close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Morozova Lin algebra Ch2

код для вставкиСкачать
Л. Е. МОРОЗОВА, О. Р. ПОЛЯКОВА
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Часть 2
1
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Л. Е. МОРОЗОВА, О. Р. ПОЛЯКОВА
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Часть 2
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
1
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
УДК 519.95 (075.8)
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. В. Б. Смирнова (СПбГАСУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент А. И. Шепелявый (СПбГУ)
Морозова, Л. Е.
Линейная алгебра. Часть 2: учеб. пособие / Л. Е. Морозова,
О. Р. Полякова; СПбГАСУ. – СПб., 2014. – 108 с.
ISBN 978-5-9227-0482-3
Приводится методика решения систем линейных уравнений методом
Гаусса. Вводится понятие о собственных числах, квадратичных формах.
Теоретическое изложение сопровождается большим количеством примеров. Приведены экономические примеры: анализ критерия продуктивности
балансовой модели, модели Леонтьева межотраслевой экономики, модели равновесных цен.
Пособие предназначено для самостоятельного изучения линейной алгебры студентами экономических специальностей.
Табл. 2. Ил. 4. Библиогр.: 9 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия.
1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ РЕШЕНИЕ
1.1. Cистемы линейных уравнений
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными
 a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1;
 a x + a x ++ a x = b ;
 21 1
22 2
2n n
2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm .
(1.1)
Здесь aij (i = 1 ÷ m, j = 1 ÷ n) – коэффициенты системы при неизвестных x1 , , xn ; bi – свободные члены, или правые части системы.
Матрица A = {aij } , состоящая из коэффициентов системы, носит название матрицы системы. Если к матрице добавим столбец
свободных членов, то получим расширенную матрицу
 a11 a12  a1n b1 


~  a21 a22  a2n b2 
A=
.
........................................ 


 am1 am 2  amn bm 
Матрицу-столбец свободных членов обозначим через В. Тогда
 b1 
0
 
 
0
 b2 
B =   . Если B =   , то система называется однородной.


 
 
0
 bm 
ISBN 978-5-9227-0482-3
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова, 2014
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет,
2014
2
Решением системы называется такая совокупность значений
x1 ,  , xn , при подстановке которой в систему (1.1) все уравнения системы обращаются в тождество.
3
1. Системы линейных уравнений и их решение
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение, и несовместной, если решения системы не существует.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений несколько.
Две системы с одним и тем же набором неизвестных называются равносильными в двух случаях:
1) каждое решение первой системы является решением второй,
и наоборот;
2) обе системы несовместны.
Равносильные системы должны иметь одинаковый набор неизвестных, но число уравнений может не совпадать.
Пример 2.1. Решить систему уравнений
= 4;
 2 x1 − x2

 5 x1 + 3 x2 − 6 x3 = 4;
− x − 2 x + 3x = 1.
2
3
 1
Решение. Сначала найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов заданной системы
 2 −1 0 


A= 5
3 − 6.
 −1 − 2 3 


1.2. Матричная запись системы уравнений
Вычислим определитель матрицы A:
Обозначим через Х матрицу-столбец неизвестных:
2 −1 0
∆= 5
3 − 6 = 18 − 6 + 15 − 24 = 3 .
−1 − 2 3
 x1 
 
X =   .
x 
 n
Тогда
AX = B
Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы A:
(2.1)
есть матричная запись системы линейных уравнений (1.1). Если m = n ,
т. е. число уравнений равно числу неизвестных, то матрица A – квадратная. Для систем с квадратной неособенной матрицей можно искать решение в матричном виде. Умножим обе части матричного равенства (2.1) на A−1 слева:
A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1B ,
−1
и так как A ⋅ A = E и E ⋅ X = X , то получим решение системы в виде
−1
X = A ⋅ B.
(2.2)
A11 = ( −1)1+1
3 −6
A21 = ( −1) 2 +1
= −3,
−2
3
5 −6
A12 = (−1)1+ 2
= −9,
−1
3
A13 = ( −1)1+ 3
5
3
−1 − 2
A22 = ( −1)
−1
A31 = ( −1) 3 +1
0
3 −6
2
0
A32 = ( −1) 3 + 2
A33 = ( −1) 3 + 3
4
−2 3
0
2+ 2 2
A23 = ( −1) 2 + 3
= −7,
5 −6
2 −1
5
5
3
= 6,
= 12,
= 11.
−1 0
= 3,
−1 3
2
−1
−1 − 2
= 6,
= 5,
1. Системы линейных уравнений и их решение
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Составим союзную матрицу C :
В левой части (3.2) поменяем порядок суммирования. Тогда левая
часть равна
−3 3 6 


C =  − 9 6 12  .
 − 7 5 11 



 − 3 3 6   −1


1
1
−1
Тогда A = C =  − 9 6 12  =  − 3
 7
3
∆

 − 7 5 11  −
 3
Так
как
столбец
 −1

−1
X = A B =  −3
 7
−
 3
1
2
5
3
n
членов
Правая часть равенства (3.2) на основании теоремы замещения
равна тому определителю, который получается из исходного путем
замены j -го столбца на столбец свободных членов. Обозначим егоо
 4
 
B =  4 ,
 1
 
через ∆ j . Тогда
то
о
Пусть система имеет неособенную матрицу, т. е. det( A) = ∆ ≠ 0 .
Систему уравнений (1.1) можно записать таким образом:
n
∑ aik xk = bi , i = 1 ÷ n.
k =1
(3.1)
Умножим обе части (3.1) на алгебраическое дополнение столбца номер j и просуммируем:
n
∑ Aij ∑ aik xk = ∑ Aij bi .
=
i =1
k 1 =i 1
6
(3.3)
откуда получаем, что
∆j
∆
.
(3.4)
Так как формулы (3.3) дают единственную совокупность решения, то решение системы (3.1) с квадратной невырожденной матрицей единственно. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1 (Крамера). Если определитель ∆ системы с квадратной матрицей не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находим по формулам (3.4) для всех j = 1, 2,  , n .
Формулы (3.4) называют формулами Крамера.
1.3. Системы с неособенной квадратной матрицей.
Формулы Крамера
n
xj ⋅∆ = ∆ j,
xj =
x3 = 1.
n
∆, если k = j (по теореме разложения);
=
 0, если k ≠ j (по теореме аннулирования);
= x1 ⋅ 0 + x2 ⋅ 0 +  + x j ⋅ ∆ +  + xn ⋅ 0 = x j ⋅ ∆.
2   4   2 
   
4  ⋅  4  =  0 .
11     
  1  1 
3
Ответ: x1 = 2; x2 = 0;
n
=
k =1 i 1 =
k 1
1 2 
2 4 .
5 11 

3 3
свободных
n
∑ xk ∑ aik Aij = ∑ xk 
Пример 3.1. По формулам Крамера решить систему уравнений
= 4;
 2 x1 − x2

 5 x1 + 3 x2 − 6 x3 = 4;
− x − 2 x + 3x = 1.
2
3
 1
Решение. Определитель матрицы системы ∆ = 3 (найден в примере 2.1). Найдем ∆ i , i = 1 ÷ 3 .
(3.2)
7
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
4
−1
0
4
7 − 12
∆1 = 4
3 − 6 = 4 11 − 18 = 1(− 1)
1 −2
3
1 0
0
3 +1
7 − 12
=
11 − 18
(2) +
(− 3) +
= −6
7
2
11 3
2 4
= −6 (7 ⋅ 3 − 11 ⋅ 2) = 6.
6 − 12
∆ 2 = 5 4 − 6 = 9 4 − 18 = 1(−1)3+ 2
=
9 − 18
−1 1
0
3 0 1
= (− 1) ⋅ 3(− 6) ⋅
2 2
3
3
= 18 ⋅ (6 − 6) = 0.
2 −1 4
6 7 4
6 7
∆3 = 5
3 4 = 9 11 4 = 1 ⋅ (− 1)3+ 3
= 66 − 63 = 3.
9 11
−1 − 2 1
0 0 1
Тогда x1 =
∆1 6
= = 2;
∆ 3
x2 =
∆2 0
= = 0;
∆ 3
x3 =
Теорема 3.2. Для того чтобы однородная система с квадратной матрицей имела ненулевые решения, необходимо и достаточно
равенство нулю ее определителя.
Заметим, что формулы Крамера для нахождения решений применимы только для систем с квадратной матрицей и при больших
значениях n приводят к трудоемкому процессу вычисления определителей высокого порядка.
1.4. Системы уравнений в базисной форме
6 4 − 12
0
1. Системы линейных уравнений и их решение
∆3 3
= = 1.
∆ 3
Ответ: x1 = 2; x2 = 0; x3 = 1.
Из доказательства теоремы Крамера вытекает важное следствие
для однородных систем с квадратной матрицей. Пусть в системе (3.1)
все правые части равны 0. Тогда все определители ∆ j = 0 , так как
имеют нулевой столбец. Тогда из формулы (3.3) следует, что
Рассмотрим произвольную систему
 a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 ;
 a x + a x ++ a x = b ;
 21 1
22 2
2n n
2
















 am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm ,
(4.1)
когда m ≠ n .
Для нахождения общего метода исследования и решения такой
системы введем в рассмотрение ее частный случай. Система вида
 x1

 x2




+ a1, r +1 xr +1 +  + a1n xn = b1 ;
+ a2, r +1 xr +1 +  + a2 n xn = b2 ;

xr + ar , r +1 xr +1 +  + arn xn = br
(4.2)
xj ⋅∆ = 0
называется системой в базисной форме.
Неизвестные xr +1, xr + 2 , , xn называются свободными,
для всех j = 1 ÷ n . И если хотя бы одно значение в совокупности x j
отлично от 0 (т. е. система имеет ненулевое решение), то это может
быть только тогда, когда определитель системы ∆ = 0 . Заметим, чтоо
однородная система всегда имеет очевидное нулевое решение. О наличии других решений ответ дает следующая теорема.
а x1, x2 , , xr – несвободными, или базисными, неизвестными. Выбор базисных и свободных переменных может быть различным
в общем случае.
Перенесем все свободные неизвестные в правые части уравнений системы (4.2). Тогда получим
8
9
1. Системы линейных уравнений и их решение
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
 x1 = b1 − a1, r +1xr +1 −  − a1n xn ;

 x2 = b2 − a2, r +1 xr +1 −  − a2 n xn ;


 xr = br − ar , r +1 xr +1 −  − arn xn .

Совокупность n значений неизвестных x1 , x2 , , xn , связанных
(4.3)
Если свободным неизвестным xr +1 , xr + 2 , , xn придать конкретные числовые значения, то по формулам (4.3) можно вычислить базисные неизвестные. Таким образом, базисная система (4.2) всегда
имеет решение. Причем возможны следующие варианты:
м
1. r = n , т. е. число уравнений равно числу неизвестных. В этом
случае все переменные базисные. Система имеет вид
= b1 ;
 x1
 x
= b2 ;

2




xn = bn
соотношениями (4.3), где неизвестные xr +1 , xr + 2 , , xn могут принимать любые числовые значения, называется общим решением системы (4.2), или решением в базисной форме. Частным решением называется всякое решение, полученное из общего при конкретных
числовых значениях свободных неизвестных.
Вывод. Система с базисом всегда совместна. При этом она определенная, если все ее неизвестные базисные, и неопределенная, если
кроме базисных неизвестных есть хотя бы одна свободная.
Система (4.1) имеет решение в том и только в том случае, когда
ее можно записать в базисной форме (4.2), где r ≤ m .
1.5. Метод Гаусса
имеет бесконечно много решений, так как при каждом числовом наборе свободных неизвестных базисные неизвестные получают определенные значения по формулам (4.3).
Рассмотрим теперь общий метод исследования и решения систем вида (4.1), который называется методом Гаусса. Он заключается
в том, чтобы преобразовать эту систему к равносильной системе
с базисом, для которой вопрос о решениях рассмотрен в предыдущем подразд. 1.4.
Метод Гаусса сводится к последовательному исключению неизвестных и основан на применении элементарных преобразований
системы, которые приводят к равносильной системе. К элементарным преобразованиям системы уравнений относятся:
1) обмен местами уравнений в системе;
2) умножение уравнения на постоянное число, отличное от нуля;
3) прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного
предварительно на произвольное число;
4) отбрасывание или добавление уравнения вида 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 
+ 0 ⋅ xn = 0 (такое уравнение назовем лишним уравнением).
Уравнение вида 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 +  + 0 ⋅ xn = b , где b ≠ 0 , назовем
ем
противоречивым уравнением. Если в результате элементарных преобразований получилось противоречивое уравнение, то система несовместна.
Для простоты записи вместо всей системы уравнений (4.1) будем записывать только расширенную матрицу коэффициентов, отделяя вертикальной чертой столбец правых частей,
10
11
и является определенной, так как имеет единственное, очевидное
решение. Матрицей такой системы является единичная матрица
1 0  0


0 1  0
E =
.
.....................


0 0  1
2. r < n . Тогда система с расширенной матрицей вида
 1 0  0 a1, r +1  a1n

 0 1  0 a2, r +1  a2 n
 ..................................................

0 0  1 a
r , r +1  arn

b1 

b2 
⋅ 

br 
(4.4)
1. Системы линейных уравнений и их решение
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
 a11 a12  a1n b1 


 a21 a22  a2n b2 
 ................................ ⋅  .


 am1 am 2  amn bm 
(5.1)
Элементарные преобразования для равносильных систем порождают допустимые преобразования для матриц. Таким образом, в матрице можно:
1) менять местами строки;
2) умножать любую строку на число, отличное от нуля;
3) прибавлять к строке любую другую строку, умноженную на
любое число;
4) отбрасывать нулевую строку (0 0 0 ), т. е. строку коэффициентов лишнего уравнения. Такую строку будем называть лишней.
ть выПолучение строки вида (0 0 b ), где b ≠ 0 , позволяет сделать
вод о несовместности системы. Назовем такую строку противоречивой.
Универсальный метод Гаусса имеет несколько вычислительных
схем. Рассмотрим здесь схему единственного деления. Ее идея заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований
привести матрицу (5.1) к виду
 1 0  0 a1, r +1  a1n b1 


 0 1  0 a2, r +1  a2 n b2 
 .................................................. ⋅ 


0 0  1 a
br 
r , r +1  arn

(5.2)
1-й шаг. Назовем элемент в левом верхнем углу матрицы ведущим,
а строку (столбец), содержащую ведущий элемент, ведущей строкой
(столбцом). Преобразуем матрицу так, чтобы ведущий элемент равнялся 1. Если в левом столбце есть 1, то меняем местами строки. Если нет,
то меняем строки так, чтобы ведущий элемент был отличен от нуля,
и делим ведущую строку на ведущий элемент. Получаем матрицу
 1 aˆ12  aˆ1n bˆ1 


 c21 c22  c2 n d 2 
 ................................
.
⋅ 

c

 m1 cm 2  cmn d m 
2-й шаг – «размножение нулей» в ведущем столбце под ведущим элементом, равным 1. Для этого к каждой i-й строке прибавляем
ведущую строку, предварительно умноженную на первый элемент
i-й строки, взятый с противоположным знаком. Например, умножаем
первую строку на число ( − c21 ) и складываем со второй строкой.
Получаем:
(−c21 ) ⋅  1 aˆ12  aˆ1n bˆ1 


+  c21 c22  c2n d 2 
 ................................
≅







c

c
c
d

 m1 m 2
mn
m

 1

aˆ12
aˆ1n
bˆ1


 0 c 22 − c 21aˆ12  c 2n − c 21aˆ1n d 2 − c 21bˆ1 
≅

      .
 .............................................................

c
cm2

c mn
dm

 m1
или получить противоречивую строку (0 0 b ), где b ≠ 0 , т. е. убедиться в том, что система несовместна. Если противоречий не получено,
то система совместная и можно искать ее решения. Метод состоит из
двух этапов.
Первый этап – это так называемый «прямой ход». Его цель –
преобразовать матрицу к такому виду, когда на главной диагонали стоят 1,
а под главной диагональю – 0. Для этого последовательно выполняем
следующие шаги.
Если в ходе этих преобразований получили нулевую строку, то
ее следует отбросить. Если получена противоречивая строка, то система решений не имеет. Если противоречий нет, то в результате получим матрицу, в которой, возможно, будет меньше строк, чем в исходной. Она имеет вид
12
13
1. Системы линейных уравнений и их решение
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
1

0


0

aˆ12  aˆ1n
cˆ22  cˆ2n
......................
  
cˆr 2  cˆrn
матрица вида (4.4) или единичная матрица. Решение системы с такой
матрицей рассмотрено в подразд. 1.4.
Несложным оказывается решение систем и с матрицей вида (5.3)
или (5.4), которые получаются в результате «прямого хода». Решаем
такую систему, начиная с последнего уравнения и подставляя найденные неизвестные в предыдущие уравнения.
bˆ1 
dˆ 2 
,

dˆ r 
где r ≤ m .
3-й шаг. Мысленно отделим строку и столбец, содержащие ведущий элемент. В них «прямой ход» завершен. В оставшейся внутри
пунктирных линий матрице снова выделим ведущий элемент и повторим всю процедуру, начиная с 1-го шага.
Если новый ведущий элемент и все элементы под ним – нули, то
можно поменять местами столбцы всей матрицы так, чтобы новый
ведущий элемент был равен 1 или, по крайней мере, был отличен от
нуля. Это всегда можно сделать (иначе ведущая строка либо лишняя,
либо противоречивая). Однако это приводит к замене переменных,
которую следует обязательно пометить в схеме.
Получаем матрицу
 1 aˆ
ˆ
aˆ1,r +1  aˆ1n bˆ1 
12  a1r

0
1  aˆ 2 r aˆ 2,r +1  aˆ 2 n bˆ2 


(5.3)
...........................................................
  

  ,

0
0  1 aˆ r ,r +1  aˆ rn bˆr 

если r < n , или при r = n матрицу
 1 aˆ12  aˆ1n

0
1  aˆ 2 n
 ..............................
   
0
0  1

bˆ1 
bˆ2 

.
bˆn 
(5.4)
Второй этап – «обратный ход». На этом этапе размножают нули
над главной диагональю матриц (5.3) или (5.4), продвигаясь вдоль
нее в обратном направлении: вверх и влево. При этом получается
14
Пример 5.1. Решить методом Гаусса систему уравнений
− x3 = 4;
3x1
 2 x + x − 3x = 7;
 1 2
3

 3x1 − x2 + 2 x3 = − 1;
 x1 − x2 + 2 x3 = − 3.
Решение. Выпишем расширенную матрицу коэффициентов заданной системы уравнений и начнем «прямой ход»: переставим четвертую строку на место первой строки и выделим ведущий элемент.
4
2 − 3
 3 0 −1
 1 −1




1 −3
7
3 0 −1
4
2

≅
≅
 3 −1
2 − 1
2
1 −3
7




2 − 3
2 − 1
 1 −1
 3 −1
Первый шаг завершен.
Затем под ведущей единицей размножим нули. Для этого проделаем следующие операции. Умножим первую строку на (–3) и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на (–2) и прибавим
к третьей строке. Умножим первую строку на (–3) и прибавим к четвертой строке.
(−3) ⋅ ( −3) ⋅  1 − 1
2 − 3  ⋅ ( −2)


+  3 0 −1
4 +
≅
≅
2
+
1 −3
7


2 − 1
 3 −1
15
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Получим
2 − 3
 1 −1


0
3 − 7 13 

≅ 
≅
0
3 − 7 13 


8
0 2 − 4
Второй шаг завершен. Мысленно отбросим первую строку и первый
столбец – это третий шаг. В оставшейся внутри пунктирных линий
матрице снова начнем с первого шага. Вторую строку поделим на 3.
Выделим ведущий элемент.
2 − 3
 1 −1
2 − 3
 1 −1


 1
7 13 
1 −
3 − 7 13   
0

0
3 3 ≅
≅ 
⋅
≅
3




0
3 − 7 13
3 − 7 13 
0



8
8 
0 2 − 4
0 2 − 4
Размножим нули под ведущей единицей. Для этого умножим вторую
строку на (–3) и прибавим к третьей строке. Умножим вторую строку
на (–2) и прибавим к четвертой строке.
2
 1 −1

7
1 −
0
3
≅ 
0
3
−
7

0 2 − 4

2 − 3
 1 −1
− 3

7 13 
13 
1 −
0

 ⋅ (− 3) ⋅ (−2)
3
3 ≅
3
≅ 
0
0
13  +
0 0
2
2
0 0
− 
8  +

3
3
В полученной матрице отбросим лишнюю нулевую строку. Последнюю строку поделим на
2
. Получим
3
2 − 3
 1 −1

7 13 
≅ 0
1 −
.
3 3

1 − 1
0 0
16
1. Системы линейных уравнений и их решение
«Прямой ход» завершен.
«Обратный ход»: полученную расширенную матрицу запишем
в виде системы уравнений
 x1 − x2 + 2 x3 = −3;

7
13
x2 − x3 = ;

3
3

x
=
−
1.
3

Будем решать эту систему, начиная с последнего уравнения. Значение x3 из последнего уравнения системы подставим во второе урав-
7
13
нение: x2 − (−1) = . Получим x2 = 2 . Теперь найденные значения
3
3
переменных x3 , x2 подставим в первое уравнение для нахождения x1 .
Тогда x1 − 2 + 2(−1) = −3 и x1 = −3 + 2 + 2 = 1. Найденные значения неизвестных x1 = 1; x2 = 2; x3 = −1 подставим в заданную систему
уравнений, чтобы убедиться в правильности решения.
Проверка
− (−1) = 4, 4 ≡ 4;
3 ⋅ 1
2 ⋅1 + 2 − 3 ⋅ (−1) = 7, 7 ≡ 7;


3 ⋅ 1 − 2 + 2 ⋅ (−1) = − 1, − 1 ≡ −1;
 1 − 2 + 2 ⋅ (−1) = − 3, − 3 ≡ −3.
Заметим здесь, что жестко фиксированную последовательность
шагов, удобную при реализации алгоритма вычисления на компьютере, можно не соблюдать при вычислениях вручную. Например, возможна такая последовательность вычислений:
4
(−3) ⋅ (−3) ⋅  1 − 1
2 − 3  ⋅ (−2)
 3 0 −1




1 −3
7
+  3 0 −1
4 +
2
≅
≅
 3 −1
2
2 − 1
+
1 −3
7




2 − 3 
2 − 1
 1 −1
 3 −1
17
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2 − 3
 1 −1


0
3 − 7 13  ⋅ (− 1)

≅ 
≅
0
3 − 7 13  +


8  ⋅1 2
0 2 − 4
2 − 3
 1 −1


3 − 7 13 
0
≅
0 0
0
0


1 −2
4 
0
2 − 3
2 − 3
 1 −1
 1 −1




≅ 0
1 −2
4  ⋅ (−3) ≅  0
1 −2
4
≅
+
0



3 − 7 13 
1 ⋅ (−1)

0 0 −1
2 − 3
 1 −1


≅ 0
1 −2
4
.
0

0
1
−
1


Обратный ход можно также записать в матричной форме. Для этого
размножают нули над 1, начиная с нижнего правого угла и перемещаясь вдоль главной диагонали вверх.
2 − 3
 1 −1
 1 − 1 0 − 1



+
≅ 0
1 −2
4 + +
1 0 2
0
0 0
1 − 1 ⋅ (2) ⋅ (−2)  0 0 1 − 1

≅
1
1 0 0


≅ 0 1 0
2 .
 0 0 1 − 1


Вид полученной матрицы позволяет сделать вывод о том, что
заданная в этом примере система совместна и определенна.
Ответ: x1 = 1; x2 = 2; x3 = −1.
Приведем теперь пример несовместной системы.
 x1 + 2 x2 = 2;

Пример 5.2. Решить систему  2 x1 − 3 x2 = 1;
3x + 5 x = 4.
2
 1
18
1. Системы линейных уравнений и их решение
Решение. Выпишем расширенную матрицу этой системы.
В левом верхнем ее углу на месте ведущего элемента стоит 1. Для
«размножения нулей» под ведущей 1 умножим первую строку на (−2)
и прибавим ко второй строке. Затем умножим первую строку на (−3)
и прибавим к третьей строке. Получим:
(−3) ⋅ (−2) ⋅  1
2 2  1 2
2  1 2
2

 
 

+
+  2 − 3 1 ≅  0
1 − 3 ≅  0 1 − 3 .
3
5 4   0 − 1 − 2   0 0 − 1

Размножив нули в первом столбце, мы мысленно отбросили первую строку и первый столбец и продолжили прямой ход в матрице,
расположенной внутри пунктирной линии. Вторую строку прибавили к третьей строке. В результате этих преобразований получена противоречивая строка
0
0 − 1,
а следовательно, система несовместна и решения не имеет.
Ответ: нет решения.
Следует отметить, что с помощью схемы Гаусса можно решать
одновременно несколько систем с одинаковыми левыми частями
и различными правыми. Приведем такой пример.
Пример 5.3. Решить одновременно две системы с одинаковыми
левыми частями и различными правыми
 2 x1 − x2 + x3 = 1;

3 x1 + 2 x2 − x3 = 4;
 4 x − 3 x + 2 x = 2;
2
3
 1
 2 x1 − x2 + x3 = 2;

3 x1 + 2 x2 − x3 = 9;
 4 x − 3 x + 2 x = 3.
2
3
 1
Решение. «Прямой ход». Запишем расширенную матрицу коэффициентов, отделив столбцы правых частей каждой системы вертикальной чертой. Поделим первое уравнение на 2. Затем умножим
первое уравнение на (–3) и прибавим ко второму уравнению. Умножим первое уравнение на (–4) и прибавим к третьему уравнению.
Таким образом
19
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
1 1 1


 2 − 1 1 1 2  ⋅ 1 2  1 − 2 2 2 1 ⋅ (− 3)(− 4 )




2 −1 4 9
≅ 3
2 −1 4 9 +
+ ≅
3
 4 − 3 2 2 3
 4 − 3 2 2 3






Умножим третью строку на (–1) и поменяем местами со второй стро-
 7
кой. Затем умножим вторую строку на  −  и прибавим к третьей
 2
строке.
1
1 − 1

2
2

7
5
≅ 0
−

2
2
0
0 −1


1
1
1 − 1 1
2


2 2
5

6
≅ 0 1
0

2
7
5
0
−
0 − 1 ⋅ (− 1)

2
2



1
1 
2
7

0 1  ⋅  −  ≅
 2
5
6  +
2

 5
Третью строку поделим на  −  .
 2
1
1

1 −
2
2

1
0
≅ 0
5
0
0 −

2

1
1 1 1



1
1
1 −
2
2 2 2



0 1
1 0 0
1
≅ 0
.
5 5  2 
0
0 1 − 1 − 1
⋅
−




2 2  5 

«Прямой ход» завершен.
«Обратный ход»: решим обе системы, начиная с последнего
уравнения и последовательно подставляя найденные значения в предыдущие уравнения.
1. Системы линейных уравнений и их решение
Решение первой системы:
Решение второй системы:

 x3 = −1;

 x 2 = 0;

1
1
1
 x1 − x 2 + x3 = ;

2
2
2
1 1
1
x1 = + ⋅ 0 − (− 1) =
2 2
2
1 1
= + = 1.
2 2
 x1 = 1;

Ответ:  x2 = 0;
 x = −1;
 3

 x3 = −1;

 x 2 = 1;

1
1
 x1 − x 2 + x3 = 1;

2
2
1
1
x1 = 1 + ⋅ 1 − (− 1) =
2
2
1 1
= 1 + + = 2.
2 2
 x1 = 2;

 x2 = 1;
 x = −1.
 3
Проверка
 2 ⋅1 − 0 + (−1) = 1;

 3 ⋅1 + 0 − (−1) = 4;
4 ⋅1 − 0 + 2 ⋅ (−1) = 2;

1 ≡ 1;
2 ⋅ 2 − 1 + (−1) = 2;


 3 ⋅ 2 + 2 ⋅1 − ( −1) = 9;
4 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( −1) = 3;

4 ≡ 4;
2 ≡ 2;
9 ≡ 9;
3 ≡ 3.
1.6. Нахождение решения в базисной форме
Схема Гаусса позволяет на первом этапе определить, является
ли система совместной. И если система совместна (нет противоречивых строк), то по виду матрицы в конце «прямого хода» можно судить о том, является ли она определенной (квадратная матрица) или
неопределенной (число строк меньше, чем число столбцов).
Пример 6.1. Методом Гаусса решить систему
 x1 − x2 − 2 x3 = 3;

=5
2 x1 − 3x2
и представить ее решение в базисной форме.
20
2 ≡ 2;
21
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и выполним первый этап схемы Гаусса – «прямой ход». Умножим первую
строку на (–2) и прибавим ко второй строке. Затем вторую строку
умножим на (–1).
3
 1 − 1 − 2 3  ⋅ ( − 2)  1 − 1 − 2
 1 − 1 − 2 3
.


≅ 

≅ 
0 5 + ↵  0 −1
4 − 1 ⋅ ( −1)  0
1 − 4 1
2 −3
«Прямой ход» завершен. Число строк меньше, чем число столбцов, а значит, система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
«Обратный ход». Выпишем теперь эквивалентную систему с
новой матрицей.
 x1 − x2 − 2 x3 = 3;

x2 − 4 x3 = 1.

Перенесем слагаемые с переменной x3 в правую часть равенств.
Получим
 x1 − x2 = 2 x3 + 3;

x2 = 4 x3 + 1.

Подставляя значение x2 из последнего уравнения в предыдущее, получим
x1 − (4 x3 + 1) = 2 x3 + 3
и
x1 = 6 x3 + 4 .
Следовательно, решением системы является совокупность
 x1 = 6 x3 + 4;

 x2 = 4 x3 + 1;
x ∈ R ,
 3
где x3 – свободная переменная, а x1, x2 – базисные переменные.
22
1. Системы линейных уравнений и их решение
 x1 = 6 x3 + 4;
Ответ:  x2 = 4 x3 + 1;
x ∈ R .
 3
Проверка
 6 x3 + 4 − (4 x3 + 1) − 2 x3 = 3,

= 5,
2(6 x3 + 4) − 3(4 x3 + 1)
3 ≡ 3;
5 ≡ 5.
Пример 6.2. Методом Гаусса решить однородную систему
 x1 − x2 − 2 x3 = 0;

=0
2 x1 − 3x2
и представить ее решение в базисной форме.
Решение. Для однородной системы столбец свободных членов
нулевой, поэтому выписывают не расширенную, а обычную матрицу
системы.
«Прямой ход»: умножим первую строку на (−2) и прибавим ко
о
второй строке. Затем вторую строку умножим на (−1) . Тогда
 1 − 1 − 2  ⋅ ( −2)  1 − 1 − 2 
 1 −1 − 2
≅ 

≅ 


.
0 + ↵  0 −1
4  ⋅ ( −1)  0
1 − 4 
2 − 3
«Прямой ход» завершен.
«Обратный ход»: перейдем от матрицы к системе
 x1 − x2 − 2 x3 = 0;

x2 − 4 x3 = 0.

Перенесем переменную x3 в правую часть каждого уравнения.
Получим
 x1 − x2 = 2 x3 ;

x2 = 4 x3 .

23
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Подставим значение x2 из второго уравнения в первое. Тогда
 x1 − 4 x3 = 2 x3 ;

x2 = 4 x3 ,

1. Системы линейных уравнений и их решение
A⋅ A
−1
 a11  a1n    x1 

 

= .....................  ⋅ .................... =
a
 

 n1  ann    xn 
↑
столбец
номер j
или
 x1 = 6 x3 ;

 x2 = 4 x3 ,
где x3 – свободная переменная, x1 , x2 – базисные переменные.
 x1 = 6 x3 ;

x 4x ;
Ответ:  2 = 3
x ∈ R .
 3
Проверка
Подставим найденное решение в исходную систему. Получим
6 x3 − 4 x3 − 2 x3 = 0;


= 0.
2(6 x3 ) − 3(4 x3 )
Тогда имеем
0 ≡ 0;

0 ≡ 0.
1.7. Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса
Пусть A – неособенная квадратная матрица. Тогда для нее суще-
 x1 
 
j
−1
ствует обратная матрица A . Обозначим через X =    столбец
ец
x 
 n
номер j обратной матрицы A−1 . По определению
24
1 . 0  0
.
.
.

.
 ..........................
 0 . 1  0  ← строка номер j
= E.
=

..........................


0 . 0  1


↑
столбец
номер j
Отсюда для нахождения j -го столбца обратной матрицы A−1
необходимо решить систему
0
 
 
  ← строка номер j
j
A ⋅ X = 1.

 
0
 
(7.1)
Для нахождения всей матрицы A−1 необходимо решить n систем вида (7.1) с одинаковыми левыми частями и различными правыми, состоящими из нулей и одной единицы в j -й строке.
Таким образом, расширенная матрица имеет вид
 a11  a1n 1  0 


( A E ) = ...................... ................ .
a

 n1  ann 0  1 
25
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
С помощью элементарных преобразований метода Гаусса ее следует
привести к виду
(E
)
A−1 .
1. Системы линейных уравнений и их решение
1
0 0 +
1 0 0
1 −2 0
1 −2 0




1 0 − 7 2 − 3 2 1 ⋅ 2 ≅
1 1 1 2 1 2 0 + ≅  0
0
0
0 1
4
2 − 1
0 1 4
2 − 1 ⋅ (−1)  0

Пример 7.1. Методом Гаусса найти матрицу, обратную матрице
 1 − 2 0


A =  −1
4 2  . Используя найденную обратную матрицу, решить
 2
0 3 

систему
= −1;
 x1 − 2 x2

 − x1 + 4 x2 + 2 x3 = 3;
2 x +
3 x3 = 2.
 1
ход».
−6
− 3 2
1 0 0


≅ 0 1 0 − 7 2 − 3 2
1.
0 0 1
4
2 − 1

«Обратный ход» завершен. Слева от черты стоит единичная матрица. Обратная матрица находится в правой части расширенной матрицы за вертикальной чертой. Таким образом,
A
Решение. Составим расширенную матрицу и выполним «прямой
1 0 0
 1 − 2 0 1 0 0  ⋅ ( −2)  1 − 2 0




+  −1
4 2 0 1 0 + ≅ 0
2 2
1 1 0  ⋅1 2 ≅
 2
0
0 3 0 0 1
4 3 − 2 0 1


1
0 0
0
1
0 0
1 −2 0
1 −2




≅ 0
1 1 1 2 1 2 0  ⋅ ( −4 ) ≅  0
1
1 1 2 1 2 0
≅
0



4 3 −2
0 1 + ↵
0 − 1 − 4 − 2 1 ⋅ ( −1)

0
1
0 0
1 −2 0


≅ 0
1 1 1 2 1 2 0 .
0
0 1
4
2 − 1

«Прямой ход» завершен. «Обратный ход» выполним также в матричном виде. Умножим третью строку на (–1) и прибавим ко второй строке. Затем вторую строку умножим на 2 и прибавим к первой строке.
26
−1
2
−3
 −6


=  − 7 2 − 3 2 1 .
 4
2
− 1

Решим теперь заданную систему в матричном виде по формуле
(2.2):
2   − 1  1 
−3
 −6

   
X = A B =  − 7 2 − 3 2 1   3  = 1.
 4
2
− 1  2   0 

−1
Ответ: x1 = 1; x2 = 1; x3 = 0.
Проверка
Подставим найденное решение в исходную систему
= −1;
 1 − 2 ⋅1

 − 1 + 4 ⋅1 + 2 ⋅ 0 = 3;
2 ⋅ 1 +
3⋅ 0 = 2

и вычислим левые части уравнений. Тогда имеем
− 1 ≡ −1;
 3 ≡ 3;

 2 ≡ 2.
27
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
1. Системы линейных уравнений и их решение
1.8. Ранг матрицы
Миноры второго порядка образуются двумя произвольными
строками и столбцами. Их тоже девять:
Ранг матрицы является одним из основных понятий при исследовании систем уравнений.
Пусть дана система линейных уравнений, содержащая m уравнений и n неизвестных
 a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 ;
 a x + a x + + a x = b ;
 21 1
22 2
2n n
2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm .
(8.1)
(8.2)
В матрице (8.2) выделим k произвольных строк и k произвольных столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу. Определитель такой матрицы будем называть минором k-го порядка матрицы А.
Минором k-го порядка могут служить как элемент матрицы, так
и любая квадратная матрица.
Перебирая значения k = 1, 2, …, l, где l – наименьшее из чисел m
и n, мы можем вычислить все миноры матрицы A.
Пример 8.1. Найти все миноры матрицы
 1 2 1


A =  2 4 2 .
 1 3 1


(8.3)
Решение. Вначале найдем все миноры первого порядка. Их ровно девять, и они совпадают с элементами матрицы:
1, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 3, 1.
28
1 1
= 0,
2 2
2 1
= 0,
4 2
1 2
= 1,
1 3
1 1
= 0,
1 1
2 1
= −1,
3 1
2 4
= 2,
1 3
2 2
= 0,
1 1
4 2
= − 2.
3 1
Наконец, минор третьего порядка – один, и он совпадает с определителем матрицы (8.3):
Матрица системы (8.1) имеет вид
 a11  a1n 


A = .......................  .
a

 m1  amn 
1 2
= 0,
2 4
1 2 1
1 2 1
2 4 2 = 2 ⋅ 1 2 1 = 0.
1 3 1
1 3 1
Рангом матрицы будем называть число, равное наибольшему
порядку миноров, отличных от нуля.
Условимся обозначать ранг матрицы через rang A или r (A) .
Очевидно, что 0 ≤ r ( A) ≤ l , где l – наименьшее из чисел m и n.
Поскольку в примере 8.1 минор третьего порядка оказался равным нулю и нашлись миноры второго порядка, отличные от нуля,
можно сделать вывод, что ранг матрицы (8.3) равен 2, т. е. r ( A) = 2.
Пример 8.2. Найти ранг матрицы
 1 2 1


A =  2 4 2.
 3 6 3


29
(8.4)
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
1. Системы линейных уравнений и их решение
Решение. Матрица A имеет ненулевые миноры первого порядка, поскольку элементы матрицы не равны нулю.
Вычислим миноры второго порядка:
К элементарным преобразованиям относятся следующие действия:
1) замена местами строк и столбцов матрицы;
2) умножение строки (столбца) на любое число, отличное от нуля;
3) прибавление к любой строке (столбцу) почленно любой другой строки (столбца).
Можно доказать, что указанные элементарные преобразования
не меняют ранга матрицы. Первое и второе утверждения очевидны.
Третье – доказывается на основании свойств 4 и 5 определителя.
Для вычисления ранга матрицы (8.2) воспользуемся цепочкой
элементарных преобразований и приведем матрицу A к виду
1 2
= 0,
2 4
1 1
= 0,
2 2
2 1
= 0,
4 2
1
2
1 1
3
6
= 0,
2 1
= 0,
6 3
2 2
= 0,
3 3
4 2
= 0,
6 3
= 0,
2 4
= 0,
3 6
3 3
а затем минор третьего порядка:
1 2 1
1 2 1
2 4 2 = 2 ⋅3⋅ 1 2 1 = 0.
3 6 3
1 2 1
Из определения ранга матрицы следует, что матрица (8.4) имеет
ранг равный единице, потому что обратились в нуль все миноры второго и третьего порядка.
Пример 8.3. Найти ранг матрицы
 0 0 0.
A = 

 0 0 0
Решение. Матрица имеет только нулевые миноры первого и второго порядка, из чего следует, что r ( A) = 0 .
Если ранг матрицы равен r, то все миноры порядка больше r
равны нулю и есть хотя бы один минор порядка r, отличный от нуля.
Вычисление ранга матрицы по определению, т. е. через вычисление всех соответствующих миноров, является процессом весьма
трудоемким. Поэтому рассмотрим другой способ вычисления ранга,
основанный на элементарных преобразованиях матриц.
30
 c11 c12 c13 ... c1r ... c1n 


 0 c22 c23 ... c2 r ... c2 n 
 0
0 c33 ... c3r ... c3n 
.

 .................................................. 
 0
0
0 ... сrr ... сrn 


 0
0
0 ... 0 ... 0 

(8.5)
В матрице (8.5) на главной диагонали стоят ненулевые элементы сii . Элементы матрицы левее главной диагонали и под ней равны
нулю. При таком представлении матрицы мы можем утверждать, что
ее ранг равен r.
Итак, rang A = r , т. е. ранг равен числу ненулевых элементов,
стоящих на главной диагонали.
Пример 8.4. Найти ранг матрицы
 2 1 4 −2 


12  .
6 3 6
10 5 24 − 22 


Решение. Для вычисления ранга матрицы достаточно воспользоваться «прямым ходом» метода Гаусса. Разделим первую строку на 2.
31
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
1. Системы линейных уравнений и их решение
Затем умножим первую строку на (–6) и прибавим ко второй строке.
Умножим первую строку на (–10) и прибавим к третьей строке.
1.9. Условия совместности и определенности системы
линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли
1 
 2 1 4 − 2 ⋅ 2  1



12  ≅  6
6 3 6
10 5 24 − 22 
10



1
2
3
5
− 1  ⋅ (−6) ⋅ (−10)

6
12  +
≅
24 − 22  +

2
− 1
2
 1 0,5


≅ 0
0 −6
18  ≅
0
0
4 − 12 

Разделим вторую строку на (–6), а третью – на 4. Получим
 1 0,5 2 − 1 


≅  0 0 1 − 3  ⋅ (−1) ≅
 0 0 1 − 3 +


Вычтем из третьей строки вторую.
 1 0,5 2 − 1 


≅  0 0 1 − 3 ≅
0 0 0 0 


Поменяем местами второй и третий столбец.
 1 2 0,5 − 1 


≅  0 1 0 − 3
.
0 0 0

0


Из последнего выражения матрицы, содержащего две ненулевые строки с соответствующими ненулевыми элементами на главной
диагонали, заключаем, что ранг матрицы A равен двум. В приведённом примере мы пользовались методом Гаусса, но на последнем шаге
производили элементарные преобразования не только над строками,
но и столбцами.
32
Пусть дана система линейных уравнений с произвольной матрицей
 a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1;
 a x + a x ++ a x = b ;
 21 1
22 2
2n n
2

(9.1)
.......... .......... .......... .......... .......... ....
 am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm .
Системе (9.1) соответствует прямоугольная матрица
 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2 n 
A=
,
............................... 


 am1 am 2  amn 
(9.2)
и расширенная матрица
 a11 a12  a1n b1 


 a21 a22  a2 n b2 
B=
.
........................................ 
 am1 am 2  amn bm 
(9.3)
Заметим, что ранг матрицы A не может превышать ранга матрицы B.
В матрице B присутствуют все возможные миноры матрицы A,
но возможны также миноры, содержащие элементы столбца правых
частей из матрицы B. Таким образом, ранг матрицы B может быть
больше rang A , разве что на единицу..
Пример 9.1. Найти ранги простой и расширенной матрицы.
Выяснить, является ли совместной система
 x1 + x2 = 3;

2 x1 + 2 x2 = 5.
33
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Решение. Умножив первое уравнение на 2, имеем 2 x1 + 2 x2 = 6.
Поскольку это равенство противоречит второму уравнению системы,
можно сделать вывод, что система не имеет решения.
де
Исследуем теперь ранги матриц A и B , где
1 1
 1 1 3
 .
 ; В = 
A = 
 2 2 5
 2 2
Определитель матрицы A равен нулю, значит, ее ранг заведомо
меньше двух, т. е. r ( A) = 1 , так как матрица содержит ненулевые элементы.
Если обратиться к матрице B, то определитель
1 3
, состав2 5
ленный из элементов первого и третьего столбцов, в ноль не обращается. Следовательно, r ( B) = 2 .
Для данной системы мы получили несовпадение рангов простой
и расширенной матриц и одновременно несовместность исследуемой
системы.
Отметим, что ранг матрицы не может превышать числа неизвестных переменных в системе.
Теорема 9.1 Кронекера – Капелли (условие совместности).
Для того чтобы система (9.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранги матрицы (9.2) и расширенной матрицы (9.3)
совпадали, т. е.
rang A = rang B .
Теорема 9.2 Кронекера – Капелли (условие определенности).
Совместная система является определенной (имеет единственное
решение), если ранг матрицы A равен числу неизвестных:
rang A = n .
Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных
rang A < n ,
то система является неопределенной (имеет бесконечное множество решений).
34
1. Системы линейных уравнений и их решение
Рассмотрим теперь однородную систему
 a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = 0;
 a x + a x +  + a x = 0;
 21 1
22 2
2n n

.......... .......... .......... .......... .........
 am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = 0
(9.4)
с матрицей коэффициентов А.
Расширенная матрица В этой системы имеет нулевой столбец –
столбец правых частей, а значит, для нее rang A = rang B . По теореме 9.1
Кронекера – Капелли однородная система (9.4) всегда совместна. Действительно, она имеет очевидное нулевое решение. По теореме 9.2
Кронекера – Капелли нулевое решение будет единственным, если ранг
матрицы А системы (9.4) будет равен числу неизвестных n . Если жее
rang A < n , то система (9.4) будет неопределенной, т. е. будет иметь
бесконечное множество решений, среди которых только одно нулевое, а остальные – ненулевые решения. Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения.
Теорема 9.3. Однородная система (9.4) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы А меньше числа неизвестных:
rang A < n .
Следствие. Если число уравнений в однородной системе (9.4)
меньше числа неизвестных, то однородная система имеет ненулевые решения.
Отметим, что на практике ранг матрицы А и ранг расширенной
матрицы В произвольной системы (9.1) определяются автоматически в процессе решения системы методом Гаусса. В конце «прямого
хода» следует сосчитать количество единиц или отличных от нуля
чисел на всей главной диагонали (это rang B ) и до черты (это rang A ).
Затем следует дать ответ на вопрос о совместности и определенности системы на основании теоремы Кронекера – Капелли.
В примере 5.2 в конце «прямого хода» получили матрицу
2
1 2


 0 1 − 3 .
 0 0 − 1


35
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Тогда r ( A) = 2 , r ( B) = 3 , r ( A) ≠ r ( B ) . Значит, система, заданная в примере 5.2, несовместная.
1. Системы линейных уравнений и их решение
Тогда получим
 1 − 1,5 − 1,5 


≅ 0
1
2 .
0
0
0 

Пример 9.2. Найти ранги матрицы и расширенной матрицы
системы
 2 x1 − 3x 2 = −3;

 4 x1 + 9 x2 = 24;
7 x − 1,5 x = 7,5.
2
 1
Выяснить, является ли эта система совместной. Если да, то найти ее решения.
Решение. Запишем систему в матричном виде и совершим преобразования над строками, воспользовавшись методом Гаусса. Разделим первую строку на 2 и «размножим» нули под ведущей 1 в первом столбце. Для этого первую строку умножим на (–4) и прибавим
ко второй строке. Первую строку умножим на (–7) и прибавим к третьей строке.
1
 2 − 3 − 3  ⋅ 2  1 − 1,5 − 1,5  ⋅ (−4) ⋅ (−7)
+



≅
9
24  ≅  4
9
24  +
4
 7 − 1,5 7,5 
 7 − 1,5 7,5 




 1 − 1,5 − 1,5 


≅  0 15
30  .
0 9
18 

Разделим вторую строку на 15. Затем умножим вторую строку
на (–9) и прибавим к третьей строке.
 1 −1,5 −1,5
 1 −1,5 −1,5

 1 

2  ⋅ (−9) ≅
 0 15 30  ⋅ ≅  0 1
+
15 
0 9
18 
18 

0 9
36
Итак, нам необходимо сравнить ранги матрицы. Ясно, что
r ( A) = 2 . Для расширенной матрицы, содержащей нулевую строку,,
r ( B) = 2 . На основании первого утверждения теоремы Кронекера –
Капелли система является совместной. Согласно второму утверждению система является определенной, т. е., имеющей единственное
решение, поскольку ранг матрицы совпадает с числом неизвестных
в системе: n = 2 , r ( A) = 2 .
Найдем это решение, записав две первые строки преобразованной матрицы в виде системы уравнений
 x1 − 1,5 x2 = −1,5;

x2 = 2.

Отсюда x1 = −1,5 + 1,5 ⋅ 2 = 1,5 . Решение системы окончательно
 x1 = 1,5;
запишем в виде 
 x2 = 2.
Ответ: r ( A) = 2 ; r ( B) = 2 ; система совместная, определенная.
 x1 = 1,5;

 x2 = 2.
Проверка
 2 ⋅1,5 − 3 ⋅ 2 = −3;

 4 ⋅ 1,5 + 9 ⋅ 2 = 24;
 7 ⋅1,5 − 1,5 ⋅ 2 = 7,5;

37
3 ≡ 3;
24 ≡ 24;
7,5 ≡ 7,5.
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. КВАДРАТИЧНЫЕ
ФОРМЫ
рых определены операции сложения и умножения на скаляр, называются n-мерным арифметическим пространством.
Пусть a1; a2 ; ; ak – n -мерные векторы, а c1 , c2 ,, ck – скаляляры. С помощью правил (1.1) и (1.2) составим новый n-мерный вектор
2.1. Понятие об n-мерном арифметическом пространстве
и n-мерном векторе
Пусть задано n произвольных чисел x1 , x2 ,, xn .
Определение 1.1. Упорядоченную совокупность n чисел
x1 , x2 ,, xn назовем
м n-мерным вектором и обозначим a {x1 , x2 ,, xn }.
Числа x1 , x2 ,, xn назовем координатами вектора.
Введем алгебру n-мерных векторов. Пусть даны два вектора
a {x1, x2 ,, xn } и b {y1 , y2 , , yn }. Тогда по аналогии с геометрическим вектором положим:
1) два вектора равны, если равны соответствующие координаты, т. е. a = b тогда и только тогда, когда выполняются n-скалярных
равенств вида
Пример 1.1. Найти линейную комбинацию двух заданных векторов a1{1; 2; 3}; a2 {− 1; 2; 4} при заданных скалярах c1 = 2;
c2 = 3.
Решение. Составим вектор a по формуле (1.3), где k = 2 :
a = c1a1 + c2 a2 .
Координаты вектора a{xa ; ya ; z a } найдем по правилам (1.1)
y a = c1 y1 + c 2 y 2 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 = 10;
za = c1z1 + c2 z2 = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 = 18.
Таким образом, a = {− 1; 10; 18}.
(1.1)
4) произведением скаляра (числа) на вектор назовем вектор
(1.2)
Определение 1.2. Множество n-мерных векторов, для кото38
Вектор a называется линейной комбинацией векторов
a1 , a2 , , ak .
xa = c1 x1 + c2 x2 = 2 ⋅1 + 3 ⋅ (−1) = −1;
2) ноль-вектором называется вектор 0{0; 0;; 0};
3) суммой векторов назовем вектор
λ a = {λ x1; ; λ xn }.
(1.3)
и (1.2), полагая a1{x1; y1; z1} и a2{x2 ; y2 ; z2 } . Тогда получим:
 x1 = y1;

 
x = y ;
n
 n
a + b = {x1 + y1; x2 + y2 ;; xn + yn };
a = c1a1 + c2a2 +  + ck ak .
Пример 1.2. Найти линейную комбинацию x заданных векторов i1{1; 0; 0}; i2 {0; 1; 0}; i3 {0; 0; 1}, если в качестве постоянных множителей выбирают три произвольных числа
c1 = x1; c2 = x2 ; c3 = x3 .
Решение. Составим вектор x по формуле (1.3), где k = 3 :
x = c1i1 + c2i2 + c3i3 .
39
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Координаты вектора x найдем по правилам (1.1) и (1.2).
Поскольку
x = x1i1 + x2i2 + x3i3 ;
x1i1 = {x1; 0; 0} ;
x2i2 = {0; x2 ; 0} ;
то
x = {x1; x2 ; x3}.
Определение 2.1. Совокупность векторов x1, x2 ,..., xk называется линейно независимой системой векторов, если равенство вида
i1 = {1; 0;; 0};
(1.4)
Тогда любой вектор n-мерного пространства x = {x1;; xn } является их линейной комбинацией. Действительно, легко убедиться,
что x = x1 ⋅ i1 +  + xn ⋅ in . Система векторов (1.4) называется естественным базисом.
При n ≤ 3 арифметическое пространство имеет геометрическую
интерпретацию. Вектор – направленный отрезок прямой.
По аналогии с операциями над геометрическими векторами введем следующие операции.
Пусть даны два вектора a {x1 , x2 ,, xn } и b {y1 , y2 ,, yn }.
Определение 1.3. Скалярным произведением векторов
a {x1, x2 ,, xn } и b {y1 , y2 ,, yn } называется числоо (a , b ) , которое
определяется по формуле
(a , b ) = x1 y1 +  + x n y n .
(1.5)
Определение 1.4. Нормой вектора a {x1 , x2 ,, xn } называется
число a , которое определяется по формулее
40
Норма является обобщенным понятием длины n-мерного
вектора.
Пусть в n-мерном арифметическом пространстве имеется совокупность векторов x1, x2 ,..., xk .
Рассмотрим n векторов вида
.......... .......... .......
in = {0; 0;; 1}.
(1.6)
2.2. Линейная зависимость и линейная независимость
системы векторов
x3i3 = {0; 0; x1},
i2 = {0; 1;; 0};
a = (a , a ) = x12 +  + xn2 .
c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk = 0
(2.1)
выполняется только при нулевых значениях числовых параметров
c1 , c2 , c3 ,..., ck .
Если равенство (2.1) может быть выполнено при условии, что
хотя бы один из коэффициентов ci отличен от нуля, то такая системаа
векторов будет называться линейно зависимой.
Пример 2.1. Проверить линейную независимость векторов
x1{1; 0; 0}; x2 {0; 1; 0};
x3 {0; 0; 1}.
Решение. Составим равенство вида (2.1):
c1x1 + c2 x2 + c3 x3 = {c1, c2 , c3} = 0 .
Левая часть данного выражения может обращаться в нуль только при выполнении условия c1 = c2 = c3 = 0 , которое означает, чтоо
система является линейно независимой.
Пример 2.2. Будут ли векторы a1{2; − 4}; a2{1; − 2} линейно независимыми?
41
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Решение. Нетрудно проверить, что равенство c1a1 + c2 a2 = 0 верно при значениях c1 = 1 , c2 = −2 . Значит, данная система векторов
линейно зависима.
Теорема 2.1. Если система векторов является линейно зависимой, то любой вектор из этой системы может быть представлен
в виде линейной комбинации (или суперпозиции) остальных векторов
системы.
Доказательство. Предположим, что система векторов
x1, x2 , ..., xk линейно зависима. Тогда в силу определения, существует
набор чисел c1 , c2 , c3 ,..., ck , среди которых хотя бы одно число отлично от нуля, и при этом справедливо равенство (2.1):
c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk = 0 .
Без потери общности предположим, что ненулевым коэффициентом является c1 , т. е. c1 ≠ 0 . Тогда последнее равенство можно разделить на c1 и далее выразить вектор x1 :
c
c
c
x1 = − 2 x2 − 3 x3 − ...− k xk .
c1
c1
c1
Таким образом, вектор x1 представлен в виде суперпозиции векторов x2 ,..., xk . Теорема 1 доказана.
Следствие. Если x1, x2 ,..., xk – совокупность линейно независимых векторов, то ни один вектор из этого набора не может быть
выражен через остальные.
Теорема 2.2. Если система векторов x1, x2 ,..., xk содержит нольвектор, то такая система обязательно будет линейно зависимой.
Доказательство. Пусть вектор x1 является ноль-вектором,
т. е. x1 = 0 .
м:
Тогда выбираем постоянные ci ( i = 1 ÷ k ) следующим образом:
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
При этом равенство (2.1) выполняется. Первое слагаемое слева равно нулю вследствие того, что x1 – ноль-вектор. Остальные слагаемые
обращаются в нуль, будучи умноженными на нулевые константы ci
( i = 2 ÷ k ). Таким образом,
c1 ⋅ 0 + 0 ⋅ x2 + ... + 0 ⋅ xk = 0
при c1 ≠ 0 , а значит, векторы x1, x2 , ..., xk линейно зависимые. Теорема 2.2 доказана.
Следующий вопрос, на который нам предстоит ответить, какое
наибольшее количество векторов может составить линейно независимую систему в n-мерном арифметическом пространстве. В подразд. 2.1 был рассмотрен естественный базис (1.4):
i1 = {1; 0;; 0};
i2 = {0; 1;;0};

in = {0; 0;; 1}.
Было установлено, что произвольный вектор n -мерного пространства является линейной комбинацией векторов естественного
базиса, т. е. произвольный вектор x = {x1;; xn } выражается в естественном базисе в виде
(2.2)
x = x1 ⋅ i1 +  + xn ⋅ in ,
где x1, x2 ,..., xn – координаты вектора x , представляющие собой некоторые числа. Тогда равенство
x1 ⋅ i1 +  + xn ⋅ in = 0
c1 ≠ 0 , c2 = c3 = c4 = ... = ck = 0 .
возможно лишь при x1 = x2 =  = xn = 0 , а значит, n векторов i1 , i2 ,, in
естественного базиса образуют линейно независимую систему. Если
42
43
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
добавить к этой системе произвольный вектор x = {x1;; xn } , то на
основании следствия теоремы 2.1 система будет зависимой, поскольку вектор x выражается через векторы i1 , i2 ,, in по формуле (2.2).
Этот пример показывает, что в n-мерном арифметическом пространстве существуют системы, состоящие из n линейно независимых векторов. А если к этой системе добавить хотя бы один вектор,
то получим систему линейно зависимых векторов. Докажем, что если
число векторов превышает размерность пространства, то они линейно зависимые.
Теорема 2.3. В n-мерном арифметическом пространстве не
существует системы, состоящей более чем из n линейно независимых векторов.
Доказательство [2]. Рассмотрим l произвольных n-мерных векторов:
Эти равенства образуют систему n однородных уравнений с l неизвестными c1 , c2 , c3 ,..., cl . Так как число неизвестных больше числа
x (1) = {x1(1) ; x2(1);...; xn(1)};
x (2 ) = {x1(2 ); x2(2 ) ;...; xn(2 )};
………………………
(2.3)
x (l ) = {x1(l ); x2(l );...; xn(l )}.
Пусть l > n . Составим линейную комбинацию векторов (2.3)
и приравняем ее к нулю:
c1x (1) + c2 x (2 ) + ... + cl x (l ) = 0 .
(2.4)
Векторное равенство (2.4) равносильно n скалярным равенствам
для координат xi( j ) (i = 1 ÷ n) векторов x ( j ) ( j = 1 ÷ l ) :
c1 x1(1) + c2 x1(2 ) +  + cl x1(l ) = 0;
 (1)
(2 )
(l )
c1 x2 + c2 x2 +  + cl x2 = 0;


c x (1) + c x (2 ) +  + c x (l ) = 0.
l n
1 n
2 n
уравнений ( l > n ), то в силу следствия теоремы 9.3 разд. 1 однородная система (2.5) имеет ненулевое решение. Следовательно, равенство (2.4) справедливо при некоторых значениях c1 , c2 , c3 ,..., cl , среди
которых не все равны нулю, а значит, система векторов (2.3) линейно
зависимая. Теорема 2.3 доказана.
Следствие. В n-мерном пространстве существуют системы,
состоящие из n линейно независимых векторов, а любая система,
содержащая больше чем n векторов, будет линейно зависимой.
Определение 2.2. Систему линейно независимых векторов называют базисом пространства, если любой вектор пространства
может быть выражен в виде линейной комбинации этих линейно
независимых векторов.
2.3. Линейное преобразование векторов
Рассмотрим два вектора x и y n-мерного арифметического пространства X.
Определение 3.1. Если каждому вектору x ∈ X сопоставлен вектор y из этого же пространства X , то говорят, что задано некоторое преобразование n -мерного арифметического пространства.
Будем обозначать это преобразование через A . Вектор y будем
называть образом x . Можно записать равенствоо
y = Ax .
Определение 3.2. Преобразование (3.1) будем называть
линейным, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
(2.5)
A ( x1 + x 2 ) = A x1 + A x 2 ,
(3.2)
A (λ x ) = λ A x ,
(3.3)
где λ – произвольный скаляр (число).
44
(3.1)
45
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Зададим преобразование (3.1) в координатной форме. Пусть координаты векторов x {x1 , x2 , , xn } и y{y1 , y2 ,  , yn } связаны зависимостью
Рассмотрим некоторое преобразование A , образом которого
о
является ноль-вектор. В матричном виде это преобразование будет
иметь вид
(3.6)
AX = 0 ,
 y1 = a11x1 +  + a1n xn ;

......................................
y = a x ++ a x .
n1 1
nn n
 n
(3.4)
Формулы (3.4) задают преобразование (3.1) в координатной форме. Коэффициенты aik ( i, k = 1 ÷ n ) системы равенств (3.4) можно преддставить в виде матрицы
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A=
,
...................................


 a n1 a n 2 ... a nn 
называемой матрицей преобразования (3.1).
Введем векторы-столбцы
 y1 
 x1 
 
 
X =   ; Y =   ,
y 
x 
 n
 n
элементы которых суть координаты векторов x {x1 , x2 , , xn }
T
и y{y1 , y2 ,  , yn } соответственно, так что x = X T и y = Y . Будем далее векторы-столбцы X и Y называть векторами.
Тогда преобразование (3.4) может быть записано в матричной
форме
(3.5)
Y = AX .
Преобразование (3.5) является линейным в силу свойств арифметических операций над матрицами [7].
46
а в координатной форме – представлять собой систему линейных однородных уравнений
a11x1 +  + a1n xn = 0;

..............................;
(3.7)
a x +  + a x = 0.
nn n
 n1 1
Определение 3.3. Линейное преобразование называется невырожденным, если определитель матрицы A линейного преобразования не равен нулю, т. е. det ( A ) ≠ 0 . Если определитель обращается в нуль, то преобразование будет вырожденным (det ( A ) = 0 ) .
Известно, что система (3.7) имеет тривиальное (очевидное) решение – нулевое. Это решение является единственным, если только
определитель матрицы не равен нулю.
Ненулевые решения системы (3.7) могут появляться, если линейное преобразование является вырожденным, т. е. при нулевом
определителе матрицы A .
Определение 3.4. Рангом преобразования (3.5) называется ранг
r матрицы преобразования A .
Можно сказать, что этому же числу r равно количество линейно независимых строк матрицы A .
Обратимся к геометрической интерпретации линейного преобразования (3.5).
Пример 3.1. Пусть задана матрица линейного преобразования
λ 0
де
A = 
 , где λ − const . Возьмем произвольный вектор x = X T , где
0
2


 λ 0  x1   λ x1 
x 
 . Тогда
  = 
да
X =  1  и найдем его образ: Y = AX = 
 0 2  x2   2 x2 
 x2 
вектор y = Y T = {λx1; 2 x2 } .
47
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Если λ ≠ 2 , то вектор x изменит и длину, и направление.
На рис. 1 λ = 1.
 − 1 0  x1   − x1 
 = − X ,
Y = AX = 
  = 
 0 − 1 x2   − x2 
т. е. y = Y T = − X T = − x , или y = − x .
Вектор x = X T в результате преобразования изменил свое направление на противоположное, при этом длина вектора сохранилась
(рис. 3).
Рис. 1
Если λ = 2 , то получим образ:
 2x   x 
Y =  1  = 2 1  = 2 X ,
 2 x2   x 2 
т. е. вектор y = Y T = 2 X T = 2 x или y = 2 x , а это значит, чтоо x изменит
только длину, но не изменит направление (рис. 2).
Рис. 3
1 0
 линейного преПример 3.3. Рассмотрим матрицу A = 
0 1
образования. Несложно показать, что в этом случае образ вектора
X полностью совпадает с самим вектором (рис. 4). Действительно,
 1 0  x1   x1 
Y = AX = 
  =   = X .
 0 1  x2   x2 
Рис. 2
 x1 
 −1 0
 , X =   . Найдем образ:
Пример 3.2. Пусть A = 
 0 − 1
 x2 
48
Рис. 4
49
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Можно сказать, что линейное преобразование векторов изменя-
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
о
ет исходный вектор x = X и по длине, и по направлению. Однако
в некоторых случаях существуют такие матрицы, которые преобразуют вектор только по направлению (пример 3.2) или только по длине (пример 3.1, случай λ = 2 ).
Следует заметить, что все векторы, лежащие на одной прямой,
образуют систему линейно зависимых векторов.
Вернемся к линейному преобразованию (3.5)
Если линейное преобразование вырожденное и det ( A ) = 0 , то
о
система (3.6) кроме нулевого решения имеет другие, и дефект в этом
случае уже отличен от нуля.
Особый интерес вызывают преобразования, которые, меняя длину, не меняют направление вектора. Точнее говоря, оставляют вектор
на прямой, содержащей исходный вектор, при условии, что прямая
проходит через начало координат. Такие преобразования будут рассмотрены в подразд. 2.4.
Y = AX
2.4. Собственные векторы и собственные значения
T
и рассмотрим совокупность векторов x = X T , для которых образом
м
 0
 
является нуль-вектор, так что Y =    .
 0
 
Определение 3.5. Совокупность векторов X , являющихся решением уравнения AX = 0 , образует подпространство n-мерного
арифметического пространства и называется ядром линейного
преобразования.
Определение 3.6. Дефектом линейного преобразования называется размерность ядра этого преобразования, т. е. наибольшее
число линейно независимых векторов X , удовлетворяющих уравнению AX = 0 .
Так как рангом линейного преобразования мы называем ранг
матрицы A , то можно сформулировать следующее утверждение относительно дефекта матрицы: дефект равен разности n − r , где
n – размерность матрицы, r – ее ранг..
Если ранг матрицы A линейного преобразования (3.5) ищется
методом Гаусса, то ранг совпадает с количеством отличных от нуля
элементов на главной диагонали уже преобразованной матрицы,
а дефект определяется количеством нулевых строк.
Если линейное преобразование является невырожденным, т. е.
det ( A ) ≠ 0 , то его дефект обращается в ноль, поскольку ядром является единственный нулевой вектор.
50
Рассмотрим линейное преобразование
(4.1)
Y = AX
с заданной матрицей A . Будем искать такой ненулевой вектор x = X T
( x ≠ 0 ) , который в результате заданного преобразования меняет длину, но не меняет направление, т. е. y = λ ⋅ x
ной форме
Y =λ X.
( y = Y T ) или в матрич-
(4.2)
Тогда, подставив (4.1) в (4.2), имеем матричное уравнение
AX = λ X .
(4.3)
 x1 
 
Далее всякий столбец вида X =    , составленный из коордиx 
 n
нат вектора x = {x1;; xn }, будем называть вектором.
 x1 
 
Определение 4.1. Ненулевой вектор X =    называется собx 
 n
ственным вектором матрицы А, если выполнено равенство (4.3):
51
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
AX = λ X ,
Если вычислить определитель этой матрицы, то он будет зависеть от λ и представлять собой многочлен степени n относительно
м, а равенство
λ . Его называют характеристическим многочленом
(4.5) – характеристическим уравнением. Решая уравнение (4.5),
находят собственные значения . Для матрицы второго порядка
где λ – некоторое число. При этом λ называется собственным значением матрицы A .
Для нахождения собственного вектора X решим уравнение (4.3).
1 0  0


 0 1  0
– единичная матриТак как λ X = λ EX , где E = 
..................... 


 0 0  1
ца, играющая роль единицы в матричном исчислении, то (4.3) можно
записать в виде AX = λ EX . Тогда
или
a 
a
A =  11 12  характеристическое уравнение имеет вид
 a21 a22 
или
(4.4)
Получили однородную систему n линейных уравнений относительно неизвестных координат x1 , x2 , , xn собственного вектора X с
квадратной матрицей ( A − λ E ) . Матрица ( A − λ E ) имеет вид матрицы A, у которой из элементов главной диагонали вычли число λ :
a12

a1n 
 a11 − λ


a22 − λ 
a2 n 
 a21

.
................................................


an 2
 ann − λ 
 an1
52
a21
a22 − λ
= 0,
или
λ2 − (a11 + a22 )λ + a11a22 − a12 a21 = 0 ,
т. е. вид квадратного уравнения относительно неизвестного собственного значения λ .
 1 2
Пример 4.1. Зададимся матрицей преобразования A = 

 −1 4
и найдем собственный вектор X 0, удовлетворяющий условию
AX = λ X . Для этого решим однородную систему вида (4.4)
2   x1   0 
1 − λ

   =   .
 − 1 4 − λ   x2   0 
(4.6)
2 x2 = 0;
 (1 − λ ) x1 +

− x1 + (4 − λ ) x2 = 0.

(4.7)
Тогда
Необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения такой системы является равенство нулю определителя
матрицы этой системы, т. е.
A − λ E = 0.
a12
(a11 − λ)(a22 − λ) − a12 a21 = 0 ,
AX − λ EX = 0
( A − λ E) X = 0 .
a11 − λ
(4.5)
Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель
равен нулю, т. е.
1− λ
2
−1
4−λ
= 0 . Вычислим характеристический
многочлен
53
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
1− λ
2
−1
4−λ
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
ся в базисной форме: x1 = x2 . Полагая x2 = t
= (1 − λ )( 4 − λ ) − 2(−1) = λ2 − 5λ + 6
и для нахождения собственных значений приравняем его к нулю.
Получим характеристическое уравнение вида
λ2 − 5λ + 6 = 0 ,
решив которое, найдем собственные значения
t 
ственный вектор X =   .
t 
Геометрический смысл собственного вектора заданного преобразования заключается в том, что он указывает направление, которое
в результате преобразования не меняется и вдоль которого пространство испытывает растяжение в λ раз.
2.5. Модель торгового баланса
λ1 = 2; λ 2 = 3 .
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному
значению λ = 2 . Подставим собственное значение λ = 2 в (4.6)
 − 1 2   x1   0 

   =   .
 − 1 2   x2   0 
Пусть две фирмы (страны) участвуют в торговле. Первая добывает нефть – x1 млн денежных единиц (бюджет), а вторая газ – x2 млн
денежных единиц. Каждая фирма часть продукта оставляет себе для
внутренних нужд, а другую часть продает. Нефтяная фирма третью
часть оставляет себе, а две трети продает. Газодобывающая фирма
половину продает, а половину оставляет себе. Представим условие
задачи в виде таблицы.
Система (4.7) примет вид уравнения
− x1 + 2 x2 = 0 ,
откуда
x1 = 2 x2 .
Пусть x2 = t
(t ∈ R ) , найдем соб-
(4.8)
(t ∈ R ) . В силу (4.8) x1 = 2t . Тогда собственный
 2t 
вектор имеет вид X =   .
t
1-я фирма
получила
2-я фирма
получила
1-я фирма 2-я фирма
отдала
отдала
1
1
3
2
2
1
3
2
Обозначим через рi выручку i-й фирмы. Тогда
1
1
1-я фирма получила р1 = x1 + x2 ;
3
2
− 2 x1 + 2 x2 = 0;
довательно, можно записать, что 
Решение получает − x1 + x2 = 0.
(5.1)
2
1
2-я фирма получила р2 = x1 + x2 .
3
2
Для того чтобы торговля была взаимовыгодной, необходимо
потребовать, чтобы выручка была не меньше затрат, т. е. pi ≥ xi для
всех значений i = 1 ÷ n .
54
55
 − 2 2   x1   0 
   =   , а слеПри λ = 3 уравнение (4.6) имеет вид 
 − 1 1   x2   0 
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Торговый баланс означает, что фирмы получают прибыль в одинаковой пропорции. Таким образом, условие бездефицитной торговли можно записать следующим образом:
1
Значение λ = − отрицательное и не имеет экономического смыс6
ла. Для собственного значения = 1 найдем собственный вектор.
pi = λxi
или
 p1 = λx1;

 p 2 = λ x2 .
(5.2)
 3t 
X =   .
 4t 
В частности, это означает, что сбалансированность торговли этих
двух фирм может быть достигнута только в том случае, когда их ресурсы находятся в отношении x1 : x2 = 3 : 4 .
Подставим (5.1) в (5.2) и получим систему уравнений
1
1
 3 x1 + 2 x2 = λ x1;
2
1
 x1 + x2 = λ x2 .
3
2
2.6. Квадратичные формы
Запишем эту систему в матричном виде
AX = λ X ,
(5.3)
 x1 
1 3 1 2
 , X =   .
где A = 
 x2 
 2 3 1 2
Наша задача – найти баланс экономической торговли. А именно: если фирмы имеют бюджеты x1 , x2 соответственно, то каковы
должны быть соотношения между этими бюджетами, чтобы торговля была взаимовыгодной, без дефицита торгового баланса для каждой фирмы? То есть нужно решить матричное уравнение (5.2), а именно: найти собственное значение λ и собственный вектор X .
Тогда
1
−λ
A−λ E = 3
2
3
1
2
1
−λ
2
=
1 5
1
5
1
− λ + λ 2 − = λ2 − λ − = 0 .
6 6
3
6
6
2
1
x1 + x2 = 0;
3
2
3
x1 = x2 .
4
Положим x2 = 4t , где t ∈R. Тогда
да
−
(i = 1, 2)
Рассмотрим вектор n-мерного арифметического пространства
x{x1; ...; xn }.
Определение 6.1. Квадратичной формой относительно переменных x1, x2 ,..., xn называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.
Условимся обозначать квадратичную форму через f ( x1, x2 ,..., xn ) .
Пример 6.1. Квадратичной формой является выражение
x12 − 3 x1 x2 + 5 x22 + 7 x1 x3 − 9 x32 + 14 x2 x3 .
Квадратичная форма состоит из слагаемых двух типов: квадрата переменной с некоторым коэффициентом и парных произведений
«разноименных» переменных.
 λ = 1;

1
λ = − 6 .
Пример 6.2. Выражение ( x1 − 5)(3 x 2 + 2) = 3 x1 x2 + 2 x1 − 15 x2 − 10
не является квадратичной формой.
56
57
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Пример 6.3. Примером квадратичной формы является выражение
( x1 − 5 x2 )(3 x 2 + 2 x1 ) = 3 x1 x2 +
2 x12
− 15 x22
− 10 x2 x1 =
2 x12
− 15 x22
Квадратичная матрица из примера 6.3 имеет вид
− 7 x1 x2 =
= 2 x12 − 15 x22 − 2 ⋅ 3,5 x1 x2 = 2 x12 − 15 x22 − 3,5 x1 x2 − 3,5 x2 x1.
− 3,5  .
 2
A = 

 − 3,5 − 15 
В квадратичной форме коэффициенты при xi x j и x j x i можно
сделать одинаковыми. Для этого достаточно сложить изначальные
коэффициенты при этих слагаемых и разделить на два, как это было
показано в предыдущем примере.
Тогда квадратичная форма может быть представлена в виде двойной суммы:
Любая симметрическая квадратная матрица задает квадратичную форму единственным образом. Например, квадратичная форма,
соответствующая матрице
n n
f ( x1, x2 ,..., xn ) = ∑ ∑ aij xi x j ,
=i 1 =j 1
(6.1)
имеет вид
3 −1 
7


В= 3
5 − 9,
 −1 − 9 − 4


f ( x1, x2 , x3 ) = 7 x12 + 6 x1x2 − 2 x1x3 + 5x22 − 18x2 x3 − 4 x32 .
где aij = a ji .
Коэффициенты ai a j квадратичной формы (6.1) образуют матрицу
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2n  ,
A=

...............................
 an1 an 2 ... ann 
(6.2)
которая называется матрицей квадратичной формы, если только выполнено равенство aij = a ji для всех aij (i , j = 1 ÷ n).
Элементы матрицы (6.2) симметричны относительно главной
диагонали. Такая матрица называется симметрической, поскольку
aij xi x j + a ji x j xi = xi x j (aij + a ji ) = 2aij xi x j .
Отметим, что квадратичная форма может быть записана в мат-
 x1 
 
ричном виде X AX , где X =    , а A – матрица (6.2).
x 
 n
T
58
Определение 6.2. Рангом квадратичной формы называется ранг
матрицы квадратичной формы.
Определение 6.3. Квадратичная форма называется положительно определенной, если при любых значениях координат вектора
x ≠ 0 выполняется неравенство f ( x1 , x2 ,..., xn ) > 0 .
Определение 6.4. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если при любых значениях координат вектора
x ≠ 0 выполняется неравенство f ( x1 , x2 ,..., xn ) < 0 .
Пример 6.4. Квадратичная форма x12 + 3x22 + 7 x32 с матрицей
1 0 0


A = 0 3 0
0 0 7


является положительно определенной, так как сумма квадратов всегда является положительным числом для ненулевого вектора x .
59
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Пример 6.5. Выражение − x12 + 2 x1 x2 − x22 , которому соответству − 1 1
 , определяет отрицательно определенную
ет матрица A = 
 1 − 1
квадратичную форму, поскольку имеет место неравенство
f ( x1 , x2 ) = −( x1 − x2 ) 2 < 0 .
Определение 6.5. Если квадратичная форма при некоторых двух
различных значениях векторов x {x1 , x2 , , xn } и y{y1 , y2 ,  , yn }
имеет
различные
знаки
(например,
f ( x1, x2 ,..., xn ) > 0 ,
а f ( y1, y2 ,..., yn ) > 0 ), то квадратичная форма называется знакопеременной.
Квадратичные формы положительные и отрицательные объединяются названием знакопостоянных.
Любая квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратов. Это может осуществляться разными способами. Самый простой – выделение полных квадратов. Проиллюстрируем его примером.
Пример 6.6. Привести к сумме квадратов квадратичную форму
f ( x1, x2 , x3 ) = x12 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 3x22 − 6 x2 x 3 + 11x32 .
(6.3)
Решение. Объединим все члены, содержащие переменную x1 ,
и дополним их до полного квадрата:
[
f ( x1, x2 , x3 ) = ( x12 + 2 x1x2 + 2 x1 x3 ) + 3x22 − 6 x2 x 3 + 11x32 =
]
= x12 + 2 x1 ( x2 + x3 ) + ( x2 + x3 ) 2 − ( x2 + x3 ) 2 + 3x22 + 11x32 − 6 x2 x3 =
= ( x1 + x2 + x3 )
2
+ 2 x22
+ 10x32
− 8 x2 x3.
Выделенный полный квадрат сохраним без изменения. Среди оставшихся членов объединим слагаемые, содержащие x2 , и дополним их
до полного квадрата:
60
f ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 + x2 + x3 ) 2 + 2( x22 − 4 x2 x3 ) + 10x32 =
= ( x1 + x2 + x3 ) 2 + 2( x22 − 4 x2 x3 + 4 x32 ) − 8x32 + 10x32 =
= ( x1 + x2 + x3 ) 2 + 2( x2 − 2 x3 ) 2 + 2 x32 .
(6.4)
Очевидно, что квадратичная форма, определенная выражением
(6.4) и представляющая собой сумму квадратов, является положительно определенной.
Существует критерий, позволяющий определить вид квадратичной формы и определить ее знак, без приведения к сумме квадратов.
Для описания критерия нам понадобится ввести понятие главных
миноров матрицы. Главными минорами условимся называть миноры, стоящие на главной диагонали. То есть для матрицы
 a11 a12 a13 ... a1n 


 a21 a22 a23 ... a 2n 
A =  a31 a32 a33 ... a3n 


.........................................

a
 n1 an 2 a n3 ... ann 
главными минорами будут являться определители
a11 ... a1i
a11 a12 a13
a11 a12
, ∆3 = a21 a22 a23 , … , ∆i = .................. .
∆1 = a11 , ∆ 2 =
a21 a22
ai1 ... aii
a31 a32 a33
Главный минор n-го порядка – это определитель матрицы A .
Критерий Сильвестра
Квадратичная форма является положительной тогда и только тогда, когда все главные миноры соответствующей ей матрицы
положительны.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной необходимо и достаточно, чтобы главные миноры четного порядка ∆ 2 , ∆ 4 ,..., ∆ 2k были положительными, а нечетного порядка ∆1, ∆3 ,..., ∆ 2k −1 – отрицательными.
61
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
При любой другой комбинации знаков главных миноров знак квадратичной формы не определен.
Вычислим главные миноры этой матрицы, для того чтобы определить их знаки.
Пример 6.7. Дана квадратичная форма
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x12 + 4 x1 x2 − 8x1 x3 + x22 − 4 x2 x 3 + 5x32 .
Определить тип квадратичной формы, используя критерий Сильвестра.
Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы
2 − 4
 5


A= 2
1 − 2,
− 4 − 2 5 


и вычислим главные миноры матрицы A :
∆1 = 5 > 0 ,
∆2 =
5 2
2 1
= 5 − 4 = 1 > 0,
5
2 −4 1 2 −4
1 −2
∆3 = 2
1 −2 = 0 1 −2 =
= 5 − 4 = 1 > 0.
−2 5
0 −2 5
−4 −2 5
Главные миноры положительны, значит, согласно критерию Сильвестра, квадратичная форма является положительно определенной.
Пример 6.8. Определить тип квадратичной формы
∆1 = −2 < 0 ,
−2
∆3 = 1
3
∆2 =
1
−2
1
1
−4
= 7 > 0,
3
− 4 0 = −6 < 0 .
0 −6
Поскольку знаки последовательно меняются, начиная с минуса, то
квадратичная форма отрицательно определена.
Пример 6.9. Определить знак квадратичной формы
f ( x1, x2 , x3 ) = x12 − 6 x1 x2 + 6 x1x3 + 5 x22 + x2 x3 + 7 x32 .
Решение. Вычислим главные миноры матрицы
 1 − 3 3


A =  − 3 5 1;
 3
1 7 

∆1 = 1 > 0 , ∆ 2 = 14 > 0 , ∆3 = −92 < 0 .
Такое поведение знаков главных миноров говорит о том, что знак
квадратичной формы определить невозможно.
3 
− 2 1


A =  1 − 4 0 .
 3
0 − 6 

Пример 6.10. Пользуясь критерием Сильвестра, доказать, что
квадратичная форма (6.3) является положительно определенной.
Решение. Матрицу квадратичной формы можно представить
в виде
1 
1 1


A = 1 3 − 3  .
1 − 3 11 


62
63
f ( x1 , x2 , x3 ) = −2 x12 + 2 x1 x2 − 6 x1x3 − 4 x22 − 6 x32 .
Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Вычислим главные миноры
∆1 = 1 > 0 , ∆ 2 = 2 > 0 , ∆3 = 4 > 0 .
Значит, согласно критерию Сильвестра, соответствующая квадратичная форма положительно определена, как и было показано
в примере 6.6 с помощью метода выделения полных квадратов.
2.7. Балансовая модель (модель межотраслевой
экономики Леонтьева)
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Итак, предполагаем, что имеется n различных отраслей, каждая
из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей
(производственное потребление). Будем вести речь о некотором определённом промежутке времени (обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:
xi – общий объем продукции отрасли i за данный промежуток
времени – так называемый валовый выпуск отрасли i;
xij – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;
yi – объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, – объем конечного потребления.
Этот объем составляет обычно более 75 % всей произведённой
продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное
потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.),
поставки на экспорт.
Перечисленные выше величины можно свести в таблицу.
Эффективное планирование экономики страны предполагает
наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при
этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами, называемыми таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц
была сформулирована в работах советских экономистов, а первая
таблица опубликована в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах экономиста
В. Леонтьева, которому в 1963 г. была присуждена Нобелевская премия за работы в области экономики. В. Леонтьев применил метод
анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной
алгебры для исследования экономики США. Рассмотрим наиболее
простой вариант такой модели, сохраняющий, однако, ее основное
математическое содержание.
Предположим, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на некоторое число n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные продукты. Разумеется, такое представление об отрасли
является в значительной мере абстракцией, так как в реальной экономике даже на отдельном предприятии производится значительное
разнообразие выпускаемой продукции. Однако представление об отрасли в указанном выше смысле (как «чистой» отрасли) все же полезно, так как оно позволяет провести анализ сложившейся технологической структуры народного хозяйства, изучить функционирование народного хозяйства «в первом приближении».
равное yi . Равенства (7.1) называют соотношением баланса.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или
натуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.), или стоимостными;
64
65
Производственное
потребление
x11 x12  x1n
x21 x22  x2n
Конечное
потребление
y1
y2
……………………
…
xn1 xn 2  xnn
yn
Валовый
выпуск
x1
x2
…
xn
Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при
любом i = 1 n должно выполняться соотношение
xi = xi1 + xi 2 +  + xin + yi ,
(7.1)
означающее, что валовый выпуск xi расходуется на производственное потребление, равное xi1 + xi 2 +  + xin , и непроизводственное,
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
в зависимости от этого различают натуральный и стоимостный
межотраслевые балансы. Для определенности в дальнейшем будем
иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостный баланс.
В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики
в 30-е гг. ХХ в., обратил внимание на то важное обстоятельство, что
величины aij =
xij
xj
остаются постоянными в течение ряда лет. Это
о
обусловливается примерным постоянством используемой технологии.
В соответствии с этим было сделано такое допущение: для выпуска любого объема x j продукции отрасли j необходимо затратить
продукцию отрасли i в количестве aij ⋅ x j , где aij – постоянный коэфффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны
объему производимой продукции. Это допущение постулирует
линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, на оплату труда),
а также на нормативную прибыль.
Итак, согласно гипотезе линейности, имеем
xij = aij ⋅ x j
(i, j = 1,2,, n) .
(7.2)
Коэффициенты aij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).
Подставляя соотношения (7.2) в уравнение баланса (7.1), получаем систему n линейных уравнений относительно переменных
x1 , x2 , , xn :
x1 = a11x1 + a12 x2 +  + a1n xn + y1 ;
x2 = a21x1 + a22 x2 +  + a2 n xn + y2 ;
………………………………………
xn = an1 x1 + an 2 x2 +  + ann xn + yn
или в матричной записи
где
 a11 a12  a1n 
 x1 
 y1 


 
 
 a21 a22  a2 n 
 x2 
 y2 
A=
; X =  ; Y =  .



................................
 
 
 an1 an 2  ann 
 xn 
 yn 
Вектор x = X T называется вектором валового выпуска
а, вектор
T – вектором
м конечного потребления, а матрица A – матриy =Y
цей прямых затрат. Соотношение (7.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы A и векторов x и y соотношение (7.3) называют
ают
также моделью Леонтьева.
Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для
целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода задается вектор y конечного потребления.
Требуется определить вектор x валового выпуска. Проще говоря,
нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных
уравнений (7.3) с неизвестным вектором x при заданных матрице A
и векторе y . При этом нужно иметь в виду следующие особенности
системы (7.3):
1. Все компоненты матрицы A и вектора y неотрицательны. Этоо
ся
вытекает из экономического смысла A и вектора y и записывается
так: A ≥ 0 , y ≥ 0 . Матрицу с неотрицательными компонентами буудем называть неотрицательной.
2. Все компоненты вектора x в силу его экономического смысла также должны быть неотрицательными: x ≥ 0 .
Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов aij
прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса.
В этом случае из (7.2) видно, что aij совпадает со значением xij при
X = AX + Y ,
66
(7.3)
x j = 1 (1 р.).
67
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Таким образом, aij есть стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 р. продукции j -й отрасли. Отсюда видно, что стоимостный подход по сравнению с натуральным обладает более широкими
возможностями. При таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т. е. однопродуктивные, отрасли. Ведь и в случае многопродуктивных отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкладе
одной отрасли в выпуск 1 р. продукции другой отрасли, скажем,
о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 р. сельскохозяйственной
продукции или вкладе промышленной группы А (производство
средств производства) в выпуск 1 р. продукции группы В (производство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что планирование исключительно в стоимостных величинах может легко привести к дисбалансу потоков материально-технического снабжения.
Первый критерий продуктивности. Если A ≥ 0 и для некоторого положительного вектора y* = Y *T уравнение (8.1) имеет неотри-
2.8. Критерии продуктивности балансовой модели
Определение 8.1. Матрица A с неотрицательными компонентами называется продуктивной, если для любого Y = ( y1,, yn )T
( yi ≥ 0, i = 1 ÷ n)
существует
неотрицательное
решение
T
X = ( x1 ,, xn ) ( xi ≥ 0, i = 1 ÷ n) уравнения
X = AX + Y .
(8.1)
В этом случае модель Леонтьева (8.1), определяемая матрицей
А, также называется продуктивной.
Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор
y = ( y1,, yn ) = Y T ( yi ≥ 0, i = 1 ÷ n) конечного потребления можно
получить при подходящем валовом выпуске x = ( x1 ,  , xn ) = X T
( xi ≥ 0, i = 1 ÷ n) .
Однако можно доказать, что нет необходимости требовать существования решения x ≥ 0 уравнения (8.1) для любого вектора
y ≥ 0 . Достаточно, чтобы такое решение существовало хотя бы для
одного вектора y > 0 . Условимся в дальнейшем называть вектор
y > 0 положительным, если все компоненты этого вектора строго положительны.
68
цательное решение X * , где X *T = x * ≥ 0 , то матрица A продуктивна.
Замечание. На самом деле при заданных условиях решение получается положительное, т. е. x* > 0 . Это следует из уравнения (8.1):
X * = A X * + Y * и из условий A ≥ 0 , x* ≥ 0 , y* > 0 .
Запишем уравнение Леонтьева (8.1) следующим образом:
( E − A) X = Y ,
(8.2)
где E – единичная матрица. Будем искать матрицу, обратную по отношению к матрице ( E − A) .
Понятно, что если обратная матрица ( E − A) −1 существует, то из
уравнения (8.2) следует, что
X = ( E − A) −1Y .
(8.3)
Отсюда вытекает следующее более эффективное условие продуктивности.
Второй критерий продуктивности. Матрица А 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица ( E − A) −1 существует
т
и неотрицательна.
Доказательство этого утверждения приведено в [6]. Матрица
( E − A) −1 называется матрицей полных затрат.
Пример 8.1. Исследуем на продуктивность матрицу
 0,4 0,8  .

A = 
 0,5 0,3 
Решение. Найдем матрицу
 0,6 − 0,8 
E − A = 
.
 − 0,5 0,7 
69
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Лемма. Если бесконечный ряд
Вычислим ее определитель:
∆ = det ( E − A) =
Союзная
( E − A) −1 =
матрица
0,6
− 0,8
− 0,5
0,7
С
имеет
E + A + A2 +  ,
= 0,42 − 0,4 = 0,02 .
вид
1
1  0,7 0,8   35 40 
C=

=
.
0,02  0,5 0,6   25 30 
∆
 0,7 0,8 

 .
 0,5 0,6 
Тогда
Можно находить обратную матрицу и методом Гаусса:
 0,6 − 0,8 1 0 
( E − A E ) = 
 ≅
 − 0,5 0,7 0 1 
− 4 / 3 5 / 3 0  1 − 4 / 3 5 / 3 0 
 1
≅ 
≅
≅
0 1   0 1 / 30 5 / 6 1 
 − 0,5 0,7
 1 − 4 / 3 5 / 3 0   1 0 35 40 
≅
≅
.
1 25 30   0 1 25 30 
0
Таким образом, и здесь
 35 40 
( E − A) −1 = 
 .
 25 30 
Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно,
матрица A продуктивна.
Продолжим анализ продуктивности модели Леонтьева.
Пусть a – некоторое число. Известно, что бесконечная геометрическая прогрессия вида
(8.4)
1+ a + a2 + 
сходится при условии a < 1 , и ее сумма равна (1 – а)–1. Убедимся,
что аналогичное предложение имеет место при замене числа a матрицей A .
70
(8.5)
составленный из матриц, сходится, то его сумма есть матрица ( E − A) −1.
Доказательство. Рассмотрим тождество
( E + A + A2 +  + Ak −1 )( E − A) = E − Ak .
(8.6)
Здесь ( E + A + A2 +  + Ak −1 ) – частичная сумма ряда (8.5),
а Ak – общий член этого ряда. Поскольку по условию леммы ряд
(8.5) сходится, то в силу необходимого признака сходимости ряда
lim Ak = 0 ,
k →∞
(8.7)
а суммой ряда является предел последовательности частичных сумм
( E + A + A2 +  + Ak −1 ) при неограниченном увеличении номера k .
Прежде всего покажем, что матрица ( E − A) имеет обратную
матрицу, т. е. она невырожденная [7]. Рассуждая от противного, предположим, что она – вырожденная. По теореме 3.2 однородная система уравнений
(8.8)
( E − A) X = 0
с вырожденной матрицей ( E − A) обязательно имеет ненулевое решение X = ( x1 ,, xn )T . Домножим равенство (8.8) слева на матрицу
( E + A + A2 +  + Ak −1 ) . Тогда
( E + A + A2 +  + Ak −1 )( E − A) X = 0 .
С учетом тождества (8.6) получим
( E − Ak ) X = 0
и перейдем к пределу при неограниченном увеличении номера k .
Тогда
( E − lim Ak ) X = 0
k →∞
71
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
или, учитывая (8.7),
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
EX = 0 ,
а значит, X T = ( x1 ,, xn ) = 0 .
Полученное противоречие доказывает, что матрица ( E − A) невырожденная и имеет обратную матрицу ( E − A) −1 . Домножим (8.6)
на матрицу ( E − A) −1 справа:
и перейдем к пределу при неограниченном увеличении номера k .
восходит q 2 :
( A2 )ij = ai1a1 j + ai 2 a2 j +  + ain anj ≤ q (a1 j + a2 j +  + anj ) ≤ q 2 .
3
k →∞
−1
k →∞
i =1
цы А не превосходят q, т. е. aij ≤ q (i, j = 1 ÷ n) . Из правила перемно-
Точно так же получим, что элементы матрицы А3 не превосходят q и т. д. Отсюда следует сходимость ряда (8.6), а значит, и продуктивность матрицы А.
lim ( E + A + A 2 +  + A k −1 ) = lim ( E − A k )( E − A) −1 =
= ( E − lim A k )( E − A)
n
∑ aij ( j = 1 ÷ n) , и пусть q < 1. Ясно, что тогда все элементы матри-
жения матриц легко вывести, что любой элемент матрицы A2 не пре-
( E + A + A2 +  + Ak −1 )( E − A)( E − A) −1 = ( E − Ak )( E − A) −1
k →∞
в стоимостной модели баланса это означает, что суммарный вклад
всех отраслей в выпуск 1 р. продукции конкретной отрасли меньше
1, т. е. отрасль рентабельна.
Действительно, пусть q – наибольшая среди всех сумм
= ( E − A) −1.
Пример 8.2. Дана матрица
Итак, поскольку предел последовательности частичных сумм
равен ( E − A) −1 , то матрица ( E − A) −1 и есть сумма ряда (8.6), т. е.
E + A + A 2 +  = ( E − A) −1 .
 0,1 0 0,6 


A =  0,2 0,7 0 
.
 0,2 0,2 0,3 


(8.9)
Лемма доказана.
Третий критерий продуктивности. Матрица А 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд (8.6):
E + A + A2 + 
Доказательство. Оно следует из леммы и второго критерия продуктивности.
Следствие. Если продуктивна матрица A , то продуктивна
и матрица AT .
Покажем, как третий критерий продуктивности может быть использован для проверки матрицы A ≥ 0 на продуктивность. Например, если сумма элементов любого столбца матрицы A c неотрицательными элементами меньше 1, то А продуктивна. Заметим, что
72
Сумма элементов каждого столбца матрицы A меньше единицы. Следовательно, А продуктивна.
В силу следствия третьего критерия продуктивности, если в неотрицательной матрице A сумма элементов любой строки меньше 1,
то матрица А продуктивна.
2.9. Запас продуктивности
Пусть A ≥ 0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы A назовем такое число α > 0 , что все матрицы λA , где
де
1 < λ < 1 + α , продуктивны, а матрица (1 + α) A непродуктивна.
рица
Пример 9.1. Выяснить, какой запас продуктивности имеет мат73
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
 0,4 0,8 
 .
A = 
 0,5 0,3 
Решение. В примере 8.1 было показано, что матрица A продуктивна. При нахождении запаса продуктивности будем руководствоваться вторым критерием продуктивности для матрицы λA , где λ > 1.
Покажем существование неотрицательной матрицы ( E − λA) −1 . В данном случае
1 − 0,4λ − 0,8λ 
(9.1)
 .
E − λA = 
 − 0,5λ 1 − 0,3λ 
Ее обратная матрица имеет вид
( E − λA)
−1
0,8λ 
 1 − 0,3λ


∆ ,
∆
=
1 − 0,4λ 
 0,5λ

 ∆
∆ 
(9.2)
∆ = E − λA = (1 − 0,4λ)(1 − 0,3λ) − (−0,5λ )(−0,8λ) = −0,28λ2 − 0,7λ + 1.
Для продуктивности матрицы λA нужно, чтобы все элементы обратной матрицы (9.2) были неотрицательными. Тогда
2
(9.3)
Решив совокупность неравенств (9.3), получим:
1 < λ < 1,08 .
Запас продуктивности матрицы A равен 0,08. Мы видим, что
о
матрица A находится где-то «на пределе» продуктивности.
74
2.10. Вектор полных затрат
Пусть задана матрица A с неотрицательными элементами, т. е.
A ≥ 0 . Равенство (8.6), доказанное в лемме подразд. 2.8, вида
( E − A) −1 = E + A + A2 ...
(10.1)
справедливо только в том случае, когда матрица A продуктивна
и имеет экономический смысл. Это значит, что модель Леонтьева (7.3)
имеет решение вида (8.3):
(10.2)
X = ( E − A) −1Y .
С учетом (10.1) это решение (10.3) может быть записано в виде
где ∆ – определитель матрицы ( E − λA) . Вычислим определитель ∆
матрицы (9.1):
∆ = −0,28λ − 0,7λ + 1 > 0;

1 − 0,3λ > 0;

1 − 0,4λ > 0;
λ > 1.
Обычно матрицы A межотраслевого баланса обладают большим
запасом продуктивности. Рост производственных расходов вызывает увеличение элементов матрицы A и, как следствие, снижение ее
запаса продуктивности.
X = Y + AY + A2Y + .
(10.3)
Определим экономический смысл разложения вектора
x = ( x1 ,, xn ) = X T на слагаемые Y , AY , A2Y и т. д. Для получения
валового выпуска x = X T , обеспечивающего конечное потребление
y = Y T , нужно прежде всего произвести набор товаров, описываеT
мый вектором y = ( y1 ,  , yn ) = Y . Но этого мало: ведь для получения y нужно затратить (а значит, сначала произвести) продукцию,
описываемую вектором AY . Но и этого мало: для получения AY нужжно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором
A( AY ) = A2Y . В итоге приходим к заключению, что весь валовый
выпуск x = X T должен составляться из слагаемых Y , AY , A2Y и т.. д.
Именно это и зафиксировано в формуле (10.3). В соответствии с этим
рассуждением сумму
Y + AY + A2Y + 
75
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение
формулируют так: вектор валового выпуска x = ( x1 ,, xn ) = X T совпадает с вектором полных затрат.
Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:
строительные материалы;
производство электроэнергии;
строительная техника.
T
Для получения конечного выпуска y = ( y1, y2 , y3 ) = Y необходимо прежде всего произвести:
y1 строительных материалов;
На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная
a1i p1 + a2i p2 + ... + ani pn . Следовательно, для выпуска продукции
y2 электроэнергии;
y3 строительной техники.
Но для производства y1 строительных материалов необходимо
затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества сырья,
электроэнергии и техники. То же самое справедливо и в отношении
производства y2 электроэнергии и y3 техники.
Таким образом, искомый валовый выпуск x = ( x1 ,, xn ) = X T
представляет собой сумму затрат 0-го порядка (вектор Y ), 1-го порядка (вектор AY ), 2-го порядка (вектор A2Y ) и т. д.
2.11. Модель равновесных цен
Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную модели
Леонтьева, – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как
и прежде, A – матрица прямых затрат, x = ( x1 ,, xn ) = X T – вектор
ор
валового выпуска. Обозначим через p = ( p1, p2 ,, pn ) = PT вектор
ор
цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли. Тогда, например, первая отрасль получит доход, равный p1 x1 ,
а i-я отрасль – доход, равный pi xi . Часть своего дохода i -я отрасль
потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска
единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме a1i , второй отрасли в объеме a2i и т. д., n -й отрасли в объеме ani .
76
в объеме xi i -й отрасли необходимо потратить на закупку продукции
других отраслей сумму, равную xi (a1i p1 + a2i p2 + ... + ani pn ) . Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через Vi (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).
Таким образом, имеет место следующее равенство:
xi pi = xi (a1i p1 + a2i p2 + ... + ani pn ) + Vi
(i = 1 ÷ n) .
Разделив это равенство на xi , получим
pi = a1i p1 + a2i p2 + ... + ani pn + νi
(i = 1 ÷ n) ,
Vi
– норма добавленной стоимости (величина добавленной
xi
стоимости на единицу выпускаемой продукции).
Тогда получаем совокупность равенств:
где vi =
p1 = a11 p1 + a21 p2 + ... + an1 pn + v1;
p2 = a12 p1 + a22 p2 + ... + an 2 pn + v2 ;
............................................................
pn = a1n p1 + a2 n p2 + ... + ann pn + vn .
Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме
следующим образом:
(11.1)
P = AT P + ν ,
T
тгде P = ( p1 , p2 ,, pn ) ; ν = (ν1 , ν 2 , , ν n )T ; A – матрица прямых зат-
рат. Вектор ν = (ν1 , ν 2 ,, ν n ) = νT называют вектором норм добавленной стоимости. Сравнивая (11.1) с моделью Леонтьева (7.3), мы
видим, что полученные уравнения очень похожи. Если в уравнении
77
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы
Леонтьева (7.3) вектор X заменить вектором P , вектор Y – вектором
м
ν , а матрицу A – на AT , то получим уравнение (11.1).
Модель равновесных цен позволяет, если известны величины
норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию
отраслей, а также изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.
Пример 11.1. Рассмотрим экономическую систему, состоящую
из трех отраслей: строительные материалы, энергопотребление, строительная техника.
Пусть
 0,3 0,2 0,2 


T
A =  0,1 0,4 0,1 
 0,2 0,1 0,4 



есть транспонированная матрица прямых затрат, v = (5; 10; 5) – вектор норм добавленной стоимости.
Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой
P = ( E − AT ) −1 ν .
Выпишем матрицу
 0,7 − 0,2 − 0,2 


T
( E − A ) =  − 0,1 0,6 − 0,1 
 − 0,2 − 0,1 0,6 


T −1
(E − A )
 1,7 0,68 0,68 


=  0,4 1,8 0,44  .
 0,64 0,54 1,9 


Тогда
 1,7 0,68 0,68   5   18,7 

  

p =  0,4 1,8 0,44  10  =  22,15  .
 0,64 0,54 1,9   5   18,1 

  

Допустим, что в отрасли, изготавливающей строительные материалы, произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 0,3.
Определим равновесные цены в этом случае. Поскольку вектор норм

добавленной стоимости v = (5,3; 10; 5) , то
о
 1,7 0,68 0,68   5,3   19,21 


  
1,8 0,44   10  =  22,32  .
T −1 =  0,4
P = (E − A ) ν 

  
 0,64 0,54 1,9   5   18,29 
Определив равновесные цены в этом случае, находим, что продукция отраслей подорожала на 2,7; 0,4; 0,8 % соответственно. Зная
объемы выпуска, можно подсчитать вызванную инфляцию.
и вычислим ее определитель:
0,7
T
E − A = − 0,1
− 0,2
− 0,2 − 0,2
0,6
− 0,1
− 0,1 = 0,203 .
0,6
После необходимых вычислений имеем
78
79
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 1
3. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ДОМАШНЕГО
ЗАДАНИЯ
Варианты индивидуального домашнего задания предназначенного для самостоятельного выполнения.
Задание 1 выполняется по формулам (1.1), (1.2), (1.5) и (1.6) подразд. 2.1.
Задание 2 разобрано в примере 8.4 подразд. 1.8 разд. 1.
Задание 3 разобрано в примере 4.1 подразд. 2.4 разд. 2.
Задание 4 разобрано в примере 6.6 подразд. 2.6 разд. 2.
В задании 5 применяется критерий Сильвестра, который рассмотрен в примерах 6.7–6.9 подразд. 2.6 разд. 2.
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a {1; − 1; 2; − 2}; b {3;1; − 3;1} . Найти координаты вектора c = 3a − 2b .
2. Найти ранг матрицы
1 10 
 2 −1 − 5


1 − 1 − 1 − 1
1
3 −2
2 − 8 7


0 − 2 7
1 −2
5
0
1 − 10 2 

с помощью элементарных преобразований.
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
18 0 
а) A = 
 ;
 9 − 1
 4 0 3


б) A =  − 2 − 1 12  .
 5 0 6


4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 3 x12 − 2 x22 − 5 x32 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 2 − 10 2 


A =  − 10
5 8 .
 2
8 11

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
80
81
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 3
Вариант 2
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a {3; 1; 2; − 4}; b {4;1; 0;1} . Найти координаты вектора c = a − 3b .
2. Найти ранг матрицы
 2 2 7 − 1


 3 −1 2 4 
1 1 3 1 


с помощью элементарных преобразований.
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
4
1
 ;
а) A = 
 0 − 5
4
− 9 5


б) A =  0 − 1 − 2  .
 0 2
3 

4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 4 x12 + 2 x22 + 12 x32 − 4 x1x2 + 8 x1x3 + 12 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{3; 2;1; − 1}; b{2;1; − 1; 0}. Найти координаты вектора с = 4a + 2b .
2. Найти ранг матрицы
 2 1 11 


1 0 4
11 4 56 


 2 −1 5 
с помощью элементарных преобразований.
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
0 0
4


б) A =  1 − 5 12  .
 3 − 2 5


4. Найти матрицу квадратичной формы
 2 4
 ;
а) A = 
 1 2
f = 6 x12 + 5 x22 + 9 x32 − 8 x1 x2 − 8 x1 x3 − 2 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 2 −1 2


A =  −1 3 8
.
 2 8 1


 1 1 2


A =  1 5 7.
 2 7 1


Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
82
83
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 5
Вариант 4
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{1; 2; 2; − 3}; b{0;1; 0; 5}. Найти координаты вектора с = 4a + b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{1;1; 3; − 1}; b{5;1; 0;1}. Найти координаты вектора с = 2a − b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
1 0 1 2


 0 1 0 1 .
10 5 10 25 


3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
 3 0
а) A = 
 ;
 6 − 1
7
4 9


б) A =  0 3 − 2  .
 0 2 − 1


4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 2 x1 x3 + 2 x1 x3 − 2 x12 − x22 .
Выделением полных квадратов привести f к сумме квадратов
и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 5 2 2


A =  2 5 7.
 2 7 4


Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
84
1

2
1

1
1 − 3

1 − 2
.
1 1 

2 − 3
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
0
7
а) A = 
 ;
 2 − 4
 4 0 3


б) A =  − 2 − 1 12  .
 5 0 6


4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 2 x2 x3 − 5 x12 − 5 x22 − 2 x32 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 5 −1 2


A =  −1 4 2 .
 2 2 3


Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
85
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 7
Вариант 6
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{1; 2; 3; 0}; b{3; 2; 0; − 1}. Найти координаты вектора с = a + 3b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{1; 0; 3; 0}; b{1; 2;1; − 1} . Найти координаты вектора с = 2a − 3b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
1

1
1

1
1 3 4

1 −1 1 
.
1 4 3

1 7 7 
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
9
 −1
 ;
а) A = 
 0 − 3
4
 10 2


б) A =  − 12 0 − 5  .
 0 0
2 

4. Найти матрицу квадратичной формы
3 
 2 −1 3


3 1 − 5 0 .
 4 −1 1
3 


 1 3 − 13 − 6 
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
2
4
 ;
а) A = 
 0 − 3
 4 0 − 1


б) A =  − 2 5 12  .
 2 0
1

4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 2 x1 x2 + 8 x1 x3 − 5 x12 − 4 x32 .
f = 4 x12 + 3 x22 + 4 x32 + 4 x1 x2 + 4 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 6 − 2 3


A = − 2
4 2 .
 3
2 6 

 1 − 2 3


A = − 2
2 1 .
 3
1 6 

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
86
87
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 9
Вариант 8
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{1; 2; 2; − 1}; b{1; 2; 0; 0}. Найти координаты вектора с = a − 2b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{2; 2; 0; − 1}; b{0; 2;1; − 1}. Найти координаты вектора с = 2a − b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
 1 −1 3 2


 2 − 1 11 6 
 1 −1 3 3.


 2 − 2 6 4
1 0 1 2


0 1 0 1 .
1 0 0 1


3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
 1 − 1 16 


б) A =  0
1 − 1 .
0
1 3 

4. Найти матрицу квадратичной формы
4 7
а) A = 
 ;
 0 − 1
f = 5 x22 + 3 x32 − 2 x1 x2 + 8 x2 x3 + 2 x1 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 1 − 3 7


A = − 3
2 1 .
 7
1 3 

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
88
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
 3 11
 ;
а) A = 
 0 − 1
7
 − 3 11


б) A =  0 5 − 4  .
 0 1
1

4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 2 x1 x3 + 4 x2 x1 − 4 x12 − 2 x22 − x32 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 3 − 4 7


A = − 4
2 5 .
 7
5 3 

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
89
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 11
Вариант 10
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{1; 2;1; 0}; b{2; 2; 0;1}. Найти координаты вектора с = 2a + 3b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{0; 2;1;1}; b{1; 2; − 1;1} . Найти координаты вектора с = a + 3b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
 3 4 −1 5


 1 5 − 2 3 .
 2 −1 1 2


 2 − 4 3 − 3


1 − 2 1 5 .
1 − 2 4 1 


3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
0
6
а) A = 
 ;
 1 − 4
 1 8 − 4


7.
б) A =  0 5
0 3
1

4. Найти матрицу квадратичной формы
f = x12 + 6 x22 + 2 x32 + 4 x1 x2 − 4 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 4 −1 4


A =  − 1 2 1 .
 4
1 3 

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
0
5
а) A = 
 ;
 6 − 2
 − 1 − 2 12 


4 3 .
б) A =  0
 0
5 6 

4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 4 x1 x3 + 2 x2 x3 − 2 x12 − x22 − 3 x32 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
4
 8 −1


A =  −1
3 − 5 .
 4 −5
3 

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
90
91
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Вариант 12
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 13
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{2; 2; − 1; − 1}; b{1; − 2; 2;1} . Найти координаты вектора с = a − 2b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{1; − 1; − 2; − 1}; b{1; 2; − 1; − 1}. Найти координаты вектора с = 2a − 3b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
1

2
3

4
2 3 4

3 4 1 .
4 1 2

1 2 3 
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
0
2
а) A = 
 ;
6 − 7
0
 5 −7


1
0 .
б) A =  − 3
 12
6 − 3 

4. Найти матрицу квадратичной формы
 2 1 −1 1 


 3 − 2 2 − 3 .
 5 1 −1 2 


3 
 2 −1 1
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
4
5
а) A = 
 ;
 0 − 3
2 0
−3


1 0 .
б) A =  − 2
 15 − 7 4 


4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 4 x1 x3 − 2 x2 x3 − 2 x12 − 2 x32 .
f ( x) = 5 x12 + 2 x22 + x32 − 2 x1 x2 + 4 x1 x3 + 8 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
3
1
5


A = 3
6 − 5 .
1 −5
1

6
1
− 3


A= 6
7 − 5 .
 1 −5
0 

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
92
93
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 15
Вариант 14
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{1; 0;1; 3}; b{1; 0; − 2; − 1}. Найти координаты вектора с = 2a + 3b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{1;1; 2; 3}; b{1; 2; 2; 4}. Найти координаты вектора с = a − b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
1 0 1 2


0 1 0 1 .
1 1 1 3


3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
10 3 
 ;
а) A = 
 3 2
 5 0 − 12 


б) A =  7 4 − 9  .
 2 0 − 5


4. Найти матрицу квадратичной формы
f = − x12 − 3 x22 + 4 x1 x2 − 6 x1 x3 + 2 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
2
4
4


A = 2
3 − 4 .
4 − 4
1

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
94
1 3

 2 −1
3 −5

 1 17
2 1

3 0
.
4 0

4 1
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
0 6
3


б) A =  7 − 2 9  .
4
0 5 

4. Найти матрицу квадратичной формы
4
0
а) A = 
 ;
 4 − 6
f = x12 + 2 x22 + 4 x32 + 2 x1 x2 − 4 x1 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
4
3
3


A = 4
2 − 5 .
3 −5
6 

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
95
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 17
Вариант 16
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{2;1;1;1}; b{1; − 2; − 1; − 1}. Найти координаты вектора с = a + 2b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{1; 2; − 3; − 4}; b{1; − 2; 3; 0}. Найти координаты вектора с = a + 2b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
1 − 2 1 1 


1 − 2 1 − 1 .
1 − 2 1 5 


 1 1 −1 2 


5 1 2 1 .
 4 0 3 − 1


 3 −1 4 3 
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
 2 2
а) A = 
 ;
 1 3
8
 9 0


б) A = 10 4 − 7  .
 0 0
1

4. Найти матрицу квадратичной формы
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
 2 4
а) A = 
 ;
 1 5
0 0
9


б) A =  2 − 5 7  .
6
3 − 1

4. Найти матрицу квадратичной формы
f = x12 + 3 x22 + 8 x32 + 2 x1 x2 + 8 x2 x3 .
f = 4 x12 − 2 x22 − 12 x32 + 4 x1 x2 + 12 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
0
 4 −2


A = − 2
5 − 4 .
 0 −4
7 

2 − 1
 1


A= 2
0 − 5 .
 −1 − 5
5 

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
96
97
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 19
Вариант 18
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{0;1; 2;13}; b{− 2; − 2;11; − 12}. Найти координаты вектора с = 2a + 2b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{2; − 1; 0; 7}; b{4; − 4;15; − 2}. Найти координаты вектора с = 2a + b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
0
1 3
 2


 − 3 − 2 −1 2 .
 −1 2
2 1 

1 0 1 2 


0 1 0 1 .
 6 4 6 16 


3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
 7 2
а) A = 
 ;
 5 4
 5 −1 4


б) A =  0 10 3  .
0
3 2 

4. Найти матрицу квадратичной формы
5
− 6
а) A = 
 ;
 5 − 6
 21 0 0 


б) A =  16 21 2  .
 1 11 0 


4. Найти матрицу квадратичной формы
f = x12 − 3 x22 + 4 x1 x3 − 2 x2 x3 .
f ( x) = x12 + x22 + x32 − 2 x1 x2 + 8 x1 x3 + 4 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 6 − 2 1


A = − 2
1 3 .
 1
3 7 

 1 − 3 6


A = − 3
3 0.
 6
0 1

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
98
99
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 21
Вариант 20
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{2; − 1; 3; 2}; b{4; − 3; 5; − 7}. Найти координаты вектора с = 3a + b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{3; − 2; 4; 8}; b{4; − 1;1; 0}. Найти координаты вектора с = a − 2b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
 2 1 −1 1 


 1 2 1 − 1 .
1 1 2 1 


 1 − 2 − 1


1 2 .
3
1
2 2 

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
 9 − 11
а) A = 
 ;
 6 − 8
6 − 3
 12


0.
б) A =  5 − 7
− 3
1
0 

4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 2 x12 + 5 x22 + 10 x1 x2 + 8 x1 x3 − 4 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 2 − 2 6


A = − 2
4 5.
 6
5 1

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
100
− 6 7
 ;
а) A = 
 4 6
7 5
9


б) A =  3 − 2 0  .
 2 −1 0


4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 4 x12 − 2 x22 + 3 x32 + 4 x1 x3 − 4 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 1 − 7 2


A = − 7
4
1 .
 2
1 − 1

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
101
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Вариант 22
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 23
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{2; − 1; 4; 6}; b{3;1;12; 0}. Найти координаты вектора с = 3a − b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{2; − 1;1; 3}; b{3; − 2; 3;1}. Найти координаты вектора с = 2a + 4b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
 4 3 −3 0 


 4 0 − 2 −1
12 − 3 − 5 − 4  .


−
−
0
3
1
1


3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
13 − 6 
;
а) A = 
0 
 7
 4 0 3


б) A =  − 2 − 1 12  .
 5 0 6


4. Найти матрицу квадратичной формы
 3 −1

2 − 4
1 3

5 − 5
5

3
.
2

8
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
3
 10
а) A = 
 ;
 − 12 − 10 
б)
2 0
−3


A = − 2
1 0 .
 15 − 7 4 


4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 4 x12 + 2 x22 + 3 x32 + 4 x1x3 − 4 x2 x3 .
f = 3 x12 + 2 x22 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 − 5 −1 6


A =  −1 7 9 .
 6 9 1


6
 4 −1


A =  −1 − 5
0.
 6
0 − 6 

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
102
103
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
3. Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 25
Вариант 24
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
1. Найти нормы и скалярное произведение векторов a и b , если
a{2; − 3; 0; 7}; b{4; − 1; 0; − 5}. Найти координаты вектора с = 3a − 2b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
a{1; − 2; − 4; 3}; b{2; − 4; 0; − 6}. Найти координаты вектора с = 2a + b .
2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы
 1 − 3 − 4 20 


 3 − 1 − 20 − 4 
 3 2 − 23 17  .


−
2
3
17
23


3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A , если матрица задана следующим образом:
 8 − 2
а) A = 
;
1
6
7
4 9


б) A =  0 3 − 2  .
 0 2 − 1


4. Найти матрицу квадратичной формы
2 5

4 6
 4 14

2 −3
1 3

3 5
.
1 7

3 2 
3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А , если матрица задана следующим образом:
8
 6
а) A = 
 ;
 − 5 − 8
 4 0 3


б) A =  − 2 − 1 12  .
 5 0 6


4. Найти матрицу квадратичной формы
f = 4 x12 + x22 + 4 x32 − 4 x1 x2 + 8 x1 x3 − 4 x2 x3 .
f = x22 − x32 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 .
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
Методом выделения полных квадратов привести f к сумме квадратов и определить тип формы.
5. Дана симметрическая матрица
 − 3 − 4 6


A = − 4
0 5.
 6
5 1

 8 − 3 − 5


A = −3
1
4.
− 5
4
1

Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
Составить соответствующую ей квадратичную форму X T AX
и определить тип формы с помощью критерия Сильвестра.
104
105
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Оглавление
Рекомендуемая литература
1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1
[Текст] / Д. Т. Письменный. – М.: Айри-Пресс, 2011. – 288 с.
2. Клиот-Дашинский, М. И. Алгебра матриц и векторов [Текст] /
М. И. Клиот-Дашинский. – СПб.: Изд-во «Лань», 1998. – 160 с.
3. Линейная алгебра: метод. указания к выполнению самостоятельной
работы для студентов I курса [Текст] / сост. М. И. Клиот-Дашинский; ЛИСИ. –
Л., 1988.
4. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры [Текст] / А. И. Мальцев. –
М.: Изд-во «Лань», 2009. – 480 с.
5. Ильин, В. А. Линейная алгебра [Текст] / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. –
М.: Физматлит, 2010. – 280 с.
6. Солодовников, А. С. Математика в экономике. Ч. 1 [Текст] /
А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 224 с.
7. Основы линейной алгебры: метод. указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей [Текст] / сост.: Л. Е. Морозова, О. В. Соловьева. – СПб., 2005. – 39 с.
8. Математика для экономистов [Текст] / под ред. Н. Ш. Кремера. –
М.: Юрайт, 2012. – 688 с.
9. Боревич, З. И. Определители и матрицы [Текст] / З. И. Боревич. –
СПб.: Изд-во «Лань», 2009. – 192 с.
1. Системы линейных уравнений и их решение ........................................... 3
1.1. Cистемы линейных уравнений ............................................................... 3
1.2. Матричная запись системы уравнений .................................................. 4
1.3. Системы с неособенной квадратной матрицей.
Формулы Крамера .......................................................................................... 6
1.4. Системы уравнений в базисной форме .................................................. 9
1.5. Метод Гаусса .......................................................................................... 11
1.6. Нахождение решения в базисной форме ............................................. 21
1.7. Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса ................................ 24
1.8. Ранг матрицы ......................................................................................... 28
1.9. Условия совместности и определенности системы линейных
уравнений. Теорема Кронекера – Капелли ................................................. 33
2. Линейные преобразования. Квадратичные формы ............................... 38
2.1. Понятие об n-мерном арифметическом пространстве
и n-мерном векторе ....................................................................................... 38
2.2. Линейная зависимость и линейная независимость системы
векторов ......................................................................................................... 41
2.3. Линейное преобразование векторов........................................................45
2.4. Собственные векторы и собственные значения .................................. 51
2.5. Модель торгового баланса .................................................................... 55
2.6. Квадратичные формы ............................................................................ 57
2.7. Балансовая модель (модель межотраслевой экономики Леонтьева)....64
2.8. Критерии продуктивности балансовой модели................................... 68
2.9. Запас продуктивности ........................................................................... 73
2.10. Вектор полных затрат .......................................................................... 75
2.11. Модель равновесных цен .................................................................... 76
3. Варианты индивидуального домашнего задания ................................... 80
Рекомендуемая литература .............................................................................. 106
106
107
Л. Е. Морозова, О. Р. Полякова. Линейная алгебра. Часть 2
Учебное издание
Морозова Лидия Евсеевна
Полякова Оксана Рудольфовна
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Часть 2
Учебное пособие
Редактор А. В. Афанасьева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 13.05.14. Формат 60 84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 6,3. Тираж 150 экз. Заказ 35. «С» 20.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
108
109
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 209 Кб
Теги
lin, ch2, algebra, morozov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа