close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Lukashevich Nelineinye zadachi stroit

код для вставкиСкачать
А. А. ЛУКАШЕВИЧ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
А. А. ЛУКАШЕВИЧ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2016
0
1
УДК 624.04
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор В. В. Лалин (СанктПетербургский политехнический университет Петра Великого); д-р техн.
наук, профессор Л. Н. Кондратьева (Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет)
Лукашевич, А. А.
Нелинейные задачи строительной механики: учеб. пособие /
А. А. Лукашевич; СПбГАСУ. – СПб., 2016. – 138 с.
ISBN 978-5-9227-0689-6
Приводятся основные положения нелинейной строительной механики,
классификация нелинейных задач, основные соотношения для нелинейноупругого и упругопластического материала. Рассмотрены общие методы
решения нелинейных задач строительной механики. Приводятся методики
расчета конструкций по несущей способности с учетом различных видов нелинейности: физической, геометрической, конструктивной. Изложение материала сопровождается примерами расчетов.
Предназначено для аспирантов, магистрантов и студентов строительных специальностей.
Табл. 5. Ил. 54. Библиогр.: 24 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0689-6
© А. А. Лукашевич, 2016
 Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2016
2
ВВЕДЕНИЕ
Современный уровень строительства сопровождается широким внедрением новых конструктивных и технологических решений, применением высокопрочных материалов. В то же время
очень важно обеспечить безопасность создаваемых конструкций
и их экономичность.
Необходимость расчета тонкостенных и гибких конструкций
потребовала рассмотрения перемещений, которые уже нельзя считать малыми величинами и пренебрегать ими, а стремление полнее
использовать прочностные возможности конструкционных материалов обусловило переход от линейного закона Гука к более общим
нелинейным зависимостям напряжений от деформаций. Исследование таких задач требует усложнения и уточнения расчетных
схем, отказа от некоторых традиционных гипотез и упрощений,
лежащих в основе линейного расчета.
Дисциплина «Нелинейные задачи строительной механики»
является для студентов строительных специальностей одной из базовых дисциплин и имеет своей целью научить решать задачи расчета строительных конструкций при условии нелинейной работы
материалов, а также с учетом геометрической и конструктивной
нелинейности.
В настоящем учебном пособии излагаются основные положения нелинейной строительной механики, даются общие методы
решения нелинейных задач расчета конструкций и примеры их
применения к расчету нелинейных систем. В отдельных разделах
пособия рассмотрены вопросы расчета нелинейно-упругих систем,
проведения расчетов конструкций по несущей способности. Даны
общие сведения о геометрически и конструктивно нелинейных
системах, а также о расчете соответствующих конструкций по деформированному состоянию и с учетом односторонних связей.
Приводятся примеры расчета конструкций, иллюстрирующие изложенные методики решения нелинейных задач строительной механики.
3
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
1.1. Общие сведения о нелинейных задачах
1.1.1. Основные задачи теории расчета конструкций
Основная задача строительной механики – создание методов
расчета конструкций на прочность, жесткость и устойчивость,
обеспечивающих их достаточную надежность, долговечность
и экономичность. В зависимости от принятой расчетной модели
конструкции и содержания самого метода основная задача может
быть сформулирована по-разному.
Ставится задача определения напряженно-деформированного
состояния конструкции, вызванного действием эксплуатационных
нагрузок. Расчет выполняется по заданному (начальному) состоянию, при этом результаты расчета (деформации, внутренние усилия, напряжения) пропорциональны приложенной нагрузке. В такой постановке задача строительной механики называется линейной
и для нее справедливы следующие основные допущения:
1. Материал конструкции принимается линейно-упругим,
т. е. зависимость между напряжениями и деформациями определяется законом Гука (рис. 1.1, а).
2. Принцип малости перемещений – перемещения пренебрежительно малы по сравнению с характерными размерами конструкции.
3. Расчетная схема конструкции в ходе расчета не меняется,
т. е. в процессе деформирования конструкции ее геометрические
характеристики, а также статические и кинематические граничные
условия остаются постоянными.
4. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) – результат воздействия на конструкцию системы сил равен
сумме результатов воздействия тех же сил по отдельности и в любом порядке.
На основе линейной строительной механики решено большое
число задач по исследованию напряженно-деформированного состояния конструкций всех типов. Разработаны хорошо обоснован4
ные аналитические и численные методы расчета конструкций в реальных условиях их эксплуатации. В частности, сюда можно отнести методику расчета по условию прочности, обеспечивающую
безопасность конструкций и сооружений при расчетных нагрузках.
Однако по мере развития строительной механики и других
разделов механики деформируемого твердого тела (а с другой стороны, стремление к повышению надежности и живучести конструкции, наряду с ее экономичностью) стало возможным исследовать напряженно-деформированное состояние конструкции при
всех возможных условиях и в любой период существования.
Задача строительной механики в этом случае формулируется
в более широком плане: расчет конструкции должен дать самое
полное представление о ее поведении на всех стадиях деформирования, вплоть до разрушения [7, 8].
Очевидно, что в такой расширенной постановке задача не может быть решена с позиций линейной строительной механики, поскольку положенные в ее основу допущения вместе с тем и ограничивают ее возможности. Действительно, форма и размеры
конструкции при определенных нагрузках могут существенно изменяться, и принцип малости перемещений становится неприемлемым. Также, начиная с определенного уровня напряженного состояния, практически у всех материалов перестает работать закон
Гука, т. е. зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной.
Отсюда следует, что для решения основной задачи расчета
конструкций в расширенной постановке следует отказаться от положений, свойственных линейной теории расчета, и перейти к более общей и сложной нелинейной теории.
1.1.2. Виды нелинейности и типы нелинейных задач
Основные свойства конструкции, определяющие ее состояние,
можно свести в три группы:
1) физические – жесткость и прочность элементов и узлов
конструкции;
2) геометрические – размеры конструкции, ее отдельных
элементов;
3) конструктивные – структура конструкции и граничные
условия.
5
В связи с этим в теории расчета конструкций различают следующие виды нелинейности: физическую, геометрическую и конструктивную.
Физическая нелинейность обусловлена нелинейной зависимостью между напряжениями и деформациями σ = f (ε), заменяющей
линейно-упругий закон Гука (см. рис. 1.1, а).
Проявляется физическая нелинейность в следующих случаях:
 при возникновении пластических деформаций (рис. 1.1, б);
 при криволинейной диаграмме «σ – ε» (рис. 1.1, в);
 при изменении свойств материала в зависимости от режима
нагружения.
а)
0
б)
S = 100P
A
ε
0
0
ε
Рис. 1.1. Диаграммы деформирования материала:
а – линейно-упругого; б – идеально упругопластического;
в – нелинейно-упругого
Геометрическая нелинейность обусловлена отказом от принципа малости перемещений и необходимостью учитывать влияние
изменения формы и размеров конструкции на его напряженнодеформированное состояние. В этом случае расчет конструкции
производится по деформированной расчетной схеме, т. е. с учетом
перемещений, вызванных действием нагрузки.
Геометрическая нелинейность может проявляться в следующих случаях:
 при изменении положения точек конструкции из-за сравнительно больших перемещений (рис. 1.2, а);
 продольном и продольно-поперечном изгибе (рис. 1.2, б);
 изменении положения и направления нагрузки;
 накоплении деформаций в процессе возведения и загружения сооружения (так называемая генетическая нелинейность).
6
Δ
x
K
P
MA = P (l +Δ(P))
l
MK = MK (P) + S yK (P,S)
y
Рис. 1.2. Геометрически нелинейные системы:
а – рама с большими перемещениями; б – продольно-поперечный
изгиб балки
σ
σ
σТ
ε
P
в)
б)
σ
а)
Конструктивная нелинейность обусловлена тем, что в процессе деформирования может изменяться расчетная схема конструкции (выключаются или включаются связи, изменяются условия закрепления, выходят из работы или, наоборот, добавляются
элементы конструкции и т. д.).
Данная нелинейность обычно возникает вследствие конструктивных особенностей системы и может проявляться в следующих
случаях:
 при наличии в конструкции элементов, работающих только
на растяжение или только на сжатие, например, в вантовых системах (рис. 1.3, а);
а)
б)
P
2P
P
3P
Рис. 1.3. Вантовая система:
а – выключение из работы ненатянутых элементов; б – исключение
из конструкции разрушенных элементов
7
 при монтаже конструкции, когда образуются новые связи,
или при ее разрушении, когда связи и элементы исключаются из
работы (рис. 1.3, б);
 когда опорные связи допускают отрыв и проскальзывание
опирающейся на них конструкции – такого рода связи называются
односторонними (рис. 1.4, а);
 при контактном взаимодействии частей сооружения между собой (в деформационных швах, в трещинах и т. п.) либо с основанием (рис. 1.4, б);
 при изменении режимов нагружения и эксплуатации конструкции.
В процессе нагружения конструкции изменение расчетной
схемы может быть скачкообразным (см. рис. 1.4, а) или непрерывным (см. рис. 1.4, б).
а)
б)
P
P
4 Pl 3

81EI
R=0
l/3
l/3
l/3
3P
9P

R = 0,3P
R = 2,3P
3
4 Pl
81EI
l/3
l/3
l/3
3P
9P
Рис. 1.4. Балка с односторонними связями:
а – дискретные односторонние связи; б – контактное взаимодействие
с основанием
Для полного решения поставленной выше задачи расчета конструкций следует рассматривать все три вида нелинейности: физическую, геометрическую и конструктивную, что, как правило, существенно усложняет процедуру решения. Поэтому приходится
рассматривать частные случаи общей задачи, в которых в зависи8
мости от обстоятельств учитываются не все виды нелинейностей
сразу, а только некоторые из них.
Согласно классификации задач нелинейной теории упругости,
составленной В. В. Новожиловым [12], имеются четыре типа нелинейных задач: 1) линейные физически и геометрически; 2) линейные
геометрически и нелинейные физически (характерны для жестких
конструкций); 3) линейные физически и нелинейные геометрически
(характерны для гибких конструкций); 4) нелинейные физически
и геометрически.
К примеру, при расчете гибких конструкций могут возникнуть
большие перемещения при сравнительно небольших линейноупругих деформациях. В этом случае можно учитывать только геометрическую нелинейность при линейно-упругом законе Гука для
напряжений и деформаций (третий тип задач). В жестких же конструкциях, наоборот, возможно возникновение больших напряжений (превышающих предел упругости) при относительно небольших перемещениях (второй тип задач). Решение задач четвертого
типа (физически и геометрически нелинейных) более чем сложно,
поэтому стало возможным лишь в последние десятилетия, что
в большей степени можно объяснить интенсивным развитием современных вычислительных средств и ориентированных на них
численных методов расчета.
Приведенный перечень может быть без труда расширен введением в него конструктивной нелинейности, которая может рассматриваться в комбинации с каждым из приведенных типов задач.
Кроме того, в расчетах композитных материалов, например, таких
как железобетон, необходимо располагать дополнительно зависимостью сцепления арматуры с бетоном, которая также является нелинейной [21].
1.1.3. Основные теоремы нелинейной
строительной механики
Существенное усложнение теории расчета нелинейных систем
обусловлено следующими факторами [7]:
1. Энергия деформации нелинейной системы не является
квадратичной формой (поэтому нельзя применять принцип суперпозиций).
9
2. С достижением определенного уровня напряженного состояния проявляются пластические свойства материала (разные законы нагрузки и разгрузки).
3. Становится существенной нетождественность работы материала при растяжении и сжатии.
В связи с перечисленным, классические теоремы строительной механики – Кастильяно, Бетти, Максвелла, которые выведены
для линейно деформируемых систем, здесь неприменимы. Обобщение этих теорем на нелинейно деформируемые системы выполнено в работе [8].
Ниже (табл. 1.1) приводится сопоставление основных теорем
строительной механики для линейно и нелинейно деформируемых
систем. Дополнительно к общепринятым, здесь приняты следующие обозначения: pk – перемещение по направлению силы P, вызванное первой по приложению силой K;  pk
 – то же, если сила K
не первоочередная; δpk , δpk
 – соответствующие единичные перемещения; 1, 2 , 3 , 4 – коэффициенты полноты диаграммы растяжения-сжатия [21].
Таблица 1.1
Сопоставление основных теорем строительной механики
Теорема
Для линейных
систем
Для нелинейных систем
Кастильяно
V / Pi  i
V / Pi  Pi ( i / Pi )
 P pk   K kp
 Ppk   P(1pp  4pp ) 
   K (3kk   2 kk
 )
  Kkp
Бетти
Максвелла
pk  (1 pp   4 pp ) =
 pk   kp
  (3 kk   2 kk
 )
 kp
Из сопоставления формул видно, что теоремы Бетти и Максвелла линейной строительной механики являются частными случаями более общих теорем нелинейной строительной механики, если
принять:
 ; pp  pp ; kk  kk
 .
β i  0,5; i  1, 2, 3, 4;  pp   pp ;  kk   kk
10
Также видно, для нелинейно-деформируемых систем в теоремах Бетти и Максвелла уже неприменим принцип независимости
действия сил. Влияние истории приложения нагрузки учитывают
слагаемые, помещенные в скобках.
Определенной универсальностью обладает общая формула
для определения перемещений (формула Максвелла – Мора). Эта
формула применима в области как упругих, так и пластических деформаций, поэтому она используется в теориях упругости, пластичности и ползучести [23]. Причем при применении формулы
Максвелла – Мора несущественно, от чего возникли деформации
элементов системы: от внешней нагрузки, изменения температуры,
осадки опор, вследствие ползучести материала и т. п., – важно здесь
лишь то, что деформации элементов должны быть известны. Так,
например, если зависимость деформаций от внутренних сил нелинейна, то деформации должны определяться с учетом этой физической нелинейности.
1.1.4. Классификация нелинейных задач
В зависимости от поставленных целей расчета и особенностей
конструкции имеются различные классификации нелинейных задач
по тем или иным признакам. Рассмотрим некоторые из них, ограничиваясь только статическими задачами, без учета явления ползучести материала.
В зависимости от того, что задано и что определяется, возможны четыре основных постановки нелинейных задач (классификация по постановкам).
1. Прямая задача – заданы конструкция, ее материал
и нагрузка, требуется определить напряжения и перемещения. Это
классическая постановка задачи по расчету напряженнодеформированного состояния конструкции.
2. Обратная задача – заданы конструкция из данного материала и ее напряженно-деформированное состояние, требуется
определить нагрузку, вызвавшую эти напряжения и деформации.
3. Задача синтеза конструкции – заданы напряженнодеформированное состояние, материал конструкции и нагрузка,
требуется найти оптимальную форму и размеры конструкции.
В сопротивлении материалов этой постановке соответствует задача
о подборе сечений.
11
4. Задача подбора материала – заданы начальное и деформированное состояние конструкции, действующая нагрузка, требуется
подобрать наилучшим образом подходящий материал для элементов конструкции.
Следующий вид классификации – по видам конструкций.
В настоящее время нелинейная теория применяется при расчете
практически всех систем, к которым относятся:
1) стержневые системы, в том числе вантовые и висячие
конструкции;
2) пластины, в том числе мембраны;
3) оболочки, в том числе тонкостенные элементы конструкций;
4) массивные конструкции.
Физическая нелинейность может проявляться при расчете всех
видов конструкций. Учет геометрической нелинейности имеет
большое значение при расчете гибких стержней, тонких пластин
и оболочек.
Приведенные, далеко не полные, классификации показывают,
какое огромное разнообразие задач может быть в нелинейной строительной механике, причем следует отметить, что приведенная
систематизация охватывает здесь только статические задачи. Нелинейные динамические задачи, а также задачи теории вязкоупругости и ползучести являются еще более разнообразными.
Однако расчет конструкций за пределом упругости является
значительно более сложным, чем расчет в предположении линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Это является одной из причин, почему на практике все еще используются
главным образом простые и хорошо разработанные методы линейной строительной механики, основанные на законе Гука.
Другая причина заключается в том, что расчет в упругой стадии хотя и ведет к излишнему запасу прочности, однако полностью
гарантирует безопасность конструкций как при однократных, так
и при переменных нагрузках [20]. В то же время расчет за пределом
упругой работы конструкции имеет целью уменьшить, насколько
это возможно, перерасход материала и, соответственно, затраты по
возведению конструкции.
Основное, что отличает неупругую работу материала от упругой, в том, что при переходе от нагружения к разгрузке часть механической энергии не возвращается обратно, а переходит в другие
виды энергии. При этом вид диаграммы работы физически нелинейного материала несколько меняется: а именно зависимости
между деформациями и напряжениями при нагрузке и разгрузке
имеют разный вид. Такой материал называют упругопластическим
(рис. 1.5, а).
а)
б)
σ Нагрузка
σ Нагрузка
1.2. Неупругие и нелинейно-упругие системы
Разгрузка
Разгрузка
1.2.1. Особенности нелинейной работы материала
0
εост
εупр
0
ε
εупр
ε
Большинство материалов или совсем не подчиняется закону
Гука, или подчиняется ему лишь до определенного уровня напряжений (предела упругости). Между тем очень часто напряжения
в отдельных местах конструкции существенно превышают предел
упругости и приближаются к пределу прочности материала. Поэтому очень важно уметь хотя бы приближенно рассчитывать конструкции в неупругой стадии их работы. Особенно большое значение такой расчет имеет для оценки действительной несущей
способности конструкций и для выяснения условий, при которых
может произойти их разрушение.
Легко увидеть, что при одной и той же величине деформации
могут быть разные значения напряжений. Следовательно, между
напряжениями и деформациями за пределами упругости, по существу, нет функциональной связи. Еще в большей степени это присуще двух- и трехосному деформированию, когда компоненты
напряженного состояния меняются в процессе нагружения непро-
12
13
Рис. 1.5. Диаграммы работы физически нелинейного материала:
а – упругопластического; б – нелинейно-упругого
порционально друг другу – так называемое сложное нагружение.
Напротив, простым нагружением называют такое, при котором
компоненты напряжений возрастают пропорционально одному параметру.
Данные обстоятельства существенно усложняют решение физически нелинейных задач за пределами упругости, однако могут
быть обойдены при определенных ограничениях в режиме работы
конструкции. Если известно, что напряжения в процессе нагружения не будут уменьшаться, то можно условно считать, что конструкция выполнена из нелинейно-упругого материала (рис. 1.5, б),
т. е. такого, для которого зависимости между напряжениями и деформациями при нагрузке и разгрузке тождественны (гипотеза
о нелинейно-упругом материале). В основе этой гипотезы лежит
теорема, сформулированная Л. М. Качановым: в случае активной
пластической деформации поведение упругопластического тела
неотличимо от поведения нелинейно-упругого тела с такой же зависимостью между напряжениями и деформациями.
К активной деформации относится деформация, возникающая
в процессе нагружения конструкции, к пассивной деформации – та,
что развивается при разгрузке. При активном деформировании
возрастает как упругая, так и пластическая часть деформации, а при
пассивном деформировании пластическая часть остается постоянной, а упругая уменьшается.
Понятия нелинейно-упругого материала и нелинейно-упругой
системы (конструкции, все либо часть элементов которой изготовлены из нелинейно-упругого материала) очень удобны для расчета
неупругих систем при первичном их нагружении [20]. Необходимо
только следить, чтобы нигде не происходило уменьшения напряжений в процессе деформирования конструкции (это видно по промежуточным результатам, получаемым в процессе расчета). При
появлении признаков уменьшения напряжений схема нелинейноупругой системы будет уже неприменима.
ональными напряжению), так и нелинейными. Уравнения состояния для упругого линейно деформируемого тела (см. рис. 1.1, а) при
простом нагружении имеют вид
1.2.2. Основные соотношения для нелинейноупругого материала
Рис. 1.6. Модули упругости материала:
а – секущий при мгновенном нагружении; б – секущий при пошаговом
нагружении; в – касательный при постепенном нагружении
В идеально упругом теле деформации возникают сразу же после приложения нагрузки и сразу же исчезают после ее снятия.
Упругие деформации могут быть как линейными (прямо пропорци-
В случае, когда нагрузка прикладывается ступенями (шагами),
в расчетах следует использовать формулу Ec (εk) = Δσk / (Δεk) = tg βk
14
15
  E ;   G  ,
(1.1)
где E – модуль упругости; G – модуль сдвига.
Для нелинейно-упругого тела (см. рис. 1.1, в) зависимость
между напряжением и деформацией является нелинейной:
  f  ();   f  (  ) .
(1.2)
В этом случае модули упругости и сдвига являются переменными
величинами:
(1.3)
E (  )  f  (  )  ; G ( )  f  (  )  .
Отношение σ/ε называется секущим модулем упругости Ec.
При мгновенном приложении нагрузки (когда нагрузка прикладывается сразу) Ec (εk) = σk / εk = tg αk (рис. 1.6, а), соответственно
Gc (γk) = τk / γk, где Gc – секущий модуль сдвига. Таким образом, нелинейно-упругий материал будет характеризоваться тремя переменными величинами: Ec, Gc и ν, между которыми существует зависимость Gc(γ) = Ec(ε)/(2(1 + ν)). Для нелинейно-упругого
материала эта зависимость выводится точно так же, как и для линейно-упругого, если при выводе рассматривать бесконечно малые
приращения деформаций (вместо конечных их величин).
а)
в)
б)
σ
σk
0
σ
σk
k
αk
εk
ε
0
k
βk
Δε k
Δ σk
σ
σk
ε
0
k
φk
εk
ε
(рис. 1.6, б). Если нагрузка разбита на достаточно малые по величине шаги, то вместо секущих могут применяться касательные мо d 
дули упругости: Eк ( k )    = tg φk (рис. 1.6, в). Полные дефор d  k
мации и напряжения при пошаговом приложении нагрузки
определяются как сумма их приращений, полученных на каждом
отдельном шаге.
У пластического тела пластическое состояние наступает тогда, когда максимальные напряжения достигают предела текучести. При этом считается, что в пластическом состоянии материал
несжимаем. Если тело не деформируется при напряжениях ниже
предела текучести, а при достижении этого предела в нем развиваются неограниченные пластические деформации, то его называют
жесткопластичным телом Сен-Венана (рис. 1.7, а). Если же тело
при напряжениях ниже предела текучести деформируется линейно
упруго (по закону Гука), а при достижении предела деформируется
пластически, то его называют упругопластическим телом Прандтля
(рис. 1.7, б).
а)
б)
σ
σ
Т
0
в)
σ
σ
где F – нагрузка, приложенная к образцу; A – площадь поперечного
сечения; l – длина образца; Δl – абсолютное его удлинение.
Предполагается, что зависимости, полученные из экспериментов с любым видом напряженного состояния, должны быть идентичными. Поэтому полученные диаграммы растяжения-сжатия без
всяких пересчетов распространяются на любой вид напряженного
состояния [8].
В большинстве случаев зависимость «σ – ε» описывают с помощью аналитических выражений. С целью упрощения экспериментальную кривую σ = f (ε) аппроксимируют, как правило, в виде
единой эмпирической формулы. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
Степенной закон Бюльфингера. Данная эмпирическая зависимость между напряжением и деформацией была предложена
в 1729 г. Г. Б. Бюльфингером (с 1725 г. член Петербургской Академии наук) и имеет следующий вид:
σ = B εm,
σ
σ
(1.4)
(1.5)
Т
Т
ε
  F A ;   l l ,
ε
0
0
ε
Рис. 1.7. Диаграммы деформирования пластического материала:
а – идеально жесткопластического; б – идеально упругопластического;
в – линейно упрочняющегося упругопластического
1.2.3. Аппроксимация зависимостей
между напряжениями и деформациями
Для практических расчетов нелинейно-упругих систем необходимо экспериментальным путем установить зависимости между
напряжениями и деформациями. Чаще (и проще) всего получают
диаграммы растяжения-сжатия материала, выражающие экспериментальные зависимости между условными напряжениями σ
и условными деформациями ε, причем
16
где B – константа, имеющая размерность напряжений; m – показатель степени.
В общем случае закон Бюльфингера представляет собой нелинейную зависимость; для большинства материалов 0 < m < 1
(рис. 1.8, а). Причем для одновременного описания формулой (1.5)
диаграммы растяжения и сжатия показатель степени m независимо
от его значения условно считается нечетным числом, т. е. в вычислениях применяется следующее правило:
(+ε)m = +εm ; (–ε)m = –εm .
(1.6)
Из формулы (1.5) легко получить секущие и касательные модули упругости в любой точке {σk, εk} диаграммы деформирования
(см. рис. 1.7):
(1.7)
Ec   k  k  B  mk 1; Eк  d d k  B m  mk 1 .
Зависимость (1.5) имеет простой вид, что облегчает проведение вычислений; при больших деформациях она хорошо описывает
17
экспериментальные кривые «σ – ε». Кроме того, формула обладает
достаточной универсальностью, так как при m = 1 и B = E получаем
закон Гука (см. рис. 1.1, а), а при m = 0 и B = σт – закон деформирования жесткопластического тела (см. рис. 1.7, а). Последнее означает, что из решения, найденного для конструкции из нелинейноупругого материала, можно автоматически получить решение (сделав соответствующие замены) для линейно-упругой или жесткопластической конструкции.
б)
а)
σ
σk
0
σ
σk
k
k
σ = Bεm
εk
σ = B1ε + B2ε2
ε
0
εk
ε
Рис. 1.8. Степенные зависимости «напряжения – деформации»:
а – Бюльфингера; б – параболическая; в – кубическая
Однако степенной закон (1.5) имеет также ряд существенных
недостатков. Во-первых, он плохо аппроксимирует кривые «σ – ε»
при сравнительно малых деформациях (так как при значениях деформаций   0 переменный модуль упругости E ()   ). Вовторых, при неограниченном развитии деформаций    производная ∂σ/∂ε не становится равной нулю, т. е. состояние текучести
не наступает, и тело деформируется с неограниченным упрочнением. В-третьих, зависимость (1.5) не имеет максимума (соответствующего пределу прочности материала), следовательно, кривая
«σ – ε» не имеет и ниспадающего участка, что не соответствует
действительности. Кроме того, поскольку показатель степени m,
как правило, меньше единицы, решение получается в виде системы
нелинейных уравнений с нецелыми показателями степеней.
При решении конкретных задач необходимо учитывать эти
достоинства и недостатки, т. е. применять зависимость (1.5) там,
где проявляются ее достоинства, а недостатки являются несущественными, как, например, при расчете конструкций с большими
деформациями. Поэтому закон Бюльфингера широко применяется
при решении нелинейных задач устойчивости и ползучести.
18
Постоянные B и m в эмпирической формуле (1.5) можно определить различными способами, используя данные экспериментальной диаграммы «σ – ε». Наиболее простой способ состоит в том,
что константы B и m подбирают исходя из следующих двух условий [8]:
1) пределы прочности материала, определяемые по экспериментальной диаграмме и по эмпирической формуле (1.5), должны
быть равны, т. е.
m
,
(1.8)
п.п  B  п.п
где σп.п и εп.п – экспериментальные значения предела прочности
и соответствующей ему деформации;
2) удельные энергии деформации, определяемые по экспериментальной диаграмме (ω1) и по эмпирической формуле (ω2), должны быть равны:
 п.п
 п.п
B m 1
1    d ; 2   B  m d  
 п.п .
(1.9)
m 1
0
0
Решая совместно равенства (1.8) и (1.9), получим
m
m  1 2 ; B   п.п  п.п
.
(1.10)
Если нужно аппроксимировать опытную кривую «σ – ε» не до
предела прочности, а только на определенном участке, тогда
в условия (1.8) и (1.9) вместо σп.п и εп.п подставляют σ и ε, соответствующие границам этого участка.
Величины B и n обычно определяют по нескольким экспериментальным диаграммам, осреднение значений можно произвести
следующим образом:
N
mср   mi
i 1
N ; Bср 
N
N
 Bi
,
(1.11)
i 1
где N – число диаграмм. В то же время значения параметров B и m
для ряда конструкционных материалов можно найти в справочной
литературе.
Параболическая зависимость Герстнера. Зависимость
σ = B1 ε – B2 ε2
(1.12)
была предложена австрийским ученым Ф. И. Герстнером в 1831 г.
19
Первую константу определяют из условия B1 = E , т. е. таким
образом, чтобы из (1.12) при малых деформациях получился закон
Гука. Для определения второй константы можно составить несколько условий. Например, можно потребовать, чтобы пределы
прочности экспериментальной и аппроксимирующей кривых совпадали. Однако в этом случае производная в точке, соответствующей пределу прочности, не равна нулю и даже получается отрицательной. Это является недостатком указанной аппроксимации.
Другое возможное условие выражает равенство нулю производной
в точке, соответствующей пределу прочности. Это условие обеспечивает выполнение сразу двух условий: равенство пределов прочности и равенство производных в точке максимума экспериментальной и аппроксимирующей кривых (рис. 1.8, б).
При использовании зависимости (1.12) секущие и касательные
модули упругости будут следующими:
Ec   k  k  B1  B2 k ; Eк  d d k  B1  2 B2  k .
(1.13)
Существенным недостатком зависимости Герстнера является
то, что она несимметрична относительно растяжения-сжатия, так
как (–ε)2 = +ε2. Поэтому эту зависимость нельзя применять к конструкциям, где возникают напряжения разных знаков (как, например, при изгибе).
Кубическая зависимость. Для того чтобы исправить основной недостаток зависимости Герстнера, в формуле (1.12) деформацию в квадрате заменяют на деформацию в кубе:
σ = B1 ε – B3 ε3,
(1.14)
где B1 = E , а B3 можно определить из условия, чтобы касательный
модуль при ε = εт равнялся нулю (рис. 1.8, в).
Для кривой (1.14) переменные модули упругости имеют следующий вид:
Ec   k  k  B1  B3 2k ; Eк  d d k  B1  3B3 2k .
(1.15)
Формула (1.12) имеет ряд преимуществ: она обеспечивает
симметричность диаграммы относительно растяжения-сжатия; при
  0 автоматически переходит в закон Гука. Однако данная зави20
симость не очень точно аппроксимирует экспериментальные диаграммы «σ – ε» при больших деформациях. Тем не менее зависимость (1.14), как и (1.12), нашла большое применение в практике
расчетов.
Гиперболическая зависимость. Она была предложена С. П. Тимошенко и имеет следующий вид (рис. 1.9, а):

(1.16)
.
( a  b )
Эмпирические коэффициенты a и b здесь соответственно равны

a  1 E0 ; b  1  пр ,
(1.17)
где E0 – начальный модуль, соответствующий бесконечно малой
деформации; σпр – предельное значение напряжения (предел текучести или прочности). Секущий и касательный модули упругости
записываются в следующем виде [14]:
Ec   k  k  1 (a  b  k ) ; Eк  d d k  a (a  b  k ) 2 . (1.18)
б)
а)
σ
σk
0
k
σ
σk


( a  b )
α0 E0 = tg α0
εk
0
ε
k

α0 E0 = tg α0
εk
E0 
1   t 
2
ε
Рис. 1.9. Дробные зависимости «напряжения – деформации»:
а – Тимошенко С. П.; б – Соколовского В. В.
При σпр = ∞ имеем E(ε) = E0 и зависимость (1.16) переходит
в закон Гука. Таким образом, формула (1.16) позволяет одной кривой описывать как допредельное, так и предельное (при    ) состояния материала, причем в этот закон входят как деформационные (E0), так и прочностные (σпр) характеристики. Величину σпр
обычно выбирают исходя из принятого критерия прочности [21].
Зависимость В. В. Соколовского. В 1960 г. В. В. Соколовский
предложил следующую зависимость (рис. 1.9, б):
21

E0 
1   t 2
(1.19)
,
где t – коэффициент, зависящий от вида экспериментальной диаграммы «σ – ε»: t = σпр / E0. Для этой зависимости переменные модули упругости имеют вид
Ec 
k
E0
E0
 d 

; Eк    
2
k
1  (k E0 /пред )
 d k
1  ( k E0 /k )2


3/ 2
. (1.20)
Во всех приведенных выше эмпирических зависимостях, как
видно, используется минимально возможное число параметров.
Предлагаются и иные аналитические аппроксимации диаграмм деформирования «σ – ε». Критерием выбора аппроксимирующих
формул является, во-первых, хорошее совпадение с экспериментом,
во-вторых, простой вид и удобство в использовании и, в-третьих,
соответствие условиям рассматриваемой задачи. Например, в ряде
случаев для сравнительно малого диапазона изменения деформаций
более подходящей оказывается степенная зависимость, а для более
широкого диапазона – гиперболическая.
1.3. Основы расчета нелинейно-упругих систем
1.3.1. Примеры нелинейно-упругих стержневых систем
Расчет нелинейных систем является более сложной задачей по
сравнению с решением линейных задач, и в большинстве случаев
получить аналитическое решение задачи не удается. Как правило,
используются различные численные методы (метод конечных разностей, метод наименьших квадратов, метод конечных элементов
и т. п.), которые сводят рассматриваемую задачу в общем случае
к системе разрешающих уравнений, содержащей нелинейные относительно основных неизвестных члены. Так, например, разрешающая система уравнений в перемещениях может быть записана в виде следующего нелинейного матричного уравнения:
~
(1.21)
K ( u) u  F ,
~
где K (u) – матрица жесткости системы, элементы которой зависят
не только от геометрических и жесткостных характеристик кон22
струкции, но и от ее напряженно-деформированного состояния,
выраженного через перемещения конструкции; u – вектор неизвестных величин перемещений; F – вектор нагрузки.
Присутствие в разрешающих уравнениях нелинейных членов
не позволяет получить их решение в замкнутом виде подобно тому,
как это имеет место при расчете линейных систем. Здесь приходится использовать различные приближенные методы решения нелинейных задач. Эти методы применимы для решения как физически,
так и геометрически нелинейных задач, а также (в некоторой степени) и конструктивно нелинейных задач.
в)
а)
2
3
α
K
Fx
б)
α
1
Fy
N2
α
Fx
u3 cos α u1
1
u2 – u3 sin α
α
u3
K
Fy
K
α
90°
N3
2
3
1'
N1
K'
Рис. 1.10. Нелинейно-упругая стержневая система:
а – расчетная схема; б – схема сил; в – схема деформаций
Рассмотрим получение разрешающих уравнений в нелинейной
постановке для статически неопределимой стержневой системы,
показанной на рис. 1.10, а.
Вырежем узел K (рис. 1.10, б) и составим следующие уравнения равновесия:
(1.22)
∑ x = 0: N1 – N3 cos α – Fx = 0;
∑ y = 0: N2 + N3 sin α – Fy = 0.
(1.23)
Покажем деформированное состояние системы (рис. 1.10, в)
и составим условие совместности деформаций:
(u1 + u3 cos α) = (u2 – u3 sin α) tg α.
23
(1.24)
Зададимся для каждого из стержней степенной зависимостью
между напряжением и деформацией в виде
i  Bi i 1 2 .
(1.25)
В этом случае физические соотношения для каждого из трех
стержней будут следующими (здесь учитываем правило знаков
(1.6)):
Ni
 Bi
Ai
 ui 
 
 li 
12
 BA 
; отсюда N i   i i  ui , i = 1, 2, 3.


 li ui 
(1.26)
Подставив (1.26) в уравнения (1.22), (1.23), получим следующую систему нелинейных уравнений:




















 u1   B3 A3 соs   u3  Fx ;


l3 u3 


 B A sin  
B2 A2 
 u3  Fy ;
u2   3 3


l2 u2 
l
u
3 3


B1 A1
l1 u1
(1.27)
u1  ( tg ) u2  (соs   sin  tg ) u3  0.
Данная система может быть представлена в виде (1.21), где
нелинейная матрица жесткости, вектора перемещений и нагрузки
соответственно:




~
K ( u) = 





B1 A1
l1 u1
0
1
  B A соs   
3 3




l
u
 Fx 
3 3
u1 



 
 
 B A   B A sin    ; u  u ; F   F  . (1.28)
 2
 y
 2 2   3 3

 l u  

 


l
u
3 3
 2 2  

u3 
 0 


( tg α) (соs   sin α tg α)




0
плоских сечений, для чего необходимо лишь соблюдение следующих условий:
1) длина стержня должна значительно превышать его высоту;
2) внутренние силы не должны резко изменяться по длине
стержня;
3) поперечное сечение по длине стержня также должно меняться постепенно.
Как видим, на свойства материала здесь не накладывается никаких требований. Используем уравнение закона плоских сечений
в виде
ε = χ y,
(1.29)
где χ – кривизна изогнутой оси стержня (χ = 1/ρ); ρ – радиус кривизны оси стержня; y – расстояние от нейтрального слоя.
Если задана зависимость σ = f (ε), то, подставив в нее выражение (1.29), получим закон изменения напряжений σ по высоте сечения (рис. 1.11, а):
σ = f (χ y).
(1.30)
а)
б)
σ
h
σ
y
χ h/2
ε = χy
Рис. 1.11. К расчету нелинейно-упругих балок:
а – эпюра напряжений по высоте поперечного сечения; б – диаграмма σ(ε)
Определим зависимость между изгибающим моментом М
и кривизной оси стержня χ. Ограничимся случаем, когда сечение
стержня симметричное, а зависимость σ = f (ε) одинаковая для растягивающих и сжимающих напряжений:
В заключение рассмотрим случай изгиба нелинейно-упругого
стержня. В основу расчета положим справедливость гипотезы
24
ε
25
h/2
М  2   by dy 
0
2 h / 2
2 h / 2
b

y
f
(

y
)
d
(

y
)


 b  f () d , (1.31)
2 0
2 0
где h – высота сечения стержня; b = b(y) – ее ширина на расстоянии
y от нейтрального слоя.
Для прямоугольного сечения (b = const) получим:
M
2b h / 2
2b  h 
 f () d  2 S   ,
2 
 0

 2 
(1.32)
где S(ε) – статический момент относительно линии ε = 0 площади,
ограниченной диаграммой работы и прямой ε = h χ / 2 (рис. 1.11, б).
Пусть зависимость σ(ε) выражается степенной функцией
(1.25), тогда:
5/ 2
h / 2
2b 2 B  5 / 2 h 5 / 2
2 B  h 
 h 
3/ 2
 C 1/ 2 , (1.33)
S    B   d    ; M  2
 5
25 / 2
5  2 
 2 
0
Зависимость (1.34) удобна для аппроксимации истинных диаграмм работы материала с нисходящей частью после перехода через предел прочности σпр. Предел прочности сечения изгибаемого
стержня определяется из условия максимума М, т. е. равенства нулю производной:
2
/ 80  0 ,
dM / d  B1b h 3 / 12  3B3b h 5  пр
откуда получим
 пр  (1,491 / h) B1 / B3 ;
  B1  B3 3 ,
(1.34)
для стержня прямоугольного сечения получим
S (h / 2)  B1 h 3 3 / 24  B3 h 5  5 / 160 ;
M  B1 (b h 3 / 12)   ( B3 b h 5 / 80)  3 .
(1.35)
(1.36)
Здесь χпр , Мпр – кривизна и изгибающий момент при σ = σпр .
Зависимость (1.34) не является однородной функцией, поэтому при увеличении изгибающего момента вид эпюры напряжений
будет изменяться.
1.3.2. Учет физической нелинейности
при расчете конструкций МКЭ
5/2
где C = 1,0556 ∙ Bbh – константа, зависящая от размеров поперечного сечения стержня. Отметим, что зависимость момента от кривизны получилась тоже степенная с тем же показателем 1/2, что
и в зависимости (1.25).
Ввиду однородности функции σ = Bε1/2 в данном случае эпюра
напряжений по высоте сечения сохраняет свой вид при увеличении
изгибающего момента. Например, при увеличении момента вдвое
деформации увеличиваются в 4 раза, а напряжения в краевых волокнах – в 2 раза, т. е. пропорционально изгибающему моменту.
В случае кубической зависимости (1.14), записанной в виде
M пр  0,0828 B1 b h 2 B1 / B3 .
Более общий подход к формированию разрешающей системы
нелинейных уравнений дает метод конечных элементов. Здесь нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями
непосредственно учитывается при выводе матриц жесткости конечных элементов системы. Путем объединения элементных мат~
риц формируется общая матрица жесткости K (u) , учитывающая
физическую нелинейность уже на уровне всей конструкции.
В качестве примера изложим процедуру МКЭ для расчета нелинейно-упругой стержневой системы, показанной на рис. 1.10.
Матрица жесткости и вектор узловых перемещений для нелинейно-упругого стержневого элемента плоской фермы (рис. 1.12)
в локальной системе координат (x', y') имеют следующий вид:
k 
E ( ) A
l
 1  1
E (u) A
 1 1  
l


 1  1
 1 1  ;


u  
u   1  ,
u 2 
(1.37)
Первый член правой части формулы для момента соответствует
обычной связи между изгибающим моментом и кривизной в линейно-упругом стержне, а второй дает нелинейную добавку.
где значение E(ε) является некоторой функцией от деформации
стержня (см. п. 1.2.2, 1.2.3), которая, в свою очередь, может быть
26
27
выражена через узловые перемещения стержневого элемента
  (u2  u1 ) / l .
y
υ2
′
2
y
′
υ1
1
x′
u2
u2
x
i  (u2i cos i  v2i sin i )  (u1i cos i  v1i sin i )/ li .
Рис. 1.12. Стержневой элемент в локальной
и общей системах координат
Для перехода из локальной системы координат (x', y') в общую
систему координат (x, y) и наоборот используются известные соотношения [11]:
k  [T ]т k T ; u  [T ]т u; u  T u ,
(1.38)
где k, u – матрица жесткости и вектор узловых перемещений стержневого элемента в общей системе координат; T – матрица преобразования координат. Для стержневого элемента (см. рис. 1.12)
0
0 
cos  sin 
T 
.
0
0
cos

sin
 

(1.39)
Подставив (1.39) в выражения (1.38), для i-го стержневого
элемента фермы в общей системе координат (x, y) получим
 cos2  i

cos i sin  i
k i  ei 
  cos2  i

 cos i sin i
cos  i sin  i
 cos2 i
sin 2  i
 cos i sin  i
 cos  i sin  i
cos2 i
2
 sin i
cos i sin i
u   u cos i  v1i sin i 
ui   1i    1i
.
u2 i  u2i cos i  v2i sin i 
Здесь величина множителя в выражении матрицы жесткости
A
ei  Ei ( i ) i .
li
Величина деформации εi в свою очередь может быть выражена через узловые перемещения в общей системе координат:
α
u′1
u1
u1i  u1i cos i 
 v   u sin  
  
i
ui   1i    1i
;
u2i  u2 i cos i 
v2i  u2i sin i 
 cos  i sin i 

 sin 2 i 
;
cos i sin i 

sin 2 i

Сформировав из элементных матриц ki глобальную матрицу
~
жесткости K (u) и учтя кинематические граничные условия (шарнирные закрепления по концам стержней), получим следующую
систему нелинейных уравнений:
 k11
k
 21
k12 
k 22 
u K   Fx 
   
,
 v K   F y 
(1.40)
где u K , v K – горизонтальное и вертикальное перемещение узла K
в общей системе координат. Коэффициенты системы уравнений соответственно
k11  E1 (1 ) A1 cos 2 1 / l1  E 2 ( 2 ) A2 cos 2  2 / l 2  E3 ( 3 ) A3 cos 2  3 / l3 ;
k12  k 21  E1 (1 ) A1 cos 1 sin 1 / l1  E 2 ( 2 ) A2 cos  2 sin  2 / l 2 
 E3 ( 3 ) A3 cos  3 sin  3 / l3 ;
k 22  E1 (1 ) A1 sin 2 1 / l1  E 2 ( 2 ) A2 sin 2  2 / l 2  E3 ( 3 ) A3 sin 2  3 / l 3 .
Примеры построения матриц жесткости конечных элементов
для некоторых случаев физической нелинейности приводятся
в [4, 11, 15, 17].
28
29
Контрольные вопросы
1. В чем заключается линейная постановка задачи строительной механики?
2. Какие допущения лежат в основе линейной строительной
механики?
3. Какие виды нелинейности учитываются при расчете конструкций?
4. Что такое физическая нелинейность, чем она обусловлена?
5. В каких случаях проявляется физическая нелинейность?
6. Что такое геометрическая нелинейность, чем она обусловлена?
7. В каких случаях проявляется геометрическая нелинейность?
8. Что такое конструктивная нелинейность, чем она обусловлена?
9. В каких случаях проявляется конструктивная нелинейность?
10. Перечислите основные типы нелинейных задач.
11. Какие факторы усложняют расчет нелинейных систем?
12. Какие классические теоремы строительной механики неприменимы для нелинейных систем?
13. Перечислите основные постановки нелинейных задач.
14. Приведите классификацию нелинейных задач по видам
конструкций.
15. Каковы причины расчета конструкции в упругой стадии
работы?
16. Каковы цели расчета конструкции в неупругой стадии работы?
17. Укажите основные отличия неупругой работы материала
от упругой.
18. В чем отличие нелинейно-упругого материала от упругопластического?
19. Какой вид имеет диаграмма работы упругопластического
материала?
20. Какой вид имеет диаграмма работы нелинейно-упругого
материала?
21. Что такое простое и сложное нагружение?
30
22. Сформулируйте гипотезу о нелинейно-упругом материале.
23. Какая система называется нелинейно-упругой?
24. Что такое секущий модуль упругости, как он определяется
при мгновенном и при пошаговом приложении нагрузки?
25. В каком случае в расчетах используется касательный модуль упругости, чему он равен?
26. Какое тело называется жесткопластическим телом СенВенана?
27. Что понимается под упругопластическим телом Прандтля?
28. Какой вид имеет зависимость Бюльфингера между напряжениями и деформациями, чему равны входящие в нее константы?
29. Каковы достоинства и недостатки степенного закона
Бюльфингера?
30. Какой вид имеет зависимость Герстнера между напряжениями и деформациями, чему равны входящие в нее константы?
31. Каковы достоинства и недостатки параболической зависимости Герстнера?
32. Какой вид имеет кубическая зависимость между напряжениями и деформациями, чему равны входящие в нее константы?
33. Какой вид имеет гиперболическая зависимость С. П. Тимошенко между напряжениями и деформациями, чему равны эмпирические коэффициенты?
34. Какой вид имеет зависимость В. В. Соколовского между
напряжениями и деформациями, чему равны входящие в нее константы?
35. Назовите критерии выбора аппроксимирующих формул
«напряжения – деформации» при решении конкретных задач?
36. Какой вид имеет система разрешающих уравнений при
расчете нелинейных систем, какие параметры в нее входят?
37. На основе каких уравнений могут быть составлены нелинейные разрешающие уравнения для статически неопределимой
стержневой системы?
38. Какой вид имеет закон изменения напряжений по высоте
сечения нелинейно-упругой балки?
39. Каким образом учитывается нелинейная зависимость
между напряжениями и деформациями при расчете конструкций
МКЭ?
40. Приведите матрицу жесткости нелинейно-упругого
стержня фермы в локальной системе координат.
31
Глава 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Как уже было отмечено, при учете физической или геометрической нелинейности получаем систему нелинейных алгебраических уравнений, которая в формулировке метода перемещений
имеет следующий вид:
~
(2.1)
K ( u) u  F .
Решение этой системы осуществляется при помощи приближенных численных методов, причем среди известных алгоритмов
не существует какого-либо одного универсального – эффективность того или иного метода зависит, главным образом, от типа,
размерности и параметров нелинейной задачи. В связи с этим рассмотрим некоторые из приближенных методов решения нелинейных уравнений, которые подразделяются на две группы: итерационные (методы последовательных приближений) и шаговые
(методы последовательного нагружения).
2.1. Методы последовательных приближений
Общая идея методов этой группы заключается в том, что каждое последующее приближение решения задачи определяется на
основе предыдущего приближения. Итерационные методы могут
применяться как для непосредственного решения нелинейной задачи (в том случае, когда нагрузка на сооружение прикладывается
сразу), так и для уточнения решения, получаемого на очередном
шаге или ступени нагружения (при пошаговом нагружении).
2.1.1. Метод переменных жесткостей (МПЖ)
Этот метод был предложен в 1951 г. И. А. Биргером. Другое
его название – метод переменных параметров упругости. Сущность данного метода заключается в том, что матрица жесткости
~
K (u) для каждой последующей (k + 1)-й итерации определяется через результаты, полученные на предыдущей k-й итерации:
32
~
(2.2)
K (uk ) uk 1  F .
Таким образом, алгоритм МПЖ может быть записан в виде

~
uk 1  K (uk )

1
F.
(2.3)
~
Первоначально, т. е. при k = 0, в матрице K (u0 ) все нелинейные члены необходимо положить равными нулю, т. е. принять u0 = 0
(таким образом, первое приближение получается из решения линейной задачи). Процесс последовательных приближений, с пере~
счетом матрицы жесткости K (u) на каждой итерации, продолжается до тех пор, пока разность между двумя последовательными
приближениями uk 1 uk не окажется достаточно малой (рис. 2.1, а).
Следует отметить, что описанный алгоритм при сильной нелинейности отличается плохой сходимостью, а в некоторых случаях итерационный процесс даже расходится. К недостаткам метода
также следует отнести необходимость на каждой итерации составлять и решать систему уравнений с новой матрицей жесткости
~
K (uk ) , что существенно увеличивает трудоемкость расчета.
2.1.2. Метод упругих решений (МУР)
Метод предложен в 1947 г. А. А. Ильюшиным. По сравнению
с методом переменных жесткостей этот метод приводит к сокращению трудоемкости вычислений. В основе метода упругих решений
~
лежит разделение матрицы K (u) на линейную и нелинейную составляющие:
~
K (u)  K лин  K нел (u) .
(2.4)
Подставив выражение (2.4) в (2.1), получим
K лин  K нел (u) u  F , отсюда
K лин u  F  K нел ( u) u .
(2.5)
Запишем выражение (2.5) в виде итерационной формулы
K лин uk 1  F  K нел ( uk ) uk .
(2.6)
Тогда алгоритм метода упругих решений может быть представлен в следующем виде:
~
1 ~
(2.7)
uk 1  K лин  F (uk ) , где F (uk )  F  K нел (uk ) uk .
33
Первоначально в правой части равенства (2.7) полагаем u0 = 0,
тогда первое приближение u 1 , как и в методе переменных жесткостей, определится из решения системы линейных уравнений
K лин u 1  F . Подставив перемещения u 1 в нелинейную составляющую матрицы жесткости, пересчитываем вектор нагрузки
~
F (u 1 )  F  K нел (u 1 ) u 1 . На второй итерации, используя уже имеющуюся обратную матрицу K лин  , находим u 2 и т. д.
Итерационный процесс по (2.7) с пересчетом вектора нагрузки
~
F ( uk ) на каждой итерации продолжается до тех пор, пока разность
между двумя последовательными приближениями не окажется достаточно малой.
Метод упругих решений относительно прост. Так, в процессе
решения задачи обращение линейной матрицы Kлин производится
только один раз. Однако сходимость метода существенно зависит
от разницы между линейным и нелинейным решениями. При большой разнице между ними итерационный процесс сходится очень
плохо (рис. 2.1, б).
1
2.1.3. Метод Ньютона – Рафсона (МНР)
Как уже отмечалось, при сильной нелинейности рассмотренные ранее методы характеризуются относительно медленной сходимостью. Ускорение процесса последовательных приближений
может быть достигнуто использованием метода Ньютона –
Рафсона (другое его название – метод касательных, или метод
линеаризации). Этот метод имеет квадратичную сходимость (в отличие от линейной сходимости МПЖ и МУР) и допускает различные модификации.
Пусть для k-го приближения в процессе решения нелинейного
уравнения (2.1) получена следующая невязка:
~
~
δ(uk )  F  K (uk ) uk , где K (uk )  K лин  K нел (uk ) . (2.8)
δ(uk 1 )  δ( uk ) 
δ( uk )
uk 1 .
u
(2.9)
Полагая, что решение системы достигается на текущем приближении, т. е. выбранное приращение uk обращает невязку
δ( uk 1 ) в нуль, получаем
δ(uk )

uk 1  δ( uk ) .
(2.10)
u
Подставляя в (2.10) выражения (2.8) и выполняя необходимые
операции дифференцирования, получим следующее матричное
уравнение:
K лин  Kнел (uk ) uk1  F  K~ (uk ) uk .
(2.11)
Здесь элементы матрицы K нел (uk ) определяются через элементы
нелинейной составляющей Kнел (uk ) по формуле (n – порядок системы уравнений)
k i j
n
k i m
m 1
u j

um .
(2.12)
Из решения системы уравнений (2.11) определяется приращение uk 1 , а тем самым и уточненное значение uk 1 . В итоге получим алгоритм МНР в виде
~
uk 1  uk  K лин  K нел (uk ) 1 (F  K (uk ) uk ) .
(2.13)
Зададимся некоторым малым приращением вектора перемещений
uk с тем, чтобы (k + 1)-е приближение было uk 1  uk  uk 1 . Разложим невязку для данного приближения в ряд Тейлора, сохраняя
в разложении только первые два члена:
Как видно из рис. 2.1, в, применение метода Ньютона –
Рафсона приводит к уменьшению числа итераций. Однако при выполнении каждой из итераций, согласно (2.13), требуется пересчитывать матрицу Kнел (uk ) и обращать суммарную матрицу
K лин  K нел (uk ), что требует существенных вычислительных затрат. Если же матрицу для системы уравнений не пересчитывать (и,
следовательно, не обращать) на каждой итерации, а принять равной
K лин, то получим алгоритм модифицированного метода Ньютона –
Канторовича:
~
1
(2.14)
uk 1  uk  K лин  (F  K (uk ) uk ) .
34
35
Такой упрощенный алгоритм имеет линейную сходимость, точность расчета здесь достигается увеличением числа выполняемых
итераций (рис. 2.1, г).
Для повышения эффективности может применяться комбинация обоих алгоритмов (2.13) и (2.14), зачастую полезно начинать
итерационный процесс с помощью МНК, а завершать уточнением
последовательных приближений по МНР. Помимо этого, на основе
МНР разработаны алгоритмы, позволяющие в отдельных случаях
существенно ускорить сходимость последовательных приближений.
К их числу относятся методы Ньютона – Бройдена, Эйткена –
Стеффенсона, Бройдена – Флетчера – Шенно, Дэвидона – Флетчера – Пауэлла, Рикса – Вемпнера и др. [11, 17].
а)
б)
F
F = const
u0 u1
u2 u3
F
F3
F2
F1
F0
uk+1
u
u0
u1 u2 u3
uk+1
u
В заключение отметим, что сходимость итерационных методов, как правило, сильно зависит от «попадания» начального приближения, при выборе которого в нелинейных расчетах практически можно лишь ориентироваться на линейное приближение той же
задачи. Если нелинейность слабая, удается попасть близко к искомому решению, что обеспечивает хорошую сходимость. При сильной же нелинейности отклонение начального приближения может
быть значительным, в результате скорость сходимости снижается
(более того, итерационный процесс может даже расходиться).
Для ускорения сходимости рекомендуется использовать метод релаксации, который выражается следующей формулой:
uk 1  uk   (uk 1  uk )  uk   uk 1 ,
где ω – эмпирически назначаемый параметр релаксации (0 ≤ ω ≤ 2).
При ω < 1 метод называется последовательной нижней релаксацией,
при ω > 1 – последовательной верхней релаксацией. В большинстве
случаев ускорение сходимости производится посредством верхней
релаксации. Например, при ω = 1,5 каждое последующее приближение будет определяться с «ускорением»: uk 1  uk  1,5 uk 1.
Критерием окончания итерационного процесса в практических расчетах является выполнение следующего условия:
uk 1  uk   uk 1 ,
г)
в)
F
F
F = const
F = const
u0 u1
u2
uk+1
u
u0 u1 u2 u3
uk+1
Рис. 2.1. Методы последовательных приближений:
а – метод переменных жесткостей; б – метод упругих решений;
в – метод Ньютона – Рафсона; г – метод Ньютона – Канторовича
36
u
(2.15)
(2.16)
где ε – заданная точность расчета.
При использовании итерационных методов в алгоритмах пошагового приращения нагрузки (для уточнения решения на каждом
шаге нагружения) либо число итераций в одном шаге задается заранее, либо итерации выполняются до достижения заданной точности вычислений на данном шаге.
И, наконец, еще одно существенное замечание. В нелинейных
задачах, в отличие от линейных, может не быть единственности
решения. Таким образом, найденное с помощью какого-либо приближенного метода решение не обязательно будет искомым. В связи с этим для получения «правильного» решения следует четко
представлять физическую сущность задачи, выполнять расчеты по
двум (и более) разным методам, анализировать полученные результаты с точки зрения их достоверности и физической приемлемости.
37
2.2. Методы последовательного нагружения
Методы последовательного нагружения, относящиеся к инкрементальным (шаговым) методам, позволяют получать решение
задачи после каждого шага приращения нагрузки. Тем самым (в отличие от итерационных методов, где рассматривается мгновенное
приложение нагрузки) шаговые методы позволяют моделировать
процесс постепенного приложения к конструкции внешней нагрузки. Таким образом, предоставляется возможность учета реального
процесса нагружения, в том числе нагрузки и разгрузки, изменения
нагрузки во времени, ползучести материала и т. д.
Каждый шаг нагружения допускает ясную физическую интерпретацию. Поскольку приращение нагрузки считается достаточно
малым, поведение конструкции на каждом шаге можно принять
линейным. После выполнения шага нагружения пересчитывается
нелинейная составляющая матрицы жесткости и осуществляется
следующее приращение нагрузки. Таким образом, нелинейное поведение конструкции полностью представляется в виде последовательности кусочно-линейных шагов.
К недостатку шаговых методов следует отнести накопление
ошибок (невязки решения) при переходе от одного шага нагружения
к другому. При сильной нелинейности следует уменьшать величину приращения нагрузки, т. е. необходимо большое число шагов –
в этом случае нелинейный расчет усложняется.
Улучшение точности решения также возможно с помощью регулирования невязки значений сил (2.8), например, через каждые
несколько шагов нагружения. Уменьшение накопленной невязки
δ(u) и тем самым уточнение решения рекомендуется производить
с помощью одного из рассмотренных выше итерационных методов
(или их комбинации).
Предположим, что в процессе нагружения внешняя нагрузка
изменяется пропорционально некоторому параметру λ (0 < λ < 1):
F  F .
(2.17)
Подставив (2.17) в уравнение невязки (2.8) и продифференцировав
δ(u) по параметру λ, получим
δ (u)  F  K лин  K нел (u)  K (u u ,
38
(2.18)
где точкой обозначена производная невязки по параметру λ; элементы матрицы K (u) определяются по формуле (2.12).
Равновесное состояние рассматриваемой системы, а следовательно, и решение соответствующей нелинейной задачи может
быть найдено из условия минимума невязки δ(u) по параметру λ,
т. е. δ (u)  0 .
2.2.1. Метод шагового нагружения (МШН)
Из условия δ (u)  0 с учетом (2.18) получим
K лин  K нел (u)  K (u) u  F .
(2.19)
Будем считать, что заданная нагрузка прикладывается по шагам, таким образом, интервал изменения параметра λ разбивается
на ряд отдельных участков: λ0 < λ1 < λ2 < … < λs < λs+1 < … < λN, где
λ0 = 0; λN = 1 (N – число шагов нагружения). В этом случае матричное уравнение (2.19) для (s + 1)-го шага нагружения можно записать
в следующем виде:
K лин  K нел (us )  K (us ) us 
1
 Fs 1 ,
(2.20)
где Fs 1  (  s 1   s ) F – приращение нагрузки на (s + 1)-м шаге
(шаг нагружения); us 1  (us 1  us ) – приращение результата на
этом шаге.
Положим s = 0, λ0 = 0 и u0  0 (нулевая ступень нагружения).
В результате решения системы уравнений (2.20) получим перемещения, отвечающие первому шагу нагружения: u1  u1 . Далее процесс вычислений по (2.20) повторяется при s = 1, соответствующем
ему параметре λ1, пересчитанной нелинейной составляющей матрицы жесткости K нел ( u1 ) и производной от нее K (u1 ) .
Таким образом, последовательно переходя от одного шага
нагружения к следующему – (s + 1)-му, из решения системы (2.20)
определяют приращения Δus+1, затем значения перемещений, соответствующих уровню нагружения λs+1:
us 1  us  us 1 ,
39
(2.21)
с помощью которых в свою очередь пересчитываются матрицы
K нел и K для последующего шага нагружения. В конечном счете
получим искомый вектор перемещений uN при уровне нагружения
λN = 1 (т. е. при заданной нагрузке F).
Усилия и напряжения в конструкции определяются по формулам, аналогичным (2.21), т. е. суммированием их приращений на
каждом шаге. Например,
σ s 1  σ s  σ s 1 .
(2.22)
Метод шагового нагружения имеет недостаток, который заключается в возможности смещения (дрейфа) приближенного решения от точного (рис. 2.2, а). Для ликвидации невязки решения
~
δ( us )  F  K ( us ) us , полученной на каждом шаге нагружения или
накопленной за несколько шагов, можно использовать метод Ньютона – Рафсона или его модификации. При этом в качестве начального приближения берется результат решения задачи на текущем
шаге (рис. 2.2, б).
б)
а)
F
F
Fn
Fn
Fs
Fs
F2
F1
0 u1 u2
un
u
0 u1 u2
Здесь Z – некоторый постоянный множитель, выбираемый из условия получения наилучшей устойчивости расчетного алгоритма.
Точное решение дифференциального уравнения (2.23), в частности, для i-й компоненты вектора δ имеет вид [16]
 i  Ci e  Z  .
Из (2.24) непосредственно следует самокорректирующееся свойство уравнения (2.23), т. е. его повышенная устойчивость (действительно, с увеличением параметра λ величина невязки δ экспоненциально уменьшается).
Подставив в уравнение (2.23) выражение для невязки δ(u)
(2.8) и ее производной δ (u) (2.18), получим
Приняв во внимание, что K нел (u)  K  u 
us
un
u
Рис. 2.2. Метод шагового нагружения:
а – последовательность шагового решения; б – шаговый процесс
с ликвидацией невязки
2.2.2. Метод самокорректирующихся
начальных значений (МСНЗ)


K нел (u) u и заменив
производные в (2.25) на конечные разности для (s + 1)-го шага
нагружения:
u  us1  us1  us ;    s1   s1   s ,
(2.26)
придем к матричному уравнению, решив которое, получим следующий алгоритм самокорректирующегося метода:
us 1  (1  Z  s 1 ) us  [ K лин ]1   s 1 (1  Z  s ) F 

1
 s 1 K нел (us – 1 ) us – 1   s 1 ( Z 
) K нел (us ) us  .
 s
 s
Данный метод решения нелинейных задач обладает достоинствами как методов, использующих условие минимизации невязки
40
(2.24)
K лин u  Z u   (1  Z ) F  K нел (u)  K  u  Z K нел (u) u . (2.25)
F2
F1
us
δ(u) по параметру нагружения λ, так и методов, направленных на
непосредственную ликвидацию этой невязки. Таким образом, метод самокорректирующихся начальных значений позволяет устранить недостатки, присущие другим шаговым методам.
В основе самокорректирующегося метода лежит следующее
уравнение:
(2.23)
δ ( u)  Z δ( u)  0 .
41
(2.27)
Обычно в практических расчетах параметр шага нагружения
принимается постоянным, т. е. ∆λ = 1/N = const. В этом случае алгоритм решения для (s + 1)-го шага нагружения будет иметь вид
us 1  (1  Z ) us  [ K лин ]1  (1  Z  s ) F 
 K нел (us –1 ) us –1  ( Z  1) K нел (us ) us  .
(2.28)
При выполнении нелинейного расчета с помощью формулы
(2.27) или (2.28) первоначально следует принять u0  0 , а значение
u1 определить с помощью любого из рассмотренных ранее методов,
например МШН.
Что касается множителя Z, то на основании расчетной практики его значение рекомендуется выбирать (эмпирически) в следующем диапазоне:
(2.29)
1, 0    Z  1, 3.
Невыполнение условия (2.29) может привести к существенному
снижению точности расчета, т. е. к ухудшению устойчивости расчетного алгоритма.
Устойчивость же методов последовательного нагружения
в целом зависит от числа шагов нагружения: чем меньше величина
шага, тем устойчивее и, скорее всего, точнее будет решение нелинейной задачи.
Преимуществом шаговых методов является то, что лежащий
в его основе процесс последовательного нагружения имеет ясную
физическую интерпретацию и позволяет отслеживать напряженнодеформированное состояние конструкции по мере возрастания
нагрузки. Кроме того, с их помощью можно учитывать начальное
напряженное состояние конструкции и, наконец, пошаговый процесс не требует «хорошего» начального приближения.
К недостаткам шаговых методов можно отнести существенное
увеличение времени решения задачи для достижения высокой точности расчета, а также то, что здесь невозможно моделировать зависимость σ = fσ(ε), при которой происходит уменьшение напряжений после достижения пиковой прочности.
В заключение отметим, что изложенные в этой главе методы
решения задач расчета конструкций могут с успехом применяться
для решения нелинейных задач и в других областях прикладной
42
механики: теории упругости и пластичности, теории расчета пластин и оболочек, теплопроводности и т. д.
Также на базе рассмотренных методов можно строить новые
алгоритмы, учитывающие особенности конкретных нелинейных
задач.
2.3. Пример расчета нелинейно-упругой
стержневой системы
Требуется рассчитать физически нелинейную шарнирностержневую систему (рис. 2.3, а). Поперечное сечение и материал
стержней примем одинаковым. Для всех трех стержней зададимся
12
степенным законом деформирования в виде i  B  i  , i = 1, 2, 3.
Начальная жесткость EA = 50 000 кН, значение BA = 1000 кН, величина нагрузки F = 100 кН. Заданная точность расчета ε = 0,001.
б)
а)
F
F
2
3м
1
F
30 град.
3
0 uлин
4м
un
u
Рис. 2.3. К расчету нелинейно-упругой стержневой системы:
а – расчетная схема; б – последовательность решения МПЖ
При составлении разрешающей системы нелинейных уравнений воспользуемся выражениями, приведенными для стержневой
системы, изображенной на рис. 1.10, а (в разд. 1.3.1). В этом случае
в (1.28) следует принять: α = –150 град., l1 = 4 м, l2 = 3 м, l3 = 4,619 м;
Fx = 0, Fy = 100 кН.
Тогда содержание общей матрицы жесткости для нелинейного
расчета и ее линейной составляющей будет следующим:
43




 BA l1 u1
0
0,866 BA l3 u 3

~
K ( u) = 
0
BA l 2 u 2  0,5 BA l3 u 3

1
(0,577)
(1,155)

0 0,866 EA l3 
EA l1 

Kлин =
0
EA l2   0,5EA l3  .

 1
(0,577) (1,155) 


 ,


Для решения данной нелинейной задачи используем итерационный метод переменных жесткостей и метод шаговых нагружений. Расчеты производим с помощью вычислительной среды
Mathcad. Ниже приводятся соответствующие расчетные процедуры
и полученные с их помощью результаты вычислений.
2.3.1. Расчет методом переменных жесткостей
w  1,0
1
Uo  Ko
F
No  EA
Uo
L
Iter  1
eu  1
u  Uo
while eu  e
 BA
 L1  u1

K 
0


1

UK
BA  1000
0,866 BA 
L3  u3 

L2  u2
0,5 BA 
L3  u3 
0,577
1,155 
BA

F
U  u  w ( U  u)
eu 
e  0,001
1
0
3
1
3

i1
 Ui  ui 


 Ui 
uU
EA  50000
Iter  Iter  1
 4,0 
 3,0 
L


 4,619 
 0 


F  100


 0 
EA 
 EA
0
0,866
 L1
L3 


EA
EA 
Ko  
0,5
 0
L2
L3 


 1 0,577 1,155 
for i  1  3
Ni 
BA
Li  Ui
Ui
Начальное приближение получаем из решения линейной задачи u1 = uлин, для последующих приближений пересчитываем матри~
цу K (u) . Итерационный процесс выполняется до тех пор, пока
справедливо условие uk 1  uk uk 1  .
Ниже приведены результаты итерационного процесса.
 1,241  10 3 
 15,511 



3 
Линейное приближение: U 0   5,463  10 ; N 0   91,044  .
 1,655  10 3 
 17,911 


44
45
Нелинейный расчет (число проведенных итераций равно 10):
 4,123 10 3 


U   20,02  10 3 ;
 6,346  10 3 


 32,104

N   81,344
 37,067


.

1
U  Ko
St  1
while St  Nst
 Cd BA
 L1  U1

K 
0


1

Для ускорения сходимости итерационного процесса воспользуемся методом последовательной верхней релаксации (параметр
релаксации примем максимальным ω = 2,0). При этом число проведенных итераций ощутимо сократилось и составило 5. Результаты
нелинейного расчета будут следующими:
 4,132  10 


U   20,05  10 3 ;
 6,363  10 3 


3
Nst  15
 32,142 


N   81,442  .
 37,115 
dF
dU  K
1
0
Cd BA
L2  U2
0,577
0,866 Cd BA 


0,5 Cd BA 
L3  U3 

1,155

L3  U3
dF
U  U  dU
St  St  1
for i  1  3
Ni 
2.3.2. Расчет методом шагового нагружения
BA
L i  Ui
 Ui


При проведении расчетов задавалось разное число шагов
нагружения: 5, 10 и 15 (при постоянной величине каждого шага).
BA  1000
EA  50000
Cd  0,5
Результаты расчета (при числе шагов Nst = 5):
 4,0 
L   3,0 


 4,6219 
 0 
F   100 


 0 
 1  F
dF  

 Nst 
EA 
 EA
0
0,866
 L1
L3 


EA
EA 
Ko  
0,5
 0
L2
L3 


 1 0,577 1,155 
 3,460  10 3 


U   16,04  10 3 ;
 5,078  10 3 


 29,409 


N   73,397  .
 33,158 
Проверяем условия равновесия и условие совместности деформаций стержневой системы:
N1 + 0,866 ∙ N3 – F1 = 0,672; N2 – 0,5 ∙ N3 – F2 = –10,024.
U1 – 0,577 ∙ U2 – 1,155 ∙ U3 = 0.
Результаты расчета (при числе шагов Nst = 10):
46
47
 4,025  10 3 


U   19,04  10 3 ;
 6,012  10 3 


 31,720 


N   79,604  .
 36,078 
Проверяем условия равновесия и условие совместности деформаций стержневой системы:
N1 + 0,866 ∙ N3 – F1 = 0,451; N2 – 0,5 ∙ N3 – F2 = –2,357.
U1 – 0,577 ∙ U2 – 1,155 ∙ U3 = 0.
Результаты расчета (при числе шагов Nst = 15):
 4,212  10 3 


U   20,07  10 3 ;
 6,335  10 3 


 32,451 


N   81,613  .
 37,035 
Проверяем условия равновесия и условие совместности деформаций стержневой системы:
N1 + 0,866 ∙ N3 – F1 = 0,353; N2 – 0,5 ∙ N3 – F2 = 0,130.
U1 – 0,577 ∙ U2 – 1,155 ∙ U3 = 0.
Как видно из сопоставления результатов расчета, с увеличением числа шагов нагружения значения деформаций и усилий
в стержнях приближаются к решению, полученному итерационным
методом, при этом, исходя из величины невязки по условиям равновесия, погрешность пошагового решения уменьшается.
Контрольные вопросы
4. Назовите достоинства и недостатки метода переменных
жесткостей.
5. В чем состоит суть метода упругих решений? Приведите
его алгоритм.
6. Каковы достоинства и недостатки метода упругих решений?
7. Что лежит в основе метода Ньютона – Рафсона? Запишите
его алгоритм.
8. Укажите достоинства и недостатки метода Ньютона –
Рафсона.
9. Приведите алгоритм модифицированного метода Ньютона –
Канторовича.
10. От чего зависит сходимость итерационных методов? Как
это проявляется?
11. Приведите формулу релаксации. Какие имеются схемы
релаксации?
12. Назовите критерий окончания итерационного процесса.
13. В чем сущность шаговых методов решения нелинейных
задач?
14. Назовите основные шаговые методы решения нелинейных
задач.
15. Каковы суть и алгоритм метода шагового нагружения?
16. В чем недостаток метода шагового нагружения? Как его
можно устранить?
17. Какое уравнение лежит в основе самокорректирующегося
метода?
18. От чего зависит устойчивость шаговых методов и самокорректирующегося метода в частности?
19. Укажите общие преимущества шаговых методов расчета.
20. Укажите общие недостатки шаговых методов расчета.
1. Какова общая идея методов последовательных приближений?
2. Назовите основные итерационные методы решения нелинейных задач.
3. Каковы сущность и алгоритм метода переменных жесткостей?
48
49
Глава 3. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
КОНСТРУКЦИЙ
3.1. Основы расчета конструкций по предельному
состоянию
3.1.1. Понятие о предельном состоянии конструкции
Расчет конструкций в упругом состоянии позволяет лишь
определять напряженно-деформированное состояние сооружения
от различных видов заданных внешних воздействий. Однако упругий расчет не дает сведений о несущей способности конструкций,
т. е. о тех наибольших нагрузках, при которых конструкция разрушается. Для инженерной практики такие сведения имеют большое
значение, поскольку запроектированное сооружение должно удовлетворять нормативным значениям запаса прочности. Разрушение
же большинства конструкций связано с появлением пластических
деформаций, следовательно, при их расчете необходимо учесть не
только упругие, но и пластические свойства материала. Отсюда
и возникает понятие упругопластического расчета.
Следует отметить, что исчерпание несущей способности конструкций может происходить и в упругом их состоянии. Это связано обычно с потерей устойчивости сооружения. Например, металлические фермы чаще всего разрушаются от потери устойчивости
гибких стержней. Однако исчерпание несущей способности таких
конструкций, как железобетонные рамы, балки и им подобные,
происходит с возникновением и нарастанием именно пластических
деформаций [24].
Пластические свойства материала могут быть описаны с помощью экспериментальных данных, полученных при испытании
стандартных образцов. Часто истинные диаграммы деформирования имеют довольно сложный вид и трудно поддаются аналитическому описанию, поэтому для построения методов расчета, учитывающих пластические свойства материала, прибегают к некоторым
упрощениям. Для этого пользуются идеализированными (условными) диаграммами, которые наиболее ярко показывают пластические
50
свойства материала. К ним, например, относится диаграмма идеально жесткопластического материала (см. рис. 1.7, а), диаграмма
идеально упругопластического материала (см. рис. 1.7, б), диаграмма линейно упрочняющегося упругопластического материала
(см. рис. 1.7, в).
Диаграмма идеально упругопластического материала, называемая также диаграммой Прандтля, основана на предположении,
что предел пропорциональности совпадает с пределом текучести,
а площадка текучести имеет неограниченную протяженность.
Начальный участок диаграммы соответствует упругой стадии работы с модулем упругости E и с верхней границей – пределом текучести σт. Диаграммой Прандтля приближенно заменяют действительные диаграммы работы таких материалов, как строительная
сталь (рис. 3.1, а), бетон (рис. 3.1, б) и др. (на рисунках пунктиром
показаны действительные диаграммы деформирования) [20].
а)
б)
σ
σТ
–σ
σТ
0
ε
0
ε
Рис. 3.1. Диаграмма идеально упругопластического материала:
а – для строительной стали; б – для бетона
Однако при такой замене следует помнить о степени неточности, которую эта диаграмма вносит в расчет. Поэтому при разработке практических методов расчета систем, предполагающих идеально упругопластическую работу материала, часто вводят
дальнейшие упрощения, дающие тот же порядок погрешности, что
и введение диаграммы Прандтля. Такой расчет принято называть
расчетом по предельному состоянию или расчетом по предельному равновесию (а кроме того, расчетом по несущей способности,
расчетом по предельным или разрушающим нагрузкам).
Дальнейшее изложение будет посвящено расчету конструкций
с идеально упругопластическими свойствами. При этом будем счи51
тать, что предел текучести материала как при растяжении, так
и при сжатии одинаков. Необходимо заметить, что модель идеальной пластичности не только наиболее изучена и является простой,
но и вполне отвечает опытам, определяющим несущую способность сооружений. Таким образом, качественные результаты расчета по методу предельного равновесия гораздо ближе к действительному поведению строительных конструкций, чем результаты
расчета их как чисто упругих систем. Отметим также, что расчеты
по предельному состоянию могут производиться лишь для конструкций, изготовленных из пластичных материалов и при действии на них статической нагрузки. Он неприменим для конструкций из хрупких материалов и при действии переменных
напряжений, которые вызывают хрупкое разрушение материала.
Статически неопределимые системы из идеально упругопластического материала в начальный период нагружения работают,
как упругие. После появления текучести в одном, наиболее напряженном, элементе степень статической неопределимости системы
уменьшается на единицу. При дальнейшем пропорциональном увеличении нагрузки усилие в элементе, достигшем состояния текучести, остается равным своему предельному значению, а усилия
в других элементах продолжают увеличиваться. При достижении
состояния текучести во втором и последующих элементах степень
статической неопределимости каждый раз уменьшается на единицу, пока система не станет статически определимой, а затем, при
достижении предельного состояния еще в одном элементе, наконец,
не обратится в механизм.
Таким образом, в n раз статически неопределимой системе до
того, как она превратится в механизм, состояние текучести может
быть достигнуто в n + 1 элементе (или сечении). Это будет означать
исчерпание ее несущей способности. В таком состоянии, называемом состоянием предельного равновесия, нагрузка еще находится
в равновесии с внутренними силами, но дальнейшее увеличение
нагрузки уже невозможно. Кроме того, в состоянии предельного
равновесия перемещения системы становятся неопределенными по
величине.
Нагрузку, отвечающую моменту исчерпания несущей способности конструкции, называют предельной. Другими словами, предельной нагрузкой называется такая нагрузка, которую конструкция
52
может выдержать без разрушения ее основных элементов, т. е. предельная нагрузка является мерой несущей способности конструкции. Таким образом, целью расчета по предельному состоянию
является определение механизма разрушения конструкции, возникающего при достижении нагрузкой предельных значений.
3.1.2. Прямой пошаговый метод расчета
упругопластических систем
Общая картина поведения статически неопределимой упругопластической системы в течение всего процесса нагружения может
быть получена серией расчетов упругих систем, получающихся из
заданной системы путем последовательного исключения элементов, перешедших в состояние текучести.
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из четырех одинаковых по длине l и сечению A стержней из идеально
упругопластического материала, на которых подвешена абсолютно
жесткая и прочная балка. Вся конструкция нагружена силой F,
находящейся под вторым стержнем (рис. 3.2). Стержневая система
является дважды статически неопределимой, следовательно, исчерпание ее несущей способности произойдет по достижении состояния текучести в трех элементах-стержнях.
l
1
2
3
4
A
B
C
D
c
F
c
c
Рис. 3.2. Стержневая система, работающая
на растяжение-сжатие
Представим процесс нагружения состоящим из несколько шагов (стадий). На первой стадии система работает как полностью
упругая (рис. 3.3, а) и расчет ее дает следующие усилия в стержнях:
N1 = 0,4∆F1; N2 = 0,3∆F1; N3 = 0,2∆F1; N4 = 0,1∆F1.
53
Приравняв усилие в первом элементе N1 (как наибольшее) предельному значению Nт = σт A, определим нагрузку ∆F1 = Nт / 0,4 = 2,5Nт,
при которой в данном элементе достигается состояние текучести
(N1 = 0,4∆F1 = Nт), в остальных же стержнях усилия будут (рис. 3.3, б):
N2 = 0,3∆F1 = 0,75Nт; N3 = 0,2∆F1 = 0,5Nт; N4 = 0,1∆F1 = 0,25Nт.
а)
б)
0,4∆F1
0,3∆F1
0,2∆F1
0,1∆F1
Nт
∆F1
0,75Nт
0,5Nт
0,25Nт
0,6Nт
0,2Nт
2,5Nт
в)
г)
0,833∆F2 0,333∆F2 0,167∆F2
Nт
∆F2
Nт
2,8Nт
д)
е)
2∆F3
–∆F3
Nт
Nт
Nт
0
0,833 = 0,3Nт. В третьем и четвертом стержнях при этом усилия
станут следующими (рис. 3.3, г):
N3 = 0,5Nт + 0,333∆F2 = 0,6Nт; N4 = 0,25Nт – 0,167∆F2 = 0,2Nт.
В третьей стадии стержневая система будет работать уже
как статически определимая (рис. 3.3, д). Приращение нагрузки ∆F3
вызывает усилия
N3 = 2,0∆F3; N4 = –1,0∆F3.
Предельное равновесие всей системы наступает тогда, когда значение Nт достигается в третьем элементе: N3 = 2∆F3 + 0,6Nт = Nт, отсюда ∆F3 = (Nт – 0,6Nт) / 2 = 0,2Nт. В этом состоянии усилия в первых трех стержнях равны предельному значению Nт (рис. 3.3, е),
а в четвертом стержне:
N4 = 0,2Nт – 1,0∆F3 = 0.
Величина предельной нагрузки, т. е. несущая способность системы,
Fпр = ∆F1 + ∆F2 + ∆F3 = 2,5Nт + 0,3Nт + 0,2Nт = 3Nт.
Определим также перемещение fB (под силой F) в конце каждой стадии работы упругопластической системы. При достижении
состояния текучести в первом стержне и при N2 = 0,75Nт (рис. 3.4, а)
перемещение
fB = N2 l / EA = 0,75 Nт l / EA.
∆F3
3Nт
Рис. 3.3. Стадии работы упругопластической стержневой системы:
а, б – первая стадия; в, г – вторая стадия; д, е – третья стадия
Далее, на второй стадии, нагрузка может быть увеличена на
величину шага ∆F2, причем усилие в первом стержне будет оставаться равным Nт. Таким образом, на шаг нагрузки ∆F2 здесь будет
работать система с тремя стержнями, т. е. один раз статически
неопределимая (рис. 3.3, в). Расчет такой системы дает
N2 = 0,833∆F2; N3 = 0,333∆F2; N4 = –0,167∆F2.
Состояние текучести во втором элементе наступит при достижении
величины Nт: N2 = 0,833∆F2 + 0,75Nт = Nт, отсюда ∆F2 = (Nт – 0,75Nт) /
54
При появлении текучести во втором стержне, т. е. при N2 = Nт
(рис. 3.4, б):
fB = N2 l / EA = Nт l / EA.
Наконец, при появлении текучести в третьем стержне (в этом
случае N3 = Nт, N4 = 0 – рис. 3.4, в) перемещение будет
fB = 2fС = 2N3 l / EA = 2Nт l / EA.
Зависимость перемещения fB от нагружения силой F показана
на рис. 3.4, г. Она представляет собой ломаную линию, которая после достижения системой предельного равновесия становится горизонтальной.
55
Если нет необходимости отслеживать поведение конструкции
в процессе нагружения, то нахождение предельной нагрузки для
статически неопределимой идеально упругопластической системы
представляет собой более простую задачу. Упрощение расчета обусловлено тем, что в отдельных элементах конструкции внутренние
усилия еще до окончательного разрушения принимают постоянные
предельные значения, не зависящие от ее последующей работы.
Применительно к задачам о несущей способности конструкций
разработаны кинематический и статический методы расчета по
предельному состоянию.
В основе кинематического метода лежит следующая теорема
предельного равновесия: предельная нагрузка на конструкцию не
может быть больше той, которая определена из рассмотрения кинематически допустимого распределения перемещений (кинематического механизма). Кинематическая теорема определяет предельную нагрузку как наименьшую из всех нагрузок, обращающих
прежде жесткую и геометрически неизменяемую конструкцию
в механизм, т. е. дает верхнюю оценку истинной предельной
нагрузки (Fпр  Fкин).
При расчете по кинематическому методу предполагается, что
в состояние текучести переходит столько элементов системы,
сколько необходимо для превращения последней в механизм, или
кинематическую цепь. Это превращение может происходить поразному, поэтому необходимо выявить все кинематически возможные схемы разрушения системы. Каждому варианту разрушения
будет отвечать определенное значение предельной нагрузки, уравновешивающей внутренние силы в элементах конструкции, в том
числе перешедших в состояние текучести. Нагрузка при этом считается заданной по направлению и выражена через один параметр,
определению подлежит лишь числовое значение этого параметра.
Из всех полученных для каждого варианта разрушения значений
предельной нагрузки истинным будет наименьшее значение.
Рассмотрим возможные схемы разрушения для системы, показанной на рис. 3.2. Будем считать, что элементы системы одинаково
работают на растяжение и на сжатие, упругие деформации стержней незначительны, и ими можно пренебречь по сравнению с деформациями текучести.
Для первой возможной схемы разрушения (рис. 3.5, а) предельное значение нагрузки может быть получено из следующего
уравнения равновесия:
56
57
а)
г)
F (Nт)
Nт
0,75Nт
0,5Nт
0,25Nт
0,6Nт
0,2Nт
2,5Nт
3,0
2,8
2,5
б)
Nт
Nт
0
0,75 1,0
2,0
fB (Nтl / EA)
2,8Nт
в)
Nт
Nт
Nт
0
fB
3Nт
Рис. 3.4. Перемещения в упругопластической стержневой системе:
а – в конце первой стадии; б – в конце второй стадии;
в – в конце третьей стадии; г – график зависимости fB от F
Как видим, расчет даже такой простой системы оказывается
довольно громоздким, но зато дает возможность не только находить предельную нагрузку, но и полностью описать поведение конструкции в процессе ее нагружения. Приведенный здесь порядок
расчета принято называть прямым методом расчета идеально
упругопластических систем.
3.1.3. Кинематический и статический методы расчета
по предельному состоянию
ΣMA = 0: Fпр c – Nт (с + 2с + 3с) = 0, отсюда Fпр = 6Nт.
а)
Для второй схемы разрушения (рис. 3.5, б) используем уравнение
ΣMB = 0: Fпр 0 – Nт (с + с + 2с) = 0, отсюда Fпр = ∞.
Nт
Nт
А
∆
Для третьей схемы разрушения (рис. 3.5, в) получаем:
ΣMC = 0: Fпр c – Nт (2с + с + с) = 0, отсюда Fпр = 4Nт.
в)
Nт
Nт
Nт
С
∆
Nт
Fпр
Fпр
б)
г)
Для четвертой схемы разрушения (рис. 3.5, г):
Nт
ΣMD = 0: Fпр 2c – Nт (3с + 2с + с) = 0, отсюда Fпр = 3Nт.
Минимальное значение Fпр = 3Nт получается, когда в состоянии текучести находятся первый, второй и третий стержни. Этот
результат совпадает с полученным прямым методом.
Вместо составления уравнений равновесия для определения
разрушающих нагрузок можно воспользоваться также условием равенства нулю работы всех сил на соответствующих перемещениях
системы. Причем работа предельных усилий Nт в стержнях считается отрицательной, так как направления Nт противоположны перемещениям системы.
Для первой схемы разрушения (см. рис. 3.5, а)
Fпр ∆ – Nт (∆ + 2∆ + 3∆) = 0, отсюда Fпр = 6Nт.
Для второй схемы разрушения (см. рис. 3.5, б)
Fпр 0 – Nт (∆ + ∆ + 2∆) = 0, отсюда Fпр = ∞.
Для третьей схемы разрушения (см. рис. 3.5, в)
Fпр ∆ – Nт (2∆ + ∆ + ∆) = 0, отсюда Fпр = 4Nт.
Для четвертой схемы разрушения (см. рис. 3.5, г)
Fпр 2∆ – Nт (3∆ + 2∆ + ∆) = 0, отсюда Fпр = 3Nт.
58
Nт
Nт
B
∆
Nт
Fпр
c
c
Nт
c
D
∆
Nт
c
Fпр c
c
Рис. 3.5. Кинематически возможные схемы разрушения стержневой системы:
а – первая схема; б – вторая схема; в – третья схема; г – четвертая схема
Другой способ нахождения предельной нагрузки носит название статического метода. В его основе лежит следующее утверждение: предельная нагрузка не может быть ниже той, которую
может уравновесить статически допустимое распределение внутренних сил (статическая теорема). Таким образом, предельная
нагрузка определяется как наибольшая из всех внешних нагрузок,
при которых рассматриваемая система находится в равновесии
(Fпр ≥ Fстат).
При расчете по статическому методу исходят из различных
возможных распределений внутренних сил в системе, где в необходимом числе элементов усилия равны предельным значениям,
а в остальных элементах должны быть меньше предельных значений. Для каждого такого распределения из условий равновесия
определяется величина нагрузки, наибольшая из этих величин принимается равной предельной нагрузке.
Рассчитаем статическим методом систему, изображенную на
рис. 3.2. Поскольку система дважды статически неопределима, будем задаваться такими распределениями усилий, где три элемента
находятся в состоянии текучести, а усилие в четвертом должно
59
быть меньше предельного. Усилие в этом элементе определим из
условия ΣMB = 0.
Здесь возможны следующие варианты распределения усилий
(рис. 3.6):
1. N1 = N2 = N3 = Nт, |N4| < Nт; ΣMB = 0 → N4 = 0.
2. N1 = N2 = N4 = Nт, |N3| < Nт; ΣMB = 0 → N3 = – Nт.
3. N1 = N3 = N4 = Nт, |N2| < Nт; ΣMB = 0 → N2 = ∞ > Nт.
4. N2 = N3 = N4 = Nт, |N1| < Nт; ΣMB = 0 → N1 = 3Nт > Nт.
Таким образом, варианты 3 и 4 отпадают, так как усилия в них
получаются большими Nт. Остаются варианты 1 и 2 (последний
возможен при |N3| ≤ Nт), предельную нагрузку для них определяем
из условия равновесия ΣY = 0:
1. Fпр = Nт + Nт + Nт + 0 = 3Nт.
2. Fпр = Nт + Nт – Nт + Nт = 2Nт.
Истинным состоянием предельного равновесия будет то, при
котором нагрузка достигает максимального значения. Этому отвечает распределение предельных усилий по первому варианту Fпр =
= 3Nт. Этот результат совпадает с тем, что дают кинематический
и прямой методы.
а)
в)
Nт
Nт
Nт
N4
Nт
N2
B
Nт
Nт
Nт
Nт
B
Fпр
Fпр
г)
б)
Nт
Nт
N3
Nт
N1
Nт
B
c
B
Fпр
c
c
c
Fпр
c
Рис. 3.6. Статически возможные распределения усилий:
а – первый вариант; б – второй вариант;
в – третий вариант; г – четвертый вариант
60
c
3.1.4. Определение предельной нагрузки
как задача поиска экстремума
Эффективным методом решения упругопластических задач
являются методы, основанные на экстремальных принципах теории
предельного равновесия. Этих принципов два. Сформулируем их
применительно к задаче определения предельной нагрузки для случая простого однопараметрического нагружения (когда внешняя
нагрузка, пропорциональная одному параметру, возрастает от нуля
до определенной величины) [24].
1. Принцип максимума мощности нагрузки для статически
допустимого распределения усилий: из всех статически допустимых
векторов усилий при простом пластическом разрушении действительным является тот, при котором мощность нагрузки максимальна. Этот экстремальный энергетический принцип также называется
статической теоремой о простом пластическом разрушении.
Математическая формулировка этого принципа представляет
следующую экстремальную задачу:
F → max; {S} ≤ {Sт}; –{S} ≤ {Sт}; [A]{S} – {η}F = {0}.
(3.1)
Здесь F – параметр нагрузки; {S} – вектор внутренних сил; [A] –
матрица коэффициентов уравнений равновесия системы; {Sт} –
вектор предельных усилий; {η} – заданный вектор, определяющий
в относительных величинах распределение и направление внешней
нагрузки.
2. Принцип минимума скорости диссипации энергии для кинематически допустимых перемещений: из всех кинематически допустимых векторов скоростей перемещений и деформаций действительными являются те векторы, при которых скорость
диссипации энергии минимальна (кинематическая теорема о простом пластическом разрушении).
Формулировка данного экстремального принципа:
{S т }T ({  }  {  })  min, ({  }  {  })  [ A]T {u}  {0};
(3.2)
{}T {u}  1; {  }  {0}; {  }  {0}.
61
Здесь [A] – матрица коэффициентов геометрических уравнений;
{} – вектор обобщенных деформаций; { } – вектор скоростей деформаций; {u} – вектор перемещений; {u} – вектор скоростей перемещений.
Рассмотрим статическую постановку задачи определения
предельной нагрузки для n раз статически неопределимой системы.
Имеются (m + 1) неизвестных (m – мерный вектор усилий {S}
в элементах или характерных сечениях системы и сам параметр
нагрузки F). Для решения задачи имеем 2m неравенств, выражающих условия текучести в элементах системы, и k = (m – n) равенств,
представляющих уравнения равновесия системы (3.1). Таким образом, матрица коэффициентов уравнений равновесия [A] имеет размерность k × m, вектора {S} и {Sт} – размерность m, вектор {η} –
размерность k.
Для получения единственного (невырожденного) решения задачи необходимо, чтобы число линейно независимых ограничений,
превратившихся в равенства, равнялось числу искомых неизвестных. Поэтому из 2m неравенств (n + 1) условие должно превратиться в равенства. Тогда получится (m – n) + (n + 1) = (m + 1) уравнений, из которых найдем неизвестные усилия S и параметр F.
Превращение (n + 1) неравенств в равенства означает, что
в (n + 1) элементах или сечениях наступает состояние текучести
(усилия S достигают предельных значений). При этом происходит
пластическое разрушение системы. Такой механизм разрушения
называется полным пластическим механизмом, в этом случае вектор усилий {S} имеет единственное значение.
Рассмотрим стержневую систему (см. рис. 3.2), для которой n
= 2, m = 4, k = m – n = 2. Таким образом, необходимо составить два
уравнения равновесия:
1) ΣY = 0: N1 + N2 + N3 + N4 = F;
2) ΣMB = 0: N1 c – N3 c – N4 2c = 0.
Тогда матрица [A] и вектора из (3.1) будут иметь следующий вид:
 N1 
N 
А  1 1 1 1  ; S    2  ;
1 0 1  2 
N3 
 N 4 
62
NТ 
N 
SТ    Т  ;
NТ 
 N Т 
  
1
.
0
Решение задачи выполняем в вычислительной среде Mathcad,
используя следующую процедуру расчета:
Scols ( A) : 0
Given
S  ST
F : 0
 S  ST
f ( F , S ) : 0
A S   F  0
 Fпр 
  : Maximize ( f , F , S )
 S 
Результаты расчета:
величина предельной нагрузки Fпр = 3NT;
NТ 
 N 
усилия в предельном состоянии S    Т  .
NТ 
0 
Как видим, результаты решения экстремальной задачи совпадают с полученными ранее.
3.2. Расчет несущей способности конструкций,
работающих на изгиб
3.2.1. Понятие пластического шарнира
Остановимся на расчете упругопластических систем, работающих на изгиб. Эпюра напряжений в сечении балки из идеального
упругопластического материала представляет собой линейное преобразование диаграммы Прандтля. В упругой стадии работы сечения эта эпюра прямолинейная (рис. 3.7, а), в упругопластической
стадии – принимает ломаное очертание (рис. 3.7, б). При росте деформаций внутреннее «упругое ядро» все более уменьшается
и в пределе эпюра напряжений принимает вид двух прямоугольников (рис. 3.7, в). Это последнее состояние сечения и будет состоянием его предельного равновесия.
Зависимость между кривизной оси балки и изгибающим моментом здесь имеет вид, изображенный на рис. 3.7, г, где разделены
упругая и упругопластическая стадии работы материала сечения.
63
а)
б)
в)
σт
Предельный изгибающий момент можно определить как произведение равнодействующей напряжений  т A на плечо пары сил
d  d   d  , равное расстоянию между центрами тяжести растянутой и сжатой зон сечения (рис. 3.8):
г)
σт
σт
M
Mт
Mупр
σт
σт
0
σт
М т   т A   (1   ) d   т Wпл .
Mт / EI
M / EI
Рис. 3.7. Эпюры нормальных напряжений в сечении балки:
а – в упругой стадии работы; б – в упругопластической стадии;
в – в состоянии предельного равновесия; г – зависимость кривизна – момент
Упрощенно (ввиду условности диаграммы работы материала)
зависимость между кривизной и моментом можно представить
также в виде диаграммы Прандтля, как показано на рис. 3.7, г,
штриховой линией. Предельное состояние сечения здесь уже считается достигнутым сразу после окончания упругой стадии работы
сечения, которая несколько продлевается за счет упругопластической стадии. При этом предельный момент Mт в сечении считается
соответствующим неопределенному значению кривизны: от Mт / EI
до бесконечности. Эта условная стадия работы сечения называется
шарниром текучести (или пластическим шарниром).
Предположим, материал имеет разные пределы текучести на
растяжение  т и на сжатие  т    т . В предельном состоянии сечение делится на две части – растянутую и сжатую зоны:
A  A   A  (рис. 3.8, а). Из условия, что при изгибе равнодействующие растягивающих и сжимающих напряжений равны друг другу,
получаем  т A   т A . Отсюда следует, что A  A (1   ) .
а)
М т   т A d    т A d    т S    т S    т ( S    S  ) .
Таким образом, пластический момент сопротивления Wпл  S    S  .
При одинаковых пределах текучести на растяжение и сжатие,
т. е. при ψ = 1, получим:
Wпл  0,5 A d  2 S z .
(3.5)
Здесь Sz – статический момент половины сечения, взятый относительно нейтральной оси z.
Величина отношения Wпл W z всегда больше единицы и тем
больше, чем выше концентрация материала вблизи нейтральной
оси поперечного сечения (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Соотношение между пластическим и упругим моментами сопротивления
Сечение
0
(3.4)
σт+
d+
A–
Величина Wпл  A   (1   )d называется пластическим моментом
сопротивления (по аналогии с осевым моментом сопротивления Wz).
Предельный момент в сечении балки можно также определить
как сумму произведений равнодействующих напряжений растянутой и сжатой зон на соответствующие плечи:
б)
y
A+
z
(3.3)
d
–
d
σт–
Wпл Wz
Идеальный
двутавр
Прокат
Трубчатое
Прямоугольное
Круглое
Ромбическое
1,00
1,15–1,2
1,25–1,5
1,5
1,7
2,0
Рис. 3.8. Состояние предельного равновесия сечения:
а – поперечное сечение балки; б – распределение напряжений
64
65
3.2.2. Предельное равновесие многопролетных
неразрезных балок
Применим кинематический и статический методы к расчету
неразрезных балок по стадии предельного равновесия.
В основе кинематического метода – рассмотрение возможных схем разрушения балки при возникновении необходимого количества шарниров текучести. В отличие от идеального шарнира,
соединяющего отдельные элементы конструкции, пластический
шарнир имеет некоторые особенности. Во-первых, в нем действует
особая, «флажковая», эпюра напряжений (см. рис. 3.7, в), от которой возникает изгибающий момент, равный предельному моменту
М т   т Wпл . Во-вторых, он является односторонним, так как раскрывается при нагрузке в сторону эпюры моментов (и закрывается
при разгрузке), при этом последовательно расположенные шарниры
обязательно должны раскрываться в разные стороны.
Статический метод, основанный на отыскании наиболее выгодного распределения внутренних сил в балке, получил меньшее
распространение. Заметим, однако, что наиболее полное представление о величине предельной нагрузки дает двухсторонняя оценка
при одновременном применении статического и кинематического
методов.
Особенность методов предельного равновесия применительно
к изгибаемым конструкциям состоит в том, что для отыскания предельной нагрузки недостаточно располагать сведениями о размерах, физических свойствах материала конструкции и типах нагрузок. Необходимо еще заранее знать вид механизма разрушения:
конструкция (или ее часть) должна стать геометрически либо мгновенно изменяемой – если используется кинематический метод, или
знать характер распределения внутренних усилий – если применяется статический метод.
Предполагаемый механизм разрушения, образованный пластическими шарнирами и жесткими дисками, может быть назначен
на основании экспериментов; также широко используются различные аналогии и привлекается инженерная интуиция. Пластические
шарниры появляются в первую очередь в сечениях, где действуют
наибольшие значения изгибающих моментов, а затем в сечениях,
где изгибающие моменты меньше по величине.
66
Обычно для того чтобы n раз статически неопределимая система превратилась в механизм, необходимо ввести (n + 1) пластических шарниров. Такой механизм разрушения называется полным
пластическим механизмом. Механизм, содержащий более (n + 1)
пластических шарниров, называется избыточным пластическим
механизмом. Если же число шарниров текучести меньше чем
(n + 1), то имеет место частный (локальный) пластический механизм. В последнем случае разрушение затрагивает не всю конструкцию, а только часть ее.
Например, для балки (рис. 3.9, а) предельным состоянием будет являться такое, когда в пределах одного, самого «нагруженного», пролета возникают три пластических шарнира, раскрывающихся последовательно в разные стороны: два из них возникают на
опорах, третий – под сосредоточенной силой. Таким образом, имеем случай частного пластического механизма.
а)
F
1
a
l2
R1
l3
Mт
Mт
α
a
3
b
l1
б)
F
2
Fпр
β
l4
F
R2
∆
Mт C Mт
b
Рис. 3.9. Расчет неразрезной балки кинематическим методом:
а – расчетная схема балки; б – механизм разрушения
Определим несущую способность неразрезной балки кинематическим методом. Для определения величины предельной
нагрузки составим следующие уравнения равновесия для балки
в предельном состоянии (рис. 3.9, б):
 М 2лев
 0 : Fпр b  R1 (a  b)  0; R1 
67
Fпр b
( a  b)
.
Fпр ab
 М Слев  0 : 2М т  R1a  0 или 2М т  (a  b) ;
2 М т ( a  b)
.
ab
Очень часто, особенно для сложных систем, вместо составления уравнений равновесия проще определить предельную нагрузку
из условия равенства нулю работы всех сил на перемещениях системы. При этом работа внешних сил равна произведению величин
сил на их перемещения. Работа предельных моментов в шарнирах
текучести равна произведениям их значений на углы поворота
в шарнирах (как правило, эта работа отрицательна, так как направления моментов противоположны углам раскрытия шарниров).
В итоге получим (см. рис. 3.9, б):
отсюда Fпр 
Рассмотрим случай загружения статически неопределимой
балки распределенной нагрузкой (рис. 3.11, а). Заранее не зная, где
образуется второй шарнир текучести в пролете, обозначим расстояние до него от правой опоры через параметр x. Зададимся вертикальным перемещением данного шарнира – ∆, тогда углы раскрытия шарнира    /(l  x) ;    / x .
а)
М 1  М 2  Fab /(a  b)  М 1b /(a  b)  М 2 a /(a  b) .
Приравняв эти моменты предельному значению Mт, получим:
М т  Fпр ab /(a  b)  М т b /(a  b)  М т a /(a  b) .
Отсюда Fпр ab  М т a  М т b  М т (a  b) ; Fпр 
68
2 М т ( a  b)
.
ab
M2
F
M3
b
б)
M1
2 М т (  / a   / b)
 1 1  2 М т ( a  b)
.
 2М т    

ab
a b
Применим теперь к той же балке статический метод определения предельной нагрузки. Примем за основную систему разрезную балку с шарнирами на опорах (рис. 3.10, а). Эпюры изгибающих моментов в основной системе от заданной нагрузки и от
лишних неизвестных (опорных моментов) показаны на рис. 3.10, б;
результирующая эпюра моментов – на рис. 3.10, в.
Наиболее невыгодным будет такое распределение внутренних
сил в балке, при котором значения опорных моментов М1 и М2 равны значению момента под нагрузкой (см. рис. 3.10, в):
F
a
Fпр   М т (2  2)  0; Fпр  2М т (  ) / , где    /a ;    /b .
Отсюда Fпр 
M1
Fab/(a + b)
M1b/(a + b)
M2
M2 a/(a + b)
M3
в)
M2
M1
M3
Fab/(a + b) – M1b/(a + b) – M2a/(a + b)
Рис. 3.10. Расчет неразрезной балки статическим методом:
а – основная система; б – эпюры в основной системе;
в – результирующая эпюра
Работа равномерно распределенной нагрузки будет выражаться произведением ее интенсивности на площадь треугольника, образованного ломаной осью балки и ее первоначальным положением. Сумма работ внешней нагрузки и предельных моментов на
перемещениях системы должна равняться нулю, как во всяком состоянии равновесия. Таким образом, получаем
69

l


2М т (l  x)
.
qпр  М т  2
   0 , откуда qпр 
l x (l  x)
2
 (l  x) x 
ния моментов в сечениях, где возможно возникновение пластических шарниров, предельному моменту:
qпр x(l  x) М 1 x
q x(l  x) М т (l  x)
.

 М т или пр

2
l
l
2
2 М т (l  x)
М
Отсюда qпр 
 11,656 2 т (при x = 0,414 l ).
l x (l  x)
l
Подводя итоги, отметим, что в многопролетной неразрезной
балке состояние предельного равновесия достигается при образовании такого количества пластических шарниров, которое необходимо для превращения ее в изменяемую систему. В большинстве
случаев это количество меньше степени статической неопределимости балки плюс единица (n + 1), т. е. предельная несущая способность получается при нарушении условий геометрической неизменяемости одной какой-либо части неразрезной балки – образовании
частного пластического механизма разрушения. Обычно обрушение какого-либо одного пролета происходит с возникновением
шарниров текучести на его опорах и в пролете (см. рис. 3.9, б).
Применение кинематического и статического методов для
определения предельного равновесия неразрезных балок не более
сложно, чем в случае однопролетной статически неопределимой
балки (см. рис. 3.11). Дело в том, что предельные нагрузки для
каждого пролета не зависят от величины и характера нагружения
других пролетов. Поэтому каждый пролет неразрезной балки можно рассчитывать независимо от других. Это, к тому же, значительно
проще расчета неразрезной балки по упругой стадии ее работы.
Возможны и другие формы разрушения неразрезных балок,
которые могут давать наименьшую предельную нагрузку при различных вариантах ее приложения. Некоторые из этих форм показаны на рис. 3.12.
М1 
а)
б)
q
l–x
q
M1
x
Mт
β
α
Mт
M1
∆
l–x
x
qx(l – x)/2
Mт
qx(l – x)/2 – M1x/l
Рис. 3.11. Расчет статически неопределимой балки:
а – кинематическим методом; б – статическим методом
Теперь найдем такое положение шарнира текучести в пролете,
чтобы qпр было минимальным. Для этого следует приравнять производную dqпр dx нулю. Получим квадратное уравнение x2 – 2 l x –
– l 2 = 0, 0 ≤ x ≤ l; откуда x = 0,414 l. Подставив это значение x
в выражение предельной нагрузки, получим:
qпр 
М
2М т (l  0,414 l )
 11,656 2 т .
l  0,414 l (l  0,414 l )
l
Приближенную оценку несущей способности можно получить, если предположить, что пластический шарнир расположен
посередине пролета [6]. В этом случае, при условии      / 0,5l ,
qпр
М
3
l
 Мт
 0 , откуда qпр  12 2 т .
2
0,5l
l
Решим эту же задачу статическим методом. Для этого сложим
эпюру моментов в основной системе от заданной нагрузки с эпюрой от лишнего неизвестного М1 (рис. 3.11, б). Приравняем значе-
Рис. 3.12. Возможные формы разрушения неразрезных балок
70
71
Заметим, что на состояние предельного равновесия неразрезных балок не оказывает влияние осадка опор, подобно тому, как это
имеет место в статически неопределимых системах, тогда как
в упругой стадии работы неразрезной балки осадка опор сильно
изменяет распределение изгибающих моментов.
3.2.3. Особенности расчета по предельному
равновесию рам и арок
Сложность расчета рам, а также арок объясняется тем, что не
всегда ясно, где будут возникать пластические шарниры, так как их
появление зависит от величин всех компонентов внутренних сил M,
Q и N и возможных вариантов возникновения шарниров текучести
в этом случае куда больше, чем в многопролетных балках. Так, для
рамы, нагруженной двумя сосредоточенными силами (рис. 3.13, а),
при определенных соотношениях этих сил могут быть получены
совершенно разные механизмы разрушения (рис. 3.13, б–г).
а)
в)
б)
г)
Расчет рам и арок с учетом развития пластических деформаций производится на основе следующих обычно принимаемых допущений:
1) не учитывается влияние поперечных сил;
2) внутренние силы определяются по недеформированному
состоянию без учета дополнительных изгибающих моментов, которые, вообще говоря, при больших перемещениях в предельном состоянии могут быть существенны;
3) считается, что пластический шарнир допускает только одно движение, а именно поворот сечений относительно нейтральной
оси в сторону его раскрытия, что уменьшает степень статической
неопределимости рамы на единицу.
Первое и второе допущения приводят к завышенному против
действительного запасу прочности. Так, условие предельного состояния для двутаврового и прямоугольного сечений при учете изгибающего момента и продольной силы будет следующим [6]:
M пр
т

N пр2
4 ( т ) 2 
 Wпл .
(3.6)
Тогда предельный момент в сечении с учетом действия продольной
силы
N2
(3.7)
M пр  M т  пр .
4 т
Рис. 3.13. Возможные формы разрушения рамы:
а – рама с нагрузкой; б – полный пластический механизм;
в – избыточный; г – частный
Во многих случаях, если пренебрегать влиянием продольных
сил на появление дополнительных моментов в деформированном
состоянии системы, то учет продольной и поперечной сил в предельном состоянии сечения оказывает небольшое влияние. Это
позволяет (при таких предпосылках) приближенно, а иногда и точно определять положения пластических шарниров по эпюре предельных изгибающих моментов, вид которой подсказывается
обычным упругим расчетом статически неопределимых систем.
72
Здесь M т   тWпл – предельный момент при чистом изгибе;
N пр  кр A – предельная сила при продольном изгибе (при растяжении кр   т );  – ширина прямоугольного сечения или толщина
стенки двутавра.
Вычисления показывают, что во многих случаях влияние продольной силы в условии (3.6) невелико и составляет примерно следующую долю от момента:
N пр2

(3.8)
.
M пр 4 т 
Поэтому можно рекомендовать начинать расчет при обычно
принятых допущениях без учета продольных сил, а затем, прибли73
женно определив относительную погрешность по формуле (3.8),
уточнить расчет, учитывая влияние продольных сил, если в этом
есть необходимость.
Рассмотрим статически неопределимую раму (n = 3), нагруженную вертикальной и горизонтальной силами (рис. 3.14, а).
Поскольку с первого взгляда неясно, где появятся пластические
шарниры, предварительно выполним расчет рамы в упругой стадии. По полученной из упругого расчета эпюре изгибающих моментов (рис. 3.14, б) можно предположить, что пластические шарниры могут возникнуть в первую очередь в сечениях 1, 3, 4 и 5,
а затем лишь в сечении 2.
а)
б)
F
F
2
4
а)
0,25F
0,5F
X3 X3
X2
X1
X1
X2
X2
Эп. M XO3
X2
X3
0
5
2м
2,5F
2,5F
0
Эп. M XO2
Эп. M XO1
3м
1
Эп. M FO
0,5F
в)
0,64F
б)
OC MC
0,98F
0,98F
0,25F
3
М 2  X 2  X 3  0,5Fпр  М т
 X 2  0,5Fпр  2М т

: Fпр  2М т .
: 
М 3  X 3  М т
2,5Fпр  X 2  2М т
М 4  2,5Fпр  X 2  X 3  М т

2м
0,71F
Полному пластическому механизму соответствует появление
четырех пластических шарниров, частному механизму – до трех
шарниров (в нашем случае это будет обрушение ригеля). При этом
теоретически необходимо, чтобы последовательно расположенные
шарниры раскрывались в разные стороны – внутрь рамы и наружу.
Таким образом, возможных сочетаний для данной рамы будет несколько. Все их надо рассмотреть и при определении предельной
нагрузки принять наименьшее ее значение.
Выполним расчет рамы по предельному состоянию статическим методом. Основная система метода сил показана на рис. 3.15, а.
Эпюры изгибающих моментов в основной системе от заданной
нагрузки и от лишних неизвестных показаны на рис. 3.15, б–в; результирующая эпюра моментов – на рис. 3.15, г.
Вариант № 1. Пластические шарниры расположены только на
ригеле – в сечениях 2, 3, 4 (частный механизм разрушения). Имеем
следующие условия предельного равновесия:
74
X3
1,07F
Рис. 3.14. Статически неопределимая рама:
а – сечения в раме; б – результат упругого расчета
X1
X2
X1
X3
X2
г)
Эп. M∑
X2–X3–0,5F
2,5F–X2–X3
X3
– X1+X2
X1+X2
Рис. 3.15. Расчет рамы статическим методом:
а – основная система; б, в – эпюры в основной системе;
г – результирующая эпюра моментов
Вариант № 2. Пластические шарниры в сечениях 1, 3, 4, 5.
Имеем следующие условия предельного равновесия:
75
М 1   X 1  X 2  М т
М  X  М
2 X 2  2 М т
3
3
т
М  2,5F  X  X  М : 2,5 F  X  2М : Fпр  1,2М т .
пр
2
т
пр
2
3
т

 4
М 5  X 1  X 2  М т
Вариант № 3. Пластические шарниры в сечениях 1, 2, 4, 5
(в этом случае шарнир в сечении 2 должен раскрываться внутрь
рамы). Имеем следующие условия предельного равновесия:
М 1   X 1  X 2  М т
М  X  X  0,5F   М
0,5Fпр  X 3  2М т
 2
2
3
пр
т
: 
: Fпр  1,33М т .

М
F
X
X
М




2
,
5
2
,
5
F
X
2
М


4
пр
2
3
т
пр
3
т


М 5  X 1  X 2  М т
Наименьшее значение предельной нагрузки получилось по
второму варианту: Fпр  1,2 М т .
Выполним расчет предельной нагрузки для этой же рамы по
кинематическому методу.
а)
Fпр
б)
Fпр
Mт
Fпр
Mт
Mт
Fпр
φ
Mт Mт
Mт
Mт Mт
φ
Mт
2м
2м
Mт
2м
в)
2м
Вариант № 1. Составляем уравнение работ внешних сил
и предельных моментов на перемещениях, выраженных через угол φ
(рис. 3.16, а): Fпр  2  4 М т   0 , отсюда Fпр  2М т .
Вариант № 2. Составляем уравнение работ (рис. 3.16, б):
Fпр  3  Fпр  2  6 М т   0 , отсюда Fпр  1,2 М т .
Вариант № 3. Составляем уравнение работ (рис. 3.16, в):
Fпр  3  4 М т   0 , отсюда Fпр  1,33М т .
Таким образом, результаты расчета несущей способности рамы статическим и кинематическим способами совпадают.
Расчет арок по предельному состоянию значительно сложнее
расчета рам. Продольные силы и, как правило, поперечные сечения
в арке переменны по ее длине, что затрудняет определение положений пластических шарниров, которые не столь очевидны, как в рамах. Кроме того, в арках влияние продольных сил может быть гораздо большим, чем в рамах. Поэтому игнорирование продольных
сил в арках может привести к значительным погрешностям, особенно в случаях, когда кривая давления близка к оси арки.
Разрушение двухшарнирной арки при несимметричной
нагрузке происходит при возникновении не менее двух пластических шарниров, а бесшарнирной арки – при образовании не менее
четырех шарниров, поочередно раскрывающихся в разные стороны
(рис. 3.17, а). Если нагрузка на арку симметрична, то и разрушение
арки (потеря устойчивости здесь не рассматривается) должно быть
симметричным, при этом в двухшарнирной арке возникает не менее
трех пластических шарниров, а в бесшарнирной арке – не менее пяти (рис. 3.17, б).
а)
б)
Fпр
Fпр
Mт
Mт
φ
3м
Mт
Mт
2м
2м
Рис. 3.17. Схемы разрушения арок:
а – при несимметричной нагрузке; б – при симметричной нагрузке
Рис. 3.16. Расчет рамы кинематическим методом:
а – первый вариант; б – второй вариант; в – третий вариант
Приблизительное (а иногда и точное) положение пластических шарниров может быть выбрано по эпюре изгибающих моментов для упругой стадии, особенно при действии в арке относительно больших изгибающих моментов.
76
77
3.2.4. Предельное состояние изгибаемых плит
Для расчета изгибаемых плит по предельному состоянию используются те же методы предельного равновесия, что описаны ранее. Более удобным для применения здесь будет кинематический
метод, в котором форму прогибов в предельном состоянии находят
из условия минимума нагрузки [20, 22].
Рассмотрим особенности определения предельных нагрузок
для пластин полигонального очертания, шарнирно опертых по контуру и находящихся под действием поперечной нагрузки. Будем
предполагать, что пластина имеет постоянную толщину, хотя
принципиального значения это не имеет. Предельное состояние
в таких пластинах наступает путем образования цилиндрических
пластических шарниров, которые разделяют пластину на несколько
секторов. В результате два соседних сектора могут поворачиваться
относительно друг друга вдоль цилиндрического шарнира, соединяющего их, оставаясь плоскими. Эпюра возможных перемещений
(прогибов) в предельном состоянии в этом случае имеет вид пологого многогранника (рис. 3.18, а), в ребрах которого концентрируется работа предельных моментов. Выражение полной работы
внутренних сил в этом случае имеет вид [19, 20]
W   Mпр  i li ,
(3.9)
где θi – двугранный угол перелома в i-м ребре эпюры прогибов;
li – длина этого ребра (т. е. цилиндрического шарнира).
а)
б)
F
q
F
Другое выражение полной работы внутренних сил можно получить суммированием работы предельных моментов по контуру
пластины:
W   Mпр   j a j ,
(3.10)
где φj – угол наклона грани эпюры прогибов, примыкающей к j-й
стороне контура опирания пластины, в направлении, перпендикулярном этой стороне; aj –длина стороны опирания пластины. Под
Мпр в обоих случаях понимается интенсивность предельного момента, т. е. величина момента, приходящегося на единицу длины
цилиндрического шарнира.
Так, для железобетонных плит, одинаково армированных
в двух взаимно перпендикулярных направлениях, предельный изгибающий момент
Mпр  Aа т d ,
(3.11)
где Aа – площадь поперечного сечения арматуры, приходящаяся на
единицу длины сечения плиты; σт – предел текучести арматуры; d –
плечо пары внутренних сил, равное расстоянию от центра тяжести
арматуры до центра сжатой зоны бетона (рис. 3.19, а).
В случае изгиба плиты по косому направлению (рис. 3.19, б)
интенсивность предельного момента определяется выражением
M пр  ( A аx cos2   A аy sin2 )  т d ,
(3.12)
где Aаx и Aаy – площади сечения арматуры вдоль осей x и y.
При Aаx = Aаy = Aа формула (3.12) превращается в формулу
(3.11), т. е. предельный момент не зависит от направления изгиба
железобетонной плиты [19].
Работа внешней нагрузки равна произведению ее интенсивности на объем эпюры прогибов пластины, состоящий из суммы объемов отдельных многогранников, образованных наклоном каждой
грани эпюры прогибов к примыкающей стороне контура пластины
(см. рис. 3.18):
T  q  Vj  q  S j  j ,
(3.13)
Рис. 3.18. Предельные состояния пластины полигонального очертания:
а – от внешних нагрузок; б – от сосредоточенной силы
где q – параметр внешней нагрузки; Sj – статический момент единичной нагрузки, расположенной на грани, примыкающей к j-й
стороне контура опирания пластины, взятый относительно этой
стороны.
78
79
а)
б)
y
Ааyσт
1
sin α
Rбет
d
Ааxσт
Ааσт
α
x
cos α
Рис. 3.19. Состояние предельного равновесия сечения:
а – внутренние силы в сечении; б – изгиб по косому направлению
Из условия равенства нулю суммы всех работ получим выражение для определения предельной нагрузки

q  min M пр  a j  j
 S j  j .
(3.14)
Приравняем нулю производные q i (отбросив при этом величины первого порядка малости по сравнению с Si):
a  S j  j  Si  a j  j
q
 Mпр i
 0 , отсюда ai  S j  j  Si  a j  j .
i
( S j  j )2
В результате получим:
Si ai   S j  j  a j  j  const .
(3.15)
Таким образом, отношение статического момента единичной
нагрузки, расположенной на i-й грани, к длине стороны опирания
этой грани должно быть одинаковым для всех граней эпюры возможных прогибов пластины. При этом величина q примет минимальное, т. е. истинное, значение:
qпр  Mпр a S ,
(3.16)
Как следствие этого, в пластине, нагруженной лишь одной сосредоточенной силой, форма прогиба должна быть пирамидальной
с вершиной в точке приложения силы F (см. рис. 3.18, б). Только
в этом случае нагрузку можно распределить между гранями так,
чтобы выполнялось условие (3.15) [20].
В качестве примера рассмотрим прямоугольную плиту, загруженную равномерно
распределенной нагрузкой q b
с
по всей площади. Из условий
симметрии можно предполоa
жить, что форма разрушения
плиты будет иметь вид, показанный на рис. 3.20. За параметр нагрузки здесь принима- Рис. 3.20. Форма разрушения шарнирно
ем саму ее величину q, а
опертой прямоугольной плиты
единичной нагрузкой будем
считать q = 1.
Для предельного состояния плиты на основании (3.15) можно
записать:
(3.17)
S1 b  S2 a или S1 a  S2 b ,
где S1 – статический момент треугольника, примыкающего к стороне b, взятый относительно этой же стороны; S2 – соответственно
статический момент трапеции, примыкающей к стороне а.
Статические моменты фигур: S1  b (a  c)2 24, S2  b2 (a  2c) 24 .
Подставив в равенство (3.17), получим a (a  c)2  b2 (a  2c) , откуда
(a  c)  ( b4  3a2b2  b2 ) a . Тогда, согласно (3.16), значение предельной нагрузки:
qпр 
Mпр b
S1

24 Mпр
(a  c)2

b4

24 a2 Mпр

1  3a2 / b2 1
2

b2

24 k 2 Mпр

1  3k 2 1
2
, (3.18)
причем S и a могут быть взяты для любой грани деформированной
пластины.
где k = a/b. Таким образом, для прямоугольной плиты с соотношением сторон k = 2 qпр  14 ,14 Mпр b2 .
Для квадратной плиты форма разрушения имеет более простой вид (рис. 3.21, a). Значение предельной нагрузки в этом случае
80
81
(при k = 1) qпр  24 Mпр a2 . При нагружении плиты силой, приложенной в центре [19], Fпр  8Mпр .
Для шарнирно опертой круглой плиты форма разрушения
имеет вид пологого конуса (рис. 3.21, б), при этом значения предельных нагрузок [20]: qпр  6 Mпр R2 ; Fпр  2 Mпр .
а)
в)
б)
– проверить правильность решения с помощью кинематического метода;
– определить предельное состояние рамы из решения задачи
линейного программирования;
– определить предельное состояние прямым методом с помощью последовательных расчетов по программе на ЭВМ.
Исходные данные для расчета рамы:
l = 4 м; h = 3 м; F1 = F, F2 = 2F, F3 = 3F.
Схема рамы с указанием размеров и нагрузки показана на рис. 3.22.
Сечение колонны – двутавр 20К2*; сечение ригеля – двутавр 30Ш2*.
Характеристики материала стержней рамы:
– расчетное сопротивление материала R = 240 МПа;
– предел текучести σт = 245 МПа;
– модуль упругости Е = 2,1∙105 МПа = 2,1∙108 кН/м2.
Рис. 3.21. Формы разрушения изгибаемых плит:
а – квадратной шарнирно опертой; б – круглой шарнирно опертой;
в – квадратной, заделанной по контуру
Разрушение полигональных плит, защемленных по контуру,
происходит путем образования дополнительно к диагональным цилиндрическим шарнирам аналогичных шарниров вдоль защемленных сторон плиты (рис. 3.21, в). В первом случае работа предельных моментов определяется выражением (3.9), во втором –
выражением (3.10). Очевидно, что ввиду тождественности выражений (3.9) и (3.10) работа внутренних сил для защемленных плит
удваивается, соответственно удваиваются и значения предельной
нагрузки. Так, для заделанной по контуру квадратной плиты предельные значения параметров нагрузки [19] будут следующими:
qпр  48 Mпр a2 ; Fпр  16 Mпр .
3.3. Пример определения несущей способности
стальной рамы
Для рамы с заданными размерами и сечениями требуется:
– найти допускаемую по условию прочности нагрузку и построить от этой нагрузки эпюру изгибающих моментов;
– определить предельную нагрузку статическим методом
и построить эпюру изгибающих моментов в предельном состоянии;
82
Схема рамы с нагрузкой:
Геометрические характеристики:
3F
Iр
3
2F
F
F
Iр
3
Iк
Iк
2
2
Iк
2
Двутавр 20К2
Двутавр 30Ш2
h = 19,5 см
b = 20,0 см
А = 59,7 см2
Ix = 4422 см4
Wx = 447 см3
Sx = 247 см3
h = 29,5 см
b = 20,0 см
А = 77,65 см2
Ix = 12 200 см4
Wx = 827 см3
Sx = 462 см3
2
Рис. 3.22. Схема рамы и исходные данные к расчету
* ГОСТ 26020–83 «Двутавры стальные горячекатаные с параллельными
гранями полок».
Вычисляем параметры сечений элементов рамы.
Колонна: жесткость сечения EIк  2,1108  4422 108  9286 кН  м 2 ;
пластический момент сопротивления Wплк  2  S xк  2  247  494 см 3 ;
предельный изгибающий момент М к    Wплк  245 10 3  494 10 6 
 121 кН  м.
Т
83
Т
Ригель: жесткость сечения EI р  2,1  108  12 200  108  25 620 кН  м 2 ;
пластический момент сопротивления Wплр  2  S xр  2  462  924 см 3 ;
предельный момент М р    Wплр  245 10 3  924 10 6  226 кН  м.
Степень статической неопределимости рамы:
nc = 3∙К – Ш = 3 ∙ 2 – 2 = 4;
необходимое число пластических шарниров, требуемое для превращения рамы в механизм: nш = nc + 1 = 4 + 1 = 5.
Т
Условие прочности: σmax = Mmax / Wx ≤ R. Для определения Mmax
построим эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок: 2F,
F, 3F, F (рис. 3.23, а).
Эп. MF (F)
1,69
б)
1,39
0,75
1,39
0,75
Эп. MFдоп
1,93
1,69
1,22
0,48
1,70
90,6
74,5
74,5
40,2
40,2
3.3.2. Расчет предельного состояния рамы
статическим методом
Предельное состояние рамы наступит при возникновении достаточного количества пластических шарниров, вследствие чего вся
рама или часть ее превратится в пластический механизм (полный
или частный). Отметим сечения в элементах рамы (рис. 3,24, а),
в которых возможно появление пластических шарниров (принимая
во внимание, что величина предельного изгибающего момента для
колонны меньше, чем для ригеля). Для построения статически допустимой эпюры изгибающих моментов воспользуемся методом
сил. Основная система метода сил (ОС МС) показана на рис. 3.24, б.
а)
65,4
25,7
91,1
7
3
1,97
0
0
1
105,6
Рис. 3.23. Эпюры изгибающих моментов:
а – от параметра нагрузки F; б – от допускаемой нагрузки Fдоп
Подбор нагрузки из условия прочности для колонны:
Мmax = 1,97F (кН∙м); Wx = 447∙10–6 м3; R = 240∙103 кН/м2.
1,97 F
240 103  447 10 6
3

240

10
;
F

 54,4 кН.
447 10 6
1,97
Подбор нагрузки из условия прочности для ригеля:
Мmax = 2F (кН∙м); Wx = 827∙10–6 м3; R = 240∙103 кН/м2.
2F
240 103  827 10 6
3

240

10
;
F

 99,2 кН.
827 10 6
2
84
2F
60,6
107,2
0
б)
3F
103,4
90,6
1,13
2,00
0
MFдоп = Fдоп ∙ MF (рис. 3.23, б).
Т
3.3.1. Определение допускаемой нагрузки
из условия прочности
а)
Принимаем меньшее значение нагрузки Fдоп = 54,4 кН. Строим
эпюру изгибающих моментов от допускаемой нагрузки:
6
2
3
8
OC MC
9
F
10
5
2F
F
3F
F
F
3
4
2
2
2
X1 X
2
2
X3 X
4
Рис. 3.24. Расчет несущей способности рамы статическим способом:
а – сечения в элементах рамы; б – основная система
Строим эпюры изгибающих моментов в основной системе от
заданной нагрузки (рис. 3.25, а) и от реакций в отброшенных связях
(рис. 3.25, б, в, г, д). Сложением (с соответствующими знаками)
этих эпюр строим результирующую эпюру изгибающих моментов,
удовлетворяющую условиям равновесия (рис. 3.25, е). Примерный
вид результирующей эпюры может быть получен по подобию эпюры изгибающих моментов от допускаемой нагрузки (см. рис. 3.23, б).
85
9F
а)
3F
9F
Эп. M FO
|М2| = |–3Х1 + 2Х2| ≤ М р ;
|М3| = |–4F – 3Х1 + 4Х2| ≤ М р ;
|М4| = |4F – 4Х2 + 4Х4| ≤ М к ;
|М5| = |2F – 3Х1 + 4Х2 – 3Х3 – 4Х4| ≤ М к ;
(3.19)
|М6| = |–6F + 3Х3 + 4Х4| ≤ М к ;
к
|М7| = |9F – 6Х3 – 4Х4| ≤ М ;
|М8| = |–3F + 6Х3 + 2Х4| ≤ М р ;
|М9| = |3F – 6Х3| ≤ М к ;
|М10| = |3Х3| ≤ М к .
Рассмотрим возможные варианты расположения пластических
шарниров, приводящие к образованию пластического механизма
разрушения. При выборе вариантов учитываем, что сечение колонны слабее, чем ригеля ( М к  121 кН  м , М р  226 кН  м ). Математические расчеты выполняем в вычислительной среде Mathcad.
Вариант № 1. Пластические шарниры в сечениях 7, 8, 9 –
частный пластический механизм, соответствующий разрушению
верхнего, наиболее нагруженного ригеля. Из условий текучести
(3.19) составляем и решаем следующую систему алгебраических
уравнений:
б)
3F
3F
Т
Т
Эп. M XO1
Т
0
4F
6F 2F
3X1
3X1
0
3X1
Т
Т
Т
0
4F
Т
X1
Т
Т
г)
в)
6X3
Эп. M X 2
Эп. M X 3
O
6X3
O
6X3
Т
0
4X2
2X2
4X2
0
X3
X2
е)
д)
Эп. M XO4
4X4
2X4
M7
0
M7
M9
M9
Эп. M∑
4X4
M8
M1
M1
4X4
M5
M10
M6
M3
M4
0
X4
Рис. 3.25. Эпюры изгибающих моментов: а – от заданной нагрузки;
б–д – от реакций в отброшенных связях; е – результирующая
Моменты в характерных сечениях 1–10 не должны превышать
предельных значений Mт для соответствующих элементов рамы
(условия текучести):
|М1| = |3Х1| ≤ М к ;
Т
86
 9 6 4 
121
115,67




1


A  3 6 2 ; В  226; X  A В   37,67 ; F  X 0  115,67.


121
173,50 
 3 6 0




Вариант № 2. Пластические шарниры в сечениях 1, 2, 3, 4, 8 –
полный пластический механизм (ППМ). Составляем из условий
(3.19) систему линейных алгебраических уравнений и решаем ее:
M2
0
Т
0
0

A  3

4
3
3 0 0 0
121
 86,75 



 40,33
3 2 0 0
226





3 4 0 0 ; В  226; X  A 1 В  173,5 ; F  86,75.

121
 42,04
0 6 0 4 




226
117,0 
0 0 6 2 
Вариант № 3. Пластические шарниры в сечениях 1, 2, 7, 4, 8
(ППМ). Составляем и решаем систему уравнений:
87
0
0

A9

4
3
3
3
0
0
0
0 0 0
 94,31 
121
 40,33



226
2 0 0





0 6 4; В  121; X  A 1 В   173,5 ; F  94,31.

 48,34
121
6 0 4 




 109,4 
226
0 6 2 
Вариант № 4. Пластические шарниры в сечениях 1, 2, 10, 4, 8
(ППМ). Составляем и решаем систему уравнений:
0
0

A0

4
3
3
3
0
0
0
0 0 0
121
 84,70 


 40,33 

2 0 0
226





0 3 0 ; В  121; X  A 1 В   173,5 ;

121
 40,33 
6 0 4 




226
0 6 2 
 119,05
0
4

A2

3
 0
3 0 0 0
121
 80,67 


 40,33 

0 4 0 4
121





3 4 3 4 ; В  121; X  A 1 В  163,42; F  80,67.

226
 40,33 
0 0 6 2




121
 113,0 
0 0 3 0 
Проверяем условия текучести для всех сечений рамы:
|М1| = |3Х1| = |3·40,33 | = 121 = М к ;
|М2| = |–3Х1 + 2Х2| = | –3·40,33 + 2·163,42 | = 205,8 < М р ;
|М3| = |–4F – 3Х1 + 4Х2| = | –4·80,67 – 3·40,33 + 4·163,42 | = 210 < М р ;
|М4| = |4F – 4Х2 + 4Х4| = | 4·80,67 – 4·163,42 + 4·113,0 | = 121 = М к ;
|М5| = |2F – 3Х1 + 4Х2 – 3Х3 – 4Х4| =
= | 2·80,67 – 3·40,33 + 4·163,42 – 3·40,33 – 4·113,0 | = 121 = М к ;
|М6| = |–6F + 3Х3 + 4Х4| = | –6·80,67 + 3·40,33 + 4·113,0 | = 89,0 < М к ;
|М7| = |9F – 6Х3 – 4Х4| = | 9·80,67 – 6·40,33 – 4·113,0 | = 32,0 < М к ;
|М8| = |–3F + 6Х3 + 2Х4| = | –3·80,67 + 6·40,33 + 2·113,0 | = 226 = М р ;
|М9| = |3F – 6Х3| = | 3·80,67 – 6·40,33 | = 0 < М к ;
|М10| = |3Х3| = | 3·40,33 | = 121 = М к .
Т
Т
Т
F  84,7.
Т
Т
Т
Вычислим по формулам (3.19) для данного варианта значения
изгибающих моментов и проверим условия текучести для всех характерных сечений рамы:
|М1| = |3Х1| = | 3·40,33 | = 121 = М к ;
|М2| = |–3Х1 + 2Х2 | = | –3·40,33 + 2·173,5 | = 226 = М р ;
|М3| = |–4F – 3Х1 + 4Х2| = | –4·84,7 – 3·40,33 + 4·173,5 | = 234,2 > М р ;
|М4| = |4F – 4Х2 + 4Х4| = | 4·84,7 – 4·173,5 + 4·119,05 | = 121 = М к ;
|М5| = |2F – 3Х1 + 4Х2 – 3Х3 – 4Х4| =
= | 2·84,7 – 3·40,33 + 4·173,5 – 3·40,33 – 4·119,05 | = 145,2 > М к ;
|М6| = |–6F + 3Х3 + 4Х4| = | –6·84,7 + 3·40,33 + 4·119,05 | = 89,0 < М к ;
|М7| = |9F – 6Х3 – 4Х4| = | 9·84,7 – 6·40,33 – 4·119,05 | = 44,1 < М к ;
|М8| = |–3F + 6Х3 + 2Х4| = | –3·84,7 + 6·40,33 + 2·119,05 | = 226 = М р ;
|М9| = |3F – 6Х3 | = | 3·84,7 – 6·40,33 | = 12,1 ≤ М к ;
|М10| = |3Х3 | = | 3·40,33 | = 121 = М к .
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Условия текучести выполняются. Принимаем значение параметра нагрузки Fпр = 80,67 кН. Расположение пластических шарниров и эпюра изгибающих моментов в предельном состоянии показаны на рис. 3.26, а, б.
а)
32
б)
0
32
8
Т
Т
Т
1
5
121
10
Т
Т
226
121
121
205,8
4
0
89
121
210
121
Как можно увидеть, в сечениях 3 и 5 условия текучести не выполняются. Продолжаем поиск расположения пластических шарниров в предельном состоянии рамы.
Вариант № 5. Пластические шарниры в сечениях 1, 4, 5, 8, 10.
Составляем и решаем систему уравнений:
Рис. 3.26. Предельное состояние рамы: а – расположение
пластических шарниров; б – эпюра изгибающих моментов
88
89
0
3.3.3. Проверка расчета с помощью
кинематического метода
Проверим расчеты для следующих вариантов расположения
пластических шарниров при разрушении рамы.
Вариант № 3. Шарниры в сечениях 1, 2, 4, 7, 8 (пластический
механизм разрушения показан на рис. 3.27, а). Составим уравнение
работ всех сил и предельных моментов на соответствующих перемещениях (выраженных через угол φ):
F  3  F  3  2 F  2  3 F  2  5 М к    4 М р    0 .
(5 М к  4 М р )  (5  121  4  226 )
Отсюда F 

 94,313 кН .
16 
16
Т
Т
М Тк
2F
М Тк
3F
2φ
М Тк
6φ
М Тр М Тр
3φ
F
3φ
2φ
М Тк
φ
р
р
F  4 М к  6  4  121 6  80,667 кН .
Т
Таким образом, результаты расчета несущей способности рамы статическим и кинематическим способами совпадают.
F
φ
Расчетная схема рамы показана на рис. 3.28, а. Искомыми параметрами здесь являются предельное значение параметра нагрузки
F и изгибающие моменты М, действующие в расчетных сечениях
(примыкающих к узлам рамы). Общее число расчетных сечений
ns = 16, тогда число независимых уравнений равновесия
(3.20)
Статическая постановка экстремальной задачи будет включать
в себя целевую функцию и условия текучести в виде
Мк
Т
F → max; {M} ≤ {MТ} или Мj ≤ М j ; –Мj ≤ М j , j = 1, … ns , (3.21)
3F
б)
3.3.4. Определение предельного состояния рамы
из решения задачи линейного программирования
nу = ns – nc = 16 – 4 = 12.
φ
МТ МТ
Т
Т
Т
а)
Вариант № 5. Шарниры в сечениях 1, 4, 5, 8, 10. В данном
случае фактически имеем частный пластический механизм разрушения, поскольку шарнир в сечении 8 не работает (рис. 3.27, б).
Составляем уравнение работ F  3  F  3  4 М к    0 , отсюда:
Т
Т
а также уравнения равновесия, записанные через величины изгибающих моментов М j :
[A]{M} – {η}F = 0,
(3.22)
2F
М Тк
φ
3φ
М Тк
3φ
F
М Тк
φ
М
F
φ
к
Т
Рис. 3.27. Варианты пластических механизмов разрушения рамы
90
где F – параметр нагрузки; М j – предельные моменты в расчетных
сечениях; [A] – матрица коэффициентов уравнений равновесия, состоящая из nу строк и ns столбцов; {M} – вектор изгибающих моментов М j в расчетных сечениях рамы; {η} – вектор коэффициентов при F в уравнениях равновесия (размерности nу).
Необходимо составить 12 уравнений равновесия. Семь из них
можно получить, вырезая каждый из узлов рамы и составляя уравнения равновесия моментов в узле ∑М = 0 (рис. 3.28, а):
Т
1) М1 + М2 = 0; 2) М3 + М4 = 0; 3) М5 + М7 + М8 = 0;
91
4) М9 + М10 = 0; 5) М11 + М12 = 0; 6) М13 + М14 = 0; 7) М15 + М16 = 0.
Остальные уравнения получим, рассматривая равновесие отсеченных частей рамы (рис. 3.28, б). При этом поперечные силы
в сечении каждого участка рамы выражаются через изгибающие
моменты в концевых сечениях этого участка:
Qi–j = (–M j – M i ) / li–j ;
а)
М10
М9
М2
М1
2F
М3 М4 М5
3F
М8
F
М7
б)
М13
М11 М12
М15
(3.23)
2F
М14
3F
Q2–3
Q4–5
Q10–11
Q8–9
2F
F
F
М16
Q1
Q12–13
Q14–15
F
Q6–7
3F
М6
Q16
Q8–9
Q14–15
Рис. 3.28. К решению задачи линейного программирования:
а – моменты в расчетных сечениях; б – отсеченные части рамы
8) проецируем силы, действующие в узле (3–4), на вертикальную
ось
∑Y = 0: Q2–3 – Q4–5 – 2F = 0, отсюда –М2 – М3 + М4 + М5 – 4F = 0;
9) проецируем силы в узле (11–12) на вертикальную ось ∑Y = 0:
Q10–11 – Q12–13 – 3F = 0, отсюда –М10 – М11 + М12 + М13 – 6F = 0;
10) проецируем силы в узле (15–16) на горизонтальную ось ∑X = 0:
Q14–15 – Q16 – F = 0, отсюда –М14 – М15 + М16 – 3F = 0;
11) вырежем нижний ригель (отсекая по стойкам), составим ∑X = 0:
–Q1 – Q6–7 + Q8–9 – F = 0, отсюда М1 + М6 + М7 – М8 – М9 – 3F = 0;
12) вырежем верхний ригель (отсекая по стойкам), составим ∑X = 0:
Таким образом, матрица [A] и вектор {η} в уравнениях равновесия (3.22) будут иметь следующее содержание:
1
0

0
0
0

А  0
0

0
0
0

1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0

0
0
0

0
;
1

0
0
1

0
0
0 
0 
 
0 
0 
0 
 
0
   .
0 
4 
6 
 
3 
3 
0 
 
Процедура решения задачи линейного программирования
в вычислительной среде Mathcad:
M cols ( A ) : 0
Given
M  Mт
F : 0
f ( F , M ) : 0
 M  Mт
A M   F  0
F 
 пр  : Maximize ( f , F , M )
M
Ниже приведены результаты решения данной экстремальной
задачи.
Предельное значение параметра нагрузки:
Fпр = 80,67 кН.
Значения изгибающих моментов Мj в предельном состоянии
(рядом приведены их предельные значения):
–Q8–9 – Q14–15 = 0, отсюда М8 + М9 + М14 + М15 = 0.
92
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
93
 121 
  121 


 205,8 


 205,8 
 210 


 121 
 121 


 89 
M   
;
 32 
  32 


 226 
 226 


 0 
 0 


  121 
 121 


121 
226


226


226
226


121 
121 


121 
M т     .
121 
226


226
226


226
121 


121 
121 


а)
7
1
8
1,39
1,39
0,75
Эп. M (∆F1)
9
2
6 ∆F1
3 5
10
∆F1
1,22
1,69
0,48
1,70
1,13
2,00
4
в)
0
7
1,34
2
6 ∆F2
3 5
10
∆F2
2,11
1,86
2,86
4
д)
0
7
2∆F3
2
8
2,24
0
1,63
0,48
1,63
Эп. M (∆F3)
9
10
∆F3
0
4
4,26
0,48
0,38
1,74
3,94
3,88
8
Эп. M (∆F4)
9
0
0
з)
3∆F4
7
1,28
2,42
6 ∆F3
3 5
ж)
0,38
0
е)
3∆F3
0,51
0,51
8,96
8,96
7,74
2∆F4
1
0,45
0,45
Эп. M (∆F2)
9
1,69
1
1,34
2,86
2∆F2
1
8
0
1,97
г)
3∆F2
3.3.5. Прямой метод определения предельного
состояния рамы
2
6 ∆F4
3 5
10
∆F4
0
2,51
0,74
2,51
5,98
4
0
Рис. 3.29. Ступени приложения нагрузки:
а, б – первая; в, г – вторая; д, е – третья; ж, з – четвертая
94
0,75
1,93
1,69
2∆F1
Как видим, эти результаты совпадают с результатами, полученными ранее другими методами.
При прямом расчете нагрузка прикладывается ступенями при
последовательном включении в заданную систему пластических
шарниров.
1. Выполняем расчет заданной рамы на первую ступень
нагружения ∆F1 (рис. 3.29, а). Для раскрытия статической неопределимости можно использовать метод сил или перемещений либо
произвести расчет с помощью какой-либо вычислительной программы, приняв параметр нагрузки ∆F1 равным единице.
б)
3∆F1
95
Результаты расчета по каждой ступени нагружения приводятся на рис. 3.29 и в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Значения изгибающих моментов в характерных сечениях рамы
F
M1
∆F1 = 1 –1,69
∆F1 = 61,3 –103,3
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M9
M10
2,00
122,9
1,70
103,9
1,97
121
–1,22
–74,5
0,48
29,4
–1,39
–85,4
1,93
118,3
0,75
45,97
–1,13
–69,0
F = 61,3
–103,3
122,9
103,9
121
–74,5
29,4
–85,4
118,3
45,97
–69,0
∆F2 = 1
∆F2 = 6,17
–2,86
–17,7
1,69
10,4
2,24
13,8
0
0
–1,86
–11,5
0,38
2,3
–1,34
–8,3
2,11
13,0
0,45
2,78
–1,28
–7,9
F = 67,47
–121
133,3
117,7
121
–86,0
31,7
–93,7
131,3
48,75
–76,9
∆F3 = 1
∆F3 = 8,22
0
0
3,94
32,4
3,88
31,9
0
0
–4,26
–35,0
–0,38
–3,1
–1,63
–13,4
2,42
19,9
–0,48
–3,95
–1,74
–14,3
F = 75,69
–121
165,7
149,6
121
–121
28,6
–107,1 151,2
44,8
–91,2
∆F4 = 1
∆F4 = 4,98
0
0
0,74
5,9
–2,51
–12,5
0
0
0
0
–2,51
–12,5
–8,96
–44,6
–5,98
–29,8
F = 80,67
–121
171,6
137,1
121
–121
16,1
0,2
–121
0,51
2,6
7,74
38,5
–104,5 189,7
Подставляя наибольшие моменты в колонне и ригеле в условия текучести, получим:
|М4| = | 1,97 ∆F1 | ≤ М к = 121 кН∙м; ∆F1 ≤ 121 / 1,97 = 61,3 кН.
|М2| = | 2,0 ∆F1 | ≤ М р = 226 кН∙м; ∆F1 ≤ 226 / 2,0) = 112,7 кН.
Принимаем меньшее значение: ∆F1 = 61,30 кН. Таким образом, в первую очередь пластический шарнир возникает в сечении 4.
Изгибающие моменты от первой ступени нагружения получим,
умножая ординаты эпюры моментов от единичной нагрузки
(рис. 3.29, б) на значение параметра ∆F1 = 61,30 кН.
2. Вводим шарнир в четвертом сечении и выполняем расчет
рамы на вторую ступень нагружения ∆F2 (рис. 3.29, в, г). Из условий текучести получим:
Т
Т
96
|М1| = |–103,3 – 2,86 ∆F2| ≤ М к = 121 кН∙м;
∆F2 ≤ (121 – 103,3) / 2,86 = 6,17 кН.
|М2| = |122,9 + 1,69 ∆F2| ≤ М р = 226 кН∙м;
∆F2 ≤ (226 – 122,9) / 1,69 = 61,0 кН.
Принимаем меньшее значение: ∆F2 = 6,17 кН, т. е. второй по
очереди пластический шарнир возникает в сечении 1. Изгибающие
моменты от второй ступени нагружения получаем аналогично,
умножая единичную эпюру (рис. 3.29, г) на ∆F2 = 6,17 кН.
3. Вводим шарнир в первом сечении и выполняем расчет рамы
на третью ступень нагружения ∆F3 (рис. 3.29, д, е). Из условий
текучести получим:
|М5| = |–86,0 – 4,26 ∆F3| ≤ М к = 121 кН∙м;
∆F3 ≤ (121 – 86,0) / 4,26 = 8,22 кН.
|М2| = |133,3 + 3,94 ∆F3| ≤ М р = 226 кН∙м;
∆F3 ≤ (226 – 133,3) / 3,94 = 23,53 кН.
Принимаем меньшее значение: ∆F3 = 8,22 кН, т. е. третий по
очереди пластический шарнир возникает в сечении 5.
4. Вводим шарнир в пятом сечении и выполняем расчет рамы
на четвертую ступень нагружения ∆F4 (рис. 3.29, ж, з). Из условий текучести получим:
|М10| = |– 91,2 – 5,98 ∆F4| ≤ М к = 121 кН∙м;
∆F4 ≤ (121 – 91,2) / 5,98 = 4,98 кН.
|М8| = |151,2 + 7,74 ∆F4| ≤ М р = 226 кН∙м;
∆F4 ≤ (226 – 151,2) / 7,737 = 9,67 кН.
Принимаем меньшее значение: ∆F4 = 4,98 кН, т. е. четвертый
по очереди пластический шарнир возникает в сечении 10.
Расчет можно завершить, поскольку достигнуто предельное
состояние рамы, а именно расположение четырех пластических
шарниров соответствует частному пластическому механизму разрушения, показанному на рис. 3.27, б. При этом предельное значение параметра нагрузки Fпр = ∆F1 + ∆F2 + ∆F3 + ∆F4 = 80,67 кН.
Т
Т
Т
Т
Т
Т
В заключение отметим, что расчеты стальной рамы по предельному равновесию статическим, кинематическим и прямым методами, а также методом математического программирования дают
совершенно одинаковые результаты.
Таким образом, предельное значение параметра нагрузки на
стальную раму составляет 80,67 кН.
97
Контрольные вопросы
1. Каковы сущность и цель упругопластического расчета?
2. Что понимается под несущей способностью конструкции?
3. Какие идеализированные диаграммы используются для
учета пластических свойств материала?
4. Что собой представляет диаграмма Прандтля?
5. Какой расчет называется расчетом по предельному состоянию?
6. Какие ограничения имеются при расчете по предельному
состоянию?
7. Что понимается под состоянием предельного равновесия
системы?
8. Какая нагрузка называется предельной?
9. В чем заключается прямой метод расчета упругопластических систем?
10. Каковы плюсы и минусы использования прямого пошагового метода?
11. Сформулируйте кинематическую теорему предельного
равновесия.
12. Суть кинематического метода расчета по предельному
равновесию.
13. Из каких уравнений можно определить предельную
нагрузку в кинематическом методе?
14. Сформулируйте статическую теорему предельного равновесия.
15. В чем суть статического метода расчета по предельному
равновесию?
16. Укажите экстремальные принципы теории предельного
равновесия.
17. Сформулируйте статический принцип максимума мощности нагрузки.
18. Приведите математическую формулировку статического
экстремального принципа.
19. Что понимается под пластическим шарниром в изгибаемых системах?
20. Какая величина называется пластическим моментом сопротивления?
98
21. Каковы особенности возникновения пластических шарниров в балке?
22. На чем основан кинематический метод расчета балок
и рам по предельному равновесию?
23. Что лежит в основе статического метода расчета балок
и рам по предельному равновесию?
24. Что такое двухсторонняя оценка несущей способности
конструкции?
25. Какой механизм разрушения называется полным?
26. Какой механизм разрушения называется избыточным?
27. Какой механизм разрушения называется частным?
28. Как составить уравнение работ для определения предельной нагрузки?
29. Какие допущения принимают при упругопластическом
расчете рам?
30. Как может учитываться влияние продольных сил при расчете рам по предельному состоянию?
31. Каковы особенности упругопластического расчета арочных систем?
32. Что понимается под цилиндрическим шарниром в изгибаемых плитах?
33. Какой вид имеет эпюра прогибов для плиты полигонального очертания в предельном состоянии?
34. Чему равна работа внутренних сил в предельном состоянии плиты?
35. Что понимается под предельным моментом в изгибаемых
плитах?
36. Чему равен предельный изгибающий момент в железобетонной плите?
37. Запишите выражение работы внешней нагрузки в изгибаемой плите.
38. Чему равен параметр предельной нагрузки в изгибаемой
плите?
39. Покажите форму разрушения шарнирно опертой прямоугольной плиты.
40. Чему равны предельные значения распределенной и сосредоточенной нагрузки для шарнирно опертой квадратной плиты?
99
Глава 4. УЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
В РАСЧЕТАХ КОНСТРУКЦИЙ
4.1. Расчет стержневых систем по деформированному
состоянию
4.1.1. Особенности расчета по деформированному
состоянию
Как уже было отмечено, в линейной строительной механике
расчет конструкций выполняется по недеформируемой схеме, т. е.
без учета изменения формы и размеров конструкции в результате ее
деформирования. Такой расчет является в некоторых случаях не
совсем точным и даже может привести к ошибочным результатам
(например, при продольно-поперечном изгибе).
Расчет по деформированному состоянию (называемый также
деформационным расчетом или расчетом по деформированной
схеме) является более точным [6, 21], а для ряда сооружений (высотные, большепролетные объекты и т. п.) и более целесообразным.
Расчет по деформированному состоянию предполагает, что уравнения равновесия здесь записываются уже для деформированного состояния системы, однако зависимости между деформациями и перемещениями принимаются линейными (т. е. используются так
называемые линеаризованные уравнения). При этом важно отметить, что внутренние силы в данном случае определяются по расчетной схеме сооружения в деформированном состоянии, которое
само зависит от величин внутренних сил.
Таким образом, деформационный расчет имеет следующие
особенности: во-первых, почти все системы становятся в строгом
смысле статически неопределенными; во-вторых, линейная зависимость между силами и перемещениями здесь уже не соблюдается;
в-третьих, принцип независимости действия сил становится неприемлемым со всеми вытекающими отсюда усложнениями расчета.
Такого рода нелинейность между силами и перемещениями называется геометрической нелинейностью в отличие от физической нелинейности, обусловленной нелинейной зависимостью между
напряжениями и относительными деформациями в материале.
100
Расчет по деформированной схеме является самым простым
в общей классификации геометрически нелинейных постановок
[12, 13]. Тем не менее он охватывает весьма широкий круг задач
расчета конструкций и в первую очередь задачи расчета стержневых систем, изгибающие моменты в которых определяются с учетом поправок от влияния продольных сил.
Обычный же линейный расчет хотя и определяет деформированное состояние системы, но внутренние силы в нем определяются по недеформируемой расчетной схеме. При этом не учитывается
влияние продольных сил на появление дополнительных изгибающих моментов в деформированном состоянии, которые при определенных условиях могут играть существенную роль (например,
при продольно-поперечном изгибе балок и рам). Результаты обычного расчета, основанного на определении внутренних сил по недеформированному состоянию, не удовлетворяют в строгом смысле
уравнениям равновесия отсекаемых частей системы в деформированном состоянии.
Степень приближенности расчета по недеформированной
схеме зависит от свойств системы и от того, насколько далеко ее
состояние от критического, т. е. такого, при котором происходит
быстрое нарастание перемещений при малом приращении нагрузок.
Это нарастание происходит прежде всего от влияния продольных
сил на изгибающие моменты в деформированном состоянии.
Во многих случаях линейный расчет дает удовлетворительную
степень точности, поэтому расчет по недеформированному состоянию достаточно распространен. Во многих, но не во всех – об этом
надо знать и помнить. Последнее замечание относится к аркам
и вантовым системам (в первую очередь пологим). Еще в большей
степени оно относится к расчетам конструкций по предельному состоянию – в случае, когда влияние продольных сил на появление
дополнительных изгибающих моментов значительней, чем при
расчете конструкций в упругой стадии.
Расчет конструкций по недеформируемой расчетной схеме
может давать погрешность в ту или иную сторону [5, 6]. Это видно,
например, из рассмотрения трехшарнирной системы, изображенной
на рис. 4.1. В первом случае (рис. 4.1, а) при растяжении стержней
происходит уменьшение угла , что ведет и к уменьшению усилий N
101
в стержнях. Во втором случае (рис. 4.1, б) угол  раскрывается, что
ведет к возрастанию сжимающих усилий в стержнях.
а)
Продольные силы в стержнях находим из равновесия узла A1
(по деформированной схеме):
б)
N  F 2 cos .
Абсолютное укорочение стержней (по закону Гука):
α
F
α
F
Рис. 4.1. Трехшарнирная система:
а – работающая на растяжения; б – работающая на сжатие
В предыдущих главах для численного решения физически нелинейных задач рассматривались методы последовательных приближений и пошагового нагружения. Аналогичные подходы будут
применены и к исследованию геометрической нелинейности.
Далее будем рассматривать расчет по деформированному состоянию только в упругой стадии работы материала (хотя геометрическая нелинейность может сочетаться с нелинейностью других
типов, в частности физической).
4.1.2. Точный расчет стержневых систем
по деформированному состоянию
Расчет конструкций по деформированному состоянию проиллюстрируем на примере простой стержневой системы, изображенной на рис. 4.2, где пунктиром изображено деформированное состояние системы.
α
N
β
А1
F N
c
c
Рис. 4.2. Пример расчета системы
по деформированному состоянию
102
(4.1)
l  
Nl
F
с
F с
.


EA 2 cos  sin  EA 2 EA sin  cos 
С другой стороны, абсолютная деформация стержней может
быть найдена как разность конечной и начальной длин:
l  
1 
c
c
 1

 с 

.
sin  sin 
 sin  sin  
Приравнивая деформации стержней l   l  , получим
F
F
1 
 1
tg  . (4.2)


 , отсюда sin   sin  
2 EA
2EA sin  cos   sin  sin  
Таким образом, геометрически нелинейная задача, как и физически нелинейная, сводится к решению нелинейного уравнения
(в общем случае – системы нелинейных уравнений). Решение уравнения (4.2) удобно произвести методом последовательных приближений, представив его в виде итерационной формулы
sin  k 1  sin  
F
tg  k .
2 EA
(4.3)
Начальным приближением будем считать β0 = . После
нахождения угла β по формуле (4.1) определяется значение продольной силы в стержнях.
Для численного решения зададимся следующими данными:
F = 120 кН,  = 80°; материал стержней – сталь, ЕА = 240 000 кН.
Вычислим F / 2EA = 0,00025, тогда итерационная формула (4.3)
примет вид
(4.4)
sin  k 1  0,9848  0,00025 tg  k .
Итерация 1:
β0 = 80°; sin β1 = 0,9848 + 0,00025·5,6713 = 0,9862; β1 = 80,476°.
103
Итерация 2:
β1 = 80,476°; sin β2 = 0,9848 + 0,00025·5,9604 = 0,9863; β2 = 80,502°.
Итерация 3:
β2 = 80,502°; sin β3 = 0,9848 + 0,00025·5,9768 = 0,9863; β3 = 80,502°.
Определяем значение продольной силы по деформированной
схеме: Nдеф = –F / 2cos β = –120 / (2 · 0,1650) = –363,6 кН.
Сравним результат с расчетом по недеформированной схеме:
Nлин = –F / 2cos  = –120 / (2 · 0,1736) = –345,5 кН.
Как можно увидеть, усилия, найденные с помощью обычного линейного расчета, в данном случае оказались занижены на 5 %.
При уменьшении угла наклона стержней до  = 70° (в этом
случае стержневая система становится жестче) разница между линейным и деформационным расчетом составит только 0,58 %.
Рассмотрим также случай, когда стержни рамы изготовлены
из менее жесткого материала (дерева): F = 10 кН, ЕА = 10 000 кН.
В результате получим: β = 81,10°; Nдеф = –32,32 кН; Nлин = –28,8 кН.
Результаты линейного расчета получаются заниженными уже на 11 %.
Это еще раз подтверждает зависимость результатов деформационного расчета от перемещений системы, т. е. от ее жесткости. При
этом чем система жестче, тем результаты линейного расчета будут
более близки к истинным.
Рассмотренный здесь случай точного расчета по деформированному состоянию хотя и дает некоторое представление о его
сущности, но не раскрывает тех сложностей, которые могут быть
в большинстве случаев. Дело в том, что внутренние силы в деформированном состоянии удается легко выразить через внешние силы
лишь в сравнительно простых случаях. Совсем иначе бывает, когда
взаимная зависимость между внутренними силами в системе и ее
деформированным состоянием раскрывается сложно. Уже при изгибе балок аналитические зависимости между внутренними силами
и деформациями усложняются [6], еще более сложно (а в общем
случае практически невозможно) получить точные выражения нелинейных зависимостей при расчете рам и арок.
Некоторые упрощения расчета по деформированному состоянию можно получить, если применять приближенные методы расчета (итерационные либо шаговые). Но все же деформационный
расчет конструкций является достаточно сложным.
104
4.2. Приближенные методы расчета по деформированному
состоянию
4.2.1. Деформационный расчет методом последовательных
приближений
Особенность применения метода последовательных приближений к расчету конструкций по деформированному состоянию заключается в том, что алгоритм расчета здесь обращается непосредственно к процессу деформирования системы (а не к процессу
решения разрешающих нелинейных уравнений). Процесс последовательных приближений может осуществляться в различных вариантах [6]. Ниже приведены некоторые из них.
Первый вариант
1. Проводится обычный расчет по недеформируемому состоянию, находятся внутренние силы М0, N0 и Q0 и определяется деформированное состояние первого приближения.
2. По деформированному состоянию первого приближения
находятся внутренние силы первого приближения М1, N1 и Q1
и вычисляются их приращения: ∆М1 = М1 – М0; ∆N1 = N1 – N0;
∆Q1 = = Q1 – Q0.
3. Проводится новый расчет полученной деформированной
системы на приращение внутренних сил ∆М1, ∆N1, ∆Q1, определяются дополнительные перемещения к ранее найденным, и устанавливается деформированное состояние второго приближения.
4. По деформированному состоянию второго приближения от
заданной нагрузки находятся внутренние силы второго приближения М2, N2 и Q2 и вычисляются их приращения: ∆М2 = М2 – М1;
∆N2 = N2 – N1; ∆Q2 = Q2 – Q1.
Далее повторяются третий и четвертый пункты расчета.
Второй вариант
Первые два пункта те же, что в первом варианте.
3. Проводится новый расчет недеформируемой системы на
приращения внутренних сил ∆М1, ∆N1, ∆Q1, определяются дополнительные перемещения к ранее найденным, и устанавливается деформированное состояние второго приближения.
105
4. По деформированному состоянию второго приближения от
заданной нагрузки находятся внутренние силы второго приближения М2, N2 и Q2 и вычисляются их приращения: ∆М2 = М2 – М1;
∆N2 = N2 – N1; ∆Q2 = Q2 – Q1.
Третий вариант
Первые два пункта сохраняются и здесь.
3. Проводится новый расчет недеформируемой системы при
учете внутренних сил первого приближения М1, N1 и Q1 и определяется деформированное состояние второго приближения.
4. По деформированному состоянию второго приближения
при заданной нагрузке находятся внутренние силы М2, N2 и Q2 второго приближения.
Отличие третьего варианта от первых двух в том, что последовательные приближения в них строятся непосредственно через
значения перемещений и внутренних сил, а не их приращений.
Второй и третий варианты более просты, чем первый, чаще всего
применяются для приближенного расчета конструкций по деформированной схеме, а поэтому заслуживают отдельного внимания.
Однако от первого варианта все же следует ожидать более быстрой
сходимости.
В свою очередь заметим, что сходимость процесса последовательных приближений зависит главным образом от того, как далека
система от своего критического состояния. Если состояние системы
близко к критическому, то процесс последовательных приближений не будет сходиться, при этом деформации системы неограниченно возрастают.
Рассмотрим подробнее второй и третий варианты. На каждом
последующем приближении здесь выполняются два действия: по
предыдущему деформированному состоянию определяется вектор
сил, затем расчетом по недеформируемой схеме находится последующее деформированное состояние системы.
Таким образом, алгоритм деформационного расчета по второму варианту может быть записан в следующем виде:
uk 1  uk  K 0  Fk , где Fk  ( F0  K (uk ) uk ) .
1
106
(4.5)
Здесь K 0 – матрица жесткости недеформированной системы; K (uk ) –
матрица жесткости, отвечающая деформированному состоянию,
полученному на предыдущем k-м приближении. Первоначально,
т. е. при k = 0, вектор сил F0 отвечает заданной нагрузке на систему. Нетрудно заметить, что итерационная формула (4.5) аналогична
формуле (2.14), представляющей алгоритм модифицированного
метода Ньютона – Канторовича.
Соответственно алгоритм деформационного расчета по третьему варианту может быть записан в таком виде:
uk 1  K 0  1 Fk , где Fk  F0  ( K (uk )  K 0 ) uk .
(4.6)
Здесь формула (4.6) аналогична формуле (2.7), отвечающей алгоритму метода упругих решений.
Применим алгоритм (4.6) к расчету стальной рамы (рис. 4.3, а).
Зададимся следующими численными данными: нагрузка на раму
F = 15 кН, q = 50 кН/м; сечение – двутавр № 30, ЕI = 14 160 кН∙м2.
Для упрощения расчета продольными и сдвиговыми деформациями в изгибаемой раме пренебрегаем. Результаты расчета (горизонтальные смещения характерных сечений рамы Р, К1, К2 – ригеля
и середины обеих колонн) по каждому последовательному приближению приведены в табл. 4.1. Удовлетворительная точность решения здесь достигается уже на девятой итерации.
а)
F
в)
б)
q
78,5
11,8
31,7
97,7
Р
3
66,7
67,0
К2
К1
3
4
Эп. M0, кН∙м
Эп. Mдеф, кН∙м
Рис. 4.3. К расчету стальной рамы:
а – расчетная схема; б – расчет по недеформированной схеме;
в – расчет по деформированной схеме
107
Таблица 4.1
Значения горизонтальных смещений ригеля и середины каждой колонны
Номер
приближения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
uр, мм
51,0 56,0 59,5 61,7 63,2 64,2 64,9 65,6 65,9 66,1
uк1, мм
27,4 30,6 32,8 34,2 35,2 35,8 36,3 36,7 36,9 37,0
uк2, мм
38,0 41,2 43,4 44,8 45,8 46,4 46,9 47,3 47,5 47,6
На рис. 4.3, б приведена эпюра изгибающих моментов, полученная из расчета недеформируемой системы, а на рис. 4.3, в –
эпюра моментов, полученная расчетом по деформируемому состоянию. Как можно видеть, внутренние силы, найденные с помощью
обычного линейного расчета, в данном случае оказались заниженными почти на 20 %, а смещение ригеля – на 23 %.
4.2.2. Деформационный расчет методом
шагового нагружения
Шаговые методы относительно просты и универсальны, хотя
и требуют увеличения времени решения задачи для получения хорошей точности расчета. Деформационный расчет в этом случае
может быть проведен согласно алгоритму, аналогичному (2.20):
~
(4.7)
[ K (us )  K (us )] us1  F .
~
Здесь K (us ) – матрица жесткости деформированной системы, полученной на предыдущем s-м шаге; u s1 – приращение перемещений на (s + 1)-м шаге; F  F N – величина шага нагружения
(N – заданное число шагов); элементы матрицы K (us ) вычисляются по формуле (2.12), где нелинейная составляющая матрицы
~
жесткости K нел (u s )  K (us )  K 0 .
Значения перемещений и внутренних сил после очередного
(s + 1)-го шага нагружения (что соответствует (s + 1)-му уровню
нагружения) определяются суммированием их приращений, полученных на предыдущих шагах:
us1  us  us1 , Ms1  Ms  Ms1 и т. д.
108
Выполним пошаговый деформационный расчет стальной рамы, изображенной на рис. 4.3, а. Для упрощения иллюстрации шагового процесса зададимся сравнительно небольшим числом шагов
нагружения N = 10. Результаты расчета (горизонтальное смещение
и наибольший изгибающий момент в ригеле рамы) по каждому шагу нагружения приводятся в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Значения горизонтального смещения и момента в сечении ригеля
Шаг
нагружения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆uр, мм
5,61
5,79
5,96
6,15
6,34
6,55
6,78
6,95
7,19
7,38
uр, мм
3,40
11,40 17,36 23,51 29,85 36,40 43,18 50,13 57,32
64,7
∆Mр, кН∙м
8,50
8,71
Mр, кН∙м
8,50
17,21 26,12 35,26 44,61 54,19 64,00 74,01 84,27 94,78
8,91
9,14
9,35
9,58
9,81
10,01 10,26 10,51
Как видим, при малом числе шагов метод шагового нагружения
относительно низкую точность решения: u р  64 , 7 мм;
M р  94 , 8 кН  м . При тех же вычислительных затратах метод последовательных приближений дает лучшее решение: uр  66,1 мм;
дает
M р  97 , 7 кН  м .
4.2.3. Учет геометрической нелинейности
при расчете конструкций МКЭ
При расчете конструкций по деформированной схеме методом
конечных элементов также возможно применение приближенных
методов, изложенных в гл. 2. При использовании, например, методов последовательных приближений (см. п. 2.1) деформационный
расчет по МКЭ будет включать следующие основные этапы:
а) вычисление перемещений и внутренних усилий от заданной
нагрузки в обычной линейной постановке;
(4.8)
109
б) определение новых жесткостных свойств элементов с учетом изменений, обусловленных большими перемещениями, геометрией конструкции;
в) повторение этапов а) и б) до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность расчета.
Учет геометрической нелинейности приводит к изменению
матриц жесткости элементов конструкции по мере роста внешней
нагрузки. Данные изменения связаны с изменением геометрической
схемы конструкции и вызваны только общими перемещениями узловых точек системы. Связь между компонентами деформаций
и компонентами перемещений предполагается линейной. Таким
образом, учет больших перемещений связан с построением матриц
жесткости элементов в новой общей системе координат (x, y), тогда
как матрицы жесткости в локальной системе координат (x', y')
остаются без изменений.
Для преобразования векторов нагрузки и перемещений, а также матриц жесткости элементов из локальной системы координат
(x', y') в общую систему координат (x, y) используются стандартные
для МКЭ зависимости [11, 15]. Так, для i-го конечного элемента
можно записать:
f ( i )  [T( i ) ]т f (i ) ; u( i )  [T( i ) ]т u(i ) ; k ( i )  [T( i ) ]т k (i )T( i ) .
(4.9)
Здесь k( i ) , k(i ) – матрицы жесткости i-го элемента в общей и локальной системах координат; u( i ) , u(i ) , f ( i ) , f (i ) – соответственно вектора узловых перемещений и нагрузки; матрица преобразования координат T( i ) в уравнениях (4.9) зависит от перемещений элемента
u( i ) , которые считаются достаточно большими.
В случае использования шаговых методов расчетная процедура МКЭ для (s + 1)-го шага нагружения примет следующий вид:
[ K мгн ]s us 1  F .
(4.10)
Контрольные вопросы
1. Что понимается под расчетом конструкции по недеформируемой схеме?
2. Что называется расчетом по деформированному состоянию?
3. Каковы особенности расчета систем по деформируемому
состоянию?
4. В чем проявляется неточность обычного линейного расчета
в сравнении с расчетом по деформированному состоянию?
5. В каких случаях расчет по недеформируемой схеме может
давать неудовлетворительные результаты?
6. Что собой представляет точный расчет системы по деформированному состоянию?
7. В каких случаях возможен точный расчет системы по деформированному состоянию, а в каких случаях это сделать практически невозможно?
8. В чем заключается первый пункт деформационного расчета
по методу последовательных приближений?
9. Какой второй пункт деформационного расчета по методу
последовательных приближений?
10. В чем основное отличие между вариантами деформационного расчета по методу последовательных приближений?
11. От чего зависит сходимость процесса последовательных
приближений при расчете систем по деформированному состоянию?
12. Запишите алгоритм деформационного расчета по третьему варианту последовательных приближений в матричной форме.
13. Приведите алгоритм деформационного расчета методом
шагового нагружения в матричной форме.
14. Как определяются значения перемещений и внутренних
сил после очередного шага нагружения?
15. В чем особенность проведения деформационного расчета
при использовании метода конечных элементов?
~
Здесь матрица K мгн  K (us )  K (us ) называется мгновенной матрицей жесткости. Очевидно, что процедура (4.10) эквивалентна
алгоритмам (2.20) и (4.7).
Примеры вывода мгновенной матрицы жесткости для некоторых геометрически нелинейных элементов приведены в [4, 13, 15].
110
111
а)
Глава 5. КОНСТРУКТИВНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ.
ОДНОСТОРОННИЕ СВЯЗИ
К конструктивно-нелинейным относятся главным образом задачи с односторонними связями, накладывающими ограничения на
перемещения системы в виде неравенств. При этом кинематические
граничные условия задачи считаются заранее неизвестными и расчетная схема конструкции может изменяться в процессе ее деформирования.
Такого рода задачи нередко встречаются при расчете сооружений и их конструктивных частей. Например, сюда можно отнести балки или плиты, свободно лежащие на жестких или упругих
опорах (либо основании); конструкции со связями, работающими
только в одном направлении, а также имеющие зазоры между отдельными элементами или на опорах.
В настоящее время для решения конструктивно-нелинейных
задач с односторонними связями применяются методы последовательных приближений, инкрементальные (пошаговые) методы,
а также методы нелинейного программирования, сводящиеся в конечном счете к итерационным алгоритмам.
5.1. Основы расчета систем с односторонними связями
5.1.1. Общие сведения о системах
с односторонними связями
Связи, с которыми обычно приходится иметь дело в строительной механике при статических и динамических расчетах, при
всем их разнообразии имеют одно общее свойство: условия, накладываемые ими на перемещения и усилия в рассматриваемой системе, выражаются уравнениями.
Например, шарнирная связь C (рис. 5.1, a) налагает на примыкающие (слева и справа) сечения условия, выражаемые равенствами uCлев  uCпр , vCлев  vCпр ; жесткое защемление сечения A налагает
условия u A  vA  0 , A  0 ; шарнирно-подвижные опоры B и D
налагают на соответствующие сечения условия vB  0 , vD  0 .
112
б)
A
B
C
A
D
B
C
D
Рис. 5.1. Примеры связей:
а – двусторонние связи; б – односторонние связи
Условия равновесия системы с обычными связями также выражаются уравнениями. Определяемые из этих уравнений реакции
связей при разных воздействиях могут принимать положительные,
отрицательные или нулевые значения. С кинематической точки зрения эти связи характеризуются тем, что они препятствуют как положительным, так и отрицательным перемещениям по их направлениям. Такие связи называются двусторонними или постоянными.
Отличными от этих связей являются связи переменные.
Их особенность состоит в том, что налагаемые кинематические
условия выражаются неравенствами или совокупностью уравнений
и неравенств. Те связи, которым отвечают неравенства, называются
односторонними [18]. Реакции таких связей не могут менять своего
знака на обратный, они сохраняют свой знак или обращаются
в нуль. С кинематической (или геометрической) точки зрения они
характеризуются тем, что препятствуют перемещению по своему
направлению только в одну сторону и не препятствуют перемещению в противоположную сторону.
Переменные связи разделяются на два основных класса: идеальные (без учета трения и других усложняющих факторов) и неидеальные связи (с учетом сил трения, нелинейных свойств самих
связей и др.). Примеры идеальных односторонних связей показаны
на рис. 5.1, б. В сечении C здесь установлен односторонний шарнир,
который при взаимном повороте смежных сечений в одну сторону
выполняет роль обычного шарнира, а при стремлении вызвать поворот сечений в обратную сторону превращается в жесткий узел. Таким
образом, налагается условие в виде неравенства С  Cпр  Cлев  0
или Cлев  Cпр . Изгибающий момент в сечении C может быть только
отрицательным (растяжение верхних волокон), т. е. M C  0 . Аналогично односторонний шарнир в сечении А налагает на угол поворота условие A  0 (поворот возможен только против часовой стрелки). Односторонние опоры B и D препятствуют перемещениям
113
соответствующих сечений балки вниз, но не вверх, т. е. vB  0 ,
vD  0 . Вообще любая односторонняя связь работает только в одну
сторону и не работает в обратную сторону.
Роль односторонних связей обычно выполняют конструктивные элементы, способные работать или только на растяжение, или
только на сжатие. Например, трос может работать только на растяжение, а кирпичный столб – на сжатие. Односторонние связи могут
быть не только сосредоточенными, но и распределенными, например при опирании балки или плиты на упругое или жесткое основание, не способное сопротивляться отрыву.
В дальнейшем будем считать положительными усилие R в работающей односторонней связи и перемещение v по направлению
выключившейся из работы односторонней связи, иначе говоря, положительными считаются возможные для односторонней связи
усилия и перемещения. При этом k-я идеальная односторонняя
связь может находиться только в одном из двух состояний: рабочем
(связь включена) – в этом случае справедливы соотношения Rk > 0,
vk = 0, или нерабочем (связь выключена) – Rk = 0, vk > 0.
В общем виде граничные условия для группы идеальных односторонних связей в количестве m можно записать так:
vk  0 ;
Rk  0 ;
vk Rk  0 ,
k  1, ... , m.
(5.1)
Здесь первое условие отвечает состоянию выключенной связи, второе – состоянию включенной связи, третье выражает условие несовместности этих двух состояний (т. е. невозможности одновременного их наступления).
К классу идеальных односторонних связей относятся также
связи с зазорами. Примером односторонней связи с зазором является неполный шарнир С (рис. 5.2), не препятствующий взаимному
повороту сечений на угол С (в заданном направлении) и налагающий условие С  С  0 . Аналогичное условие можно записать
и для односторонней опоры D с зазором D : vD  D  0 .
φC
vB
A
B
C
D
vD
θС
Рис. 5.2. Односторонние связи с зазором
114
δD
Граничные условия для k-й односторонней связи с зазором
будут схожи с условиями (5.1):
vk  k  0 ; Rk  0 ; (vk  k ) Rk  0.
(5.2)
Связи, в которых необходимо учитывать силы трения, относятся к классу неидеальных переменных связей. Свойства систем
с неидеальными связями значительно сложнее, чем с идеальными.
Характерная особенность связей с трением состоит в следующем:
если сила взаимодействия по касательной к поверхности контакта
двух тел T меньше величины предельной силы трения Tпр, то поверхности контакта находятся в состоянии сцепления; если же касательная сила достигает предельной величины, то по поверхности
контакта двух тел происходит их взаимное скольжение.
Пусть, например, правая
q
стойка рамы (рис. 5.3) опирается на горизонтальную поверхность с трением. Тогда при
vB
условии допредельного трения A
uB
B
TB  Tпр B горизонтальное смеTB
RB
щение на опоре uB  0 , при
условии предельного трения
Рис. 5.3. Односторонние связи
с трением
TB  Tпр B смещение uB  0 .
Зависимость сил трения от сил взаимодействия на контакте
может быть описана законом Кулона. В этом случае величина предельной силы трения определяется формулой
Tпр  f R ,
(5.3)
где f – коэффициент трения, который зависит от материала и состояния контактирующих поверхностей; R – сила взаимодействия
по нормали к поверхности контакта. Таким образом, закон Кулона
устанавливает предельные величины касательных усилий на опоре
в зависимости от величин нормальных усилий.
В результате полные граничные условия для k-й связи, отвечающей кулоновскому трению, будут иметь следующий вид:
Tk  f Rk ;
Rk  0;
Tk uk  0;
115
( Tk  f R) uk  0.
(5.4)
Первое условие выражает закон трения Кулона, второе – условие включенной связи, третье устанавливает связь между направлением скольжения и направлением силы трения, четвертое выражает условие несовместности состояний сцепления и скольжения.
Более сложный вид неидеальных связей – односторонние связи с учетом трения. В этом случае возможны все три состояния
контакта: состояние отрыва (когда односторонняя связь выключена из работы); состояние контакта со скольжением и, наконец,
состояние сцепления. Полная система граничных условий для такого рода односторонней связи имеет вид
vk  k  0 ;
Rk  0 ;
Tk  f Rk ; Tk uk  0 ;
(vk  k ) Rk  0 ;
( Tk  f R) uk  0.
(5.5)
Задачи с односторонними связями и трением могут возникать,
например, при анализе контактного взаимодействия в технологических и деформационных швах, которые могут раскрываться и закрываться как с проскальзыванием, так и со сцеплением контактирующих поверхностей при различных сочетаниях внешних
нагрузок. То же самое может происходить на контакте подошвы
сооружения с основанием либо на отдельных опорах, допускающих
отрыв либо проскальзывание опирающейся на них конструкции.
Приведенные здесь виды переменных связей – частные случаи
более общего класса связей, свойства которых не являются линейной функцией внешних сил. Нелинейность самих односторонних
связей может быть обусловлена как свойствами материала, так
и конструктивными особенностями связей либо тем и другим [2, 18].
5.1.2. Особенности расчета систем
с односторонними связями
Особенность расчета сооружений, содержащих односторонние
связи, состоит в том, что расчетная схема сооружения сама является функцией нагрузки. В процессе нагружения одни связи могут
выключиться, другие – включиться; при этом число и местоположение работающих связей заранее неизвестно и может быть определено только в процессе решения задачи. Таким образом, система
с односторонними связями, хотя бы и идеально упругими, не явля116
ется линейно деформируемой. В общем виде к такой системе неприложим принцип независимости действия сил и все его следствия. Лишь небольшая, наиболее общая, часть основных теорем
строительной механики сохраняет свою силу.
Работа, производимая внешними или внутренними силами при
переходе системы из одного состояния в другое, зависит только от
этих двух состояний, а не от промежуточных, так как энергия не
рассеивается. Что же касается закона о взаимности работ или перемещений, теоремы о действительной работе внешних сил и т. п., то
они могут оказаться нарушенными при включении либо выключении тех или иных связей.
Основная задача расчета систем, имеющих односторонние
связи, состоит в следующем: выяснить, какие из этих связей будут
работать при действии заданной нагрузки, а какие нет; другими
словами, отыскать среди всех возможных систем действительную
(рабочую) систему, отвечающую заданной нагрузке. Например, при
наличии n идеальных односторонних связей можно образовать 2n
различных систем (так, при n = 20 число возможных систем равно
220 = 1048576). В анализе всех этих систем и в выявлении из них
фактической рабочей системы и состоит сложность проблемы.
Способы отыскания рабочей системы могут быть самыми различными. Первыми для расчета систем с идеальными односторонними связями стали применять прямые итерационные методы
[1, 5, 18], в частности те или иные разновидности так называемых
алгоритмов переключения состояния связей. Впервые алгоритм такого типа был сформулирован И. М. Рабиновичем, поэтому носит
название алгоритма Рабиновича. Изложим его суть.
Пусть для некоторого (например, начального) состояния системы часть односторонних связей находится в рабочем состоянии,
т. е. включена: Rk > 0, vk + δk = 0; другая часть выключена: Rk = 0,
vk + δk > 0. Выполняется обычный линейный расчет, по его результатам на следующей итерации у всех «неправильно работающих»
односторонних связей меняется их состояние: производится переключение текущего состояния этих связей на противоположное.
Так, если реакция в работающей связи имеет недопустимый знак
(Rk < 0), то данная связь выключается из работы; если же перемещение по направлению выключенной связи имеет недопустимое
значение (vk + δk < 0), то данная связь переходит во включенное со117
стояние (рассматривается как двусторонняя). Процесс последовательных приближений повторяется до тех пор, пока в рассчитываемой системе не останется «неправильно работающих» односторонних связей.
Проиллюстрируем применение алгоритма Рабиновича на примере расчета изгибаемой балки с односторонними опорами
(рис. 5.4, а). Между балкой и опорами k = 1, 2, 3 заданы начальные
зазоры δk = 25, 35, 30 мм, жесткости всех участков балки одинаковы: EI = 10 000 кН∙м2. Требуется найти рабочую систему балки при
заданной нагрузке F = 2 кН.
На первой итерации выполняем линейный расчет балки при
выключенных односторонних связях (рис. 5.4, б). Поскольку величины vk + δk для всех односторонних связей оказываются меньше
нуля, переключаем их все в рабочее состояние (т. е. принимаем как
двусторонние).
На второй итерации выполняем расчет балки при заданных
величинах прогибов на опорах, соответствующих начальным зазорам (рис. 5.4, в). При этом реакции в 1-й и 3-й связях получаются
отрицательными, следовательно, выключаем данные связи.
На третьей итерации (рис. 5.4, г) получаем недопустимый прогиб по направлению 1-й связи (v1 + δ1 = –30 + 25 < 0), поэтому снова переключаем ее в рабочее состояние (включаем).
На четвертой итерации (рис. 5.4, д) получаем положительные
реакции в 1-й и 2-й включенных связях и допустимый прогиб по
направлению 3-й выключенной связи (v3 + δ3 = –18 + 30 > 0). Так
как все односторонние связи «работают правильно», итерационный
процесс завершается.
Вследствие своей простоты прямые итерационные методы получили широкое распространение, хотя они не всегда гарантируют
сходимость и могут приводить к зацикливанию процесса переключения связей, как показано в [13]. Кроме того, не исключен случай
перехода системы на какой-либо итерации в состояние геометрической неизменяемости.
Другой подход к решению задач с односторонними связями –
использование методов математического программирования [2, 3].
Так, задача с идеальными односторонними связями может быть
сведена к задаче квадратичного программирования, для решения
которой могут быть применены соответствующие численные про118
цедуры (градиентного спуска, возможных направлений, множителей Лагранжа и др.).
F
а)
1
6м
δ1
6м
EI
6м
2
δ2
6м
3
δ3
6м
б)
F = 2 кН
v3 = –58 мм
v1 = –65 мм
v2 = –98 мм
в)
R1 = –0,19 кН
F = 2 кН
R2 = 4,01 кН R3 = –4,3 кН
F = 2 кН
R2 = 1,21 кН
г)
v1 = –30 мм
д)
R1 = 0,68 кН
v3 = –18 мм
F = 2 кН
R2 = 0,83 кН
v3 = –19 мм
Рис. 5.4. Балка с односторонними зазорами на опорах
Основанием для сведения исходной задачи к задаче квадратичного программирования при расчете, например, по методу сил
служит то, что система канонических уравнений выражает условие
экстремума потенциальной энергии как квадратичной функции
лишних неизвестных, а неравенства, относящиеся к знакам усилий
и перемещений, налагают на минимизируемую функцию ряд ограничений. Эквивалентная задача квадратичного программирования
возникает также при расчете по методу перемещений или по смешанному методу.
119
Ниже приводится формулировка задачи квадратичного программирования при расчете упругой системы с идеальными односторонними связями по методу перемещений [13].
П( Z ) 
1 n

2 i 1
при vk 
n
 ri j Z i Z j

j 1
n
n
 Ri F Z i
 min
i 1
 ck j Z j  Ck F  0 ,
(5.6)
k  1, ... , m .
j 1
Здесь П( Z ) – квадратичный функционал полной потенциальной
энергии системы; Z i , ri j , Ri F , i , j  1, ... , n – совокупность всех
кинематических неизвестных, коэффициентов и свободных членов
метода перемещений; vk – перемещение в системе по направлению
k-й односторонней связи; ck j , Ck F – перемещения в основной системе метода перемещений по направлению k-й односторонней связи от единичного перемещения Z j  1 и от заданной нагрузки.
Удобство применения математического программирования
состоит в том, что могут быть использованы разработанные универсальные алгоритмы и отпадает необходимость перебора вариантов при поиске рабочей системы.
Однако в случае неидеальных односторонних связей свести
решение конструктивно-нелинейной задачи к проблеме минимизации соответствующего функционала в общем случае не представляется возможным. Кроме того, затруднено исследование свойств
таких задач, связанное с доказательством существования и единственности решения.
Наряду с классическими методами (методы сил, перемещений) для расчета конструктивно-нелинейных систем широко применяются численные методы строительной механики. Наиболее
удобным для практического использования следует признать метод конечных элементов. При этом континуальные задачи контактного взаимодействия упругих тел сводятся к задачам с дискретными связями и в этом смысле приближаются к обычным
задачам строительной механики стержневых систем. С помощью
обычной процедуры МКЭ [11, 15, 17] сплошное тело моделируется
конечномерной системой. Затем на эту систему накладываются од120
носторонние дискретные связи и каким-либо численным способом
уточняется их действительное состояние.
В свою очередь для моделирования работы односторонних
связей могут применяться специальные контактные конечные
элементы (ККЭ). Эти элементы вводятся на участках возможного
контакта взаимодействующих тел, тем самым дискретизируя некоторый тонкий слой (фиктивный или имеющий место в действительности) между контактирующими поверхностями. Этот контактный слой объединяет взаимодействующие тела в единую
систему и благодаря приданным ему особым свойствам, учитываемым посредством численного анализа (итерационного либо пошагового), может удовлетворять необходимым условиям контакта.
В частности, такой подход позволяет конструктивную нелинейность (то есть задачи с односторонними связями и трением на контакте) свести к рассмотрению только лишь этого дискретного контактного слоя [9].
5.2. Решение конструктивно-нелинейных задач
пошаговым методом
При использовании пошаговых методов заданная нагрузка
прикладывается не сразу, а некоторыми шагами, вплоть до достижения своего окончательного значения. Положительной стороной
пошагового процесса является то, что на его основе может быть получено решение задачи на любой ступени нагружения при удовлетворении всех уравнений состояния и граничных условий для рассчитываемой системы. В то же время использование пошаговых
алгоритмов целесообразно в тех случаях, когда решение конструктивно-нелинейной задачи зависит от истории нагружения (при учете сил трения, последовательности возведения сооружения и т. п.).
5.2.1. Расчет систем с идеальными односторонними связями
Рассмотрим упругую систему с идеальными односторонними
связями (числом m). Граничные условия для односторонних связей
при наличии возможных зазоров имеют следующий вид:
vk  k  0;
Rk  0; (vk  k ) Rk  0 ,
121
k  1, ... , m.
(5.7)
Численная реализация условий (5.7) осуществляется посредством процесса пошагового нагружения и изменения состояния односторонних связей. Так, если выполняется условие vk  k  0
и, следовательно, Rk  0 , то связь находится во включенном состоянии. Если Rk  0 и vk  k  0 , то связь находится в выключенном
состоянии. Изменение текущего состояния, а именно момент перехода от одного состояния к другому представляет собой событие –
соответственно это будут события выключения и включения односторонней связи. Таким образом, в процессе нагружения происходит цепь событий, определяющих состояние односторонних связей
и последовательно изменяющих расчетную схему сооружения.
Заданная нагрузка (выраженная через некоторый параметр
нагрузки P) прикладывается шагами  P s    s P , где   s – параметр, определяющий величину s-го шага нагружения (0 <   s ≤ 1).
Предполагается, что между двумя последовательными событиями
система деформируется по линейному закону: в этом случае в пределах каждого шага строится решение линейно-упругой задачи,
а события на контакте определяются согласно схеме простого
нагружения. Пошаговый процесс осуществляется таким образом,
чтобы каждая из этих линейных задач соответствовала одному шагу нагружения, выполняемого для каждой такой расчетной схемы,
т. е. от момента наступления одного события до момента наступления следующего, при этом определение размера шага нагружения
является частью алгоритма. В результате решение конструктивнонелинейной задачи с односторонними связями будет представляться в виде решения последовательности линейных задач при последовательном же изменении расчетных схем сооружения [9, 10].
Последовательность действий на каждом шаге состоит
из пробного шага (для удобства примем его равным единице), его
уточнения и перерасчета результатов. Из анализа решения линейной задачи на пробном шаге определяется момент наступления
ближайшего в процессе нагружения события (включения либо выключения связи) и, соответственно, величина требуемого для этого
уточненного (основного) шага нагружения. Таким образом, в результате выполнения основного шага устанавливается новое состояние связей (т. е. меняется текущая расчетная схема).
При изложении алгоритма примем за исходный s-й уровень
нагружения, т. е. по завершении s-го шага нагружения определены
уровень нагружения P s , состояния всех односторонних связей,
значения перемещений vks и усилий R ks в них. Пусть одна часть свя-
122
123
зей ( k  K1 ) находится в выключенном, а другая часть ( k  K 2 ) во
включенном состоянии. В начале пошагового расчета, т. е. при нулевом уровне загружения (s = 0, P 0  0 ), состояние связей устанавливается согласно заданным начальным условиям.
1. Выполняется (s + 1)-й пробный шаг нагружения ( P  1 ).
Для каждой k-й односторонней связи определяются приращения
перемещений по направлению выключенных связей vks1 и усилия
во включенных связях R ks1 .
2. В предположении линейного деформирования системы
между двумя последовательными событиям определяется величина
шага, требуемого для наступления ближайшего события включения
какой-либо односторонней связи (рассмотрению подлежат только
выключенные связи, для которых vks1  0 ):
P1s 1
 s
 v k  k
 min 
s 1
 v k



 , k  K1 .

s 1
v k  0 

(5.8)
3. Определяется величина шага до ближайшего выключения
какой-либо связи (рассматриваются только включенные связи, для
которых R ks 1  0 ):

 R ks
s 1
P2  min 
s 1
 R k



, k  K2 .

s 1
R k  0 

(5.9)
4. Из полученных значений выбирается наименьшая величина
шага P s1 , что соответствует наступлению ближайшего события
(включения или выключения связи). Поскольку величина шага ограничена сверху заданной нагрузкой P, принимаем:
P s1  min P1s1 , P2s1 , P  P s .
5. Для основного шага P s1 пересчитываются значения приращений перемещений и усилий на данном шаге:
v
s 1
k
 P
s 1
 v
s 1
k ;
R
s 1
k
 P
s 1
 R
s 1
.
k
(5.11)
6. Определяются перемещения и усилия, соответствующие
(s + 1)-му уровню нагружения P s  1  P s   P s  1 :
v ks1  v ks  v ks1 ;
R ks1  R ks  R ks1 .
(5.12)
7. Меняется состояние односторонних связей:
 если vks1  k  0 , то для k-й связи устанавливается состояние включения;
 если Rks1  0 , то для k-й связи устанавливается состояние
выключенной связи.
8. Для измененной таким образом расчетной схемы выполняется следующий шаг нагружения (см. пп. 1–7).
Применим изложенный пошаговый алгоритм для расчета балки с идеальными односторонними связями (рис. 5.5, а), рассмотренной ранее в п. 5.1.2. Первоначально все односторонние связи
принимаются в выключенном состоянии, начальные значения перемещений и усилий равны нулю ( vk0  R k0  0 , k = 1, 2, 3). При изложении хода расчета приняты следующие размерности: усилия –
в кН, перемещения – в мм.
Шаг 1. Выполняем линейный расчет балки в исходном состоянии на пробный шаг P  1 (рис. 5.5, б). Перемещения по направлению всех односторонних связей меньше нуля, поэтому определяем величину шага, требуемого до наступления ближайшего
включения какой-либо связи:
 0  25 0  35 0  30

, (2  0)   0,714.
P 1  min 
,
,
  32,4  49,0  28,8

Пересчитываем приращения перемещений для основного шага
нагружения P 1  0,714 и определяем значения перемещений для
уровня нагружения P1  P 0  P1  0,714 :
124
v11  0,714 (32,4)  23,1; v 12  0,714 (49,0)  35;
(5.10)
v 31  0,714 (28,8)  20,6.
v 11  0  (23,1)  23,1; v 12  0  (35)  35 ; v 31  0  (20,6)  20,6 .
Так как v 12  2  35  35  0 , устанавливаем 2-ю связь во
включенное состояние.
F = 2 кН
а)
1
δ1 = 25 мм
6м
EI
6м
2
6м
δ2 = 35 мм
6м
3
δ3 = 30 мм
6м
б)
P = 1
v 11 = –32,4
в)
v 31 = –28,8
v 21 = –49
P = 1
R 22 = 0,944
v 32 = 1,8
v 12 = –5,2
г)
R13 = 0,739
P = 1
R 23 = 0,534
v 33 = 1,8
Рис. 5.5. Пошаговый расчет балки с односторонними связями
Шаг 2. Выполняем расчет балки при включенной 2-й связи на
P  1 (рис. 5.5, в). Из всех полученных приращений перемещений
и усилий в односторонних связях только перемещение v12  5,2  0 ,
поэтому
  23,1  25

, (2  0,714)   0,365.
P 2  min 
 5,2


Определяем приращения перемещений и усилий для основного шага P 2  0,365 и их значения для уровня P 2  P1  P 2  1,079 :
125
v 12  0,365  (5,2)  1,9 ; R 22  0,365  (0,944)  0,345 ;
5.2.2. Расчет систем с односторонними связями и трением
v 32  0,365  (1,8)  0,7 .
Рассмотренная выше задача относится к системам с идеальными односторонними связями, у которых единственный источник
нелинейности – это сами односторонние связи. Для таких систем
характерно полностью обратимое упругое поведение, которое
определяется единственным решением задачи [13].
При наличии сил трения задача с односторонними связями
значительно усложняется как в математическом отношении – для
нее не существует доказательств единственности решения, так
и в возможности ее численного решения. В этой связи учет характера и последовательности нагружения хотя и не гарантирует единственности, однако, по крайней мере, существенно сужает множество возможных решений задачи.
Граничные условия для задачи с односторонними связями
и трением Кулона имеют следующий вид:
v  23,1  (1,9)  25; v  35; v  20,6  0,7  19,9; R  0,345.
2
1
2
2
2
3
2
2
Так как v12  1  25  25  0 , устанавливаем 1-ю связь во
включенное состояние.
Шаг 3. Выполняем расчет балки при включенных 1-й и 2-й
связях на P  1 (рис. 5.5, г). Полученные перемещения и усилия
больше нуля, поэтому добираем шаг до заданной нагрузки:
P 3  (2  1,079)  0,921.
Приращения перемещений и усилий на данном шаге:
R13  0,921 (0,739)  0,68; R23  0,921 (0,534)  0,485;
v 33  0,921 (0,7)  0,6.
Значения перемещений и усилий для окончательного уровня
нагружения P 3  P 2   P 3  2 :
v 13  25; v 22  35; v 32  19,9  0,6  19,3 ;
vk  k  0;
Rk  0;
(vk  k ) Rk  0;
Tk  Tпр k  f Rk ; Tk uk  0; ( Tk  Tпр k ) uk  0 , k  1, ... , m.
(5.13)
Анализ применения пошаговых алгоритмов к расчету систем
с односторонними связями позволяет сделать следующие выводы:
 в физическом смысле подобные алгоритмы можно трактовать как математическое моделирование процесса нагружения
и изменения состояния связей рассматриваемой системы;
 на каждом уровне нагружения предоставляется возможность
отслеживать текущее состояние системы, включая моменты
наступления очередного события на контакте (т. е. изменения состояния);
 при расчете линейно деформируемых систем с идеальными
односторонними связями пошаговый процесс сходится к истинному решению за конечное число шагов нагружения;
 не представляет трудностей распространение пошаговых алгоритмов для расчета нелинейно деформируемых систем с односторонними связями, при усложненных условиях контакта, нелинейных свойствах односторонних связей и т. п.
Таким образом, к условиям включения-выключения односторонней связи добавляются условия сцепления-скольжения на контакте включенной связи. При этом считается, что нормальные усилия Rk заранее не известны, а зависят от решения данной задачи.
Обратимся к условиям взаимодействия на контакте в процессе
пошагового загружения рассматриваемой системы. Так, если
vk  k  0 , Rk  0 , k  K1 , то связь находится в выключенном состоянии. Если u k  0 , Tk  Tпр k , k  K 2 (условие допредельного
трения), то имеет место состояние сцепления. Если u k  0 ,
Tk  Tпр k , k  K 3 (условие предельного трения) – состояние скольжения. Изменение текущего состояния, а именно момент перехода
от состояния сцепления к состоянию скольжения, и наоборот, представляет собой событие проскальзывания или событие зацепления.
В основе алгоритма решения задачи с неидеальными связями
тоже лежит пошаговый метод. Предполагается, что процесс нагружения является простым и между двумя последовательными событиями на контакте система деформируется линейно. В пределах текущего шага используется линейная аппроксимация изменения сил
трения на контакте, а для их корректировки – способ компенсиру-
126
127
R 13  0,68; R 23  0,485  0,345  0,83.
Состояние всех односторонних связей на третьем шаге не меняется.
ющих нагрузок. С помощью анализа и уточнения шагов нагружения строится решение контактной задачи, которое является физически приемлемым и удовлетворяет всем уравнениям состояния
и граничным условиям, в том числе условиям на контакте [10].
Дополнения, которые в этом случае должны быть внесены
в изложенный ранее (п. 5.2.1) пошаговый алгоритм, касаются прежде всего учета изменения сил трения в процессе нагружения и влияния этих изменений на состояние связей рассматриваемой системы.
Так, величина шага P3s1 до момента наступления ближайшего события проскальзывания, при котором выполняется условие
Tk s1  Tпрsk1 , определяется в предположении линейно изменяющейся
на шаге предельной силы трения (при этом рассматриваются только
связи в состоянии сцепления, для которых Tk s1  Tпрsk1 ):
P3s 1

Т прs k  Т ks

 min 
s 1
s 1
 T k  Tпр k



, k  K2.
s 1
s 1 
T k  T пр k

(5.14)
В итоге из полученных значений выбирается наименьшее:
P s1  min P1s1 , P2s1 , P3s1 , P  P s .
(5.15)
T ks  1  T ks   T csk 1 ,  T csk 1   T прs k1   T ks , k  K 3 ,
(5.17)
где Tks  Tпрs k  Tks – невязка силы трения на предыдущем шаге.
Таким образом, обеспечивается выполнение условия предельного трения на текущем шаге в виде Tk s1  Tпрsk1 . В свою очередь
к обеим контактным поверхностям прикладываются компенсирующие силы Fcsk 1 , равные  T csk 1 , но с противоположным знаком:
Fcsk 1    Tcsk 1 , k  K 3 .
В приведенных выше выражениях R ks 1, T ks1 – приращение нормальной и касательной реакции на (s + 1)-м пробном шаге;
Tпрsk1  f  R ks1 – приращение предельной силы трения;  u ks 1 –
приращение смещения на контакте.
Перемещения и усилия для (s + 1)-го основного шага и соответствующего уровня нагружения определяются так же, как
и ранее:
u ks1  P s1  u ks1 , u ks1  u ks  u ks1 ;
Tks1  P s1  Tk s1 , Tks1  Tks  Tks1 .
(5.18)
сохранении состояния скольжения производится корректировка
усилий на k-м контакте:
В качестве наглядного, в то же время простого примера, иллюстрирующего применение пошагового метода, рассмотрим расчет
шарнирно-стержневой системы (рис. 5.6). На опорах k = 1, 2, 3 действует трение Кулона, коэффициент трения f = 0,3. К системе приложены вертикальные силы Fk = 45; 15; 5 кН и горизонтальная
нагрузка P1 = 40 кН и P2 = 20 кН, жесткость стержней EA = 50 000 кН.
Требуется определить контактные усилия, а также горизонтальные
смещения на опорах 1–3 от заданного загружения.
Первоначально, при нулевом уровне нагружения, на всех опорах с трением задается состояние сцепления, при этом начальные
значения смещений uk0 = 0. Действие вертикальных сил Fk можно
отнести к нулевому уровню загружения, тогда начальные значения
реакций Rk0 = 45; 15; 5 кН. Начальные значения предельных сил
трения: Tпр0 k  f R 0k = 13,5; 4,5; 1,5 кН. За параметр нагрузки примем
P = P1, тогда P2 = 2P. Размерность усилий – кН, смещений – мм.
128
129
Переход из состояния скольжения в состояние сцепления на
(s + 1)-м шаге определяется следующим условием:
 u
s 1
k
 u sk   0 при u sk  0 , k  K 3 .
(5.16)
Кроме того, для связей, находящихся в состоянии скольжения,
необходимо отслеживать изменение сил трения на контакте.
Так, если на каком-либо пробном шаге предельная сила превысит реакцию трения, т. е. Tпрsk1  Tk s1 , k  K3 , то необходимо
вернуться к состоянию сцепления на k-м контакте и выполнить перерасчет основного шага P s1 .
Если же предельная сила трения на текущем шаге уменьшается ( Tпрsk1  Tпрs k , k K3 ) либо на пробном шаге Tпрsk1  Tk s1 , то при
u, T
F3
P1
u3, T3
EA
u1, T1
10 м
1
F2
u2, T2
3
EA
5м
F1
Делаем перерасчет шага при P 2 = 4,24, в результате значения смещений и усилий для уровня P 2   P 1   P 2 = 8,74:
u 2k = (0; –0,524; 0), R k2 = (53,73; 14,05; 5,94),
R
EA
2 P2
10 м
10 м
10 м
Рис. 5.6. Стержневая система с трением на опорах
Шаг 1. Выполняем расчет системы на пробный шаг P 1  1 .
Приращения нормальных и касательных реакций, а также предельных сил трения
 R k1 = (1; 0; 0),  T k1 = (–2; 1; 0), T пр1 k = (0,3; 0; 0).
Используя выражение (5.14), определяем величину шага
нагрузки P 1 = 4,5, при котором наступит проскальзывание на 2-й
опоре. По формулам (5.18) пересчитываем значения усилий после
1-го шага (т. е. для уровня нагружения P 1   P 1  4 ,5 ) :
1
R k1 = (49,5; 15; 5), Т k1 = (–9; 4,5; 0), T пр
k = (14,85; 4,5; 1,5).
Так как выполняется условие T  T
1
2
1
пр 2
, на 2-й опоре уста-
навливается состояние скольжения.
Шаг 2. Выполняем пробный шаг P 2  1 , определяем:
u k2 = (0; –0,1236; 0),  R k2 = (1; –0,208; 0,208),
Т k2 = (–14,85; 4,235; 1,88), T пр2 k = (16,12; 4,22; 1,78).
Так как условие предельного трения для 2-й опоры не выполняется ( T22  Tпр2 2 ), еще раз с помощью (5.14) уточняем величину
шага (уже с учетом проведенной корректировки). В итоге получим
P 2 = 3,98 и пересчитываем величину коррекции силы трения:
 T c22 = 3,98 (–0,0625) + 0 = –0,25; Fc22 = 0,25.
Делаем повторный перерасчет шага при P 2 = 3,98, в результате значения смещений и усилий для уровня P 2   P 1   P 2 = 8,48:
u 2k = (0; –0,493; 0), R k2 = (53,49; 14,16; 5,88),
Т k2 = (–14,5; 4,25; 1,76), T пр2 k = (16,05; 4,25; 1,76).
Как видно, на 2-й опоре (в состоянии скольжения) обеспечивается условие предельного трения T 22  Tпр2 2 = 4,25. В то же время
наступает событие проскальзывания на 3-й опоре: T32  Tпр2 3 = 1,76,
следовательно, устанавливаем на этой опоре состояние скольжения. Согласно изложенному алгоритму выполняются и все последующие шаги нагружения.
Шаг 3. В результате шага P 3 = 1,56 устанавливается состояние скольжения на 1-й опоре. Для уровня нагружения P 3 = 10,04:
u 3k = (0; –0,720; –0,087), R k3 = (55,04; 13,87; 6,13),
 T k1 = (–1,414; 0; 0,105), T пр1 k = (0,3; –0,0625; 0,0625).
3
Т k3 = (–16,51; 4,16; 1,84), T пр
k = (16,51; 4,16; 1,84).
По формуле (5.14) уточняем 2-й шаг нагружения P 2 = 4,24.
Так как на 2-й опоре имеем уменьшение предельной силы
( T пр2 2  0 ), то при сохранении состояния скольжения на опоре
Шаг 4. В результате шага P 4 = 6,15 устанавливается состояние сцепления на 2-й опоре. Для уровня нагружения P 4 = 16,19:
u 4k = (2,084; –0,720; –0,086), R k4 = (61,19; 13,86; 6,14),
необходимо скорректировать усилие T 22 согласно (5.17) на величину
Т k4 = (–18,36; 4,16; 1,84), T пр4 k = (18,36; 4,16; 1,84).
 T c22   T пр2 2   T 2s = 4,24 (–0,0625) + 0 = –0,265.
Такую же по величине, но с противоположным знаком компенсирующую силу Fc22 = 0,265 прикладываем ко 2-му узлу системы.
Последний, 5-й, шаг P 5 = 3,81 завершает процесс пошагового нагружения. Как можно видеть, результатом каждого шага будет
являться изменение состояния связи и, соответственно, смена расчетной схемы (рис. 5.7). Окончательно на 1-й и 3-й опорах имеет
место состояние скольжения, на 2-й – состояние сцепления.
130
131
Значения смещений (мм) и усилий (кН) для конечного уровня
нагружения P 5 = 20 кН:
u k = (3,380; –0,720; 0,086), R k = (65,0; 13,87; 6,13),
Т k = (–19,5; –2,77; 1,84), T пр k = (19,5; 4,16; 1,84).
Tk
5
T2
0
–5
T3
4,5
8,48 10,04
T1
16,19
20 P
– событие проскальзывания
– событие зацепления
– состояние скольжения
– состояние сцепления
ния и, соответственно, строить решение на основе метода пошагового нагружения;
 при линейном характере деформирования системы с трением на опорах пошаговые алгоритмы дают вполне достоверные
и физически приемлемые результаты, что подтверждается их анализом и сопоставлением с решениями, полученными с помощью
других численных методов.
Контрольные вопросы
Рассматриваемая задача также решалась с помощью метода
итераций по предельным силам трения [2, 3]. Были получены аналогичные результаты, однако при этом потребовалось достаточно
большое число итераций (несколько десятков). В целом же численные исследования пошаговых алгоритмов расчета систем с трением
позволяют заключить следующее:
 учет трения в односторонних связях значительно усложняет
задачу и делает ее решение зависящим от характера и истории загружения, поэтому целесообразно моделировать процесс нагруже-
1. Какого рода задачи относятся к конструктивно-нелинейным?
2. Какие связи называются односторонними связями?
3. Запишите граничные условия для идеальных односторонних связей.
4. Приведите граничные условия для односторонних связей
с зазорами.
5. Какие переменные связи относятся к классу неидеальных
связей?
6. Запишите граничные условия для связей с трением Кулона.
7. В чем заключается основная задача расчета систем с односторонними связями?
8. Как называются алгоритмы расчета систем с односторонними связями, относящиеся к прямым итерационным методам?
9. Каким образом задача с односторонними связями может
быть сведена к задаче математического программирования?
10. В каких случаях при расчете конструктивно-нелинейных
систем следует использовать метод пошагового нагружения?
11. В каких состояниях может находиться идеальная односторонняя связь?
12. В чем выражается пошаговый процесс решения задачи
с идеальными односторонними связями?
13. Какое предположение лежит в основе определения размера шага нагружения в ходе пошагового процесса?
14. Какие состояния на контакте рассматриваются при учете
сил трения в односторонних связях?
15. Почему наличие трения в односторонних связях приводит
к усложнению решения задачи?
132
133
–10
–15
–20
Рис. 5.7. Диаграмма пошагового изменения сил трения на опорах
Достоверность полученных результатов подтверждается выполнением условий равновесия и совместности деформаций системы на каждом шаге нагружения. Так, конечная деформация стержня 1–2:  l1 2  u 2  u 1 = –0,72 – 3,38 = –4,1 мм, продольная сила
в этом же стержне N 1 2   P1  T1 = –40 + 19,5 = –20,5 кН.
Проверим эти результаты с помощью формулы
l1 2 
N1 2  l1 2  20,5  10

 0,0041 м  4,1 мм.
50 000
EA
Рекомендуемая литература
1. Аленин В. П. Прямые методы расчета конструктивно-нелинейных систем / В. П. Аленин, П. В. Аленин. – Омск : Сфера, 2006. – 68 с.
2. Александров В. М. Механика контактных взаимодействий /
В. М. Александров, И. И. Ворович. – М. : Наука, 2001. – 600 с.
3. Вовкушевский А. В. Расчет массивных гидротехнических сооружений
с учетом раскрытия швов / А. В. Вовкушевский, Б. А. Шойхет. – М. : Энергоиздат, 1981. – 136 с.
4. Городецкий А. С. Компьютерные модели конструкций / А. С. Городецкий, И. Д. Евзеров. – Киев : Факт, 2007. – 394 с.
5. Игнатьев В. А. Нелинейная строительная механика стержневых систем. Основы теории. Примеры расчета : учеб. пособие / В. А. Игнатьев,
А. В. Игнатьев, В. В. Галишникова, Е. В. Онищенко. – Волгоград : ВолгГАСУ,
2014. – 97 с.
6. Киселев В. А. Строительная механика : учебник для вузов / В. А. Киселев. – Изд. 3-е, доп. – М. : Стройиздат, 1976. – 511 с.
7. Лукаш П. А. О нелинейной строительной механике (краткий обзор
задач и методов) / П. А. Лукаш // Исследования по теории сооружений. –
Вып. 20. – М. : Стройиздат, 1974. – С. 12–16.
8. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики / П. А. Лукаш. – М. : Стройиздат, 1978. – 204 с.
9. Лукашевич А. А. Построение и реализация схем прямого метода конечных элементов для решения контактных задач / А. А. Лукашевич //
Изв. вузов. Строительство. – 2007. – № 12. – С. 18–23.
10. Лукашевич А. А. Решение контактных упругих задач с трением Кулона при пошаговом нагружении / А. А. Лукашевич // Изв. вузов. Строительство. – 2008. – № 10. – С. 14–21.
11. Лукашевич А. А. Современные численные методы строительной
механики : учеб. пособие / А. А. Лукашевич. – Хабаровск : Изд-во ХГТУ,
2003. – 135 с.
12. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости / В. В. Новожилов. – М. : Эдиториал УРСС, 2003. – 208 с.
13. Перельмутер А. В. Расчетные модели сооружений и возможность
их анализа / А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. – Киев : Сталь, 2002. – 600 с.
14. Петров В. В. Нелинейная инкрементальная строительная механика /
В. В. Петров. – М. : Инфра-Инженерия, 2014. – 480 с.
15. Постнов В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. – Л. : Судостроение, 1974. – 344 с.
16. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций /
В. А. Постнов. – Л. : Судостроение, 1977. – 279 с.
17. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций :
учеб. пособие для техн. вузов / Р. А. Хечумов, Х. Кепплер, В. И. Прокопьев;
под ред. Р. А. Хечумова. – М. : АСВ, 1994. – 353 с.
134
18. Рабинович И. М. Вопросы теории статического расчета сооружений
с односторонними связями / И. М. Рабинович. – М. : Стройиздат, 1975. – 145 с.
19. Ржаницын А. Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек /
А. Р. Ржаницын. – М. : Наука, 1983. – 288 с.
20. Ржаницын А. Р. Строительная механика / А. Р. Ржаницын. – М. :
Высш. школа, 1982. – 400 с.
21. Рудых О. Л. Введение в нелинейную строительную механику : учеб.
пособие / О. Л. Рудых, Г. П. Соколов. – М. : АСВ, 2009. – 193 с.
22. Строительная механика : в 2 кн., кн. 1. Статика упругих систем :
учеб. пособие для вузов / В. Д. Потапов, А. В. Александров, С. Б. Косицын,
Д. Б. Долотказин; под ред. В. Д. Потапова. – М. : Высш. шк., 2007. – 511 с.
23. Строительная механика. Стержневые системы : учебник для вузов /
А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников; под
ред. А. Ф. Смирнова. – М. : Стройиздат, 1981. – 512 с.
24. Чирас А. А. Строительная механика : учеб. пособие / А. А. Чирас. –
М. : Стройиздат, 1989. – 255 с.
135
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ………………………………………………………………….
Глава 1. Основные понятия нелинейной строительной
механики …………………………………………………………………
1.1. Общие сведения о нелинейных задачах …………………………
1.1.1. Основные задачи теории расчета конструкций …………….
1.1.2. Виды нелинейности и типы нелинейных задач ……………
1.1.3. Основные теоремы нелинейной строительной механики ....
1.1.4. Классификация нелинейных задач ………………………….
1.2. Неупругие и нелинейно-упругие системы ………………………
1.2.1. Особенности нелинейной работы материала ……………….
1.2.2. Основные соотношения для нелинейно-упругого
материала …………………………………………………………….
1.2.3. Аппроксимация зависимостей между напряжениями
и деформациями ……………………………………………………..
1.3. Основы расчета нелинейно-упругих систем……………………..
1.3.1. Примеры нелинейно-упругих стержневых систем…………
1.3.2. Учет физической нелинейности при расчете
конструкций МКЭ …………………………………………………..
Контрольные вопросы ……………………………………………………
Глава 2. Приближенные методы решения нелинейных задач ……
2.1. Методы последовательных приближений ………………………
2.1.1. Метод переменных жесткостей (МПЖ) …………………….
2.1.2. Метод упругих решений (МУР) ……………………………..
2.1.3. Метод Ньютона – Рафсона (МНР) …………………………..
2.2. Методы последовательного нагружения ………………………...
2.2.1. Метод шагового нагружения (МШН) ……………………….
2.2.2. Метод самокорректирующихся начальных
значений (МСНЗ) ……………………………………………………
2.3. Пример расчета нелинейно-упругой стержневой системы …….
2.3.1. Расчет методом переменных жесткостей …………………...
2.3.2. Расчет методом шагового нагружения ……………………...
Контрольные вопросы ……………………………………………………
Глава 3. Упругопластический расчет конструкций ………………..
3.1. Основы расчета конструкций по предельному состоянию …….
3.1.1. Понятие о предельном состоянии конструкции…………….
3.1.2. Прямой пошаговый метод расчета упругопластических
систем ………………………………………………………………..
3.1.3. Кинематический и статический методы расчета
по предельному состоянию…………………………….…….
3.1.4. Определение предельной нагрузки как задача поиска
экстремума…………………………………………………….
3.2. Расчет несущей способности конструкций, работающих
на изгиб …………………………………………………………………
136
3
4
4
4
5
9
11
12
12
14
16
22
22
27
30
32
32
32
33
34
38
39
40
43
44
46
48
50
50
50
53
56
61
63
3.2.1. Понятие пластического шарнира ……………………………
3.2.2. Предельное равновесие многопролетных неразрезных
балок …………………………………………………………………
3.2.3. Особенности расчета по предельному равновесию
рам и арок ……………………………………………………………
3.2.4. Предельное состояние изгибаемых плит ……………………
3.3. Пример определения несущей способности стальной рамы …...
3.3.1. Определение допускаемой нагрузки из условия
прочности ……………………………………………………………
3.3.2. Расчет предельного состояния рамы статическим
методом ………………………………………………………………
3.3.3. Проверка расчета с помощью кинематического метода …...
3.3.4. Определение предельного состояния рамы из решения
задачи линейного программирования ……………………………..
3.3.5. Прямой метод определения предельного состояния
рамы ………………………………………………………………….
Контрольные вопросы ……………………………………………………
Глава 4. Учет геометрической нелинейности в расчетах
конструкций ……………………………………………………………..
4.1. Расчет стержневых систем по деформированному состоянию …..
4.1.1. Особенности расчета по деформированному состоянию ….
4.1.2. Точный расчет стержневых систем по деформированному
состоянию ……………………………………………………………
4.2. Приближенные методы расчета по деформированному
состоянию ………………………………………………………………
4.2.1. Деформационный расчет методом последовательных
приближений ………………………………………………………...
4.2.2. Деформационный расчет методом шагового
нагружения …………………………………………………………..
4.2.3. Учет геометрической нелинейности при расчете
конструкций МКЭ …………………………………………………...
Контрольные вопросы ……………………………………………………
Глава 5. Конструктивная нелинейность. Односторонние
связи ………………………………………………………………………
5.1. Основы расчета систем с односторонними связями ……………
5.1.1. Общие сведения о системах с односторонними связями ….
5.1.2. Особенности расчета систем с односторонними связями …
5.2. Решение конструктивно-нелинейных задач пошаговым
методом …………………………………………………………………
5.2.1. Расчет систем с идеальными односторонними связями …...
5.2.2. Расчет систем с односторонними связями и трением ……...
Контрольные вопросы ……………………………………………………
Рекомендуемая литература……………………………………………….
137
63
66
72
78
82
84
85
90
91
94
98
100
100
100
102
105
105
108
109
111
112
112
112
116
121
121
127
133
134
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
Учебное издание
Лукашевич Анатолий Анатольевич
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Учебное пособие
Редактор А. В. Афанасьева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 28.12.2016. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 8,1. Тираж 100 экз. Заказ 195. «С» 89.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, ул. Егорова, д. 5/8, лит. А.
138
139
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
140
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
981 Кб
Теги
nelineinye, lukashevich, zadachi, stroit
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа