close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Karpov Panin Matem model

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки
Российской федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
В. В. КАРПОВ, А. Н. ПАНИН
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ
ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2013
1
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
УДК 519.6, 624.046, 539.3
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор В. В. Лалин (СПбПУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент Т. В. Рябикова (ПГУПС)
Карпов, В. В.
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций: учеб. пособие / В. В. Карпов, А. Н. Панин;
СПбГАСУ. – СПб., 2013 – 176 с.
ISBN 978-5-9227-0436-6
Приводятся сведения об основных методах и приемах построения математических моделей объектов и примеры построения математических моделей на основе этих принципов. Приводятся математические модели деформирования балок, плит, оболочек при учете различных свойств материала,
алгоритмы исследования их напряженно-деформированного состояния. Рассмотрены примеры расчета элементов строительных конструкций в линейноупругой, нелинейно-упругой постановках и при учете ползучести материала.
Предназначено для магистрантов направления «Строительство».
Ил. 65. Табл. 13. Библиогр. 29 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0436-6
© В. В. Карпов, А. Н. Панин, 2013
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2013
2
ВВЕДЕНИЕ
В середине прошлого столетия с появлением ЭВМ был разработан новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, – вычислительный эксперимент, т. е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики.
Суть вычислительного эксперимента состоит в том, что составляется математическая модель изучаемого процесса или явления,
которая представляет собой некоторые математические уравнения
(алгебраические, дифференциальные, интегральные и другие), затем
разрабатывается вычислительный алгоритм для решения этих уравнений, составляется программа для ЭВМ и проводится расчет конкретных вариантов состояния объекта при изменении входящих в уравнения параметров.
Таким образом, основой изучения различных объектов является построение математической модели их функционирования.
В пособии излагаются основные методы и приемы построения
математических моделей различных объектов и явлений и приводятся конкретные примеры формирования математических моделей на
основе фундаментальных законов природы, вариационных принципов, удобных для вывода уравнений равновесия (движения) элементов строительных конструкций, и других подходов. Приводятся примеры построения математических моделей при проведении натурного эксперимента и в задачах оптимизации. Для магистрантов
направления «Строительство» важным является не только разработка математических моделей деформирования элементов строительных конструкций, но и построение методики исследования напряженно-деформированного состояния таких конструкций, как балка
(стержень), плита (пластина) и оболочка.
Также в пособии изложены методика расчета и примеры расчета элементов строительных конструкций. Отдельная глава пособия
посвящена исследованию пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом таких факторов, как физическая нелинейность и пол3
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
зучесть материала, так как такие конструкции зачастую используются для покрытия большепролетных строительных сооружений.
Главы 1–3 написаны В. В. Карповым, глава 4 – А. Н. Паниным.
Авторы благодарны рецензентам: заведующему кафедрой строительной механики и теории упругости СПбГПУ доктору технических наук, профессору В. В. Лалину и кандидату физико-математических наук, доценту Т. В. Рябиковой (ПГУПС). Авторы признательны Д. В. Холод за помощь при подготовке рукописи к изданию.
4
Глава 1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. Физическое и математическое моделирование
Под моделированием понимается исследование различных
процессов на моделях. Различают физическое и математическое
моделирование. В случае физического моделирования модель
воспроизводит изучаемый процесс с сохранением его физической
природы (продувка моделей самолетов в аэродинамических трубах,
изучение свойств гидротехнических сооружений при помощи макетов
русловых потоков и т. д.). При физическом моделировании отношения
величин в натуре к соответствующим величинам на модели должны
быть постоянными (например, отношения линейных размеров). Эти
отношения называются коэффициентами подобия. Физическое
моделирование имеет ограниченную сферу применения.
Более широкими возможностями обладает математическое
моделирование как метод исследования различных процессов путем
описания их функционирования с помощью математических
соотношений [13, 24]. Таким образом, при изучении процессов
методом математического моделирования в первую очередь
необходимо построить математическое описание изучаемого процесса.
Математическая модель реального процесса есть некоторый
математический объект, поставленный в соответствие данному
физическому процессу, т. е. математическое описание физического
процесса с помощью алгебраических, дифференциальных,
интегральных и других уравнений. Эти уравнения обычно выражают
законы сохранения основных физических величин (энергии,
количества движения, массы и др.) и связывают характеристики
процесса с параметрами соответствующей системы, исходной
информацией и начальными условиями.
После составления математической модели объекта проводится
исследование этой модели, т. е. проводится вычислительный
эксперимент.
5
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
Следует подчеркнуть, что одному и тому же объекту можно
поставить в соответствие не одну математическую модель, а несколько. Исходя из поставленных задач исследования объекта, выбирается наиболее оптимальная математическая модель в смысле сложности
модели и точности воспроизведения поведения объекта.
Сама постановка вопроса о математическом моделировании
какого-либо объекта порождает четкий план действий. Его можно
условно разбить на три этапа: модель – алгоритм – программа (для
ЭВМ) (рис. 1.1).
роды, вариационного принципа, аналогии и т. п.), которому подчиняется объект, и его записи в математической форме. При необходимости используются дополнительные сведения об объекте, также
записываемые математически. Следует иметь в виду, что даже для
простых объектов выбор соответствующего закона отнюдь не тривиальная задача.
4. Завершают формулировку модели такие факторы, как задание сведений о начальном состоянии объекта или иные его характеристики (начальные и краевые условия для полученных уравнений,
значения входящих в уравнение констант и известных функций), без
знания которых невозможно определить поведение объекта. И наконец, формируется цель исследования модели (какие величины, характеризующие поведение объекта, необходимо найти на модели).
5. Построенная модель изучается всеми доступными исследователю методами, в том числе со взаимной проверкой различных
подходов. Анализируется корректность полученных математических
соотношений. Затем подбирается метод решения полученных уравнений, составляющих модель, и производится алгоритмизация задачи. Если решение не удается найти аналитически, то по разработанному алгоритму составляется программа расчета на ЭВМ и проводится сам расчет.
6. В результате исследования модели не только достигается поставленная цель, но и должна быть установлена всеми возможными
способами (сравнением с экспериментом, сопоставлением с другими подходами) ее адекватность – соответствие объекту и сформулированным предположениям. Если модель не отвечает поставленным
требованиям, то необходимо модель видоизменить и улучшить.
Модель
Объект
Программа
Алгоритм
Рис. 1.1. Основные этапы исследования объекта
1.2. Основные этапы процесса построения математической
модели объекта
Выделим основные этапы в процессе построения математической модели объекта.
1. Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. Помимо сведений общего характера о природе объекта и целях его исследования эта стадия может
содержать также некоторые предположения, упрощающие модель
и выделяющие основные характеристики поведения объекта. На этом
этапе как бы формируется физическая модель объекта.
2. Следующий этап – завершение идеализации объекта. Отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными для его поведения. По возможности идеализирующие предположения записываются в математической форме, с тем
чтобы их справедливость поддавалась количественному контролю.
3. После выполнения первых двух этапов можно переходить
к выбору или формулировке закона (фундаментального закона при-
Чтобы реальный физический процесс описать математическими зависимостями, используются разные приемы и методы, исходя
из природы процесса исследования [13, 24]. Пожалуй, основной метод построения математических моделей основан на применении
фундаментальных законов природы, таких как сохранение энергии,
сохранение массы вещества, сохранение импульса, сохранение чис-
6
7
1.3. Основные методы и приемы построения математических
моделей
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
ла частиц и др. Может применяться для построения математических
моделей метод, основанный на вариационных принципах, а также
принцип аналогий, иерархический подход, подход, основанный на
приравнивании к нулю проекций всех силовых факторов (внутренних и внешних) по соответствующим направлениям осей координат.
Изучение некоторых процессов возможно только опытным путем – с помощью проведения эксперимента. При этом для получения
математической модели изучаемого экспериментально процесса используются для обработки полученных экспериментально данных
(случайных величин) и обоснования достоверности найденных величин (средних значений, дисперсии, законов распределения) методы математической статистики, и метод наименьших квадратов – для
получения аналитической зависимости выходного параметра от входных параметров (факторов).
В некоторых случаях (например, при рассмотрении задач оптимизации) достаточно формализовать словесное описание процесса
(записать с помощью математических символов связь известных
и искомых величин, введя буквенные обозначения) и тем самым получить математическую модель изучаемого процесса.
теплопроводными. К ним относятся, например, металлы, в которых
тепловая энергия переносится в основном свободными электронами, некоторые газы и т. п. Процессы передачи тепла рассматриваются в условиях так называемого локального термодинамического равновесия. Понятие локального термодинамического равновесия для
газов вводится при λ << L , т. е. когда длина свободного пробега частиц вещества много меньше характерных размеров рассматриваемого объекта (сплошная среда). Локальное термодинамическое равновесие предусматривает также, что процессы изучаются при временах, бóльших, чем τ (время между столкновениями частиц), и на
размерах, бóльших, чем λ . Тогда в областях вещества, размеры котоарых превосходят величину λ (но много меньше величины L ), устанавливается равновесие и для них можно ввести средние величины
плотности, скорости теплового движения частиц и т. д. Эти локальные величины (разные в разных точках среды) при сформулированных предположениях находятся из равновесного максвелловского
распределения частиц. К ним относится и температура T , определяющая среднюю кинетическую энергию частиц:
1.4. Получение математических моделей на основе
фундаментальных законов природы
1.4.1. Модели, полученные на основе закона
сохранения энергии
Чтобы использовать какие-то законы природы для вывода математической модели объекта или процесса, нужно хорошо представлять эти законы.
Кроме того, необходимы знания из той области, для объектов
которой строится математическая модель. Если, например, хотим
построить описание процесса теплопередачи, то нужно знать, каковы характеристики этого процесса.
Тепловая энергия, или тепло – это энергия хаотического движения атомов или молекул вещества. Обмен теплом между различными участками материала называется теплопередачей, а сами материалы, обладающие хорошо выраженным свойством теплопередачи, –
8
mv 2 3
= kT ,
2
2
где m – масса частицы; v – средняя скорость хаотического движеения; k – постоянная Больцмана.
Связанная с хаотическим движением частиц энергия вещества
(внутренняя энергия) определяется через температуру с помощью
величины удельной теплоемкости с ( ρ , T ) , а именно
∂ε(ρ, T )
, с(ρ, T ) > 0 ,
∂T
где ρ = m ⋅ n – плотность вещества ( n – число частиц в единице объема); ε(ρ, T ) – внутренняя энергия единицы массы.
Другими словами, теплоемкость – это энергия, которую надо
сообщить единице массы вещества, чтобы увеличить его температуру на один градус.
Наиболее простое выражение для теплоемкости получается
в случае идеального газа (газа, частицы которого взаимодействуют
лишь при непосредственном столкновении и, подобно биллиардным
с(ρ, T ) =
9
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
шарам, без потери суммарной кинетической энергии). Теплоемкость
3k
идеального газа не зависит от величин ρ , T и равна
, так как
ак
2m
3k
ε=
T.
2m
В общем случае связь между внутренней энергией и температурой более сложная. Например, помимо кинетической энергии движущихся частиц, внутренняя энергия содержит составляющую, связанную с потенциальной энергией их взаимодействия, зависящей от
среднего расстояния r между ними. Поэтому в теории теплопередачи величины и c являются функциями от ρ и T . Их конкретный
вид определяется свойствами рассматриваемой среды.
Для получения математической модели теплопередачи необходимо, помимо описанных выше понятий, ввести важное понятие
потока тепла. Потоком тепла (или тепловой энергии) в данной точке
называется количество тепла, переносимое в единицу времени через
единичную поверхность, помещенную в данную точку вещества.
Очевидно, что поток тепла – векторная величина. Компонентами
потока W по соответствующим осям будут Wx , W y , Wz . Не вдаваясь
аясь
Выделим в теплопроводной среде элементарный кубик со сторонами dx, dy, dz (рис. 1.2) и приведем подсчет изменения содержащейся в нем тепловой энергии за малый промежуток времени ∆t .
По сделанным предположениям это изменение может быть вызвано
лишь разностью потоков тепла, входящих и выходящих через разные грани кубика. Так, потоки вдоль оси x приводят к уменьшению
или увеличению внутренней энергии объема на величину
[Wx ( x, y, z, t ) − Wx ( x + dx, y, z, t )]dydzdt , где dy ⋅ dz – площадь грани,
перпендикулярной оси x .
в подробности, запишем выражение этих компонент:
∂T
∂T
∂T
, W y = −χ
, Wz = −χ ,
Wx = −χ
∂y
∂x
∂z
ρcλv
где χ =
≥ 0 и называется коэффициентом теплопроводности.
3
Для потока W , в соответствии с законом Фурье, имеем
(1.1)
W = −χgradT .
Итак, закон Фурье гласит: поток тепла пропорционален градиенту температуры.
Применим закон сохранения энергии для математического
описания процесса теплопередачи. Будем считать, что внутренняя
энергия вещества изменяется лишь благодаря механизму теплопроводности, т. е. другие виды энергии полагаем несущественными (например, пренебрегаем изменением внутренней энергии за счет химических реакций или за счет работы сил давления, сжимающих
некоторый объем газа, и т. д.).
10
z
Wy
dz
T ( x, y , z )
T ( x, y + dy, z )
dx
dy
Wx
y
0
Wz
x
Рис. 1.2. Компоненты потока тепла в элементарном
кубике теплопроводной среды
В этой формуле считается, что Wx как функция времени не сильно изменяется за промежуток dt , и можно взять ее значение в момент t . Точно таким же образом вычисляются изменения внутренней энергии по осям y, z :
W y ( x, y, z, t ) − W y ( x, y + dy, z , t ) dxdzdt ;
[
]
[Wz ( x, y, z, t ) − Wz ( x, y, z + dz , t )]dydxdt .
Суммарное изменение энергии ∆E = E (t + ∆t ) − E (t ) есть
∆E = −divWdxdydzdt .
11
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
С другой стороны, величину ∆E можно выразить через изменение температуры объема и через его теплоемкость по формуле
∆E = [T (t + ∆t ) − T (t )]c(ρ, t )ρdxdydz , в которой из-за малости объема берутся некоторые средние по нему значения температуры и плотности.
Приравнивая друг другу два последних выражения и устремляя dt к нулю, получим общее уравнение, описывающее распространение тепла,
χ
называется коэффициентом температуропроводности.
C
Для уравнения (1.3) не трудно выписать общее решение.
В однородном случае (температура зависит лишь от t и x ) из
(1.2) получим
∂T
= div(χgradT ) ,
∂t
имеющее в развернутом виде вид
C
∂T ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T 
C
= χ  + χ  + χ ,
∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T 
χ  + χ  + χ  = 0,
∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
а если функции c, χ не зависят от температуры, то (1.2) становится
линейным параболическим уравнением, которое в случае однородной среды ( χ, c, ρ не зависят от x, y, z ) принимает вид
12
∂T
∂  ∂T 
= χ .
(1.4)
∂t ∂x  ∂x 
Уравнение (1.4) сводится к уравнению типа нелинейной теплопроводности
C
∂U ∂ 
∂U 
=  k (U )

∂t ∂x 
∂x 
(1.2)
где C = ρc .
Уравнение (1.2) – нестационарное, трехмерное уравнение параболического типа. Оно неоднородное, так как теплоемкость, коэффициент теплопроводности и плотность могут быть, вообще говоря,
разными в разных точках вещества, и нелинейное, поскольку функции с и χ могут зависеть от температуры T .
Если к уравнению (1.2) добавить начальные и краевые условия,
соответствующие рассматриваемой задаче описания процесса теплопередачи, то получим искомую математическую модель процесса.
Рассмотрим в начале некоторые частные случаи уравнения (1.2).
При дополнительных предположениях о характере процесса теплопередачи уравнение (1.2) можно упростить. Так, если процесс стационарный, т. е. температура не зависит от времени, то (1.2) превращается в уравнение эллиптического типа
∂T
= k 0 ∆T ,
∂t
где k 0 =
(1.3)
(1.5)
∂C
∂χ
≡ 0,
≡ 0.
∂x
∂x
Наконец, если χ = χ 0 , C = c0 , где χ 0 ,c0 – постоянные, то из (1.5)
получается уравнение теплопроводности – простейшее уравнение
параболического типа
при допущении, что
∂U
∂ 2U
= k0 2 .
(1.6)
∂t
∂x
Из уравнения (1.2) можно получить различные обобщения, соответствующие более сложным, чем рассмотренные выше, механизмам теплопередачи. Так для неизотопной среды (т. е. когда коэффициенты теплопроводности разные по разным направлениям) с энерговыделением, вместо (1.2) имеем
C
∂T ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T 
 + χz
= χx
+
 + χ y
∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
+ f ( x, y , z , t , T ) ,
(1.7)
где χ x , χ y , χ z – коэффициенты в законе Фурье (1.1) по осям x , y , z ;
функция f – мощность выделения (или поглощения) энергии.
Все полученные в данном пункте уравнения выведены с помощью фундаментального закона сохранения энергии и закона Фурье.
Вместе с заданными функциями χ, c, ρ начальными и краевыми ус13
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
ловиями они представляют собой замкнутые математические модели процесса теплопередачи.
Рассмотрим типичные краевые условия для процесса теплопроводности. Для простоты будем рассматривать одномерные процессы
теплопроводности. Они имеют место, например, в длинном и тонком металлическом стержне (рис. 1.3), нагреваемом с одного из торцов, при условии, что стержень изотропен, его начальная температура в любом поперечном сечении не зависит от y, z, а потерями тепла
с боковой поверхности можно пренебречь (в частности, она может
быть теплоизолирована).
Если же на концах стержня задаются вместо (1.10) потоки тепла как функции времени (другие краевые условия):
T (0, t )
T (l , t )
T ( x, t )
0
l
x
Рис. 1.3. Металлический стержень, нагреваемый с одного из торцов
Будем считать также, что теплоемкость стержня постоянна. Тогль
да температура зависит только от x и t , и ее распределение вдоль
стержня в различные моменты времени описывается уравнением
∂T ∂ 
∂T 
=  k (T ) ,
∂t ∂x 
∂x 
(1.8)
справедливым при 0 < x < l , t > 0 .
Для определения функции T ( x , t ) , т. е. решения уравнения
(1.8), достаточно задать начальную температуру стержня (начальные
условия по переменной t ):
(1.9)
T ( x , 0 ) = T 0 ( x ), 0 ≤ x ≤ l
и знать температуру на концах стержня в любой момент времени (краевые условия по переменной x ):
(1.10)
T ( 0 , t ) = T 1 ( t ) , T ( l , t ) = T 2 ( t ) , t > 0.
Задача (1.8)–(1.10) называется первой краевой задачей для параболического уравнения (1.8) на отрезке x ∈ [ 0 , l ] .
14
− k [ T ( 0 , t )]
∂T
∂x
x=0
= W 1 ( t ),
(1.11)
k [ T ( l , t )]
∂T
∂x
x =l
= W 2 ( t ), t > 0,
то такая задача называется второй краевой задачей на отрезке [ 0 , l ] .
Могут быть заданы и другие краевые условия.
Для многомерных уравнений теплопроводности постановка
краевых условий по сравнению с одномерным случаем существенно
не меняется: на границах области задаются либо температура, либо
поток тепла, либо какие-то более сложные их комбинации. Кроме
того, задается начальное распределение температуры в момент t = 0
(начальное условие).
В случае стационарного уравнения теплопроводности задаются только краевые условия.
1.4.2. Модели, получаемые совместным применением
нескольких фундаментальных законов
Для построения математической модели, описывающей течение несжимаемого газа, используются законы сохранения массы,
импульса, энергии.
Рассмотрим некоторые понятия газовой динамики. Заметное
изменение плотностей жидкостей и твердых тел может достигаться
лишь при огромных давлениях в десятки и сотни тысяч атмосфер
и выше.
Газообразные среды гораздо легче подвергаются сжатию: при
перепаде давления в одну атмосферу плотность газа, первоначально
находящегося при атмосферном давлении, уменьшается или увеличивается на величину, сопоставимую с ее начальной плотностью.
В газовой динамике, изучающей движение сжимаемых сред под
действием каких-либо внешних сил или сил давления самого вещества, считается выполненным неравенство λ << L , где λ – длина своо15
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
бодного пробега, L – характерные размеры области рассматриваемого течения (сплошная среда). Считается также выполненной гипотеза о локальном термодинамическом равновесии (см. 1.4.1).
В условиях локального термодинамического равновесия сжимаемую
среду можно рассматривать как совокупность большого числа жидких частиц с размерами, много большими λ , но много меньшими L .
Для каждой такой частицы, связанной с небольшой фиксированной
массой среды, вводятся характеризующие ее средние величины –
плотность ρ , давление P , температура T , внутренняя энергия ε
и т. д., а также скорость v ее макроскопического движения как единого целого. Все эти величины в общем случае зависят от трех пространственных координат x, y, z и времени t .
В дальнейшем будем также предполагать отсутствие в среде
процессов теплопередачи, вязкого трения, источников и стоков энергии, например, излучения, и отсутствие внешних объемных сил
и источников (стоков) массы в веществе.
Получим уравнения неразрывности (сплошности) для сжимаемого газа. Рассмотрим в некоторой области пространства, занятой
движущимся газом, элементарный кубик со сторонами dx, dy, dz
и подсчитаем в нем баланс массы за время dt (рис. 1.4).
Здесь v x , v y , v z – компоненты скорости по соответствующим
осям.
По оси x через грань с координатой x в кубик за время dt поступает масса газа, равная ρv x dydzdt , поскольку величина ρv x не что
о
иное как поток массы по направлению оси x . За то же самое время
из грани с координатой x + dx вытекает масса [ρv x + d (ρv x )]dydzdt ,
z
ρv z
где через d (ρv x ) обозначено приращение потока массы при переходе от координаты x к координате x + dx . Суммируя оба последних
выражения и учитывая, что
∂
d (ρv x ) = (ρv x )dx ,
∂x
получаем величину изменения массы в кубике за время dt благодаря
движению газа вдоль оси x :
∂
(ρv x )dxdydzdt .
∂x
Точно таким же образом находим изменение массы за счет движения по осям y, z :
dm x = −
dm y = −
∂
(ρv y )dxdydzdt ,
∂y
∂
(ρv z )dxdydzdt .
∂z
В фиксированном объеме кубика изменение находящейся в нем
массы газа выражается также через изменение его плотности со временем:
∂ρ
dm = dtdxdydz .
∂t
Суммируя dm x , dm y , dm z и приравнивая результат к dm , получим искомое уравнение неразрывности
dm z = −
dz
ρv y
dy
dx
ρv x
y
0
x
Рис. 1.4. Элементарный кубик с движущимся газом
16
∂ρ
+ div ρv = 0 ,
(1.12)
∂t
выражающее закон сохранения массы вещества применительно
к движению сжимаемого газа.
17
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
Теперь получим уравнения движения газа. Для этого применим
второй закон Ньютона к элементарной жидкой частице, имеющей
в некоторый момент t форму кубика с гранями dx, dy , dz (рис. 1.5).
Заменяя в первом выражении для Fy (1.13) разность давлений
через производную от давления по y и приравнивая его к (1.14), приходим к уравнению, описывающему движение газа вдоль оси y :
dv y
∂P
ρ
=− .
(1.15)
∂y
dt
Точно так получим уравнения движения по направлениям x, z :
z
t + dt
P ( y + dy )
t
P( y )
ρ
dz
dx
dy
x
Рис. 1.5. Перемещающаяся в пространстве жидкая частица,
имеющая объем кубика
Жидкая частица – это перемещающийся в пространстве и меняющий свою форму объем, содержащий в разные моменты времени t одни и те же атомы и молекулы газа. Тем самым его масса dm
постоянна. Для простоты вывода уравнений будем считать, что за
короткое время dt кубик не меняет своей формы и смещается по всем
направлениям на расстояние, много меньшее его размерам.
Определим сначала силу, действующую на кубик, например,
в направлении оси y . Она, очевидно, равна разности давлений на
левой и правой гранях, умноженной на их площади (иных сил по
предположению нет):
Fy = [ P ( x, y, z , t ) − P ( x, y + dy , z , t )] dxdz .
(1.13)
Сила Fy равна ускорению жидкой частицы в направлении y ,
умноженному на ее массу dm = ρdxdydz :
Fy =
dv y
dt
ρdxdydz .
18
dv z
∂P
=− .
(1.16)
dt
∂z
В векторной форме уравнения (1.15), (1.16) имеют вид
dv
ρ = −gradP.
(1.17)
dt
df
Поясним, что в (1.15)–(1.17) через
обозначена полная (субdt
станционная, т. е. связанная с фиксированными частицами газа) производная по времени какой-либо величины, характеризующей данную неизменную массу газа.
ρ
y
0
dv x
∂P
=− ;
dt
∂x
Раскрыв
df
через частные производные по x и t в соответетdt
ствии с правилом
ния Эйлера:
1
∂v
+ (v grad )v = − gradP .
∂t
ρ
Будучи записаны покоординатно, они принимают вид
(1.18)
1 ∂P
∂v x
∂v
∂v
∂v
+ vx x + v y x + vz x = −
;
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂v y
∂t
(1.14)
df ∂f
= + (v grad ) f , придем к уравнениям движеdt ∂t
+ vx
∂v y
∂x
+ vy
∂v y
∂y
+ vz
∂v y
∂z
=−
1 ∂P
;
ρ ∂y
1 ∂P
∂v z
∂v
∂v
∂v
+ v x z + v y z + vz z = −
.
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂z
19
(1.19)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
Уравнения (1.12), (1.19) содержат пять неизвестных величин –
ρ, P, v x , v y , v z . Недостающее уравнение получим из уравнения энер-
С помощью уравнения неразрывности (1.12) и движения (1.18)
уравнение (1.20) приводится к дивергентному виду
гии, используя закон сохранения энергии. Будем рассматривать изменение внутренней энергии фиксированной массы газа dm за короткий промежуток времени dt . Так как по сделанным допущениям
в веществе отсутствует теплопроводность, вязкость и источники (стоки) энергии, то это изменение вызывается лишь работой сил давления на гранях кубика при его сжатии или растяжении.
Работа давления, связанная с движением грани объема вдоль
оси x , очевидно, равна
dAx = P[v x ( x) − v x ( x + dx)]dtdydz ,
где слагаемые в скобках можно, отбрасывая члены второго порядка
малости, переписать через производную
∂v x
и получить
∂x
∂v x
dxdydzdt.
∂x
Здесь P – среднее давление в элементарном объеме.
Аналогично,
∂v y
dAy = − P
dxdydzdt ;
∂y
dAx = − P
  v2 

∂
ρv 2 
 ρε +
 = −div ρv  ε +  + Pv  .




∂t 
2 
2
 

Слева в (1.21) стоит производная от полной (внутренней и кинетической) энергии газа в данной точке пространства.
Так как термодинамические свойства вещества предполагаются
известными, то ε – известная функция уже введенных величин P и ρ .
Таким образом, для определения пяти неизвестных –
ρ, P, v x , v y , v z получили пять уравнений (1.12), (1.19), (1.21). Для их
решения необходимо задать еще начальные и краевые условия.
Наиболее наглядна постановка этих условий в случае одномерного течения газа. Рассмотрим такое течение в трубе, внутри которой помещен газ, ограниченный справа и слева непроницаемыми
твердыми стенками-поршнями (рис. 1.6).
v0 (m ), ρ 0 (m ),
P0 (m )
v(0, t )
∂v z
dxdydzdt.
∂z
Полная работа, совершаемая над газом за время dt , будет
dA = − Pdiv v dxdydzdt .
Она равна изменению внутренней энергии объема, т. е.
dA = ρ dεdxdydz , где ε – удельная внутренняя энергия.
(1.21)
dAz = − P
P (M , t )
M
0
m
Рис. 1.6. Течение газа внутри трубы
dε
– полная (субстанционная) производная внутренней энергии
dt
по времени.
Частицам, находящимся у левой стенки, припишем координату
m = 0 ; тогда координата частиц у правой стенки равна m = M ,
о
где M – полная масса газа между поршнями в столбце единичного
сечения. Внутренние частицы имеют координату 0 < m < M . Для определения течения при всех 0 < m < M и t > 0 необходимо задать:
1) начальные условия, т. е. состояние газа в момент t = 0 :
(1.22)
v(m,0) = v0 (m), P(m,0) = P0 (m), ρ(m,0) = ρ0 (m),
0<m<M ;
20
21
Приравняв оба выражения для dA и устремив к нулю dt , окончательно получим
ρ
dε
+ Pdivv = 0 ,
dt
где
(1.20)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
2) граничные условия, т. е. зависимость от времени газодинамических величин на гранях m = 0, m = M , например закон изменения давления
(1.23)
P (0, t ) = P1 (t ), P( M , t ) = P2 (t ), t > 0 ,
или закон изменения скорости поршней (т. е. их траекторию)
v(0, t ) = v1 (t ), v( M , t ) = v2 (t ), t > 0 .
Могут быть и другие граничные условия.
1. Пластина допускает малые прогибы, поэтому соотношения
между деформациями и перемещениями (геометрические соотношения) будут линейными.
2. Справедлива гипотеза прямой нормали, согласно которой
первоначально прямолинейный и нормальный к срединной поверхности элемент остается при деформировании пластины прямолинейным и нормальным. При этом перемещения в слое, отстоящем на z
от срединной поверхности, имеют вид
∂W
∂W
U z =U − z
, V z =V − z
, W z =W,
∂x
∂y
где U , V , W – перемещения точек срединной поверхности вдоль координат x, y, z .
h 1 
3. Для тонких пластин  <  пренебрегаем вертикальными
 a 20 
напряжениями σ z = 0 .
4. Будем считать, что в пластине под действием нагрузки возникают только изгибные деформации.
5. Материал пластины изотропный и упругий (связь между напряжениями и деформациями линейная). Основные соотношения
деформирования пластины состоят из геометрических и физических
соотношений и функционала полной энергии деформации.
При введенных предположениях геометрические соотношения
в срединной поверхности будут иметь вид (связь между деформациями и перемещениями)
∂U
∂V
∂U ∂V
εx =
+
, εy =
, γ xy =
;
(1.24)
∂x
∂y
∂y ∂x
в плоскости, отстоящей на z от срединной поверхности,
Таким образом, найденные уравнения вместе с начальными
и краевыми условиями определяют математическую модель, описывающую течение сжимаемого газа.
1.5. Построение математических моделей на основе
применения вариационных принципов
Суть построения математических моделей на основе вариационных принципов состоит в построении функционала полной энергии изменения (например деформации, для механических систем)
изучаемого процесса и минимизации этого функционала, т. е. нахождения уравнений Эйлера для этого функционала.
Рассмотрим этот прием на примере вывода уравнений равновесия пластины толщиной h , находящейся под действием поперечной
нагрузки q ( x, y ) (рис. 1.7).
y
x
b
a
∂ 2W z
∂ 2W
∂ 2W
z
,
,
2
.
ε
=
ε
−
z
γ
=
γ
−
z
y
y
xy
xy
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
Физические соотношения согласно закону Гука принимают вид
ε zx = ε x − z
z
Рис. 1.7. Пластина постоянной толщины
Срединную поверхность (плоскость) пластины примем за координатную и сведем трехмерную задачу к двумерной относительно
деформации срединной поверхности, введя следующие ограничения:
22
σx =
(
)
(
)
E
E
ε zx + µε zy , σ y =
ε zy + µε zx ,
2
2
1− µ
1− µ
τ xy =
E
γ zxy ,
2(1 + µ)
23
(1.25)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
а с учетом ограничения 4 (учитываются только изгибные деформации)
∂ 2W 
Ez  ∂ 2W
∂ 2W 
Ez  ∂ 2W
,

, σ y = −

+
µ
σx = −
+
µ
1 − µ 2  ∂x 2
1 − µ 2  ∂y 2
∂x 2 
∂y 2 
изводных искомой функции прогиба W ( x, y ) . Применяя интегрирование по частям, вариационное уравнение приведем к виду:
Ez ∂ 2W
.
(1 + µ) ∂x∂y
Функционал полной энергии деформации пластины с учетом
предположения 2 и 4 принимает вид:
2
ab 2

∂ 2 M xy
∂ Mx ∂ My
− ∫ ∫
+
+
2
+ q δWdxdy +
2
2


∂x∂y
∂y
0 0  ∂x

τ xy = −

∂ 2W
∂ 2W
∂ 2W
1 ab
+
+ 2qW  dxdy . (1.26)
Э = − ∫ ∫  M x 2 + M y
2
M
xy
2
∂x∂y
2 0 0
∂x
∂y

Здесь
Mx =
h
2
∫ zσ x dz = −
h
−
2
∂ 2W 
Eh 3  ∂ 2W

;
+
µ
∂y 2 
12(1 − µ 2 )  ∂x 2
ab
b
∂ 2W
∂W
∫ ∫ M x δ ∂x 2 dxdy = ∫ M x δ ∂x
00
0
3
 ∂ 2W
∂ 2W 
Eh

;
+
µ
M y = ∫ zσ y dz = −
2 
2
2 
−
µ
∂
∂
12
(
1
)
y
x
h


−
(1.27)
h
2
∫ zτ xy dz = −
−
h
2
00
Eh 3 ∂ 2W
.
12(1 + µ) ∂x∂y
y =b
∂W
= ∫ M yδ
∂y
0
ab
∫ ∫ M xy δ

∂ 2W
+ 2 M xy δ
+ qδW dxdy = 0.
∂x∂y

= M xy δW
00
(1.28)
Теперь вариационное уравнение δЭ = 0 нужно преобразовать
так, чтобы под знаком двойного интеграла не было вариаций от про24
a ∂M
−∫
0
xy
∂x
x =a
x =0
dy − ∫
y =b
y =0
a
dy − ∫
∂M y
0
∂y
x =0
y =0
x =0
dy +
δW
x = a y =b b
−∫
∂M xy
x =0 y =0 0
∂y
y =b
ab
δW
y =0
dx + ∫ ∫
00
δW
∂x∂y
∂M x ∂W
δ
dxdy =
∂x
0 0 ∂x
dy − ∫ ∫
ab
dy + ∫ ∫
x =0
∂x 2
δWdxdy ;
∂M y ∂W
δ
dxdy =
∂y
0 0 ∂y
ab
dx − ∫ ∫
x =a
x =0
ab
dx + ∫ ∫
00
dy −
∂2M y
∂y 2
δWdxdy ;
∂M xy ∂W
δ
dxdy =
∂y
0 0 ∂x
ab
dy − ∫ ∫
δWdxdy ;
25
∂ 2M x
00
y =0
x =a
∂ 2 M xy
ab
y =b
b
∂ 2W
∂W
dxdy = ∫ M xy δ
∂x∂y
∂y
0

∂ 2W
∂ 2W
δЭ = − ∫ ∫  M x δ 2 + M y δ 2 +
∂x
∂y
0 0
ab
b
a
∂ 2W
∂W
dxdy
=
M yδ
∫
2
∂y
∂y
0
∂W
∂x
a
На основе вариационного принципа Лагранжа (принципа возможных перемещений) первая вариация функционала (1.26) равна нулю
x =0
x=a
0
∫ ∫ M yδ
x=a
∂M x
δW
∂x
0
= ∫ M xδ
ab
2
x =a
a
x = a y =b
 ∂M y ∂M xy 
∂W  y =b
δW − M y δ
+ ∫ 
+
dx − 2 M xy
= 0. (1.29)

∂x 
∂y  y =0
x =0 y =0
0  ∂y
Суть преобразований вариационного уравнения (1.28) заключается в следующем
b
h
2
M xy =
b
 ∂M x ∂M xy 
∂W 
δW − M x δ
+ ∫ 
+

∂y 
∂x 
0  ∂x
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
ab
∫ ∫ M xy δ
00
a
∂ 2W
∂W
dxdy = ∫ M xy δ
∂x∂y
∂x
0
= M xy δW
b
−∫
0
∂M xy
∂y
x = a y =b a ∂M
−∫
x =0 y =0 0
δW
x =a
x =0
xy
∂x
δW
a b ∂2M
dy + ∫ ∫
00
y =b
y =0
xy
∂x∂y
y =b
y =0
∂M xy ∂W
δ
dxdy =
∂x
0 0 ∂y
ab
dx − ∫ ∫
dx −
δWdxdy .
Из вариационного уравнения (1.29) на основе основной леммы
вариационного исчисления получаем уравнение равновесия
2
∂ 2 M xy
∂2M x ∂ M y
+
+
2
+q =0
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
(1.30)
и краевые условия на контуре пластины:
при x = 0, x = a
∂M xy
∂M x
+2
= 0 или W = 0 ;
∂x
∂y
M x = 0 или
(1.31)
∂W
= 0;
∂x
при y = 0, y = b
∂M y
∂y
+2
∂M xy
∂x
= 0 или W = 0 ;
(1.32)
∂W
= 0.
∂y
Если в уравнение (1.30) подставить выражение моментов через
прогиб W (1.27), то получим уравнение
M y = 0 или
 ∂ 4W
∂ 4W
∂ 4W 
D 4 + 2 2 2 + 4  = q ,
∂y 
∂x ∂y
 ∂x
где D =
Eh 3
.
12(1 − µ 2 )
26
(1.33)
Глава 1. Основы математического моделирования
Таким образом, моделью деформирования пластины малого
прогиба, при условии, что она испытывает только изгибные деформации, будет дифференциальное уравнение (1.33) с соответствующими краевыми условиями, которые выводятся из (1.31), (1.32).
Например, если пластина по краю жестко закреплена, то
W = 0,
∂W
= 0 при x = 0, x = a ;
∂x
W = 0,
∂W
= 0 при y = 0, y = b .
∂y
1.6. Построение математической модели механических систем
на основе приравнивания нулю суммы проекций силовых
факторов по осям координат
Получим математическую модель деформирования трехмерного тела, находящегося под действием объемных и поверхностных сил.
Обозначим проекции объемной силы, приходящейся на единицу объема тела, через X , Y , Z , а составляющие поверхностной силы,
отнесенной к единице площади тела, через X , Y , Z .
Рассмотрим равновесие элементарного параллелепипеда, вырезанного из тела, находящегося в напряженном состоянии под действием внешних нагрузок (рис. 1.8).
Размеры ребер параллелепипеда dx, dy, dz . Учитывая допущение о сплошности и однородности материала, можно полагать, что
и напряжения внутри тела от одной точки к другой будут изменяться
непрерывно. Если на гранях параллелепипеда, совпадающих
с координатными плоскостями, будут действовать напряжения
σ x , σ y , σ z , τ xy , τ xz , τ yz , то на грани, отстоящей на расстоянии dx отт
координатной плоскости z0 y , будут действовать напряжения
∂τ yx
∂σ x
∂τ
dx, τ yx +
dx, τ zx + zx dx,
∂x
∂x
∂x
на грани, отстоящей на расстоянии dy от координатной плоскости
z0 x , напряжения
σx +
27
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
σy +
∂σ y
dy, τ xy +
∂τ xy
dy , τ zy +
∂τ zy
dy
∂y
∂y
∂y
и, наконец, на грани, отстоящей на расстоянии dz от координатной
плоскости x0 y , напряжения будут
∂τ yz
∂τ xz
∂σ z
σz +
dz , τ xz +
dz , τ yz +
dz .
∂z
∂z
∂z
z
dz
∂σ z
dz
∂z ∂τ yz
dz
τ yz +
∂z
∂τ zy
∂τ
dy
τ zy +
τ xz + xz dz
∂y
∂z
∂σ y
dy
σy +
∂y
dy
0
∂τ xy
∂τ zx
dy
y
dx τ xy +
τ zx +
∂y
∂x
∂τ yx
dx
τ yx +
∂x
∂σ x
dx
σx +
∂x
σz +
dx
Глава 1. Основы математического моделирования
Аналогично можно получить сумму проекций всех сил на оси
0y и 0z. После сокращения на общий множитель получим следующую систему дифференциальных уравнений равновесия:
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz
+
+
+ X = 0;
∂x
∂y
∂z
∂τ yx ∂σ y ∂τ yz
+
+
+Y = 0;
∂x
∂y
∂z
∂τ zx ∂τ zy ∂σ z
+
+
+ Z = 0.
(1.34)
∂x
∂y
∂z
Условия равновесия моментов относительно 0x, 0y, 0z для выделенного элементарного параллелепипеда приводят к соотношениям τ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy – закону парности касательных напряжений. Поэтому в уравнениях (1.34) не девять, а шесть независимых составляющих, характеризующих напряженное состояние
в точке тела. Условия равновесия дают три дифференциальных уравнения для определения шести неизвестных составляющих напряжений как функций координат точки.
Можно напряжения выразить через перемещения u , v, w и тогда относительно перемещений будет достаточно уравнений.
Связь между деформациями и перемещениями имеет вид
εx =
x
Рис. 1.8. Равновесие элементарного параллелепипеда, находящегося
в напряженном состоянии
Для твердого тела можно записать шесть уравнений равновесия: три уравнения – условия равновесия сил, действующих в направлении трех осей координат 0x, 0y, 0z, и три условия равновесия
моментов относительно этих осей.
Проектируя все силы на ось 0x, будем иметь
∂τ xy 

∂σ
∂τ




dy dxdz +  τ xz + xz dz dxdy −
 σ x + x dx dydz +  τ xy +
∂
x
∂
y
∂
z






− σ x dydz − τ xy dxdz − τ xz dxdy + Xdxdydz = 0 .
28
∂u
, ε
∂x
y
=
∂v
∂w
,εz =
,γ
∂y
∂z
xy
=
∂u ∂v
+ ,
∂y ∂x
∂u ∂w
∂v ∂w
+
, γ yz = +
,
∂z ∂x
∂z ∂y
а связь между напряжениями и деформациями для изотропного тела –
σ x = 2Gε x + λ∆ , τ xy = Gγ xy ,
γ
xz
=
σ y = 2Gε y + λ∆ , τ yz = Gγ yz ,
σ z = 2Gε z + λ∆ , τ zx = Gγ zx ,
E
2µG
; ∆ = εx + ε y + εz; λ =
; E , µ – модуль упруго2(1 + µ)
1 − 2µ
сти и коэффициент Пуассона материала тела.
где G =
29
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
К уравнениям равновесия (1.34) необходимо добавить краевые
условия, которые выражают условия равновесия на поверхности тела,
и принимают вид
σ x l + τ xy m + τ xz n − X = 0 ,
3. Определение аналитической зависимости выходного параметра y от входных параметров x1 , x2 ,..., xk
τ yx l + σ y m + τ yz n − Y = 0 ,
τ zx l + τ zy m + σ z n − Z = 0 ,
где l , m , n – направляющие косинусы нормали, проведенной к площадке поверхности тела.
1.7. Математические модели, получаемые при
экспериментальном исследовании процесса
Во многих областях науки и техники исследование того или
иного явления или процесса возможно только эмпирически, т. е.
с помощью опыта или эксперимента.
Результатом эксперимента является получение числовых значений выходного параметра y в зависимости от конкретных значений входных параметров (факторов) x1 , x2 ,..., xk . При этом изначально внутренняя структура функционирования процесса неизвестна.
Входные и выходные параметры по своей природе величины
случайные. Следовательно, при обработке экспериментальных данных нужно пользоваться методами математической статистики.
В результате проведения эксперимента возникают следующие
основные задачи:
1. Первичная статистическая обработка результатов эксперимента. Для этого определяются среднее значение выходного параметра при многократном повторении одного и того же набора входных параметров и разброс вокруг этого среднего значения, т. е. дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
2. Обоснование точности полученных экспериментальных данных, в том числе средних значений выходного параметра и среднеквадратичных отклонений, а также числа повторений наборов входных параметров. Для этого используется доверительный интервал
и критерии согласия.
30
y = f ( x1 , x2 ,..., xk ) ,
т. е. математической модели изучаемого процесса. Эта аналитическая зависимость называется функцией отклика. Для этого может быть
применен метод наименьших квадратов.
4. Планирование эксперимента, т. е. выбор наилучшего эксперимента с позиций затрат материальных ресурсов и точности описания процесса.
Кроме того, может оказаться, что некоторые входные параметры мало влияют на выходной параметр и их можно исключить из
рассмотрения. Выяснить, зависимы ли случайные величины y и xi ,
можно если определить коорреляционную зависимость между этими случайными величинами и оценить, например, коэффициент корреляции между величинами y и xi .
Итак, в результате проведения эксперимента получена табл. 1.1
значений y в зависимости от значения входного параметра x (пусть
будет один входной параметр).
Таблица 1.1
Зависимость y от xi , полученная в эксперименте
x
y
x1
y1
x2
y2
…
…
xm
ym
Считается, что проведена первичная статистическая обработка
результатов эксперимента, т. е. каждое значение xi входного параметра x повторялось ni раз и получены значения yi1 , yi 2 , ..., yini .
ni
∑ yik
За yi взято значение yi = k =1
ni
.
Кроме того, найдено среднеквадратическое отклонение σi . Теперь необходимо оценить найденные значения yi и σi , используя,
я,
например, критерии согласия.
31
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
Чтобы найти аналитическую зависимость y = f (x) , применяется метод наименьших квадратов. Функция y = f (x) должна отражать в основном характер экспериментальной зависимости (это не
интерполяционный многочлен). Эту функцию называют еще сглаживающей. Возьмем функцию y = f (x) в виде линейной комбинации неизвестных числовых параметров ci и некоторых линейно-независимых функций ϕi (x)
и σ , можно записать закон распределения вероятностей случайной
величины y в виде
n
y = ∑ ci ϕi ( x) .
i =1
(1.35)
В качестве функций ϕi (x) могут быть степенные функции x i .
Исходя из метода наименьших квадратов, неизвестные числовые параметры ci находятся из условия, чтобы сумма квадратов отклонений опытных значений функции y от значений сглаживающей
функции (1.35) при одинаковом значении x была бы минимальной:
2
m
n


S = ∑  y k − ∑ ci ϕi ( x k )  → min .

k 1=i 1
=
Функция S является функцией n параметров c1 , c2 ,, cn . Необходимые условия экстремума функции S имеют вид
∂S
= 0 ( j = 1, 2,, n ) .
∂c j
В результате получим
m 
n

∂S
= −2∑  y k − ∑ ci ϕ i ( xk ) ϕ j ( xk ) = 0 .
∂с j=k 1=i 1

(1.36)
Получили для определения ci систему линейных алгебраических уравнений, которая может быть решена методом Гаусса.
Может оказаться, что для найденных значений случайной величины y необходимо определить закон распределения вероятностей.
Если заранее известно, что случайная величина y распределена по
нормальному закону, то, найдя (см. табл. 1.1)
m
M [ y] = a =
∑ yk
k =1
m
32
( y −a ) 2
−
1
2
f ( y) =
e 2σ .
σ 2π
Используя критерии согласия, можно проверить справедливость
гипотезы о том, что случайная величина y распределена по нормальному закону.
1.8. Математические модели задач оптимизации
Экономическое планирование, управление, распределение ограниченных ресурсов, анализ производственных процессов, проектирование сложных объектов всегда должны быть направлены на
поиск наилучшего варианта с точки зрения намеченной цели, т. е.
приводят к задачам оптимизации.
Впервые (в 1930 году) математическая постановка таких задач
была осуществлена российским экономистом А. Н. Толстым в виде
предложения по составлению такого плана перевозок грузов между
пунктами, чтобы общий пробег транспорта был наименьшим.
Рассмотрим некоторые задачи выбора наилучшего решения (оптимизации) и перейдем от содержательной постановки задачи к математической формализации (математической модели).
Задача 1 (транспортная задача)
В городе имеется 2 бетонных завода. Первый выпускает в день
400 т бетона, а второй – 560 т. Бетон с этих заводов отправляется на
4 стройплощадки. На первую стройплощадку поступает в день 220 т
бетона, на вторую – 200 т, на третью – 180 т, на четвертую – 360 т.
Стоимость перевозки одной тонны бетона с каждого завода на каждую стройплощадку известна. Требуется так организовать перевозку бетона с заводов на стройплощадки, чтобы суммарная стоимость
всех перевозок была минимальной.
От содержательной постановки задачи перейдем к математической. Если через сij обозначить стоимость перевозки одной тонны
бетона с i -го завода на j -ю стройплощадку (это известные величи33
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
ны), а через xij – количество тонн бетона, которое нужно перевезти с
i -го завода на j-ю стройплощадку (это искомые величины), то стоимость всех перевозок будет выражаться функцией
Задача 2
Найти оптимальную массу плоской фермы при выполнении условий прочности (рис. 1.9).
2
(1.37)
=i 1 =j 1
Необходимо найти минимум этой функции, но xij не независимы, они связаны между собой следующими ограничениями. С первого завода вывозится 400 т бетона, следовательно,
4
∑ x1 j = 400 .
j =1
Со второго завода выводится 560 т бетона, следовательно,
4
∑ x2 j = 560 .
j =1
На первую стройплощадку завозится 220 т бетона, следовательно,
2
∑ xi1 = 220 .
i =1
Аналогично можно записать для остальных стройплощадок
2
2
2
i =1
i =1
i =1
∑ xi 2 = 200, ∑ xi3 = 180, ∑ xi 4 = 360.
Таким образом xij должны удовлетворять следующей системе
ограничений:
4
4
2
j =1
j =1
i =1
∑ x1 j = 400 , ∑ x2 j = 560 , ∑ xi1 = 220 ,
2
∑ x i 2 = 200 ,
i =1
F
4
f = ∑∑ cij xij .
2
∑ x i 3 = 180 ,
i =1
2
∑ xi 4
i =1
= 360.
(1.38)
1
2
B
4
3
C
2
D
2
Рис. 1.9. Статически неопределимая стержневая система:
1–4 – стержни
Статически неопределимая шарнирно-стержневая система (ферма) нагружена силой F .
Необходимо выбрать площади поперечных сечений Ai таким
образом, чтобы общая масса M фермы была минимальной:
Длина стержней l , м, известна:
l1 = 6,3246; l2 = 6,03; l3 = 12; l4 = 2,6; BC = 2; CD = 0,6 .
Масса фермы определяется формулой
(1.39)
M = ρ(12,6492 A1 + 12,06 A2 + 12 A3 + 2,6 A4 ),
где ρ – удельный вес материала стержней.
Выражение (1.39) – функция цели, минимум которой нужно
найти.
Систему ограничений составим из условий прочности. Требуется, чтобы во всех стержнях фермы напряжения не превосходили
по абсолютной величине расчетного сопротивления материала стержней R (одинакового на растяжение и сжатие), т. е.
Ni
≤ R.
Ai
К этим ограничениям необходимо добавить еще xij ≥ 0 (так как
обратно бетон со стройплощадок на заводы не увозится).
Математически задача ставится так: найти минимум функции
(1.37) при условии, что ее аргументы удовлетворяют системе уравнений (1.38).
Следовательно, система ограничений представляется в виде двух
неравенств:
(1.40)
N i + RAi ≥ 0 , − N i + RAi ≥ 0 ,
где N i – усилия в стержнях фермы.
34
35
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Первое неравенство (1.40) означает, что стержень работает на
сжатие, второе – на растяжение. Так как стержни 1 и 4 работают только
на сжатие, 2 – только на растяжение, то систему (1.40) можно записать в виде
N1 + RA1 ≥ 0 ; N 4 + RA4 ≥ 0 ; − N 2 + RA2 ≥ 0 ;
(1.41)
N 3 + RA3 ≥ 0 ; − N 3 + RA3 ≥ 0.
Исходя из условий равновесия в узлах фермы, получим три уравнения с четырьмя неизвестными:
N1 = −1,5812 N 4 − 1,5812F ; N 2 = −5,025N 4 ; N 3 = 6,5 N 4 + 1,5F .
Подставляя эти выражения в неравенства (1.41) и вводя дополнительные переменные yi , получим систему ограничений в виде равенств:
y1 − RA1 + 1,5812 N 4 = −1,5812 F ;
y 2 − RA2 − 5,025 N 4 = 0 ;
y3 − RA3 − 6,5 N 4 = 1,5F ;
y 4 − RA3 + 6,5 N 4 = −1,5F ;
y5 − RA4 − N 4 = 0 .
(1.42)
Таким образом, математически задача ставится так: найти минимум функции (1.39) при условии, что ее аргументы удовлетворяют системе уравнений (1.42).
Такого типа задачи оптимизации относятся к математической
дисциплине, названной математическим программированием (заметим, что термин «программирование» во время становления этой
математической дисциплины еще не использовался для написания
программ для ЭВМ, так как ЭВМ тогда еще не было).
Различают следующие виды математического программирования: линейное, нелинейное, динамическое и др.
В канонической форме задача линейного программирования
ставится так: найти глобальный минимум линейной функции n аргу-
Глава 1. Основы математического моделирования
a11 x1 + a12 x 2 +  + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a 22 x2 +  + a2 n xn = b2 ,

am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm .
1.9. Исследование адекватности математической модели
изучаемому объекту
Так как для одного и того же объекта или явления можно составить несколько математических моделей, то важной задачей становится выбор такой модели, которая была бы наиболее простой и в то
же время в рамках требуемой точности правильно отражала свойства изучаемого объекта.
Для анализа адекватности модели реальному процессу и выбора наиболее оптимальной модели проводят натурный эксперимент.
Так поступают в различных областях техники, особенно при исследовании работы космической и авиационной техники. Но можно для
этих целей провести и вычислительный эксперимент, сравнивая результаты исследования объекта на разных моделях.
При составлении физической модели объекта или процесса вводятся некоторые упрощения путем пренебрежения некоторыми факторами или характеристиками процесса, после чего уже происходит
формирование математической модели.
Уже на этом этапе построения модели проводят анализ отбрасывания факторов и их влияния на точность математической модели, т. е. проводится некоторый анализ адекватности модели изучаемому процессу.
1.10. Иерархический подход к получению математических
моделей. Уточнение математической модели
этой функции удовлетворяют следующей совместной неопределенной системе линейных алгебраических уравнений
Лишь в редких случаях бывает удобным и оправданным построение математических моделей даже относительно простых объектов сразу во всей полноте, с учетом всех факторов, существенных
для его поведения. Поэтому естественен подход, реализующий принцип «от простого к сложному», когда следующий шаг делается
36
37
n
ментов (функции цели) f = f 0 + ∑ ci xi при условии, что аргументы
i =1
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
после достаточно подробного изучения не очень сложной модели.
При этом возникает цепочка (иерархия) все более полных моделей,
каждая из которых обобщает предыдущие, включая их в качестве
частного случая.
Построим такую иерархическую цепочку на примере расчета
напряженно-деформированного состояния (НДС) пластины, находящейся под действием поперечной нагрузки q ( x, y ) . В 1.5 построена
простейшая модель деформирования пластины малого прогиба (нагрузка невелика), когда пренебрегают погонными усилиями
(N x = N y = N xy = 0). При произвольной поперечной нагрузке и про-
После преобразования вариационного уравнения (1.43) таким
образом, чтобы под знаком двойного интеграла не было вариаций от
производных искомых функций U ( x, y ), V ( x, y ), W ( x, y ) , получим
уравнение равновесия в усилиях и моментах:
извольном закреплении края оболочки нельзя пренебрегать погонными усилиями, поэтому математическая модель деформирования
пластины изменится, если считать несправедливым ограничение 4)
в 1.5. В этом случае получим уточненную модель деформирования
пластины. Ограничения 1), 2), 3), 5) считаются справедливыми.
В этом случае вариационное уравнение δЭ = 0 записывается в виде
ab

∂ 2W
δЭ = ∫ ∫  N xδε x + N yδε y + N xyδγ xy − M x δ 2 −
∂x
0 0
− M yδ

∂ 2W
∂ 2W
dxdy = 0.
2
−
δ
−
q
δ
W
M
xy

∂x∂y
∂y 2

Nx =
−h
h
Ny =
2
∫
σ x dz =
2
2
∫
−h
σ y dz =
2
h
N xy =
2
∫
(1.43)
−h
2
∂U ∂V ∂W ∂W
+
+
⋅
.
(1.46)
∂y ∂x ∂x ∂y
Усилия и моменты по-прежнему будут иметь вид (1.27), (1.44).
Суть преобразования вариационного уравнения (1.43) покажем
на примере преобразования первого члена:
γ xy =
ab
 ∂U 1  ∂W  2 
∂U


∫ ∫ N x δ ∂x + 2  ∂x  dxdy = ∫ ∫ N x δ ∂x dxdy +
00
00


ab
Eh
(ε y + µε x ) ;
1− µ2
Eh
γ xy .
2(1 + µ)
ab
+ ∫ ∫ Nx
00
(1.44)
b
+ ∫ Nx
0
38
2
2
Eh
(ε x + µε y ) ;
1− µ2
τ xy dz =
∂ 2 M xy ∂ 2 M y
∂ 2M x
+
2
+
+ q = 0.
(1.45)
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
После подстановки в (1.45) усилий (1.44) и моментов в виде
(1.27) с учетом (1.24) получим систему дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка относительно функций перемещений U ,V , W .
Добавив к этой системе краевые условия, получим искомую
математическую модель деформирования пластины.
Если же прогиб пластины W ( x, y ) соизмерим с ее толщиной h,
то зависимость деформаций от перемещений будет нелинейной
∂U 1  ∂W 
∂V 1  ∂W 
εx =
+ 
+ 
 ,
 , εy =
∂x 2  ∂x 
∂y 2  ∂y 
Здесь ε x , ε y , γ xy имеют следующий вид (1.26):
h
∂N y ∂N xy
∂N x ∂N xy
+
= 0;
+
= 0;
∂x
∂y
∂y
∂x
b
∂W ∂W
δ
dxdy = ∫ N x δU
∂x ∂x
0
∂W
δW
∂x
x =a
x =0
ab
x =a
x =0
ab
∂N x
δUdxdy +
0 0 ∂x
dy − ∫ ∫
∂ 
∂W 
 Nx
δWdxdy .
∂x 
∂x 
00
dy − ∫ ∫
39
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 1. Основы математического моделирования
После аналогичного преобразования всех членов вариационного
уравнения (1.43) получим, исходя из того, что δU , δV , δW произвольны в области, занимаемой пластинкой, уравнения равновесия
Для линейных моделей справедлив принцип суперпозиции,
т. е. любая линейная комбинация решений также является решением
задачи. Пользуясь принципом суперпозиции, нетрудно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить решение в более общей
ситуации. Именно из-за своей простоты линейные модели наиболее
привлекательны.
Для нелинейных явлений, математические модели которых не
подчиняются принципу суперпозиции, знание о поведении части
объекта еще не гарантирует знания поведения всего объекта, а его
отклик на изменение условий может качественно зависеть от величины этого изменения.
Источниками нелинейности могут быть многие факторы. Фундаментальные законы природы – законы тяготения и законы Кулона –
изначально нелинейны, и поэтому основанные на них модели также
нелинейны. Свой вклад в нелинейность вносят изменение характера
взаимодействия в самом объекте при изменении его состояния, различные внешние воздействия и др.
В сущности, реальным явлениям отвечают только нелинейные
модели, а линейные справедливы лишь при описании незначительных изменений величин, характеризующих объект.
∂N y ∂N xy
∂N x ∂N xy
+
= 0,
+
= 0;
∂x
∂y
∂y
∂x
Nx
+
∂ 2W
∂ 2W
∂ 2W
2
+
+
N
+
N
y
xy
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
∂2M x
∂x 2
+2
∂ 2 M xy
∂x∂y
+
∂2M y
∂y 2
+ q = 0.
(1.47)
Для получения замкнутой математической модели деформирования пластины, допускающей прогибы, соизмеримые с толщиной
пластины (геометрически нелинейная постановка), к уравнениям
равновесия (1.47) необходимо добавить краевые условия на контуре
пластины.
При шарнирно-неподвижном закреплении контура пластины
краевые условия принимают вид:
при x = 0, x = a
U = V = W = 0,
∂ 2W
= 0;
∂x 2
(1.48)
при y = 0, y = b
U = V = W = 0,
∂ 2W
∂y 2
= 0.
(1.49)
1.11. О нелинейности математических моделей
Большинство реальных процессов и соответствующих им математических моделей нелинейны. Линейные же модели отвечают весьма частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Однако линейные модели в некоторых случаях
могут адекватно отражать реальный процесс (например, многие строительные конструкции деформируются по линейным законам).
40
41
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
2.1. Основные характеристики напряженно-деформированного
состояния конструкции
Целью расчета и проектирования конструкций любой сложности является обеспечение прочности и жесткости этих конструкций при
минимальных расходах материала. Поэтому при расчете элементов
конструкций желательно получить наиболее точное решение поставленной задачи. Это возможно при учете различных свойств материала
конструкции для описания напряженно деформированного состояния
конструкции и наиболее точного решения уравнений равновесия.
Пусть на трехмерное тело, закрепленное определенным образом (невозможно смещение тела как единого целого), действуют нагрузки P1 , P2 ,, Pn (рис. 2.1). Действующие внешние силы деформируют тело [2]. Изменение формы тела связано с перемещениями его
точек. Каждая точка A , имеющая

z
P1
координаты x, y, z до деформации, в результате деформации
A′
A
перемещается в новое положеPn
ние A' с координатами

P2
( x + u, y + v, z + w) .
0
y
x
Приращения u , v, w координат точки A называются комРис. 2.1. Перемещение точек тела
понентами перемещений этой
точки вдоль осей 0x, 0y, 0z. Компоненты перемещений зависят от координат точки u ( x, y, z ) , v( x, y, z ) , w( x, y, z ) и являются непрерывными функциями. Перемещения измеряются в метрах.
В результате перемещений точек возникают деформации – относительные удлинения отрезков и изменения угловых величин.
42
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
Относительные удлинения бесконечно малых отрезков dx, dy, dz ,
которые до деформации были параллельны осям координат 0x, 0y,
0z, равны деформациям удлинения ε x , ε y , ε z (продольные или линейные деформации). Изменения первоначально прямых углов между
линейными элементами dx, dy, dz в соответствующих плоскостях
равны деформациям сдвига γ xy , γ yz , γ zx (рис. 2.2). Деформации являются безразмерными величинами.
Шесть величин, ε x , ε y , ε z , γ xу , γ yz , γ zx , достаточно для того, чтобы определить линейные и угловые деформации в данной точке тела
в любых направлениях. Эти величины называются компонентами
деформаций.
z
ds
A
u
0
v
A′
w
B
y
∂u
dx
∂y
B’
(1 + ε y )dy
ds*
y
x
0
v
u
(1 + ε x ) dx
∂v
dy
∂x
x
Рис. 2.2. Изменение линейных и угловых величин в результате
деформирования
Деформации выражаются через перемещения геометрическими соотношениями, в простейшем случае это соотношения Коши [2]:
∂u
∂u ∂v
+ ;
; γ xy =
∂x
∂y ∂x
∂v
∂v ∂w
ε y = ; γ yz = +
;
∂y
∂z ∂y
∂w
∂w ∂u
εz =
+ .
; γ zx =
(2.1)
∂z
∂x ∂z
Формулами (2.1) можно пользоваться в тех случаях, когда удлинения, сдвиги и углы поворота малы по сравнению с единицей,
а квадратичные комбинации углов поворота малы по сравнению
с компонентами деформаций.
Для того чтобы численно характеризовать степень воздействия
внешних сил на деформированный элемент, вводится понятие напряεx =
43
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
жения. Напряжение – силовой фактор, представляющий собой интенсивность действия внутренних сил, приходящихся на единицу площади, выделенную в какой-либо точке рассматриваемого сечения.
В направлении осей 0x, 0y, 0z действуют нормальные напряжения σ x , σ y , σ z , связанные с деформациями растяжения-сжатия. В плоскостях x0y, x0z, y0z появятся напряжения сдвига τ xу , τ yz , τ xz , связанные с деформациями сдвига (рис. 2.3). Напряжения измеряются
в мегапаскалях (МПа).
Следующую группу соотношений составляют уравнения равновесия, которые могут быть получены из условия минимума функционала полной энергии деформации тела.
Функционал полной энергии деформации равен разности потенциальной энергии системы П и работы внешних сил А , т. е.
z
σz
y
x
П=
τ yz
τ xz
τ yz
τ xz
σx
τ xy
(2.3)
Э = П − А.
Для трехмерного тела (V) потенциальная энергия записывается
в виде [2]:
τ yx
σy
Рис. 2.3. Правило знаков для напряжений
Компоненты напряжений связаны с компонентами деформаций
соотношениями, которые называют физическими соотношениями,
вид которых зависит от проявляемых свойств материала (упругие,
пластические, свойства ползучести и т. д.). Для упругого тела эта зависимость выражается законом Гука. В случае сложного напряженного состояния справедлив обобщенный закон Гука:
τ xy
1
ε x = σ x − µ(σ y + σ z ) , ε xy =
;
E
G
τ yz
1
ε y = σ y − µ(σ z + σ x ) , ε yz =
;
E
G
τ
1
ε z = σ z − µ(σ x + σ y ) , ε zx = zx ,
(2.2)
E
G
1
(σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz )dV . (2.4)
2 ∫ V∫ ∫
Таким образом, математическая модель деформирования любой конструкции состоит из трех групп соотношений: геометрических, связывающих деформации и перемещения; физических, связывающих напряжения и деформации; функционала полной энергии
деформации системы, который может быть представлен через интеграл от искомых функций перемещений:
Э = ∫ ∫ ∫ Ф ( u , v , w ) dV
V
.
2.2. Геометрические соотношения для элементов строительных
конструкций
где E – модуль упругости материала; μ – коэффициент Пуассона;
E
G=
– модуль упругости второго рода, или модуль сдвига.
2(1 + µ)
Элементы строительных конструкций – балка (стержень, работающий на изгиб), плита (пластина), оболочка – представляют собой
трехмерные тела. Чтобы упростить нахождение всех характеристик
напряженно-деформированного состояния конструкций, используют
ряд гипотез. В результате их использования, зная характеристики
деформирования координатной линии для стержня, координатной
плоскости для плиты, координатной поверхности для оболочки, можно найти характеристики деформирования конструкции в любом слое,
отстающем на z от координатного.
Основными являются гипотеза плоских сечений для балок, согласно которой все сечения, нормальные к оси балки в ее недеформированном состоянии, остаются плоскими (не искажаются) и сохраняют свою перпендикулярность к оси балки в процессе ее изги-
44
45
[
]
[
[
]
]
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
ба; гипотеза прямых нормалей для пластин и оболочек, согласно которой прямолинейные отрезки, которые до деформации были перпендикулярны к срединной поверхности, при деформироваx
нии остаются прямолинейными
x
и нормальными к деформироРис. 2.4. Деформация элемента со- ванной срединной поверхности
гласно гипотезе плоских сечений
(рис. 2.4).
Согласно гипотезе прямой нормали, перемещения в слое, отстоящем на z от срединной поверхности пологой оболочки, будут
линейно зависеть от z
∂w z = − ∂w
v z , wz = w.
,v
(2.5)
∂y
∂x
Здесь u ( x, y ) , v( x, y ) , w( x, y ) – перемещения точек срединной
поверхности вдоль координатных осей x , y , z соответственно;
uz = u − z
z
z
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
ε zx =
∂v z
∂u z ∂v z
∂u z
z
= zχ 2 , γ zxy =
+
= 2 zχ12 ,
= zχ1 , ε y =
∂y
∂y
∂x
∂x
где
∂2w
∂2w
∂2w
χ
=
−
χ
=
−
, 2
–
(2.9)
, 12
∂y 2
∂x∂y
∂x 2
функции изменения кривизны
y
и кручения.
b
q ( x, y )
Для оболочек общего вида
учитывается сложное напряженное состояние (рис. 2.7)
и деформации координатной
0
x
a
поверхности (геометрически
z
линейная теория, модель КирхРис. 2.6. Плита, нагруженная
гофа – Лява) имеют вид [16]
χ1 = −
распределенной нагрузкой
z
u ( x, y ) , v ( x, y ) , w ( x, y ) – перемещения вдоль соответствующих
осей в слое, отстоящем на z от срединной поверхности.
Для стержня, работающего
только на изгиб (рис. 2.5), перемеq(x)
x щениями u , v срединной линии
l
0
пренебрегаем, перемещения w
оказываются
функциями только
z
Рис. 2.5. Балка с распределен- одной координаты w = w ( x ) , в реной нагрузкой
зультате учитываем только дефор-
∂A
v − k x w;
∂y
∂B
εy
u − k y w;
∂x
1 ∂v 1 ∂u 1  ∂A
∂B 

u+
=
v .
+
−
A ∂x B ∂y AB  ∂y
∂x 
1
A
1
=
B
εx =
γ xy
∂u 1
+
∂x AB
∂v 1
+
∂y AB
где
du z
=
= z χ,
dx
(2.10)
q ( x, y )
y
мации ε zx , для которых имеем соотношение
ε zx
(2.8)
b
(2.6)
x
R2
a
d 2w
χ=− 2 .
(2.7)
dx
Для плиты, работающей только на изгиб (рис. 2.6), внутренними усилиями N x , N y , N xy пренебрегаем и для деформаций имеем
соотношения
Рис. 2.7. Оболочка, находящаяся по действием распределенной нагрузки
46
47
z
R1
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Здесь A , B – параметры Лямэ, характеризующие поверхность
оболочки (для различных видов оболочек – пологих прямоугольного
плана, цилиндрических, конических, сферических и т. д. – они имеют различные значения); функции кривизны k x =
z
z
ε zx = ε x + zχ1 , ε y = ε y + zχ 2 , γ xy = γ xy + 2 zχ12 ,
(2.11)
1)
1 ∂  1 ∂w  1 ∂A  1 ∂w 
χ1 = −

;

−
A ∂x  A ∂x  AB ∂y  B ∂y 
+
(2.12)
Для пологой оболочки прямоугольного плана, когда A = B = 1, соотношения (2.10) и (2.12) упрощаются и принимают вид (2.60) и (2.61).
2.3. Физические соотношения для элементов строительных
конструкций при линейно-упругом деформировании
При линейно-упругом деформировании физические соотношения, связывающие компоненты напряжений с компонентами деформаций, задаются законом Гука.
Физические соотношения:
для стержня
σx =
Eε zx
48
= Ezχ ;
σy =
2
[ε
z
x
+ µε zy =
2
[ε
z
y
+ µε zx =
E
1− µ
E
1− µ
τ xy =
]
]
Ez
1 − µ2
Ez
1− µ2
[χ1 + µχ 2 ] ;
[χ 2 + µχ1 ];
E
Ez
γ zxy =
χ12 ,
2(1 + µ)
1+ µ
(2.14)
для оболочек
[
]
[
]
[
]
[
]
σx =
E
E
ε z + µε zy =
ε x + µε y + z (χ1 + µχ 2 ) ;
2 x
1− µ
1− µ2
σy =
E
E
ε zy + µε zx =
ε y + µε x + z (χ 2 + µχ1 ) ;
2
1− µ
1− µ2
E
E
γ zxy =
γ xy + 2 zχ12 .
(2.15)
2(1 + µ)
2(1 + µ)
Здесь E – модуль упругости материала стержня; μ – коэффициент Пуассона.
1 ∂  1 ∂w  1 ∂  1 ∂w 

−

+
A ∂x  B ∂y  B ∂y  A ∂x 
1  ∂A  1 ∂w  ∂B  1 ∂w 

 .
+

AB  ∂y  A ∂x  ∂x  B ∂y 
σx =
[
τ xy =
1 ∂  1 ∂w  1 ∂B  1 ∂w 
−

χ2 = −

;
B ∂y  B ∂y  AB ∂x  A ∂x 
2χ12 = −
для пластин
1
1
, ky =
– главR2
R1
ные кривизны оболочки вдоль осей x и y ; R1 , R 2 – главные радиусы
кривизны в направлении координат x и y .
В слое, отстоящем на z от срединной поверхности оболочки,
деформации принимают вид
где
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
(2.13)
]
2.4. Усилия и моменты для элементов строительных
конструкций при линейно-упругом деформировании
В качестве внутренних силовых факторов рассматриваются
внутренние усилия – интегралы по переменной z от напряжений
и изгибающие моменты – интегралы по переменной z от напряжений, умноженных на z.
Для балки прямоугольноM (x)
M (xx + dx )
го сечения высотой h и шириdx
z
ной b единственным внутренним силовым фактором являРис. 2.8. Направления изгибающих
ются изгибающий момент
моментов в сечениях балки
(рис. 2.8)
M=
h/2
∫ σ x b zdz = EbI χ ,
−h / 2
49
(2.16)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
где
h/2
I=
∫z
2
dz .
(2.17)
−h / 2
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
изгибающих моментов M x , M y и крутящих моментов M xy = M yx
(рис. 2.10), будем иметь соотношения
Nx =
Если поперечную нагрузку q (x) задавать в МПа (на единицу
площади), то ширину поперечного сечения стержня в (2.16) можно
не учитывать, т. е.
(2.18)
M = EI χ .
Для пластины, работающей только на изгиб, напряжения σ x ,
σ y , τ xy создают изгибающие M x , M y и крутящие M xy = M yx моменты (рис. 2.9).
y
My =
Eh
∫ σ y dz = 1 − µ 2 (ε y + µε x ) ;
−h / 2
h/2
h/2
Eh
∫ τ xy dz = 2(1 + µ) γ xy ;
−h / 2
Eh 3
∫ σ x z dz = 12(1 − µ 2 ) (χ1 + µχ 2 ) ;
−h / 2
(2.20)
Eh3
h/2
∫ σ y z dz = 12(1 − µ 2 ) (χ 2 + µχ1 ) ;
−h / 2
x
Eh 3
h/2
∫ τ xy z dz = 12(1 + µ) χ12 .
−h / 2
Mx
z
Рис. 2.9. Положительные направления изгибающих
и крутящих моментов в сечениях плиты
h/2
∫ σ x z dz =
−h / 2
h/2
h/2
∫ τ xy z dz =
−h / 2
Ny
M yx
N yx
Mx
N xy
x
M xy
Nx
Рис. 2.10. Направления внутренних усилий
в сечениях оболочки
Eh 3
(χ1 + µχ 2 );
12(1 − µ 2 )
Eh 3
(χ 2 + µχ1 ) ;
M y = ∫ σ y z dz =
12(1 − µ 2 )
−h / 2
My
y
Указанные моменты, приведенные к координатной поверхности и приходящиеся на единицу длины сечения, равны
M xy =
h/2
M xy =
M xy
My
Mx =
−h / 2
N xy =
Mx =
Eh
∫ σ x dz = 1 − µ 2 (ε x + µε y ) ;
Ny =
z
M yx
h/2
(2.19)
Eh 3
χ12 .
12(1 + µ)
Размерность усилий – МПа ⋅ м , размерность моментов –
МПа ⋅ м 2 .
2.5. Физические соотношения для элементов строительных
конструкций при нелинейно-упругом деформировании
Для оболочки, когда учитывается сложное напряженное состояние, для нормальных сил N x , N y , касательных сил N xy = N yx ,
Для различных материалов проводятся испытания на растяжение образца длиной l , площадью поперечного сечения F , нагруженного силой P (рис. 2.11).
50
51
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
A
l
B
Рис. 2.11. Образец испытания
Для разного значения P опP ределяют приращение Δl и находят относительное удлинение
стержня ε =
∆l
и напряжение
l
P
σ = , по которым строят кривую « σ – ε » (рис. 2.12). [14].
F
Характерными точками диаграммы являются предел упруσ
гости материала σ у – наибольшее напряжение, до которого
имеет место прямая пропорциоσу
нальная зависимость между напряжением и деформацией
α
σ = E ε , где E = tg α – модуль упε
ругости материала. Следующая
характерная точка – предел текуРис. 2.12. Зависимость « σ − ε »
чести материала σ т .
Исходя из кривой « σ – ε », полученной для различных материалов опытным путем, следует, что только при σ < σ у конструкция деσт
формируется линейно-упруго. Также существуют материалы, для
которых отсутствует линейный
σ
участок этой зависимости
B
(рис. 2.13). Причем процесс деформирования при нагружении
A
происходит по кривой ОAB. Для
учета этого факта (физической
нелинейности) за модуль упругоε
β
сти принимают секущий модуль
O
C
упругости E с = tg β . Кривую σ(ε )
Рис. 2.13. Определение секущего
аппроксимируют некоторой анамодуля упругости
литической зависимостью, беря
вместо ε интенсивность деформаций εi , а вместоо σ – интенсивность
напряжений σ i .
52
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
А. А. Ильюшиным [7] было предложено секущий модуль брать
в виде
Ec =
σi
= E (1 − ω(εi )) ,
εi
(2.21)
где ω(εi ) – некоторая функция, имеющая различный вид для разных
материалов.
Например, для металлов и старого бетона можно принять
ω(ε i ) = mε i2 ,
(2.22)
σ x = E c ε zx = Eε zx − Eω ( ε i ) ε zx ,
(2.23)
σ x = σ Уx − σ Пx ,
(2.24)
где m – опытная константа.
Если учитывается только физическая нелинейность, то считается, что и процесс разгрузки протекает по кривой ВАО . Однако для
некоторых материалов процесс разгрузки протекает по прямой BC
и после снятия нагрузки могут появиться остаточные или пластические деформации ε п = OC . При этом за модуль упругости при разгрузке берется первоначальный модуль упругости E .
Существует несколько теорий пластичности [7, 11, 14]. Одну из
них, деформационную теорию, можно использовать при рассмотрении нелинейно-упругого деформирования (физически нелинейная
задача). При этом процесс разгрузки не рассматривается и пластическая деформации не исследуются.
Физические соотношения при учете физической нелинейности
для стержня принимают вид
или
где σ уx задано соотношением (2.13), а σ пx записывается в виде
Здесь
σ Пx = E ω(εi )ε zx .
εi =
2 z
2
εx =
zχ –
3
3
интенсивность деформаций для стержня.
53
(2.25)
(2.26)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
Для плиты, работающей только на изгиб, в соответствии с деформационной теорией имеем
В результате испытания над образцами из различных материалов при постоянной нагрузке P и длительном времени ее воздействия строиться кривая « ε – t » ползучести материала (рис. 2.14),
где ε 0 – мгновенная деформация в момент времени t = t0 .
Существует несколько
ε
теорий ползучести. Для пластмасс и старого бетона можно
использовать линейную тео- ε
0
рию наследственной ползуче- 0
сти. В металлах ползучесть
может проявиться только при
t
больших температурах.
Будем рассматривать кваРис. 2.14. Кривая ползучести
зистатическую задачу, когда
искомые функции зависят не только от координат x и y , но и от времени t , при этом инерционными членами можно пренебречь.
На основании линейной теории наследственной ползучести
У
П
У
П
σ x = σУx − σПx , σ y = σ y − σ y , τ xy = τ xy − τ xy ,
(2.27)
где σ Уx , σ Уy , τ Уxy – линейно-упругие составляющие напряжений (формулы (2.14)), а составляющие с индексом «П» примут вид
[
]
[
]
σПx =
Eω(εi ) z
Ezω(εi )
ε x + µε zy =
(χ1 + µχ2 ) ;
2
1− µ
1 − µ2
σ Пy =
Eω(εi ) z
Ezω(εi )
ε y + µε zx =
(χ 2 + µχ1 );
2
1− µ
1 − µ2
Eω(εi ) z Ezω(εi )
γy =
χ12 –
2(1 + µ )
2(1 + µ )
пластические составляющие напряжений.
Интенсивность деформаций для плиты имеет вид
τ Пxy =
( )
( )
(2.28)
( )
2
2
2
2
1
ε zx + ε zx ε zy + ε zy + γ zxy .
(2.29)
4
3
Для оболочки в соответствии с деформационной теорией физи-
εi =
жно
ческие соотношения будут иметь вид (2.27), где σ уx , σ уy , τ уxy можно
представить в виде (2.15), а σпx , σпy , τ пxy заданы соотношениями
Eω(εi )
(ε x + µε y + z(χ1 + µχ2 ));
1 − µ2
Eω(εi )
(ε y + µε x + z (χ2 + µχ1 ));
σпy =
1 − µ2
Eω(εi )
τпxy =
( γ xy + 2 zχ12 ) .
2(1 + µ )
σпx =
t0
t
∫ γ (τ) R2 (t , τ) dτ . Здесь R1 (t , τ) , R2 (t , τ)
– функции влияния при растяя-
t0
жении (сжатии) и сдвиге, зависящие от материала конструкции, которые находят из кривой « ε – t ». Например, для оргстекла [12]
Ri (t , τ) = Ai e −βi (t − τ) (t − τ) α i −1 ; i = 1,2 ;
A1 = 0,0269; β1 = 0,045⋅ 10−3 ; α1 = 0,05;
(2.30)
2.6. Физические соотношения для элементов строительных
конструкций при учете ползучести материала
При длительном нагружении в материале строительной конструкции может проявиться свойство ползучести – изменение деформаций со временем при постоянной нагрузке [10, 14, 23].
54
t
в физических соотношениях появятся интегралы вида ∫ ε(τ) R1 (t , τ) dτ ,
(2.31)
A2 = 0,013184; β2 = 0,833 ⋅10−3 ; α 2 = 0,2 .
На рис. 2.15 представлены функции R1 (tk , τ) (2.31) для моментов времени t k = k , сут .
Для старого бетона [3, 22, 28]
Ri (t , τ) = γ i E Ci∞ e− γ (1+ E Ci∞ ) (t −τ) , i = 1,2 ;
2
γ1 = 0,01; E C1∞ = 3 , R2 = R1.
3
55
(2.32)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Для стержня физические соотношения с учетом ползучести
материала принимают вид
(2.33)
σ x (t ) = σ Уx (t ) − σ Сx (t ) ,
0.1
0.09
1
0.08
где σ Уx имеет вид (2.13), а σ сx записывается в виде
2
0.07
3
R
0.06
t
σ Сx (t ) = E ∫ ε zx (τ) R1 (t , τ) dτ .
5
4
0.05
Для пластин, работающих на изгиб, и оболочек при учете ползучести материала на основе линейной теории наследственности
физические соотношения можно представить едиными формулами
7
8
0.03
9
0.02
10
0.01
0
1
2
3
4
5
6
τ [сут]
7
8
9
10
τ сут
Рис. 2.15. Вид функции влияния R1 для оргстекла:
кривая 1 соответствует функции R1 (t1 , τ) ; кривая 2 – R1 (t2 , τ) и т. д.
На рис. 2.16 представлены функции R1 (t k , τ) (2.32) для моментов времени t k = k .
0.03
2
3
0.028
0.027
4
5
R
τ xy (t ) = τ Уxy (t ) − τсxy (t ) ,
(2.35)
где линейно-упругие составляющие напряжений σ Уx (t ) , σ Уy (t ) , τ Уxy (t )
заданы соотношениями (2.14) для пластин и (2.15) для оболочек; составляющие, характеризующие ползучесть материала, имеют вид
σ Сx (t )
[
6
]
E t z
=
ε (τ) + µε zy (τ) R1 (t , τ) dτ ;
2 ∫ x
1 − µ t0
E t z
ε (τ) + µε zx (τ) R1 (t , τ) dτ ;
2 ∫ y
1 − µ t0
[
τСx (t ) =
7
0.026
]
t
E
γ zxy (τ) R2 (t , τ) dτ .
2(1 + µ) t∫
(2.36)
0
8
9
0.025
Деформации
ε zx ,
ε zy ,
γ zxy ,
входящие в соотношения (2.36), зада-
ны формулами (2.8), (2.9) для плит и соотношениями (2.10), (2.11) –
для оболочек.
10
0.024
0.023
2.7. Принцип возможных перемещений. Полная энергия
деформации
0.022
0.021
0.02
У
С
σ x (t ) = σ Уx (t ) − σ Сx (t ) , σ y (t ) = σ y (t ) − σ y (t ) ;
σ Сy (t ) =
1
0.029
(2.34)
t0
6
0.04
0
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
0
1
2
3
4
5
τ [сут]
6
7
8
9
10
τ сут
Рис. 2.16. Вид функции влияния R1 для бетона:
кривая 1 соответствует функции R1 (t1 , τ) ; кривая 2 – R1 (t2 , τ) и т. д.
56
Конструкции приходится в основном рассчитывать на действие
внешних сил. В статических расчетах предполагают, что внешние
силы прикладываются постепенно, без заметных скоростей и уско57
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
рений, что дает основание пренебречь силами сопротивления среды
и силами инерции.
При расчете конструкций любой сложности чаще всего используются приближенные методы решения уравнений равновесия, вывод которых основан на вариационных принципах. Пусть на некото
рую конструкцию действуют объемные силы X ( X 1, X 2 , X 3 ) и поверх
ностные нагрузки Pv ( Pv1 , Pv 2 , Pv3 ) на некоторой части поверхности S1 .
На оставшейся части поверхности заданы перемещения


u S = u (u1, u2 , u3 ) . Под действием приложенных нагрузок конструк2

ция получает перемещения u (u1 , u2 , u3 ) , в результате чего возника-
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
для пластины и оболочки:
Э=
[
Рассматривая потенциальную энергию П как функцию компонент деформации и учитывая зависимости между напряжениями
и деформациями (2.13), (2.14), найдем вариацию функционалов (2.38),
(2.39).
Для стержня получим
δЭ =
ют деформации εij и напряжения σij . Далее, пусть перемещения тела
в его равновесном состоянии получили возможные перемещения
δu1, δu2 , δu3 , что привело к появлению бесконечно малых деформаций δε ij и напряжений δσij . Согласно принципу возможных перемещений если конструкция находится в равновесии, то сумма работ
внешних и внутренних сил на любых возможных бесконечно малых
перемещениях, не противоречащих кинематическим связям, равна
нулю. То есть
∫∫∫ σij δεij dV − ∫∫∫ X i δui dV − ∫∫ Pvi δui dS = 0 .
V
V
l
1 l h/2 z
σ
ε
dxdz
−
x
x
∫ q ( x) wdx;
2 ∫0 − h∫/ 2
0
58
(2.38)
l
1 l h/2
z
z
σ
δε
+
ε
δ
σ
dxdz
−
x
x
x
x
∫ q δw dx =
2 ∫0 −h∫/ 2
0
(
)
l
1 l h/ 2 z z
z
z
E
ε
δε
+
ε
δ
(
E
ε
)
dxdz
−
x
x
x
x
∫ q δw dx =
2 ∫0 −h∫/ 2
0
(
)
l h/2
l
0 −h / 2
0
z
∫ σ x δε x dxdz − ∫ q δw dx .
=∫
(2.40)
Для пластины и оболочки имеем
δЭ =
(2.37)
Полная энергия деформации тела представляет собой функционал (2.3).
При линейно-упругом деформировании полная энергия деформации для стержня будет иметь вид:
Э=
=
S1
Принцип возможных перемещений в данной формулировке
(2.37) справедлив при любых свойствах материала тела [14], т. е. при
произвольном законе связи между компонентами напряжений и деформаций и произвольном законе кинематической связи между компонентами перемещений ui и деформаций ε ij .
]
ab
1 a b h/2 z
z
z
ε
σ
+
ε
σ
+
γ
τ
dxdydz
−
x x
y y
xy xy
∫ ∫ q( x, y) wdxdy. (2.39)
2 ∫0 ∫0 − h∫/ 2
00
1 a b h/2
σ x δε zx + ε zx δσ x + σ y δε zy + ε zy δσ y +
2 ∫0 ∫0 −h∫/ 2
(
+ τ xy δγ zx
=
ab
)
δτ xy dxdydz − ∫ ∫ qδw dxdy =
00
[
a b h/ 2
]
[
]
 E
E
1

ε z + µε zy δε zx + ε zx
δ ε zx + µε zy +
∫
∫
∫
2 x
2
2 0 0 −h / 2  1 − µ
1− µ
+
+
+ γ zxy
[
]
[
]
E
E
ε zy + µε zx δε zy + ε zx
δ ε zy + µε zx +
2
1− µ
1− µ2
ab

E
E
γ zxy δγ zxy + γ zxy
δγ zxy  dV − ∫ ∫ q δw dxdy =
2(1 + µ)
2(1 + µ)

00
a b h/2
∫(
σ x δε zx
0 0 −h / 2
= ∫∫
+ σ y δε zy
+ τ xy δγ zx
59
ab
) dxdydz − ∫ ∫ q δw dxdy .
00
(2.41)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Приравнивая полученную вариацию к нулю, придем к выражению (2.37). Данный результат известен как вариационный принцип
Лагранжа: среди всех возможных перемещений, удовлетворяющих
кинематическим граничным условиям, действительные перемещения приводят к стационарности полной потенциальной энергии:
δЭ = 0 .
(2.42)
При решении нелинейно-упругих задач применяется итерационный процесс метода упругих решений А. А. Ильюшина. При этом
на каждой итерации решается линейно-упругая задача с добавочными членами в уравнении равновесия, и в выражениях для напряжений (2.23), (2.28), (2.30) величина ω(εi ) считается известной. Тогда
для выполнения принципа возможных перемещений полную энергию деформации следует задавать:
для стержня
Э=
l
1 l h/2 У
П z
σ
−
σ
ε
dxdz
−
x
x
x
∫ q( x) wdx ;
2 ∫0 − h∫/ 2
0
(
)
(2.43)
для пластины и оболочки
Э=
a b h/2
[(
)
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
t
k
t0
j =1
σ С (t k ) = ∫ Eε(τ) R1 (t , τ) dτ = ∑ Eε(t j −1 ) R1 (t k , t j −1 )∆t .
При решении задачи ползучести применяется итерационный процесс по временной координате и на k-й итерации величины ε(t0 ) , ...,
ε(t k −1 ) считаются уже известными. Тогда в соответствии с принципом возможных перемещений выражение полной энергии деформации в момент времени tk принимают в виде
для стержня
Э(t k ) =
l
1 l h/2 У
z
С
z
σ
(
t
)
ε
(
t
)
−
2
σ
(
t
)
ε
(
t
)
dxdz
−
x k
x k
x k
x k
∫ q w dx ; (2.45)
2 ∫0 − h∫/ 2
0
(
)
для пластины и оболочки
1 a b h/2 У
Э(t k ) = ∫ ∫ ∫ σ x (t k ) − 2σ Сx (t k ) ε zx (t k ) + σ Уy (t k ) − 2σ Сy (tk ) ε zy (tk ) +
2 0 0 −h / 2
[(
)
(
(
)
1
σ Уx − σ Пx ε zx + σ Уy − σ Пy ε zy + τ Уxy − τПxy γ zxy dxdydz −
2 ∫0 ∫0 − h∫/ 2
ab
− ∫ ∫ q ( x, y ) wdxdy .
(2.44)
00
При решении задачи ползучести в уравнениях равновесия будут присутствовать интегральные члены. Решение интегральных
уравнений вызывает большие сложности. Чтобы избежать этого, временной интервал [t0 , t k ] разбивается на элементарные отрезки [t j −1 , t j ]
j = 1,2, , k длиной t j − t j −1 = ∆t = 1 сут . Временные интегралы в вы-
ражениях для напряжений (2.34), (2.36) заменяют приближенной
формулой метода прямоугольников
b
∫
a
60
j =1
)
ab
00
(2.46)
Принцип минимума полной энергии деформации конструкции
положен в основу вывода уравнений равновесия и приближенных
методов расчета элементов конструкций с учетом различных свойств
материала.
2.8. Уравнения равновесия
2.8.1. Линейно-упругие задачи
Функционал полной энергии деформации стержня, находящегося под действием распределенной нагрузки q (x) [МПа], для линейно-упругой задачи имеет вид (2.38), или с учетом (2.6), (2.13)
k
f ( x) d x ≈ ∑ f ( x j −1 ) ∆x ,
]
+ τ Уxy (t k ) − 2τСxy (t k ) γ zxy (t k ) dV − ∫ ∫ q ( x, y ) wdxdy .
) ]
(
)
(
Э=
l
1l
2
EI
χ
dx
−
∫ qwdx .
2 ∫0
0
61
(2.47)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Найдем первую вариацию и приравняем к нулю
l
l
0
0
δЭ = ∫ EI χ δχ dx − ∫ q δw dx = 0 .
(2.48)
Преобразуем первый интеграл в (2.48), дважды интегрируя по
частям и заменяя χ на − w′′ по формуле (2.7):
l
∫ EI χ δχ dx =
0
l
l
= ∫ EI w′′ δw′′ dx = [EI w′′ δw′]l0 − ∫ EI w′′′ δw′ dx =
0
0
l
= [EI w′′ δw′]l0 − [EI w′′′ δw]l0 + ∫ EI w( 4) δw dx .
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
2) шарнирное закрепление
w(0) = 0, w(l ) = 0 , w′′(0) = 0, w′′(l ) = 0 .
(2.52)
Полная энергия деформации прямоугольной пластины при изгибе имеет вид (2.39), где ε zx , ε zy , γ zxy имеют вид (2.8), (2.9). Выражеение потенциальной энергии деформации пластины можно представить в виде
1 a b ∂2w h / 2
∂ 2w h / 2
Э = − ∫ ∫  2 ∫ σ x zdz + 2 ∫ σ y zdz +
2 0 0  ∂x − h / 2
∂y − h / 2

∂ 2w h / 2
+2
τ xy zdz + 2qw dxdy =
∫
∂x∂y − h / 2

=−
0
В результате уравнение (2.48) принимает вид
l
 d 4w

l
l
∫  EI dx 4 − q δw dx + [EI w′′ δw′] 0− [EI w′′′ δw] 0 = 0 . (2.49)

0
Так как δw – произвольные (не могут равняться нулю на отрезке [0; l ] ), то выражение, стоящее под знаком интеграла в скобках,
должно равняться нулю:
или
d 4w
EI 4 − q = 0 ,
dx
d 2M
+ q = 0,
dx 2
(2.50)
где M равно (2.18).
Из равенства нулю оставшихся членов уравнения (2.49) получают краевые условия на концах стержня при x = 0 и x = l :
EI w′′ = 0 или w′ = 0 ;
EI w′′′ = 0 или w = 0 .
Будем рассматривать два способа закрепления концов стержня:
1) жесткая заделка
(2.51)
w(0) = 0, w(l ) = 0 , w′(0) = 0, w′(l ) = 0 ;
62

∂2w
∂2w
∂ 2w
1ab
+
+
+ 2qw dxdy . (2.53)
M
M
2
M
 x 2
y
xy
∫
∫
2
∂x∂y
200
∂x
∂y

Здесь учтено, что напряжения σ x , σ y , τ xy , τ yx создают изгибающие M x , M y и крутящие M xy , M yx моменты (2.19).
Выведем уравнения равновесия, исходя из вариационного принципа Лагранжа, для чего найдем первую вариацию функционала (2.53)
и приравняем ее к нулю:
ab


∂ 2w
∂2w
∂ 2w
δЭ = − ∫ ∫  M x δ 2 + M y δ 2 + 2 M xy δ
+ qδw dxdy = 0 . (2.54)
∂x∂y
∂x
∂y

00
Полученное уравнение нужно преобразовать так, чтобы под знаком двойного интеграла не было вариаций от производных функций
w( x, y ) . Для этого применяем формулы интегрирования по частям:
ab
∫ ∫ M xδ
00
b
x=a
b
ab
∂M x ∂w
∂2w
∂w
dxdy
=
M
δ
dy
−
δ
dxdy =
x
∫
∫
∫
2
∂x x=0
∂x ∂x
∂x
0
00
x =a
x =a
b
ab 2
∂M x
∂ Mx
∂w
= ∫Mxδ
dy − ∫
δw dy + ∫ ∫
δw dxdy ,
2
∂x x =0
∂x
x =0
0
0
0 0 ∂x
y =b
a
a b ∂M
∂2w
∂w
y ∂w
M
δ
dxdy
=
M
δ
dx
−
δ
dxdy =
y
y
∫∫
∫
∫
∫
2
∂y y =0
∂y ∂y
∂x
00
0
00
ab
63
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
y =b
a
∂w
= ∫M yδ
∂y
0
y =0
a ∂M
dx − ∫
∂y
0
∂ 2w
ab
y
b
y =b
δw
y =0
∂w
∫ ∫ M xy δ ∂x∂y dxdy = ∫ M xy δ ∂y
00
0
= M xy δw
a ∂M
−∫
0
xy
∂x
x = a y =b
x =0 y = 0
b
−∫
0
y =b
δw
y =0
∂M xy
∂y
ab
dx + ∫ ∫
∂M xy ∂w
δ
dxdy =
∂y
0 0 ∂x
dy −
x =0
b
−∫
0
∂M xy
∂y
x = 0 y =0
−∫
x =a
δw
x =0
0
xy
∂x
ab
dy + ∫ ∫
00
y =b
M x = 0 или
dx −
∂M y
∂x
y =0
∂ 2 M xy
∂x∂y
После подстановки полученных равенств в (2.54) и преобразования, получаем:
2

∂ 2 M xy
∂ Mx ∂ My
2
q
δЭ = − ∫ ∫ 
+
+
+
 δwdxdy +
2
∂y 2
∂x 2 ∂y
 ∂x

00
ab 2
x =b
b
∂M xy 
 ∂M x
∂w 
δw − M x δ 
+ ∫ 
+2
+
∂x
∂y 
∂x 
0 
x=0
y =a
∂M xy 
 ∂M y
x=a
∂w 
δw − M y δ 
+ ∫ 
+2
dx − 2 M xy δw
x =0
∂y
∂x 
∂y 
0 
y =0
y =b
y =0
= 0 . (2.55)
Так как вариации δw произвольные и не равны нулю в области
0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b , получаем уравнение равновесия пластины:
64
+2
∂M xy
∂x
= 0 или w = 0 ;
∂w
= 0.
∂y
Кроме того, в угловых точках контура
M xy = 0 или w = 0 .
M y = 0 или
δw dxdy.
a
∂w
= 0;
∂x
при y = 0 , y = b
∂M xy ∂w
dx − ∫ ∫
dxdy =
δ
∂x
y =0
0 0 ∂y
ab
y =b
δw
2
∂ 2 M xy
∂2M x ∂ M y
+
+
2
+q=0
(2.56)
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
или с учетом (2.19) и (2.9)
 ∂4w
∂4w
∂4w 
D 4 + 2 2 2 + 4  = q .
(2.57)
∂x ∂y
∂y 
 ∂x
Из равенства нулю одномерных интегралов в (2.55) приходим
к краевым условиям на контуре плиты:
при x = 0 , x = a
∂M xy
∂M x
+2
= 0 или w = 0 ;
∂x
∂y
δw dxdy,
a
∂w
∂2w
∫ ∫ M xy δ ∂x∂y dxdy = ∫ M xy δ ∂x
00
0
= M xy δw
δw dxdy,
ab
δw
∂x∂y
a ∂M
∂y 2
dy − ∫ ∫
ab
x = a y =b
00
∂ 2M y
x=a
∂ 2 M xy
00
dx + + ∫ ∫
x=a
x =0
ab
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
В работе в качестве граничных будем рассматривать два вида
условий:
1) жесткая заделка
∂w
= 0;
при x = 0 , x = a w = 0 ,
∂x
∂w
= 0.
при y = 0 , y = b w = 0 ,
(2.58)
∂y
2) шарнирно-неподвижная опора
∂2w
при x = 0 , x = a w = 0 , 2 = 0 ;
∂x
при y = 0 , y = b w = 0 ,
65
∂2w
= 0.
∂y 2
(2.59)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Рассмотрим далее пологие оболочки малого прогиба, находящиеся под действием поперечной нагрузки q ( x, y ) (рис. 2.7).
Для пологих оболочек деформации в срединной поверхности
принимают вид [5]
∂u
εx =
− k x w;
∂x
∂v
ε y = − k y w;
∂y
∂u ∂v
+ .
(2.60)
∂y ∂x
Деформации в слое, отстоящем на z от срединной поверхности, имеют вид (2.11), где
γ xy =
∂2w
∂2w
∂2w
. (2.61)
χ1 = − 2 , χ 2 = − 2 , χ12 = −
∂y
∂x∂y
∂x
Вводя усилия и моменты (2.20), функционал полной энергии
деформации для оболочки (2.39) можно записать в виде
ab
[
1
Э = П − А = ∫ ∫{ ε x N x + ε y N
200
y
]
(2.62)
[
]
δЭ = ∫ ∫ { N x δε x + N y δε y + N xy δγ xy + M x δχ1 + M y δχ 2 + 2 M xy δχ12 −
00
− qδw}dxdy = 0 .
(2.63)
Преобразуя уравнения (2.63) (применяем дважды интегрирование по частям) и учитывая (2.60), (2.61), получим
∂N xy 
∂N xy 
 ∂N
 ∂N
δu +  y +
δv +
δЭ = − ∫ ∫  x +
∂x
∂y 
∂x 
 ∂y
0 0 
66
x=a
∂M xy 

 ∂M x
∂w 
 δw − M x δ  dy +
+ ∫  N x δu + N xy δv + 
+2
∂y 
∂x  x=0
 ∂x
0
b
y =b
∂M xy 

 ∂M y
∂w 
 δw − M y δ  dx −
+ ∫  N yx δu + N y δv + 
+2
∂x 
∂y  y =0
 ∂y
0
a
− M xy δw
x = a y =b
x =0 y =0
= 0.
(2.64)
Приравнивая сомножители при δu , δv , δw в двойном интеграле нулю, получим уравнения равновесия [5]
∂N x ∂N xy
+
= 0;
∂x
∂y
∂N y
∂y
Исходя из принципа возможных перемещений, вариационное
уравнение для этого функционала будет иметь вид
ab

 
∂ 2 M xy ∂ 2 M y
∂2M x

 δw dxdy +
+
2
+
+
+ kx Nx + ky N y +
q
2
2

 
∂
∂
x
y
∂
∂
x
y

 
+ γ xy N xy +
+ χ1M x + χ 2 M y + 2χ12 M xy }dxdy.
ab
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
kx N x + ky N y +
∂2M x
∂x 2
+
+2
∂N xy
∂x
= 0;
∂ 2 M xy
∂x∂y
+
∂2M y
∂y 2
+ q = 0.
(2.65)
Из равенства нулю одномерных интегралов получим краевые
условия на контуре оболочки:
при x = 0 , x = a
N x = 0 или u = 0 ; N xy = 0 или v = 0 ;
∂M xy
∂w
∂M x
= 0;
+2
= 0 или w = 0 ; M x = 0 или
∂x
∂x
∂y
при y = 0 , y = b
N xy = 0 или u = 0 ; N y = 0 или v = 0 ;
∂M y
∂y
+2
∂M xy
∂x
= 0 или w = 0 ; M y = 0 или
67
∂w
= 0.
∂y
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
Таким образом, если края оболочки, например, закреплены шарнирно-неподвижно, то
при x = 0 , x = a u = v = w = 0 , M x = 0 ;
Преобразуя это вариационное уравнение двукратным интегрированием по частям и приравнивая сомножитель при δw в интегральном члене к нулю, приходим к уравнению
d 2M
+ q = 0,
dx 2
при y = 0 , y = b u = v = w = 0 , M 2 = 0 .
2.8.2. Нелинейно-упругие задачи
Получим уравнения равновесия на основе принципа возможных перемещений при учете физической нелинейности для стержня
плиты и оболочки [11].
Для стержня физические соотношения имеют вид (2.23). Интегрируя напряжения по z в пределах от − h / 2 до h / 2 , получим изгибающий момент в виде
M = M У − M П = EIχ − EI χ = E ( I − I )χ ,
где M имеет вид (2.66).
Для плиты из нелинейно-упругого материала (работающей только на изгиб) моменты можно представить в виде
У
П
У
П
M x = M xУ − M xП , M y = M y − M y , M xy = M xy − M xy ,
(2.66)
M xП =
Э=
(2.67)
l
1 l h/2 У z
П z
σ
ε
−
σ
ε
dxdz
−
x x
x x
∫ q( x)wdx =
2 ∫0 − h∫/ 2
0
(
)
l
1l
= ∫ EI χ 2 − EIχ 2 dx − ∫ q ( x ) wdx .
20
0
(
)
Если при варьировании величина I не изменяется, то вариационное уравнение примет вид
l
δЭ = ∫ (( EIχ − EI χ)δχ − q ( x)δw) dx =
0
l
(
)
= ∫ ( M У − M П )δχ − q( x)δw dx = 0 .
0
68
EI
(χ 2 + µ χ1 ) ;
1 − µ2
EI
χ12 .
(2.71)
1+ µ
Здесь через I обозначен интеграл (2.67).
Функционал полной энергии деформации Э при изгибе прямоугольной пластины (2.44) с учетом (2.70) можно представить в виде
П
M xy
=
Э=
(2.68)
EI
(χ1 + µ χ 2 ) ;
1 − µ2
M yЯП =
h/2
Для функционала полной энергии деформации стержня, нахом
дящегося под действием поперечной нагрузки q (x) (2.43), с учетом
(2.66) будет справедливо выражение
(2.70)
У
определены формулами (2.19), а моменты, сооттгде M xУ , M yУ , M xy
ветствующие пластическим деформациям, равны
где
h3
2
I = , I = ∫ z ω(ε i ) dz .
12
−h / 2
(2.69)
1ab
M xУ − M xП χ1 + M yУ − M yП χ 2 +
∫
∫
200
((
(
) (
)
)
)
У
П
+ 2 M xy
− M xy
χ12 − 2qw dxdy.
(2.72)
Исходя из принципа минимума функционала полной энергии
деформации и учитывая, что величина I не изменяется при варьировании деформаций, получим уравнения равновесия в том же виде,
как и для линейно-упругих задач (2.56), но с учетом (2.19) и (2.71)
моменты будут иметь вид (2.70).
Для оболочек, когда физические соотношения принимают вид
У
П
У
П
σ x = σУx − σПx , σ y = σ y − σ y , τ xy = τ xy − τ xy ,
69
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
где составляющие с индексом с индексом «у» имеют вид (2.15),
а составляющие с индексом «п» имеют вид (2.30), усилия и моменты
можно представить в виде
У
П
У
П
N x = N xУ − N xП , N y = N y − N y , N xy = N xy − N xy ;
У
П
У
П
M x = M xУ − M xП , M y = M y − M y , M xy = M xy − M xy , (2.73)
где составляющие с индексом «у» имеют вид (2.28), а составляющие
с индексом «п» записываются в виде
E
N xП =
I1 ε x + µε y + I 2 (χ1 + µχ2 ) ;
1 − µ2
E
N yП =
I1 ε y + µε x + I 2 (χ 2 + µχ1 ) ;
1 − µ2
E
П
[I1γ xy + 2I 2χ12 ];
N xy
=
2(1 + µ )
E
M xП =
I1 (ε x + µε y ) + I 3 (χ1 + µχ2 ) ;
1 − µ2
E
M yП =
I 2 (ε y + µε x ) + I 3 (χ 2 + µχ1 ) ;
1 − µ2
[ (
[ (
П
M xy
]
)
]
)
[
]
[
]
[
]
E
=
I 2 γ xy + 2 I 3χ12 .
2(1 + µ )
Находя первую вариацию функционала (2.76) (с учетом, что
величины I k не меняются при варьировании деформаций) и приравнивая ее нулю, получим уравнения равновесия в усилиях и моментах такого же вида, как и для линейно-упругих задач (2.65), но усилия и моменты будут заданы равенствами (2.73) с учетом (2.28), (2.74).
2.8.3. Задачи ползучести
Для стержня, когда физические соотношения при учете ползучести материала имеют вид (2.33), (2.34) изгибающий момент равен
M = M У − M С,
(2.77)
С
где M У имеет вид (2.18), а M имеет вид [10]
t
M C (t ) = EI ∫ χ(τ) R(t , τ)dτ .
Если применяется итерационный процесс по временной координате t , то и отрезок интегрирования [t 0 , t ] разбивается на части
ом ∆t = t j − t j −1 = 1 сут , можно приблиточками t 0 , t1 , …, t k , … с шагом
женно записать
k
M C (tk ) = EI ∑ χ(t j −1 )R1 (tk , t j −1 )∆t .
j =1
Ik =
h/2
∫z
k −1
ω(εi ) dz , k = 1, 2, 3 .
−h / 2
(2.75)
Функционал полной энергии деформации оболочки (2.44) после интегрирования по z в пределах от − h / 2 до h / 2 в усилиях и моментах будет
дет
иметь вид
1ab
Э = ∫∫
200
{ [(N
)
(
У
x
)
(
)
(
)
У
П
− N xП ε x + N yУ − N yП ε y + N xy
− N xy
γ xy +
)
(
) ]
}
У
П
+ M xУ − M xП χ1 + M yУ − M yП χ 2 + 2 M xy
− M xy
χ12 − 2qw dxdy .
(2.76)
70
(2.78)
t0
(2.74)
Здесь
(
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
(2.79)
Функционал полной энергии деформации стержня при длительном нагружении и учете ползучести материала (2.45) после интегрирования по z в пределах от − h / 2 до h / 2 и с учетом (2.77), примет вид
Э(tk ) =
l
1l
У
C
M
(
t
)
−
2
M
(
t
)
χ
(
t
)
dx
−
k
j −1
k
∫ q w dx ,
2 ∫0
0
(
)
(2.80)
j = 1,2,, k .
Используя правила вариационного исчисления, найдем и приравняем нулю первую вариацию функционала (2.80).
l
(
)
l
δЭ(t k ) = ∫ M У (t k ) − M C (t j −1 ) δχ(t k )dx − ∫ q δw(t ) dx = 0 .
0
0
71
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
После преобразования этого вариационного уравнения (применяем два раза интегрирование по частям) получим уравнение равновесия в виде (2.50), где момент M задан формулой (2.77).
Аналогично, уравнения равновесия в усилиях и моментах для
плит и оболочек не будут зависеть от проявляемых свойств материала и будут иметь тот же вид, что и для линейно-упругих задач, с учетом изменений в выражении усилий и моментов.
Так, для рассматриваемой плиты уравнение равновесия будет
иметь вид (2.57), где
У
С
У
С
M x = M xУ − M xС , M y = M y − M y , M xy = M xy − M xy . (2.81)
У
Здесь M xУ , M yУ , M xy
совпадают с (2.19), составляющие M xС ,
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
C
N xy
=
M xC =
k
Eh 3
∑ (χ1 (t j −1 ) + µχ 2 (t j −1 ) ) R1 (tk , t j −1 )∆t ;
12(1 − µ 2 ) j =1
M yC =
k
Eh 3
(χ (t ) + µχ2 (t j −1 )) R1 (tk , t j −1 )∆t ;
2 ∑ 2 j −1
12(1 − µ ) j =1
C
M xy
=
k
Eh 3
χ12 (t j −1 )R2 (t k , t j −1 )∆t .
∑
12(1 + µ) j =1
С
M yС , M xy
принимают вид
k
Eh 3
∑ (χ1 (t j −1 ) + µχ 2 (t j −1 ) ) R1 (tk , t j −1 )∆t ,
12(1 − µ 2 ) j =1
M yC =
k
Eh 3
(χ 2 (t j −1) + µχ 2 (t j −1 )) R1 (tk , t j −1 )∆t ,
∑
12(1 − µ 2 ) j =1
k
Eh 3
χ12 (t j −1 )R2 (t k , t j −1 )∆t .
∑
12(1 + µ) j =1
(2.82)
Для оболочки уравнения равновесия будут иметь вид (2.65), где
У
С
У
С
N x = N xУ − N xС , N y = N y − N y , N xy = N xy − N xy ;
M yУ
− M yС ,
У
M xy
С
M xy
.
My =
M xy =
−
(2.83)
Mx =
Здесь составляющие с индексом «У» имеют вид (2.20), а составляющие с индексом «С» можно представить в виде
M xУ
− M xС ,
(2.84)
2.9. Критерии прочности
M xC =
C
M xy
=
Eh k
∑ γ xy (t j −1 ) R2 (tk , t j −1 )∆t ;
2(1 + µ) j =1
k
N xC =
Eh
1 − µ2
∑ (ε x (t j −1 ) + µε y (t j −1 )) R1 (tk , t j −1 )∆t ;
N yC =
Eh
1 − µ2
∑ (ε y (t j −1 ) + µε x (t j −1 )) R1 (tk , t j −1 )∆t ;
j =1
k
j =1
72
В практических расчетах инженерных конструкций на прочность основным и наиболее распространенным является метод расчета по допустимым напряжениям, при этом максимальное рабочее
напряжение не должно превышать определенной величины, свойственной данному материалу и условиям работы конструкции [27]:
σ
σ max < L ,
n
где σ L – некоторое предельное для данного материала напряжение,
м
n – некоторое число, большее единицы, называемое коэффициентом
запаса прочности.
σL
называется допускаемым напряжением.
n
Для того чтобы избежать в работающей конструкции образования заметных остаточных деформаций, за величину σ L для пластичВеличина [σ] =
ных материалов принимается обычно предел текучести σ т [27].
При сложном напряженном состоянии в каждой точке конструкции при заданной нагрузке находится σ x , σ y , τ xy , τ xz , τ yz .
Некоторые теории прочности основаны на главных напряжениях σ1 , σ 2 , σ3 , которые находятся на трех взаимно перпендикулярных площадках, на которых касательные напряжения равны нулю.
73
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Главные напряжения можно найти, решив уравнение
σ
3
− (σ x + σ y
(
)σ
2
+ (σ x σ
y
−τ
2
xy
−τ
)
2
xz
−τ
2
yz
)σ−
− 2τ yz τ xz τ xy − σ x τ 2yz − σ y τ 2xz = 0.
(2.85)
Это уравнение в общем случае имеет вид
σx − σ
τ xy
τ xz
σy −σ
τ yz = 0.
τ zy
σz − σ
τ yx
τ zx
(2.86)
В теории оболочек принимается σ z = 0 .
Для решения уравнения (2.85) применяется подстановка
a1
,
3
и тогда уравнение (2.85), которое кратко запишем в виде
σ= x+
(2.87)
σ 3 − a1σ 2 + a 2 σ − a3 = 0 ,
переходит в уравнение
3
x + 3 px + 2q = 0,
(2.88)
где
1
1 
1
1
1
p =  a2 − a12 , q = − a13 + a1a 2 − a3 .
3
3 
27
6
2
Корни уравнения (2.88) будут действительными, если будет
3
Глава 2. Математические модели деформирования элементов строительных...
1
После этого находят σ i = xi + a1 и располагают их в следую3
щем порядке: σ1 < σ 2 < σ 3 .
Различают критерии прочности для хрупкого и пластичного
материала.
Для хрупкого материала (бетон) может быть использован критерий Кулона – Мора, по которому условием прочности является неравенство
R
R
σ1 − p σ3 ≤ p ,
(2.90)
Rc
k
где Rp , Rc – призменная прочность бетона на растяжение ( Rp = 2 МПа)
и сжатие ( R c = 30 МПа); k – коэффициент запаса прочности ( k = 2 ÷ 5 ).
Для пластичных материалов критерии прочности основаны на
установлении предельного упругого состояния.
Может быть использован следующий критерий:
σ1 −σ 3 ≤
σT
,
(2.91)
k
где в дополнение к уже введенным обозначениям σ T – предел текучести материала.
В табл. 2.1 приведены для некоторых материалов значения σ T
и E , взятые из работы [2].
Таблица 2.1
2
выполняться условие p + q < 0 .
Корни уравнения (2.88) представим в виде
Материал
x1 = 2 p cos ϕ ,
x2 = 2 p cos(ϕ + 120°),
x3 = 2 p cos(ϕ − 120°),
−q
1
где ϕ = arccos
.
3
3
p 2
74
σ T , МПа
Сталь малоуглеродистая
(2.89)
250
Сталь 30 незакаленная
330
Сталь 30 закаленная
1030
Сталь 40 ХНВ закаленная
1720
Титан технический
520
Алюминий
50
Дюраль
340
Текстолит
75
75
E , МПа
2,1 ⋅ 10
2,1 ⋅ 10
2,1 ⋅ 10
2,1 ⋅ 10
1,1 ⋅ 10
0,7 ⋅ 10
5
5
5
5
5
5
0,75 ⋅ 10
5
0,03 ⋅ 105
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Для пластичных материалов удобно применять энергетический
критерий прочности, связанный с энергией искажения формы (полная энергия Э разбивается на Эо – энергию изменения объемаа
и Эф – энергию изменения формы, т. е. Э = Эо + Эф ).
Энергия изменения формы может быть записана в виде
[
(
)]
1
(σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ2xy + τ2xz + τ2yz .
12G
Энергетический критерий приводит к критерию Мизеса –
Хубера – Генки
Эф =
σT
,
(2.92)
k
где σi – интенсивность напряжений, вычисляемая по формуле
σi ≤
(
)
σ i = σ 2x − σ x σ y + σ 2y + 3 τ 2xy + τ 2xz + τ 2yz .
(2.93)
Глава 3. АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ ПРИ УЧЕТЕ РАЗЛИЧНЫХ СВОЙСТВ
МАТЕРИАЛА
3.1. Вариационные методы расчета элементов строительных
конструкций
Математические модели, используемые при расчете НДС строительных конструкций, описаны в главе 2. Рассмотрим здесь только
два метода: метод Ритца, позволяющий найти неизвестные функции
перемещений из условия минимума функционала полной энергии
деформации, и метод Бубнова – Галеркина, применяемый для решения уравнений равновесия. Оба эти метода дают практически совпадающие решения поставленных задач, но метод Ритца проще в реализации, так как в функционале полной энергии деформации порядок производных искомых функций в два раза ниже, чем в уравнениях
равновесия.
3.1.1. Метод Ритца
Рассмотрим функционал энергии
ab
J = ∫ ∫ Φ (u ( x, y ), v ( x, y ), w( x, y )) dxdy .
00
(3.1)
Требуется найти минимум функционала (3.1), т. е. найти функции u ( x, y ) , v( x, y ) , w( x, y ) , заданные в некоторой области
D = {0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ b} , удовлетворяющие некоторым однородным
краевым условиям на границе Γ , при которых функционал (3.1) имеет минимальное значение.
Приближенное решение поставленной задачи будем искать
в виде
76
77
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
N N
u ( x, y ) = u N = ∑∑
=i 1 =j 1
cij(1) ϕi(1) ψ (j1)
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
Система (3.4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, для решения которой можно применять метод
Гаусса. Найденные значения параметров U ( I ), V ( I ), W ( I ) подставляем в разложения (3.2) и получаем приближенное решение поставленной задачи. Существование минимума функционалов полной
энергии деформации элементов строительных конструкций (стержень, плита, оболочка) доказано.
,
N N
v( x, y ) = v N = ∑∑ cij( 2) ϕi( 2) ψ (j2) ,
=i 1 =j 1
N N
w( x, y ) = wN = ∑∑ cij(3) ϕi(3) ψ (j3) .
=i 1 =j 1
3.1.2. Метод Бубнова – Галеркина
Чтобы избежать двух индексов, представим перемещения в виде:
Рассматривается краевая задача: найти решение уравнений равновесия (системы линейных дифференциальных уравнений)
(3.5)
L(u ( x, y ), v( x, y ), w( x, y )) − F = 0 ,
N
U ( x, y ) = ∑ U ( I ) X 1( I )Y 1( I );
I =1
N
V ( x, y) = ∑V ( I ) X 2( I )Y 2( I );
I =1
(3.2)
N
W ( x, y ) = ∑ W ( I ) X 3( I )Y 3( I ).
I =1
Здесь U ( I ), V ( I ), W ( I ) – неизвестные числовые параметры; X 1( I ), X 2( I ), X 3( I ) – известные аппроксимирующие функции
переменной x , удовлетворяющие при x = 0, x = a заданным краевым
условиям; Y 1( I ), Y 2( I ), Y 3( I ) – известные аппроксимирующие функции переменной y , удовлетворяющие при y = 0, y = b заданным
краевым условиям. Функции X 1( I ) − X 3( I ) , Y 1( I ) − Y 3( I ) называюттся базисными функциями.
Подставляя (3.2) в (3.1) и выполняя интегрирование от известных функций, сведем функционал (3.1) к функции
(3. 3)
J = J (U ( I ), V ( I ), W ( I ) )
параметров U ( I ), V ( I ), W ( I ), I = 1,, N .
Чтобы функция (3.3) имела минимум, ее частные производные
по переменным U (l ),V (l ),W (l ), l = 1, , N должны обращаться в нуль:
∂J
∂J
∂J
= 0,
= 0,
= 0 , l = 1,, N .
∂V (l )
∂U (l )
∂W (l )
78
(3.4)
L = (L1 , L2 , L3 ),
F = (0, 0, f ), в некоторой области
D = {0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ b} , удовлетворяющее на границе Γ области
однородным краевым условиям.
Возьмем приближенное решение в виде (3.2). Подставляя (3.2)
в (3.5), получим невязку
L(u N , v N , wN ) − F = δF .
Если u N , v N , wN – точное решение уравнения (3.5), то невязкаа
где
о
δf равна нулю. Если невязка близка к нулю, то можно считать, что
она ортогональна к аппроксимирующим функциям. Условие ортогональности имеет вид
ab
∫ ∫ [L1 (u N , v N , wN )] X 1( I )Y1( I )dxdy = 0 ;
00
ab
∫ ∫ [L2 (u N , v N , wN )] X 2( I )Y 2( I )dxdy = 0 ;
00
ab
∫ ∫ [L3 (u N , v N , wN ) − f ]X 3( I )Y 3( I )dxdy = 0,
(3.6)
00
где I = 1, 2, ..., N .
Система (3.6) – система линейных алгебраических уравнений.
79
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
3.2. Расчет напряженно-деформированного состояния стержня
где
Стержень, шарнирно закрепленный по контуру, имеет длину
l (м), толщину h (м) и находится под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки q (МПа).
Функционал полной энергии деформации стержня при изгибе
будет иметь вид
2l
π l
A = EI   , B = ,
π
l 2
так как
Э=
1l
(M xχ1 − 2qW )dx.
2 ∫0
(3.7)
3.2.1. Линейно-упругая задача
При линейно-упругом деформировании σ x =
z
где ε x = zχ1 , χ1 = −
В этом случае
l
x
l l
x
2l
1l
2 x
π
=
−
π
dx
dx
=
sin π dx = .
sin
1
cos
2


,
∫
∫
∫
l
l
2 0
2 0
l
π
0
Из уравнения (3.10) находим
W1 =
Bq 4l 4 q
=
.
A EIπ5
(3.11)
Пример 1
Найти прогиб стальной балки ( E = 2,1 ⋅ 105 МПа) длиной 12 (м),
3
h
.
12
Функционал (3.7) примет вид
1l
EIχ12 − 2qW dx.
(3.8)
2 ∫0
Используем метод Ритца при аппроксимации W (x ) в виде
Э=
2
2
x
x dχ1  π 
π
=   sin π ;
χ1 = W1   sin π ,
l
l dW1  l 
l
Eε zx ,
d 2W
.
dx 2
M x = EIχ1 , I =
4
(
)
x
W ( x) = W1 sin π .
(3.9)
l
Подставим (3.9) в (3.8), найдем производную от Э по W1 и приравняем ее к нулю:
dχ
x
dЭ 1 l 
= ∫ 2 EIχ1 1 − 2q sin π  dx = 0.
dW1 2 0 
dW1
l
80
σT
,
(3.12)
k
найдем нагрузку, соответствующую предельно упругому состоянию
σi = σ x = Ezχ1 , σ T = 720 (МПа).
Напряжение будем вычислять на внешней стороне балки
σi ≤
при z = −
Получили алгебраическое уравнение относительно неизвестного параметра W1 , которое после преобразования примет вид
AW1 − Bq = 0 ,
−2
толщиной 0,12 (м) при нагрузке q = 1,34 ⋅ 10 (МПа).
Используя формулу (3.11), находим
4 ⋅12 4 ⋅ 1,34 ⋅ 10 − 2 ⋅ 12
W1 =
= 0,12 (м).
2,1 ⋅105 ⋅ 1,728 ⋅ 10 − 3 ⋅ 305,97
Используя критерий Мизеса
(3.10)
h
l
и в центре при x = :
2
2
σ x = 2,1 ⋅ 10 5 ( −0,06) 0,12 ⋅ 0,26 = −393,12 (МПа).
Для данного примера при k = 2 имеем σi >
81
σT
.
2
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
Так как неравенство (3.12) не выполняется, то нагрузку нужно
уменьшить.
Предельно
допустимая
нагрузка
будет
ЭП =
q доп = 1, 227 ⋅ 10 − 2 (МПа).
Теперь нужно найти производную от Э П по W1
Для бетонной балки ( E = 2,9 ⋅ 104 МПа) предельное состояние
разрушения анализируется с помощью критерия Кулона – Мора
Rbt
.
(3.13)
k
Рассмотрим балку с параметрами l = 12 (м), h = 0,12 (м) при
σ1 ≤
8
2m h 5  π 
3l
dЭ П 2m h5 l 3 dχ1
E ∫ 4χ1
dx =
E   4W13 ,
=
3 80 0
3 80  l 
8
dW1
dW1
так как
l
нагрузке q = 1,848 ⋅ 10 (МПа). Для этой балки W1 = 0,12 (м).
Проверим выполнение условия (3.13):
Rbt
.
k
Следовательно, допустимая погрузка должна быть меньше
q доп = 3,4 ⋅ 10 − 5 (МПа), при этом W1 = 0,0022 (м).
3.2.2. Нелинейно-упругие задачи
4
Алгебраическое уравнение метода Ритца в этом случае примет вид
σ1 = σ x = 2,9 ⋅ 10 4 ( −0,06 ) 0,12 ⋅ 0,26 = −54,288 (МПа).
σ1 >
2
3l
x
1l
x
∫ sin π l dx = 4 ∫ 1 − cos 2π l  dx = 8 .
0
0
−3
При Rbt = 2 (МПа) и k = 2 получим
1 l 4m h 5 4
E
χ1 dx.
2 ∫0 3 80
AW1 − Bq = DW13 ,
(3.14)
8
mh 5 El  π 
где D =
  .
80  l 
Для решения уравнения (3.14) можно применить метод итераций
AW1, i − Bq = DW13, i −1 ,
(3.15)
а W1, 0 находится из решения линейно-упругой задачи по формуле
(3.11).
В данном случае секущий модуль принимается в виде
Пример 2
2
zχ1 , m = 10 5 .
3
Функционал полной энергии деформации стержня и в этом слу-
Для рассмотренной в примере 1 балки с параметрами l = 12 (м),
(
)
Ec = E 1 − mε i2 , где εi =
чае имеет вид (3.7), только M x = M xУ − M xП , где M xУ = EIχ1 ,
4m 2 h 5
χ1 .
3
80
Функционал полной энергии деформации стержня можно записать в виде Э = Э y − Э П , где Эу имеет вид (3.8), а Э П можно преддставить в виде
M xП = EI1χ1 , I1 =
82
5
h = 0,12 (м), E = 2,1 ⋅ 105 (МПа), q = 1,34 ⋅ 10− 2 (МПа), m = 10 найдем
методом итераций нелинейно-упругое решение.
Находим коэффициент D :
105 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 2,488 ⋅ 10 − 5 ⋅ 12
2,1 ⋅ 2,488 ⋅ 0,22 ⋅ 12
= 1,724.
2,2 ⋅ 10 − 5 =
80
80
Используя итерационное уравнение (3.15), где A = 0,853 ,
дим
B = 7,64 , D = 0,1724 , W1, 0 = 0,12 , последовательно находим
D=
W1,1 = 0,1234 , W1, 2 = 0,1242 , W1,3 = 0,1243 .
83
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Можно сделать вывод, что при данной нагрузке в рассматриваемой балке пластические деформации практически не возникают, хотя
по критерию Мизеса рассматриваемая нагрузка и превышает допустимую.
В этом случае в функционале полной энергии деформации стержня (3.7)
M x = M xУ − M xС ,
k
У
где M x = EIχ1 , M xС = 2 EI ∑ χ1 (ti −1 ) R1 (t k , ti −1 )∆t.
k
0
i =1
(3.16)
π l
= EI   ∑ W1 (ti −1 ) R1 (tk , ti −1 )∆t =
 l  2 i =1
R1 (t3 , t0 ) = 0,0266 , R1 (t3 , t1 ) = 0,0277 , R1 (t3 , t2 ) = 0,0288.
Последовательно находим
∆W1 (t1 ) = 0,003456 , W1 (t1 ) = 0,123456 ,
у.
q = 1,34 ⋅10 − 2 МПа , где N – номер студента по списку.
2. Найти решение линейно-упругих задач и задач ползучести
для бетонной балки с параметрами l = N , h = 0,01 ⋅ N ,
= c ∑ W1 (ti −1 ) R1 (tk , ti −1 )∆t ,
i =1
4
π l
где c = EI   , т. е. c = A , ∆t = 1 (сут).
l 2
Таким образом, получаем итерационную задачу по времени t
получим
(3.17)
Bq
= W1 (t 0 ) ,
A
E = 2,9 ⋅ 10 − 4 МПа , q = 1,848 ⋅ 10 − 3 МПа , где N – номер студента по
списку.
3.2.4. Уточненный расчет стержня
Для более точного расчета прогиб балки нужно принять в виде
N
W ( x ) = ∑ W (I ) X 3(I ),
I =1
84
R1 (t2 , t1 ) = 0,0288 ,
стальной балки с параметрами l = N , h = 0,01 ⋅ N , E = 2,1 ⋅105 МПа ,
k
Поделив все части равенства на A , учитывая, что
R1 (t2 , t0 ) = 0,0277 ,
1. Найти решение линейно- и нелинейно-упругих задач для
k
i =1
Заготовим выражение для R1 (t k , ti −1 ) = 0,03e − 0,04(t k − t i−1 )
Задание на курсовую работу
4
l
∂Э с
x k
π
= EI ∫   sin 2 π ∑ W1 (ti −1 ) R1 (tk , ti −1 )∆tdx =
l
l i =1
∂W1
0 
k
j
i
E = 2,9 ⋅ 104 (МПа), h , ri , n (МПа), h , r j , m .
W1 (t3 ) = 0,0104 , W1 (t3 ) = 0,1407.
Продифференцировав Эс (tk ) по W1 (tk ) , получим
AW1 (t k ) − Bq = c ∑ W1 (ti −1 ) R1 (t k , ti −1 ) ∆t.
Рассмотрим балку с параметрами l = 12 (м), h = 0,12 (м),
∆W1 (t2 ) = 0,00688 , ∆W1 (t2 ) = 0,13033,
где Э с (t k ) = ∫ EIχ1 (tk )∑ χ1 (ti −1 ) R1 (tk , ti −1 )∆tdx.
4
При k = 1 имеем ∆W (t1 ) = W1 (t0 ) R1 (t1 , t0 )∆t ; при k = 2 имеем
∆W (t2 ) = (W1 (t0 ) R1 (t2 , t0 ) + W1 (t1 ) R1 (t2 , t1 ))∆t.
a j ≤ x ≤ bj ,
i =1
l
W1 (t k ) = W1 (t0 ) + ∆W (t k ).
Пример 3
3.2.3. Задачи ползучести
Функционал (3.7) можно записать в виде
Э (t k ) = Э y − Э c (t k ) ,
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
85
(3.18)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
где при шарнирном закреплении контура и равномерно-распределенной нагрузки
3.3. Расчет напряженно-деформированного состояния плиты
x
X 3(I ) = sin (2 I − 1)π .
l
Следовательно
N
χ1 = − ∑ W ( I ) X 3" (I ).
I =1
Подставив (3.18) в (3.8), получим ( I =
Э=
h3
, l1 – длина балки)
12
Плита имеет линейные размеры a, b соответственно вдоль осей
x, y и толщину h . Упругие характеристики материала заданы модулем упругости E и коэффициентом Пуассона µ . Плита по контуруу
закреплена шарнирно-неподвижно и нагружена равномерно распределенной поперечной нагрузкой q .
Функционал полной энергии деформации плиты (пластины)
будет иметь вид
Э=
l
N N
N

1 1
 E I ∑ ∑ W (I ) X 3" (I )W ( J )X 3" ( J ) − 2q ∑ W (I )X 3(I ) dx.
∫
2 0  =I 1 =j 1

I =1
Найдем производную от этого функционала по неизвестным
числовым параметрам
N
∂Э
1
= ∫  E I  ∑ X 3" (l )W ( J ) X 3" ( J ) +
∂W (l ) 2 0   j =1
[
]
Для линейно-упругой задачи
Eh 3
Eh 3
χ
+
µχ
M
=
(
)
(χ 2 + µ1χ1 ) ;
;
1
2
y
12(1 − µ 2 )
12(1 − µ 2 )
M xy =


+ ∑ X 3" (l )W (I ) X 3" (I ) − 2qX 3(l ) dx =

I =1

N
N


= ∫  E I ∑ W (I ) X 3" (I ) X 3" (l ) − qX 3(l ) dx.

I =1
0
χ1 = −
Приравняв это выражение к нулю, получим систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров W (I )
N
I =1
l = 1, 2, ..., N ,
l1
l1
0
0
где A(I , l ) = ∫ E I X 3" (I ) X 3" (l )dx , B(l ) = ∫ X 3(l )dx.
86
Eh 3
χ12 ;
12(1 + µ)
2
∂ 2W
∂ 2W χ = − ∂ W
.
χ
=
−
,
,
(3.21)
2
12
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
Функционал (3.20) с учетом (3.21) можно записать в виде
l1
∑ W (I )A(I , l ) − qB (l ) = 0 ,
(3.20)
3.3.1. Линейно-упругие задачи
Mx =
l1 
1ab
M x χ1 + M y χ 2 + 2 M xy χ12 − 2qW dxdy.
2 ∫0 ∫0
(3.19)
ab
 Eh 3

2
χ12 + 2µχ1χ 2 + χ 22 + 2(1 − µ)χ12
− 2qW dxdy. (3.22)
Э = ∫∫
2

0 0 12(1 − µ )
[
]
Представим W ( x, y ) в виде
x
y
W ( x, y ) = W1 sin π sin π .
(3.23)
a
b
Подставив (3.23) в (3.22), найдем производную от Э по W1
и приравняем ее к нулю
87
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
dχ
d χ1
 d χ1
χ
+ µχ1 2 + µχ 2
ab 1
3
dW
dW
dW
Eh
∂Э
1
1
1

=
2 ∫∫
dχ12
∂W1 12 (1 − µ ) 0 0  d χ 2
χ 2 dW + 2(1 − µ )χ12 dW

1
1
Пример 4

+
 dxdy −



Рассматриваем стальную плиту с параметрами a = b = 12 (м),
−2
5
h = 0,12 (м), E = 2,1 ⋅10 МПа , µ = 0,3 , q = 1,34 ⋅10 МПа .
Используя формулы (3.25), находим
A = 30,3397 , B = 58,3632 , Bq = 0,780923 , W1 = 0,0257 (м).
ab
x
y

− ∫ ∫  q sin π sin π dxdy = 0.
a
b
00
Здесь с учетом (3.23)
2
Пример 5
2
x
y
x
y
π
π
χ1 = W1   sin π sin π , χ 2 = W1   sin π sin π ,
a
b
a
b
a
b
Рассматриваем бетонную плиту с параметрами a = b = 12 (м),
π2
x
y
χ12 = −W1
cos π cos π .
ab
a
b
Таким образом, уравнение для определения W1 принимает вид
AW1 − Bq = 0 ,
где
A=
Eh 3
12 1 − µ 2
(
+ 2(1 − µ)
)
(3.24)
4 ab
 π  4
π4
y
π 
2 x
2
2
+
µ
+
   ∫ ∫ sin π sin π dxdy +
 
2 2
a
b
a b  b   0 0
 a 
π4
a 2b 2
ab
∫ ∫ cos
2
00

x
y
π cos 2 π dxdy ,
a
b

B=
(
)
2,9 ⋅10 4 ⋅ 1,728 ⋅ 10 − 3
⋅ 0,676 = 3,0276 , B = 58,3646 , Bq = 0,1078 ,
11,189
следовательно, W1 =
4ab
.
π2
Bq
.
A
88
Bq
= 0,0356 .
A
3.3.2. Нелинейно-упругие задачи
)
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
ε zx + ε zx ε zy + ε zy + γ zxy .
4
3
Функционал полной энергии деформированной плиты и в этом
случае будет иметь вид (3.20), только
где εi =
4
 π  4
π4
π 4  ab
π
+
µ
+
+
−
µ
2
2
(
1
)
 
 
 ,
a 2b 2  b 
a 2b 2  4
 a 
Следовательно, W1 =
A=
(
Окончательно получим
Eh 3
12 1 − µ 2
h = 0,12 (м), E = 2,9 ⋅ 10 4 МПа , µ = 0,26 , q = 1,848 ⋅ 10 – 3 МПа .
По формулам (3.25) находим
В этом случае секущий модуль принимаем в виде
Ec = E 1 − mε i2 ,
ab
x
y
B = ∫ ∫ sin π sin π .
a
b
00
A=
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
(3.25)
У
П
У
П
M x = M xУ − M xП , M y = M y − M y , M xy = M xy − M xy ,
EI
(χ1 + µχ 2 ) , M yП = EI 2 (χ 2 + µχ1 ) , M xyП = EI χ12.
2
1+ µ
1− µ
1− µ
Функционал полной энергии плиты, работающей только на изгиб, можно представить в виде Э = Э У − Э П , где Э У имеет вид (3.22),
а Э П записывает в виде
где M xП =
89
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
ab
)[
]
EI
2
ЭП = ∫ ∫
χ12 + 2µχ1χ 2 + χ 22 + 2(1 − µ)χ12
dxdy.
2
2
1
−
µ
00
(
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
ЭП =
(3.26)
ab
h
2
(
3a 3b
x
y
Emh 5

+ a2 a4 cos 4 π cos 4 π  dxdy =
+
W14  a1a3
2
8 8
a
b
120 1 − µ

(
)
4 2 2
2
z χ1 + χ1χ 2 + χ 22 + χ12
.
3
С учетом (3.23) получим
+ (a2 a3 + a1a4 )
4
4

π4
EI
 π   2 x 2 y
2  π 
ЭП = ∫ ∫
W1    + 2µ 2 2 +   sin π sin π +
2
a
b
a b
 b  
  a 
0 0 2 1− µ
ab
+ 2(1 − µ )
(
так как
+
)
1 ab
3a 3b 
+ a2 a4
,
4 4
8 8 
2
a
x
x
1 a
4
dx
sin
π
=
1 − cos 2 π  dx =
∫
∫
a
a
4 0
0
)
π4
x
y
cos 2 π cos 2 π  dxdy.
2 2
a
b
a b
Здесь
I=
)
1
x
y
x
y

× ∫ ∫ a1a3 sin 4 π sin 4 π + (a2 a3 + a1a4 ) sin 2 2 π sin 2 2π +
4
a
b
a
b
00
2
2
∫ z mεi dz,
2
где εi =
)
(
h
2
−
(
x
y
x
y
Emh 5

×  a3 sin 2 π sin 2 π + a4 cos 2 π cos 2 π dxdy =
W14 ×
2
a
b
a
b
120 1 − µ


Здесь
I=
ab
x
y
Emh 5
x 2 y

4
2
2
2
W
 a1 sin π sin π + a2 cos π cos π  ×
1
∫
∫
2
a
b
a
b
120 1 − µ
0 0
4
4
mh 5 2   π 
π4
x
y
π 
W1    + 2 2 +    sin 2 π sin 2 π +
a
b
60
a b
 b  
  a 
=
x
1 a
π
2
1 − 2 cos 2 π + cos 2π  dx =
∫
a
a
4 0
=
x
1
1 1 a
1
1
3a
a+
;
1 + cos 4π dx = a + a =
a
4
4 2 ∫0 
4
8
8
b
y
y
3b a
3a a
3a
4
4 x
dy
dx
π
=
π
=
sin
cos
cos 4 π dy = ;
;
;
∫
∫
∫
b
a
b
8 0
8 0
8
0
π4
x
y
cos 2 π cos 2 π .
2 2
a
b
a b
a
x
x
a b 2
y
b
1 a
2
π
=
−
π
dx
dx
sin
2
1
cos
4
=

; ∫ sin 2π dy = .
∫
∫ 
a
a
b
2
2
2

0
0
0
Введем обозначения
4
Найдем производную от Э П по W1
4
π4
π4
π
π
a1 =   + 2µ 2 2 +   , a2 = 2(1 − µ ) 2 2 ,
a b b
a
a b
4
∂Э П
Emh5
3a 3b
1 ab

=
+ (a2 a3 + a1a4 )
+
W13 a1a3
2
∂W1 (1 − µ ) 30
8 8
4 4

4
π
π4
 π
π
a3 =   + 2 2 +   , a 4 = 2 2 .
a b b
a
a b
Теперь Э П можно записать в виде
90
+ a2 a4
(3.27)
где
D=
3a 3b 
= DW13 ,

8 8
Emh5 ab 
9
9
a1a3 + a2 a3 + a1a4 + a2 a4 .
2

4
4
30(1 − µ )16 
91
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Окончательно для нахождения W1 получим уравнение
(3.28)
AW1 − Bq = DW13 ,
для решения которого применяем итерационный метод (метод упругих решений Ильюшина)
AW1,i − Bq =
DW13,i −1.
(3.29)
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
Функционал полной энергии деформации плиты можно представить в виде Э = Э y − Э с , где Э y имеет вид (3.22), а Э с записываается в виде
Эс =
Eh3
12 1 − µ 2
(
k

) ∫ ∫ χ1(tk )∑ (χ1(ti −1 ) + µχ2 (ti −1 ))R1(tk , ti −1 )∆t +
00
i =1
k
+ χ 2 (t k )∑ (χ 2 (ti −1 ) + µχ1 (ti −1 ))R1 (tk , ti −1 )∆t +
Пример 6
i =1
Рассматривается та же плита, что и в примере 5. Найдем нелинейно-упругое решение методом итераций AW1,i − Bq = DW13,i −1.
Здесь
2,9 ⋅ 10 4 ⋅ 10 4 ⋅ 2,488 ⋅ 10 − 5
0,1668 ⋅ 10 − 3 + 0,0327 ⋅ 10 − 3 +
D=
0,9324 ⋅ 30
1
+ 0,1535 ⋅ 10 − 3  ⋅ 20,25 = 1,0643.
36 
W
Так как
1,0 = 0 ,0356 , то последовательно находим
(
W1,1 = 0,03562 , W1, 2 = 0,03562 .
Можно сделать вывод, что пластические деформации не развиваются.
3.3.3. Задачи ползучести
Функция полной энергии деформации плиты будет иметь вид
У
С
(3.20), только M x = M xУ − M xС , M y = M yУ − M yС , M xy = M xy
− M xy
,
где
k
Eh3
M xС =
2(χ1 (ti −1 ) + µχ 2 (ti −1 ))R1 (tk , ti −1 )∆t ,
2 ∑
12 1 − µ i =1
(
M yС =
ab
)
Eh3
12 1 − µ 2
(
С
M xy
=
k
) ∑ 2(χ2 (ti −1 ) + µχ1(ti −1 ))R1(tk , ti −1 )∆t,
i =1
Eh 3 k
∑ 2χ12 (ti −1 )R2 (tk , ti −1 )∆t.
12(1 + µ ) i =1
92
(3.30)
k

+ 2(1 − µ )χ12 (t k )∑ χ12 (ti −1 )R2 (tk , ti −1 )∆t  dxdy.
i =1

В дальнейшем введем обозначения
(3.31)
R1 = R1 (t k , ti −1 )∆t ;
R2 = R2 (t k , ti −1 )∆t.
Найдем производную от Эс (tk ) по W1 (t k )
dЭс (t k )
Eh3
=
dW1 (tk ) 12 1 − µ 2
(
)
ab
2
x
y
 π
∫ ∫  a  sin π a sin π b ×
00

2
2
k 
x
y
x
y
 π
 π
× ∑ W1 (ti −1 )  sin π sin π + µW1 (ti −1 )  sin π sin π  R1 +

a
b
a
b 
a
b
i =1 
2
2
y k 
y
 π
 π
+   sin π ∑ W1 (ti −1 )  sin π + µW1 (ti −1 ) ×
b i =1 
b
b
b
2
π2
x
y
x
y 
 π
×   sin π sin π  R1 + 2(1 − µ) cos π cos π R2  dxdy =
a
b 
ab
a
b 
a
=
Eh3
12 1 − µ 2
(
)
 ab k
  π 4
π4 

+
µ
(
)
W
t
R +
 ∑ 1 i −1   
2 2 1
a
a
b


 4 i =1


  π 4

π4 
ab k
π4 ab k
+ ∑Wi (ti −1 )   + µ 2 2  R1 + 2(1 − µ ) 2 2 ∑Wi (ti −1 )R2  =


4 i =1
ab 
a b 4 i =1

 b 
93
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций


Задание на курсовую работу
4
 ab   π  4
π4  π   k
=     + 2µ 2 2 +   ∑W1 (ti −1 )R1 +
a b  b   i =1
 4   a 
 Eh3
π4 ab k
(
)
W
t
R
∑ 1 i −1 2  12 1 − µ2 .
a 2b 2 4 i =1

Таким образом, получаем итерационные уравнения
+ 2(1 − µ)
(
)
k
k
i =1
i =1
AW1 (t k ) − Bq = C1 ∑ W1 (ti −1 )R1 + C 2 ∑ W1 (ti −1 )R2 ,
(3.32)
где
C1 =
4
π4  π 
Eh3 ab   π 
+
µ
+ 
2


12 1 − µ2 4   a 
a 2b 2  b 
Eh 3
π 4 ab
2
1
.
(
)
C2 =
−
µ
a 2b 2 4
12 1 − µ 2
(
)
(
3. Найти решение линейно- и нелинейно-упругих задач для
стальной плиты с параметрами a = b = N ; h = 0,01 ⋅ N ,
де N – номер студентаа
E = 2,1 ⋅ 105 МПа , µ = 0,3; q = 3,9 ⋅ 10− 2 МПа , где
по списку.
4. Найти решение линейно-упругих задач и задач ползучести
для бетонной плиты с параметрами a = b = N ; h = 0,01 ⋅ N ,
де N – номер студенE = 2,9 ⋅ 104 МПа , µ = 0,26; q = 3,6 ⋅10− 3 МПа , где
та по списку.
4
3.3.4. Уточненный расчет плиты

,

)
Для более точного расчета прогиб плиты нужно принять в виде
(3.33)
N
W ( x, y ) = ∑ W (I )χ3(I )Y 3(I ) ,
I =1
Пример 7
Рассматривается та же плита, что и в примере 5. Найдем для
нее решение с учетом развития деформаций ползучести.
Заготовим
и R2 (tk , ti −1 ) = 2
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
выражение
для
R1 (tk , ti −1 ) = 0,03e − 0,04(t k −t i−1 )
E
G
R1 (tk , ti −1 ) , где G =
:
2(1 + µ )
E
R1 (t1 , t0 ) = 0,0288 , R1 (t2 , t0 ) = 0,0277 , R1 (t2 , t1 ) = 0,0288 ,
R1 (t3 , t0 ) = 0,0266 , R1 (t3 , t1 ) = 0,0277 , R1 (t3 , t2 ) = 0,0288 ;
R2 (t1 , t0 ) = 0,02285 , R2 (t 2 , t0 ) = 0,02199 , R2 (t2 , t1 ) = 0,02285 ,
R2 (t3 , t0 ) = 0,02112 , R2 (t3 , t1 ) = 0,02199 , R2 (t3 , t2 ) = 0,02285 .
Вычислим значения C1 ,C2 : C1 = 1,90258, C2 = 1,1208.
Так как W1 (t0 ) = W1,0 = 0,0356 , A = 3,0776 , Bq = 0,1078,
то по формуле (3.33) последовательно находим
W1 (t1 ) = W1,1 = 0,0359 ,
W1 (t 2 ) = W1, 2 = 0,0362 .
где при шарнирно-неподвижном закреплении контура и равномерно-распределенной нагрузке при N = 9
x
y
x
y
W ( x, y ) = W (1)sin π sin π + W (2 )sin π sin 3π +
a
b
a
b
x
y
x
y
+ W (3)sin π sin 5π + W (4 )sin 3π sin π +
a
b
a
b
x
y
x
y
+ W (5)sin 3π sin 3π + W (6 ) sin 3π sin 5π +
a
b
a
b
x
y
x
y
+ W (7 ) sin 5π sin π + W (8) sin 5π sin 3π +
a
b
a
b
x
y
+ W (9 ) sin 5π sin 5π .
a
b
Исходя из (3.34), имеем
N
N
I =1
I =1
χ1 = − ∑ W (I ) X 3" (I )Y 3( I ) , χ 2 = − ∑ W (I ) X 3(I )Y 3" (I ) ,
N
χ 3 = − ∑ W (I ) X 3' (I )Y 3' (I ) .
I =1
94
(3.34)
95
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
Подставив (3.34) в (3.22), получим
ab
1  Eh 3
Э = ∫∫
2 0 0 12 1 − µ 2
N
(
)
N
− 2qX 3(l )Y 3(l )]dxdy =
N

 ∑ ∑ W (I )W ( J ) X 3" (I ) X 3" ( J )Y 3(I )Y 3( J ) +
=I 1=J 1
ab
 Eh 3
= ∫∫
2
0 0 12 1 − µ
(
N
=
I 1=
J 1
N
+ ∑ ∑ W (I )W ( J ) X 3(I ) X 3( J )Y 3" (I )Y 3" ( J ) +
=
I 1=
J 1
N N

+ 2(1 − µ )∑ ∑ W (I )W ( J ) X 3' ( I ) X 3' ( J )Y 3' (I )Y 3' ( J ) −

=
I 1=
J 1
N

− 2 q ∑ W ( I ) X 3(I )Y 3(I ) dxdy .

I =1
Найдем производную от этого функционала по неизвестным
числовым параметрам
1 a b  Eh 3
∂Э
= ∫∫
∂W (l ) 2 0 0 12 1 − µ 2
(
)
 N
 ∑ W ( J ) X 3" (l ) X 3" ( J )Y 3(l )Y 3( J ) +
 J =1
N
+ ∑ W ( I ) X 3" (I ) X 3" (l )Y 3(I )Y 3(l ) +
I =1
N
+ 2µ ∑ W ( J ) X 3" (l ) X 3( J )Y 3(l )Y 3" ( J ) +
J =1
N
+ 2µ ∑ W (I ) X 3" (I ) X 3(l )Y 3(I )Y 3" (l ) +
I =1
N
+ ∑ W ( J ) X 3(l ) X 3( J )Y 3" (l )Y 3" ( J ) +
J =1
N
+ ∑ W ( I ) X 3(I ) X 3(l )Y 3" (I )Y 3" (l ) +
I =1
N
+ 2(1 − µ )∑ W ( J ) X 3' (l ) X 3' ( J )Y 3' (l )Y 3' ( J ) +
J =1
N

+ 2(1 − µ )∑ W (I ) X 3' (I ) X 3' (l )Y 3' (I )Y 3' (l ) −
I =1

( ) ( )]
96
I =1
+ µX 3(I ) X 3" (l )Y 3" (I )Y 3(l ) + µX 3" ( I ) X 3(l )Y 3(I )Y 3" (l ) +
+ 2(1 − µ ) X 3' (I ) X 3' (l )Y 3' (I )Y 3' (l )) − qX 3(l )Y 3(l )]dxdy.
+ 2µ ∑ ∑ W (I )W ( J ) X 3" (I ) X 3( J )Y 3( I )Y 3" ( J ) +
N
N
) ∑W (I )( X 3"(I )X 3" (l )Y 3(I )Y 3(l ) +
Приравняв это выражение к нулю, получим систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров W (I ):
N
∑ W (I ) A(I ,l ) − B (l ) ⋅ q = 0 , l = 1, 2, ...,
I =1
N,
(3.35)
где
A(I , l ) =
Eh3 a b
∫ ∫ ( X 3" (I )X 3" (l )Y 3(I )Y 3(l ) +
12(1 − µ 2 ) 0 0
+ µX 3(I )X 3" (l )Y 3" (I )Y 3(l ) + µX 3" (I ) X 3(l )Y 3(I )Y 3" (l ) +
+ 2(1 − µ ) X 3(I ) X 3' (l )Y 3' (I )Y 3' (l ))dxdy,
ab
B(l ) = ∫ ∫ X 3(l )Y 3(l )dxdy.
00
(3.36)
3.4. Расчет напряженно-деформированного состояния пологих
оболочек двоякой кривизны прямоугольного плана и выбор их
толщины из условий жесткости
Рассматриваются покрытия строительных сооружений в виде
пологих оболочек двоякой кривизны, находящихся под действием
поперечной нагрузки q .
Деформации удлинения ε x , ε y и сдвига γ xy в срединной поверхности оболочки имеют вид (2.60).
Деформации в слое, отстоящем на z от срединной поверхности, исходя из гипотезы прямых нормалей, принимают вид (2.11), где
χ1, χ 2 , χ12 имеют вид (2.6).
97
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Физические соотношения, исходя из закона Гука, принимают
вид (2.15).
Функционал полной энергии деформации пологой оболочки,
находящейся под действием поперечной нагрузки, будет иметь вид
(2.39), а после соответствующих преобразований примет вид:
Э=
где
11
1   ∂ 2W

Э = ∫ ∫ ε x2 + 2µλ2 ε x ε y + λ4 ε 2y + µ1λ2 γ 2xy +   2
12   ∂ξ
00


Eh a b 2
2
2
∫ ∫ ε x + 2µε x ε y + ε y + µ1γ xy +
2(1 − µ 2 ) 0 0
{
2
+
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
2
 ∂ 2W 
h 2   ∂ 2W 
∂ 2W ∂ 2W  ∂ 2W 
 2  + 2µ 2




+
4
+
µ
1

12   ∂x 
x
y
∂
∂
∂x ∂y 2  ∂y 2 



q 
− 2(1 − µ 2 ) W dxdy .
Eh 
2
∂ 2W ∂ 2W
4 ∂ W

+ 2µλ
+
λ
 ∂η2
∂ξ 2 ∂η2

2
2
∂U
h 2  ∂U
 h2
− k xW = 2 
− kξW  = 2 ε x ;
∂x
a  ∂ξ
 a
εy =
∂V
h 2  ∂V
 h 2λ2
− k yW = 2 
− kηW  = 2 ε y ;
∂y
b  ∂η
 a
∂U ∂V h 2  ∂U ∂V  h 2
+
= 
+
 = λγ xy ,
∂y ∂x ab  ∂η ∂ξ  a 2
после чего он примет вид
Eh 5ab
Э=
Э,
2(1 − µ 2 )a 4
(3.39)
Здесь
(3.37)
εx =
∂U
∂V
∂U ∂V
− kξW , ε y =
− kηW , γ xy =
+
.
∂ξ
∂η
∂η ∂ξ
(3.40)
Выразив деформации через перемещения (3.40), получим
(3.38)
2
11
 ∂U
 ∂U 
Э = ∫ ∫ 
 + µ1λ2 
∂ξ 
 ∂η
00

2

∂U ∂V
∂U ∂V
 + 2µλ2
+ 2µ1λ2
−
∂ξ ∂η
∂η ∂ξ

2
− 2k1
2
 ∂V 
∂U
 ∂V 
∂V
W + λ4 
W + k3W 2 +
 + µ1λ2 
 − 2λ2 k 2
∂
η
∂ξ
∂
ξ
∂
η




+
1   ∂ 2W

12   ∂ξ 2

2
2

∂ 2W ∂ 2W
4 ∂ W
 + 2µλ2

+
λ

 ∂η2
∂ξ 2 ∂η2


2
∂ 2W  

+ 4µ1λ 
  − 2(1 − µ 2 ) P W dξdη .
 ∂ξ∂η  
2
γ xy =
98
−


− 2(1 − µ 2 ) P W dξdη .
В функционале (3.37) перейдем к безразмерным параметрам
εx =
2
}
−


Введем безразмерные параметры
x
y
a
aU
bV
ξ= , η= , λ= ,U = 2 , V = 2 ,
a
b
b
h
h
2
2
4
b ky
W
a kx
a q
, kη =
,P= 4.
W = , kξ =
h
h
h
Eh
2

 ∂ 2W 
 + 4µ1λ2 


 ∂ξ∂η 



2

 +


}
2

 +


(3.41)
Здесь
k1 = kξ + µλ2 kη , k 2 = µkξ + λ2 kη , k3 = kξ2 + 2µλ2 kη kξ + λ4 kη2 .
В соответствии с методом Ритца безразмерные перемещения
представим в виде
99
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
FX (1) = X 1′( I ) X 1′( J ) ; FY (1) = Y 1( I )Y 1( J ) ;
FX (2) = X 1( I ) X 1( J ) ; FY (2) = Y 1′( I )Y 1′( J ) ;
FX (3) = X 1′( I ) X 2( J ) ; FY (3) = Y 1( I )Y 2′( J ) ;
N
U = ∑ U 1( I ) X 1( I )Y 1( I );
I =1
N
V = ∑ V 1( I ) X 2( I )Y 2( I );
I =1
(3.42)
N
W = ∑ W 1( I ) X 3( I )Y 3( I )
I =1
и подставим в (3.41), в результате чего получим выражение
N
N
I 1=
J 1
=
+ C 3( I , J )U 1( I )W 1( J ) + C 4( I , J )V 1( I )V 1( J ) +
+ C 5( I , J )V 1( I )W 1( J ) + C 6( I , J )W 1( I )W 1( J )] −
N
I =1
FX (4) = X 1( I ) X 2′( J ) ; FY (4) = Y 1′( I )Y 2( J ) ;
FX (5) = X 1′( I ) X 3( J ) ; FY (5) = Y 1( I )Y 3( J ) ;
FX (6) = X 2( I ) X 2( J ) ; FY (6) = Y 2′( I )Y 2′( J ) ;
FX (7) = X 2′( I ) X 2′( J ) ; FY (7) = Y 2( I )Y 2( J ) ;
FX (8) = X 2( I ) X 3( J ) ; FY (8) = Y 2′( I )Y 3( J ) ;
FX (9) = X 3( I ) X 3( J ) ; FY (9) = Y 3( I )Y 3( J ) ;
FX (10) = X 3′′( I ) X 3′′( J ) ; FY (10) = Y 3( I )Y 3′′( J ) ;
FX (11) = X 3′′( I ) X 3( J ) ; FY (11) = Y 3′′( I )Y 3′′( J ) ;
FX (12) = X 3′( I ) X 3′( J ) ; FY (12) = Y 3′( I )Y 3′( J ) ;
Э = ∑ ∑ [C1( I , J )U 1( I )U 1( J ) + C 2( I , J )U 1( I )V 1( J ) +
− ∑ C 7( J ) P W 1( I ) .
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
(3.43)
Здесь
С1( I , J ) = SX (1) SY (1) + µ1λ2 SX (2) SY (2) ;
С 2( I , J ) = 2µλ2 SX (3)SY (3) + 2µ1λ2 SX (4 )SY (4 );
C 3( I , J ) = −2k1SX (5) SY (5) ;
FX (13) = X 3( J ) ; FY (13) = Y 3( J ).
Система линейных алгебраических уравнений для определения
U 1( I ), V 1( I ), W 1( I ) будет иметь в соответствии с методом Ритца вид
(3.44). Для ее решения применяется метод Гаусса.
Рассмотрим первое приближение метода Ритца, т. е. одночленную аппроксимацию перемещений. Это возможно, так как рассматриваются малые перемещения (линейная задача). Итак, примем
С 4( I , J ) = λ4 SX (6) SY (6) + µ1λ2 SX (7) SY (7) ;
U = U 1 ⋅ X 1 ⋅ Y 1, V = V 1 ⋅ X 2 ⋅ Y 2, W = W 1 ⋅ X 3 ⋅ Y 3.
Теперь выражение (3.43) примет вид
C 5( I , J ) = −2k 2λ2 SX (8) SY (8) ;
Э = U 12 C1 + U 1V 1C2 + U 1W 1C3 + V 12 C4 + V 1W 1C5 +
C 6( I , J ) = k3 SX (9) SY (9) +
1
[SX (10)SY (9) +
12
+ W 12 C6 − P C7W 1 ,
]
+ 2µλ2 SX (11) SY (10) + λ4 SX (9) SY (11) + 4µ1λ2 SX (12) SY (12) ;
(
)
C 7( J ) = 2 1 − µ 2 SX (13) SY (13) ,
где
1
1
0
0
SX (i ) = ∫ FX (i )dξ, SY (i ) = ∫ FY (i )dη;
100
а система Ритца будет системой трех уравнений относительно трех
неизвестных U 1, V 1, W 1 :
2 ⋅ С1 ⋅ U 1 + C2 ⋅ V 1 + C3 ⋅ W 1 = 0 ;
С2 ⋅ U 1 + 2 ⋅ C4 ⋅ V 1 + C5 ⋅ W 1 = 0 ;
С3 ⋅ U 1 + C5 ⋅ V 1 + 2 ⋅ C6 ⋅ W 1 =C 7 ⋅P .
101
(3.44)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
C1 = 10,734; C2 = 2,31; C3 = 1,333(kξ + 0,3kη );
Решение системы (3.14) имеет вид
W1 =
P ⋅ 2 ⋅ C1 ⋅ C7 (4C1 ⋅ C4 − C22 )
−
(2C1 ⋅ C5 − C2 ⋅ C3 ) 2 − (4C1 ⋅ C4 − C22 ) (4C1 ⋅ C6
− C32 )
C4 = 10,734; C5 = 1,333(0,3 kξ + kη );
;
(
2 ⋅ C1 ⋅ C5 − C2 ⋅ C3
V1 = −
⋅ W 1;
4C1 ⋅ C4 − C22
2 ⋅ C 4 ⋅ V 1 + C5 ⋅ W 1
.
(3.45)
C2
Если оболочка по контуру закреплена шарнирно-неподвижно,
то должны выполняться условия:
U1 = −
2
при ξ = 0, ξ = 1 U = V = W =
∂W
= 0;
∂ξ 2
при η = 0, η = 1 U = V = W =
∂ 2W
=0 .
∂η2
При этом X 1 = sin 2πξ , X 2 = sin πξ , X 3 = sin πξ ,
Y 1 = sin πη , Y 2 = sin 2πη , Y 3 = sin πη .
В этом случае
SX (1) = 19,74 ; SX (2) = 0,5 ; SX (3) = −1,3333;
SX (4) = 1,3333; SX (6) = 0,5 ; SX (7) = 4,935 ; SX (13) = 0,637 ;
SX (5) = SX (3) ; SX (8) = SX (6) ; SX (9) = SX (6) ;
SX (10) = π 4 SX (6) ; SX (11) = − π 2 SX (6) ; SX (12) = SX (7) ;
SY (1) = SX (6) ; SY (2) = SX (7) ; SY (3) = SX (3) ;
SY (4) = SX (4) ; SY (5) = SY (1) ; SY (6) = SX (1) ;
SY (7) = SX (2) ; SY (8) = SX (3) ; SY (9) = SY (1) ;
SY (10) = −π 2 SY (1) ; SY (11) = π 4 SY (1) ; SY (12) = SY (2) ;
SY (13) = SX (13) .
При λ = 1, µ = 0,3 и произвольных значениях kξ , kη С1–С7 буудут иметь вид
102
)
C6 = 0,25 kξ 2 + 0,6 kξ kη + kη 2 + 8,118 ;
С7 = 0,738.
(3.46)
Теперь для различных значений kξ , kη , используя первую формулу (3.45), найдем значение прогиба оболочки, при этом вначале
нужно определить С3 , С5 , С6 , остальные значения Ci не изменятся.
При
kξ = kη = 0
(плита)
С3 = 0 ; C5 = 0 ; C6 = 8,118
a 4q
.
Eh 4
Так как наибольший прогиб будет в центре плиты при
и W 1 = 0,0454 P , где P =
a
b
x = , y = , то его размерное значение будет (W = W h )
2
2
a 4q
a b
W  ,  = 0,0454 3 .
Eh
2 2
При kξ = kη = 16 (стрела подъема оболочки равна 2h )
С3 = 27 ,733 ; C5 = 27,733 ; C6 = 174,5 и W 1 = 0,0026 P , а наибольшее
значение размерного прогиба будет
a 4q
a b
W  ,  = 0,0026 3 .
Eh
2 2
При kξ = kη = 32 (стрела подъема оболочки равна 4h )
С3 = 55,465 ; C5 = 55,465 ; C6 = 673,718 и W 1 = 0,00069 P , а наибольшее значение размерного прогиба будет
a 4q
a b
W  ,  = 0,00069 3 .
Eh
 2 2
103
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
При kξ = kη = 64 (стрела подъема оболочки равна 8h )
С3 = 110,93 ; C5 = 110,93 ; C6 = 2670,518 и W 1 = 0,00017 P , а наибольшее значение размерного прогиба будет
a4q
a b
W  ,  = 0,00017 3 .
Eh
2 2
При k ξ = kη = 128 (стрела подъема оболочки равна 16h )
С3 = 221,86 ; C5 = 221,86 ; C6 = 10657,718 и W 1 = 0,000043P , а наибольшее значение размерного прогиба будет
a 4q
a b
W  ,  = 0,000043 3 .
Eh
 2 2
Выберем толщину оболочки из условий жесткости Wдоп ≥ Wmax .
Для бетонной оболочки ( E = 2,9 ⋅104 МПа ) и снеговой нагрузки q = 3,8 ⋅ 10− 3 МПа при линейном размере оболочки a = 20 м
и
Wдоп = 0,0057h
получим условие
0,0057 h = W 1 ⋅ h ,
при
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния...
Если рассматривается покрытие с линейным размером а = 60 м
(большепролетные сооружения), то целесообразно использовать
металлические оболочки ( E = 2,1 ⋅ 105 МПа ) . При нагрузкее
q = 3,8 ⋅10 −3 МПа и Wдоп = 0,1h для оболочки с параметром кривизны kξ = kη = 128 толщина оболочки будет h = 0,056 м, а наибольший
прогиб составит 0,56 см.
Следует заметить, что размерные перемещения U , V будут на
порядок меньше прогибов W.
Теперь нужно найти наибольшие значения напряжений и моментов, используя безразмерные соотношения
Eh 2 σ ξ 
a 2 σ x 
;
σξ =
σx =
Eh 2 
a 2 
Mξ =
a 2M x
Eh 4

Eh 4 M ξ 
Mx =
.
2


a


Пусть kξ = kη = 16 , из соотношений (5.18) найдем U1 и V 1.
V 1 = −0,0031P , U 1 = −0,0031P .
Наибольшие значения σ x и M x будут в центре оболочки (точкаа M ).
q a4
= 0,021 м4.
E
Напряжения вычислим при z = −
a2
выразим радиус кривизны
hR
оболочки R и найдем значение стрелы подъема оболочки d . Все результаты сведены в табл. 3.1.
Итак, при
q = 3,8 ⋅10 −3 МПа
Eh 2
σx =
(1 − µ 2 ) a 2
Кроме того, из равенства kξ =
Таблица 3.1
Результаты расчета пологих оболочек прямоугольного плана
k = kξ = kη
W1
h, м
R1 = R2, м
d, м
0
0,0454 P
0,6
∞
0
16
0,0026 P
0,313
80
0,626
32
0,00069 P
0,224
55,8
0,896
64
0,00017 P
0,158
39,56
1,264
128
0,000043 P
0,112
27,9
1,792
104
= −0,0453P
Mx = −
a = 20
h
(на внешней стороне оболочки).
2
м, h = 0,313 м, E = 2,9 ⋅10 4 МПа ,
2

1  ∂ 2W
2
2 ∂ W
 ε x + µλ ε y +  2 + µλ
2  ∂ξ
∂η2

Eh 2
= −0,772 МПа ;
(1 − µ 2 )a 2
2
 ∂ 2W
Eh 4
2 ∂ W

+
µλ
12(1 − µ 2 )a 2  ∂ξ 2
∂η2
= 0,0333P

=


Eh 4
= 5 ⋅10 − 3 МПа ⋅ м 2 .
(1 − µ 2 )a 2
105

 =


Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
В усилиях и моментах жесткостные характеристики берутся на
единицу длины сечения.
При более точном решении задачи, т. е. беря в разложении перемещений (3.4) N = 9 и решая систему (3.6), получим:
a b
при k = kξ = kη = 0 , Wmax = 0,0444P , σ η  ,  = −0,275 P
 2 2
h
при z = − ;
2
a b
при k =16 , Wmax = 0,00225P , σ η  ,  = −0,0417 P
2 2
при z = −
h
;
2
При a = 20 м, h = 0,313 м, E = 2,9 ⋅ 10 4 МПа , k = 16,
q = 3,8 ⋅10 − 3 МПа , σ y = −0,647 МПа .
Глава 4. РАСЧЕТ ПОЛОГИХ РЕБРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ
УЧЕТЕ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
БЕТОНА
4.1. Основные соотношения для пологих ребристых оболочек
Будем рассматривать пологие оболочки двоякой кривизны, прямоугольные в плане. Оболочки дискретно подкреплены со стороны
вогнутости перекрестной системой ребер жесткости, параллельных
осям координат (рис. 4.1). Срединная поверхность обшивки оболочки (толщиной h ) принимается за координатную поверхность. Оси
x , y ортогональной системы координат направлены по линиям главных кривизн оболочки, ось z ортогональна координатной поверхности в сторону вогнутости оболочки.
a
x
aj
b
xj
yi
y
xj
bj
x
hj
rj
ci yi d i
y
hi
z
ri
Рис. 4.1. Общий вид пологой ребристой оболочки двоякой кривизны
Оболочка, закрепленная определенным образом по контуру,
находится под действием статической равномерно распределенной
поперечной нагрузки q ( x, y ) . Математическая модель деформирования оболочки состоит [9]:
– из геометрических соотношений (связи деформаций и перемещений);
– физических соотношений (связи напряжений и деформаций);
– уравнений равновесия или функционала полной энергии деформации оболочки.
106
107
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Геометрические соотношения в координатной поверхности при
неучете геометрической нелинейности (так как для пологих железобетонных оболочек потеря прочности произойдет гораздо раньше
потери устойчивости) принимают вид (2.60).
Согласно гипотезе Кирхгофа в слое, отстоящем на расстоянии z
от координатной поверхности,
ются при ее деформировании (упругие, пластические, свойства ползучести и т. д.).
Физические соотношения при линейно-упругом деформировании оболочек задаются линейным законом (законом Гука) (2.15):
Усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности
и приходящиеся на единицу длины сечения оболочки [9], получаютñÿ èí òåãðèðî âàí èåì âû ðàæåí èé äëÿ í àï ðÿæåí èé ï î z в пределах от
∂W
∂W
, W z =W ,
, V z =V − z
∂x
∂y
поэтому выражения деформаций в слое, отстоящем на расстоянии z от
срединной поверхности, принимают вид (2.11), где 1, 2, 12 – функции изменения кривизн и кручения, соответственно имеют вид (2.61).
Высоту и расположение ребер зададим функцией [9]
U z =U − z
m
n
−
h
h
до + H :
2
2
H ( x, y ) = ∑ h δ ( x − x j ) + ∑ h δ ( y − yi ) −
j
j =1
n
i
(4.1)
Mx =
ребер этого направления; h i , ri , n – аналогично для ребер, параллель-
{
ri
ri 

единице при ci ≤ y ≤ d i  ci = yi − , d i = yi +  и равная нулю при
2
2

других значениях y .
E
1 − µ2
My =
}
ных оси x; h ij = min h i , h j ; δ( x − x j ) – единичная столбчатая функция переменной x , равная единице при a j ≤ x ≤ b j
r
r 

 a j = x j − j , b j = x j + j  и равная нулю при других значениях
2
2

x ; δ (y − yi ) – единичная столбчатая функция переменной y , равная
]
E
(h + F )(ε y + µε x )+ S (χ2 + µχ1 ) ;
1 − µ2
N xy =
где h j , r j , m – высота и ширина ребер, параллельных оси y, и число
[
Ny =
m
i=1 j=1
]
E
(h + F )(ε x + µε y )+ S (χ1 + µχ 2 ) ;
1 − µ2
i=1
− ∑ ∑ h ij δ ( x − x j ) δ ( y − yi ) ,
[
Nx =
[
]
E
(h + F )γ xy + 2S χ12 ;
2(1+ µ )


 h3

 S (ε x + µε y )+  + J (χ1 + µχ 2 ) ;


 12

E
1 − µ2
M xy =
(4.2)


 h3

 S (ε y + µε x )+  + J (χ 2 + µχ1 ) ;


 12

 h3
 
E 
 S γ xy + 2 + J χ12  .
2(1+ µ ) 
 12
 
чеЗдесь F , S , J – площадь поперечного или продольного сечения ребер жесткости, приходящаяся на единицу длины сечения оболочки, статический момент и момент инерции этого сечения:
F=
h / 2+ H
∫
dz; S =
h/2
h / 2+ H
∫
z dz; J =
h / 2+ H
2
h/2
∫z
dz.
h/2
(4.3)
4.2. Физические соотношения для упругих оболочек
В развернутом виде эти выражения приобретают вид [9]:
Физические соотношения теории оболочек составляются в зависимости от того, какие свойства материала конструкции проявля-
F = ∑ F j δ(x − x j ) + ∑ F i δ( y − yi ) − ∑ ∑ F ij δ( y − yi ) δ (x − x j );
108
109
m
n
j =1
i =1
n
m
i =1 j =1
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
m
n
j =1
i =1
n
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
m
S = ∑ S j δ(x − x j ) + ∑ S i δ( y − yi ) − ∑ ∑ S ij δ( y − yi )δ(x − x j );
m
n
i =1 j =1
n
m
J = ∑ J δ(x − x j ) + ∑ J δ( y − yi ) − ∑ ∑ J δ( y − yi ) δ (x − x j ), (4.4)
j
j =1
i
i =1
ij
(
( )
)
( )
Теория ползучести, наиболее полно учитывающая особенности деформирования бетона, создана трудами Н. Х. Арутюняна [1],
А. А. Гвоздева [6], И. Е. Прокоповича [20], И. И. Улицкого [29],
В. Д. Харлаба [28] и других ученых. Вариант линейной теории наследственной ползучести, отражающей ползучесть и старение бетона, подразумевает следующее соотношение для полных деформаций
[20, 22]:

σ(t ) t
∂  1
+ C (t, τ) dτ ;
− ∫ σ(τ) 
(
)
(
)
Et t
∂τ  E τ

0
γ n (t ) =

τ(t ) t
∂  1
+ ω(t, τ) dτ,
− ∫ τ(τ) 
G (t ) t
∂τ  G (τ )

K 2 (t, τ) = −G (τ)
(4.5)
4.3. Физические соотношения теории оболочек при учете
ползучести бетона
(4.6)
0
она
где t 0 – возраст бетона; С (t , τ) , ω (t , τ) – меры ползучести бетона
при растяжении (сжатии) и сдвиге, соответственно, причем
ω (t , τ) = 2C (t , τ) .
В соотношениях (4.6) первые члены отражают упруго-мгновенную деформацию, а вторые – деформацию ползучести.
Соотношения (4.6) в общем случае можно записать в виде:
(4.7)
0
K1 (t, τ) = − E (τ)
h j h+ h j
,
2
2
3
1
J j = 0,25 h 2 h j + 0,5 h h j + h j .
3
F j = h j, S j =
τ(t ) t τ(τ)
+
K 2 (t, τ )dτ ,
G (t ) t∫ G (τ)
где
i =1 j =1
где, например,
ε п (t ) =
γ n (t ) =
∂  1

+ C (t, τ) ;

∂τ  E (τ)

∂  1

+ ω (t, τ) .

∂τ  G (τ)

(4.8)
∂  1
∂  1


+ C (t, τ) и
+ ω (t, τ) при t < τ < t отт

0
∂τ  E (τ)
 ∂τ  G (τ)

рицательные, то полные деформации всегда будут больше упругомгновенных.
Модуль упругости Е для стареющего бетона может быть представлен в виде [20, 22]:
Так как
[
]
Е (τ ) = Е (∞ ) 1 − 0,372е − 0,0259 τ , где τ измеряется в сутках.
Например, для бетона В25 при τ = 7 сут значение Е = 2,26 104 МПа,
при τ = ∞ – Е = 3,54 104 МПа. Для бетона В35 при τ = ∞ Е = 4,02 ×
× 104 МПа.
Для стареющего бетона не только модуль упругости, но и коэффициент Пуассона зависят от времени.
Для старого бетона [20, 14]:
K1 (t, τ ) = − E
[
∂C (t, τ )
∂ω(t, τ )
, K 2 (t, τ ) = −G
,
∂τ
∂τ
(4.9)
]
ут–1.
где С (t − τ ) = C∞ 1 − e − γ (t − τ ) ; C∞ = 1 ⋅10 − 4 МПа–1; γ = 0,01 сут
Для оболочек упруго-мгновенные деформации выражаются через напряжения соотношениями (для ортотропного материала):
ε zx =
σy z σy
σx
σ
τ
− µ2
− µ1 x , γ zxy = xy ,
, εy =
E1
E2
E2
E1
G
(4.10)
причем E1 , E2 , G , µ1 , µ 2 считаются функциями времени t.
σ(t ) t σ(τ)
ε n (t ) =
+
K1 (t, τ)dτ ;
E (t ) t∫ E (τ)
0
Эти соотношения, учитывая, что E2µ1 = E1µ 2 , можно записать
еще в виде:
110
111
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
ε zx =
1
1
(σ y − µ 2σ z ), γ zxy = 1 τ xy .
(
σ x − µ1σ y ), ε zy =
E1
E2
G
(4.11)
1)
Таким образом, для оболочек соотношения (4.7) принимают вид [9]:
ε zx (t ) =
ε zy (t ) =
σ x (τ) − µ1 (τ )σ y (τ)
(
σ x (t ) − µ1 (t ) σ y (t ))+ ∫
K1 (t, τ) dτ ;
()
()
t
1
E1 t
E1 τ
t0
(σ y (t ) − µ 2 (t ) σ x (t ))++ ∫ σ y (τ) − µ 2 (τ)σ x (τ)K1 (t,τ) dτ;
t
1
E2 (t )
E2 (τ)
t0
t τ (τ )
1
xy
τ xy (t ) + ∫
K 2 (t, τ )dτ .
G (t )
G (τ)
t0
Обратные соотношения для (4.11) принимают вид:
γ zxy (t ) =
(
)
(
(4.12)
)
E1
E2
ε zx + µ 2ε zy , σ y =
ε zy + µ1ε zx , τ = Gγ z . (4.13)
xy
xy
1 − µ1µ 2
1 − µ1µ 2
Обратные соотношения для (4.12) принимают вид:
σx =
σx =
E1 (t )
ε zx (t ) + µ 2 (t ) ε zy (t ) +
1 − µ1 (t )µ 2 (t )
(
)
(
)
0
σy =
E2 (t )
ε zy (t ) + µ1 (t ) ε zx (t ) +
1 − µ1 (t )µ 2 (t )
(
)
(
)
t
t0
(4.14)
где R1 (t, τ), R2 (t, τ ) – функции влияния (ядра релаксации) материала,
соответственно, при растяжении (сжатии) и сдвиге.
Соотношения (4.14) представляют собой физические соотношения для оболочек при учете ползучести материала. Следует заметить, что в соотношениях (4.14), как в первых слагаемых, так и во
112
армированием вдоль осей x и y .
Для старого бетона (как изотропного материала) физические
соотношения можно принять в виде [20, 22, 23]:
t

E  z
z
+
σx =
ε
µε
+
ε zx ( τ ) + µε zy ( τ ) R1 (t, τ )d τ  ;

x
y
∫
2
1 − µ 

t0
t

E  z
z
z
z
(
)
+
(
)
+
(
)
R
t,
d
σy =
ε
µε
+
ε
τ
µε
τ
τ
τ
;

y
x
x
1
∫ y
1 − µ 2 

t0
t

E  z
τ xy =
 γ xy + ∫ γ zxy (τ) R2 (t, τ)dτ ,
(4.15)
2(1+ µ ) 
t0


(
)
(
)
G
(4.16)
R1 (t − τ) .
E
В дальнейшем удобно минус перед функциями влияния R1 (t, τ ) ,
где R1 (t − τ ) = − EγC∞ e − γ (1+ EC∞ )(t − τ ) ; R2 (t − τ) = 2
τ xz = τ Уxz − τСxz , τ xz = τ Уyz − τСyz ,
0
τ xy = G (t )γ zxy (t ) + ∫ G (τ ) γ zxy (τ )R2 (t, τ ) dt ,
деформации.
То, что E1 (t ) может отличаться от E2 (t ) , связано с различным
σ x = σ Уx − σСx , σ y = σ Уy − σСy , τ xy = τ Уxy − τСxy ,
E2 (τ)
+∫
ε zy (τ) + µ1 (τ) ε zx (τ ) R1 (t, τ ) dτ;
(
)
(
)
1
−
µ
τ
µ
τ
1
2
t
t
вторых, деформации ε zx (t ), ε zy (t ), γ zxy (t ) представляют собой полные
R2 (t, τ) перенести в соотношения (4.15).
Хотя нагрузка, действующая на конструкцию, считается статической, тем не менее, деформации, а следовательно, и перемещения
считаются функциями не только пространственных переменных x
и y , но и временной координаты t. Запишем выражения (4.15) в виде:
E1 (τ)
+∫
ε zx (τ ) + µ 2 (τ) ε zy (τ) R1 (t, τ) dτ;
(
)
(
)
1
−
µ
τ
µ
τ
1
2
t
t
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
где составляющие с индексом «У» будут иметь вид (2.15), а составляющие с индексом «С» имеют вид:
σ Сx =
t
E
z
z
∫ ε x (τ) + µ(τ)ε y (τ) R1 (t, τ)dτ;
1 − µ 2 (τ) t 0
σ Сy =
t
E
ε zy (τ) + µ(τ)ε zx (τ) R1 (t, τ)dτ;
∫
2
1 − µ (τ) t 0
(
)
(
)
113
t
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
τСxy =
t
E
γ zxy (τ) R2 (t, τ)dτ.
2(1+ µ(τ) ) t∫
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
σx =
(4.17)
0
R1 (t , τ ) = γEC∞ e − γ (1+ EC∞ )(t − τ ) .
Интегрируя выражение для напряжения (4.15) по координате z
Mx =
− M xС ,
My =
M yУ
M xy =
У
M xy
С
− M xy
,
N yС =
t
(4.18)
E
∫ (h + F )(ε y (τ) + µ(τ)ε x (τ))+ S (χ2 + µχ1 ) R1 (t, τ) dτ;
1 − µ 2 (τ) t 0
С
N xy
=
t
E2
E2
ε zy + µ1ε zx − ∫
ε zy + µ1ε zx R1 (t, τ) dτ ;
−
µ
µ
1 − µ1µ 2
1
1 2
t
(
]
(4.20)
h
h
до + H , получим усилия, приходящиеся на единицу длины сее2
2
чения и приведенные к координатной поверхности в том же виде
(4.18), где
M xС
t

 h3

E


(
)
=
S
+
+
+
J
+
(
)
(
)
(
)
(
)
ε
τ
µ
τ
ε
τ
χ
µχ
 R1 (t, τ ) dτ;

1
x
y
2
∫
 12

1 − µ 2 ( τ) t0 



M yС
t

 h3

E


(
)
=
S
+
+
+
J
+
(
)
(
)
(
)
(
)
χ
µχ
ε
τ
µ
τ
ε
τ

 R1 (t, τ)dτ ;
2
y
x
1
∫
 12

1 − µ 2 (τ) t0 



t 
 h3
 
E

χ12  R2 (t,τ) dτ.
S
(
)
+
2
+
J
γ
τ

(4.19)
xy
 12

2(1+ µ(τ) ) t∫ 

 
0
Чтобы не загромождать выражения для напряжений, далее по
тексту не будем писать временные аргументы у деформаций, модулей упругости и коэффициентов Пуассона при ортотропном варианте материала оболочек (например, для железобетонных оболочек).
В этом случае выражения (4.14) примут вид:
[
]
[
]
N xУ (t ) =
E1
(h + F )(ε x + µ 2 ε y ) + S (χ1 + µ 2 χ 2 ) ;
1 − µ1µ 2
N yУ (t ) =
E1
(h + F )(ε y + µ 2 ε y ) + S (χ 2 + µ1χ1 ) ;
1 − µ1µ 2
]
114
)
−
[
]
У
N xy
(t ) = G (h + F ) γ xy + 2 Sχ12 ;
0
С
M xy
=
(
Интегрируя напряжения (4.20) по переменной z в пределах от
t
E
(h + F ) γ xy (τ) + 2S χ12 R2 (t,τ) dτ;
2(1+ µ( τ) ) t∫
[
)
t0
]
[
)
t
t
E
∫ (h + F )(ε x (τ) + µ(τ)ε y (τ))+ S (χ1 + µχ2 ) R1 (t,τ) dτ;
1 − µ 2 (τ) t 0
[
(
0
У
С
N xy = N xy
− N xy
,
− M yС ,
)
τ xy = Gγ zxy − ∫ Gγ zxy R2 (t, τ) dτ .
где составляющие усилий с индексом «У» имеют вид (4.2), а составляющие с индексом «С» примут вид:
N xС =
σy =
h
h
до + H , получим выражения для усилий:
2
2
N x = N xУ − N xС , N y = N yУ − N yС ,
M xУ
(
0
В соотношениях (4.17) принято (см. функции влияния (4.16))
в пределах от −
t
E1
E1
ε zx + µ 2 ε zy − ∫
ε zx + µ 2ε zy R1 (t, τ ) dτ ;
−
µ
µ
1 − µ1µ 2
1
1 2
t


h3
(
ε
+
µ
ε
)
+
(
+ J )(χ1 + µ 2 χ 2 )  ;
S

x
2 y
12


M xУ (t ) =
E1
1 − µ1µ 2
M yУ (t ) =

E2 
h3
(
ε
+
µ
ε
)
+
(
+ J )(χ 2 + µ1χ1 ) ;
S

y
1 x
1 − µ1µ 2 
12



h3
У
M xy
(t ) = G  S γ xy + 2( + J )χ12  .
12


Составляющие с индексом С можно записать в виде:
t
t
t0
t0
С
У
N xС = ∫ N xУ (τ)R1 (t, τ)dτ ; N y = ∫ N y (τ)R1 (t, τ)dτ ;
115
(4.21)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
С
N xy
=
t
∫
t0
У
N xy
(τ)R2 (t, τ)dτ ;
M xС
=
t
∫
t0
t
t
t0
t0
M xУ
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Э=
(τ)R1 (t, τ)dτ ;
С
У
M yС = ∫ M yУ (τ)R1 (t, τ)dτ ; M xy = ∫ M xy (τ)R2 (t, τ)dτ .
1ab
N x ε x + N y ε y + N xy γ xy + M x χ1 +
2 ∫0 ∫0
[
+ M y χ 2 + 2 M xy χ12 − 2qW ] dxdy,
(4.22)
Пологие железобетонные оболочки обычно подкрепляются ребрами жесткости, расположенными друг от друга на расстоянии около 1 м, профиль которых показан на рис. 4.2.
(4.23)
где a, b – линейные размеры оболочки вдоль осей x и y.
Если рассматриваются упругие задачи и изотропный материал,
то функционал (4.23) для ребристой оболочки можно записать в виде
(с введением индекса y) [9]:
Эy =
E
2 1 − µ2
(
[
) ∫ ∫ {(h + F )[ε
ab
00
2
x
+ 2µε x ε y + ε 2y + µ1γ 2xy +
]
+ 2 S ε x χ1 + µε x χ 2 + ε y χ 2 + µε y χ1 + 2µ1γ xy χ12 +
] (
[
)
 h3
 2
2 1 − µ2
2
2


+  + J  χ1 + 2µχ1χ 2 + χ 2 + 4µ1χ12 −
qW }dx dy. (4.24)
12
E


Если могут проявиться свойства ползучести материала конструкции, то функционал (4.23) представляется в виде:
Э = Э y − Эc ,
где Э y имеет вид (4.24), а Э c записывается в виде [17]:
Рис. 4.2. Преобладающие профили подкрепляющих оболочку ребер
При толщине оболочек от 5 до 20 см расстояние между ребер
не будет превышать 20h. В этом случае, как показано в работах
В. В. Карпова [9], эффект от дискретного расположения ребер не будет ярко выражен, поэтому жесткость ребер для таких оребренных
оболочек можно «размазать» по всей оболочке, воспользовавшись
схемой метода конструктивной анизотропии (МКА), предложенной
В. В. Карповым [9].
4.4. Функционал полной энергии деформации пологой
ребристой оболочки при длительном нагружении
Эс =
E
2 1 − µ2
(
abt
) ∫ ∫ ∫ {[(h + F )(ε x + 2µε xε y + ε y ) +
2
2
000
+ 2S (ε x χ1 + µε x χ 2 + ε y χ 2 + µε y χ1 ) +
)]

 h3
+  + J  χ12 + 2µχ1χ 2 + χ 22 R1 (t, τ ) +

 12
(
[
]
 h3

2
+ (h + F )µ1γ 2xy + 2S (2µ1γ xy χ12 )+  + J 4µ1χ12
R2 (t, τ)}dx dy dτ. (4.25)
12


4.5. Кратковременное нелинейное деформирование
пологих железобетонных ребристых оболочек
Функционал полной энергии деформации (функционал Лагранжа) пологой оболочки, находящейся под действием статической равномерно распределенной поперечной нагрузки q ( x, y ) , имеет вид:
Исходя из полученной экспериментальной криволинейной диаграммы σ − ε , отражающей проявление псевдопластичности бетона, обусловленной микротрещинообразованием, для исследования
116
117
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
нелинейного деформирования конструкции можно принять следующую аналитическую зависимость эмпирической природы [3, 4, 20, 22]:
Таблица 4.1
Числовые значения функции ξ(s )
m

σ  σ
ε = 1 − η    ,
(4.26)
 R   E

где Е – модуль упругости бетона; R = Rb; η, m – эмпирические коэффициенты (параметры), которые могут определяться по формулам [3]:
(4.27)
η = 37,5 / Rb ; m = 5,7 + 0,05Rb - при сжатии;
η = 0,3 + 0,37 / Rbt ; m = 0,8 + 0,23 Rbt – при растяжении.
(4.28)
Здесь Rb , Rbt – расчетное сопротивление бетона сжатию и растяжению, соответственно (призменная прочность) [25].
При сжатии нелинейность (псевдопластичность) проявляется
сильнее, чем при растяжении [3].
Для арматурной стали можно использовать формулу [3]:
η = 55,8 ⋅103 / R − 36,3; m = 6,92 + 7,14 ⋅ 1010 ⋅ R − 3,79 .
Например, для арматуры класса А-III принимается R = Rs = 365 МПа.
Учитывая некоторую приближенность аппроксимации зависимостей σ − ε , можно принимать их за диаграммы σi − εi , связывающие интенсивности напряжений и деформаций.
Формула (4.26) связывает деформации ε с напряжением σ ,
т. е., имеем зависимость ε = ε(σ) . Нам же необходимо получить зависимость σ = σ(ε) . Преобразуем формулу (4.26) к общему виду::
E
σ
σ
ε = + η( ) m +1
R
R
R
(4.29)
E
σ
ε, s = .
R
R
Если принять бетон с характеристиками Rb = 30 МПа,
или ξ = s − ηs m +1 , где ξ =
4
Е = 4 ⋅ 10 МПа, то m = 5,7 − 0,05Rb = 4,2 , η =
37,5
= 1,25 .
Rb
Построим таблицу функции ξ(s ) (табл. 4.1): ξ( s ) = s + ηs m +1 =
= s + 1,25s 5,2 .
118
i
0
1
2
3
4
ξi
0
0,251
0,534
1,03
2,25
si
0
0,25
0,5
0,75
1
Используя метод наименьших квадратов, подберем коэффици4
ент а для формулы s = ξ − aξ3 так, чтобы A = ∑ ( si − ξ i + aξ3i ) 2 было
i =1
минимальным.
Применяя необходимое условие минимума
4
∂A
= −2∑ ( si − ξi + aξi3 )ξi3 = 0 ,
(4.30)
∂a
i −1
найдем a = 0,1111 .
σ E
E 3 3
E
Далее имеем = ε − a ( ) ε или σ = Eε(1 − a( ) 2 ε 2 ) , следоR
R R
R
вательно,
E
ω (ε i ) = a ( ) 2 εi2 .
(4.31)
R
Более точную аппроксимацию σ(ε) будем иметь, если примем
s = ξ − a1ξ3 − a2ξ5 .
4
3
5 2
Из условия минимума A = ∑ ( si − ξi + a1ξi + a2ξi ) находим
i =1
a1 = 0,3078; a2 = 0,03915 .
E 2 2
E 4 4
В этом случае, ω (εi ) = a1 ( ) ε i + a2 ( ) εi .
R
R
В табл. 4.2 представлены значения:
(4.32)
3
5
s1 = ξ − aξ3 и s 2 = ξ − a1ξ − a2 ξ при соответствующих значе-
ниях ξi .
119
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Интенсивность деформаций можно представить в виде:
Таблица 4.2
Числовые значения функции ξ(s )
i
0
1
2
3
4
ξi
0
0,2509
0,534
1,03
2,25
si
0
0,25
0,5
0,75
1
s1i
0
0,249
0,517
0,9086
0,9845
εi =
s2i
0
0,2461
0,4903
0,739
1,0016
[
]
[
]
E
ε zy + µε zx − ω(εi )(ε zy + µε) zx ;
1 − µ2
(4.33)
E
( γ zxy − ω(εi ) γ zxy ) .
2(1 + µ)
При учете физической нелинейности функционал полной энергии
деформаций оболочки принимает вид:
Э = Э у − Эп .
τ xy =
Функционал Э у имеет вид (4.24), а функционал Эп запишется так:
Эп
а b
∫∫{
0 0
I 1 ( ε 2x
+ 2 µε x ε
2
y +ε y
+
µ 1 γ 2xy
)+
+ 2 I 2 ( ε x χ 1 + µε x χ 2 + ε y χ 2 + µε y χ 1 + 2 µ 1 γ xy χ 12 ) +
}
2
+ I 3 (χ12 + 2µ1χ1χ 2 + χ 22 + 4µ1χ12
) dxdy,
Здесь I k =
h +H
2
∫ ω(εi ) z
−h
dz , k = 1, 2, 3, где ω (ε i ) = mεi2 , m = a1 (
k −1
2
120
(4.35)
b2 = 2ε x χ1 + 2ε y χ 2 + ε x χ 2 + ε y χ1 + γ xy χ12 ;
E
σх =
ε z + µε zy − ω(εi )(ε zx + µε) zy ;
2 x
1− µ
E
=
2 (1 − µ 2 )
2
b1 + b2 z + b3 z 2 ,
3
1 2
2
2
где b1 = ε x + ε y + ε x ε y + γ xy ;
4
Физические соотношения при нелинейно-упругом деформировании материала конструкции на основе деформационной теории
пластичности запишутся так [11, 14]:
σy =
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
(4.34)
E 2
) .
Rb
2
.
b3 = χ12 + χ 22 + χ1χ 2 + χ12
4.6. Теория прочности хрупких материалов
Разработано несколько теорий прочности, относящихся к хрупким материалам [6, 8, 14]. Как известно, характерным образцом хрупкого материала является бетон.
Одна из теорий прочности хрупких материалов связана с главными напряжениями σ1 , σ 2 , σ3 , которые задаются на трех взаимно
перпендикулярных площадках, на которых касательные напряжения
равны нулю.
При сложном напряженном состоянии в каждой точке оболочки известно напряженно-деформированное состояние, т. е. известны
напряжения σ х , σ у , τ ху . Главные напряжения можно найти из уравнения [14]:
σ3 − (σ х + σ у )σ 2 + (σ х σ у − τ2ху )σ = 0 .
(4.36)
Касательными напряжениями τ xz , τ yz пренебрегают, ввиду их
малости для тонких оболочек. Главные напряжения располагают в
порядке убывания σ1 > σ 2 > σ3 , одно из которых будет равно нулю.
Построение так называемых предельных поверхностей прочности и разрушения требует проведения для бетона большого количества довольно сложных экспериментов. Поэтому на практике используются критерии прочности – упрощенные гипотезы наступления предела прочности или разрушения при сложном напряженном
состоянии. Они позволяют определить условия наступления текучести или разрушения при сложном напряженном состоянии на осно121
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
вании результатов испытания образцов при некоторых простейших
напряженных состояниях (обычно – растяжении, сжатии, изгибе).
Любое сложное напряженное состояние σ1 , σ 2 , σ3 приводится к эк-
4.7. Приведенный модуль упругости железобетона
вивалентному одноосному с напряжением σ экв .
Основываясь на анализе разных теорий прочности хрупких материалов, была выбрана наиболее подходящая для использования
в программном комплексе расчета оболочек теория Кулона – Мора.
В соответствии с ней условия прочности и условия разрушения для
бетона (или критерии прочности и разрушения, соответственно) записываются в следующем виде [2]:
σ1 −
Rbt
R
σ3 ≤ bt
Rb
k
условие прочности,
(4.37)
σ1 −
Rbt
σ3 = Rbt
Rb
условие разрушения;
(4.38)
где σ1 , σ3 − главные напряжения (среднее главное напряжение σ 2 не
учитывается, что составляет незначительный недостаток теории);
Rb , Rbt – расчетные сопротивления бетона осевому сжатию и осевому растяжению, соответственно (призменные прочности); k – нормативный коэффициент запаса прочности ( k = 2...4 ).
В формулах (4.37), (4.38) используются номинальные напряжения (от «единых» нагрузок) и единый коэффициент запаса прочности. Целесообразно при расчетах конструкций подходить к выбору
коэффициентов запаса прочности дифференцированно, как, например, в действующих нормах делается выбор коэффициентов надежности g. Так, если коэффициенты запаса прочности назначать для
каждого вида нагрузок, можно получать расчетные напряжения
S 1 , S 2 , S 3 . Тогда условие прочности Кулона – Мора приобретает
Бетон – хрупкий материал, по-разному сопротивляющийся
сжатию и растяжению (причем это различие велико: прочность на
сжатие в 10–30 раз превосходит прочность на растяжение). В железобетонных конструкциях бетон преимущественно используется для
восприятия сжимающих напряжений. Поэтому за основную характеристику (эталон) прочностных свойств бетона принята его прочность на осевое сжатие. Временное сопротивление сжатию σu эталонных кубов принимают за кубиковую прочность бетона.
Классами по какому-либо признаку называют среднестатические значения основных контрольных характеристик бетона, задаваемых при проектировании. Различают следующие классы бетона:
В – по прочности на сжатие (кубиковая прочность); Bt – по прочности
на осевое растяжение. Под классом бетона по прочности на сжатие понимают среднестатистическое значение временного сопротивления Bm
(в МПа) сжатию эталонных образцов (кубы 15 15 15 см), изготовленных и испытанных через 28 сут, в соответствии с ГОСТом [25, 26].
В зависимости от вида и условий работы железобетонных конструкций нормами установлены следующие классы бетона по прочности на сжатие: В7,5–В60 [25, 26]. Высокие классы бетона
(В30–В60) особенно целесообразно использовать в элементах предварительно напряженных конструкций и конструкций, работающих
главным образом на сжатие, так как в этих случаях достигается существенный экономический эффект.
Для оценочного анализа НДС железобетонных оболочек в программном комплексе расчета оболочек можно задаваться приведенным начальным модулем упругости железобетона Еm:
Rbt
S3 ≤ m Rbt ,
(4.39)
Rb
где m – «коэффициент однородности», учитывающий естественный
разброс прочности от среднего значения.
V − Vs
V
+ Es s ,
V
V
где Еb – модуль упругости бетона; Е s – модуль упругости арматурной стали.
Если переписать эту формулу через соответствующие площади
сечения единицы длины оболочки (единичной полосы) и площади
сечения арматуры в ней для какой-то плоскости оболочки, ортого-
122
123
более универсальный вид [2, 28]:
S1 −
Em = Eb
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
нальной расположению рабочих стержней одного направления, получим более точное значение приведенного начального модуля упругости железобетона для этой плоскости:
A − As
A
+ Es s ,
Em = Eb
A
A
где А – площадь единицы длины сечения оболочки; A s – площадь
сечения арматуры в границах площади единицы длины сечения оболочки А.
ных уравнений восьмого порядка. Решение поставленной задачи
вызывает существенные математические трудности.
Так как в функционале полной энергии деформации оболочки
порядок производных искомых функций в два раза ниже, чем в урав-
4.8. О краевых условиях на контуре оболочки
Если в рассматриваемой задаче не нужно учитывать поперечные сдвиги, то уравнения равновесия (1.33) и функционал полной
энергии деформации Э (1.27) будут содержать три неизвестных функции U , V , W . На каждом краю оболочки задаются по четыре краевых условия: в перемещениях (геометрические условия) и усилиях
(статические условия).
Если края оболочки опираются шарнирно неподвижно, то геометрические и статические краевые условия имеют вид:
при x = 0 и x = a U = V = W = 0 ; M x = 0 ;
при y = 0 и y = b U = V = W = 0 ; M y = 0 .
При жестком закреплении краев оболочки геометрические
и статические краевые условия принимают вид:
∂W
= 0;
при x = 0 и x = a U = V = W = 0 ;
∂x
∂W
= 0.
при y = 0 и y = b U = V = W = 0 ;
∂y
4.9. Алгоритмы расчета напряженно-деформированного
состояния пологих ребристых оболочек при учете
нелинейности деформирования и ползучести бетона
Уравнения равновесия пологих ребристых оболочек с учетом
нелинейности деформирования и развития деформаций ползучести
представляют собой громоздкую систему интегро-дифференциаль124
нениях равновесия, то к функционалам Э = Э y − Э п или Э = Э y − Э c ,
записанным в безразмерных параметрах, применяется метод Ритца
и находится система нелинейных алгебраических или интегроалгебраических уравнений. Нелинейность уравнений заключается
в том, что напряжения нелинейно зависят от деформаций.
Применяется методика решения задачи, основанная на методе
итераций [18]:
для уточнения начального упруго-линейного решения и получения нелинейно-упругого решения при каждом значении параметра нагрузки;
для нахождения деформаций ползучести при каждом значении параметра нагрузки и известном начальном решении линейноупругой задачи при последовательном изменении времени t.
4.9.1. Функционал полной энергии деформации пологой
ребристой оболочки в безразмерных параметрах при учете
нелинейности деформирования и ползучести бетона
Введем безразмерные параметры для оболочки 9 :
x
y
a
ξ = , η= , λ = ,
a
b
b
W
aU
bV
U= 2 , V= 2 , W= ,
h
h
h
b2 K y
a2K x
, Kη =
,
h
h
F
S
J
a4q
F= , S= 2, J= 3, P= 4.
h
h
h
Eh
Kξ =
a
a= ,
h
2
σ=
a σ a 2σ
= 2 .
E
h E
125
(4.40)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Используя безразмерные параметры (4.40), получим деформации ε x , ε y , γ xy , функции изменения кривизн χ1 , χ 2 и кручения χ12
в виде:
11 t
0 0 t0
[(
2
h
∂U ∂ V
+
λ γ xy , γ xy =
;
2
∂η ∂ξ
a
h
h 2
∂ 2W
∂ 2W
=
=
=
χ
χ
−
χ
λ
χ
χ
−
,
,
,
;
2
1
1
2
2
a2
a2
∂ξ 2
∂η2
∂ 2W
h
.
χ12 = 2 λ χ12 , χ12 = −
(4.41)
∂ξ ∂η
a
Подставив деформации ε x , ε y , γ xy , функции изменения кривизн
χ1 , χ 2 и кручения χ12 (4.41) в функционалы (4.24) и (4.25), (4.34),
получим:
E h5 a b
E h5a b
Е h5 a b
,
=
,
=
Э
Э
Э
Э
Эп ,
y
c
c
п
2 1 − µ2 a4
2 1 − µ2 a4
2 1 − µ2 a4
(
)
(
)
(
Здесь a1 = λ4 , a 2 = 2µλ2 , a3 = µ1λ2 , a6 = 2λ4 , a7 = µ1λ2 .
Запишем размерные параметры Ik в виде:
I1 =

h3
4m 
h
+
F
b
+
S
b
+
+ Y )b3 ;
(
)
(

1
2
3 
12

I2 =

h3
4m 
S
b
+
+ Y )b2 + Kb3 ;
(
 1
3 
12

I3 =

h5
4m  h 3
( + Y )b1 + Kb2 + ( + M )b3 ;
3  12
80

)
F=
где
11
)[
{(
]
Э y = ∫ ∫ 1+ F ε x2 + a1ε y2 + a2 ε x ε y + a3 γ 2xy + S [2 ε x χ1 + a2 ε x χ2 +
00
]
)
1

2
+ 1+ F a3 γ 2xy + S 4a 7 γ xy χ12 +  + J  4a 7 χ12
R2 (t, τ)}dξ dη dτ . (4.44)
 12

χ1 =
Эy =
]
h +H
2
∫ dz;
h
S=
h +H
2
h +H
2
h
h
2
∫ Zdz; Y = ∫ Z
2
]
(
)
2
2
1
 2
+  + J  χ1 + a1 χ 2 + a2 χ1 χ 2 + 4a 7 χ12 − 2 1 − µ 2 P W } dξ dη; (4.42)
 12

[
11
]
Эп = ∫ ∫ {I 1 ε x2 + a1ε 2y + a2 ε x ε y + a3 γ 2xy + I 2 [2 ε x χ1 +
00
]
+
[
2
I 3 χ12 + a1χ 22 + a2 χ1 χ 2 + 4a 7 χ12
126
]}dξ dη ,
I1 =
I1 =
(4.43)
dz; K =
h +H
2
2
∫Z
h
3
dz; M =
2
h +H
2
∫Z
h
4
dz ;
2
I3 =
I
I
I1
, I 2 = 22 , I 3 = 33 ;
h
h
h
1
4m 

(1 + F )b1 + S b 2 + ( + J )b 3 ;
4 
12

3a 
I2 =
+ a2 ε x χ2 + a2 χ1ε y + a6 χ2 ε y + 4a 7 γ xy χ12 +
2
в безразмерных параметрах:
+ a2 χ1ε y + a6 χ2 ε y + 4a 7 γ xy χ12 +
[
)]
(

1
+  + J  χ12 + a1χ22 + a2 χ1χ2 R1 (t, τ) +
12


h2 2
∂V
λ εy, εy =
− K ηW ;
2
∂η
a
γ xy =
) (εx2 + a1ε 2y + a2 ε x ε y ) +
+ S (2 ε x χ1 + a2 ε x χ2 + a2 χ1ε y + a6 χ2 ε y ) +
h2
∂U
εx = 2 εx , εx =
− K ξW ;
∂ξ
a
εy =
{[(
Эc = ∫ ∫ ∫ 1 + F
1
4m 

S b1 + ( + J )b 2 + K b3 ;
4 
12

3a 
1
4m  1

( + J )b1 + K b 2 + ( + M )b 3  ,
4 
12
80

3a 
127
(4.45)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
4.9.2. Применение метода Ритца для получения
интегро-алгебраических уравнений для ребристых
пологих оболочек при решении задач ползучести
K
M
J
S
F
где F = , S = 2 , J = 3 , K = 4 , M = 5 .
h
h
h
h
h
Теперь
11
{(
)(
В соответствии с методом Ритца представим искомые функции
U (ξ , η, t ) , V (ξ , η, t ) , W (ξ , η, t ) в виде разложения в ряд:
)
Эy = ∫ ∫ 1+ F ε x2 + 2µλ2 ε x ε y + λ4 ε y2 + µ1λ2 γ 2xy +
(
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
00
)
N
+ 2 S ε x χ1 + µλ2 ε x χ2 + λ4 ε y χ2 + µλ2 ε y χ1 + 2µ1λ2 γ xy χ12 +
(
U = ∑ U ( I ) X 1( I )Y 1( I );
I =1
N
)
1

2
+  + J  χ12 + 2µλ2 χ1χ2 + λ4 χ22 + 4µ1λ2 χ12
−

 12
(
V = ∑ V ( I ) X 2( I )Y 2( I );
)
− 2 1 − µ P W }dξ dη ;
2
(4.48)
I =1
N
(4.46)
W = ∑ W ( I ) X 3( I )Y 3( I ).
I =1
11
{(
)
Здесь U (I ) , V (I ) , W (I ) ~ – неизвестные функции переменной t;
Эn = ∫ ∫ I1 ε x2 + 2µλ2 εx ε y + λ4 ε 2y + µ1λ2 γ 2xy +
00
(
)
+ 2I 2 εx χ1 + µλ2 ε x χ2 + λ4 ε y χ2 + µλ2 ε y χ1 + 2µ1λ2 γ xy χ12 +
(
)}
1
+ I 3 χ12 + 2µλ2 χ1χ2 + λ4 χ22 + 4µ1λ2 χ12
dξ dη .
b1 =
1  2
1
 1
ε + λ4 ε y2 + λ2 ε x ε y + λ2 γ 2xy  = 4 b1;
4 x
4
a 
 a
b2 z =
2
(
)
1 z
1
2εx χ1 + 2λ4ε y χ2 + λ2εx χ2 + λ2ε y χ1 + λ2γ xyχ12 = 4 zb2 ;
4h
a
a
b3 z =
εi =
(4.47)
1 z2
a4 h
(
χ2
2 1
+ λ4 χ22
2
+λ
2
χ1χ2 + λ2 χ12
2 1
b1 + b2 z + b3 z 2 ,
3 a2
) = a 4 z b3 ;
1
2
X 1(I ) − X 3( I ) ~ известные аппроксимирующие функции переменной
ξ , удовлетворяющие при ξ = 0 , ξ = 1 заданным краевым условиям;
Y 1(I ) − Y 3(I ) ~ известные аппроксимирующие функции переменной η ,
удовлетворяющие при η = 0 , η = 1 заданным краевым условиям.
В настоящем исследовании при шарнирно-неподвижном закреплении краев оболочки в качестве аппроксимирующих функций
переменных выбраны синусы различных аргументов.
Подставим (4.48) в (4.40), (4.42) и, найдя производные от
Э = Э y − Эc по неизвестным числовым параметрам U ( ) , V ( ) , W ( ) ,
приравняем их к нулю. В результате получим:
∫ ∫ {(1 + F )[2ε x X 11()Y1() + a2 ε y X 11()Y1() + 2a3 γ xy X 11()Y1()]+
11
00
[
]
+ S 2χ1 X 11()Y 1() + a2 χ 2 X 11()Y 1() + 4a7 χ12 X 1()Y 11() }dξdη =
11 t
{[
= ∫ ∫ ∫ (1 + F )( 2ε x X 11( )Y 1() + a2 ε y X 11()Y 1()) +
z
a
z= ,a= .
h
h
0 0 t0
128
129
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
]
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
+ S (2χ1 X 11()Y 1() + a2 χ 2 X 11()Y1()) R1 (t , τ) +
− a2 ε x X 3()Y 32() − a2 χ1K η X 3()Y 3() −
+ (1 + F ) 2a3 γ xy X 1()Y 11() + S 4a7 χ 2 X 1()Y 11( ) R1 (t , τ)}dξdηdτ;
− а2 ε y X 32()Y 3() − a6 χ 2 K η X 3()Y 3() −
[
]
∫ ∫ {(1 + F )[2a1 ε y X 2()Y 21() + a2 ε x X 2()Y 21() + 2a3 γ xy X 21()Y 2()]+
11
00
[
]}
]
]
− a2 χ1 X 3()Y 32() − a2 χ 2 X 32()Y 3() R1 (t , τ) + 4Sa7 γ xy X 31()Y 31() +
+ S a 2 χ1 X 2()Y 2() + a6 χ 2 X 2()Y 21() + 4a7 χ12 X 21()Y 2() dξ dη =
11 t
1
+ ( + J )4a7 2χ12 X 31()Y 31() R2 (t , τ)dξdηdτ .
12
{[
= ∫ ∫ ∫ (1 + F )( 2ε x X 11()Y 1() + a2 ε y X 11()Y 1()) +
0 0 t0
]
вим
+ S (a 2 χ1 X 2()Y 21() + a6 χ 2 X 2()Y 21()) R1 (t , τ) +
[
дстаТеперь в систему (4.49) вместо ε x , ε y , γ xy , χ1, χ 2 , χ12 подстаN
]
I =1
N
γ xy = ∑ [U (I ) X 1(I )Y 11(I )+ V (I ) X 21(I )Y 2(I )] ;
00
− a2 ε x K η X 3()Y 3() − a2 ε y K ξ X 3()Y 3() +
I =1
[
− a2 ε x X 3()Y 3() − a2 χ1K η X 3()Y 3() − a2 ε y X 32()Y 3() −
]
− a2 χ 2 K η X 3()Y 3() − a6 ε y X 3()Y 32() − 4a7 γ xy X 31()Y 31() +
[
1
+ J ) − 2 χ 1 X 32 (  )Y 3 (  ) − 2 a χ 2 X 3 (  )Y 32 (  ) − a 2 χ 1 X 3 (  )Y 32 (  ) −
12
N
I =1
N
I =1
χ12 = − ∑ W (I ) X 31(I )Y 31(I ).
I =1
В результате получим систему нелинейных интегро-алгебраических уравнений:
N
∑ [U (I )CF1(I, )+ V (I )CF 2(I, )+ W (I )CF 3(I, )]= F1 ( ) ;
]
− a2 χ 2 X 32()Y 3() − 4a7 χ12 X 31()Y 31() −
I =1
{[
N
− 2(1 − µ 2 ) P X 3()Y 3()}d ξ dη = ∫ ∫ ∫ (1 + F )(−2ε x K ξ X 3()Y 3() −
]
− 2a1 ε y K η X 3()Y 3() − a2 ε x K η X 3()Y 3() − a2 ε y K ξ X 3()Y 3() +
+ S − 2χ1K ξ X 3()Y 3() −a2 ε x X 32()Y 3() − a2 χ 2 K ξ X 3()Y 3() −
130
N
χ1 = − ∑ W (I ) X 32(I )Y 3(I ); χ 2 = − ∑ W (I )X 3(I )Y 32(I );
+ S 2χ1K ξ X 3()Y 3() −2ε x X 32()Y 3() − a2 χ 2 K ξ X 3()Y 3() −
[
]
ε y = ∑ [U (I )X 2(I )Y 21(I ) − K ηW (I ) X 3(I )Y 3(I ) ;
∫ ∫ {(1 + F )[− 2ε x K ξ X 3()Y 3() −2a1 ε y K η X 3()Y 3() −
0 0 t0
]
I =1
N
11
11 t
(4.49)
ε x = ∑ [U (I ) X 11(I )Y 1(I ) − K ξW (I ) X 3(I )Y 3(I ) ;
+ (1 + F )2a3 γ xy X 21()Y 2() + S 4a7 χ12 X 21()Y 2() R2 (t , τ)}dξdηdτ;
+(
[
1
− a6 ε y X 3()Y 32() + ( + J ) − 2χ1 X 32()Y 3() −2a1 χ 2 X 3()Y 32() −
12
∑ [U (I )CF 4(I, )+ V (I )CF 5(I, )+ W (I )CF 6(I, )]= F2 ( );
I =1
N
∑ [U (I )CF 7(I, )+ V (I )CF 8(I, )+ W (I )CF 9(I, )] − CP() P = F3 ( );
I =1
 =1, 2,…, N .
131
(4.50)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Здесь
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
∫ ∫ {(1 + F )[2a1ε y X 2()Y 21() + a2 ε x X 2()Y 21() + 2a3 γ xy X 21()Y 2()]+
11
N t
F1 ( ) = ∑ ∫ {[U ( I )CC1( I , ) + V ( I )CC 2( I , ) + W ( I )CC 3( I , )]R1 (t , τ) +
00
[
]
I =1 t0
+ S a2 χ1 X 2()Y 2() + a6 χ 2 X 2()Y 21() + 4a7 χ12 X 21()Y 2() }dξdη =
N t
= ∫ ∫ I 1 2a1 ε y X 2()Y 21() + a2 ε y X 2()Y 21() + 2a3 γ xy X 21()Y 21() +
+ [U ( I )CC 4( I , ) + V ( I )CC 5( I , ) + W ( I )CC 6( I , )]R2 (t , τ)}dτ;
11
F2 ( ) = ∑ ∫ {[U ( I )CC 7( I ,  ) + V ( I )CC 8( I , ) + W ( I )CC 9( I , )]R1 (t , τ) +
I =1 t0
+ [U ( I )CC10( I , ) + V ( I )CC11( I , ) + W ( I )CC12( I , )]R2 (t , τ)}dτ;
[
]
+ I 2 a2 χ1 X 2()Y 21() + a6 χ 2 X 2()Y 21() + 4a7 χ12 X 21()Y 21() }dξdη;
∫ ∫ {(1 + F )[− 2ε x K ξ X 3()Y 3() −2a1 ε y K η X 3()Y 3() −
11
N t
F3 ( ) = ∑ ∫ {[U ( I )CC13( I , ) + V ( I )CC14( I , ) + W ( I )CC15( I , )]×
I =1 t 0
× R1 (t , τ) + [U ( I )CC16( I , ) + V ( I )CC17( I , ) + W ( I )CC18( I , )]×
× R2 (t , τ)}dτ.
00
]
{ [
(4.51)
00
] [
− a2 ε x K η X 3()Y 3() − a2 ε y K ξ X 3()Y 3() + S 2χ1K ξ X 3()Y 3() −
− 2ε x X 32()Y 3() − a2 χ 2 K ξ X 3()Y 3() − a2 ε x X 3()Y 3() −
− a2 χ1K η X 3()Y 3() − a2 ε y X 32()Y 3() − a2 χ 2 K η X 3()Y 3() −
]
− a6 ε y X 3()Y 32() − 4a7 γ xy X 31()Y 31() +
4.9.3. Применение метода Ритца для получения нелинейных
алгебраических уравнений для ребристых пологих оболочек при
решении нелинейно-упругих задач
Подставим (4.48) в (4.40), (4.41) и, найдя производные от
Э = Э y − Эп по неизвестным числовым параметрам U ( ) , V ( ) ,
W ( ) , приравняем их к нулю. В результате получим:
∫ ∫ {(1 + F )[2ε x X 11()Y1() + a2 ε y X 11()Y1() + 2a3 γ xy X 11()Y1()]+
11
00
[
]
+ S 2χ1 X 11()Y 1() + a2 χ 2 X 11()Y 1() + 4a7 χ12 X 1()Y 11() }dξdη =
11
]
{ [
= ∫ ∫ I 1 2ε x X 11()Y1() + a2 ε y X 11()Y1() + 2a3 γ xy X 1()Y 11() +
00
[
]
+ I 2 2χ1 X 11()Y 1() + a2 χ 2 X 11()Y 1() + 4a7 χ12 X 1()Y 11() }dξdη;
132
[
1
+ ( + J ) − 2χ1 X 32()Y 3() − 2aχ 2 X 3()Y 32() − a2 χ1 X 3()Y 32() −
12
]
− a2 χ2 X 32()Y 3() − 4a7 χ12 X 31()Y 31() − 2(1− µ2 )P X 3()Y 3()}dξ dη =
11
{ [
= ∫ ∫ I 1 − 2ε x K ξ X 3()Y 3() − 2a1 ε y K ξ X 3()Y 3() −a 2 ε x K ξ X 3()Y 3() −
00
]
[
− a2 ε y K ξ X 3()Y 3() + I 2 − 2χ1K ξ X 3()Y 3() − 2ε x X 3()Y 3() −
− a2 χ 2 K ξ X 3()Y 3() − a2 ε x X 3()Y 32() − a2 χ1K η X 3()Y 3() −
− a2 ε y X 32()Y 3() − a6 χ 2 K η X 3()Y 3() −
] [
− a6 ε y X 3()Y 32() − 4a7 γ xy X 31()Y 31() + I 3 − 2χ1 X 32()Y 3() −
− 2aχ 2 X 3()Y 32() − a2 χ1 X 3()Y 32() − a2 χ 2 X 32()Y 3() −
]
− 4a7 2χ12 X 31()Y 31() }− 2(1 − µ 2 ) P X 3()Y 3()}dξdη.
133
(4.52)
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
жно
Теперь в систему (4.52) вместо ε x , ε y , γ xy , χ1 , χ 2 , χ12 нужно
подставить
П3 () = −∫ ∫ {I 1[(2ε x Kξ + a2 Kη ε y )b5 + (2a1ε y Kη + a2 ε y Kξ )b5 +
N
N
]
+ (a2 ε x + a6 ε y )b7 + 4a7 γ xyb8 + I 3[(2χ1 + a2 χ2 )b6 +
]
+ (a2 χ1 + 2a1 χ 2 )b7 + 8a7 χ12b8 }dξ dη,
]
ε y = ∑ [U (I )X 2(I )Y 21(I ) − K ηW (I ) X 3(I )Y 3(I ) ;
I =1
[
]
00
+ I 2 (2χ1 + a2 χ2 )Kξb5 + (a2 χ1 + a6 χ2 )Kµb5 + (2ε x + a2 ε y )b6 +
]
ε x = ∑ [U (I ) X 11( I )Y 1( I ) − K ξW (I ) X 3( I )Y 3(I ) ;
I =1
11
(4.54)
где b1 = X 1′()Y 1() , b2 = X 1()Y 1′() , b3 = X 2( )Y 2′( ) ,
N
γ xy = ∑ [U (I ) X1(I )Y 11(I ) + V (I ) X 21(I )Y2(I )] ;
b4 = X 2′()Y 2() , b5 = X 3( )Y 3( ) , b6 = X 3′′()Y 3( ) ,
I =1
χ1 = − ∑ W (I )X 32(I )Y 3(I ); χ 2 = − ∑ W (I )X 3(I )Y 32(I );
b7 = X 3( )Y 3′′( ) , b8 = X 3′( )Y 3′( ) .
При использовании метода упругих решений А. А. Ильюшина [7] двойные интегралы П1 ÷ П 3 будут вычисляться при извест-
χ12 = − ∑ W (I ) X 31(I )Y 31(I ).
ных значениях ε x , ε y , γ xy , χ1 , χ 2 , χ12 .
N
N
I =1
N
I =1
I =1
В результате получим систему нелинейных алгебраических
уравнений:
N
∑ [U (I )CF 1(I, )+ V (I )CF 2(I, )+ W (I )CF 3(I, )]= П1 ( );
Кратко системы (2.13) и (2.16) запишем в виде:
Fу ( X ) − f P = D ( X ) ,
I =1
N
∑ [U (I )CF 4(I, )+ V (I )CF 5(I, )+ W (I )CF 6(I, )]= П 2 ( );
N
∑ [U (I )CF 7(I, )+ V (I )CF 8(I, )+ W (I )CF 9(I, )] − CP() P = П3 ( );
I =1
где
(4.53)
11
]
[
П 1 ( ) = ∫ ∫ {I 1 [( 2ε x + a 2 ε y )b1 + 2 a3 γ xy b2 + I 2 ( 2χ1 + a 2 χ 2 )b1 +
00
11
]
+ 4 a7 χ12 b2 }dξd η;
]
[
П 2 ( ) = ∫ ∫ {I 1 [( 2 a1 ε y + a 2 ε x )b3 + 2 a3 γ xy b4 + I 2 ( a 2 χ1 + a6 χ 2 )b3 +
00
]
+ 4 a7 χ12 b4 }dξdη;
134
(4.55)
где D ( X ) = Fn ( Х ) , если решаются физически нелинейные задачи,
I =1
 = 1,2,…, N ,
4.9.4. Методика решения нелинейных алгебраических
и интегро-алгебраических уравнений
или D ( X ) = Fс ( Х ) , если решаются задачи ползучести.
Здесь Fу ( X ) − f P − левые части системы (2.13) или (2.16);
Fп ( X ) = (П1 , П 2 , П 3 )Т ; Fс ( X ) = ( F1 , F2 , F3 )Т ;
X = [ U ( I ), V ( I ), W ( I )]T .
Для линейно-упругой задачи при нагрузке P = Р1 находится
решение линейного уравнения:
Fу ( X ) − f P1 = 0.
(4.56)
Для нахождения нелинейно-упругого решения при некоторой
нагрузке P = Р1 решается итерационная задача Fу ( X i ) − f P1 =
= Fп ( X i −1 ) до тех пор, пока предыдущее решение не будет отличать135
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
ся от последующего на величину заданной погрешности. За X 0 берется решение линейно-упругой задачи при P1 .
При решении задачи ползучести Fс ( X ) представляется в виде:
Fс ( X ) =
t
∫ [Ф1 ( X (τ) )R1 (t, τ)+ Ф2 ( X( τ) )R2 (t, τ)]dτ .
t0
(4.57)
В работе В. И. Климанова и С. А. Тимашева [12] применяется
следующая методика.
Отрезок интегрирования [t0 , t k ] разобьем на частичные отрез-
ки [ti −1 , ti ] с шагом ∆ t (в дальнейшем шаг по t будем брать
ть
∆ t = 1 сутки)
k
Fс ( X ) = ∑
ti
∫ [Ф1 ( X( τ) )R1 (t k , τ )+ Ф2 ( X( τ) )R2 (t k , τ )]d τ.
i =1 t i −1
(4.58)
На каждом частичном отрезке интеграл вычислим приближенно по формуле прямоугольников
ti
∫ [Ф1 ( X( τ))R1 (tk , τ) + Ф2 ( X( τ))R2 (tk , τ)]dτ ≈
t i −1
≈ [Ф1 ( X(ti −1 ))R1 (tk , ti −1 ) + Ф2 ( X(ti −1 ))R2 (t k ,ti −1 )] ∆ t.
(4.59)
Обозначим R1 = R1(t k , ti −1 )∆t , R 2 = R2 (t k , ti −1 )∆t .
Таким образом, Fс ( X ) при t = t k будет иметь вид:
k
[
]
Fс ( X ) = ∑ Ф1 ( X(ti −1 ))R1 + Ф2 ( X(ti −1 ))R 2 .
i=1
(4.60)
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Fу ( X i ) − f P1 = Fc ( X i −1 ) .
(4.61)
Процесс по временной координате t продолжается до тех пор,
пока прогиб не начнет резко возрастать. Время, при котором это происходит, будет определено как критическое время t кр .
4.10. Программа расчета пологих ребристых оболочек при
учете ползучести и физической нелинейности бетона
Алгоритм расчета пологих ребристых оболочек при учете ползучести и физической нелинейности бетона реализован в виде программного комплекса для ЭВМ [Свидетельство о государственной
регистрации программы для ЭВМ, № 2011613074 PologObolochka,
18 апреля 2011 г.]. Программный комплекс PologObolochka составлен в соответствии с тематикой гранта «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 гг.)», тема
№ 2.1.2/6146.
Программный комплекс PologObolochka написан в среде Delphi
7 на языке Object Pascal, реализован в виде консольного приложения, чтобы не тратить лишнюю память на вывод графической информации. Все результаты вычислений выводятся в отдельные текстовые файлы. Графики строятся в Maple 7 по данным из текстовых
файлов. Наиболее характерные результаты расчетов оболочек приведены в соответствующих разделах диссертации. Кроме того, в рамках гранта разработана программа исследования ребристых пологих
оболочек с учетом геометрической нелинейности.
4.11. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек
при линейно-упругом деформировании
Аналогичная замена интеграла интегральной суммой при
расчете оболочек использовалась в работах В. И. Климанова
и С. А. Тимашева [12], В. В. Карпова [9].
При решении задачи ползучести при некоторой нагрузке P1
вначале находится решение линейно-упругой задачи X (t0 ). Затем этоо
решение подставляется в Fс ( X ) и решается опять-таки линейноупругая задача с известной правой частью в линейных алгебраических уравнениях. Итерационный процесс по временной координате t
можно записать в виде:
Так как все решения целесообразно проводить в безразмерных
параметрах, в табл. 4.3 представлены размерные параметры для некоторых реальных вариантов оболочек и соответствующие им безразмерные параметры. Используя формулы перехода от безразмерных
136
137
4.11.1. Реальные варианты оболочек и их безразмерные
параметры
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
параметров к размерным, можно получить все характеристики НДС
для конкретных вариантов оболочек и конкретных видов материала.
равномерно-распределенной поперечной нагрузки. Оболочки могут
быть гладкими (без ребер) либо подкрепленными шестью (по три
ребра в каждом направлении) или 18 (по девять ребер в каждом направлении) регулярно расположенными ребрами высотой 3 h и ши-
Таблица 4.3
Размерные и безразмерные параметры оболочек разных вариантов
Номер
варианта
оболочки
I
II
III
Стрела
Безразмерные параметры
подъR = R1 = R 2 K ξ = K η
a=b
ема d
Размерные параметры, м
а=b
R = R1 = R2
h
54
36
27
18
36
27
18
27
18
13,5
135,9
90,6
67,95
45,3
90,6
67,95
45,3
67,95
45,3
34
0,09
0,06
0,045
0,03
0,18
0,135
0,09
0,27
0,18
0,135
600
1510
238
риной 2 h , направленными параллельно осям координат..
На рис. 4.3–4.5 в качестве примеров с результатами расчета конкретных оболочек представлены графики «нагрузка Р – прогиб W »
для оболочек вариантов I, II, III соответственно.
120 000
29,75h
31
200
503
79,5
10h
80 000
100
251,5
39,76
5h
P
21
60 000
40 000
2
a
а
R
Здесь a = , R = , K ξ =
.
hR1
h
h
В табл. 4.4 приводятся расчетные сопротивления сжатию и растяжению бетона и модули упругости для разных классов бетона [25, 26].
Таблица 4.4
Расчетные сопротивления сжатию и растяжению бетона (призменные
прочности) и модули упругости
Параметр
Rb , МПа
Rbt , МПа
−4
Eb ⋅ 10 , МПа
В25
14,5
1,05
3,0
3
100 000
Класс бетона по прочности на сжатие
В30
В35
В40
В45
В50
17,0
19,5
22,0
25,0
27,5
1,20
1,30
1,40
1,45
1,55
3,25
3,45
3,60
3,75
3,90
11
20 000
0
0,2
2
1
0,4
0,6
0,8
W
Рис. 4.3. График «нагрузка Р – прогиб W » для оболочки вариантаа I
8000
1
3
3
6000
В55
30,0
1,60
3,95
21
P
2
4000
2000
4.11.2. Допускаемые нагрузки для различных вариантов оболочек
11
1
При проведении вычислительного эксперимента рассматриваются квадратные в плане пологие оболочки, имеющие шарнирнонеподвижное закрепление по контуру и находящиеся под действием
Рис. 4.4. График «нагрузка Р – прогиб W » для оболочки вариантаа II
138
139
0
0,2
0,4
0,6
0,8
W
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
1400
3
1200
21
1000
P
Армирование железобетонных оболочек толщиной до 5 см, как
правило, осуществляется одной сеткой; при толщине оболочки 5 см
и более – сетками, расположенными в двух уровнях.
Например, при толщине железобетонной оболочки 3 см при
одноуровневом расположении арматурной сетки из проволоки клас-
3
1
2
800
са Вр-I диаметром 3 мм ( Es = 1,7 ⋅ 105 МПа) с размером ячейки сетки
100 мм приведенный модуль упругости железобетона составит (при
600
400
11
1
бетоне класса В30 с Eb = 3,25 ⋅10 4 МПа).
200
0
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Em =
0,2
0,4
0,6
0,8
W
Рис. 4.5. График «нагрузка Р – прогиб W » для оболочки вариантаа III
На приведенных рисунках кривые с номером 1 соответствуют
оболочке без ребер, кривые 2 – оболочке, подкрепленной шестью
ребрами, 3 – оболочке, подкрепленной 18 ребрами. Кривые без индекса соответствуют прогибу в центре оболочек, с верхним индексом 1 – в четверти оболочки.
Как показали расчеты, наличие ребер в оболочках существенно
понижает величину их прогиба. При подкреплении оболочки 18 ребрами снижение ее прогибов по сравнению с прогибами оболочки без
ребер при одной и той же нагрузке составляет для оболочек разных
вариантов: варианта I – на 55 %, варианта II – на 65 %, варианта III –
на 40 %.
Приведенный начальный модуль упругости железобетона Еm
принимается в виде (см. параграф 1.9):
A − As
A
+ Es s ,
(4.62)
A
A
где A s – площадь сечения арматуры в границах площади единицы
длины сечения оболочки А; А – площадь единицы длины сечения
оболочки, A = h ⋅ s ; s – размер ячейки арматурной сетки; h – толщина
оболочки.
Em = Eb
140
(0,071 ⋅ 10 − 4 ⋅17,0 + (0,03 × 0,1 − 0,071 ⋅ 10 − 4 ) 3,25)10 4
=
0,03 ⋅ 0,1
= 3,283 ⋅ 104 МПа.
При толщине оболочки 9 см и двухуровневом расположении
арматурной проволочной сетки (Ж 4 мм, размер ячейки – 100 мм)
условный приведенный модуль упругости железобетона составит:
Em =
(2 ⋅ 0,13 ⋅10 − 4 ⋅17,0 + (0,09 ⋅ 0,1 − 2 ⋅ 0,13 ⋅10− 4 ) 3,25)10 4
=
0,09 ⋅ 0,1
= 3,294 ⋅10 4 МПа.
Как следует из анализа полученных результатов, значение приведенного начального модуля железобетона Em незначительно превосходит начальный модуль упругости бетона Eb . Соответственно,
для оценочного анализа НДС железобетонных оболочек можно
в программном комплексе расчета оболочек задаваться прочностными характеристиками бетона.
Для анализа прочности бетона оболочек применяется критерий
(условие прочности) Кулона – Мора
σ1 −
Rbt
σ 3 ≤ σ доп .
Rb
(4.63)
Главные напряжения σ1 и σ 3 определяются в бетоне на верхней поверхности оболочки при z = − h / 2 . Обобщенный коэффициент запаса прочности принимается k = 2 . Левая часть критерия Ку141
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Rbt
σ3 и представляет собой
Rb
максимальное рабочее напряжение в рассматриваемой точке. По результатам расчетов становится целесообразно строить графики
распределения (эпюры) таких напряжений σ g по полю оболочек с це-
лона – Мора обозначается так: σ g = σ1 −
лью графической иллюстрации изменения напряженного состояния оболочек для различных величин нагрузок (см., например, рис. 4.6–4.10).
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
оболочек вариантов I, II, III при классах бетона В55, В40 и В30 соответственно [19].
Таблица 4.6
Допускаемые нагрузки для оболочек вариантов I, II, III
Номер
варианта
оболочки
I
Для проведения анализа НДС оболочек значения Rb и Rbt для
бетона принимаются согласно табл. 4.4.
С использованием формулы перехода к безразмерным парамет-
II
a 2σ
, определяются безразмерные значения
E
III
рам для напряжения σ =
допускаемых напряжений σдоп для различных вариантов оболочек
при разных классах бетона. Выборочные значения допускаемых напряжений σдоп приведены в табл. 4.5.
Таблица 4.5
Безразмерные допускаемые напряжения для разных вариантов
оболочек и разных классов бетона
Класс
бетона
Модуль упругости
бетона Е, МПа
В55
В40
В30
4 ⋅ 104
3,6 ⋅ 104
3,25 ⋅ 104
Безразмерные значения допускаемых
напряжений σдоп
для оболочек вариантов
I
II
III
7,2
0,8
0,2
7,0
0,78
0,19
6,65
0,74
0,18
Для оболочек вариантов I, II, III находим допускаемую нагрузку qдоп из условия потери прочности бетона оболочек с использоваE P доп
. В табл. 4.6 представлены неa4
которые результаты расчета допускаемой размерной нагрузки q доп
нием формулы перехода qдоп =
и допускаемой безразмерной нагрузки Р доп (цифры в скобках) для
142
Число
ребер
0
6
18
0
6
18
0
6
18
σдоп 103, МПа ( Р доп )
для бетона
класса В55
1,80 (5832)
3,11 (10076)
4,44 (14 386)
4,13 (1652)
6,40 (2560)
13,33 (5332)
6,67 (167)
10,67 (267)
21,33 (533)
для бетона
класса В40
1,56 (5616)
2,72 (9792)
3,89 (14 004)
3,63 (1613)
5,62 (2498)
11,70 (5200)
5,70 (158)
9,12 (253)
18,24 (507)
для бетона
класса В30
1,33 (5304)
2,33 (9291)
3,34 (13 319)
3,10 (1526)
4,80 (2363)
10,0 (4923)
4,87 (150)
7,80 (240)
15,60 (480)
На основании анализа результатов расчета допускаемой нагрузки (см. табл. 4.6) считаем обоснованными выводы о том, что наличие ребер жесткости оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние оболочек, приводит к увеличению
значений допускаемых нагрузок на них, в сравнении с допускаемыми нагрузками на гладкие оболочки. Подкрепление оболочек ребрами жесткости позволяет значительно увеличивать несущую способность оболочек.
Так, увеличение допускаемых нагрузок на оболочки варианта
I, подкрепленных шестью ребрами, составляет 75 %, на оболочки
варианта II – 55 %, варианта III – 60 %. Аналогично, увеличение
допускаемых нагрузок на оболочки при подкреплении их 18 ребрами составляет: для оболочек варианта I – 150 %, для оболочек варианта II – 222 %, для варианта III – 220 %.
Как показали проведенные расчеты, наличие ребер в оболочках
существенно понижает величину их прогиба. Например, при подкреплении оболочки 18 ребрами снижение прогиба в центре оболочки, по сравнению с прогибом оболочки без ребер при одной и той же
величине нагрузки, составляет: для оболочек варианта I – 55 %,
II – 65 %, III – 40 %.
143
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
4.11.3. Анализ распределения прогибов и напряжений по полю
оболочки
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
P = 10 000
P = 70 000
На рис. 4.6–4.8 представлены функции прогиба W
Rbt
σ3 (названные на рисунках функциями интенсивносRb
ти) для оболочки варианта I при соответствующих нагрузках
и σ g = σ1 −
( Р = 10 000 соответствует q = 2,25 ⋅ 10 − 3 МПа , Р = 40 000 соответетствует q = 9 ⋅10 − 3 МПа , Р = 70 000 соответствует q = 1,62 ⋅ 10 − 2 МПа ,
−3
етР = 20 000 соответствует q = 4,5 ⋅ 10 МПа , Р = 120 000 соответ-
ствует q = 2,8 ⋅ 10− 2 МПа ).
На рис. 4.6 представлены результаты расчета для гладкой оболочки, на рис. 4.7 – для оболочки, подкрепленной шестью ребрами,
на рис. 4.8 – то же, подкрепленной 18 ребрами. Как видно из этих
рисунков, максимум напряжений находится в угловых точках оболочки.
P = 10 000
Рис. 4.7. Функции прогиба W и σg для оболочки вариантаа I
с шестью ребрами
P = 20 000
P = 12 0000
P = 40 000
Рис. 4.6. Функции прогиба W и σg для гладкой оболочки вариантаа I
144
Рис. 4.8. Функции прогиба W и σg для оболочки вариантаа I с 18 ребрами
145
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Чтобы снизить напряжения в угловых точках, подкрепим оболочку двумя парами контурных ребер высотой 5h и шириной 12h .
Для достижения приемлемого времени расчета на ЭВМ одного
варианта оболочек, не теряя существенно точности расчета, достаточно брать девять членов разложения перемещений в ряды, т. е.,
принимать N = 9 в формуле (4.48).
На рис. 4.9 представлены функции «W – σg » для оболочки вариантаа I.
Из этого рисунка видно, что произошло не только перераспределение напряжений, но и существенное снижение уровня напряжений.
P = 10 000
P = 40 000
4.12. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек
при длительном нагружении
В результате развития деформаций ползучести материала во
времени начинается бурный рост прогибов оболочек (в 10…15 раз
превышающих прогибы оболочек при t = 0 ). Время, при котором этоо
наступает, принимается за критическое время tкр .
Рис. 4.9. Функции прогиба «W – σg » для оболочки вариантаа I
с контурными ребрами шириной 12h
Как показали расчеты, наличие ребер в оболочках существенно
влияет на ее НДС, повышает величину допускаемой нагрузки относительно оболочек без ребер. Например, при подкреплении оболочек 18 ребрами ее прогибы при одной и той же нагрузке снижаются
от 40 до 65 % относительно прогибов оболочки без ребер. Величины
допускаемых нагрузок на ребристые оболочки повышаются от 150
до 220 % по сравнению с гладкими оболочками.
Таким образом, используя полученные результаты, можно подобрать соответствующую толщину проектируемой оболочки, размер и число подкрепляющих оболочку ребер, надлежащее армирование по полю оболочки.
146
На рис. 4.10, 4.11 представлены графики «W − t », полученные
при различных значениях нагрузки для оболочки варианта I (о вариантах оболочек см. табл. 4.3).
На рис. 4.10 приведены зависимости «W (0,25; 0,25) − t » для не
подкрепленной ребрами оболочки. Кривая 1 соответствует нагрузке
Р = 20 ⋅103 , кривая 2 – нагрузке Р = 25 ⋅ 103 , кривая 3 – Р = 30 ⋅ 103 ,
кривая 4 – Р = 35 ⋅ 103 , кривая 5 – Р = 40 ⋅103 .
На рис. 4.11 даются зависимости «W (0,5; 0,5) − t » для оболочки, подкрепленной 18 ребрами. Кривая 1 соответствует нагрузке
3
3
Р = 50 ⋅ 103 , кривая 2 – нагрузке Р = 60 ⋅ 10 , кривая 3 – Р = 80 ⋅ 10 ,
кривая 4 – Р = 100 ⋅ 103 , кривая 5 – Р = 120 ⋅ 103 .
3
2,5
W
5
4
3
2
1
2
1,5
1
0,5
0
t
Рис. 4.10. Зависимость «W (0,25; 0,25) − t » для гладкой оболочки
147
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
3
2,5
5
4
3
2
W
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
T, сут
1
Напряжение σ g
Прогиб W
T=0
2
1,5
1
0,5
0
T = 30
t
Рис. 4.11. Зависимость «W (0,5; 0,5) − t » для оболочки, подкрепленной
18 ребрами
На рис. 4.12 для нагрузки Р = 30 ⋅ 103 представлен характер изме-
Rbt
σ3 , обознаRb
ченного как функция интенсивности напряжений, для неподкрепленной ребрами оболочки. На рис. 4.13 представлены аналогичные результаты для оболочки, подкрепленной 18 ребрами, при нагрузке Р = 80 ⋅ 103 .
Как видно из этих рисунков, при развитии деформаций ползучести материала оболочки со временем происходит не только рост
прогибов и напряжений, но и перераспределение напряжений по полю
оболочки. Так, например, максимум напряжений из угловых точек
оболочки смещается по всему наружному контуру оболочки.
a
) потеря прочДля рассматриваемых тонких оболочек ( h =
600
ности происходит при t > t кр .
В табл. 4.7 приведены зависимости « Р − tкр » для варианта оболочки I.
нения во времени прогиба W и напряжения σ g = σ1 −
T = 70
T = 100
T = 118
Таблица 4.7
Оболочка без ребер
tкр , сут
Р
20 000
250
25 000
30 000
35 000
40 000
Оболочка, подкрепленная 18 ребрами
tкр , сут
Р
50 000
128
135
90
70
55
60 000
80 000
100 000
120 000
148
86
48
32
20
Рис. 4.12. Функции прогиба W и σ g для гладкой оболочки, при Р = 30 ⋅ 103
149
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
T, сут
Напряжение σ g
Прогиб W
T=0
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Для большей наглядности эти результаты расчета представлены
графически (рис. 4.14).
140 000
140000
120000
120 000
100000
100 000
PP
T = 20
2
80000
80 000
60000
60 000
1
40000
40 000
20000
20 000
00
0
50
100
150
200
250
300
t
T = 30
Рис. 4.14. Зависимости « Р − tкр » для варианта оболочки I
Кривая 1 на рис. 4.14 соответствует оболочке без ребер, кривая
2 – оболочке, подкрепленной 18 ребрами.
Для не подкрепленной ребрами оболочки варианта II на рис. 4.15
представлены зависимости «W (0,5; 0,5) − t », полученные при различ-
T = 40
3
4
2,5
2
T = 48
W
5
3
1
2
1,5
1
0,5
0
t
Рис. 4.13. Функции прогиба W и σ g для оболочки, подкрепленной
18 ребрами, при Р = 80 ⋅103
Рис. 4.15. Зависимости «W (0,5; 0,5) − t » для гладкой оболочки варианта II
150
151
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
ных значениях нагрузки: кривая 1 соответствует нагрузке Р = 1500 ,
кривая 2 − Р = 2000 , кривая 3 – Р = 2500 , кривая 4 – Р = 2700 , кри-
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Т, сут
Напряжение σ g
Прогиб W
T=0
вая 5 – Р = 2800 . На рис. 4.16 – зависимости «W (0,25; 0,25) − t » для
оболочки, подкрепленной 18 ребрами.
3
5
4
3
2,5
2
T = 25
2
W
1,5
1
1
0,5
T = 40
0
t
Рис. 4.16. Зависимости «W (0,25; 0,25) − t » для оболочки варианта II,
подкрепленной 18 ребрами
На рис. 4.16 кривая 1 соответствует нагрузке Р = 4000 , кривая
ая 5 –
2 − Р = 5000 , кривая 3 – Р = 6000 , кривая 4 – Р = 7000 , кривая
Р = 8000.
T = 60
На рис. 4.17 при Р = 2500 представлен характер изменения воо
Rbt
σ3 , обозначенногоо
Rb
как функция интенсивности, для неподкрепленной ребрами оболочки. На рис. 4.18 представлены аналогичные результаты расчета при
времени прогиба W и напряжения σ g = σ1 −
Р = 6000 для оболочки, подкрепленной 18 ребрами.
Из рисунков видно, что и для варианта оболочки II при развитии деформаций ползучести бетона оболочки со временем происходит рост и перераспределение напряжений по полю оболочки. Для
варианта оболочки II потеря прочности произойдет при t < tкр (примерно при 0,75 tкр ).
152
T = 66
Рис. 4.17. Функции прогиба W и σ g для гладкой оболочки, при Р = 2500
153
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Т, сут
Напряжение σ g
Прогиб W
T=0
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
В табл. 4.8 приведены зависимости « Р − tкр » для варианта оболочки II.
Таблица 4.8
Оболочка без ребер
tкр , сут
Р
1500
2000
2500
2700
2800
T = 50
Оболочка с 18 ребрами
tкр , сут
Р
193
115
70
55
50
4000
5000
6000
7000
8000
800
385
220
150
120
Для большей наглядности эти зависимости представлены еще
и графически (см. рис. 4.19).
T = 130
9000
8000
2
7000
6000
P P 5000
T = 180
4000
1
3000
2000
1000
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
tt
T = 206
Рис. 4.19. Зависимости « Р − tкр » для варианта оболочки II
Для не подкрепленной ребрами оболочки варианта III на рис.
Рис. 4.18. Функции прогиба W и σ g для оболочки, подкрепленной
4.20 представлены зависимости «W (0,5; 0,5) − t », полученные при
различных значениях нагрузок: кривая 1 соответствует нагрузке
18 ребрами, при Р = 6000
Р = 300 , кривая 2 – Р = 350 , кривая 3 – Р = 400 , кривая
ая 4 – Р = 500 ,
кривая 5 – Р = 510 .
154
155
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
3
На рис. 4.22 представлены зависимости «W (0,5; 0,5) − t » для
оболочки, подкрепленной 18 ребрами. Кривая 1 соответствует на-
2,5
ая 4 –
грузке Р = 700 , кривая 2 – Р = 800 , кривая 3 – Р = 900 , кривая
4
2
W
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
3
5
2
Р = 1000 , кривая 5 – Р = 1400 .
1
3
1,5
5
2,5
4
3
2
1
2
0,5
W
0
1,5
1
1
t
Рис. 4.20. Зависимости «W (0,5; 0,5) − t » для гладкой оболочки варианта III
0,5
0
На рис. 4.21 представлены зависимости «W (0,5; 0,5) − t » для
оболочки, подкрепленной шестью ребрами. Кривая 1 соответствует
ая 4 –
нагрузке Р = 450 , кривая 2 – Р = 600 , кривая 3 – Р = 700 , кривая
Р = 870 , кривая 5 – Р = 970 .
5
4
3
1
1,5
1
0,5
0
t
Рис. 4.21. Зависимости «W (0,5; 0,5) − t » для оболочки варианта III, подкрепленной шестью ребрами
На рис. 4.24 приведены аналогичные результаты расчета при
Р = 700 для оболочки, подкрепленной 6 ребрами, а на рис. 4.25 –
результаты расчета при Р = 900 для оболочки, подкрепленной 18 ребрами.
Из рисунков видно, что и для варианта оболочки III при развитии ползучести материала оболочки со временем происходит рост
и перераспределение напряжений по полю оболочек. Потеря прочности происходит при t < tкр (примерно при 0,6 tкр ).
В табл. 4.9 приведены зависимости « Р − tкр » для оболочки варианта III.
156
Rbt
σ3 для неподкрепRb
ленной оболочки.
2
2
W
На рис. 4.23 при Р = 400 представлен характер изменения во
о
времени прогиба W и напряжения σ g = σ1 −
3
2,5
t
Рис. 4.22. Зависимости «W (0,5; 0,5) − t » для оболочки варианта III,
подкрепленной 18 ребрами
157
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Т, сут
Напряжение σ g
Прогиб W
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Т, сут
T=0
T=0
T = 30
T = 50
T = 70
T = 130
T = 100
T = 180
T = 125
T = 200
Рис. 4.23. Функции прогиба W и σ g для гладкой оболочки при Р = 400
Напряжение σ g
Прогиб W
Рис. 4.24. Функции прогиба W и σ g для оболочки, подкрепленной шестью
ребрами, при Р = 700
158
159
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Т, сут
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Таблица 4.9
Напряжение σg
Прогиб W
T=0
Оболочка без ребер
tкр , сут
Р
300
350
400
500
550
T = 100
Оболочка с шестью
ребрами
tкр , сут
Р
220
170
135
90
80
450
600
700
870
970
Оболочка с 18
ребрами
tкр , сут
Р
355
250
200
140
110
700
800
900
1000
1400
800
550
355
295
130
Для большей наглядности эти зависимости представлены графически (рис. 4.26).
1800
T = 250
1600
1400
3
1200
PP
1000
2
800
1
600
400
200
T = 350
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
tt
Рис. 4.26. Зависимости « Р − tкр » для варианта оболочки III
T = 375
Рис. 4.25. Функции прогиба W и σ g для оболочки, подкрепленной
18 ребрами, при Р = 900
160
Кривые 1, 2 и 3 соответствуют оболочке без ребер; оболочке с
шестью ребрами; оболочке с 18 ребрами.
Исследование пологих железобетонных ребристых оболочек с
учетом развития деформаций ползучести показало, что со временем
происходит перераспределение напряжений по полю оболочек и максимум напряжений наблюдается вблизи контуров оболочек. В результате развития деформаций ползучести происходит со временем потеря устойчивости оболочек. Таким образом, критические нагрузки
на оболочки снижаются по сравнению с величинами критических
161
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
нагрузок, найденных при линейно-упругом деформировании, что
необходимо учитывать при проектировании конструкций оболочек.
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
Прогибы W
P
40 000
Напряжения σ g
4.13. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек
при учете физической нелинейности бетона
Для старого бетона секущий модуль упругости можно принять
в виде:
Ec = E (1 − ω(ε i )) ,
где ω(εi ) = 0,111(
E 2 2
) εi .
Rb
На рис. 4.27 для оболочки без ребер с параметрами a = b = 600 ,
K ξ = K η = 238 представлены зависимости « P − W ». Кривые 1 и 2
соответствуют прогибу в четверти пролета оболочки W (0,25; 0,25)
и в центре оболочки W (0,5; 0,5) .
На рис. 4.28 для этой же оболочки представлены функции прогибов и напряжений σ g = σ1 −
На рис. 4.29 представлены зависимости « P − W » для оболочки
с параметрами a = b = 200 , K ξ = K η = 79,5 без ребер, а на рис. 4.30 –
функции прогибов и напряжений σ g при различной нагрузке.
На рис. 4.31, 4.32 даны аналогичные результаты для той же оболочки, подкрепленной шестью ребрами, а на рис. 4.33, 4.34 – для оболочки, подкрепленной 18 ребрами.
Rbt
σ3 при нагрузке 40 000.
Rb
40 000
2
2
2
30 000
P
Рис. 4.28. Функции прогиба W и σ g для гладкой оболочки при Р = 40 000
P
1
20 000
10 000
0,05
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,1
0,15
0,5
W
Рис. 4.27. Зависимость « P − W » для гладкой оболочки с параметрами
0,25
0,3
0,35
Рис. 4.29. Зависимость « P − W » для гладкой оболочки с параметрами
a = b = 200 , K ξ = K η = 79,5
a = b = 600 , K ξ = K η = 238
162
0,2
W
163
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Напряжения σ g
Прогибы W
P
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
1
2000
2
P
Рис. 4.30. Функции прогиба W и σ g для гладкой оболочки при Р = 2000
2
W
1
Рис. 4.33. Зависимость « P − W » для оболочки, подкрепленной 18 ребрами,
с параметрами a = b = 200 , K ξ = K η = 79,5
P
Напряжения σ g
Прогибы W
P
2500
W
Рис. 4.31. Зависимость « P − W » для оболочки, подкрепленной шестью
ребрами, с параметрами a = b = 200 , K ξ = K η = 79,5
P
Напряжения σ g
Прогибы W
2000
Рис. 4.34. Функции прогиба W и σ g для оболочки, подкрепленной
18 ребрами, при Р = 2500
На рис. 4.35 представлены зависимости « P − W » для оболочки
без ребер с параметрами a = b = 100 , K ξ = K η = 40 , а на рис. 4.36 –
ребрами, при Р = 2000
функции прогибов и напряжений σ g при различной нагрузке. На рис.
4.37, 4.38 приводятся аналогичные результаты для той же оболочки,
подкрепленной шестью ребрами, а на рис. 4.39, 4.40 – для оболочки,
подкрепленной 18 ребрами.
164
165
Рис. 4.32. Функции прогиба W и σ g для оболочки, подкрепленной шестью
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
2
1
1
2
P
P
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
W
Рис. 4.35. Зависимость « P − W » для гладкой оболочки
с параметрами a = b = 100 , K ξ = K η = 40 \
P
Напряжения σ g
Прогибы W
300
W
Рис. 4.37. Зависимость « P − W » для оболочки, подкрепленной шестью
ребрами, с параметрами a = b = 100 , K ξ = K η = 40
P
Напряжения σ g
Прогибы W
300
Рис. 4.36. Функции прогиба W и σ g для гладкой оболочки при Р = 300
Анализ приведенных результатов расчетов в геометрически
линейной и физически нелинейной постановках показывает, что оболочки вариантов I и II, не подкрепленные ребрами, не теряют устойчивости. Оболочки варианта III, при тех же условиях, и оболочки
варианта II, подкрепленные ребрами, теряют устойчивость, что для
железобетонных оболочек недопустимо. Расчетами выявлено, что при
учете физической нелинейности существенно возрастают деформации, а уровень напряжений при этом понижается.
166
Рис. 4.38. Функции прогиба W и σ g для оболочки, подкрепленной шестью
ребрами, при Р = 300
Однако некоторые оболочки (оболочки вариантов II и III) в условиях физической нелинейности теряют устойчивость при нагрузке меньше допускаемой, найденной при линейно-упругом деформировании.
167
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности ...
В табл. 4.5 для рассматриваемых вариантов оболочек представлены результаты определения безразмерных допускаемых напряже-
2
ний σдоп , вычисляемых по формуле
Rbt a 2
.
k Eh 2
Ниже для нескольких вариантов оболочек найдены наибольшие
1
σдоп =
P
Rbt
σ3 при рассматриваемых
Rb
нагрузках, которые наблюдаются в угловых точках оболочки. Резуль-
безразмерные напряжения σ max = σ1 −
таты расчета наибольших напряжений σ max представлены в табл. 4.10.
W
Рис. 4.39. Зависимость « P − W » для оболочки, подкрепленной
18-ю ребрами, с параметрами a = b = 100 , K ξ = K η = 40
Напряжения σ g
Прогибы W
P
Таблица 4.10
Номер варианта
оболочки
300
I
II
Рис. 4.40. Функции прогиба W и σ g для оболочки, подкрепленной
18 ребрами, при Р = 300
Таким образом, учет физической нелинейности приводит к тому,
что железобетонные оболочки могут утратить свою эксплуатационную пригодность из-за потери устойчивости задолго до достижения
величины допускаемой нагрузки, соответствующей линейно-упругому деформированию оболочки.
Для анализа прочности бетона использован критерий Кулона –
Мора:
R
R
σ1 − bt σ3 ≤ bt .
Rb
k
168
III
Число
подкрепляющих
оболочку ребер
0
6
18
0
6
18
0
6
18
σ max
25
35
80
12
9
12
5
3
2
Таким образом, для оболочек вариантов I, II при рассматриваемых нагрузках уровень наибольших напряжений не превосходит допускаемого напряжения, а для оболочки варианта III – превосходит
допускаемое напряжение.
При учете физической нелинейности бетона, когда зависимость
σ − ε является криволинейной, деформации (а с ними и прогибы)
оболочек возрастают по сравнению с линейно-упругим решением.
max
при одних
Значения наибольших безразмерных напряжений σ
и тех же нагрузках будут меньшими, чем при линейно-упругом решении для оболочек вариантов I и II, и бóльшими – для оболочек
169
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
варианта III. Но до потери прочности наступает потеря устойчивости для некоторых вариантов оболочек, что для железобетонных оболочек недопустимо. Таким образом, допустимые нагрузки, найденные при линейно-упругом деформировании, существенно снижаются. Выявлено, что происходит перераспределение напряжений по
полю оболочки (максимальные напряжения смещаются к контуру
оболочки).
170
Рекомендуемая литература
1. Арутюнян, Н. Х. Некоторые вопросы теории ползучести / Н. Х. Арутюнян. – М.: Гостехиздат, 1952. – 323 с.
2. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н. И. Безухов. – М.: Высш. шк., 1968. – 512 с.
3. Бондаренко, В. М. Инженерные методы нелинейной теории железобетона / В. М. Бондаренко, С. В. Бондаренко. – М.: Стройиздат, 1982. – 287 с.
4. Васильев, П. И. Нелинейные деформации ползучести бетона /
П. И. Васильев // Изв. ВНИИГ. – 1971. – Т. 95. – С. 59–69.
5. Власов, В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике /
В. З. Власов. – М.: Гостехиздат, 1949. – 784 с.
6. Прочность, структурные изменения и деформации бетона /
А. А. Гвоздев [и др.]. – М.: Стройиздат, 1978. – 229 с.
7. Ильюшин, А. А. Пластичность. Основы общей математической теории пластичности / А. А. Ильюшин. – М.: Изд-во АН СССР, 1963. – 271 с.
8. Карпенко, Н. И. Общие модели механики железобетона / Н. И. Карпенко. – М.: Стройиздат, 1996. – 414 с.
9. Карпов, В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек / В. В. Карпов; СПбГАСУ. – СПб., 2006. – 330 с.
10. Качанов, Л. М. Теория ползучести / Л. М. Качанов. – М.: Физматгиз,
1960. – 455 с.
11. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. – М.:
Наука, 1969. – 420 с.
12. Климанов, В. И. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек /
В. И. Климанов, С. А. Тимашев. – Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. – 291 с.
13. Краснощеков, П. С. Принципы построения моделей / П. С. Краснощеков, А. А. Петров. - М.: Изд-во МГУ, 1983. – 264 с.
14. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести /
Н. Н. Малинин. – М.: Машиностроение, 1986. – 400 с.
15. Муштари, Х. М. Нелинейная теория упругих оболочек / Х. М. Муштари, К. З. Галимов. – Казань: Таткнигоиздат, 1957. – 431 с.
16. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. – Л.:
Судпромиздат, 1962. – 431 с.
17. Панин, А. Н. Математические модели деформирования ребристых
пологих железобетонных оболочек с учетом ползучести материала /
А. Н. Панин // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвузовский тематический сборник трудов; СПбГАСУ. –
СПб., 2007. – Вып. 13. – С. 44–49.
171
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
18. Панин, А. Н. Алгоритмы исследования прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности /
А. Н. Панин // Вестник гражданских инженеров. – 2009. – № 1 (18). – С. 114–116.
19. Панин, А. Н. Прочность и устойчивость пологих железобетонных
ребристых оболочек / А. Н. Панин // Новые идеи нового века / Материалы
Одиннадцатого Международного форума ИАС ТОГУ. Хабаровск: ТОГУ, 2011. –
С. 20–24.
20. Прокопович, И. Е. Влияние длительных процессов на напряженное
и деформированное состояние сооружений / И. Е. Прокопович. – М.: Госстройиздат, 1963. – 260 с.
21. Прокопович, И. Е. Расчет цилиндрических оболочек и призматических складок / И. Е. Прокопович, И. Н. Слезингер, М. В. Штейнберг. – Киев:
Будiвельник, 1967. – 240 с.
22. Прокопович, И. Е. Прикладная теория ползучести / И. Е. Прокопович, В. А. Зедгенидзе. – М.: Стройиздат, 1980. – 240 с.
23. Ржаницын, А. Р. Теория ползучести / А. Р. Ржаницын. – М.: Стройиздат, 1968. – 416 с.
24. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы.
Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. – М.: Наука. Физматгиз, 1997. –
320 с.
25. СНиП 52-01–2003. Бетонные и железобетонные конструкции.
Основные положения / Госстрой России. – М., 2004. – 24 с.
26. СП 52-101–2003. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры / НИИЖБ: ФГУП ЦПП. – М., 2004. – 54 с.
27. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / В. И. Федосьев. – М.:
Физматгиз, 1960. – 536 с.
28. Харлаб, В. Д. Новый вариант теории нелинейной ползучести и длительной прочности нестареющего бетона / В. Д. Харлаб // Вестник гражданских инженеров. – 2009. – № 3 (20). – С. 24–28.
29. Улицкий, И. И. Ползучесть бетона / И. И. Улицкий. – Киев; Львов:
Гостехиздат Украины, 1948. – 133 с.
172
Оглавление
Введение .............................................................................................................. 3
Глава 1. Основы математического моделирования..................................... 5
1.1. Физическое и математическое моделирование ............................... 5
1.2. Основные этапы процесса построения математической
модели объекта.......................................................................................... 6
1.3. Основные методы и приемы построения математических
моделей ...................................................................................................... 7
1.4. Получение математических моделей на основе
фундаментальных законов природы ....................................................... 8
1.4.1. Модели, полученные на основе закона сохранения
энергии .................................................................................................. 8
1.4.2. Модели, получаемые совместным применением
нескольких фундаментальных законов ............................................ 15
1.5. Построение математических моделей на основе применения
вариационных принципов ...................................................................... 22
1.6. Построение математической модели механических систем на
основе приравнивания нулю суммы проекций силовых факторов
по осям координат .................................................................................. 27
1.7. Математические модели, получаемые при экспериментальном
исследовании процесса .......................................................................... 30
1.8. Математические модели задач оптимизации ................................. 33
1.9. Исследование адекватности математической модели
изучаемому объекту ................................................................................ 37
1.10. Иерархический подход к получению математических моделей.
Уточнение математической модели ...................................................... 37
1.11. О нелинейности математических моделей .................................. 40
Глава 2. Математические модели деформирования элементов
строительных конструкций .......................................................................... 42
2.1. Основные характеристики напряженно-деформированного
состояния конструкции .......................................................................... 42
2.2. Геометрические соотношения для элементов строительных
конструкций ............................................................................................ 45
2.3. Физические соотношения для элементов строительных
конструкций при линейно-упругом деформировании ......................... 48
2.4. Усилия и моменты для элементов строительных конструкций
при линейно-упругом деформировании................................................ 49
2.5. Физические соотношения для элементов строительных
конструкций при нелинейно-упругом деформировании ..................... 51
173
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
2.6. Физические соотношения для элементов строительных
конструкций при учете ползучести материала ..................................... 54
2.7. Принцип возможных перемещений. Полная энергия
деформации ............................................................................................. 57
2.8. Уравнения равновесия ..................................................................... 61
2.8.1. Линейно-упругие задачи.......................................................... 61
2.8.2. Нелинейно-упругие задачи ...................................................... 68
2.8.3. Задачи ползучести .................................................................... 71
2.9. Критерии прочности ........................................................................ 73
Глава 3. Алгоритмы исследования напряженно-деформированного
состояния строительных конструкций при учете различных свойств
материала ......................................................................................................... 77
3.1. Вариационные методы расчета элементов строительных
конструкций ............................................................................................ 77
3.1.1. Метод Ритца.............................................................................. 77
3.1.2. Метод Бубнова – Галеркина .................................................... 79
3.2. Расчет напряженно-деформированного состояния стержня ........ 80
3.2.1. Линейно-упругая задача .......................................................... 80
3.2.2. Нелинейно-упругие задачи ...................................................... 82
3.2.3. Задачи ползучести .................................................................... 84
3.2.4. Уточненный расчет стержня ................................................... 85
3.3. Расчет напряженно-деформированного состояния плиты ........... 87
3.3.1. Линейно-упругие задачи.......................................................... 87
3.3.2. Нелинейно-упругие задачи ...................................................... 89
3.3.3. Задачи ползучести .................................................................... 92
3.3.4. Уточненный расчет плиты....................................................... 95
3.4. Расчет напряженно-деформированного состояния пологих
оболочек двоякой кривизны прямоугольного плана и выбор их
толщины из условий жесткости ............................................................. 97
Глава 4. Расчет пологих ребристых оболочек при учете физической
нелинейности и ползучести бетона............................................................. 107
4.1. Основные соотношения для пологих ребристых оболочек........ 107
4.2. Физические соотношения для упругих оболочек ....................... 108
4.3. Физические соотношения теории оболочек при учете
ползучести бетона ................................................................................. 110
4.4. Функционал полной энергии деформации пологой ребристой
оболочки при длительном нагружении ............................................... 116
4.5. Кратковременное нелинейное деформирование
пологих железобетонных ребристых оболочек .................................. 117
4.6. Теория прочности хрупких материалов ....................................... 121
4.7. Приведенный модуль упругости железобетона ........................... 123
4.8. О краевых условиях на контуре оболочки ................................... 124
4.9. Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния
пологих ребристых оболочек при учете нелинейности
деформирования и ползучести бетона ................................................ 124
4.9.1. Функционал полной энергии деформации пологой
ребристой оболочки в безразмерных параметрах при учете
нелинейности деформирования и ползучести бетона ................... 125
4.9.2. Применение метода Ритца для получения
интегро-алгебраических уравнений для ребристых
пологих оболочек при решении задач ползучести ........................ 129
4.9.3. Применение метода Ритца для получения нелинейных
алгебраических уравнений для ребристых пологих оболочек
при решении нелинейно-упругих задач ......................................... 132
4.9.4. Методика решения нелинейных алгебраических
и интегро-алгебраических уравнений ............................................ 135
4.10. Программа расчета пологих ребристых оболочек при учете
ползучести и физической нелинейности бетона ................................ 137
4.11. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек
при линейно-упругом деформировании.............................................. 137
4.11.1. Реальные варианты оболочек и их безразмерные
параметры ......................................................................................... 137
4.11.2. Допускаемые нагрузки для различных вариантов
оболочек ............................................................................................ 138
4.11.3. Анализ распределения прогибов и напряжений
по полю оболочки ............................................................................ 144
4.12. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек
при длительном нагружении ................................................................ 147
4.13. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек
при учете физической нелинейности бетона ...................................... 162
Рекомендуемая литература ............................................................................. 171
174
175
Математическое моделирование и расчет элементов строительных конструкций
Учебное издание
Карпов Владимир Васильевич,
Панин Александр Николаевич
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ
ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Учебное пособие
Редактор О. Д. Камнева
Корректор М. А. Молчанова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 09.09.13. Формат 60 84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 10,2. Тираж 300 экз. Заказ 97. «С» 49.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
176
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
2 312 Кб
Теги
matem, pani, mode, karpova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа