close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Bondarenko Analogo-diskretnye i zifrov

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
А. В. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, А. А. ЛЕБЕДЕВА
АНАЛОГО-ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ
ЦЕПИ И СИСТЕМЫ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2011
1
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
УДК 621.3.011.7:372.8
ББК 31.211
ВВЕДЕНИЕ
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор М. А. Шакиров (СПбГТУ);
д-р техн. наук, профессор С. Ф. Свиньин (СПИИРАН).
Бондаренко, А. В.
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы: учеб. пособие /
А. В. Бондаренко, В. В. Бондаренко, А. А. Лебедева; СПбГАСУ. – СПб.,
2011. – 133 с.
ISBN 978-5-9227-0317-8
Рассмотрены вопросы дискретизации непрерывных сигналов, теоремы
Z-преобразования, модифицированное преобразование Лапласа и Z-преобразования, а также методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей. Приведены многочисленные примеры, позволяющие глубже вникнуть в суть рассмотренного материала, идей и методов быстро развивающейся области электротехники и электроники.
Предназначено для студентов всех специальностей.
Табл. 6. Ил. 109. Библиогр.: 17 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0317-8
 А. В. Бондаренко, В. В. Бондаренко,
А. А. Лебедева, 2011
 Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2011
2
Данная работа является продолжением и дополнением учебного
пособия [3]. Здесь представлены последние исследования в области
реализации многополюсных систем с дискретными элементами, а также раздел, содержащий логические подсистемы, входящие в общую
концепцию синтеза гибридных систем.
Еще пару десятилетий назад можно было констатировать, что,
наряду с преобладающим значением аналоговой техники, где все электромагнитные процессы считаются непрерывными во времени, всё
более весомое влияние приобретают так называемые дискретные системы, частным случаем которых являются дискретные цепи. В данных цепях и устройствах могут сосуществовать одновременно как аналоговые, так и дискретные (т. е. существующие в определенных временных интервалах и уровнях) сигналы. Следует отметить, что
приведенное понятие «дискретности» охватывает довольно широкий
класс сигналов и цепей, где различают «импульсные» цепи (дискретизация осуществляется во времени) и «релейные» системы, где дискретизирован уровень сигналов. Но поскольку в любом из рассматриваемых случаев присутствуют, как правило, и чисто аналоговые цепи (системы), мы будем в дальнейшем их называть аналого-дискретными.
Весьма широкое распространение приобретает и такой класс этих цепей, где имеются только дискретные системы, в которых осуществляется квантование как по времени, так и по уровню сигналов (аналоговой частью пренебрегают). Последнее определим как класс цифровых
цепей или систем. Цифровые и аналоговые цепи в совокупности образуют гибридные системы.
Причины широкого развития, исследования и применения (а следовательно, и необходимости их изучения) методов, приемов и способов анализа, диагностики, проектирования и синтеза таких систем вызваны целым рядом их привлекательных сторон: точностью и стабильностью требуемых характеристик и параметров, способностью
к относительно несложной процедуре их перестройки, возможностью
микроминиатюризации аппаратуры в целом, легкостью сопряжения
3
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Введение
с устройствами современной вычислительной техники, надежностью,
устойчивостью к внешним дестабилизирующим факторам и др.
Столь мощные критерии позитивности цифровых цепей, казалось
бы, могли привести к однозначному выводу об «устарелости» аналоговых систем, их исторической завершенности и необходимости их
повсеместной замены. Однако, как это часто случается в истории развития научных и прикладных идей, философии, естествознании, – спиралеобразное развитие приводит к возврату известных идей, положений, подходов, но на новом уровне. Нечто подобное случилось и с аналоговыми системами. Оказалось, что в силу ряда привлекательных
сторон такие устройства успешно используются в настоящее время
в совокупности с цифровыми системами, образуя так называемые гибридные комплексы: часть обработки сигналов производится аналоговой системой, а другая часть – цифровой. Аналоговые компоненты занимают всё более весомое место при проектировании гибридных устройств, среди которых можно отметить аналоговые интерфейсы,
высококачественные усилители, преобразователи данных, аудио-,
видеоподсистемы и т. п.
Более того, при информационной обработке сигналов сложных
систем с нелинейными и параметрическими элементами, особенно
в реальном масштабе времени, даже современным компьютерным комплексам не всегда хватает объема памяти, скорости и других качеств,
которыми обладают аналоговые блоки. Для решения таких проблем
и используются гибридные комплексы.
К сожалению, систематизированные сведения по таким цепям еще
не нашли доступного методического изложения и зачастую распылены по многочисленным научным статьям, специальным курсам и исследованиям частного вида [1–3]. При этом отражены далеко не все
актуальные вопросы в немногих ориентированных на студентов книгах [4–6]. Тем не менее в настоящее время определились некоторые
общие подходы к анализу, проектированию и синтезу таких цепей, применяемых в различных научно-технических областях: системах аудиои видеотехники, связи, приборостроении, автоматике, вычислительной
технике и т. д.
В силу представленных обстоятельств при изучении курсов ТОЭ,
ТЭЦ, ОТЦ и общей электротехники учащиеся должны быть ознакомлены с постановкой и решением некоторых типичных проблем в дан-
ной области теоретической и прикладной электро- и радиотехники,
а также систем автоматики.
Целью и предметом настоящей работы является рассмотрение ряда
основных исходных теоретических положений дискретных, цифровых
и гибридных систем. Материал насыщен многочисленными иллюстративными примерами, как правило взаимосвязанными. Он может быть
полезен студентам, аспирантам, инженерам, преподавателям и всем
интересующимся затронутыми проблемами.
4
5
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление
x(t )
∗
xτ (t ) ≅ x τ (t )
Глава 1. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Рис. 1.2
1.1. Дискретизация непрерывных сигналов
Рассмотрим процессы, протекающие в определенные интервалы
времени t (дискретизация произвольных аналоговых сигналов тока,
напряжения, заряда и т. д.) в так называемой дискретной системе или
цепи. Для определенности положим, что входной сигнал x(t) существует
при t ≥ 0 (рис. 1.1, а) и проходит на выход исследуемой цепи только
в некоторые интервалы времени длительностью τ 0 , отстоящие друг
от друга на фиксированный промежуток времени Т (интервал дискретизации, рис. 1.1, б).
а)
б)
∗
x τ (t )
x(t )
Заметим, что в (1.1) принято приближенное равенство: сигнал
в течение промежутка времени τ 0 считается неизменным и равным
x( kt ) = x k в отличие от рис. 1.1, б. Это так называемый интерполятор
нулевого порядка. В дальнейшем это допущение может быть снято
и можно использовать линейное, квадратичное и иное изменение сигнала в интервале τ 0 , т. е. применять так называемые интерполяторы
первого, второго и высших порядков. Об их свойствах и способах ком∗
пенсации искажения сигнала будет сказано ниже. Назовем x τ (t ) в (1.1)
дискретизированным сигналом.
Введем в формулу (1.1) единичные ступенчатые функции (функции О. Хевисайда) с учетом запаздывания τ0 , тогда
∗
x τ (t ) ≅
∞
∗
∑ [δ1 ⋅ (t − kt ) − δ1 ⋅ (t − kt − τ0 )]⋅ x(kt ) ≅ x(t ) δ1 (t ) .
(1.2)
k =0
∗
В выражении (1.2) можно считать, что δ1 (t ) является некоторой
3T + τ0
0
t
0 τ0
T
Рис. 1.1
2T 3T
несущей, промодулированной сигналом x(t ) , причем
t
∗
k =0
T + τ0
Обозначим полученный сигнал через xτ(t). Можно предположить, что
такая форма сигнала является приближенным отражением характеристик
некоторого ключа (рис. 1.2) при Т >> τ 0 со следующими свойствами:
 x(t ) ≈ x(kT ) = xk , kT ≤ t < kT + τ0 ;
x τ (t ) = 
kT + τ0 ≤ t < (k + 1)T ;
0,
∞
δ1 (t ) ≅ ∑ [δ1 ⋅ (t − kt ) − δ1 ⋅ (t − kt − τ 0 )] .
∗
(1.1)
При дальнейшем рассмотрении (1.2) и (1.3) введем понятие импульса единичной интенсивности (т. е. длительностью τ0 и высотой
1/ τ0 ) при его площади, равной единице (рис. 1.3), причем
 1 / τ0 , 0 ≤ t < τ 0 ;
d (t , τ0 ) = 
0, t < 0 и t ≥ τ0 .
k = 0, 1, 2, ...
6
(1.3)
7
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление
На основании (1.3) получим
∞
∗
δ1 (t ) = τ0 ∑ d (t − kT , τ0 ) ,
(1.4)
k =0
а выражение (1.2) примет следующий вид:
∗
∞
∗
x τ (t ) = x(t ) δ1 (t ) = τ0 ∑ d (t − kT , τ0 ) .
(1.5)
k =0
d (t , τ0 )
1
τ0
0
t
τ0
Рис. 1.3
Естественно предположить, что
для воспроизведения «почти всех» необходимых частот в спектре некоторого сигнала x(t) интервалы Т и τ0 выбираются с таким расчетом, чтобы они
были значительно меньшими, чем минимальная постоянная времени анализируемой цепи. В предельном случае
дело сводится к аналоговой системе.
Дальнейшая идеализация (1.5)
приводит к следующей математической модели процесса дискретизации:
∞
∗

∗
x(t ) = lim  x τ (t ) / τ0  = x(t ) lim ∑ d (t − kT , τ0 ) =
τ0 →0
τ0 →0 k = 0

∞
= x(t ) ∑ δ 0 (t − kT ),
(1.6)
k =0
где δ 0 (t ) – импульс Дирака, обладающий следующими свойствами:
 0, t ≠ kT ;
δ0 (t − kT ) = 
∞, t = kT .
Видно, что из (1.4) несложно получить
∗
∞
∞
k =0
k =0
δ1 (t ) = τ 0 ∑ d (t − kT , τ 0 ) → ∑ δ 0 (t − kT ) ,
ный на рис. 1.4, где площади импульсов Дирака соответствуют дискретам входного сигнала x(kT ) = xk (вторая запись используется
для краткости). Заметим также, что для дальнейших упрощений возможная дискретизация
сигнала по величине на первом этапе учитываться не будет.
С учетом свойств δ0 (t ) функцию (1.6)
можно представить в виде
∗
x(t ) =
∞
∑ x(kT ) δ0 (t − kT ).
(1.8)
k =0
∗
x(t )
0
T
2T
3T t
Рис. 1.4
Следует сделать еще одну оговорку: в случае кусочно-дискретных функций при x(kT + 0 ) ≠ x(kT − 0 ) в (1.8) будет учитываться пра-
вая величина, x(kT + 0) .
Пример 1.1. Покажем дискретные сигналы для единичной ступенчатой функции (рис. 1.5, а):
1, k ≥ 0;
δ1 (kT ) = 
0, k < 0;
импульса Дирака (рис. 1.5, б):
1, k = 0;
δ 0 (kT ) = 
0, k ≠ 0
и произвольной функции (рис. 1.5, в):
f (kT ) = −3δ0 (0) + 2δ0 [(k − 1)T ] − δ 0 [(k − 2)T ] + δ 0 [(k − 5)T ].
Дискретная система (цепь) определяет правило (алгоритм), по
которому входной последовательности xk соответствует определенная
выходная последовательность yk согласно формуле
τ 0 → 0 . На основании (1.6) дискретизированный сигнал x(t ) , показан-
(1.9)
yk = L{xk }.
Соотношению (1.9) отвечает рис. 1.6. Полезно заметить, что важными частными случаями системы (рис. 1.6) являются элемент задержки yk = xk −1 и умножитель (масштабный элемент) y k = αx k ,
8
9
(1.7)
где стрелка указывает на использованный предельный переход при
∗
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление
где α – коэффициент усиления (ослабления) сигнала. Данные системы
изображены на рис. 1.7, а и б соответственно.
а)
а)
б)
δ1 (kT )
Z −1
xk
yk = xk −1
δ0 (kT )
1
k
0
k
k
k
0
0
0
б)
в)
f (kT )
α
yk = α xk (α > 0)
xk
2
1
0
k
–1
0
–2
–3
Выполним прямое преобразование Лапласа для соотношения (1.8)
с использованием теоремы запаздывания во временной области:
L{}
⋅
yk = L{xk }
Рис. 1.6
k
0
Рис. 1.7
Рис. 1.5
xk
k
∞
∗  ∗
L  x(t ) = X (s ) = ∑ x(kT ) e − ksT ; s = σ + jω,
(1.10)
k =0
 
которое в дальнейшем будем называть дискретным преобразованием
∗
∗
Лапласа (изображением) дискретного сигнала x(t ) ÷ X (s ) . Если обозначить комплексную экспоненту через z, т. е. z = e sT (вводим новую
10
11
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
комплексную переменную z), то s =
(ln z ) ,
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление
что дает нам известноее
T
в математике одностороннее Z-преобразование:
∗
∗ 
Z  x(t ) = X ( z ) = X (s )
 
1
s = ln z
T
=
∞
∑ x(kT ) z − k .
k =0
(1.11)
Из (1.8) и (1.11) несложно установить, что в результате рассмотренных выше идеализаций процесса дискретизации сигнала получим
следующую пару прямого и обратного (инверсного) Z-преобразований:
X (z ) =
∗
x(t ) =
∞
∑ x(kT )z
k =0
−k
∗ 
= Z  x(t );
 
∞
∑ x(kT ) δ0 (t − kT ) = Z −1{X (z )},
а) система yk = xk является нелинейной, но стационарной;
б) система yk = kxk – линейная и нестационарная: если, например,
(1.12)
k =0
причем, как это является справедливым и в случае преобразований
Лапласа, условиями существования (1.12) являются
x(kt ) ≤ M ⋅ e αnT , n > n0 > 0, M > 0, α > 0 ,
где n – некоторые вещественные коэффициенты. Соотношения (1.12)
лежат в основе анализа дискретных процессов в цепях.
1.2. Некоторые свойства систем и теоремы
Z-преобразования
1. Свойство линейности Z-преобразования, включающее две
аксиомы – однородности и аддитивности:
 ∗ 
∗ 
Z c x(t ) = cZ  x(t ) = cX ( z );


 
∗
∗


Z  x1 (t ) + x2 (t ) = X 1 ( z ) + X 2 ( z );


т. е. реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из
воздействий в отдельности.
2. Времянезависимая (стационарная) система (цепь) определяется
уравнением
L{x k −n } = y k −n
для любого n, т. е. сдвиг входного воздействия вызывает аналогичный
сдвиг реакций цепи.
Пример 1.2
1. Дадим определения некоторых свойств дискретных цепей:
yk − n = kxk − n – налицо нестационарная, в то время как стационарность
отвечает описанию yk − n = (k − n )xk − n ;
в) система y = 3xk + 5 xk −1 – линейная и времянезависимая, реализация которой на основании уже рассмотренных частных случаев представлена на рис. 1.8.
Если на входе действует импульс Дирака, то реакция цепи при
нулевых начальных условиях называется импульсной характеристикой.
Так, импульсной характеристикой системы (рис. 1.8) является
hk = 3δ 0 k + 5δ 0( k −1) при xk = δ 0 k . Если hk = 0 при k < 0, то
о система яв-
ляется каузальной (причинно-обусловленной). Поскольку выход зависит только от входного сигнала, система является нерекурсивной.
В противном случае она будет рекурсивной. Например, для случая
yk = 3xk + 5 yk −1 реализация последней дана на рис. 1.9.
xk
z–1
(1.13)
3
5
где с – некоторый коэффициент.
Система является линейной, если с учетом (1.9) и (1.13)
{
}
{ }
L cxk1 + cxk 2 = c1L xk1 + c2 L{cxk 2 },
12
Рис. 1.8
13
yk = 3 xk + 5 yk −1
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление
в) Коммутация начинается при t = 0 и сдвиге функции по оси времени влево, т. е. при m = k + n, k = m – n:
yk
xk
3
5
z
Z {δ1 (t )x(t + nT )} =
–1
=
Рис. 1.9
2. Рассмотрим возможные случаи смещения во временной области: следует различать три частных случая начала коммутации для функции x(t − nT ) :
а) Коммутация начинается при t = 0, тогда согласно (1.11)
Z {x(t − nT )δ1 (t )} =
∞
∑ x(kT − nT )z − k .
k =0
Для удобства дальнейшего рассмотрения введем новую переменную m = k – n, причем k = m + n, тогда
∞
∑ x(mT )z −(m + n ) = x(− nT )z 0 + x[(− n + 1)T ]z −1 +
+ x[(− n + 2 )T ]z − 2 + ... + x(0 )z − n + x(T )z − (n +1) +
n
(1.14)
∞
∑ x(mT )z − m +
m =0
n
+ z − n ∑ x(− pT )z p = z − n X(z) + z − n ∑ x(− pT )z p .
p =1
k =0
∞
k =0
14
m =n
−k
k ≥n
(1.16)
Заметим, что из рассмотренных трех случаев ((1.14)–(1.16)) коммутации ответ не содержит дополнительных членов лишь для (1.15).
3. Теорема об изменении масштаба времени.
Умножим переменный сигнал x(t) на экспоненту e αt , где a – некоторый коэффициент. Тогда согласно (1.12) получим
Z {е αt x(t )} =
∑ x(kT )eαkT ⋅ z − k = ∑ x(kT )(еαT z )
∞
∞
k =0
k =0
−k
(
)
= X е αT z ,
т. е. переменная z умножается на e .
4. Предельные теоремы.
Как и для случаев преобразований Лапласа, здесь могут быть рассмотрены две важные теоремы: о начальном и конечном значениях
функции.
Для теоремы о начальном значении найдем
∗
t →0
= x(0 )z −n + x(T ) z −(n +1) + x(2T ) z −(n+ 2 ) + ... =
= z −n ∑ x(kT ) z − k = z −n X ( z ) .
k =0
lim x(t ) = lim X ( z )
Заметим, что во второй сумме (1.14) введен новый, не имеющий
существенного значения индекс суммирования р.
б) Коммутация начинается при t = nT, тогда
Z {δ1 (t − nT )x(t − nT )} = ∑ x(kT − nT )z
∞
∑ x(mT )z −( m−n) = z n ∑ x(mT )z −m =
n −1
n −1
 ∞

= z n  ∑ x(mT )z − m − ∑ x(mT )z − m  = z n X ( z ) − z n ∑ x(mT )z − m .
m=0
m =0
m =0

p =1
∞
k =0
∞
αT
m=0
+ x(2T )z − (n + 2 ) + ... = z − n
∞
∑ x(kT + nT )z −k =
(1.17)
при условии существования такого предела. Доказательство справедливости (1.17) непосредственно следует из рассмотрения ряда (1.12)
при z → ∞. Из (1.11) видно, что
X ( z ) = x(0 ) + x(T )z −1 + x(2T )z − 2 + ...
Перенесем первый член правой части влево и умножим на z, тогда
=
(1.15)
z →∞
z[ X ( z ) − x(0 )] = x(T ) + x(2T )z −1 + ...,
т. е.
lim z[ X ( z ) − x(0)] = x(T ).
z →0
15
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление
Аналогично получим (при умножении на z–2 обеих частей)
[
На основании теоремы об изменении масштаба и (1.18) получим:
(
]
z →0
и т. д. Отсюда вытекает полезная рекурсивная методика получения
обратных Z-преобразований.
Теорема о конечном значении функции утверждает, что
(
∗
z →1
где также предполагается существование предела при отсутствии полюсов на окружности единичного радиуса в z-области.
Для обоснования этого соотношения рассмотрим Z-преобразование от разности функции x[(k +1)T ] − x(kT ) с учетом (1.16):
Z {x[(k + 1)T ] − x(kT )} = z [ X ( z ) − x(0 ) − X ( z )] =
= ( z − 1) X ( z ) − zx(0 ) =
∞
∑ x[(k + 1)T ]z
−k
k =0
∞
= x(∞ ) − x(0 ),
− ∑ x(kT ) z .
N
k =0
t →∞
Приведем ряд иллюстративных примеров определения Z-преобразований некоторых распространенных функций времени.
Пример 1.3
Найдем изображение δ1 (kT ) на рис. 1.5, а:
(
)
Z {x(t )} = Z ( z ) = 1 + z + z + ... = 1 / 1 − z = z / ( z − 1) .
Если употребить знак соответствия t- и z-областей, то
δ1 (t ) ÷ z / ( z − 1).
Пример 1.4
Найти изображение затухающей экспоненты
x(t ) = e −αt δ1 (t ), α ≥ 0 .
16
−1
)
2
− te − αt ÷ −Tze − αT / z − e − αT ,
что при α → 0 приведет к соотношению
t ÷ zT / ( z − 1)2 .
(1.20)
Пример 1.5
Определить Z-преобразование для функции синуса и косинуса
при t ≥ 0.
{ }
Z {cos ωT } = Re{z /( z − cos ωT − j sin ωT )} =
(
(1.18)
)
(1.22)
= z ( z − cos ωT ) / z 2 − 2 z cos ωT + 1 .
Найдем Z-преобразования гармонических функций с ненулевыми начальными фазами.
Пример 1.6
Определить Z-преобразования для следующей функции:
{
∗
−2
)
то для косинуса получим
k =0
lim[( z − 1) / z ]X ( z ) = x(∞ ) = lim x(t ).
−1
(
x(t ) = α t δ1 (t ) ÷ z / z − αT .
Если продифференцировать обе части (1.19) по параметру α, то
{ }
т. е.
z →1
В частности, при e − αt = α t и
(1.19)
−k
∑ x [(k + 1)T ] − x(kT ) =
N →∞
z →1
)
Поскольку sin ωt = Im e jωt , cos ωt = Re e jωt ,
Исследуем правую и левую части при z → 1, k → ∞. При этом
lim( z − 1) X ( z ) − zx(0 ) = lim
(
(
)
lim x(t ) = lim 1 − z −1 X ( z ),
t →∞
)
X ( z ) = ze αT / ze αT − 1 = z / z − e − αT ÷ x(t ).
lim z 2 X ( z ) − x(0 ) − x(T )z −1 = x(2T ).
}
{
}
sin(ωt + ψ ) = Im e j (ωt + ψ ) ; cos(ωt + ψ ) = Re e j (ωt + ψ ) .
С учетом результатов (1.19) и (1.20) можно установить, что
sin(ωt + ψ )δ1 (t ) = [cos ψ sin ωT + z ( z − cos ωT ) sin ψ ] / B; (1.23)
cos(ωt + ψ )δ1 (t ) = [z ( z − cos ωT ) cos ψ − z sin ωT sin ψ ] / B,
(1.24)
где В = z 2 − 2 z cos ωT + 1 .
Естественно, что при ψ = 0 выражение (1.23) сводится к (1.21),
а при ψ = π/2 – к (1.22). Аналогичные выводы следуют и из (1.24) при
ψ = 0 и ψ = π/2.
Пример 1.7
Применить выводы для предельных теорем к сигналу, рассмотренному в примере 1.4.
17
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление
Для предельного значения при t → ∞ найдем
∗
Теперь осуществим Z-преобразование (на основе свойств линейности):
∗
lim x(t ) = x(∞ ) = lim[( z − 1) / z ]X ( z ) = 0.
t →∞
{
Начальное значение составляет
lim x(t ) = lim X ( z ) = 1,
z →∞
что очевидно и из исходного сигнала.
Для полноты рассмотрения данного вопроса отметим, что при
произвольном аналоговом сигнале с известным изображением по Лапласу согласно x(t ) ÷ X (s ) следует быть осторожным при определении
Z-преобразования:
{
}
 



Z L {X (s )} = Z  L−1 ∑ X i (s ) = Z ∑ xi (t ) = ∑ Z i ( z ) . (1.25)

i
 i
 i
 (1.25) Xi(s) – изображение i-элементарной функции. Необходимость предварительного нахождения Xi(s) обусловлена тем, что в общем случае при Z-преобразовании имеет место неравенство
X (s ) = X 1 (s ) X 2 (s ) ... X n (s ) ;
−1
{
}
Z L−1 {X (s )} ≠ X (s ) = X 1 ( z ) X 2 ( z ) ... X n ( z ),
что и подтверждается простейшими примерами.
Возьмем для простоты изображение двух функций – единичной
ступенчатой и экспоненциальной. Рассмотрим соотношения:
(
)
X (s ) = 1 /[s (s + α )]; δ1 (t ) ÷ 1 / s; e – αt δ1 (t ) ÷ 1 / (s + α ) .
Ответ, полученный с учетом (1.18) и (1.19), составляет
(
)
X 1 ( z ) = z / ( z − 1); X 2 ( z ) = z / z − e −αt ;
[
(
X ( z ) = X 1 ( z ) X 2 ( z ) = z / ( z − 1) z − e
2
−αt
)] ,
что в данном случае оказывается неверным, поскольку необходимо было
бы выполнить следующие процедуры согласно (1.25):

L {X (s )} = L ∑ X i (s ) = L−1{(1 / α ) / s − (1 / α ) / (s + α )} =
i

−1
−1 
= (1 / α )δ1 (t ) − (1 / α )e − αt .
18
{
}
[
(
)] (
)
= z / α( z − 1) − z / α z − e −αT = 1 − e −αT z / B 2 = X ( z ) ,
что является правильным результатом, отличающимся от X(z), причем
∗
t →0
}
Z (1 / α )δ1 (t ) − (1 / α )e −αt = Z {(1 / α )δ1 (t )} − Z (1 / α )e −αt =
z →1
(
)
B 2 = α( z − 1) z − e − αT .
Пример 1.8
Определить Z-изображения затухающих синусоиды и косинусоиды:
x1 (t ) = e −αt sin ωt , α > 0; x2 (t ) = e −αt cos ωt.
Согласно (1.19) и (1.21) найдем после сокращения на экспоненту
Z {x1 (t )} = e −αT z sin ωT / B3 = z sin ωT / B 4,
а из (1.19) и (1.22) установим следующее соотношение:
где
(
)
Z{ x2 (t )} = z 2 − ze −αt cos ωT / B5,
(1.26)
(1.27)
B3 = e 2αT z 2 − 2e αT z cos ωT + 1;
B 4 = e αT z 2 − 2 z cos ωT + e −αT ;
B5 = z 2 − 2e −αT z cos ωT + e − 2αT .
В основе получения затухающих функций с нулевой начальной
фазой лежат (1.26) и (1.27).
5. Теорема дифференцирования в z-области или умножения временных функций на параметр n.
Исходя из пары преобразований в s-области:
− tx(t ) = dX (s ) / ds,
перейдем к дискретному времени, полагая T = 1. В этом случае
− nX (n ) = dXs / ds T =1
e sT = z
= [dX ( z ) / dz ] [dz / ds ] = Z [dX (s ) / dz ] . (1.28)
Отсюда вывод: умножение на (–n) соответствует дифференцированию X(z) в z-области.
Пример 1.9
Пусть надо найти изображение сигнала x(t ) = t 2 . Ранее из (1.20)
было получено при T = 1
19
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление
Таблица 1.1
t ÷ z / ( z − 1)2 .
Согласно (1.28) имеем
[
№
п/п
]
− nX (n ) = + n 2 ÷ zdX ( z ) / dz = z ( z − 1)2 − 2( z − 1)z 2 / ( z − 1)4 =
[
]
[
]
= z ( z − 1) / ( z − 1) = z ( z + 1) / ( z − 1) ,
так что
2
4
3
[
]
n ÷ z ( z + 1) / ( z − 1) .
При учете Т для (1.28) имеем
− nTX (nT ) = Tz [dX ( z ) / dz ],
и для (1.29) получим
2
3
(1.29)
(nT )2 = [T 2 z ( z + 1)]/ (z − 1)3 .
(1.30)
Заметим, что частный случай (1.16) при n = 1 иногда считается
теоремой упреждения, или опережающего сдвига, т. е.
(1.31)
Z {δ1 (t )x(t + T )} = z ( X ( z ) − x(0)).
Полученные выше и часто используемые в практике соотношения между t- и z-областями сведены в общую таблицу односторонних
преобразований. Данной таблицей можно успешно пользоваться и для
дискретного преобразования Лапласа, заменяя z на e sT (табл. 1.1).
1.3. Обратное Z-преобразование
Получение временнóй функции по ее известному Z-изображению
в основном осуществляется следующими способами (способ интегрирования в z-области применяется относительно редко):
а) способом, описанным в п. 4 предельных теорем, где представлена рекурсивная методика получения обратных Z-преобразований;
t-область, x(t)
z-область, z{x(t)}
Ссылка
1
Функция Хевисайда
1, t ≥ 0
δ1 (t ) = 
0, t ≤ 0
z
z −1
(1.18)
2
e − αt δ1 (t ), α ≥ 0
3
α t δ1 (t )
4
tδ1 (t )
б) разложением в ряд по степеням z , при этом дискреты определяются коэффициентами при z −1 . Так, если согласно (1.12)
X ( z ) = α 0 + α1 z −1 + α 2 z −2 + α 3 z −3 + ... ;
sin ωtδ1 (t )
6
cos ωtδ1 (t )
7
sin (ωt + ψ )δ1 (t )
8
cos(ωt + ψ )δ1 (t )
9
e − αt sin ωtδ1 (t )
10
e − αt cos ωtδ1 (t )
11
tδ1 (t )
12
t 2 δ1 (t )
13
tα t δ1 (t )
14
t 2 α t δ1 (t )
15
(1 − e ) δ (t )
∗
x(t ) = α 0 δ 0 (t ) + α1δ 0 (t − T ) + α 2 δ 0 (t − 2T ) + ... ,
16
sh(ωt ) δ1 (t )
∗
∗
откуда видно, что x(0 ) = α 0 , x(T ) = α1 и т. д.
17
ch (ωt ) δ1 (t )
20
− αt
(1.19)
(1.19)
(1.20)
(z −1)2
5
−1
z
z − e − αT
z
z − αT
zT
1
z sin ωT
B
z ( z − cos ωT )
B
sin ωT cos ψ + z ( z − cos ωT )sin ψ
B
z (z − cos ωT )cos ψ − z sin ωT sin ψ
B
z sin ωt
B4
z 2 − ze − αT cos ωT
B5
Tz
(z − 1)2
T 2 z (z + 1)
(z − 1)2
(z − α )
T 2
+
2 zT 2 α 2T
(z − α ) (z − α )
)
z (1 − e
( z − 1)(z − e )
T 2
T 3
− αT
− αT
zsh (ωT )
z 2 − 2 zch(ωT ) + 1
z[z − ch(ωT )]
z 2 − 2 zch(ωT ) + 1
21
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.26)
(1.27)
(1.20)
(1.30)
zTα T
2T 2 αT
(1.21)
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Пример 1.10
Выполним обратное преобразование следующей функции:
[
]
(
)
X ( z ) = 3 z 2 − ze − αT − 2 z ( z − 1) z − e − αT .
Путем деления числителя на знаменатель
(
)
z 2 − z 1 + e − αT + e − αT
можно установить, что
(
)
(
)
X ( z ) = 3 + 1 + e − αT z −1 + 1 + 2e − αT z − 2 + ...
Таким образом, x(0) = 3; x(T ) = 1 + 2e − αT ; x(2T ) = 1 + 2e − α 2T и т. д.;
в) третьим подходом является теорема разложения в z-области.
Для дробно-рациональных функций необходимо предварительно
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление
[
]
X ( z ) = z ( z − 0,5)( z − 1)2 .
Разложим изображение на элементарные дроби:
X ( z ) / z = α1 ( z − 0,5) + α 21 ( z − 1) + α 22 ( z − 1)2 ,
где α1 = 4, α 22 = 2, α 21 = −4.
Отсюда ясно, что на основании частного случая из (1.19) и (1.20)
или табл. 1.1
[(
)
λT
ом
определить полюсы X(z) , т. е. zi = e i , где λ i = ln z i / T , и с учетом
(1.25) найдем сумму элементарных дробей для функции X(z), предварительно разделенной на z:
X ( z ) / z = ∑ α i / ( z − zi ),
i
где α i = ( z − z i ) X ( z ) / z
z = zi
Таким образом,
.
X ( z ) = ∑ α i z / ( z − zi ) ÷ x(t ) = δ1 (t )∑ α i zik .
i
i
Пример 1.11
Выполним обратное преобразование функции X(z) примера 1.10:
[
= 3 + [z
] (z − 1)(z − e ) =
)=
− 2 ze
− 3 z ] ( z − 1)(z − e
[z / (z − 1)] + z [2e z / (z − e )]÷
X ( z ) = 3 z 2 − ze − αT − 2 z
= 3 + z −1
− αT
− αT
− αT
−1
− αT
− αT
÷ 3δ0 (t ) + δ1 (t − T ) + 2e − αt δ1 (t − T ),
что соотносится с результатами расчетов в примере 1.10.
Пример 1.12
Определить функцию времени для следующего Z-изображения
с кратными полюсами:
22
]
x(t ) = 4 0,5t T + 2t / T − 4 δ1 (t ) .
23
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
Пример 2.1
Поскольку отклик на воздействие δ0 (t ) при нулевых начальных
условиях есть импульсная характеристика цепи h0(t), то
L{δ n− k } = h0(n−k )
(2.3)
и из (1.8) получим
Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В Z- И L-ОБЛАСТЯХ
2.1. Операции свертки двух дискретных функций
Положим для простоты Т = 1 и обратимся к двум Z-преобразованиям X1(z) и X2(z) в виде рядов:
X 1 ( z ) = x1 (0) + x1 (1)z −1 + x1 (2)z − 2 + ... + x1 (n )z − n + ...;
X 2 ( z ) = x2 (0) + x2 (1)z −1 + x2 (2)z − 2 + ... + x2 (n )z − n + ...
yn =


+ [x1 (0 )x2 (2 ) + x1 (1)x2 (1) + x1 (2)x2 (0 )]z − 2 + ... + ∑ x1 (k )x2 (n − k ) z − n + ...
n

Отсюда следует, что
∞
k =0
(2.1)
(2.2)
Верно и обратное – из правой части, например (2.1), легко получить
левую:
∞
 ∞ ∞
Z  ∑ x1 (k )x2 (n − k ) = ∑ ∑ x1 (k )x2 (n − k ) z − n =
k = 0
 n=0k =0
∞
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ x1 (k )x2 (n − k ) z − k z − (n − k ) = ∑ ∑ x1 (k )z − k ∑ x2 (n − k ) z −(n − k ) =
n=0k =0
n=0k =0
k =0
= X 1 ( z ) X 2 ( z ) ÷ x1 (t ) ∗ x2 (t ),
где звездой обозначена операция свертки.
Рассмотрим некоторые примеры для пояснения (2.1) и (2.2).
24
k =0
1, 0 ≤ n < 5,
x 2 (n ) = δ1 (n ) − δ1 (n − 5) = 
n ≥ 5,
0,
причем вычисления произвести для двух величин n: n = 3 и n = 6.
Для первой величины n = 3 найдем
3
∑ x1 (k )x2 (n − k ) = x1 (0)x2 (3) + x1 (1)x2 (2) + x1 (2)x3 (1) + x1 (3)x2 (0) =
k =0
= 1 + (1 / 3) + (1 / 9 ) + (1 / 27 ) = (40 / 27 ).
или после несложной замены переменных в сумме (2.1) найдем, что
X 1 ( z ) X 2 ( z ) ÷ ∑ x1 (k )x2 (n − k ) .
k =0
x1 (n ) = (1 / 3)n δ1 (n );
X 1 ( z ) X 2 ( z ) = x1 (0 )x2 (0 ) + [x1 (0 )x2 (1) + x1 (1)x2 (0)]z −1 +
n
∞
что является частным случаем свертки.
Пример 2.2
Найти свертку следующих функций:
После почленного перемножения рядов получим:
X 1 ( z ) X 2 ( z ) ÷ ∑ x1 (k ) x2 (n − k ) ,
∞
∑ xk h0( n − k ) = ∑ x(k )h0(n − k ) = xn ∗ h0n ,
Для второго случая (n = 6) получим
6
∑ x1 (k )x2 (n − k ) = x1 (2)x2 (4) + x1 (3)x2 (3) +
k =0
+ x1 (4 )x2 (2 ) + x1 (5)x2 (1) + x1 (6 )x2 (0 ) = (121 / 727 ).
Иллюстрации приведены на рис. 2.1.
Пример 2.3
Определить свертку двух функций:
x1 (n ) = x2 (n ) = δ1 (n ) − δ1 (n − 4 ).
В данном случае ясно, что при 0 ≤ n ≥ 3
n
∑ 1 ⋅ 1 = n + 1,
k =0
а при 3 < n ≤ 6
25
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
x1 (n )
3
∑1 ⋅1 = 7 − n,
k = n =3
что и показано на рис. 2.2.
1
x1 (k )
n
1
0
1
2
3
4
x2 (n )
k
0
1
2
3
4
5
6
1
7
x2 (3 − k )
n
1
0
1
2
2
3
4
x1 (n ) ∗ x2 (n )
k
0
1
3
x2 (6 − k )
n
1
1
0
1
2
3
4
5
6
Рис. 2.2
k
0
1
2
3
4
5
6
Рис. 2.1
2.2. Понятие о системной функции
Пусть входная функция xn = α n , где α – некоторый коэффициент –
геометрическая прогрессия. Как следует из (2.3),
yn =
26
∞
∑ x h0( n − k ) =
k =0
∞
∑ xn − k h0k =
k =0
27
∞
∞
k =0
k =0
∑ α n − k h0k = α n ∑ α − k h0k ,
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
т. е. та же геометрическая прогрессия, умноженная на множитель H(α)
с Z-преобразованием величины
xk = z k
z–1
∞
H (z ) =
∑ h0k z − k ,
(2.4)
k =0
5
3
3 z k −1
3z k
для последовательности h0k . Если вместо вещественной величины α
{ }
использовать z, то L z n = H ( z )z n . Назовем множитель H(z) системной
функцией, которая легко находится из (2.4), если на вход подать сигнал zn.
3 z k + 3 z k −1
Коэффициент перед zn реализации цепи H ( z )z n равен H(z).
n
Согласно рис. 1.7, а, если xn = z , то yk = xk −1 = z k −1 = z k z −1 , т. е.
H ( z ) = z −1 . Для рис. 1.7, б при xk = z n y k = αz , H ( z ) = α .
Воспользуемся, например, рекурсивной формулой для рис. 1.9
n
3
yk = 3xk + 5 yk −1 . Если вход xk = z n , тоо yk = 3 z k + 5 yk −1 ; H ( z )z k = 3
= 3 z + 5 H ( z )z
k
k −1 ,
5H ( z )z
откуда
[
] [
]
[
yk = H ( z )z k
5
k −1
z–1
]
Рис. 2.3
H ( z ) = 3z k z k − 5 z k −1 = 3 1 − 5 z −1 ; H ( z ) = 3 1 − 5 z −1 .
Для рис. 1.8 получим
xk = z k
yk = 3xk + 5 yk −1 ; H ( z )z k = 3 z k + 5 z k −1 ,
т. е. H ( z ) = 3 + 5 z −1 .
Если объединить рис. 1.8 и 1.9, как показано на рис. 2.3, то из схемы
видно, что
k
9 z + 15 z
k −1
+ 5 H ( z )z
k −1
= H ( z )z ,
k
5
H 1 ( z )z
z
k −1
H 1 ( z )z k = 5 H1 ( z )z k −1 + z k
−1
H1 ( z ) =
откуда
[
] [
] [1 − 5z ] ;
H ( z ) = [9 + 15 z ] [1 − 5 z ] .
H ( z ) = 9 z k + 15 z k −1
] [z
k
− 5 z k −1 = 9 + 15 z −1
−1
−1
3
5
−1
28
H ( z )z k = 9 H1 ( z )z k +
+ 15 H1 ( z )z k −1
Попутно отметим, что для реализации H(z) вовсе нет необходимости в использовании двух отдельных элементов запаздывания
(рис. 2.3).
Можно предложить иную схему с той же системной функцией, но
меньшим числом элементов z −1, как это показано на рис. 2.4.
zk
1
=
z − 5 z k −1 1 − 5 z −1
k
3
H ( z) =
Рис. 2.4
29
9 + 15 z −1
1 − 5 z −1
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Существует целый класс канонических реализаций заданной системной функции с минимальным числом элементов запаздывания.
Таким образом, системная функция H(z) получается как
а) Z-преобразование импульсной характеристики hn;
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
X(s)
X*(s)
x(t)
x*(t)
б) если xn = z n , то H(z) является множителем в реализации цепи
y n = H ( z )z n ;
в) H(z) определяется отношением Y ( z ) / X ( z ) .
Рассмотрим систему, показанную на рис. 2.5, где имеется аналоговая часть – цепь с передаточной функцией по напряжению H(s)
и идеализированный ключ, расположенный перед входом этой части,
а также указаны сигналы и их изображения.
X(s)
X*(s)
x(t)
x*(t)
H(s)
T
T
X*(s)
∞
k =0
k =0
T
Рис. 2.6
y(t)
вым. Из рис. 2.6 видно, что выходная функция у (t ) отсчитывается
в момент времени t = nT, n = 0, 1, 2, …, и потому
∑ x(t ) δ0 (t − kT ) = ∑ x(kt ) δ0 (t − kT )
∗
y (nT ) =
∑ x(kt )h0 (t − kT ),
k =0
причем h0 (t − kT ) = 0 при t < kT , и потому члены с номером k > t/T
в сумме отсутствуют. Отсюда верхний предел суммы следует считать
t/T, т. е.
y (t ) =
∗
∑ x(kT )h0 (t − kT ) ÷ X (s )H (s ),
k =0
где правая часть содержит функции в s-области.
Теперь добавим второй такой же ключ после аналоговой части
(рис. 2.6).
30
x =0
H ( z ) Z = e sT =
∞
t /T
n
∑ x(kT )h0 [(n − k )T ].
(2.5)
С другой стороны,
y (nT ) ÷ Y ( z ), x(nT ) ÷ X ( z ), h0 (kT ) ÷ H ( z )
и согласно (2.1) для (2.5) получим следующее Z-преобразование:
получим
y (t ) =
y(t)
Положим сначала, что второй ключ работает синхронно с пер-
Поскольку при подаче импульса Дирака δ0 (t ) имеем h0 (t ) при
нулевых начальных условиях, то при
∞
Y(s)
H(s)
x*(t)
x(t)
Рис. 2.5
∗
y*(t)
y(t)
Y(s)
T
x(t ) =
Y*(s)
Y(s)
H(s)
∞
∑ h0 (kT ) e − ksT .
k =0
(2.6)
Выражение (2.6) может быть записано в форме дискретного преобразования Лапласа:
∗
∗
∗
Y (s ) = X (s ) H (s ) .
(2.7)
Из выражений (2.6) и (2.7) следует, что H ( z ) = Y ( z ) / X ( z )
∗
∗
∗
и H (s ) = Y (s ) / X (s ) – передаточные функции в z-области и области дискретных преобразований Лапласа.
31
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
2.3. Модифицированное преобразование Лапласа
и Z-преобразование
Иногда представляет интерес значение отсчетов не точно при
t = kT , а при t = kT + λ – некоторый параметр: 0 ≤ l < T.
∗
В этом случае x(t , λ ) имеет следующие дискреты:
x(kT + λ ),
или
говой части H (s ) . В частности, при λ = 0 возвращаемся к соотношению (2.6).
Введение отсчетов при t = kT + l, как проиллюстрировано на
рис. 2.7, позволяет определить значение функции x(t) при любых Т и λ,
т. е. всю функцию – даже в тех случаях, когда в некоторых точках, например при t = 0 и t =2Т, имеются разрывы непрерывности. В этих
точках (k = 0, k = 2)
x(kT , 0 + ) = lim x(kT , λ ) = x(kT ) ;
λ →0
∞
*
x(t , λ ) =
∑ x(kT + λ )e
− s (kT + λ )
x(kT , 0− ) = lim x[(k − 1)T , T ] .
k =0
∞
λ →Т
=
∗
= e − sλ ∑ x(kT + λ )e − skT =e − sλ X (s, λ ).
(2.8)
x(t)
k =0
При этом во временной области
∗
x(t , λ ) =
∞
∑ x(kT + λ )δ0 (t − kT − λ ),
x(2T, λ)
k =0
∗
а Z-преобразование для x(t , λ ) дает следующее:
∞
X ( z , λ ) = ∑ x(kT + λ ) e −k .
k =0
0
x
T
2T
3T
t
4T
5T
Рис. 2.7
(2.9)
Если отсчеты реакции производятся в моменты времени (kT + l),
то на основании (2.5) и анализа цепи, показанной на рис. 2.5, выходной
сигнал в зависимости от параметра λ определяется следующим образом (для входных отсчетов при kT):
y (t , λ ) =
x(0, λ) x(T, λ)
Если x(t) является непрерывной функцией, то
x(kT , 0 + ) = x(kT , 0 − ) или x(kT ) = x[(k − 1)T , T ],
причем
∗
∗
x(kT ) = x[(k − 1)T , T ].
(2.11)
∞
∑ x(kT )h0 [(n − k )T + λ].
k =0
На основании (2.9) получим
Y ( z, λ ) = X ( z )H ( z ),
(2.10)
где H ( z , λ ) является передаточной функцией в случае несихронно работающих импульсных элементов, расположенных до и после анало32
В z-области согласно принятому в параграфе 1.1 условию (1.8)
дискретизации X ( z ) = X ( z , 0 + ). Для X ( z, 0 − ) в соответствии с определением (2.9) получим
∞
∞
k =0
m = −1
∑ x[(k − 1)T + λ]z − k = ∑ x(mT + T )z −(m +1) ,
λ →T
X (z, 0− ) =
33
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
где было принято, что k – 1 = m. Последняя сумма состоит из двух
слагаемых:
Рассмотрим примеры по определению реакций цепей в случае
модифицированного преобразования Лапласа.
Пример 2.6
Определить выходной сигнал для системы с ключом, показанной
на рис. 2.8, для произвольного параметра λ.
∞
X ( z ,0 ) = z −1 ∑ x(mT + T )z − m + z −1x(0− )z1 = z −1 X ( z , T ) + x(0− )
m=0
или
X ( z , 0 − ) = z −1 X ( z , T ) + x(0− ).
(2.12)
Рассмотрим примеры по определению произвольных значений
функции x(t ) .
Пример 2.4
Найти модифицированное Z-преобразование для ступенчатой
функции x(t ) = δ1 (t ) .
Следуя (2.9), найдем
∞
∞
k =0
k =0
X(s)
k
H(s)
X ( z , λ ) = ∑ δ1 (kT + λ )z −k = ∑ z −k = z / ( z − 1) ,
Из рис. 2.8 следует, что
которое, естественно, не зависит от λ. Однако
X ( z , 0 + ) = X ( z ) = z / ( z − 1),
а согласно (2.12)
X ( z , 0 − ) = z −1 X ( z , T ) + x(0 − ) = z −1[z / ( z − 1)] + 0 = 1 / ( z − 1),
так что налицо скачок функции при t = 0, так как X ( z,0 + ) ≠ X ( z,0 − ) .
Пример 2.5
Определить модифицированное Z-преобразование для функции
x(t ) = e − αt δ1 (t ) .
Для любой из дискрет получим
x(kT , λ ) = e − α (kT + λ ) = e − αλ e − αkT ,
при этом
X (z, λ ) =
∑ e − αλ e − αkT z − k = e − αλ ∑ e − αkT z − k = e − αλ [z / (z − e − αλ )]
∞
∞
k =0
k =0
(см. табл. 1 изображений).
В частности, при λ = 0 получим обычное Z-преобразование, но
[ (
X ( z ,0 − ) = z −1e −αT z / z − e −αT
)]
(
потому X ( z ,0 − ) ≠ X ( z ,0 + ) , что и следовало ожидать для x(t).
34
)
+ 0 = e − αT / z − e − αT ,
Y(s)
H1 ( s )
Рис. 2.8
∗
∗


Y (s ) =  X (s ) − H (s )Y (s ) H1 (s ) = H1 (s ) X (s ) − H (s )H1 (s )Y (s ).


Здесь передаточные функции допускают взаимную перестановку
местами. После дискретизации обеих частей равенства получим
∗
откуда
∗
∗
∗
Y (s ) = (H1 X ) − (HH1 )Y (s ),
∗
∗
∗


Y (s ) = (H1 X ) 1 + (HH1 ) .


Если перейти к переменной z, то
Y ( z ) = ( H1 X )( z ) [1+ (HH1 )( z )].
Здесь запись (H1 X )( z ) означает, что преобразуется целиком про-
изведение (H1 X ).
При учете параметра λ выпишем заново исходное уравнение:
∗
Y (s, λ ) = H1 (s, λ ) X (s, λ ) − H (s, λ )H1 (s, λ )Y (s )
или после перехода в z-область
35
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
Y (s, λ ) = ( H1 X )(s, λ ) − (H (s, λ )H1 (s, λ ))(H1 X )( z ) /[1 + ( HH1 )( z )].
Пример 2.7
Определить реакцию цепи, показанной на рис. 2.9. Из него видно,
∗
что Y (s ) = H 2 (s ) X 1 (s ) , где X 1 (s ) – некоторая промежуточная переменная, составляющая
X 1 (s ) = [ X (s ) − H (s )Y (s )]H1 (s ) = H1 (s ) X (s ) − H1 (s )H (s )Y (s ) .
Пример 2.8
Определить реакцию цепи, показанной на рис. 2.10. Из него
следует, что
X(s)
Y(s)
H1 (s )
K1
∗
X(s)
H 1 (s )
X 1 (s )
X 1 (s )
Y(s)
H 2 (s )
K2
K
Рис. 2.10
После дискретизации обеих частей равенства найдем:
H(s)
Рис. 2.9
Подставим в последнее выражение соотношение для Y(s), тогда
∗
∗
X 1 (s ) = H1 (s ) X (s ) − H1 (s )H (s )H 2 (s ) X 1 (s ).
∗
После дискретизации обеих частей найдем значение X 1 (s ) :
∗
∗
∗
 

X 1 (s ) = H 1 (s ) X (s ) / 1 +  H 1 (s )H (s )H 2 (s )  .

 
Далее несложно вычислить Y(s):
(
)
∗
∗
 


Y (s ) = H 2 (s ) H 1 (s ) X (s ) / 1 + (H1 (s )H (s )H 2 (s )) .

 

В z-области получим для любого значения λ (согласно (2.10))
Y ( z , λ ) = H 2 ( z, λ )(H1 X )( z ) [1 + (H1HH 2 )( z )].
В качестве заключительного примера возьмем систему с двумя
ключами.
36
H 2 (s )
∗
∗
∗
∗
 

Y (s ) = H 1 (s ) X (s ) / 1 +  H 2 (s )H1 (s ),

 
откуда можно вычислить реакцию цепи:
∗
∗
∗
∗


Y (s ) = H1 (s ) X (s ) − H 2 (s )H1 (s ) H 1 (s ) X (s ) / 1 + (H 2 (s )H1 (s )).


После перехода в z-область получим (при любом λ):
Y ( z, λ ) = {H1 ( z , λ ) − H 2 H1 ( z , λ ) H1 ( z ) [1 + ( H1H 2 )( z )] }X ( z ).
2.4. Связь между различными формами
Z- и L-преобразований
Теорема разложения в z-области является частным случаем общей формулы, которая может быть получена путем следующих рассуждений. Пусть X(z) представлено в виде бесконечного ряда по отрицательным степеням z (часть ряда Лорана):
X ( z ) = a0 z 0 + a1 z −1 + a2 z − 2 + ... + an z − n + ...
37
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
Для нахождении некоторого an умножим обе части равенства на
z n −1 , тогда
z n −1 X ( z ) = a0 z n −1 + a1 z n − 2 + a2 z n − 3 + ... + an z −1 + ...
Проинтегрируем это выражение по контуру, охватывающему все
особые точки. Тогда можно показать, что на основании теорем по интегрированию функций в комплексной плоскости [1]
∫z
e
n −1
 0, n ≠ 1;
X ( z )dz = 
 j 2πa n , n = −1;
a n = ∫ z n−1 X ( z )dz / 2πj.
Если X ( z ) – дробно-рациональная функция переменной z, то
о
X ( z ) = N ( z ) / D( z ) , и любой вычет может быть определен по формуле
Res X ( z ) = ( z − zi )N ( z ) / D( z ) Z = Z i = N ( zi ) / D′( zi ),
i
)
]
/ D ′( z i ) .
i
[
]
(2.14)
(2.15)
Для полноты рассмотрения установим связь также между обычным
и дискретным модифицированным преобразованиями Лапласа, т. е.
∗

∗
X (s ) = L{x(t )}; X (s, λ ) = L  x(t , λ ) .


Из (1.7)–(1.10) и (2.8) следует, что
∗
∞
 ∗

X (s, λ ) = ∑ x(kT + λ ) e − skT = L δ1 (t )x(t + λ ) .


k =0
38
= 1 / (2πj )
∫
[e(
s − p )T
)]
(
/ − 1 + e (s − p )T e pλ X ( p )dp =
{X ( p )e /[− e (
− s − p )T
pλ
]}
+ 1 dp.
(2.16)
c − j∞
На основании теоремы вычетов и (2.16) получим
i
[
)]
(
Далее определим X(s) по X(z, λ). С учетом (2.8)
∞
X (s ) = ∫ x(t ) e
=
Обратное Z-преобразование с учетом (2.14) имеет следующий вид:
Z (n ) = ∑ N ( z i )z in −1 / D ′( z i ) .
∫
− st
dt =
0
z = zi
[
X (s, λ ) = 1 / (2πj )
)
X (s, λ ) = z ∑ N (si )e si λ / D′( zi ) − e siT + z .
i z = zi
an = ∑ N (
c + j∞
∗
∗
an = X (n ) = ∑ Res X ( z )z n −1.
z i z in −1
(
c − j∞
Интеграл в (2.13) можно рассчитать по теореме о вычетах, причем
тогда
 ∗

L δ1 (t ) = e sT / − 1 + e sT ; L{x(t + λ )} = e sλ X (s ),


то, применяя интеграл свертки в частотной области, получим
c + j∞
(2.13)
e
Но поскольку
∞ (k +1)T
∞ (k +1)T
∑ ∫ x(t ) e − st dt =
k = 0 kT
∑ ∫ x(kt − λ ) e − s(kT − λ )dλ.
k = 0 kT
(2.17)
В (2.17) изменим последовательность операций суммирования
и интегрирования, тогда
∞
X (s ) = ∫ x(kT + λ ) e − skT e − sλ =
0
T
= ∫ X ( z , λ ) z − λ / T dλ Z = e sT = X (s ).
0
(2.18)
Проиллюстрируем сказанное примером.
Пример 2.9
Определить изображение по Лапласу для результатов примера 2.5:
(
)
X ( z , λ ) = e −αλ z / z − e −αT .
39
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
На основании (2.18) найдем
(
T
∗  ∗
о
Если принять, что F {x(t )} = X ( jω) и F  X (t ) = X ( jω) , то


)
X (s ) = ∫ e − αλ z ⋅ z − α / T / z − e − αT dλ Z = e sT =
{
[(
= 1/ e
sT
−e
− αT
[
)] ∫ e
T
0
(
− αT sT − αs
e e
dλ =
]
)
= e sT (− 1)e − (α + s )λ / e sT − e − αT (s + α )
= 1 / (s + α ) ÷ e − αT δ1 (t ),
T
0
=
∞
∑ C k X ( jω − jkω0 ).
Выражение (2.20) следует из теоремы смещения в комплексной
области для прямого преобразования Фурье. Из (2.20) также следует,
∗
X ( z , λ ) (см. через вычеты) при si = −α получим исходную функцию
∗
что частотный спектр дискретного сигнала x(t ) соответствует наложению спектров исходного непрерывного сигнала x(t) с периодом
ω0 = 2π / T по частоте, как это представлено на рис. 2.11. Из него сле-
X ( jω)
)
X ( z , λ ) = ze − αλ / z − e − αλ .
2.5. Соотношения между комплексными s- и z-областями
Обратимся к (1.8), но при этом возьмем двухстороннее изменение
k от –∞ до +∞:
ω
∞
∗
X (t ) =
∑ x(kT )δ0 (t − kT ).
k = −∞
(2.19)
–ωгр
Разложим второй сомножитель (сумму) в ряд Фурье согласно
формулам прямого и обратного преобразований:
∞
∞
k = −∞
−∞
0
ωгр
∗
X ( jω)
α(t ) = ∑ C k e jkω0t ; ω0 = 2π / T ; C k = ∫ α(t ) e − jkω0t dt / T ,
jα
где C k – комплексный частотный спектр, C k = Ck e k . В частности, при
∗
α(t ) = δ1 (t ), Ck = 1 / T , а в общем случае из (2.19)
∗
X (t ) =
∞
∑ x(t )C k e jkω0t .
k = −∞
40
(2.20)
k = −∞
=
что и требовалось доказать.
С другой стороны, из F (s ) = 1/ (s + α ) на основании выражения для
(
}
∞
∗
 ∞

X ( jω) = F  ∑ C k x(t )e jkω0t  = ∑ C k F x(t )e jkω0 t =
k = −∞
 k = −∞
0
?
–2ωгр
–ωгр
0
ωгр
Рис. 2.11
41
2ωгр
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
дует, что если x(t) – ограниченный спектр, т. е. X ( jω) = 0 при ω > ω2 p ,
где ω2 p = ω0 / 2 , то он однозначно определяется выборочными значе-
на интервале времени nT ≤ t ≤ (n + 1)T получим следующее прямоее
преобразование Лапласа:
[(
) ]
F (s ) = [(1 + sT ) / T ] 1 − e − sT /s
Таким образом,
ниями, относящими друг от друга на T = 2π / ω0 , причем ω0 = ω2 p называется частотой Найквиста (теорема Шеннона – Котельникова). Если
же спектр не ограничен, то восстановление сигнала потребует учета
наложения «хвостов» от периодических членов, что требует значительных вычислительных усилий.
Рассмотрим в качестве примера комплексный частотный спектр
C k для прямоугольных импульсов конечной длительности d (t , τ0 ) при
[(
2
.
) ]
2
F ( jω) = [(1 + jωT ) / T ] 1 − e − jωT / jω ;
F ( jω) = 1 + (ωT )2 ⋅ T [sin (ωT / 2) / (ωT / 2)]2 ;
ψ (ω) = arctg ωT − ωT .
Графики модуля и фазы представлены на рис. 2.13.
t > 0 (см. рис. 1.3) и τ0 = Т от реального дискретизатора:
τ0
C k = (1 / Tτ 0 ) ∫ e − jkω0t dt = [1 / T ] ⋅ [sin (kω0 τ 0 / 2 ) / (kω0 τ 0 / 2 )]e − jkω0τ0 / 2 ,
0
F ( jω)
т. е. появляется дополнительный фазовый сдвиг (− kω0 τ0 / 2 ) для такого дискретизатора. Указанный дискретизатор считается экстраполятором нулевого порядка. В информационную полосу частот (ИПЧ) вносятся определенные искажения (рис. 2.12).
0
–π/2
–π
ИПЧ
ωгр
2ωгр
3ωгр
ω
0 ωгр ωгр
2
2ωгр
–3π
3ωгр
ИПЧ
–φ
Рис. 2.12
Для экстраполятора первого порядка с изменением во времени
согласно соотношению
f (t ) = f n + ( f n − f n −1 )(t − nT ) / T
42
2ωгр
–6π
3ωгр
ИПЧ
2
–ω(jω)
Рис. 2.13
–2π
ω
ωгр
3ωгр ω
–4π
ω
ωгр
2ωгр
–2π
ИПЧ
0
C k
ωгр
0
Следует заметить, что в информационной полосе частот наблюдается даже небольшое усиление модуля, а запаздывание по фазе вдвое
выше, чем у экстраполятора нулевого порядка.
Если форма импульсов не прямоугольная или линейно нарастающая, а с произвольной огибающей α(t), существующей при 0 ≤ t ≤ τ0 , тоо
~
x (t ) = x(kT )α(t − kT ); kT ≤ t ≤ (k + 1)T .
В этом случае в s-области получим
~
L{~
x (t )} = X (s ) =
∞ (k +1)T
∑ ∫ x(kT )α(t − kT )e − st dt.
k = 0 kT
43
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
Если перенести интервал интегрирования на k тактов вперед, то
найдем
jω
∞ T
L{~
x (t )} = ∑ ∫ x(kT )α(t ) e − s (t + kT )dt =
= ∑ x(kT ) e
− skT
k =0
T
∫ α(t )e
0
∞
− st
ωгр
dt =
k =0
r=1
( )
σ1
f
0
−
Поскольку переход из s-области в z-область производится на основе
подстановки
d
c
2
b
f(t)
превращается в окружность радиуса z = e σ1T , а линии ω, параллельные оси σ, – в лучи, исходящие из начала координат (z = 0) под углом
ω1T (рис. 2.14).
Из него следует, что в главной заштрихованной области плоскости s:
− (ωгр / 2 ) ≤ ω ≤ (ωгр / 2 ) ; − π ≤ ψ z ≤ π.
Полюсы, расположенные вне единичного круга, отвечают неустойчивым системам, внутри круга – устойчивым. Точки на отрицательной полуоси в z-области (c, d, f) дают два отсчета за период, а пара
полюсов ± jω (точки α, b) соответствуют четырем отсчетам.
Более полная картина соответствия особых точек на z-плоскости
и соответствующих временных характеристик цепей отображена
на рис. 2.15.
f(t)
t
γ1
f(t)
α
f(t)
t
t
d
f(t)
2π/3
c
t
1
f(t)
t
γ2
f(t)
f(t)
b
t
t
t
Рис. 2.15
44
0
Рис. 2.14
то z = e σT и при σ < 0 z < 1, при σ = 0 z = 1 и, наконец, при σ > 0 z > 1,
Точки, лежащие на мнимой оси jω, отражаются в z = e jωT (окружность единичного радиуса). Левая полуплоскость s отображается на
внутренней части окружности, а каждая линия σ1 , параллельная jω,
ω1T
ωгр
–ω1
ze sT = e (σ + jω)T = e σT e jωT = z e jψ z ,
ψ z = ωT .
eσ1T
2
= ∑ x(kT ) e − skT α(s ) = α(s ) X * e sT .
z
s
α
ω1
k =0 0
∞
s
45
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Если взять, например, две точки γ1 и γ 2 с аргументом 2π/3,
то при f (t ) = cos t (ω = 1) период дискретизации соответствует T = 2π/3.
В этом случае
(
f (t ) = e + e
jt
− jt
(
)

/ 2 ÷ z

)
2π 

j
z −e 3 +z




2π 

−j
 z − e 3  / 2 =




= z ( z + 0,5) / z 2 + z + 1 = 1 − 0,5 z −1 − 0,5 z − 2 + z − 3 + ...
Для данной функции f(t) выборки совершаются трижды за период, что и отражено на рис. 2.16.
f(t)
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
f (t )
1
1
t
0
−1
1
1
−1
Рис. 2.17
0
−0,5
−0,5
M
t
Н (z ) =
Рис. 2.16
Пример 2.10
Рассмотрим более сложную функцию
f (t ) = cos t + sin t; ω = 1.
В этом случае для точек а и b (рис. 2.15) получим изображение
согласно табл. 1.1:
(
=
46
)(
)(
n=0
N


1 + ∑ bn z − n 
 n =1

=
) (
) (
)
a0 1 − a1 z −1 1 − a2 z − 2 ... 1 − aM z −1
=
1 − b1 z −1 1 − b2 z − 2 ... 1 − bN z −1
)
M
=
)
f (t ) ÷ z ( z + 1) / z 2 + 1 = 1 + z −1 − z − 2 − z − 3 + ...
Выборки совершаются четыре раза за период, дискреты показаны
на рис. 2.17.
Ряд других иллюстративных примеров по взаимосвязи z- и s-областей будет рассмотрен в гл. 3.
Обычно передаточная функция цепи имеет дробно-рациональное
представление:
(
(
∑ an z − n
∏ ( z − ai )
a0 z N − M iN=1
∏ (z − b j )
(2.21)
,
j =1
где ai и b j – нули и полюсы H(z) – системной функции.
Амплитудно-частотные (АЧХ) и фазочастотные (ФЧХ) характеристики цепей могут быть определены из (2.21) на основе подстановки z = e jωT :
47
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
H (ω) = H ( jω) = 20 lg H ( z )
;
z = e jω T
ψ(ω) = arg {H ( jω)} = arctg{ImH ( z ) / ReH ( z )} z =e jωT .
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях
(2.22)
(2.23)
Таким образом, на основании (2.21) и (2.22) получим
M
H (ω) = 20 lg a 0 ∏ e
jωT
i =1
N
∏e
− ai
jωT
j =1
− bj .
Или с учетом обозначений (1.9):
H 3 (ω) = 1 − cos mωT + j sin mωT = 2 sin (mωT / 2 ) ;
(
ψ 3 (ω) = (π / 2 ) − (mωT / 2 );
)(
j =1
[
]
)
m
Н1 ( z ) = 1 − z −1; Н 2 ( z ) = 1 − z −1 ;
Н 3 ( z ) = 1 − z − m ; Н 4 (z ) =
m −1
h3 (n ) = δ0 (n ) − δ0 (n − m ) – импульсная характеристика данной системы.
А для H 4 ( z ) имеем h4 (n ) = δ1 (n ) − δ1 (n − m ), что и отражено на рис. 2.18.
Заметим также, что в примере 2.11 дискретная частотная характеристика совпадает с непрерывной лишь при ω < ωгр .
h4(n)
h3(n)
∑ z −k .
k =0
Рассматривая последовательно указанные функции, найдем:
(
)
H1 e jωT = 1 − e − jωT = 1 − cos ωT + j sin ωT = 2 sin (ωT / 2 ) ;
ψ1 (ω) = arctg [sinωT / (1 − cos ωT )] = (π / 2 ) − (ωT / 2 );
H 2 (ω) = [H1 (ω)] m = 2 m sin (ωT / 2 ) ;
m
1
n
0 12
m
Рис. 2.18
Попутно заметим, что выходной сигнал системы с передачей H1 ( z )
называется первой «разностью»:
∆x(nT ) = x(nT ) − x[(n − 1)T ],
а выход с H 2 ( z ) соответствует m-й «разности»
}
∆x[n] = ∆ ∆m −1 x[n] .
48
n
m
ψ 2 (ω) = (π / 2 − ωT / 2 ) m.
{
= H 3 (ω) / H1 (ω) =
Любопытно отметить, что дискреты для H 3 ( z ) есть (при Т = 1):
Обратимся к некоторым примерам.
Пример 2.11
Определить АЧХ и ФЧХ для следующих функций:
(
z = e jωT
ψ 4 (ω) = (1 − m )ωT / 2.
i =1
− ∑ arctg sin ωT / (cos ωT − b j ) .
)
= sin (mωT / 2 ) / sin (ωT / 2 ) ;
M
ψ(ω) = ( N − M )ωT + ∑ arctg[sin ωT / (cos ωT − ai )] −
N
}
Далее обратимся к H 3 ( z ) и H 4 ( z ) из условий примера 2.11:
1:
H 4 (ω) = 1 − z − m / 1 − z −1
Соответственно из (2.21) и (2.23) получим:
{
∆xn = xn − xn −1 ; ∆xn = ∆ ∆m −1 xn .
49
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей
Применим Z-преобразование к (3.2), тогда для любого члена
_____
Глава 3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ
И АНАЛОГО-ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ
ym + q ; q = 0, m , с учетом (1.16) получим
Z {yn + q } =
3.1. Разностное уравнение и системные функции
В предыдущем параграфе введено понятие «разности». Рассмотрим эту проблему детальнее. Поскольку первая разность составляет
∆x(nT ) = x(nT ) − x[(n − 1)T ] = x n − x n −1 ,
где
xn = x(nT + 0 ); ∆2 x = ∆{∆x} = ∆xn − ∆xn −1 = xn − 2 xn −1 + xn − 2 ,
то разностное уравнение m-порядка имеет следующий вид:
m
(
2
m −1
)
∆ x = f xn , ∆xn , ∆ xn , ..., ∆ xn , n ,
или, в иной форме записи,
(3.1)
x n = g ( x n , x n−1 , x n −2 ,..., x n −m , n ).
Представленные уравнения могут быть решены при известных
начальных условиях: x0 , x1 , x2 , ..., xm −1 . При описании цепей с помощью
той или иной формы разностных уравнений получим (считая x(t) возбуждением, а y(t) – реакцией системы)
∞
∞
∞
n=0
p=q
p=q
∑ yn + q z − n = ∑ y p z − ( p − q ) = z q ∑ y p z − p =
q −1
 ∞

= zq  ∑ ypz− p − ∑ ypz− p  =
p =0
 p = 0

[
]
= z q Y ( z ) − y0 − y1 z −1 − y2 z − 2 , ..., yq +1 z − ( p −1) .
Подставим полученное соотношение в (3.3):
(b z
0
m
)
(
)
+ b1 z m −1 + ... + bm Y ( z ) = X ( z ) + y0 bm −1 z + bm − 2 z 2 + ... + b0 z m +
(
2
3
+ y1 bm − 2 z + bm − 3 z + ... + b0 z
m −1
) + ... + y
m −1b0 z.
Большой интерес представляют встречающиеся относительно часто
уравнения при m = 2, т. е.
(b z
0
или
2
)
(
)
+ b1 z + b2 Y ( z ) = X ( z ) + y0 b1 z + b0 z 2 + y1b0 z
[
(
)
Y ( z ) = X ( z ) + y0 b1 z + b0 z 2 + y1b0 z
] [b z
0
2
]
+ b1 z + b2 .
a 0 y 0 + a1∆y + a 2 ∆2 y + ... + a m ∆m y = x n ,
Здесь корни знаменателя составляют при z + (b1 / b0 )z + b2 / b0 = 0
где, как и выше, ∆y = yn − yn −1 , аi – вещественные коэффициенты
λ1, 2 = −(b1 / 2b0 ) ± b12 / 4b02 − (b2 / b0 ).
В зависимости от знака дискриминанта (как и в случае дифференциального уравнения второго порядка) возможны три варианта.
Итак,
i = 0, m . Выполняя замену соответствующих разностей, можно
получить
b0 yn + b1 yn −1 + b2 yn − 2 + ... + bm yn − m = xn .
Если сдвинуть рассмотрение процессов на m тактов, то
(3.2)
b0 yn + m + b1 yn −1+ m + ... + bm yn = xn .
Из (3.2), перенося все слагаемые (кроме первого) левой части
в правую, легко получить рекуррентную формулу:
(3.3)
b0 y n + m = x n − (b1 y n−1+ m + b2 y n− 2+ m + ... + bm y n ).
Если, в частности, принять n = 0, то по первым значениям
y0 , y1 , ym −1 можно определить ym , а затем, полагая n = 1, найти ym +1 и т. д.
50
2
(
)
Y (z ) = [ X ( z ) / b0 (z − λ1 )( z − λ 2 )] +
+
{[y (b z + b z )+ y b z ] b (z − λ )(z − λ )}=
0
1
0
2
1 0
0
1
2
= X ( z ) / b0 ( z − λ1 )( z − λ 2 ) + A1 z ( z − λ1 ) + A2 z ( z − λ 2 ),
где вычеты
A1 = ( y1 − y0λ 2 ) / λ1 − λ 2 ; A2 = ( y1 − y0 λ1 ) / (λ 2 − λ1 ).
Переходя во временную область с учетом (1.19), получим
51
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей
(3.4)
yn = Z −1{X ( z ) / b0 ( z − λ1 )( z − λ 2 )} + A1λn1 + A2λn2 .
Рассмотрим варианты различных корней характеристического
уравнения λ1 и λ 2 , положив первый член равным f n .
а)
+
–
1. При b1 < 2b2b0 для корней получим комплексно-сопряженную
да
пару: λ1 = Me jα и λ 2 = Me − jα , где М – модуль, α – аргумент. Тогда
из (3.4) получим
(
jα
)
n jα n
yn = f n + y1 − Me , y0 M e
(
)
(
/M e
(
jα
−e
− jα
)
U10
б)
)–
Далее, выполнив перегруппировку членов, содержащих y1 и y0,
найдем
(
) (e
)
)/(e
(
− y0 M n e jα (n −1) − e − jα (n −1
jα
jα
− e − jα .
y n = f n + y1 M n −1 (sin nα / sin α ) − y 0 M n [sin (n − 1)] sin α . (3.5)
2. Полагая в (3.5) β = jα , найдем результат для вещественных (раз-
личных) корней с учетом sin α = sin (− jβ ) = − jshβ :
]
(3.6)
y n = f n + y1 M n−1shnβ / shβ − y 0 M n sh (n − 1)β / shβ .
3. В случае одинаковых (равных друг другу) корней выполним
в (3.6) предельный переход λ1 − λ 2 = b1 / 2b0 = Fe β , β → 0, shβ n = nβ.
В результате получим
yn = f n + y1nM n −1 − y0 (n − 1)M n .
(3.7)
Пример 3.1
Определить токи и напряжения цепи, показанной на рис. 3.1, а.
На рис. 3.1, б выделен отдельный четырехполюсник. Из рисунка следует, что ik = ik +1 − ik −1 = G1 (U k +1 − U k ) − G1 (U k − U k −1 ) = GU k , где
G1 = 1 / R1; G = 1 / R.
Перегруппируем члены, тогда
u k +1 − (2 + G / G1 ) u k + u k −1 = 0 .
52
R1
R1
R1
ik+1
+
–
U2
R
ik–1
+
ik
uk–1
R
–
)
C учетом формулы Эйлера получим:
[
R
uk+1
− e − jα –
)
R1
+
− y1 − Me jα , y0 M n e − jαn / M e jα − e − jα .
yn = f n + y1M n −1 e jαn − e − jαn
R1
R1
–
Рис. 3.1
На границах
u n = U 10 , u 0 = U 2 .
системы
имеем
следующие
условия:
Корни характеристического уравнения λ2 − (2 + G / G1 ) λ + 1 = 0
составляют: λ1, 2 = 1 + G / 2G1[1 ± 4G1 / G2 ]. Из соотношения (3.4) при
x(t) = 0 можно получить
[ (
)
] [ (
)
]
] [ (
)
]
y n = y1 λn1 − λn2 / (λ1 − λ 2 ) − y 0 λ 2 λn1 − λ1λn2 / (λ1 − λ 2 ) .
При n = 1 y1 = u2, при k = n – 2 и k + 2 = n yn = U10, т. е. с учетом (3.6)
и (3.7) найдем
[ (
)
U 10 = u 2 λn1 − λn2 / (λ1 − λ 2 ) − y0 λ 2 λn1 − λ1λn2 / (λ1 − λ 2 ) ,
откуда после дополнительных преобразований установим, что
)
[ (
= [u (λ − λ ) / (λ λ
y 0 = u 2 λn1 − λn2 / (λ1 − λ 2 ) − U 10
)]
] (λ
1
(
) / (λ λ
)
).
− λ 2 ) / λ 2 λn1 − λ1λn2 =
− U 10 (λ1 − λ 2
2
Из предшествующих уравнений несложно установить, что для
любого k = n
= u2
{(
λk1
−
λk2
n
1
n
2
) (λ
− λ2 )+
1
n
2 1
+ U 10
(
(λ
− λ1λn2
n
2 1
uk = yk =
λn1
)(
− λn2 λ 2 λk1 − λ 1 λk2
k
2 λ1
)(
− λ 1 λk2 / λ 2 λn1 −
53
) (λ
n
2 λ1
λ 1 λn2 .
)
− λ1λn2
)
}
− λ 1 λn2 (λ 1 − λ 2 ) +
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей
По узловым напряжениям легко определить токи ветвей
ik = Gk u k , ik +1 = G1 (u k +1 − u k ) и т. д.
Между прочим, из (3.1) после Z-преобразования непосредственно следует два важных частных случая: yn = xn −1 – цепь задержки
и yn = axn – усилитель (умножитель), представленный на рис. 1.7.
Кроме того, как это уже применялось выше, имеются суммирующие (вычитающие) элементы, обозначаемые на рисунках кружком либо
символом Σ.
Так, для элемента единичного запаздывания
Z {yn } = Z {n − 1} =
∞
∑ xn −1 z
n=0
−n
=
∞
∑ xm z
− (m +1)
m = −1
= z X ( z ) + x(− T ) = z X ( z ) + y (0) = X ( z ).
−1
−1
=
(3.8)
Для масштабного элемента Z {axn } = aX ( z ).
В главе 2 получено выражение для функции передачи H(z) из (2.6):
H ( z ) = Y ( z ) / X ( z ).
С учетом (2.21) имеем
M
N


X ( z ) ∑ an z − n = Y ( z )1 + ∑ bn z − n ,
n=0

 n =1
откуда следует рекуррентное соотношение для нахождения дискрет-
∗
ной реакции y (t ) согласно (1.8):
∗
(
]
)
(
] = 3 − z (e
)
−1
− αT
Переходя в s-область, найдем
(
)
)
(
)
+2 .
(
)
X (s ) − X (s )e − sT 1 + e −αT + X (s )e − 2 sT e −αT = 3 − e − sT e −αT + 2 .
Отсюда во временной области с учетом запаздывания и линейности
(
)
(
)
x(t ) − x(t − T ) 1 + e −αT + x(t − 2T )e −αT = 3δ 0 (t − T ) e −αT + 2 .
Разностное уравнение составит:
(
)
x(nT ) − x[(n − 1)T ] 1 + e − αT + x[(n − 2)T ] e − αT =
(
)
= 3δ0 (nT ) − δ 0 [(n − 1)T ] e − αT + 2 .
Итак,
x(0 ) = 3, x(T ) = 1 + 2e −αT , x(2T ) = 1 + 2e −2αT , x(3T ) = 1 + 2e −3αT
и т. д., что совпадает с результатами примеров 1.10 и 1.11.
Пример 3.3
По заданной передаточной функции перейти к функции времени:
(
H ( z ) = ( z − 1) e −αT − e −βT
Ясно, что
) (b − a )[z
(
)
]
− z e −αT + e −βT + e −(α +β )T =
= Y ( z ) / X ( z ).
(
2
]
)
(
(
]
)
Y ( z ) z 2 − z e −αT + e −βT + e −(α +β )T =
)
X ( z ) = 3 z − ze
− 2 z / ( z − 1) z − e
(условие примера 1.11).
Представим X(z) в следующем виде (после деления числителя
и знаменателя на z2):
54
[
X ( z ) = 1 − z −1 1 + e − αT + z − 2e − αT
[
k =0
− αT
(
Освобождаясь от полинома знаменателя, получим:
[
y (t ) = ∑ y (kT )δ 0 (t − kT ).
2
)] [
(
)
Y ( z )(b − a ) z 2 − z e −αT + e −βT + e −(α +β )T = X ( z )( z − 1) e −αT − e −βT .
После деления обеих частей равенства на z2 найдем:
∞
Пример 3.2
Найти функцию времени для
[
X ( z ) = 3 − z −1 e − αT + 2 / 1 − z −1 1 + e − αT + z − 2e − αT .
− αT
(
= X (z ) z
−1
−z
−2
)(e
− αT
−e
−βT
)/(b − a ).
Перейдем в s-область и перегруппируем члены
(
)
Y (s ) = Y (s )e − sT e − αT + e −βT − Y (s )e − 2 sT e − (α + β )T +
(
)(
)
= X (s ) e − sT − e − 2 sT e − αT − e −βT / (b − a ).
55
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Отсюда следует выражение для временной области:
(
)
yn = yn −1 e −αT + e −βT − yn − 2e −(α +β )T +
(
)
+ ( xn −1 − xn − 2 ) e −αT − e −βT (b − a ),
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей
u (t ) − 1 / (CR1 ) − 1 / C  uC (t ) 1 / (CR1 )
d / dt  C  = 
⋅
+
⋅ u1 (t );
− R2 / L   iL (t )   0 
 iL (t )   1 / L
u (t )
u1 (t ) = [0 R2 ] ⋅  C .
 iL (t ) 
где, как и ранее, yn = y (nT ); xn = x(nT ).
Пример 3.4
Рассмотрим некоторые частотные примеры разностных уравне-
R1
L
ний. Так, уравнение yn = xn2 отвечает нелинейной цепи без памяти, а
уравнение yn = nxn – тоже безынерционной цепи, но линейной, зависящей от времени (нестационарной). Уравнение yn = 2 xn + 3 xn −1 соответствует линейной системе с памятью, поскольку выход зависит от
предшествующих значений входного сигнала (сравнить с примером 1.2).
Пример 3.5
Решить однородное (правая часть равна нулю) разностное уравнение при начальных значениях y0 = 3 , y1 = 2:
yn − 6 yn −1 + 8 yn − 2 = 0.
Перейдем к уравнению, смещенному на 2 такта:
yn + 2 − 6 yn +1 + 8 yn = 0.
Перейдем в z-область:
(z Y (z ) − z
)
3 − z 2 − 6( zY ( z ) − z 3) + 8Y ( z ) = 0 .
Отсюда определим Y(z):
2
(
2
)(
) (
)
Y ( z ) = 3z 2 − 16 z / z 2 − 6 z + 8 = z 3z − 16 / ( z − 4)( z − 2) =
= [5 z / ( z − 2)] − 2 z / ( z − 4 ) ÷ 5(2 )n − 2(4 )n = yn .
Рассмотрим получение разностных уравнений, описывающих цепь
по методу переменных состояния при использовании распространенных методов Эйлера (прямого и обратного), трапеций и Симпсона.
Пример 3.6
Составить разностные уравнения на примере цепи, показанной
на рис. 3.2. Применяя известную методику, несложно получить следующие уравнения, считая переменными состояния uС(t) и iL(t), а реакциåé u2(t):
56
iL(t)
iС(t)
+
–
u1(t)
С
+u (t)
C
–
+
R2
u2(t)
–
Рис. 3.2
1. В случае прямого метода Эйлера получим:
d / dt [u C (t )] ≅ [uC (t + ∆t ) − uC (t )] / ∆t = f1 (t );
d / dt [i L (t )] ≅ [i L (t + ∆t ) − i L (t )] / ∆t = f 2 (t ) ,
где ∆t – шаг дискретизации во времени. При этом исходная система
уравнений сводится к следующей:
uC (t + ∆t ) ≅ (1 − ∆t / (СR1 ))uC (t ) − iL (t )∆t / C + ∆tu1 (t ) / (СR1 );

iL (t + ∆t ) ≅ ∆tuC (t ) / L + [1 − R2 ∆t / L]iL (t );
u (t ) = R i (t ).
 2
2 L
Примем, что
t = n∆t = nT ; uC (t ) = uC (n∆t ) = uC (n ); T = 1; iL (t ) = iL (n ),
тогда
uC (n + 1) = (1 − T / (СR1 ))uC (n ) − TiL (n )∆t / C + Tu1 (t ) / (СR1 );

iL (n + 1) = TuC (n ) / L + [1 − R2T / L]iL (n );
u (n ) = R i (n ).
2 L
 2
57
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
2. Для обратного метода Эйлера найдем
f1 (t ) = d / dt [U c (t )] ≅
≅ [uC (t + ∆t ) − uC (t )] / T ⇒ f1 (t + T );
f 2 (t ) = d / dt [iL (t )] ⇒ f 2 (t + T ).
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей
Пример 3.7
Определить структурные схемы в z-области, эквивалентные интегралу (1/s) в s-области, на основе рассмотренных выше правил дифференцирования функций в примере 3.6.
В t-области и s-области имеем соответственно рис. 3.3, а и б.
а)
В этом случае исходная система уравнения примет вид с учетом
тождеств (правые части системы содержат аргумент t + T):
y(0)
uC (t + T ) + TiL (t + T ) / C [1 + T / (СR1 )] = uC (t ) /[1 + T / (СR1 )] +

+ Tu1 (t + T ) / (T + СR1 );


iL (t + T ) − TuC (t + T ) / L[1 + R2T / L] = iL (t ) /[1 + R2T / L]iL (n );
u2 (t + T ) = R2iL (t + T ).
x(t)
uC (n + 1) + TiL (n + 1)∆t /[С + T / R1 ] = СR1uC (n ) /[T + С / R1 ] +

+ Tu1 (n + 1) /[T + С / R1 ];


iL (n + 1) − TuC (n + 1) /[L + R2T ] = LiL (n ) /[L + R2T ];
u2 (n + 1) = R2iL (n + 1).
тогда
d / dt[uC (t )] ≅ uC (t + T ) − uC (t ) / T = [ f1 (t + T ) + f1 (t )] / 2,
u C (n + 1) + TR1i L (n + 1) /[2СR1 + T ] = [2СR1 − T ]u C (n ) /[2СR1 + T ] +
+ TR1i L (n ) /[2СR1 + T ] + T [u1 (n + 1) + u1 (n )] /[2СR1 + T ].
X(s)
+ T [u1 (n ) + 4u1 (n + 1) + u1 (n + 2 )] .
58
1/ s
+
Y(s)
Рис. 3.3
Исходим из соотношений
d / dt[ y (t )] = x(t ); sY (s ) − y (0) = X (s ).
Ясно, что Y (s ) = X (s ) / s + y (0 ) / s (рис. 3.3, б). Обратимся к методам примера 3.6.
1. Прямой метод Эйлера приведет к
d / dt [ y (t )] ≅ y (t + T ) − y / T = x(t );
d / dt [uC (t )] = [uC (t + 2T ) − uC (t )] / 2T =
+ 4Tu C (n + 1) − 4 R1Ti L (n + 1) − R1Ti L (n ) +
y(0)
s
4. Правило Симпсона приводит к формуле
= [ f1 (t ) + 4 f1 (t + T ) + f1 (t + 2T )] / 6.
Откуда после некоторых преобразований первого уравнения исходной системы получим
(3СR1 + T )u C (n + 2 ) + TR1i L (n + 2 ) = [3СR1 − T ]u C (n ) +
y(t)
б)
Или искомые разностные уравнения:
3. Формула трапеций. Для экономии выкладок рассмотрим лишь
первое уравнение
∫ (⋅)dt
y (t + T ) = Tx (t ) + y (t )
или
y (n + 1) = Tx (n ) + y (n ).
После перехода в z-область получим
~
Y ( z ) = TX ( z ) + Y ( z );
~
Y ( z ) = zY ( z ) − zy (0 ) = TX ( z ) + Y ( z ),
59
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
откуда
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей
z
[ y (0) − Tx (0)]
z −1
Y ( z ) = TX ( z ) /[z − 1] + zy (0) /[z − 1],
что отвечает функциональной схеме (рис. 3.4).
X(z)
y (0)
zT
z
+
z −1
z −1
Y(z)
Рис. 3.5
X(z)
T
+
z −1
Y(z)
Рис. 3.4
Сравнение первого уравнения (для Y(s)) и последнего (для Y(z))
позволяет заключить, что в z-область можно перейти из s-области (при
нулевых начальных условиях), выполняя замену
(
)
s = ( z − 1) / T = 1 − z −1 / Tz −1 ,
причем z = 1 + Ts – так называемая прямая разность.
2. Обратный метод Эйлера приведет к
d / dt [ y (t )] ≅ [ y (t + T ) − y (t )] / T = x(t + T )
или
y (n + 1) − y (n ) = Tx (n + 1) .
Перейдем в z-область:
zY ( z ) − zy (0) − Y ( z ) = TzX ( z ) − Tzx(0),
откуда получим
Y ( z ) = TzX ( z ) / ( z − 1) + z[ y (0) − Tx (0)] / ( z − 1).
Функциональная система интегратора представлена на рис. 3.5.
При y(0) = x(0) = 0 переход из s-области в z-область выполняется
(
)
путем замены s = ( z − 1) / Tz = 1 − z −1 / T , являющейся разностью, или
z = 1/(1 – sT).
3. При использовании метода трапеций:
d /dt [ y (t )] = [ y (t + T ) − y (t )]/ T = [x(t + T ) + x(t )]/ 2,
откуда yn +1 − yn = T [xn +1 + xn ] / 2 .
60
В z-области получим
Y ( z ) = T ( z + 1) X ( z ) / 2( z − 1) + z[ y (0 ) − Tx (0 ) / 2] / ( z − 1) ,
причем функциональная схема аналогична показанным на рис. 3.4
и 3.5. При y(0) = x(0) = 0 s- и z-области связаны преобразованиями
s = 2( z − 1) / T ( z + 1); z = [1 + sT / 2] /[1 − sT / 2]
– билинейное преобразование.
4. Обратимся к методу Симпсона:
[
z 2Y ( z ) − z 2 y (0 ) − zy (1) − Y ( z ) =
]
= T X ( z ) + 4 zX ( z ) − 4 zx(0 ) + z 2 X ( z ) − z 2 x(1) / 3,
откуда
[(
)
](
)
+ z {zy (0) + y (1) − T [( z + 4 )x(0 ) + x(1) / 3]} (z
Y (s ) = T 1 + 4 z + z 2 X ( z ) 3 z 2 − 1 +
2
)
−1 .
При выполнении условия y(0) = x(0) = y(1) = x(1) = 0 переход из sобласти в z-область можно выполнить при замене:
(
) (
)
s = 3 z2 −1 / T z 2 + 4z + 1 .
Рассмотрим подробнее области взаимных преобразований на комплексных плоскостях s- и z-переменных.
1. Прямая разность z = 1 + sT, s = (z – 1)/T. Примем для простоты,
что Т = 1, тогда z = 1 + s, s = z – 1. На рис. 3.6 показаны взаимные
соответствия точек A, B, C, D, E этих областей.
Так, например, точка s1 = –0,5 попадает в точку z1 = 0,5; точке
s2,3 = –1 ± j соответствует z2,3 = ± j; s4,5 = –1,5 ± j0,5 перейдут в z4,5 =
= –1,5 ± j0,5; точка s6 = –2 перейдет в z6 = –1; точка А – в z = 1. Ясно, что
61
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей
при таком преобразовании довольно легко можно оказаться за пределами единичного круга (с единичным радиусом) в z-области и попасть
в область неустойчивости при |z| > 1.
Точка s1 = –0,5 перейдет в точку z1 = 2/3, точки s2,3 = –1 ± j –
в z2,3 = (2 + j)/5; s4,5 – в z4,5 = (0,3 ± j)/0,5; точка s6 = –2 – z6 = 1/3 и т. д.
3. Билинейное преобразование (рис. 3.8):
s = 2( z − 1) / ( z + 1); z = (1 + 0,5s ) / (1 − 0,5s ).
На нем показаны точки
z1 = 0,6; z2,3 = (1 + j 2 ) / 5; z 4,5 = (3 + j 4 ) / 25; z6 = 0.
Любопытно отметить, например, что для прямой разности при
T = 2, z = 1 + 2s и точка s1 = –0,5 перейдет в z1′ = 0, s2,3 – в z ′2,3 = −1 ± j 2
Im{z}
jω
s2
B
s4
E s6
–∞ –2
s5
s
z
z2′
j
0,5
D
s1
–1 –0,5 0
A
E –1
σ
–∞
B
z2
z4
π/4
z6
–0,5
z1
A 1
Re{z}
–π/4
0
z5
z3′
s3
z3
C
Рис. 3.6
2. Обратная разница при Т = 1 дает s = (z – 1)/z; z = 1/(1 – s). При
этом точка В попадает в z = 1/(1 – j) = (1 + j)/2, точка С = –j в s-области
перейдет в z = (1 – j)/2, точка Е перейдет в начало координат, точка
D – z = 0,5 (рис. 3.7).
и т. д. (см. рис. 3.6), а при обратной разности и билинейном преобразовании соответствующие точки в z-плоскости будут располагаться в области устойчивой
аппроксимации (преобразования, соответствующего устойчивой системе). Однако, например, при s 2,3 = 1 ± j (рис. 3.7, б)
Im{z}
E z4
z6
0
z2
z5
В
A
z11 Re{z}
Рис. 3.7
z3 C
точки окажутся в z ′2,3 = ± j 2 (не указаны
на рис. 3.8). Так что при увеличении шага Т
Рис. 3.8
легко оказаться вне области устойчивости.
С другой стороны, при сокращении шага дискретизации (Т → 0)
получим следующие приближенные значения:
а) прямая разность:
z = 1 + Ts;
б) обратная разность:
z = 1 / (1 − sT ) = 1 + Ts / (1 − sT ) ≅ 1 + Ts;
в) билинейное преобразование:
z = (1 + sT / 2 ) / (1 − sT / 2 ) = 1 + Ts / (1 − sT / 2 ) ≅ 1 + Ts;
4. Метод Симпсона (вывод опущен и его рекомендуется получить
самостоятельно): z = 1 + Ts. Другими словами, если частота дискретизации намного выше частоты Найквиста, частотные характеристики
при любых перечисленных преобразованиях воспроизводится примерно с одинаковой точностью. К сожалению, при этом велики затраты
машинного времени на требуемые вычисления.
62
63
Im{z}
z ′2
B
0,5
z2
E
z6
0
1/3 D
0,5
z5
z3 C
z3′
z4
z1
A
Re{z}
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
3.2. Подбор динамических характеристик системной
функции, отвечающей разностным уравнениям,
и системной функции аналоговой цепи
После установления возможных способов перехода из s-области
в z-область и обратно необходимо уточнить вид разностного уравнения системы с целью:
а) получения одинакового количества нулей и полюсов передаточных функций H(z) и H(s);
б) подбора соответствующих значений нулей и собственных частот цепей;
в) получения одинаковых предельных (конечных) значений функций при t → ∞, z → 1;
г) получения в явном виде одной функции из другой.
Перечисленных целей можно достигнуть с помощью следующего алгоритма расчета.
Алгоритм
1. По исходному дифференциальному уравнению получаем функции цепи, используя одностороннее преобразование Лапласа (как правило, с расширенным нижним пределом).
2. Вычисляются нули и полюсы найденной системной функции.
3. Определяем значения нулей и полюсов в z-области по выражениям
zпол = е sполT ; zнул = е
s нул T
.
4. Определяем дробно-рациональную функцию H(z) с произвольной постоянной по особым точкам п. 3.
5. Определяем конечное значение H(z) при воздействии ступенчатой функции (как в п. 5, так и в п. 6 могут быть использованы произвольные виды воздействий).
6. Находим конечное значение постоянной передачи для H(z).
7. Дополняем количество корней для H(z) с целью получения равных старших степеней полиномов числителя и знаменателя.
8. Получаем искомое разностное уравнение по H(z) из п. 8.
Покажем использование данного алгоритма на ряде примеров.
Пример 3.7
Определить разностное уравнение для системной функции звена
2-го порядка фильтра верхних частот вида
64
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей
Н ( z ) = s 2 / (s + a )(s + b ),
где а, b – корни знаменателя, полученные из условий аппроксимации
частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ) или совместных требований
к его характеристикам во временнóй и частотной областях.
Нули H(z): sнул1 = sнул 2 = 0 . Полюсы: sпол1 = −а; sпол 2 = −b (пункт 2
алгоритма).
Согласно пункту 3 получим
z нул1 = z нул 2 = e
нул1, 2T
= 1; z пол1 = е −аТ ; z пол 2 = е −bТ .
По пункту 4 установим, что
H ( z ) = k ( z − 1)2 / ( z − zn1 )( z − z n 2 ) =
(
)(
)
= k ( z − 1)2 / z − e aT z − e bT ,
где k – некоторая постоянная, которую необходимо определить.
В соответствии с п. 5 конечное значение оригинала при t → ∞
определится по теореме о конечном значении функции по формуле
Y ( z ) / X ( z ) z =1 = ( z − 1)H ( z )z / z ( z − 1) → 0;
sH (s ) / s s → 0 → 0.
Здесь первый сомножитель от предельной теоремы, третий –
функция Хевисайда. Таким образом, можно выбрать k = 1 (п. 6).
Окончательно получим (опуская п. 7):
[
] [
]
H ( z ) = z 2 − 2 z + 1 / z 2 − z ( zпол1 + zпол 2 ) + zпол1 zпол 2 = Y ( z ) / X ( z ).
Согласно п. 9 определим разностное уравнение системы:
yn − ( zпол1 − zпол 2 ) yn −1 + zпол1 zпол 2 yn − 2 = xn − 2 xn −1 + xn − 2 .
В разностном уравнении произведено смещение на 2 такта (числитель и знаменатель H(z) делим на z–2).
Пример 3.8
Фильтр нижних частот второго порядка, требования те же:
Н ( z ) = k0 / (s + a )(s + b ),
где k – постоянный коэффициент; (–а), (–b) – полюсы:
H ( z ) = kz 2 / ( z − z n1 )( z − z n 2 ); H (s ) s → 0 = k0 / ab;
H ( z ) z →1 = k /[1 − ( z n1 + z n 2 ) + zn1 z n 2 ] = k0 / ab,
откуда при zn1 = e − aT , zn 2 = e − bT k = k0 z n1 zn 2 / ab.
65
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Из соотношения
H ( z ) = Y ( z ) / X ( z ) = k / 1 − ( z n1 + z n 2 )z −1 + z n1 z n 2 z − 2
[
]
получаем разностное уравнение
yn = ( zn1 + z n 2 ) yn −1 + zn1 z n 2 yn − 2 + kxn .
Если полюсы комплексно-сопряженные числа (колебательный
режим в цепи), то
z n1 = −εω0 + jω0 1 − ε 2 ; z n 2 = −εω 0 − jω0 1 − ε 2 ;
знаменатель H(z) равен s 2 + 2εω0 s + ω02 , числитель – ω02 , где ω0 – резозонансная частота; ε – коэффициент затухания колебаний. Несложно установить, что
2
2
zn1 + z n 2 = e − εω0T  e jω0T 1− ε + e − jω0T 1− ε  = 2e ω0T cos ω0T 1 − ε 2 ;


z n1 zn 2 = e − 2εω0T .
− εω T
− 2 εω 0T
2
.
В этом случае k0 = ab, k = 1 − 2e 0 cos ω0T 1 − ε + e
Пример 3.9
На полосовой фильтр воздействует пилообразный сигнал:
Н (z ) = s / (s + a )(s + b ), x(t ) = kt; k > 0.
В данном случае ноль s1 = 0, полюсы s1 = –a, s2 = –b. Согласно п. 5
алгоритма
sH (s ) / s 2
s →0
= 1 / ab;
H (s ) = ( z − 1)zk 0 / ( z − z n1 )( z − z n 2 ) ,
где k0 – постоянная, нуждающаяся в определении.
С учетом п. 6 и примера 1.3 получим
(z − 1)2 zk0Tz / ( z − zn1 )( z − zn 2 )( z − 1)2 z z =1 = k0T / (1 − zn1 )(1 − zn 2 );
Глава 4. МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ
ДИСКРЕТНО-АНАЛОГОВЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ
4.1. Системные функции
Рассмотренный в [1] метод подбора корней приводит к системным функциям, легко реализуемым на базе ячеек фильтра нижних частот вида Тн(s) = a/(Ts + a) и его дополнительного, определяемого выражением (а и Т – постоянные коэффициенты):
Tв (s ) = 1 − Tн (s ) = Ts / (Ts + a ) = s / s(s + a / T ) = 1 − a / (Ts + a ). (4.1)
Выражение (4.1) отвечает фильтру верхних частот. С использованием (4.1) несложно получить характеристику полосового фильтра:
Tп (s ) = [s / (s + s / T )][b / (s + b / T1 )] = sb / (s + s / T )(s + b / T1 ), (4.2)
где b, Т1 – некоторые коэффициенты.
Системная функция заграждающего фильтра следует в качестве
дополнительного к полосовому, т. е.
Т3(s) = 1 – Tп(s) = (s–s + a–b/T–T1)/(s + a/T)(s + b/T1),
при выборе частного случая b = a–T1/T(T1 –1).
Промоделируем, например уравнение (4.1) (рис. 4.1). Для функции
–a/(T–s + a) имеется полюс s = –a/T, в z-области z = exp (–a), так что
− a / T (s + a / T ) = −(a / T )k / ( z − exp(− a )), где k находится при s → 0,
откуда k = (1 – exp(–a))/a/T, поэтому uвых1 (n ) = uвых1 (n − 1) exp(− a ) +
) + uвх1 (n )(exp(− a ) − 1) – разностное уравнение.
uвх1
uвх(s)
a
Ts + a
66
Σ
+
z n1 = e − aT ; zn 2 = e − bT .
Приравнивая постоянные значения, получим
k0 = (1 − z n1 )(1 − z n 2 ) / abT .
Разностное уравнение составит
yn = ( zn1 + z n 2 ) yn −1 + zn1 z n 2 yn − 2 + k0 xn − k0 xn −1.
uвых1 –
uвых(s)
Рис. 4.1
Полосовой фильтр (4.2) соответствует функциональной схеме,
показанной на рис. 4.2, причем используются системные функции только фильтров нижних частот. При реализации произвольных нулей при
67
Глава 4. Методы реализации дискретно-аналоговых и дискретных цепей
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
помощи функции ФНЧ необходимо еще дополнительно рассмотреть
функцию вида:
T (s ) = (s + b ) / (s + a ) = [s / (s + a / T )] + [b / (s + a / T )] =
= [− a / T / (s + a / T )] + 1 + b / (s + a / T ).
Z-преобразование этого выражения составит
T ( z ) = −[(1 − exp(− a ))z / ( z − exp(− a ))] + 1 +
+ [(1 − exp(− a ))zbT / ( z − exp(− a ))a ],
что приведет к следующему разностному уравнению:
u вых (n ) = u вых1 (n − 1) exp(− a ) + u вх1 (n )(exp(− a ) − 1) +
+ u вых2 (n ) + u вых3 (n − 1) exp(− a ) + u вх3 (n )(− exp(− a ) + 1)bT /a,
где для третьего слагаемого использованы по аналогии результаты
первого. В z-области получим блок-схему, представленную на рис. 4.3.
Еще раз подчеркнем, что введение принципа дополнительности
позволило реализовать фильтры с произвольными и системными функциями, используя лишь низкочастотный прототип, формировать нужные нули передачи, унифицировать подходы к реализации фильтров
высоких порядков.
Uвх(s)
–
a
Ts + a
Uвых(s)
a
Σ
s +b / T1
+
Рис. 4.2
Uвх2(z)
Uвх(z)
1−e− a z
z −e− a
Uвх1(z)
Uвх3(z)
z >i
1
1
1
1
~
k = k (1 − z1′ ) / (1 − ~z1 ) / (1 − z1 )(1 − z1′ ).
С учетом данного k окончательно определим Т1(z).
Моделирующее разностное уравнение примет следующий вид:
~
y′ = ~
z~
y + k ( x′ − ~z ′ x′ ),
–
Σ
+
1−e− a ⋅ b T
z −e− a a
Следует отметить, что подбор собственных частот (корней характеристического уравнения) может быть осуществлен и при частоте
дискретизации, не совпадающей с частотой дискретизации исходной
модели. Допустим, что исходная система имела при выбранном интерâàëå Т (выборка) некоторую аппроксимацию T(z) = k(z – z1')/(z – z1),
которая приводит к следующему разностному уравнению:
yn = z1 yn −1 + k ( xn − z1′ xn −1 ),
где yn – выходная реакция цепи; xn – входное воздействие.
В данном случае полюс z1 в s-области приведет к s1 = ln(z1)/T0,
а нуль даст s1' = ln (z1')/T0. При выборе иного интервала времени T0 < T1
получим новые полюс и ноль:
~z = exp(− s T ); ~
z1′ = exp(− s1′T 1 ),
1
1 1
где тильда указывает на пересчет значений полюса для нового интервала
T1. Таким образом, получим новую системную функцию
~
T1 ( z ) = k ( z − ~
z1′) / ( z − ~z1 ).
~
Здесь коэффициент k определяется при ступенчатом воздействии
и соответствующей реакции. Так, для исходного описания системы
H ( z ) = k ( z − z1′ )z / ( z − z1 )( z − 1),
конечное значение которого составит
~
lim( z − 1)H ( z ) / z
= k (1 − z ′ ) / (1 − z ) = k (1 − ~
z ′ ) / (1 − ~z ),
откуда
Uвых1(z)
+
4.2. Моделирование дискретных систем при частоте
дискретизации, отличной от исходной модели
Uвых(z)
n
1 n
n
1 n −1
причем штрихи относятся к переменным новой модели.
4.3. Структурные схемы дискретных цепей
Uвых3(z)
Рис. 4.3
В предшествующих параграфах мы неоднократно строили частные структурные схемы при решении конкретных примеров. Схемы,
68
69
Глава 4. Методы реализации дискретно-аналоговых и дискретных цепей
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
представляющие собой некоторые канонические реализации, строятся
на основании H(z):
H (z ) =
M
N

M

а)
xk
N
∑ an z − n /1 + ∑ bn z − n  = a0 z N − M ∏ ( z − ai ) / ∏ ( z − bi ).
 n =1

i =1
i =1
Данная системная функция относится к рекурсивным структурам.
При умножении числителя и знаменателя H(z) на полином Q(z)
получим
H ( z ) = Y ( z )Q( z ) / X ( z )Q ( z ),
где можно принять, что
a0
yk
Σ
n =0
a1
M
N
n =0
n =1
–b1
z–1
z–1
a2
M
N


Y ( z )1 + ∑ bn z − n  = X ( z ) ∑ an z − n .
 n =1

n=0
А для разностного уравнения:
уk =
z–1
z–1
–b2
z–1
–1
z
am
∑ an x(k − n ) − ∑ bn y (k −n ) .
Полученные выражения отражены в структурных схемах, показанных на рис. 4.4, а и б соответственно. Заметим, что при bi = 0, i = 1, N
получается так называемый трансверсальный фильтр (нерекурсивная
цепь). Не представляет труда при этом внести необходимые изменения
в рис. 4.4, а и б.
Кроме этих канонических двух форм представления H(z), можно
использовать разбиение системной функции на множители, как правило, первого и второго порядков. Реализация приводит к каскадному
–bn
б)
xk
a0
Σ
z–1
a1
–b1
z–1
P
соединению звеньев низших порядков (рис. 4.5), где H ( z ) = a0 ∏ H i ( z )
i =1
–b2
a2
(a 0 учитывается в одной или нескольких H i(z)). Каждая H i(z),
в свою очередь, может быть представлена согласно конфигурации
на рис. 4.4, а и б.
Возможен, наконец, и случай разбиения H(z) на сумму элементарных дробей, дающих параллельную структуру (на рис. 4.6), причем
q
H ( z ) = k 0 + ∑ H i ( z ).
am
z–1
–bn
i =1
Рис. 4.4
70
Σ
71
yk
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 4. Методы реализации дискретно-аналоговых и дискретных цепей
Кроме указанных вариантов представления H(z), можно получить
конфигурацию, отвечающую непрерывным дробям, приводящим к нескольким различным реализациям цепного характера [8].
методов в процесс анализа, диагностики и синтеза цепей, огромными
возможностями вычислительной техники.
Обозначим через x(kT) вектор переменных состояний цепи; u(kT) –
вектор входных воздействий, y(kT) – реакции, тогда по аналогии с представлением непрерывных линейных стационарных систем получим
xk
H1(z)
Hр(z)
H2(z)
yk
x((k + 1)T ) = Ax(kT ) + Bu (kT );
y (kT ) = C0 x(kT ) + Du (kT ),
Рис. 4.5
где А, В, С0 , D – матрицы динамики, входов, выходов и прямого усиления соответственно; здесь и далее индекс «0» введен для отличного от
обозначения С-элемента. Системе уравнений (4.3) отвечает функциональная схема (рис. 4.7).
k0
xk
H1(z)
(4.3)
Σ
D
yk
x(kT)
B
Σ
z–1
C
u(kT)
H2(z)
Σ
y(kT)
A
Hz(z)
Рис. 4.7
Рис. 4.6
4.4. Метод переменных состояний для линейных
дискретных схем
Метод переменных состояний получил широкое распространение
в аналоговых, аналого-цифровых (гибридных) и дискретных системах.
Это обусловлено внедрением универсальных аналого-вычислительных
72
Рассмотрим способы перехода от системной функции H(z) к уравнениям (4.3). Одним из известных является следующий. Положим, что
корни передаточной функции H(z) – простые, не кратные, тогда, используя представление H(z) в виде суммы элементарных дробей, найдем:
N
H ( z ) = ∑ [ci / ( z − zi )];
i =1
N

Y ( z ) = H ( z )U ( z ) = ∑ ciU ( z ) / ( z − zi ),
i =1

где сi – соответствующие вычеты в полюсах zi, i = 1, N .
73
Глава 4. Методы реализации дискретно-аналоговых и дискретных цепей
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Во временной области получим
Следует заметить, что из системы уравнений (4.3) можно непосредственно выразить H(z) через известные матрицы А, В, С0 и D. Выполним Z-преобразование для (4.3), тогда
N
y (kT ) = ∑ ci xi (kT ),
причем
или
i =1
(4.4)
Н ( z ) = C0 [z[1] − A]−1 B + D,
где [1] – единичная матрица соответствующего порядка.
Из примера 4.1 видно, что на основании соотношения (4.4)
0 
 z − 4
 1
H ( z ) = [10,−8]
( z − 2)(z − 4) ⋅   + 3 =

z − 2
 0
 1
X i ( z ) = U ( z ) / ( z − z i ).
Отсюда следует, что
zX i ( z ) = zi X i ( z ) + U ( z )
xi [(k + 1)T ] = Ax(kT ) + Bu (kT ),
где A = diag {z1 , z 2 , ..., z N }, B = [1, 1, ..., 1] N ⋅1 (t – операция транспониt
рования); у (kT ) = Cx(kT ); C = [c1 , c 2 , ..., c N ] 1⋅ N .
Система (4.3) может быть рассмотрена и для многополюсных це-
[
]
пей, описываемых матрицами системных функций [H ( z )] = H ij ( z ) p ⋅q
i = 1, p, j = 1, q с произвольными видами корней.
Пример 4.1. Получим представление в форме (4.3) для заданной
системной функции H(z):
H ( z ) = z (3 z − 16 ) / ( z − 2 )( z − 4 ).
Ясно, что полюсы z1 = 2, z2 = 4, тогда
2 0
A = diag {2, 4} = 
;
0 4
B = [1,1].
Выделим целую часть из H(z):
H ( z ) = 3 + (2 z − 24 ) / ( z − 2)( z − 4) =
= 3 + 10 / ( z − 2) − 8 / ( z − 4);
[C ] = [10,−8]; D = 3.
Искомая форма Коши в данном случае составляет
 x1 [(k + 1)] 2 0  x1 (kT ) 1
 x [(k + 1)] = 0 4 ⋅  x (kT ) + 1 ⋅ u (kT );
  2
 
 2
 
 x (kT )
y (kT ) = [10,−8]  1
 + 3u (kT ).
 x 2 (kT )
74
= z (3z − 16 ) / ( z − 2 )( z − 4 ),
что и требовалось показать.
При другом способе перехода от H(z) к (4.3) учтем известное
обстоятельство, что в качестве переменных состояния могут быть
выбраны любые переменные в цепи. Отсюда следует, что при введении
вспомогательного полинома Q(z) в числитель и знаменатель H(z) получим
[(
]
)
H ( z ) = a0 + a1 z −1 + a 2 z −2 + ...a m z − m Q( z ) /
(
)
/ 1 + b1 z −1 + b2 z −2 + ... + bn z −n ⋅ Q( z ) = Y ( z ) / U ( z ).
(
)
Выберем a 0 + a1 z −1 + a 2 z − 2 + ... + a m z −m Q( z ) = Y ( z ) – из числителя, а из знаменателя следует, что
(
)
Q ( z ) = U ( z ) − b1 z −1 + b2 z −2 + ... + bn z − n Q( z ).
В этом случае переменными состояния могут быть
x1 ( z ) = z −1Q( z ), x2 ( z ) = z −1 x1 ( z ) = z − 2Q( z ) и т. д. Таким образом,
Y ( z ) = Q( z )a0 + a1 x1 ( z ) + a 2 x 2 ( z ) + ... + a m x m ( z ),
Q ( z ) = U ( z ) − b1 x1 ( z ) − b2 x2 ( z ) − ... − bn xn ( z ).
Пример 4.2. Применить полученные преобразования к данным
примера 4.1.
[(
)]
)(
H ( z ) = 3 − 16 z −1 / 1 − 6 z −1 + 8 z − 2 Q( z ) / Q( z ).
Выберем переменные состояния в форме x1 ( z ) = z −1Q ( z ),
x2 ( z ) = z −1 x1 ( z ), тогда
75
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 4. Методы реализации дискретно-аналоговых и дискретных цепей
Y ( z ) = Q ( z )a 0 + a1 x1 ( z ) + a 2 x 2 ( z ) = Q( z )3 + (− 16)x1 ( z );
Причем для выходного вектора y(kT) получим следующее выражение:
Q( z ) = U ( z ) − (− 6 )x1 ( z ) − 8 x 2 ( z ).
Отсюда следует, что
x1 ( z ) = z −1 [U ( z ) + 6 x1 ( z ) − 8 x 2 ( z )];
zx1 ( z ) = U ( z ) + 6 x1 ( z ) − 8 x 2 ( z );
zx 2 ( z ) = x1 ( z );
Y ( z ) = 3U ( z ) + 2 x1 ( z ) − 24 x 2 ( z ).
Согласно формуле (4.3) получим:
 x1[(k + 1)]T  6 − 8  x1 (kT ) 1
 x [(k + 1)]T  = 1 0  ⋅  x (kT ) + 0 ⋅ u (kT );
  2
 2
 
  
 x (kT )
y (kT ) = [2,−24]  1
 + 3u (kT ).
 x2 (kT )
Обратимся еще раз к системе уравнений (4.1). Если принять, что
u(kT) = 0, то x[(k +1)T ] = Ax (kT ) . Положим, что начальное значение
переменных состояния x(k0T), тогда
x[(k0 + 1)T ] = Ax(k0T ); x[(k0 + 2 )T ] = Ax[(k0 + 1)T ] = AAx (k0T );
x[(k0 + 3)T ] = AAAx (k0T )
и т. д., т. е. для k ≥ k0 + 1, k = 1, 2, ... x(kT ) = A(k − k 0 ) x(k0T ) . Матрица
A(k − k 0 ) играет ту же роль в дискретном процессе, что и матричная экс[ A ]t
понента e
для аналогового случая. Теперь примем, что u (kT ) ≠ 0 ,
тогда
y (kT ) = C0 A(k − k 0 ) x(k0T ) + C0
k −1
∑ A(k − n −1)Bu (nT ) + Du(nT ).
n =k0
В частности, если на вход системы подается импульс Дирака
u (kT ) = d 0 (k0T ) , то, полагая x(k0T) = 0, получим импульсную характеристику дискретной цепи:
h(kT ) = C0
k −1
∑ A(k − n −1)Bd 0 (k0T ) + Dd0 (k0T );
n =k0
При k = k0 h(kT ) = Dd0 (k0T ).
Пример 4.3. Найти импульсную характеристику цепи с H(z) из
примера 4.2 при k0 = 0.
Согласно полученным выше выражениям имеем
( k −1)
6 − 8
1
⋅ 
h(kT )I = [2 − 24] 

1 0 
0 
k >1
и получим следующие результаты:
h(0 ) = h(kT )I = 3; h(T ) = 2; h(2T ) = −12; h(3T ) = −88...
Таким образом,
h(kT ) = 3δ0 (t ) + 2δ 0 (t − T ) − 12δ0 (t − 2T ) − 88δ 0 (t − 3T )...
x[(k0 + 1)T ] = Ax(k0T ) + Bu (k0T );
x[(k0 + 2 )T ] = Ax[(k0 + 1)T ] + Bu[(k0 + 1)T ] =
= AAx (k0T ) + ABu (k0T ) + Bu[(k0 + 1)T ].
Процесс может быть продолжен и получено выражение для любого k:
x(kT ) = A(k − k 0 ) x(k0T ) +
76
k ≥ k0 + 1.
k −1
∑ A(k − n −1)Bu (nT ).
n =k0
77
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
n+1
1
Глава 5. РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНО-АНАЛОГОВЫХ
СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ И ЛОГИЧЕСКИМИ
ПОДСХЕМАМИ
2
5.1 Описания цепей с произвольным количеством ключей
n
∗
тизаторами) числом (m – n – 1); Up(s) и U p (s ) – векторы сигналов на
входах и выходах ключей соответственно, причем звездочка указывает
на дискретное преобразование Лапласа с периодом дискретизации Т(с).
Примем, что подсистема, содержащая ключи, отвечает некоторому оператору дискретизации d, т. е.
U p (s ) = dU p (s )
(5.1)
или
dU p (s ) =
∞
∑ (exp(− ksT )) f (kT ); s = σ +
k =0
jω.
Это прямое дискретное преобразование Лапласа. Обратное дискретное преобразование Лапласа можно получить из следующих рассуждений. Для непрерывной функции имеем
c + j∞
f (t ) = (1 / 2πj ) ∫ F (s ) ⋅ exp(st )ds.
c − j∞
78
(s )
p
К
А
В общем случае в цепи с импульсными элементами (дискретизаторами) присутствуют как дискретные переменные, так и непрерывные, что и обусловливает гибридный характер ее реакций. При этом
положим для простоты, что в случае цифровых цепей, где сигналы
имеют квантовые величины не только во времени, но и по величине,
предполагается, что число уровней квантования является достаточным,
чтобы можно было пренебречь возникающими ошибками квантования. Блоксхема рассматриваемых ниже гибридных систем показана на рис. 5.1.
На нем выделены два блока: А – аналоговая система с известным описанием в виде системных функций, волновых параметров или по методу переменных состояния, входы и выходы всей цепи относятся к узлам с номерами 1, 2, ..., n; К – подцепь с идеальными ключами (дискре-
∗
U
∗
U p (s )
m
Рис. 5.1
После проведения операции дискретизации сигнала получим
c + j∞
f (kT ) = (1 / 2πj ) ∫ F (s ) ⋅ exp(skT )ds.
c − j∞
С учетом s = jω при разбиении всего пути на отдельные участки
интегрирования в пределах от (k – 0,5)ω0 до (k + 0,5)ω0, где существует
непрерывная функция F(s), найдем, меняя последовательности операций суммирования и интегрирования:
∞
c + j (k +1 / 2 )ω0
k = −∞
c − j (k −1 / 2 )ω0
f (kT ) = ∑ (1 / 2πj )
c + j ( k +1 / 2 )ω0
= (1 / 2πj )
F (s ) ⋅ exp(skT )ds =
∫
∞
∑ F (s ) ⋅ exp(skT )ds .
∫
c − j ( k −1 / 2 )ω0 k = −∞
*
При a (t ) = δ1 (t ) ck = 1 / T , следовательно,
∗
F (s ) = (1 / T )
∞
∑ F (s − jkω0 ).
k = −∞
Изменив частоту s на s – j k ω, получим
ω
c + j 20
f (kT ) = (1 / jω0 )
∫
ω
c − j 20
79
∗
F (s ) ⋅ exp(skT )ds.
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
T = 2 p / ω0 – искомое обратное дискретное преобразование.
∗


dU p (s ) = U p (s ) = d  A(s )U (s ) + d {B(s )U (s )} =
p


∗
∗
Ясно, что для спектра дискретной функции F ( jω), s = jω значения дискрет следуют из выражения
ω0
2
∗
∗

−1 
∫ω F ( jω) ⋅ exp( jkωt )dω = d F ( jω).
− 0
f (kT ) = (1 / ω0 )
∞
∑ (exp(− ksT )) f1 (kT ); f1 (kT ) = (exp(− jω0kT )) f (kT ),
k =0
т. е. каждая дискрета умножается на экспоненту.
При рассмотрении умножения непрерывных и дискретных функций
получим
∗
∗
∗


d  F1 (s ) F 2 (s ) = d {F1 (s )} F 2 (s ) = F1* (s ) F 2 (s ).


∗
(s ) + B(s )U (s );
Y (s ) = C0 (s )U p (s ) + D(s )U (s ) ,

−1
∗

 ∗  
U p (s ) = 1 − A(s )  B(s )U (s ) ,
(5.3)

 

где предполагается, что матрица в круглых скобках – неособенная.
После подстановки (5.3) во второе матричное уравнение (5.2)
получим
−1
∗

 ∗  
Y (s ) = C (s )1 − A(s )  B(s )U (s ) + D (s )U (s ).
(5.4)

 

Выражение (5.4) можно трактовать таким образом, что матрица
изображений реакций Y(s) в общем случае состоит из двух частей –
непрерывной (второе слагаемое) и дискретной (первое слагаемое).
Отсюда следует вывод, что затруднительно выделить собственно передаточную функцию (матрицу функции). Для дискретного выхода при
введении дополнительных ключей из (5.4) несложно получить
U p (s ) = U (s ) − Y (s ); Y (s ) = U p2 (s );
(5.2)
где Y(s) и U(s) – изображения реакции и входного воздействия соответственно; A(s), B(s), С0 (s) и D(s) – некоторые матрицы от s. При воздействии оператора d {}
⋅ на обе части первого уравнения (5.2) получим
80

−1
∗
∗


d exp(sT ) F 2 (s ) = exp(sT ) F 2 (s ),


т. е. экспонента выносится перед оператором дискретизации.
Возвратимся к соотношению (2.1) и положим, что
p
(s ) +  B(s )U (s ) .
∗
∗
∗
∗

 
 ∗  
dY (s ) = Y (s ) = C (s )1 − A(s )  B(s )U (s ) +  D(s )U (s ) .
(5.5)

 
 

Пример 5.1. Определить реакцию цепи, показанной на рис. 5.2,
где около каждой подцепи поставлена ее системная функция.
Из рис. 5.2 видно, что
Так что если F1 (s ) = exp(sT ) , тоо
∗
∗
p
∗
В дальнейшем мы будем использовать ряд свойств d-оператора,
которые легко могут быть получены из теорем Z-преобразования. Так,
теорема смещения в комплексной области следует из соотношений
∗
∞

F (s + jω0 ) = dF (s + jω0 ) = d  ∑ (exp[s + jω0 ]kT ) f (kT ) =
k = 0

U p (s ) = A(s )U
∗
Отсюда
2
=
∗
= A(s )U
∗
∗

Y (s ) = H 2 (s ) U p1 (s )H 1 (s ) + U p2 (s )H 3 (s ).


Отсюда следует система уравнений (5.1) и (5.2):
∗

U p1 (s ) = d 1 0 ⋅ U p1 (s ) ;
 0 1  U (s )
∗


  p2 
U p2 (s )
81
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы


∗
U p (s ) − H 1 (s )H 2 (s ) − H 2 (s )H 3 (s ) U p (s ) 1
1
1

=
 ∗
 + 0U (s );
−
(
)
(
)
(
)
(
)
H
s
H
s
H
s
H
s
U p2 (s )  1

2
2
3
U p2 (s )
U (s )
Y (s ) = [H 1 (s )H 2 (s ) H 2 (s )H 3 (s )]  p1  ;
U p2 (s )
[D ] = [0].
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Отсюда при дискретном выходе на основании (5.5) после сокращения членов в числителе получим
∗


(
)
H
s
H 2 (s ) 

1
∗
∗


( s ).
U
Y (s ) =
∗
∗

 

1 +  H 1 (s )H 2 (s ) −  H 2 (s )H 3 (s )


 
В частности, в z-области найдем
Y (s ) = H 1 H 2 ( z )U ( z ) / (1 + H 1 H 2 ( z ) − H 2 H 3 ( z )).
На основании (5.4) найдем, что
Y (s ) = [H1 (s )H 2 (s ) H 2 (s )H 3 (s )]×
−1
∗
∗
 
 

(
)
(
)
(
)
H
s
H
s
H
s
H 3 (s )    ∗ 
1
+



2
2
  1
 
  ⋅ U (s ) =
×
∗
∗
−  H1 (s )H 2 (s ) 1 −  H 2 (s )H 3 (s )  0 
 



∗
∗
 



H1 (s )H 2 (s ) 1 −  H 2 (s )H 3 (s ) + H 2 (s )H 3 (s )  H1 (s )H 2 (s )

 ∗( )

 
U s.
=
∗
∗

 

1 +  H1 (s )H 2 (s ) −  H 2 (s )H 3 (s )

 

U p1 (s )
A
U(s)
–
+
К
Часто подобную работу ключей называют «несинхронной», хотя
точнее следовало бы говорить о «несинфазности» их переключений.
Типичным примером подобной ситуации являются цепи с переключаемыми конденсаторами (кратно цепи с ПК). Данные системы будут
рассмотрены ниже. При этом следует отметить, что такую цепь необходимо представить в виде ряда схем согласно рис. 5.1 в соответствии
с каждой фазой ключей и затем учесть связи между схемами на основе
выполнения законов коммутации (в частности, сохранения зарядов
на С-элементах). Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть, например,
весь период коммутации Т состоит из двух состояний ключей:
τ1 + τ2 = Т (рис. 5.3), где t n1 = nT , t n2 = nT + τ1 , t n3 = (n + 1)T . Для каждого интервала tk, k = 1, 2, … можно составить систему уравнений состояния в матричной форме:
1
Y(s)
H2(s) H3(s)
∗
U p 2 (s )
∗
U p1 (s )
+
5.2. Анализ цепей при работе ключей со сдвигом по времени
H1(s)
К2
К1
[xn, k (t )] = [Ak ][xn, k (t )] + [Bk ][u(t )];
[yn, k (t )] = [Ck ][X n, k (t )] + [Dk ][u(t )]; tn, k < t ≤ tn, k +1.
(5.6)
При этом в моменты коммутации t n2 и t n3 должны включаться
следующие уравнения связи для переменных состояния:
Рис. 5.2
[xn,2 (t n )] = [F2 ][xn,1 (t n )] + [G2 ][u (t n )];
[xn+1,1 (t n )] = [F3 ][xn,2 (t n )] + [G3 ][u (t n )].
82
83
2
2
3
2
3
3
(5.7)
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
[xn,2 (tn )] = {exp[A1 ]τ1}{[xn,1 (tn )]+ ([A1 ] − s[1])−1 (exp[s] tn )[B1 ]⋅ [U ]} −
− ([ A1 ] − s[1])−1 (exp[s ] t n )[B1 ][U m ] .
T
2
tn1
tn2
tn3
τ1
τ2
nT
(n+1)T
1
1
2
Причем t n2 − t n1 = τ1 ; exp[s ] t = [1]exp(st ); [1] – единичная матрица соответствующего порядка. Учтем первое уравнение связи в (5.7):
[xn,2 (t n )] = [F2 ]{exp[A1 ]τ1}×
× {[x n,1 (t n1 )] + ([ A1 ] − s[1])−1 (exp[s ] t n )[B2 ] [U m ]}−
− F2 ([ A1 ] − s[1])−1 (exp[s ] t n )[B1 ] [U m ] + [G 2 ](exp[s ] t n )[U m ] .
Рис. 5.3
2
В системе (5.7) [F2], [F3], [G3], [G3] – некоторые матрицы коммутации, получающиеся при решении алгебраических уравнений, являющихся следствием законов коммутации для L- и C-элементов.
Пусть для простоты на любом числе входов действует обобщенные экспоненты (при символической записи) [u (t )] ÷ [U m exp(st )], опи-
2
2
2
Выпишем также значение переменной в момент времени t n3 :
сывающие, как известно, многие классы реальных сигналов при
s = σ + jω и частных значениях σ и ω; U m = U m exp( jα u ) – комплексная амплитуда, αu – начальная фаза.
Решение (5.6) для интервала τk составит [8]
[xn,2 (tn )] = {exp[A2 ]τ2 }×
× {[xn,2 (t n )] + ([ A2 ] − s[1])−1 (exp[s ] t n )[B2 ] [U m ]} −
− ([ A2 ] − s[1])−1 (exp[s ] tn )[B2 ] [U m ];
[xn,k (t )] = {exp[Ak ](t − t n,k )}[xn,k (t n,k )] +
t n3 − t n 2 = τ 2 .
t
+ ∫ {exp[ Ak ](t − τ )}[Bk ][exp(sτ )]dτ =
tnk
 t

= {exp[ Ak ](t − t n,k )}[x n,k (t n,k )]exp[ Ak ] t  ∫ {exp(− [ Ak ]τ )[1]}[exp(sτ)]dτ  ×
 tnk


× [Bk ][U m ] .
После интегрирования экспонент, подстановки пределов интегрирования и выноса общего множителя за скобки получим
[xn,k (t )] = {exp[Ak ](t − t n,k )}[xn,k (t n,k )] + ([Ak ] − s[1])−1 (exp[s] t nk ) ×
× [Bk ][U m ] – ([ Ak ] − s[1])−1 (exp[s ] t nk )[Bk ][U m ] .
(5.9)
3
2
2
3
(5.10)
Объединим второе уравнение связи из (5.7), а также (5.8)–(5.10),
получим разностное уравнение
где
[xn+1,1 ] = [M ][xn,1 ] + [N n ],
[M ] = [F3 ]{exp[ A2 ]τ2 }[F2 ]{exp[A1 ]τ1};
[N n ] = {[F3 ]{exp[ A2 ]τ2 }⋅ [F2 ]([ A1 ] − s[1])−1 (exp[A1 ]τ1 − exp[s]τ1[1])}[B1 ] +
+ {[F3 ]([ A1 ] − s[1])−1 ((exp[ A2 ]τ2 )(exp[s ]τ1 ) − (exp[s ]T )[1])[B2 ] +
+ {[F3 ](exp[ A2 ]τ 2 )[G2 ](exp[s ]τ1 ) + [G3 ](exp[s ]T )}(exp[s ]nT )[U m ] =
= [H ](exp[s ]nT )[U m ] .
Ясно, что для составления системы уравнений связи (5.7) нужно
подставить конкретные значения моментов времени. Таким образом,
Здесь группа слагаемых в фигурных скобках обозначена через [H].
Выполним Z-преобразование полученного разностного уравнения
и решим его относительно [X1(z)], тогда
84
85
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Ясно, что [ A1 ] = −1 / τ 0 ; [B1 ] = 1 / τ 0 ; x1 (t ) = u c1 (t ). При tn2 < t ≤ tn3
[ X 1 (z )] = ( z[1] − M )−1 z[1][x1 (0 )] +
+ [z[1] − [M ]]−1 z[1]( z[1] − (exp[s ]T ))−1 [H ][U m ] .
получим: x2 (t ) = uc 2 (t ), [ A2 ] = −1 / τ0 ; [B2 ] = 0. Отсюда следует, чтоо
Во временной области получим соотношение
[x1 (nT )] = [M ] [x1 (0)] + [M ] ([M ] − (exp[s ]T )) ×
× [H ][U m ] + ((exp[s ]T ) − [M ])−1 ( z[1] − M )−1 (exp[s ]nT )[H ][U m ] .
n
n
−1
Выполняя перегруппировку членов и вводя новое обозначение,
получим
[x1 (nT )] = [M ]n ([x1 (0 )] − [J ][U m ]) + [J ](exp[s]nT )[U m ],
где [J ] = ((exp[s ]T ) − [M ])−1[H ] .
Таким образом, для сигналов в виде обобщенных экспонент удается получить полный аналитический результат. Если в последнем выражении положить, что [M]n → 0 при n → ∞ (т. е. условия устойчивой
цепи), то вынужденная составляющая реакции примет вид:
(5.11)
[x1 (nT )] = [J ](exp[s ] nT )[U m ].
Пример 5.2. Проиллюстрируем полученные соотношения на RCцепи (рис. 5.4), где ключ К1 замыкается при tn1 и размыкается при tn2,
а К2 работает в противофазе; U – источник постоянного напряжения.
Для tn1 ≤ tn2
uc1 (t ) = −uc1 (t ) / RC + U / RC = −uc1 (t ) / τ0 + U / τ0 ,
где τ0 = RC – постоянная времени цепи.
R
+
К1
+
–
u0(t)
U
C
К2
–
Рис. 5.4
86
M = F3 (exp(− τ2 / τ0 ))F2 (exp(− τ1 / τ0 )) = F3 F2 (exp(− T / τ0 )).
( )
( )
( )
( )
Поскольку uc 2 t n2 = uc1 t n2 , то F2 = 1, G2 = 0, uc1 t n3 = uc2 t n3 , так
ак
тчто F3 = 1, G3 = 0 и M = exp(− T / τ0 ). Постоянное воздействие соот-
ветствует s = 0, U m = U , H = exp(− τ 2 / τ 0 ) − exp(− T / τ 0 ). При нулевых начальных условиях из (2.11) получим
n −1
uc1 (tT ) = U(exp(− τ2 / τ0 ) − exp(− T / τ0 )) ∑ (exp(− T / τ0 )) p .
p =0
В частности, видно, что
u c1 (T ) = (exp(− τ 2 / τ 0 ) − exp(− T / τ 0 )) ;
u c1 (2T ) = u c1 (T )(1 + exp(− T / τ 0 ));
u c1 (3T ) = u c1 (T )(1 + exp(− T / τ 0 ) + exp(− 2T / τ 0 ))
и т. д.
Вынужденное значение напряжения на С составит
u c1 = [J ]U = (exp(− τ 2 / τ 0 ) − exp(− T / τ 0 )) U / (1 − exp(− T / τ 0 )).
Проведем краткий анализ полученного решения. Так, при τ 2 → 0
(разряда емкости не происходит) u c1 → U , при τ 2 → T , τ1 → 0, u c1 → 0
(нет разряда), при τ 2 = τ1 = τ
u c1 = U exp (− τ 2 / τ 0 ) (1 + exp(− τ / τ 0 )) = U (1 + exp(− τ / τ 0 ))
и т. д.
Примечание. В конкретной цепи, где имеется некоторое множество ключей и реактивных элементов, желательно предварительно оценить, нет ли вырожденных случаев контуров из С-элементов и источников напряжений, а также
(в дуальном случае) – узлов (сечений) из L-элементов с источниками токов. Для
этого рекомендуется использовать следующие правила [9, 10]:
а) напряжение на емкостях изменяются непрерывно (закон коммутации),
если в схеме нет контура из С при исключении источников и замыкании некоторого числа ключей;
б) токи в индуктивностях изменяются непрерывно (выполняется закон
коммутации), за исключением тех L-элементов, которые вместе с размыкающимися ключами и удаленными источниками образуют сечения.
87
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Пример 5.3. В схеме, представленной на рис. 5.5, пунктиром показано сечение, образованное источником тока i1(t), L-элементом и двумя
размыкающимися ключами К1 и К2. Следовательно, ток в L-элементе
не является непрерывным при коммутации.
К
i1(t)
К2
К1
К3
i2(t)
Пример 5.4. На рис. 5.6 при размыкании ключа К1 образуются сечения из L1, L2, L3-элементов, а потому токи в L-элементах могут изменяться скачком. Пунктиром показано сечение, в котором нарушается
закон коммутации токов в L-элементах. С другой стороны, при замыкании ключа К2 образуется контур из элементов С1 и С2, так что напряжения на С-элементах тоже в общем случае будут иметь разрывы
(нарушение закона коммутации на С-элементах).
R2
С3
К2
С1
L2
L1

[Y (s )] =  Y0 (s )

 Fi – Fi
1 → p
}}строки
строки
−1  → q

Fi − 1
↑
↑
p
q
столбцы
После учета наличия всех m ключей получим следующую узловую матрицу проводимостей:
L3
+
–
R2
Обратимся к исходной задаче (рис. 5.1). Построим алгоритм формирования матрицы узловых проводимостей относительно зажимов
с номерами 1, ..., n при наличии в схеме ключей с проводимостями
Fi = 1 для замкнутого ключа и Fi = 0 – для разомкнутого. Используя
изображения падений напряжений узлов и токов в ключах, найдем:
Fi (U p (s ) − U q (s )) = (Fi − 1)I pq (s ),
так что при Fi = 1 Up(s) = Uq(s) – ключ замкнут, а при Fi = 0 Ipq(s) = 0.
Несложно установить, что учет каждого ключа с Fi приведет
к добавлению к узловой матрице одной строки с элементами Fi и –Fi,
стоящими в местах пересечения столбцов с номерами p и q, и одного
столбца с элементами +1 на пересечении строк с номерами p и q, знаки
которых соответствуют ориентации тока: ток, входящий в узел, берется со знаком «плюс». Итак,
Рис. 5.5
К1
5.3. Описание схем с ключами
Y0 (s ) A
,
T 
 B
[Y (s )] = 
(5.12)
Рис. 5.6
где Y0 (s ) – матрица аналоговой части цепи без ключей; А – матрица
с единичными элементами; В – матрица с элементами ± Fi (обе матрицы прямоугольные); Т – диагональная матрица (m – n) ⋅ (m – n) c элементами Fi – 1, которая может быть представлена разностью матриц
T = Tg − [1] ; Tg = diag {F1 , F2 , ..., Fm }.
88
89
С2
u(t)
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
В соответствии с принятыми обозначениями общая система уравнений для описания цепи, показанной на рис. 5.1, примет следующий вид:
 U1 (s )   I1 (s ) 

 

 U 2 (s )   I 2 (s )
 .   . 

 

[U (s )]  [I k (s )] 
.   . 

[Y (s )] = 
=
⇒ [Y (s )] ⋅ − − − − = − − − − , (5.13)




 

 [I k (s )]   [0] 
 .   . 
U n (s )   I n (s ) 
 − − − −  − − −

 

[I k (s )]   [0] 
где [I k (s )] – матрица-столбец изображений токов ключей; [U (s )] – век-
тор изображений узловых потенциалов; [I (s )] – вектор-столбец токов
в узлах 1, ..., n.
С учетом соотношений (5.12) и (5.13) получим систему уравнений
Y (s )[U (s )] + A[I k (s )] = [I (s )] ;
B[U (s )] = −T [I k (s )] .
(5.14)
Из второго уравнения (5.14) получим
B[U (s )] = (1 − T1 [I k (s )])T1 [I k (s )] ;
[I k (s )] = B[U (s )] + T1[I k (s )] .
Следует иметь в виду, что в общем случае T1 – особенная матрица, так как содержит нулевые диагональные элементы. Сделаем подстановку [I k (s )] в первое уравнение (5.14) и перегруппируем члены,
тогда
(5.15)
(Y0 (s ) + AB )[U (s )] = [I (s )] − AT1 [I k (s )] .
Если в (5.15) ввести следующие обозначения: Yk (s ) = Y0 (s ) + AB ;
[I 0k (s )] = [I (s )] − AT1 [I k (s )] , то получим
Yk (s )[U (s )] = [I 0 k (s )] .
90
Следуя (5.16), можно составить алгоритм построения Yk (s )
и [I 0 k (s )] непосредственно по схеме, минуя предшествующие системы.
Алгоритм
1. Формируется матрица Y1 (s ) без учета ключей и вектор источ-
ников токов [I (s )] по методам, известным в литературе [9, 10].
2. Вносят «добавки» от проводимостей ключей Fi в соответствующие собственные и взаимные проводимости узлов. Это отвечает результатам суммирования с произведением матриц А и В в (5.15).
3. Вектор тока корректируется с учетом добавок от − AT1[I k (s )] –
в соответствии с (5.15).
Пример 5.5. Сформировать систему (5.16) согласно представленному алгоритму для цепи, показанной на рис. 5.7. Схема содержит четыре ключа: F1, F2, F3, F4. Стрелками указаны условно положительные
направления токов в замкнутых ключах; даны нумерации узлов 1–4.
Согласно п. 1 алгоритма имеем
0
0
 I 1 (s )
0 0
 0 
0 G − G 0 
 ; G = 1 / R.


Y (s ) =
; [I (s )] = 
 0 
0 − G G
0




0 sC 
0 0
 I 0 (s )
Согласно пп. 2 и 3 алгоритма найдем:
0
 F1
 0 G+F
3
Yk (s ) = 
− F1
−G

− F3
 0
− F1
0


−G
− F3
;
(G + F1 + F2 + F4 )

− F4
(sC + F3 + F4 )
− F4
I1 (s ) − F1 ⋅ I13 (s )




− F3 ⋅ I 24 (s )
.

[I 0 k (s )] =
 F1 ⋅ I13 (s ) − F2 ⋅ I 30 (s ) − F4 ⋅ I 34 (s )


 F3 ⋅ I 24 (s ) + F4 ⋅ I 34 (s ) + I 0 (s ) 
91
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Пример 5.6. Возвратимся к условиям примера 5.5, тогда
F4
3
1
2
4
F3
F1
I1(s)
1
0
A=
− 1

0
I0(s)
+
–
F2
C
U1(s)
откуда
Рис. 5.7
Определяя неизвестные узловые потенциалы [U(s)], можно получить результаты при любой комбинации положений ключей. Однако
недостатком такого метода анализа является необходимость последующего расчета самих токов в ключах, что, естественно, удлиняет
расчеты.
Представляется целесообразным снизить число токов, находящихся в правой части системы (5.15). Для этого необходимо выразить токи
ключей через задающий вектор токов [I(s)] и вектор [U(s)] с помощью
вспомогательных матриц а и b:
[I k (s )] = a[I (s )] + b[U (s )] .
На основании (5.15) получим
(Y0 (s) + AB )[U (s)] = [I ( s)] − AT1 (a[I (s)] + b[U ( s)]).
После перегруппировки членов найдем
(Y0 (s) + AB + AT1b )[U (s)] = ([1] − AT1a )[I (s)].
Введем следующее обозначение: Yk (s ) = Y0 ( s ) + AB . Тогда
(Yk (s ) + AT1b )[U (s)] = ([1] − AT1a )[I (s)] .
(5.17)
Матрица проводимостей цепи с ключами в этом случае составит
Yk0 (s ) = Yk (s ) + AT1b = Y0 (s ) + A(B + T1b ).
92
1
1
a=
0

0
0
 F1
0

0
; T1 = 
0
1 0 1


0 − 1 − 1
0
0
0
0
1
0 0
0 0
0
0
0

1
; b = 
0 0 0
0


0 0 − 1
0
0
0
0
0
0
F2
;
0 F3 0 

0 0 F4 
0
0
0
− G G sC 
,
0
−G G

G − G sC 
I1 (s )


 I (s ) + I (s ) + G (U (s ) − U (s )) + sCU (s )
0
3
2
4
;
[I k (s )] =  1

G (U 3 (s ) − U 2 (s ))



 − I 0 (s ) + G (U 3 (s ) − U 2 (s )) + sCU 4 (s ) 
Yk0 (s ) = I k (s ) + AT1b =
− F1
0
0
 F1

 0 G+F

−G
− F3
3
 + AT1b =
=
−G
− F4
− F1

(G + F1 + F2 + F4 )

− F3
− F4
(sC + F3 + F4 )
 0
− F1
0
0
 F1

 0

G (1 + F3 ) + F3
G (F3 − 1)
− F3

,
=
G (F4 − 1)
G (1 − F4 ) + F1 + F2 + F4
− F1
(F2 + F4 )sC − F4 


F4 (G − 1) − GF3
sC (1 − F4 ) + F3 + F4 
 0 G (F3 − F4 ) − F3
а правая часть (5.17) сведется к
(1 − F1 )I1 (s )




0

.
([1] − AT1a )[I (s )] =
(F1 − F2 )I1 (s ) + (F4 − F2 )I 0 (s )


(1 − F4 )I 0 (s )


93
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
В заключение отметим, что соотношение (5.17) при различных
режимах коммутации ключей может привести как к (5.16), (5.17), если
от Fi перейти к оператору дискретизации согласно (5.16), так и к системам с переключаемыми конденсаторами, при этом получается некоторое множество систем (цепей) с переменной структурой.
е
о
К1
К2
C
5.4. Анализ цепей с коммутируемыми (переключаемыми)
конденсаторами
В последние десятилетия развитие микроэлектроники обусловило широкое внедрение нового класса аналого-дискретных цепей – цепей с переключаемыми конденсаторами (ПК). При этом оказалось, что
рассмотренные выше методы и математический аппарат Z-преобразования позволяет успешно подойти к анализу таких систем, содержащих большое количество ключей, зачастую и с различными интервалами коммутации, что характерно, например, для активных фильтров.
Одним из способов анализа таких цепей является метод, представленный в предыдущем параграфе. Однако не менее продуктивным
и более наглядным может считаться метод эквивалентных схем коммутируемых С-элементов, к рассмотрению которого переходим.
Обратимся к цепи, показанной на рис. 5.8, где е относится к четным моментам срабатывания ключа К1 (от английского слова even –
четный), а o – к нечетным моментам для второго ключа К2 (от английского слова odd – нечетный).
Рассмотрим соотношения для зарядов на емкости в виде системы
разностных уравнений (аналог соотношения (5.7)):
∆q e (n ) = q e (n ) − q о (n − 1);
 о
(5.18)
∆q (n + 1) = q о (n + 1) − q e (n ).
Предположим, что длительность замыкания каждого ключа
Т (Т = τ/2), где τ – длительность шага коммутации и напряжение в течение Т
не меняется, тогда (5.18) преобразуется к
TI e (n ) = Cu e (n ) − Cu о (n − 1);
 о
TI (n + 1) = Cu о (n + 1) − Cu e (n ).
94
(5.19)
Рис. 5.8
Из второго уравнения системы (5.19) следует, что
Cu e (n ) = Cu о (n + 1) − TI o (n + 1).
Применим Z-преобразование, тогда
U e ( z ) = zU о ( z ) − TzI о ( z ) / C.
Сделаем подстановку Ue(z) в первое уравнение системы (5.19):
Ti e ( z ) = CzU о ( z ) − TzI о ( z ) − z −1CU о ( z ) =
(
)
(5.20)
= Cz 1 − z −2 U о ( z ) − TzI о ( z ).
Из равенства (5.19) и (5.20) следует описание четырехполюсника
с некоторой матрицей параметров передачи
U e ( z ) 
z
 e =
−2
 I ( z )  Cz 1 − z / T
(
)
zT / C   U о ( z ) 
⋅
.
z  − I о ( z )
(5.21)
(
)
Примем в (5.21) следующие обозначения: T/C = R, p = 1 − z − 2 / T ,
тогда
U e ( z )  z
zT / C   U о ( z ) 
⋅
 e =

(5.22)
z  − I о ( z ) .
 I ( z )  Cpz
Знак «минус» у нечетного тока соответствует общепринятой его
ориентации – внутрь четырехполюсника. Уравнения (5.22) связывают
между собой четные и нечетные токи и напряжения. Матрицу параметров передачи можно разложить на множители [11]:
− z −1G  G s 
−1
−1
=
; G = R = C / T ; s = − z G .
−1
s
G
−
z
G
G


 
 G
[ A( z )] = 
95
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Отсюда можно получить следующую схему интерпретации [A(z)]
(рис. 5.9). На этом рисунке представлено каскадное соединение трех
четырехполюсников, причем средний является идеальным трансформатором (ИТ) с передачей z:1, который может быть реализован, например, преобразователем иммитансов с комплексным коэффициентом z.
Если от параметров передачи перейти к проводимостям по известным
формулам перехода, то
Матрица [Y(z)] отвечает схеме уравновешенного типа, показанной на рис. 5.10. Далее схемы, соответствующие цепям для четных
и нечетных интервалов (в случае двухфазной системы коммутации образуются две различные конфигурации), соединяются между собой четырехполюсниками с описаниями (5.22) или по методу узловых напря-
–s
жений с [Y(z)] согласI e(z)
I о(z)
но (5.23). Анализ
+
+
полученной цепи
производится расs
смотренными выше
G
U e(z)
методами. РассмотU о(z)
G
рим примеры.
Пример 5.7. Со–s
ставить результирую–
–
щую схему замещения для цепи, покаРис. 5.10
занной на рис. 5.11.
Схема содержит четыре ключа с указанными фазировками работы.
Ее эквивалентное представление в z-области с учетом рис. 5.9 дано на
рис. 5.12, причем короткое
С
замыкание выходов четыe
e
рехполюсника дает со стороны его входов (при чето
о
ной фазе) параллельное соединение проводимостей
pC и z/R , что после упроРис. 5.11
щений приводит (с учетом
(5.22)) к величине R – нижний рис. 5.12.
Пример 5.8. Составим схему замещения цепи с операционным усилителем (рис. 5.13, а). После введения четырехполюсника с матрицей [А(z)]
получим схему (рис. 5.13, б), где выход четырехполюсника разомкнут и в
модели фактически учитывается лишь одна емкость (рис. 5.13, в). Получим источник напряжений, управляемый током, у которого выход снимается по четным частям периода коммутации ключей.
Пример 5.9. Провести Z-преобразование для схемы, показанной
на рис. 5.13, а, у которой выходной ключ работает в нечетные части
интервала коммутации. После введения четырехполюсника с [А] получим схему на рис. 5.14, а. В данной схеме выход снимается в нечетные
÷àñòè ï åðèî äà Uвых(z). Ток через R не протекает (вход нижнего усилителя разомкнут), выходное напряжение в z раз меньше напряжения на
первичной обмотке идеального трансформатора, что эквивалентно увеличению входного сигнала в z раз согласно схеме (рис. 5.14, б).
96
97
 G
− z −1G  G s 
−1
−1
=
; G = R = C / T ; s = − z G . (5.23)
−1
s
G
−
z
G
G


 
[Y (z )] = 
I e(z)
I о(z)
z:1
+
R
U e(z)
+
Uо(z)
1/pC
I 0(z)
ИТ
–
–
+
–
I e(z)
U e(z)
I о(z)
[A]
+
U о(z)
–
Рис. 5.9
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
а)
e
U вх
A(z)
+
(z )
e
–
+
+
U вх ( z )
e
U вых
e
–
e
+
–
(z )
–
1/pС
[A(z)]
+
–
z:1
R
e
U вх
+
(z )
e
U вых
(z )
–
R
Рис. 5.12
С
a)
e
–
+
о
+ U o (z )
вых
–
e
–
+
1/pС
б)
б)
e
1/pС
в)
СA(z)
I
–
+
+
e
e
–
+
e
1:z
–
+
U вх ( z )
e
–
Рис. 5.13
Рис. 5.14
98
99
о
+ U o (z )
вых
–
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
5.5. Синтез ARC-нелинейно-параметрических схем
с идеальными дискретизаторами
Настоящий материал главы следует из научно-исследовательской
работы, связанной с дальнейшим уточнением и развитием идей, заложенных в предшествующих параграфах и главах. Целью данной главы
являются процедура получения конкретных целей (систем) с дискретными, параметрическими, нелинейными элементами, а также наиболее общий вариант, содержащий совокупность свойств перечисленных
выше элементов.
Действительно, если принять, что методика синтеза линейных
ARC-многополюсных цепей уже достаточно детально разобрана [12],
то реализация системы с параметрическими и нелинейными элементами, включающими в себя идеальные дискретизаторы (ключи с заданными законами коммутации), еще далека от завершения. Общее решение поставленной проблемы в настоящее время еще не найдено, хотя
некоторые частные решения уже нашли отражение в периодике и монографиях [13–15]. Более того, включение в требования алгоритма по
синтезу гибридных структур логических блоков еще более усложняет
ситуацию. Однако системы управления, обработки информации, моделирования и т. п. могут содержать в себе одновременные требования
к логике переключения входящих блоков (устройств). Все это потребовало поиска единых путей к реализации таких комбинированных устройств, к сожалению отсутствующих в научно-технической литературе.
Рассмотрим блок-схему (рис. 5.15). Блок AR относится к линейной активно-резистивной многополюсной цепи неуравновешенной
структуры. Заметим попутно, что требуемый вариант реакции для микроэлектронных цепей не должен содержать индуктивностей и трансформаторов, а переменные (времязависимые) и нелинейные элементы
должны быть безынерционными с общим зажимом (т. е. представлять
собой «звездные» структуры).
На рис. 5.15 указан (1 + n + 2m + p + q + λ) -полюсник, входы и выходы которого относятся к узлам с номерами 1…n (безынерционная
цепь); 2m-полюсная R-подсхема с m ключами без внутренних связей
между собой с входами и выходами на зажимах (n + 1)…(n + 2m) соответственно; П – параметрическая подсхема, содержащая p-переменных
100
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
резистивных элементов (G~ или R~ ); Н – нелинейный блок с q-нелинейными резистивными двухполюсниками типов I(U) или U(I); с – емкостная подсхема с l-линейными емкостными элементами. Блоки П, Н,
∗
С – «звездной» структуры. Звездочка над [V k ] относится к дискретному преобразованию Лапласа над вектором выхода ключей; [X(s)], [Y(s)]векторы – столбцы входных воздействий и реакций соответственно.
[Vk ]
∗
К
AR
[V k ]
n+1
I ~ (s)
n + 2m
[X(s)]
p
R~ (G~ )
[Y(s)]
q
n
IН
UН
Н
λ
C
C
Рис. 5.15
Проведем некоторую формализацию дальнейшего описания структуры рис. 5.15. Для этого введем следующие операторы:
∗
– дискретизации d, т. е. [V k ] = d {[Vk ]} ;
101
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
(5.27)
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
– параметризации Z р , т. е. Z р (U , I ) (например, [ I ( s )] p =
= [G ] * [U ( s )] p или [U ( s )] p = [ R] * [ I ( s )] p , где используется операция
свертки в частотной области);
– нелинейности F, т. е. Fq (U , I ) (например, [ I ( s )]q = F1q {[V ( s)]}
или [U ( s )]q = F2 q {[ I ( s)]};
– емкостной оператор С, т. е. [ I ( s )]λ = diag[ sС ] ⋅ [U ( s )]λ .
Тогда на основании [3, 4] можно получить следующую аналогодискретную нелинейно-параметрическую систему матричных уравнений:
[ P( s)] = diag{d m , Z p (U , I ), Fq (U , I ),[ sC ]λ } ×
t

t
t
t
t
[v k ( s )] m , [U ( s), I ( s) ] p , [U ( s ), I ( s )] q , [U ( s )] λ 


= [ A] ⋅ [ p( s )] + [ B] ⋅ [ x ( s )] ;


 [Y ( s )] = [С 0 ] ⋅ [ p( s )] + [ D ] ⋅ [ x ( s )],
(5.24)
.
t
t
t
t
× [v k ( s )] m , [U ( s), I ( s)] p , [U ( s ), I ( s)] q , [U ( s )] λ  ,


где индекс t относится к операции транспонирования матриц.
Далее имеем
t
=
(5.25)
(5.26)
где в уравнениях (5.25) и (5.26) фигурируют некоторые вещественные
матрицы [A], [B], [ С0 ] и [D].
Система матричных уравнений (5.24)–(5.26) позволяет установить
связь со структурой синтезируемой цепи на основании обобщенного
метода узловых потенциалов при следующей форме представления
описания цепи (5.27).
Следует отметить, что в (5.27) диагональной матрице операторов
первая и третья подборки операторов относятся к нелинейным, а вторая и четвертая – к линейным; все элементы этой матрицы после учета
результатов перемножения на единичную матрицу располагаются на
главной диагонали.
102
103
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Примечание. В случае отсутствия какого-либо блока операторов
придем к цепям четного вида (класса). Так, при наличии четвертого
блока (и отсутствии остальных) получим обычный линейный ARCмножитель неуравновешенного типа, содержащий «звезду» из емкостных элементов, при отсутствии лишь верхнего блока – имеет место
нелинейно-параметрическая ARC-аналоговая цепь, а действие всех
блоков приводит к аналого-дискретной (или гибридной) схеме.
Рассмотрим данный вариант подробнее. Обозначим для краткости записи первую в (5.24) совокупность диагональных операторов
через W{*}, т. е.
W {*} = diag{d m , Z p (U , I ), Fq (U , I ), [ sC ]λ },
(5.28)
d
(⋅) на оператор дифференциdt
рования найдем оператор О. Хевисайда с более общими свойствами,
чем [H (s)], а именно
При формальной замене s → p =
−1


[H ( p)] = [C0 ]⋅ diag  1  − [ A] ⋅ [B] + [D ].
 Cp λ


Следствие 2. Для линейных параметрических ARC-цепей с дискретизаторами при W {*} = diag{d m , Z p (U , I ), [ sC ]λ } установим, чтоо
W {[V (s )]} = W {[ A] ⋅ [V (s )] + [B ] ⋅ [ X (s )]} =
вектор напряжений (токов) в правой части – через [V(s)]; тогда найдем
(5.29)
[V (s )] = [ A]W {[V ( s)]} + [B]⋅ [X (s)]
и, соответственно,
[Y ( s)] = ([C0 ]W {[1] − [ A]⋅ W {∗}}−1 ⋅ [B] + [D ])⋅ [X (s)].
(5.30)
Полагая, что каскадирование прямого W{*} и инверсного W −1{*}
операторов приведет к тождественному оператору, преобразуем
(5.30) к следующему виду (считая матрицу в квадратных скобках
неособенной):
[Y ( s)] =  [C0 ]⋅ [W −1{*} − [A]] ⋅ [B] + [D ] ⋅ [X (s)].
−1
(5.31)


Заметим, что на основании (5.24)–(5.26) и (5.28)–(5.31) можно
установить ряд следствий для частных классов цепей.
Следствие 1. Для линейных аналоговых ARC-цепей при W{*} =
= diag[sС] получим
−1




1 

[Y ( s)] =  [С 0 ] ⋅ diag   − [ A] ⋅ [B] + [D ] ⋅ [X (s)]. (5.32)
 sC  λ




Между прочим, из (5.32) определяется хорошо известное выражение для матрицы системных функций [1]


−1


 − [ A] ⋅ [B ] + [D ] .
 sC λ

[H ( s)] = [С0 ]⋅ diag  1
104
= W {[ A] ⋅ [V (s )]} + W {[B ] ⋅ [ X (s )]};
(5.33)
−1
∗
∗
[Y ( s)] = [C0 ]⋅  [1] − W {}⋅ ⋅  A  W [B]⋅  X (s)  + [D ] [X (s)].


 


Из (5.33) видно, что матрица-столбец выходных реакций содержит как дискретные составляющие от входных сигналов (первое слагаемое), так и непрерывные – второе или выражения (5.33).
Рассмотрим иллюстративные примеры синтеза цепей.
Пример 5.10. Реализовать цепь со следующей характеристикой:
U вых ( s) =
G
∗
V k ( s)
 J (U )

+ G + sC  − ksC

Vk ( s)
 U

⋅ U вх ( s ) .
В данном случае
Y ( s ) = U вых ( s ) , X ( s ) = U вх ( s ) , I q ( s ) = F1 (U q ( s ) ) = J (U ) – нелиней∗
ная функция, V k ( s ) = d m {Vk (s )} – выходное напряжение ключа.
Выполним по типу (5.31) следующие преобразования (при
конкретных параметрах m = 1, q = 1):
105
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Vk (s )
∗
Y ( s) = U вых ( s) =
V k (s )
⋅G
 F1 (U q (s ))
 V (s )

+ G + sC  ⋅ ∗ k
− ksC
 U q (s )


 V k (s )
⋅ X (s ) =
 Vk (s )

sC
∗
 G 
V k (s )
⋅ 
F1{U q (s )}


+ G + s ⋅ C   0 
 k
U q (s )

⋅ X (s) =
= [10] ⋅ 
 F1 (U q (s ))
 Vk (s )

+ G + sC  ⋅ ∗
− ksC
 Uq


 V k (s )

 F1 (U q (s ))
0
+G
−1 

 G 
 Uq
Vk (s )


0  ⋅  0  X (s )
= [1 0 0] ⋅ 
−k
∗
 
.
V k (s )
  0 



1
1
−1
− 

sC 

Отсюда можно идентифицировать следующие матрицы:
[B] = [G,0,0] t ; [C0 ] = [1, 0, 0];
− G 0
1 

[ A] =  k 0 0 
⋅ = diag {d1 , F1 (U (s )), sC}; p = 0; λ = 1.

1  ; W {}
1
1
−

sC 
вит
Отсюда, согласно (5.27), матрица, подлежащая реализации, соста-
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
1
0
0 
 0


 F1 (U (s ))

0
−1 
 − G  U (s ) + G 




Vk (s )
[Y0 (s )] =  0
0 
−k
∗

.
V k (s )


1 

1
−1
− 
 0
sC 
Применяя к [Y0 (s )] инверсный оператор второго порядка [5.27],
получим
0
0


0
B − 2 {[Y0 (s )]} = 

0
0

1

1
F1 (U (s ))
U (s )
−k
0
0
0
−1
0
Vk (s )
0
0
∗
−1
V k (s )
1
0
1
0
0
1
sC
−1
0
0
0
0
1 

0


0 .
0
1

G
Схема, реализующая данное описание, показана на рис. 5.16,
номера узлов в кружках; штрихами выделены блоки в соответствии
с рис. 5.15, величины даны в Ом, Ф.
Пример 5.11. Построить модель в ARC-элементном базисе с указанными выше инженерными и технологическими требованиями
к цепи, показанной на рис. 5.17.
Схема рис. 5.17 содержит нежелательный «плавающий» нелинейный элемент – резистор и индуктивный элемент с переменным параметром L(t ) . Примем для простоты, чтоо
dψ (t ) d
di (t )
= (L(t )iL (t )) ≈ L(t ) L ,
dt
dt
dt
т. е. считаем изменение L(t ) достаточно медленным, чтобы быть впраU L (t ) =
ве пренебречь вторым слагаемым
106
0
107
dL(t )
, тогда при X ( s) = U вх (s ) ;
dt
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Y (s ) = I q (s ) = J (v ) = F1 (vq (s )) ; V ( s ) = d {U (s )} ; U L ( s) = L( s ) * sI L ( s )
m
k
∗
Итак, имеем следующие матрицы:
0 0 0 
[ A] = 0 − G 1 ; [B] = [1,0,0] t ;
1 − 1 0
(операция свертки в частной области S) или U L ( s ) = U p ( s ) = Z p (I p (s )) ,
т. е. W {}
⋅ = diag {d1 , Z1 (I p (s )), F1 (U q (s )), sС }; m = p = q = λ = 1.
t
X(s)
G0 =
Y(s)
Н
1
G
F1(U(s))
C
К
К
AR
*
Рис. 5.16
Vk (t )
i(t)
J (U)
iR(t)
К
Uвх(t)
L(t)
iL(t)
Рис. 5.17
Для системы (5.25) получим
∗

Y ( s) = I q (s ) = [0 0 1] V k (s ) U p (s ) I q (s ) ; [C0 ] = [0 0 1];


[D ] = 0 .
Таким образом, согласно (5.27) цель характеризуется следующим
обобщенным узловым описанием:
0
0
Vk (s )
−
 1 ∗
V k (s )


0
0


−1
0

0
1
0
I p (s )
Z p (I p (s ))
+G
1


0



−1 

U q (s ) 

F1 (U q (s ))
U вх (s )  I q (s )
∗
 

 V k (s )  =  0 
 U (s )   0 
 p  
.
 I q (s )   0 
Другими словами, матрица, подлежащая реакции, составит
0
0
− 1 Vk (s )
∗

V k (s )

[Y0 ( s)] =  0
0


0
−1


0
0
I L (s )
+G
L * sI L (s )
1
1


0



−1 
.
U q (s ) 
F1 (U q (s ))
∗

 Vk (s )  0 0 0 V k (s ) 1
 

 
  
 I p (s )  = 0 − G 1 U p (s ) + 0U вх (s ) .
U q (s ) 1 − 1 0  I q (s )  0




⋅
ния линейного sC и инверсного операторов третьего порядка B −3 {}
запишем
108
109
Для удобства дальнейшей процедуры реализации умножим (без
искажения результата синтеза) третью строку на s, тогда после введе-
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
0
0
Vk (s )

− 1 ∗
V k (s )


0
0
B − 3 {[Y0 (s )]} = 
0
−1


0
0
 0
0
0
1
0
0
sI L (s )
L * sI L (s )
0
1
−G
0
0
Uqs
F1 (U q (s ))
1
0
0

0 0


1 0

0 0  .

0 1
− 1 S 
Реализация данного примера приведена на рис. 5.18; величины
даны в Ом, Ф; штрихами выделены подсхемы в соответствии с рис.
5.15. Некоторые переменные, как, например, i1 (t ) , являются дискрет∗
∗
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
dL(t )
не
dt
внесет принципиальных трудностей в искомую ARC-модель, а при необходимости «звездные» структуры П, Н и С могут быть с помощью
методов эквивалентных преобразований активных цепей преобразованы в подсхемы иных конфигураций – например, «плавающие» двухполюсники и т. д.
Распространим разработанную методику синтеза активных цепей
с дискретизаторами, нелинейными и параметрическими элементами
на более общий случай – с дополнительной подсхемой, управляемой
логическими командами. Для определенности введем простейшую –
булеву логику. В этом случае общую блок-схему представим на рис. 5.19.
Можно заметить, что учет второго (опущенного) члена
[x(t)]2
(m)
ными, т. е. I 1 (s ) = I q (s ) , другие переменные могут содержать аналоговую и дискретную составляющие одновременно, как, например, U L (t ) .
[y(t)]
n
К
Рис. 5.19
С
Рис. 5.18
110
На рис. 5.19 А – линейная ARC-цепь с дискретными, нелинейными и параметрическими элементами; L – логический блок. Вектор-столбец входных воздействий [x(t )], вектор-столбец реакций [ y (t )] – на узлах с номерами 1…n. Сама цепь – неуравновешенного типа. Количество узлов m логического блока определяется конкретной булевой
функцией. На первом этапе рассмотрения процедуры реализации положим, что логический блок управляет параметрами двухполюсных
элементов (данное ограничение легко снимается и представлено здесь
лишь с целью ориентации на конкретную реальную систему). Введение логических функций, а также принципы инженерного проектирования и выбор элементной базы (основных логических операций) требуют некоторого пояснения.
111
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Некоторые принципы, аксиомы и теоремы двузначной логики.
Как известно, весь класс булевых функций дает очень быстро растущее их групповое количество. Так, например, при одной переменной Х имеем четыре функции согласно табл. 5.1. Среди них две константы 0 и 1, а также инверсия переменной Х, обозначаемая через X .
Для двух переменных число функций уже составляет, согласно формуn
n
ле y = 2 2 = 16 при n = 2 ; y = 2 2 256 при n = 3 и т.. д.
Таблица 5.1
X
Y
0
0
1
X
0
X
1
1
Как следует из табл. 5.1, две функции Y являются константами:
0 и 1, значение X = Y – повторение и, наконец X – инверсия (отрицание) Х. Из двух переменных X 1 и X 2 можно составить 16 вариантов,
при тщательном рассмотрении которых можно установить 9 нетривиальных случаев. Логические элементы, реализующие элементарные булевы функции, представлены в табл. 5.2.
Символ отрицания соответствует маленькому кружку. Проиллюстрируем сказанное рядом примеров преобразований логических
функций.
Пример 5.12. Представить функцию Y = ( X 1 / X 2 ) + ( X 3 → X 1 )
в базисе «НЕ-И-ИЛИ», используя формулы табл. 5.2 № 8, № 4 с учетом № 7.
Y = X1 ∨ X 2 ⋅ ( X 3 ∨ X1 ) ∨ (X1 ∨ X 2 ) ⋅ X 3 ∨ X1 = X1 X 2 ( X 3 ∨ X1 ) ∨
∨ ( X 1 X 2 )( X 3 X 1 ) = ( X 1 X 2 X 3 ∨ X 1 X 2 ) ∨ ( X 1 X 3 ∨ X 1 X 2 X 3 ) =
= X 1 X 2 (1 + X 3 ) ∨ X 1 X 3 (1 + X 2 ) = X 1 X 2 ∨ X 1 X 3 .
112
113
114
в
115
Рис. 5.20
, а схема ее реализации представлена на рис. 5.20.
Рис. 5.21
, что соответствует схеме «ИЛИ-НЕ» (рис. 5.21).
3. Функцию «стрелка Пирса» (совпадение с двумя запретами) на основании той же теоремы преобразуем
через комбинацию элементов «И-НЕ»:
;
;
,
вообще любую функцию из табл. 2 можно выразить через штрих Шеффера или стрелку Пирса. При этом часто при
реализации схемы используют либо только элементы «И» (совпадение) либо «ИЛИ» (разделение).
2. Функцию «штрих Шеффера» (разделение с двумя запретами) на основании теоремы де Моргана можно выразить
Примечания к табл. 5.2:
1. Следует отметить, что, используя теоремы де Моргана и тождества
Окончание табл. 5.2
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Схема реализации данной входной функции дана на рис. 5.22.
Окончание табл. 5.3
№
Операция
п/п инвертирования
9 Инвертирование
входов
и выходов
Эквивалентные представления
10
Рис. 5.22
В правой схеме рис. 5.22 исчезли два инвертора в силу следующих ниже преобразований, связанных с переносом инверсии по входам и выходам логических схем. Рассмотрим сводную табл. 5.3.
№
Операция
п/п инвертирования
1 Инвертирование
выходов
2
Таблица 5.3
12
Эквивалентные представления
Как уже было описано выше, для реализации булевых функций
можно использовать какой-либо избранный базис элементарных функций табл. 5.2. Рассмотрим два варианта наиболее распространенных
реализаций.
3
4
5
11
Базис элементов «И-НЕ»
Инвертирование
входов
Покажем, что любую из функций
табл. 5.2 можно представить на основании
ячеек «И-НЕ». Так, операция инверсии следует из рис. 5.23.
6
Рис. 5.23
Операция конъюнкции и дизъюнкции иллюстрируется схемами
рис. 5.24, а и б.
Пример 5.13. Реализовать функцию Буля, заданную в примере 5.9,
на элементном базисе «И-НЕ».
Ранее, после упрощений, было получено, что заданная функция
сводится к Y = X 1 X 2 ∨ X 1 X 3 . Таким образом, предварительная реализация представляет собой структуру, показанную на рис. 5.25.
7
8
116
117
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Не менее популярными являются и логические конструкции на
базе элементарных ячеек «ИЛИ-НЕ», с помощью которых можно представить функции табл. 5.2. Так, например, функция инверсии обеспечивается схемой рис. 5.27.
Операция дизъюнкции (№ 3, табл. 5.2) отражается схемой на рис. 5.28.
а)
б)
Рис. 5.27
Рис. 5.24
Рис. 5.28
Операция конъюнкции (№ 2, табл. 5.2) следует из рис. 5.29.
Рис. 5.29
Рис. 5.25
Пример 5.14. Реализовать булеву функцию Y = X 1 X 2 ∨ X 1 X 2
с помощью элементов «ИЛИ-НЕ» на основании схем, представленных
на рис. 5.27–5.29 (рис. 5.30).
Пары элементов из рис. 5.25, показанные штрихами, можно исключить и, следовательно, сократить общее число элементов (рис. 5.26).
Рис. 5.26
118
Рис. 5.30
119
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
После упрощения схемы на рис. 5.30 (штриховые линии) получим конфигурацию на рис. 5.31.
некоторый квадруполь матриц, связывающих ARC-цепь (см. рис. 5.19)
с логическим блоком. Учтем также, что согласно постановке задачи
исследования [P(t )] = [P(t )]1 ∨ [P(t )]2 – дизъюнкция двух непересекающихся множеств векторов, одни из которых есть результат логического
воздействия на q1 -мерный вектор-столбец переменных состояния [Q(t )] 1 ,
а другой – отвечает параметрическим элементам с q2 -мерным вектором
м
состояния
Выход схемы составит X 1 X 2 ∨ X 1 X 3 = X 1 X 2 ∨ X 1 X 3 .
Реализация многополюсных схем производится согласно рис. 5.19.
Возвратимся к исходной проблеме – реализации ARC-схем с параметрическими и логическими подсхемами. При этом в дальнейшем
будем использовать операторы дифференцирования и интегрирова-
d
ния: p(⋅) = (⋅) и p −1 (⋅) = ∫ (⋅)dt , причем p ⋅ p −1 = p −1 ⋅ p = 1 – тождеdt
ственный оператор. Причина такого выбора заключается в желании
избежать исследования сходимости несобственных интегралов преобразования Лапласа, которые могут возникнуть при наличии параметрических и нелинейных подсхем в системе. Ранее было разработано
следующее описание нелинейно-параметрических схем [5.28, 5.29]:
[ p(t )] = W {[Q(t )]};
[Q(t )] = [A( p )] ⋅ [ p(t )] + [B( p )] ⋅ [x(t )];
(5.34)
где W {}
⋅ – оператор преобразования некоторого q-мерного вектора со-
стояния [Q(t )] в вектор-столбец [ p(t )] ;
120
т. е. [P(t )] 1 = W L {[Q(t )] 1 },
[P(t )]2 = W p {[Q(t )]2 },
q = q1 ∨ q 2 , где индексы L и p указывают на операции логики и параметризации соответственно. Векторы [P(t )] и [Q (t )] в (5.34) могут
быть взаимно заменены.
еПредположим, что [ y (t )] и [x(t )] имеют размерности напряжения, тогда согласно (5.34) они могут быть взаимно заменены и можно
перейти к другому описанию:
Рис. 5.31
[ y (t )] = [C0 ( p )] ⋅ [ p(t )] + [D( p )] ⋅ [x(t )],
[Q(t )]2 ,
([ A( p )], [B( p )], [C ( p )], [D( p )])
–
 [k ]1
[i (t )] 
 [0]   [D( p)]

=
 [0]  

 
 [0]  − [B ( p )]

[0]
[− 1]
[0]
[0]
[k ]2
WL−1 {}
[0] 
⋅


⋅ 
W p−1 {}
 [0]
[k ]3

[x(t )] 
[C 0 ( p)]  
[ y (t )] 
⋅
. (5.35)
  [Q(t )]1 
− [ A( p)] [Q(t )]2 

В выражении (5.35) вещественные матрицы [k ]1, [k ]2 , [k ]3 могут
быть выбраны произвольно с учетом дополнительных инженерных
⋅ предсоображений; отрицательная степень операторов WL {}
д⋅ и W p {}
полагает наличие условий диффеоморфизма; [i(t )] – входной ток будущей схемной модели.
Системная характеристика, согласно (5.35), будет иметь следующую форму:
 [k ] 1
[0]
[k ]2
[k ]3 


[C0 ( p)] 
 [D ( p)] [− 1]
 . (5.36)
[T ( p)] = 
[0]


−
1
[0] 
⋅
 − [B ( p )] [0] WL {}


−1  − [ A( p )]

⋅ 
W p {}
 [0]


121
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Формула (5.36) позволяет с помощью инверсного оператора, т. е.
Bm−10 {}
⋅ , согласно алгоритму, представленному в [5.24, 5.29], перейти к
реализации ARC-цепей неуравновешенного типа без индуктивностей
и трансформаторов в соответствии с выражением
[Y ( p)] = Bm−10 {[T ( p )]}.
(5.37)
Из (5.36) можно получить дифференциальное операторное изображение системной характеристики вида
[T ( p )]0
 W −1 {}

⋅
[0] 
[
]
= [С 0 ( p )]   L
−
A
(
p
)


⋅ 
W p−1 {}

  [0]
−1
[B( p)] + [D( p)] .
(5.38)
На основании (5.38) можно построить следующую функциональную блок-схему (рис. 5.32), где f1 (t ) = [P(t )] 1∨ [P(t )]2 ; f 2 (t ) =
= [Q(t )] 1∨ [Q(t )]2 .
[x(t)]
[y(t)]
[D(p)]
Заметим, что на основании (5.38) в ограниченном числе случаев
(линейная цепь, абсолютная сходимость несобственных интегральных
преобразований Лапласа и др.) можно получить изображение по
Лапласу системной функции [T ( p )]0 при формальной замене р на
s = σ + jω .
В качестве конкретного примера рассмотрим моделирование подвесов платформы с переменной массой и нелинейной жесткостью пружин или рессор. При этом модель выглядит согласно рис. 5.19 на базе
элементов микроэлектроники с дополнительными инженерными требованиями к конфигурации цепи [2,8].
Пример 5.15. На платформу, имеющую опоры с нелинейными
упругими элементами (пружинами), погружаются три различных контейнера с массами m1 , m2 и m3 соответственно их нумерации. Причем
суммарная величина массы любых двух из них больше массы оставшегося. Текущая координата Х(t) вертикального перемещения центра
массы находится в трех возможных диапазонах: 0 ≤ x(t ) ≤ x1 ;
x1 ≤ x(t ) ≤ x2 ; x2 ≤ x(t ) . Построить модель, отвечающую данным требованиям. Исходя из нелинейно-параметрического дифференциального механического уравнения получим
⋅
[C(p)]
[A(p)]
[B(p)]
WL{⋅}
Wp{⋅}
F2(t)
Рис. 5.32
122
f1(t)
⋅
⋅
x(t ) + ( B / m) x (t ) + ( K / m) x (t ) = ( B / m) y (t ) + ( K / m) y (t ) ,
где начало координаты вертикального перемещения x(t ) находится на
платформе; y (t ) – координата дороги; В – коэффициент вязкого трения; K – упругость рессор (пружин) колесных пар, m – масса платформы, m ∈ {m1 , m2 , m3}, причем для упрощения задачи собственная массаа
включена в характеристики контейнеров.
С учетом трех диапазонов
(α, β, γ ) изменения K : K 0 < K α < K1 ; i (t)
1
K1 ≤ K β ≤ K 2 ; K γ ≥ K 2 на основании
метода электромеханических аналоu1(t)
гий получим следующий нелинейнопараметрический цепной эквивалент
исходной механической системы
(рис. 5.33).
123
u2(t)
Рис. 5.33
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
На рис. 5.33 показана нелинейная величина параметра индуктивности, обратная величина жесткости пружин, которая определяется
следующими логическими операциями с нагрузками: любой из одиночных контейнеров обеспечивает работу в диапазоне K α
(0 ≤ K α ≤ K1 ) , любые два контейнера требуют повышения жесткости
до K β (K1 ≤ K β ≤ K 2 ) и, наконец, все три нагрузки работают при
K γ ≥ K 2 . Переменная во времени емкость отвечает трем различным
массам с ∈ {с1 , с2 , с3 }. Наложим дополнительные требования к конечной модели: реактивные элементы должны быть с общим узлом, неизменными, нелинейными и параметрическими. Система уравнений по
Здесь принято условие достаточно медленного изменения параметра С. В противном случае несложное преобразование с учетом дополнения от составляющей d (t ) / dt также может быть учтено. Согласно (5.35) и (5.36) можно получить, полагая [K ]1 = [K ]3 = [0] ; [K ]2 = 1 :
 0
 0

[T ( p )] = − 1
 L
 0

t
методу переменных состояния [i1 (t ), uc (t )] , где t – транспозиция матрицы-строки, будут иметь вид
 R
d  i1 (t )  − L
=
dt uc (t )  1
C
1
−   u (t )  1 
L ⋅ 1
;
 u (t ) +  L  ⋅ u1 (t )
0   c   0 

 i (t ) 
u2 (t ) = [R 1] ⋅  1  .
uc (t )
Здесь
[q(t )] = [i1 (t ), uc (t )]
t
;
[C0 ] = [R 1]; [D ] = [0].
 R
−
[ A] =  1L

 C
1
− 
L ; [B ] =  1 0  ;

 2

0 

0
−1
0
0
1
R
R
L
1
−
C
p+
0
1
1

L .
p

Реализация [T ( p )] возможна с учетом (5.37) при m0 = 2 по матрице проводимостей:
0
0
 0 −1

0
0
[Y ( p )] = B2−1{[T ( p )]} = 
0
0
− 1 0

0
0
1
R
p
0
R
1
0
1
0
0
0
0

0 −1 0

p 0 1.
1 L 0

0 0 C
Известные методы [12] реализации [Y ( p )] с помощью приемов
синтеза ARC-цепей приведут к схеме, представленной на рис. 5.34,
Заметим, что полученная система отвечает общему виду (5.34).
От исходного прототипа модели (рис. 5.33) перейдем к новым перео
менным состояния u3 ( p ) , u4 ( p ) – потенциалы третьего и четвертого
узлов искомой цепи. В этом случае


 0
R
1   u1 ( p ) u2 ( p )
 1
R 1 
 

p+
 ⋅ u3 ( p ) =  0 
−
L
L
L
 u ( p )  0  .

1
 4  

 0
p
−


C

где все величины в Ом–11, Ф ; [x(t )] = u1 (t ); [ y (t )] = u 2 (t ) . Кроме указанных, все коэффициенты являются единичными. Из [Y ( p )] следует, чтоо
124
125
в соответствии с выражением (5.36) [D ( p )] = [0]
 p −1
[C 0 ( p )] = 
 Rp
−1
 Rp −1
 − 1 0
0 
(
)
(
)
[
]
[
]
;
;
=
=
−
B
p
A
p
 −1

 0 0
− p −1 


 p
− p −1 
;
0 
WL−1{}
⋅ ⇒ L; W p−1{}
⋅ ⇒ C ; [q(t )]1 = u5 (t ); q1 = 1 [P(t )] 1 = i5 (t ) ;
[q(t )]2 = u6 (t ) ; q2 = 1 ; [P(t )] 2 = i6 (t ) ; q = 2 .
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Рис. 5.34
На рис. 5.34 штриховыми линиями выделены блоки A и L . В логическом блоке L расположены две обмотки реле P1 и P2 с соответствующими контактами (как правило, транзисторные ключи), коммумбитирующие проводимости G1 и G2 , равные величинам L1 и L2 , и комбинации ключей, коммутируемых в соответствии с изменяющейся
координатой X (t ) , обеспечивающих кусочно-линейный закон изменения жесткости подвески; проводимости Gm1 , Gm 2 , Gm3 соответствуют
уют
параметрической емкости. Блок A(ARC) содержит ключи Ка, Кb, Кc, коммутирующие условия нагрузок на платформу, и управляет работой обмоток реле А0 , В0 , С0 (с контактами а, b, c), определяющими логичесс-

L ⋅L 
кий выбор жесткости рессор  L1 , L2 , 1 2  .
L1 + L2 

В случае необходимости можно учесть и изменение коэффициента вязкого трения, определяемое R-параметрами.
Следует заметить, что полученная данная реализация, как и другая, определяемая рис. 5.16, не является единственно возможной
и представляет собой лишь первое приближение, нуждающееся в дальнейшей машинной оптимизации ее характеристик и параметров. Сама релейно-контактная схема может быть реализована на микросхемах по известным подходам к проектированию и синтезу переключательных схем.
Другими словами, таблица истинности при погрузке только одного (любого) контейнера Gm1 , Gm 2 или Gm3 следующая:
a
1
0
0
Номера ключей
b
0
1
0
c
0
0
1
Функция
p1
1
1
1
Или p1 = a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c . При нагрузке в виде двух контейнеров (любых) получили:
a
1
1
0
126
Номера ключей
b
1
0
1
c
0
1
1
127
Функция
p2
1
1
1
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными...
Или p2 = a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c . При загрузке всех трех контейнеров получили P3 = a ⋅ b ⋅ c . При этом жесткость рессор определяется
следующей логической операцией:
L = p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ∨ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ∨ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ∨ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ∨ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ∨
∨ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ∨ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 = p1 ⋅ p2 ( p3 ∨ p3 ) ∨ p1 ⋅ p2 ( p3 ∨ p3 ) ∨
∨ p1 ⋅ p3 ( p2 + p2 ) ∨ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 = p1 ⋅ p2 ∨ p1 ⋅ p2 ∨ p1 ⋅ p3 ∨ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 =
= p1 ( p2 ∨ p2 ) ∨ p1 ( p3 ∨ p2 ⋅ p3 ) = p1 ∨ p1 ( p3 ∨ p2 ⋅ p3 ).
При выводе L выражения были использованы сочетательный (ассоциативный), переместительный (коммутативный) и распределительный (дистрибутивный) законы алгебры Буля, а также тождество
а ∨ а = 1.
Некоторые преобразования схемы ключей приведут к основному
варианту, представленному на рис. 5.34.
Разумеется, схема с ключами может быть замещена логическими
Рис. 5.36
В заключение получим реализацию L (рис. 5.37).
элементами. Например, для p1 = a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c получим вариант реализации, показанный на рис. 5.35.
Рис. 5.37
Рис. 5.35
Для p2 = a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c получим конфигурацию, данную
на рис. 5.36.
128
129
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Рекомендуемая литература
Рекомендуемая литература
17. Bondarenko A. V. Linear, Nonlinear, Parametric and Discrete Circuits
(system) General Method Synthesis / A. V. Bondarenko. – International Symposium
on Theoretical Electrical Engineering, ISTET97, Palermo, Italy, June 9–11, 1997. –
482–484 p.
1. Смит Д. Н. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей / Д. Н. Смит. – М.: Машиностроение, 1980. – 272 с.
2. Богнер Р. Введение в цифровую фильтрацию / Р. Богнер, А. Константинидис. – М.: Мир, 1976. – 216 с.
3. Бондаренко А. В. Основы анализа аналого-дискретных и цифровых
электрических цепей: учеб. пособие / А. В. Бондаренко, В. В. Бондаренко. – Л.:
ЛЭТИ, 1991. – 80 с.
4. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций / А. И. Солонина
и др. – СПб.: БХВ – Петербург, 2003. – 608 с.
5. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко. – СПб.:
Питер, 2005. – 604 с.
6. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес, Р. Вудс. –
М.: Техносфера, 2005. – 1070 с.
7. Бондаренко В. В. Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы /
В. В. Бондаренко, А. В. Бондаренко, В. А. Медников. – СПб.: СПбГУКиТ. Отчет
по х/д НИР, 2006. – 93 с.
8. Чуа Л. О. Машинный анализ электронных схем / Л. О. Чуа, Пен-Мин
Лиин. – М.: Энергия, 1980.
9. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Л. Р. Нейман,
К. С. Демирчан – Л.: Энергоатомиздат, 1981.
10. Ионкин П. А. Основы инженерной электрофизики. Ч. 2. Методы анализа и синтеза электронных цепей / П. А. Ионкин. – М.: Высшая школа, 1972.
11. Moschyts G. S. Proceedings of Summer Simposium of Circuit Theory.
SSCT 82. – Chechoslovakia, Prague, Jule 12–16, 1982.
12. Бондаренко А. В. Общая теория реализации активных RC-схем /
А. В. Бондаренко. – Электричество. 1983. – № 7. – С. 63–65.
13. Цыпкин Я. З. Основы теории автоматических систем / Я. З. Цыпкин. –
М.: Наука, 1977. – 248 с.
14. Бондаренко А. В. Метод синтеза безындуктивных нелинейных и параметрических схем / А. В. Бондаренко, В. В. Бондаренко. – Электромеханика,
1989. – Т. 6. – С. 23–26 (сер. Известия вузов).
15. Бондаренко А. В. Синтез схем функциональных преобразователей
с минимальным количеством умножений и сумматоров / А. В. Бондаренко,
В. В. Бондаренко, В. В. Резниченко // Приборостроение. – 1990. – Т. 32, № 3. –
С. 35–39 (сер. Известия вузов).
16. Бондаренко А. В. Реализация некоторых нелинейных динамических
цепей при моделировании сложных технических и биологических систем /
А. В. Бондаренко, В. В. Бондаренко // Электричество, 1997. – № 10. – С. 66–70.
130
131
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Оглавление
Введение .................................................................................................................. 3
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление ......................................... 6
1.1. Дискретизация непрерывных сигналов .............................................. 6
1.2. Некоторые свойства систем и теоремы Z-преобразования ............. 12
1.3. Обратное Z-преобразование .............................................................. 20
Глава 2. Основные преобразования в Z- и L-областях.................................. 24
2.1. Операции свертки двух дискретных функций ................................. 24
2.2. Понятие о системной функции ......................................................... 27
2.3. Модифицированное преобразование Лапласа
и Z-преобразование ................................................................................... 32
2.4. Связь между различными формами Z- и L-преобразований ........... 37
2.5. Соотношения между комплексными s- и z-областями .................... 40
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей ........ 50
3.1. Разностное уравнение и системные функции .................................. 50
3.2. Подбор динамических характеристик системной функции,
отвечающей разностным уравнениям, и системной функции
аналоговой цепи ........................................................................................ 64
Глава 4. Методы реализации дискретно-аналоговых
и дискретных цепей ............................................................................................ 67
4.1. Системные функции........................................................................... 67
4.2. Моделирование дискретных систем при частоте
дискретизации, отличной от исходной модели ....................................... 69
4.3. Структурные схемы дискретных цепей................................................69
4.4. Метод переменных состояний для линейных дискретных схем .... 72
Глава 5. Реализация дискретно-аналоговых систем с нелинейными
и логическими подсхемами ............................................................................... 78
5.1 Описания цепей с произвольным количеством ключей ................... 78
5.2. Анализ цепей при работе ключей со сдвигом по времени .............. 83
5.3. Описание схем с ключами ................................................................. 89
5.4. Анализ цепей с коммутируемыми (переключаемыми)
конденсаторами ......................................................................................... 94
5.5. Синтез ARC-нелинейно-параметрических схем с идеальными
дискретизаторами .................................................................................... 100
Рекомендуемая литература ................................................................................. 130
132
Учебное издание
Бондаренко Анатолий Васильевич
Бондаренко Валентин Васильевич
Лебедева Алла Анатольевна
АНАЛОГО-ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ
ЦЕПИ И СИСТЕМЫ
Учебное пособие
Редактор О. Д. Камнева
Корректоры А. А. Стешко, М. А. Молчанова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 27.12.11. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 8,0. Тираж 300 экз. Заказ 153. «С» 78.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
133
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
134
135
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
136
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
4 642 Кб
Теги
zifrov, bondarenko, diskretnykh, analogi
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа