close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Gorohov Teor sist anal

код для вставкиСкачать
В. Л. ГОРОХОВ, В. В. ЦАПЛИН
ТЕОРИЯ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В БЖД
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
В. Л. ГОРОХОВ, В. В. ЦАПЛИН
ТЕОРИЯ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В БЖД
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2016
0
1
УДК 002.53:004.89
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор А. Н. Жуковский (Петербургский государственный университет);
д-р техн. наук, профессор Т. А. Дацюк (СПбГАСУ)
Горохов, В. Л.
Теория системного анализа и принятия решений в БЖД:
учеб. пособие / В. Л. Горохов, В. В. Цаплин; СПбГАСУ. – СПб.,
2014. – 108 с.
ISBN 978-5-9227-0631-5
Содержит краткое изложение основ системного анализа применительно к проблемам безопасности жизнедеятельности, безопасности в техносфере, управления и мониторинга техногенными рисками.
Предназначено для всех студентов, изучающих курс БЖД, студентов,
обучающихся по направлению 280700 «Техносферная безопасность» по профилю «Безопасность жизнедеятельности в техносфере» при изучении дисциплин «Теория системного анализа и принятия решений в БЖД», «Управление
рисками, системный анализ и моделирование», «Планирование и обработка
экспериментов», «Инфокоммуникационные системы техносферной безопасности», «Когнитивные технологии управления рисками в техносфере»,
а также для учащихся, изучающих раздел «Техносферные аспекты БЖД»
курса БЖД.
Ил. 2. Библиогр.: 12 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0631-5
 В. Л. Горохов, В. В. Цаплин, 2016
 Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2016
2
Предисловие
Настоящее пособие содержит материалы, излагаемые в дисциплинах «Теория системного анализа и принятия решений»
и «Теоретические основы анализа техносферной безопасности».
Эти материалы, относящиеся к математическому и естественнонаучному циклу учебного плана направления подготовки бакалавров
280700 «Техносферная безопасность», позволят сформировать базовые системные знания для изучения и анализа техно- и биосферы.
Дисциплины призваны дополнить и развить знания, изложенные
в предыдущих курсах физики, математики и экологии, давая возможность аналитического описания техносферы средствами математической статистики, теории систем, теории управления и статистической термодинамики. Несмотря на наличие фундаментальных
монографий, отражающих содержание этих курсов, в настоящее
время отсутствует лаконичное и доступное введение в данную тематику, объединяющее описание основ теории систем и статистическую термодинамику сложных открытых систем.
Таким образом, существует потребность в написании кратких
тезисных разделов по системотехнике и статистической термодинамике для студентов, обучающихся по направлениям «Безопасность жизнедеятельности» и «Техносферная безопасность».
В пособии, кроме того, рассматриваются системные особенности, присущие техносфере, и взаимосвязь с географическими моделями Земли, необходимые для формирования и понимания геоинформационных моделей техносферной безопасности.
Перечисленные знания необходимы для освоения последующих дисциплин профессионального цикла и факультативов, таких
как «Безопасность жизнедеятельности», «Надежность технических
систем и техногенный риск», «Управление техносферной безопасностью», «Охрана окружающей среды и природопользование»,
«Инфокоммуникационные системы техносферной безопасности».
Изложенные в пособии материалы также используются в курсах
«Моделирование процессов и объектов для решения задач техносферной безопасности» и «Управление безопасностью природнотехнических систем».
3
Изложение материала разбито на относительно самостоятельные части (соответствующие модулям рабочих программ). Основная часть посвящена системному подходу к анализу техносферы
и описанию био- и техносферы на основе статистической термодинамики как фундаментальной естественнонаучной картины предметной области.
В пособии формируются теоретические основы системного
подхода к анализу техносферы и техносферной безопасности. Излагаются основные практические принципы системотехники. Показывается ведущая роль методов математического моделирования,
вероятностных методов принятия решений и управления техносферной безопасностью.
Для удобства читателей материал пособия разбит на ряд блоков. Самые важные из них – это блоки Основная тема, в которых
излагается основной материал, необходимый для освоения дисциплины. Блоки Прелюдия содержат вводные замечания, связанные
с общефизическими, математическими и экологическими аспектами изучаемых тем. Блоки Примеры представляют собой наглядные
и простые примеры, иллюстрирующие основной материал. Блоки
Интерлюдия содержат методические указания по расшифровке
и интерпретации терминов. Блок Крещендо – это дополнительные
сведения и интересные обобщения, предназначенные для любознательных.
При первоначальной работе с пособием, проводимой в сжатые
сроки, можно ограничиться чтением только блоков Основная тема
и Примеры, обращаясь за разъяснениями в блоки Прелюдия и Интерлюдия.
4
Введение
Основные законы ноксологии, безопасности жизнедеятельности, экологии, как и законы взаимодействия экологических систем
в биосфере либо законы взаимодействия техносферы с окружающей средой, являются непосредственным проявлением законов
системотехники и статистической термодинамики. Как показало
развитие синергетики, отдельные системные составляющие техносферы (антропосферы), условно обозначаемые как геотехнические системы (или как антропотехнические системы), а также
процессы мониторинга и дистанционного зондирования экологических систем также подчиняются законам теории систем
и статистической термодинамики. Кроме того, при управлении
техносферными рисками и мониторинге рисков основную роль
играют системные процессы.
Таким образом, техносферная безопасность, охрана окружающей среды и разработка экологически безопасных технологий
требуют отчетливых и ясных представлений о законах современной
теории систем и статистической термодинамики неравновесных систем. Поэтому перейдем к тезисному представлению теоретических основ системного подхода, который используется для
развернутого описания био- и техносферы средствами статистической термодинамики.
5
Глава 1. СИСТЕМНОЕ ОПИСАНИЕ ТЕХНОСФЕРЫ
Природа – древний храм. Невнятным языком
Живые говорят колонны там от века;
Там дебри символов смущают человека,
Хоть взгляд их пристальный давно ему знаком.
Шарль Бодлер
1.1. Основные понятия теории систем и системотехники
Интерлюдия
Бурное развитие современных когнитивных, био-, нано- и информационных (NBIC) технологий породило новые феномены в природе и обществе,
в сильной степени определяющие пути эволюции техно- и биосферы. Технологическое преображение социума породило инновационные связи в биосфере и обществе. Эти связи и определяющие их явления потребовали выдвижения новых научных парадигм в виде теории систем и системотехники, дающих адекватное описание этих новых феноменов. Новые фундаментальные
явления встречаются в физике, техносфере, биологии, ноксологии и экологии. Получив название сложных систем (примеры – мегаполисы, Интернет,
космические системы связи и вооружений и т. д.), эти явления с трудом поддаются описанию рамках традиционной парадигмы точных наук. Это связано
с тем, что сложные системы (явления или объекты) обладают рядом уникальных фундаментальных свойств: уникальностью объектов, слабой предсказуемостью и целенаправленностью поведения объектов и, как следствие, свойством саморепликации.
Принципиально новым подходом, способным обеспечить описание подобных явлений, является теория систем и системного анализа. Эта теория
родилась в тесном взаимодействии таких научных дисциплин, как теория
неравновесных термодинамических систем, теория случайных процессов, теория катастроф (теория динамического хаоса).
Успехи системного анализа позволили преодолеть ряд кризисов, связанных с развитием современных технологий, и показали, что исследование
техносферы и техносферной безопасности немыслимо без использования системных методов. Поэтому далее следует формулировка основных системных принципов и понятий. Ниже кратко излагаются математические формулировки основных положений теории систем, необходимые для работы
в данной области.
6
Основная тема
Традиционно системой называют совокупность взаимодействующих элементов, которые в результате взаимодействия
приобретают принципиально новые свойства, присущие именно этой совокупности.
Эти свойства называют системными свойствами. (Другое
название свойств – эмерджентность.)
Как уже отмечалось, среди систем можно выделить те, что
называют сложными, или большими, системами. Такие системы
обладают рядом принципиальных особенностей:
1) очень большое число элементов в системе (более 1014);
2) все элементы в системе взаимодействуют между собой
прямо или косвенно;
3) структуры связей элементов носят иерархический характер;
4) каждый элемент в системе может быть, в свою очередь,
сложной системой со своими системными свойствами и целями.
Наличие этих особенностей приводит к появлению принципиально новых свойств в этих сложных системах.
Уникальность – свойство, при котором каждая система не
имеет полных аналогов своего развития во времени.
Слабопредсказуемость – знание поведения объекта на одном
промежутке времени не позволяет предсказать поведение на другом промежутке времени.
Целенаправленность – система способна управлять своей энтропией при воздействии среды. В частности это проявляется
в свойствах сохранения системы как таковой за счет саморепликации, адаптации и эволюции.
Сложные системы могут иметь различную природу. Это
и традиционные физические системы (звезды, планеты, геологические, геофизические, географические объекты и т. д.), и технические системы (производство, энергетические системы, транспорт,
связь), и биологические (клетка, растение, животное, экологические
системы, биосфера), и социальные. Описание подобных сложных
систем потребовало выдвижения новой парадигмы – системного
подхода, основанного на сочетании достижений современной математики (теории множеств, абстрактной алгебры, теории меры)
и физики (теории динамических систем, теории случайных процес7
сов, теории динамического хаоса, теории неравновесных открытых
термодинамических систем).
Системный подход предполагает сочетание современных методов математики и экспериментальной науки (мониторинг), преследуя прагматические цели решения практических задач анализа
техносферы. На основе перечисленных достижений физики и математики выявляются закономерности и строятся математические
и кибернетические модели объектов техносферы.
Интерлюдия
Как отмечал И. Пригожин, мы переживаем глубинные изменения
в научной концепции природы и человеческого общества как сложной системы. Эти изменения породили потребность в новых системных отношениях между человеком и природой – так же, как и между человеком и человеком. Идеи о слабой предсказуемости, нестабильности и флуктуациях в сложных системах начинают проникать в социальные науки. Сегодня мы знаем,
что человеческое общество представляет собой необычайно сложную систему, способную претерпевать огромное число бифуркаций, что подтверждается множеством культур, сложившихся на протяжении сравнительно короткой
истории человеческого общества. Установлено, что столь сложные системы
обладают высокой чувствительностью по отношению к флуктуациям. Беспорядок и хаос, неопределенность и даже непредсказуемость, столкновение интересов и конкуренция, временность и постоянные перемены – это есть общий закон природы («порядок рождается из хаоса»). Человеческая популяция
была вынуждена научиться выживать в такой сложной обстановке. Та популяция, ч умеет использовать это свойство живой материи как сложной системы, может достичь успеха. Системная концепция рисков, которая учитывает
непредсказуемость развития сложных систем техносферы, связана со свойством неоднозначности происходящих в сложных системах процессов.
Суть системного подхода состоит в том, что изучаемые объекты (сложные системы) представляются в виде иерархического
набора взаимодействий между компонентами системы. Эти взаимодействия описываются (с помощью современных методов математики) в виде набора отношений между характеристиками компонентов системы и выступают как кибернетические модели
системы. Чтобы подчеркнуть, что и сама система, и ее компоненты
(подсистемы) описываются набором характеристик (физических
величин, переменных, параметров, факторов), их часто при анализе называют объектами. Имеется в виду, что они выступают
в качестве объектов эксперимента и являются «источниками»
8
экспериментальных данных, которые превращаются (благодаря
процедурам обработки данных) в измеренные значения параметров.
В дальнейшем исследователь или инженер использует именно эти
кибернетические модели для принятия решений в отношении этих
объектов. Такой подход особенно полезен в ситуации, когда традиционная наука (на настоящий момент это так) не обладает детальным описанием сложных систем в виде всеобъемлющих законов.
Таким образом, анализ техносферной безопасности предполагает использование системных методик и рабочих инструментов
системотехники для управления техносферой на основе мониторинга техносферных рисков. Поэтому ниже кратко излагаются основные принципы системотехники, необходимые для научного
описания техносферы. Это три принципа, объединяющие фундаментальные особенности существования и действия сложных систем. Они основаны на широком экспериментальном материале
всего спектра естественных и математических наук, а также общественных соглашений.
1.2. Принципы теории систем
Основная тема
При системном описании техносферы и природы важно помнить о том, что многочисленные подсистемы (объектов, элементов
системы), из которых состоит система, сами могут выступать в роли сложных систем (иерархическая структура систем). При этом
материальное окружение, с которым взаимодействует система, обозначается термином окружающая среда. Разумеется, подсистемы,
взаимодействующие с другими подсистемами, могут тоже описываться как «окружающая среда» для данной подсистемы. Взаимодействующие со средой системы называются открытыми. Закрытые (замкнутые) системы со средой не взаимодействуют.
Под состоянием системы понимается упорядоченная совокупность параметров, определяющих ход происходящих в системе
процессов. Поведение систем есть развернутая во времени последовательность реакций системы на внешнее воздействие. По мере
развития технологий доля сложных систем в деятельности человечества возрастает. Вместе с ней растет и необходимость в описании
9
эволюции техносферы как совокупности взаимодействующих
сложных систем.
Сформированы единые принципы описания сложных систем.
Описание природы на языке сложных систем требует соблюдения
трех принципов: физичности, моделируемости и целенаправленности. Принципы конкретизируются с помощью постулатов.
За каждым принципом стоит блок профессиональных знаний
и наук, с помощью которого этот принцип выполняется.
1.2.1. Принцип физичности
Система и элементы системы подчинены законам физики,
поэтому для анализа и синтеза систем должны использоваться
соответствующие физические методы.
Принцип физичности означает, что природа сложных систем
описывается на основе инструментов современной физики. Это
неравновесная термодинамика, теория динамического хаоса, квантовая механика. Принцип физичности детализируется и уточняется
в виде ряда постулатов (постулат целостности, постулат автономности метрики).
А. Постулат целостности системы
Сложная система должна представляться в виде единого целого, которое определяется наличием эмерджентных свойств, присущим именно этой системе. Система допускает членения (декомпозиция), но сложная система не тождественна никаким своим членениям. Вместе с тем композиция (синтез) и декомпозиция должны
осуществляться в направлении порождения новых сведений. Здесь
важно то, что в природе сложных систем часть может быть сложнее
целого. При этом, как отмечал Эшби, а также Рональд Фишер, не
все сложные системы могут быть расчленены на простые части.
Это (с позиций системного подхода) ведет к необходимости проведения экспериментов, в которых несколько переменных изменяются одновременно! Подобный системный подход вызвал революцию
в методологии планирования и проведения научных и промышленных экспериментов, позволив радикально изменить стратегию
управления современными технологическими процессами.
10
Выявление целостности требует учета всех взаимосвязей как
внутри системы, так и системы с окружающей средой. Рациональность декомпозиции оценивается исходя из успешности выявления
эмерджентного свойства. Если декомпозиция неудачна, системные
и подсистемные понятия несопоставимы.
Б. Постулат автономности метрики системы
Сложные системы имеют устойчивые при изменении внешних
взаимодействий физические величины (автономные пространственные метрики), которые являются фундаментальной характеристикой этой системы. На языке абстракной алгебры метрика задает набор групп преобразований, которые характеризуют тот или
иной класс физических явлений (в том числе и сложных систем).
Группа преобразований определяется набором физических величин, которые образуют так называемые инварианты. Некоторые
инварианты не изменяются при взаимодействии подсистем и воздействии внешней среды. В естествознании это трактуется как законы сохранения. Инварианты задаются физическими свойствами
сложных систем, устройством и структурой систем и помогают
в лаконичном описании сложных систем. Инварианты позволяют
выявлять ключевые свойства технологий, сложных технических
устройств и потенциально опасные производства в мегаполисах.
Пример 1.1
Инвариант производственного комплекса – это энергетический ресурс.
Инвариант в Солнечной системе – это площадь, заметаемая радиусвекторами планет. В механике инвариантом является сумма импульсов тел до
взаимодействия и после него.
Как показала практика использования физико-математических
методов, теоретико-групповые методы дают наиболее простой
и рациональный способ описания природных явлений и технических устройств. Автономная метрика указывает возможные методы
декомпозиции систем. Автономные законы сохранения сложных
систем реально присущи системе. Владение ими позволяет раскрыть важные свойства системы на основе эмпирического набора
слабо структурированных экспериментальных данных.
11
1.2.2. Принцип моделируемости (модельности)
Для описания природных и техносферных систем с помощью
теории систем разрешается использовать математические конструкции (кибернетические и физико-математические модели), если это количественное описание соответствует результатам экспериментов в конкретной предметной области.
Сложная система представима конечным набором моделей. Эти модели отражают различные аспекты ее сущности.
Напомним, что создание модели, описывающей все свойства системы, невозможно согласно теореме Тьюринга. Эта теорема показывает, что такая модель будет сложнее самой системы. Поэтому
в модели отражаются лишь те свойства объекта, которые важны
для пользователя. Поскольку модели формируются на основе многомерных массивов экспериментальных данных, очень важно понять, насколько устойчиво (робастно) описывают эти модели исходный объект. Кроме того, поскольку иногда сложная система
описывается набором моделей, важно понять, насколько эти модели независимы друг от друга. Поэтому моделирование стараются
организовать так, чтобы выполнялись следующие постулаты: дополнительности, действия, неопределенности.
Напомним, что модель – это некоторое явление природы или
некоторые математические конструкции, которые имеют систему
количественных характеристик, тождественную исследуемому
нами явлению.
чает необходимость моделирования разных граней эксперимента
в виде набора моделей. В практике системного анализа следует использовать несколько моделей. При этом одна модель дополняет
другую при описании сложных систем.
Г. Постулат действия
Реакция сложных систем на внешнее воздействие может носить пороговый характер.
Этот постулат фиксирует важное свойство природы сложных
систем отвечать скачком на воздействия определенного уровня.
Речь здесь о том, что на определенные воздействия сложная система отвечает перестройкой своей структуры. Такой эффект аналитически зафиксирован в теории динамического хаоса.
Д. Постулат неопределенности
Согласно постулату дополнительности, повышение точности измерения характеристики сложной системы влечет за собой
понижение точности измерения другого параметра той же системы.
Эта особенность сложных систем получила название априорной
неопределенности в поведении сложных систем. Она принципиально ограничивает возможности управления сложной системой
и эксперименты над ней.
В. Постулат дополнительности
Сложные системы в процессе эксперимента могут оказываться в различных вариантах состояния окружающей среды. Как следствие, системы проявляют свойства, несовместимые по отношению
к одной из ситуаций.
Это связано с тем, что в эксперименте процедуры регистрации
привязаны к той или иной экспериментальной ситуации. В описании сложных систем постулат дополнительности требует учета
ограниченности наших средств познания. Человек-экспериментатор, увы, может регистрировать с помощью ограниченного ресурса приборов одни грани природной сущности в одних условиях
эксперимента и совсем другие грани – в других условиях. Это озна-
Пример 1.2
В радиолокации происходит измерение одновременно в одном эксперименте характеристики дальности цели и ее скорости. Принцип неопределенности в радиолокации гласит, что невозможно одновременно измерять
дальность и скорость цели с высокой точностью.
В квантовой механике одновременно происходит измерение координаты частицы и ее импульса. При этом произведение ошибки измерения координаты и ошибки измерения импульса частицы не может быть меньше постоянной Планка.
В экологии при управлении техносферными и экологическими системами всегда существует недостаток исходных сведений. Это утверждение
связано с принципом максимизации энтропии и законом Эшби, согласно которому система управления должна быть «устроена» более сложно, чем
управляемый объект. Поэтому для осуществления управления экосистемами
требуются информационно-измерительные системы мониторинга и дистанционного зондирования, действующие в направлении максимизации информации.
12
13
1.2.3. Принцип целенаправленности
Принцип отмечает существенные и характерные свойства
систем: их способность, направленную на достижение системой
некоторого состояния, а также способность, направленную на
сохранение некоторого процесса. При этом сложные системы обладают слабо предсказуемой способностью к выбору нового
направления поведения. Для раскрытия особенностей принципа целенаправленности и сочетания этого принципа с постулатом неопределенности формулируется постулат выбора.
Постулат выбора
Сложные системы обладают способностью к выбору поведения.
Для количественного описания этой способности выбора, да
еще в условиях априорной неопределенности, при описании сложных систем используется теория принятия решений.
Следует различать теорию систем и системотехнику.
Системотехникой называется отрасль техники и технологии, в которой принципы теории систем используются для решения практических задач. Основным теоретическим инструментом инженеровсистемотехников являются методы математического моделирования, методы теории принятия решений и методы теории
управления. При этом системотехника использует весь арсенал
экспериментальных методов и средств всех описательных естественных наук.
Естественнонаучный эксперимент дополняется специфически
системным изобретением, которое получило название мониторинг.
Мониторинг – это такая форма эксперимента и наблюдения
за природно-техническими объектами, в которой для компенсации
априорной неопределенности в поведении сложной системы:
 осуществляются непрерывные устойчивые (робастные) измерения комплекса параметров (многомерный анализ) для отслеживания изменяющихся состояний системы и окружающей среды;
 активно применяются многомерное моделирование
и идентификация объекта, на котором проводятся эксперименты;
 осуществляется принятие решений по результатам мониторинга.
14
Еще раз подчеркнем, что априорная неопределенность поведения сложной системы требует использования моделирования.
Поэтому проведение мониторинга сопровождается моделированием, которое компенсирует априорную неопределенность в отношении сложной системы, давая возможность количественного многомерного описания объекта, необходимое для его управления
и принятия решений в отношении сложных систем. И наконец, благодаря мониторингу появляется возможность (после его проведения) осуществлять принятие решений и управление сложными
системами.
Для этого используются следующие дисциплины:
 теория моделирования (применяющая многомерные вероятностные методы, теорию динамического хаоса, методы неравновесной статистической термодинамики);
 теория управления;
 теория принятия решений.
Все перечисленные дисциплины используют многомерные вероятностные методы, теорию динамического хаоса, методы неравновесной статистической термодинамики.
Особенности системно-технического подхода.
1. В тех случаях, когда законы природы не установлены, системотехника использует принцип моделирования.
2. Использование интуиции в практике принятия решений
по сложным геотехническим системам. При этом разрабатываются
специальные математические и технические средства для перевода
интуитивных знаний лица, принимавшего решения (ЛПР), в количественные характеристики. Эти технические средства получили
название когнитивных систем, интеллектуальных интерфейсов.
Системотехника вносит новые взаимодополняющие компоненты в структуру естественнонаучного знания:
1) эмпирико-инициативный компонент;
2) дедуктивно-аксиоматический компонент;
3) интуитивно-ассоциативный подход (улавливание сходств
между весьма отдаленными фактами).
Благодаря этому средства системотехники активно пополняются технологиями, возникающими в когнитивной и инженерной
психологии, гносеологии, социологии и когнитивной экономике.
15
Основой развития этих новых технологий и теории систем является
теоретико-множественный подход к описанию сложных систем.
Основная тема
Математическое описание систем осуществляется с использованием языка теории множеств, элементы которого кратко излагаются ниже. Можно сказать, что теория множеств – это язык
теории систем.
Множеством (математическим множеством) называется совокупность объектов, обладающим определенным свойством.
Элементы множеств – это объекты или явления природы.
Специфический тип элементов – это физические величины, количественно характеризующие явления природы.
В естествознании и инженерии для описания множеств объектов часто используют их физические величины разного типа (они
именуются характеристиками, параметрами, факторами). Эти
характеристики тоже могут объединяться в множества (множества
параметров). Традиционно инженеры и естествоиспытатели сочетают описание множеств объектов с представлением множеств параметров, которые тоже участвуют в описании объектов (количественное описание объектов). Здесь традиционно используется переход от объектов к количественным свойствам объектов.
Множества объектов и множество параметров часто представляются в виде таблиц (определенным способом структурированных
множеств). Эти таблицы называются матрицами, а математический
аппарат матричного анализа предполагается известным читателю.
Подобные таблицы могут сочетать символьное описание объектов
и символьное описание параметров. Подобные таблицы создаются
многими программными продуктами. Пример таких таблиц – таблицы программы Excel.
Итак, пусть мы имеем множества X и Y. Сами элементы множеств обозначаются как x, y. Между множествами можно установить связи разного типа. Эти связи называются соответствиями
и отображениями.
Соответствие – это связывание некоторых элементов одного
множества с элементами другого. Эта связь задается конкретным
образом. Если для каждого x и y существует соответствие, то такая операция называется отображением. Взаимно однозначное
отображение называют функцией. Композицией соответствий
называют последовательное применение двух соответствий. Возможна композиция функций. В качестве элементов могут выступать и числа. В этом случае говорят о числовых функциях.
Теория множеств дает инструмент для количественного и качественного описания совокупности объектов и для описания связей между этими объектами. На этой основе созданы и описаны
вычислительные технические системы и реляционные базы
данных. Поэтому язык теории множеств является необходимым
инструментом для описания структур данных, информационных
систем, промышленных производств – т. е. широкого класса
сложных систем.
Помимо связей между множествами, иногда требуются действия, в которых участвуют сразу несколько множеств или их части. Эти действия (манипуляции) над множествами получили
название операций. Операции позволяют объективно, математически описывать сложные структуры больших систем, их взаимодействие и внутреннее функционирование во времени и пространстве.
Для этого и вводятся следующие определения этих операций.
Операции над множествами бывают следующими:
1) включение: X  Y, где X – подмножество Y;
2) равенство: X = Y.
С учетом операций над множествами выявляются особенные
свойства этих множеств:
1) рефлексивность: X = X;
2) симметричность: если X = Y, то Y = X;
3) транзитивность: если X = Y, Y = Z, то Z = X.
Для удобства описания совокупностей множеств вводятся еще
несколько типов операций.
Перечислим основные операции над элементами множеств:
1) объединение множеств X  Y (в логике эта операция называется логическим сложением и обозначает факт того, что выбирается или множество X, или множество Y);
16
17
1.3. Теоретико-множественное определение
объектов теории систем
2) пересечение множеств X  Y (в логике эта операция называется логическим умножением и обозначает факт того, что выбирается и множество X, и множество Y);
3) разность множеств X \ Y.
Упорядоченное множество – это множество, где каждый
элемент занимает свое место во времени или в пространстве. Если
элементы упорядоченного множества – вещественные числа, то такие множества называют векторами.
Примером операции упорядочивания двух множеств является
прямое, или декартовое, произведение двух множеств, т. е. множество из всех упорядоченных пар (обозначается как («» или «*»):
X  Y = X*Y = {(x, y); x  X; y  Y}.
Здесь важно установить механизм связей X и Y. Например,
этот механизм сопоставления является соответствием. Сам факт задания упорядоченных пар определяет новый объект с особой
структурой, которая задается механизмом связей. Подобный прием
и позволяет описывать огромное разнообразие связей между реальными явлениями.
Интерлюдия. АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА – ИНСТРУМЕНТ ТЕОРИИ
СИСТЕМ
Связь между элементами можно задать и внутри одного множества.
Эта важная операция над множеством называется отношением.
Основная польза отношений в том, что, задавая конкретные отношения
на множестве, мы даем исчерпывающую характеристику типов связей в исследуемом объекте. Оказывается, что число типов отношений в природе
весьма ограничено, причем эти типы позволяют описать многие материальные объекты и большинство объектов физики, химии и биологии. Наука,
изучающая структуру отношений, называется абстрактной алгеброй. Теория систем излагается на языке абстрактной алгебры.
Отношения могут обладать теми же тремя важными свойствами, которые были присущи ранее описанным отображениям:
1) рефлексивностью: X = X;
2) симметричностью: если X = Y, то Y = X;
3) транзитивностью: если X = Y, Y = Z, то Z = X.
Существует четыре типа отношений во множестве:
1. Эквивалентность (=).
2. Порядок (<, >).
3. Доминирование (<, <, >>).
18
3.1. Объект доминирует, если он качественно превосходит другой объект по некоторому свойству, даже если это превосходство нельзя выразить
числовым способом. В теории систем используется термин номинальная,
или качественная, шкала.
3.2. В каждой паре объектов один всегда доминирует.
3.3. При доминировании отсутствует свойство транзитивности.
4. Отношение нестрогого порядка (, ).
Последние два типа отношений особенно распространены в биологических и социальных системах.
Крещендо
Все основные инструменты математического и функционального анализа работают в ситуации, когда отношения эквивалентности и порядка
заданы на множестве чисел. Так как природные объекты часто не обладают
свойствами полного упорядочения, традиционные методы математического
анализа, увы, не подходят для ряда природных явлений (например, в биологии, социологии, экономики).
Между тем, задавая отношения с разными механизмами связи между
элементами множеств, можно создавать разные типы объектов (объектов абстрактной алгебры). Сразу заметим, что эти объекты абстрактной алгебры
моделируют структуру связей и структуру взаимодействия между элементами в системах, тем самым обеспечивая описание систем широкого класса
(включая и системы, в которых отсутствует свойство транзитивности). Поэтому использование абстрактной алгебры в биологии, социологии, математической лингвистике оказывается весьма плодотворным. Поскольку в системотехнике, ноксологии и описании эволюции техносферы задействован
как человеческий, так и биосферный фактор, использование абстрактной алгебры становится необходимостью.
Введем на нашем множестве отношение упорядоченных пар (такое отношение называют бинарным). Если каждой упорядоченной паре поставить
в соответствие элемент из того же множества, то такая операция называется
алгебраической. Объект, на котором определена одна алгебраическая операция, обладающая свойствами ассоциативности, называется полугруппой.
(Если определены две операции, то это кольцо, если три – поле).
Основная тема. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕКТОВ ТЕОРИИ
СИСТЕМ
Объектами общей системы S называются объекты природы Ui,
которые можно описать с помощью декартового произведения на
множествах: S  (U1  U2  U3  …  Ui), где  – знак декартового
произведения.
Эти объекты {Ui} представляют полную совокупность проявлений изучаемого явления (результатов экспериментов над ним).
19
Структура общей системы позволяет описать практически
любые явления природы и техносферы. Даже лингвистическое
описание системы есть частный случай подобных описаний. Так,
U1 называются денотатами (денотаты – это реальные объекты, которые обозначены символами), U2 – функторами (это отношения
между объектами) и т. д. Таким образом, система задается отношением. Более узкие классы систем точнее всего определяются своими специфическими средствами, будь они лингвистическими, математическими или программными.
Крещендо
Здесь следует подчеркнуть особенность системного подхода. Система
рассматривается как совокупность всех проявлений объекта исследования
или управления, а не как сам этот объект.
Основная тема. ДВА ПОДХОДА В ТЕОРИИ СИСТЕМ
Существуют два подхода для конструктивного анализа
систем. Они обозначаются как терминальный и целенаправленный.
1. Терминальный подход
При терминальном подходе к описанию объекта характеризующие объект проявления разбиваются на два класса: X и Y. Система в данном случае представляется как S  (X  Y); (S: x  y).
Здесь объекты X называются входами (они представляют собой
своеобразный стимул, действующий на рассматриваемое явление).
Объекты из класса Y называются выходами и представляют следствие, т. е. реакцию системы.
Конструктивный анализ предполагает такое образование дополнительной структуры на множествах объектах, которое позволяет отразить важные свойства этих систем. Подобные дополнительные структуры называются состояниями системы. Данный
принцип широко используется в теоретической физике и механике.
Наборы таких состояний называются пространством состояний.
Вводится понятие глобальное состояние системы, которое обозначается как C. В некоторых случаях состояние системы влияет на
выход системы R: (C  X)  Y.
Чтобы учесть и описать изменение состояния системы во времени, вводится понятие динамической системы (с учетом време20
ни): X  AT; Y  BT. Здесь T – непрерывное, строгое множество. Такая система определена во времени. То есть для S  X  Y имеем
U = {Ct  Xt  Yt}. В данном случае принято говорить, что операция над множеством Т обладает полугрупповыми свойствами.
В оговоренных условиях мы получаем возможность интерполировать по переменной Т, т. е. «предсказывать» будущее.
Открытая система – это декартовое произведение трех
множеств, где U – такие внешние (входные) воздействия, которые
могут быть неопределенными. Иными словами, это те воздействия,
о которых есть только косвенные сведения.
Такое понятие отвечает классическим трактовкам. Система
называется открытой в классическом смысле, если на нее действует явление, поведением которого нельзя управлять или которое
нельзя без ошибок наблюдать. Система становится открытой, если
в ходе ее функционирования возникает неуправляемое воздействие. При этом система реагирует на пробные экспериментальные
воздействия, что вызывает существенные изменения в ее описании.
Кроме того, системы оказывают обратное действие на окружающую среду: S  U  X  Y. (рис. 1.1).
X S
Y U Рис. 1.1. Структура открытых систем
Определение конечного автомата. Конечным автоматом
называется система A = (X, Q, Y, , ), где X, Q, Y – произвольные
непустые множества. При этом имеем функцию переходов , при
которой X  Q  Q, а также функцию выходов , где X  Q  Y.
21
Идея описания системы с помощью набора состояний (идея
представления системы как автомата) является достаточно общей
и позволяет описывать лингвистические конструкции, вычислительные алгоритмы, программы, вычислительные устройства
и даже биологические системы.
Так, например, в рамках концепции автомата удается дать
строгое определение алгоритма и понятия сложности системы.
Наивное определение алгоритма как последовательности правил решения задач или правил вычисления функций не всегда удовлетворяет ученых, инженеров и многих практиков. После введения понятия конечного автомата появилась возможность дать строго логичное определение алгоритма. Существует три варианта
строго логичного определения алгоритма. Это машина Тьюринга,
частично рекурсивные функции и алгоритм Маркова. Однако
было доказано, что эти определения эквиваленты. Эта эквивалентность называется тезисом ЧЕРЧА. Благодаря тезису Черча можно
ограничиться определением алгоритма как конечного автомата, который и называется машиной Тьюринга.
Рассмотрим описание алгоритма как машины Тьюринга. Машина состоит из четырех частей: ленты; считывающей головки;
набора ячеек, в которых хранятся символы (этот набор называется
памятью – qi) и устройства управления. На ленте есть ячейки,
нумеруемые целыми числами. В каждой ячейке записывается символ Sj (0 или 1 и символ ). Управляющие устройство в зависимости от символа Sj, считываемого головкой в ячейке, и состояния
памяти qi либо изменяет состояние памяти, сдвигая головку на одну
ячейку вправо или влево, либо оставляет головку на месте (такое
состояние обозначается символом ).
В машине есть набор инструкций для qi, имеющий вид
Sj  Siqr (этот набор называется программой).
Работа машины происходит следующим образом. На каждом
такте определяется состояние внутренней памяти и считывается
содержимое наблюдаемой ячейки. Далее в программе ищется следующая инструкция, согласно которой в ячейку записывается новое
содержимое, что влечет за собой новое состояние памяти и изменение положения ячейки. Далее все повторяется. Если обнаруживается состояние памяти, которое называется стоп, работа машины заканчивается.
Таким образом, функционирование машины Тьюринга и создает вычислительный процесс называемой алгоритм.
Вычислительная машина это такое техническое устройство,
которое реализует машину Тьюринга. Понятно, что структура
машины есть система представленная как U = {Ct  Xt  Yt}. Таким образом, алгоритм, реализуемый машиной, определяется парой
структура машины – программа.
На основе введенных понятий можно определить понятие алгоритмической сложности. Под алгоритмической сложностью
вычисления на машине со структурой U = {Ct  Xt  Yt} можно понимать длину необходимой программы. Здесь под длиной понимается число знаков (символов) в этой программы.
Введенное понятие алгоритмическая сложность (т. е. сложность переработки последовательности символов X (слов) в другую
последовательность символов Y на машине со структурой ) позволяет ввести понятие сложности объекта K (Y). Сложность объекта
K (Y) – это сложность слова Y по отношению к машине со структурой .
Структура системы дает возможность определить сложность
системы и позволяет, используя вероятностные методы, связать
характеристику «сложность системы» с характеристикой энтропия,
описывающей неопределенность и хаотичность ее поведения. Этот
фундаментальный результат современного естествознания разработан
А. М. Колмогоровым и П. Мартин-Лёфом. Поэтому вероятностные аспекты описания сложных систем являются фундаментальными в системном анализе и описываются в отдельных модулях
и разделах этого пособия, посвященных неравновесной термодинамике.
Понятие сложности позволяет пролить свет на поразительный
феномен устойчивого существования сложных систем в условиях
изменения окружающей среды. Этот феномен получил название
гомеостазиса. Суть объяснения этого феномена сводится к следующему. Для устойчивого существования сложной системы в условиях изменяющейся среды требуется, чтобы сложная система была
управляемой. Согласно закону необходимого разнообразия
Эшби, для стабильного функционирования управляемой сложной
системы необходимо, чтобы разнообразие управляющего блока
системы не уступало разнообразию управляемой системы. В био-
22
23
сфере такой баланс установила природа. Более того, сама идея эволюции видов есть не что иное, как процесс управления сложной
системой с целью достичь ее стабильности, несмотря на радикальные изменения окружающей среды.
С точки зрения техносферной безопасности необходимо
обеспечить аналогичную эволюцию био- и техносферы. Отсюда
следует, что управление техносферой должно проходить как процесс поддержания гомеостазиса.
Неравномерное развитие био- и техносферы (вызванное аномальным изменением потоков вещества, энергии и информации)
чревато нарушением гомеостазиса. Поддержание гомеостазиса требует превышения разнообразия восстановительных процессов над
разнообразием процессов, разрушающих биосферу. Поэтому разработка компьютерных моделей взаимодействия био- и техносферы,
а также методов измерения и контроля средств управления техносферой есть фундаментальный механизм обеспечения техносферной безопасности. Современные методы мониторинга и управления техносферными рисками как раз и преследуют эту цель.
Интерлюдия. ВЫЧИСЛИМЫЕ ФУНКЦИИ. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
СЛОЖНОСТЬ
Алгоритмическая сложность введена для оценки сложности описания индивидуальных объектов или сложных систем. Между тем в математике существует целый класс однотипных вычислительных задач (массовые
задачи), для которых целесообразно введение аналогичных процедур оценки
сложности вычислений. Здесь целесообразно определить процедуру вычисления сложности этих массовых задач (например, вычисление функций
определенного класса). Терминологически это обозначается как вычислительная сложность. Сложность вычислений может определяться и временем
исполнения алгоритма машиной, и объемом памяти. В первом случае такая
сложность называется временной сложностью, во втором – пространственной сложностью. Различают алгоритмы с приемлемой временной
сложностью. Они делятся на алгоритмы и задачи с полиномиальной
сложностью и алгоритмы с неполиномиальной сложностью. Вопрос
о том, существует ли граница между полиномиальными задачами и неполиномиальными задачами (а если существует, то где она проходит), пока
открыт. На этом построен успех технологии шифрования с открытым
ключом, совершившей революцию в повышении техносферной и информационной безопасности.
24
Крещендо. НЕВЫЧИСЛИМЫЕ ФУНКЦИИ, МАТЕМАТИКА И КОГНИТИВНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
К несчастью, существуют невычислимые функции. Кроме того, согласно теореме Геделя математическое описание и математическое понимание природы содержит элементы, которые не могут быть сведены к
вычислительным процедурам. Именно эти поразительные явления потребовали привлечь в системотехнику научные достижения, которые фиксируют
дополнительные неалгоритмические особенности математики и человеческого сознания. Когнитивная наука обеспечивает привлечение достижений психологии, нейрофизиологии и эпистемологии.
2. Целенаправленный подход
2.1. Целенаправленные системы, принятие решений
и управление
Если дана система S  X  Y, то для конструктивного описания целенаправленных систем вводятся два новых набора отношений на множествах. Эти наборы предназначены для формального
описания явления целенаправленности.
 Первый набор отношений обозначается как  и характеризует цель. Цель ассоциируется с некоторым явлением, которое воспринимается как итоговое состояние, к которому должна прийти
система после ряда изменений собственного состояния. Более формально, цель – это тройка отношений на множестве V (где V представляет собой множество значений, характеризующих результаты
действий системы, причем здесь же вводится множество U допустимых значений V). Так,  = (G, T, R); G: S  V; T: U  V; R:
V  V. Здесь G – это целевая функция, которая каждому состоянию системы предписывает оценку того, как эти состояния соотносятся с некоторым явлением, которое и выступает как цель;
T – функция допустимости, задающая некоторые ограничения,
диктуемые природой на значения целевой функции; R – функция
качества (отношение удовлетворенности) достижения цели.
Таким образом, достижение цели системой математически
описывается следующей логической формулой: вход – это X, если
(G(x, S(x)), T(U))  R.
 Второй набор отношений определяет проблему принятия
решений. Дело в том, что, кроме однозначного достижения цели,
возможен целый набор значений воздействий, при которых тоже
происходит достижение цели. Такой вариант трактуется как удо25
влетворение цели. Иногда это может трактоваться как ситуация,
в которой множество входов позволяет либо достигнуть цели, либо
«приблизиться» к ней. «Приближенность к цели» может быть описано соответствующей метрикой и охарактеризовано как удовлетворенность цели. Это свойство системы задается отношением
X  M  U. Отсюда формализация виде логической формулы: вход
m  M удовлетворяет цели  относительно U  U, если имеет место (G(m, u), S(x) m, u), T(u))  R.
Таким образом, возникает проблема выбора конкретного m.
Эта проблема получила название проблемы решения (проблемы
принятия решения) (S, U, ). Более формально, вход удовлетворяет проблеме решения (S, (S, U, ), если он удовлетворяет цели 
относительно U.
Систему S : M  U  Y называют системой, принимающей
решения, если выход системы y = S(m, u) удовлетворяет проблеме
решения (S, U, ). Здесь множество U интерпретируется как множество неопределенностей. При этом решение есть отображение на
множество U, для которого выход (y) системы S должен обеспечивать достижение цели .
Принятие решений является одной из ключевых концепций
системотехники, поэтому далее этот инструмент (теория принятия решений) будет рассмотрен более детально.
Теперь можно ввести понятие целенаправленной системы.
Система S  X  Y считается целенаправленной, если каждый X
удовлетворяет цели .
Это определение позволяет формально определить важные
процессы, присущие сложным системам. Обучение системы – это
процесс, направленный на уменьшение множества неопределенностей U. Самоорганизация системы представляет собой процесс
изменения структуры целенаправленного процесса (измерение
структуры функций определяющих целенаправленную систему).
2.2. Управление системами. Управляемые системы
Определим систему S  X  Y и «добавим» к ней еще одну систему G, которая в качестве входного воздействия «использует»
выход системы S (при том, что выходное воздействие подается на
вход системы S). Такое «объединение» систем называется системой
с обратной связью (рис. 1.2).
26
X
Y
S
G
Рис. 1.2. Структура системы с обратной связью
Система G получила название блок управления. Она характеризуется вектором параметров C. Идея выбора max (C) символизирует идею целеустремленности. Решение найдено только тогда,
когда С максимально.
Введем понятия управления и управляемости.
Под управлением мы понимаем подробное описание операции отображения множества значений G на множество значений С.
Управляемостью называется сама возможность достижения
экстремума С при заданной операции отображения G  С.
Оптимизацией управления называется выбор такой операции отображения G  С, при которой экстремум достигается за
минимальное время и ресурсы.
Оптимизация – основная задача теории управления. Сложным природным системам присуще явление самооптимизации. Самооптимизация основывается на сочетании решения экстремальных задач и иерархической конструкции обратных связей.
Пример 1.3
Самооптимизация в природе – это дарвиновская эволюция видов.
Можно сказать, что это проявление для сложных систем принципа Ле Шателье.
Именно это явление самооптимизации и приводит к свойству
целеустремленности сложных систем.
27
Интерлюдия
Возможно, ноосфера и техносфера тоже обладают свойством самоадаптации, или самооптимизации.
Интерлюдия
Закон необходимого многообразия Эшби. В системотехнике в качестве естественнонаучного закона принимается следующее утверждение:
сложность (многообразие) блока управления выше, чем сложность
управляемого объекта.
Это создает определенные трудности, если предполагается управление
сложными системами, такими как биосфера и техносфера.
1.4. Методы системного анализа. Описание моделирования на
языке теории множеств
вивалентного соответствия между алгебраическими объектами
можно говорить о моделировании как термине, под которым
скрывается понятие изоморфизм. В математике при наличии изоморфизма между разными математическими объектами тоже используются эквивалентные алгебраические структуры.
Существуют различные типы моделирования:
 натурное;
 математическое аналитическое (аналитическое описание
физических закономерностей);
 дискретное математическое (дискретное описание физических закономерностей);
 машинное (численные методы и дискретные математические модели используются для их реализации на компьютере);
 функциональное (подробное моделирование всех физических компонент системы средствами машинного и аналитического
моделирования);
 имитационные модели и кибернетическое моделирование (применение стандартных математических методов вероятностного, статистического представления многомерных данных
эксперимента для ускорения машинных экспериментов над моделями).
Моделирование играет ключевую роль в системотехнике. Если нам неизвестны законы функционирования объекта в полной
мере, мы можем использовать удовлетворяющую нас модель
(например, имитационную или кибернетическую).
Основная тема. МОДЕЛИРОВАНИЕ
Моделирование (алгебр.) – операция установления отношения эквивалентности между двумя алгебраическими конструкциями для некоторых систем. Эти алгебраические конструкции (или
более общематематические конструкции) часто называют математическими моделями.
Все алгебраические конструкции можно сопоставить с соответствующими природными или техническими системами, а затем
заменить в экспериментах реальные природные и технические системы их математическими моделями. Такой подход получил
название математического моделирования технических и природных систем.
Другими словами, если сопоставляются математические модели с природными или техническими системами на предмет эквивалентности описывающих их математических структур, то говорят
о математическом моделировании.
Если при сопоставлении природных или технических систем
разного рода выясняется, что они имеют эквивалентные математические конструкции, то это позволяет заменить в экспериментах
и управлении (там, где это целесообразно) одни технические или
природные системы другими. Такой прием называется натурным
моделированием.
Алгебраическая конструкция – множество с установленными
отношениями. Если алгебраические конструкции двух множеств
совпадают, то эти множества эквивалентны. В случае полного эк-
Интерлюдия
Географическую сферу Земли можно представить как сложную кибернетическую систему, описываемую в виде набора кибернетических моделей. В современной географии декомпозиция элементов для реализации системного подхода проводится следующим образом. Географическая сфера
Земли (биосфера по В. И. Вернадскому) определяется как кибернетическая
система с прямыми и обратными связями двух сфер: {SG = SFG, SAG}, где SFG –
физико-географическая сфера, а SAG – техносфера (антропосфера). Это самостоятельные сложные системы со своими структурами GFG, GAG и связями
RFG, RAG.
Так SFG = {GFG, RFG}; SAG = {GAG, RAG}, где GFG = {ak}, GAG = {zk} являются множествами элементов, из которых состоят GFG и GAG. При этом RFG
и RAG отражают множество связей каждой сферы между элементами, а также
между элементами и средой.
28
29
Например, физико-географическая сфера SFG состоит из пяти основных
элементов – атмосферы, гидросферы, литосферы, почвы, и биосферы: SFG =
= {a1 a2 a3 … a5}. Структура каждой сферы задается матрицами структуры
и матрицами отношений в этой сфере. Аналогичным образом сфера может
быть представлена матрицами состояний, описывающих поведение элементов как сложных систем.
Отношения между элементами разных сфер тоже можно задавать соответствующими матрицами, которые описывают многомерные данные.
В свою очередь, учитывая иерархическую структуру сложных систем, можно
для примера описать структуру гидросферы. Она может быть задана своими
наборами матриц как a2 = {g1 g2 … g9}. Здесь могут быть представлены оболочки океанов и морей, стоковые оболочки, воды бессточных озер, вода
в атмосфере, а также воды ледников, мерзлых пород, биосферы, подземные
воды затрудненного водообмена и воды, связанные с минералами литосферы.
Введение системных моделей позволяет осуществлять количественное
описание и моделирование гео- и техносферы на основе многомерного статистического анализа c использованием программы SPSS. Учет временной составляющей процессов возможен за счет математического моделирования их
динамики с использованием пакета MATLAB. Учет пространственной компоненты в настоящее время решается за счет средств и алгоритмов геоинформационных систем типа ARC GIS INFO
Критерии – это количественные модели или алгоритмы, которые характеризуют качественные цели системы принятия решений.
Представим в виде множества совокупность составляющих
системы, которые мы можем установить, принимая определенное
решение (т. е. варианты принятия решений). В данном случае эти
составляющие называются альтернативами. С точки зрения
внешнего наблюдателя выбор альтернативы порождает определенное поведение системы (действие – результат). Альтернативы могут носить как количественный, так и качественный характер. Под
критерием в системном анализе понимается некий алгоритм, который выдает число, которое соотносится с альтернативой.
Представим множество вариантов (альтернатив) Ei  E.
С каждым вариантом Ei связывается некоторый результат di . Эти
результаты должны допускать количественную оценку (измерение).
Будем для удобства обозначать эти оценки символом ei. Оценки ei
могут характеризовать такие величины, как выигрыш, полезность,
надежность и т. д.
Задача принятия эффективного решения состоит в выборе
такой альтернативы, которая дает максимальное значение ei. (Если
речь идет о потерях, то ищется решение, минимизирующее ei.)
Весь «фокус» состоит в том, как задать алгоритм выбора этой альтернативы. Данный алгоритм и называется критерием.
Таким образом, правило выбора (критерий) можно описать на
языке теории множеств как E0 = {Ei0 / Ei0  E  ei0 = max ei}. Другими словами, множество E0 оптимальных альтернатив состоит из
тех вариантов Ei0, которые принадлежат множеству E всех вариантов, оценка ei0 которых максимальна среди всех оценок ei. Напомним, что каждой альтернативе соответствует определенное состояние системы.
Напомним также, что на открытую систему могут воздействовать различные внешние явления окружающей среды (состояния
природы), которые задаются соответствующими переменными Um.
Это приводит к тому, что для каждой альтернативы Ei образуется
свой «набор» результатов решений eim для каждого состояния природы Um. Эта совокупность результатов решений получила название матрицы решений || eij ||.
В подобной ситуации можно ввести так называемые целевые
функции, которые каждому варианту Ei приписывают такой результат eir (с учетом всех состояния природы), который будет отвечать конкретным целям системы: E0 = {Ei0 / Ei0  E  ei0 = max eir},
где величина eir задается как функция от матрицы решений. Эта
оценочная (целевая) функция задает «позицию» принимающего
решения (принимает решения сложная система или человек), которая позволяет перейти от «набора» результатов решений eim для
каждого состояния природы Um к одному решению ei с учетом цели-позиции.
Происходит свертка по строке матрицы || eij || и получается более простая матрица, состоящая из двух столбцов || eir || (матрица
оценочных функций). Из этой матрицы и выбирается альтернатива,
которая имеет экстремальное значение eir. Такой подход называется
однокритериальной задачей принятия решения.
Например, eir ищется как сумма максимумов и минимумов
по j : max eir = min eij + max eij. Такой подход можно считать компромиссной позицией. Аналогичным образом можно сформулировать «оптимистическую» позицию, позицию «нейтралитета»,
30
31
1.5. Методы системного анализа. Методы принятия решений
и «пессимистическую» позицию. В целом условия, накладываемые
на этот алгоритм, выражаются в следующем:
 лучшей (в обобщенном смысле) альтернативе соответствует большее значение критерия;
 критерий принимает неотрицательные значения;
 критерий нормирован на единицу (т. е. max = 1).
Реальные объекты (сложные системы) обладают целым набором частных критериев. Критерии могут отражать различные свойства сложных систем, носить противоречивый характер. Это означает, что в процессе выбора лучшего критерия могут возникать
конфликты. Тем не менее для принятия решения необходимо
учесть весь комплекс свойств сложной системы. Следовательно,
следует выработать интегральный критерий, объединяющий частные критерии (многокритериальная задача принятия решений).
1.5.1. Процедуры принятия решений
Определение. Под принятием решения в системном анализе
понимается процесс сокращения числа альтернатив. Если выбор
идет на основе одного критерия, то речь идет об однократном выборе. Сам алгоритм принятия решения называют решающей
функцией.
Методы поиска и принятия решений однокритериальной
задачи (в сугубо прикладном плане поиска алгоритма) – это:
1) использование вариационного исчисления;
2) метод условной максимизации.
Перечислим методы поиска и принятия решений многокритериальной задачи.
1. Поиск альтернативы с заданными свойствами:
а) задаем желаемые свойства объекта по всем альтернативам;
б) задаем границы целевой точки (допуск);
в) вычисляем расстояние между точками;
г) берем наименьшее расстояние.
2. Нахождение множества Парето (множество компромисса, переговорное множество):
а) задаем желаемые свойства объекта по всем альтернативам;
б) задаем границы целевой точки (допуск);
в) вычисляем расстояние между точками;
32
г) берем любое расстояние, удовлетворяющее допуску.
3. Метод бинарных отношений (попарно рассматриваются
все альтернативы):
а) полный перебор;
б) матрицы предпочтений.
Методы 1 и 2 используют теорию функций, а метод 3 может
работать и с качественными данными на основе методов абстрактной алгебры.
Если есть несколько конфликтующих критериев, то это проблема группового выбора.
В таком случае разрабатывается альтернатива выбора:
X* = F(xk1, xk2).
1.6. Методы системного анализа. Методы и принципы
управления сложными системами
Под управлением здесь и далее понимается процесс организации целенаправленного воздействия на объект, в результате которого объект переходит в требуемое (целевое) состояние.
Объектом (системой), который(ая) подвергается управлению,
будем называть ту часть окружающего мира, состояние которой
может быть количественно описано и на которую мы можем воздействовать целенаправленно.
Обозначим Х как воздействие среды на объект, а Y – как состояние объекта. Это состояние объекта может воздействовать на
среду.
Пример 1.4
Дано: объект – автомобиль; X –состояние дороги, освещение, погода.
Y = f (X).
Если процесс развивается во времени (динамические системы), то вместо функции используется оператор.
Y = F0(X), где X – вход объекта; Y – выход объекта.
В приведенном примере целенаправленное воздействие предполагает наличие субъекта, который задает цель управления.
В сложной системе в качестве субъекта может выступать и человек.
Такие системы называются антропогенными.
33
Интерлюдия
Цель управления и субъект управления, который задает эту цель, с точки зрения физики и точного естествознания могут пониматься как принцип
Ле Шателье для открытых, сложных неравновесных систем. Таким образом
можно трактовать эволюцию техносферы, экосистемы или биосферы.
Появление при анализе управления объектом «фигуры» субъекта совершенно необходимо, ибо только так можно понять, как
образуются цели управления. Если состояние Y объекта удовлетворяет потребностям субъекта, то никакого управления не нужно.
Субъект взаимодействует как с объектом, так и со средой. Теория
управления предполагает, что цель управления можно выразить количественно.
Примем Z как цель управления. Тогда цель управления можно
связать с состоянием объекта: Z = (Y). Математическое описание
процесса управления дается в специальной теории управления и
основывается на принципах поиска экстремумов многомерных
функций с ограничениями.
Глава 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
РАВНОВЕСНЫХ ИЗОЛИРОВАННЫХ (ЗАКРЫТЫХ)
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
2.1. Макроскопическое описание
термодинамических систем
Прелюдия
Основные принципы обеспечения безопасности жизнедеятельности
опираются не только на знание теории систем, но и на современную биологию, с одной стороны, и фундаментальные законы развития техносферы –
с другой. Современные технологии и биология активно используют современную термодинамику для описания энергетики сложных систем (живых
организмов, экосистем и антропотехнических систем, техносферы).
Законы термодинамики позволяют не только описать функционирование сложных технических систем, но и продвинуться в объяснении вопросов,
откуда живые организмы (как сложные системы) черпают необходимую
энергию, как именно эта энергия преобразуется в процессе жизнедеятельности организмов и экосистем, в каких формах она накапливается в экологических системах и как расходуется ими. Законы термодинамики являются той
теоретической базой, что позволяет дать единое описание техносферных
и биосферных процессов средствами системного анализа. В сочетании с теорией динамического хаоса неравновесная термодинамика описывает и эволюцию биосферы. Это дает надежду на возможность описания эволюции
техносфры.
Основная тема
При термодинамическом подходе к описанию свойств больших систем, состоящих из большого числа (N) объектов (частиц),
эти системы в физике и технике представляются как макроскопические тела. Такие системы в физике и технике принято называть
термодинамическими системами. При таком подходе ученыефизики не интересуются природой частиц, а только задают механизм и характер их взаимодействия.
В молекулярной физике удается установить связь между микроскопическими параметрами частиц (число частиц в единичном
объеме n, масса частиц m и скорость частиц v) и макроскопическими параметрами (давление p, объем V и температура T) термодинамических систем.
34
35
Частицы могут находиться как в хаотическом, так и в направленном (детерминированном, упорядоченном) движении. Хаотическое, недетерминированное движение – это движение со случайными векторами скоростей частиц. Такой вид движения в термодинамике определяется как тепловое движение. Взаимодействие
между частями системы (или с окружающей средой), которое осуществляется с помощью частиц, подверженных тепловым движениям, называется теплопередачей (или теплообменом).
В зависимости от механизма взаимодействия между частицами существует три разновидности теплопередачи. Если столкновения частиц хаотические, то это теплопроводность, если частицы
двигаются хаотически внутри облака, но последнее имеет определенное направление движения, то это конвекция. Наконец, если
частицы взаимодействуют с помощью электромагнитных волн, то
это излучение. Физическая величина, характеризующая этот процесс, получила название количество теплоты (Q).
Интерлюдия
Специально оговорим, что далее при описании микромира используется вероятностная картина описания недетерминированных свойств мира.
Эта картина в молекулярной физике строится на основе теории вероятностей. Микроскопическое описание дается на языке распределений вероятностей скоростей молекул, средних скоростей, средних напряженностей полей
и других физических параметров, представляющих собой случайные величины. Зависимость случайных величин от времени и пространства задается
в теории случайных процессов. Если часть параметров случайных процессов не зависит от времени, то говорят о стационарности этих процессов.
Стабильность некоторых характеристик от времени и пространства часто
описывается как эргодичность процессов.
При макроскопическом описании случайный характер физических
процессов в веществе (в термодинамических системах) «зашифрован»
в таких физических величинах, как температура и количество теплоты.
Связь между физическими величинами, описывающими макро- и микросвойства материи, осуществляется через операцию усреднения физических величин, которые, напомним, являются случайными величинами.
Основная тема
Детерминированная (упорядоченная) составляющая движений
частиц в молекулярной физике связывается с понятием работы.
Направленное (упорядоченное) движение предполагает, что векторы скоростей частиц носят однонаправленный (компланарный) ха36
рактер. При его описании иногда используют слово порядок. Однако следует подчеркнуть, что имеется в виду порядок динамического типа. Ситуация регулярного статического пространственного
расположения частиц в пространстве, которая обычно ассоциируется с обыденным пониманием слова «порядок», в данном случае не
рассматривается.
Направленное взаимодействие между частями системы (или
с окружающей средой), которое осуществляется с помощью частиц,
движущихся с компланарными векторами скоростей, в термодинамике условно называется работой.
Часто физики используют образное выражение, говоря, что
работа либо «совершается» над термодинамической системой, либо
сама система «совершает» работу над другой системой. Здесь физики используют язык метафор, который позволяет строить короткие запоминающиеся фразы. Иногда физическая величина, которая
характеризует этот процесс, для краткости речи также называется
работой (A).
Итак, мы установили, что в сложных системах наблюдается
два вида движений. В первом случае движение может быть упорядоченным (динамический порядок), когда все частицы движутся
согласованно. Этот вид движений количественно описывается кинетической энергией движения частиц на отдельных участках термодинамической системы либо на участках в окружающей среде.
Во втором случае все частицы движутся произвольным (случайным) образом. В этом случае движение может описываться кинетической энергией хаотического движения частиц, которая называется тепловой энергией.
Специально отметим, что в молекулярной физике описываются оба вида движений. Для одновременного количественного описания обоих движений в макроскопической физике удобно использовать такие физические величины, как количество теплоты
и работа.
При микроскопическом описании в рамках теории вероятностей и теории случайных процессов для описания таких сложных
движений используют аппарат корреляций, который удачно определяет количественные меры «детерминированности» (или меру
неопределенности, или меру частичной упорядоченности) случайных явлений (коэффициент корреляции, независимость, энтропия
37
распределения и т. д.). Очевидно, что такая термодинамическая модель, с одной стороны, хорошо иллюстрирует физические свойства
газов и твердых тел, а с другой – отвечает нашим наглядным представлениям о больших технических и биологических системах.
Наши наглядные физические представления, «наработанные» в статистической термодинамике, помогут более ярко и «выпукло»
представить физический смысл таких трудных для восприятия системных понятий, как информация, энтропия, обратная связь,
память, оптимальное управление, гомеостаз, эволюция, морфогенез, метаболизм и автокаталитические реакции.
Эти понятия необходимы для описания процессов в экологических и технологических системах, а особенно для описания процессов взаимодействия производств с окружающей средой, оптимального управления охраной природы и дистанционного зондирования окружающей среды. Глубокое понимание данных процессов
невозможно без знания основ статистической термодинамики.
Термодинамическая система называется закрытой, или изолированной, если не имеет никакого взаимодействия с окружающей средой и состоит из фиксированного числа частиц N. Состояние системы, в котором она может находиться, не изменяясь сколь
угодно долго, называется равновесным. Такое состояние однозначно задается совокупностью независимых физических параметров – макроскопических параметров состояния. Основными из них
являются: V – объем системы, p – давление и T – температура.
Давлением p называется физическая величина, численно равная силе f, действующей на единичную площадь s по направлению
внешней нормали:
p = df / ds.
(2.1)
Объем системы V устанавливает границы распространения частиц и тесно связан с плотностью системы (тела). Плотность  – это
физическая величина, численно равная отношению массы m малого
тела элемента системы к величине объема этого элемента:
 = dm / dV.
38
(2.2)
Температура Т – это количественная мера интенсивности хаотического (теплового) движения частиц (молекул, атомов, ионов).
Температура характеризует состояние теплового равновесия системы: все части системы, находящиеся друг с другом в тепловом равновесии, имеют одну и ту же температуру T, выражаемую через
давление (см. (2.1)), объем и N – число частиц:
T = pV / N.
(2.3)
Напомним, что взаимодействие системы с окружающей средой может осуществляться как посредством обмена веществом (частицами), так и через влияние физических полей (гравитационного,
электрического, магнитного) на вещество. Образно эти утверждения в экологии, биологии и ноксологии обозначаются как потоки
вещества и энергии. Эти потоки обеспечивают существование живых систем.
Пример 2.1
Согласно Ю. Н. Куражсковскому, принцип энергетической проводимости, или второй закон экологии, утверждает: «Жизнь может существовать
только в процессе движения через живое тело потока веществ, энергии
и информации. Прекращение движения в этом потоке прекращает жизнь».
Научное описание потоков информации рассматривается в следующих
главах.
Если взаимодействия с окружающей средой нет, то система
называется закрытой, или изолированной.
Всякое изменение в термодинамической системе, связанное
с изменением параметров состояния, называется термодинамическим процессом. Состояние термодинамической системы
(см. (2.2), (2.3)) описывается с помощью уравнения состояния
p = f (V, T); pV / T = const.
(2.4)
Иногда выражение (2.4) называется уравнением Клапейрона –
Менделеева. Оно показывает, что для идеального газа отношение
произведения давления и объема к абсолютной температуре при
фиксированной массе есть величина постоянная.
39
Часто термодинамический процесс называется равновесным,
если система бесконечно медленно переходит через непрерывный
ряд бесконечно близких равновесных состояний (иногда такой процесс называют квазистатическим). Напомним, что равновесным
состоянием называют состояние системы, не изменяющееся с течением времени. При этом во всех частях системы, находящейся
в равновесном состоянии, температура одинакова.
Если происходит соприкосновение двух тел с различной температурой, то (как часто говорят физики) путем теплообмена происходит «передача» внутренней энергии от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой. Этот процесс прекращается только тогда, когда температуры обеих систем становятся равными. Если он еще не прекратился, говорят о квазиравновесном
(т. е. о близком к равновесному) или квазистатическом термодинамическом процессе (т. е. о процессе, который развивается так медленно, что его можно считать почти равновесным). С точки зрения
математики неравновесные термодинамические процессы характеризуются тем, что их параметры являются функциями времени,
с точки зрения физики – тем, что происходит взаимодействие между элементами системы и окружающей средой.
Иногда описываются взаимодействия между частями закрытой (изолированной) термодинамической системы. Примером такого описания может быть описание тепловой машины. Аналогичным образом некоторые авторы дают описание информационных
процессов в каналах связи и компьютерных системах. Здесь, разумеется, речь идет о квазистатических или квазиравновесных системах.
2.2. Внутренняя энергия термодинамических систем
Результат взаимодействия термодинамической системы
с окружающей средой (процесс преобразования энергии) описывается с помощью двух физических величин: количества теплоты (dQ)
и суммарной работы (dA). Эти физические величины количественно описывают две формы взаимодействия термодинамических систем или их частей. Суммарная работа – это количество энергии,
«переданной» системе внешними телами при взаимодействии между ними. Обычно эта физическая величина (в термодинамике dA)
тоже именуется работой.
Последнее утверждение для краткости традиционно формулируют следующим, почти метафорическим образом: в результате
взаимодействия с окружающей средой термодинамическая система может «отдавать или получать некоторое количество
тепла» dQ, может «совершать работу <…> или над ней будет
совершена работа» dA.
Интерлюдия
Подчеркнем, что приведенное определение является, по сути, лишь фигурой речи, метафорой. Роль подобных определений в физике состоит в том,
чтобы давать яркие, короткие, удобные для запоминания мнемонические образы, которыми удобно пользоваться при условии их правильного толкования. В статистической физике, термодинамике и теории информации такие
метафоры используются часто. К подобного рода метафорам можно отнести
и многочисленные выражения типа «тело получило энергию», «энергия
была отдана другому телу», «энергия произведена источником» и т. д.
В технических и научных текстах следует выявлять подобные метафоры
и уметь правильно их интерпретировать. Особо отметим, что метафоры типа
«излучение энергии», «генерация энергии», «передача энергии» часто физиками и инженерами связывается с взаимодействиями, в которых участвуют
особые формы материи физические поля (например, электромагнитные или
гравитационные поля).
Основная тема
Совокупность всех видов энергии в термодинамической системе определяется как внутренняя энергия системы (U). Внутренняя энергия термодинамической системы складывается из кинетической энергии частиц, составляющих систему, потенциальной
энергии взаимодействия частиц и внутренней энергии самих частиц. В простейшем случае внутренняя энергия самих частиц не
рассматривается.
Основная тема
Исходя из огромного эмпирического опыта был сформулирован первый закон термодинамики.
Изменение внутренней энергии системы должно быть равно
сумме количеств тепла и работы, полученных системой от окружающей среды:
40
41
2.3. Первый закон термодинамики. Тепловая машина
dU  dQ  dA * ,
(2.5)
где dU – изменение внутренней энергии; dQ – количество тепла,
переданное системе; dA* – работа, совершенная над системой (если
обозначить dA* как –dA, то dA – это работа, совершаемая системой).
Интерлюдия
Исторически более традиционной является следующая формулировка
первого закона: количество теплоты, сообщаемое системе, расходуется на
изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы
против внешней среды. Соответственно дается и формульное выражение
первого закона:
dQ = dU + dA, dU = dQ – dA.
(2.6)
В этой форме записи закона (см. (2.5)) подчеркивается техническая
и технологическая важность специального процесса теплопередачи (данный
процесс называется тепловой машиной), в котором за счет изменения количества теплоты в определенной системе тел возможно «совершение работы».
Такого рода процессы являются хорошей моделью многих антропогенных
и техносферных систем, а также многих процессов в биосфере. Поэтому рассмотрим эту форму закона более подробно.
В данном случае (см. (2.6)) происходит теплопередача от одного макроскопического тела-нагревателя к другому макроскопическому телухолодильнику через третье тело – рабочее. Рабочее тело – это термодинамическая система, совершающая круговой процесс, т. е. возвращающаяся в исходное состояние. При этом оно обменивается энергией с другими телами.
Первый закон термодинамики для этого процесса Q = dU + A. Пусть Q =
= Q2 – Q1 – это количество теплоты, сообщенное рабочему телу в круговом
процессе, когда сначала рабочее тело получает тепло (Q1) от нагревателя,
а затем теплоизолируется и совершает работу (A); далее рабочее тело отдает
тепло (–Q2) холодильнику и затем снова теплоизолируется, возвращаясь
в исходное состояние. Учитывая, что в круговом процессе полное изменение
внутренней энергии dU равно нулю, имеем: Q = dU + A = A, или A = Q1 – Q2.
При этом рабочее тело способно совершать работу A над внешними телами.
Такая система получила название тепловой двигатель.
Условием совершения работы является превышение температуры
нагревателя T1 над температурой холодильника T2 – или, другими словами,
превышение количества теплоты Q1, переданного от нагревателя рабочему
телу, над количеством теплоты, полученным холодильником от рабочего тела Q2. Количественно это выражается как A = Q1 – Q2. Более высокая температура T1 нагревателя означает, что случайные скорости его молекул велики
42
по сравнению со случайными скоростями молекул холодильника. Рабочее
тело машины устроено таким образом, что появляется возможность частично
преобразовывать случайные скорости молекул в одинаково направленные
(коллинеарные), т. е. есть «совершить работу». Это удается сделать благодаря одной подвижной стенке цилиндра, внутри которого расположено рабочее
тело. При этом, естественно, доля молекул с большими случайными скоростями снижается, т. е. температура уменьшается (T2 < Т1). Для повторения
цикла надо снова «нагреть» рабочее тело до температуры Т2 с помощью
нагревателя.
Первый закон термодинамики подчеркивает фундаментальную роль
закона сохранения энергии. Нельзя построить периодически действующий
двигатель, который совершал бы большую работу, чем та энергия, которая
подводится к двигателю извне. Это процесс поддержания температуры
нагревателя. Он предполагает проведение химических реакций, протекающих с выделением внутренней энергии определенных химических соединений. Разность температур нагревателя и холодильника поддерживается
за счет подачи дополнительной химической энергии извне.
Пример 2.2
Характерный пример использования первого закона термодинамики
в естествознании – знаменитая серия опытов, в которой живой организм помещался в калориметр Этурворта – Роза. Прибором измерялось количество
тепловой энергии Q, которую этот организм выделял после принятия фиксированного количества пищи. Аналогичное количество пищи сжигалось в калориметре, а выделяемая тепловая энергия тоже регистрировалась. Замечательным оказалось равенство тепловой энергии, выделяемой в обоих случаях. Отсюда был сделан вывод об аналогичности окислительных процессов
при горении веществ и жизнедеятельности живых организмов. Указанный
опыт исходил из предпосылки, что внутренняя энергия U системы остается
постоянной.
Основная тема
Следует особо отметить, что внутренняя энергия U является
однозначной функцией термодинамического состояния системы.
Значение внутренней энергии в любом состоянии не зависит
от специфики процесса, с помощью которого система пришла
в данное состояние (dU – это полный дифференциал). В отличие
от внутренней энергии, работа (dA) и количество теплоты (dQ) зависят не только от начального и конечного состояний системы,
но и от пути (процесса), по которому происходило изменение состояния этой системы.
43
Другими словами, количество теплоты (Q) и работа (A) – это
физические величины, которые описывают способы преобразования энергии. Еще раз напомним, что фундаментальными физическими величинами, характеризующими различные формы энергии,
являются: полная механическая энергия тела (Wобщ = Wк + Wп), кинетическая энергия тела (Wк), потенциальная энергия (Wп) и внутренняя энергия (U) тела. Тело здесь рассматривается как термодинамическая система.
В процессе передачи энергии от более горячего тела к более
холодному возникает удивительная асимметрия. Прямой процесс
теплообмена между взаимодействующими телами (т. е. когда горячее тело остывает, передавая некоторое количество теплоты более
холодному телу, которое, таким образом, нагревается) происходит
самопроизвольно. Самопроизвольного нагревания горячего тела за
счет передачи ему теплоты более холодным телом не происходит.
Такого рода процессы теплообмена при конечной разности температур называются необратимыми процессами. Существование необратимых термодинамических процессов количественно описывается вторым законом термодинамики.
2.4. Второй закон термодинамики. Энтропия
Немаловажен тот факт, что запас энергии в системе не может
служить критерием направленности термодинамического процесса,
так как в изолированных системах энергия остается постоянной.
Более образно можно сказать: важно, что теплота не может передаваться от менее нагретого тела к более нагретому самопроизвольным образом. Для такой теплопередачи требуется дополнительный энергокомпенсирующий процесс. Напротив, теплота самопроизвольно передается от более нагретого тела менее нагретому.
Этот процесс количественно можно выразить как теплообмен
между двумя телами:
(Q1 / T1  Q2 / T2 )  dS ,
(2.7)
где Q1 – количество теплоты, полученное первым телом; T1 – температура первого тела; Q2 - количество теплоты, отданное вторым
44
телом; T2 – температура второго тела; dS - физическая величина,
характеризующая этот самопроизвольный необратимый процесс.
Учитывая, что процесс носит естественный характер, получим
T2  T1; Q1  Q2  Q;
(2.8)
Величина dS в выражении (2.7) получила название полного
дифференциала энтропии функции S, зависящей, как и внутренняя энергия, лишь от состояния системы. Сама величина S получила название термодинамической энтропии. Как видно из (2.8),
в самопроизвольных необратимых процессах теплообмена термодинамическая энтропия (или просто энтропия) увеличивается:
dS > 0.
(2.9)
Это и есть количественная формулировка второго закона термодинамики. Этот закон является фундаментальным экспериментальным фактом. Выражение (2.9) и есть тот критерий, который
определяет направление необратимого процесса теплообмена
в изолированной (закрытой) системе.
Более традиционное определение второго закона термодинамики:
В изолированной системе энтропия возрастает при необратимых процессах:
dS > dQ / T.
(2.10)
Еще один аспект второго закона термодинамики – неравноценность работы и теплоты как двух форм передачи энергии. Переход упорядоченного движения тела как целого в хаотическое движение частиц является необратимым процессом, происходящим без
дополнительной энергокомпенсации.
Интерлюдия
Напомним, что, по существу, понятие теплоты включает в себя понятие случайного движения (движения со случайным вектором скорости)
(см. (2.10)). А понятие работы (А) включает в себя интуитивное понятие порядка, упорядоченности.
45
Интуитивное понятие случайного события или движения строго описывается в рамках теории вероятности и теории случайных процессов.
Интуитивное понятие упорядоченного движения строго описывается в рамках аналитической механики (динамический порядок) в теории дифференциальных уравнений. Интуитивное понимание порядка и структуры уточняется
в теории динамических систем (динамический порядок, динамическая
структура). В случае обоих движений интуитивное понятие порядка описывается в рамках теории случайных процессов (марковские процессы, стохастические дифференциальные уравнения), где понятия эволюции
во времени вводятся достаточно строго.
Основная тема
В термодинамических процессах упорядоченное движение
может естественным образом переходить в неупорядоченное.
Условно физики говорят о процессе перехода работы в теплоту.
И напротив, переход неупорядоченного движения частиц тела
в упорядоченное движение невозможен без энергокомпенсирующего процесса (тепловая машина). Направленность первого процесса
определятся тем фактом, что данный процесс может происходить
произвольно (пример – движение тел с трением).
Здесь возникает важное понятие необратимости термодинамического процесса. Суть необратимости состоит в том, что происходит самопроизвольный переход кинетической энергии частиц системы в тепловую энергию системы (диссипация энергии). На метафорическом языке речь идет о необратимом превращении работы
в теплоту. Учитывая важность и глубину второго закона термодинамики, приведем две его формулировки, которые имеют особое
значение в организации техносферной безопасности и промышленной экологии.
1. Невозможен процесс, единственный результат которого –
превращение всей теплоты, полученной от некоторого тела, в эквивалентную ей работу. Это фундаментальная причина тепловых загрязнений.
2. Невозможен процесс, единственный результат которого –
передача энергии в форме теплоты от менее нагретого тела более
нагретому.
Пример 2.3
Важные примеры проявления второго закона термодинамики – процессы в техно- и биосфере. Благодаря современным технологиям человечество получило практически неограниченные возможности по «добыванию»
46
внутренней энергии U (атомные электростанции). При этом, согласно второму закону термодинамики, получение такой энергии обязательно сопровождается выделением значительного количества теплоты Q. Все это ведет
к увеличению средней температуры. Такого типа явления получили специальное название теплового загрязнения. В сочетании с парниковым эффектом, который тоже вносит свою лепту в повышение средних температур на
Земле, увеличение масштабов теплового загрязнения крайне нежелательно,
так как существование экосистем и биосферы возможно лишь при определенном температурном режиме, нарушение которого чревато их гибелью.
Это еще одна иллюстрация того, насколько важно соблюдать баланс
потоков энергии и вещества согласно второму закону экологии, о котором
говорилось выше с точки зрения ноксологии. Нарушение этого баланса приводит к экологической или техносферной катастрофе (гибели живых организмов, экосистем, техносферы и биосферы).
2.5. Условие термодинамического равновесия
Основная тема
Выведем уравнение, которое объединяет первый и второй законы термодинамики. Используя (2.10), получаем TdS > dQ. Подставив dQ в уравнение dU = dQ – dA, имеем
dU  TdS  dA.
(2.11)
Согласно второму закону термодинамики (см. (2.11)), в закрытой системе могут самопроизвольно проходить только такие процессы, при которых энтропия системы возрастает. Экспериментально показано, что энтропия достигает максимального значения,
когда система приходит в термодинамическое равновесие, т. е. соблюдается принцип максимума энтропии как условие равновесия.
Поэтому условием равновесия закрытой системы является
максимум ее энтропии системы:
S = Smax.
(2.12)
Важно то, что энтропия остается постоянной или уменьшается при любых малых отклонениях системы от состояния
равновесия. Естественным процессом является стремление изолированной системы к состоянию равновесия. При этом в процессе
47
стремления к равновесию энтропия изолированной системы возрастает.
Условию равновесия с учетом (2.11) и (2.12) можно придать
следующую форму:
dA  TdS  dU .
где dA = pdV – работа, которую совершает система против внешнего давления; параметр j – химический потенциал.
Химический потенциал количественно в уравнении (2.16)
описывает изменение внутренней энергии тела при изменении числа чаcтиц при постоянных энтропии и объеме тела.
(2.13)
2.6. Статистическое описание термодинамической системы
Введем новую физическую величину F, которая показывает
ту часть внутренней энергии, которая может быть «высвобождена»
в работе, совершаемой системой, согласно второму закону термодинамики. Для этого в формуле (2.13) фиксируем T = const и преобразуем выражение в правой части неравенства:
dA  d (TS  U ).
(2.14)
Примем равенство F = U – TS. (Величина F получила название
свободной энергии системы.) Метафорически можно говорить
о «качестве энергии», которая выражается через F. В экологии,
биологии и ноксологии говорят об энергии «высокого качества».
Выведем условие равновесия:
dS   dF .
(2.15)
Из уравнений (2.14), (2.15) следует ряд важных закономерностей:
1. В изотермических процессах работа системы равна убыли
свободной энергии системы.
2. При любых малых отклонениях необратимых систем от положения равновесия свободная энергия системы возрастает.
Из уравнений (2.12), (2.15) следует, что внутренняя энергия
системы может изменяться за счет обмена теплом и работой.
Но энергия системы может изменяться и при изменении числа частиц N в ней. Это связано с тем, что каждая уходящая из системы
частица уносит определенное количество энергии. Отсюда уравнение (2.10) принимает вид
dU  TdS  pdV  jdN ,
48
(2.16)
Прелюдия
Состояние системы, зафиксированное посредством задания макроскопических параметров, определяют в термодинамике как макросостояние.
Также состояние системы можно описать, например, заданием набора координат и составляющих импульсов частиц системы. Состояния, задаваемые
таким образом, называются микросостояниями.
Микросостояние для системы, состоящей из N частиц, задается с помощью 3N-координат и 3N-составляющих импульса. Каждый набор микросостояний системы соответствует определенному макросостоянию. Наборы
микросостояний можно описать на языках комбинаторики и теории вероятностей. На этих же языках можно зафиксировать связь между макроописанием и микроописанием термодинамических систем.
Пример 2.4
Рассмотрим ключевую комбинаторную задачу. Итак, необходимо вычислить число способов, позволяющих реализовать данное макросостояние.
Однако число этих способов М может быть достаточно велико. Поэтому
в физике такое число получило условное название термодинамической вероятности (термодинамический вес).
Рассмотрим простой пример: N молекул размещено в двух частях сосуда таким образом, что в одной части сосуда имеем N1 молекул, а в другой части сосуда – N2 молекул (N = N1 + N2). Число способов, которыми можно получить данное состояние системы, согласно биномиальной схеме составит
M  N ! /( N1! N 2! ).
В общем случае имеется не две, а n ячеек. Число частиц, которые распределяются по этим ячейкам, равно N. Число частиц в каждой ячейке – это
Ni (i = 1, ..., n). Тогда число состояний M определим следующим образом:
M  N ! /( N1! N 2! ... N n ! ).
(2.17)
Эксперимент показывает, что при большом числе частиц наибольшее
число способов, которым достигается данное макросостояние, получается
49
для таких микросостояний, при которых распределение частиц по объему
приближается к равномерному.
Иными словами, «природа стремится» к более естественному (которое
достигается наибольшим числом способов) макросостоянию.
Вероятностный подход. Если рассмотреть данную задачу как
вероятностную, то, исходя из классического определения вероятности, можно дать описание данного природного феномена на основе
вероятностного эксперимента.
Итак, исходя из классического определения вероятности,
можно сделать вывод о том, что составное событие (2.17) (макроскопическое состояние), получаемое множеством способов, будет
появляться гораздо чаще, чем составное событие, которое можно
получить редким сочетанием элементарных событий. В физике
и инженерии используется частотный способ (измерения) вычисления вероятности как наиболее объективный.
Пример 2.5
Будем бросать игральную кость много раз (серия из n испытаний).
В качестве одного составного события (макросостояния) примем следующее:
выпадение хотя бы одного четного числа на грани игральной кости в этой серии испытаний (бросков). В качестве другого составного события примем
выпадение всех шестерок в серии испытаний.
В данном примере понятно (интуитивно и экспериментально), что частота (или вероятность) последнего составного события очень мала при повторении серии испытаний. Между тем вероятность (или частота) первого
составного события весьма велика при повторении той же серии испытаний.
Очевидно, что при каждом отдельном броске вероятность выпадения четного
числа на грани игральной кости должна быть одинаковой, если мы хотим достичь наибольшего числа случаев выпадения четных чисел на гранях игральных костей в серии испытаний.
Возвращаясь к задаче распределения частиц в объеме, можно сказать
на вероятностном языке, что наиболее вероятным (наиболее естественным)
является равномерное распределение частиц по объему.
Основная тема
Вернемся к случаю двух ячеек и фиксированного множества
случайно перемещаемых частиц. Предположим, что случайно реализовалось состояние, когда в одной ячейке находится одна частица, а в другой ячейке – все остальные. Очевидно, что такое макросостояние может быть реализовано лишь одним способом (если
50
считать все частицы принципиально неразличимыми). Но если рассматривать макросостояние, при котором число частиц в обеих
ячейках велико, очевидно, что этот случай можно получить многими способами. Это означает, что второе макросостояние будет
встречаться гораздо чаще, чем первое (оно более естественно, более
вероятно).
На этом комбинаторном языке можно сформулировать и задачу поиска такого распределения частиц, при котором достигается
максимальное число способов получения состояний N1, N2.
Это первая вариационная задача статистической термодинамики.
Ее решением в данном конкретном случае (когда нет дополнительных ограничений на механизм распределения частиц) является равномерное распределение частиц по объему.
Учитывая то, что мы реально существуем в средах, где реализуется эта закономерность, такой вывод кажется нам естественным.
Иными словами, данное утверждение формулируется в виде принципа равновесности, который гласит следующее: если система
замкнута и предоставлена самой себе, то она будет стремиться
к состоянию с максимумом термодинамической вероятности
(максимумом числа способов, максимумом числа микросостояний,
приводящих данную систему к наиболее вероятному состоянию).
Такое наиболее равномерное распределение частиц (наиболее
вероятное состояние) называется в макроскопической термодинамике равновесным состоянием системы.
Если равновесное состояние не достигнуто, то система будет
изменяться, стараясь достигнуть такого состояния. Это неравновесный процесс, где параметры термодинамической системы будут являться функциями времени.
Если система закрыта (замкнута), то этот процесс закончится
и система окажется в равновесном состоянии. Но если система открыта, т. е. существует взаимодействие с окружающей средой,
то процесс будет принципиально неравновесным.
Заметим, что нами уже названа физическая величина – энтропия S, – максимизация которой приводит к наиболее вероятному
(наиболее естественному, происходящему самопроизвольно) равновесному состоянию системы. Эта величина характеризует, по сути дела, степень отклонения системы от состояния равновесия.
51
Принцип Больцмана гласит: можно отождествить термодинамическую вероятность М (число микросостояний) с термодинамической энтропией S.
Эти физические величины характеризуют одно и то же явление с позиций соответственно макро- и микроскопического описания термодинамической системы, и обе склонны к возрастанию
в закрытых термодинамических системах.
Однако величина М обладает важным недостатком, который
мешает ее использованию в физике и технике: термодинамическая вероятность не обладает свойством аддитивности, которое
принципиально необходимо для физических величин. Поэтому
Больцман ввел физическую величину, которая называется статистической энтропией, физически тождественную термодинамической энтропии, введенной ранее. Для придания свойства аддитивности вычисляется логарифм М:
S  k ln M ,
(2.18)
где k – константа Больцмана.
Напомним – сообщение физически фиксируется в виде знаков (символов), а знак – это конкретный физический объект, который используется
в качестве указателя на другой объект (денотат). При этом денотат представляет интерес своим свойством, которое отражается в сознании человека
и называется концептом. Иначе говоря, для создания концепта (отражения
в сознании человека объекта – денотата) используют другой физический объект, называемый знаком, так как обычно сам исходный физический объектноситель свойства (денотат) бывает неудобен для практического использования в качестве знака. Рассмотрим шутливый пример. Несколько человек
находятся в Египте и видят пирамиды. Пирамиды – это денотат. Отражение
в сознании людей пирамид есть концепт. Люди договариваются о том, что,
если они уедут из Египта и им покажут предмет, который всегда под рукой –
символ-знак (например, авторучку), то они сразу в своем сознании увидят
пирамиды. Приехав в Петербург, путешественникам показали авторучку
(знак), который сразу воскрешает в их сознании пирамиды. Если мы не хотим сами показывать авторучку (символ-знак), а желаем переслать ее обозначенной группе людей, то знак, передаваемый в пространстве или во времени,
будет называться сообщением. Описанное «изобретение», состоящее из денотата, символа и концепта, называется треугольником Фреге. Символзнак, предназначенный для передачи в пространстве или во времени, называется сообщением.
Итак, сообщение – это совокупность знаков (совокупность конкретных физических объектов – указателей на денотаты), предназначенных для
передачи в пространстве или во времени.
Пример 2.6
Рассмотрим еще одну разновидность термодинамических систем, в которой в каждой ячейке (подсистеме) появляется одна частица одного типа из
возможного набора (алфавита) типов частиц. Всего в алфавите m типов частиц. Такие системы встречаются в технике связи и называются источниками сообщений и каналами связи. Понятие источников сообщений и каналов связи является центральным в информатике, биофизике и биоинформатике. Исследование вопросов эволюции и безопасности техносферы
невозможно без изучения информационных процессов в техносфере.
Другими словами, в ряде физических систем с информационными процессами термодинамическая система состоит из n подсистем, которые в свою
очередь имеют собственный набор m состояний. Рассмотрим более подробно
несколько образцов таких физических систем.
Итак, физическая система под названием сообщение состоит из набора
знаков (физических объектов, частиц) числом n (набор состояний системы).
Знаки выбираются из алфавита объемом m. Физическое явление, порождающее сообщение, естественно назвать источником сообщений. Для количественного описания источника сообщений и отдельных сообщений используется физическая величина – энтропия. Энтропия характеризует неопределенность состояния сообщения, выдаваемого источником.
Пример 2.7
Рассмотрим еще один пример физической системы, с помощью которой осуществляется передача сообщений, – канал связи. Канал связи – это
физический объект (система), обладающий физической возможностью передавать свои состояния на большие расстояния. Для этого сообщения в канале
связи преобразуются в другие специальные физические объекты, именуемые
сигналами (физический процесс преобразования называется модуляцией).
Смысл такого преобразования состоит в том, что физические объектысигналы более удобны для передачи по каналам связи.
Состояния канала связи X описываются набором знаков-символов длиной n. Символы выбираются из алфавита объемом m. Такой набор символов
фиксированной длины и называется дискретным каналом без помех.
Источник сообщений и канал связи без помех могут быть описаны
с помощью энтропии S. Здесь энтропия характеризует априорную неопределенность сообщений, генерируемых источником сообщений и передаваемых
по дискретному каналу без помех.
Энтропия источника, нормированная на единицу времени, необходимого для генерации одного сообщения, называется производительностью
52
53
источника. Аналогичным образом вводится понятие пропускной способности канала.
Интуитивно очевидно, что чем неожиданней (неопределенней) сообщение, тем оно ценнее. С точки зрения термодинамики неожиданность – это
равнораспределенность состояний системы. А равнораспределенность микросостояний – это наиболее естественное макросостояние. Поскольку в природе реализуется наиболее естественное поведение макросистем, в них предполагается равнораспределенность (максимальная неожиданность) микросостояний.
Пример 2.8
Система дистанционного зондирования может выступать в качестве
источника сообщений или в роли канала связи. Для оценки качества ее работы можно использовать принцип максимума энтропии. Природные образования на больших поверхностях подчиняются принципу наибольшей энтропии.
Этот же принцип можно использовать для оптимизации обработки изображений при выделении определенных техногенных объектов на фоне природных подстилающих поверхностей. Здесь можно использовать тот факт, что
обнаруживаемый объект отличается своими статистическими текстурными
особенностями от природных подстилающих поверхностей, которые подчиняются принципу наибольшей энтропии. Это и позволяет выделить его
на фоне подстилающей поверхности.
Интерлюдия
Источник сообщений, по существу, является «окном в мир» микросостояний. Чем неожиданней микросостояние, выдаваемое источником, тем
оно «интереснее» и «полезнее» для потребителя сообщений, ибо существование потребителя зависит от возможности предсказать поведение макрообъектов. Поэтому более «качественный» источник сообщений обладает большей энтропией.
Основная тема
Для количественного описания рассмотренных ранее физических систем общее число состояний M термодинамической системы в целом равно числу состояний в подсистемах m в степени n
(где n – число подсистем). Отсюда (см. (2.18)) энтропия H такой
термодинамической системы
S = H = Kln M,
где n = ln M / ln m; M = mn; K= 1/ln m.
54
(2.19)
Из уравнения (2.19) видна роль константы K. Возможно рассмотрение более сложной системы. Допустим, имеется сообщение
из N букв. В алфавите m букв. Всего в сообщении содержится N1
букв типа А, N2 букв типа Б и т. д. Общее число различных последовательностей из букв m-буквенного алфавита равно M (см. формулу (2.17)).
Отметим, что возможны и другие значения константы, принятые в теории информации. Так, при K = 1 энтропия измеряется
в натах, а при K = 1 / ln 2 – в битах. В случае макроскопической
термодинамики имеем так называемую физическую шкалу K = k,
где k – это постоянная Больцмана, k = 1,38  10–23 Дж/К.
Пример 2.9
Представим термодинамическую систему как набор n игральных костей. Каждая кость имеет m состояний (m = 6). Число костей в наборе составляет n. Число состояний M данной сложной термодинамической системы
равно m в степени n. Если число костей n в системе равно двум (n = 2), тогда
общее число состояний составит 36 (М = 36). Другим примером термодинамической системы, в которой части системы имеют свои наборы состояний,
может служить набор монет. Так, если число монет равно n, то общее число
состояний может равняться 2 в степени n.
Пример 2.10
Пусть мы имеем слово, состоящее из n букв. Всего букв в алфавите m.
Каждая буква может появляться с равной возможностью. Тогда число возможных слов, которые можно составить, равно M.
Пример 2.11
К самым простым динамическим системам относится одиночная игральная кость. При ее выбрасывании число состояний m = 6. При этом n = 1.
Еще одна система – это ферзь на пустой шахматной доске. Здесь число состояний системы составит m = 64.
Основная тема
Перейдем к вероятностному описанию энтропии. Возможность выпадения конкретной грани одной кости выражается числом, написанным на грани x. Тогда случайная величина x принимает одно из m значений. Отсюда вероятность случайной величины x
равна P(x) = 1 / m (см. пример 2.3).
Если совершается n бросков, то в качестве случайной величины x выступает последовательность случайных чисел длиной в n.
55
При этом вероятность P(x) составит 1 / M, где М – возможное число
таких последовательностей (на термодинамическом языке это число состояний системы) (см. примеры 2.8 и 2.9).
Приведенное описание предполагало, что система может принимать фиксированное число состояний. Эти состояния в наиболее
общем случае могут задаваться случайными величинами x = xi (при
этом i = 1, …, M, где M – число состояний системы). В этой конкретной ситуации все состояния являются равновероятными, т. е.
вероятность находится при данном i в состоянии Pi = 1 / M = P. Используя соотношение ln M =– ln (1 / M), можно вычислить случайную энтропию (статистическую энтропию):
S  K ln M   K ln ( 1 / M )   K ln P.
(2.20)
Интерлюдия
Некоторые физики (М. В. Волькенштейн, Г. Хакен) предлагают энтропию (см. формулу (2.20)) прямо интерпретировать как информацию либо как
информационную энтропию. В настоящей работе за этой физической величиной сохраняется название «энтропия». Как будет показано далее, в одном
частном случае эта энтропия может быть численно равна физической величине «количество информации», которая будет введена ниже и которая
имеет определенный физический смысл, отличающий ее от энтропии. Часто
математики и связисты (А. А. Боровков, А. Г. Кловский, Л. М. Финк,
Б. Р. Левин, А. А. Харкевич) аналогичным образом определяют S (см. формулу
(2.20)) как информацию. При этом математическое среднее вида H = –Pi log Pi
для совокупности вероятностей состояний связистами и математиками определяется как энтропия сообщения. В случае энтропии со знаком «минус»
эта величина названа Л. Бриллюэном количеством информации, или негоэнтропией. Далее данная физическая величина будет называться количеством
информации по Бриллюэну.
2.7. Энтропия в случае неравновероятных состояний
термодинамических систем
Si   k ln Pi .
Напомним, что она называется случайной энтропией. Представляется, что важной физической величиной является средняя
для всех состояний системы энтропия. Такая усредненная по всем
состояниям энтропия выражается следующим образом:
S  ( Si )   Pi Si  k  Pi ln Pi ,
(2.22)
где Е(.) означает операцию усреднения.
Эта энтропия получила название средней, или Больцмановской, энтропии. Она характеризует энтропию термодинамической
системы в целом. Инженеры-связисты именно эту величину называют энтропией источника сообщений и обозначают ее H = S*.
В заключение параграфа обратим внимание на немаловажный
факт, суть которого заключается в том, что в природе очень часто
встречаются системы с равномерным распределением вероятностей
состояний. Этот факт может показаться удивительным, но в технике связи, биологии и молекулярной физике он имеет место. Современная физика дает ему интерпретацию.
Крещендо
Теоретическим обоснованием упомянутого факта является теорема об
асимптотической эквивалентности неравновероятных состояний равновероятным.
Асимптотическая эквивалентность наблюдается во всех случаях, когда
термодинамическая система (набор состояний – совокупность случайных величин) обладает свойством энтропийной устойчивости. Это свойство, повидимому, весьма распространено в природных явлениях. Физика этого
свойства связана с механизмами порождения случайности. Такими механизмами могут быть процессы динамики нелинейных систем, связанные с неустойчивостью движения этих систем (процессы динамического хаоса, Колмогоровская теория перемешивания).
Основная тема
Пусть вероятности состояний термодинамических систем разные. Предполагается, что состояния образуют полную группу событий, а вероятности состояний подчинены условию нормировки.
Таким образом, каждому состоянию системы соответствует своя
энтропия:
56
(2.21)
57
Глава 3. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ЭНТРОПИИ В ФИЗИКЕ,
НОКСОЛОГИИ И ЭКОЛОГИИ. ПЕРВАЯ
ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА
3.1. Поиск распределения состояний частиц, приводящих
к росту энтропии системы при различных
физических ограничениях
Прелюдия
В гл. 2 мы установили, что энтропия закрытых (замкнутых, изолированных) термодинамических систем должна возрастать. На практике важно
получить вид распределения состояний частиц, который приводит к максимизации энтропии, так как, задавая такой вид распределения, удается достигать состояния равновесности системы. Это, в свою очередь, обеспечивает
наиболее стабильные режимы работы технических систем (каналов связи,
средств дистанционного зондирования и т. д.), функционирования живых организмов, популяций, сообществ и экосистем.
Замечено, что часто распределение живых организмов в популяциях
таково, что обеспечивает максимизацию энтропии в этих естественных системах. По-видимому, это связано с определенной географической изолированностью данных систем (биотопы, биогеоценозы).
Естественно, это отражается и на ландшафтах, и, соответственно,
на аэрокосмических изображениях экосистем. На изображениях, полученных
в результате дистанционного зондирования, наблюдаются зоны статистически однородных текстур. Поэтому для статистического описания текстуры
таких изображений используются математические модели и принципы максимизации энтропии. Это обеспечивает эффективное обнаружение и сегментацию техногенных объектов на фоне природных подстилающих поверхностей. Такой подход к задачам обработки изображений получил название метода максимальной энтропии.
его на n одинаковых ячеек. Обозначим число частиц в k-й ячейке
как Nk. Теперь можно задать функцию распределения частиц по
ячейкам как Pi = Ni / N, i = 1, 2, 3, ..., n.
Фактически распределение вероятностей вычисляется через
определение относительной частоты, с которой частица попадает
в ячейку. Требуется найти вид распределения частиц, при котором
энтропия систем (2.21) и (2.22) экстремальна.
Количественно задача формулируется следующим образом:
S   Pi ln Pi  max S ,
 Pi  1.
(3.1)
Задача поиска экстремума решается методом множителей
Лагранжа. Для этого суммируем оба выражения (3.1), умножив дополнительно выражения для суммы вероятностей на произвольный
параметр q, называемый множителем Лагранжа:
  Pi ln P  q Pi  max.
(3.2)
Затем дифференцируем полученное выражение (3.2) и приравниваем его к нулю. В результате получим следующее уравнение: – lnPi – 1 + q = 0.
Данное уравнение имеет решение Pi = exp(q – 1). Отсюда видно, что в этом уравнении индекс для Р можно не писать. Поэтому
легко понять, что вероятность является константой. Величину этой
константы можно найти, если подставить полученное выражение
для вероятности в условие в виде суммы:
 exp(q  1)  1; M exp(q  1)  1; exp(q  1)  1 / M ; Pi  1 / M .
(3.3)
Основная тема
Очевидно, что для задач оптимизации функционирования геотехнических систем в биосфере анализ и поиск распределений,
обеспечивающих максимальную энтропию, представляется крайне
важным. Такого рода задачи в термодинамике получили название
вариационных задач.
Рассмотрим простейший вид вариационной задачи. Газ состоит из N частиц, свободно двигающихся в ящике. Для определения
пространственного распределения частиц внутри ящика разделим
Таким образом, мы получили равномерное распределение вероятностей (3.3) для данной задачи, что и подтверждается экспериментом.
Как правило, достигаемый максимум энтропии является
условным, ибо всегда есть ограничения, препятствующие росту энтропии. Ограничения зависят от конкретной физики систем. Это
могут быть ограничения на энергию, вещество, время, простран-
58
59
ство, количество операций. В экологии и техносфере эти ограничения называют ресурсами системы.
Пример 3.1
В качестве примера ограничений могут выступать стенки цилиндра,
которые ограничивают возможность расширения газа фиксированным пространством. Другой пример ограничений – конечный запас энергии, который
ограничивает среднюю скорость молекул.
Интерлюдия
Рассмотрим еще одну разновидность первой вариационной задачи, где
учитываются ограничения, перечисленные в примере 3.1.
Рассмотрим в качестве ограничения конечный запас энергии W(x), который ограничивает средние скорости молекул. Требуется определить распределение частиц, которое приводит к максимизации энтропии системы
с огpаничениями c(x) на средние скорости частиц:
S ( x)   P( xi )ln P( xi )  max.
(3.4)
Введем аналитическое представление ограничений. Пусть c(xi) – ограничение на i-е состояние, P(x) – распределение частиц по энергиям. Тогда
W ( x)   P( xi ) c( xi )  a;
(3.5)
W ( x )  a;
(3.6)
 P( x)  1.
(3.7)
Составляем сумму из выражений (3.4)–(3.7), следуя методу множителей Лагранжа, используя два множителя Лагранжа B, q:
K    P ( x ) ln P ( x )  B  c ( x ) P ( x )  q  P ( x ).
(3.8)
Дифференцируем выражение (3.8) и приравняем его к нулю:
 ( dK / dP ( x ))  ln P ( x )  1  Bc ( x )  q  0.
60
exp(1  q) 
1
;
 exp(Bc( x)
 P( x)  1.
(3.11)
Подставляем выражение (3.11) для сомножителя в (3.10) и получаем
классическое распределение Больцмана:
P( x ) 
exp( Bc( x))
;
 exp(Bc( x))
(3.12)
P( x)  (1 / Z ) exp( Bc( x));
(3.13)
Z   exp( Bc( x)); A  1 / Z ; A  1 / exp( j / kT ),
(3.14)
где A – нормировочная постоянная; j – химический потенциал; Z – статистическая сумма.
Ограничение здесь – это ограничение на энергию частиц W(x) = U, отсюда
P( x)  A exp(U / kT ).
(3.15)
Распределение Больцмана характеризует число частиц в ячейке с заданной энергией. Как видно из распределения (3.15), чем больше энергия частицы, тем реже она встречается в ячейках.
В более общей форме выражение (3.15) называется в статистической
физике распределением Гиббса: P( x)  exp[(F  U ( x)) / T ]. Здесь нормировочная постоянная А связывается со свободной энергией F, при этом F =
= –T ln Z, Z = 1 / A.
Таким образом, найдено распределение вероятностей для различных
состояний подсистем термодинамической системы. Это распределение иллюстрирует решение традиционной задачи статистической физики.
(3.9)
3.2. Первая вариационная задача в теории информации
и дистанционном зондировании.
Первая теорема Шеннона
(3.10)
Прелюдия
Рассмотренные в гл. 2 физические системы типа источников сообщений и каналов связи предполагают, что «хорошие» источники сообщений
Решаем полученное уравнение (3.9):
P ( x )  exp( 1  q  Bc ( x )).
Выделяем один из сомножителей и находим его выражение из условия
нормирования  exp(1  q  Bc( x))  1; exp(1  q) exp(Bc( x))  1 :
61
и каналы связи должны обеспечивать сообщения (состояния) наиболее
неожиданные, т. е. с наибольшей энтропией. Но при этом, естественно, существуют технические (в том числе и энергетические) ограничения на процессы
генерации и передачи сообщений. Таким образом, снова возникает первая
вариационная задача поиска распределения, которое максимизирует энтропию в присутствии ограничений (в качестве последних могут выступать
штрафы или ограничения на энергетику системы связи). Распределение, максимизирующее энтропию при ограничениях, и задает наилучший канал связи.
Основная тема
Пусть существует дискретный канал без помех Y, который
имеет состояния y. Действие канала связи обусловлено ограничениями c(y) < a. Назовем пропускной способностью канала связи С
то максимальное значение энтропии, которое может быть достигнуто с учетом ограничений C = sup H(y) = max S(y). Назовем c(y)
функцией штрафов (функцией потерь). Состояния y имеют распределение вероятностей P(y). Усредняем теперь функцию штрафов по всем состояниям и их распределениям. Такого рода величина R называется средними потерями, или риском.
Ограничения тогда приобретают вид
R   c( y) P( y)  a.
Существуют способы организации канала связи, при котором пропускная способность канала равна производительности источника. Эти способы реализуются и рассматриваются в теории и практике эффективного кодирования.
В задачах дистанционного зондирования эта теорема используется для экономного представления огромных цифровых массивов изображений благодаря специальным алгоритмам свертки этих
изображений.
3.3. Первая вариационная задача в технике,
биологии и экологии
Прелюдия
Напомним, что законы термодинамики являются наиболее общими законами природы. Поэтому неудивительно, что экосистемы также можно рассматривать как термодинамические системы, для которых выполняются законы термодинамики.
В ряде случаев, когда экосистемы можно считать замкнутыми, на них
распространяется принцип максимума энтропии с ограничениями. Здесь рассматривается энтропия, связанная с макроскопическими степенями свободы,
которыми описывается динамика существования популяций.
Требуется максимизировать энтропию при этих ограничениях,
выбирая соответствующее распределение P(y). Максимальное значение энтропии обозначается как пропускная способность C канала связи: C = max S(y).
Технический смысл первой вариационной задачи состоит
в определении С – пропускной способности канала связи –
в условиях ограничений на риск.
Как уже отмечалось, при отсутствии ограничений решение вариационной задачи дает равномерное распределение для источника
сообщений или канала связи. В случае наличия ограничений решение вариационной задачи дает в общем случае распределение
Гиббса (в более частных случаях техники связи это нормальное
распределение). Это означает, что существуют методы физической
реализации таких каналов связи. Подобные утверждения и составляют предмет практически важной и фундаментальной первой
асимптотической теоремы термодинамики и теории информации. Она известна как первая теорема Шеннона:
Основная тема
Рассмотрим распределение биомассы между видами в экологической системе. Роль ограниченного ресурса с(x) < a здесь играет
ограничение биомассы. Чем выше «стоимость» с(x) состояния xi,
тем меньше вероятность появления таких особей данного вида (состояния). Состояния (особи данного вида), требующие бесконечных ресурсов (огромные биомассы особи вида), имеют вероятность,
равную нулю. Зависимость вероятности появления особи какоголибо вида от массы выглядит как распределение Больцмана
(см. (3.4)–(3.13)).
62
63
Пример 3.2
В экологии этот закон звучит так: чем больше масса особи какого-то
вида, тем меньше число особей данного вида (тем реже этот вид встречается в экосистеме).
Интересно, что принцип максимума энтропии реализуется
в социальных, больших технических, экономических и лингвистических системах. Принцип максимума энтропии действует в тех
природных или антропотехнических ситуациях, где важную роль
играет равновесный характер процессов и системы изолированы по
какому-то ресурсу. При этом возможны и ограничения по некоторым ресурсам (см. (3.1)–(3.15)) – например, когда существует необходимость ограничения энергетических ресурсов системы. При
этом система «стремится» к равновесному состоянию, что проявляется через максимизацию энтропии.
Пример 3.3
Поскольку при дистанционном зондировании природных систем часто
приходится иметь дело именно с системами, стремящимися к равновесию, то
и представление данных дистанционного зондирования распределениями
с максимальной энтропией кажется естественным (как в случае с уже упомянутым принципом максимальной энтропии при обработке изображений).
Существует много примеров обработки природных изображений с выделением экологических объектов на фоне подстилающей поверхности (которая
маскирует объекты). Есть и алгоритмы выделения экологического объекта
с помощью алгоритма обнаружения, использующего принцип максимальной
энтропии. Здесь в конструкции алгоритма используется свойство максимальной энтропии изображения подстилающей поверхности, которым поверхность отличается от конкретного объекта, который надо выделить. Это
обеспечивает значительное повышение разрешения и характеристик надежности обнаружения систем дистанционного зондирования.
Метод послужил основой для средств эффективного кодирования оптических спектров отражений природных образований. С помощью таких
кодов появилась возможность различать молодую зеленую растительность,
развитую растительность, растительность с осенней окраской, а также высохшую. Кроме того, различению этим способом поддаются песчаники, известняки, сланцы, различные виды снежных поверхностей и т. д.
Основная тема
С точки зрения биологии и экологии стремление организмов,
популяций и целых экосистем к максимизации энтропии проявляется в определенной непредсказуемости поведения этих систем.
Часто это трактуется как стремление к экспансии на новые неизведанные территории, вариации стереотипов поведения особей и популяций. Возможно, случайные мутации также обусловлены этой
фундаментальной физической закономерностью.
Таким образом, принцип максимизации энтропии дает ясную
интерпретацию многим явлениям в биологии и экологии. Возможно, этот принцип даст объяснение и многим примерам неожиданной реакции природы на активное преобразование окружающей
среды человеческой цивилизацией. Печальный опыт взаимодействия человека и биосферы требует от промышленной экологии
разработки конструктивных методов и технических средств природопользования.
Пример 3.4
В ряде задач дистанционного зондирования окружающей среды исследуются оптические спектры подстилающих поверхностей. Для этого весь
диапазон наблюдаемого спектра разбивается на отдельные участки, в которых регистрируется интенсивность излучения. Классификация различных
видов подстилающих поверхностей осуществляется после сравнения интенсивностей в этих разных (по положению в спектре) участках. Результаты
сравнения регистрируются как отдельные события, которые затем подсчитываются для различных изображений. Как показали практические исследования, для количественного описания подобной классификации целесообразно
использовать формулу энтропии (см. (2.22)). Величина энтропии хорошо выявляет спектральные особенности подстилающих поверхностей и других
экологических объектов на изображениях. Энтропия будет зависеть от соотношения различных типов спектров определенных типов земной поверхности. Этот метод был предложен академиком К. Я. Кондратьевым и получил
широкое применение в технологиях дистанционного зондирования.
Крещендо
Рассмотренные ранее принципы максимизации энтропии в природных
системах обусловливают принцип неопределенности (принцип неполноты
информации) в природопользовании и экологии, отмеченный Реймерсом.
Его суть сводится к следующему: априорные суждения обо всех возможных результатах преобразования природных систем всегда выносятся
в условиях неопределенности по отношению к возможным последствиям
и неопределенности в отношении полного описания текущего состояния систем. Этот принцип хорошо демонстрирует основные принципы и постулаты,
которые представляют сложные системы в теории систем.
Для преодоления этой неопределенности в ноксологии, техносферной
безопасности и промышленной экологии используют ряд нетривиальных
процедур и мероприятий: машинное (математическое, функциональное, имитационное) моделирование природных и антропогенных систем, математическое прогнозирование поведения этих систем; количественный непрерывный
контроль техносферных рисков и принятие решений; дистанционное зондирование. Весь перечисленный комплекс мероприятий получил название экологического и техносферного мониторинга.
64
65
Процесс мониторинга позволяет принимать количественно обоснованные решения по конкретным объектам мониторинга в условиях априорной
неопределенности в отношении детальных знаний и многих особенностей
поведения данных объектов.
Еще раз подчеркнем, что процесс мониторинга (согласно концепции
Ю. А. Израэля) включает в себя процесс непрерывного наблюдения за экологическими объектами, процесс моделирования наблюдаемых объектов,
процесс прогнозирования их поведения, а также процесс принятия решений по дальнейшим воздействиям на экологические объекты и управления
техносферными рисками.
Концепция мониторинга получила свое развитие в медицине, экономике, социологии, астрономии. В этих отраслях знаний возникают аналогичные
ситуации с априорной неопределенностью в отношении объектов исследования. Практика мониторинга демонстрирует успешное преодоление априорных трудностей в этих областях. Такой успех позволяет надеяться, что термодинамическое, статистическое описание процессов в ноксологии, эволюционной биологии и промышленной экологии обеспечит успешное решение
широкого круга задач техносферной безопасности, природопользования
и даст теоретическую трактовку многим загадочным явлениям взаимодействия человека и природы. Рассмотренные математические схемы дают необходимый инструмент инженерам и биологам для решения этих актуальных
задач.
66
Глава 4. ОТКРЫТЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ,
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ТЕХНИКЕ,
ФИЗИКЕ И БИОЛОГИИ
4.1. Открытая термодинамическая система
Примером классической открытой термодинамической системы является нагретое тело (т. е. тело, имеющее определенное избыточное по отношению к среде количество теплоты), которое, в свою
очередь, нагревает окружающую среду (т. е. увеличивает интенсивность тепловых движений частиц среды). Другой классический
пример – движение тела с трением. На термодинамическом языке
эти явления описываются как передача некоторого количества
внутренней энергии данному телу и последующее превращение
этой внутренней энергии (возможно, лишь ее части) в тепловую,
которая далее передается окружающей среде.
Классическим определением открытой термодинамической
системы является следующее: система называется открытой, если обменивается с окружающей средой энергией и веществом. Выражаясь точнее, открытая система взаимодействует с окружающей средой с помощью потоков вещества и полей. Сам факт взаимодействия приводит к изменению состояния открытой системы.
Специально отметим, что возможна ситуация, когда система
взаимодействует с окружающей средой посредством физических
полей (например, гравитационных, электромагнитных полей). Кроме того, возможно взаимодействие, при котором окружающая среда
не осуществляет обмен веществом с системой (сколько частиц
«вошло», столько и «вышло»), но изменяется кинетическая энергия
частиц термодинамической системы (возможен обмен тепловой
энергией или, другими словами, «обмен теплотой»). Эти случаи часто называют обменом энергией, подчеркивая, что обмена веществом при этом не происходит. Подобного рода системы можно
выделить в специальный подкласс, или тип, замкнутых систем.
Замкнутые системы. Если система обменивается с окружающей средой только энергией, а не веществом, то она способна
к фазовым переходам в равновесное (упорядоченное) состояние.
Такие системы иногда называют замкнутыми. Свободная энергия
67
таких систем стремится к минимуму. Пример процессов, в которых
осуществляется такой переход, – образование кристаллов.
Системы, обменивающиеся информацией. Некоторые авторы выделяют специальный тип систем, в котором за счет дополнительной (искусственно привнесенной извне) энергии высокого
качества (полученной за счет взаимодействия веществ или полей,
приводящих к усложнению структуры веществ) удается понизить
локально энтропию в некоторой части этой системы. Такое локальное понижение энтропии неизбежно связано с локальным повышением динамического порядка в системе (увеличение степени статистической зависимости в случайных движениях частиц системы,
усложнение структуры). При этом возможен процесс задержки
образования сложной структуры во времени (память). Такого
рода специфические процессы термодинамического взаимодействия можно назвать информационными процессами.
Интерлюдия
Как известно, локального понижения энтропии можно достичь, если
искусственно организовать (за счет дополнительной внешней кинетической
энергии) отрицательные обратные связи между элементами системы, т. е. за
счет дополнительной кинетической энергии локально упорядочить динамическую структуру (организацию) системы.
Такой процесс взаимодействия системы с окружающей средой часто
называется рецепцией, измерением или наблюдением. Важной особенностью рецепции является тот факт, что такое взаимодействие «консервируется», запоминается на некоторое время, а изменение структуры, вызванное
взаимодействием, может произойти через некоторое время. Когда это происходит, то инженеры говорят о системе с памятью.
Такая система некоторыми авторами трактуется как закрытая, ибо рецепция могла произойти давно (изменение структуры было задержано, «запомнено»), а использование этого взаимодействия для изменения структуры
(совершение работы) может произойти уже тогда, когда система считалась
замкнутой. Закрытость системы понимается и в том смысле, что обмена веществом с окружающей средой не происходит. При этом (согласно второму
закону термодинамики) общая энтропия во внешней среде возрастет, несмотря на локальное понижение энтропии. Отсюда становятся понятными выражения типа «между телами происходит обмен информацией».
Когда инженер говорит, что между телами произошел обмен информацией, это означает, что произошло термодинамическое взаимодействие
между телами, которое привело к локальному уменьшению энтропии, но
с задержкой. Если задержка ничтожно мала, физическая величина, характеризующая этот процесс, отождествляется с негоэнтропией (I* = –S = –H).
68
Некоторые авторы термин «количество информации» используют только для
случая рецепции с существенной задержкой. Очевидно, что в случае задержки результат взаимодействия – это тоже рост упорядоченности структуры системы на величину количества информации I (т. е. на величину разности энтропий до и после взаимодействия dS, I = –dS). Здесь косвенно уже участвует
временная задержка (энтропия уменьшилась на величину dS за время после
взаимодействия). Негоэнтропия I* получается, если энтропия системы изменилась до нуля после взаимодействия.
Для количественного описания этого локального понижения энтропии
без задержки или с малой задержкой, наряду с термином «негоэнтропия»,
иногда используют понятие количество информации по Бриллюэну, введенное ранее.
Если учесть, что и локальный рост количества информации или локальный рост энтропии приводят к повышению энтропии в окружающей среде, можно говорить об обобщенном понятии энтропии S* как о сумме обычной энтропии S (локальной энтропии) и негоэнтропии I*.
В этой ситуации действует обобщенный закон возрастания энтропии,
по которому в замкнутой системе всегда возрастает сумма энтропии и негоэнтропии: S   ( S  I )  0 . При этом локально энтропия S может понижаться, если негоэнтропия (количество информации по Бриллюэну) возрастает.
Для процесса рецепции можно вывести своеобразный закон сохранения суммы энтропии и негоэнтропии: ( S  I *)  const. Такой несколько искусственный прием позволяет рассматривать информационные процессы
в рамках квазистатической или квазиравновесной термодинамики. При этом
оказывается чрезвычайно полезной и наглядной концепция принципа максимума информации по аналогии с принципом максимума энтропии.
Впрочем, многие авторы утверждают, что данная система, хотя и является
закрытой, все же «обменивается информацией» с окружающей средой (т. е.
является «открытой» для информации системой). Именно для нее можно ввести обобщенный второй закон термодинамики.
Отметим, что изучение и реализация этого случая полезны, так как
позволяют контролировать и минимизировать затраты высококачественной
энергии при организации динамической структуры системы. При этом появляется возможность манипулировать данным процессом во времени (как бы
«запоминать и дозировать во времени» процессы организации динамической
структуры).
Более детальное изучение этих проблем (с учетом самопроизвольного
естественного локального понижения энтропии) возможно лишь в рамках
неравновесной статистической термодинамики. Однако концепция закрытой
системы, которая «обменивается» с окружающей средой «информацией», является наглядной и полезной. Здесь, как уже отмечалось ранее, действует
обобщенный второй закон термодинамики. Согласно этому закону, для
таких систем обобщенная энтропия по-прежнему возрастает, хотя локально энтропия может уменьшаться.
69
Открытые системы. Если система обменивается и веществом, и энергией, то это, в соответствии с определением, – открытая система. В таких системах не достигается равновесное состояние. Подобные системы принципиально неравновесны. Важной
особенностью открытых систем является принципиальная
возможность естественного локального понижения энтропии.
Это фундаментально отличает их от закрытых систем, где энтропия
в естественных условиях может только возрастать.
Еще раз подчеркнем, что понижение энтропии означает
для открытых систем естественное локальное повышение организованности, динамической упорядоченности (системной,
структурной сложности). Здесь процесс носит фундаментально
необратимый характер с точки зрения диссипации (рассеивания)
высококачественной энергии. Следует отметить, что образовавшаяся
динамическая структура существует лишь до тех пор, пока существует поток высококачественной энергии – или, другими словами,
пока существует естественный процесс диссипации энергии.
Такого рода процессы получили название стационарных
термодинамических процессов. Для количественного описания
такого рода процессов потребовалась специальная физическая величина. Первоначально именно для описания этого физического
явления Бриллюэном и была предложена новая физическая величина I* = (–S) – количество информации по Бриллюэну.
Более адекватная физическим процессам в открытой системе
физическая величина, описывающая процессы преобразования
энергии (dQ, dA) в открытых системах с задержкой во времени, была предложена Клодом Шеноном. Она получила название количества информации Шенона и характеризует локальную убыль энтропии: I = –dS = Sapr – Sapst. (То есть находится разность между энтропией системы до опыта Sapr и энтропией после опыта Sapst).
Учеными экспериментально были обнаружены различные
способы локального понижения энтропии в неравновесных системах. Физика механизмов понижения энтропии хорошо видна из
закона сохранения обобщенной энтропии S* = S + I* = const
и формулы для количества информации I = Sapr – Sapst. Чтобы увеличить количество информации, нужно либо уменьшить локальную энтропию после взаимодействия, либо увеличить локальную энтропию до взаимодействия.
Первый тип взаимодействия (для «увеличения информации») может быть ассоциирован с механизмами конструирования
специфических структур сложных систем, называемых обратными связями (механизм обратных связей, механизм рецепции).
Второй тип взаимодействия (для увеличения локальной энтропии) провоцирует неустойчивость системы и стохастический
переход в одно из многих состояний (механизм бифуркаций, механизм генерации информации).
Процессы рецепции обладают важной особенностью: они сохраняют образовавшуюся структуру (состояние). Как отмечалось
ранее, эта особенность получила у физиков и инженеров название
памяти. Очевидно, что и процессы рецепции, и процессы генерации информации – это тоже необратимые неравновесные процессы в открытой системе (диссипативные процессы).
Открытые системы в зависимости от близости к состоянию
равновесия подразделяются на два типа.
1. Открытые системы, которые недалеко отклонились от
равновесия. Они получили название квазиравновесных открытых систем. В них возможно возникновение систем со сложной
структурой вследствие условий, препятствующих достижению равновесия. Фундаментальным свойством открытых систем этого типа является свойство локального понижения энтропии (принцип
Онсагера и теорема Пригожина). Здесь локальное понижение энтропии возможно, если отклонение от равновесия невелико и носит
линейный характер. Ряд физических, технических, химических
и биохимических процессов демонстрирует явление локального
понижения энтропии, т. е. локальное усложнение структуры. Далее
дается количественное описание этого явления.
2. Открытые системы, далекие от равновесия. В них тоже
возможно создание динамических упорядоченных структур. Здесь
вероятны нелинейные возмущения; сама структура систем может
носить нелинейный характер. Системы такого типа получили
название диссипативных. К диссипативным системам относится
множество технических, биологических и социальных явлений.
Строгое описание систем данного типа осуществляется на основе
теории динамического хаоса и теории катастроф.
70
71
Крещендо
Невероятно интригующим для инженеров и экологов вопросом статистической термодинамики является вопрос о том, может ли энтропия понижаться в системе, близкой к изолированной (другими словами, может ли понижаться энтропия в системе, не осуществляющей интенсивного энергообмена со средой). Растущая человеческая колония на космической станции,
удовлетворяющая свои потребности в энергетике за счет своих внутренних
ресурсов, – вот неплохая модель такой системы. Погибнет ли замкнутая цивилизация, переработав всё доступное ей вещество либо исчерпав энергетический ресурс, или же найдет с помощью науки способ развиваться – вот
фундаментальный вопрос для специалиста по техносферной безопасности,
ноксолога и эколога. Ответить на него можно, только если выяснить, каким
образом происходит уменьшение энтропии открытых систем, каков механизм этого процесса. Некоторые идеи, связанные с подобными вопросами,
были развиты Пригожиным и Онсагером в теории неравновесных систем,
элементы которой рассмотрены далее.
Прелюдия
В открытых термодинамических системах 1-го типа наблюдаются
неравновесные процессы, близкие к равновесию. В отличие от равновесных
систем, в которых энтропия максимальна, при неравновесных процессах энтропия может локально понижаться. Это утверждение известно как теорема
Онсагера. Понижение энтропии, как уже отмечалось, означает повышение
организованности (сложности) материи в данном локальном участке. Поскольку все биологические и экологические процессы связаны с усложнением структуры живой материи, то строгое описание условий и процессов понижения энтропии представляет интерес для широкого круга физиков
и инжeнеров, связанных с мониторингом и техносферной безопасностью,
охраной окружающей среды, а также для инженеров, работающих в промышленной экологии. Проведем количественный анализ в случае простейших открытых систем.
Основная тема
Итак, рассмотрим систему, состоящую из двух подсистем,
в которых заданы распределения вероятностей P и P расположения частиц. Соответствующие энтропии равны:
72
 Pi  1;  Pi 1.
Суммарная энергия частиц есть величина постоянная:
U    U iPi ; U    U iPi;
(4.2)
U   U   U ; S   S   S .
(4.3)
Дифференцируем полную энтропию:
dS / dU   (dS  / dU )  (dS  / dU ); T  (dU / dS ); V  const; (4.4)
(dS / dU )  ( dS  / dU )  dS  / d (U  U )  ( dS  / dU )  ( dS  / dU );
(4.5)
dS / dU   (1 / T )  (1 / T )  f .
4.2. Неравновесные процессы в открытых
термодинамических системах 1-го типа
S   k  Piln Pi; S   k  Piln Pi; S = S.
Вводим ограничения на коллективные свойства частиц:
(4.1)
Величина f может трактоваться как обобщенная сила
или термодинамическая сила. Отсюда (опираясь на выражения
(4.1)–(4.5)) изменение энтропии во времени для случая неравновесных систем составит
dS / dt  (dS / dU )(dU  / dt )  fJ ; dS / dt  fJ .
(4.6)
В уравнении (4.6) вводится трактовка изменения энергии во
времени (dU / dt) как обобщенного потока энергии J:
(dU  / dt )  J .
(4.7)
Изменение энтропии во времени для множества процессов теперь представляется как сумма произведений обобщенных сил
и потоков. Эта сумма имеет название – функция диссипации системы – и свое обозначение:
dS / dt   f i J i   f (i ) J (i)  .
73
(4.8)
Рассмотрим конкретные примеры потоков:
1) xимический поток Jхим – это скорость химической реакции,
r – стехиометрический коэффициент, j – химический потенциал:
f хим  (1 / T ) ri j;
2) поток тепла, обобщенная сила; f – разность обратных температур;
3) поток – плотность электрического тока, f – обобщенная сила, т. е. разность потенциалов;
4) поток вещества, f – обобщенная сила, т. е. разность концентраций вещества.
Все перечисленные явления подчиняются известному линейному закону, который называется феноменологическим уравнением (соотношением взаимности Онсагера):
J i   f (i ) L (i, j )   f L; i, j  1 , ..., n.
(4.9)
где L(i, j) – феноменологические коэффициенты. (Эти коэффициенты характеризуют зависимость i-й реакции от любой другой реакции, имеющей индекс k(1 < k < n), которая одновременно протекает
в системе и находится во взаимосвязи с i-й реакцией.)
Обобщенный закон «соотношение взаимности Онсагера»
(см. (4.9)) для обозначенных выше конкретных классов явлений
в частных случаях носит следующие названия: закон химического
баланса – для химического потока, закон теплопроводности – для
теплового потока, закон Ома – для электрического тока, закон
диффузии Фика – для потока вещества.
Эти классы явлений могут существовать в системе одновременно, что характерно для биологических систем, организмов
и сложных технологических, техносферных процессов.
Интерлюдия
Биофизические и биохимические процессы, происходящие в живых организмах, носят необратимый неравновесный термодинамический характер.
В организмах осуществляется превращение химической (среднекачественной) энергии пищи в другие виды энергии: механическую (для движения организма), электрическую (для нервного возбуждения) и тепловую. Эти явления количественно описываются феноменологическим уравнением и функцией диссипации энергии (см. (4.8), (4.9)).
74
Данные уравнения в промышленной экологии и в химических технологиях часто трактуются как обобщенные уравнения баланса. Они используются для количественного термодинамического описания технологических
процессов. В настоящее время подобная методика получила распространение
и для описания транспортных (логистических) и информационных процессов. Важно отметить, что данная методика позволяет в единой математической схеме описывать процессы, протекающие как в техносфере, экосистемах, так и в технологических системах, что делает термодинамический подход крайне ценным для анализа техногенных (антропогенных) систем и их
влияния на окружающую среду (биосферу).
Пример 4.1
Одним из градиентов, использующихся в биологических системах, является концентрационный градиент содержания ионов калия и натрия в цитоплазме и в межклеточной жидкости. Он может достигать значения 15. Другой пример – это градиент осмотических давлений в клетке и в омывающей
ее жидкости. Еще один пример электрического градиента – показатель неравномерности распределения ионов между клеткой и средой. Работа в биологических системах связана с реализацией энергии определенных градиентов.
Таким образом, жизнедеятельность биологических систем определяется градиентами, которые представляют собой результат неравновесного распределения вещества и его непрерывного переноса в живом организме – открытой термодинамической системе. Многие биологические и биохимические процессы успешно описываются на основе уравнений статистической
неравновесной термодинамики.
4.3. Стационарные неравновесные процессы. Принцип
микроскопической обратимости. Теорема Онсагера
Основная тема
В сложных биологических, экологических и технологических
системах одновременно протекает множество взаимосвязанных
процессов, которые взаимодействуют друг с другом. Эти процессы
описываются введенными выше соотношениями Онсагера
(см. (4.9)). Феноменологические коэффициенты описывают взаимодействие как процессов между собой, так и соответствующих
потоков и сил.
Пусть имеется поток тепла J1 и поток массы J2. Эти потоки
обусловлены термодинамическими силами f1 (градиенты температуры) и f2 (градиенты концентраций). Так как в системе происходит
взаимодействие между потоками, поток J1 зависит также от силы f2
75
и эта связь определяется коэффициентом взаимности L12. Таким образом, для двух сопряженных потоков имеем систему уравнений
J 1  L11 f1  L12 f 2 ; J 2  L 21 f1  L22 f 2 ,
где L12, L21 – феноменологические коэффициенты (коэффициенты
взаимности), отражающие взаимодействие процессов; L11, L22 –
феноменологические коэффициенты, отражающие взаимодействие
потоков и обобщенных сил. Когда необратимые процессы не взаимодействуют, коэффициенты L12, L21 равны нулю.
Онсагер установил, что существует зависимость потоков как
от сопряженных, так и от несопряженных термодинамических сил.
Согласно условию микроскопической обратимости, коэффициенты
взаимности Онсагера могут иметь любой знак. Установленный Онсагером факт влияния каждого потока на величину других потоков
количественно можно выразить как принцип Онсагера.
Интерлюдия
Согласно принципу, сформулированному Онсагером, константы взаимодействия двух связанных между собой процессов равны
L(i, j) = L(j, i).
(4.10)
Феноменологические коэффициенты (4.10) образуют симметрическую
матрицу. Учитывая случайный характер процессов в термодинамических системах, можно отметить, что если в среднем потоки направлены в одну сторону, то отдельные редкие процессы могут иметь и противоположные
направления. Более строго это явление описывается в теории случайных
процессов.
Для всей суммы (4.8) выполняются следующие условия:
( dS / dt )   f (i ) J (i )  ,
(4.11)
i
где   0.
Таким образом, возможен отдельный поток с направлением
f (i ) J (i )  0.
(4.12)
При этом для остальных потоков будет выполняться условие
 f ( j) J ( j)  |
i j
76
f (i ) J (i ) | .
(4.13)
Уравнения (4.11)–(4.13) дают количественное описание процессов локального уменьшения энтропии (разумеется, при условии наличия потока
энергии в открытой системе).
Пример 4.2
Смесь двух газов в сосуде, стенки которых имеют различную температуру, самопроизвольно разделяется. У горячей стенки выше содержание одного газа, а у холодной – другого. Это явление называется термодиффузией.
Основная тема
В открытой системе изменение энтропии во времени dS / dt
складывается из члена dSe / dt, характеризующего обмен энтропией
между системой и окружающей средой, и члена dSi / dt, учитывающего необратимые процессы внутри самой системы (продукция
энтропии). Эти составляющие образуют уравнение Пригожина:
( dS / dt )  dSi / dt  dSe / dt  0.
(4.14)
Следуя рассуждению, приведенному выше, величина dSe / dt
может быть как положительной, так и отрицательной. Это как раз
и означает, что энтропия открытой системы может не только глобально возрастать, но и локально уменьшаться. При этом возможна
ситуация, когда открытая система находится в стационарном, хотя
и неравновесном, состоянии. В этом состоянии продукция энтропии в точности компенсируется оттоком энтропии в окружающую
среду, благодаря чему суммарная энтропия может не меняться. Согласно (4.14), получается состояние стационарного динамического
равновесия. Стационарные состояния открытой системы реализуются, если наложены ограничения, фиксирующие постоянные значения некоторой совокупности обобщенных сил, причем остальные
обобщенные силы могут меняться.
Интерлюдия
Сопряжение потоков биохимических процессов означает, что потоки,
сами по себе невозможные с термодинамической точки зрения (сопровождающиеся повышением свободной энергии), могут осуществляться за счет других обобщенных сил. Таким образом, продукция энтропии внутри системы
компенсируется уходом энтропии в окружающую среду. Стационарное состояние реализуется при выполнении ограничений. Эти ограничения фиксируются как постоянные значения некоторых обобщенных сил, при этом
остальные обобщенные силы могут изменяться.
77
Снова рассмотрим ситуацию, когда в системе происходит обмен веществом и энергией. Количество вещества, прибывающего в систему, равняется
количеству вещества, убывающего из системы. При этом имеется тепловой
поток JT, а поток вещества JM равен нулю. Выполняется также условие Онсагера L12 = L21; fT = const:
 = J T fT + J M f M ;
JT = L11 fT + L12 f M ;
J M = L21 fT + L22 f M .
(4.15)
(4.16)
Подставим JT и JM в (4.15):
  L11 fT2  ( L12  L21 ) fT f M  L22 f M 2 .
Напомним, что L12, L21 – феноменологические коэффициенты, характеризующие взаимодействие процессов (коэффициенты взаимодействия);
L11, L22 – коэффициенты, отражающие взаимодействие потоков и термодинамических (обобщенных) сил.
Дважды продифференцируем функцию диссипации. Учитываем условие Онсагера fT = const:
d / df M  2L22 f M  ( L12  L21 ) fT  2( L22 f M  L21 fT )  2 J M ;
d 2 /df M2  2 L22 .
(4.17)
Основная тема
Как видно из уравнения (4.17), в стационарном состоянии
продукция энтропии минимальна (учтем, что в данном случае
поток вещества равен нулю: JM = 0). Это и составляет содержание
теоремы Пригожина: в стационарных состояниях при фиксированных параметрах скорость продукции энтропии в открытой
системе (при необратимых процессах) постоянна во времени
и минимальна по величине:
(dSi / dT)  min.
(4.18)
Теорема Пригожина позволяет сделать следующие важные
выводы:
1. Система переходит в стационарное неравновесное состояние из любого состояния, близкого к этому состоянию, с мини78
мальным производством энтропии (свойство устойчивости неравновесных стационарных систем, причина самоадаптации в природе).
2. Функция диссипации как функция от параметра (4.18) имеет минимум в стационарном состоянии (свойство локального понижения энтропии, свойство направленности природных процессов
эволюции).
3. Пункты 1 и 2 означают, что в открытых системах локальная
энтропия может уменьшаться (dSi / dt).
4. Величина dSi / dt при приближении необратимого процесса
в открытой системе к стационарному состоянию стремится к минимальному значению.
Все перечисленные утверждения, к сожалению, справедливы
только для открытых систем, в которых выполняются линейные соотношения между значениями скоростей и обобщенных сил.
Пример 4.3
Живые организмы поддерживают гомеостаз при минимальном потреблении энергии. Организм стремится существовать в самом выгодном энергетическом режиме, при этом энтропия возрастает с минимальной скоростью.
Теорема Пригожина дает количественный критерий эволюции открытых систем. Направление самопроизвольных изменений в открытой системе «выбирается» такое, что при нем рост энтропии минимален.
Основная тема
Если на открытую систему в состоянии динамического равновесия действуют силы, не превышающие определенных пределов,
то стационарное состояние может восстановиться, так как открытая
динамически неравновесная система стремится к состоянию с минимальным производством энтропии.
Это утверждение получило название принципа Ле Шателье:
всякая открытая система, находящаяся в состоянии равновесия и отклонившаяся от этого состояния, стремится самопроизвольно вернуться в равновесное состояние.
Принцип Ле Шателье имеет принципиальное значение как
принцип, описывающий естественный процесс саморегуляции
природных систем. В экологии он отражает основной механизм
естественного восстановления нарушенных биот, биоценозов.
79
4.4. Открытая термодинамическая система как модель
физического промышленного эксперимента,
физического измерения, экологического,
техносферного мониторинга
Прелюдия
Рассмотрим более подробно простейшую количественную физическую
интерпретацию термодинамической системы. Пусть мы имеем физическую
систему, которая может находиться в одном из M равноправных и, следовательно, равновероятных состояний (возможностей). Обозначим совокупность
этих возможностей как X.
Проведем действия над системой, суть которых сводится к тому, что
реализуется одно из M возможных состояний системы. Это состояние количественно характеризуется случайной величиной X. До действий над системой существует неопределенность в возможных состояниях системы. При
действиях над системой реализуется одно из ее состояний (реализуется значение x случайной величины X). Будем считать это описанием модели физического эксперимента.
Отметим, что здесь система переходит в конкретное состояние x под
воздействием окружающей среды. До сих пор рассматривались лишь варианты возможных состояний системы X. Теперь же система перешла в конкретное состояние x и неопределенность в состоянии снята. Конкретное состояние является следствием внешнего воздействия окружающей среды, т. е.
взаимодействия внешней среды с данной открытой системой. Это простейший процесс рецепции.
Именно открытость данной системы привела к тому, что над ней стало
возможным совершать действия, переводящие ее в одно из возможных состояний. Напомним, что сам переход в данном простейшем случае осуществляется с помощью вероятностного механизма.
Пример 4.4
Бросание игральной кости можно рассматривать как простейший пример физического эксперимента, проясняющего вероятностные и информационные явления. В результате действия над системой выпадает грань, на которой написано число xi, 1  x  6. Таким образом, получаем числовое значение x
как результат эксперимента X. Очевидно, что результат эксперимента X есть
значение случайной величины x.
В результате бросания кости реализуется одно из возможных состояний xi эксперимента. Здесь, в отличие от приводимых ранее примеров, подчеркивается факт фиксации исхода эксперимента (результат бросания кости).
Это явление физической фиксации результатов эксперимента называется рецепцией; связисты называют его приемом сообщения.
80
Интерлюдия
Как уже отмечалось ранее, некоторые авторы рассматривают понижение энтропии в одной из подсистем как результат взаимодействия подсистем
внутри закрытой системы. Такое рассмотрение дает возможность вводить
физическую величину количество информации как меру понижения энтропии в подсистеме после рецепции в закрытой системе. Здесь происходит физический процесс фиксации измененного состояния подсистемы. Этот процесс фиксации является изменением детерминированного состояния приемник – рецептор, для чего необходимо «совершить работу».
Однако поскольку физический процесс рецепции требует дополнительного расхода высококачественной энергии, требуется ее поставка из
внешней среды: т. е. мы имеем процесс взаимодействия системы с внешней
средой. Выражаясь метафорически, «чтобы получить информацию, надо затратить высококачественную энергию». Следовательно, необходимо говорить об открытости системы. Как отмечалось ранее, здесь речь идет об «открытости системы для приема информации».
Еще раз подчеркнем, что в процессе приема сообщений выполняются
все условия физического эксперимента: 1) повторяемость; 2) воспроизводимость; 3) постоянные условия проведения; 4) возможность логического описания.
Основная тема
Введем основное определение количества информации, используемое в статистической термодинамике и теории информации. При этом будем опираться на введенное ранее понятие физического эксперимента как неравновесного процесса в открытой
системе.
До начала эксперимента в отношении будущего состояния X
системы существует некоторая неопределенность. Эта неопределенность и характеризуется средней энтропией системы S~. Если
же речь идет о приемной системе до принятия сообщения, то назовем эту энтропию априорной энтропией Hapr.
После проведения эксперимента мы получаем конкретное состояние системы xi; при этом неопределенность в отношении системы снимается полностью: Hapst = 0. Фиксация состояния – это
увеличение порядка в системе (т. е. ее структурной сложности), которое приводит к уменьшению неопределенности в системе. Формально эта неопределенность обозначается как апостериорная энтропия Hapst.
Суть эксперимента сводится к тому, чтобы уменьшить неопределенность в отношении исследуемой системы.
81
Физическая величина, которая характеризует степень уменьшения неопределенности системы, задается как разность априорной
и апостериорной энтропий и называется количеством информации I.
Для различения этой физической величины от количества информации по Бриллюэну (где количество информации – это взятая с обратным знаком энтропия) новая физическая величина получила название количества информации по Шеннону, или количества взаимной, парной, условной информации.
Естественно, что в процессе проведения эксперимента апостериорная энтропия должна быть меньше априорной, т. е. энтропия (степень неопределенности) системы должна уменьшаться.
Понижение энтропии системы физически связано с повышением
внутренней упорядоченности системы. Это определяет способность
системы к совершению работы.
Понятно, что таким образом количество информации I как
физическая величина характеризует способность данной системы к совершению работы A (т. е. возможность частиц совершать
упорядоченные движения, если речь идет о модели идеального газа). Однако согласно законам термодинамики понижение энтропии
требует поступления дополнительной внутренней энергии dU, чтобы система совершила работу.
Таким образом, количество информации представляет собой
еще одну физическую величину, которая количественно фиксирует
поступление внутренней энергии в открытую систему; при этом
количественно фиксируется процесс понижения энтропии Si (Hapr).
Иными словами, количество информации I, наряду с работой A,
теплотой Q и энтропией S, характеризует процессы преобразования
энергии в неравновесных открытых термодинамических системах.
Как уже неоднократно говорилось, можно ввести новую физическую величину – обобщенную энтропию S*, которая является
суммой локальной энтропии S и количества информации I:
S* = S + I = const; dS *  dS  dI  0.
(4.19)
При этом можно говорить о законе сохранения этой суммы.
Если энтропия возрастает, то количество информации убывает,
и наоборот, если энтропия убывает, то количество информации
82
возрастает (см. (4.19)). Можно интерпретировать эту энтропию как
внутреннюю (локальную) энтропию открытой системы Si. Тогда ее
локальное понижение количественно описывается как повышение
количества информации I. В этом случае сумма может быть интерпретирована как внешняя энтропия открытой системы, которая
способна сохранять постоянство или возрастать. Очевидно, что закон возрастания такой внешней энтропии S можно интерпретировать как обобщенный второй закон термодинамики для открытых систем:
dS = dSe + dSi.
(4.20)
В менее строгой форме физический смысл выражения (4.20)
можно выразить так: за «полученную информацию» dI нужно
«платить» повышением энтропии dS. Любое измерение (эксперимент) сопровождается возрастанием энтропии dS / dt в окружающей среде. Для возрастания энтропии во внешней среде требуется
локально понизить энтропию dSi / dt (выражаясь более точно,
«уменьшить производство локальной энтропии»). Этого можно достичь, лишь «совершив работу» A. Подобные процессы были ранее
описаны как процессы понижения локальной энтропии в рамках
теорем Онсагера и Пригожина. Таким образом, можно сказать, что
открытые термодинамические информационные процессы (процессы измерения, процессы в системах связи с помехами, процессы
получения информации) количественно связаны с совершением работы A.
Интерлюдия
Поскольку информационная система есть разновидность термодинамической системы, то возможно количественно описывать информационные
процессы в температурах и других термодинамических характеристиках. Работа, затрачиваемая на получение единицы количества информации, связана
с температурой, при которой измеряется информация. Количественная интерпретация этого процесса излагается далее.
Допустим, что имеется идеальный газ, содержащий N молекул при давлении p и температуре T. Пусть при флюктуации объем газа V уменьшился на
V – dV; тогда работа, расходуемая на это, равна A = pdV.
Вычислим увеличение количества информации, обусловленное уточнением положения частиц в этом объеме. Пусть вероятность нахождения частицы в данном положении в исходном объеме V будет P = 1, а вероятность
83
ее нахождения в данном положении в новом объеме составит P* = 1 – dV / V.
Можно вычислить вероятность P* нахождения частицы в этом объеме для
всех N частиц: P** = (1 – dV / V)N.
Кроме того, можно вычислить работу A, необходимую для «уточнения»
нового положения частиц: A = pdV. Отсюда, используя формулу для количества информации по Бриллюэну, через задание вероятности состояний получаем
I = K ln1 / (1 – dV / V)N; I = KNdV / V; N >> 1.
где K – константа для бинарного представления информации; k – константа
для термодинамического представления.
Находим отношение работы к единице количества информации.
( A / I )  VpdV / KNdV  pV / KN ; ( pV / N )  kT ;
( A / I )  VpdV / KNdV ; pV / KN  ( A / I ); ( A / I )  kT / K ; A  TI ( k /K );
K  1 / ln 2.
Если информация исчисляется в битах, то получение одного бита информации требует энергии, равной k / K = kТ ln 2. При Т = 300 К энергия составляет 2 · 10–21 Дж.
Явлением записывания информации можно считать физический процесс, протекающий при взаимодействии термодинамической системы с окружающей средой. Для его осуществления необходима передача (потребление) энергии (в виде теплоты) A > IT, где
I – бриллюэновское количество информации. Возможен и обратный
процесс, при котором образование локального понижения энтропии
dI (получение информации) может быть использовано для совершения работы A. Здесь физический механизм понижения энтропии
можно интерпретировать как явление обратной связи.
Напомним еще раз, что существенной особенностью процессов преобразования энергии в открытых системах является то, что
процесс совершения работы может осуществляться с задержкой во
времени. Это явление получило в кибернетике и биологии название
памяти.
В технологических процессах, биологии и экологии механизмы обратной связи проявляются как автокаталитические химические реакции, мембранные механизмы, механизмы «хищник –
жертва», механизмы естественного отбора. В экономике это ры84
ночные механизмы. Физический механизм типа обратной связи для
открытых систем часто обозначается как процесс получения информации (рецепция). Механизмы обратной связи могут приводить и к процессу генерации информации.
Пример 4.5
Рассмотрим известную притчу о демоне Максвелла, который «получает
информацию» о пролетающих частицах. Если эти частицы имеют большую
скорость, он пропускает их во вторую часть емкости. Тем самым осуществляется сортировка частиц по кинетическим энергиям и, следовательно, появляется возможность совершения работы A над окружающей средой (посредством образовавшейся разности давлений). При этом само получение информации требует локального понижения энтропии dSi или совершения работы A
над системой.
Основная тема
Еще раз отметим, что суть явлений состоит в том, что термодинамическая система не находится в изолированном состоянии.
В этой ситуации второй закон термодинамики dS* > 0 нужно
обобщить, заменив неравенство dS* > 0 неравенством (dSi + dI) > 0.
Следовательно, если имеется приток информации dI, то можно тепловую энергию dQ (теплоту) системы превратить в механическую энергию (работу) dA без помощи холодильника.
Бриллюэновское обобщение второго закона термодинамики
говорит о необходимости энергетических затрат в процессе измерения и при записи информации. Если система находится при температуре T, то для получения количества информации о системе
необходимо потратить энергию TdI. Необходимость затраты энергии на получение информации при измерениях, разумеется, распространяется и на физические каналы с шумом.
Шум в данном случае определяется как явление, связанное
с тем, что на приемной части канала связи неопределенность
в отношении состояния системы (сообщения) не снимается
до конца (апостериорная энтропия не всегда равна нулю). Естественно, шум в макроскопических системах можно количественно
описывать температурой Т.
Пример 4.6
При бросании кости и выяснении выпавшего числа xi поступает информация, количество которой и можно обозначить как I. В этом случае по85
сле эксперимента (бросание кости) никакой неопределенности не остается:
апостериорная энтропия равна нулю (Hapst = 0). В этом крайнем случае можно
говорить о том, что количество информации численно равно исчезнувшей
априорной неопределенности (энтропии): I = Hapr = I*. Однако для закрытых
термодинамических систем такой процесс, согласно второму закону термодинамики, самопроизвольно происходить не может. Напомним, что второй
закон термодинамики запрещает в изолированной системе самопроизвольные
процессы, сопровождающиеся понижением энтропии.
Таким образом, при проведении экспериментов и измерений необходима организация дополнительных энергокомпенсирующих процессов. Для
последовательного количественного описания информационных процессов
в статистической термодинамике рассматривают процессы в неравновесных
открытых системах.
Еще раз отметим, что наличие после эксперимента некоторой неопределенности состояния системы интерпретируется как воздействие случайных
помех, или шумов. При их отсутствии мы получаем случай, когда количество
информации численно равняется априорной неопределенности (априорной
энтропии, без учета знака): I = Hapr = I*. Именно поэтому количество информации в этой ситуации получило специальное название негоэнтропия (негеэнтропия).
Описанный ранее неравновесный термодинамический процесс
на практике условно называют процессом получения информации в результате эксперимента. Учитывая тот факт, что в результате состояние системы описывается с помощью численного значения физической величины (X = xi, P(x)), можно говорить о процессе
измерения.
4.5. Термодинамическая система как модель системы
промышленного мониторинга, дистанционного зондирования
или канала связи при наличии помех
Основная тема
Термодинамическая модель неравновесной открытой системы
позволяет описывать технический процесс передачи сигналов в системах связи в присутствии помех и, соответственно, описывать
процесс дистанционного зондирования при наличии помеховых
воздействий. Кратко сформулируем основные физические и инженерные термины для описания систем связи. Как отмечалось ранее,
некоторая совокупность символов трактуется как сообщение. Задачей техники связи является организация передачи сообщений.
Процесс преобразования сообщения в последовательность знаков
86
у связистов называется кодированием. Для осуществления этого
процесса устанавливается взаимно-однозначное соответствие между сообщениями и знаками, которое называется кодом.
Передача сообщений осуществляется с помощью физического
носителя или физического процесса, который обеспечивает хранение сообщений и их передачу на большие расстояния. Физический
процесс, несущий передаваемое сообщение, называют сигналом.
Процесс преобразования сообщения в сигнал носит название модуляции, а процесс преобразования сигнала в сообщение – демодуляции. Напомним, что физический процесс, порождающий сообщения, именуется источником сообщений.
Аналогичным образом процесс дистанционного зондирования
можно представить как прохождение локационного сигнала через
окружающую среду и его отражение от объекта зондирования. При
отражении сигнала происходит модуляция сигнала свойствами
объекта, полезными для пользователя.
С точки зрения статистической термодинамики процессы
в системах связи и дистанционного зондирования можно описывать
с помощью введенных ранее термодинамических моделей источника сообщений и канала связи.
Пример 4.7
Примером сообщения является текст. Любой текст состоит из конечного числа элементов (букв). Полный набор букв называется алфавитом источника сообщения. Отметим, что от символов (букв) легко перейти к числам,
если пронумеровать элементы алфавита. При кодировании происходит процесс преобразования букв в соответствующие числа (кодовые символы).
Рассмотрим в рамках элементарной теории информации источник сообщений, который порождает некоторую последовательность знаков длиной
n, условно называемую словом. Каждый знак порождается из некоторого алфавита объемом m.
Пример 4.8
Примером источника сообщений является двоичная система (бросание
монеты), которая имеет только два символа (или буквы), m = 2. Это ответы
«да» и «нет», т. е. числа 1 и 0. Если образовать в источнике все возможные
слова (или последовательности) из n символов, то источник сообщений способен сформировать M оригинальных слов.
87
Основная тема
Источник сообщений можно моделировать с помощью термодинамической системы, состоящей из n подсистем (из n символов).
При этом каждая подсистема может принимать одно из m состояний. Тогда источник сообщений, согласно (2.17), может порождать
M слов. Согласно (2.19), источник сообщений обладает набором
физических величин:
1) cлучайной энтропией для фиксированного i-го сообщения:
Si   K ln Pi ;
(4.21)
2) средней энтропией сообщения для источника:
H  –K
 Pi ln
Pi ,
(4.22)
где Pi – вероятность порождения i-го слова;
3) энтропией источника:
S   Kn
 Pi ln
Pi .
(4.23)
Формулы (4.21)–(4.23) широко используются в технике связи
и дистанционном зондировании для описания количественных характеристик источников сообщений и качества самих сообщений.
Если сообщение принимается без помех, то количество информации равняется энтропии (без учета знака). В элементарной
теории информации в такой ситуации для источника сообщений
используются также следующие формулы для количества информации:
1. Формула Хартли:
I  K ln M ; I  Kn ln m.
(4.24)
С помощью (4.24) находят количество информации на одно
сообщение. Все сообщения равновероятны.
2. Формула Шеннона для среднего количества информации на сообщение:
I ср   K  Pi ln Pi  H.
(4.25)
Формула (4.25) определяет среднее количество информации
на одно сообщение (в технике связи эту величину иногда называют
энтропией сообщения H).
3. Формула Шеннона для источника сообщений:
H  I ист   Kn Pi ln Pi .
(4.26)
Это выражение определяет количество информации на источник Iист.
Формулы (4.24)–(4.26) широко используются в технике связи
и дистанционном зондировании для описания количества информации от источников сообщений, а также количества информации,
содержащейся в отдельных сообщениях.
Рассмотрим еще одну модель источника сообщений. Здесь источником сообщений является измерительное устройство, в котором непрерывная физическая величина подвергается квантованию
по уровню. Образуется конечное число отсчетов с фиксированным
набором уровней. Число уровней определяется по формуле квантования по уровню:
m  1  X max / E ,
(4.27)
где Xmax – максимальное значение измеряемой физической величины; E – двойная допустимая ошибка измерений уровня.
Число уровней – это и есть объем алфавита. Число дискретных величин определяется по теореме отсчетов Котельникова
(здесь используются теория целых функций и теория сигналов,
изучаемые в курсах теории обработки сигналов и в функциональном анализе)
n = 2FT,
(4.28)
где F – полоса частот сигнала (физической величины, изменяющейся
во времени); T – период сигнала (изменения физической величины).
88
89
Теперь используем выражения (4.27), (4.28) и формулу количества информации для равновероятных событий (формулу Хартли) I = Kn ln m. Подставляя n и m, получаем знаменитую формулу
Шеннона для пропускной способности канала связи:
I  2 FT ln (1  X max / E ).
(4.29)
Источник сообщений порождает набор сообщений, а далее
осуществляет процесс кодирования: каждому элементу сообщения
присваивается несколько кодовых символов. Это обусловлено двумя причинами:
1) кодируя один символ исходного сообщения целым набором
знаков, добиваются повышения устойчивости процесса передачи
сообщения в присутствии помех (это так называемые корректирующие коды);
2) если символ передается с помощью двоичной системы чисел, то появляется возможность более компактного экономного
кодирования, особенно если исходный алфавит избыточен. Такие
коды называются оптимальными, или эффективными.
При синтезе алгоритмов кодирования каждому элементу сообщения присваивается определенная совокупность кодовых комбинаций символов. Здесь совокупность кодовых комбинаций, обозначающих сообщение, тоже называется кодом.
Набор кодовых символов называется кодовым алфавитом.
Число кодовых символов в алфавите обозначается m и называется
основанием кода.
Число элементов, образующих кодовую комбинацию, называется длиной кода n. Если все кодовые комбинации имеют одинаковую длину, то такие коды называются равномерными кодами.
Для них число возможных комбинаций в кодовой последовательности равно M.
Таким образом, в общем случае сообщение, которое требуется
передать или записать, представляет собой термодинамическую систему – последовательность x1, x2, x3, ..., xn элементарных сообщений или значений случайных величин. Каждое элементарное сообщение представляет собой случайную величину X, принимающую
одно из m значений (1, ..., m) с вероятностью P(x). Система связи
состоит из следующих устройств: кодирования сообщений; моду90
лирования сигналов; устройства передачи по каналам связи с последующей демодуляцией и декодированием в соответствующих
устройствах.
Перечисленные устройства представляют собой неравновесную термодинамическую (статистическую) систему. В технике связи
она описывается на языке теории статистики случайных процессов.
4.6. Каналы связи при наличии помех. Шенноновское
количество информации. Взаимное
количество информации
Для количественного описания отмеченных выше физических
явлений, получивших название шумов или случайных помех, Клод
Шеннон ввел физическую величину – количество информации
связи двух случайных величин (состояний систем) или групп
случайных величин.
Пусть имеется физический канал связи. Если x – это реализация конкретного сигнала на одном конце канала, то после прохождения сигнала по каналу связи на другом конце канала образуется
реализация преобразованного сигнала – у. Реализация конкретного
сигнала на другом конце канала у будет отличаться от х из-за
помех. В качестве канала связи можно представить и систему хранения информации, и систему дистанционного зондирования, и систему мониторинга. Процессы искажения сигнала в подобных
системах можно количественно описать с помощью условных вероятностей перехода Р(y / x).
Если через Р(х) обозначить вероятность первоначального сигнала, то принятый искаженный сигнал у будет, очевидно, иметь вероятность P(y) в случае посылки одного сигнала х из множества
сигналов Х (формула полной вероятности):
P( y ) 
 P( x) P( y / x),
(4.30)
X
где Р(у / х) – вероятность события у при условии, что произошло
событие х.
В технике эта величина иногда называется функцией правдоподобия. Здесь учитывается, что эта величина может рассматриваться как функция от х. Для описания неопределенности есте91
ственнее ввести апостериорную вероятность P(x / y). Процесс интерпретации, обработки сигнала, распознавания, дешифрирования
информации с точки зрения статистики описывается вероятностью
того, что будет передан сигнал х при условии, что принят сигнал у.
Такую вероятность можно вычислить с помощью формулы Байеса:
P ( x / y )  P ( x) P ( y / x) / P ( y ).
(4.31)
Решение уравнений (4.30) и (4.31) возможно, если есть априорные сведения о Р(х) и Р(у). Используя введенное ранее определение энтропии как неопределенности сигнала и формулу количества
информации, для данного случая можно записать
Ixy  I ( x / y )  H ( x)  H ( x /y ).
(4.32)
Здесь Н(х) – априорная энтропия сигнала х; Н(х/у) – апостериорная энтропия посланного сигнала х при условии, что был принят
сигнал y. Величину Ixy можно интерпретировать как количество информации об х, содержащееся в у. Эту физическую величину Ixy, как
уже отмечалось, называют еще взаимной (парной) информацией.
Величину Ixy принято называть шенноновским количеством информации.
Получим выражение (4.32) более строго, опираясь на элементарные понятия теории вероятностей. Определим количество информации, заключенное в у относительно х, как
I ( x / y )  log P ( x / y ) / P ( x ).
(4.33)
Из выражения (4.33) получается классическое (бриллюэновское) количество информации для случая, когда сигнал у о сообщении х абсолютно точен (P(x / y) = 1):
I ( x / y )  log(1/ P ( x )); P ( x / y )  1.
(4.34)
Теперь, используя (4.33) и (4.35), вычислим среднюю взаимную информацию между двумя сигналами x и y и получим (4.32):
I ( x, y ) ср   P( x, y ) log P( x / y ) / P( x);
92
Среднюю взаимную информацию можно представить в виде
I ( x, y )  I ( x, y ) ср 
 P( x, y) log P( x) –  P( x, y) log P( x/ y).
Таким образом, удается описывать количественно функционирование каналов связи в присутствии помех. Для этого пришлось
ввести физическую величину I(x, y) – взаимное шенноновское количество информации, обеспечивающей решение целого комплекса технических проблем, в том числе задачи оптимизации канала связи с наличием помех.
Очевидно, что в условиях помех, когда невозможно полностью минимизировать апостериорную энтропию H(x / y), важнейшей характеристикой для описания процесса передачи сигналов является количество взаимной информации (взаимная информация)
I(x / y). Качество передачи будет тем лучше, чем больше взаимная
информация. При этом повышение качества зависит как от повышения априорной энтропии источника H(x), так и от понижения
апостериорной энтропии приемника H(x / y). На основе сказанного
можно сформулировать принцип максимизации информации.
Отметим, что в отсутствие помех принцип максимизации информации автоматически превращается в принцип максимизации энтропии.
Напомним читателю, что здесь мы используем представление
открытой термодинамической системы как системы, которая обменивается с окружающей средой только информацией (концепция
Бриллюэна – Стратоновича). Именно в рамках этой концепции
можно говорить об обобщенном втором законе термодинамики
и второй вариационной задаче статистической термодинамики.
Здесь снова требуется решать вариационную задачу. Теперь
требуется максимизировать количество информации при энергетических ограничениях и наличии помех. Эта задача получила название второй вариационной задачи статистической термодинамики.
Ее решение обеспечивает нахождение максимальной пропускной
способности канала связи при наличии помех и ограничений на
энергетику системы. Решение этой задачи дается в стандартных
курсах по теории информации. Здесь мы лишь приведем в гл. 5 основной вывод этой теории – вторую теорему Шеннона.
(4.35)
93
4.7. Взаимная информация в экологических
и биологических системах. Принцип постоянства
внутренней среды. Гомеостаз
Понятие о средней взаимной информации Iср(xy) (далее Iср(xy) =
= I(xy)) позволяет количественно и качественно описать огромный
круг явлений биологии и экологии. Физический смысл взаимной
информации заключается в количественном описании тесной
связи между двумя взаимодействующими частями открытой
термодинамической системы (4.32):
I ( xy ) = H ( x ) – H ( x / y ).
Рассмотрим конкретный пример описания некоторых форм
поведения живых организмов. В этой ситуации физический смысл x
– это стимул, условия внешней среды, воздействующие на организм. Физический смысл y – это реакция организма на стимул.
Биологи учат, что для выживания организма требуется максимизировать связь между условиями среды и реакциями организма.
На языке теории информации это и есть вторая вариационная задача – максимизация взаимной информации при ограничениях –
max I (x, y).
Организм будет добиваться максимума связи как выбором
своих реакций y, так и выбором стимулов x. Существование организма количественно описывается в биологии и термодинамике как
R – результат, состояние жизненно важных параметров организма.
Реакции живого организма призваны нейтрализовать действие
внешних стимулов и поддерживать единственное значение параметров организма – значение результата R.
Здесь апостериорная неопределенность H(x / y) (энтропия) результата сводится к нулю. Этого можно достичь, если реакции
организма однозначно связаны со стимулами (условная энтропия
равна нулю). Однако наличие внешних помех (например, голод,
усталость) не позволяет организму достигать полной определенности в отношении результата. Ему остается только уменьшать неопределенность H(x / y). На языке статистики это означает, что минимизируется условная энтропия системы.
94
Физическими механизмами стабильности организма являются
механизмы обратной связи. На уровне организма это регуляторные
механизмы, условные рефлексы. В биологии и экологии эти процессы обобщенно называются процессами гомеостаза.
Однако в ряде случаев, когда априорное разнообразие H(x)
стимулов невелико, происходит узкая специализация (настройка)
механизма понижения апостериорной энтропии. На языке математики это означает, что организмы находят лишь условный минимум
апостериорной энтропии. Это обусловлено как конкретным видом
распределения стимулов, так и наличием дополнительных ограничений в процессе поиска оптимума.
Если же в дальнейшем происходит резкое повышение разнообразия H(x) стимулов окружающей среды (например, геологическая, климатическая катастрофа), то узкоспециализированные механизмы понижения апостериорной энтропии H(x / y) не срабатывают и организм или популяция гибнут.
В процессе эволюционного развития организмы выработали
более широкий круг механизмов адаптации к внешней среде. Так,
эволюция предусмотрела стереотипы поведения, при которых организм позволяет себе поисковую активность (любопытство), т. е.
ищет новые стимулы H(x) и одновременно новые реакции H(y) ради
достижения максимума безусловной энтропии H(x). Такая стратегия обеспечивает выживание организма или популяции в условиях
резкого изменения окружающей среды.
Таким образом, полноценное описание процессов адаптации
живого организма или популяции производится уравнением взаимной информации (4.32). Биологи отмечают, что для достижения гомеостаза системы требуется максимизация взаимной информации.
Здесь, в свою очередь, требуется минимизировать условную апостериорную энтропию H(x / y) и максимизировать априорную энтропию H(x). На языке биологов это означает, что организм стремится приспособиться к большему разнообразию среды H(x) при
минимизации H(x / y). Для экосистем H(x) – это биоразнообразие,
которое обеспечивает устойчивость экосистемы в случае собственного возрастания. Системы регуляторной обратной связи обеспечивают для организмов и экосистем минимизацию H(x / y).
Принцип максимума информации имеет глубокую эволюционную основу. И возникновение жизни, и развитие биосферы свя95
заны с порождением, накоплением и отбором информации. Этот
принцип действует и на высших этапах эволюции, отражаясь в различных формах человеческой деятельности, включая развитие техники и промышленных технологий. Статистическая термодинамика
показывает, что принцип максимума информации является обобщением принципа максимума энтропии для неравновесных открытых систем.
Глава 5. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ИНФОРМАЦИИ
В ТЕХНОСФЕРЕ, ФИЗИКЕ, ТЕХНИКЕ СВЯЗИ
И ЭКОЛОГИИ. ВТОРАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА
5.1. Вторая вариационная задача. Передача сообщений
в каналах с помехами
Рассмотрим систему типа канала связи [P(y / x), c(x), a]; [P(x),
P(x, y), c(x), a]. Здесь а – это порог, ограничивающий энергетические с(x) возможности канала связи. На вход канала подается дискретное сообщение X (x – его конкретная реализация). Сообщение X
описывается распределением P(x) (иными словами, это распределение состояний источника сообщений). Поскольку в канале действуют помехи, символ (сообщение) на выходе канала связи Y описывается условным распределением P(x / y). Случайную величину Y
можно назвать принимаемым сообщением (иначе говоря, это случайные состояния приемника). Для передачи по каналам связи
с каждым символом следует связать набор других символов
(например, буквы в каналах связи передаются цифрами со своим
алфавитом). Поскольку символ может появляться с разными вероятностями, то естественно сделать так, чтобы символы, которые
появляются редко, кодировались меньшим числом символов (это
называется эффективным кодированием).
В случае наличия помех передаваемое сообщение может искажаться (т. е. принимается ошибочное сообщение). Здесь исходные символы требуется кодировать таким образом, чтобы уменьшить вероятность искажения сообщения на выходе системы связи
(такое кодирование называется помехоустойчивым).
Физическую суть кодирования с точки зрения термодинамики можно свести к оптимизации канала связи используя вычислительный прием поиска максимума информации при
ограничениях.
Как отмечалось ранее, системы дистанционного зондирования окружающей среды, системы мониторинга техносферной
безопасности можно представить себе как своеобразные каналы
связи (концепция академика Ю. Н. Парийского). Отдельными
фрагментами такого канала связи могут являться: оптические лока-
96
97
торы; среда, в которой распространяются сигналы; компьютерные
системы анализа и хранения полученных изображений и оптических спектров. В задачах дистанционного зондирования системы
анализа изображений приобретают особое практическое значение.
Именно здесь осуществляются сегментация, распознавание и тематическое дешифрирование экологических объектов.
В этой ситуации встает вопрос количественного описания системы (канала) связи или системы дистанционного зондирования,
которая обеспечивала бы наиболее точные передачу и прием исходного сообщения. Здесь налицо неравновесная открытая термодинамическая система, для описания которой следует использовать
понятие взаимной информации. Наиболее «хорошая» система связи
должна обеспечивать максимизацию взаимной информации между
входным и принимаемым сообщениями. Именно эту максимальную
информацию и называют пропускной способностью канала С.
Отметим, что максимизация осуществляется по всем P(x)
с учетом ограничений c(x) на возможности канала по энергии:
 c( x) P( X )  a; C = C ( P( y, x), c( x)) = sup Ixy.
(5.1)
Но если в канале действуют помехи, то код следует конструировать таким образом, чтобы вероятность появления ошибочного
сообщения на выходе системы была как можно меньше.
Решение такой задачи сводится к поиску экстремума. Теперь
максимизируется шенноновское количество информации. Это
и есть вторая вариационная (экстремальная) задача термодинамики,
теории информации. Ищется условный экстремум для выражения
C  max I ( X , Y );
P( x) P( y / x) ln P( y / x)
I ( x, y)  
.
 P ( x) P ( y / x )
(5.2)
При условиях (заданных из практики) и дополнительных
ограничениях c(x), с учетом нормировки вероятностей на единицу
имеем систему уравнений
 c( x) P( x)  a,  P( x)  1.
98
Вводим неопределенные множители Лагранжа  B, (1  B).
Формируя стандартную сумму (согласно методу множителей Лагранжа), из (5.1) и (5.2) получаем
L  I ( x, y )  B  c ( x) P ( x )  (1  B) P ( x ).
(5.3)
Приравняв к нулю частную производную новой функции (5.3)
(которая часто называется целевой L), получаем уравнение
 P( y, x)(ln P( y / x) / P( y )) – B  c( x) P( x)  (1  B) P( x)  0;
P ( y )   P ( x) P ( y / x),
(5.4)
где c(x) – аналог внутренней энергии; B = 1 / T – аналог обратной
температуры; (x) – аналог свободной энергии.
Максимальное значение количества информации, или пропускная способность канала, составляет
C  – d(T ) / dT .
Вид распределения, которое является решением уравнения
(5.4) , будет таков:
P ( y ) = [exp (– F – B b( y )] (Y ),
(5.5)
где b(y) – энергия канала связи;  – параметр неравновесности системы.
В ряде случаев распределение (5.5) можно представить как
нормальное. С учетом этого факта легко получить формулу (5.4).
На основе проведенных вычислений возможно рассмотреть следующую поразительную и глубокую вторую теорему Шеннона:
средняя ошибка декодирования может быть сделана сколь
угодно малой при увеличении числа символов без уменьшения
уровня помехи и без уменьшения количества передаваемой информации.
Эта теорема имеет важный практический смысл не только для
систем связи, но и для систем дистанционного зондирования или
систем мониторинга техносферной безопасности, которые для ко99
личественного модельного анализа можно представлять как специфическую разновидность канала связи. Здесь в качестве источника
сообщений выступает объект зондирования, который в случае пассивного зондирования сам является источником электромагнитного
излучения (ИК- и СВЧ-радиометрия), а в случае активного зондирования – отражателем зондирующего импульса (лазерная локация,
радиолокация).
В любом случае объект зондирования «модулирует» свои полезные свойства в сигнале. Далее этот сигнал проходит в окружающей среде, подвергается помеховым воздействиям и принимается
приемной системой, где происходят демодуляция и дешифрирование сигнала.
В рамках задач дистанционного зондирования вторая теорема
Шеннона может интерпретироваться как принципиальная возможность устойчивого и надежного дешифрирования полезных свойств
зондируемого объекта даже при наличии шумов. Однако ее применение возможно лишь при условии использования вместе с современными методами теории сигналов и теории обнаружения и оценивания сигналов. Вопросам статистической обработки сигналов
дистанционного зондирования посвящен специальный курс.
Пример 5.1
Рассмотрим использование принципа максимальной информации для
обработки изображений, полученных в процессе дистанционного зондирования. На исходных изображениях, полученных методами дистанционного
зондирования, многие из изучаемых экологических объектов почти не выделяются из других объектов подстилающей поверхности. Алгоритмы максимизации информации обеспечивают, например, сегментацию изображения
предгорий Северного Кавказа, полученного с космического носителя
РЕСУРС-О с помощью многоспектрального сканирующего устройства МСУ-СК
среднего разрешения в спектральном интервале 0,7–0,8 мкм. Особенности
растительного покрова отражаются в статистической текстуре и спектральных характеристиках изображения, что и позволяет выделять природные зоны, покрытые различными типами растительности (лес, кустарник). Подобная сегментация осуществляется за счет использования статистических
свойств наблюдаемых подстилающих поверхностей.
ной информации о контролируемых явлениях максимально. При обработке
спектральных данных сравнивается профиль яркости по высоте (x) и профиль
вычисленной концентрации (y) конкретных газов по высоте в определенном
спектральном участке. Сравнение осуществляется при помощи вычисления
количества информации по формуле Шеннона. Для разных спектральных интервалов полученное количество информации будет различным. Это означает, что некоторые спектральные участки более информативны, чем другие.
Отсюда следует, что, вычисляя количество информации, можно искать такие
участки на спектре, которые являются наиболее информативными.
5.2. Вторая вариационная задача в биологии и экологии.
Концепция эволюции природных систем и техносферы
Основная тема
Как отмечалось ранее, принцип максимума информации описывает не только поведение особей или популяций, но и процессы
развития и адаптации экосистем, включая, возможно, и техносферу.
Нужно только учитывать, что достигаемый максимум информации
всегда носит условный характер. Он достигается лишь в той мере,
в которой допускаются ограничения, наложенные на реакции живого организма, т. е. ограничения на ресурсы U(x, y) < const = a.
В этом варианте можно сформулировать следующую упрощенную
вариационную задачу с одним множителем Лагранжа В:
L  I ( x, y ) – BU ( x, y )  max;
L  H ( x) – H ( x, y ) – BU ( x, y )  max .
(5.6)
Пример 5.2
В задачах оптимизации процессов оптического дистанционного зондирования атмосферы из космоса О. М. Покровским был предложен метод поиска таких участков оптического спектра, на которых количество спектраль-
Требование условного максимума заменяем максимизацией
величины, которая называется целевой функцией. Эта функция, как
видно из (5.6), позволяет описывать количественно не только
функционирование каналов связи при наличии помех, но и поведение отдельных особей в популяции и поведение сообществ в экосистеме. Введенная физическая величина I(x, y) – взаимное шенноновское количество информации, которое обеспечило решение целого комплекса технических проблем (в том числе задачу оптимизации канала связи в присутствии помех), – позволяет описывать
и ряд интересных закономерностей в техносфере, экологии и этологии.
Прежде всего, информационная концепция позволяет дать
объективное описание поведения организмов, популяций, экоси-
100
101
стем и эволюции биосферы, увязывая биологический язык стимулов и реакций системы с физической величиной – количеством информации по Шеннону.
Напомним, что стимулы количественно описываются переменной х, а реакции системы – величиной у. Приведенная выше
формула (5.6) позволяет усмотреть два способа, посредством которых организм или экосистема могут реализовать принцип максимизации информации (который является фундаментальной закономерностью термодинамики для случая открытых термодинамических систем).
Первый способ максимизации информации предполагает увеличение априорной энтропии. С точки зрения биолога организм
стремится увеличить разнообразие реакций, поскольку это его арсенал в борьбе с ростом разнообразия внешних воздействий. Для
организмов это механизмы поискового поведения. В экосистемах
в ответ на увеличение разнообразия внешних воздействий возрастает разнообразие видового состава экосистемы, увеличивается
разнообразие трофических цепей (а значит, и надежность потока
высококачественной энергии в данной открытой системе).
Второй способ максимизации информации происходит за счет
уменьшения апостериорной условной энтропии. Здесь организм
стремится уменьшить неоднозначность, неточность ответов на конкретные стимулы (стремление к гомеостазу). Система посредством
потока высококачественной энергии (пища, электромагнитное излучение) создает сложные упорядоченные структуры типа отрицательных обратных связей, за счет которых добивается точности
и четкости реакций, которые стабилизируют систему.
Таким образом, организм или экосистема сначала обеспечивают себе разнообразие реакций, а затем выбирают ту реакцию, которая гарантирует максимальное увеличения функции полезности.
Рассмотренные термодинамические закономерности, а также
принцип максимума информации подсказывают первое (пока эскизное) физическое объяснение явления эволюции биосферы.
Принцип максимума энтропии наводит на мысль о том, что причиной видообразования является стремление биосферы как системы
повысить априорную энтропию возможных реакций на воздействия
внешней среды. И здесь генетический механизм мутаций обеспечивает появление этого разнообразия. На уровне организмов, популя-
ций и сообществ запускаются поисковые типы поведенческих реакций, закрепляемые на генетическом уровне (благодаря механизмам естественного отбора). Еще один важный аспект биологической эволюции связан с механизмами обратной связи, которые
обеспечивают гомеостаз как на уровне организмов, так и на уровне
экосистем.
Таким образом, биосфера в процессе эволюции стремится
к максимизации количества информации. Для этого биосфера Земли:
1) усложняет свою внутреннюю структуру генерации и переработки информации (механизм – положительные обратные связи,
бифуркации, катастрофы);
2) развивает и усложняет свою структуру управления (гомеостаза), которая призвана сохранять, защищать от внешних воздействий уже созданные сложные внутренние структуры (механизм –
отрицательные обратные связи).
Если теперь обратить внимание на то, что техносфера является частью биосферы, можно понять причины, по которым информационные технологии активно внедряются в процессы мониторинга техносферной безопасности, защиты окружающей среды. По-видимому, общие закономерности развития биосферы и механизмы ее гомеостаза (как было показано ранее) требуют активного использования информационных технологий для устойчивого
развития человеческой цивилизации.
Именно информационные технологии способны «стабилизировать» развитие технологической цивилизации. Это свидетельствует о роли информационных технологий в инженерной защите
окружающей среды. Одними из важнейших для охраны окружающей среды классов информационных систем являются информационные системы экологического мониторинга и дистанционного
зондирования, эффективное развитие и применение которых невозможно без глубокого физического понимания роли этих систем
в дальнейшей эволюции биосферы.
102
103
Рекомендуемая литература
Заключение
Основная литература
Рассмотренный в данном пособии материал позволяет сделать
следующие выводы:
1. Основные законы теории систем и статистической термодинамики неравновесных открытых систем описывают ключевые
концепции существования и эволюции как биосферы, так и техносферы.
2. Эти законы показывают важность информационных процессов при изучении техносферной безопасности и экологии.
3. Информационные процессы играют определяющую роль
в технологиях управления техносферными рисками.
4. Знание закономерностей развития информационных процессов не только обеспечивает понимание биологических процессов, но и служит теоретическим фундаментом при проектировании
информационных систем для управления техносферными рисками.
1. Кориков А. М. Теория систем и системный анализ : учеб. пособие /
А. М. Кориков. – М., 2014. – 288 с.
2. Волкова В. Н. Теория систем и системный анализ : учеб. пособие /
В. Н. Волкова. – М. : Юрайт, 2014. – 616 с.
104
Дополнительная литература
1. Тарасенко Ф. П. Прикладной системный анализ / Ф. П. Тарасенко. –
Томск : Изд-во Томского университета, 2004. – 186 с.
2. Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине / Н. Винер. – М. : Советское радио, 1983. – 324 с.
3. Берталанфи Л. Общая теория систем: критический обзор / Л. Берталанфи // Исследование по общей теории систем: сборник науч. статей. –
М. : Прогресс, 1969. – 324 с.
4. Эшби У. Р. Введение в кибернетику / У. Р. Эшби. – М. : Прогресс,
1969. – 186 с.
5. Клир Д. Системология. Автоматизация решения системных задач /
Д. Клир. – М. : Радио и связь, 1990. – 535 с.
6. Месарович Т. Общая теория систем. Математические основы /
Т. Месарович, Я. Такахара. – М. : Мир, 1978. – 311 с.
7. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа /
Н. Н. Моисеев. – М. : Наука, 1981. – 278 с.
8. Хакен Г. Синергетика / Г. Хакен. – М. : Мир, 1980. – 389 с.
9. Пригожин И. От существующего к возникающему / Пригожин И. –
М. : Мир, 1985. – 326 с.
10. Волькенштейн М. В. Биофизика / М. В. Волькенштейн. – М. : Наука,
1981. – 399 с.
11. Бриллюэн Л. Наука и теория информации / Л. Бриллюэн. – М. :
Физматгиз, 1960. – 342 с.
12. Шеннон К. Математическая теория связи // Работы по теории
информации и кибернетике / К. Шеннон. – М. : Иностранная литература,
1963. – 498 с.
105
Оглавление
Предисловие ………………………………………………………………
Введение …………………………………………………………………..
Глава 1. Системное описание техносферы ……………………………..
1.1. Основные понятия теории систем и системотехники ………
1.2. Принципы теории систем …………………………………….
1.3. Теоретико-множественное определение объектов теории
систем ……………………………………………………………….
1.4. Методы системного анализа. Описание моделирования
на языке теории множеств ………………………………………...
1.5. Методы системного анализа. Методы принятия решений …
1.6. Методы системного анализа. Методы и принципы
управления ………………………………………………………….
Глава 2. Термодинамическое описание равновесных изолированных
(закрытых) сложных систем ……………………………………………..
2.1. Макроскопическое описание термодинамических систем …
2.2. Внутренняя энергия термодинамических систем …………...
2.3. Первый закон термодинамики. Тепловая машина ………….
2.4. Второй закон термодинамики. Энтропия ……………………
2.5. Условие термодинамического равновесия …………………..
2.6. Статистическое описание термодинамической системы …...
2.7. Энтропия в случае неравновероятных состояний
термодинамических систем ……………………………………….
Глава 3. Принцип максимума энтропии в физике и экологии.
Первая вариационная задача …………………………………………….
3.1. Поиск раcпределения состояний частиц, приводящих
к росту энтропии системы при различных физических
ограничениях ………………………………………………………
3.2. Первая вариационная задача в теории информации
и дистанционном зондировании. Первая теорема Шеннона ……
3.3. Первая вариационная задача в технике, биологии
и экологии ………………………………………………………….
Глава 4. Открытые термодинамические системы, информационные
процессы в технике, физике и биологии ………………………………..
4.1. Открытая термодинамическая система ……………………..
4.2. Неравновесные процессы в открытых термодинамических
системах 1-го типа …………………………………………………
4.3. Стационарные неравновесные процессы. Принцип
микроскопической обратимости. Теорема Онсагера ……………
106
3
5
6
6
9
16
28
30
33
35
35
40
41
44
47
49
4.4. Открытая термодинамическая система как модель
физического, промышленного эксперимента, физического
измерения, экологического, техносферного мониторинга ……...
4.5. Термодинамическая система как модель системы
промышленного мониторинга, дистанционного зондирования
или канала связи в присутствии помех …………………………..
4.6. Каналы связи при наличии помех. Шенноновское
количество информации. Взаимное количество информации ….
4.7. Взаимная информация в экологических и биологических
системах. Принцип постоянства внутренней среды.
Гомеостаз …………………………………………………………..
Глава 5. Принцип максимума информации в техносфере, физике,
технике связи и экологии. вторая вариационная задача ……………….
5.1. Вторая вариационная задача. Передача сообщений
в каналах с помехами ……………………………………………...
5.2. Вторая вариационная задача в биологии и экологии.
Концепция эволюции природных систем и техносферы ………..
Заключение ………………………………………………………………..
Рекомендуемая литература ……………………………………………….
56
58
58
61
63
67
67
72
75
107
80
86
91
94
97
97
101
104
105
Учебное издание
ТЕОРИЯ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В БЖД
Учебное пособие
Горохов Владимир Леонидович,
Цаплин Виталий Васильевич
Редактор А. А. Стешко
Корректор А. А. Стешко
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 28.06.2016. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 6,3. Тираж 100 экз. Заказ 91. «С» 28.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, ул. Егорова, д. 5/8, лит. А.
108
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
903 Кб
Теги
gorohove, anal, teor, sist
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа