close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Sinkevich Funkzii kompleksnoi

код для вставкиСкачать
Г. И. СИНКЕВИЧ
Г. И. СИНКЕВИЧ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теория и практика
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теория и практика
- -
. . -
2016
1
. ! 517.31
""! 22.161.1+22.161.5
: . #.-$. , %. &. '
()%);
. #.-$. , /. ). )# ())
, . .
$4
4$
. '
4: / ). 9. ; )%. – ., 2016. – 182 .
ISBN 978-5-9227-0595-0
> 4 $
?$, $
, > # $4
4$
1545 . $4 >
$
!
«A
» 4
1868 ., 4
#
?
9 >
>
C A #
$
$ 4
# D
. A > ED $: $4 $; 4
$4 ; # $4
4$
, 4
; #
$ >; ##
# $4
4$
; !
?; 4
> #
$ !
?; ; 4
>. E ?
?$ 4$
$
.
)% 4
«
$$».
!"# $ 4 4
$$ XVI . >
$
!
(1501–1576). #
$ ? , 1545 . «A
4 » !
$ 4
( x 3 + ax = b , x 3 = ax + b , x 3 + b = ax ) 4
( x 3 + ax 2 + bx + c = 0 )
4
$
DE 4
#
$,
E $ $ 4
$$ #
$ !
:
b
b2 a3 3 b
b2 a3
+
+
− − +
+
.
2
4 27
2
4 27
! #
$, 4 4
4
?
4
$
, $
.
x=3
9. 47. "
.: 11 .
.
-
>
$
!
(1501–1576)
ISBN 978-5-9227-0595-0
© ). 9. , 2016
© - -
, 2016
2
!
? $
(
«
>$»), $4 ( $
– «4
#»). F $, 43
. $ 4
$ $ 4$ (4$,
− − 5 ⋅ − 5 = 5 ), $ E, $ED$ , $
>
44 $4 . A
$
>
, $4$ $ !
4? 4
$$ $. G H
$ 4 4
ED$ 4
$4$ $, 4
E 4 .
A XVII – XVIII . E, 4
> $$ : 4
#$ , >? 9. "
&$, #
$ (1707 .), E $ $ (cos α + i sin α )n = cos nα + i sin nα .
FD >, $E D$ a + b −1 , 4$ 1742 .
4$ /
E I " &
J (1707–1783) – $$ ?
4
>, $
?
. A > J 4
E $ #
$ $ 4
e + v −1 + e − v −1
e + v −1 − e − v −1
, sin v =
, , #: cos v =
2
2
>: e + v −1 = cos v + − 1 sin v , e −v −1 = cos v − − 1 sin v , > #
1
1+ − 1 tgz
$ z =
( 4
ln
2 − 1 1− − 1 tgz
J
$ – 1728 .).
A 1777 . J $$
i (
$ imaginaire – $$), ?
$$ H
? XIX . '$ «
$4
» !
1803 ., «
4>» 4$ !
? 1821 ., $ «
E » $
A? 1860- .
A XVIII . $4 4$ 4
>
4$ ? $
4
$. F4$ $ H
4
> $ $ $ J.
= ³ (udx − vdy ) + i ³ (vdx + udy ) , f ( z ) = u + iv . J
4
-
4
5
&
J (1707–1783)
$ «F4 4
>
» (1752 .) 4
$ 4
> >
, $ 4 4E #:
u ( x, y ) v( x, y ) – 4
>
∂u ∂v ∂v
∂u
– 4
$
= , = − , ED$, ∂x ∂y ∂x
∂y
> vdx + udy udv − vdy 4
## (4
H E $ !
?–$). 4
$
DE
4
## > 4
$4
$ 4 $ #
#
$$, , u – H
4
# $4
4$
,
v – H
H## 4 i > #. A 1755 . J 4? $ > $, 4
> , $$ E
# $
E H$ $. A J > H$ # $4
4$
. A 1776 .
J 4 4
$
DE $4 4$, , ³ f ( z )dz =
. 1813 . !
? 1814 . 4
$4
.
A 4
$ 4
# J
#
$
> 4
D
4
, 4
$4E 4$E.
A 1797 . # !4 A (1745–1818) ? $ 4
, ? $
$
E $4 .
$4 4
4
4 1831 ., 4
$
$$ ! ) (1777–1855) «'
», E? $E 4E $4 . ) > ?
4 #, $ H4. /$
E H4 # > $$ / % (1802–1829), 4
> $ $$ ! K
(1804–1851), «/
H4 #» (1829 .) >
E H-#, 4 D $. A4
$
H4 # L. &, M. "
,
L. ", M. J$ %. ).
F
$ E # $4
4$
# $$ FE !
? (1789–1857). F $ $
4 ,
4
E 4
>$, 4
E #
$ > 4
. /
«» (
) O, 4
-$
$, $, !
? 4? H
$ 4
E, $> $, $ 4
$ $ 4$, $ED$ D , $>
$ E 4
E #. /
!
? >
? #, ? $
#, 4
. P 4$
H
?
# , ? $$
$.
6
FE !
? (1789–1857)
A 1843 . # > $$ &
(1813–1854) 4 > # $4
4$
, 4
##$
$ , 4
$ 4
>$ $ 4$.
%#
&
(1813–1854)
A 1862 . 4 ?
> J>
? (1832–1910) 4
E, >DE $ 7
. #. "
H
$ 4
D $ ? $, $
$ , 4.
A 1851 . " $ (1826–1866) 4 E $E E E «F
D # $4
4$
», 4?E H4 # >?E 4
4
($
4
),
1857 . H «'
#». A $ 4: «D
? D
$
$
H #1 $ 4
# 4
$ #
$, 4
ED >
$; ?$ 4
, , 4D
# $4
4$
, 4 , , $
$ $
> $?
$
$». A 4$ 4$ 44
, , 4
ED 4 4
# $
> #
$
,
$ 4
EDE 4
E 4
#: H
#, $ 4$
z $
4
4
E, 4$ # $ ,
D $ , 4
H
$ , 4
D >
. %E #E $ 4 : «$ w # 4$
$4
z, $ $ , ##dw
$
##
dz
∂ 2u ∂ 2u
∂ 2v ∂ 2v
dz »2. J
+
=
0
,
+
= 0 , ∂x 2 ∂y 2
∂x 2 ∂y 2
, $$ #
$4
4$
E $
$ #$.
1
%, , 4
, H4 ($. . . . : F)9P ; )
, 1948. . 81).
2
. . . : F)9P ; )
, 1948. . 50.
8
" $ (1826–1866)
$$ 4
, 4
$ $
4 $> . $ 4
4
4
4
$ 4
, , E E 4
$
4; > 4 $ED$ . H
$ 4
4
> , 4 4
4> 4E $. , E
>D , ? . A $ 4
$
. , $ 4D 4
E, 4
$ .
$ #
$
$E $ D
#
$
> E: « 4
4
$
>
$> , >
4
$ 4$DED ED 4
$
$; 4 H
$
$
>
$
ED 4
; ? 4
»1.
1
. . . : F)9P ; )
, 1948. . 83.
9
. 1850- . $ $$ ! A? (1815–1897)
4
$ #$. F $
4
!
? &
, > E 4
> 4 . A A? # 4
, ?
. 9$
$ $$ #
$
. A? 4
> E , 4
> 4
44 D
> $
>.
F 4
$
>
4
4
#, 4
4$ ##$
# (
4?
$ H
$ "
). A? 4
, $ 4
4
$
?$ $ # – $
– 4
E
4
$
4
E
4
#.
? E H4 #, > # # –
$ >$ XIX . F >
# $
$4 4$, D ? 4 $ , $$ 4
. A? 4
# $4
4$
4
> ). -&## ). M.
A E # $4
4$
/. 9. &
$ 1826 . $. A 4
ED $$ 4
4
> H
#, $
$, $
&
$ $ $ # $4
4$
.
A 1850 . 4
#
9. 9. $
4 4
# $4
4$
«F
#».
A 1866 . 4
. G. AD
P
«$
# 4$
».
$ 4
-
D$ $ $ $ # $4
4$
C A (1842–1927), « » !
?.
! A? (1815–1897)
A? 4
$ 4 , $> ?$ 4
>, #, 4 -
C A (1842–1927)
10
11
. C ! A? $ .
F $ , 1866 .,
1868 . D $E E «'
$ 4
>$». 1868 . 44
$ , 1869 4
1909 . –
9 > >
( )%), 1874
4
1909 . 4
#
$ # $$. A 1873 . D E E «F 4 #, 4
$ 4 > ».
A $
4
> DE 4
( &>) >E # 4 , > $
$ &>. A 4
, $ $$
,
, « $ ?
$… A D$
> E D 4
E 4$, $
,
? $> $ !
? > ? > 4
#
$, $ 4».
A H
#
$
$ $
4
# D
. ED$ : «G
# f ( z ) z0 D ∞ 4
, 4$
H
> # f ( z )
> 4$ $
> ». P D
, f ( z ) «
D ∞ 4
» ($ > #
f ( z ) z0 ), 4
$ # f ( z ) z0
4
$ $
>
4 #
H
. J
4$
, $ $ 1
« z = b 4$ $
> (4$, sin
z −b
»), 4
$ >, 4
D ED $. J $ $ >
4
$ $$
$ !
, $E $ 4
– A?
$ «! #». H
$ $
>
$
–!
–A?.
12
13
. ЛЕКЦИИ
$ 1. % ! ! !& 1. $'( ('. &)( * $'(+$ ('$
z 4
(a,b) $ 4
$ a b. J
4 z = (a, b ) . Q
a $4
z a = Re z;
b z b = Im z.
$4 z1 = (a1 ,b1 ) z 2 = (a2 ,b2 ) ! , $$ ,
z1 = z 2 ⇔ (a1 = a 2 , b1 = b2 ) .
$4 z1 = (a1 ,b1 ) z 2 = (a 2 ,b2 ) $4
z = (a, b ) , a = a1 + a2 ; b = b1 + b2 . $ 4 E 4$ >, z1 + z 2 = z 2 + z1 z1 + ( z 2 + z3 ) = ( z1 + z
+ z 2 ) + z3 .
" $4
0, $$ E$ $4$ $ H
$ , z + 0 = z .
F
, D $4
0 = (0, 0 ), ED H$ $.
!
$4 z1 = (a1 ,b1 ) z 2 = (a 2 ,b2 )
$4
z = (a, b ) , a = a1a2 − b1b2 ;
b = a1b2 + a2b1 . $ 4 4
4
E
4$, 4 , z1 z 2 = z 2 z1 , z1 ( z 2 z3 ) = ( z1 z2 )z3 ( z1 + z 2 )z3 = z1 z3 + z 2 z3 .
AE$ $
>
$4
, $ a $4
a = (a, 0 ). '
, 4 >
$
>, $4 E 4 $ $. H
$ $
>
14
$4 $ ? $
>
(
4
). P$$, $
> (1,0) $ $4
.
!
$4
z = (0, b ) $
z = ib. Q
$$
(0, b ) = ib
$
>
$ 4
$$
(0,1)
(b, 0 ). # E $
$ (0,1) = i. A 4 4
$4 4
? i ⋅ i = i 2 = −1. F
4
4 4$
$ $
$!
%
! 4 $4
z = (a, b ) = a + bi 4
4 > $
> $4 4
$ 4$ $
.
!
$4
z = a − bi !&' z = a + bi.
F4 & $4 4 4, >E. !
$4
z = a + bi !
$4 z1 = a1 + b1i z 2 = a2 + b2i, a = a1 − a 2 ; b = b1 − b2 .
F4 & $4 4 4, $
>E. !
$4
z = a + bi $4 z1 = a1 + b1i z 2 = a2 + b2i ≠ 0, z1 = z ⋅ z 2 . FE , a $$
b z 4E $ ­a 2 a − b2 b = a1 ,
4$ a22 +b22 ≠ 0.
®
¯b 2 a + a 2 b = b1
z a a +b b
b a −a b
? H $, 4
$ z = 1 = 1 22 12 2 + i 1 22 12 2 .
z2
a2 + b2
a2 + b2
2. $( - $'(+/ ('
' $4
4 4 , z = a + bi 4
( x, y ) $ $ x = a y = b. Q
z = 0
15
. . 'E 4
$
, – , – $4
4
. H
$ $
$>
$
>
$ $4 $
>
$ $4
4
, > $> $
>
$ $4
z = a + bi $
>
$ ( !
, 4
x y
a b.
A>
!$& %
! !& $4
. 4 4
> 4
$
>
4
4
$ $ (ρ, ϕ ), ρ – , ϕ – , 4
>$ 4$ .
>$ 4$ $ ϕ 4 4
(− ∞ < ϕ < + ∞ ). A
4
?
E 4
x = ρ ⋅ cos ϕ; y = ρ sin ϕ,
4
$ !$
! %
! 4 $4
:
z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ ). H
$ ρ E , ϕ – !$
$4
E ρ = z ; ϕ = Arg z. FEb
, ρ = a 2 + b 2 ; tg ϕ = ( a b 4 a
ϕ).
F$$, $ $4
4 , E $
, 2π.
9
arg z $, E
4 ϕ0 ≤ arg z < 2π + ϕ0 , ϕ0 – 4
#
'
, 4$
ϕ0 = 0
ϕ 0 = π.
Arg z = arg z + 2πk (k = 0, ±1, ± 2, ...). %$ $4
z = 0 D 4, $
E.
$4 $> , $
, $
, E , 2π.
!
$4
4> $E > $
,
$
4 ED$ $ E $.
16
94
E #
$ J e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, 4
$ $E %
! 4 $4
: z = ρ ⋅ e iϕ .
>
> 4 > $4 ED$ 4$ $
. 1
(. 1).
H
$ :
z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 ; z1 − z 2 ≥ z1 − z 2 .
$4 $E $ $ $> ED$ $ 4
.
F$$, $ , z ≥ a; z ≥ b.
4
! '& 4
$
#
$
4 $4 .
4$ $
> 4
$:
z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) = z1 ⋅ z2 = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ρ 2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) =
= ρ1 ⋅ ρ 2 (cos ϕ1 ⋅ cos ϕ2 − sin ϕ1 ⋅ sin ϕ2 ) +
+ i ⋅ ρ1 ⋅ ρ 2 (sin ϕ1 ⋅ cos ϕ2 + cos ϕ1 ⋅ sin ϕ2 ) =
= ρ1 ⋅ ρ 2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )) = ρ1 ⋅ ρ 2 ⋅ ei (ϕ1 + ϕ2 ).
FE ρ = ρ1 ⋅ ρ 2 ; ϕ = ϕ1 + ϕ 2 .
A & $4 4 ρ 2 ≠ 0 z1 ρ1 i (ϕ1 − ϕ2 )
= ⋅e
.
z2 ρ2
3. 0' 0 $'(4 ('
'
$ 4
#
$ $4
4 $
4 $4
E 4
>E 4 $4
.
G z = z1n , ρ = ρ1n ϕ = n ⋅ ϕ1 .
17
. !
$4
z1 = n z $ n- 4 $4
z1 , z = z1n , , ρ1 = n ρ
ϕ
ϕ= .
n
! > , $ $4
4
, E $
, 2π.
H
$ > $ $4
z1
ϕ 2πk
ϕk = 0 +
, ϕ0 – $ $4
n
n
z1 , 4
$, DE $4 ,
4 n-E 4 $ $ >
$4
$ z. H $4 2π
. Q
n ρ , $ E , n
n- 4 $4
z n.
'
$4
4
, ED $
$ n- 4 $4
z, 4
>
? 4
n-
, 4
>
n ρ $ z = 0. ED ϕ k
4
E 4 k = 0, 1, ..., n − 1.
! 4
? $
>
, H$ 4 > $
>, 4 H
?
$
>. !
$, $4 ? H .
4. $+
1. / $4
z = i = e
i
π
2,
i . P4 4
#
$
4
$ H
$4
> z k
k = 0, 1 (. 2):
18
π 2 πk
i +i
=e 4 2
,
π
i
π
π
2
(1+ i );
z0 = e 4 = cos + i sin =
4
4 2
π
5π
i
i
2
z1 = e 4 = − e 4 = −
(1+ i ) .
2
p
2. / 1,
p > 0 – . A
4
?
4$
i ⋅0
1 = e , 4D$ i⋅
2π
⋅k
p
4
$
zk = e
,
k = 0, ..., p − 1. ,
z 0 = e i⋅0 = 1;
z1 = e
i⋅
i⋅
2π
p
. 2
2π
2π
+ i sin ;
p
p
………….
= cos
2π
⋅( p −1)
p
− i⋅
2π
p
2π
2π
− i sin .
p
p
'
p- 4 1 $ p . J $4 E ?$ 4
p-
, 4
>
$ z = 0, 4$ ? > z = 1.
z p −1 = e
=e
= cos
−i
π
3,
3. / 1 − i 3 . ' z =1 − i 3 = 2e
$4
4
$ > zk = 2e
z0 =
π
−i
2e 6
π 2 πk
−i +i
6
2 ,k
= 0, 1. FE
π
π · 3 −i
§
;
= 2 ¨ cos − i sin ¸ =
6
6¹
2
©
5π
6
3 −i
= − z0 .
2
9, n- 4 $4
4 4
#
$ 4 $4
z1 = 2e
i
=−
19
. , n- 4 $
$4
( #$
– 4
>
–
), $ $4
n. 4
$ $
$.
$ 2. & &!6
%7 1. *' (/*8)( ('*'9(
4
# $4
4$
?
$ 4 $4E . F$ #$ 4
4
4, , , 4
D
4
. %
E E ED 4
$4 . H
$ $
4, 4$ 4
$, 4
E
4
E ED 4 # 4$
.
( & !!
'
( . A ?$ 4
$4 $ $ $
$ {z n } . !
$4 z n , ED 4
{z n } , E H$$. F4 E $
>
4
ED H$
( ,
H$ 4
$
).
)
z & !
{z n } , & $
'
$
ε '
!
N(ε), & !
$
* zn *
!& ! z − z n < ε ! n ≥ N (ε ).
{z n } , +& ! z, &
(
&+& z, & lim z n = z .
n →∞
20
$
4 4
4
$4
4
4
ε-
$4
4
.
#
'
z , '+( ! !'
! ε !
z0 , ( z − z0 < ε ), & ε-
!
z0 .
/ *
$
!& , z &&& !
(
&+& {z n } , ε-
!
z ' * *
, & !
$
!, &+$
ε.
>
$4
z n = a n + bn i 4
an bn , 4
$4 {z n } E 4
{an } {bn }, , , $$ H$
z n
4
{z n } .
9$ $
ED >.
1.1. "
(
(
{z n } &&& (
( {an } {bn }, ( z n = an + bn i ) .
0
. A $
$ , 4
{z n }
z = a + bi, E
ε > 0 an − a ≤ z n − z < ε
bn −b < ε 4 n ≥ N (ε ). J
$
4
{an } {bn } a b . F
>2
2
? z n − z = (a n − a ) + (bn − b ) , a b –
4 4
{an } {bn }; z = a + bi.
{z n } & $!
, + '
M, & ( *
z n *
!
z n < M .
F
4
ED $.
1.2. / &
$!
'
(
&+& .
21
. 0
. 4
{z n } , , ED 4
{an } {bn } > . $
$ 4
{an }. ' , $
>
{ }
DE 4
4
ani , 4 -
{ }
$ a. ani 4
{bn }, > ED . H
$ $
>
DE 4
4
{bn }, 4 $ b. H
$ ED 4
{an }
i
k
ε>0
E
$
m>0
an − an + m <
ε
2
4
n ≥ N1 (ε )
ε
4 n ≥ N 2 (ε ). A N (ε ) ?
2
N 1 N 2 , 4
$
z n − z n + m < ε 4 n > N (ε ).
bn − bn +m <
$ 4 !
?.
9 ? z n − z n + m < ε 4 n ≥ N E a n − a n + m ≤ z n − z n + m < ε bn − bn + m ≤ z n − z n + m < ε , ED
4
-4>$ a. FE , 4
$4 z nk = ank + bnk i > D, 4$ lim z nk = z = a + bi , $.
$ $ $
4
{a n }
{bn }, $
4
{z n }. '$ $$
, $
4
{z n } $4$ H$$ $$ $ 4
!
?.
2. ) :
3. ;( <*' $
4
$
$ $ 4 $
4
, 4
$
!
?.
. {z n } (
& $
$, $ & $
ε > 0 '
N (ε ) , z n − z n + m < ε ! n ≥ N (ε ) & $
! m ≥ 0.
A$ 4
$4
4
, D
?
. 4
$4 {z n } , E
4
>
R $ N, 4
E E z n > R 4 n ≥ N . 'E
4
$ ED. $ 4$, 4
,
4
4
, 4 $. '
4
> ED 4
. Q
> H
, $ $4
z = ∞ & $!
!+
(
&+& *
, $ 4
$
E $4
4
. A$ 4
4
$4
4
, D $4
4
H$ – z = ∞. P$$,
$ $4
∞ 4, > k
{ }{
}
nk → ∞
0
. 4
$ H
E
$
4
{z n } 4
{a n } {bn }, > $ $, !
? $$ $ 4
$
$
4
. /$
$
!
?. ' 4
{z n } , 4
{a n } {bn }. FE , E
22
23
. $$ . G $ 4
$ $
E, H$$ ED 4
{z n } $4
4
, >$, $$
4
$ $ 4
E $ , $
?$. F$$, 4
$ ∞ !& 4
$4
4
.
F4$ z = ∞ . 9 H$
ED 4
{z n } ­1½
$ 4
® ¾ . J 4
¯ zn ¿
z = 0. , 4D $
-
1
<ε
zn
4 n ≥ N . F
>: 4
{ζ n } E H$-
, E
ε > 0 $
>
$ N, ­1½
, 4
® ¾ ¯ζ n ¿
.
1
1
A H$ 4
E = 0 = ∞ . A
D, ∞
0
E ? z ⋅ ∞ = ∞ 4
z
z ≠ 0 z + ∞ = ∞ , = 0 4 z ≠ ∞ , ∞
4
4
4 > $
>.
∞
H
4
4
.
∞
24
$ 3. # . %6
1. (+ *'
A$ 4
# $4
4$
. J
4
>, 4
# 4$
. "$ , $
> E $4
4
# $4
4$
, ,
D >
$
> E $4
. >
E $ $
>
$ $
4$
. H
$
> $
>
$ >
, #
$4
4$
$E $
> 4
. ?
$ 4
4
$
4
.
'
z ! ' E, D ε-
z, 4>
$
> E. /4$, z $
> z ≤1 , z <1; z =1 $
>.
#
'
E & , && + &: 1) '& ' E – !&&
*
$
'; 2) ' E '
, !
!' E.
A $ 4 $
. /4$, $
>
z <1 . '
> ε-
z0 ( z − z0 < ε ) . >
z ≤1 E, E $. '> E $
$
>
z ≠1 $
>
{z < 1, z − 4 < 2}, 4
E $.
4$E J, G, D.
'
z 1 J, D ε-
z, 4> J.
25
. '
z $!
J, E
ε-
> , 4>D J,
, 4>D . /4$, z =1 z <1 . ( $!( ! $! . A ?$ $
$ $ γ, ), . ?$ 4$
$ ,
, , $
> $
> . /4$, $
>
z ≠ 0 $4
4
, z = 0.
#
'
, !
( $!( , & . P$E
E, $
$ ,
4$: J , G, D.
A ?$ $ $ $ , 4 , , , $
> . H
$ $ ,
$
. /4$, z −i < 2 E, – >
z −i = 2;
1< z < 2 4 E ;
$
>
z ≠ 0 – E . .
G J $ > , $!
, 4
$ –
$!
.
$ $ $ , $
>
E $4
4$
4 J $E J $4
4
. '
& %& !
z, & J, !&& , &+ '
z J !
w.
$
$ 4 w = f ( z ).
>
$4 w, ED $
z∈ J , '
% f ( z ). >
$4
4
, $4
# w = u + iv $4
4$
z = z + iy H
E # 4$, $
> 4
w( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ).
u ( x, y ) v( x, y ) 4 J 4
4$ (x, y), ED J
$4
4
z. u ( x, y ) , # v( x, y ) – E # w = f ( z ) .
A ?$, H
, $ $
4
H$ 4$, E
# f ( z ) $
$ u, $$E – $
$ v.
Q
$E $
# $4
4$
, >
$ E z∈ J $4 . $ $ $
# $4
4$
. $
$
# 4
>.
>
w # f ( z ) $4
4
w $
> $ $E E . A ,
H
$
> G $ G . A ?$
$ $ $ . H
$ $ 4 4
# f ( z ) $4
4$
E $, $ w = f ( z ) $> $ J $4
4
z $ G $4
4
w. F
,
– >
w∈G z J. J
, G $
# $4
4$
w: z = ϕ(w ). J # # f ( z ). F G # ϕ(w),
, E # f ( z ). G # ϕ(w), # f ( z ), J,
# G, $> $ J
G $
.
26
27
. 2& f ( z ) & % J,
!( ( z *
! !
&.
9 H
4 , #, , .
2. +(9
$ 4
E 4
# $4
4$
. # f ( z ) 4 $ $
> E. $
$ 4
H
$
> {z n } , D z0 D z n , z0 (
z n ≠ z0 ), ED $ 4
# { f ( z n )}. H
$
44
, z0 D $
>
E, DE 4
{z n } H
$
>, D z0 . 3, ! ,
{z n } + !
lim f ( z n ) = w0 , *
! & ! z n → z0
, !
% f ( z ) z0 , &
lim f ( z ) = w0 .
z → z0
Q
4
4 4
4
(4) #.
)
w0 & ! % f ( z )
z0 , & $
ε > 0 '
δ > 0 , & ( z∈ E !&+( 0 < z − z0 < δ !
f ( z ) − w0 < ε .
P$$, 4, 4
, $
$ ? z0 w0 .
>$ H
H 4. #
f ( z ) $ 4E. A
$$ 4
4
>
ε $ ED δ(ε ) .
$
$ 4
E 4
{z n }→ z0 $
28
$ N (δ(ε )) = N (ε ) , 0 < z n − z0 < δ . '
, 4
E, f ( z n ) − w0 < ε n ≥ N (ε ) , ε > 0 – E
, H
,
4
4
{z n } , , lim f ( z n ) = w0 , # 4
$
z n → z0
4E. '$ $$ 4 4
.
>$ 4, 4
4 .
4
>$, H
. '
$
>
ε 0 > 0 , E
δ n > 0 z n ∈ E , 4
0 < z n − z0 < δ n 4
f ( z n ) − w0 > ε 0 . A$ $DE E 4
{δ n }→ 0 EDE 4
{z n } , ED
4$ ? $. F
, {z n }→ z0 , 4
{ f ( z n )} w0 , E w0 ? $ ε 0 . /
4
4
4
$ 4E. , 44
> , 4
4 . J
4 .
! 4$
, >$ 4
4
#. /$ 4
4
. H
$ $ , z 0 , 4 H
4
, 4> $
> E
#.
2& f ( z ), & ' E, & !!
z0 ∈ E , !
*
%
z0 +, f ( z0 )
% f ( z ) z0 , lim f ( z ) = f ( z0 ).
z → z0
J
4 4
4
, $
>. G z0
$
> E (
D
ε-
z0 , $
> E), # f ( z ) 4
4E 4
z0 .
29
. G # f ( z ), $
> E, 4 H
$
>, , # f ( z ) 4 $
> E. A , $ $ $
#, 4 , $
.
P$$, 4 $
4 # f ( z ) ? 4
, 4>D $ $
> ( ?$ –
$
, . .).
4
$
DE ε-δ-
4 4
4
# f ( z ) z0 $
>
> #
$
ED$ $. 2& f ( z ) !! z0 ,
& $
ε > 0 '
δ > 0 , & ( z∈ E , !&+( ! z − z0 < δ , !
f ( z ) − f ( z 0 ) < ε . )
$ H
, # $4
4$
, 4 z 0 , >
δ-
z0
E , 4>DE ε-
w0 = f ( z0 ).
P$$, 4 4
4
# f ( z ) z0 4 z0 , z0 = ∞ . H
$ 4
4$ $ # f ( z ) ∞ 4
4 4 4
$ 4 4
{ f ( z n )}, {z n } – E ED
4
. A
$ 4 4
z − z 0 < δ $ z > R.
9 4
# $4
4$
f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 4
u ( x, y ) $$
v( x, y ) 4
4
4$ x, y.
9$ $
>: u ( x, y ) v( x, y ) 4 # 4
4
4$ x, y ( x0 , y0 ) , f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) # $4
4$
z = x + iy , 4
z0 = x0 + iy0 .
> E , $$ $ $ $
4
$4
30
$
4
$$ .
J
4
$ 4 # $4
4$
4 # 4$. ', $$ 4
#
$4
4$
f1 ( z ) f 2 ( z ) , 4 J,
> E 4$ #$ H
; #
f (z )
4 J, f 2 ( z ) ≠ 0 , . .
ϕ( z ) = 1
f 2 (z )
3. $+
$ 4
? 4$
.
1. $
$ E #E f ( z ) = w = az + b. P a b –
$4 4
. "$ , a ≠ 0,
4
$ # f ( z ) = w = az + b $ $ z $4
4
> $4
b. f ( z ) = w = az + b 4 4 $
4$
z. FE 4
$4 4
.
A ?$ $ $ , # $4
4$
f ( z ) 4 $4
4
, 4 $4
$ z, 4
$
E, $ , f ( z ) 4 4
$4
4
, 4 z = ∞ .
A ?$ 4$ f (∞ ) = ∞ .
!>
$ E z w,
f ( z ) – # z. F
, b
1
# ϕ(w) = z = w − = a1w = b1 $ > $,
a
a
f ( z ). '$ $$ f ( z ) – # z 4
$4
4
, ED $
$> 4
$ z w. A 4
$$
f ( z ) 4
4
4$ x, y
H # 4 $4
4
(4 E31
. x, y). Q
$
$ , $
$ 4
$
E #E ζ = az. / 4 $
> $4 $$ ζ = a ⋅ z ⋅ (cos(arg a + arg z ) + i sin (arg a + arg z )). FE ζ = a ⋅ z , arg ζ = arg z + arg a . '
# ζ = az E
$
$4
$ z $4
ζ,
$
a ? $
z, $ 4
$ z 4$ 4
$
– $
$4
a. )
$ $ H
4
: 4
> 4
z a 4
H
4
z = 0 arg a .
A
D # f ( z ) = w = az + b, E 4
$
>
4 w = ζ + b , $, $ $
4
4
4
z, $
$ $ b.
9, # 4
$4E 4
z
$4E 4
w 4$ 4
>, 4
.
1
2. $
$ 4 #E w = f ( z ) = . F > 4z
$4
4
, 4$ f (0 ) = ∞ f (∞ ) = 0 . !
4
$ 4$, $, f ( z ) # z, >ED 4
E 4
z 4
E 4
w. &
, # f ( z ) 4 4
$4
4
, E$ z = 0 . $
4 # 4
$ 4
#
$
4 $4 :
1
w = re iφ = e − iϕ ( z = ρeiϕ ). J
, ρ
1
arg w = −arg z , w = . ? 4
E z
$ >, D$
#, 4
>: ζ = ζ ( z ), ζ = z , arg ζ = − arg z ,
32
1
, arg w = arg z. > $ ζ
$ $ > , 4 $ z 4
z , –
1
$ , 4
D z w = ,
z
(. 3, 4)1. H
$ 4
z, >D , 4
, >D 4
w, .
w = w(ζ ), w =
. 3
. 4
3. $
$ #E w = f ( z ) = z 2 . J # # $4
4$
z. 4 4 $4 4
#
$: z = ρe iϕ , w = re iφ = ρ 2 e i 2ϕ . FE E,
4
z, >D , ED$ ϕ
4
>$ 4$ , 4
4
w, >D , ED$ 4
>$ 4$ 2ϕ. H
$ $ z –z, $ E Y, $
, > w ( ei 2 π = cos 2π +
+ i sin 2π = 1 . '$ $$ # $
. $
$ 4
>, D$
#1
/! !
!
!( !
a 4
, 4 $ >
() () , >D , 4
$ E , 4
H .
33
. w= z 2 . A 4
4
z 4
4
E 4
w. >$ 4
, 4
4
$ z E 4 0 < ϕ < π . '
$ $
0 < ϕ < π E w. ' , $ $ E #, %.
A 4D 4$ E #, $ # w = z 2 , E 4
$4 4
z,
E > 4
4
. F$$, $$
$ (
ϕ = 0 ϕ = π ) 4
> 4$E – 4
>E
4
w. &
4
, # w = z 2 4
> > 4
4
z $ E 4
E 4
w. '$ $,
# z = w , 4 4
4
w,
> – > 4
w
E 4
z: – ,
– > 4
4
.
Q
>, D$
#, 4
$ 4 4
#
$
4 $4
: w = r iφ . '
, 4 $4
, $ 4
$ #i
(φ + 2 πk )
2
re
( k = 0, 1 ). P$$, arg z1 − arg z0 = π .
z (w) : z k =
$
$ 4
w E $E E C, $EDE $
4. $ w0 , 44?$ 4
$
φ0 , $
z0 (w0 ), z1 (w0 ) $ $$ # z0 (w)
z1 (w ) 4 4
$ > w 4
C. %$ w C $ 4
. H
$, , # z0 (w) z1 (w ) E 4$
#$ w C. H
$ $
> . A 4
$ C > w = 0 . '
4
C $ w0 4
34
$ E arg w0 = φ 0 . , # z0 (w) z1 (w ) w= w0 4
C 4
$ $. '$ $$ C H
$
4 # $iφ
re 2 i
(φ + 2 π )
2
re
z1 =
(Z $
4
4$
w: z0 =
4
C, φ 0 w0 ). F
, D 4
w $ $, E $ H
> w = 0, D 4 4 #
z0 (w) z1 (w ) . z0 (w) z1 (w ) E & $
# z (w) = w .
A
$ C > w = 0 . '
4
C 4
>
$ 4 $ w0 > 4
$ E
φ 0 , $ 2π: arg w0 = φ0 + 2π . H
$ # z0 (w) z1 (w ) w0 4
$ 4
C > 4
z0 (w0 ) = z0 (w0 )eiπ ,
$ $. "
, $ 4
$ ~
~
z (w ) = z (w )eiπ . '
# z (w) 4 #E
1
0
1
0
0
z1 (w ), .
G z0 $
>
E ε-
, 4 $ z0 4
E
$ $
$ ,
$ >D$ H
ε-
, $
# 4
E, z0 !& (&) $
#. A $
# >
$ #, 4
4 $E. A $$
$ 4$ w = 0.
P$$, >
z = R ?
1
4
ζ =
ζ = 0
z
35
. 1
1
. ' $ $
? = ∞ ,
0
R
$ , >
?
( R → ∞ ) z = ∞ . ! , $$
$ 4$ 4 w = ∞ # z = w 4
E. '$ $, # z = w $4
4
w w = ∞ . FE D, 4 # z = w , E 4
w, >D w = 0 w = ∞ .
'
E , 4$, 4
w $
4
>
. H
$ E , 4 4
$ > $ $
>$ 4 ( ).
G , $ w 4
$ 4 0 < arg w < 2π , – 4
2π < arg w < 4π , 4 # z = w 4
> 4
$ EE 4
4
z, # > > >EE
4
4
z.
%
$ $ 4
, # w= z n (
n – 4
>
) 4
> E
2πk
2π(k +1)
< arg z <
, k = 0, 1, ..., n − 1, 4
z
n
n
4
E 4
w, E 4
4
>
. '
H 4E #. F # z = n w – $
, w = 0 w = ∞ E $ .
4
>
ζ = ρ =
4. (+ >'$+ ?<- $'() $)
a0 z n + a1 z n −1 + ... + an
.
b0 z m + b1 z m −1 + ... + bm
$
1. 0!
-!
& %& w =
A , w = a0 z n + a1 z n −1 + ... + an .
#
36
2. & %& e z 4 $$ E
D
$4
4
4
z2
zn
e z = 1 + z + + ... + + ... .
2!
n!
# e z ED$ $:
)
e z1 + z2 = e z1 ⋅ e z2 , z1 z 2 – E $4 ;
) e z + 2 kπi = e z (k = 0, ±1, ± 2, ...), e z 4
# 4
$ 2πi.
3. 4!$
! % sin z cos z 4E
z3
z 2n +1
4$
$
sin z = z − + ... + (−1)n
+ ... ;
(2n + 1)!
3!
z2 z4
z 2n
cos z =1− + − ... + (−1)n
+ ... , E
D$ 4
(2n )!
2! 4!
E
$ $4
$ z. sin z cos z – 4
( $ 4
$ 2π) $E π
z = kπ z = + kπ , k = 0, ± 1, ± 2, ... .
2
# e z , sin z , cos z $E $
#
$ J
eiz + e −iz
,
eiz = cos z + i sin z e − iz = cos z − i sin z , cos z =
2
e iz − e −iz
.
sin z =
2i
sin z
tg z ctg z 4E $ tg z =
,
cos z
cos z
.
ctg z =
sin z
$ # E #
$ $.
4. !
% sh z, ch z, th z, cth z 4E
sh z
ch z
ez − z −z
e z + e−z
$ sh z =
, ch z =
, th z =
, cth z =
.
2
2
ch z
sh z
37
. '
$ 4
# $> ED$ ?$: sin z = − i sh iz ;
cos z = ch z ; tg z = − i th iz ; ctg z = i cth iz ; sh z = − i sin iz ; ch z = cos iz ;
th z = − i tg iz ; cth z = i ctg iz .
5. 5
$!%& %& Ln z , z ≠ 0 , 4 #,
4
,
4$
Ln z = ln z + i Arg z = ln z + i arg z + 2kπi (k = 0, ±1, ± 2, ...).
J # $
. )$ $ Ln z
, 4
4 k = 0 ; ln z : ln z = ln z = i arg z .
F
, Ln z = ln z + 2kπi , k = 0, ± 1, ± 2, ... .
4 ED ?:
Ln ( z1 z 2 ) = Ln z1 + Ln z 2 ;
§z ·
Ln ¨¨ 1 ¸¸ = Ln z1 − Ln z2 .
© z2 ¹
6. 6! !$
! % Arc sin z ,
Arc cos z , Arctg z , Arcctg z 4E #, ,
, #$ sin w, cos w, tg w, ctg w .
/4$, z = sin w , w $ z
w = Arc sin z .
A H # $
>E ED #$ #:
(
Arc cos z = − i Ln (z +
)
−1);
Arc sin z =− i Ln iz + 1− z 2 ;
2
z
i
1 + iz
;
Arctg z = − Ln
2 1− iz
i
z +i
.
Arccctg z = − Ln
2
z −i
) $ #
arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z 4
E, ED #$ #.
38
7. 6+& & %& w = z a , a = α + iβ – E
$4
, 4 $ z a = e a Ln z . J #, D , $
; z a = e a ln z .
8. 6+& & %& w= a z ( a ≠ 0 – E
$4
) 4 $ a z = e z Ln a . )
H
$
# a z = e z ln a .
$ 4. &
! 1. *'. (' :–$
4
# $4
4$
4
# 4$
. F
4
##$
# $4
4$
, 4
ED$ 4
$
# 4$
, 4
D$ $.
$ 4 4
# $4
4$
. J $4
4
z # f ( z ). 3 & z0 ∈ J + ! Δz → 0 !
(!
)
!
$
1&
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 )
, *
! & !
%Δz
f ( z ) !
z z0 &
f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 )
. f ( z )
f ′( z0 ), f ′( z 0 ) = lim
Δz →0
Δz
H
$ %%!!
z0 . $ D , D 4, 4
$ Δz E, 4
4> z0 + Δz z0 . '
##$
# $4
4$
z0 $
39
. > 4
$$
H
# ( x0 , y0 ) . J , 4
$ 1–, $
#
$
ED $.
1.3. 3 %& f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) %%!! z0 = x0 + iy0 , ( x0 , y0 ) +
!
% u ( x, y ) v ( x, y ) ! x, y,
∂u ( x0 , y0 ) ∂v( x0 , y0 )
=
,
! 1&
∂x
∂y
∂u ( x0 , y0 )
∂v( x0 , y0 )
. J ? E =−
∂y
∂x
?$ !
?–$.
0
. E $ D 4
f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 )
, D 4
$f ′( z 0 ) = lim
Δz → 0
Δz
Δz E. >$ Δz = Δx $
$ >
u ( x 0 + Δx , y 0 ) − u ( x 0 , y 0 )
v( x0 + Δx, y 0 ) − v( x0 , y 0 )
.
f ′( z 0 ) = lim
+ i lim
Δx → 0
Δx → 0
Δx
Δx
9 D
4 $4
> D
4
$$
. H
$
x0 , y0 DE 4
4
x #
>
$
$
#
$
u ( x, y )
v ( x, y ),
f ′( z 0 ) = u ′x ( x0 , y 0 ) + iv ′x ( x0 , y 0 ). Δz = iΔy, $
u ( x0 , y0 + Δy ) − u ( x0 , y0 )
v( x0 , y0 + Δy ) − v( x0 , y0 )
+ lim
f ′( z0 ) = − i lim
=
Δy → 0
Δy → 0
Δy
Δy
= − iu ′y ( x0 , y0 ) + v′y ( x0 , y0 ).
4
#
$, >$ 4
?.
1.4. 3 ( x0 , y0 ) % u ( x, y ) v ( x, y )
%%!!, ( !
& 1& 1–, %& f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) &&&
%%!!
% !
z z0 = x0 + iy0 .
40
0
. 4E ##$
, 4D # u ( x, y ) v ( x, y ) ( x0 , y0 ) $
4 u ( x0 + Δx, y0 + Δy ) − u ( x0 , y0 ) =
= u′x ( x0 , y0 )Δx + u′y ( x0 , y0 )Δy + ξ( x, y );
v( x0 + Δx, y0 + Δy ) − v( x0 , y0 ) =
= v′x ( x0 , y0 )Δx + v′y ( x0 , y0 )Δy + η( x, y ) ,
# ξ( x, y ) η( x, y ) $ E 4 x → x0 , y → y0
ξ( x, y )
η( x, y )
= 0 , lim
= 0,
, $ Δx Δy , lim
Δz → 0 Δz
Δz → 0 Δz
Δz = (Δx )2 + (Δy )2 . $ 4 ?
f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 )
, Δz = Δx + iΔy , , 4
4 Δz
4D
#,
4
$
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 )
Δx + iΔy
ξ( x, y ) + iη( x, y )
=
= u′x ( x0 , y0 )
+ v′x ( x0 , y0 ) +
Δx + iΔy
Δz
Δx + iΔy
ζ(z )
, ζ( z ) = ξ( x, y ) + iη( x, y ).
Δz
P$$, 4 $ Δz E 4
$
H
#
$ $ E, 4 E $$.
f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 )
H
$ D 4 lim
= f ′( z 0 ) , Δz →0
Δz
##$
# f ( z ) z0 .
3 %& f ( z ) %%!! ( ( !
J, !
& !! *
, %& f ( z ) & % J 1.
! , 4
4
$ $ D
4
##
(##$
) # $
4$. H
$ $ 1.3 1.4 , (
= u ′x ( x0 , y0 ) + iv′x ( x0 , y0 ) +
1
4 # 4
4
$ $ 4
4
. J
4
ED . !
$ , 4
4
, $$
> 4
# 4 H
$ $.
41
. % f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) J &&& +
*
!!( ( !
( % u ( x, y ) v ( x, y ), &( 1&
1–.
# $ 4
$ # $4
4$
,
E # 4 ?
$
$$ 4
$, 4 4
> # $4
4$
$>
.
? !
?–$ 4
E 4 #. H
$ ∂u ( x0 , y 0 ) ∂v( x0 , y 0 ) ∂u ( x0 , y 0 )
∂v( x0 , y 0 )
=
=−
,
E
∂x
∂y
∂y
∂x
$
>
#
$
? !
?–$. !
$
>
$
, $$ # f ( z ) = u (ρ, ϕ) + iv (ρ, ϕ) $4
4∂u 1 ∂v 1 ∂u
∂v
= ⋅ , ⋅
=− ,
$
z = ρe iϕ ?$
∂ρ ρ ∂ϕ ρ ∂ϕ
∂ρ
ρ ϕ – 4
(x, y). %
$ $ , $
$ #∂R
∂Φ
=R
,
f ( z ) = R( x, y ) e iΦ ( x , y ) ?$
∂x
∂y
∂R
∂Φ
= −R
.
∂y
∂x
F$$ >, ? !
?–$
∂u ( x0 , y0 ) ∂v( x0 , y0 ) ∂u ( x0 , y0 )
∂v( x0 , y0 )
=
=−
,
4
E 4
∂x
∂y
∂y
∂x
> 4
# $4
4$
f ′( z ) = u′x ( x, y ) + iv′x ( x, y ) = v′y ( x, y ) + iv′x ( x, y ) = u ′x ( x, y ) − iu ′y ( x, y ) =
2. )( '(/ ?<-)
f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 )
4
Δz
4 # $4
4$
##$ # 4$
.
1. G f1 ( z ) f 2 – # J, $$ 4
> E $ #$
f (z )
J, # ϕ( z ) = 1
#f 2 (z )
E, f 2 ( z ) ≠ 0 .
2. G w = f ( z ) # J
4
$4
4$
z, 4$ G 4
w 4 #
ζ = ϕ(w) , # F ( z ) = ϕ( f ( z )) # $4
4$
z J.
3. G J 4 #
f ( z ), 4$ f ′( z ) ≠ 0 , G # f ( z )
4 # z = ϕ(w), ED # w. H
$, w0 = f ( z 0 ), $ $
?1
f ′( z ) =
.
ϕ′(w0 )
0
. D
# $
, u = u ( x, y ) v = v( x, y ) $
>
? x, y J. H
, u ′x u ′y
4
= u ′x v ′y − u ′y v ′x ≠ 0 .
v ′x v ′y
F4 4
f ′( z 0 ) = lim
Δz → 0
= v′y ( x, y ) − iu ′y ( x, y ).
H
$ > 4
f ′( z ) > 4
# u ( x, y ) v ( x, y ).
A ? !
?–$ H
$
>
44 u ′x 2 + v ′x 2 ≠ 0 . A f ′( z ) ≠ 0 H
4
. '$ $$ D
# z = ϕ(w ) 1
Δz
. ?
, =
w
Δ
Δw
Δz
42
43
. D
4
4
ϕ′(w0 ) 4 f ′( z 0 ) ≠ 0 .
4. J 4
x, y # u ( x, y ),
ED E #
f ( z ). '
$$ H
# 4 E
4
. , !
?–
$, 4
# u ( x, y ) 4
4
##
#
v( x, y ):
dv = v ′x dx + v ′y dy = − u ′y dx + u ′x dy , >.
5. # f ( z ) J.
$
$ ED 4
x, y $
u ( x, y ) = C v( x, y ) = C , 4ED $$
# f ( z ) . 4
$
DE
? !
?–$ 4
, grad u ⋅ grad v = u ′x v′x + u ′y v′y = − u ′x u ′y + u ′y u ′x = 0 . '
, $ u ( x, y ) = C v( x, y ) = C $
.
3. $() ($+(' 0*) ?<- $'()
$)
f ( z ) # J. A$ E-
z0 ∈ J 4
$ 4
E E γ1 , $ >DE J. (P ,
H
, 4
4
$ 4
$$ E E.) f ( z ) 4
> J $4
4
z E G $4
4
w. z0 4
w0 , γ1 – 4
DE w0 E )1 (. 5, 6). E D 4
f ′( z ) # w = f ( z ) w0 . 4
>$, f ′( z 0 ) ≠ 0 , 4$ $4
f ′( z0 )
44
Δw
= ke iα .
Δz
f ′( z 0 ) ≠ 0 $
$
>
4.
4
#
$:
f ′( z 0 ) = lim
Δz → 0
. 5
. 6
A$ 4
$ Δz E, 4 $
z = z0 + Δz > γ1 . F
, ED $ w = w0 + Δw > Γ1. !
$4 Δz Δw >E $ D $ γ1 Γ1 . P$$, arg Δz arg Δw $E $
$ ED 4
>$
4$ x u, Δz Δw 4E H . z → 0 D 4
ED$
$.
9
#
$
Δw
f ′( z 0 ) = lim
= ke iα , α = arg f ′( z 0 ) = lim arg Δw −
Δz → 0 Δz
Δz → 0
− lim arg Δz = Φ 1 − ϕ1 , $ α 4
$ Δz → 0
$ $ Φ1 Γ1
w0 E u ϕ1 γ1
z0 E x ($. . 5, 6). ' 4
f ′( z0 ) 4
4
4
, H > E
, 4
D z0 , $ Φ1 ϕ1 $
$. FE ,
45
. 4 >, D$
$ #
f ( z ) , ED E f ′( z 0 ) ≠ 0 , ϕ = ϕ 2 − ϕ1 $>
E$ $ γ 2 γ1 , 4ED$ z0 , Φ = Φ 2 − Φ 1 $> $, $ Γ2 Γ1 , 4ED$ w0 = f ( z0 ). P$$, 4 H
$ E $> $ γ 2 γ1 $, 4 . J
> (!& $
.
Δw
%
f ′( z 0 ) = lim
= ke iα 4
$ k = f ′( z 0 ) =
Δz → 0 Δz
Δw
= lim
. '
E 4
Δz → 0 Δz
$
$ $
Δw = k Δz . P$$, H
? γ1 . )
$
$ H
? $, 4 >,
D$
$ #, ED E f ′( z 0 ) ≠ 0 , $ H$ 4
E 4
$ $, 4$ f ′( z 0 ) 4 H##
4
4
. J
> & !&'&.
6
!' !
z0 !
w0 , +&
% w = f ( z ) + z0 (!& $
&
!&', & %
! !'. #
$
$ > z0 w0 $ ?
z0 4
E 4
$ $ ?
w0 .
4. $+
F$$, , 4
, # # w = z 2 E $ #$ 46
1
z
E, E$ z = 0. ' 4 4
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 )
f ( z0 ) = lim
4E
Δz → 0
Δz
4
# 4$
, 4
# $4
4$
$E $
ED >:
′
′
(az + b )′ = a, z 2 = 2 z, §¨ 1 ·¸ = − 12 .
z
©z¹
$
$ #E $4
4$
e z , ?
4$EDE 4
>. F4$ H #E, > $$
:
u ( x, y ) = e x cos y, v( x, y ) = e x sin y.
/ H # 4 # e x $ x , 4
, $4
H4
. H
$ e z = e x (cos y + i sin y ) = e x ⋅ e iy .
>$, e z # $4
4
z. H
4
$ 4
!
?–$
∂u
∂v ∂u
∂v
= e x cos y = ,
= − e x sin y = −
∂x
∂y ∂y
∂x
$$, 4
H 4 4
4
$
4
x, y. 4
e z 4
#
$$
f ′( z ) =u′x ( x, y ) + iv′x ( x, y ) = v′y ( x, y ) + iv′x ( x, y ) =
$4
4
; # w =
( )
( )
′
= u′x ( x, y ) − iu′y ( x, y ) = v′y ( x, y ) − iu′y ( x, y ),
4
$ e z = u ′x + iv′x = e x (cos y + i sin y ) = e z .
′
%
e αz = αe αz , α – 4
$4
4
.
( )
47
. $
$ D # f1 ( z ) f 2 ( z ) , 4
1
1
4
$
DE ? f1 ( z ) = eiz + e − iz , f 2 ( z ) = eiz − e − iz .
2
2i
! , $4
4$
z = x H # 4E cos x sin x , 4
H
$
4> . > $
$ H #, ? $$, cos z
sin z , > # #, > E $ $4
4
. /4
4
, (cos z )′ = − sin z . -
(
,
4
$
DE
)
(
(e )′ = αe
αz
#
$
)
αz
4
$
i iz − iz
f1′( z ) = e − e
= − f 2 ( z ). %
4$
2
f12 ( z ) + f 22 ( z ) ≡ 1, 4 $4
E
4
#
$
(
)
( )
e z = e x (cos y + i sin y ) = e x ⋅ e iy 4
$ e αz
2
= e 2 αz .
$ 5. ! $
4
# f (ζ ) 4
C.
J
4
ED$ $. $ E C n $ ζ 0 , ζ1 , ζ 2 , ..., ζ n , ED$ ED$ $ 4$ t ( ti +1 > ti ). F
$
(
48
n
i =1
( )
4
i- .
3 ! max Δζ i → 0 + ! ( , &+ !& !
C, ! ζ *i , *
! & $!
% f (ζ ) !
C & ³ f (ζ ) dζ .
C
A
4
D
4
D
u $$
v # f ( z ) . A $
$ , 4
f ζ *i = u Pi* + iv Pi* , Δζ i = Δξi = iΔηi , Pi ξ*i , η*i – C 4
x, y, $ $
>$ 4 >
( ) ( ) ( )
(
)
n
(
)
( )
S ζ i , ζ*i = ¦ f ζ*i Δζ i i =1
(
)
(( )
( ) )
$$ S (ξ , ξ ) 4E n
(
( ) )
n
S ζ i , ζ *i = ¦ u (Pi *)Δξ i − v Pi* Δηi + i ¦ u Pi* Δηi + v Pi* Δξ i .
1. (+ ()(
$4
4
z -
C. 94
4$
4 C, $ ξ, η >
$
ξ = ξ(t ), η = η(t ), ξ(t ) η(t ) – - # 4$ t, $ED
4 α ≤ t ≤ β ; α β
$
, , 4$ , ED
E (ξ′(t ))2 + (η′(t ))2 ≠ 0 . P ξ, η H
C
H
E $4
# ζ (t ) = ξ(t ) + iη(t ) 4$
t.
>
ζ C 4
# f (ζ ). A>$ 4
$ # $4
4-
)
Δζ i = ζ i − ζ i −1 $ $$ S ζ i , ζ *i = ¦ f ζ *i Δζ i , ζ*i –
i =1
i =1
i
*
i
$$ ³ u dξ − v dη ³ u dη + v dξ , C
C
>. P$$, D
, $ $$ ³ f (ζ ) dζ 4
C
$4
4$
, ? 4
# u v 4$. J
, ³ f (ζ ) dζ D #C
f ( z ) , -4
.
49
. 9, ³ f (ζ ) dζ
4$ C
³ f (ζ ) dζ = ³ u dξ −
C
C
− v dη + i ³ u dη + v dξ . J
? $
> $
> 4C
$ # f ( z ) 4
C. 9 , ED $ $ ED :
1) ³ f (ζ ) dζ = − ³ f (ζ ) dζ ;
AB
2)
BA
³ f (ζ ) dζ + ³ f (ζ ) dζ = ³ f (ζ ) dζ ;
C1
3) a – $4 4
, ³ a f (ζ ) dζ = a ³ f (ζ ) dζ ;
C
4)
5)
C
³ ( f1 (ζ ) + f 2 (ζ )) dζ = ³ f1 (ζ ) dζ + ³ f 2 (ζ ) dζ ;
C
C
³ f (ζ ) dζ ≤ ³ f (ζ ) ds ,
C
C
ds – ## C
C, , D 4, – 4
. , $$:
³ f (ζ ) dζ = lim ¦ f (ζ *) Δζ ≤
n
max Δζ i → 0 i = 1
ρ
ρ $ z0 , $E 4
.
A
4
? 4$
#
$
Cρ
z = z0 + ρeiϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π) , 4
$ I =
2π
³
0
C1 + C2
C2
. $
$ D ?
4$
4
$4
4$
: $ dζ
I = ³
, Cρ 4 >
ζ − z0
C
i
, I =
³
Cρ
iρe iϕ dϕ
ρe iϕ
2π
= i ³ dϕ = 2πi . FE0
dζ
ρ, z0 .
ζ − z0
A ?$ $ $ $ #, , 4$ $ , - $ , $ED $
4. -$ !, + !&, !
. G
# z (t ) (α ≤ t ≤ β ) 4$ $ ,
E z (ti ) ≠ z (tk ) 4 ti ≠ tk , E$ ti = α, tk = β . 9 ³ f (ζ ) dζ 4
$
$ C
i
E ! $!
.
≤ maxlim
¦ f (ζ i *) ⋅ Δζ i = ³ f (ζ ) ds ;
Δζ →0
n
i =1
i
2. $ :
C
max f (ζ ) = M L – C, ³ f (ζ )dζ ≤ M ⋅ L ;
ζ ∈C
C
6) $ $
ED #
$ $ 4$
: ³ f ( z ) dz = ³ f (ϕ(ζ )) ϕ′(ζ ) dζ , z = ϕ(ζ ) – C
Γ
# ζ, ED $
$> $ C ). A ,
³
β
f ( z ) dz = ³ f ( z (t )) z ′(t ) dt ,
α
z = z (t ) 4$
C, z (α ) z (β) –
H
.
50
4 , $ '
$
!& (
4$ 4, 4 $
, $ $$ $,
4 >. 9
4
>
$ 4 $ $
$ ³ f ( z ) dz 4
³ f (z ) dz ,
C
$
$
C+
$ 4 –
³ f (z ) dz .
C−
51
. 4
$
$ #, , $ $, $
$ 4E $ . ! , 4
$
$ 4
ED >: %
P( x, y ) Q ( x, y ) !! J , $!
-$ !
C, ( !
!
§ ∂Q ∂P ·
− ¸ dx dy .
$
!& !! J, ³ P dx + Q dy = ³³ ¨
∂x ∂y ¹
C
J ©
$ 4 $.
1.5. . &
J
& & %& f ( z ) . 4
$ $!
*
% f ( z ) ! , '+ J, ! .
0
. #
$
³ f (ζ ) dζ = ³ u dξ − v dη + i ³ u dη + v dξ
C
$$
C
C
³ f (ζ ) dζ = ³ u dx − v dy + i ³ u dx + v dy.
Γ
Γ
Γ
' # f ( z ) – E ), # u ( x, y ) v ( x, y ) , H$ $, E 4$ $ 4
$ 4
4
. H
$ $ $, D$ 4
4
, $
>
4$ #
$
§ ∂Q ∂P ·
³ P dx + Q dy = ³³ ¨© ∂x − ∂y ¸¹ dx dy . !
$ , 4
C
J
# u ( x, y ) v ( x, y ) ?$ !
?–$.
§ ∂v ∂u ·
H
$
³ u dx − v dy = ³³ ¨© − ∂x − ∂y ¸¹ dx dy = 0 ³ v dx + u dy =
Γ
J
Γ
4
$ 4
# $
H
> 4
$
, ED
. > # $
#
$
$ !
?, >
4
4
> $ $ E $.
1.6. . 3
%& f ( z ) &&& % &
J, $!
-$ !
C, !!
J , $! % f ( z ) $!
C J ! : ³ f (ζ ) dζ = 0.
C
'
$ !
? # $4
4$
. G #$ ?
>, $ $ ED$ $$: $ #
$
, D $
E
. A H
$ 4
$ : ?
C0 –
C1 , C 2 , ..., C n . ' ! (
$! $
$ >, 4
$ !& & . H
$ ?
4
>
$, – $ 4.
1.7. f ( z ) &&& %
$
&
J, $!
!
C0 , ! ! C1 , C2 , ..., Cn , f ( z ) !! J . 4
$ ³ f (ζ ) dζ = 0, $ C – & $!
C
§ ∂u ∂v ·
= ³³ ¨ − ¸ dx dy = 0 , $.
∂x ∂y ¹
J ©
9, $ !
? # E # 4
E
$ $
$ ,
$ >D$ . J, &+& !
C1 , C2 , ..., Cn , ! (
$! C !
(
'
!.
0
. $ γ1 , γ 2 , ..., γ n , ED C0 $ C1 , C2 , ..., Cn (. 7). '
, $ C1 , C2 , ..., Cn $ γ1 , γ 2 , ..., γ n ,
4
$$ 4
4
> 4, 52
53
. . ! , γ1 , γ 2 , ..., γ n
$
>
, 4, $ 4
$ E . A $ 1.6
4
H
E. /
4
4
$
$ $
. 7
γ1 , γ 2 , ..., γ n 4
>
4
4
> 4 4 $$
E. H
$ $ $
³ f (ζ ) dζ +
+
³ f (ζ ) dζ + ... + ³− f (ζ ) dζ = 0 , C1−
C0+
Ci E
Cn
4 .
z
, ! . 4
$ %& Φ( z ) = ³ f (ζ ) dζ , $ z , z0 ∈ J , &z0
&& % J, Φ ′( z ) = f ( z ).
0
.
$
?
z + Δz
z + Δz
z
§
·
Φ ( z + Δz ) − Φ ( z ) 1 ¨
1
=
f (ζ ) dζ − ³ f (ζ ) dζ ¸ =
f (ζ ) dζ .
³
¸ Δz ³z
Δz
Δz ¨ z
z0
© 0
¹
$ $
$
,
4ED
#E Φ ( z ) , 4 ³ f (ζ ) dζ + ³ f (ζ ) dζ = ³ f (ζ ) dζ . A$ 4
C1
C1 + C2
4
$ 4$E, EDE
z z + Δz . '
4 , 4
z + Δz
$ $
?
³ dζ = Δz . F$ >
z
1 z + Δz
Φ( z + Δz ) − Φ ( z )
− f (z ) =
³ ( f (ζ ) − f ( z )) dζ ≤
Δz
Δz z
3. *'+) 4'
A>$ $ $ !
? ED 4
>. # f ( z ) #
J. $ H
E
z
z0 $ C2
³ f (ζ ) dζ
4
-
-
z0
, $ >D J ED z z0 . A $ !
? H
J # z:
z
³ f (ζ ) dζ = Φ(z ).
z0
1.8. %& f ( z ) ! !!
!
&
J, $! *
%
! ), '+ -
54
1
max f (ζ ) − f ( z ) ⋅ Δz = ζ ∈max
f (ζ ) − f ( z ) .
( z , z + Δz )
Δz ζ ∈( z , z + Δz )
A 4
# f ( z ) z E
4
>
ε $
> δ > 0 ,
4 Δz < max f (ζ ) − f ( z ) < ε , E
ε > 0 $
>≤
ζ ∈( z, z + Δz )
Φ( z + Δz ) − Φ( z )
− f ( z ) < ε 4 Δz < δ .
Δz
Φ( z + Δz ) − Φ( z )
J
, D lim
= Φ′( z ) = f ( z ).
Δz → 0
Δz
4
$
9,
#
Φ(z ) ,
δ > 0 , z
Φ( z ) = ³ f (ζ ) dζ , J $ 4E 4
z0
E (# f ( z ) 4
E $ 4 J). '$ $, Φ ( z ) # J.
55
. $ 4
4
4
# $4
4$
. %
# Φ ( z ) ! $!
!
!
# f ( z ) J, H
$ $
? Φ ′( z ) = f ( z ). F
, # f ( z ) $ $
>
4
, , 4
, E ? 4
$ $$. , 4
Φ ′( z ) = Φ 1′ ( z ) − Φ ′2 ( z ) ≡ 0 , Φ1 ( z ) Φ 2 ( z ) –
4
# f ( z ) , #
$
f ′( z ) = u ′x ( x, y ) + iv′x ( x, y ) = v′y ( x, y ) + iv′x ( x, y ) =
= u ′x ( x, y ) − iu′y ( x, y ) = v′y ( x, y ) − iu ′y ( x, y )
, 4
$$
# Φ ( z ) >
E, 4
$ 4
$ Φ ( z ) ≡ 0 . FE , , # 4$
, 4 #
z2
$
³ f (ζ ) dζ = F (z2 ) − F (z1 ) ,
F ( z ) – E 4
z1
# f ( z ) . , D 4 , 4
H
$ $
>
4 z2
z2
z1
z1
z0
z0
³ f (ζ ) dζ = ³ f (ζ ) dζ − ³ f (ζ ) dζ , z0 – 4
z
J. ³ f (ζ ) dζ = Φ(z ) , > 4
-
z0
#
$ 4 4
4
ED , 4
E ? 4
E, , E 4
E $ 4
$ E #
$.
$
$ D D ?
4$ –
z
dζ
#E f ( z ) = ³ . ' 4
# ζ
1
$4
4
z, E$
56
z
dζ
$ $ 4 ,
ζ
1
4
z = 0 . H
$
E
J $4
4
, >D z = 0 , # f ( z ) # z, D 4 z
dζ
#
$ f ( z ) = ³ . A $ $ζ
1
4
E $4E 4
z, E 4
, − π < arg z < π .
z = 0 , > f ( z ) = ³
z
dζ
ζ
1
> $ − π < arg z < π , 4 4
z = 0 . '
4
> z = x , 4 z
dζ
#
$ f ( z ) = ³
ED ζ
1
"$ , 4 #
$ f ( z ) = ³
x
dx
= ln x . '
4
> x
1
$ # f ( z ) 4 #$
# 4$
. H
$ #
z
dζ
f (z ) = ³
$$
− π < arg z < π $
ζ
1
, 4
$ f ( x ) = ³
z
dz
. J
, z
1
$ 4 $ ? 4
$,
$
>
$ 4 #$
#
$4 $, E$ , >D z = x ≤ 0 . A ?$ $ $ H
#, Φ( z + Δz ) − Φ( z )
=
$$, #
$ lim
Δz → 0
Δz
4> , 4
> ln z = ³
57
. 1
= Φ′( z ) = f ( z ) $ $
? (ln z )′ = , z
− π < arg z < π 4
#$
# $
> >, 4
> z
dz
$. > 4
, # ln z = ³
z
1
# w = e z .
f (ζ )
³+ ζ − z
dζ =
Γ
f (ζ )
³+ ζ − z
γ
dζ . D -
0
γ, H$ $ ,
D 4. ?
$
γ >
γ ρ ρ $ z0 (. 8).
$ 6. ! B
1. +* ?$<'+ :
A 4D $ $ !
?. J $ > , 4
4E $> $ # $ $ H
#. ! E H
? $ 4$.
# f ( z ) J, $ C. A
$$ 4
E EE z0 4
$ $ ), $ >D J >D z0 . $
$ 4
$
f (z )
E #E ϕ( z ) =
. ϕ( z ) z − z0
# E J, E$ z0 .
H
$ $ J $$ $ γ,
>D ), z0 4
4 , $ γ, # ϕ( z ) J*, E
$> $ ) γ. $ !
? # ϕ( z ) 4
Γ + γ f (ζ )
f (ζ )
E: ³
dζ = 0 . 9$ 4 dζ + ³
ζ − z0
ζ − z0
Γ+
γ−
$ , 44?$ H
58
ζ = z0 + ρeiϕ ,
>
f (ζ )
³+ ζ − z
γ
dζ = i
$$
2π
0
³ f (ζ ) dϕ .
-
0
. 8
$ 4
:
2π
2π
0
0
2π
³ f (ζ ) dϕ = ³ ( f (ζ ) − f ( z )) dϕ + ³ f ( z ) =
0
0
0
2π
= ³ ( f (ζ ) − f ( z0 )) dϕ + 2πf ( z0 ).
0
4 ρ → 0. ' # f ( z ) – , 4 J, E
4
>
ε $
>
ρ, f (ζ ) − f ( z 0 ) < ε ζ − z 0 < ρ . FE , 4 ρ → 0 D2π
4 lim
ρ→0
³ ( f (ζ ) − f (z0 )) dϕ = 0 . ' #
$
0
2π
2π
2π
2π
0
0
0
0
³ f (ζ ) dϕ = ³ ( f (ζ ) − f (z 0 )) dϕ + ³ f (z 0 ) = ³ ( f (ζ ) − f (z 0 )) dϕ + 2πf (z 0 )
4
$
ρ, 2π
³ f (ζ ) dϕ = 2πf (z0 ), 0
f (ζ )
³
dζ = 2πif ( z0 ) ; ζ
+ − z0
γ
1
f (ζ )
dζ .
4
$ f ( z0 ) =
³
2πi Γ ζ − z0
59
f (ζ )
³+ ζ − z
Γ
dζ =
f (ζ )
³+ ζ − z
γ
0
dζ
. /$!, &+ !
, !' % f ( z ) !
z0 ! & ! ), '+ % f ( z )
!'+ z0 !. J
$!
1.
7 1. A 4
#
$ 4
4
$
$ ), $ >D$ # f ( z ) >D$ z0 . 4
$ 4
f ( z ) $
J
$ 1.6 #
$ 4 4 4
C J.
7 2. > 4 $
J. H
$ #
$
f (ζ )
1
f ( z0 ) =
dζ $ $ 2πi Γ³ ζ − z0
), $
> z0 , $ J. '
4
, 4 4
# f ( z ) $
J -
f (ζ )
1
dζ 4
4 #
$ f ( z0 ) =
³
2πi Γ ζ − z0
4
>
$ 4 4
4
C $
.
2. '*( 0 ?$<'+ :
$ $ 4
4
#
$
f (ζ )
1
f ( z0 ) =
dζ .
³
2πi Γ ζ − z0
1
f (ζ )
dζ 4
$
$ ), 1. 9 ³
2πi Γ ζ − z0
$ >D$ J # f ( z ) , $
$ E
4
> z0 $4
4
4 , H > ). H
$, z0 > ), f ( z0 ) , ) –
60
E, 4
H
$ 4
# 1
f (ζ ) ­ f ( z0 ), z0 ),
E ). 9,
=®
³
0, z0 ).
2πi Γ ζ − z0 ¯
2. f ( z ) – # J z0 – H
. F4?$ H
>
R0 , $ >DE J.
1
f (ζ )
dζ . /
'
4
#
$ !
? 4
$ f ( z0 ) =
2πi C³ ζ − z0
R0
>
f ( z0 ) =
1
2π
2π
4
C R0
³ f (z0 + R0 e
iϕ
)dϕ , 0
ζ = z0 + R0 eiϕ ,
f ( z0 ) =
4
H
$
1
f (ζ ) ds . J #
2πR0 C³
R0
$ %
! !$
& > # >
.
3. - $($<$ $*<' '() ?<-
%& f ( z ) &&& J
!!
J . 4
$ f ( z ) ≡ const , & f ( z ) $& $! .
# 4$ f ( z ) = u 2 ( x, y ) +
+ v 2 ( x, y ) 4
E 4
$
.
H
$ $$
M
-
( x0 , y0 ) , z = x + iy 0 ,
M = f (z 0 ) ≥ f (z ) , 0 0
z∈ J .
4
>$, z0 – J. $ J K 0 R $ z0 4?$ #
$ z0 R. 61
. 4DE #
$, 4
$
2πM =
2π
³
f (ζ ) dϕ ≤
0
≤ 2πM . ,
2π
³ f (ζ ) dϕ ≤
0
2π
³ f (ζ ) dϕ = 2πM .
9 H
?
0
4
# f (ζ ) z = x + iy0 ,
, f (ζ ) = M
M = f ( z0 ) ≥ f ( z ) , 0 0
z∈ J
z = x0 + iy0 ,
4 ζ = z 0 + R e iϕ . , 4
M = f ( z0 ) ≥ f ( z ) , 0
z∈J
$
f (ζ ) $
> ? M . G $ 44
>$, -
ζ 0 $
f (ζ 0 ) $? M, 4
f (ζ ) , f (ζ ) $? M ζ 0 , $
>
[ϕ1 ,ϕ 2 ] , $ f (ζ ) ≤ M − ε, ε > 0 .
'
2π
ϕ2
ϕ1
2π
0
ϕ1
0
ϕ2
³ f (ζ ) dϕ = ³ f (ζ ) dϕ + ³ f (ζ ) dϕ + ³ f (ζ ) dϕ ≤
≤ (M − ε )(ϕ2 − ϕ1 ) + M (2π − (ϕ2 − ϕ1 )) < 2πM ,
d. A
$$ z1 , EDE 4
4 C $ K 0 (. 9). f ( z1 ) = M ,
, 4
4> >, 4
>$, K1
$ z1 R1 ≤ d $
# f ( z ) 4$ 4
, $$
$ E M.
A C z 2 , EDE 4
4 C K1 , 4
> 4
, ?
4
$, K n , $ 4> z*, $ $
f ( z ) = M , >.
. 9
f (ζ ) = M 4 ζ = z0 + R e $ $
. J
, >
R $ z0 #
f (ζ ) $ 4
, $ $$
$
E J. '
> 4
E
>
$?
$ z0 , $
K 0 . '4 4
, H
> #
f (ζ ) $ E
z* J. H
$ z z* C, $ >D J
D $?, $ 4
>-
9, $ 4
, f ( z ) 4$ $$
M , f ( z ) ≡ M ∂R
∂Φ ∂R
∂Φ
=R
= −R
,
. ?$
∂x
∂y ∂y
∂x
$ # f ( z ) > 4
J, , $
# 4
, H # >
4
. '$ $, # f ( z ) 4
J,
$
> $$
J. /
#, 4 $
, $$
-
-
62
63
2π
4
³ f (ζ ) dϕ = 2πM .
0
iϕ
9,
?
. H
, 4
$ # f ( z ) > $$
.
$ 4
$: & J
%& f ( z ) ! *
!! J , ! & *
%. H
> 1
4
44
$ $$
#E ϕ( z ) =
f (z )
$$ $
.
4
4
, $ $, #
$
1 f (ζ ) dζ
.
f ′( z ) =
2πi C³ (ζ − z )2
4
H
#
$ , f (ζ ) dζ
f (ζ ) dζ
, lim ³
=³
. H
2
h → 0 (ζ − z − h )(ζ − z )
C
C (ζ − z )
, f (ζ ) dζ
f (ζ ) dζ
³C (ζ − z − h )(ζ − h ) − C³ (ζ − z )2 =
4. 0* '() ?<-
§
1
1 ·
= ³ f (ζ )¨¨
−
2 ¸ dζ =
C
(
(
)(
)
ζ
−
z
−
h
ζ
−
z
ζ
−
z ) ¸¹
©
f (ζ ) dζ
= h³
2
C (ζ − z − h )(ζ − z )
$ E 4 h → 0 .
F
$ δ ? z C (. 10); E
ζ H
ζ − z ≥ δ .
' $? , ζ z + h 4
ζ − z − h ≥ ζ − z − h ≥ δ − h . P h $$, h < δ . M – ? $
$ E #
$ !
?, >$, !
& % ' &&& %.
f ( z ) – # $
$ C
H$ $ . '
, 1 f (ζ ) dζ
#
$
!
?, f ( z ) =
, z – E
2πi C³ ζ − z
$$
.
!
z , h $
>
$
, z + h >
> H
. "$ , h $? ?
z C. / f (z + h) − f (z )
1
f (ζ ) dζ
=
#
$ !
? f ( z + h ) =
³
h
2πi C ζ − z − h
1 § f (ζ )
f (ζ ) ·
¸ dζ, , 4
4
,
−
¨¨
³
2πih C © ζ − z − h ζ − z ¸¹
f (z + h) − f (z ) 1
f (ζ ) dζ
. h → 0 H
=
2πi C³ (ζ − z − h )(ζ − z )
h
$ f ′( z ) , 4
# 4
f (z )
. 4
4
$ – (ζ − z )2
=
64
# f ( z ) C, E
ζ H
f (ζ )
≤
M
, (ζ − z − h )(ζ − z ) (δ − h )δ 2
f (ζ ) dζ
Ml
³ (ζ − z − h )(ζ − z )2 ≤ (δ − h )δ 2 , l – C. /
C
f (ζ ) dζ
f (ζ ) dζ
Ml
³ (ζ − z − h )(ζ − z ) − ³ (ζ − z )2 ≤ h (δ − h )δ 2 → 0 4 h → 0 . $
C
C
1 f (ζ ) dζ
.
f ′( z ) =
2πi C³ (ζ − z )2
2
65
. $ 7. D !6 %
B %E !
. 10
'4 4
$
DE #
$, ?
f ′( z + h ) − f ′( z )
4 4 4 h → 0, $
>
4$ h
2 f (ζ ) dζ
4
, f ′′( z ) =
.
2πi C³ (ζ − z )2
' > , 4 E
$ $ n > 0
n!
f (ζ ) dζ
. 4
$ $$, f (n ) ( z ) =
2πi C³ (ζ − z )n +1
#
$
#
$ 4
$
>
4
#
$ !
?, ## 4
z ( 4
##
4
4
4$ z 4
$
). 4
4 , # f ( z ) C, ,
H$ $. /
# f ( z ) z, $
>
4
H
>
C $
, # f ( z ) H
>
, E $;
, 4
#
$ $
>
E, z E
$
D 4
E
4
n H
#.
9, % !
(
+
& !
!
% -
!
*
) +
!
' !
( % $
!& *( !
(.
66
G # f ( z ) D, -$ $$ $ C, 4
1
f (z )
, z0 ∈ D #
$ !
? f ( z0 ) =
2πi C³ z − z0
C , D $ .
$
$ 4$ #
$ !
? E .
e z dz
1. A ³
, C – >
z ( z − 2i )
C
2 $ 3i.
ez
f ( z ) =
, z
>
E C, 4
H
$, 4$ E #
$ !
?
(
ζ z, z – 2i), 4
$:
e 2i
e z dz
f ( z ) dz
³ z (z − 2i ) = ³ z − 2i = 2πif (2i ) = 2πi 2i = π(cos 2 + i sin 2).
C
cos z dz
2. A ³
, C – $
3
C (z − i )
, D i . $ #
$
n!
f (ζ ) dζ
# f ( z ) = cos z , 4
$:
f (n ) ( z ) =
³
2πi C (ζ − z )n +1
cos z dz
³ (z − i )3
C
=
2πi d 2 (cos z )
= − πi cos i = − πi ch 1.
z =i
2!
dz 2
4' :
1 f (ζ ) dζ
2πi C³ ζ − z
$!
1 44
>, C – $ , # f ( z ) – C $ -
67
. G. H
$ , #, 4$ $
!
?, 4 f ( z ) G >
E C. G , C – 4
4
, #
f (ζ ) C 4 $, 1 f (ζ ) dζ
4
$!
1. 9
2πi C³ ζ − z
!
? , , $ $ 4 !
?.
1 f (ζ ) dζ
F ( z ) =
, 4$ $ 4
2πi C³ ζ − z
!
?, 4 E, $ C, E
z, 4>D C, 4 !
? D
f (ζ )
(4
#
4
).
ζ−z
A 4
>, 4
$
DE 1 f (ζ ) dζ
, $
>
#
$ f ′( z ) =
2πi C³ (ζ − z )2
4
E 4 !
? E
z, 41 f (ζ ) dζ
>D C: F ′( z ) =
, $ $$ , 2πi C³ (ζ − z )2
$! 1 &&& % , '+ $ C. 4
E
4
n
4 !
? 4 #
$:
n!
f (ζ ) dζ
.
F (n ) ( z ) =
2πi C³ (ζ − z )n +1
$ 8. #&% ;% $
> . $$ f ( z ) = lim S n ( z ) , S n ( z ) = f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) , n→∞
# 4$
z, 4
, . >
, , $ (
H
. 6
!& Rn ( z ) = f ( z ) − S n ( z ) = f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ) + ... .
A >
$
lim Rn ( z ) = 0 .
n→∞
9$ $, z , >
ε > 0 $
>
4
?
N, 4
n > N $
Rn ( z ) < ε .
/$? N, 4ED $ n, 4
4
, ε, z, , , $ $
; 4
H $
, $
N 4? N (ε, z ).
4
>$, $ $
> G ( , . .) , '
!!& $ D$ $ $.
J
, D D a0 + a1 + a2 + ... + an + ... 4
>$ $, $$
$
> f 0 ( z ) ≤ a0 ,
f1 ( z ) ≤ a1 , …
f n ( z ) ≤ an , … . "$ H
$ , $ $
> f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ... (
& !
.
F
, H
$ Rn ( z ) = f n + 1 ( z ) + f n + 2 ( z ) + ... ≤
≤ f n + 1 ( z ) + f n + 2 ( z ) + ... ≤ an +1 + an + 2 + ... = rn ,
, $ E #
$4
4$
z
f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ...,
$
#
4
rn ED
. /
H
, , $ó ε > 0 , N (D ε, H
– z ), rn < ε 4 n > N . '$ , 4
H
$
4 n > N $$ Rn ( z ) < ε . '$ $, , 4
68
69
1. <-'9+ *+
. D $ $
> , Rn ( z ) < ε
$ $
4 E
$ $
$ ε > 0 , n > N (ε ),
N (ε ) ε.
, $
>
N D$ z, E !
!
(
&+& ED$ $
>
. D 4>, $ $,
$
D (
$
D 4
).
/
, f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ..., D
4
$
$
> G, $
> > E 4
$
E
#E ϕ( z ), 4
ϕ( z ) f 0 ( z ) + ϕ( z ) f1 ( z ) + ... +
+ ϕ( z ) f n ( z ) + ... > 4
G. , # ϕ( z ) , D 4
M, ϕ( z ) < M $
> G, f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ... $>
G D$ $
a0 + a1 + a2 + ... + an + ... , ϕ( z ) f 0 ( z ) + ϕ( z ) f1 ( z ) + ... + ϕ( z ) f n ( z ) + ...
$>
D$ $ Ma0 + Ma1 + ... + Man + ... ,
>.
>$ $
D ,
4 4
D .
1. 3 !& f ( z ) = f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ... &&&
!! %& !
G $ L !& (
& *
*
$ !
!
,
!& f ( z ) !! G $ L.
z z + h – E , 4>D $$
$ $
> (
G L), S n ( z ) – $$ Rn ( z ) – f ( z ) = f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ... . 9$$
f ( z ) = S n ( z ) + Rn ( z ) f ( z + h ) − f ( z ) = S n ( z + h ) − S n ( z ) + Rn ( z + h ) −
− Rn ( z ). A $
$
, $
ε > 0 , $
>
n, Rn ( z + h ) < ε , Rn ( z ) < ε ,
Rn ( z + h ) − Rn ( z ) ≤ Rn ( z + h ) + Rn ( z ) < 2ε .
,
f ( z + h ) − f ( z ) < S n ( z + h ) − S n ( z ) + 2ε . S n ( z ) , $70
$
4 #, > 4 $ $
>, 4
H
$, z $
>, h $
>
$
(
z + h > 4> $$
$ $
>), S n ( z + h ) − S n ( z ) < ε . /
f (z + h ) − f (z ) < Sn (z + h ) −
− S n ( z ) + 2ε 4
$ f ( z = h ) − f ( z ) < 3ε , ε $
, H
, # f ( z ) 4
E
z $
>.
2. 3 !& f ( z ) = f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ... !! !
$ L !& (
& *
$ !
!
,
$
'
$!!
$ L, ³ f (z ) dz = ³ f 0 (z ) dz + ³ f1 (z ) dz + ... + ³ f n (z ) dz + ... .
L
L
L
L
A ? # f ( z ) 4
L ³ f ( z ) dz D. σ n ( z ) – L
$$ 4
4
>. 9$$
³ f ( z ) dz − σ n ( z ) =
L
= ³ f ( z ) dz − §¨ ³ f 0 ( z ) dz + ³ f1 ( z ) dz + ... + ³ f n ( z ) dz ·¸ =
©L
¹
L
L
L
= ³ ( f ( z ) − S n ( z )) dz = ³ Rn ( z ) dz ,
L
L
Rn ( z ) – f ( z ) = f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ... . ' H
L $
, $
>
N ?$, 4 n > N Rn ( z ) < ε $
$
L. '
4
4
$
³ f (z )dz − σ n (z ) = ³ Rn (z ) dz < ε ⋅ l , l – L. ' ε > 0
L
L
4
$ $
, H
, lim ³ Rn ( z ) dz = 0,
n→∞
L
lim σ n ( z ) = ³ f ( z ) dz , .
n→∞
L
3. 3 !& f ( z ) = f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ... – !
G *
!& (
& 71
. G !
!
, $
f ( z ) ' &&& %, G.
A$ EE EE
z G 4
$ $
$
H
, $ > G (. 11).
C – >
H
,
ζ – E C.
f (ζ ) f 0 (ζ ) f1 (ζ )
9$$
=
+
+ ...
ζ−z ζ−z ζ−z
. 11
f (ζ )
+ n + ... .
ζ−z
G z 4
, ζ >
C, ζ − z 4
( ρ >
C). f ( z ) = f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ... 4
E $
G $ – >
C. H
$ f 0 (ζ ) f1 (ζ )
f (ζ )
+
+ ... + n + ... > $
C 4
ζ−z ζ−z
ζ−z
?E ζ (4
$$, z 4
) , $ ?, $
>
C 4
:
1 f (ζ ) dζ
1 f 0 (ζ ) dζ 1 f1 (ζ ) dζ
1 f n (ζ ) dζ
=
+
+ ... +
+ ... .
³
³
³
2πi C ζ − z
2πi C ζ − z
2πi C ζ − z
2πi C³ ζ − z
94
E #
$ !
?, 4
$
1 f (ζ ) dζ
= f 0 ( z ) + f1 ( z ) + ... + f n ( z ) + ..., 4
$ 2πi C³ ζ − z
1 f (ζ ) dζ
f ( z ) =
.
2πi C³ ζ − z
f ( z ), $$
$
D
, , 4 #, 4 G. , , D 4
4
, $ 4 !
? , $ , 4 #E, 72
E >
C , , z. ' z –
E G, .
2. + *+
c0 + c1 z + c2 z 2 + ... + cn z n + ... , ci – 4
,
.
F
$
4 : !& (
&
z0 , (
&, !
, ( (, '+( ! !'
C
!
z = 0 , !
(
&+ ! z0 (
(
( z, & !( z < z0 ). !
*
&
!$ z ≤ ρ (. 12)
. 12
! ρ, 1$
, z0 , !&
(
& !
.
0
.
9
$
c0 + c1 z + c2 z 2 + ... + cn z n + ... 4 z = z0 , lim cn z n = 0 ,
n→∞
, $
H
, D 4
M, cn z0n < M 4 E
$ n. z –
E , >D >
C; z
= q <1 .
z0
§
cn z0n ¨¨
FD
n
$
>
z < z0
4
:
z ·
¸¸ . FE , cn z n < Mq n , $
cn z =
© z0 ¹
z $? ED $
4
M + Mq + Mq 2 + ... + Mq n + ... $$ q,
$?$ . , z E
4 $ .
n
73
. A
$$ 4 4
z ≤ ρ ($. . 12), >D >
C ( ρ < z0 ). $ ?
E
, 4
>
>
C, , , , >D >
$ ρ. 9, z1 – >
H
(
z1 = ρ ), c0 + c1 z1 + c2 z12 + ... + cn z1n + ... . /
E
z, >D >
z ≤ ρ , 4
z ≤ z1 , cn z n ≤ cn z1n 4 E
$ n.
J$ , z ≤ ρ , ρ < z0 , 4
.
$
$ 4 E
, D .
A
$
> .
1. c0 + c1 z + c2 z 2 + ... + cn z n + ... H
. '
, $ %, ?
, 4
.
2. , $ z = 0
( z = 0 4
c0 + c1 z + c2 z 2 + ... + cn z n + ... , 4 z = 0 , $
4
, DE ). A H
$ 4
, $ z = 0 .
, $ % , z , E $ , >
4
z. , $$
$ $
$ , E, $ z = 0 .
3. / $E $
, z = 0 , $
. ! $
, $
% , $
> , $ $
. , z* (. 13), ED , , , . $ z*
74
4> $
, $
. G $ , >
4
z*, H
.
! G E !$
(
4
, . 13
– !
(
H
. / >
$
$
> $
, $
. A $
1 2 $
>
, $
, , E.
' $ , D$ $ $
, 4
4
, , $$ 4
$
#.
$
4
$
>
4, 4
$
4$
$
.
2
n
c0 + c1 ( z − a ) + c2 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ... , a – E
$4
, > E 4$. z − a = t c0 + c1 z + c2 z 2 + ... + cn z n + ... , 4$ t = 0 z = a . , E $
c0 + c1 ( z − a ) + c2 ( z − a )2 + ... + cn ( z − a )n + ... $
z = a .
3. * )'
$
$ E #E f ( z ), E
G, >
E C $ z = a (. 14). >$ H #E 4
c0 + c1 ( z − a ) + c2 ( z − a )2 + ... + cn ( z − a )n + ... .
75
. z – E G. $ G >
C ′ $ a , z
H
>
. '
, ζ – >
C ′ , #
$
!
?
1
f (ζ ) dζ
. 14
$$ f ( z ) =
.
2πi C³′ ζ − z
$ $
> 4
#:
1
1
1
=
=
.
ζ − z ζ − a − (z − a )
§ z−a ·
(ζ − a )¨¨1−
¸¸
© ζ−a ¹
ζ − a >
C ′ , $
z − a E z >
C, , 4$D ζ 4
>
z −a
4
, $? C ′ , ζ−a
1
. , #
$$
$z−a
1−
ζ−a
ED$
$
D
1+ q + q 2 + ... + q n + ... . '$ $$ H
4
$>
ED$ 4D
. , 4
f (ζ )
E #E
$
>
4 $$ ,
ζ−z
D
4
>
C ′ ( f (ζ ) .+
C ′ ):
>
( z − a )n f (ζ ) + ... ,
(ζ − a )n +1
f (ζ ) f (ζ ) ( z − a ) f (ζ )
=
+
+ ... +
ζ− z ζ−a
(ζ − a )2
$ 4
4
,
4 >E # f ( z ) 4
:
2
1 f (ζ )dζ ( z − a ) f (ζ )dζ ( z − a ) f (ζ )dζ
f (z ) =
+
+
³
³
³
2
3 + ...
2πi C ′ ζ − a
2πi C ′ (ζ − a )
2πi C ′ (ζ − a )
(z − a )
f (ζ )dζ
n
... +
³ (ζ − a ) + ... .
2πi
C′
n +1
( z − a )n + ..., 1
z − a ( z − a )2
...
+
+
=1 +
+
z−a
ζ − a (ζ − a )2
(ζ − a )n
1−
ζ−a
D z >
C ′ . J 4
4
>
C ′ ζ, 4
$ z −a
= q 4
H
>4 #
$ z ζ−a
,
,
$
2
n
( z − a ) + ... 4E 1
z − a (z − a )
+ ... +
=1 +
+
2
z−a
a
ζ
−
(ζ − a )
(ζ − a )n
1−
ζ−a
> ( z − a ), ( z − a )2 , ..., ( z − a )n , ... ED .
9, z G # f ( z ) 4 4
$
DE 4
$$ 4
2
n
f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + c2 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ..., H##
1
f (ζ )dζ
E
4
#
$$
cn =
³
2πi C′ (ζ − a )n+1
(n = 0, 1, 2, ...) , C ′ – E >
$ z = a , >D G, E
4
$ , D a 4
>
$
4 >D G, $
!
? 4
C ′ . !&
4
!.
#
$
!
? ED n!
f (ζ ) dζ
, $
>
H##
#
$
f (n ) ( z ) =
2πi C³ (ζ − z )n + 1
'
4
4:
76
77
4
. f (ζ )dζ
1
1
f (ζ )dζ
, (n =1, 2, ...)
= f (a ), cn =
³
³
2πi C′ ζ − a
2πi C′ n!
4 > '
#
$, $$
# 4$
:
(n )
′′
f ′(a )
( z − a ) + f (a ) ( z − a )2 + ... + f (a ) ( z − a )n + ... .
f ( z ) = f (a ) +
1!
2!
n!
FE, , 4
>
z 2 z3
H$
#:
ln (1+ z ) = z − + − ... ,
2 3
3
5
z z
z z2
.
arctg z = z − + − ...
e z =1+ + + ... ,
3 5
1! 2!
3
5
2
4
z z
z
z
sin z = z − + + ..., cos z =1− + − ..., >? $ 43! 5!
2! 4!
# e z , sin z , cos z , $
>
4 $ > H # '
.
A H$ # , 4. /
$
> , '
-
H$
#
, H H$ # 4. $ H
$ 44 $$
H$
# ED ,
$$ '
H
.
sin z
z2 z4
', 4$, =1− + − ... 4
4
z
3! 5!
E
$ z ≠ 0 . F
, D 4
, 4 z = 0 , 4$ $$ 4 z = 0 1. $ 4
H
$
sin z
=1 4 z = 0 .
, z
&
, 4 $ $
'
H$
# f ( z ) E ρ z = a , ED $ $
, >? H
#.
, z − a < ρ # f ( z ) ,
4
H
$, , H
$ '
c0 =
78
. , $
'
?, $ ρ, $
4
4 # f ( z ), 4
$$ '
, $
>
, $$ 4
$
.
***
G R – $
'
# f ( z )
H # $
(
D
4
M, f ( z ) ≤ M 4 z < R ), , 4
E #
$ H##
'
4 >
ζ − a = ρ $
z = a , 4
$
cn =
1
1 M
f (ζ )dζ
M
≤ ⋅ n + 1 ⋅ 2πρ = n .
³
n +1
2πi C ′ (ζ − a )
2π ρ
ρ
' ρ >
C ′ $
>
M
$ $
R, cn ≤ n , n = 0, 1, 2, ... . J
R
E ! 1 & *%%
!& 4
!.
G # f ( z ) – 4
, $
'
, ,
!
? $, H## cn , $ c0 ,
E, , f ( z ) = c0 . '$ $$ , %&,
& ' !& $!& ,
& (
).
***
'
$
>
4
##
. , f ( z ) – #, 4
f ′( z ) ; > #E f ′( z ) 4
#
$ (n )
f ′′(a )
( z − a ) + ...+ f (a ) ( z − a )n −1 + ....
'
, 4
$: f ′( z ) = f ′(a ) +
1!
(n −1)!
79
. /
H
$ > 4
4
##
(n )
′′
f ′(a )
( z − a ) + f (a ) ( z − a )2 + ... + f (a ) ( z − a )n + ... .
f ( z ) = f (a ) +
1!
2!
n!
4
##
$ > $
, : $
$
> , 4 ##
4
$
H##
E (
H## cn $
> n),
$
$
> $?, $$ 4
, 4
, E #$, $ $
'
# f ( z ).
***
A a 4
#
$ $
>
EE
, # f ( z ) . >
(n )
′′
f ′(a )
( z − a ) + f (a ) ( z − a )2 + ... + f (a ) ( z − a )n + ...
f ( z ) = f (a ) +
1!
2!
n!
E !
' % f ( z ) !
a. G
f (a ) = 0 , a % f ( z ). A H
$ > # '
a $
f ( z ) = c1 ( z − a ) + c2 ( z − a )2 + ..., c0 = f (a ) = 0 . G > # f ( z ) '
a
c0 = c1 = ... = cn −1 = 0 , cn ≠ 0 , , > $
f ( z ) = cn ( z − a )n + cn + 1 ( z − a )n + 1 + ... , a n-$
!& n- !
# f ( z ). G
n =1 , !
. ##
f ( z ) = cn ( z − a )n + cn + 1 ( z − a )n + 1 + ... , 4
$ , a –
4
n # f ( z ), H > $ 4
n −1 # f ′( z ) .
9 #
$ H##
'
, a &&& !& n % f ( z ), f (a ) = f ′(a ) = ... = f (n −1) (a ) = 0 , f (n ) (a ) ≠ 0 .
> f ( z ) = cn ( z − a )n + cn + 1 ( z − a )n + 1 + ... $
>
44-
f ( z ) = ( z − a )n ⋅ (cn + cn + 1 ( z − a ) + ...)= ( z − a )n ϕ( z ), #
4
$$
4
ϕ( z )
ϕ( z ) = cn + cn + 1 ( z − a ) + ... , $ED
, , > $
, f ( z ) = cn ( z − a )n + cn + 1 ( z − a )n + 1 + ... . # ϕ( z )
a > $, ϕ(a ) = cn ≠ 0 . 4
>: && %& f ( z ) = ( z − a )n ϕ( z ) ,
$ n – '
, ϕ(a ) ≠ 0 , ϕ( z ) a, *
!& n.
, > ϕ( z ) '
a, 4
$ ϕ( z ) = c~0 + c~1 ( z − a ) + ..., c~0 = ϕ(a ) ≠ 0 . FE
f ( z ) = ( z − a )n ϕ( z ) = c~ ( z − a )n + c~ ( z − a )n + 1 + ... .
0
4?
1
>E
f ( z ) = cn ( z − a )n +
+ cn + 1 ( z − a )n + 1 + ... ; , a $ 4
n # f ( z ).
(
)
. # f ( z ) = z 2 − 4 e z z = ± 2 E
3
$ 3-
4
, f ( z ) = ( z − 2 )3 ( z + 2 )3 e z , 4
> ϕ( z ) = ( z + 2 )3 e z , f ( z ) = ( z − 2 )3 ϕ( z ) , 4$ ϕ(2 ) ≠ 0 , >
4
> ϕ( z ) = ( z − 2 )3 e z , f ( z ) = ( z + 2 )3 ϕ( z ) ϕ(− 2 ) ≠ 0 .
3 & ( G % f1 ( z )
f 2 ( z ) !
z1 , z 2 , ..., z k , ... , (
&+& a ( lim z k = a ), !&
k →∞
&&& ! G, % f1 ( z ) f 2 ( z )
' G: f1 ( z ) ≡ f 2 ( z ) .
80
81
. F$ $ $ , G – , a – H
. f ( z ) = f1 ( z ) − f 2 ( z ). '
f ( z k ) = 0 4 E
$ k. ,
4
# f ( z ) $$ f (a ) = lim f ( z k ) = 0 .
D z − z0 < ρ( z0 ) $ 4
z0 ∈ J , > E 4$ $ # f ( z ).
4
>$ 4, 4 $
$, # f ( z )
>
E G, H## > f ( z ) '
a E. H
$ 44
> a $ # f ( z )
4
>$, f ( z ) # $> $ >
$ C ′ C ′′ $ z = a (. 15), z – 4
H
. $ >
Γ′
Γ′′ $ a , > >
. 15
z $> Γ′ Γ′′ .
F4?$ z >
γ , DE $> Γ′ Γ′′ . 94
$ !
? ,
1
f (ζ ) dζ 1 f (ζ ) dζ 1 f (ζ ) dζ
. /
, =
+
$$
³
2πi Γ′′ ζ − z
2πi Γ′³ ζ − z
2πi ³γ ζ − z
5. * k →∞
4
n 4
H
$ f ( z ) $ f ( z ) = ( z − a )n ϕ( z ) .
> ( z − a )n , $ $
a, E ,
# ϕ( z ), D , a,
, 4
, . H
$ a # f ( z ) , $ $
a, E. 4? 4
E, E
a $E 4
z1 , z 2 , ..., z k , ... , f ( z ) = 0 . 9, f ( z ) ≡ 0 , , ,
f1 ( z ) ≡ f 2 ( z ) . '
$ .
4. '9+ (G+ '() ?<-
# f ( z ) J, $ ). 4
z0 ∈ J & !
% f ( z ),
∞
+ (
&+& !&
¦ cn ( z − z 0 )
n=0
n
, -
! + J $
!$ (
z − z0 < ρ( z0 ) (
& % f ( z ). / ρ( z0 )
: ρ( z0 ) ? . '
z∈ J , ED 4$ $ #
f ( z ), E . K
, #
f ( z ) – J, H
E 4$ $ # f ( z ). '
) $
4$, $ $ # f ( z ). F
, ), >82
#
$
1 f (ζ ) dζ
= f (z ),
2πi ³γ ζ − z
!
?
4
$
1
f (ζ ) d (ζ ) 1 f (ζ ) dζ
. G ζ – Γ′′ ,
−
³
2πi Γ′′ ζ − z
2πi Γ′³ ζ − z
ζ − a > z − a f (z )=
1
1
=
=
ζ − z ζ − a − (z − a )
1
§
·
(ζ − a )¨¨1− z − a ¸¸
© ζ−a ¹
=
( z − a )n + ...·¸ .
1 §¨ z − a ( z − a )2
1
...
+
+
+
+
ζ − a ¨© ζ − a (ζ − a )2
(ζ − a )n ¸¹
4
H
>
Γ′′
4
; $
> 4
f (ζ ) dζ 4
Γ′′ , 4
$ 4
>
=
83
. 1
f (ζ ) dζ 1
f (ζ ) dζ z − a f (ζ ) dζ
+
=
+
³
³
2πi Γ′′ ζ − z
2πi Γ′′ ζ − a
2πi Γ³′′ (ζ − a )2
+
( z − a )2
2πi
f (ζ ) dζ
³ (ζ − a )3 + ... +
( z − a )n
2πi
Γ′′
f (ζ ) dζ
³ (ζ − a )n +1 + ... =
Γ′′
= c0 + c1 ( z − a ) + c2 ( z − a ) + ... + cn ( z − a )n + ...,
f (ζ ) dζ
1
, n = 0, 1, 2, ... .
cn =
2πi Γ³′′(ζ − a )n + 1
G > ζ Γ′ , z − a > ζ − a
2
ζ− a
< 1; 4
H
$ 4
, 4
z−a
1
D
Γ′ , 4
$
:
ζ−z
1
1
1
=
=
=−
ζ − z ζ − a − (z − a )
( z − a )§¨1 − ζ − a ·¸
© z−a¹
2
(ζ − a )n −1 + ...·¸ .
1 § ζ − a (ζ − a )
¨¨1 +
=−
+
+
+
...
2
(z − a )n −1 ¸¹
z − a © z − a (z − a )
4
4
$:
1 f (ζ ) dζ 1
1
=
⋅
−
f (ζ ) dζ +
³
2πi Γ′ ζ − z z − a 2πi Γ′³
, ,
+
1
(z − a )
2
... +
=
⋅
1
(z − a )
n
1
(ζ − a ) f (ζ ) dζ + ...
2πi Γ′³
⋅
1
(ζ − a )n −1 f (ζ ) dζ + ... =
2πi Γ′³
c
c−1
c
+ − 2 2 + ... + − n n + ...,
z − a (z − a )
(z − a )
1
f (ζ )(ζ − a )n −1 dζ , n = 0, 1, 2, ... .
³
2πiΓ′
A $ !
? $
4
Γ′ Γ′′ $
>
EE >
) $ a, >DE $ $> C ′ C ′′ .
c−n =
84
P$$ >, 4 $ n − n 4
1
f (ζ ) dζ
>
4
4
>
³
2πi Γ′′(ζ − a )n + 1
1
1
f (ζ ) d (ζ )
f (ζ )(ζ − a )n −1 dζ ,
4
H
$
−
f (z )=
³
³
2πiΓ′
2πi Γ′′ ζ − z
1 f (ζ ) dζ
$ 4
$ ED > # f ( z ),
−
2πi Γ′³ ζ − z
D z $> C ′ C ′′ :
f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + c2 ( z − a )2 + ...
c
c−1
c
+ − 2 + ... + − n n + ...,
z − a ( z − a )2
(z − a )
H## cn , 4 n = 0, 1, 2, ..., 4 n = –1, –2, …
1
f (ζ ) dζ
, ) – E 4
4E #
$
cn =
³
2πi Γ (ζ − a )n =1
> $ >
$ z = a . > !&
5
!.
1. $
$ > &
1
# f ( z ) =
, a = 0 .
( z − 1)( z − 2)
f ( z ) $
: z = 1
z = 2 . ,
$
$ z = 0 , >
$ #
(. 16): 1) z <1 ; 2)
1 < |z| < 2; 3) ?. 16
z > 2 .
A $ 4
> &
>
4 , 4 #
$$ H##
.
... +
85
. 1. ' !$ z <1 . E f ( z ) $
>
4
$$
H$
:
1
1
1
1
1 1
1
. ' , #
=
−
=− ⋅
z
z
( z −1)( z − 2) z − 2 z −1
z −2
2 1−
1−
2
2
$$
$
4
z
1
z z2
zn
<1 ,
=1+ + 2 + ... + n + ..., $
$ z
2
2 2
2
1−
2
zn
1
1 z z2
= − − 2 − 3 − ... − n + 1 − ... .
z −2
2 2 2
2
1
%
−
=1+ z + z 2 + ... + z n + ..., 4$ 4
z −1
, z < 1 . 4
>,
4
$
1 · n
1
1 § 1 · § 1· 3
§
= + ¨1− ¸ z + ¨1− ¸ z + ... + ¨1− n =1 ¸ z + ..., ( z −1)( z − 2) 2 © 2 2 ¹ © 23 ¹
© 2 ¹
1
cn =1− n + 1 (n = 0, 1, 2, ...) , c− n = 0 (n = 1, 2, ...) .
2
> $ '
.
1
1
=− −
2. ' 1< z < 2 . z −2
2
z z2
zn
−
−
...
−
− ... D$, z < 2 , 2 2 23
2 n +1
1
−
=1+ z + z 2 + ... + z n + ... , 4
$ z >1; 4
H
$
z −1
4
> $$ ED$:
1
1 1
1§ 1 1
·
−
=− ⋅
= − ¨1 + + 2 + ... ¸ =
z −1
z 1− 1
z© z z
¹
z
1 1
1
= − − 2 − ... − n − ...
z z
z
−
86
A $$
$ 4
, 1
z >1 , , <1 .
z
, 4
$
zn
1
1 z z2
= − − 2 − 3 − ... − n + 1 − ...
( z −1)( z − 2) 2 2 2
2
1 1
1
− − − ... − n − ...,
z z2
z
1
cn = − n + 1 (n = 0,1, 2, ...) , c− n = − 1 (n =1, 2, ...) .
2
3. ' z > 2 . 1
1 1
1§ 1 1
·
−
=− ⋅
= − ¨1 + + 2 + ... ¸ =
z −1
z 1− 1
z© z z
¹
z
1 1
1
= − − 2 − ... − n − ...
z z
z
, z > 2 , z >1; 4
1
1 z z2
zn
= − − 2 − 3 − ... − n + 1 − ... . P$$ H
2 2 2
z −2
2
· 1 2
2 n −1
1
1 1 1 § 2 22
= ⋅
= ¨¨1+ + 2 + ...¸¸ = + 2 + ... + n + ... .
z − 2 z 1− 2 z © z z
z
¹ z z
z
P 4
, z > 2 , ,
2
<1. 4
>, 4
$
z
1
1 22 − 1
2n−1 −1
= 2 + 3 + ... +
+ ..., cn = 0 (n = 0,1, 2, ...) ,
( z − 1)( z − 2) z
z
zn
c− n = 2 n −1 −1 (n =1, 2, ...) .
2. A a =1, $ > &
$
?
#
87
. f (z )=
1
( z −1)( z − 2)
. $ $ -
z =1 (. 17):
1) , 0 < z −1 <1 ;
2) ?
z − 1 >1.
A >
H # f ( z ) , $ .
>$ >
H
#E f ( z ) 4
. 17
4$ ( z −1) .
1. ' 0 < z −1 <1 . ! 4$ 1, 4
1
1
1
1
1
=−
= − 1+ ( z −1) +
;
=
−
$
z −2
1− ( z −1)
( z − 1)( z − 2) z − 2 z −1
(
)
+ ( z −1) + ... + ( z −1) + ... , 4$ 4
, 2
n
z −1 < 1. ,
1
1
=−
−1− ( z −1) − ( z −1)2 − ...
( z −1)( z − 2) z −1
− ( z −1)n − ...,
cn = −1 (n = 0,1, 2, ...) , −1 = − 1, − 2 = −3 = ... = − n = ... = 0 .
2. ' z −1 >1. A H
1
1
1
1
=
=
⋅
=
z − 2 ( z − 1) −1 z −1 1− 1
z −1
=
·
1 §¨
1
1
¸=
+
+
+
...
1
2
¸
z −1 ¨© z −1 ( z −1)
¹
=
1
1
1
+
+ ... +
+ ...,
2
z −1 ( z −1)
( z −1)n
88
4$ 4
, z −1 >1
1
<1. 9,
, ,
z −1
1
1
1
=
−
=
( z −1)( z − 2) z − 2 z −1
=
cn = 0
1
+
1
+ ... +
1
+ ...,
( z −1) ( z −1)
( z −1)n
(n = 0,1, 2, ...), c−1 = 0 , c−2 = c−3 = ... = c−n =1.
2
3
***
>$ > # &
,
> n
f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ...
c−1
c− 2
c− n
+
+ ...
2 + ... +
( z − a )n
z − a (z − a )
9$ $, >$, %& f ( z ) &&&
!
!
z = a , + ( !( !&
$
, (
&+(&
*
+( % f ( z ).
A $
$ , $ $ r1 < z − a < z 2
$ z = a (. 18) n
f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ...
... +
c−1
c− 2
c− n
+
+ ...
2 + ... +
( z − a )n
z − a (z − a )
, H
$ c
c
c
c0 + c1 ( z − a ) + ... + cn ( z − a )n + ... −1 + − 2 2 + ... + − n n + ... , z − a (z − a )
(z − a )
$ ρ1 ≤ z − a ≤ ρ 2 , >D$ (r1 < ρ1 < ρ 2 < r ), 4
. 4
H
$ %, ED
>... +
89
. 1
= t 4D 4
z −a
c−1
c
c−1t + c− 2t 2 + ... + c− n t n + ... , + − 2 2 + ... +
z − a (z − a )
c
+ − n n + ... $ $ , , (z − a )
E
>
z − a = ρ , r1 < ρ < ρ1 , 4
1
>
t =
ρ
, $ %, 1
4
t ≤
ρ1
1 1
( < ). A
D
ρ1 ρ
4$
z, $ 4
$
,
c− n
c−1
c− 2
+
+ ... +
+ ...
. 18
z − a ( z − a )2
( z − a )n
: 4
$
4
z − a ≥ ρ1 $ ρ1 ≤ z − a ≤ ρ 2 .
9
,
c− n
c−1
c− 2
n
c0 + c1 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ... +
+ ... +
+ ... z − a ( z − a )2
( z − a )n
4
>D $ >
)
$ a ($. . 18). J , n
f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ...
c−1
c− 2
c− n
+
+ ... ,
2 + ... +
( z − a )n
z − a (z − a )
$
>
).
... +
90
, ³ (z − a )
n
dz , -
Γ
$ ) 4
>
$ 4 z = a , E 4 $ $ n, $ n = − 1
( 4
$ 2πi ). , 4
4
$ 4
,
c dz
$ 4
, $ 4
$ ³ f ( z ) dz = ³ −1 = c−1 ⋅ 2πi ,
z−a
Γ
Γ
1
f ( z ) dz . Q
4 c− n , >
c−1 =
2πi Γ³
$
> ( z − a )n −1 . '
4
, $ , 4 c dz
n −1
$
4
$
³ f (z )( z − a ) dz = ³ z−−n a = 2πic−n , Γ
Γ
1
n −1
c− n =
f ( z )( z − a ) dz .
2πi Γ³
%
4 cn 4 n = 0, 1, 2, ..., >
4 4
$ $ n
f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ...
... +
c−1
c− 2
c− n
+
+ ...
2 + ... +
( z − a )n
z − a (z − a )
( z − a )n + 1 . '
4
4
c dz
f ( z ) dz
1
f ( z ) dz
= n = cn ⋅ 2πi cn =
.
$ ³
³
n +1 ³
z−a
2πi Γ ( z − a )n + 1
Γ (z − a )
Γ
4? > $ #
$$ H##
&
$ $$ , >
# f ( z ) $
>
. ' '
$ $ &
, > '
.
91
. 6. 0'+ (G+ F
z = a # f ( z ) !
,
# f ( z ) $ , z = a
# f ( z ) E, $ $
z = a . > # &
, D H
# $ a,
$ H
a ($? , $ 4
>, E), $ !
' %
!& 5
! !
!
.
', 4$ 2 4
> >$
z = 1 .
2
n
"$ c0 + c1 ( z − a ) + c2 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ...
c
c
c
!
, −1 + − 2 2 + ... + − n n + ... – $
z − a (z − a )
(z − a )
!& 5
! $, 4
#
f ( z ) z = a >$ # &
H
.
4
>$ , z = a # f ( z ) , D 4
M, f ( z ) < M H
. F
ρ >
), 4
4
1
1
, 4
$ c− n =
f (ζ )(ζ − a )n −1 dζ ≤ Mρ n −1 ⋅ 2πρ = Mρ n ,
³
2πi Γ
2π
c−1 ≤ Mρ , c−2 ≤ Mρ 2 . . ' ) $
>
4
f (a ) 4
$ $$ 4 z = a , 4
>
f (a ) = c0 , z = a !
% f ( z ) 4
> >$ f ( z ) '
z = a . 9, # f ( z ) z = a , $
$
>$ H 4
#, 4
sin z
> f (a ) = c0 ($. 4$ >$ #
). H
z
$ z = a # f ( z ), > f ( z ) &
z = a >
$ 4$ ( z − a ) , !
.
4 # f ( z ) z = a . A H
$ lim f ( z ) = ∞ ,
z→a
4 z → a # f ( z ) D $ 4 ( , ). A 4
$ $ z = a # f ( z ), $ – +
.
G z = a 4
E
$ # f ( z ), $
H
f ( z ) > M , M, 4
H
$ f ( z ) ≠ 0 z = a .
1
, # F ( z ) =
, ?$ f (z )
# ( f ( z ) ≠ 0 ), > #, z = a E, $ $
z = a . /
4
E lim f ( z ) = ∞ , z→a
>
$
ρ $ z = a ,
E , c−1 = 0 , c− 2 = 0 , …, c–n = 0 . ., , > > $
2
n
f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + c2 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ... . J
>
$ $
z = a ,
$ $
z = a . /
4 4
, $$
4
, 4 z = a . H
$ -
1
lim F ( z ) = lim
= 0 , 4
H
$ # F ( z ) z→a
z → ∞ f (z )
z = a , $ ?, H
$
>
4
F ( z ) , 4
> F (a ) = 0 . 9,
z = a 4
E
$ # f ( z ), 1
. "$ z = a !&
$ #
f (z )
92
93
. n # f ( z ), H $ 4
n 1
. A n =1 H
4
E $ !
.
#
f (z )
! 4
, z = a 1
1
$ #
4
n, = ( z − a )n ϕ( z ), f (z )
f (z )
ϕ(a ) ≠ 0 (# ϕ( z ) 4 z = a ). /
H
41
, , 4
>
, f ( z ) =
( z − a )n ϕ( z )
ψ( z )
1
, 4$ # ψ( z ) > ψ( z ) =
, f (z )=
ϕ( z )
( z − a )n
4 z = a ψ (a ) ≠ 0 . 9, z = a $ $ &&& !& n % f ( z ), $ f ( z ) '
!ψ( z )
.
f ( z ) =
(z − a )n
', 4$, z = − 2 4
E
$ 4
#
ez
( z + 2)3
; z = ± 2i – 4
E$ 4
4
-
cos z
, z 2 + 4 = ( z − 2i )( z = 2i ) ; z = 0 –
2
z +4
§ sin z ·
¸
¨
sin z
sin z
z
4
E
$ 4
# 3 , 3 = © 2 ¹
z
z
z
sin z
≠ 0 4 z = 0 .
z
ψ( z )
>
G 4
f ( z ) =
(z − a )n
z = a '
, $ 4
$
#
f (z )=
c0 + c1 ( z − a ) + ... + cn ( z − a )n + ...
( z − z )n
4
, $ $
94
,
c0 = ψ(a ) ≠ 0 .
f ( z ) = cn + cn + 1 ( z − a ) + cn = 2 ( z − a )2 + ...
cn − 1
cn − 2
c0
,
z −a z − a
z − an
( c0 ≠ 0 ). '$ $, z = a 4
E
$ 4
n # f ( z ), > H
# &
z = a 4 , E $$, 4$ 4
4
E ?$ 4
E 4 ( z − a ) $ >.
F
, 44
>$, > # f ( z ) &
z = a > ?
:
f ( z ) = c~0 + c~1 ( z − a ) + ... + c~n ( z − a )n + ...
c~
c~
c~
... + −1 + − 2 2 + ... + − n n , (c~− n ≠ 0 ).
z − a (z − a )
(z − a )
4 D$ $E, 4
$
~
~
·
1 §¨ c− n + c− n +1 ( z − a ) + ...
¸=
f (z )=
n¨
1
1
−
+
n
n
n
( z − a ) © ... + c~−1 ( z − a ) + c~0 ( z − a ) + c~1 ( z − a ) + ... ¸¹
ψ( z )
=
, ψ(a ) = c~− n ≠ 0 ,
n
(z − a )
# ψ( z ), $$
D
z = a 4
, H
. ψ( z )
, $ $
>$ 4
f ( z ) =
(z − a )n
$, z = a – 4
E # f ( z ) 4
n.
9, $& !
'& % !& 5
! $
$ !' 1 , $ , !
!
!
!
', &&& . FE , > #
&
D
>
$
. #
... +
+
(
2
)
+ ... +
95
(
)
. D
4
>ED $, E $ 4$ .
!–
. 3 a &&&
+
% f ( z ), & $
$
$
A & , (
&+(& a, !
& f ( z ) !&& A;
A = ∞ $ > .
1
ez
. / #
4 .
z2
zn
$ $, e z =1+ z + + ... + + ..., 4
$
2!
n!
1
1
1
1
e z =1 + + 2 + ... +
+ ... , 4$ 4
z 2! z
n! z n
E, $ z = 0 . J
$
>
$ 1
ez
> #
&
z = 0 ,
> $
>
1
, z = 0 D
# e z .
1
$
$ 4
# e z z = 0 .
z → 0 4
>
4
$
1
→+∞ z
1
ez
→ +∞ ; z → 0 1
ez
1
→−∞ → 0 . 4 A = re iϕ –
z
E
$4
, .
, 1
1
1
1
= Ln A $ z =
=
.
z
Ln A ln r + iϕ + 2kπi
k = 0, ±1, ±2, ... , 4
$ 4
, 1
DE z = 0 , lim
= 0 , 4$ #k → ± ∞ ln r + iϕ + 2kπi
9 e z = 96
1
e z $ A H
4
, > A >
$$
4
.
1
# e z $.
***
!#E $
>
4
, . /
$ E # f ( z ), (
$ ?
) # f ( z ).
> # &
, D E ?
$ z = 0 (
$,
$
> , $
), $ !
' !
. > 4$ 1 >$ #
1
&
( z −1)( z − 2)
1
1
1
1
. e z =1 + + 2 + ... + n + ... >$ #z 2! z
n! z
1
ez
z = 0 , > . > # &
, 4$, a = 0 >
n
f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + ... + cn ( z − a ) + ...
... +
c−1
c− 2
c− n
+
+ ... .
2 + ... +
( z − a )n
z − a (z − a )
97
. P4?$ > ED$ 4
:
c
c
c
f ( z ) = c0 + −1 + −22 + ... + −nn + ... + c1 z + c2 z 2 + ... + cn z n + ... . /
$
z
z
z
∞
∞
c− n
c0 + ¦ n !
, ¦ cn z n – $
n =1 z
n =1
>. ' $
4
, ,
1
z = 4 $ ~
z
> ~z = 0 > f ( z ) 4§1·
D > &
# f ¨ ~ ¸ ©z¹
~z = 0 :
c
c c
§1·
f ¨ ~ ¸ = c0 + c−1~z + c− 2 ~
z 2 + ... + c− n ~z n + ... + ~1 + ~22 + ... + ~nn + ...,
z z
z
©z¹
∞
$ c0 + ¦ c−n ~z n 4
E, §1·
z = 0 – 4
E # f ¨ ¸ . /
$ z = ∞ ©z¹
!& m # f ( z ), z = 0 4
E
$ 4
§1·
m # f ¨ ¸ . A H
$ > # f ( z )
©z¹
c
z = ∞ $ f ( z ) = c0 + −1 + ... +
z
c− n
2
m
+ n + ... + c1 z + c2 z + ... + cm z , cm ≠ 0 .
z
G # f ( z ) z = ∞ > $ D , 4 lim f ( z ) , z = ∞ $ D
z →∞
f ( z ). A H
$ > > $
, 4
# f ( z )
z = ∞ 4 $
.
n =1
∞
c
¦ ~z nn
– E.
$ 9. # % 7 D#
n =1
$ > $
>
4 , z = ∞ # f ( z ) >
4$
,
c1 = c2 = ... = cn = ... = 0 ,
c
c
c
f ( z ) = c0 + −1 + −22 + ... + −nn + ... z = ∞ $
>
4z
z
z
# f ( z ), 4
> f (∞ ) = c0 .
G z = ∞ – 4 # f ( z ) f (∞ ) = 0 ,
$ z = ∞ !& m # f ( z ), §1·
z = 0 $ 4
m # f ¨ ¸ .
©z¹
G lim f ( z ) = ∞ , $ z = ∞ #-
1. + '() ?<- 0')
(G) "# A$ >
4
> 4
# .
z0 # f ( z ). 4D$
>$ H
# f ( z ) $
>
$ $ > &
:
z →∞
. F
, z = ∞ – 4
E # f ( z ), -
98
99
. f (z )=
∞
¦ cn (z − z0 )n ,
n=−∞
cn =
1
f (ζ ) dζ
³
2πi C (ζ − z0 )n + 1
, ,
1
c−1 =
f (ζ ) dζ .
2πi C³
<
% f ( z ) !
z0 & , !
1
f (ζ ) dζ , &
$
'
! $!
2πi ³γ
'+ % f ( z ) ! γ, !'+ z0 % f ( z ). 4$E
> A [ f ( z ), z0 ] res f ( z ), z0 . F
, z0 4
$
#
f ( z ), f ( z ) H
E. # f ( z ) $
>
4
1
#
$ res[ f ( z ), z0 ]=
f (ζ ) dζ = c−1 . F
2πi C³
$
>
4
4
, D ##
E # f ( z ) z0 .
'$ $$ # $
> $
$ 4
H
# , >D . 4 4
> . $ $
E H .
1. z0 4
E
$ 4
4
# f ( z ). '
H
$ $
-
−1
> f ( z ) = c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + ... . $
> (z − z0 ) 4 4 4 z → z0 , 4
$
c−1 = lim ( z − z0 ) f ( z ) . P$$, $ # f ( z )
z → z0
ϕ( z )
, 4$ ϕ( z0 ) ≠ 0 , ψ(z )
z0 $ 4
4
# ψ( z ), ψ′′( z0 )
ψ( z ) = ( z − z0 )ψ′( z0 ) +
( z − z0 )2 + ... , ψ′( z0 ) ≠ 0 . '
4
$
2
%
! & !
$
!&:
ϕ( z0 )
ϕ( z )
res[ f ( z ), z0 ]=
, f ( z ) =
.
ψ′( z0 )
ψ(z )
z
. f ( z ) = n . F
$ $ # f ( z )
z −1
#: f ( z ) =
i
2 πk
E z k = n 1 = e n (k = 0,1, ..., n −1) , 4$ 4E 4
E 4
4
. /$ res[ f ( z ), z k ]. ϕ( z0 )
#
$ res[ f ( z ), z0 ]=
, , z kn =1 , 4
ψ′( z0 )
4 πk
zk
1
1 i
= ⋅ z k2 = ⋅ e n .
n −1
n
n
nz k
2. z0 4
E
$ 4
m # f ( z ). $ ? H
$ res[ f ( z ), z k ]=
$
$
>
f ( z ) = c−m ( z − z0 )− m + ... + c−1 ( z − z0 )−1 +
+ c0 + c1 ( z − z0 ) + ... . $
> ( z − z0 )
4
$
f ( z ) = c− m + c− m + 1 ( z − z0 ) + ... + c−1 ( z − z0 ) + ... . A 4
E 4
(m −1) H
4
4 4 z → z0 , 4
$ %
! &
!& m:
d m −1
1
res[ f ( z ), z0 ]=
lim m −1 ( z − z0 )m f ( z ) .
(m −1)! z → z0 dz
&
, #
$ 4
E 4
4
$ $ 4
#
$.
m −1
m
(
z0 $
> 4 ?
100
( z − z0 )m ,
101
)
. . f ( z ) =
1
(1+ z )
2 n
. F
$ $ H
#-
E z1, 2 = ± i , 4$ 4E 4
E 4
n. A$ res[ f ( z ), i ]:
º
ª 1
1
1 ·
d n −1 §
n
res «
, i» =
lim
¨ (z − i )
¸=
2 n
n −1 ¨
z →i
(1 + z 2 )n ¸¹
dz ©
¬ (1 + z ) ¼ (n −1)!
1
d § 1 ·
lim
=
¨
¸=
z →i
(n −1)! dz n −1 ¨© ( z + i )n ¸¹
n −1
n
³ f (ζ )dζ = 0.
$
4
, #
$ res[ f ( z ), z0 ]=
1
f (ζ ) dζ = c−1
2πi C³
$ !
? 4
$
³
Γ+
f (ζ )dζ + ¦
k =1 −
γk
4
$ > $:
³
Γ+
N
f (ζ )dζ = 2πi ¦ res[ f ( z ), z k ].
k =1
1
n ⋅ (n + 1)...(2n − 2 )
⋅
=
( z + i )2 n −1 z = i
(n −1)!
1
(2n − 2)! .
n −1 (2 n − 2 )!
= (− 1)
2 ⋅
2 n −1 = − i
2
2 n −1
((n −1)!) (2i )
2 ((n −1)!)
= (−1)
n −1
" . 19
$ 4 >? # 4$ 4
. A$ D
$
4 4
> ED $.
9.1. " . %& f ( z ) &&& J , $
!
( ( zk , (k =1, ..., N ), '+( ! J. 4
$
³+ f (ζ )dζ = ,
Γ
N
= 2πi ¦ res[ f ( z ), z k ] $ Γ !& $! +
k =1
J, !
(
'
!.
0
. A$ >E z k $$ $ γ k , >D$ , $ z k . $
$ $
E , E $ ) $ $ γ k (. 19). A H
# f ( z ) E , 4
H
$ 4
102
>
H
#
$ E $, $
4
D # f ( z ) , >D , $ 4
, D . A ?$ $ $
$ > 4
>
4
#
$, $ D 4
– 4
.
z = ∞ # f ( z ).
<
% f ( z ) z = ∞ &
,
!
$!
1
1
f (ζ )dζ = −
f (ζ )dζ , $ ! C – !
2πi C³−
2πi C³+
!, !
$
%& f ( z ) &&& ( , ( ∞ . A 4 H##
&
$ $
#
$
103
. res[ f ( z ), ∞]= −
1
f (ζ )dζ = − c−1 . J #
$ $ 2πi C³+
$
4
EDE $.
9.2. %& f ( z ) &&& , $
!
( zk (k = 1, …, N), & z = ∞ . 4
$
N
¦ res[ f (z ), zk ]= 0 .
k =1
0
. $
$ $ C, >D ( N −1) z k , 4
> $ z = 0 . $ 9.1 $$
2. +(' *'+/ 4' ( $89I +
4D$ $ $
4$ 4 # $4
4$
, 4 4 # 4$
, 4$ 4
4
, 4$ $
$. $
$ 4 .
$
! =−
1
f (ζ )dζ = − c−1 , D 44
#
$
2πi C³+
, # f ( z ) z = ∞ , $ $ $, $ 9.2.
$ 4
4
# $4
4$
4
$
$ . f ( z ) # $4
4
, E$ , f ( z ) 4
$ $
$ ). G ) > $
# f ( z ), 4$ $ 9.1 $
> 4>
$ $$ $. H
$ $
>
, ) # f ( z ) $ ? zk (k = 1, 2, …, m), , > 4E 4
.
'
$
4$
$
4
$ 9.1 4
$ $ $ 9.1 9.2:
³ R(cos θ,sin θ)d θ
0
N −1
1
f (ζ )dζ = ¦ res[ f ( z ), z k ]. /
#
$ res[ f ( z ), ∞]=
2πi C³+
k =1
2π
2π
$
$ J = ³ R(cos θ, sin θ)dθ , R – 0
# $
. 9 4 $
$ # $4
4$
4
$
$ . H
$ $
4$
, $4E 4$E z,
E 4$
_ ?$ z = e iθ . F
, 1 dz
1§ 1·
1
1§ 1·
dθ =
, cos θ = eiθ + e −iθ = ¨ z + ¸ , sin θ = ¨ z − ¸ . $2© z ¹
i z
2
2© z ¹
_ 0 2π $4 4$ z 4
$
(
>
z =1) 4
>
$ 4. '$
(
)
2π
$, J = ³ R(cos θ, sin θ)dθ 4
4
0
$
$ # $4
4$
:
1
1·
§ 1
J = ³ R¨ z + , z − ¸ dz . A D i z =1 ©
z
z¹
³ f (ζ )dζ = − 2πi ¦ res[ f ( z ), zk ]− 2πi res f (z ), ∞ .
# 4
#, ED a + a z + ... + an z n
~
# R ( z ) = 0 1
, b0 + b1 z + ... + bm z m
z =1 E, $ N ≤ m z k , -
104
105
m
Γ+
k =1
. ED $ $. H
$ $ 9.1
N
~
~
J = 2π ¦ res R ( z ), z k . '
z k E 4
E$ # R ( z ).
k =1
[
]
α k – 4
4
E z k (
, N
¦ α k ≤ m ). '
k =1
#
$ 4
E 4
m $
>
44
4
4
α k −1
N
1
d
~
lim α −1 ( z − z k )α k R ( z ) .
J = 2π ¦
k
→
z
z
(
)
1
!
α
−
k dz
k =1 k
(
)
. A J =
2π
dθ
³ 1+ a cos θ , a <1.
>$
0
1
dz 2
dz
⋅ =
. F
$
a § 1 · z i z ³=1 az 2 + 2 z + a
1+ ¨ z + ¸
2© z¹
$ 4
# E $
1
1
z1, 2 = − ± 2 −1 . J
4
E 4
4
. ' z1 ⋅ z 2 =1 ,
a
a
? H > z =1. ! z = e iθ , 4
$ J =
1
i z ³=1
1
1
, H
z1 = − + 2 − 1 . H
$ $ 9.1
a
a
º
ª
1
1
2π
.
J = 4π res « 2
, z1 » = 4π
=
z = z1
(
)
a
z
−
z
1− a 2
2
¬ az + 2 z + a ¼
$
! +∞
³
f ( x)dx
−∞
$
$ 4$ E +∞
4
³ f (x )dx , , −∞
, # f ( x ) $
> 4
> EE 4
4
106
, 4
> $ 4
$ $.
4
>$ , $ !
$
4
# f ( z )
, , > H
# &
c
c
z = ∞ $ f ( z ) = −22 + −33 + ... ( c− 2 = 0 z
z
E). 4$ >, f ( z ) # , 4
4
Im z > 0 $ ? a1 , a2 , ..., an . '
>D 4
4
# f ( z )
$
>
E 4
>
4
4
4
?
R $ . A $
³ f (z )dz , 4
L H
4
, L
2πi , $
>
$ $$ # f ( z ) , 4
> 4
4
,
4$ 4 ?$ R H
$ , 4
4
4.
C R – 4
>
, D L
4
(. 20), ³
f ( z )dz =
L
/
f (z )=
c− 2 c−3
+
+ ...
z 2 z3
$$
³
f ( z )dz +
CR
f (z )=
R
³ f (x )dx .
−R
1
ϕ( z ) ,
z2
c− 3
+ ... . # ϕ( z ) z
4
, 4$ lim ϕ( z ) = c− 2 . , #ϕ( z ) = c−2 +
z →∞
ϕ( z ) , , 4
>
C R , R , 4
>
C R ϕ( z ) ≤ M , M –
107
. 4
>
. FE
ϕ( z )dz
≤
z2
CR
³ f ( z )dz = ³
CR
≤
R
∞
Mπ
M
lim
f
(
z
)
dz
=
0
.
R
π
=
%
(
)
lim
f
x
dx
=
³
³
³ f (x )dx ,
R →∞
R→∞
R
R2
−R
−∞
CR
$ $$ , # f ( z ) ∞
³ f (x )dx
$ ? $, ! !
−∞
2πi % f ( z ) ( ( , !
'( !( .
∞
³
1. A −∞
dx
. 2
(x + 1)
2
1
(z +1)
2
2
$ 4
; $ $
# E 4
E 4
z = ± i , 4 4
4
.
9$$
2
ª 1
º
d §¨ z 2 − i ·¸
d § 1 ·¸
»
=
= lim ¨¨
res «
,
lim
i
=
2
2¸
2
«¬ z 2 +1 »¼ z → i dz ¨© z 2 +1 ¸¹ z → i dz © ( z + i ) ¹
2
1
−2
= lim
= − 3 = − i.
3
z → i (z + i )
4
8i
(
)
∞
,
³
−∞
∞
9
³ f (x )dx
)
)
§ 1 · π
= 2πi¨ − i ¸ = .
© 4 ¹ 2
x +1
(
dx
2
)
2
$
> 4
$
DE −∞
. A , , ED 4
$ , 4
$
DE %, E $ 4
$ : C R – '+& !( $
108
f ( z ) f ( z ) = e itz F ( z ),
! t > 0 . 3 %& F ( z )
, !( 1 ( , lim F ( z ) = 0 , lim
R→ ∞
³ f (z )dz = 0 .
z →∞
. 21
CR
F
, a1 , a2 , ..., an – # f ( z ),
>D 4
4
, 4 ?
$ R
. 20
(
(
!'
! R !
!
%!
z0 (. 21), %&
($. . 21)
x2
n
x1
k =1
³ f (z )dz + ³ f ( x )dx = 2πi ¦ res[ f ( z ), ak ].
CR
F
>, 4 R → ∞ $$ x1 → − ∞ , x2 → + ∞ ; 4
4 4 R → ∞ , 4
$$ L
4
$
∞
n
−∞
k =1
³ f (x )dx = 2πi ¦ res[ f ( z ), ak ].
2. A ∞
x cos x dx
. 2
− ∞ x − 2 x + 10
³
zeiz
$ $$ L
. P
z 2 − 2 z +10
z
. F
# f ( z ) – 4
E
t =1 F ( z ) = 2
z − 2 z +10
4
4
z =1+ 3i z =1− 3i (H E $
4
4
# z 2 − 2 z +10 ). A 4
4
$ z =1+ 3i . A$ # f ( z ) H
:
f (z )=
109
. res[ f ( z ),1+ 3i ]=
(z
zeiz
2
− 2 z +10
)′
=
z =1 + 3i
(1+ 3i )e −3 + i .
6i
,
∞
(1+ 3i )e −3 + i = π e −3 (cos1+ i sin 1) =
xeix
=
π
2
i
³ 2
6i
3
−∞ x − 2 x +10
π
π
= e −3 (cos1− 3 sin 1) + i e −3 (3 cos1+ sin 1).
3
3
$$ H
, ∞
∞
∞
xeix dx
x cos x dx
x sin x dx
=
+
i
³ x 2 − 2 x +10 ³ x 2 − 2 x +10 ³ x 2 − 2 x +10 ,
−∞
−∞
−∞
4
$
∞
∞
x cos x dx π −3
x sin x dx π −3
,
=
e
(
cos
1
−
3
sin
1
)
³ x 2 − 2 x +10 3
³ x 2 − 2 x +10 = 3e (3 cos1+ sin 1).
−∞
−∞
3. 4?$() +
!! J # f ( z ), E J, E$ z k (k =1, ..., p ) , 4$ z k E 4
E$.
4
>$, ) J , # f ( z ), $
$ 4
$
E #E
f ′( z )
. E ϕ( z ) E $!%
!
ϕ( z ) =
f (z )
# f ( z ), # ϕ( z ) z m (m =1,..., M ) – $!% # f ( z ).
F4$ # ϕ( z ) J. A D
# , $ $ # ϕ( z ) ~z k (k =1,..., n ) 4
E z k (k =1, ..., p ) #
f ( z ). /$ # ϕ( z ) >
110
. z = ~
z k $ 4
nk # f ( z ).
'
H
# f ( z ) $ f (z )= (z − ~
z )nk f ( z ) , f (~z ) ≠ 0 , 4$ ~z 4k
1
1
k
k
# f1 ( z ) . A #E ϕ( z ) f ′( z )
′
z = ~
, 4
$ ϕ( z ) = (ln f ( z )) =
z k 4
#
$ ϕ( z ) =
f (z )
′
n
(
)
f
z
z k ))′ + (ln f1 )′ = k~ + 1 . FE , ~z k
= nk (ln( z − ~
z − z k f1 ( z )
4
E
$ 4
4
# ϕ( z ), 4$ # ϕ( z ) H
nk . 9, 4
nk #$ # f ( z ) nk , 4
:
ª f ′( z ) ~ º
res «
, z k » = nk .
¼
¬ f (z )
z k 4
E
$ 4
pk # f ( z ).
'
H
# f ( z ) $ f1 ( z )
, f1 ( z k ) ≠ 0 , 4$ z k 4
f (z )=
( z − z k ) pk
# f1 ( z ). H
$ #$
4
# f ( z ) z = z k 4
$ >
p
f ′( z )
ϕ( z ) = − k + 1 . FE , z k > z − z k f1 ( z )
4
E
$ 4
4
# ϕ( z ), 4$ H
− pk . 9, 4
E 4
pk #$ # f ( z ) 4
4
E, $ $ $:
ª f ′( z ) º
res «
, z k » = − pk .
¼
¬ f (z )
4
E >E $.
9.3. %& f ( z ) &&& J , $
111
. '+( ! J !
( ( z k , &&+(&
, f ( z ) !+& $! ) J. 4
$ !
' % f ( z ) J !&&
1
f ′(ζ )
!' N − P =
dζ .
³
2πi Γ + f (ζ )
4
$ $ (4
E
) 4
$ n
p
k =1
k =1
N (
4
E
P) $ : N = ¦ nk , P = ¦ pk .
f ′( z )
0
. 9 4
) # ϕ( z ) =
$
>
f (z )
4
$
DE $ ; # ϕ( z ) – H
4
E #
ª f ′( z ) ~ º
f ( z ), 4E #
$$ res «
, z k » = nk
¬ f (z )
¼
M
n
§
ª f ′( z ) º
res «
, z k » = − pk , ³ ϕ(ζ )dζ = 2πi ¦ res[ϕ( z ), z m ]= 2πi¨ ¦ nk −
¨ k =1
¼
¬ f (z )
m =1
©
Γ+
p
·
− ¦ pk ¸ = 2πi ( N − P ), $.
¸
k =1
¹
>$ 4
$ $ $,
4
$ , D 4
1
f ′(ζ )
N −P =
dζ :
³
2πi Γ + f (ζ )
1 f ′(ζ )
1
1
dζ =
d ln f (ζ ) =
³
³
³ d (ln f (ζ ) + i arg f (ζ )) =
2πi Γ f (ζ )
2πi Γ
2πi Γ
1
1
d ln f (ζ ) +
=
³
³ d arg f (ζ ).
2πi Γ
2π Γ
# ln f (ζ ) – , 4
H
$ +
+
+
+
+
($) 4 ζ $
)
E. , 4
$
4
E. A
$
4 4
E E
112
$ # f (ζ ) 4 ζ $
),
1
E 2π. 9, N − P = Var[argf (z )] Γ + . "$ >
2π
# w = f ( z ) $ $4
4
w.
' # f ( z ) 4 J , 4 4
$ z ) 4
z ED w
4 $ C. H
$ w = 0
$
> , , $ C. A 4
$ $ w 4 4
$ C E, $ 4 $ 4
w = 0 , ? w 4
> 4
C. H
$ w $
> w = 0 4
( $ 4), 4
( 4
>
$ 4). 9, $> 4
$ $ 4
E
# f ( z ) J
4 $ , ? w = f ( z )
w = 0 4 4
>
$ z ).
J > E D$ 4 4
# . H
$
$
$
>
ED $.
9.4. &. % f ( z ) ϕ( z ) &&& J , ! $!
) J !
f ( z ) Γ > ϕ( z ) Γ . 4
$ J % F ( z ) = f ( z ) + ϕ( z ) !
% f ( z ).
0
. # f ( z ) F ( z ) = f ( z ) + ϕ( z ) 4
$ 9.3. , # f ( z ) $ ) (
J ) D
) f ( z ) Γ > ϕ( z ) Γ . J >
4
#
≥ f ( z ) Γ − ϕ( z ) Γ > 0 .
F ( z ) , H
$
113
F ( z ) Γ = f ( z ) + ϕ( z ) ≥
#
$
. 1
1
Var[argf (z )] Γ + 4
$ N [ f ( z ) + ϕ( z )]= Var[arg( f + ϕ)]Γ
2π
2π
1
N [ f ( z )]= Var[arg f ( z )]Γ .
2π
$
$ 1
N [ f ( z ) + ϕ( z )] − N [ f ( z )] = Var[arg( f + ϕ) − arg f ]Γ =
2π
ª § ϕ ·º
1
= Var «arg¨1 + ¸» ,
2π
f ¹¼ Γ
¬ ©
f +ϕ
arg( f + ϕ) − arg f = arg
.
f
ϕ( z )
;
A$ #E w =1+
f (z )
, 4 z ) ED
w 4? $E E C, f ( z ) Γ > ϕ( z ) Γ $ > w −1 ≤ ρ 0 < 1 (. 22). '$ . 22
$, w = 0 > C.
, Var[arg w]Γ = 0 , $.
.
/
4
#
F ( z ) = z 8 − 5 z 5 − 2 z + 1 z <1 . $
N −P =
A>$ 44$ $ $ ? ED $.
9.5. " !. n !
n ( ( !
).
0
.
$
4
$
F ( z ) = a0 z n +
+ a1 z n −1 + ... + an F ( z ) = f ( z ) + ϕ( z ), 4
> f ( z ) = a0 z n ,
a 1
ϕ( z ) a1 1
ϕ( z ) = a1 z n −1 + ... + an . $ ?
= ⋅ + ... + n ⋅ n .
f ( z ) a0 z
a0 z
&
, 4 E H##
a0 , a1 , ..., an R0 , -
z = R > R0 $ $
0 <
$ ? E , 4
#
F ( z ) z = R # f ( z ) = a0 z n H
$
. /
# f ( z ) = a0 z n $4
4
$ n- – z = 0 . A 4
R ≥ R0 E > $.
#E F ( z ) F ( z ) = f ( z ) + ϕ( z ) , 4
> f ( z ) = − 5 z 5 + 1
ϕ( z ) = z 8 − 2 z .
ϕ( z ) z =1 ≤ z 8
z =1
+ 2z
z =1
'
= 3 , f ( z ) z =1 ≥ − 5 z 5
z =1
−1 = 4 ,
f ( z ) z =1 > ϕ( z ) > 0 . -
, 4
z <1 # F ( z ) 4
$ # f ( z ) , $ 4 :
1 i
zk = e
5
5
2 πk
5
(k = 0,1, 2, 3, 4).
114
ϕ( z )
< 1 . A f (z ) z = R
115
. (r (cos ϕ + i sin ϕ))
= r n (cos nϕ + i sin nϕ);
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ ·
n r (cos ϕ + i sin ϕ ) = n r § cos
+ i sin
¨
¸,
n
n ¹
©
k = 0, 1, ..., n − 1.
4
#
$ E %
! #!.
2
! =!: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ .
5
$!% $
: ln z = ln r + iϕ0 + 2kπi , ϕ0 –
$ ϕ, ED $ − π < ϕ ≤ π .
A> ln r +iϕ0 $ #$.
n
$ 1. % !
> x + iy , $ x y – D , i – $
, 4
H
$ 4 ED :
1) x + yi = x, 0 + yi = yi, (− 1)i = 1i;
2) x + yi = x1 + y1i , x = x1 y = y1 ;
3) ( x + yi ) + ( x1 + y1i ) = ( x + x1 ) + ( y + y1 )i ;
4) ( x + yi )( x1 + y1i ) = ( xx1 − yy1 ) + ( xy1 + x1 y )i .
9 1 4 4
E 4 i:
i 2 = −1, i 3 = − i, i 4 = 1, i 5 = i . .
!
$4
x + iy , $ x = 0 , y ≠ 0 , . Q
i .
0& . >, ,
$
> 4 $4 $
>
4
4
4$ H $
$ $
4 i 4
#
$$.
$4
$4
4E .
4!$
!& %
! $
. !
$4
x + iy 4 4
D ( x, y ) 4
H
$ > M(x, y) 4
-
' (! 1. A4
:
) (2 + 3i )(3 − 2i ) ; : 12 + 5i ;
) (a + bi )(a − bi ) ; : a 2 + b 2 ;
) (3 − 2i )2 ; : 5 − 12i ;
$ r = OM . H
r = x 2 + y 2 $4
, ϕ E Ox – !$
$4
.
'
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
x + yi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) .
0& !$
!
%
!:
r (cos ϕ + i sin ϕ) ⋅ r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) = (rr1 )(cos(ϕ + ϕ1 ) + i sin (ϕ + ϕ1 ));
r (cos ϕ + i sin ϕ) r
= (cos(ϕ − ϕ1 ) + i sin (ϕ − ϕ1 ));
r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r1
$) (1 + i )3 ; : − 2 + 2i ;
1+ i
; : i;
)
1− i
2i
; : 1+i.
)
1+ i
2. ? 4
? 4
:
) x 2 + 25 = 0 ;
) x 2 − 2 x + 5 = 0 ;
) x 2 + 4 x +13 = 0 .
5
3
2
1 1− i
3. /: ;
;
; 3 − i ; 1+ i 3 .
i 1 + i 1 − 3i
4. 9
$4 $, 4 $
$ 4 $
#
$:
) z = 3 ;
) z = −2 ;
) z = 3i ;
$) z = −2i ;
116
117
(
) (
)
. ) z = 2 − 2i ;
) z = 1 + i 3 ;
') z = − 3 − i ;
3π
3π ·
§
) − 2 + i 2 ; : 2¨ cos + i sin ¸ ;
4
4¹
©
α§
α
α·
) sin α + i (1 − cos α ) ; : 2 sin 2 ¨© cos 2 + i sin 2 ¸¹ .
Q 4 4 #
$ re ϕi 4 − π < ϕ ≤ π .
5. 4
$:
) z < 3 ;
­ z <2
°
;
) ® π
°̄ 2 < ϕ < π
­ 2< z <4
°
) ®
π
°̄− π < ϕ < − 2
6. , z1 − z 2 $> $ z1 z 2 .
7. z0 = − 2 + 3i . z, z − z0 <1 .
8. Q
, 4>
z, z . , 2
z⋅z= z .
9. A 4
#
$ :
) (1+ i )10 ; : 32i;
(
)6
) 1− i 3 ; : 64;
) (− 1 + i )3 ; : 2(1 + i ) ;
4
π
π·
§
$) ¨1+ cos + i sin ¸ ; : 2 3 + 2 2 i ;
4
4¹
©
3
) 3 + i ; : 8i.
10. A sin 3α cos 3α # α, 4
3
>
(cos α + i sin α ) = cos 3α + i sin 3α . 6: cos 3α = cos 3 α − 3
− 3 cos α sin 2 α , sin 3α = 3 cos 2 α sin α − sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α −
− 3 cos α , sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α .
(
(
)
118
)
11. / z = 6 1 kπ
kπ
$, 4
$ 1. 6: cos + i sin ,
3
3
k = 0,1,..., 5 .
12. /:
− 1± i 3
;
2
i± 3
) 3 i ; : − i,
;
2
± 3±i
;
) 6 − 1 ; : ± i,
2
) 3 1 ; : 1,
$)
3
− 2 + 2i ;
1 + i;
:
11
11 ·
§
2 ¨ cos π + i sin π ¸ ≈
12 ¹
© 12
19 ·
19
§
2 ¨ cos π + i sin π ¸ ≈ 0,365 − 1,36i ;
12
12 ¹
©
1+ i
;
) i ; : ±
2
) 3 − 1+ i ; : 6 2 (cos ϕ = + i sin ϕ), ϕ = 45$ ,165$ , 285$ ;
≈ −1,36 + 0,365i ;
(
) (
)
') 4 − 8 + 8i 3 ; : ± 2 3 + i , ± − 1+ i 3 .
13. ? :
) x 3 + 8 = 0 ; : − 2; 1 ± i 3 ;
) x 4 + 4 = 0 ; : ± 1 ± i 3 .
14. / #$:
) ln (− 2 ) ; : ln 2 + πi ;
1
πi
) ln (1 + i ) ; : ln 2 + ;
2
4
πi
) ln i ; : ;
2
y
$) ln ( x + yi ); : ln x 2 + y 2 + iarctg ;
x
3
π
) ln (2 − 2i ) ; : ln 2 − i .
2
4
119
. 15. / $$ sin x + sin 2 x + sin 3 x + ... + sin nx .
: 4
#
$ J $ sin x =
e −e
2i
xi
− xi
. .
nx
n +1
sin
x
2
2 .
6:
x
sin
2
16. / $$ cos x + cos 2 x + cos 3 x + ... + cos nx . 6:
nx
n +1
sin cos
x
2
2 .
x
sin
2
17. >
x 5 −1= ( x −1) x 2 − 2 x cos 72$ +1 x 2 − 2 x cos144$ +1 .
18. A:
4 − 3i
7 − 24i
; :
;
)
4 + 3i
25
sin
(
)(
(
)
)
) (a + bi )3 − (a − bi )3 ; : 2b 3a 2 − b 2 i .
19. 9
$4 $, 4 $
$, 4 $
#
$
#
$ re ϕi 4 –Y < `< Y:
) z = 4 + 4i ; : 4
πi
2e4 ;
) z = − 1+ i 3 ; : 2e
−
2 πi
3 ;
πi
) z =1 − i ; : 2e 4 ;
$) z = 5 ; : 5(cos 0 + i sin 0) ;
) z = − i ; : e
−
πi
2;
) z = − 2 − − 2 ; : 2e
−
3 πi
4 .
20. z 4
$
­ 1< z < 3
°
3π
®π
°̄ 4 < ϕ < 4
21. z0 = 3 − 4i . z, z − z0 < 5 . 6: $ C ( z0 ) r = 5 .
22. A 4
#
$ :
) (1 − i )6 ; : 8i;
(
)3
(
)
) 2 + i 12 ; : 512 1 − i 3 ;
6
π
π·
§
¨1 + cos + i sin ¸ ; : –27.
3
3¹
©
23. A sin 4α cos 4α # α, 4
>
(cos α + i sin α )4 = cos 4α + i sin 4α .
24. / $:
± 1± i
) 4 − 1 ; :
;
2
) 5 1 ; : cos ϕ = i sin ϕ , ϕ = 0$ , 72$ ,144$ , 216$ , 288$ .
25. ? :
) x 3 − 8 = 0 ; : 2, − 1 ± i 3 ;
) x 6 + 64 = 0 ; : ± 2i, ± 3 ± i ;
) x 4 − 81 = 0 ; : ± 3, ± 3i .
26. / $$ cos x + cos 3 x + cos 5 x + ... + cos(2n − 1)x ($. sin 2nx
15); :
.
2 sin x
)
$ 2. .
%6
$4 4$ z = x + iy 4$ $
> $
> Z. G >
$ E z Z $
>
4
120
121
. $4
4$
w = u + iv , $4E 4$E w E % z Z 4?
w= f ( z ).
w= f ( z ) , >
$ E z $
> Z $
>
4
w. G > DE z, >
$ $
>
4
w, # w= f ( z ) $
.
G w = u + iv # z = x + iy , > 4$ u v # x y, u = u( x, y ) ,
v = v( x, y ) . F
, w = u( x, y ) + i v( x, y ) , u = u( x, y )
v = v( x, y ) – D # x y, w $
>
$ #E $4
4$
z = x + iy . , >
$ $4
$ z = x + iy 4 4 D ( x, y ) , H
4 w.
)
, # w= f ( z ) 4 z → c $
4 4 C (c C – $4 ), ε > 0 δ > 0 , z − c < δ f ( z ) −C < ε . A H
$ 4?
lim f ( z ) = C .
z →c
w= f ( z ) !!
z0 , lim f ( z ) = f ( z0 ). , 4 >
z → z0
D, !!
*
.
$
$ D, E $
$
4ED ). J (. 23).
G D $ $$ 4ED$ $
4ED$ $ Γ1 Γ2 , (. 24).
122
. 23
. 24
Γ1 – ?
, Γ2 – .
F $ , Γ2 > 4
.
%
$
4 - (. 25) . 25
. .
$4
4$
e z , sin z , cos z , sh z , ch z
4E $$ ED , D 4
$4
4$
:
z z2
e z =1+ + + ...;
1! 2!
z z3 z5
sin z = − + − ...;
1! 3! 5!
z2 z4 z6
cos z =1 − + − + ...,
2! 4! 6!
e z − e−z z z 3 z 5
shz =
= + + + ...;
2
1! 3! 5!
z
−z
e +e
z2 z4
ch z =
=1 + + + ... .
2
2! 4!
123
. # $4
4$
4 %
!
=!: e iz = cos z + i sin z , , shiz = i sin z ,
chiz = cos z .
9
H$
$$
#
$
z1
e
e z1 ⋅ e z2 = e z1 + z2 ,
= e z1 − z2 , sin( z1 ± z 2 ) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2
z2
e
cos( z1 ± z 2 ) = cos z1 cos z2 # sin z1 sin z2 4 $4 $
z1 z 2 .
FD 4 # w = z a , a = α + β i – E
$4
, 4 $ z a = e aLnz . J #,
D , $
; z a = e a ln z .
FD 4
# w = a z ( a ≠ 0 – E
$4
) 4 $ a z = e zLna . G a z = e z ln a .
1
zn
(n – 4
>
), ln z , arcsin z ,
arccos z , arctgz E $
$ 4E sin z
:
4
?E #$ z n , e z , sin z , cos z , tg z =
cos z
Arc sin z = − i Ln iz + 1 − z 2 ;
(
Arc cos z = − i Ln (z +
i
1 + iz
Arctgz = − Ln
;
2 1 − iz
z2
)
−1);
i
z+i
Arcctgz = − Ln
.
z −i
2
) $ #
arcsinz, arcosz, arctgz, arcctgz 4
E, ED #$ #.
&
#$ # Lnz , z ≠ 0 , $
4 #, 4
, 4$ Ln z = ln z + i arg z + 2kπi , k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... . )$ $ Ln z , 4
4 k = 0 ; 124
ln z :
F
,
ln z = ln z + i arg z .
Ln z = ln z + 2kπi , ( k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... ). 4:
Ln z = ln ρ + (ϕ + 2kπ)i , ( k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... ), ρ = z ϕ = arg z .
4 ED ?:
Ln( z1 z 2 ) = Ln z1 + Ln z 2 ;
§z ·
Ln¨¨ 1 ¸¸ = Ln z1 − Ln z 2 .
© z2 ¹
'
1. # w = z 2 + z . / : ) 4 z =1 + i ;
) 4 z = 2 − i ; ) 4 z = i ; $) 4 z = −1 .
1
) w = (1 + i )2 + 1 + i = 1 + 2i − 1 + 1 + i = 1 + 3i ;
) w = (2 − i )2 + 2 − i = 4 − 4i − 1 + 2 − 1 = 5(1 − i ) ;
) w = i 2 + i = −1 + i ;
$) w = 1 − 1 = 0 .
2. # f ( z ) = x 2 + iy 2 , z = x + iy . /: ) f(1 + 2i);
) f(2 – 3i); ) f(0); $) f(–i).
1
) x = 1, y = 2, f (1+ 2i ) = 1+ 4i ;
) x = 2, y = −3, f (2 − 3i ) = 4 + 9i ;
) x = 0, y = 0, f (0) = 0 + 0i = 0 ;
$) x = 0, y = −1, f (− i ) = i .
3. , # w = z 4 4 E
$ z.
1. ' ? , z − z0 ≤ z − z0
(. 26). 0 < δ < ε . '
z − z 0 < δ z − z 0 < ε , lim z = z 0 . '$
z → z0
$, z – 4 #.
125
. 26
. 4. , w = z 2 – 4 # 4 E
$
z.
1. 9$$ z 2 − z 02 = ( z − z 0 )( z + z 0 ) . G z → z 0 , D 4
>
M, 4 $ 4
E
z < M , z 0 < M . /
z 2 − z02 = z − z 0 ⋅ z + z 0 < z − z 0 ×
ε
× ( z + z 0 )< 2 M z − z 0 . A
$$ δ <
. 9 z − z 0 < δ
2M
ε
, z 2 − z 02 < 2 Mδ < 2 M ⋅
, z 2 − z 02 < ε . 9,
2M
lim z 2 = z 02 , w = z 2 – 4 #.
z → z0
(
)
5. / ln 3 + i .
1 π
1. 9$$ z = 3 + i , ρ = z = 2 , ϕ = arg z = arctg
= ,
3 6
·
§π
ln 3 + i = ln 2 + ¨ + 2kπ ¸ i (k = 0, ± 1, ± 2,...) .
¹
©6
i
6. A cos E 0,0001.
2
z2 z4 z6
1. cos z =1 − + − + ... , $
2! 4! 6!
1
1
1
i
i
cos =1 +
+
+
+ ... ; cos = 1,1276 .
2
2
2!⋅2 2 4!⋅2 4 6!⋅2 6
(
)
' (! π
1. # w = e z . / : ) 4 z = i ; )
2
π
§
·
4 z = π(1 − i ); ) 4 z =1 + ¨ + 2πk ¸ i , k – . 6:
©2
¹
π
) w= i ; ) w = − e ; ) w= ei .
1
2. # f ( z ) =
, z = x + iy . /: ) f (1 + i ) ;
x − iy
1+ i
3 − 2i
) f (i ) ; ) f (3− 2i ) . 6: )
; ) i; )
.
2
13
126
3. , w = 2z 3 – 4 #.
π·
1
§
4. / ln (1 − i ) . 6: ln 2 + ¨ 2kπ − ¸ i (k = 0, ± 1, ± 2,...) .
2
4¹
©
5. 4
sin i ⋅ ch1 = i cos i ⋅ sh1 .
6. ? cos z = 2 . 6: z = ± i ln 2 + 3 .
7. / arcsini. 6: i ln 1± 2 .
8. A sini, 4
E $$E E 0,0001. 6: 1,1752i.
§π ·
9. / sin ¨ + i ¸ . E $$E ©6 ¹
E 0,001. 6: 0,772 + 1,018 i.
(
)
(
)
10. # f ( z ) = e e . / :
π
) z = i ; ) z =1 + i . 6: ) e cos 1 (cos(sin 1) + i sin (sin 1)) ;
2
) cos e + i sin e .
z
$ 3. "&% !
# $4
4$
Δw f ( z + Δz ) − f ( z )
, w = f ( z ) 4 ?
=
Δz
Δz
Δz E$ 4
$ $ E.
Δw
f ( z + Δz ) − f ( z )
'$ $, f ′( z ) = lim
.
= lim
Δz → 0 Δz Δz → 0
Δz
, $ED 4
E 4 $ z,
%%!!
(
$
) 4 H
$ z.
G # w = f ( z ) $ E 4
E
>
D, D.
G # w = f ( z ) = u ( x, y ) + i ⋅ v( x, y ) ##$
z = x + iy , H
DE 4
127
. ∂u ∂v ∂u ∂v
∂v
∂u ∂v ∂u
, , , , 4$ $
= ,
=− ,
∂x ∂x ∂y ∂y
∂x ∂y ∂y
∂x
$$ & 1–1.
!
?–$ – H
(
##$
# w = f ( z ) z = x + iy .
∂u ∂v ∂u ∂v
, , ,
F
, 4
4∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂v ∂u
∂v
= ,
=−
z = x + iy !
?–$
∂x ∂y ∂y
∂x
4
, # w = f ( z ) ##$ z = x + iy .
# f ( z ) > 4
#
4
#
$$
u ( x, y )
v ( x, y )
∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v
f ′( z ) = + i = − i = − i = + i .
∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂x
H$ # E 4
ED$ #
$$:
′
z n = nz n−1 ;
′
ez = ez ;
(cos z )′ = − sin z ;
( )
( )
(sin z )′ = cos z ;
(ln z )′ = 1 ;
(arcsin z )′ =
(arccos z )′ = −
z
1
1− z2
1
;
1− z2
(arctg z )′ = 1 2 ;
1+ z
′
(sh z ) = ch z ;
(ch z )′ = sh z .
1
;
'
1. ##$ # f ( z ) = x + iy ?
∂u
∂u
∂v
∂v
= 1, =1, = 0 .
= 0,
1. /
$ u = y, v = x,
∂x
∂y
∂x
∂y
F
!
?–$ 4
, # ##$
.
2. ##$ # f ( z ) = x 2 − y 2 + 2 xyi ?
∂u
∂u
u = x 2 − y 2 , v = 2 xy;
= 2 x,
= − 2 y,
1.
9$$
∂x
∂y
∂v
∂u ∂v ∂v
∂u
∂v
= ,
= − . !
?–$ 4
= 2 y, = 2 x;
∂y
∂x ∂y ∂x
∂y
∂x
E, # ##$. ' ∂v
∂u
f ′( z ) = + i ⋅ , f ′( z ) = 2 x + 2 yi = 2( x + yi ) = 2 z .
∂x
∂x
E f ′( z ) $
>
: f ( z ) = ( x + yi )2 = z 2 ,
f ′( z ) = 2 z .
3. ##$ # f ( z ) = e x cos y + ie x sin y ?
∂u x
1. /
$ u = e x cos y, v = e x sin y ;
= e cos y ,
∂x
∂u
∂v x
∂u ∂v ∂v
∂u
∂v x
= − e x sin y ,
= e cos y ;
= , =− .
= e sin y ,
∂y
∂y
∂x ∂y ∂x
∂y
∂x
!
?–$ 4
. FE
∂u ∂v
f ′( z ) = + i = e x cos y + ie x sin y = e x (cos y + i sin y ) = e x ⋅ e iy =
∂x ∂x
x + iy
=e
=ez ,
(
, ,
f ( z ) = e x (cos y + i sin y ) = e x ⋅ eiy = e x +iy = e z ,
f ′( z ) = e z .
4. u ( x, y ) = x 2 − y 2 − x ##$
# f ( z ) , z = x + iy . / #E f ( z ) .
9
4
$ J–$.
128
)
129
. ∂u
= 2 x −1. A
4
$ $ !
?–
∂x
∂v
∂u ∂v
= 2 x −1. 9
$
= . '$ $,
$
∂y
∂x ∂y
$ v( x, y ) = 2 xy − y + ϕ( x ) , ϕ( x ) – 4
#.
∂u
∂v
= − . ' 94
$ !
?–$:
∂y
∂x
u
∂
∂v
= − 2 y − ϕ′( x ) . /
$,
= 2 y + ϕ′( x ) , ∂y
∂x
∂u
= − 2 y . , − 2 y − ϕ′( x ) = − 2 y, ϕ′( x ) = 0 , ∂y
ϕ( x ) = C ,
f ( z ) = x 2 − y 2 − x + i (2 xy − y + C ) ,
1. 9$$
2
f ( z ) = x 2 − y 2 + 2 xyi − ( x + yi ) + Ci , f ( z ) = ( x + yi ) − ( x + yi ) + Ci , f ( z ) = z 2 − z + C1 .
5. $$ v( x, y ) = x + y ##$
# f ( z ) . / H #E.
∂v
1. 9$$ v( x, y ) = x + y ,
= 1. , ∂y
∂u
∂u
=
$ !
?–$,
=1. FE u = x + ϕ( y ),
∂y
∂x
∂v
∂u
∂v
= ϕ′( y ),
=1 . /
= − , ϕ′( y ) = −1. 9
∂x
∂y
∂x
$ $, ϕ( y ) = − y + C ; E u = x − y + C . 9,
f ( z ) = x − y + C + i ( x + y ) , f ( z ) = (1+ i )( x + yi ) + C , f ( z ) = (1+ i ) z + C .
3. ##$ # f ( z ) = sin x ⋅ chy + i cos x ⋅ shy ?
G , 4
E. 6: f ′( z ) = cos z .
4. F4 D # ϕ( y ) ψ( x ) , # f ( z ) = ϕ( y ) + i ψ( x ) ##$
. 6:
ϕ( y ) = ay + C1 , ψ( x ) = − ax + C2 , f ( z ) = Az + C , A = − ai, C = C1 + C2 .
5. $ λ # f ( z ) = y + λxi ##$? 6: λ = −1, f ( z ) = − iz .
6. $ a # f ( z ) = az ( z = x − yi ) ##$? 6: a = 0 .
7. u = 2 x cos( y ln 2 ) ##$
# f ( z ) . / H #E. 6: f ( z ) = 2 z + C .
8. $$ v = sin x ⋅ shy ##$
# f ( z ) . / H #E. 6: f ( z ) = − cos z + C .
$ 4. # ;!D
1.
K
##$
#
f ( z ) = x 2 + y 2 − 2 xyi ? 6: .
2. , # f ( z ) = x 3 − 3 xy 2 + i 3 x 2 y − y 3 ##$ 4
E. 6: f ′( z ) = 3 z 2 .
# w= f ( z ) , D. P$ 4
z = x + yi , $ 4
w = u + iv . 9, >
(x; y) 4
x0y 4 (u; v) 4
u0v.
G (x; y) 4
x0y 4 E E ), 4
>E D, (u; v) 4
u0v 4? E Γ′ . &E Γ′ $ !'
) 4
u0v 4
$
DE #
w= f ( z ) .
A
$$ ) z0 = x0 + y0i . / Γ′ H
w0 = u 0 + v0i . $ ) E L ( x0 ; y0 ) Γ′ – E L′ (u0 ;v0 ). α – , >
4
4$E L,
4 4
4$ 4$
L′ (
$> 4
$ >$ 4$). A # , α = arg f ′( z0 ) , f ′( z 0 ) ≠ 0 .
130
131
' (! (
)
(
) (
)
. $
$ E E γ, > 4
( x0 ; y0 ) , > – E γ ′ , 4
DE (u0 ;v0 ) . l – γ ( x0 ; y0 ) ,
l ′ – γ ′ (u0 ;v0 ) .
Q
4 4$
l 4
4$ 4$
′
l , >
H
$ 4$E l 4
α; 4
arg f ′( z0 ) , 4
, 4
D ( x0 ; y0 ) (. 27, 28).
. 27
. 28
G ϕ – $> L E 0x, ψ – $>
l E 0x, ϕ′ – $> L′ E 0u,
ψ ′ – $> l ′ E 0u, ϕ′ − ϕ = α , ψ′ − ψ = α
ϕ′ − ϕ = ψ′ − ψ . , ψ − ϕ = ψ′ − ϕ′ . /
ψ − ϕ – H
$> $ L l, ψ′ − ϕ′ – H
$> $
L′ l ′ . FE 4
$ EE, 4
, 4ED ( x0 ; y0 ) , >E ED , 4ED (u0 ;v0 ) , β
$> $ $ >$ $ $ $ >. P$$, ϕ = arg f ′( z ) > 0 , 4
4
4
, ϕ < 0 – 4
.
&
, $
4
( x0 ; y0 )
(
f ′( z0 ) ) > 4 ? $>
>$ $ w0 + Δw0 w0 4
$ $ z0 + Δz 0 z 0 (. 29, 30).
132
. 29
. 30
$
E E >, $ 4
$
, f ′( z0 ) > 4 ? $> >$$ $ w0 + Δ′w0 w0 4
$
$ z0 + Δ′z 0 z 0 .
'$ $, f ′( z0 ) > $? z 0 4 > 4
$
DE # w= f ( z ) .
f ′( z0 ) >1 $ $
>, 4 f ′( z0 ) <1 – >.
9, $ $ $ 4
x0y 4
u0v, 4
$ $
, 4
4
$ ED 4
4
( 4).
F
> 4
$
DE # w= f ( z )
%
! !'.
'
1. 4
$
D # w =
1
4
u0v
z
(1; 1), (0; –2), (2; 0).
1. '
(1; 1) z =1 + i , 1
1− i
1− i 1 1
w =
= − i – 4
u0v 4
=
=
1 + i (1 + i )(1 − i ) 1 + 1 2 2
133
. 1 1
§1 1·
§ 1·
¨ ; − ¸ ; z = − 2i, w =
= i – 4
¨ 0; ¸ ;
− 2i 2
©2 2¹
© 2¹
1
1
§
·
z = 2, w = – 4
¨ ; 0 ¸ .
2
©2 ¹
2. 4
$
D # w = z 3 4
u0v
E y = x .
1. 9$$
w = ( x + yi )3 = x 3 + 3x 2 yi − 3 xy 2 − y 3i = x 3 − 3 xy 2 + 3x 2 y − y 3 i .
­ u = x 3 − 3xy 2
'$ $, ®
2
3
¯v = 3x y − y
9 4
y = x E$ x y:
u = − 2 x 3 , v = 2 x 3 , v = − u .
9, >$ I III $ x0y II IV $ u0v.
3. w = z 2 z 4 , 4$ $ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤1 . !E 4 w?
(
)(
)
1. 9$$ w = ( x + yi )2 = x 2 − y 2 + 2 xyi , u = x 2 − y 2 ,
v = 2 xy . /$ > ? (. 31). G
x = 0, y = 0 , u = 0, v = 0 ; x = 0, y = 1 , u = −1, v = 0 ; x = 1, y = 0 , u = 1, v = 0 ; x = 1, y = 1 , u = 0, v = 2 .
. 31
134
/$ > :
• OB: y = 0, u = x 2 , v = 0 , v = 0, u ≥ 0 – 4
$ OB1 0u;
• OA: x = 0, u = − y 2 , v = 0 , v = 0, u ≤ 0 – 4
$ OA1 0u;
v2
− 1,
4
v = 2 u + 1 – 4
$ 4
, EDE A1 (− 1; 0) C1 (0; 2) ;
• AC: y =1, u = x 2 − 1, v = 2 x ; E x, $$ u =
v2
,
4
v = 2 1 − u – 4
$ 4
, EDE B1 (1; 0) C1 (0; 2) .
9, >$ v2
v2
, $ v = 0, u = − 1, u =1 −
4
4
4
> 4
4
.
4. 4
$
D # w = 2 z + 1 > >
x 2 + y 2 =1 4
u0v.
1. 9$$ w = 2( x + yi ) +1= (2 x +1) + 2 yi , 4
­u = 2 x + 1
$ $ ®
¯ v = 2y.
u −1
v
9 H $ x y ( x =
, y = ) 4
2
2
$ >
. $ (u −1)2 + v 2 = 4 . 9
$$
>$ >
$ 2 $ (1; 0).
5. 4
$
D # w = z 2 4
u0v
• BC: x =1, u =1 − y 2 , v = 2 y ; E y, $$ u = 1−
4$ x = 2 y =1. 6: u = 4 −
v2
v2
, u = −1 .
16
4
135
. 6. 4
$
D # w = − z 2 4
u0v
1
4$E x + y =1. 6: v = u 2 −1 .
2
7. 4
$
D # w =iz + 1 > 4
u0v. : i( x + iy ) + 1 = 1 − y + ix ;
u = 1 − y , v = x . 6: u = 1, v = 0 .
8. O $ > 4
u0v 4 4
$
D # w = e ϕ i ⋅ z , ϕ – 4
. 6:
u = x cos ϕ − y sin ϕ; v = x sin ϕ + y cos ϕ – 4
4 4
.
9. 4
y = x 2 . F
4
u0v 4
(
)
2
4
§v· 3 §v· 3
4
$
D # w = z . 6: u = ¨ ¸ − ¨ ¸ .
©2¹
©2¹
10. , $> 4$$ y = 1 y = x −1 $ 4
> w = (1+ i )z + (1− i ).
11. / H## > 4
4 > w= z 2 z0 = 2 + i 2 .
1. 9$$ w′( z ) = 2 z , w′ 2 + i 2 = 2 2 + i ⋅ 2 2 .
2
(
)
#
$ 4 2 2 + i ⋅ 2 2
§ 2
2·
¸¸ =
+i
$
, 4
$ 2 2 + i ⋅ 2 2 = 4¨¨
2
2
©
¹
π
π
π·
§
= 4¨ cos + i sin ¸ . P, f ′ 2 + i 2 = 4 , 4
ϕ = .
4
4
4
©
¹
12. / H## > r 4
ϕ 4
> w = f ( z ) :
π
π
) w = e z z1 = ln 2 + i
z 2 = −1 − i ; :
4
2
π
1
π
r1 = 2, ϕ1 = ; r2 = , ϕ 2 = − ;
4
e
2
w = sin z
)
z1 = 0
z 2 =1 + i ; :
2
2
r1 =1, ϕ1 = 0; r2 = ch 1 − sin 1, ϕ 2 = − arctg(tg1⋅ th1);
(
)
136
π
z 2 =1+ i ; :
2
§ π2 ·
4π
4
.
r1 =15, ϕ1 = − arctg ; r2 = 3¨¨1 + ¸¸ , ϕ 2 = π − arctg 2
3
4 ¹
π −4
©
13. A, $4
4
, >$ 4 ED >:
) w = e z ; : 4
4
Re z > 0 , 4
4
Re z < 0 >$;
) w = ln z ; : E
z (
$ z = 0 ), >D
>
z =1, $ $
>, , >D H
>
, – >;
1
) w = ; : >, );
z
$) w = z 3 ; : $4
4
, >D
1
>
z =
, >$; 4
, >D
3
H
>
, – .
)
w = z3
z1 = 2 − i
G D # w = f ( z )
~
$
> H D , L, >D D, 4
w ~
E E L , lw = ³ f ′( z ) ⋅ dz .
L
F D 4
z 4 > w = f ( z ) 4
~
~
D 4
w, 4$ 4
D D > #
$
S D~ = ³³ f ′( z ) dxdy . '$ $, f ′( z ) 2
2
D
H## > 4
D 4 > w = f ( z ).
14. '
z = x + iy 4 x =1, − 1≤ y ≤1 . Q$ , 4
ED 4 > H
4
$
DE w= z 2 ?
137
. 1. 1. 9$$ w= z 2 , u + iv = x 2 − y 2 + 2ixy ,
­u = x 2 − y 2 ,
F
, x = 1, − 1 ≤ y ≤ 1 $
®
¯ v = 2 xy.
­u =1 − y 2 ,
$ ®
4$ 4 $ y –1 +1 v $¯ v = 2 y,
­u =1 − y ,
–2 +2. 9 ®
4
$ 4
¯ v =2y
2
v2
v2
(. 32). 4
lw = 2 ³ 1+ dv =
u =1 −
4
4
0
2
2
(
1. 1. 9$$ w = e z = e x + iy = e x e iy , w = ρe iϕ ,
ρ = e x , ϕ = y . '$ $, 4 > w = e z 4
w 4
$ , E $ $ ( arg w = −ε
arg w = ε ) $ >
( ρ = e a − ε ρ = e a + ε ) (. 34).
ε
ea + ε
−ε
e
D >
S w = ³ dϕ
³ ρdρ = εe
a −ε
2 a − 2ε
(e
4ε
)
−1 .
)
= ³ 4 + v 2 dv = 2 2 + ln 3 + 2 2 .
0
2. 94
#
$ lw = ³ f ′( z ) ⋅ dz , 4
$
L
1
lw = ³ f ′( z ) ⋅ dz = ³ 2 z ⋅ dz = 2 ³ 1 + y 2 dy =
L
−1
L
1
(
. 34
)
= 4 ³ 1 + y dy = 2 2 + ln 3 + 2 2 .
2
0
2. $ #
$ S D~ = ³³ f ′( z ) dxdy , 4
$
2
15. A 4
D , E 4
4
> w = e z a − ε ≤ x ≤ a + ε , − ε ≤ y ≤ ε (a – ; 0 < ε < π, z = x + iy ) (. 33). A 4 ?
4
D H , ε → 0 .
2
S w = ³³ f ′( z ) dxdy = ³³ e 2 x dxdy =
D
,
D
4
D
2 a − 2ε
(
Sz
)
4ε
a+ε
³
a−ε
D
ε
(
)
4ε 2 ,
4
H
$
e 2 x dx ³ dy = εe 2 a − 2ε e 4ε − 1 . F-
−ε
D
Sw
e −1 2 a
εe
=e .
= lim
ε →0 S z
ε →0
4ε 2
16. / 4
D D {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} 4
8
> w= z 2 . 6: S D~ = ,
3
l w = 2 1 + 2 + ln 3 + 2 2 .
lim
(
. 32
)
(
)
. 33
138
139
. 17.
/
4
D
4$
π
π½
­
P ®0 < x1 ≤ x ≤ x2 < , 0 < y1 ≤ y ≤ y2 < ¾ 4 > w = cos z .
2
2¿
¯
x2 − x1
(sh 2 y2 − sh 2 y1 ) − y2 − y1 (sin 2 x2 − sin 2 x1 ) .
6: S D~ =
4
4
18. z 4 , 4$E $
π
π
1≤ z ≤ 2, − ≤ arg z ≤ . / 4
D , 4
4
4
4
> w= z 2 . 6: 7,5π.
19. / L 4, E 4
$
DE #
w = e z > y = x, 0 ≤ x ≤ 2π . 6: 2 e 2 π − 1 .
20. / Pw , E # w = e z >
4$
P{1≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 8}. A 4
D Pw
(
)
4
$
DE #
$ S D~ = ³³ f ′( z ) dxdy O, 4
$ H
2
D
#
$ 4 . 6: 4$
> e ≤ w ≤ e 2 , 4
D (
)
(
)
π e 4 − e 2 . #
$ S D~ = ³³ f ′( z ) dxdy 4
$ 4 e 4 − e 2 .
2
4
4
>
, %
! !'
!
$
!
.
? 4$ #
$
> 4
–
H
> w= z , > – >
w= z .
A ?$ $ $ $ #
$
> 4
.
F
> w = f ( z ) %
! D,
#
$
>
H
.
) ?$(. )
!' w = f ( z ) %
! D, (
, *
%& w = f ( z ) , ! f ′( z ) ≠ 0 & ( z∈ D . ( w = f ( z ) D, H
4$ ).
G 44
f ( z ), D$
E > $
$, #
$$. /4$: # w= z 4 , 4
1≤ z ≤ 2, 0 ≤ arg z ≤ π , $; $ , E 4
-
)
, %
!
!' ! $
& .
G 4 > w = f ( z ) $> ED$ 4$ 4
, 4
4E , > %
! !' !
$
!
.
!
#
$
>, 4 $ E , 4 $
4
w′ = 4 z 3 ≠ 0 . F
# w= z 4
> 4
1≤ w ≤ 16, 0 ≤ arg z ≤ 4π ,
, > 4
EDE ED 4
w, ? $
.
. A D E #
$$ > ) w = 2 z ; ) w = ( z − 2)2 ?
) ' # f ( z ) = 2 z $4
4
z, 4
f ′( z ) = 2 ≠ 0 ,
> w = 2 z #
$$ $4
4
.
) F
> w = ( z − 2)2 #
$$ E, $ z = 2 , 4
f ′( z ) = 2( z − 2 ) D
.
22. #
$
ED >:
) w = e − 3 z ; : 4
;
140
141
D
F? 4
- , 4 > $
$.
21. / 4
D #, 4
ED 4 >
, $ x = 0, y = 0, x + y =1 , 4
$
1
DE # w =1+ iz . 6: .
2
. ) w = z 2 − 4 z ; : 4
, $ z = 2 ;
) w = − iz 2 ; : 4
, $ z = 0 ;
$) w = sh (1 − z ); : 4
, $ § 1·
z k =1− ¨ k + ¸πi , k = 0, ±1, ±2, ... ;
© 2¹
) w = ( z + 2i )3 ; : 4
, $ z = − 2i .
1. G8 $+ ?$+/ GJ)
1. &. D #
w = f ( z ), >ED $
#
$
E 4
E D E G, H 4 4
E E
?
4
E.
9$ $
>
#,
DED > D G. G
>ED # w = f ( z ) 4, 4
4
ED :
) z0 D 4? E w0
G, , D z0 , 4
α ( w0 = f ( z0 ), arg f ′( z0 ) = α );
) z0 D z1 γ 4?, , w0 G w1 ) ( w0 = f ( z0 ),
w1 = f ( z1 ) );
) z1 , z 2 , z 3 D 4? w1 , w2 , w3 G (w1 = f ( z1 ), w2 = f ( z 2 ),
2. # ) )! !.
D $ -$ $ γ. # w = f ( z ) , D γ, > γ ), ED G,
4$ z γ , D , ED w ) , G
> . '
D 4
$
DE #
w = f ( z ) $
#
$
G.
3. # . D, >D 4$
γ , > # w = f ( z ) G , γ 4
4$
), D (. 35). F
$ l L 4$, > γ ). 4 $$ >: # w = f ( z ) D, > γ, H # > D*, $$
D 4$
l, $ $, E z1 z 2 ( > D), $$ 4$
l, >E w1 w2 , $$ 4$
L.
w3 = f ( z3 )); 4 H
$, 4 > 4
γ z1 z3 -
z 2 D (4), 4 > 4
) w1 w3 w2 G > > (4).
A ) ) # f ( z ) 44
4
$
D.
. 35
142
143
. . A D, $ γ:
2
x + y 2 − 2 x = 0 , # w =3 z + i . A E 4
D 4 >, D$
$ H
#?
1. z = x + iy , w = u + iv . '
?
w =3 z + i 44?$ u + iv = 3 x + i (3 y + 1) , u = 3 x ,
u
v −1
.
v = 3 y +1. FE x = , y =
3
3
2
2
u
§ u · § v −1 ·
!
γ > ): ¨ ¸ + ¨
¸ − 2 = 0 , 3
©3¹ © 3 ¹
(u − 3)2 + (v −1)2 = 9 ,
– >
$ 3 $
M (3, 1). >
4 γ 4
>
$ 4E ).
A H
$ $
>
, 4$$ $:
γ : x = 1 + cos ϕ ; y = sin ϕ ; 0 ≤ ϕ ≤ 2π ;
Γ : u = 3 + 3 cos ϕ ; v = 3 sin ϕ + 1; 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
44 $
D G – >
,
$ ).
J
$
>
4
: EE z ∈ D 4 > w =3 z + i . /4$, z =1 4
w =3 + i , DE ).
. z1 = 2 + 3i z 2 = 3 + 2i , $$ π
−i
w=e 2
⋅ z 4
4$
y = x . , #
z1 z 2 w1 = 3 − 2i w2 = 2 − 3i , $$ 4$
y = − x .
1. /
4
, # w = e
−i
π
−i
w=e 2
π
2
⋅ z -
⋅ z > 4$E y = x 4$E y = − x . E. A 44 $$ z1 = 2 + 3i
z 2 = 3 + 2i , $$ 4$
y = x , 4
144
w1 = 3 − 2i w2 = 2 − 3i , $$ 4$
y=− x.
πz
. , # w = e h > 4
0 < Im z < h EE 4
4
Im z > 0 .
1. "$ 4
D , π( x + iy )
πx
iπy
D . ' w = u + iv = e h = e h ⋅ e h , z 4
E Ox x = − ∞ x = + ∞
πx
(4 y = 0 ), ED w = e h 4
E 4
>E 4
Ou 4
w u = 0 u = + ∞ , v = 0 . !
z = x + ih 4
EE 4
+ ∞ + ih − ∞ + ih (
$E x + ∞ − ∞ ), ED πx
πx
w = e h ⋅ eiπ = − e h 4
E E 4
Ou 4
w − ∞ 0. ' #
πz
w = e h D ( 0 < Im z < h ) , #
$
> H G ( Im w > 0 ).
' (! 1. , 4
1≤ z ≤ 2, 0 ≤ arg z ≤ π 4
$
DE
# w= z 2 > 1≤ w ≤ 4, 0 ≤ arg z ≤ 2π .
π
2. , 0 < arg z < , 0 < z < + ∞ 4
$
DE #5
5
w = z > EE 4
4
Im w > 0 ,
z = 0 4
w = 0 .
3. , 4
1≤ y ≤1 + 2π 4
$
DE # w = e z
> 4
E 4
w $ 4
>
Ou.
145
. 2. ?$ GJ, (<8('$ '))
?<-) w = az + b
& # w = az + b , a b – 4
$4 (a ≠ 0 ) , D #
$
>
4
z E 4
w, 4 E
$ z $$
w′ = a ≠ 0 .
Q :
1) w = z + b D 4
4
4
;
2) w = e iα ⋅ z , α – , D
4
4
α;
3) w = rz , r – 4
>
,
D 4
4
$ 4
(r – H## 4
).
FD > w = az + b , a = re iα ,
D 4$ 4
4$:
1) 4
α;
2) 4
4
$ H##
$ r;
3) 4
4
4
$
DE , ED
$4
$ b.
F$$, 4
4
>b
. a =1 4
$ z 2 = ∞ ,
$ : z1 = ∞ z 2 =
1− a
H
$ 4
> 4E.
. , > w = az + b
4
4, 4
, z1 z 2 4
, , 4
,
w1 w2 .
1. P > w = az + b D
,
4$
a b. >$, ? 4
E H 4$. 4 z = z1
4
$ w = w1 , w1 = az1 + b , 4 z = z 2 4
$
w2 = az 2 + b .
146
w2 − w1
w z − w2 z1
, b= 1 2
, z1 ≠ z 2 .
z 2 − z1
z 2 − z1
? 4E 4$ a b.
. , > w = az + b ,
a = re iα , $
>
, 4
, z1 4
dw
z1 $ w1 , 4
dz
a.
1. Q
> w = az + b , a = re iα ,
>
4$
a b. 9 , z1
> 4
w1 , 4
$ w1 = az1 + b . A H
w = az + b , 4
$
dw
= a 4 $ z. H
$, w − w1 = a ( z − z1 ) . F
, dz
dw
z1 , $ 4$ 4$ a.
4
dz
'$ $, > w − w1 = a ( z − z1 ) 4
E
4
( b = w1 − az1 ).
. / E #E, >EDE ?$ 0, 1, i 4
z 4
$ ?$ 1+ i, 0, 2 4
w.
1. 1. 9 . 36 $, ΔABC 4
4
$ ΔA1 B1C1 4$ ED 4:
5
1) 4
π , 4
9 H $: a =
5
i π
ED 4
E w1 = e 4 ;
2) 4
4
$ AB
H##
$ r = 2 ( 1 1 = 2 ): w2 = 2w1 ;
AB
3) 4 4
, $DED C (0, 0 ) C1 (1, 1) ; 4
$ b =1+ i : w = w2 +1+ i .
147
. ' (! 1. $ $ (, >, 4
) ED 4
:
) w = z + 3i ; : 4 4
;
) w = z + 5 ; : 4 4
;
) w = iz ; : 4
;
i
. 36
, e
5
i π
4
=−
2
2
, 4
$
−i
2
2
§
2
2·
¸¸ z + 1 + i = (1 − z )(1 + i ).
w = 2 ¨¨ −
−i
2
2
¹
©
2. $ # w = az + b , a b –
4
4 . E z1 = 0
z 2 = 1 > 4, , w1 = 1 + i
w2 = 0 . $ $ 4 a b:
­ 1 + i = b,
®
¯0 = a + b .
FE a = −1 − i , b = 1 + i , w = (1 + i )(1 − z ) .
π
$) w = e 6 ⋅ z ; : 4
;
) w = 3 z ; : 4
;
1− i
) w =
z ; : >.
2
2. / D #, 4
$
DE D 4
:
) 4
4
; : w = az + b ;
) 4
4
>EE 4
4
; :
w = − az + b ;
) 4
4
4E 4
4
; :
w = −i (az + b ) , a b – , a > 0 .
3. / > w = az + b , ED z0 4
>
4
D z1 w1 :
1 + 8i
14 + 2i
z+
;
) z0 = 1 − i , z1 = 2 + i , w1 = 4 − 3i ; : w = −
5
5
) z0 = −i , z1 = 1 − 2i , w1 = 2 − 3i ; : w = 2 z + i ;
) z0 = –1 – i, z1 = 3 – 2i, w1 = 3i; : w = iz − 2 .
4. / E #E w = f ( z ) , >EDE 4
, EE $> 4$$ x = a, x = a + h , 4
0 < u < 1
z−a
.
4
w. 6: w =
h
3. ?$ GJ, (<8('$ ?<-) w =
1
z
'
M M ′ E $$$ >
), :
148
149
. 1) $ , D$ >
;
2) 4
>
>
: OM ⋅ OM ′ = R 2 (. 37).
7. '
>
)
$$ $$ H
>
.
O >
)
$$
)
.
G >
) . 37
$$ ) > $4
z, $R2
4
$ .
z
1
w= ,
z
$
!, $$ >:
>
(. 38).
1
w =
z
#
$
?
4
, 4$ z = 0 w = ∞ , . 38
z = ∞ – w = 0 . E, $> $ 4
(z w) $> $ H 1
4
. > w = >
z
4
>
, 4$ – 4$. /4
> : z1 = + 1 z 2 = − 1.
150
. / >
z = 3 4 >
25
w= .
z
1. 1. z = x + iy, w = u + iv . '
25
25
25 x
25 y
= 2
−i 2
,
44?$ u + iv =
? w =
2
x + iy x + y
z
x + y2
25 x
25 y
,v=− 2
u = 2
.
x + y2
x + y2
>
z = 3 4-
x 2 + y 2 = 9 . 9E 4
? 2
§ 25 ·
x y, $ $ u 2 + v 2 = ¨ ¸ , >
© 3¹
25
R =
$ 4
w.
3
2. P4?$ z w 4
#
$:
25
4
$
z = ρeiϕ , w = re iθ . '
4 > w =
z
25
25
reiθ = iϕ , r = , θ = − ϕ , ρ = 3 0 ≤ ϕ ≤ 2π . P,
ρ
ρe
25
25
w = e −iϕ >
r =
$ 3
3
, 4
$ 4
, >
4
4
.
25
25
$$ z = . H
3. 9 w =
z
w
> >
z = 3 4
$
25
25
25
= 3 , w = . $
, 4
$
= 3 , w
w
3
25
, $ >
z = 3 4 > w =
z
25
>
w = .
3
151
. ' (! 1
4
4
z
0 < Re z <1, Im z > 0 ? . z = x + iy, w = u + iv , 4
$
x
y
u= 2
,v=− 2
. F
4
4
, 4$,
2
x +y
x + y2
, , 44 $, $ 4
4
1 1
?$ 4
$ z − ≤ .
2 2
2. / ED $
> 4 >
1
w= :
z
π
π
) arg z = ; : arg w = − ;
3
3
π
π
) z = 1, < arg z < π ; : w = 1, − π < arg z < − ;
4
4
1
1
) 2 ≤ x ≤ 4, y = 0 ; : ≤ u ≤ , v = 0 ;
4
2
1
$) − 2 < y < − 1, x = 0 ; : < v <1, u = 0 ;
2
1 1
) 0 < Re z < 1 ; : w − > , u > 0 .
2 2
1. / E > # w =
4
$
DE 4
4$ 4
41
4
w = .
z
. / , 4 - #az + b
> EE 4
4
Im z > 0 w =
cz + d
EE 4
4
Im w > 0 .
1. H
$ > , Im z > 0 – 0x, 4
$ 4
, >
Im w > 0 , 0u, 4
$E >
4
. '$ $, 4 E z > $ w. F
, H
$
>
? 4 a, b, c, d.
, >
$ z = x + iy , y > 0 , >
w = u + iv , v > 0 . z = x + iy #
$
(ax + b )(cx + d ) + acy 2 + i (ad − bc ) y ,
az + b
, 4
$ w = u + iv =
cz + d
(cx + d )2 + y 2
(cx + d )2 + y 2
(ad − bc ) y . ' y > 0 $ 4
>
v =
(cx + d )2 + y 2
, 4
>
v $
, 4
ad −bc > 0 . J
$
.
w=
-! #)
az + b
, a, b, c, d – $4 4
cz + d
ad − bc ≠ 0 , $
#
$
> ?E 4
z ?E 4
w. ,
D$
-
#, $. !>
4
$
> 4
1. ! . -
4
>
> >
. $ >
E .
2. . z1 z 2 , $$
>
C, >E w1 w2 , $$ >
), E >
>
C.
. G 4 -
$ > w = f ( z )
4$ >
γ 4
>
) , $$ γ, 4
>
-
152
153
az + b
4. &G-') ?<- w =
cz + d
w =
. ), $
4
E .
3. D - #, z1 , z2 , z3 4
z 4
w1 , w2 , w3 4
w. F $ w − w1 w3 − w2 z − z1 z3 − z 2
.
⋅
=
⋅
w − w2 w3 − w1 z − z 2 z3 − z1
. / -E #E, 4
DE
z1 = 1, z 2 = i, z3 = −1 w1 = −1, w2 = 0, w3 = 1.
w − w1 w3 − w2
1.
A
4
$
#
$
⋅
=
w − w2 w3 − w1
w + 1 1− 0
z −1 −1− i
z − z1 z3 − z 2
. $
, ⋅
=
⋅
=
⋅
w − 0 1 − (− 1) z − i − 1 − 1
z − z 2 z3 − z1
i−z
.
w=i
i+ z
7. G z k wk (k = 1, 2, 3) , H
#
$ $ $ , >D H .
. / -E #E, 4
DE
z1 w1 = 0 , z 2 w2 = ∞ .
1. A
$$ 4
E z3 , E z1 z 2 , 44
>$, 4
w3 , E
w − w1 w3 − w2 z − z1 z3 − z 2
w1 w2 . '
4
#
$
=
⋅
⋅
w − w2 w3 − w1 z − z 2 z3 − z1
z − z1 z 3 − z 2
w−0
1
$ $ $ $
, ⋅
=
⋅
1
w3 − 0 z − z 2 z 3 − z1
z −z
z − z1
, K = 3 2 w3 , K – H
4
w = K
z3 − z1
z − z2
$4
, K ≠ 0 .
. F
EE 4
4
Im z > 0 w < 1 , z0 (Im z0 > 0) 4? – w = 0 .
1. ' z0 4
$
# w = w( z ) , w( z0 ) = 0 ,
4> z0 > 4 w = ∞ 4
z − z1
$$.
A
4
$
#
$
,
w=K
z − z2
z −z
z − z0
, K – 4
K = 3 2 w3 , 4
$ w = K
z3 − z1
z − z0
$
>. E
$ K H # > EE 4
4
$ w = 0 . $ K
, $. H
4
,
z = 0 ( Im z > 0 ) 4?
z
>
w = 1. '
1 = w = K ⋅ 0 , z0
154
155
K = 1 , K = eiα , α – E
. '$
z − z0
.
$, w = eiα
z − z0
7. /$ 4
E w′ z0 = a + ib (b > 0) :
π
π·
§
i¨ α − ¸
−i
1
e © 2¹
ie iα
, w′ = eiα ⋅ e 2 =
. P, arg w′( z0 ) =
w′( z0 ) = −
2b
2b
2b
π
= α − , , $
$ $ 4
, 4
2
z − z0
> w = eiα
4
z0 z − z0
π
α− .
2
$ $ D >
w = w( z ) 4
4
Im z > 0 w < 1, ED
π
$ w( z0 ) = 0, arg w′( z0 ) = α − . FE , 2
-
> 4
4
Im z > 0 z − z0
w < 1 $ w = eiα
.
z − z0
. . F
z < 1 w < 1.
1. $
-
>
w = w( z ) 4
z0 , DE z < 1 ,
1
w < 1 , w( z 0 ) = 0 . '
z0* = , $z0
$ >
z = 1 , 4
z − z1
,
∞ , w z0* = ∞ . '
4
#
$ w = K
z − z2
z − z0
z − z0
z −z
, w = K1
,
K = 3 2 w3 , 4
$ w = K
1
−
1
z
z
z3 − z1
0
z−
z0
K1 = − Kz0 – 4
$4
.
$ 4
E K1 , 4
w $. H
4
, z = 1
4? >
w = 1. '
4
$
( )
1 = w = K1 ⋅
1 − z0
, K1 = 1, 4
$ 1 − z0 = 1 − z0 . 1 − z0
, K1 = eiα , α – E
. 9,
z − z0
, z0 < 1 α – E
.
w = e iα
1 − zz 0
. / #E w = f ( z ), #
$
>EDE
§ i −1·
§ i −1 · π
E, f ¨
¸ = 0, arg f ′¨
¸= .
© 2 ¹
© 2 ¹ 2
z − z0
, α – E
1. #
$ w = eiα
1 − zz 0
, 4
$ > z < 1 i −1
4
w < 1, z0 =
2
i −1
z−
iα
2 , f ( z ) = eiα 2 z + 1 − i .
w = 0 . 9$$ w = f ( z ) = e
1+ i
2 + z (1 + i )
1+ z
2
2
§ i −1 ·
iα
' f ′( z ) = eiα
, f ′( z 0 ) = f ′¨
¸ = 2e . 2
(2 + (1 + i )z )
© 2 ¹
π
i
−
1
π
·
§
4
$ arg 2eiα = , E arg f ′¨
¸=
2
© 2 ¹ 2
π
1 + (2 z + i )i
2 z + 1− i
α = , 4
$ f ( z ) = i
, f ( z ) =
.
2
2 + (1 + i )z
2 + z (1 + i )
( )
' (! 4
z0 α.
$ $ D >
w = w( z ) z < 1 w < 1, ED $ w( z0 ) = 0, arg w′( z0 ) = α .
, -
> z − z0
.
z < 1 w < 1 $ w = e iα
1 − zz 0
1. / -
4
, 4
D z −i
.
E E >
. 6: w =
iz − i
2. / ED 4 4
:
1 1
3
z +1
; : w − > , u < ;
) 1 < z < 2 4 w =
3 3
4
z+2
z +i
) ?
z > 1 4 w =
; : Re w > 0 ;
z −i
z −1
) z < 1 4 w =
; : u < v .
z +i
3. F4, 4
z < 1 4
-
$ >, 4
156
157
7. ' w′( z ) =
eiα
e iα
, w′( z0 ) =
, 2
1 − zz 0
1 − z0
arg w′( z0 ) = α . J
, 4 > w = eiα
z − z0
1 − zz 0
. z1 = 1, z 2 = i, z3 = ∞ , , w1 = 0, w2 = ∞, w3 = 1.
6: u + v < 0 .
4. / , $$ z = 1 + i ED :
) x = 0 ; : −1 + i ;
) z = 2 ; : 1 + i ;
) z − 1 − i = 2 ; : ∞ .
5. / D -
#, >ED ED :
) EE 4
4
>EE 4
4
; : w = −az + b ;
) EE 4
4
4E 4
4
; :
w = −i (az + b ) , a b – , a > 0 .
6. / > 4
4
, 2
.
w(0 ) = 1, w(1) = 2, w(2 ) = ∞ . 6: w =
2− z
$ 5. ! ), E
$> $
z0
( f (z0 )Δz0 + f (z1 )Δz1 + ... + f (zn −1 )Δzn −1 ).
³ f (z )dz = λlim
→0
Γ
G f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ), z, ³ f ( z )dz
Γ
$ $ $ # 4
#
$ ³ f ( z )dz = ³ u ( x, y )dx − v( x, y )dy + i ³ v( x, y )dx + u ( x, y )dy .
Γ
Γ
Γ
G ) – - , D Γ1 , Γ2 , ..., Γm , 4
H
$
>
4 4 4
$
D ³ f ( z )dz = ³ f ( z )dz + ³ f ( z )dz + ... + ³ f ( z )dz .
Γ
Γ1
Γ2
Γm
G f ( z ) – # D,
³ f ( z )dz , 4
Γ
), 4>D D, ),
4 ? 4
>$ H
.
0& &
% f ( z ) , !
&
D, $! ³ f ( z )dz , & γ
! $
, $ 4
$EDE E.
! -$
, .
# $4
4$
w= f ( z ) , 4 D. ) – 4
,
>D D. $
$ $ z 0 $ z. $ H n 4
$ $ z0, z1, z2, …, zn–1, zn = z, 4
>$ 4
).
$ $$ S n = f ( z0 ) Δz0 + f ( z1 ) Δz1 + ... + f (z n −1 )Δz n − 1 ,
Δz k = z k + 1 − z k (k = 0,1, ..., n −1) . λ – ? Δz k . G λ → 0 , n → ∞ $$ S n $ 4
$
4. J
4 $ # f ( z ) 4
158
-$
! γ, '+ D, !
(
).
z
$
$ > F ( z ) = ³ f (t )dt . P 4 z0
4$ 4
- ), >D D ED z 0 z. f (t )
44
D. >
4
,
F ′( z ) = f ( z ) . F ( z ) , 4
f ( z ) ,
!
!
# 4
?E #
f ( z ) . G 4
F ( z ) , 4
> > F ( z ) + C , C – 4
4
. A> F ( z ) + C ! $!
# f ( z ) . ' >, 159
. z
³
#, 4
f (t )dt = Φ ( z ) − Φ ( z 0 ) ,
z0
Φ( z ) – -
4
# 4
?E f ( z ) .
> 4
# 4
?E
# f ( z ) 4$E #
$
.
$
$ n + 1 $ - γ 0 , γ1 , γ 2 , ..., γ n , > γ1 , γ 2 , ..., γ n > 4
> γ 0 . >
,
>D $
γ 0 γ1 , γ 2 , ..., γ n , 4
(n +1) -E D.
f ( z ) – # D (E
γ 0 , γ1 , γ 2 , ..., γ n ). A H
$ 4
³ f ( z )dz = ³ f ( z )dz + ³ f ( z )dz + ... + ³ f ( z )dz .
γ0
γ1
γ2
γn
'
f ( z )dz , f ( z ) = ( y +1) − xi , AB –
³
1. A AB
4$
, ED z A =1 z B = − i .
1. 9$$ u = y + 1, v = − x . FE
³ f (z )dz = ³ ( y +1)dx + xdy − i ³ xdx − ( y + 1)dy =
AB
= ( y + 1) ⋅ x
AB
x = 0, y = − 1
−i⋅
x =1, y = 0
x
2
( y +1)
+i ⋅
2
i
=
0
(1− iz )2
f
zdz
iz
dz
1
(
)
(
)
=
−
=
³
³
−i
AB
=
1
− 2i
−i
=
(1+ i )
1
2 2
− 2i
+
(1− i )2 =
2i
AB
x 2 dx − y
AB
− y dy + i ³ y dx + x dy . ' > x dx − y dy – 4
2
2
2
2
2
AB
##, 4 4
4 :
³
AB
2
− ³ y 2 dy =
1
3 2
x
3
1
−
2
x 2 dx − y 2 dy = ³ x 2 dx −
1
3 3
y
3
7 26 19
= − =− .
3 3
3
1
$ 4y − 1 x −1
, y = 2 x −1. FE dy = 2dx
$
AB:
=
3 −1 2 −1
2
³
AB
(
)
2
(
)
y 2 dx + x 2 dy = ³ (2 x −1)2 + 2 x 2 dx = ³ 6 x 2 − 4 x + 1 dx =
(
= 2x3 − 2x 2 + x
)
1
2
1
1
=10 − 1 = 9.
9, ³ f ( z )dz = −
AB
19
+ 9i .
3
1+ i
³ zdz .
i
1. # .
$$ #
$ /E
–&:
1+ i
³
i
z2
zdz =
2
1+ i
=
i
(
)
1
(1+ i )2 − i 
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 965 Кб
Теги
sinkevich, funkzii, kompleksnogo
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа