close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ivanenko Gidravlika

код для вставкиСкачать
И. И. Иваненко
ГИДРАВЛИКА
154
155
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
И. И. Иваненко
ГИДРАВЛИКА
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2012
1
УДК 625.06
Рецензенты: канд. техн. наук А. В. Кудрявцев (СПбГАСУ), канд. техн.
наук Е. О. Графова (ПГУ)
Иваненко, И. И.
Гидравлика: учеб. пособие / И. И. Иваненко; СПбГАСУ. – СПб., 2012. –
150 с.
ISBN 978-5-9227-0412-6
Пособие является дополнением к курсу лекций, ориентированным на
самостоятельную работу студентов и выполнение контрольных работ по
курсу «Механика жидкости и газа». Изложены основные законы гидростатики и гидродинамики. Рассмотрены вопросы учета потерь напора и их
связи с основными параметрами потока. Освещен большой круг проблем
инженерной гидравлики, в том числе истечение жидкости через отверстия
и насадки, расчеты трубопроводных систем, водосливов и инфильтрационных сооружений.
Табл. 12. Ил. 88. Библиогр.: 34 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0412-6
© И. И. Иваненко, 2012
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2012
2
Лекция 1
Гидравлика. Исторические этапы
развития науки
Гидравлика представляет собой теоретическую дисциплину, которая изучает вопросы, связанные с механическим движением жидкости в различных условиях. Жидкость (и газ) – это непрерывные и
неделимые физические тела, поэтому гидравлику часто рассматривают как один из разделов механики и называют механикой жидкости, или гидромеханикой.
Предметом ее исследований являются основные законы равновесия (гидростатика) и движения (гидродинамика) жидкостей и газов.
Название «гидравлика» происходит от сочетания двух греческих
слов: «хюдор», «хидр» – вода и «аулос» – труба, т. е. движение по
трубам.
История свидетельствует об успешном решении ряда практических задач с использованием жидкостей уже на самих ранних стадиях развития человека: это оросительные каналы, водостоки и акведуки, водяные колеса, плотины, водопроводы и водохранилища.
Первым научным трудом по гидравлике следует считать трактат
Архимеда «О плавающих телах» (250 г. до н. э.). Архимеда считают
родоначальником и основоположником механики жидкости. Однако
в дальнейшем на протяжении нескольких столетий в развитии человечества наступила эпоха всеобщего застоя, когда развитие знаний и практического опыта находились на весьма низком уровне. В
последующую за этим эпоху Возрождения началось бурное развитие человеческих знаний, науки, накопление практического опыта.
С развитием различных наук начала развиваться и наука об изучении
взаимодействия жидких тел.
Первыми крупными работами в этой области следует считать работы Леонардо да Винчи (1548–1620). В работах Галилео Галилея
(1564–1642) были сформулированы основные принципы равновесия
и движения жидкости. Работы Торичелли (1604–1647) были посвя3
щены решению задач по истечению жидкости из отверстий, а Блез
Паскаль (1623–1727) исследовал вопросы по передаче давления жидкости. Основополагающие и обобщающие работы в области механики физических тел, в том числе и жидких, принадлежат гениальному
английскому физику Исааку Ньютону (1643–1727), который впервые
сформулировал основные законы механики, закон всемирного тяготения и закон о внутреннем трении в жидкостях при их движении.
Развитию гидромеханики (гидравлики) как самостоятельной науки в значительной степени способствовали труды Даниила Бернулли (1700–1782), Леонарда Эйлера (1707–1783), М. В. Ломоносова
(1711–1765). Работы этих великих ученых обеспечили настоящий
прорыв в области изучения жидких тел. Впервые были опубликованы дифференциальные уравнения равновесия и движения жидкости
Эйлера, закон сохранения энергии Ломоносова, уравнение запаса
удельной энергии в идеальной жидкости Бернулли.
Развитию гидравлики как прикладной науки и сближению методов изучения теоретических и практических вопросов, используемых гидравликой и гидромеханикой, способствовали работы
французских учёных Дарси, Буссинэ и других, работы Н. Е. Жуковского, а позднее Шези, Вейсбаха, Прандля, Никурадзе. В результате
удалось объединить теоретические исследования гидромеханики с
практическими и экспериментальными работами, выполненными
в гидравлике. Работы Базена, Пуазейля, Рейнольдса, Фруда, Стокса
и других развили учение о динамике реальной (вязкой жидкости).
Дифференциальное уравнение Навье – Стокса позволило описать
движение реальной жидкости как функцию параметров этой жидкости в зависимости от внешних условий.
Крупнейшим вкладом в современную гидравлику явились труды
Н. Н. Павловского (1884–1937), создавшего так называемую инженерную гидротехническую гидравлику.
Дальнейшие работы А. Н. Ахутина, В. Н. Евреинова, И. Г. Есьмана, М. Д. Чернтоусова, И. И. Агроскина и других в области теоретической и прикладной гидромеханики были направлены на развитие
методов решения практических задач, развитие новых методов исследования, новых направлений: теории фильтрации, газо- и аэродинамики и др.
В основу гидравлики положены законы физики и теоретической
механики. Наряду с теоретическими исследованиями, в гидравлике
широко используются экспериментальные методы и модели.
4
Лекция 2
Жидкость. Основные виды и свойства (плотность, вязкость, коэффициенты температурного
расширения и объемного сжатия).
Понятие идеальной жидкости
Жидкостью называется физическое тело, обладающее двумя отличительными особенностями:
• незначительным изменением своего объема под действием
даже больших внешних сил;
• текучестью, т. е. изменением формы под действием даже незначительных внешних сил.
Изучение реальных жидкостей и газов связано со значительными
трудностями, так как физические свойства реальных жидкостей зависят от их состава, от различных компонентов, которые могут образовывать с жидкостью различные смеси, как гомогенные (растворы),
так и гетерогенные (эмульсии, суспензии и др.). По этой причине
для вывода основных уравнений движения жидкости приходится пользоваться некоторыми абстрактными моделями жидкостей и
газов, которые наделяются свойствами, не присущими природным
жидкостям и газам.
Идеальная (не существующая) жидкость, характеризуется абсолютной несжимаемостью, абсолютной текучестью (отсутствием сил
внутреннего трения), отсутствием процессов теплопроводности и
теплопереноса.
Реальная жидкость – модель природной жидкости, в отличие от
идеальной модели, обладает внутренним трением при движении.
Идеальный газ – модель, характеризующаяся абсолютной сжимаемостью.
Реальный газ – модель, при которой на сжимаемость газа при
условиях, близких к нормальным условиям, существенно влияют
силы взаимодействия между молекулами.
5
При изучении движения жидкостей и газов теоретическая гидравлика (гидромеханика) широко пользуется представлением о жидкости как о сплошной (непрерывной) среде, которую еще называют
континуум (от лат. непрерывное, сплошное). Такое допущение вполне оправданно, если учесть, что размеры пространства, занимаемого
жидкостью, во много раз превосходят межмолекулярные расстояния
(исключением можно считать лишь разреженный газ). При изучении
движения жидкостей и газов последние часто рассматриваются как
жидкости с некоторыми особыми свойствами. Поэтому принято различать две категории жидкостей:
• капельные, это практически несжимаемые жидкости, способные образовывать капли (вода, спирт, нефть, бензин и т. п.);
• газообразные, т. е. газы или сжимаемые упругие жидкости, изучением которых занимается термодинамика и аэродинамика.
В гидравлике рассматривают только капельные жидкости, характеризующиеся определенными физическими свойствами, важнейшими из которых являются плотность, объемный (удельный) вес,
сжимаемость и вязкость.
Плотность ρ (кг/м3) – это масса единицы объема жидкости
ρ = m / W, (1)
3
где m – масса жидкого тела, кг; W – объем, м .
Плотность жидкостей уменьшается с увеличением температуры.
Исключительными особенностями обладает вода, максимальная
плотность которой отмечается при 4 °С (табл. 1).
Плотность воды при различных температурах
и атмосферном давлении
3
3
Таблица 1
3
Плотность ρ, кг/м
1510
1020
791
680–720
3120
998
1260
1010–1030
760–995
790
13 550
Жидкость
Азотная кислота
Анилин
Ацетон
Бензин
Бром
Вода
Глицерин
Морская вода
Нефть
Этиловый спирт
Ртуть
Удельный вес жидкости γ (Н/м3) – вес единицы объема этой жидкости
γ = G / W, Т, °С
ρ, кг/м
Т, °С
ρ, кг/м
–10
998,15
10
999,73
200
869,00
–5
999,30
20
998,23
250
794,00
0
999,87
50
988,07
300
710,00
2
999,97
100
958,38
350
574,00
4
1000,00
150
917,30
374,15
307,00
Величины плотности реальных капельных жидкостей (табл. 2) в
стандартных условиях изменяются в широких пределах.
(2)
где G – вес жидкого тела, Н; W – объем, м3.
Между плотностью и удельным весом существует связь
γ = ρ · g, где g – ускорение свободного падения, равное 9,81 м/с2.
ρ, кг/м
Таблица 2
Плотности некоторых капельных жидкостей
при стандартных условиях
3
Т, °С
6
На практике величина плотности жидкости определяется с помощью простейшего прибора – ареометра (рис. 1). По глубине погружения прибора в жидкость судят о ее плотности.
Рис. 1. Ареометр АН
7
(3)
βw = ∆W / W · ∆Р = (W1 – W2 ) / W1·∆Р, (4)
где ∆W – изменение объема от W1 до W2, соответствующие изменению давления на величину ∆Р. Величина βw очень мала и ею часто
пренебрегают при выполнении технических расчетов. Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем упругости жидкостей Eж (Па)
Eж= 1 / βw. (5)
Значение модуля упругости жидкостей зависит от давления и
температуры. Коэффициент температурного расширения βt (°С)–1 –
это относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на один градус:
βt = ∆W/ W · ∆t = (W1 – W2) / W1· ∆t,
(6)
где ∆W – изменение объема от W1 до W2, соответствующее изменению температуры на величину ∆t.
Коэффициент температурного расширения воды увеличивается
с возрастанием температуры и давления; для большинства других
капельных жидкостей βt с увеличением давления уменьшается.
Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой.
При движении реальных (вязких) жидкостей в них возникают
внутренние напряжения, обусловленные силами внутреннего трения. Природа этих сил довольно сложна. При этом возникающие в
жидкости напряжения обусловлены двумя факторами: напряжениями, возникающими при деформации сдвига и при деформации объемного сжатия.
Напряжения (рис. 2), возникающие при деформации сдвига, согласно гипотезе Ньютона, пропорциональны градиенту скорости
8
в движущихся слоях жидкости, а сила трения между слоями движущейся жидкости будет пропорциональна площади поверхности
движущихся слоев жидкости:
du
,
(7)
dy
где S – площадь соприкасающихся слоев, м2; du – скорость смещения слоя «b» относительно слоя «a», м/с; dy – расстояние, на котором
скорость движения слоев изменилась на du, м; μ – коэффициент диdu
намической вязкости, Па · с;
– градиент скорости, изменение скоdy
рости по нормали к направлению движения (с–1).
Если силу трения F отнести к единице площади соприкасающихся слоев, то получим величину касательного напряжения τ:
du
(8)
ττ = µ ⋅ .
dy
Величина коэффициента динамической вязкости жидкости при
постоянной температуре и постоянном давлении зависит от внутренних (химических) свойств самой жидкости.
Размерность коэффициента динамической вязкости в системе
единиц СИ: [Па · с = Н · с /м2], в системе СГС – П. Последняя размерность носит название пуаз. 1 П = 0,1 Па · с.
В практике для характеристики вязкости жидкости чаще применяют не коэффициент динамической вязкости, а коэффициент кинематической вязкости υ (м2/с). Коэффициентом кинематической вязF = µ⋅S ⋅
y
b
dy
Для пресной воды можно принимать γ = 1 г/см3 = 0,001 кг/см3 =
= 1 кг/дм3 = 1 кг/л = 1000 кг/м3 = 1 т/м3.
Упругость (сжимаемость) – это свойство жидкости уменьшать
свой объем под действием внешних сил. Жидкости отличаются очень
малой сжимаемостью. Их сопротивление их изменению своего объема под действием внешних сил, например, давления и температуры,
характеризуется коэффициентами объемного сжатия и температурного расширения. Коэффициент объемного сжатия βw (Па–1) – это относительное изменение объема жидкости при изменении давления:
a
du
u
Рис. 2. Распределение скоростей по живому сечению движущегося потока
9
кости называется отношение коэффициента динамической вязкости
к плотности жидкости:
υ=μ/ρ.
(9)
Вязкость жидкости зависит от рода жидкости, температуры и давления.
В системе СИ коэффициент кинематической вязкости измеряется
в м2/с, в системе единиц СГС – в Ст (Стокс 1 Ст = 1 · 10–4 м2/с).
Для измерения вязкости рабочих жидкостей применяют вискозиметры различных типов (рис. 3). Вискозиметр типа ВПЖ представляет собой U-образную стеклянную трубку с тремя расширениями
(2, 3 и 6) и капилляром 5, впаянным в трубку 4.
Для измерения вязкости жидкости на патрубок 7 надевают резиновую грушу, погружают трубку 1 в стаканчик и засасывают жидкость.
Измерение проводят при температуре 20 °С. Затем, закрыв отверстие широкой трубки, сжатием груши доводят масло до метки. Открыв отверстие, наблюдают за истечением жидкости между двумя
метками на капиллярной трубке, засекая время истечения.
Кроме деформации сдвига внутреннее сопротивление возникает и
при объемном сжатии жидкости, т. е. сжимаемая жидкость стремится восстановить состояние первоначального равновесия. Этот процесс, в некоторой степени, аналогичен проявлению сил сопротивления при деформации сдвига, но отличается по своей сути. Поэтому
в жидкости как бы проявляется так называемая вторая вязкость – £,
обусловленная деформацией объемного сжатия жидкости.
Многокомпонентные жидкости, как гомогенные, так и гетерогенные (в большей степени), могут содержать компоненты, значитель1
8
2
7
3
4
6
5
Рис. 3. Схема вискозиметра
10
но изменяющие вязкость жидкости и даже кардинально меняющие
саму физическую основу и природу внутреннего трения. В таких
жидкостях гипотеза вязкостного трения Ньютона (пропорциональность напряжений градиенту скорости относительного движения
жидкости) неприменима. Соответственно такие жидкости принято
называть неньютоновскими жидкостями.
Среди неньютоновских жидкостей принято выделять:
• вязкопластичные жидкости;
• псевдопластичные жидкости;
• дилатантные жидкости.
Для вязкопластичных жидкостей характерной особенностью
является то, что они до достижения некоторого критического внутреннего напряжения ведут себя как твердые тела и лишь при превышении внутренним напряжением критической величины начинают
двигаться как обычные жидкости. Причиной такого явления является то, что вязкопластичные жидкости имеют пространственную
жесткую внутреннюю структуру, сопротивляющуюся любым внутренним напряжениям, меньшим критической величины, это критическое напряжение в литературе называют статическим напряжением сдвига.
Для псевдопластичных жидкостей зависимость между внутренним напряжением сдвига и градиентом скорости относительного
движения слоев жидкости в логарифмических координатах оказывается на некотором участке линейной. Для псевдопластичных жидкостей введено понятие кажущейся вязкости жидкости.
Дилатантные жидкости описываются тем же самым уравнением,
что и псевдопластичные жидкости. Для этих жидкостей кажущаяся
вязкость увеличивается при возрастании градиента скорости. Такая
модель жидкости может быть применена при описании движения
суспензий.
Неньютоновские жидкости обладают еще одним свойством, их
вязкость существенным образом зависит от времени. По этой причине (например, для вязкопластичных жидкостей) для восстановления начальных свойств им требуется некоторое время. Величина
статического напряжения сдвига зависит от предыстории: чем более длительное время жидкость находилась в состоянии покоя, тем
выше величина ее статического напряжения сдвига. Если прервать
движение такой жидкости (остановить), то для начала ее движения
потребуется развить в жидкости меньшее напряжение, чем когда она
11
находилась длительное время в покое. Следовательно, необходимо
различать величину начального статического напряжения сдвига и
динамическую величину этого показателя. Жидкости, которые обладают такими свойствами, называются тиксотропными. Жидкости,
у которых наоборот динамические характеристики выше, чем начальные, – реопектическими неньютоновскими жидкостями. Такие
явления объясняются тем, что внутренняя структура этих жидкостей
способна упрочняться с течением времени.
Лекция 3
Силы, действующие на жидкость. Гидростатика.
Гидростатическое давление и его свойства.
Основное уравнение гидростатики.
Закон Паскаля
Силы, действующие на жидкость как сплошную среду, можно
разделить на две группы:
• внутренние силы, именуемые иногда усилиями – силы взаимодействия между частицами жидкости (в курсе гидравлики не рассматриваются);
• внешние – силы, приложенные к частицам рассматриваемого
объема со стороны других тел.
Говоря о силах, действующих на жидкость, необходимо вспомнить о силе поверхностного натяжения.
Жидкое тело всегда имеет границы, это либо твердые стенки каналов, либо границы раздела с газообразной средой, либо это границы раздела между различными несмешивающимися жидкостями.
Такие границы можно с полным правом называть естественными
границами.
В некоторых случаях границы могут выделяться условно, внутри
самой движущейся жидкости. На естественных границах в пограничном слое жидкости между молекулами самой жидкости и молекулами окружающей жидкость среды существуют силы притяжения,
которые в общем случае могут оказаться неравными. В то же время силы взаимодействия между остальными молекулами жидкости,
находящимися внутри объема, ограниченного пограничным слоем,
будут взаимно уравновешены. Таким образом, остаются неуравновешенными силы взаимодействия между молекулами, находящимися лишь во внешнем (пограничном) слое. Тогда в пограничном слое
возникают напряжения, которые автоматически балансируют несбалансированные силы притяжения. Такие напряжения называются
12
13
поверхностным натяжением жидкости. Этому напряжению будут
соответствовать силы поверхностного натяжения. Под действием
этих сил малые объемы жидкости принимают сферическую форму
(форму капли), соответствующую минимуму внутренней энергии; в
трубках малого диаметра жидкость поднимается (или опускается) на
некоторую высоту по отношению к уровню покоящейся жидкости.
Последнее явление называется капиллярностью. Жидкость в трубке малого диаметра (капилляре) будет подниматься, если жидкость
по отношению к стенке капилляра будет смачивающей жидкостью,
и наоборот, будет опускаться, если жидкость для стенки капилляра
окажется несмачивающей.
Силы поверхностного натяжения малы и проявляются при малых объемах жидкости. Величина напряжений на границе раздела
зависит от температуры жидкости (при увеличении температуры
внутренняя энергия молекул возрастает, уменьшается напряжение в
пограничном слое жидкости, и, следовательно, уменьшаются силы
поверхностного натяжения).
Поскольку жидкость обладает свойством текучести и легко деформируется под действием минимальных сил, то в жидкости не
могут действовать сосредоточенные силы, а возможно существование лишь сил распределенных. По характеру действия их можно разделить на две категории: массовые силы (действующие по
объему (массе)) и поверхностные силы (действующие по поверхности).
Массовые силы – это силы, которые действуют на все частицы
рассматриваемого объема, величина сил пропорциональна массе
этих частиц. Они передаются от частицы к частице, суммируясь. Для
однородных жидкостей (ρ = const) массовые силы пропорциональны
объему, в связи с чем их часто называют объемными.
Например: сила тяжести, сила инерции, центробежные силы.
Поверхностные силы приложены к отдельным частицам, находящимся на поверхности раздела. Они пропорциональны площади
поверхности, на которую действуют, и передаются от частицы к частице без изменения.
Например, атмосферное давление, действующее на свободную
поверхность, а также силы трения.
Поверхностные силы действуют со стороны соседних объемов
жидкости и, в общем случае, имеют две составляющие: нормальную
и тангенциальную.
14
Нормальная составляющая поверхностных сил называется силой
давления Р, а напряжение (единичная поверхностная сила) называется давлением:
Р = р/S, (10)
где S – площадь поверхности; р – давление.
Напряжение тангенциальной составляющей поверхностной силы Т
(касательное напряжение – τ) определяется аналогичным образом:
τ = T/S, (11)
где S – площадь поверхности.
Рассмотрим какой-либо объем жидкости, находящейся в равновесном неподвижном состоянии (рис. 4). Если его рассечь плоскостью АВ и отбросить часть I, то для сохранения равновесия части II
необходимо приложить силы, эквивалентные действию отброшенной части I. В покоящейся жидкости касательные напряжения отсутствуют, т. е. Т = 0, следовательно в точке С будет действовать
единственно возможная сила, направленная перпендикулярно к плоскости.
Силу Р называют силой давления, или суммарным гидростатическим давлением.
Пусть сила давления ∆Р действует на рассматриваемую площадку ∆ω (см. рис. 4). Тогда полученная величина Рср называется средним гидростатическим давлением на площадке ∆ω
Рср = ∆Р/∆ω. (12)
I
A
С
B
Δω
II
Рис. 4. Объем покоящейся жидкости
15
Для определения гидростатического давления в точке С:
Р = lim (∆Р/∆ω).
(13)
ω→0
Давление, действующее на внешнюю поверхность жидкости, обладает основными свойствами:
• давление всегда направлено по внутренней нормали к выделенной поверхности;
• в любой точке внутри жидкости оно по всем направлениям одинаково, т. е. величина давления в точке не зависит от ориентации
площадки, на которую оно действует;
• для жидкости, находящейся в состоянии равновесия, справедлив закон Паскаля, утверждающий, что всякое изменение давления
в какой-либо точке жидкости передается мгновенно, без изменения
во все остальные точки жидкости, т. е. гидростатическое давление
есть функция координаты.
Основное уравнение гидростатики
Рассмотрим покоящуюся жидкость (рис. 5), на которую действует
внешняя объемная сила (например, сила тяжести). В объеме жидкости произвольно проведем систему координат. Выделим некоторую
точку А с координатами 0x, 0y, 0z. Давление в этой точке обозначим
Р. В жидкости вокруг точки выделим бесконечно малый параллелепипед. Рассмотрим внешние силы, действующие на этот параллелепипед.
Проведя через точку А параллельно оси 0х линию MN, можно
утверждать, что гидростатическое давление будет изменяться вдоль
z
dz
PM
A
М
0
dx
PN
N
dy
x
y
Рис. 5. На жидкость действуют объемные силы
16
этой линии. Изменение гидростатического давления на единицу длины линии MN можно представить как частную производную: ∂р/∂х.
Определим все силы, действующие на параллелепипед объемом
(dх · dy · dz):
1. Массовые силы – G · m = G · ρ · dх · dy ·dz, где ρ – плотность
жидкости. Проекция на ось 0х этой силы:
Х · ρ · dх · dy ·dz.
2. Поверхностные силы РМ и РN .
РМ = р – (dх/2) (∂р/∂х),
РN = р + (dх/2) (∂р/∂х).
Проекция на ось 0х двух действующих поверхностных сил (точнее, разности сил как равнодействующей):
dx ∂p 
∂p
dx ∂p 


dx ⋅ dy ⋅ dz.
PM − PN =  p −
 dy ⋅ dz = −
 dy ⋅ dz −  p +
2 ∂x 
2 ∂x 
∂x


Сумма проекций массовых и поверхностных сил на ось 0х:
Х · ρ · dх · dy ·dz – ∂р/∂х · (dх · dy · dz) = 0.
По аналогии были составлены суммы проекций массовых и поверхностных сил для двух других осей – 0y и 0z. После преобразований получим:
 ∂p
− ∂x + X ⋅ ρ = 0 ,

 ∂p
(14)
− + Y ⋅ ρ = 0 ,
 ∂y
 ∂p
− + Z ⋅ ρ = 0.
 ∂z
Эти уравнения были получены Л. Эйлером в 1755 г.
Умножим каждое из уравнений соответственно на dx, dy и dz
и просуммируем.
−
∂p
∂p
∂p
dx − dy − dz + Xdx ⋅ ρ + Ydy ⋅ ρ + Zdz ⋅ ρ = 0.
∂x
∂y
∂z
17
Так как давление в точке Р есть только функция координат: Р =
= f (x, y, z), то можно переписать предыдущее выражение, выделив
полный дифференциал давления dр
dр = (Х · dх · Y · dy · Z · dz); обозначим dU = Х · dх · Y · dy · Z · dz,
тогда:
dр = ρ · dU , где dU – потенциальная функция.
Проинтегрировав это выражение, получим:
Из рис. 6 p = p0 – z, а z = ρ · g · h, тогда:
р = р0 + ρ · g · h = ро + γ · h. Выражение (16) есть основное уравнение гидростатики. Из него
следует, что гидростатическое давление в любой точке покоящейся
жидкости равно сумме давления на свободной поверхности и веса
столба жидкости, площадь основания которого равна единице, а высота – глубине этой точки под свободной поверхностью.
р = ρ · U + C, где С – постоянная интегрирования.
Чтобы определить С, введем для некоторой точки жидкости, например А, граничные условия р = р0 и U = U0. Тогда C = р0 – ρ · U0
или окончательно
р = р0 – ρ · (U – U0). (15)
Выражение (15) позволяет определить давление в любой точке
покоящейся жидкости при ρ = const и действии любой системы объемных сил, имеющих потенциал. Это выражение является математической формулировкой закона Паскаля.
Рассмотрим частный случай, когда на жидкость действует только
сила тяжести (рис. 6).
Проведем оси координат по поверхности жидкости. Проекции
массовых сил будут в этом случае следующими:
X = 0; Y = 0; Z = –g.
Тогда потенциальная функция dU = Х · dх · Y · dy · Z · dz запишется в виде dU = –g · dz, а полный дифференциал dр = ρ · g · dz, или
р = –ρ · g ·dz + C .
Рис. 6. На жидкость действует только сила тяжести
18
(16)
19
Ризб = Рабс – Ратм. Рвак = Ратм – Рабс. 20
р0 > ратм
(18)
hр = Р изб. / γ. P''0 =р"00 = 0
H
П
(17)
Если измеряемое давление ниже атмосферного, то разница между замеренным давлением и атмосферным называется давлением
вакуума Рвак
Или согласно (17)
hр = (Р0 – Р атм) / γ.
ρ⋅g
атм
Ppатм
ρρ·⋅ gg
(19)
ратм
P'0р'=0P=атм
H
П
P0 >р0P>атмратм
Hp
1 aтм = 10 м вод. ст. = 9,81 · 10 Па = 735 мм рт. ст.
Различают давление:
• абсолютное;
• избыточное (сверхатмосферное), или манометрическое;
• вакуума.
Абсолютным давлением, Рабс, называется давление в точке измерения, отсчитанное от нуля.
Если за уровень отсчета принята величина атмосферного давления Ратм, то разница между абсолютным давлением и атмосферным
называется избыточным давлением Ризб
p атм
Р0 = Р атм + γ · hр,
A
B
z
р'0 = ратм
hp
4
р"0 = 0
z
1 aтм = 1 кг/см2 = 0,1 МПа, 1 МПа = 10 aтм.
Можно встретить выражение давления через метры водяного
и ртутного столба.
h
1 Па = 1 Н/м2, 1 МПа = 106 Па.
В употребляемой до сих пор технической системе единиц давление измеряется в технических атмосферах, aтм.
hпр
Величина давления (иногда в литературе называется гидростатическим давлением) в системе СИ измеряется в паскалях – Па или
мегапаскалях – МПа.
Hs
Лекция 4
Давление абсолютное и избыточное.
Вакуум. Пьезометрическая высота
и гидростатический напор
Избыточное давление в жидкостях измеряется манометрами,
пьезометрами и вакуумметрами. Это весьма обширный набор измерительных приборов различной конструкции и различного исполнения.
Рассмотрим принцип действия этих приборов на примере закрытого резервуара, не полностью заполненного жидкостью (рис. 7).
Давление на свободной поверхности резервуара больше атмосферного: Р0 > Ратм.
Пьезометр. Присоединим к точке А тонкую открытую стеклянную трубку – пьезометр. Давление на свободной поверхности в
трубке будет равно атмосферному: P0′ = Ратм. Под действием давления внутри сосуда уровень жидкости в трубке поднимется на некоторую высоту hр, которая называется пьезометрической высотой.
Составим уравнения равновесия сил в точке точке А.
Со стороны жидкости в сосуде давление равно Р0, со стороны
жидкости в трубке – Ратм + γ · hр. Так как давления в точке А слева и
справа равны (наблюдается равновесие), можно записать
0
0
Рис. 7. Схема к определению приведенной и пьезометрической высоты, гидростатического и пьезометрического напора
21
Пьезометр измеряет давление столба жидкости, высота которого
зависит от величины давления и удельного веса жидкости.
Манометр. Присоединим к точке В тонкую закрытую стеклянную
трубку. Давление в запаянной трубке с безвоздушным пространством
P0′′ = 0. Как и в предыдущем примере, под действием давления внутри сосуда уровень жидкости в трубке с запаянным концом поднимется на некоторую высоту hпр, называемую приведенной высотой.
Величина hпр измеряет абсолютное давление в точке присоединения,
выражая его высотой столба жидкости. Составим уравнения равновесия сил в точке В для этого случая.
Со стороны жидкости в сосуде давление равно Р0, а со стороны
жидкости в трубке – 0 + γ · hпр. В результате получим
Р0 = 0 + γ · hпр
или
hпр = Р0/γ. (20)
Вакуумметр. Пусть в резервуаре 1 (рис. 8) абсолютное давление
меньше атмосферного (например, откачана часть воздуха при помощи вакуум-насоса). В резервуаре 2 находится жидкость, резервуары
соединены изогнутой трубкой 3. На поверхности жидкости в резервуаре 2 действует атмосферное давление.
Так как в резервуаре 1 давление меньше атмосферного, то жидкость поднимается в трубке 3 на какую-то высоту, которая называется вакуумметрической высотой и обозначается hв.
Величина hв может быть определена из условия равновесия:
Ратм = Рабс + γ · hв, откуда
(21)
hв = (Ратм – Рабс) / γ. 3
Pабс < Pатм
1
Pатм
hв
2
Рис. 8. Определение вакуумметрической высоты
22
Вакуумметрическая высота характеризует разность атмосферного и абсолютного давлений. Именно эта разность, а не само давление
называется вакуумом. Вакуум в данной точке есть недостаток давления до атмосферного.
Максимальное значение вакуумметрического давления составляет 98,1 кПа или 10 м вод. ст., но практически давление в жидкости не может быть меньше давления паров насыщения и равно
7–8 м вод. ст.
Гидростатический и пьезометрический напор. Рассмотрим закрытый сосуд с жидкостью, к которому в точках А и В на произвольной глубине присоединены пьезометры I и II (см. рис. 7). Давление
на свободной поверхности в сосуде Р0 больше атмосферного Ратм.
Трубка I сверху открыта и давление на свободной поверхности в ней
равно атмосферному: P0′ = Ратм. Трубка II сверху запаяна, из нее удален воздух, т. е. давление в ней равно нулю: P0′′ = 0.
Для определения вертикальных координат точек А и В проведем
на произвольной высоте горизонтальную плоскость 0–0. Эта плоскость называется плоскостью сравнения. Вертикальное расстояние
от плоскости сравнения до рассматриваемой точки называется геометрической высотой точки по отношению к плоскости сравнения и
обозначается буквой z. За плоскость сравнения может быть принят
уровень земли или пола.
Как было рассмотрено ранее, так как давление в сосуде на свободной поверхности жидкости больше атмосферного, то в пьезометрических трубках I и II жидкость поднимется на бóльшую высоту, чем
уровень жидкости в сосуде. Обозначим высоту поднятия жидкости в
открытом пьезометре через hр – пьезометрическую высоту, а высоту
поднятия жидкости в закрытом пьезометре через hпр – приведенную
высоту.
Пьезометрическая высота hр– мера манометрического давления
в точке А. Приведенная высота hпр– мера абсолютного давления
в точке В.
Разность высот hпр – hр = Ратм /γ, равна высоте столба жидкости,
соответствующей атмосферному давлению, т. е. 10 м вод. ст.
Сумма геометрической высоты z и пьезометрической hр для любой точки жидкости будет величиной постоянной и называется пьезометрическим напором:
Нр = z + hр = const.
23
Но hp= (Рабс – Ратм)/γ, подставив это выражение, получим:
P
P 
P
 P
HHpp =  абс − атм  + z или H
Hpp =  абс + z  − атм ,
 ρ⋅ g ρ⋅ g 
 ρ⋅ g
 ρ⋅ g
P

где  абс + z  – это сумма приведенной высоты и геометрической
 ρ⋅ g

высоты положения, называемая гидростатическим напором Нs.
Тогда:
P
Hpp = H s − атм .
ρ⋅ g
P
Поскольку Hs для любой точки жидкости, а атм не зависит от
ρ⋅ g
положения точки, значит
P
Hpp = H s − атм = const.
ρ⋅ g
Поэтому, сколько бы пьезометров ни подключали, во всех пьезометрах жидкость установится на одном уровне: плоскость, соответствующая уровню П–П, называется пьезометрической плоскостью,
а уровню Н–Н – напорной плоскостью. Пьезометрический напор является мерой удельной потенциальной энергии жидкости. Предположим, что вес частицы жидкости в точке А равен G (см. рис. 7). По
отношению к плоскости сравнения 0–0 запас потенциальной энергии
положения равен (G · z), где z – высота от плоскости 0–0 до точки А.
Под действием избыточного гидростатического давления Pизб частица, находящаяся на глубине h, может подняться на высоту hр, т. е. она
обладает потенциальной энергией давления, равной (G · hр). Полная
потенциальная энергия частицы жидкости весом G равна (G · z + G · hр).
Удельная потенциальная энергия, т. е. энергия, приходящаяся на
единицу веса частицы, будет соответственно равна:
z + hр = Нр.
Аналогично гидростатический напор Нs является также мерой
удельной потенциальной энергии жидкости, но большей по сравнению c Нр на величину удельной потенциальной энергии атмосферного давления.
Отличие пьезометрического напора от гидростатического заключается в учете противодавления атмосферы. Необходимо также
24
запомнить отличие давления от напора. Напор – удельная энергия –
величина постоянная для данного объема жидкости. Давление – сжимающее напряжение, зависящее от координаты точки.
Приборы для измерения давления
Современная наука и техника предъявляют самые разнообразные
требования к приборам для измерения давления. Прежде всего, это
связано с широким диапазоном измеряемых величин давления, от
микропаскаля (мкПа) до гигапаскаля (ГПа). Возрастают требования
к точности измерений, усложняются объекты исследований, которые
накладывают дополнительные условия на конструктивное оформление приборов.
Условно все приборы для измерения давления можно классифицировать по роду измеряемой величины, принципу действия, классу
точности.
По роду измеряемой величины в зависимости от измеряемого давления (избыточного – Pизб, или абсолютного – Pабс) существует несколько приборов:
• манометры – приборы для измерения положительного избыточного давления;
• вакуумметры – приборы для измерения отрицательного избыточного давления;
• мановакуумметры – приборы, позволяющие измерять как положительное избыточное давление, так и отрицательное;
• дифференциальные манометры – приборы для измерения разности давлений в двух точках;
• барометры – приборы для измерения абсолютного давления,
равного атмосферному. Для измерения абсолютного давления, т. е.
давления больше атмосферного, используют два прибора – барометр
и манометр; меньше атмосферного – барометр и вакуумметр.
По принципу действия приборы для измерения давления подразделяются:
• на жидкостные – основанные на гидростатическом принципе
действия, т. е. измеряемое давление уравновешивается давлением
столба жидкости, высота которого определяется непосредственно
или путем расчета.
Впервые идея измерения давления по величине столба жидкости
была высказана итальянским ученым Торичелли в 1640 г., а осу25
ществлена итальянским механиком Вивиани в 1642 г. и французским ученым Паскалем в 1646 г. Жидкостные приборы не утратили
своего значения до настоящего времени, так как принцип действия
этих приборов очень прост. Они несложны в изготовлении, точны
и надежны;
• механические – принцип действия которых заключается в том,
что под действием давления происходит деформация некоторого
упругого элемента, и величина этой деформации служит мерой измеряемого давления;
• грузопоршневые – в которых измеряемое давление, действуя
на одну сторону поршня, уравновешивается внешней силой, приложенной с противоположной стороны поршня. В качестве уравновешивающей силы используют грузы. Вес груза, деленный на площадь
поршня, определяет величину измеряемого давления;
• электрические – принцип действия которых основан на изменении электрических свойств отдельных материалов или изменении
каких-либо электрических параметров под действием давления;
• комбинированные – принцип действия носит смешанный характер.
По классу точности. По точности показаний все выпускаемые
серийно приборы делятся на классы. Классом точности прибора называется основная наибольшая допустимая приведенная погрешность.
Лекция 5
Эпюры гидростатического давления.
Определение силы давления на плоскую
и криволинейную поверхности.
Центры давления
Эпюра гидростатического давления – это графическое изображение распределения давления жидкости по твердой поверхности,
соприкасающейся с жидкостью. Примеры эпюр для плоских и криволинейных поверхностей показаны на рис. 9. Стрелками на эпюре
показывают направление действия давления (вернее, направление
нормальных напряжений, возникающих от действия давления, так
как по второму свойству давление скалярно). Величина стрелки (ордината) откладывается в масштабе и количественно показывает величину давления.
В большинстве расчетных случаев строят эпюры избыточного
давления Ризб вместо полного Р, а атмосферное Ратм не учитывают
из-за его взаимного погашения с той и другой стороны ограждающей конструкции. При построении таких эпюр для плоских и криволинейных поверхностей используют линейную зависимость давления от глубины (16) и первое свойство гидростатического давления.
P0
P0
A
B
P0 + ρgh
Рис. 9. Примеры построения эпюры гидростатического давления
26
27
Определение силы давления на плоскую поверхность
В помощь при выполнении домашнего задания дана табл. 3.
Рассмотрим вертикальную прямоугольную стенку сосуда (рис. 10),
на которую действует жидкость плотностью ρ.
Обозначим высоту воды в сосуде Н и определим смоченную площадь прямоугольной стенки сосуда S, а также центр масс, или центр
тяжести С. Центр тяжести прямоугольника можно определить, проведя диагонали из его углов – точка пересечения диагоналей даст
нам искомый центр.
За среднее гидростатическое абсолютное давление в жидкости
принимаем давление в центре масс С площади смоченной стенки
где Рс – давление в точке С; Р0 – давление на поверхности жидкости;
g – ускорение свободного падения; hс – глубина погружения центра
масс.
Умножив все члены полученного уравнения на S, получим формулу для определения силы давления на плоскую стенку F:
F = РС · S = (Р0 + ρ · g · hс) S. (22)
Сила гидростатического давления жидкости на плоскую смоченную стенку равна произведению гидростатического давления в центре тяжести стенки на ее площадь.
Если сосуд открыт, то внешнее давление равно атмосферному
(Р0 = Ратм ), и в этом случае сила давления на плоскую прямоугольную стенку равна:
F = ρ · g · H · S. F = РС · S = ρ · g · hс · S = 0,5ρ · g · b · H/2, hc=H/2
hD=(2/3)H
где b – ширина смоченной стенки; hc = Н/2.
F
Pc
Таблица 3
Фигура
Положение
центра
Площадь
тяжести
Момент инерции
(Jxx = Jc)
Равнобедренный
треугольник
1 h от осно3
вания
bh
2
Прямоугольник
1 h от осно2
вания
bh
bh3
Jxx = –––
12
Равнобедренная
трапеция
a+b
h
2
h3 a2 + 4ab + b2
Jxx = –– –––––––––––
36
a+b
Круг
В центре
круга
Круговое
кольцо
В центре
кольца
bh3
Jxx = –––
36
S
C
D
b
Рис. 10. Схема для определения равнодействующей силы
гидростатического давления на плоскую поверхность
28
(22)
(23)
πd 2
––––
4
πr4
Jxx = –––
4
H
Сила гидростатического давления на дно сосуда площадью S при
глубине воды в сосуде Н равна
РС = Р0 + ρ · g · hс,
Силы давления жидкости на дно сосуда
29
π (R2 – r2 )
π (R4 – r4 )
Jxx = ––––––––––
4
(24)
где Jц.т – момент инерции плоской смоченной фигуры относительно
горизонтальной оси (табл. 3), проходящей через ее центр тяжести;
lц.д, lц.т – расстояния до центров давления и тяжести, измеряемые
вдоль продольной оси симметрии фигуры (или ее продолжения) от
пьезометрической поверхности.
Сила давления жидкости на цилиндрическую стенку
2H
3
F
lц.т
x
P0
B
S1
S2
ц.д
Точка, в которую приложена
равнодействующая гидростатического
давления
S3
Рис. 11. Схема для определения силы давления на дно сосуда
30
ц.т
L
Рис. 12. Схема к определению точки приложения равнодействующей
гидростатического давления на плоскую и криволинейную поверхности
Определим силу F гидростатического давления на цилиндрическую поверхность ВЕ шириной b, образующие которой перпендикулярны к плоскости чертежа (рис. 13):
F = Fг2 + Fв2 .,
(25)
где Fг, Fв – горизонтальная и вертикальная составляющие силы F.
Горизонтальная составляющая Fг равна силе давления на вертикальную плоскую прямоугольную проекцию цилиндрической поверхности, перпендикулярную к искомой составляющей:
Fг = ρ · g · hC · S = 0,5 · ρ · g · b · H/2.
Силу Fг можно найти также графическим способом, построив
эпюру АЕК избыточного давления.
Вертикальная составляющая Fв равна весу Gт.д тела давления:
Fв = Gт.д = ρ · g · V = ρ · g · S0 · b,
где S0 – площадь сечения тела давления ABE, показанная на рис. 13
вертикальной штриховкой.
B x A
A
0
H
3
H3
2
H2
H1
1
b
lц.д
l
C
γH
A'
S
hc
Цилиндрическая стенка относится к криволинейным поверхностям, для которых при определении силы давления заранее неизвестны точки приложения этой силы и ее направление. Поэтому результирующая сила давления жидкости на криволинейную твердую
стенку F может быть определена по ее проекциям на оси координат
Fх, Fу, Fz, где Fх, Fу – горизонтальные составляющие; Fz – вертикальная составляющая силы давления F.
A
Fx
K
α
E
Fв
Fг
F
E
C
hD = (2/3)H
H
lц.д = lц.т + Jц.т /lц.т · S,
P0
H
На рис. 11 изображены три сосуда 1–3 различной формы с одинаковыми площадями дна S1= S2 = S3, наполненные жидкостью с одинаковой плотностью ρ1 = ρ2 = ρ3 до одинаковой высоты H1 = Н2 = Н3.
Гидравлический парадокс заключается в том, что во всех трех
сосудах независимо от их формы силы, действующие на дно, будут
одинаковы^ F1 = F2 = F3.
Важно знать не только силу давления, но и точку ее приложения.
Точка приложения равнодействующей сил давления F называется
центром давления. Из-за возрастания давления по мере увеличения
глубины она всегда лежит ниже центра тяжести стенки.
Величину отрезка lц.д (рис. 12), определяющего положение центра давления, находят на основании теоремы моментов о равенстве
момента равнодействующей сумме моментов сил составляющих.
Она равна:
D
b
E'
z
Рис. 13. Схема для определения силы давления на цилиндрическую стенку
31
Направление силы F определяется углом α
tg α = Fв / Fг.
Объемы некоторых наиболее часто встречающихся фигур и положения их центров тяжести приведены в табл. 4.
Возможны два случая расположения криволинейной поверхности
под уровнем жидкости (рис. 14, 15). В первом случае жидкость расположена над твердой поверхностью; тело давления заполнено жидкостью и считается положительным, а вертикальная составляющая
силы направлена вниз. Во втором случае тело давления не заполнено
жидкостью и считается отрицательным; вертикальная сила давления
направлена вверх.
Pz
Рис. 14. Положительное тело давления
Фигура
Прямой
круговой
конус или
пирамида
1 h от основания
4
WT
Объем, V
1
h
3πR2
4
3πR3
Шар
В центре шара
Шаровой
сегмент
2 h от основания
5
1 πh (3a2 + h2) =
6
= 1 πh2 (3R – h)
3
Полушарие
3
R от основания
8
2
3πR3
Цилиндр или
призма
1h
2
hωосн
32
Рис. 15. Отрицательное тело давления
сп
Таблица 4
Положение
центра тяжести
Pz
SB
→
A
C Sм
S
Рис. 16. Архимедова сила А равна весу
жидкости в объеме погруженного
тела
Если криволинейная поверхность S замкнута и полностью погружена под уровень абсолютно покоящейся жидкости (рис. 16), то воздействие жидкости сводится к одной вертикальной силе А.
33
Лекция 6
Закон Архимеда (равновесие твердого
тела в жидкости). Основные
условия плавания тел
Fп
Рис. 17. Схема к закону Архимеда
На замкнутую криволинейную поверхность, являющуюся поверхностью твердого тела, погруженного в жидкость, будут действовать
массовые силы (силы тяжести Gр) и поверхностные силы давления
на поверхность тела. Горизонтальные составляющие силы давления
будут взаимно уравновешены. Неуравновешенными будут лишь вертикальные составляющие силы давления, действующие на верхнюю
и нижнюю стороны поверхности. Равнодействующая сил давления
носит название выталкивающей силы – Fп, эта сила направлена вертикально вверх и численно равна весу жидкости в объеме, вытесненном телом. Последнее положение получило название закона Архимеда. Закон Архимеда часто формулируют несколько иначе: «Тело,
погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит
вытесненная им жидкость»:
Fп = ρ · g · W. (26)
Закон Архимеда о подъемной (архимедовой) силе Fп имеет большое практическое значение в строительстве. Этот закон применяется, например, при расчете подземных резервуаров на всплытие
в обводненных грунтах.
На рис. 17 показан резервуар, часть которого расположена ниже
уровня грунтовых вод (УГВ). Таким образом, он вытесняет объём
воды, равный объему его погруженной части ниже УГВ, что вызывает появление архимедовой силы Fп. Если сила Fп превысит собственный вес резервуара Gр, то конструкция может всплыть.
Возможны следующие состояния тела, погруженного в жидкость:
Gр > Fп – тело погружается (тонет), так как силы дают равнодействующую, направленную вниз;
34
Gр = Fп – тело плавает в погруженном состоянии, безразличное
состояние;
Gр < Fп – силы, действующие на тело, дают равнодействующую,
направленную вверх, которая заставляет тело всплывать.
На законе Архимеда основана теория плавания тел, основным вопросом которой является плавучесть твердых тел.
Введем несколько понятий.
Плавучесть – способность тела плавать в полупогруженном состоянии. Основное условие плавания тел: Gр + М = Fп , где М – произвольная нагрузка.
Плоскость плавания – плоскость сечения поверхности, ограниченная по контуру ватерлинией.
Величина погружения наинизшей точки плавающего тела носит
название осадка.
Точка приложения силы тяжести – центр тяжести, а силы давления – центр давления, или водоизмещение.
Остойчивостью называется способность плавающего тела возвращаться в состояние равновесия при отклонениях после прекращении действия отклоняющих сил. Это чрезвычайно важный вопрос. Известно, что при неправильном распределении груза на судне
оно может перевернуться. Вопрос об остойчивости является вопросом безопасности.
Рассмотрим устойчивость равновесия тела, находящегося под водой. Пусть центр давления расположен выше центра тяжести. В нормальном положении центр тяжести и центр давления лежат на одной
вертикальной прямой, и тело находится в равновесии (рис. 18, а).
При наклонении тела (рис. 18, б) сила тяжести и выталкивающая
сила образуют пару сил, которая будет возвращать тело в исходное
положение. Таким образом, равновесие устойчиво. Если бы центр
35
а)
б)
в)
Рис. 18. Схема расположения центра тяжести и давления плавающих тел. Стрелками показаны сила тяжести и архимедова сила: ц. т. – центр тяжести, ц. д. – центр
давления
давления лежал ниже центра тяжести, то равновесие тела было бы
неустойчивым. В этом случае при отклонении от строго вертикального положения сила тяжести и выталкивающая сила образовали бы
пару сил, поворачивающую тело дальше от положения равновесия
(см. рис. 18, б). В случае совпадения центра тяжести с центром давления равновесие безразличное.
Аналогичны разные случаи равновесия твердого тела, подвешенного в одной точке. Центр давления играет роль точки подвеса.
Условия устойчивости равновесия тела, плавающего на поверхности жидкости (рис. 19), будут совершенно другие, так как при
наклонении тела изменяется форма вытесняемого объема, а следовательно, и положение центра давления относительно тела. Например, при наклонении вправо бóльшая часть вытесненной воды будет
расположена справа от средней линии тела, а следовательно, и центр
давления сместится в ту же сторону.
Вопрос об устойчивости равновесия зависит от относительного
а)
б)
положения центра давления и центра тяжести после наклонения судна. Если точка М пересечения вертикали, проведенной через центр
давления, со средней линией тела (так называемый метацентр) лежит выше центра тяжести (см. рис. 19, б), то пара сил, образованная
силой тяжести и выталкивающей силой, поворачивает тело обратно; следовательно, равновесие устойчиво. Если же метацентр лежит
ниже центра тяжести (см. рис. 19, в), то равновесие неустойчиво.
Здесь роль точки подвеса играет метацентр, и равновесие может
быть устойчивым, несмотря на то что центр давления лежит ниже
центра тяжести корабля. Положение метацентра меняется при изменении угла наклонения плавающего тела.
Расстояние между центром тяжести и метацентром называют метацентрической высотой. Чем больше метацентрическая высота, тем
больше остойчивость тела, тем быстрее возвращается оно в прямое
положение, будучи выведено из него внешними силами (порывом
ветра, ударом волны и т. п.).
в)
Рис. 19. Устойчивость плавания тела: ц. т. – центр тяжести; ц. д. – центр давления;
М – метацентр
36
37
• установившееся движение – это движение, при котором давление и скорость в каждой точке потока не изменяются с течением
времени и зависят только от координат точки, т. е.
Лекция 7
Гидродинамика.
Виды движения жидкости
Гидродинамика – раздел гидравлики (механики жидкости), в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие
с неподвижными и подвижными поверхностями.
Причинами, вызывающими движение жидкости, являются действующие на нее силы: сила тяжести, внешнее давление и т. п.
Основными параметрами, характеризующими движение, являются
внутреннее давление и скорость в отдельных точках. Давление называется гидродинамическим. В общем случае скорость и давление
являются функциями координаты и времени. Задача гидродинамики
состоит в изучении взаимодействия между скоростью и давлением
в отдельных точках.
Гидростатическое давление в каждой точке жидкости, как уже
известно, является функцией только координат x, y, z, гидродинамическое же давление Р, кроме того, может изменяться и со временем t,
являясь функцией времени, Р = f (x, y, z, t).
Скоростью течения жидкости u в заданной точке называется
скорость перемещения данной частицы жидкости в пространстве.
Скорость течения зависит от положения точек (координат x, y, z)
и может изменяться со временем t, т. е. u = f (x, y, z, t).
В зависимости от изменения во времени основных элементов
движения – давления и скорости, различают следующие виды движения жидкости:
• неустановившееся движение, при котором скорость и давление в каждой точке потока изменяются с течением времени, т. е.
Р = f1 (x, y, z, t) и u = f2 (x, y, z, t).
Например, движение в реке при изменяющемся горизонте
воды;
38
Р = f1 (x, y, z) и u = f2 (x, y, z) или dp/dt = 0, du/dt = 0.
Например, движение в канале при постоянном горизонте воды.
Установившееся движение может быть равномерным и неравномерным.
Равномерное движение – когда элементы движения (скорость, глубина, давление и т. д.) не меняются вдоль потока.
Например, движение жидкости по трубам с постоянной скоростью.
Неравномерное движение – когда элементы движения (скорость,
глубина, давление и т. д.) в каждой точке потока изменяются по длине. Например, движение в конической трубе, в которой по длине
меняются поперечные сечения потока.
В зависимости от причин, вида сил и общих условий движения
различают напорное и безнапорное движения.
Напорным называют движение, при котором жидкость заполняет
все поперечное сечение трубопровода. Это движение осуществляется под действием внешних сил или под действием приложенного
давления, превышающего атмосферное и сообщенного каким-либо
внешним источником.
Безнапорное движение осуществляется самотеком, происходит
под действием силы тяжести, жидкость не заполняет все поперечное
сечение трубопровода и характеризуется наличием свободной поверхности с известным давлением на поверхности, обычно атмосферным.
Для описания движения частицы, а через нее и жидкости, существуют два метода: Лагранжа и Эйлера.
1. Метод Лагранжа. Для описания движения жидкости требуется описать движение каждой частицы. Описание движения жидкости методом Лагранжа сводится к рассмотрению положения частиц
жидкости в любой момент времени.
Пусть в начальный момент времени t0 каждая частица имеет соответствующие начальные координаты x0, y0, z0. Однако к моменту t
для каждой частицы координаты изменятся. Движение можно считать описанным (определенным), считает Лагранж, если возможно
указать для каждой частицы координаты x, y, z в произвольный мо39
мент времени t как непрерывные функции от начальных координат
x0, y0, z0, т. е.
x = f1(x0, y0, z0, t),
y =f2 (x0, y0, z0, t),
z = f3(x0, y0, z0, t),
где переменные x, y, z называют переменными Лагранжа.
Метод Лагранжа из-за громоздкости и трудности решения может
использоваться при детальном изучении поведения лишь отдельных
частиц жидкости. Использование этого метода для инженерных расчетов затруднительно.
2. Метод Эйлера. Суть метода Эйлера заключается в том, что изучение движения жидкости подменяется изучением изменения
поля скоростей. Под полем скоростей понимают некоторую достаточно большую совокупность точек бесконечного пространства, занятого движущейся жидкостью, когда в каждой точке пространства в каждый момент времени находится частица жидкости
с определенной скоростью (вектором скорости). Несмотря на то
что исходные условия создания модели движущийся жидкости
довольно сложные, тем не менее, метод Эйлера весьма удобен для
расчетов.
Построение поля скоростей осуществляется следующим образом.
В некоторый момент времени (например, t0) произвольным образом
выберем необходимое число точек, в которых находятся частицы
жидкости. Приписав их скорости точкам неподвижного пространства, сделаем «моментальную фотографию» поля скоростей на выбранный момент времени. В следующий момент времени в тех же
выбранных точках неподвижного пространства будут находиться
другие частицы жидкости, имеющие другие скорости u. Выполнив
уже известную процедуру второй раз, получим новую «моментальную фотографию» поля скоростей на момент времени t1. Теперь вместо изучения траекторий частиц жидкости будем сравнивать поля
скоростей.
Изменение этого поля описывается следующей системой:
ux = f1 (x, y, z, t),
uy = f2 (x, y, z, t),
uz = f3 (x, y, z, t).
40
Переменные ux, uy, uz – три взаимноперпендикулярные составляющие полной скорости – еще называют переменными Эйлера.
Они позволяют определить скорость в любой точке пространства в
любой момент времени.
Поле скоростей движения жидкости иногда называют гидродинамическим полем по аналогии с электромагнитным, тепловым
и другими полями. Это определение не противоречит физической
стороне процесса движения жидкости. Такое поле называют нестационарным (изменяющимся) гидродинамическим полем. В частном
случае, когда во всех точках неподвижного пространства с течением
времени предыдущие частицы жидкости сменяются другими с такими же скоростями, поле скоростей во времени не меняется.
41
Лекция 8
Основные элементы потока. Уравнение
неразрывности для капельных
и упругих жидкостей
Основной кинематической характеристикой гидродинамического
поля является линия тока.
Линия тока (рис. 20, а) – кривая, в каждой точке которой вектор
скорости направлен по касательной к кривой. Это мгновенная характеристика потока. Часто путают понятия линия тока и траектория.
Траектория – это путь движущейся частицы в течение некоторого промежутка времени. При установившемся движении траектория
движущейся частицы совпадает с линией тока.
Если в движущейся жидкости выделить весьма малую площадку dω1, через которую провести линии тока, то полученная поверхность называется поверхностью тока, а образованное этой поверхностью тело будет называться трубкой тока (рис. 20, б). Жидкость,
наполняющая трубку тока, называется элементарной струйкой. Поскольку линии тока никогда не пересекаются, то поверхность трубки
тока является непроницаемой внешней границей для элементарной
струйки жидкости. Сечение трубки тока, нормальное к линиям тока,
называется живым сечением элементарной струйки и dω2. При установившемся движении жидкости понятия линии тока и траектории
движения частицы жидкости совпадают.
dω1
Рис. 20. Основные элементы потока: а – линия тока; б – линии тока (1)
и трубка тока (2)
42
dω2
Элементарная струйка обладает следующими свойствами:
• форма элементарной струйки остается неизменной во времени;
• обмен частицами между отдельными струйками невозможен
(вектор скорости направлен по касательной, нормальная составляющая равна 0);
• скорость и давление во всех точках сечения одинаковы в виду
малых размеров сечения.
Совокупность элементарных струек, протекающих через достаточно большую, но ограниченных размеров площадь, называется
потоком.
При изучении потока рассматривают плавно и резко изменяющееся движение. В дальнейшем будем рассматривать только плавно изменяющееся движение – это движение, близкое к параллельно
струйчатому движению, имеющее определенные свойства:
• кривизна линии тока незначительна, т. е. радиус кривизны стремится к бесконечности;
• угол, образующий линии тока, близок к 0;
• поперечное сечение потока плоское и расположено по нормали
к оси потока;
• давление в пределах сечения подчиняется законам гидростатики.
Поток жидкости представляет собой совокупность элементарных
струек жидкости. По этой причине основные кинематические характеристики потока во многом совпадают по своему смыслу с аналогичными характеристиками для элементарной струйки жидкости.
Тем не менее, различия все же имеются. Так, в отличие от элементарной струйки, которая отделена от остальной жидкости поверхностью трубки тока, образованной линиями тока, поток жидкости
имеет реальные границы в виде твердой, газообразной или жидкой
сред. По типу границ потоки бывают:
• напорные, когда поток ограничен твердой средой по всему периметру сечения;
• безнапорные, когда часть сечения потока представляет собой
свободную поверхность жидкости;
• гидравлические струи, когда поток ограничен только жидкой
или газообразной средой. Если гидравлическая струя ограничена со
всех сторон жидкостью, то она называется затопленной гидравлической струей, а если газовой средой, то такая струя называется незатопленной.
43
Основные элементы потока:
Живое сечение, ω (м²) – площадь поперечного сечения потока,
перпендикулярная к направлению течения.
Смоченный периметр, χ (м) – часть периметра живого сечения,
ограниченная твердыми стенками (рис. 21).
Рис. 21. Смоченный периметр выделен утолщенной линией
Уравнение неразрывности потока
Уравнение неразрывности потока отражает закон сохранения
массы: количество втекающей жидкости равно количеству вытекающей. Например, на рис. 23 расходы во входном и выходном сечениях
напорной трубы равны:
• так как проникновение жидкости через боковую поверхность
невозможно (поверхность образована линиями тока);
• жидкость несжимаема;
• жидкость является сплошной средой (отсутствуют разрывы).
2
1
Гидравлический радиус R (м) – отношение площади живого сечения к смоченному периметру: R = ω/χ.
Например, для круглого сечения:
1
Q1 = Q2 = const
R = π · r2 / (2π · r) = r / 2 = d / 4.
Расход Q (м3/с, л/с и т. п.) – количество жидкости, проходящее
через данное сечение в единицу времени.
Рассмотрим элементарную струйку, перемещающуюся с постоянной скоростью u = сonst. Объем жидкости, прошедший через
живое сечение площадью dω на расстояние dS (рис. 22), составит:
dW = dS · dω.
Q2
Q1
2
Рис. 23. Схема к уравнению неразрывности потока
При этих условиях можно записать:
Q1 = Q2 = сonst, с учетом (27) получим уравнение неразрывности
потока:
v1 · ω1 = v2 · ω2. (28)
Такая обратная зависимость между скоростью и площадью является важным следствием уравнения неразрывности и часто применяется в технике.
Pатм
Q = v · ω, где v – средняя скорость потока, м/с.
44
(27)
Pатм
0
v
h
Разделив обе части на промежуток времени dt, за которое произошло перемещение, получим:
dW/dt = dS/(dt · dω), но dW/dt = dQ , а dS/dt = u, следовательно,
dQ = u · dω, где u – средняя скорость элементарной струйки в рассматриваемом сечении для потока жидкости
H
Рис. 22. Элементарная струйка
P = Pатм + ρgh
0
Рис. 24. Трубка Пито
Скорость жидкости в различных точках поперечного сечения неодинакова, поэтому для удобства расчетов введено понятие средней
45
скорости. Средняя скорость потока, v (м/с) – частное от деления расхода потока на площадь живого сечения: v = Q/ω. Измерение скорости потока и расхода жидкости производится с помощью специальных приборов: трубки Пито (рис. 24) и трубки Вентури.
Трубка Пито – изогнутая под углом 90° трубка, устанавливаемая
отверстием наконечника по течению.
Лекция 9
Уравнение Бернулли. Смысл членов уравнения.
Пьезометрическая и напорная линии,
гидравлический уклон
Уравнение движения жидкости, устанавливающее связь между
скоростью, гидравлическим давлением и вертикальной координатой
для любой точки движущейся жидкости, носит название уравнения
Бернулли. Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики.
Обычно уравнение Бернулли записывается для двух сечений элементарной струйки или потока и при установившемся движении
жидкости имеет следующий вид:
а) для элементарной струйки идеальной жидкости (рис. 25):
p1 u12
p
u2
(28)
+
= z2 + 2 + 2 ; γ 2g
γ 2g
б) для элементарной струйки реальной жидкости (рис. 26):
z1 +
p1 u12
p
u2
(29)
+
= z 2 + 2 + 2 + hw ; γ 2g
γ 2g
в) для потока реальной жидкости:
p α v2
p
α v2
(30)
z1 + 1 + 1 1 = z 2 + 2 + 2 2 + ∑ hw , γ
2g
γ
2g
где z1 и z2 – высоты положения или геометрический напор, м; p1/γ и
p2/γ – пьезометрическая высота, или пьезометрический напор, отu 2 v2
,
– скоростная
вечающий давлению Р1 и Р2 в данной точке, м;
2g 2g
высота или скоростной напор, м; u – местная скорость элементарной струйки, м/c; v – средняя скорость потока, м/с; α – коэффициент
46
z1 +
47
Рис. 25. Схема к уравнению Бернулли
для элементарной струйки
идеальной жидкости
Рис. 26. Схема к уравнению
Бернулли для элементарной
струйки реальной жидкости
Кориолиса, или коэффициент кинетической энергии, учитывающий
неравномерность распределения скоростей по живому сечению потока (для ламинарного режима течения в круглой трубе α = 2, для
турбулентного – α = 1,045–1,1); hw, ∑hw – суммарная потеря напора
при движении жидкости на рассматриваемом участке, м.
Слагаемые, входящие в уравнение Бернулли, можно истолковать
с геометрической и энергетической точек зрения.
Например ∑hw – удельная механическая энергия, затрачиваемая
на преодоление сопротивления движению жидкости между сечениями потока и переходящая в тепловую энергию, которая состоит из:
∑hw = ∑hдл + ∑hмест, (31)
где ∑hдл – потери энергии (напора) на трение по длине; ∑hмест – местные потери энергии (напора).
Для определения геометрического смысла уравнения Бернулли
рассмотрим элементарную струйку жидкости, движущейся относительно произвольно выбранной плоскости сравнения (см. рис. 25).
Выберем три сечения: 1–1; 2–2; 3–3, центры тяжести которых от48
носительно плоскости сравнения 0–0 расположены на высотах z1; z2;
z3. В центры тяжести выбранных сечений установим пьезометры и
трубки Пито. Под действием давления жидкость в пьезометрах поднимается на высоту hp= Р/γ.
В трубках Пито под действием давления и скорости жидкость
поднимается выше уровня в пьезометрах на высоту hи = и2/2g (см.
рис. 25).
Все члены в уравнении Бернулли представляют собой геометрические высоты и имеют размерность длины.
Так как сумма трех членов Р/γ, z и и2/2g для идеальной жидкости
постоянна вдоль оси струйки, то уровни жидкости в трубках Пито,
установленных в различных сечениях, будут всегда лежать в одной
горизонтальной плоскости, называемой напорной плоскостью, т. е.
напорная линия E–E (см. рис. 25) будет горизонтальна. В этом состоит геометрический смысл уравнения Бернулли для идеальной
жидкости. Для идеальной жидкости линия Р–Р также будет горизонтальной.
Если плавной кривой соединим уровни жидкости в пьезометрах,
то получим пьезометрическую линию P–P (см. рис. 25, 26), которая
может подниматься или опускаться, но никогда не пересекается с напорной линией.
Сумма трех высот называется полным напором и обозначается Н,
т. е. полный напор представляет собой сумму пьезометрического
Нр = hp + z = Р/γ + z и скоростного hи = и2/2g напоров:
Н = hp + z + hи = z +Р/γ + и2/2g. (32)
С энергетической точки зрения уравнение Бернулли выражает
закон сохранения энергии. Полный напор Н – это полная удельная
энергия жидкости в рассматриваемом сечении. Сумма трех членов
есть сумма трех удельных энергий: удельной потенциальной энергии давления Р/γ, удельной потенциальной энергии положения z,
удельной кинетической энергии и2/2g. Для идеальной жидкости сумма трех удельных энергий (полный напор) по длине струйки есть
величина постоянная.
Реальная жидкость в отличие от идеальной обладает вязкостью.
При движении реальной жидкости ее вязкость обусловливает сопротивление движению и вызывает потерю части энергии, поэтому
полный напор уменьшается по длине струйки. Следовательно, уровни жидкости в трубках Пито будут снижаться по ходу движения (см.
49
рис. 26). Напорная линия Е–Е, проведенная по этим уровням для
вязкой жидкости, будет наклонной, нисходящей. Разность между горизонтальными линиями Е–Е, проведенными на уровне жидкости в
трубках Пито в сечениях 1–1 и 2–2, представляет собой потери напора hw на участке между этими сечениями.
Таким образом для реальной жидкости:
Н1 = Н2 + hw.
Потери напора, отнесенные к единице длины струйки, называются гидравлическим уклоном и обычно обозначаются буквой J:
J = (H1 – H2) / L = hw / L,
(33)
где L – расстояние между сечениями 1–1 и 2–2.
Величина гидравлического уклона вдоль струйки может изменяться, так как зависит от потерь напора на различных участках.
Изменение пьезометрического напора, отнесенное к единице
длины, называется пьезометрическим уклоном:

p  
p 
(34)
J n =  z1 + 1  −  z 2 + 2 .
ρg 
ρg  

Пьезометрический уклон может быть направлен как в сторону
движения, так и в сторону, противоположную движению.
При помощи уравнения Бернулли, как указывалось раньше, в гидравлике решается большое количество практических задач и выводится много расчетных формул. Для правильного применения необходимо иметь в виду следующие условия его применения:
1. Уравнение Бернулли выведено для плавно изменяющегося
движения потока, а поэтому может применяться лишь к таким двум
сечениям, вблизи которых поток удовлетворяет условиям «плавной
изменяемости».
2. Сумму гидродинамического давления и высоты положения,
т. е. двухчлен Нр =Р/γ + z, или пьезометрическую высоту, имеем право относить к любой точке каждого из двух взятых сечений, однако
на практике ее удобно относить или к точкам на свободной поверхности потока, или к точкам, находящимся в центре тяжести сечений.
В этих случаях уравнение Бернулли приводится к сокращенному
виду.
50
Лекция 10
Гидравлические сопротивления.
Основное уравнение равномерного движения.
Два режима движения жидкости.
Число Рейнольдса
Как указывалось в предыдущей лекции, при движении реальной
жидкости происходит потеря напора или потеря энергии потока, выражением (мерой) которой являются гидравлические сопротивления.
Знаменитый русский ученый Д. И. Менделеев в своем сочинении
«О сопротивлении жидкостей и о воздухоплавании» в 1880 г. указывал на существование в природе двух режимов движения жидкости с
различными законами ее сопротивления. Эта же мысль была развита
и доказана в 1883 г. русским физиком Н. П. Петровым (1836–1920),
впервые установившим, что «при смазке силы трения, определяемые вязким сопротивлением при спокойном движении, пропорциональны первой степени скорости».
Полные потери напора можно представить как сумму всех видов потерь напора – местных потерь и потерь напора по длине (31).
Оценка величины местных потерь напора или деформаций жидкости в потоке практически всегда базируется на результатах экспериментов, по которым определяются величины коэффициентов потерь.
Для вычисления потерь напора по длине имеются более или менее
надежные теоретические предпосылки, позволяющие вычислять потери с помощью привычных формул. Основной причиной таких сопротивлений являются силы трения.
Рассмотрим вначале потери напора, вызванные силами трения
(потери по длине), а также их связь с основными параметрами потоков.
Установим закономерность между потерями напора и силами
трения. Для этого выделим в трубе или открытом канале с движущейся жидкостью объем жидкости, ограниченный двумя попереч51
ными сечениями 1–1 и 2–2, находящимися на расстоянии L друг от
друга (рис. 27).
При равномерном движении площади живых сечений, а следовательно, и скоростные напоры равны, поэтому hl = z1 + p1/γ – z2 – p2/γ.
Выделенный объем жидкости находится в равномерном движении. Равномерное движение возможно лишь в случае, когда все
силы, действующие на тело, уравновешены. Рассмотрим все силы,
которые действуют на выделенный объем жидкости.
На выделенный объем жидкости действуют:
1. Сила тяжести G = ρ · g · ω · L, приложенная в его центре тяжести.
2. Силы гидродинамического давления P1 = p1 · ω и P2 = p2 · ω ,
нормальные к сечениям и направленные в разные стороны.
3. Сила трения, возникающая на поверхности соприкосновения
жидкости со стенками T = τ · χ · L , направленная противоположно
движению.
4. Так как движение равномерное (без ускорения), силы инерции
не возникают.
Спроецируем все действующие силы на ось направления движения жидкости:
P1 – P2 + G · sin α – T = 0,
p1 · ω – p2 · ω + ρ · g · ω · L · sin α – τ · χ · L = 0,
L · sin α = z1 – z2,
ω (p1 – p2) + ρ · g · ω (z1 – z2) = τ · χ · L .
P1
P2
Рис. 27. Схема равномерного движения
52
Разделив на ρ · g · ω с учетом (3), получим
(p1 − p2 ) + (z − z ) = τ ⋅ L ⋅ χ .
1
2
γ
γ ⋅ω
Левая часть выражения есть не что иное, как потери напора на
рассматриваемом участке, т. е. можно записать
τ⋅ L⋅χ
.
γ ⋅ω
С учетом (33) и ω/χ = R получим
τ = ρ · g ·R ·J. hl =
(35)
Выражение (35) является основным уравнением равномерного
движения. Напряжение силы трения, отнесенное к единице веса,
равно произведению гидравлического радиуса на гидравлический
уклон.
При проведении многочисленных экспериментов с потоками движущейся жидкости было неоднократно подмечено, что на величину
гидравлических сопротивлений, кроме физических свойств самой
жидкости, формы и размеров каналов, состояния их стенок, существенное влияние оказывает особенности движения частиц жидкости в потоке. Впервые дал теоретическое обоснование этой зависимости английский физик Осборн Рейнольдс. Суть его эксперимента
заключалась в следующем.
В емкость А (рис. 28) достаточного большого объема была вставлена длинная (не менее 20 диаметров) стеклянная трубка В. На конце этой трубки устанавливался кран С для регулирования расхода
жидкости. Измерение расхода жидкости осуществлялось с помощью
мерной емкости, расположенной в конце трубки. Из малого бачка D
с помощью тонкой изогнутой трубки по центру основной трубки
вводилась подкрашенная жидкость. Ее расход также регулировался
с помощью краника Е. Уровень жидкости в основном баке А поддерживался постоянным. Плавно меняя расход жидкости в трубке,
Рейнольдс отметил, что при малых скоростях движения жидкости
подкрашенная струйка жидкости текла по центру потока жидкости,
не смешиваясь с остальной жидкостью потока. Однако при определенной скорости жидкости подкрашенная струйка жидкости теряла
свою устойчивость и, в конечном итоге, частицы окрашенной жидкости перемешивались с остальной жидкостью. При снижении ско53
Рис. 28. Схема установки Рейнольдса
рости движения жидкости положение восстанавливалось: хаотичное
движение частиц жидкости снова становилось упорядоченным. Рейнольдс менял длину и диаметр трубки, вязкость жидкости, количество подкрашенных струек жидкости и установил, что эффект перемешивания (смена режима течения жидкости) зависит от скорости
движения жидкости, ее вязкости и от диаметра трубки, причем при
увеличении вязкости жидкости для смены режима течения жидкости требовалась большая скорость. Отсюда Рейнольдс сделал вывод,
что смена режима движения жидкости зависит от целого комплекса
параметров потока, а именно от соотношения, которое получило название числа Рейнольдса:
Rе = v · d/υ . (36)
Число Рейнольдса оказалось безразмерной величиной, представлявшей собой отношение сил инерции к силам вязкостного трения.
Режимы движения всех потоков (напорных и безнапорных) можно разделить на два типа (рис. 29):
• ламинарный режим – спокойный, параллельноструйный (жидкость движется слоями без поперечного перемешивания), при ма-
Rе
Rекр
лых скоростях движения жидкости, причем пульсации скорости
и давления отсутствуют;
• турбулентный режим – бурлящий, вихреобразный, с водоворотами, при больших скоростях движения жидкости. При турбулентном режиме слоистость нарушается, движение жидкости сопровождается перемешиванием и пульсациями скорости и давления.
Для выяснения типа режима нужно рассчитать число Рeйнольдса Re и сравнить его с критическим числом Reкр. Критическое число
Рeйнольдса Reкр – это число, при котором наступает смена режима
движения. Его величина для напорных потоков Reкр = 2320, а для
безнапорных потоков Reкр = 500.
Многочисленные экспериментальные исследования гидравлических сопротивлений показывают, что между ними и скоростью движения жидкости имеется зависимость hl = f(v). Важным оказалось
то обстоятельство, что при смене режима движения существенно
менялась зависимость величины гидравлических сопротивлений
от скорости движения жидкости. При преобладании сил вязкости –
режим ламинарный, при преобладании сил инерции – режим турбулентный. Этот факт можно проиллюстрировать на графике зависимости потерь напора от скорости, построенном в логарифмической системе координат (рис. 30). Если опытные данные нанести
на график, то можно выявить три области: ламинарную (линия AB),
турбулентную (линия CD) и неустойчивую, расположенную между
точками B и C. Точки В и С называются критическими, т. е. точками, в которых происходит изменение режима, точка В – нижней
критической точкой. Скорости, соответствующие этим точкам, называются критическими скоростями. Для точек В и С характерно
то, что при скоростях меньше vн.к всегда наблюдается ламинарный
режим, а при скоростях больших vв.к – турбулентный режим. При
изменении скоростей от малых к большим ламинарный режим может удерживаться до точки Е. При изменении скоростей от больших к малым турбулентный режим может удерживаться до точки В.
Значение числа Рейнольдса, соответствующее нижней критической точке В, называется нижним критическим числом Рейнольдса
и равно
Рис. 29. Шкала режимов
54
Rен.к = vн.к · d/υ.
Число Рейнольдса в верхней критической точке С называется
верхним критическим числом и равно:
55
D
C
Лекция 11
E
B
кр
Ламинарный и турбулентный режимы
движения в круглой трубе
A
vв.к.
v
Рис. 31. График зависимости потерь
набора скорости в логарифмических
координатах
Рис. 30. График зависимости потерь
напора от скорости
Rев.к = vв.к · d/υ.
Потери напора по длине связаны со скоростью зависимостью, которая выражается уравнением
hl = а · vm,
где hl – потери напора по длине; a – коэффициент пропорциональности; v – средняя скорость потока; m – показатель степени.
Прологарифмировав данное уравнение, можно получить линей-
lg h1 − lg a
. Если точlg v
ки, соответствующие значениям lg hl, lg v, нанести на график
(рис. 31), то значение показателя степени m определится как тангенс
угла наклона прямых в ламинарной и турбулентной областях к горизонтальной оси.
Для расчетов можно принять:
1. Для ламинарного участка наклон линии к оси абсцисс
tg 45° = 1,2.
ную зависимость: lg hl = lg a + m · lg ν или m =
2. Для турбулентного участка наклон линии превышает единицу
и изменяется в пределах 1,75–2,0.
56
Структура и свойства ламинарного потока
Как показали теоретический анализ и опыты, при ламинарном
режиме движения жидкости в круглой трубе скорости в поперечном
сечении распределены неравномерно по сечению, причем при движении существуют лишь продольные составляющие скоростей.
Чтобы установить картину изменения скорости по живому сечению, рассмотрим наиболее интересный и важный случай движения вязкой жидкости в напорном трубопроводе круглого сечения
радиусом r (рис. 32). Совместим ось 0x с осью трубы и наметим
ось r по направлению измерения диаметра. Выделим внутри трубы
цилиндрический столб движущейся жидкости радиусом r (заштрихован).
r
r
r0
dr
vн.к.
Рассмотрим характер распределения скоростей в сечении потока при ламинарном (от лат. lamina – слой) и турбулентном (от лат.
turbulentus – беспорядочный) режимах движения жидкости.
r0
r
x
r
Рис. 32. Схема для рассмотрения ламинарного потока
57
Для продольного касательного напряжения трения τ по боковой
поверхности жидкого столба можно записать два выражения:
1) согласно закону Ньютона
τ = –µ · du/dr;
2) согласно уравнению равномерного движения (35)
τ = ρ · g ·R ·J.
Приравняв правые части этих выражений и решая относительно
скорости u, получим
du = –ρ · g · R ·J · dr/2µ.
Знак «–» принят, так как мы рассматриваем сопротивление потока движению.
Интегрируя это уравнение, получаем выражение для определения скорости
u = –ρ · g ·J · R2/2µ + C.
2
u = ρ · g · J · (r0 – r )/4µ. (37)
Закон распределения скоростей по сечению трубы при ламинарном режиме представляет собой параболу, имеющую максимум на
оси потока. Зависимость (37) носит название уравнение Стокса, по
имени ее автора.
Максимальное значение скорости (r = 0) будет наблюдаться в центре трубы:
umax = ρ · g · J · r02 / 4µ.
(38)
Имея выражение для максимальной скорости потока, можно выразить скорость в любой точке через максимальную скорость и положение точки в сечении потока:
 r2 
(39)
u = umax 1 − 2 .  r0 
Из выражения τ = ±µ(du/dr) следует, что величина напряжения сил
трения изменяется по живому сечению трубы по линейному закону
58
(рис. 33). Его максимальное значение τmax будет у стенки трубы r =
r0, а минимальное τ = 0 – в центре трубы r = 0.
Определим расход жидкости, проходящей по рассматриваемой
трубе. Элементарный расход жидкости, проходящей через элементарную часть площади живого сечения в виде кольца толщиной dr,
имеющего радиус r:
Постоянную интегрирования С находим из следующих условий:
r = r0, u = 0, т. е. скорость на стенке русла должна равняться
нулю:
2
Рис. 33. Изменение скорости u и касательного напряжения τ по сечению
трубопровода
dQ = u · dω = u · 2π · r · dr = ρ · g · J (r02 – r2 ) 2π · r · dr / 4µ.
Интегрируя по всей площади живого сечения:
r =r
0
γ
1 λ
1 γ
1
πi ∫ r02 − r 2 ⋅ rdr = π ir04 =
π id 4 .
Q=
2 µ r =0
8 µ
128 µ
Полученное уравнение – закон Гагена-Пуазейля.
Теперь можно установить среднюю скорость
Q  1 γ 4  πd 2
γ
γ hдл 2
v= =
id 2 =
d . (40)
π id 
=
S  128 µ
4
32µ
32µ L

Сопоставляя выражения средней скорости и максимальной скорости, можно видеть, что в круглой трубе при ламинарном режиме
движения средняя скорость v в два раза меньше максимальной umax:
v = 0,5umax.
(
)
Структура турбулентного потока
Отличительной особенностью турбулентного движения жидкости является хаотическое движение частиц и линий тока в потоке
(рис. 34). Скорость в каждой точке потока постоянно изменяется как
по величине, так и по направлению. Однако при этом можно наблю59
a
uuaa
b
ub
Ламинарный слой
Рис. 34. Движение частиц и характер линий тока в турбулентном потоке
дать и некоторую закономерность в таком движении. Если выбрать
интервал времени, то окажется, что колебания скорости происходят
около некоторого уровня. Этот уровень сохраняется постоянным при
выборе различных интервалов времени. Такое явление носит название пульсация скоростей. Величина скорости в данной точке в данный момент времени носит название мгновенной скорости. График
изменения мгновенной скорости во времени представлен на рис. 35.
Если выбрать на кривой скоростей некоторый интервал времени и
провести интегрирование кривой скоростей, а затем найти среднюю
величину, то такая величина носит название осредненной скорости.
Разница между мгновенной и осредненной скоростью называется
скоростью пульсации.
Профиль осредненных во времени скоростей при турбулентном
режиме движения отличается от графика скоростей при ламинарном
режиме, т. е. он не параболический. Вершина профиля более широкая и средняя скорость значительно больше, как показано на рис. 36:
v ≠ 0,5 · umax.
v
Турбулентное ядро
Рис. 36. Модель турбулентного режима движения
Если величины осредненных скоростей в различные интервалы времени будут оставаться постоянными, то такое турбулентное
движение жидкости будет установившемся. При неустановившемся
турбулентном движении жидкости величины осредненных скоростей меняются во времени.
Пульсация жидкости является причиной перемешивания жидкости в потоке. Интенсивность перемешивания зависит, как известно, от числа Рейнольдса, т. е. при сохранении прочих условий – от
скорости движения жидкости. Таким образом, в конкретном потоке
жидкости характер ее движения зависит от скорости. Для турбулентного потока это имеет решающее значение.
В периферийных слоях жидкости скорости всегда будут минимальными, и режим движения в этих слоях, естественно, будет
ламинарным. Увеличение скорости до критического значения приведет к смене режима движения жидкости с ламинарного режима
на турбулентный, т. е. в реальном потоке присутствуют оба режима:
как ламинарный, так и турбулентный (см. рис. 36, 37). Таким образом, поток жидкости состоит из ламинарной зоны (у стенки ка-
Переходная область
vоср
Ядро турбулентного потока
t, c
Рис. 35. Пульсация скорости в турбулентном потоке
60
Стенка
трубы
Ламинарный подслой
Рис. 37. Сечение турбулентного потока
61
нала) и турбулентного ядра течения (в центре), а так как скорость
к центру турбулентного потока нарастает интенсивно, то толщина
периферийного ламинарного слоя чаще всего незначительна, и сам
слой называется ламинарной пленкой, толщина которой зависит от
скорости движения жидкости.
Касательные напряжения в турбулентном потоке. Полное суммарное касательное напряжение τ, возникающее в турбулентном потоке, определяют как сумму двух напряжений
τ = τв + τи,
где τв – вязкостное напряжение, вызываемое внутренним трением
жидкости: τв = ± µ · (du/dr); τи – инерционное напряжение, обусловленное турбулентным перемешиванием.
Второе слагаемое создается пульсационными добавками скорости, зависимость которых от осредненных характеристик турбулентного потока до сих пор полностью не установлена. Наиболее известным является решение, полученное на основе полуэмпирической
теории Прандтля, согласно которой
τи = ρ · L2 · (dv / dr)2,
где L – длина пути перемешивания.
При турбулентном движении помимо продольного движения имеется еще и поперечное перемещение частиц со скоростью v′, которая
называется пульсационной скоростью. Поэтому физически длину
пути перемешивания можно представить как путь, который должна
пройти в поперечном направлении частица жидкости относительно
остальной ее массы, чтобы в результате смешения с окружающим
турбулентным потоком потерять свою пульсационную составляющую скорости.
Таким образом, суммарное касательное напряжение
2
dv
 dv 
τ = τВ + τИ = µ
+ ρL2   .
dn
 dn 
При большой турбулентности потока (Re >> 10 000) можно считать, что касательное напряжение будет пропорционально плотности
жидкости и квадрату градиента скорости. Если турбулентный режим
характеризуется небольшими числами Re, вязкостное напряжение
соизмеримо с инерционным, и полное напряжение будет пропорционально скорости в степени, несколько меньше второй.
62
Гидравлически гладкие и шероховатые трубы
Состояние стенок трубы в значительной мере влияет на поведение
жидкости в турбулентном потоке. Так, при ламинарном движении
жидкость движется медленно и плавно, спокойно обтекая на своем
пути незначительные препятствия. Возникающие при этом местные
сопротивления настолько ничтожны, что их величиной можно пренебречь. В турбулентном же потоке такие малые препятствия служат
источником вихревого движения жидкости, что приводит к возрастанию этих малых местных гидравлических сопротивлений, которыми
в ламинарном потоке пренебрегают.
Величина и форма различных выступов и неровностей, имеющихся на стенках (шероховатость), зависит от материала и обработки стенок. С течением времени шероховатость изменяется от
появления ржавчины, коррозии, осадков и др. В качестве основной
характеристики шероховатости служит так называемая абсолютная
шероховатость Δ, представляющая собой среднюю величину выступов и неровностей.
Если выступы шероховатости меньше толщины δ вязкого (ламинарного) подслоя (рис. 38), т. е. если Δ < δ, тогда неровности стенки
будут полностью погружены в этот слой, турбулентная часть потока
не будет входить в непосредственное соприкосновение со стенками
и потери энергии (напора) не будут зависеть от шероховатости, а будут обусловлены лишь свойствами самой жидкости. Такие трубы называются гидравлически гладкими.
Гидравлически
труба
гидравлически гладкая труба
Гидравлически
шероховатаятруба
труба
гидравлически шероховатая
Рис. 38. Внутренняя поверхность трубы
63
Если же Δ > δ, неровности стенок будут выступать в турбулентную область, тем самым увеличивать беспорядочность движения и
существенным образом влиять на потерю энергии. В этом случае
трубы называют гидравлически шероховатыми.
Такое деление условно, так как величина толщины δ вязкого (ламинарного) подслоя непостоянна и уменьшается с увеличением Re.
Следовательно, одна и та же труба (стенка) в зависимости от Re
может быть и гидравлически гладкой, и шероховатой.
Для характеристики влияния шероховатости на гидравлические
сопротивления в гидравлике вводится понятие относительной шероховатости ε, под которой понимают безразмерное отношение абсолютной шероховатости к некоторому линейному размеру, например,
радиусу трубы: ε = Δ / r. Иногда вводится понятие относительной
гладкости: ε = r / Δ.
На гидравлические сопротивления влияет не только абсолютное
значение шероховатости, но в значительной степени и форма выступов, густота и характер их расположения. Различают стенки с равномерной (обычно используемой в лабораторных исследованиях) и неравномерной (встречающейся на практике) шероховатостью.
При гидравлических расчетах используют понятие так называемой эквивалентной шероховатости. Эта шероховатость представляет
собой такую величину выступов однородной абсолютной шероховатости, которая дает при подсчетах одинаковую с действительной
шероховатостью величину потери напора.
Лекция 12
Определение потерь напора по длине
и местных гидравлических сопротивлений.
Расчетные зависимости, коэффициенты.
Классификация гидравлических систем
Потери энергии в системах (31) зависят от ряда факторов и складываются из потерь напора по длине – hl или hдл и местных потерь
напора – hм.
Потери напора по длине при ламинарном движении. Из уравнения (40) находим:
32µ v
32µv
hl =
L=
L. (40)
2
γ d
gd 2
Потери напора по длине при ламинарном режиме движения пропорциональны первой степени скорости.
Установим выражение для гидравлического уклона, связанного
с потерями напора по длине при ламинарном режиме. Для этого разделим почленно уравнение на L – длину рассматриваемого участка,
а затем умножим и поделим на 2v, получим:
2v2v⋅ 32
vdvd
6464
v 2v 2
ϑϑ⋅ v⋅ v 6464
ϑvϑ2v 2
⋅ 32
L,
i =i =
L.L.
L
,
а
так
как
=
Re,
то
i
=
=
L
,
а
так
как
=
Re,
то
i
=
=
ReRe
2 g2 gd d
ϑϑ
2v2v⋅ g⋅ gd d2 2
2vgd
2vgd2 2
Обозначим
Re / 64 = λ, (41)
где λ – коэффициент гидравлического трения, или коэффициент Дарси.
Окончательно формула для определения потери напора по длине
может быть записана так (формула Дарси–Вейсбаха):
64
hl = hдл = λ
65
L v2
.
d 2g
(42)
Зависимость, определяющая величину линейных потерь напора
при ламинарном режиме движения, показывает, что потери напора
пропорциональны первой степени средней скорости, зависят от рода
жидкости, обратно пропорциональны площади сечения трубы и не
зависят от шероховатости стенок трубы.
Потери напора на трение при турбулентном движении. Основной расчетной формулой для потерь напора по длине при турбулентном течении жидкости в круглых трубах является уже приводившаяся
выше эмпирическая формула Дарси–Вейсбаха (42). Различие заключается лишь в значениях коэффициента гидравлического трения.
При турбулентном режиме движения жидкости коэффициент λ
находится по эмпирическим формулам. В общем случае коэффициент гидравлического трения зависит от числа Re и шероховатости
стенок трубы или русла ∆, т. е. λ = f(Re, ∆).
Вопросу влияния различных факторов на значение λ посвящено
большое число экспериментальных и теоретических работ.
Наиболее полной работой по определению λ были труды И. И. Никурадзе, который на основе опытных данных построил график зависимости lg (1000 λ) от lg Re для ряда значений ∆/r0. Опыты Никурадзе были проведены на трубах с искусственно заданной шероховатостью, полученной путем приклеивания песчинок определенного
размера на внутренние стенки трубопровода. Результаты этих исследований представлены на рис. 39.
В области ламинарного режима (Re < 2300 или lg Re < 3,36) все
опытные точки независимо от шероховатости расположились на
одной прямой I. Следовательно, в этом случае λ зависит только от
критерия Рейнольдса Re и не зависит от шероховатости.
При значениях Re от 2300 до 3000 λ быстро возрастает с увеличением Re, оставаясь одинаковым для различных значений шероховатости.
В области турбулентного режима (lg Re > 3,48, т. е. Re > 3000)
начинает сказываться влияние шероховатости, при этом, чем больше
шероховатость, тем выше значение λ для одних и тех же чисел Re.
Для труб с большой шероховатостью λ постепенно возрастает
с увеличением Re, достигая некоторого постоянного значения. Для
труб с малой шероховатостью опытные точки в некотором интервале
располагаются вдоль наклонной прямой II (так называемая прямая
Блазиуса для «гладких» труб). Отклонение от этой прямой наступает
тем раньше, чем больше шероховатость. При этом λ тоже стремится
к некоторому определенному пределу (прямая III). Это так называемая область «шероховатых труб», отвечающая квадратичному закону сопротивления, т. е. τ ≈ v2 или hl ≈ v2.
Таким образом, всю область чисел на графике Никурадзе можно
разделить на пять зон (табл. 5).
Основные закономерности, установленные Никурадзе, были
в дальнейшем подтверждены и развиты рядом исследователей. В настоящее время при определении коэффициента λ также используют
график Г. А. Мурина (или график ВТИ), который приводится практически во всех книгах по гидравлике. Во многих случаях предпочтительней пользоваться для определения не графиком, а расчетныТаблица 5
От чего
зависит λ
λ = f(Re)
Номер
Режим, область
зоны
1
Ламинарный режим
2
Шероховатость
λ = f(Re)
Переходная область
Турбулентный режим:
3
4
5
Рис. 39. График Никурадзе
66
Область гидравлически гладких труб
λ = f(Re)
40r/∆ < Re < 80r/∆
Область шероховатых труб (доквадраλ = f(Re, ∆) 80r/∆ < Re < 1000r/∆
тичная область смешанного трения)
Область вполне шероховатых труб
(квадратичная, или автомодельная
λ = f(∆)
Re > 1000r/∆
область)
67
ми зависимостями для определения коэффициента гидравлического
трения, представленными в табл. 6.
Для прямоугольных лотков с искусственно приданной равномерной шероховатостью построены графики Зегжда. Часто используется также номограмма Колбрука–Уайта (рис. 40), существенно отличающаяся от графика Никурадзе.
Местные потери напора. Местные потери напора – это потери,
обусловленные местными гидравлическими сопротивлениями, т. е.
такими элементами трубопроводов, в которых вследствие изменения
поперечных размеров или конфигурации происходит деформация
потока. Всякая перестройка структуры потока, связанная с появлением дополнительных касательных напряжений, причиной которых
являются возникающие в потоке дополнительные вихреобразования,
вызывает потери напора.
Местные потери энергии имеют ту же физическую природу, что
и потери по длине – это результат преобразования части механической
энергии в тепловую за счет преодоления касательных напряжений
трения. Общими для всех видов местных сопротивлений являются:
• искривление линий тока;
• изменение площади живого сечения;
• отрыв основной струи от стенок с образованием водоворотных
зон;
• повышение пульсации скорости и давления.
Таблица 6
Режим движения
Число Рейнольдса
Ламинарный
Re < 2300
Переходный
2300 < Re < 4000
1-я
область
Турбулентный
Определение λ
Проектирование трубопроводов
не рекомендуется
λr
d
4000 < Re < 10 Δ
λr
0
2-я
10d < Re < 560 d λr
Δ0
Δ0
область
3-я
область
λr
Re > 560 d
Δ0
λr
68
g
Рис. 40. Номограмма Колбрука–Уайта для определения λ
Основные виды простейших местных гидравлических сопротивлений можно разделить на пять групп потерь:
• потери, связанные с изменением сечения потока (случаи входа
жидкости в трубопроводы, выхода жидкости в резервуар, внезапное
расширение или сужение и т. д.);
• вызванные изменением потока (повороты, колена, тройники,
крестовины и т. д.);
• связанные с протеканием жидкости через арматуру;
• связанные с делением или слиянием потоков;
• связанные с изменением сечения потока.
Более сложные случаи местного сопротивления представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших сопротивлений.
Существует принцип наложения потерь, когда на некотором
участке с рядом местных сопротивлений происходит суммирование
потерь энергии.
Местные потери напора определяют по формуле Вейсбаха как
произведение скоростного напора непосредственно вблизи местного
сопротивления и коэффициента местного сопротивления ζ:
hм = ζ
69
v2
.
2g
(43)
l экв λ
.
(44)
d
Потери напора при движении аномальных (неньютоновских)
жидкостей можно определять по уравнению Дарси–Вейсбаха (41),
что подтверждено исследованиями Б. С. Филатова. Обычно режим
движения турбулентный, и значение λ принимают в пределах от
0,017 до 0,025, при этом λ принимают тем больше, чем меньше концентрация раствора.
При производстве земляных работ получил широкое применение
метод гидромеханизации. Грунт размывается струей воды, засасывается землесосом и транспортируется по трубам в отвал или к месту
намыва грунта. Смесь воды с размельченным грунтом называется
пульпой, или гидросмесью, а трубы, по которым перекачивается
пульпа, – пульповодами. При некоторой достаточно малой скорости
частицы грунта начинают осаждаться и заиливать трубопровод. Эта
скорость называется критической. Обычные формулы гидравлики,
приведенные выше для трубопроводов с водой к пульповодам, неприменимы.
ζ=
70
2

λT
1   1   v2

hдиф = 
1 − 2  + k 1 −   1 =
 8 ⋅ sin (α/2 ) n   n   2 g
v2
= ζ диф 1
2g
Таблица 7
Постепенное
расширение русла
или
d
λ
hдиф = hтр + hрасш
lэкв = ζ
Отрыв основного
потока от стенки и
вихреобразования.
Интенсивность
этих явлений возрастает с увеличением угла расширения диффузора и
обычные потери на
трение
=ζ
откуда
h
l экв v 2
v2
⋅
=ζ ,
d 2g
2g
Внезапное расширение
потока
λ
1-я группа *
Потеря напора
расходуется на вих2

S1  v12
реобразование, свяhрасш = 1 − 
занное с отрывом
 S2  2g
потока от стенок,
т. е. на поддержание вращательного или
непрерывного
2
hрасш = ζ v1
движения жидких
расш
2g
масс с постоянным
их обновлением
Некоторые простейшие местные гидравлические сопротивления
Общей теории для определения коэффициентов местных сопротивлений, за исключением отдельных случаев, нет. Поэтому коэффициенты местных сопротивлений находят опытным путем. Значения
их для различных элементов трубопроводов приводятся в технических справочниках. Некоторые простейшие местные гидравлические сопротивления представлены в табл. 7.
Иногда местные сопротивления выражают через эквивалентную
длину прямого участка трубопровода lэкв. Эквивалентной длиной
называют такую длину прямого участка трубопровода данного диаметра, потери напора в котором при пропуске расхода равны рассматриваемым местным потерям.
Приравнивая формулы для линейных и местных потерь напора,
имеем
71
Постепенный
поворот
трубы
* Все вышеизложенное относится к турбулентному движению жидкости. При ламинарном движении местные сопротивления играют малую роль при определении общего сопротивления трубопровода. Кроме этого закон сопротивления
при ламинарном режиме является более сложным и исследован в меньшей степени
Плавность поворота значительно
уменьшает интенсивность вихреобразования. Это уменьшение тем
больше, чем больше относительный радиус кривизны отвода R / d
Вызывает значительные потери
энергии, так как в нем происходят
отрыв потока и вихреобразования,
причем потери тем больше, чем
больше угол δ
Внезапный
поворот
трубы –
колено
2-я группа
hкол = ζ кол
v2
2g
hотв = ζ отв
v2
2g
Окончание табл. 7
72
Гидравлический расчет пульповодов заключается в определении
критических скоростей и потерь напора. Профессор А. П. Юфин
предложил следующие эмпирические формулы:
для критической скорости:
а) в трубопроводах диаметром до 200 мм
vкр = 0 ,2d10 ,65 ⋅ e a
γ
⋅ d 0 ,54 ;
б) в трубопроводах диаметром больше 200 мм
 γ

vкр = 9 ,83 d ⋅ 4 w  − 0 ,4  ,
 γв

где d – диаметр трубопровода, м; d1 – средний диаметр твердых частиц, мм; e = 2,71– основание натуральных логарифмов; γ – удельный вес пульпы; γв– удельный вес воды; a = 3,86/d10,13; w – так называемая «гидравлическая крупность», т. е. скорость падения частиц
в спокойной воде.
Для потерь напора:
а) при критической скорости γ
hкр = γ l
(γ − 1) w
gd
б) при скорости выше критической
(
h = hв + hкр − hв ε 2
)
;
4
ε,
где l – длина трубопровода; g – ускорение свободного падения; hв –
потери напора в трубопроводе при движении чистой воды при том
же расходе; hкр – потери напора при движении пульпы с критической
скоростью; ε = νкр/ν. Остальные обозначения те же.
Классификация гидравлических систем
В зависимости от преобладания и соотношения видов потерь
энергии потоком жидкости все гидравлические системы можно разделить на три группы:
1. Ультракороткие системы. Это отверстия, насадки, шлюзы и т. п.
В этих системах преобладают местные потери напора
hw ≈ hм.
73
2. Бесконечно длинные системы. К этой группе относятся магистральные трубопроводы, водоводы, каналы и т. д. В этих системах
преобладают потери напора, обусловленные наличием сил трения:
hw ≈ а · hl,
где а – коэффициент, учитывающий местные потери. При выполнении практических расчетов значение а определяют по зависимости
а = 1 + ∑hм / ∑hl или а ≈ 1,05–1,15.
3. Короткие трубопроводы. В этих системах а >1,15 и расчет потерь напора осуществляют по зависимости (31) как суммы местных
потерь напора и потерь напора по длине. К коротким трубопроводам
относятся всасывающие трубопроводы насосов, дюкера, сифоны
и т. п.
74
Лекция 13
Истечение жидкости через отверстия.
Сжатие струи и его виды, основные
коэффициенты и расчетные зависимости
Одной из типичных задач гидравлики, которую можно назвать
задачей прикладного характера, является изучение процессов, связанных с истечением жидкости из отверстия в тонкой стенке и через
насадки.
При таком движении вся потенциальная энергия жидкости, находящейся в емкости (резервуаре), расходуется на кинетическую энергию струи, вытекающей в газообразную среду, находящуюся под
атмосферным давлением (рис. 41), или в жидкую среду при определенном давлении (рис. 42).
Основной задачей при истечении жидкости через отверстия и насадки является определение скорости и расхода вытекающей жидкости.
Истечение жидкости через отверстие может происходить при постоянном напоре – случай установившегося движения, и переменном
напоре – при неустановившемся движении. Примером неустановившегося истечения может служить задача по опорожнению емкости.
Отверстия классифицируют следующим образом.
1. По размеру:
а) малые отверстия, диаметр которых не более 0,1 Н (где Н – высота расположения поверхности жидкости над центром отверстия);
б) большие отверстия.
2. По толщине стенки, в которой сделано отверстие:
а) отверстия в тонкой стенке, когда толщина стенки больше трех
диаметров отверстия;
б) отверстия в толстой стенке.
3. По степени затопления:
а) незатопленные, из которых жидкость истекает в атмосферу;
б) затопленные.
75
Коэффициентом сжатия струи называется отношение площади ωс
сжатого сечения струи к площади ωo отверстия (рис. 44, а), из которого происходит истечение
p1
p0
ω
1
p1
1
Рис. 41. Истечение через малые отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре в атмосферу
ε = ωс / ωо = dс2 / dо2,
H2
H0
H1
p2
(45)
где dс – диаметр сжатого сечения струи; dо – диаметр отверстия.
Отверстием в тонкой стенке называется такое отверстие, края которого имеют острую кромку (рис. 44, б) и толщину стенки δ < 3d.
В этом случае струя, огибая входную кромку, истекает не касаясь
внутренней поверхности отверстия.
Выведем аналитические зависимости для определения скорости
и расхода вытекающей жидкостей.
Рис. 42. Истечение из резервуара
через малое затопленное отверстие
«под уровень»
a
76
a
l > 3a
l > 3a
а
l < 3a
а в
б
г
б
в
г
l < 3a
Сжатия
нет нет
Сжатия
Рис. 43. Виды сжатия
б)
δ
б)
υ
Рис. 44. Истечение через круглое отверстие
77
dc
a)
dо
а)
dc
4. По форме: круглые, квадратные, прямоугольные, треугольные
и другие отверстия.
При истечении жидкости из малого отверстия струя на некотором
расстоянии от стенки сжимается, что объясняется инерцией частиц
жидкости, движущейся при подходе к отверстию по криволинейным
траекториям. Как показывает опыт, наиболее сжатое сечение струи
находится за стенкой на расстоянии, равном приблизительно 0,5d отверстия.
В зависимости от расположения отверстия различают следующие
виды сжатия (рис. 43):
1) полное сжатие, когда струя испытывает сжатие со всех сторон
(отверстия I и II, а));
2) неполное сжатие наблюдается, когда отверстие примыкает
к боковой стенке или дну резервуара, т. е. сжатие струи с одной стороны (рис. 43, б, в) или нескольких сторон (рис. 43, г) отсутствует
(отверстие III).
Полное сжатие подразделяют на совершенное, когда l > 3a (отверстие I) и несовершенное, когда l < 3a (отверстие II).
При расчетах сжатие струи учитывается коэффициентом сжатия.
dо
p0
Истечение жидкости через малое незатопленное отверстие
в тонкой стенке при постоянном уровне
Пусть жидкость вытекает из большого резервуара через малое отверстие в его дне или стенке (рис. 45).
Высоту уровня жидкости в резервуаре Н над центром отверстия
называют геометрическим напором.
В общем случае давление Р1 в резервуаре отличается от давления
Р2 в пространстве, куда истекает жидкость.
Проведем плоскость сравнения 2–2 через центр сжатого сечения
струи.
Уравнение Д. Бернулли применить к сечению отверстия нельзя,
так как струйки в последнем сходятся под большими углами, и движение жидкости в нем изменяется не плавно.
Напишем уравнение Д. Бернулли для сечений 1–1 и 2–2:
p α v2 p α v2
v2
H + 1 + 1 1 = 2 + 2 2 + ζ отв 2 ,
γ
γ
2g
2g
2g
где v1– скорость подхода жидкости к отверстию в резервуаре; v2–
средняя скорость течения в сжатом сечении; ζ отв – коэффициент
местного сопротивления при истечении через отверстие.
Перенесем наружное давление Р2 в левую часть и обозначим величину через Н0 – напор истечения:
p − p2 α1v12
(46)
H+ 1
+
= H0 . γ
2g
В правой части уравнения вынесем за скобки v2. Тогда уравнение
v22
(α 2 + ζ отв ),
Бернулли сведется к H 0 =
2g
ω1
1
p1
1
ω
1
p2
H
υ1
ωсж
υ2
Рис. 45
1
Рис. 45. Истечение жидкости при постоянном уровне
78
откуда
2 gH 0
.
α 2 + ζ отв
Обозначим величину φ (коэффициент скорости):
1
.= ϕ
(47)
φ=
α 2 + ζ отв
Коэффициентом скорости называется безразмерный коэффициент, равный отношению действительной средней скорости истечения через отверстие к средней скорости истечения невязкой жидкости из этого же отверстия (для идеальной жидкости φ = 1).
С учетом введенного обозначения скорость в сжатом сечении равна
v=
v2 = ϕ 2gH 0 . (48)
Так как коэффициент Кориолиса α2 ≥ 1, а коэффициент местных
потерь напора в отверстии ζотв > 0, то φ < 1. По опытным данным
φ = 0,97–0,98, а α2 ≈ 1. Отсюда
1
1
ζ отв = 2 − 1 =
− 1 = 0 ,06.
ϕ
0 ,97 2
Для идеальной жидкости ζотв = 0 и φ =1. Тогда v2 = 2gH 0 .
Это уравнение называется формулой Торичелли. Оно показывает,
что скорость в начале вытекающей струи равна скорости свободного
падения тела, упавшего с высоты Н0.
Когда поперечное сечение резервуара намного больше площади
живого сечения отверстия, а скорость жидкости в резервуаре незнаα v2
чительна (к примеру, меньше 0,1 м/с), то скоростным напором 1 1
2g
можно пренебречь.
В случае, когда давления снаружи и в резервуаре одинаковы
Р1 = Р2, то весь напор истечения сводится к геометрическому напору,
т. е. Н0 = Н. Это бывает обычно при расчете истечения из открытых
резервуаров в атмосферу.
Расход жидкости определится как произведение скорости истечения на площадь сжатого сечения струи:
(49)
Q = v2 ωс = ϕεω 2gH 0 . 79
Произведение (φ · ε) обозначают через µ и называют коэффициентом расхода.
Таким образом, расход жидкости, вытекающей через отверстие,
определяют по формуле
Q = µω 2gH 0 . (50)
При точных измерениях размеров сжатого сечения струи установлено, что при совершенном сжатии струи ε = 0,62–0,64. В этом
случае µ = 0,6–0,62.
Коэффициенты истечения ε, φ и µ зависят от числа Рейнольдса Re,
причем коэффициенты сжатия и скорости – в разных направлениях:
с возрастанием числа Рейнольдса коэффициент скорости увеличивается, а коэффициент сжатия струи убывает. В результате коэффициент расхода остается практически неизменным (исключением являются потоки жидкости с весьма малыми числами Рейнольдса). При
большом числе Рейнольдса (Re > 104) они практически постоянны и
их средние значения равны: ε = 0,64; ω = 0,97; µ = 0,62.
Величины коэффициента расхода измеряются простым замером
фактического расхода жидкости через отверстие и сопоставлением
его с теоретически вычисленным значением.
Коэффициент сжатия струи измеряется путем непосредственного определения сжатого сечения струи, коэффициент скорости – по
траектории струи.
При истечении не в газовую среду, а в смежный резервуар с той
же жидкостью (что принято называть истечением «под уровень» (см.
рис. 42)), т. е. когда отверстие затоплено с обеих сторон, в качестве
μ, φ,
µ,
ϕ, εε
геометрического напора Н0 принимают разность уровней жидкости
в резервуарах: z = Н1 – Н2, т. е.
P1 − P2 α1v12
Z
+
+
= H0 . (51)
z+
γ
2g
Числовые значения коэффициентов ε, φ, µ остаются при этом
практически теми же.
При вытекании воды из больших прямоугольных отверстий шириной b (рис. 47) поток разделяют на элементарные горизонтальные
полосы, определяют расход через каждую полосу и суммируют расходы всех элементарных полосок. Общий расход
3
3
2
(52)
μb 2 g  H 2 2 − H 1 2  , 


3
где Н1 и Н2 – соответственно глубина воды до верхней и нижней
кромок отверстия.
Форма сечения струи жидкости при истечении претерпевает изменения. Эти изменения называются инверсией. Инверсия происходит вследствие того, что скорости подхода к отверстию в разных
точках его периметра различны, и вследствие сил поверхностного
натяжения.
На рис. 48 показано изменение формы струи при истечении через
различные отверстия по мере удаления от резервуара.
Q=
b
φ
ε
μ
Рис. 46. Зависимость основных коэффициентов истечения от числа Re
80
Рис. 47. Схема «большого» прямоугольного отверстия; b – размер отверстия по нормали к плоскости чертежа
Рис. 48. Инверсия струи
81
Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке при
переменном уровне
Интегрируя полученное выражение, найдем полное время истечения
Рассмотрим случай опорожнения резервуара через донное отверстие в атмосферу (рис. 49). Пусть резервуар призматического сечения имеет площадь Ω. Движение жидкости будет неустановившимся, так как уровень с течением времени опускается, что вызывает
постоянное уменьшение расхода. Выберем какой-то момент времени, в который уровень жидкости в резервуаре будет у. За бесконечно малый промежуток времени dt уровень жидкости уменьшится на
величину dy (за этот промежуток времени движение можно считать
установившимся). За это время вытечет объем жидкости, равный
dW = Q · dt, или dW = µω 2 g y dt .
Выражая тот же объем жидкости через размеры резервуара,
dW = –dy.
Знак «–» поставлен потому, что dy величина отрицательная (снижение уровня), а объем должен быть величиной положительной.
Приравнивая правые части обоих составленных уравнений, получим
− Ω dy = µω 2 g y dt ,
откуда:
dt = −
Ω dy
.
µω 2 g y
или, вынося постоянные величины за знак интеграла,
,
.
Итак, время понижения уровня от Н1 до Н2:
)2
2Ω2Ω ( H 1 H−1 −H 2H
.
t =t =
μ ωμ ω2 g 2 g
Время полного опорожнения, т. е. если Н2 = 0,
((
))
2Ω H 1
.
µω 2 g
Рассмотрим характер движения струи при истечении жидкости
через отверстие при не­боль­ших скоростях и небольших высотах
падения, когда можно пре­неб­речь сопротивлением окружающего
струю воздуха. Поместим, как показано на рис. 50, систему координат в центр тяжести отверстия в тонкой стенке.
1. Движение в направлении оси 0х равномерное со скоростью
v = х/t, откуда х = vt, где х – путь жидкости за время t;
2. В направлении оси 0y движение без начальной скорости,
равноускоренное, вертикально вниз под действием силы тяжести:
y = g · t2/2.
t=
y
H1
H2
dy
Ω
,
Рис. 49. Схема к определению основных
Рис. 49
параметров истечения при переменном уровне
82
Рис. 50. Схема к определению координат вылета струи
83
Решив систему из двух уравнений, с учетом (48) получим
y = х2 / 4Н · φ2.
Следовательно, уравнение движения струи есть уравнение параболы.
Лекция 14
Истечение жидкости через насадки.
Виды, условия применения, особенности
истечения, вакуум
Гидравлическим насадком называют короткий напорный патрубок, плотно присоединенный к отверстию в резервуаре. При гидравлических расчетах насадков потерями давления по длине пренебрегают. Длина насадка обычно равна l = (3...5) d, где d – внутренний
диаметр насадка.
Насадки разделяют (рис. 51):
• по расположению относительно стенки резервуара – на внешние и внутренние;
• по форме конструкции – на цилиндрические, конические сходящиеся, конические расходящиеся и коноидальные.
Все насадки, как и отверстия, могут быть затопленными и незатопленными, а истечение через них может быть при постоянном
и переменном напоре.
На рис. 52 показаны три режима работы насадка:
1. Безотрывный режим. В начале насадка (так же, как и при истечении из отверстия в тонкой стенке) из-за радиальной составляющей скорости струя испытывает сжатие (зона 1). При этом у стенок
насадка образуется область пониженного давления. По мере продвижения, под действием этого пониженного давления, струя расширяется (зона 2), заполняя все внутреннее сечение насадка, и давление
выравнивается.
2. Режим истечения с отрывом струи. При повышении давления
в резервуаре пониженное давление довольно быстро может стать отрицательным, т. е. ниже давления вакуума.
Поскольку такое состояние физически невозможно, то в этот момент происходит изменение режима истечения жидкости – он прекращает быть безотрывным и отрывается от внутренних стенок на84
85
Рис. 51. Схемы внешних гидравлических насадков: а – цилиндрический внешний;
б – цилиндрический внутренний; в – конический расходящийся; г – конический сходящийся; д – коноидально-расходящийся; е – коноидальный
a)
б)
1
в)
2
1
2
Рис. 52. Истечение через цилиндрический насадок: a – в атмосферу (и в жидкость)
с малой скоростью; б – в атмосферу с большой скоростью; в – в жидкость (под уровень) с большой скоростью
садка на всем протяжении его длины. При этом в образовавшуюся
щель поступает наружный воздух, заполняющий область между
струей и внутренними стенками насадка. Вследствие эжекции воздуха струей давление в насадке все равно будет ниже, чем в свободном пространстве у выхода насадка. Поскольку стенки насадка
в режиме истечения с отрывом уже не оказывают заметного влияния на характер струи, считается, что в этом случае действуют те
же закономерности, что и при свободном истечении через отверстие
в тонкой стенке.
3. Режим кавитации. Если условия для возникновения режима
отрыва от стенок появляются при истечении струи через затопленный насадок, область разрежения, конечно, не заполняется воздухом.
Вместо этого там возникают кавитационные явления.
Как и при изучении истечения через отверстие, основной задачей
по расчету насадков является определение скорости истечения и расхода вытекающей жидкости.
86
Рассмотрим истечение через внешний цилиндрический насадок
(рис. 53). Струя жидкости при входе в насадок сжимается, а потом
расширяется и заполняет все сечение. Из насадка струя вытекает
полным сечением, поэтому коэффициент сжатия, отнесенный к выходному сечению, ε = 1, а коэффициент расхода: μ = εφ = φ.
Составим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2:
v12 P1
v2 P
+ + z1 = 2 + 2 + z 2 + h1− 2 ,
2g γ
2g γ
где h1–2 – потери напора.
Для истечения из открытого резервуара в атмосферу аналогично
истечению через отверстие уравнение Бернулли приводим к виду
v2
H = 2 + h1−2 .
2g
Потери напора в насадке складываются из потерь на сжатие (зона 1) и на расширение сжатой струи внутри насадка (зона 2). Незначительными потерями в резервуаре и потерями по длине насадка
ввиду их малости можно пренебречь. Итак,
vC2 (vC − v 2 ) .
+
2g
2g
По уравнению неразрывности можем записать
vсωс = v2ω2,
2
h1− 2 = ζ
Рис. 53. Схема истечения через цилиндрический насадок
87
откуда
vC = (ω2/ωC) v2 /ε.
Подставляя значение υс, имеем:
2
v2 v2  1 
v2  ζ
v2
1 2 
h1− 2 = ζ 2 + 2  − 1 = 2  2 + 2 − + 1 = ζ C 2 ,
2g 2g  ε 
2g  ε
2g
ε 
ε
где введено обозначение
ζ
1 2
ζ C = 2 + 2 − + 1.
ε
ε
ε
Полученное значение потерь напора подставим в уравнение Бернулли, тогда
v 22
v 22
v 22
(1 + ζ нc ).
H=
+ ζC
=
2g
2g 2g
Отсюда скорость истечения
1
v2 =
2 gH .
1+ ζc
Обозначая
чения
1
1 + ζ cc
Расход жидкости
= ϕ н , получим уравнение для скорости исте-
v 2 = ϕ н 2 gH .
Q = v2 ω2 = ϕн ω2 2 gH , или Q = µ н ωн 2 gH ,
где μн – коэффициент расхода насадка; ωн – площадь живого сечения
насадка.
Уравнения для определения скорости и расхода жидкости через
насадок имеют тот же вид, что и для отверстия, но другие значения
коэффициентов (!).
Для коэффициента сжатия струи (при больших значениях Re и
ζ ≈ 0) можно приближенно принять ε = 0,64, и тогда µ = φн = 0,84.
Фактически происходят и потери по длине, поэтому для истечения воды в обычных условиях можно принимать µ = φн = 0,82.
Рассмотрим некоторые особенности насадков. Сравнивая коэффициенты расхода и скорости для насадка и отверстия в тонкой
стенке, устанавливаем, что насадок увеличивает расход и уменьшает
88
Рис. 54. Значения ε, µ и φ для некоторых типов насадок
скорость истечения. Характерной особенностью насадка является
то, что давление в сжатом сечении меньше атмосферного (рис. 54).
Во внутренних цилиндрических насадках сжатие струи на входе
больше, чем у внешних, и поэтому значения коэффициентов расхода
и скорости меньше: µ = φ = 0,71.
В наружных конических сходящихся насадках сжатие и расширение струи на входе меньше, чем в наружных цилиндрических, но
появляется внешнее сжатие на выходе из насадки.
Поэтому коэффициенты ε, µ и φн зависят от угла конусности. С
увеличением угла конусности до 13° коэффициент расхода µ растет,
а с дальнейшим увеличением угла уменьшается.
В конических расходящихся насадках внутреннее расширение
струи после сжатия больше, чем в конических сходящихся и цилиндрических, поэтому потери напора здесь возрастают и коэффициент
скорости φн уменьшается. Внешнего сжатия при выходе нет. Коэффициенты φн и μ зависят от угла конусности. Так, при угле конусности β < 8° значения коэффициентов можно принимать равными
μвых = φвых = 0,45; при β < 12° (предельный угол) µвых = φвых = 0,26.
При β < 12° струя вытекает, не касаясь стенок насадка, т. е. как из
отверстия без насадка.
Конические расходящиеся насадки применяют в тех случаях, когда необходимо уменьшить скорость истечения, например, насадки
для подачи смазочных масел и т. п. В конических расходящихся насадках в месте сжатия струи создается большой вакуум, поэтому их
еще применяют там, где требуется создать бóльший эффект всасывания (эжекторы, инжекторы и т. п.).
Коноидальные насадки имеют очертания формы струи, вытекающей через отверстие в тонкой стенке. Для этих насадок значение коэффициентов составляет: µ = φН = 0,97.
Для коноидально-расходящейся насадки можно получить коэффициент расхода больше единицы за счет увеличения выходного сечения.
89
Гидравлический расчет трубопроводов основан на следующих
уравнениях, формулах и зависимостях:
• уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
Лекция 15
Классификация трубопроводов. Расчетные
зависимости. Основные задачи по расчету
простых и сложных трубопроводов
С конструктивной точки зрения трубопроводы подразделяют на:
• простые трубопроводы, не имеющие ответвлений и обслуживающие только одну точку x, причем диаметр трубы, а также расход
жидкости на всей длине трубы остаются неизменными;
• сложные трубопроводы, обслуживающие бесконечное число
потребителей. Сложные трубопроводные системы делятся на тупиковые (рис. 55, а), параллельные, последовательные, кольцевые
(рис. 55, б) и смешанные (рис. 55, в), комбинированные.
а)
б)
в)
p av 2
(53)
+
+ hv = H = const; pg 2 g
• уравнение неразрывности для установившегося потока жидкости
Q = vω = const; (54)
• формула Дарси–Вейсбаха для учета потерь на трение (по длине
трубопровода)
l v2
=
λ
;
h
(55)
l
d 2g
• формула для учета местных потерь
v2
;
hм = ξ м
(56)
2g
• формула Шези при расчете длинных трубопроводов
(57)
υv = c iR или Q = ω c iR , 1 y
где c = R – коэффициент Шези; n – коэффициент шероховатости;
n
R – гидравлический радиус; y – показатель степени, у = f (n, R).
Обозначим в формуле (57) K = ωc R , получим
(58)
Q = K i, где K – расходная характеристика (модуль расхода), представляющая
собой расход при гидравлическом уклоне, равном единице;
• формула для определения гидравлического уклона (удельных
потерь напора по длине)
hl
v2
Q2
= 2 = 2 2 l c R ωc R
или по формуле Дарси-Вейсбаха (55)
l v2
λ
h
d 2g λ v2
=
.
i= l =
l
l
d 2g
Рис. 55. Сложные трубопроводные системы: а – тупиковые, состоят из магистрального (главного) трубопровода, от которого в разные стороны отходят ответвления
к потребителям; б – кольцевые, представляют собой замкнутую сеть труб, что обеспечивает подачу воды в любом направлении. При аварии на каком-либо участке подача воды потребителю не прекращается; в – параллельные, состоят из нескольких
параллельно проложенных трубопроводов, связанных между собой перемычками
с регулирующими задвижками
90
z+
i=
91
(59)
Заменяя скорость v на расход Q, из уравнения расхода Q = vω получим
i=
Обозначим A =
16λQ 2
8λQ 2
.
=
2 gπ 2 d 5 gπ 2 d 5
8λ
– удельное сопротивление трубопровода,
gπ 2 d 5
тогда
i = AQ2 или
hl = l · i = A · Q2 · l = S · Q2, где S – линейное сопротивление трубопровода.
Найдем связь между K и A из формул (58) и (60):
Q
Q2
или K 2 =
.
K=
i
i
Подставляя значение i из формулы (60), получим
Q22 gπ 2 d 5 gπ 2 d 5 1
=
= .
8λ Q 2
8λ
A
Из выражений (61, 62 и 63) находим
Q2
i = 2 l. K
Тогда потери по длине определяются по формуле
K2 =
Q2
hl = il = 2 l . K
hl
, получим
l
h
K
Q=K l =
hl .
l
l
K
Обозначим P =
, получим
l
Q = P hтр , Учитывая, что i =
(60)
(61)
(62)
(63)
(64)
(65)
(66)
где Р – проводимость, выражающая собой расход жидкости при
hтр = 1.
92
Сравнивая выражения (61) и (66), найдем связь между P и S:
1
P2 = ;
S
K=P l.
Для гидравлического расчета трубопроводов используются приведенные формулы и в зависимости от задания определяются по таблицам значения A, S, K или P.
Общая задача гидравлического расчета трубопроводов заклю­ча­
ется в определении диаметров труб для пропуска заданного расхода
воды и напора, необходимого для подачи воды ко всем точкам водоразбора при оптимальных затратах.
При решении инженерных задач четыре величины – расход Q,
скорость v, диаметр трубопровода d и потери напора h – являются
переменными и взаимозависимыми. Рассмотрим основные типы
встречающихся на практике задач.
При расчете простого трубопровода решаются три основные задачи:
Задача 1. Для пропуска расхода Q по трубопроводу известного
материала длиной l м, диаметром d, требуется определить необходимый действующий напор H .
Решение сводится к прямому вычислению напора по формуле
(53), приведенной к виду
vυ222υ2   l n nn  
(68)
HH=H=–––
+∑
1λ+λλ––
=2 21++
++ξ∑∑ξ
ξ  .
2 g2g  d dd 1 11i i i
2g
Коэффициенты λ и ξ могут быть связаны с числом Рейнольдса:
vd Qd
Re =
=
, для чего в начале решения необходимо установить
v
ωυ
режим течения.
Задача 2. Требуется определить расход Q при заданных H, l, качестве материала и d трубопровода.
Расход определяется из уравнения расхода Q = vω и выражения
(68). При совместном решении получаем формулу для вычисления
расхода
πd 2
2 gH
Q=
.
(69)
n
l
4
1 + λ + ∑ ξi
d 1
93
Для определения λ и ξ необходимо знать скорость v или искомый
vd Qd
=
,, поэтому Q можно найти по формуле (68) меторасход Re =
v
ωυ
дом подбора или графоаналитическим способом, путем использования формулы (68) и построения графика H = f(Q) (рис. 56).
Задаваясь значениями Q1, Q2, ..., Qn, по формуле
H=
8Q 2 
l

1 + λ + ∑ ξ  вычисляем ряд значений H1, H2, ..., Hn.
gπ 2 d 4 
d

Задача 3. Требуется определить диаметр трубопровода d по заданным H, Q и l, качестве материала.
Диаметр трубопровода d определяется графоаналитическим
способом. Строится кривая d = F (H ): задаваясь рядом значений
d1 , d 2 , ..., d n , вычисляем H1 , H 2 , ..., H n (рис. 57). При этом для каждой точки графика вычисление H1 , H 2 , ..., H n проводится без подбора, так как при каждом d1 , d 2 , ..., d n число Рейнольдса вычисляется непосредственно по формуле Re =
Qd
.
ωυ
Q
Q3
Q2
Q
Q
H1
H
H1
0
H2
H3
H
Рис. 56. График H = f(Q)
d
B
B
C
C
dисх
dB
A
dA
Qзад
QA
Q
Q
QB
Рис. 57. График Q = f(d)
94
Замечание 1. Для длинных трубопроводов, когда потерями на
местных сопротивлениях можно пренебречь, все три основные задачи решаются на основе использования формулы
8Q 2l
l v2
(70)
=λ 2 5. d 2g
gπ d
Следовательно, методика расчета сохраняется, но расчеты значительно упрощаются.
Замечание 2. При квадратичном законе сопротивления, т. е. когда
λ, а также коэффициент Шези С не зависят от Re, расчет можно выполнить по формуле
H =λ
H=
Q2
l. (71)
K2
Первые две задачи сводятся к прямому вычислению их по формуле
(70), причем K определяется по таблицам по заданному диаметру d.
Для решения третьей задачи (определить d по данным H, Q и l)
сначала вычисляется по формуле (70) необходимое значение K, по
которому затем из таблиц находится ближайшее большее и ближайшее меньшее значения K1 и K 2 (K1 > K > K 2 ), и по техникоэкономическим условиям принимается d.
При гидравлическом расчете сложных трубопроводов встречаются следующие виды расходов:
• узловой (или сосредоточенный) расход, м3/с. Назван так потому, что он поступает или вытекает в точке перелома сети, называемой узлом;
• транзитный расход, м3/с – это расход, который транспортируется по какому-либо участку без использования, т. е. транзитом
и предназначен для потребления на вышележащих участках;
• путевой расход, л/(с · м) – это расход, непрерывно потребляемый по длине участка трубопровода (рис. 58);
• расчетный расход, м3/с – это расход, на который рассчитывается данный участок трубопровода.
Рассмотрим трубопровод с непрерывной раздачей жидкости
(см. рис. 58). Этот расход называется путевым qпут . На некоторой
длине L часть расхода равномерно и непрерывно раздается в большом числе пунктов с интенсивностью q0:
qпут = q0L.
95
H=Σhv
hv4
hv 3
hv2
hv 1
z0
l1d1
l3d3
l4d4
z4
l2d2
x
Рис. 59. Последовательное соединение трубопроводов
Рис. 58. Путевой расход: а – схема отбора; б – график изменения расхода по трубопроводу; в – схема сосредоточенных отборов, заменяющих путевой отбор
Потери напора в трубопроводе получают путем суммирования
потерь напора, определенных на каждом отдельном участке
∑h
Остальная часть расхода qтр транспортируется через участок L
в последующие участки трубопровода. Этот расход называется транзитным.
Суммарный расход в начальном сечении участка
Потери напора на участке L трубопровода определяют по формуле
hl = λ
Qрасч = qтр + 0,55qпут .
hl =
Q2
l или hl = Ai Q 2li . 2 i
Ki
96
(72)
Рассмотрим последовательное соединение трубопроводов разных диаметров (рис. 59).
Пренебрегая местными потерями, потери по длине можно определить по формулам:
∑h
 l
l
l
l 
= Q 2  12 + 22 + 32 + 42  ,
 K1 K 2 K 3 K 4 
∑h
= Q 2 (A1l1 + A2l2 + A3l3 + A4l4 ).
l
l
Для области квадратичного сопротивления можем написать
L
1
2
,
Qрасч
d  πd 2  2
 2 g

 4 
где Qрасч – расчетный расход:
= hl1 + hl2 + hl3 + hl4 .
С учетом приведенных формул получим
или
Q = q0 · L + qтр.
l
(73)
hl = Q 2 (S1 + S 2 + S3 + S 4 ),
т. е. hl = Q 2 ∑ S , где ∑ S = S c – сопротивление системы трубопроводов.
Таким образом, систему с последовательным соединением трубопроводов можно рассматривать как один простой трубопровод,
сопротивление которого равно сумме сопротивлений отдельных последовательно соединенных трубопроводов разного диаметра.
Используя формулу (73) и учитывая, что весь напор H затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений, т. е.
H = ∑ hv , можно решить обратную задачу, а именно, при заданных
H , l1 , l2 , l3 , l4 и d1 , d 2 , d 3 , d 4 определить пропускную способность
всей системы по формуле
97
H
=
Sc
H
.
(74)
4
 l 
∑1  K 2 
При параллельном соединении трубопроводов (рис. 60) в узловой
точке А поток жидкости в магистрали делится на четыре потока в
ветвях 1–4, которые объединяются в точке В, образуя далее продолжение магистрального трубопровода.
Основной задачей является определение расхода каждой ветки
q1 ...q4 и потерянного напора hv на пути от точки А до точки В.
Q=
ΔH = HA – HB.
Для замыкания системы (76) требуется еще одно уравнение, которое может быть уравнением узловых расходов, а именно:
∆H =

Q2
Q2
Q2
Q2
∆H = 12 l1 = 22 l2 = 32 l3 = 42 l4 ; 
K1
K2
K3
K4

2
2
2
∆H = Q1 A1l1 = Q2 A2l2 = Q3 A3l3 = Q42 A4l4 ; 
Q2 Q2 Q2 Q2
∆H = 12 = 22 = 32 = 42 .

P1
P2
P3
P4

(76)
A
pB/ρg
d1l1q1
d2l2q2
pA/ρg
Q
hv
В системе (76) имеем (для каждого их трех выражений ∆H ) четыре уравнения (по числу веток) и пять неизвестных величин, из
них четыре неизвестных расхода Q1 ...Q4 и один неизвестный потерянный напор ΔH.
d3l3q3
d4l4q4
Qтр
B
Рис. 60. Параллельное соединение трубопроводов
98
K l
l1
K l 
; Q3 = Q1 3 1 ; Q4 = Q1 4 1 ;
K1 l 4 
l2
K 1 l3
Al
S
A l
S

Q2 = Q1 2 2 = Q1 2 ; Q3 = Q1 3 3 = Q1 3 ;

A1l1
S1
A1l1
S1

(78) (78)
A4l4
S4

= Q1 ;
Q4 = Q1

A1l1
S1

P
P
P
Q2 = Q1 2 ; Q3 = Q1 3 ; Q4 = Q1 4 .

P1
P1
P1

В соответствии с системой равенств (78) получим
Q2 = Q1
Q2
Q2
2
,
l
=
Q
A
l
=
1
K2
P2
можно записать следующую систему равенств:
(77)
Рассмотрим определение неизвестных величин с учетом выражений ∆H в системе уравнений (76).
Выразим расходы Q2 , Q3 , Q4 через расход Q1 и получим
(75)
Решение задачи основано на том, что напоры HA и HB в узловых
точках являются общими для каждой из веток, а их разность представляет одну и ту же потерю напора hv одновременно для каж­дой из
веток. Учитывая, что
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 .
K2
K1
 K l
K l
K
Q = Q1 1 + 2 1 + 3 1 + 4
 K1 l2 K1 l3 K1
Q
Q = 1 (S1 + S 2 + S3 + S 4 );
S1
Q
Q = 1 (P1 + P2 + P3 + P4 ) .
P1
l1
l4
Из выражений (79) находим расход Q1
Q1 =
 
 ;

 

 



Q
 K2
1 +
 K
1

l1 K 3
+
l 2 K1
l1 K 4
+
 3 K1
Q1 =
QS1
;
(S1 + S 2 + S3 + S 4 )
Q1 =
QP1
.
( P1 + P2 + P3 + P4 )
99
l1
l4




(79)
;
(80)
Значения Q2, Q3 и Q4 найдем из выражений (79). Потерян­ный напор ∆H находится по одному из равенств (76), например:
Q12
Q12
2
l
или
∆
H
=
Q
A
l
,
или
∆
H
=
.
1
1 11
K12
P12
В водопроводных сетях потери напора на местные сопро­тив­
ления, кроме некоторых случаев, незначительны по сравнению с ли­
нейными потерями. Поэтому при большом напоре их не принимают
во внимание.
При расчете внутренних водопроводов на линейные по­тери напора вводят поправочный коэффициент Kм, учитывающий местные
сопротивления
∆H =
n
hдл = K м ∑ hl ,
где
∑h
1
l
– сумма линейных потерь напора на всех последовательно
(по ходу воды) расположенных участках водопровода от начального
до самого удаленного.
Только при очень ограниченном напоре местные сопротивления
определяются расчетом.
Такой случай может быть, например, при питании внутреннего
водопровода от бака, установленного в здании.
Расчет потерь производится по формуле
∑h
дл
= hl + hм = λ
n
n
 v 2   λ 
 v2
l v2
+ ∑ ξ  =  l + ∑ ξ
,
d 2 g 1  2 g   d 
1
 2g
(81)
 v2 
ξ
где ∑   – сумма потерь напора на местных сопротивлениях.
1
 2g 
4Q
Из уравнения расхода выразим скорость vυ = 2 , значение подстаπd
вим в формулу (81) и получим
n
hдл
n
n
 l
 16Q 2
= λ + ∑ ξ
= BQ 2 , 2 4
d
π
2
g
d
1


(82)

 l
8
где B =  λ + ∑ ξ 
– характеристический коэффициент,
2 4
 d 1  2 gπ d
или гидравлическая характеристика трубопровода.
100
B1 d 4
=
,
B d14
или
(83)
B1 H p d 4
=
= 4,
B
hv
d1
где H p – заданный напор (располагаемый).
h
Отсюда d1 = d ⋅ 4 v , или в общем виде
Hp
(84)
1
n
Она выражает суммарные сопротивления в трубопроводе длиной l
при единичном расходе.
λ
Принимая с некоторой погрешностью = const , независимо от
d
диаметра трубопровода, при одних и тех же значениях Q, Σξ и l, найB
d
дем отношение 1 для диаметров
из формулы (82)
B
d1
H
.
(85)
H1
Из формулы (85) следует, что диаметры труб изменяются обратно
пропорционально корню четвертой степени из величины напора или
потерь напора.
Пусть напор увеличился в два раза: H 1 = 2 H , тогда: d1 = d ⋅ 4 0 ,5 = 0 ,84 d .
= 0,84d. Новый расчетный диаметр d1 будет на 16 % меньше предыдущего d.
Сложный тупиковый или кольцевой трубопровод в общем случае
составлен из простых трубопроводов с последовательным и параллельным их соединением (рис. 61, а) или с разветвлениями (рис. 61, б).
d1 = d ⋅ 4
B
M
N
qB
M
A
qC
C
qD
Q
Рис. 61. Схемы сложных трубопроводов
101
qE
D
N
E
Разомкнутый сложный магистральный трубопровод разветвляется в точках А и С. Жидкость подается к точкам (сечениям) B, D и E с
расходами QB, QD и QE. Пусть известны размеры магистралей и всех
ветвей (простых трубопроводов), заданы все местные сопротивления, а также геометрические высоты конечных точек, отсчитываемые от плоскости M–N, и избыточные давления в конечных точках
PB, PD и PE.
Для этого случая возможны два вида задач.
Задача 1. Дан расход Q в основной магистрали MA. Необходимо
определить расходы QB, QD и QE, а также потребный напор в точке М.
H потр = H M =
PM
.
ρg
Задача 2. Дан напор в точке М. Определить расход в магистрали Q
и расходы в каждой ветви.
Эту задачу решают на основе системы уравнений, число которых
на единицу больше числа конечных ветвей, а именно:
1. Уравнение расходов
Q = QB = QD = QE .
2. Уравнение равенства потребных напоров для ветвей CD и CE:
Hст D + KCDQDт = Hст E + KCEQEт.
3. Уравнение равенства потребных напоров для ветви АВ и сложного трубопровода АСЕD
Hст B + KABQBт = Hст D + KCDQDт + KAC(QD + QE)т.
4. Выражение для потребного напора в точке М
PM
= K MA Q m + H ст B + K AB QBm .
ρg
Расчет сложных трубопроводов часто выполняют графоаналитическим способом, т. е. с применением кривых потребного напора
и характеристик трубопроводов.
Кривую потребного напора для сложного трубопровода следует
строить следующим образом:
• сложный трубопровод разбивают на ряд простых;
• строят кривые потребных напоров для каждого из простых трубопроводов;
HM =
102
• складывают кривые потребных напоров для ветвей (и параллельных линий, если они имеются) по правилу сложения характеристик параллельных трубопроводов;
• полученную кривую складывают с характеристикой последовательно присоединенного трубопровода по соответствующему правилу.
Таким образом, при расчете идут от конечных точек трубопровода
к начальной точке, т. е. против течения жидкости, рассчитывая вначале магистраль. Сложный кольцевой трубопровод (см. рис. 61, а)
представляет собой систему смежных замкнутых контуров, с отбором жидкости в узловых точках – 0, А, D, Е, В, С (рис. 62) или с непрерывной раздачей жидкости на отдельных участках.
Задачи для таких трубопроводов решают рассмотренным ранее
методом. При этом основываются на двух обязательных условиях.
Первое условие – баланс расходов, т. е. равенство притока и оттока
жидкости для каждой узловой точки.
Второе условие – баланс напоров, т. е. равенство нулю алгебраической суммы потерь напора для каждого кольца (контура) при подсчете по направлению движения часовой стрелки или против нее.
Для расчета таких трубопроводов типичной является следующая задача. Дан максимальный напор в начальной точке, т. е. в
точке 0, минимальный (свободный или требуемый) напор в наиболее удаленной точке Е, расходы во всех шести узлах и длины
семи участков. Требуется определить диаметры трубопроводов на
всех участках. Подытоживая сказанное, приведем сводную таблицу зависимостей H = f(Qсети) для разных гидравлических систем
трубопроводов (табл. 8).
Q0
Q1
1
0
A
l1
4
C
l2
2
l3
Q3
B
Q6
6
Q2
3
QC
QD
l5
l4
Q4
D
Q5
5
QA
l7
QB
Q6
7
Q7
E
Рис. 62. Схема сложного кольцевого трубопровода
103
QE
Зависимости H = f(Qсети) для разных трубопроводов
Таблица 8
Простые трубопроводы
Продолжение табл. 8
графике двух кривых: напора Hпотр = f1(Q) и характеристики насоса
Hнас = f2(Q) и в нахождении их точки пересечения.
б)
а)
2
p2
z2
1
p1
z1
Схе ма про с т
о го т
руб о про во да
Схема простого трубопровода
а)
б)
Характеристикой насоса называется зависимость напора, создаваемого насосом, от его подачи (расхода жидкости) при постоянной частоте вращения вала насоса. Выше дано два варианта графика: а – для турбулентного режима; б – для ламинарного режима.
Точка пересечения кривой потребного напора с характеристикой
насоса называется рабочей точкой.
Последовательное соединение трубопроводов
При ламинарном течении эта кривая изображается прямой линией (а), при турбулентном – параболой с показателем степени,
равнsм двум (б).
Крутизна кривых потребного напора зависит от сопротивления
трубопровода и возрастает с увеличением длины трубопровода и
уменьшением диаметра, а также с увеличением местных гидравлических сопротивлений.
Трубопроводы с подачей насоса
Метод расчета трубопроводов с насосной подачей заключается
в совместном построении в одном и том же масштабе и на одном
104
При подаче жидкости по такому составному трубопроводу от
точки М к точке N расход жидкости Q во всех последовательно
соединенных трубах 1, 2 и 3 будет одинаков, а полная потеря напора между точками М и N равна сумме потерь напора во всех последовательно соединенных трубах. Таким образом, для последовательного соединения имеем следующие основные уравнения:
Q1 = Q2 = Q3 = Q и ΣhM–N = Σh1 + Σh2 + Σh3.
105
Продолжение табл. 8
Окончание табл. 8
Параллельное соединение трубопроводов
Обозначим полные напоры в точках М и N соответственно HM
и HN, расход в основной магистрали (т. е. до разветвления и после
слияния) – через Q, а в параллельных трубопроводах – через Q1,
Q2 и Q3; суммарные потери в этих трубопроводах – через Σh1 , Σh2
и Σh3. Очевидно, что расход жидкости в основной магистрали
Q = Q1 = Q2 = Q3.
Выразим потери напора в каждом из трубопроводов через полные напоры в точках М и N
Σh1 = HM – HN; Σh2 = HM – HN; Σh3 = HM – HN,
откуда Σh1 = Σh2 = Σh3, т. е. потери напора в параллельных трубопроводах равны между собой. Их можно выразить в общем виде
через соответствующие расходы следующим образом:
Σh1 = K1Q1m; Σh2 = K2Q2m; Σh3 = K3Q3m,
где K и m определяются в зависимости от режима течения.
Разветвленный трубопровод
Пусть основной трубопровод имеет разветвление в сечении
М–N, от которого отходят, например, три трубы 1, 2 и 3 разных
диаметров, содержащие различные местные сопротивления. Геометрические высоты z1, z2 и z3 конечных сечений и давления P1, P2
и P3 в них будут также различны.
106
Общий расход в основном трубопроводе, так же как и для параллельных трубопроводов, будет равен сумме расходов в каждом
трубопроводе
Q = Q1 = Q2 = Q3.
Записав уравнение Бернулли для сечения М–N и конечного сечения, например, первого трубопровода, получим (пренебрегая
разностью скоростных высот)
P
H M = z1 + 1 + ∑ h1 .
ρg
Обозначив сумму первых двух членов через Hст и выражая третий член через расход, получаем
HM = Hст 1 + KQ1m.
Аналогично для двух других трубопроводов можно записать
HM = Hст 2 + KQ2m,
HM = Hст 3 + KQ3m.
Таким образом, получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными: Q1, Q2, Q3 и HM.
Построение кривой потребного напора для разветвленного
трубопровода выполняется сложением кривых потребных напоров для ветвей по правилу сложения характеристик параллельных
трубопроводов сложением абсцисс (Q) при одинаковых ординатах
(HM). Кривые потребных напоров для ветвей отмечены цифрами
1, 2 и 3, а суммарная кривая потребного напора для всего разветвления обозначена буквами ABCD. Из графика видно, что условием подачи жидкости во все ветви является неравенство HM > Hст1.
107
Лекция 16
Гидравлический удар. Виды, расчетные
зависимости, способы ослабления
Наиболее распространенным и часто встречающимся видом неустановившегося движения является гидравлический удар.
Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления,
возникающее в напорном трубопроводе при внезапном торможении
потока рабочей жидкости.
Этот процесс является очень быстротечным и характеризуется
чередованием резких повышений и понижений давления, которое
связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода.
Основным «виновником» гидравлических ударов являются силы
инерции, которые при изменении величины скорости в трубопроводе
вызывают соответствующее повышение или понижение давления.
Изучение этого явления началось в конце XIX в. в связи с авариями водопровода в Москве. Теоретическое обоснование сделал
Н. Е. Жуковский в 1898 г. Он определил, что в связи с быстрым закрытием задвижек на водопроводной сети и резким уменьшением
скорости до нуля происходит переход критической энергии движущегося по трубопроводу потока в потенциальную. Потенциальная
энергия затрачивается на работу по деформации стенок трубопровода и по сжатию воды. Возникающее в момент гидравлического удара
дополнительное давление в трубопроводах возрастает на 1–1,2 МПа
на каждый 1 м/с потерянной скорости.
Причинами возникновения гидравлического удара являются, например:
• быстрое закрытие или открытие запорных и регулируемых
устройств;
• внезапная остановка насоса;
• пуск насоса при открытом затворе на нагнетательной линии
и т. д.;
108
Если гидравлический удар имеет место при быстром закрытии
задвижки, из-за быстрого уменьшения скорости в трубе происходит
весьма значительное повышение давления, и тогда его называют положительным. Если при открытии задвижки происходит значительное понижение давления и резкое увеличение скорости в трубопроводе, то при возникновении гидравлического удара его называют
отрицательным.
Рассмотрим, как протекает этот процесс.
Пусть в конце трубы, по которой движется жидкость со скоростью v0, произведено мгновенное закрытие крана (рис. 63, а). При
этом скорость частиц, натолкнувшихся на кран, будет погашена, а их
кинетическая энергия перейдет в работу деформации стенок трубы
и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается в соответствии с увеличением давления на величину ∆Pуд, которое называется ударным давлением. Область (сечение n–n), в которой происходит увеличение давления, называется ударной волной.
Ударная волна распространяется вправо со скоростью c, называемой скоростью ударной волны.
Когда ударная волна переместится до резервуара, жидкость окажется остановленной и сжатой во всей трубе, а стенки трубы – растянутыми. Ударное повышение давления распространится на всю
длину трубы (рис. 63, б).
Далее под действием перепада давления ∆Pуд частицы жидкости
устремятся из трубы в резервуар, причем это течение начнется с
сечения, непосредственно прилегающего к резервуару. Теперь сечение n–n перемещается обратно к крану с той же скоростью c,
оставляя за собой выровненное давление P0 (рис. 63, в). Жидкость
и стенки трубы предполагаются упругими, поэтому они возвращаются к прежнему состоянию, соответствующему давлению P0. Работа деформации полностью переходит в кинетическую энергию, и
жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость v0, но направленную теперь в противоположную сторону. С этой скоростью
весь объем жидкости стремится оторваться от крана, в результате
возникает отрицательная ударная волна под давлением P0 – ∆Pуд,
которая направляется от крана к резервуару со скоростью c, оставляя за собой сжавшиеся стенки трубы и расширившуюся жидкость,
что обусловлено снижением давления (рис. 63, д). Кинетическая
энергия жидкости вновь переходит в работу деформаций, но противоположного знака.
109
Состояние трубы в момент прихода отрицательной ударной волны
к резервуару показано на рис. 63, е. Так же как и для случая, изображенного на рис. 63, б, оно не является равновесным. На рис. 63, ж,
показан процесс выравнивания давления в трубе и резервуаре, сопровождающийся возникновением движения жидкости со скоростью v0.
Очевидно, что как только отраженная от резервуара ударная волна под давлением ∆Pуд достигнет крана, возникнет ситуация, уже
имевшая место в момент закрытия крана. Весь цикл гидравлического удара повторится. Протекание гидравлического удара во времени
иллюстрируется диаграммой, представленной на рис. 64, а и б.
Штриховыми линиями показано теоретическое изменение давления у крана в точке А, а сплошной – действительный вид картины
изменения давления по времени (рис. 64, а). При этом затухание колебаний давления происходит за счет потерь энергии жидкости на
преодоление сил трения и уход энергии в резервуар.
ризб
а)
ризб
б)
Рис. 64. Изменение давления по времени у крана
Если давление P0 невелико (P0 < ∆Pуд), то картина изменения амплитуды давления получается несколько иная, примерно такая, как
показано на рис. 64, б.
Положительный гидравлический удар может быть прямой и непрямой. Прямой удар происходит при времени закрытия задвижки t3
t3 < 2L / с,
где L – расстояние до резервуара, способного поддерживать постоянное давление; с – скорость распространения ударной волны.
Непрямой гидравлический удар, характеризующейся меньшей
силой, чем прямой удар (отраженная волна придет к запорному
устройству раньше, чем задвижка закроется, и повышение давления
в трубопроводе уменьшится), будет наблюдаться при t3 > 2L / с.
Введем еще одно понятие. Время Т, за которое ударная волна
пройдет путь до резервуара и вернется обратно к задвижке, называется фазой удара: Т = 2L / с.
Внезапное повышение давления Р (или напора H) при гидравлическом ударе можно определить по формуле Н. Е. Жуковского
∆Pуд = ρ · v0c.
(86)
Формула (86) справедлива для прямого гидравлического удара.
В случае непрямого гидравлического удара ∆Pуд = 2 · ρ · v0· L / t3.
В этих выражениях скорость распространения ударной волны
определяется по формуле
Рис. 63. Стадии гидравлического удара
110
c=
Eж
ρ
d Еж
1+
δ Е
111
, м/с
(87)
где Еж – объемный модуль упругости жидкости плотностью ρ; Е –
модуль упругости материала трубы; d – диаметр трубы; δ – толщина
стенок трубы.
Усредненные значения модуля упругости воды и некоторых материалов, а также соотношения между ними, упрощающие использование формулы, приведены далее в табл. 9, 10.
Таблица 9
Среда и материал
Вода
Трубы
железные и стальные
чугунные
бетонные
деревянные
свинцовые
Еж и Е,
МПа
Еж · 10–4 и Е · 10–4,
кгс/см2
Еж / Е
2030
2,07
1
196 000
98 100
19 600
9810
490–195
200
100
20
10
5–0,2
0,01
0,02
0,10
0,20
0,4–10
Способы предотвращения возникновения гидравлических ударов:
• уменьшение скорости движения жидкости в трубопроводе путем увеличения его диаметра;
• установка перед участками, где возможно возникновение гидроудара, разнообразных аккумуляторов, воздушных колпаков,
предохранительных клапанов и т. д.;
• увеличение времени срабатывания клапана (закрытия задвижки);
• повышение прочности слабых элементов гидравлической системы.
Таблица 10
Еж / Е
Вид труб
Стальные
0,01
Чугунные
0,02
Асбестоцементные
0,11
Полиэтиленовые
1–1,45
Бетонные
0,10–0,14
Резиновые
333–1000
Гидравлический удар может быть полным, когда происходит
полная остановка движения, или неполным, когда начальная скорость движения жидкости v0 изменяется до некоторого значения v,
что имеет место, например, при частичном перекрытии запорного
устройства.
Наиболее опасным является положительный полный прямой гидравлический удар, при котором повышение давления может достигать значительной величины. Гидравлический удар может порождать
разрывы жидкости в трубопроводе – это не менее серьезная авария,
чем разрыв трубы.
112
113
Лекция 17
Движение жидкости в открытых руслах.
Основные понятия, параметры каналов,
основные расчетные зависимости,
наивыгоднейшее сечение, скорости
движения жидкостей, примеры
расчетов
Открытыми руслами являются потоки, имеющие свободную поверхность. Характер движения жидкости в открытом русле, форма и
уклон свободной поверхности, глубина потока зависят от типа, размеров, формы сечения русла, уклона дна. В открытых руслах со свободной поверхностью, в трубопроводах, тоннелях, каналах замкнутого сечения с частичным заполнением сечения или при заполнении
всего сечения, если давление на верхней образующей по длине трубопровода равно атмосферному, движение жидкости под действием
составляющей силы тяжести является безнапорным. Открытые русла могут быть классифицированы по параметрам, определяющим
изменение площади живого сечения потока на непризматические
и призматические (цилиндрические).
У непризматических русел форма или геометрические размеры
какого-либо элемента поперечного профиля меняются по длине, поэтому площадь живого сечения потока ω будет функцией как длины
русла (вследствие изменения формы или размеров сечении), так и
функцией глубины потока вдоль русла, т. е ω = f (h, l). В таком русле
движение неравномерное.
В призматических руслах форма и размеры элементов поперечного профиля по длине сохраняются постоянными, и площадь живого
сечения потока может изменяться только в связи с изменением глубины h, т. е. w = f (h).
По форме профиля поперечного сечения открытые русла подразделяются на русла правильной и неправильной формы.
114
К руслам правильной формы поперечного сечения относятся
такие, для которых элементы живого сечения потока (w, c, R, В) в
любом створе являются непрерывными функциями глубины потока,
сохраняющими свое выражение во всем диапазоне изменения глубины. Они могут быть прямоугольные, треугольные, трапецеидальные
(рис. 65, а, б, в). Если поперечный профиль русла правильной формы очерчен кривой линией, окружностью (рис. 65, д) или параболой
(рис. 65, г), определяемой по всей длине русла одним уравнением, то
такое русло называется цилиндрическим (рис. 65, г, д). Правильную
форму чаще всего имеют искусственные русла. К руслам неправильной формы относятся полигональные (составные) русла (рис. 65, ж)
и русла естественных потоков (рис. 65, е).
Характеристики русел:
b – ширина русла понизу или поверху;
h – глубина жидкости в русле;
m = ctg α – коэффициент заложения откосов.
Основные гидравлические характеристики наиболее часто встречающихся русел представлены в табл. 11.
Открытые русла в зависимости от продольного уклона дна делятся на русла с положительным (прямым) геометрическим уклоном
i > 0, когда дно русла понижается в направлении движения потока;
горизонтальные русла при i = 0 и русла с отрицательным (обратным)
уклоном дна i < 0, когда дно русла повышается в направлении движения жидкости.
а)
г)
б)
в)
д)
е)
ж)
Рис. 65. Типы открытых русел
115
Таблица 11
Тип русла
Площадь живого сечения
русла
Смоченный периметр
русла
Трапецеидальное русло
ω=b+m·h
χ = b + 2h 1 + m 2
Треугольное русло
ω = m · h2
χ = 2h 1 + m 2
Прямоугольное русло
ω=b·h
χ = b + 2h
Установившийся поток в открытом русле может быть или равномерным, или неравномерным. Равномерный поток по всей длине
имеет одинаковую среднюю скорость. Поэтому по всей длине потока
остается одинаковой и площадь живого сечения. В неравномерном
потоке вдоль потока изменяется средняя скорость, поэтому, хотя расход и остается постоянным, по длине потока изменяются площади
живых сечений.
Равномерное движение жидкости характеризуется прямыми параллельными линиями токов (траекториями), а также постоянством
местной осредненной во времени скорости вдоль каждой линии
тока. На свободной поверхности безнапорных потоков устанавливается постоянное, как правило, атмосферное давление. Поэтому
пьезометрический уклон Iр для таких потоков соответствует уклону свободной поверхности Ic, т. е. Iр = Ic. Ранее было установлено,
что для равномерных потоков пьезометрический уклон равняется
гидравлическому, т. е. Iр = I. Значит, равномерное безнапорное движение возможно при соблюдении равенства: Iр = I = Ic.
Для этого (рис. 66) необходимо, чтобы величина скоростного напора по длине потока также оставалась бы постоянной. Этим диктуется соблюдение следующих условий:
• русло призматическое;
• расход воды постоянный (Q = const);
• глубина h, а следовательно, форма и площадь живого сечения
ω и χ , R постоянные;
• линия дна не имеет перелома, т. е. i = sin α = const, при этом
i > 0;
• шероховатость дна и стенок русла постоянна по длине (п =
= const);
• местные сопротивления в русле отсутствуют;
• составляющая силы тяжести направлена в сторону движения.
116
Полностью удовлетворить всем условиям возможно только в искусственных руслах.
Участки русел, где движение равномерное, должны располагаться на достаточном удалении от участков, вызывающих местные деформации потока. При равномерном движении в открытых руслах
глубина потока вдоль русла сохраняется неизменной, поперечное сечение остается более или менее постоянным, так же как и уклон дна,
все это возможно лишь на коротких участках, поэтому рассмотрим
равномерное движение воды в искусственных руслах – каналах, лотках и т. п.
Канал (от лат. canalis – труба, желоб) – это искусственное русло (водовод) правильной формы с безнапорным движением воды,
устроенное в грунте.
Рассмотрим особенности равномерного движения жидкости в канале.
Уравнение Бернулли для двух проведенных вертикально сечений
1–1 и 2–2 открытого потока при равномерном движении в канале
(см. рис. 66) будет выглядеть следующим образом (значения параметров записаны для центров живых сечений потока):
z1 +
p1 α1v12
p α v2
+
= z 2 + 2 + 2 2 + hn1− 2 ,
ρg 2 g
ρg
2g
но
α1 = α2 = α; h1 = h2 = h;
p1 = p2 = pa + ρgh;
l v2
;
hn = hl = λ
4R 2 g
Рис. 66. Схема движения безнапорного равномерного потока
117
z1 = z 2 + λ
1 v2
l v2
l v 2 z1 − z 2
; z1 − z 2 = λ
;
,
=λ
4R 2 g
4R 2 g
4R 2 g
l
z1 − z 2
= i – геометрический уклон.
l
В результате преобразований получаем z1 – z2 = hl.
При равномерном движении потеря напора по длине канала определяется разностью отметок поверхности воды.
Для определения средней скорости безнапорного равномерного
потока используется формула Шези, в которой в качестве расчетных берутся геометрический уклон i и гидравлический радиус R,
v = C iR .
Расход в сечении русла определяется по формуле Q = vω =
υ = C iR .
= ωv
или с учетом расходной характеристики K (м3/с): K = ω R, Q = K i,
где С (м–0,5/с) – коэффициент Шези.
Коэффициент Шези можно определить:
1
1. По формуле Н. Н. Павловского: C = R y ,
n
где y = 2 ,5n + 0 ,13 − 0 ,75 R ( n − 0 ,1) – переменный показатель степени; n – коэффициент шероховатости, определяемый по гидравлическим справочникам.
2. Для приближенных расчетов можно использовать формулу
1 1
Маннинга: C = R 6 .
n
3. По формуле И. И. Агроскина: С = 17,72 (R + lg L), где R =
= 0,05643/n – параметр гладкости русла.
4. По многим другим формулам, например, Гангилье–Куттера,
Базена, Альштуля и т. д.
Величина W = C R называется скоростной характеристикой,
с учетом этого скорость потока:
υv = W i .
Соответственно расход воды в русле
где
QQ==ωυ
ωv = ωW i .
118
По формуле Н. Н. Павловского
1
W = R z , z = 0,37 + 2,5 n − 0,75
n
( n − 0,1)
R.
Величина K = Wω называется расходной характеристикой, в связи с чем расход Q = K i .
Из зависимостей для определения расхода жидкости следует, что
русло будет пропускать тем больший расход, чем будет больше его
гидравлический радиус или меньше его смоченный периметр χ. Гидравлически наивыгоднейшим сечением канала является сечение,
способное при заданной площади обеспечить максимальную пропускную способность. Минимальным смоченным периметром обладает круг, далее следуют правильные многоугольники, причем длина
их периметра будет тем меньше, чем больше число сторон.
Поэтому при выполнении небольших каналов (лотков) из металла, железобетона им придают форму полукруга, эллипса, параболы
или близкую к ним. Для каналов большого сечения трудно сделать
выемку грунта, обеспечивающую полукруглое сечение, и, кроме
того, такой канал в верхней части будет иметь почти вертикальные
стенки, которые в нескальных грунтах окажутся неустойчивыми.
Поэтому каналы полукруглого сечения почти не применяют, в естественных грунтах строят каналы трапецеидального сечения.
Одной из задач гидравлического расчета каналов является определение максимальной допускаемой скорости течения, называемой
неразмывающей, и минимальной допускаемой скорости – незаиляющей.
Уклон канала должен обеспечивать средние скорости воды в пределах: vmin < v < vmax, где v – средняя скорость воды в канале, м/с;
vmin – допускаемая незаиляющая скорость воды, м/с; vмаx – допускаемая неразмывающая скорость воды, м/с.
Незаиляющая скорость – скорость, при которой из потока не выпадают транспортируемые им взвешенные частицы.
Неразмывающая скорость – скорость, при которой не допускается разрушение стенок каналов.
Значения этих скоростей зависят от глубины и материала, из которого сложены стенки каналов.
Для определения неразмывающей скорости может быть рекомендована формула Б. И. Студеничникова, полученная по данным лабораторных и натурных исследований в широком диапазоне крупно119
стей частиц несвязного грунта, а также зависимости Леви, формула
Латышенкова, Ц. Е. Мирцхулавы и т. д.
Незаиляющие скорости в каналах могут быть ориентировочно
определены в зависимости от гидравлической крупности транспортируемых частиц по формуле Гиршкана или процентного соотношения частиц различных диаметров по формуле Леви и т. д.
Выбор допустимых скоростей имеет большое экономическое значение при проектировании и эксплуатации искусственных водотоков. Скорости должны быть подобраны также с учетом:
• предотвращения зарастания канала – не ниже 0,5 м/с, но не более 3 м/с в зависимости от типа грунтов или одежды канала,
• в зимний период, в избежание размыва льда – до 0,5 м/с, нормальные скорости под ним не должны превышать 1,2–1,5 м/с, при скоростях, бóльших 2,25 м/с, поверхностный лед в каналах не образуется.
К каналам замкнутого сечения относятся различные трубопроводы и тоннели, в которых поток воды не заполняет всего сечения.
При проектировании каналов рассматривают большое количество задач. Рассмотрим три основных типа из их числа.
Задача 1-го типа. Определение расходов Q (скорости) при заданном уклоне i и принятом поперечном сечении ω канала.
Эта задача решается непосредственным вычислением расхода по
формуле
Q = ωC Ri.
Предварительно вычисляются величины: ω, χ, R, C.
Задача 2-го типа. Определение уклона дна i при заданном расходе Q и принятом поперечном сечении ω канала.
Необходимый уклон находим непосредственно из формулы расхода: Q = ωC Ri.
Предварительно определяем C и R.
Задача 3-го типа. Определение элементов живого сечения b и h
при заданном расходе Q и уклоне i канала.
Так как расчетное уравнение расхода одно, а требуется определить два неизвестных, то задача решается методом подбора. Чтобы
ее решить, необходимо задаться b или отношением h/b. После этого
возможны три варианта решения.
Вариант 1
Задаемся значением b и определяем соответствующую ширине
и условиям задачи h. Задачу решаем подбором: назначаем последо120
вательно ряд глубин и вычисляем расходы до тех пор, пока не получим требуемого расхода; соответствующая этому расходу глубина
и будет искомой.
Задачу можно решить графоаналитическим способом (рис. 67).
Задаваясь, как и выше, рядом глубин, получаем соответствующие им
расходы, затем строим кривую зависимости Q = f(h). Откладываем
по оси абсцисс требуемый расход и, восстановив перпендикуляр до
пересечения с кривой, находим точку А, которой на оси ординат соответствует искомая глубина.
Рис. 67. Кривая зависимости Q = f(h)
Вариант 2
Можно задаться глубиной h и найти ширину канала по дну b.
Задача решается так же, как и предыдущая: или подбором, или
графоаналитическим методом. Назначаем ряд значений b и повторяем расчет канала до тех пор, пока расход не станет равен требуемому.
Ширина b, при которой расход равен требуемому, и есть искомая.
Если задачу решаем графоаналитическим методом, то по данным
расчета строим кривую Q = f(b), т. е. задаемся рядом значений b, находим соответствующие им расходы и затем строим график, откладывая по оси требуемый расход, по оси ординат определяем b.
Вариант 3
Если даны β = b/h, Q, m, n и требуется найти b и h, то задача решается так же, как и предыдущая. Задаемся рядом глубин h и находим
соответствующие b, ω, C, Q.
Применяются стандартные профили круглого, шатрового, овоидального и лоткового сечения (см. рис. 68).
Все трубопроводы одной формы геометрически подобны между собой и отличаются друг от друга только по размеру. При расчете любого профиля решаются те же три основные задачи, что и для обычного
открытого канала: определение расхода, уклона и размеров сечения.
121
a)
б)
в)
Лекция 18
г)
в)
е)
Водосливы. Основные элементы,
виды, расчетные зависимости.
Измерительные водосливы
Основной расчетной формулой является уравнение Шези.
Гидравлический расчет каналов замкнутого поперечного сечения
(круглой или иной формы) непосредственно по основным формулам
Шези является весьма трудоемким, поэтому на практике пользуются
вспомогательными графиками или таблицами. Пример такого графика, составленного для круглого сечения при различной степени
наполнения, представлен на рис. 69. Графики построены с учетом
изменения скорости и расхода от наполнения трубопровода:
v/vп = (R/Rп)Z,
Водосливом называется перегораживающее поток сооружение,
через которое происходит перелив воды (рис. 70).
При переливе через водослив струя может иметь разную форму.
Если в подструйное пространство имеется свободный доступ воздуха, благодаря чему давление под струей равно атмосферному, то в
этом случае струя считается свободной и расход обладает значительной устойчивостью.
Если воздух не может свободно поступать в подструйное пространство, он постепенно выносится, давление под струей понижается, струя отжимается к водосливной стенке, колеблется, расход
пульсирует и такая струя считается отжатой. Из-за образования вакуума под отжатой струей уровень воды под ней повышается и при
некоторых условиях все подструйное пространство заполняется водой, т. е. образуется струя подтопленная.
Рис. 69. График «рыбка» для расчетов труб круглого сечения
Рис. 70. Прямоугольный водослив с тонкой стенкой и боковым сжатием
Рис. 68. Формы сечения канализационных труб и каналов: а – круглое; б – полукруглое; в – лотковое; г – овоидальное (яйцевидное); д – эллиптическое; е – шатровое
Q/Qп = ω/ωп [(R/Rп)Z],
где Qп и vп – расход и скорость, соответствующие полному заполнению трубы.
122
123
Уровень воды нижнего бьефа должен располагаться непосредственно за водосливной стенкой, ниже гребня водослива по крайней
мере на 0,1 м. При малых расходах струя под действием давления и
поверхностного натяжения стекает по низовой грани водослива, ее
положение неустойчиво, такая струя считается прилипшей. Во избежание прилипания струи минимальный напор на гребне водослива
не должен быть менее 5 см.
При изучении водосливов пользуются следующими основными
терминами и определениями:
• верхний бьеф (ВБ) – участок потока воды перед водосливом
с повышенной отметкой свободной поверхности;
• нижний бьеф (НБ) – участок потока воды за водосливом;
• гребень водослива (гр.в) – верхняя кромка (порог) водослива;
• Св, Сн– высота водосливной стенки соответственно со стороны
верхнего и нижнего бьефов;
• hв, hн – глубина потока в верхнем и нижнем бьефах;
• B – ширина русла, в котором устроена водосливная стенка;
• b – ширина водослива;
• δ – толщина водосливной стенки;
• v0 – скорость подхода;
• H – напор на водосливе, равный (hв – Св), т. е. разность отметок
свободной поверхности верхнего бьефа и гребня водослива;
• H0 – полный напор на гребне водослива с учетом скорости подхода;
• Z – перепад на водосливе, или разность горизонтов воды в верхнем и нижнем бьефах;
• Z0 – полный перепад на водосливе с учетом скорости подхода.
Классифицируются водосливs по следующим признакам:
• очертание профиля стенки;
• сопряжения ниспадающей струи с нижним бьефом;
• наличие или отсутствие бокового сжатия;
• расположение порога водослива в плане;
• форма выреза в стенке водослива.
По профилю стенки различают:
а) водосливы с тонкой стенкой δ ≤ (0,1–0,5)Н (см. рис. 70), когда вода переливается через тонкую (острую) поперечную преграду
острым ребром порога (рис. 71);
б) водосливы с широким порогом 2Н ≤ δ ≤ 8Н (рис. 72), когда
стенка перегораживает поток. Он имеет бóльшую ширину, при кото124
Рис. 71. Кромка водосливного щита (а) и схемы течения воды через нее (б, в)
рой на пороге наблюдается параллельноструйное плавно изменяющееся движение жидкости, незначительные потери напора по длине
и учитываются только местные потери на вход и на выход;
в) водосливы со стенкой практического профиля (рис. 73), когда
вода переливается через толстую стенку, имеющую очертания низовой грани, совпадающие с контуром падающей струи.
По типу сопряжения струи с нижним бьефом различают водосливы:
а) неподтопленные (см. рис. 70), в которых уровень в нижнем бьефе hн не влияет на расход Q через водослив, т. е. напор H на водосливе;
б) подтопленные, когда глубина воды в нижнем бьефе hн снижает
расход жидкости Q, проходящий через водослив.
Эти классификации являются наиболее важными. Каждый из
перечисленных водосливов может быть подразделен по некоторым
общим для этих групп признакам.
В зависимости от соотношения ширины отверстия и ширины
русла В в плане здесь различают:
• водосливы без бокового сжатия при b = В;
• водосливы с боковым сжатием (см. рис. 70; рис. 74), когда b < В.
Рис. 72. Водослив с широким порогом
Рис. 73. Водослив практического профиля
125
Струя, вытекающая через водослив, испытывает сжатие с боков,
поэтому имеет ширину bс меньше ширины водослива b.
По расположению порога водослива в плане (рис. 75) бывают:
а) прямые или лобовые водосливы, порог расположен перпендикулярно потоку;
б) косые водосливы, порог находится под острым углом к потоку;
в) боковые водосливы, порог расположен параллельно оси потока.
По форме выреза в стенке водослива или по очертанию отверстия
водосливы могут быть (рис. 76):
• полигональной формы – прямоугольные, треугольные и трапецеидальные (суживающиеся книзу или кверху);
• криволинейной формы – это параболические, радиальные
и пропорциональные водосливы.
Основной задачей при гидравлическом расчете водослива является определение расхода жидкости, протекающего через его порог.
Основная формула расхода через водослив
При определении расхода через водослив его рассматривают как
большое прямоугольное отверстие, у которого Н1 = 0. Расчет ведут
по зависимости (52) без учета скорости подхода жидкости к водосливу:
3
2
2
g
H
QQ==mmb
b
,
(88)
0
где m0 – безразмерный коэффициент пропорциональности, или коэффициент расхода водослива (m0 = 2/3 · µ).
Влияние скорости подхода v0 на величину расхода Q учитывается
величиной полного напора водослива Н0
а)
б)
в)
Н0 = H + α · v02/2g.
Следовательно, расчетная формула для определения расхода будет:
3
QQ==mmb
b 2g H0 2 . (89)
0
В практических расчетах скоростью подхода можно пренебрегать, если площадь живого сечения потока на подходе к водосливу
В(Н + Р) превышает площадь водосливного отверстия bН:
Рис. 74. Схема водослива с тонкой стенкой с прямоугольной формой выреза
с боковым сжатием
Рис. 75. Схемы расположения порога водослива в плане
Рис. 76. Формы выреза в водосливной стенке: а – прямоугольный; б – треугольный;
в, г – трапецеидальные; д – параболический; е – радиальный; ж – пропорциональный
126
В (Н + Р)/bH > 3–4.
Значения коэффициента расхода устанавливаются опытным путем или по эмпирическим зависимостям. Коэффициент расхода водослива зависит от многих факторов, и определение его числового
значения связано с большими затруднениями. Физически он представляет собой отношение действительного расхода к теоретическому, т. е. не учитывает все условия движения вязкой жидкости.
Числовые значения коэффициента расхода водослива, полученные
опытным путем, составляют:
• для водослива с тонкой стенкой – 0,4–0,5;
• водослива с широким порогом – 0,3–0,36;
• водослива практического профиля – 0,45–0,49 / 0,48–0,58 (при
вакууме).
127
При сопоставлении опытных данных с литературными можно рекомендовать следующие зависимости:
1. Для незатопленного прямоугольного водослива с тонкой стенкой без бокового сжатия с учетом вертикального сжатия перетекающей струи этот коэффициент определяется по формуле Базена (для
Р = 0,25–0,75 м и Н = 0,05–0,6 м):
0,0027  
H2 

(90)
1
0
,
5
+
m0 =  0,405 +

, H 

(H + P )2 
или по формуле Чугаева для Р ≥ 0,5H и Н ≥ 0,1 м:
m0 = 0,402 + 0,054
или по формуле Ребока
H
,
P
(91)
H 0,0007
(92)
+
.
P
H
Изменение коэффициента расхода водослива происходит при наличии бокового сжатия струи, т. е. когда ширина водослива b меньше
ширины канала В, в котором он установлен,
2
0,003
B − b 
 b   H  . (93)


+
− 0,003
m0c =  0,405 +
1
0
,
5

  
H
B  
 B   H + P1 

Боковое сжатие может быть учтено также введением в основную
формулу расчета расхода коэффициента бокового сжатия ε, который
определяется по формуле Френсиса, приведенной в специальной литературе.
Следующий фактор, влияющий на значение расхода через водослив, – подтопление водослива (рис. 77). Учет угла наклона производится уножением расхода на коэффициент подтопления σ2:
mподтопл = m0σ2. (94)
Если в нижнем бьефе бурный режим, то за водосливом появляется отогнанный прыжок и водослив оказывается неподтопленным,
даже если соблюдается условие hп > 0. Когда русло нижнего бьефа
прямоугольное и b = В, то спокойный режим в нижнем бьефе будет
при условии, если так называемый относительный перепад z/Cн будет менее 0,7–0,75.
Значение σ2 устанавливается по эмпирической зависимости Базена:

h
σ 2 = 1,05 1 + 0,2 n
Cн




3
z
z
H
.
Следующий фактор, влияющий на значение коэффициента расхода через водослив, – угол наклона стенки, который определяет сжа-
m0 = 0,402 + 0,054
Для того чтобы водослив оказался затопленным, необходимо соблюдение двух условий:
• горизонт воды нижнего бьефа должен располагаться выше гребня водослива hп > 0, где hп – высота подтопления водослива, т. е. превышение горизонта воды нижнего бьефа над гребнем водослива;
• в нижнем бьефе – спокойный режим движения воды.
128
(95)
Рис. 77. Подтопленный водослив с тонкой стенкой
H1
α
H2
Рис. 78. Схема водослива к учету влияния угла наклона стенки
129
тие струи на водосливе. По углу наклона (рис. 78) водосливы могут
быть:
а) α < 90° – увеличивающие расход;
б) α > 90° – снижающие расход.
Учет угла наклона производится домножением значения основного коэффициента расхода на коэффициент σ3
mнакл = m0σ3.
Водосливы с тонкой стенкой, треугольной, трапецеидальной (при
заложении боковых граней 1:4) и прямоугольной формой выреза обладают наиболее высокой точностью. Ошибка в определении расхода
по этим формулам не превышает 1–2 %. Поэтому прямоугольные незатопленные водосливы с тонкой стенкой часто используют в лабораторных и полевых условиях как устройства для измерения расходов
воды в лотках, каналах и небольших реках. Их еще называют пропорциональными водосливами или водосливами-водомерами, поскольку
они дают линейную зависимость между напором и расходом воды.
2. Для неподтопленного прямоугольного водослива с широким
порогом. Истечение жидкости через водосливы с широким порогом
при отсутствии затопления характеризуется перепадами свободной
поверхности жидкости и начале, и в конце порога. На самом же пороге устанавливается движение, близкое к параллельноструйному, с
практически одинаковыми скоростями и глубинами переливающегося слоя жидкости.
Движение жидкости на водосливе с широким порогом (рис. 80)
имеет сложный характер и зависит от многих факторов: величины
напора, глубины воды в нижнем бьефе, высоты и ширины порога,
очертания его входного ребра, наличия бокового сжатия и т. п.
Понижение свободной поверхности при входе потока на порог
объясняется уменьшением живого сечения потока за счет порога водослива.
а)
б)
Рис. 79. Измерительные водосливы: а – Томсона, Q = 1,343 · h2,5;
б – Чиполетти, Q = 1,86 b · h3/2
130
С уменьшением живого сечения происходит увеличение скорости в этом сечении, а следовательно, увеличение кинетической энергии. Потенциальная энергия при этом уменьшается, следовательно, свободная поверхность должна понижаться. Поэтому в случае
спокойного движения всегда в местах стеснения потока имеет место снижение его свободной поверхности. Потери напора по длине вдоль порога такие, что ими можно пренебречь, поэтому свободная поверхность потока в пределах водослива горизонтальна и
h1= h2 = h = const , где h – глубина воды на пороге водослива между
сечениями 1–1 и 2–2, которые ограничивают участок плавно изменяющегося потока.
Скорость на пороге можно получить, составив уравнения Бернулли для сечений 1–1 и 2–2:
v = ϕ 2 g (H 0 − h ) = ϕ 2 g (zв )0 , (96)
где (zв)0 – полный верховой перепад, учитывающий скорость под
1
.
хода; φ – коэффициент скорости, ϕ =
1+ ξ
Расход определяется из уравнения:
Vω ==bh
bh ωϕ 2 g (H 0 − h ). QQ==vω
(97)
Для того чтобы найти расход, необходимо знать глубину h, которая при заданном напоре H устанавливается на пороге водослива.
Для определения h и Q в случае водослива с широким порогом
существуют различные способы.
Способ Беланже (принцип максимума расхода). Глубина h на пороге при всех условиях не может быть более H0 и лежит в пределах
0 < h < H0.
1
2
1
2
С
С
С
С
Рис. 80. Неподтопленный прямоугольный водослив с широким порогом
131
Для определения глубины h Беланже предложил пользоваться
следующим постулатом: при заданном напоре H глубина h на пороге
водослива сама собой устанавливается такой, при которой расход из
всех возможных величин получается наибольший.
Этот постулат называют принципом наибольшего расхода, согласно которому
2
h
2
h = H0 ,
=k = .
3
H0
3
Расход определяется по основной расчетной зависимости:
3
QQ==mmb
b 2g H0 2 , 0
(98)
где mm0 = ϕk 1 − k .
Подставив значение k по Беланже, получаем
2
2
(99)
mm0 = ϕ 1 − ≈ 0,385ϕ . 3
3
Способ Бахметева. Для определения глубины h Б. А. Бахметев
воспользовался другим постулатом: на пороге водослива сама собой
устанавливается такая глубина h, которой отвечает минимум удельαv 2
=
+
Э
h
, т. е. критичесной энергии сечения (минимум величины)
2g
кая глубина h = hk.
По Бахметеву: k = hk / H0.
Подставив значение hk = 3
3
Q2
Q = ϕk 1 − k b 2 g H 0 2 ,
и
значение
b2q
2ϕ2
.
1 + 2ϕ2
Расход определяется также по основной расчетной зависимости
3
2,
2
g
H
QQ==mmb
b
0
0
получим k =
но величину коэффициента расхода m0 можно выразить через k, подставив значение φ,
k3
, или k = 3 2m02 .
mm0 =
2
Формула для определения расхода через водослив с широким порогом не имеет принципиальных отличий от аналогичной формулы
132
для незатопленного водослива с тонкой стенкой. Разница – в величине коэффициентов расхода водослива.
Коэффициент расхода у водосливов с широким порогом зависит
от величины напора Н = H0, высоты порога Св и очертания его входного ребра.
По рекомендации А. Р. Березинского значения коэффициента расхода можно определять по формулам:
• при прямоугольном входном ребре
m0 = 0,32 + 0,01 (3 – Св/H) / (0,46 + 0,75Св/H); (100)
• при закругленном входном ребре с r/Св > 0,2:
m0 = 0,36 + 0,01 (3 – Св/H) / (1,2 + 1,5Св/H). (101)
При Св/H > 3 следует пользоваться постоянными значениями коэффициента расхода m0 = 0,32 для прямоугольного и m0 = 0,36 для
закругленного ребра.
Для неплавных очертаний входа и при отсутствии бокового сжатия
коэффициент расхода m0 можно определить по формуле В. В. Смыслова:
M = 0,3 + 0,08 / (1 + р/Н)). (102)
Учет затопления
Опытами установлено, что уровень нижнего бьефа не оказывает влияния на пропускную способность водослива с широким
порогом до тех пор, пока он возвышается над порогом на высоту
h < (0,75–0,85)H0, или в среднем h < 0,8H0. При дальнейшем повышении уровня нижнего бьефа расход через водослив начинает
уменьшаться. Поэтому водослив с широким порогом следует условно считать:
• незатопленным при hп – Св < 0,8H0;
• затопленным при hп– Св > 0,8H0.
В формулу для расхода через затопленный водослив с широким
порогом так же, как и для водослива с тонкой стенкой, вводится дополнительный множитель – коэффициент подтопления σподт.. Значения коэффициента подтопления принимаются в зависимости от отношения (hп – Р) / H0 по гидравлическим справочникам.
133
Учет бокового сжатия
При наличии бокового сжатия (число боковых сжатий может
быть различным) в формулы для расхода через водослив с широким
порогом вводят нe геометрическую ширину водослива b, а так называемую сжатую (эффективную) ширину bс, которую определяют
по зависимости: bс = be, где e – коэффициент бокового сжатия, при
ориентировочных расчетах Н0/b < le = 0,85–0,9.
3. Для водослива практического профиля. С гидравлической точки зрения водосливы практического профиля, по существу, не отличаются от водосливов с тонкой стенкой.
Безвакуумные водосливы практического профиля имеют криволинейные очертания водосливной грани, совпадающие с нижней
поверхностью свободной струи, переливающейся через водослив с
тонкой стенкой. На практике водосливную стенку несколько вдвигают в очертания свободной струи. Каждому значению расчетного
напора будет соответствовать свое очертание водосливной грани.
Расход жидкости в таких водосливах определяется по формуле
(
Условия затопления для водосливов практического профиля те
же, что и для водосливов с тонкой стенкой.
Влияние бокового сжатия учитывается также введением в формулу вместо действительной ширины порога водослива b величины bс,
определяемой формулой:
bc = b − 0 ,1nξH 0 . Коэффициент расхода вакуумного водослива практического
профиля увеличивается с ростом вакуума и достигает значений
m0 = 0,54–0,57, но не следует допускать вакуум на сливной грани
более 0,6–0,7 · 105 Па.
)
3/ 2
2
(103)
b 2 g H + αv0 / 2 g . QQ==mmb
0
Расход практического водослива зависит от его формы порога, бокового сжатия и характера сопряжения струи с нижним бьефом. По
П. Н. Павловскому, общее выражение для коэффициента расхода
m0 = mr σf σн σп σε. (104)
где mr – так называемый приведенный коэффициент расхода (т. е.
коэффициент расхода в случае σfσнσпσε = 1; σf – коэффициент формы, зависящий от формы гребня водослива; σн – коэффициент напора, зависящий от величины напора над порогом водослива; σп – коэффициент затопления, зависящий от характера сопряжения струи
с нижним бьефом; σε – коэффициент, зависящий от cжатия струи.
Для незатопленных водосливов при приближенных расчетах
можно принимать, как среднее, значение коэффициента расхода m =
0,49–0,50. Для подтопленных водосливов вакуумного и безвакуумного профиля значение коэффициента расхода следует умножить на
коэффициент затопления:
h z

.
(105)
σσnп = 1,051 + 0,2 
P H

134
(106)
135
Лекция 19
Фильтрация. Пористость среды, скорость
фильтрации, основной закон фильтрации,
определение коэффициента фильтрации.
Частные случаи
Водопроницаемые грунты состоят из частиц, между которыми имеются поры. Движение воды через поры грунта называется
фильтрацией. Фильтрационные свойства грунта зависят от его пористости, которая характеризуется коэффициентом пористости m:
m = Vп / V, где Vп – объем пор, V – объем грунта.
Грунт называется однородным, если фильтрационные свойства
его одинаковы в любой точке объема. Движение грунтовых вод является случаем движения жидкостей в пористой среде под действием
силы тяжести.
Для того чтобы говорить о законах фильтрации, необходимо
вспомнить, в каком виде и в каком состоянии вода может находиться в земле. В зависимости от состояния выделяют следующие виды
воды, находящейся в грунтах:
• парообразная вода;
• прочносвязанная (адсорбированная, гигроскопическая) вода,
обволакивающая частички грунта;
• рыхлосвязанная (пленочная) вода, удерживается молекулярными силами в частичках грунта;
• свободная вода – капиллярная и гравитационная. Капиллярная вода удерживается в порах капиллярными силами, перемещается за счет разности капиллярных давлений. Гравитационная
вода перемещается под действием силы тяжести (разности напоров);
• вода в твердом состоянии (лед);
• кристаллизационная вода – участвует в построении кристаллической решетки минералов.
136
По условиям залегания можно выделить следующие подземные
воды:
• почвенные воды, находящиеся в почвенном слое;
• верховодка, которая образуется над местным водоупором весной или за счет техногенной утечки воды;
• грунтовые безнапорные воды на первом от поверхности водоупоре (рис. 81);
• межпластовые (ненапорные и напорные-артезианские) воды
(рис. 82).
Грунтовые воды образуются за счет выпадения осадков на площадь А и Б, фильтрации из поверхностных источников. Вода, попадая в водопроницаемый грунт, фильтруется, пока не достигнет
водонепроницаемого слоя грунта – водоупора. Достигнув водоупора, вода движется по его поверхности, образуя поток безнапорных
грунтовых вод. Водоупор выполняет роль русла. Поток безнапорных
вод, является, как правило, неравномерным, обладает свободной поверхностью, давление в каждой точке которой равно атмосферному.
Рис. 81. Виды безнапорных вод
Рис. 82. Межпластовые воды
137
138
hω
p1
γ
p2
γ
2
dω
1
L
S
2
z2
z1
Кривая свободной поверхности при неравномерном режиме движения носит название кривой депрессии. Напорные потоки образуются при движении воды между двумя водоупорными пластами. Если
вскрыть верхний водоупор скважиной, вода поднимется на некоторую отметку, соответствующую напору.
Если гидравлические характеристики (параметры) потока зависят от координат и времени, то грунтовой поток называется неустановившимся: p = f(x, y, z, t); v = f(x, y, z, t). Если параметры потока
зависят только от координат, то поток называется установившимся. При равномерном движении грунтовых вод уклон свободной
поверхности равен уклону подстилающего водонепроницаемого
слоя i. При неравномерном движении это условие не выполняется,
т. е. J ≠ i.
Таким образом, движение грунтовых вод может быть напорным
и безнапорным, установившимся и неустановившимся, плавно изменяющимся и резко изменяющимся, равномерным и неравномерным,
ламинарным (например, в песках и водопроницаемых глинах) и турбулентным (в галечниках, трещиноватых скальных породах).
Рассмотрим безнапорное установившееся плавно изменяющееся
равномерное движение.
Поток грунтовых вод в порах грунта называется фильтрационным
потоком. Как всякий поток, он характеризуется фильтрационным расходом Q – это количество воды, проходящее через поперечное сечение грунтового потока в единицу времени. За поперечное сечение ω
принимается вся геометрическая площадь потока независимо от
того, какую часть этой площади занимают поры.
Скоростью потока фильтрации v называют отношение расхода
к полной площади поперечного сечения потока: v = Q/ω.
Истинная скорость движения воды в порах грунта vист будет больше, чем скорость фильтрации v. При расчете фильтрационных потоков главной задачей является определение скорости v и расхода Q.
Начало развития теории фильтрации принадлежит Анри Дарси
(1803–1858). Своими экспериментами по фильтрации на образце песка, помещенном в цилиндр (рис. 83), он установил закон движения
воды в песке (закон сопротивления при фильтрации), который был
сформулирован следующим образом: «Для песка одного и того же
качества можно допустить, что пропускаемый им расход пропорционален напору и обратно пропорционален толщине фильтрующего
слоя».
Рис. 83. Схема ламинарного движения грунтовой воды
Математически этот закон выглядит следующим образом:
hω
,
(107)
l
где kф – коэффициент пропорциональности; ω – живое сечение цилиндра; hω – потери напора.
Потери напора hω для сечений 1–1 и 2–2 установившегося грунтового безнапорного потока из-за малой скорости напора (v2/2g ≈ 0)
Q = kф ω

P  
P 
можно выразить в виде: hω =  z1 + 1  −  z 2 + 2  .
ρg 
ρg  

Отношение потерь напора к длине участка есть гидравлический
уклон. Средний гидравлический уклон на небольшой длине фильтрующего потока можно определять по выражению

P  
P 
 z1 + 1  −  z 2 + 2 
ρg 
ρg  
h
J= ω =
.
(108)
l
∆l
Основной закон фильтрации, или закон фильтрации Дарси, можно сформулировать следующим образом: расход фильтрационного
потока пропорционален площади поперечного сечения ω и гидравлическому уклону J. При равномерном движении грунтовых вод, как
139
было показано ранее, напорная и пьезометрические линии совпадают, поэтому J = Jp = i:
Q = kωJ = kωi. (109)
Скорость фильтрующего потока пропорциональна гидравлическому уклону в первой степени и определяется по формуле
v = Q /ω = kJ = ki, (110)
где k (см/с или м/с) – коэффициент фильтрации, зависящий от строения фильтрующего слоя, пористости грунта и крупности частиц
грунта. k численно равен скорости при уклоне, равном единице:
v = kJ при J = 1; k = v.
Эпюра скоростей грунтового потока по живому сечению при равномерном движении будет иметь вид прямоугольника, причем средняя и местная скорости в любой точке живого сечения будут равны.
Существует три метода для определения значения k:
1. Лабораторный: k определяется в лаборатории на приборе Дарси.
2. Расчетный: k определяется по эмпирическим зависимостям в
зависимости от гранулометрического состава грунта.
3. Полевой метод: определяется на месте путем бурения ряда
скважин и опытных откачек с контролем над понижением уровня.
При использовании лабораторного метода пользуются прибором (рис. 84), который представляет собой стеклянный цилиндр. В
верхней части цилиндра имеется переливная трубка. Измеряя расход
h1–h2
Q
F
h1
L
и потери напора, определяют коэффициент фильтрации. Расход, проходящий через испытуемый грунт, определяется по формуле
Ql
,
ω(h1 − h2 )
где h1, h2 – показания пьезометров.
hω
h1 − h2
.
Отсюда: Q = kωJ = kω = kω
l
l
Такой способ позволяет определить только приближенное значение коэффициента фильтрации грунта в его естественном залегании.
В естественных условиях можно получить достоверное значение
коэффициента фильтрации путем бурения двух скважин на расстоянии L друг от друга в направлении движения грунтовых вод (рис. 85).
В скважину I вводят солевой раствор или другой индикатор (изотопы). В скважине II с помощью специального прибора определяют появление индикатора. Зная расстояние L между скважинами и
время движения индикатора, определяют истинную скорость потока
фильтрации:
vист = L / t.
k=
Скорость фильтрации определяется из выражения
v = vист · ωпор / ω,
где ωпор – часть площади потока, занимаемая площадью пор; ω – вся
площадь грунтового потока.
V= L/t
L1
h2
I
L2
II
L
Рис. 84. Лабораторный прибор Дарси для определения коэффициента фильтрации
140
Рис. 85. Получение значения коэффициента фильтрации
путем бурения двух скважин
141
Отношение ωпор/ω называется коэффициентом пористости m, тогда v = m · vист.
Средний гидравлический уклон на этом участке J = hω/L . Из уравнения Дарси находится коэффициент фильтрации
U U ист ml
L2 m
,
=
=
J
hω
t (∇1 − ∇ 2 )
где 1 и 2 – отметки между скважинами.
Наряду с двумя практическими методами используется большое
количество расчетных зависимостей для определения k формула
Хазена, Замарина и т. д., приведенные в гидравлических справочниках.
Формулы Дарси можно применять только при расчете ламинарного потока фильтрации. Для полученных формул Дарси существует
верхний и нижний предел их применимости. Формулы Дарси (107)
неприемлемы:
• в случае, когда фильтрационный поток имеет значительную
скорость и движение грунтовых вод будет турбулентным, т. е. если
скорость фильтрации превышает критическое значение, см/с:
vкр = (0,03 – 0,18) / d ,
k=
где d – диаметр частиц грунта;
• когда скорости фильтрации настолько малы, что решающей силой будет не сила тяжести, а молекулярное взаимодействие частиц
жидкости с частицами грунта. Нижний предел применимости формулы Дарси соответствует условию, когда начинает преобладать
действие межмолекулярных сил.
Граница перехода от ламинарного к турбулентному режиму фильтрации определяется критическим значением числа Рейнольдса,
численно равным 2780.
Из данных рис. 83 и уравнения Бернулли можно записать
При откачке воды из водоносного горизонта образуется воронка
свободной поверхности жидкости, называемая депрессионной воронкой.
При откачке воды из водоносного пласта наблюдается снижение
уровня грунтовых вод, которое на некотором расстоянии от места откачки перестает быть заметно. Это расстояние называется радиусом
действия.
Толщина водоносного горизонта носит название мощности водоносного горизонта. Все выработки – траншеи, каналы, котлованы и колодцы и т. д. – разделяют на совершенные и несовершенные
(рис. 86).
Рассмотрим некоторые методики расчета притока грунтовой воды
в выработки.
Двухсторонний приток воды в траншею совершенного типа
(рис. 87) можно определить по формуле
Q = lkф(H2 – h2)/R, где l – длина траншеи, м; kф – коэффициент фильтрации, м/сут;
Н – мощность водоносного слоя, м; h – глубина воды в траншее, м;
R – радиус влияния, м.
Если значение R неизвестно, то формула преобразуется
Q = lkф(H2 – h2) / R = lkф(H + h) · (H – h) / R = lkф(H + h)I0, 142
(112)
где (H – h) / 2 = I0 – средний уклон депрессионной кривой, принимаемый по данным справочников. Некоторые значения I0 представлены
в табл. 12.
а) б) в)
Z1 = Z2 + hω , или Z2 = Z1 – hω,
т. е. в каждом последующем сечении отметка свободной поверхности ниже отметки в предыдущем сечении на величину потерь. Поэтому безнапорное движение сопровождается понижением уровня
свободной поверхности жидкости. Очертание этой понижающейся свободной поверхности называется кривой депрессии (кривая
L1 – L2).
(111)
Рис. 86. Схемы совершенной (а) и несовершенной (б, в) выработок
143
h
hg
S
r
F
HD
H
ГГВ
Рис. 88. Схема к расчету притока воды в траншею или канал
Рис. 87. Схема притока грунтовых вод в траншею
Таблица 12
Средние значения уклона
депрессионной кривой
0,003–0,006
Грунты
Пески наиболее проницаемые (чистые)
Пески пылеватые
0,006–0,02
Суглинки
0,05–0,1
Глины
0,1–0,15
Глины тяжелые
0,15–0,2
Приток воды к грунтовому колодцу совершенного типа определяют по формуле
(H + h )(H − h )
H 2 − h2
= 1,366 · kф
=
Q = 1,366 · kф ·
R
R
lg
lg
r
r
(2 H − S ) S
.
(113)
= 1,366 · kф
R
lg
r
Приток воды к котловану совершенного типа
Расчет выполняют по методу «большого колодца», под которым
понимается единственная скважина с большим радиусом действия,
эквивалентная всей системе, т. е. имеющая тот же суммарный дебит
144
и дающая те же понижения во всей области влияния. Схема к расчету представлена на рис. 88.
В безнапорном водоносном горизонте расчет ведется по формуле
K H2
,
Q = 1,37 ф
R
lg
r0
где r0 – приведенный радиус котлована, равный радиусу круга, равновеликого по площади с котлованом.
F
,
r0 =
π
где F – площадь котлована.
При напорных (артезианских) водах, когда котлован доходит до
водонепроницаемого слоя,
K ф MS
,
(114)
Q = 2,73 ·
lg(R + rо ) − lgr
где M – мощность толщи, заключающей напорные подземные воды, м.
Для несовершенных котлованов расчет притока воды определяют
по формуле для подсчета притока воды к пластовому дренажу в безнапорном водоносном пласте



 S
ηr0
 , (115)
+
Q = lKфS 
r0 
R 
 2,3 lg R
1,57 + 1 + 1,18 lg


r0
T
4T  

где Т – расстояние от основания дренажа до водоупора. Значение
r0 вычисляют по рекомендациям справочной литературы (например,
формуле Н. K. Гиринского).
145
Рекомендуемая литература
Основная литература
1. Лапшев Н. Н. Гидравлика / Н. Н. Лапшев. – М.: Академия, 2008.
2. Чугаев Р. Р. Гидравлика / Р. Р. Чугаев. – Л.: Энергия, 1982.
3. Штеренлихт А. Б. Гидравлика: учебник / А. Б. Штеренлихт. – М.:
Колосс, 2005.
4. Альтшуль А. Д. Гидравлика и аэродинамика / А. Д. Альтшуль,
П. Г. Киселев. – М.: Стройиздат, 1975.
5. Комов В. А. Гидравлика / В. А. Комов. – Л.; М.: Изд-во сельскохозяйственной литературы, 1960.
Дополнительная литература
1. Константинов Ю. М. Гидравлика / Ю. М. Константинов. – Киев:
Вища школа, 1981.
2. Примеры гидравлических расчетов / под ред. Н. М. Константинова. –
3-е изд. – М.: Транспорт, 1987.
3. Юшкин В. В. Гидравлика и гидравлические машины / В. В. Юшкин. –
Минск: Вышейшая школа, 1974.
4. Елманова В. И. Примеры гидравлических расчетов / В. И. Елманова,
В. Т. Кадыков. – М.: ВЗИИТ, 1988.
5. Большаков В. А., Сборник задач по гидравлике / В. А. Большаков
и др. – Киев: Вища школа, 1979.
6. Железняков Г. В. Гидравлика и гидрология / Г. В. Железняков. – М.:
Транспорт, 1989.
7. Михайлов К. А. Гидравлика / К. А. Михайлов. – М.: Стройиздат, 1972.
8. Угинчус А. А. Гидравлика / А. А. Угинчус, Е. А. Чугаева. – М.: Стройиздат, 1971.
9. Пашков Н. Н., Гидравлика, основы гидрологии / Н. Н. Пашков,
Ф. М. Долгачев. – М.: Энергоиздат, 1993.
10. Альтшуль А. Д. Гидравлика и аэродинамика / А. Д. Альтшуль. – М.:
Стройиздат, 1987.
11. Механика жидкости и газа: учеб. пособие для вузов / под ред.
В. С. Швыдкого. – ИКЦ «Академкнига», 2003.
146
12. Калицун В. И. Основы гидравлики и аэродинамики / В. И. Калицун,
Е. В. Дроздов. – М.: Стройиздат, 2002.
13. Брюханов О. Н. Основы гидравлики, теплотехники и аэродинамики /
О. Н. Брюханов, В. И. Коробко. – М.: Инфра-М, 2004.
14. Примеры расчетов по гидравлике / под ред. А. Д. Альтшуля. – М.:
Стройиздат, 1976.
15. Башта Т. М. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: учебник /
Т. М. Башта и др. – 2-е изд., перераб. – М.: Машиностроение, 1982.
16. Богомолов А. И. Гидравлика: учебник / А. И. Богомолов, К. А. Михайлов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Стройиздат, 1972.
17. Задачник по гидравлике / под ред. И. И. Куколевского. – М.; Л.: Государственное энергетическое издательство, 1956.
18. Кочин Н. Е. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1 / Н. Е. Кочин,
И. А. Кибель, Н. В. Розе. – 6-е изд., перераб и доп. – М.: Гос. изд-во физикоматематической литературы, 1963.
19. Некрасов Б. Б. Задачник по гидравлике, гидромашинам и гидроприводу: учеб. пособие / Б. Б. Некрасов, И. В. Фатеев, Ю. А. Беленков и др.; под
ред. Б. Б. Некрасова. – М.: Высшая школа, 1989.
20. Копырин М. А. Гидравлика и гидравлические машины / М. А. Копырин. – М.: Высшая школа, 1961.
21. Гидравлика: учебник / Н. Н. Кременецкий, Д. В. Штеренлихт, В. М.
Алышев и др. – М.: Энергия, 1973.
22. Рабинович Е. З. Гидравлика / Е. З. Рабинович. – 2-е изд., испр. – М.,
1957.
23. Рабинович Е. З. Гидравлика / Е. З. Рабинович. – 3-е изд., испр. и перераб. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. л., 1961.
24. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам; под. ред. Б. Б. Некрасова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск: Высшая
школа, 1985.
25. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям /
И. Е. Идельчик. – 3-е изд., перераб. – М., 1992.
26. Осипов П. Е. Гидравлика, гидравлические машины и и гидропривод:
учеб. пособие / П. Е. Осипов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Лесная промышленность, 1981.
27. Угинчус А. А. Гидравлика и гидравлические машины / А. А. Унинчус. –
М.; Л.: Государственное энергетическое издательство, 1953. – 359 с.
28. Сборник задач по машиностроительной гидравлике: учеб. пособие /
под ред. И. И. Куколевского и Л. Г. Подвидза. – 4-е изд., перераб. – М.: Машиностроение, 1981.
29. Примеры гидравлических расчетов: учеб. пособие / под ред. А. И. Богомолова. – 2-е изд., перераб. – М.: Транспорт, 1977.
147
Оглавление
Лекция 1. Гидравлика. Исторические этапы развития науки......................... 3
Лекция 2. Жидкость. Основные виды и свойства (плотность, вязкость, коэффициенты температурного расширения и объемного
сжатия). Понятие идеальной жидкости....................................................... 5
Лекция 3. Силы, действующие на жидкость. Гидростатика. Гидростатическое давление и его свойства. Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля............................................................................... 13
Лекция 4. Давление абсолютное и избыточное. Вакуум. Пьезометрическая высота и гидростатический напор........................................... 20
Лекция 5. Эпюры гидростатического давления. Определение силы
давления на плоскую и криволинейную поверхности. Центры
давления....................................................................................................... 27
Лекция 6. Закон Архимеда (равновесие твердого тела в жидкости).
Основные условия плавания тел................................................................ 34
Лекция 7. Гидродинамика. Виды движения жидкости................................. 38
Лекция 8. Основные элементы потока. Уравнение неразрывности
для капельных и упругих жидкостей......................................................... 42
Лекция 9. Уравнение Бернулли. Смысл членов уравнения. Пьезометрическая и напорная линии, гидравлический уклон.............................. 46
Лекция 10. Гидравлические сопротивления. Основное уравнение
равномерного движения. Два режима движения жидкости. Число
Рейнольдса................................................................................................... 50
Лекция 11. Ламинарный и турбулентный режимы движения в круглой трубе...................................................................................................... 56
Лекция 12. Определение потерь напора по длине и местных гидравлических сопротивлений. Расчетные зависимости, коэффициенты. Классификация гидравлических систем............................................. 64
Лекция 13. Истечение жидкости через отверстия. Сжатие струи
и его виды, основные коэффициенты и расчетные зависимости........... 74
Лекция 14. Истечение жидкости через насадки. Виды, условия применения, особенности истечения, вакуум................................................. 84
Лекция 15. Классификация трубопроводов. Расчетные зависимости.
Основные задачи по расчету простых и сложных трубопроводов......... 89
148
Лекция 16. Гидравлический удар. Виды, расчетные зависимости,
способы ослабления.................................................................................. 107
Лекция 17. Движение жидкости в открытых руслах. Основные понятия, параметры каналов, основные расчетные зависимости, наивыгоднейшее сечение, скорости движения жидкостей, примеры
расчетов...................................................................................................... 113
Лекция 18. Водосливы. Основные элементы, виды, расчетные зависимости. Измерительные водосливы................................................... 122
Лекция 19. Фильтрация. Пористость среды, скорость фильтрации,
основной закон фильтрации, определение коэффициента фильтрации. Частные случаи............................................................................ 135
Рекомендуемая литература............................................................................ 145
149
Для записей
Учебное издание
Иваненко Ирина Ивановна
Гидравлика
Учебное пособие
Редактор В. А. Преснова
Корректор М. А. Молчанова
Компьютерная верстка Н. И. Печуконис
Подписано к печати 27.12.12. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 8,8. Тираж 150 экз. Заказ 229. «С» 137.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
150
151
Для записей
152
153
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
3 644 Кб
Теги
ivanenko, gidravlike
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа