  1  3t , z  3  t .
PP( (–2,21;1;3
, 3) )
3. Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Для этого
подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости
2(2  2t )  3(1  3t )  (3  t )  10  0
и решим последнее уравнение относительно параметра t:
 4  4t  3  9t  3  t  10  0 , или 14t  14 и t  1.
Подставив t  1 в параметрические уравнения прямой, найдем
координаты проекции точки P на плоскость:
xQ  2  2  1  0 , yQ  1  3  1  4 , zQ  3  1  2 .
Ответ. Проекцией точки P на плоскость является точка
Q(0; 4; 2) .
60
§ 1. Функция одного аргумента
Пусть X и Y – множества вещественных чисел.
Определение 1. Если можно указать правило f, по которому
каждому значению x  X ставится в соответствие одно определенное значение y  Y , то говорят, что на множестве X определена
функция f. Символически это записывается так: y  f (x) или
f : X  Y . При этом x называется аргументом или независимой
переменной, X – областью определения функции f; y  Y или
f ( x)  Y называется значением функции f при аргументе x или
в точке x, Y – множеством значений.
Часто областью определения функции является промежуток
числовой оси между точками a и b. В качестве значений a и b могут
быть   . Это может быть замкнутый промежуток (отрезок) [a, b] ,
открытый промежуток (интервал) (a, b) , полузамкнутые или полуоткрытые промежутки [a, b) или (a, b] .
Если областью определения функции является множество всех
натуральных чисел, т. е. X  N  {1, 2,  , n, } , то такая функция
называется последовательностью. Она записывается обычно так:
yn  f (n) , где n = 1, 2,…, или { yn }n 1 .
Функция одного аргумента наиболее часто задается одним из
следующих трех способов: аналитическим, табличным и графическим.
1. Аналитическое задание и представление функции. Под аналитическими операциями или действиями будем понимать арифметические действия, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование и некоторые другие.
Будем говорить, что функция y  f (x) задана или представлена явным аналитическим способом, если дана формула, указывающая, какие аналитические операции надо произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.
Часто функцию задают неявным аналитическим способом,
т. е. с помощью уравнения F ( x, y )  0 , связывающего произволь61
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
ное значение аргумента с соответствующим значением функции с
помощью аналитических операций.
2. Табличное задание функции. В этом случае функция представлена таблицей, содержащей конечное множество значений аргумента и соответствующих значений функции.
 x  (t ) ,

 y   (t ) ,
x y  f (x)
x1
y1
x2
y2




xn
yn
где t – вспомогательная переменная (параметр) и a  t  b .
Пример 1. Пусть функция y  f (x) задана в параметрической
форме уравнениями
 x  R cos t ,

 y  R sin t ,
R0
0  t  .
и
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим, в результате
получим неявное представление рассматриваемой функции
3. Графическое задание функции. Будем говорить, что функция y  f (x) задана графически, если представлена кривая, называемая графиком функции, координатами точек которой являются
пары соответствующих значений аргумента и функции, т. е.
( x, f ( x)) (рис. 3.1).
x2  y2  R2 .
Решая последнее уравнение относительно y и учитывая, что
y  sin t  0 при 0  t   , найдем явное задание этой функции
y  R2  x2 .
y
Построим график этой функции (верхняя полуокружность окружности радиуса R, рис. 3.2).
y  f (x)
y
y
ОO
x
Рис. 3.1
y
R
x
R
O
R2  x2
R
4. Параметрическое задание функции. Говорят, что функция
y  f (x) задана в параметрической форме, если она задается уравнениями
Рис. 3.2
62
63
x
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Определение 2 (обратной функции).
Пусть f : X  Y . Если каждому значению y  Y соответствует одно определенное значение x  X такое, что f ( x)  y , то тем
2. Функция y  x 2 с областью определения X  (, )
и множеством значений Y  [0; ) не имеет обратной, так как каждому значению y  Y соответствуют два значения x1   y
и x2   y (рис. 3.4).
самым определена функция x  f 1 ( y ) , обратная по отношению
к функции y  f (x) . Для обратной функции f 1 множество Y является областью определения, а множество X – множеством значений.
Пара функций f и f 1 называются взаимно обратными.
Пример 2. 1. Рассмотрим функцию y  x 3 , ее область определения X  (, ) , а множество значений Y  (, ) . Найдем
ее обратную функцию, для этого решим уравнение y  x 3 относительно переменной x, в результате получим x  3 y . Если записать
обратную функцию в «привычных» обозначениях, т. е. ее аргумент
обозначить через x, а ее значение – через y, то получим функцию
y  3 x с областью определения X  (, ) и множеством значений Y  (, ) .
Построим графиy
y  x3
ки функций y  x 3 ,
4
y=x
x  3 y и y  3 x в одной и той же декартовой системе координат
2
xOy (рис. 3.3). Тогда
y3 x
графики
функций
3
3
y  x и x  y совпа–- 4
–- 2
2
4
x
дут, а графики функций
y  x 3 и y  3 x сим–- 2
метричны относительно биссектрисы первого и третьего коорди–- 4
натных углов.
x3 y
Рис. 3.3
64
4 y
y  x2
3
y
2
1
x2   y
x1   y
-–2
2
-–11
O
1
2
x
Рис. 3.4
Однако функция y  x 2 с областью определения X  [0; )
и множеством значений Y  [0; ) имеет обратную y  x , для
которой X  [0; ) и Y  [0; ) .
Определение 3 (сложной функции или функции от функции).
Пусть функция z  g ( x) определеz
на на множестве X, причем все ее значения содержатся в множестве Z.
f
Пусть, далее, на множестве Z задаg
на функция y  f ( z ) .
Тогда каждому значению x  X
y
соответствует
одно
определенное
x
F

f

g
значение z  Z , которому в свою очередь соответствует одно определенное
Рис. 3.5
значение y (рис. 3.5). Такая функция
65
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y  F ( x)  f ( g ( x)) называется сложной функцией или функцией от
функции.
Функция f называется внешней функцией, а функция g –
внутренней.
Операция получения функции от функции называется суперпозицией функций g и f .
Можно нарисовать следующую диаграмму (см. рис. 3.5).
Пример 3. Рассмотрим сложную функцию y  F ( x)  sin 2 x 
 (sin x) 2 . Она устроена следующим образом.
Ее внешняя функция y  f ( z )  z 2 есть степенная (квадратичная) функция, а внутренняя – тригонометрическая функция синус
z  g ( x)  sin x :
x  sin x  (sin x) 2  sin 2 x .
Определение 4 (монотонных и строго монотонных функций).
Пусть функция y  f ( x) определена на отрезке [a, b] .
1. Функция y  f ( x) называется возрастающей (неубывающей) на отрезке [a, b] , если для любых x1 , x2  [a, b] таких, что
x1  x2 , справедливо неравенство
(( f ( x1 )  f ( x2 )) .
f ( x1 )  f ( x2 )
2. Функция y  f ( x) называется убывающей (невозрастающей) на отрезке [a, b] , если для любых x1 , x2  [a, b] таких, что
x1  x2 , справедливо неравенство
f ( x1 )  f ( x2 )
(( f ( x1 )  f ( x2 )) .
3. Функция y  f ( x) называется монотонной на отрезке
[a, b] , если она неубывающая или невозрастающая на нем. Функция
y  f ( x ) называется строго монотонной на отрезке [a, b] , если она
убывающая или возрастающая на нем.
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
§ 2. Элементарные функции
Определение 1. Основными элементарными функциями называются следующие функции.
1. Степенная функция y  x a , где a – вещественное число.
2. Показательная функция y  a x , где a  0 , a  1 ,
   x   .
3. Логарифмическая функция y  log a x , где a  0 , a  1 ,
0  x   .
4. Тригонометрические функции y  sin x , y  cos x , y  tg x ,
y  ctg x .
5. Обратные тригонометрические функции y  arcsin x ,
y  arccos x , y  arctg x , y  arcctg x .
Приведем графики этих функций.
1. y  x a , на рис. 3.6 приведены графики степенной функции
1
при a  , a  1, a  2 и a  3 .
3
y
y  x2
y  x3
yx
4
2
y3 x
-–4
4
y3 x
- –2
2
2
O
-–2
2
y  x3
-–4
4
Рис. 3.6
66
67
4
x
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
2. y  a x , где a  0 , a  1 ,    x   . На рис. 3.7 приведены графики показательной функции для значений a  e 1  1
и a  e  1.
На рис. 3.8 приведены графики логарифмической функции для
значений a  e 1  1 и a  e  1.
Касательная
y
y  x 1
ye
x
7
y
y  ex
6
y  ln x
5
45
4
O
x
1
3
y  log e1 x
2
Рис. 3.8
1
-2
–2
-–11
O
1
2 x
4. Графики тригонометрических функций y  sin x , y  cos x ,
y  tg x , y  ctg x представлены на рис. 3.9–3.12.
Рис. 3.7
y
3. y  log a x , где a  0 , a  1 , 0  x   .
 2

Геометрическое определение числа e и натурального логарифма
Среди логарифмических функций с основаниями a  1 имеется одна, у которой касательная к графику функции y  log a x

в точке x  1 наклонена к оси абсцисс под углом (рис. 3.8). Осно4
вание этой функции обозначают буквой e . Логарифм при таком основании называется натуральным и обозначается символам ln x .
Число e является иррациональным числом и изображается
бесконечной десятичной непериодической дробью.
68
y  sin x
1
1
O

x
2
Рис. 3.9
1
 2

1
y
O
Рис. 3.10
69
y  cos x
2
x
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
5. Графики
обратных
тригонометрических
функций
y  arcsin x , y  arccos x , y  arctg x и y  arcctg x представлены на
рис. 3.13–3.16.
y  tg x
y
y
–1,5
1.5

2


2

x
2,5
2.5
0.5
–0,5
2
x
-–11
1
1,5
1.5
y  arcsin x
1
-–0,5
0.5
–0,5
0.5
-–0,5
0.5
-–11
Рис. 3.11
-–1,5
1.5
y

3
1
O


2
y  ctg x
 
2


2
- –0,5
0.5
-–11

3

2

2
0,5
0.5
1
Рис. 3.14
x

2
y  arccos x
0,5
0.5
Рис. 3.13
O
y
y
2

2
–1
-1
yy=arctgx
arctg x
1


2
Рис. 3.12
Рис. 3.15
70
71
x
x
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x


2
x
Рис. 3.16
Определение 2 (определение элементарной функции).
Элементарной функцией называется любая функция, которая
может быть получена из основных элементарных функций путем
применения конечного числа раз арифметических действий и взятия функции от функции, причем «внешняя» функция является основной элементарной.
Пример. Функции
1  cos x
y  3 ln x  5 sin 2 x ,
y  arctg
1  cos x
являются элементарными.
В качестве примера неэлементарной функции приведем функцию Лапласа (интеграл вероятностей)
t2
1 x 2
e dt .
 ( x) 
2 0
§ 3. Бесконечно малая функция и ее свойства
Определение 1. Пусть  – некоторое положительное число.
 -окрестность точки x0 – множество значений x, удовлетворяющих неравенству 0  | x  x0 |  .
Согласно определению,  -окрестность точки x0 есть объединение двух открытых интервалов ( x0  , x0 )  ( x0 , x0  ) (рис. 3.17).
72
x0
x0  
Рис. 3.17
1
–1
x0  
yy = arcctgx
arcctg x
Интервалы ( x0  , x0 ) и ( x0 , x0  ) называются левой и правой полуокрестностями точки x0 .
Определение 2. Пусть функция y  (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и, может быть, в самой точке x0 .
Функция y  (x) называется бесконечно малой в точке x0 ,
если для любого сколь угодно малого положительного числа 
найдется такое положительное число  , зависящее от , что во всех
точках  -окрестности точки x0 будет выполнено неравенство
| ( x) |   .
Приведем геометрическую интерпретацию определения бесконечно малой функции y  ( x) в точке x0 (рис. 3.18). Для этого
зададим произвольное положительное число  и построим горизонтальную полосу, ограниченную прямыми y   и y   . Далее
рассмотрим кусок графика функции y  (x) , лежащий в этой полосе, и спроектируем его на ось Ox. В качестве  -окрестности точки x0 можно взять любую окрестность, лежащую внутри спроектированного множества точек на оси Ox. Заметим, что на выбор
-окрестности точки x0 , т. е. числа , есть ограничение сверху, определяемое первоначальным выбором числа  .
Тогда для всех значений x из так построенной -окрестности
точки x0 все соответствующие значения функции y   ( x ) будут
принадлежать  -окрестности, расположенной на оси Oy, точки
y  0 . Другими словами, для всех значений x, достаточно мало отличающихся от числа x0 , соответствующие значения функции
y  (x) мало отличаются от нуля.
На рис. 3.18 число  выбрано наибольшим, в качестве числа 
можно было бы взять любое положительное число, которое меньше, чем указано на рисунке. Отметим также, что в данном случае
функция y  (x) определена в точке x0 и ( x0 )  0 .
73
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y
y  (x)

y  
 ( x)
x
x0
O
x0  
x x0  

y  
Рис. 3.18
Рассмотрим два основных свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Сумма любого конечного числа функций, бесконечно малых в точке x0 , есть бесконечно малая функция в этой
точке.
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем двух слагаемых, общий случай доказывается аналогично. Пусть 1 ( x)
и  2 ( x) – бесконечно малые функции в точке x0 , докажем, что
1 ( x)   2 ( x) есть бесконечно малая функция в этой точке.
Выберем сколь угодно малое положительное число . Так как
1 ( x) и  2 ( x) есть бесконечно малые функции, то по определению

найдутся положительные числа 1 и  2 такие, что 1 ( x) 
2

в 1 -окрестности точки x0 и  2 ( x) 
в  2 -окрестности точки x0 .
2
Возьмем число  , равное наименьшему из чисел 1 и  2 , тогда
в -окрестности точки x0 будут выполняться оба эти неравенства.
Рассмотрим
 
1 ( x)   2 ( x)  1 ( x)   2 ( x)     ,
2 2
т. е. 1 ( x)   2 ( x)   в  -окрестности точки x0 . Отсюда следует,
что 1 ( x)   2 ( x) есть бесконечно малая функция в этой точке.
Ч. и т. д.
74
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Прежде чем сформулировать и доказать второе свойство, дадим определение локально ограниченной функции.
Определение 3. Пусть функция y  f (x) определена на множестве X.
Функция y  f (x) называется локально ограниченной в точке
x0 , если найдутся такие числа N  0 и ( N )  0 , что для всех x из
области определения X и из  -окрестности точки x0 выполнено
неравенство f ( x)  N .
Теорема 2. Произведение функции, бесконечно малой в точке
x0 на локально ограниченную функцию в этой точке, есть функция,
бесконечно малая в точке x0 .
Доказательство. Пусть y  f (x) – локально ограниченная
функция в точке x0 , тогда найдутся число N  0 и 1 -окрестность
точки x0 , в которой будет выполнено неравенство f ( x)  N .
Пусть y   ( x ) – бесконечно малая функция в точке x0 , тогда
для любого положительного числа  найдется  2 -окрестность точ
ки x0 , в которой будет выполнено неравенство ( x)  .
N
Возьмем число  , равное наименьшему из чисел 1 и  2 , тогда
в  -окрестности точки x0 будут выполняться оба этих неравенства.
Рассмотрим

f ( x) ( x)  f ( x) ( x)  N
 ,
N
т. е. f ( x) ( x)   в  -окрестности точки x0 .
Отсюда следует, что f ( x) ( x) есть бесконечно малая функция в точке x0 .
Ч. и т. д.
Следствие 1. Так как из определения бесконечно малой функции следует ее локальная ограниченность, то произведение конечного числа функций, бесконечно малых в точке x0 , есть бесконечно
малая функция в точке x0 .
Следствие 2. Поскольку постоянная величина является ограниченной функцией, то произведение постоянной величины на
75
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
функцию, бесконечно малую в точке x0 , есть бесконечно малая
функция в точке x0 .
Другими словами, для всех значений x из  -окрестности точки
x0 , т. е. достаточно мало отличающихся от x0 , соответствующие
значения функции (x) по абсолютной величине превосходят любое
наперед заданное сколь угодно большое положительное число N.
Установим связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями в точке x0 .
Теорема 1. Пусть ( x ) есть бесконечно малая функция в точке
1
x0 , не принимающая значения нуль. Тогда
есть бесконечно
( x)
большая функция в точке x0 .
Доказательство. Возьмем сколь угодно большое положительное число N. Так как (x) есть бесконечно малая функция
в точке x0 , то найдется такая -окрестность точки x0 , что для всех
значений x из этой окрестности выполняется неравенство
1
1
| ( x) |  , которое равносильно неравенству
 N . Это озна( x)
N
1
чает, что функция
есть бесконечно большая функция в точке x0 .
( x)
Ч. и т. д.
Теорема 2. Пусть (x) есть бесконечно большая функция
1
есть бесков точке x0 , не принимающая значения нуль. Тогда
( x)
нечно малая функция в точке x0 .
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.
§ 4. Бесконечно большая функция и ее связь с бесконечно
малой
Определение 1. Пусть функция y  (x) определена в некоторой окрестности точки x0 . Функция (x) называется бесконечно
большой в точке x0 , если для любого сколь угодно большого положительного числа N найдется такое положительное число  , зависящее от N, что для всех x из  -окрестности точки x0 выполняется неравенство ( x)  N .
Приведем геометрическую трактовку этого определения
(рис. 3.19). Функция (x) будет бесконечно большой в точке x0 ,
если для произвольно заданного положительного числа N найдется
 -окрестность точки x0 такая, что часть графика функции y  ( x ) ,
соответствующего этой окрестности, будет содержаться вне горизонтальной полосы, ограниченной прямыми y   N и y   N .
y
y  ( x )
N
y  N
x0  
x0  
x0
x
y  N
–N
Рис. 3.19
76
§ 5. Предел функции
1. Определение предела
Пусть функция y  f ( x ) определена в некоторой окрестности
точки x0 (может быть, и в самой точке x0 ).
Определение 1. Число А называется пределом функции f (x)
в точке x0 (или при x  x0 ), если для любого сколь угодно малого
положительного числа  найдется такое положительное число  ,
77
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
зависящее от , что во всех точках  -окрестности точки x0 выполняется неравенство
f ( x)  A   .
Можно сказать и другими словами. Задание положительного
числа  эквивалентно заданию  -окрестности точки А на оси Oy ,
для которой находим такую  -окрестность точки x0 , что для всех
значений x из этой окрестности соответствующие значения функции f (x) попадают в  -окрестность точки А.
Замечание. Постоянную величину С (пишут C  const ) иногда
удобно рассматривать как функцию f (x) , у которой все значения
одинаковы и равны С.
Пусть функция f ( x)  C определена в некоторой окрестности
точки x0 (может быть, и в самой точке x0 ).
Тогда lim f ( x)  C или lim C  C , т. е. предел постоянной
Если число А есть предел функции f (x) в точке x0 , то пишут
lim f ( x)  A или f ( x)  A .
x  x0
x x0
Последний символ читается так: f (x) стремится к А при x, стремящемся к x0 .
y
y  f (x )
x  x0
2
A
y  A  
f (x)
А
y  A
A
x
O
x0  
x0
x0  
x
Рис. 3.20
Приведем геометрическую трактовку определения предела
(рис. 3.20).
Число А будет пределом функции f (x) в точке x0 , если для
произвольно заданного положительного числа  найдется
 -окрестность точки x0 такая, что часть графика функции
y  f ( x ) , соответствующего этой окрестности, будет содержаться
внутри горизонтальной полосы, ограниченной прямыми y  A  
и y  A  .
78
x  x0
равен самой постоянной.
Это следует из определения 1, так как при любом   0 неравенство f ( x)  C   выполняется тривиальным образом для всех x
из  -окрестности точки x0 : f ( x)  C  0 и 0   .
2. Связь понятия предела с бесконечно малой функцией
Обозначим в определении 1 разность f ( x)  A через (x) , т. е.
( x)  f ( x)  A , тогда вместо неравенства f ( x)  A   получаем
неравенство (x)   , которое выполняется во всех точках
-окрестности точки x0 . Это означает (см. § 3, определение 1), что
( x ) является бесконечно малой функцией в точке x0 .
Из приведенных рассуждений следует второе определение
предела.
Определение 2. Число А называется пределом функции f (x)
в точке x0 , если ее можно представить в виде
f ( x)  A  ( x) ,
где (x) есть бесконечно малая функция в точке x0 .
Замечание. Если ( x ) есть бесконечно малая функция в точке
x0 , то ее предел равен нулю, т. е. lim ( x)  0 .
x  x0
3. Односторонние пределы
Далее введем понятие односторонних пределов.
79
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Определение 3. Число A1 называется левым односторонним
пределом функции f (x) в точке x0 , если для любого сколь угодно
малого положительного числа  найдется такое положительное
число  , зависящее от  , что для всех точек x  ( x0  , x0 ) выполняется неравенство
f ( x)  A1   .
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
y
A2   2
A1
Определение 4. Число A2 называется правым односторонним
пределом функции f (x) в точке x0 , если для любого сколь угодно
малого положительного числа  найдется такое положительное
число  , зависящее от  , что для всех точек x  ( x0 , x0   ) выполняется неравенство
f ( x)  A2   .
Если число A2 есть правый односторонний предел функции
lim f ( x)  A2 или lim f ( x)  A2 .
f (x) в точке x0 , то пишут
A1  1
x  x0  0
x  x0 
x  x0 
Геометрическая интерпретация этих понятий представлена на
рис. 3.21.
Замечания
1. Если функция имеет левый и правый односторонние пределы в точке x0 , которые совпадают, то она имеет тот же «двусторонний» предел в точке x0 , т. е. lim f ( x) в смысле определения 1.
2
A2
Если число A1 есть левый односторонний предел функции
f (x) в точке x0 , то пишут lim f ( x)  A1 или lim f ( x)  A1 .
x  x0  0
1
1
x0  1
80
x
2
x0   2
x0
Рис. 3.21
Определение 5. Пусть функция y  f (x) определена на множестве вещественных чисел X.
Число А называется пределом функции f (x) в бесконечно удаленной точке (при x   ), если для любого сколь угодно малого
положительного числа  найдется такое положительное число N,
зависящее от  , что во всех точках x  X и удовлетворяющих неравенству x  N выполняется неравенство
f ( x)  A   .
x x0
2. Верно и обратное утверждение. Если функция имеет «двусторонний» предел в точке x0 , то существуют ее левый и правый
односторонние пределы в точке x0 и они равны между собой.
3. Если же функция имеет левый и правый односторонние
пределы в точке x0 и они не совпадают, то «двустороннего» предела в точке x0 нет.
Выше мы дали определение предела в конечной точке. Приведем теперь определение предела в бесконечно удаленной точке.
y  f (x)
Если число А есть предел функции f (x) в бесконечно удаленной точке, то пишут lim f ( x)  A или f ( x)  A .
x 
x 
Приведем геометрическую трактовку определения 5. Число А
будет пределом функции f (x) в бесконечно удаленной точке, если
можно осуществить следующие построения (рис. 3.22). Произвольно зададим положительное число  и найдем такое положительное
число N, что часть графика функции y  f (x) , соответствующая
81
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
значениям x   N и x   N , будет содержаться внутри горизонтальной полосы, ограниченной прямыми y  A   и y  A   .
Комментируя рис. 3.22, можно сказать, что для всех точек x
оси Ox, «достаточно далеко» расположенных от начала координат,
соответствующие значения функции f (x) как угодно мало отличаются от числа А.
2. Если функция f (x) имеет предел в точке x0 , то она локально ограничена в этой точке.
3. Пусть две функции y  f (x) и y  g (x) определены в некоторой окрестности точки x0 и для всех точек x из этой окрестности
выполнено неравенство f ( x)  g ( x) . Тогда, если существуют два
«конечных» предела (в смысле определения 1)
y
lim f ( x)  A и lim g ( x)  B , то
f (x)
x  x0
x  x0
A
A
A1
y
x
A2
x
Рис. 3.22
Если в определении 5 неравенство x  N заменить на неравенство x   N или x   N , то получим определения односторонних пределов f (x) при x   или при x   , для которых используют обозначения lim f ( x)  A2 и lim f ( x)  A1 (рис. 3.23).
x  
x  
Замечание. Для функции y  f (x) , бесконечно большой
в точке x0 , предел в смысле определения 1 не существует. При этом
вводятся понятие «функция стремится к бесконечности» и обозначения f ( x)   или lim f ( x)   .
x  x0
В заключение приведем без доказательств основные свойства
предела функции в точке x0 .
1. Если функция f (x) имеет предел в точке x0 , то он единственный.
82
lim f (x)
O
N x
N
x
f (x)
x
x  x0
x  x0
y
f (x)
A
lim f ( x)  lim g ( x) .
x  x0
lim f ( x)
Рис. 3.23
Это свойство обычно называется предельным переходом в неравенстве.
4. Пусть три функции y  f1 ( x) , y  f 2 ( x) и y  f 3 ( x) определены в некоторой окрестности точки x0 и для всех точек x из этой
окрестности выполнена цепочка неравенств f1 ( x)  f 2 ( x)  f 3 ( x) .
Тогда, если существуют два «конечных» предела (в смысле определения 1) lim f1 ( x)  lim f 3 ( x)  A , то существует третий предел
x  x0
lim f 2 ( x)  A .
x  x0
x  x0
Этот результат обычно называется свойством предела зажатой
функции.
83
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
5. Пусть X – множество точек на числовой прямой. Точка x0
называется предельной точкой множества X, если любая окрестность точки x0 содержит точку x, принадлежащую множеству X
(и, следовательно, бесконечно много точек множества X).
Если множество X содержит сколь угодно большие (по абсолютной величине) положительные (отрицательные) значения x,
принадлежащие множеству X, то говорят, что  () является
предельной точкой множества X.
Теорема. Пусть функция f (x) возрастает (не убывает) на множестве X, имеющем предельной точкой число a, большее всех значений x  X (оно может быть конечным или равным  ). Если при
этом функция ограничена сверху, т. е. существует число М такое,
что выполняется неравенство
Но функция ( x)  ( x) есть бесконечно малая в точке x0 в силу
первого свойства бесконечно малых (см. § 3). Отсюда в силу определения 2 § 5 следует, что lim ( f ( x)  g ( x))  A  B или
f ( x)  M для всех x  X ,
то при x  a функция f (x) имеет конечный предел.
Аналогично формулируется теорема для убывающей (невозрастающей) и ограниченной снизу функции.
§ 6. Основные теоремы о пределе функции
Теорема 1. Предел суммы нескольких функций, имеющих конечные пределы в точке x0 , существует и равен сумме пределов
слагаемых.
Доказательство. Ограничимся случаем двух функций, общий
случай рассматривается аналогично. Пусть
lim f ( x)  A
x  x0
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x).
x  x0
и lim g ( x)  B . Докажем, что lim ( f ( x)  g ( x))  A  B.
x  x0
x  x0
f ( x)  g ( x)  A  B  (( x)  ( x)).
В силу определения 2 § 5 функции f (x) и g (x) допускают
представление f ( x)  A   ( x) и g ( x)  B  ( x) , где (x) и (x)
есть бесконечно малые функции в точке x0 . Тогда
f ( x)  g ( x)  A  B  ( A  ( x)  B  ( x)  ( x)  ( x)).
Обозначим выражение, стоящее в скобках, через  (x) , т. е.
 ( x)  A  ( x)  B  ( x)  ( x)  ( x) . Тогда функция  (x) есть бесконечно малая в точке x0 в силу первого свойства и следствий 1 и 2
второго свойства бесконечно малых (см. § 3). Таким образом,
f ( x)  g ( x)  A  B   ( x) , где  (x) – бесконечно малая в точке x0 .
Отсюда в силу определения 2 § 5 следует, что
lim ( f ( x)  g ( x))  A  B
x  x0
или
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) .
x  x0
x  x0
x  x0
Ч. и т. д.
Следствие. Пусть существует конечный предел lim f ( x)  A .
x  x0
Тогда постоянный множитель C можно выносить за знак конечного предела: lim C f ( x)  lim C lim f ( x)  C lim f ( x)  C  A .
x  x0
84
x  x0
x  x0
и lim g ( x)  B . Докажем, что lim ( f ( x)  g ( x))  A  B.
В силу определения 2 § 5 функции f (x) и g (x) допускают
представление f ( x)  A  ( x) и g ( x)  B  ( x) , где (x) и (x)
есть бесконечно малые функции в точке x0 . Тогда
x  x0
Ч. и т. д.
Теорема 2. Предел произведения нескольких функций, имеющих конечные пределы в точке x0 , существует и равен произведению пределов сомножителей.
Доказательство. Ограничимся случаем двух функций, общий
случай рассматривается аналогично. Пусть
lim f ( x)  A
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
85
x  x0
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Теорема 3. Пусть функции f (x) и g (x) имеют конечные
пределы lim f ( x)  A и lim g ( x)  B , причем B  0 и g (x) не
найдется такая  -окрестность точки x0 , в которой будет выполнено
B
неравенство ( x)  .
2
Воспользуемся
свойством
абсолютной
величины
a  b  a  b , справедливым для любых вещественных чисел.
В результате получим, что для всех точек из  -окрестности
точки x0 выполняется следующая цепочка неравенств:
B
B
1
2
B  ( x)  B  ( x)  B 

или
 .
2
2
B  ( x) B
1
суть
Из последнего неравенства следует, что функция
B  ( x)
локально ограниченная функция в точке x0 (см. определение 3 § 3).
Следовательно, учитывая свойство 2 бесконечно малых (см. § 3),
получаем, что  (x) есть бесконечно малая функция в точке x0 .
f ( x) A
   ( x) , то согласно определению 2 § 5 преТак как
g ( x) B
дела функции справедливо равенство
x  x0
x  x0
принимает значение нуль. Тогда предел частного функций f (x)
и g (x) в точке x0 равен частному их пределов
lim f ( x)
f ( x) x  x0
A
lim

 .
x  x0 g ( x )
lim g ( x) B
x  x0
Доказательство. Так как функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы lim f ( x)  A и lim g ( x)  B , то в силу определения
x  x0
x  x0
2 § 5 функции f (x) и g (x) допускают представление f ( x)  A 
 (x) и g ( x)  B  ( x) , где (x) и (x) есть бесконечно малые
функции в точке x0 .
Рассмотрим частное функций f (x) и g (x) и преобразуем его
следующим образом:
f ( x) A  ( x) A  A  ( x) A 
 
 

g ( x) B  ( x) B  B  ( x) B 
1
1
A

B ( x)  A ( x) .
B B  ( x) B
1
1
Введем новую функцию  ( x) 
B ( x)  A ( x)  и покаB  ( x) B
жем, что  (x) есть бесконечно малая функция в точке x0 .
Действительно, по свойствам бесконечно малых функций
1
(см. § 3), величина
B ( x)  A ( x)  есть бесконечно малая
B
функция в точке x0 .
1
суть локально ограПокажем теперь, что величина
B  ( x)
ниченная функция в точке x0 (см. определение 3 § 3). Так как (x)
есть бесконечно малая функция в точке x0 , то, по определению 2 § 3,

86
lim
x  x0
lim f ( x)
f ( x) x  x0
A

 .
g ( x)
lim g ( x) B
x  x0
Ч. и т. д.
Замечание. Если предел знаменателя g (x) равен нулю, т. е.
lim g ( x)  0 , то возможны два случая.
x  x0
1. Предел числителя f (x) не равен нулю, т. е. lim f ( x)  0 .
x  x0
Рассмотрим новую дробь, обратную исходной,
полняются условия теоремы 3, и поэтому
lim
x  x0
lim g ( x)
g ( x) x  x0

 0.
f ( x) lim f ( x)
x  x0
87
g ( x)
, для нее выf ( x)
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
g ( x)
есть бесконечно малая функция
f ( x)
в точке x0 . Учитывая связь бесконечно малой функции с бесконечf ( x)
есть бесно большой (см. теорему § 4), получаем, что дробь
g ( x)
f ( x)
конечно большая функция в точке x0 , и lim
 .
x  x0 g ( x)
2. Пределы числителя f (x) и знаменателя g (x) одновременно
равны нулю, т. е. lim f ( x)  lim g ( x)  0 . В этом случае, не имея
Следовательно, дробь
x  x0
ln 5
ln x
x
x
O
Рис. 3.24
x  x0
дополнительной информации о функциях f (x) и g (x) , нельзя сделать
f ( x)
.
никакого заключения о существовании и величине предела lim
x x0 g ( x )
Задача нахождения этого предела или доказательства, что он не
0
существует, называется задачей раскрытия неопределенности вида   .
0
Рассматриваются также задачи о раскрытии неопределенно 
стей вида   ,    , 0   ,  0 , 1 и 00 . Некоторые из них
 
будут подробно изучены в § 8.
    
§ 7. Непрерывность функции
1. Непрерывность функции в точке
Определение 1. Пусть функция y  f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и в самой точке x0 . Функция y  f (x)
называется непрерывной в точке x0 , если
lim f ( x)  f ( x0 ) .
(1)
x  x0
Пример 1. Можно доказать, что lim ln x  ln 5 (рис. 3.24).
x 5
Из (1) следует, что если функция непрерывна в точке x0 , то
возможен предельный переход под знаком функции, т. е.
lim f ( x)  f ( x0 )  f ( lim x) .
x  x0
x  x0
88
5
Определение 2. Пусть функция y  f (x) определена на некотором промежутке (a, b) . Возьмем произвольные точки x и x0 из
этого промежутка. Тогда число
x  x  x0
(2)
называется приращением аргумента при переходе от x0 к x, а число
y  f ( x)  f ( x0 )
(3)
называется приращением функции в точке x0 , соответствующим
приращению аргумента x .
Замечания
1. Вместо y используют также обозначение f ( x0 ) .
2. Из (2) следует, что x  x0  x . Поэтому (3) можно переписать так:
(4)
y  f ( x0  x)  f ( x0 ) .
3. Рассмотрим геометрический смысл приращения функции
y, ограничившись для простоты возрастающей функцией
y  f (x) и x  0 (рис. 3.25).
Используя понятие приращения функции, можно видоизменить определение 1. Именно равенство (1) равносильно равенству
lim ( f ( x)  f ( x0 ))  0 .
x  x0
89
(5)
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y
f ( x0
y
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
lim f ( x)  f ( x0 ) .
f (x)
x)
Аналогично определяется непрерывность справа.
Определение 5. Пусть функция y  f (x) определена в некоторой правой полуокрестности точки x0 и в самой точке x0 . Функция
y  f (x) называется непрерывной справа в точке x0 , если
y
f ( x0 )
O
x
x0
x0
x
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x  x0 и
x
y  f ( x0   x)  f ( x0 ) . Тогда (5)
lim y  0 .
(6)
x  0
Замечание. Пусть функция y  f (x) определена в некоторой
окрестности точки x0 и в самой точке x0 . Можно доказать, что непрерывность функции в точке x0 равносильна ее непрерывности
в этой точке слева и справа, т. е.
lim
x  x0  0
Таким образом, мы приходим к следующему определению,
равносильному определению 1.
Определение 3. Функция y  f (x) называется непрерывной
в точке x0 , если в этой точке lim y  0 , т. е. если бесконечно маx  0
лому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Пример 2. Докажем, что функция y  x 2 непрерывна в любой
точке x.
Решение. Фиксируем x, берем произвольное x и находим y :
y  ( x  x) 2  x 2  2 xx  (x) 2 .
Далее, пользуясь теоремами о пределах, получаем lim y  0 .
x  0
2
Это и означает, что функция y  x непрерывна в точке x.
2. Односторонняя непрерывность
Определение 4. Пусть функция y  f (x) определена в некоторой левой полуокрестности точки x0 и в самой точке x0 . Функция
y  f (x) называется непрерывной слева в точке x0 , если
90
(8)
x  x0  0
Рис. 3.25
Положим
принимает вид
(7)
x  x0  0
f ( x)  f ( x0 )  lim
x  x0  0
f ( x) .
3. Непрерывность функции на промежутке
Определение 6. Функция y  f (x) называется непрерывной на
открытом промежутке (a, b) , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Функция y  f (x) называется непрерывной на замкнутом
промежутке [a, b] , если она непрерывна в каждой точке открытого
промежутка (a, b) и непрерывна в точке a справа и в точке b слева.
4. Точки разрыва функции
Определение 7. Пусть функция y  f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и, может быть, в самой точке x0 . Точка
x0 называется точкой разрыва функции f (x) , если функция f (x)
не является непрерывной в точке x0 .
Определение 8. Пусть x0 есть точка разрыва функции f (x) .
1. Точка разрыва x0 называется точкой разрыва первого рода,
если существуют конечные пределы lim f ( x) и lim f ( x) .
x  x0  0
91
x  x0  0
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
2. В противном случае, т. е. если хотя бы один из двух пределов lim f ( x) , lim f ( x) не существует или он бесконечен, точx  x0  0
x  x0  0
ка x0 называется точкой разрыва второго рода.
Геометрическая иллюстрация точек разрыва первого рода приведена на рис. 3.26.
Разность A2  A1 называется скачком функции y  f (x) в точке x0 , где A1  lim f ( x) и A2  lim f ( x) .
x  x0  0
x  x0  0
Если скачок функции y  f (x) равен нулю, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва. Продемонстрируем это на
примере.
y
y
A2
f (x)
A1
O
x
x0
Рис. 3.26
условие непрерывности
lim
x  x0  0
f ( x) 
полнено.
92
y
8
f (x)
6
3
 x2  9
, если x  3 ,

x

x
3
3
O

f ( x)  
Рис. 3.27
6 ,
если x  3 ,


то «новая» функция будет уже непрерывной.
1
Пример 4. Для функции f ( x)  arctg точка x0  0 есть точка
x
разрыва первого рода (рис. 3.28), так как

1
lim f ( x)  lim arctg   ,
x 0  0
x 0  0
x
2

1
lim f ( x)  lim arctg   .
x 0  0
x 0  0
x
2
11
arctg
y y arctg
xx
2
 x2  9
, если x  3 ,

 x3
f ( x)  
8,
если x  3


и построим график этой функции (рис. 3.27).
Здесь lim f ( x)  lim f ( x)  6 , но f (3)  8 , следовательно,
x 3 0
y
В этом случае говорят, что
точка x0  3 является точкой
устранимого разрыва. Если мы
«переопределим»
функцию
y  f (x) в точке x0  3 следующим образом
y
Пример 3. Рассмотрим функцию
x 3 0
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
lim
x  x0  0
f ( x)  f ( x0 ) не вы-
O
x
2
Рис. 3.28
1
x
e 1
Пример 5. Для функции f ( x) 
разрыва второго рода (рис. 3.29), так как
93
точка x0  1 есть точка
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
lim f ( x)  lim
x 1 0
x 1 0
1
x
e 1
 0,
lim f ( x)  lim
x 1 0
x 1 0
1
x
e 1
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
  .
y
y
1
x
e 1
ее область значений, то обратная к ней функция x  g ( y ) непрерывна на промежутке (c, d ) .
Справедливость этой теоремы геометрически очевидна
(рис. 3.30), так как кривые с уравнениями y  f (x) и x  g ( y ) суть
одна и та же кривая.
f (b) d
y
y
f (x)
x
g(y)
1
O
1
x
Рис. 3.29
5. Простейшие теоремы о непрерывных функциях
Сформулируем без доказательства следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке
x0 . Тогда в точке x0 непрерывны и функции f ( x)  g ( x) ,
f ( x)  g ( x) , f ( x) g ( x) . Если дополнительно выполняется неравенf ( x)
ство g ( x0 )  0 , то функция
тоже непрерывна в точке x0 .
g ( x)
Теорема 2. Если функция u  g (x) непрерывна в точке x0 ,
а функция y  f (u ) непрерывна в точке u0  g ( x0 ) , то сложная
функция f ( g ( x)) непрерывна в точке x0 .
Теорема 3. Каждая элементарная функция (см. определение 2
§ 2) непрерывна на всяком промежутке, содержащемся в ее области
определения.
arcsin x
имеет область опПример 6. Элементарная функция y 
x
ределения (0,1]. Следовательно, она непрерывна на промежутке (0,1].
Теорема 4. О непрерывности обратной функции.
Если функция y  f (x) строго монотонна и непрерывна на
промежутке (a, b) и промежуток (c, d ) , где c  f (a ) , d  f (b) , есть
94
f (a) c
O
b
a
x
Рис. 3.30
В заключение приведем два важных свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.
6. Теоремы Вейерштрасса и Больцано – Коши
Определение 9. Пусть функция y  f (x) определена на некотором множестве X и пусть x1  X . Если для любого x  X выполняется неравенство f ( x)  f ( x1 ) , то число f ( x1 ) называется
наименьшим значением функции y  f (x) на множестве X .
Определение 10. Пусть функция y  f (x) определена на некотором множестве X и пусть x2  X . Если для любого x  X выполняется неравенство f ( x)  f ( x2 ) , то число f ( x2 ) называется
наибольшим значением функции y  f (x) на множестве X .
Определение 11. Пусть функция y  f (x) определена на некотором множестве X . Функция y  f (x) называется ограниченной
на множестве X , если найдется такое положительное число M, что
для всех x  X справедливо неравенство f ( x)  M .
95
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
y
Пример 7. Функция f ( x)  sin x ограничена на промежутке

(0, ] (можно взять M  1), ее наибольшее значение равно единице,
2
наименьшего значения не существует.
Теорема 5. Теорема Вейерштрасса.
Если функция непрерывна на замкнутом промежутке, то она
ограничена на этом промежутке и среди ее значений существуют
наименьшее и наибольшее (рис. 3.31).
f (a)
f (x)
f ( x1 )
O
A
O
f ( x2 )
[
a
x1
x2
]
x
b
Рис. 3.31
Доказательство этой теоремы мы опускаем. Заметим, что как
требование замкнутости промежутка, так и требование непрерывности функции на нем существенны для справедливости теоремы.
Теорема 6. Теорема Больцано – Коши.
Пусть функция y  f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и на концах этого промежутка принимает неравные значения
f (a )  A и f (b)  B.
Тогда, каково бы ни было число  , лежащее между A и B, существует такая точка  между a и b, что
f ( )   .
Доказательство мы опускаем, но заметим, что теорема имеет
прозрачный геометрический смысл (рис. 3.32). Любая горизонтальная прямая y   , пересекающая ось Oy между точками A и B, пересечет график функции y  f (x) хотя бы один раз.
96
f (x)
f (b) B
y
y
y
a
b
Рис. 3.32
Следствие 1. Пусть функция y  f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] , M и m суть ее наибольшее
и наименьшее значения на этом промежутке. Тогда для любого
числа  такого, что m    M , существует число   [a, b] такое,
что f ()   (рис. 3.33).
y
y
f (x)
M
m
O
x
a
b
Рис. 3.33
Следствие 2. Если функция y  f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и числа f (a ) и f (b) отличны от нуля и имеют разные знаки, то существует точка   (a, b) такая, что
f ()  0 (рис. 3.34).
97
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y
y
f (x)
f( ) 0
a
Решение. Так как lim ( x 2  5 x  6)  0 и
x2
lim ( x 2  4)  0 , то
x2
0
перед нами задача о раскрытии неопределенности вида   . Для ее
0
раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители.
получаем
Используя
формулу
a 2  b 2  ( a  b) ( a  b) ,
f (b)
O
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
b
x
x 2  2 2  ( x  2) ( x  2) .
Так как квадратный трехчлен x 2  5 x  6 имеет корни x1  2
и x2  3 , то он раскладывается на множители
f (a)
x 2  5 x  6  ( x  2)( x  3) .
Рис. 3.34
Следовательно,
Геометрически это означает, что кривая-график непрерывной функции y  f (x) , соединяющая точки (a, f (a )) и (b, f (b)) ,
лежащие по разные стороны относительно оси Ox , обязательно пересечет ось Ox хотя бы в одной точке.
0  
§ 8. Раскрытие неопределенностей вида   ,   и   
0  
0
1. Раскрытие неопределенностей вида  
0
0
Для раскрытия неопределенности вида   , заданной отноше0
нием многочленов, нужно в числителе и знаменателе выделить
множитель, стремящийся к нулю, и сократить на него дробь под
знаком предела.
Пример 1. Вычислить
lim
x2
( x  2)( x  3)
1
x2  5x  6
x3 23
 lim
 lim

 .
2
x  2 ( x  2)( x  2)
x2 x  2
22
4
x 4
0
Для раскрытия неопределенности вида   , содержащей ир0
рациональные выражения, необходимо с помощью алгебраических
преобразований избавиться от иррациональности там, где она создает неопределенность, выделить множитель, стремящийся к нулю,
и сократить на него дробь под знаком предела.
Пример 2. Вычислить
lim
1  x  1  x2
x2  x
x0
Решение. Поскольку lim ( 1  x  1  x2 )  0 и lim( x 2  x)  0 ,
x 0
2
lim
x2
x  5x  6
.
x2  4
98
.
x 0
0
то перед нами задача о раскрытии неопределенности вида   , со0
держащая иррациональные функции.
Для ее раскрытия воспользуемся формулой a 2  b 2 
 (a  b) (a  b) , в которой сомножители (a  b) и (a  b) будем называть сопряженными друг другу.
99
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком преде2
1  x  1  x , в ре-
ла, на сопряженное числителю выражение
зультате получим:
lim
( 1  x  1  x 2 )( 1  x  1  x 2 )
x 0
 lim
x 0
 lim
x 0
( x 2  x)( 1  x  1  x 2 )
x  x2
2
2
( x  x)( 1  x  1  x )
1 x
(1  x)( 1  x  1  x 2 )

 lim
x 0 ( x 2
 lim
x 0
(1  x)  (1  x 2 )
 x)( 1  x  1  x 2 )
x(1  x)
x(1  x)( 1  x  1  x 2 )


1
.
2
 
2. Раскрытие неопределенностей вида  
 
 
Для раскрытия неопределенности вида   , заданной отно 
шением многочленов или иррациональными выражениями, необходимо выделить наивысшую степень переменной под знаком предела, и затем числитель и знаменатель дроби разделить на переменную в наивысшей степени.
Пример 3. Вычислить
(2 x  1)(3 x  2) 2
lim
.
x 
( x  6) 3
Таким образом, перед нами задача о раскрытии неопределен 
ности вида   и выражение, стоящее под знаком предела, ведет
 
себя следующем образом:
(2 x  1)(3 x  2) 2 18 x 3
~ 3  18 при x   .
( x  6)3
x
Для строгого доказательства того, что предел равен 18, разделим числитель и знаменатель дроби на x 3 (величину, определяющую «скорость стремления числителя и знаменателя на бесконечность»).
Принимая во внимание, что
2
(2 x  1)(3 x  2) 2 (2 x  1) (3 x  2) 2  2 x  1  3 x  2 




 
x
x3
x2
 x  x 
2
1
2

 2   3   ;
x
x

3
( x  6)3  x  6 


  1 
3
x
x



3
6
 ,
x
получаем
2
( x  6)3 ~ x 3 при x   .
1 
2

 2   3  
2
(2 x  1)(3 x  2)
29
x 
x
 lim 
lim

 18 .
3
3
x 
x 
1
( x  6)
6

1  
x

Последний предел уже не содержит неопределенности. Для его вычисления применили теорему о пределе частного двух функций
1
и учли, что lim  0 .
x  x
Пример 4. Вычислить
x  23 x
lim 5
.
x  
x2  1  4x
Решение. Исследуем, как ведут себя числитель и знаменатель
дроби, стоящей под знаком предела, при x   .
100
101
Решение. Исследуем, как ведут себя числитель и знаменатель
дроби, стоящей под знаком предела, при x   .
Мы видим, что числитель стремится к  как 2 x  (3 x) 2  18 x 3
(x в третьей степени), остальными слагаемыми в числителе можно
пренебречь, так как они «растут» значительно медленнее, то есть
(2 x  1)(3 x  2) 2 ~ 18 x 3 при x   .
Аналогично можно установить, что и знаменатель стремится
к бесконечности как x в третьей степени при x   , т. е.
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x  23 x можно пренебречь слагаемым 23 x , так
В числителе
1
x3
1
x2 ,
1
x2
как
растет медленнее, чем
то есть x  23 x ~ x 
при
x   .
В знаменателе слагаемое 4x стремится к плюс бесконечности
Последний предел уже не содержит неопределенности. Для его вычисления применили теорему о пределе частного двух функций
1
и учли, что lim a  0 при a  0 .
x   x
3. Раскрытие неопределенности вида    
Пример 5. Вычислить
2
при x   как x в первой степени, а слагаемое 5 x 2  1 – как x 5 ,
т. е. переменная x в меньшей степени, поэтому этим слагаемым
можно пренебречь. Следовательно, знаменатель стремится к плюс
бесконечности как x в первой степени, т. е. 5 x 2  1  4 x ~ 4 x при
x   .
Таким образом, перед нами задача о раскрытии неопределен 
ности вида   и выражение, стоящее под знаком предела, ведет
 
себя следующем образом:
x  23 x
5
x
1
~

 0 при x   .
2
x  1  4x 4x 4 x
Для строгого доказательства того, что предел равен 0, разделим числитель и знаменатель дроби на x (величину, определяющую «скорость стремления знаменателя к бесконечности»).
Принимая во внимание, что
lim ( x 2  4  x) .
x  
Решение.
и x   .
x2  1  4x

x
5
x2  1 4x 5 x2  1
1
1


 4  5 3  5  4,
5
x
x
x
x
x
1
получаем lim
x   5
x  23 x
2
x  1  4x
1
x2
 lim
x  
5
102

2
2
x3
1
1
 5 4
3
x
x

0
 0.
4
отдельно
случаи,
x  
когда
1. Найдем lim ( x 2  4  x) .
x  
Так как lim
x  
x 2  4   и lim x   , то в данном случае
x  
неопределенности нет, и lim ( x 2  4  x)   .
x  
2
2. Найдем lim ( x  4  x) .
x  
Так как lim
x  
x 2  4   , а
lim x   , то перед нами за-
x  
дача о раскрытии неопределенности вида   . Для ее раскрытия
умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на
сопряженное ему выражение
3
x  23 x
x
x
1
2

2
 1  2,
x
x
x
x2 x3
5
Рассмотрим
lim ( x 2  4  x)  lim
x  
 lim
x 2  4  x . В результате получим
( x 2  4  x)( x 2  4  x)
( x 2  4  x)
x  
( x 2  4)  x 2
 lim
4
 4 lim

1
.
x   x  4  x
x  4  x x   x  4  x
Последний предел уже не содержит неопределенности. Для
его вычисления применим теорему о связи бесконечно малой
и бесконечно большой функций (см. теорему 1 § 4). Заметим, что
в знаменателе стоит бесконечно большая функция, так как
x  
2
2
2
lim ( x 2  4  x)   , и поэтому величина, обратная бесконеч-
x  
103
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
но
lim
x  
большой,
1
2
x 4x
будет
бесконечно
малой.
Таким
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
образом,
x2
2
 0 и, следовательно, lim ( x  4  x)  0 .
y
y2 1
1
x  
AA(cos
(cos t,t,sin
sint )t)
1
§ 9. Замечательные пределы
Рассмотрим пределы, имеющие большое значение для реше0
ния задачи о раскрытии неопределенности вида   .
0
Теорема 1. Пусть t – угол, выраженный в радианах, и t  0 ,
не принимая значение нуль. Тогда
sin t
lim
 1.
t 0 t
(1)
Доказательство. Воспользуемся геометрическим определением тригонометрических функций x  cos t и y  sin t . Возьмем окружность единичного радиуса с центром в начале координат и проведем луч, составляющий угол t с положительным направлением
оси Ox (рис. 3.35). Он высекает на окружности точку A, координаты которой по определению есть x  cos t и y  sin t .
sin t
Так как функция f (t ) 
четная, т. е.
t
sin (t ) sin t
f (t ) 

 f (t ) ,
(t )
t
то можно считать, что t  0 . Так как t  0 , то, начиная с некоторо

го момента, будет t  . Будем считать, что 0  t  .
2
2
Из рис. 3.35 видно, что длины отрезка AD, дуги окружности
 AD с центральным углом 2t и ломаной ACD связаны следующим неравенством
AD   AD  AC  CD .
t
1
1
O
x
D
(cos t,t, –sin
sint )t)
D(cos
1
Рис. 3.35
Так как AB  sin t , то AD  2 sin t . В свою очередь длина дуги
2  1
 AD равна  AD 
2t  2t . Наконец, так как AC 
2
длина ломаной ACD равна ACD  AC 
 CD  tg t , то
 CD  2 tg t .
В результате получаем цепочку неравенств
2 sin t  2t  2 tg t .
Поделив это двойное неравенство на положительную величину 2 sin t , получим
t
1
sin t
или cos t 
 1.
1

t
sin t cos t
Геометрически ясно, что lim cos t  cos 0  1 . Учитывая свойство 4
x 0
§ 5 о пределе сжатой переменной, находим
lim
t 0
104
C
B
sin t
 1.
t
105
Ч. и т. д.
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Теорема 2. Справедлива формула
Теорема 3. Справедлива формула
ln (1  t )
 1.
t 0
t
lim
(2)
Доказательство. Возьмем на графике функции y  ln x две
точки M (1, 0) и N (1  t , ln (1  t )) и проведем через эти точки прямую, которую назовем секущей (рис. 3.36).
y
y
O
 e.
y  (1 
Доказательство. Обозначим
ное логарифмическое тождество e
1
(1  t ) t
ln y
ln (1 t ) t
1
t)t
и применим основ-
 y , тогда
1
e
(3)
1
 et
ln (1 t )
.
x 1
N
lnln(
(11+ t)
t)
M
1
1
lim(1  t ) t
t 0

В силу непрерывности показательной функции и справедливости формулы (2) получим
y ln x
K
1 t
1
x
1
lim (1  t ) t  lim e t
t 0
ln (1 t )
t 0
1
lim ln (1 t )
 e t 0 t
 e.
Ч. и т. д.
Следствие. Имеет место формула
t
Рис. 3.36
 1
lim 1    e .
t  
t
С помощью прямоугольного треугольника  MNK найдем угловой коэффициент секущей
1
Доказательство. Введем новую переменную y  . Так как
t
t   , то y  0 . Используя равенство (3), получим
kсек  tg  
NK ln (1  t )

.
MK
t
1
t
 1
lim 1    lim (1  y ) y  e .
t  
y 0
t
При t  0 точка N  M , секущая MN стремится к касатель
ной к кривой y  ln x в точке M , а угол   , к углу наклона
4
упомянутой касательной к оси абсцисс (см. пункт 3 § 2, геометрическое определение числа e).
Таким образом,
Ч. и т. д.
Теорема 4. Справедлива формула
at 1
 ln a .
t 0
t
lim
В частности, при a  e имеем
et  1
 ln e  1.
t 0
t
lim

ln (1  t )
lim
 lim tg   tg  1.

t 0
t
4

4
Ч. и т. д.
106
(4)
107
(5)
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Доказательство. Положим y  a t  1. Ясно, что y  0 при
t  0 (в силу непрерывности функции y  a t  1 в точке t  0 ,
a 0  1). Далее выразим t через y, в результате получим
ln(1  y )
.
a t  1  y , t ln a  ln(1  y ) и t 
ln a
Применяя теорему 3 § 6 о пределе частного и формулу (2),
найдем искомый предел
1
at  1
y
 lim
 ln a lim
 ln a .
lim
t 0
y 0  ln (1  y ) 
y 0  ln (1  y ) 
t




 ln a 
y


Ч. и т. д.
Теорема 5. Справедлива формула
Применяя теоремы 2 и 3 § 6 о пределе произведения и о пределе частного, формулу (2), найдем искомый предел
(1  t )   1
 .
t 0
t
(6)
lim
Доказательство. Введем новую переменную y  (1  t )  1.
Ясно, что y  0 при t  0 (в силу непрерывности функции
y  (1  t )  1 в точке t  0 ).
Далее выполним следующие преобразования:
(1  t )  1  y ,  ln (1  t )  ln (1  y ) и
 ln (1  t )
 1.
ln (1  y )
Учитывая последнее равенство, преобразуем выражение, стоящее под знаком предела в формуле (6), следующим образом:
(1  t )  1
y
y  ln (1  t )
 lim  lim

t 0
t 0 t
t 0 t ln (1  y )
t
lim
y 0
y 0
ln (1  t )
(1  t )  1
1
lim
 .
  lim
t 0
y 0  ln (1  y )  t 0
t
t


y


lim
Ч. и т. д.
§ 10. Эквивалентные бесконечно малые функции
Напомним, что функция (x) называется бесконечно малой
функцией в точке x  x0 , если lim ( x)  0 (см. определения 2 § 3
x  x0
и 1 § 5) .
Рассмотрим две бесконечно малые функции (x) и (x)
в точке x  x0 .
Определение. Две бесконечно малые функции (x) и (x)
( x)
в точке x  x0 называются эквивалентными, если lim
 1,
x  x 0 ( x )
и пишут ( x) ~ ( x) .
x  x0
Из теорем о замечательных пределах (см. формулы (1)–(6) § 9)
следуют основные соотношения эквивалентности:
sin  ~  ,
(1)
ln (1  ) ~  ,
(2)
a   1 ~  ln a ,
(3)
e  1 ~  ,
(4)
(1  )  1 ~  .
(5)
 0
 0
 0
0
1
ln (1  t )
.
  lim
t 0  ln (1  y ) 
t
y 0 

y


 0
108
109
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Здесь  может быть как независимой переменной, стремящейся к нулю, так и бесконечно малой функцией в точке x  x0 .
При вычислении предела отношения бесконечно малых функций будем использовать следующую теорему.
Теорема. Пусть (x) , 1 ( x) , (x) , 1 ( x) суть бесконечно малые функции в точке x  x0 , причем ( x) ~ 1 ( x)
x  x0
и ( x) ~ 1 ( x) . Тогда, если существует один из пределов
x  x0
 ( x)
( x)
, lim 1 , то существует и второй, и они равны
lim
x  x0 ( x ) x  x0 1 ( x )
 ( x)
( x)
lim
.
 lim 1
x  x0 ( x )
x  x 0 1 ( x )
Доказательство. Пусть, например, существует конечный предел
lim
x  x0
1 ( x)
.
1 ( x)
Поскольку ( x) ~ 1 ( x) и ( x) ~ 1 ( x) , то по определению
x  x0
( x)
lim
1
x  x0 1 ( x )
Так как
x  x0
и
lim
x  x0
( x)
 1.
1 ( x)
( x) ( x) 1 ( x) 1 ( x)
,



( x) 1 ( x) 1 ( x) ( x)
то по теореме 2 § 5 следует, что существует конечный предел
( x)
 ( x)
( x)
 ( x)
lim
 lim
 lim 1
 lim 1

x  x0 ( x )
x  x0 1 ( x ) x  x0 1 ( x ) x  x 0 ( x )
 ( x)
 ( x)
 1  lim 1  1  lim 1 .
x  x 0 1 ( x )
x  x0 1 ( x )
Ч. и т. д.
2
ln (1  x )
Пример 1. Вычислить lim
.
x 0 1  cos x
110
Решение. Так как lim ln (1  x 2 )  0 и lim (1  cos x)  0 , то пеx 0
x 0
0
ред нами задача о раскрытии неопределенности вида   . Для рас0
крытия этой неопределенности заменим бесконечно малые функции ln (1  x 2 ) и 1  cos x в точке x0  0 на эквивалентные. Для этого воспользуемся соотношениями эквивалентности
sin  ~ 
и
ln (1  ) ~  .
 0
 0
В результате получим:
 ln (1  x 2 ) ~ x 2 , где роль бесконечно малой функции  игx0
рает   x 2 при x  0 ;
2
x
x2
 x
~ 2     , где роль бесконечно
2 x 0  2 
2
x
малой функции  играет   при x  0 .
2
Эти соотношения эквивалентности позволяют нам раскрыть
неопределенность и вычислить предел
 1  cos x  2 sin 2
ln (1  x 2 )
x2
 lim 2  2 .
x 0 1  cos x
x 0  x 
 
 2
 
Пример 2. Вычислить
2x  2
lim 5
.
x 1 x 2  1
lim
Решение. Так как lim(2 x  2)  0 и lim(5 x 2  1)  0 , то перед
x 1
x 1
0
нами задача о раскрытии неопределенности вида   . Для раскры0
тия этой неопределенности заменим бесконечно малые функции
2x  2 и
5
x 2  1 в точке x0  1 на эквивалентные.
 Преобразуем функцию 2 x  2 так, чтобы можно было воспользоваться соотношением эквивалентности
111
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
a   1 ~  ln a .
Рекомендуемая литература
 0
В результате получим
2 x  2  2(2 x 1  1) ~ 2( x  1) ln 2 ,
x 1
где роль бесконечно малой функции  играет   x  1 при x  1 .
 Преобразуем теперь функцию 5 x 2  1 так, чтобы можно
было воспользоваться соотношением эквивалентности
(1  )  1 ~  .
 0
В результате получим
5
2

2
x  1  1  ( x  1)

1
51
1 2
( x  1) ,
x 1 5
~
где роль бесконечно малой функции  играет   x 2  1, при
1
x  1, и   .
5
Эти соотношения эквивалентности позволяют нам раскрыть
неопределенность и вычислить предел
2x  2
2( x  1) ln 2
x 1
lim 5
 lim
 10 ln 2 lim

x 1 x 2  1
x 1 1
x

1
(
x
1
)(
x
1
)


2
( x  1)
5
1
1
 10 ln 2 lim
 10 ln 2   5 ln 2 .
x 1 x  1
2
112
1. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон. –
СПб. : Лань, 2005.
2. Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. – М. :
Физматгиз, 1960.
3. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. – М. : Физматгиз, 1963.
4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление /
Н. С. Пискунов. – СПб. : Мифрил, Физматгиз, 1996.
5. Нумеров С. Н. Функция одного аргумента, ее предел и непрерывность: метод. указания к выполнению задания для студентов всех специальностей ЛИСИ / С. Н. Нумеров. – Л. : ЛИСИ, 1985.
6. Долгинцева Г. Я. Векторная алгебра. Теория пределов: текст лекций
для студентов всех специальностей ЛИСИ / Г. Я. Долгинцева, Н. М. Ивочкина; ЛИСИ. – Л., 1989.
7. Карамян А. А. Аналитическая геометрия на плоскости: учеб. пособие для студентов всех специальностей и всех форм обучения / А. А. Карамян, С. И. Прокофьева; СПбГАСУ. – СПб., 2012.
8. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии /
Д. В. Клетеник. – М. : Наука, 1969.
9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1985.
10. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии / О. Н. Цубербиллер. – М. : Физматгиз, 1963.
11. Берс Л. Математический анализ / Липман Берс. – М. : Высшая школа, 1975.
12. Бермант А. Д. Краткий курс математического анализа / А. Д. Бермант, И. Г. Араманович. – М. : Наука, 1971.
113
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Оглавление
Введение…………..……………………………..………………………...
Рабочая программа курса высшей математики…………..……………..
Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости…………………...
§ 1. Декартова система координат…………………………………
§ 2. Простейшие задачи на координаты точек……………………
§ 3. Прямая линия…………………………………………………..
§ 4. Кривые второго порядка………………………………………
§ 5. Преобразование декартовых координат. Параллельный
перенос осей………………………………………………………...
§ 6. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
и параболы со смещенной вершиной при параллельном
переносе осей….
Глава 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
в пространстве……………………………………………………………
§ 1. Векторы…………………………………………………………
§ 2. Линейные операции над векторами…………………………..
§ 3. Векторы в декартовой системе координат…………………...
§ 4. Скалярное произведение векторов……………………………
§ 5. Векторное произведение векторов……………………………
§ 6. Радиус-вектор………………………………………………….
§ 7. Уравнение плоскости………………………………………….
§ 8. Прямая линия в пространстве…………………………………
§ 9. Взаимное расположение прямых и плоскостей……………...
Глава 3. Теория пределов……………………………………………….
§ 1. Функция одного аргумента……………………………………
§ 2. Элементарные функции……………………………………….
§ 3. Бесконечно малая функция и ее свойства……………………
§ 4. Бесконечно большая функция и ее связь с бесконечно
малой………..
§ 5. Предел функции………………………………………………..
§ 6. Основные теоремы о пределе функции……………………...
§ 7. Непрерывность функции………………………………………
0  
§ 8. Раскрытие неопределенностей вида
 0  ,   
и    ……………………………………………………………..
§ 9. Замечательные пределы………………………………………
§ 10. Эквивалентные бесконечно малые функции……………….
Рекомендуемая литература……………………………………………….
114
3
4
9
9
10
11
19
32
33
38
38
39
41
43
44
48
49
54
57
61
61
67
72
76
77
84
88
Учебное издание
Красоленко Георгий Владимирович,
Сванидзе Николай Владимирович,
Якунина Галина Владимировна
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Учебное пособие
Редактор В. А. Преснова
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
98
104
109
113
Подписано к печати 20.08.14. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 6,7. Тираж 100 экз. Заказ 63. «С» 37.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
115
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
116
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
830 Кб
Теги
svanidze, analiz, geom, krasolenko, vekt
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа