close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ermoschin Egoschin Ekonomiko-matematich

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Н. А. ЕРМОШИН, А. М. ЕГОШИН, С. В. РЕХОВ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ДОРОЖНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ
Учебное пособие (практикум)
Санкт-Петербург
2012
1
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
УДК 629.01(075.8)
Рецензенты:
д-р экон. наук, доцент Э. В. Коровин (ВАТТ);
д-р техн. наук, профессор В. Н. Мячин (НИПИ ТРТИ)
Ермошин Н. А.
Экономико-математические методы в дорожном строительстве:
учеб. пособие (практикум) / Н. А. Ермошин, А. М. Егошин, С. В. Рехов; СПбГАСУ. – СПб., 2012. – 95 с.
ISBN 978-5-9227-0358-1
Настоящее учебное пособие (практикум) разработано по наиболее общим темам, включенным в основные образовательные программы по дисциплине «Экономико-математические методы в дорожном строительстве» для специальности 270205 – автомобильные дороги и аэродромы и подготовки бакалавров по направлению 270800 – строительство по профилю «Автомобильные
дороги». Содержание учебного пособия (практикума) составляют задачи экономико-математического моделирования дорожно-строительного-производства,
а также управления дорожно-строительных материалов и конструкций. По всем
методикам решения задач приведена их экономико-математическая постановка и алгоритмы решения с использованием общедоступного и широко используемого программного продукта Microsoft Excel.
Табл. 18. Ил. 74.
ISBN 978-5-9227-0358-1
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2012
© Н. А. Ермошин, А. М. Егошин,
С. В. Рехов, 2012
2
Предисловие
Развитие рыночного хозяйства в России, оживление производства, резкое увеличение уровня автомобилизации населения привели
к росту парка автотранспортных средств, объемов грузовых и пассажирских перевозок по автомобильным дорогам. Согласно Транспортной стратегии Российской Федерации, развитие автодорожной сети
должно соответствовать темпам социально-экономического развития
страны и обеспечивать потребности в перевозках в соответствии
с ростом автомобилизации. Однако к настоящему времени все более
обостряется дефицит пропускной способности дорожной сети. Это
характерно для Московского, Санкт-Петербургского и ряда других
крупных транспортных узлов, что обусловлено как неоптимальной
структурой сети, так и резким ростом парка автомобилей, уменьшением партий грузов вследствие развития преимущественно мелкого
и среднего бизнеса.
Дальнейшее развитие экономики страны и ее регионов невозможно без развития сети дорог, совершенствования воспроизводственной деятельности дорожно-строительных предприятий и организаций, повышения эффективности их производственной структуры.
Объекты дорожной инфраструктуры имеют стратегическое значение
для развития федеральной и региональных социально-экономических
систем, удовлетворения потребностей экономических субъектов
и населения. Свидетельством этому являются принятые законы, постановления и решения правительства, в которых отмечается важность
такого развития.
Во многом обострение ситуации с состоянием дорожной сети
России обусловлено отсутствием зависимости объемов финансирования дорожного хозяйства от темпов роста национальной экономики, автомобилизации и объемов перевозок автомобильным транспортом. Вместе с тем, к этому следует добавить не всегда эффективное
распределение дефицитных ресурсов между федеральными (региональными) органами по управлению дорожной деятельностью, новым строительством, реконструкцией, ремонтом и содержанием автомобильных дорог. Зачастую для снижения себестоимости дорож3
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
ного строительства не используются наиболее рациональные и обоснованные проектные решения, технико-экономический анализ производства дорожных работ, обеспечения их дорожно-строительными
материалами и конструкциями, управления запасами и др.
Финансовыми и статистическими органами учитываются только расходы на выполнение дорожных работ. Эти суммы реальны, контролируемы, но определить эффективность их использования без применения экономико-математических методов в дорожном строительстве невозможно.
Цель издания состоит в практическом закреплении у студентов
понимания идеи и овладении навыками применения экономико-математических методов в дорожной деятельности. Это позволит дорожно-строительным и проектным организациям добиться большей обоснованности проектных решений, снижения себестоимости дорожного строительства, повышения конкурентоспособности на рынке
строительных услуг. Применение экономико-математических методов в дорожном строительстве изучается на задачах, наиболее часто
встречающихся в практике.
Содержание пособия направлено на привитие студентам практических навыков принятия проектных и организационно-экономических решений с использованием доступных и широко используемых программных средств. Это значительно облегчает и сокращает
затраты времени на решение оптимизационных задач в дорожном
строительстве, а применение изложенных в пособии способов их решения с использованием Microsoft Excel позволяет находить рациональные и даже оптимальные решения практически «на коленке».
4
Глава 1. МАРШРУТИЗАЦИЯ ДОСТАВКИ ДОРОЖНОСТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ, КОНСТРУКЦИЙ
И МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДСТВ НА ОБЪЕКТЫ
СТРОИТЕЛЬСТВА
1.1. Методика решения задачи по определению кратчайшего
пути доставки дорожно-строительных материалов,
конструкций и материальных средств на объекты
строительства
Исходные данные
Задача о кратчайшем пути состоит в нахождении связанных между собой транспортных коммуникаций на транспортной сети (сети
автомобильных дорог), которые в совокупности имеют минимальную
длину от исходного пункта А0 до пункта назначения Аn. В данном разделе рассматриваются различные случаи доставки дорожно-строительных материалов, конструкций и материальных средств на объекты строительства. Эти ситуации можно промоделировать и решить
как задачу о кратчайшем пути.
Пусть задана транспортная сеть или сеть автомобильных дорог
(рис. 1.1), состоящая из станций А0, А1 и т. д. и коммуникаций, соединяющих некоторые из этих станций.
Длины коммуникаций (дорог) предполагаются известными
и равными Cij. Если станции Аi и Аj непосредственно не соединены
друг с другом, предполагаем что Сij равна бесконечности. Из начальной станции А0 на конечную станцию Аn+1 можно попасть (доставить
дорожно-строительные материалы) через большое количество путей,
проходящих через разные промежуточные станции. Требуется выделить из всех путей путь наименьшей длины. Поясним, что длины коммуникаций могут означать время движения, стоимость перевозок от
станции до станции, вероятности своевременной перевозки груза от
станции до станции и др.
5
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
1
10
0 ≤ X ij ≤ 1.
5
2
2
5
11
8
6
4
4
7
3
3
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
7
9
1
6
Рис. 1.1. Принципиальная схема сети дорог, по которой осуществляется доставка дорожно-строительных материалов
Экономико-математическая модель решения задачи
Приведем в соответствие каждой паре пунктов Аi и Аj величины
Хij. Если участок Аi Аj принадлежит кратчайшему пути, то Хij = 1,
в противном случае Хij = 0. Задача о кратчайшем пути доставки дорожно-строительных материалов в таком случае может быть сведена
к выбору чисел Хij, для которых сумма произведений длины дуг на
искомые переменные Хij стремится к минимуму при условиях:
n +1 n +1
∑ ∑ Cij X ij → min;
i =0 j =0
n +1
n +1
j =0
j =0
n +1
n +1
j =0
j =0
∑ X ij − ∑ X ji = 0;
∑ X 0 j − ∑ X j 0 = 1;
n +1
n +1
j =0
j =0
∑ X n +1, j − ∑ X j , n +1 = −1;
6
(1.1)
(1.2)
(1.5)
Условие (1.2) соответствует тому, что число коммуникаций (дорог), принадлежащих критическому пути и входящих в любой промежуточный пункт, равно числу коммуникаций, исходящих из этого пункта и принадлежащих критическому пути (кратчайшему маршруту
доставки дорожно-строительных материалов).
Условие (1.3) означает, что количество коммуникаций (дорог) из
исходного пункта А0 превышает на единицу число коммуникаций (дорог), входящих в исходный пункт.
Аналогичным образом условие (1.4) свидетельствует о том, что
в конечный пункт Аn+1 входит на одну коммуникацию (дорогу) больше, чем выходит.
Вместе с условием (1.2) и требованием минимизации целевой
функции (1.1) условия (1.3) и (1.4) означают, что на каждую станцию
Аi приходит ровно одна коммуникация (дорога) и из каждой станции
Аi исходит ровно одна коммуникация (дорога).
Условие (1.5) в задаче эквивалентно требованию, согласно которому все значения Хij равны нулю или единице.
Таким образом, соотношения (1.1)–(1.5) определяют кратчайший
путь доставки дорожно-строительных материалов, конструкций
и материальных средств на объект строительства на существующей
сети транспортных коммуникаций (дорог).
Необходимо еще раз отметить, что в качестве длин дуг могут
быть не только километры, но и другие показатели, например стоимости, время и т. д.
Решение задачи по определению кратчайшего пути
доставки дорожно-строительных материалов
на объект строительства
Подготовительный этап
(1.3)
(1.4)
1. Преобразуем граф сети транспортных коммуникаций (дорог)
к матричной форме.
С этой целью строим две таблицы – «Дуги» и «Узлы» (рис. 1.2).
В таблице «Дуги» выделяем 4 столбца:
7
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
• 1-й столбец – «Дуга», предназначен для заполнения значениями искомых переменных Хij;
• 2-й столбец – «Начало», обозначает исходные и промежуточные узлы (станции) сети, из которых выходят коммуникации (например, на рис. 1.1 из узла 1 выходят 3 коммуникации);
• 3-й столбец – «Конец», предназначен для обозначения промежуточных и конечных пунктов или станций, в которые входят коммуникации;
• 4-й столбец – «Длина», предназначен для указания протяженности дуг, соединяющих узлы (станции) друг с другом.
В таблице «Узлы»:
• 1-й столбец – «Узел», в нем размещается информация о номерах всех узлов, последовательно от исходного пункта до пункта стока
или конечного пункта сети транспортных коммуникаций (дорог);
• 3-й столбец – «Выходят». Аналогичен 2-му столбцу;
• 4-й столбец – «Сумма», предназначен для расчета значений
ограничений (в экономико-математической модели это ограничения
1.2–1.5);
• 5-й столбец – «Ограничения»; предназначен для обозначения
исходного, конечного и промежуточных пунктов сети коммуникаций
(дорог). Соответствующему номеру узла присваивается значение «1» –
если этот узел является исходным пунктом, «0» – если узел является
промежуточным пунктом и «–1» – если узел является конечным пунктом (условия (1.2), (1.3), (1.4)).
2. Заполняем формулами таблицу «Дуги» для вычисления длины кратчайшего пути. С этой целью:
• выделяем ячейку, в которой мы хотим разместить значения
длины кратчайшего пути доставки дорожно-строительных материалов, затем вызываем «Мастер функций», нажав на иконку fx на панели
инструментов. В открывшемся окне в категории «Математические»
выбираем функцию СУММПРОИЗВ (рис. 1.3);
Рис. 1.2. Исходные таблицы «Дуги» и «Узлы»
• 2-й столбец – «Входят», заполняется автоматически в процессе решения задачи. Алгоритм решения основан на выборе кратчайшего расстояния до следующего узла с учетом суммы расстояний
до предыдущего узла и длины коммуникаций до узла, следующего за
предыдущим;
Рис. 1.3. Работа в окне «Мастер функций»
8
9
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
• в строку «Массив 1» (рис. 1.4) вводим значения длин дуг, выделив столбец «Длина» в таблице «Дуги»;
Рис. 1.4. Ввод аргументов функции СУММПРОИЗВ
• устанавливаем курсор в строку «Массив 2» в окне «Аргументы функции», вводим значения столбца «Дуга» из таблицы «Дуги» и
нажимаем ОК.
На этом ввод формул для таблицы «Дуги» закончен.
3. Заполняем формулами таблицу «Узлы». С этой целью:
• для расчета значений в столбце «Входят» устанавливаем курсор в ячейку на пересечении соответствующего узла 1 и столбца «Входят» и активируем ее, щелкнув левую кнопку мыши;
• вызываем мастер функций и в категории «Математические»
выбираем функцию СУММЕСЛИ;
• заполняем строку «Диапазон» в аргументах функции (рис. 1.5),
для чего вводим в эту строку значение массива «Конец» из таблицы «Дуги»;
• переводим курсор в строку «Критерии» в окне «Аргументы
функции» и вводим значение, соответствующее номеру узла в строке
таблицы «Узлы» (в нашем случае это значение ячейки F3);
• устанавливаем курсор в строку «Диапазон суммирования»
в окне «Аргументы функции» и вводим значения столбца «Дуга»
(А3:А13) из таблицы «Дуги» (см. рис. 1.5);
• нажимаем ОК и переходим к вводу формулы СУММЕСЛИ
в столбце «Входят» следующего второго узла. При этом аргументы
функции, за исключением критерия, остаются прежними, а критерий
соответствует следующему номеру узла. Аналогично вводим формулу для всех оставшихся узлов в столбце «Входят».
Переходим к заполнению формулами столбца «Выходят», для
чего:
• устанавливаем курсор и выделяем ячейку на пересечении
строки, соответствующей узлу 1 и столбцу «Выходят»;
• вызываем мастер функций и в категории «Математические»
выбираем функцию СУММЕСЛИ;
• в появившемся окне «Аргументы функции» устанавливаем
курсор в строку «Диапазон» и вводим значения столбца (массива)
«Начало» из таблицы «Дуги»;
10
11
Рис. 1.5. Заполнение аргументов функции СУММЕСЛИ
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
• устанавливаем курсор в строку «Критерий» в окне «Аргументы функции» и вводим значение критерия, которое соответствует «1»,
т. е. значению номера узла 1 из таблицы «Узлы»;
• устанавливаем курсор в «Диапазон суммирования» в окне
«Аргументы функции» и вводим значение диапазона суммирования,
соответствующее значениям столбца «Дуга» из таблицы «Дуги». Нажимаем ОК. Аналогично вводим формулы в оставшиеся ячейки столбца «Выходят». При этом все аргументы функции, за исключением
критерия, остаются прежними. Меняется лишь численное значение
критерия, которое соответствует номеру следующего узла (рис. 1.6).
• выделяем ячейку на пересечении строки, соответствующей
узлу 1 и столбцу «Сумма». Нажимаем знак «=», устанавливаем курсор в этой же строке в столбце «Выходят» и нажимаем знак «минус»;
• устанавливаем курсор в этой же строке в столбце «Входят»,
нажимаем ENTER (рис. 1.7);
• копируем формулу в остальные ячейки столбца «Сумма». Для
этого выделяем ячейку, в которую мы только что вводили формулу,
и нажимаем «Копировать» на панели инструментов. Затем выделяем
остальные ячейки в столбце «Сумма» и нажимаем «Вставить» на панели инструментов.
Далее заполняем данными столбец «Ограничения» (рис. 1.8). При
этом в ячейке на пересечении столбца «Сумма» и строки, соответствующей каждому узлу, проставляем значение «1», если этот узел
является исходным пунктом, значение «0», если узел является промежуточным, и «–1», если пункт будет конечным узлом (объектом строительства, стоком).
На этом ввод формул в таблицу «Узлы» считается завершенным.
Рис. 1.6. Ввод формул в столбец «Выходят»
Переходим к заполнению формулами столбца «Сумма». С этой
целью:
12
Рис. 1.7. Ввод формул в столбец «Сумма»
13
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
Рис. 1.8. Ввод данных в столбец «Ограничения»
Вычислительный этап
1. Устанавливаем курсор в ячейку, в которую будет помещено
значение кратчайшего пути (D14).
2. Запускаем программу «Поиск решения» командой Данные/
Анализ/Поиск решения (Excel 2007) или Сервис/Поиск решения
(Excel 2003 и ниже)1.
3. В окне поиск решения (рис. 1.9) устанавливаем целевую ячейку, соответствующую номеру ячейки, в которой будет помещена длина кратчайшего пути доставки дорожно-строительных материалов.
4. Выбираем равенство этой ячейки минимальному значению
и устанавливаем курсор в строку «Изменяя ячейки».
5. Вводим в строку «Изменяя ячейки» столбец (массив) «Дуга»
из таблицы «Дуги».
6. Устанавливаем курсор в окно «Ограничения» и справа от этого окна нажимаем кнопку «Добавить» (см. рис. 1.9).
7. В окно «Ссылка на ячейку» (рис. 1.10) вводим значения столбца «Сумма» из таблицы «Узлы».
1
Если программы «Поиск решения» нет в меню, то ее следует подключить
в меню «Надстройки».
14
Рис. 1.9. Работа в окне «Поиск решения»
8. В следующем окне (справа) выбираем знак «<=» и устанавливаем курсор в окно «Ограничения».
9. Вводим ограничения, выделив столбец «Ограничения» в таблице «Узлы».
10. Нажимаем кнопку ОК.
11. В открывшемся окне «Поиск решения» нажимаем кнопку
«Параметры», оставляем стандартные условия без изменения. Ставим галочку в чекбоксах «Линейная модель» и «Неотрицательные
значения переменных». После чего нажимаем ОК (рис. 1.11).
12. Нажимаем кнопку «Выполнить» в окне «Поиск решения» и в появившемся окне «Результаты поиска решения» нажимаем ОК (рис. 1.12).
Анализ результатов расчетов
Данные по решению задачи находятся в таблице «Дуги». Так,
в столбце «Дуга» размещены значения искомых переменных. Если
15
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
они равны 0, то соответствующая дуга в строке этой таблицы не принадлежит кратчайшему пути. Если это значение равно 1, то дуга, соединяющая соответствующие узлы, находится на кратчайшем пути
доставки дорожно-строительных материалов. В рассматриваемой задаче минимальное расстояние (протяженность, стоимость, время)
в 13 единиц обеспечивается при движении по маршруту 1, 2, 5, 7.
Рис. 1.10. Работа в окне «Добавление ограничения»
Рис. 1.12. Результаты поиска решения
1.2. Практические задачи по определению кратчайшего пути
доставки дорожно-строительных материалов, конструкций
и материальных средств на объекты строительства
1.2.1. Определение маршрута доставки дорожно-строительных
материалов с учетом минимизации времени перевозки
Рис. 1.11. Установка параметров поиска решения
16
В целях обеспечения своевременного ввода транспортного сооружения в эксплуатацию требуется определить маршрут доставки
дорожно-строительных материалов за минимальное время. Доставка
дорожно-строительных материалов на объект строительства осуще17
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
ствляется с базы автомобильным транспортом по улично-дорожной
сети города. При этом возможны несколько маршрутов перевозки груза
с учетом движения автомобилей по разным улицам. В связи с высокой интенсивностью движения и недостаточной пропускной способностью городских дорог время доставки определяется не только расстоянием и скоростными возможностями автомобиля. Оно также
зависит от загруженности разных маршрутов автомобильным транспортом. В табл. 1.1 приведены данные о наиболее вероятном времени
движения грузового автомобиля по городским улицам от базы до
объекта строительства через промежуточные пункты (пересечения
городских дорог). Для удобства вычислений исходный, промежуточные и конечный пункты пронумерованы. Причем наименьший из номеров принадлежит исходному пункту, а наибольший – конечному.
Таблица 1.1
Время движения автомобиля между исходным, промежуточными
и конечным пунктами
Пункты
1
2
3
4
5
6
7
1
2
20
3
40
4
100
110
30
5
50
80
6
10
70
7
60
90
1.2.2. Определение маршрута доставки дорожно-строительных
материалов и других материальных ресурсов с учетом
минимизации стоимости перевозки
Мостостроительная организация разрабатывает маршрут доставки мостовых конструкций различными видами транспорта из пункта 1
в пункт 6. Стоимости перевозок мостовых конструкций между пунктами транспортной сети по возможным маршрутам их доставки показаны в табл. 1.2. Определить маршрут доставки конструкций, обеспечивающий минимальную стоимость перевозки.
18
Таблица 1.2
Затраты на перевозку мостовых конструкций между пунктами
транспортной сети
Начало
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
5
Конец
2
3
4
5
6
3
4
5
6
4
5
6
5
6
Стоимость перевозки (тыс. долл.)
4,00
5,40
9,80
13,70
14,50
4,30
6,20
8,10
8,70
4,80
7,10
7,80
4,90
5,10
1.2.3. Определение маршрута доставки дорожно-строительных
материалов и других материальных ресурсов с учетом
минимизации расстояния перевозки
Дорожно-строительной организации требуется разработать маршрут движения специальных транспортных средств по транспортировке горюче-смазочных материалов от нефтебазы на объект строительства транспортного сооружения. Учитывая степень опасности
груза, маршрут должен иметь минимальную длину. Расстояния между населенными пунктами, через которые возможно прохождение
маршрута, приведены в табл. 1.3.
Расстояния между населенными пунктами
Пункты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
10
3
20
4
50
55
15
5
25
40
19
6
5
35
7
30
45
Таблица 1.3
8
5
9
7
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
1.3. Методика решения задачи по определению оптимального
плана развозки материальных ресурсов по объектам
производства дорожно-строительных работ
что расстояние между каждой парой объектов известно. Вместо длины пути могут использоваться такие критерии, как стоимость, время
и др. Алгоритм решения задачи может применяться для определения
наиболее выгодного маршрута контроля производства дорожно-строительных работ на объектах строительства, имеющего целью обеспечение требуемого качества дорожного строительства (каждый из этих
объектов моделируется вершиной графа). Другим применением задачи является составление наиболее выгодного маршрута доставки запасных частей, агрегатов для вышедшей из строя дорожно-строительной техники и доставки прочих материально-технических ресурсов
на объекты строительства одним транспортным средством. Задача
с такими условиями в исследовании операций имеет название задачи
коммивояжера.
Математическая постановка задачи состоит в следующем.
Определить булевы переменные xij:
xij = 1, если топливозаправщик переезжает из пункта i в пункт j;
xij = 0, если топливозаправщик не переезжает из пункта i в пункт j.
Тогда сама задача заключается в определении минимума целевой функции
Исходные данные
Дорожно-строительная организация планирует обеспечение дизельным топливом техники на объектах производства работ по их заявкам на очередной день. Всего поступило 4 заявки из разных районов
города (мест выполнения работ). Удовлетворение всех заявок требует
доставки дизельного топлива на каждый объект строительства. Для
доставки горючего на очередной день выделен один топливозаправщик. Известны расстояния от базы до каждого объекта производства
работ и расстояния между объектами (табл. 1.4).
Требуется составить наикратчайший маршрут движения топливозаправщика, чтобы он прибыл на каждый объект строительства,
побывав на нем только один раз, и вернулся на базу.
Расстояния от базы до объектов строительства
Номера
пунктов
1
2
3
4
5
1
10 000
6
5
1
2
Таблица 1.4
Номера пунктов
2
3
4
10
8
54
10 000
4
5
3 10 000
6
7
2
10 000
35
5
2
5
10
7
12
8
10 000
Примечание. Число «10 000» на пересечении строк и столбцов с одноименными пунктами в исходной таблице имитирует бесконечно большое расстояние между ними (во много раз больше расстояния между другими пунктами). Это позволяет исключить перемещение коммивояжера между пунктами
с одинаковыми номерами.
Экономико-математическая модель решения задачи
Задача заключается в определении последовательности объезда
объектов производства работ топливозаправщиком, при которой ему
требуется пройти наименьшее расстояние. При этом предполагается,
20
n
n
i =1
j =1
∑ ∑ cij xij → min
при ограничениях:
n
∑ xij = 1,
(1.6)
j = 1, n
(только один въезд в пунктт j ); (1.7)
∑ xij = 1, i = 1, n
(только один выезд из пунктаа i ). (1.8)
i =1
n
j =1
В задаче коммивояжера необходимо еще одно условие, а именно:
ui − u j + (n − 1) xij ≤ n − 2 , i ≠ j; i, j = 2,..., n .
(1.9)
Это специальное условие обеспечивает устранение циклов
и несвязанных маршрутов, попросту означающих перемещения топливозаправщика (коммивояжера) по замкнутому частичному маршруту.
21
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
Решение задачи по определению оптимального плана развозки
материальных ресурсов по объектам производства дорожностроительных работ в Excel
3. Создаем таблицу для ограничений по дополнительным переменным, исключающим циклы (рис. 1.15).
Подготовительный этап
1. Создаем исходную таблицу (рис. 1.13) и вносим в нее имеющиеся исходные данные.
Рис. 1.15. Таблица для ограничений по дополнительным переменным
Рис. 1.13. Исходные данные для решения задачи
Заполнение таблиц формулами, связывающими план объезда,
ограничения и целевую функцию (наименьшее расстояние, время,
стоимость и т. д.)
Рис. 1.14. Таблица для результатов решения задачи
1. Заполняем формулами значения ограничений на въезд и выезд в таблице, где будут размещены результаты решения задачи
(см. рис. 1.14). Для этого:
• устанавливаем курсор в ячейку на пересечении строки «Ограничения на въезд в j» и столбца с номером пункта 1 (ячейка В10)
и активируем ее, щелкнув левой кнопкой мыши (рис. 1.16);
• вызываем мастер функций, щелкнув по пиктограмме fx,
и в категории «Математические» выбираем функцию СУММ, нажимаем ОК (рис. 1.17);
• в появившемся окне (рис. 1.18) в строку «Число 1» вводим
данные, которые будут получены в результате решения задачи в столбце 1, выделив в столбце ячейки В5:В9. Для этого необходимо установить курсор в ячейку В5, щелкнуть левой кнопкой мыши и, удерживая ее в нажатом положении, протащить курсор до ячейки В9 включительно;
• заполняем формулами оставшиеся ячейки в строке «Ограничения на въезд в j» для каждого номера пункта. С этой целью копиру-
22
23
2. Создаем таблицу для размещения результатов решения задачи (рис. 1.14).
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
ем формулу из заполненной ячейки В10 для оставшихся ячеек в строке. Для копирования необходимо активировать ячейку на пересечении строки «Ограничения на въезд в j» и столбца «1», щелкнув по
ячейке левой кнопкой мыши, и, удерживая ее в нажатом положении,
протащить курсор по строке «Ограничения на въезд в j» до последней
ячейки (F10) включительно.
Рис. 1.16. Заполнение формулами таблицы «Результаты решения»
(ввод ограничений)
Рис. 1.18. Заполнение формулами строки ограничений на въезд
Рис. 1.17. Вызов мастера функций и поиск функции СУММ
24
Ограничения по столбцу «Ограничения на выезд из i» заполняются формулами аналогично с той лишь разницей, что суммирование
выполняется не по столбцу, а по соответствующей строке.
25
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
2. Вводим формулу для вычисления значения целевой функции
(рис. 1.19). Для этого:
• активируем свободную ячейку, в которую будет заноситься
значение целевой функции (ячейка В11 на рис. 1.19);
• вызываем мастер функций, щелкнув по пиктограмме f x,
и в появившемся окне в категории «математические» выбираем функцию СУММПРОИЗВ, щелкаем ОК;
• в появившемся окне «Аргументы функции» в строку «Массив 1» вводим адреса ячеек, в которых размещены значения расстояний между пунктами, а в строку «Массив 2» адреса ячеек, в которых
будут размещен план объезда (рис 1.19). Нажимаем ОК.
3. Заполняем формулами таблицы ограничений по дополнительным переменным для вычисления значения целевой функции.
Принципы заполнения показаны в табл. 1.5. При этом в качестве
данных по дополнительным переменным ( u 2 , u3 ,..., u n ) используются
данные из ячеек последней строки таблицы с результатами решения
задачи (рис. 1.20).
Таблица 1.5
Принципы заполнения таблицы ограничений с дополнительными
переменными
U2
U3
U4
U5
U2
U3
u2 − u2 + 4x22
u 2 − u3 + 4x23
U4
U5
u 2 − u 4 + 4x24
u2 − u5 + 4x25
u3 − u2 + 4x32
u3 − u3 + 4x33
u3 − u 4 + 4x34
u3 − u5 + 4x35
u4 − u 2 + 4x42
u 4 − u3 + 4x43
u 4 − u 4 + 4x44
u4 − u5 + 4x45
u5 − u 2 + 4x52
u5 − u3 + 4x53
u5 − u 4 + 4x54
u5 − u5 + 4x55
Вычислительный этап
1. Запускаем программу «Поиск решения» командой Данные/
Анализ/Поиск решения (Excel 2007) или Сервис/Поиск решения
(Excel 2003 и ниже)2.
2. Заполняем поля в появившемся окне «Поиск решения»:
• в поле «Установить целевую ячейку» вводим адрес ячейки
($F$26), в которой будет находиться искомое значение расстояния
(рис. 1.21);
• в поле «Изменяя ячейки» вводим адреса ячеек (рис. 1.21),
в которых будут находиться искомые величины xij плана объезда,
и ячеек с ограничениями связанности (рис. 1.21);
Рис. 1.19. Ввод формулы для определения значения целевой функции
2
Если программы «Поиск решения» нет в меню, то ее следует подключить
в меню «Надстройки».
26
27
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Рис. 1.20. Заполнение формулами таблицы ограничений по дополнительным
переменным
• устанавливаем курсор в поле ограничения и нажимаем кнопку «Добавить», щелкнув по ней левой кнопкой мыши;
• в появившемся окне «Добавление ограничения» в поле «Ссылка на ячейку» вводим значения ограничений.
После ввода ограничений нажимаем кнопку «Выполнить» в окне
«Поиск решения».
28
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
Рис. 1.21. Работа в окне «Поиск решения»
Анализ результатов расчетов
Данные по решению задачи находятся в таблице «Результаты
решения» (рис. 1.22). Так, на пересечении строк и столбцов «Номера
пунктов» размещены значения искомых переменных. Если они равны 1, то движение осуществляется из номера пункта в строке таблицы в номер пункта в столбце (из пункта 1 в пункт 3, из 3 в 2, из 2 в 5,
29
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 1. Маршрутизация доставки дорожно-строительных материалов, конструкций...
из 5 в 4, из 4 в 1). В рассматриваемой задаче минимальное расстояние
(протяженность) объезда топливозаправщиком объектов производства
дорожно-строительных работ составит 21 км и обеспечивается при
движении по маршруту 1, 3, 2, 5, 4, 1.
составить наикратчайший маршрут доставки материально-технических
средств, чтобы автомобиль доставил их на каждый объект, побывав
на нем только один раз, и вернулся на производственную базу.
Таблица 1.6
Расстояния от производственной базы до объектов производства работ
и между ними
Номера
пунктов
1
2
3
4
5
Номера пунктов
3
4
8
54
4
5
3
6
7
2
35
5
2
1
2
10
6
5
1
2
5
10
7
12
8
1.4.2. Составление плана выполнения монтажных работ
на объектах производства работ с использованием
арендованной спецтехники
Рис. 1.22. Результаты решения задачи
1.4. Практические задачи по определению оптимального плана
развозки груза по объектам производства дорожностроительных работ
1.4.1. Определение наикратчайшего маршрута развозки груза
с производственной базы на объекты
дорожного строительства
Дорожно-строительная организация планирует маршрут доставки материально-технических средств с базы на 4 объекта дорожного
строительства. Для доставки материально-технических средств
достаточно выделить один грузовой автомобиль. Известны расстояния доставки от производственной базы до каждого объекта производства работ и расстояния между объектами (табл. 1.6). Требуется
30
Дорожно-строительная организация для выполнения монтажных
работ арендует автомобильный кран большой грузоподъемности. Стоимость аренды тем выше, чем больше время использования крана.
Выполнение каждой монтажной работы требует перемещения автомобильного крана к новому месту выполнения работы. Длительность
перемещения автомобильного крана для выполнения j-й работы после i-й равна t ij . Требуется определить такую последовательность выполнения монтажных работ, которая обеспечивает их минимальную
продолжительность. Данные о времени перемещения автомобильного крана приведены в табл. 1.7.
Таблица 1.7
Данные о времени перемещения автомобильного крана
Работы
1
2
3
4
5
6
1
21
30
7
60
11
2
20
25
52
46
45
3
28
15
40
11
14
31
4
12
9
45
5
21
5
39
17
29
15
30
6
32
27
47
1
34
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
1.4.3. Определение оптимального маршрута доставки дорожностроительных материалов от производственной базы
до объектов строительства
Дорожно-строительная организация разрабатывает оптимальный
маршрут доставки элементов конструкций водопропускных труб на
объекты строительства. Известна стоимость доставки конструкций
автомобилем с манипулятором от базы до каждого объекта строительства и стоимость доставки от одного объекта до другого. Соответствующие цены (тарифы за доставку) приведены в табл. 1.8.
Таблица 1.8
Данные о стоимости доставки конструкций от производственной базы
до каждого объекта строительства и между объектами
Города
1
2
3
4
5
6
7
8
1
190
210
680
690
460
780
750
2
190
380
760
790
610
670
450
3
210
380
890
900
340
410
600
4
680
760
890
480
760
510
250
5
690
790
900
480
890
490
560
6
460
610
340
760
890
720
600
7
780
670
410
510
490
720
500
8
750
450
600
250
560
600
500
Глава 2. СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНОВ ПЕРЕВОЗКИ ДОРОЖНОСТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
К ОБЪЕКТАМ ПРОИЗВОДСТВА РАБОТ
2.1. Методика решения задачи по определению оптимального
плана перевозок дорожно-строительных материалов
и конструкций к объектам производства работ
Исходные данные
Требуется найти оптимальный план перевозок дорожно-строительных материалов из трех карьеров с запасами: № 1 – 10 тыс. м3,
№ 2 – 12 тыс. м3, № 3 – 12 тыс. м3 на пять участков работ с потребностями в материалах: № 1 – 4 тыс. м3, № 2 – 5 тыс. м3, № 3 – 7 тыс. м3,
№ 4 – 9 тыс. м3, № 5 – 9 тыс. м3. Стоимость перевозок 1 м3 материала
приведена в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Стоимость транспортировки 1 м3 дорожно-строительных материалов
из карьеров на участки работ (тыс. руб. за 1м3)
Карьеры
Требуется найти маршрут доставки конструкций, обеспечивающий доставку конструкций одним автомобилем на каждый объект строительства города и минимальную суммарную стоимость доставки.
1
2
3
1
0,4
0,6
0,5
2
0,1
0,4
0,2
Участки работ
3
0,9
0,3
0,6
4
0,6
0,5
0,4
5
0,9
0,7
0,8
Экономико-математическая модель решения задачи
Пусть xij – количество груза, перевозимого от поставщика (из
исходного пункта, карьера, завода и т. д.) i потребителю (в пункт назначения, на участок производства работ) j (рис. 2.1). Количествоо
груза, имеющегося у i -го поставщика, обозначим через ai , а количество груза, необходимого j -му потребителю, – через b j . Стоимость
перевозки (или стоимость перевозки и закупки) одной единицы груза
деот i -го поставщика j -му потребителю равна cij . Тогда задача опреде32
33
Глава 2. Составление планов перевозки дорожно-строительных материалов...
ления оптимального плана перевозок грузов от поставщиков потребителям по критерию минимума затрат на перевозки в общем виде
формулируется следующим образом:
• условие (2.4) учитывает пропускную способность транспортных коммуникаций pij и требование неотрицательности переменных xij .
a1
1
a2
cij , xij
1
b1
2
2
b2
…
…
1
…
1
…
an
n
r
br
Решение задачи по определению оптимального плана
перевозок
Подготовительный этап
Потребители
Поставщики
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Рис. 2.1. Транспортная модель
n
m
∑ ∑ cij xij → min;
=i 1 =j 1
n
∑ xij = b j ;
i =1
(2.1)
1. Создаем транспортную таблицу (рис. 2.2), по строкам которой размещаем номера или названия исходных пунктов (Карьер 1,
Карьер 2, Карьер 3,…), из которых вывозится продукция, а по столбцам – номера или названия пунктов потребления (участок работ № 1,
участок работ № 2 и т. д.), куда эта продукция завозится. В последней
строке таблицы размещаем значения потребностей каждого пункта
потребления продукции (участка работ), а в последнем столбце – запасы этой продукции в каждом исходном пункте (карьере). На пересечении номеров или названий пунктов (исходных) и пунктов потребления указываем стоимости перевозок единицы груза (из каждого
исходного пункта в каждый пункт потребления).
(2.2)
r
∑ xij ≤ ai ;
(2.3)
0 ≤ xij ≤ pij .
(2.4)
j =1
Целевая функция и ограничения задачи интерпретируются следующим образом:
• целевая функция (2.1) минимизирует затраты на закупку
и доставку грузов (материальных средств);
• условия (2.2) требует удовлетворения потребностей каждого
потребителя в грузах (материальных средствах);
• условие (2.3) указывает, что суммарный объем перевозок грузов (материальных средств) от каждого производителя не может превысить его возможностей по производству этих грузов (материальных средств);
34
Рис. 2.2. Исходные данные для решения задачи
35
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 2. Составление планов перевозки дорожно-строительных материалов...
2. Строим вспомогательную таблицу (рис. 2.3) для размещения
значений переменных количества вывезенной из исходных пунктов
и количества ввезенной в пункты потребления продукции, а также
для размещения значений целевой функции и остатка запасов в исходных пунктах.
Рис. 2.4. Работа в окне «Мастер функций»
Рис. 2.3. Построение вспомогательной таблицы для решения задачи
Заполнение исходной таблицы формулами, связывающими план,
ограничения и целевую функцию
1. Заполняем формулами строку «Ввезено».
Для этого устанавливаем курсор в строку «Ввезено» и столбец,
соответствующий 1-му пункту потребления (в нашем случае ячейка
С16), нажимаем левую кнопку мыши, тем самым активируя ячейку
(рис. 2.4). Вызываем мастер функций, нажав на иконку fx на панели
инструментов.
36
В окне «Мастер функций» (рис. 2.4) выбираем категорию «Математические» и в этой категории находим функцию СУММ, выбираем ее и нажимаем ОК.
В появившемся окне «Аргументы функции» (рис. 2.5) вводим
массив со значениями переменных (из вспомогательной таблицы),
соответствующих количеству продукции вывозимой из каждого исходного пункта в 1-й пункт потребления. Для этого устанавливаем
курсор в ячейку, соответствующую пересечению 1-го исходного пункта и 1-го пункта потребления во вспомогательной таблице (в нашем
случае С12), и протаскиваем курсор по столбцу, соответствующему
1-му пункту потребления (до ячейки С14), при этом ячейки для суммирования будут очерчены пунктирной линией; нажимаем ОК
(см. рис. 2.5).
Копируем формулу суммы груза (продукции, материальных
средств), ввезенной в 1-й пункт потребления, для остальных пунктов
потребления. Для этого выделяем ячейку С16 и нажимаем иконку
37
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Рис. 2.5. Ввод значений аргументов функции
«Копировать» на панели инструментов, а затем выделяем остальные
пункты потребления (соответственно ячейки D16, E16, F16 и G16)
и нажимаем иконку «Вставить» на панели инструментов.
2. Заполняем формулами строку «Вывезено».
Для этого устанавливаем курсор на пересечении строки, соответствующей 1-му исходному пункту и столбцу «Вывезено» (ячейка I12),
нажимаем левую клавишу мыши, тем самым активируя эту ячейку,
вызываем мастер функций, нажав на иконку fx на панели инструментов.
В окне «Мастер функций» выбираем категорию «Математические» и в этой категории находим функцию СУММ, выбираем ее
и нажимаем ОК.
В появившемся окне «Аргументы функции» вводим массив со
значениями переменных (из вспомогательной таблицы), соответствующих количеству грузов (продукции, материальных средств), ввозимых в каждый пункт потребления из исходного пункта. Для этого ус38
Глава 2. Составление планов перевозки дорожно-строительных материалов...
танавливаем курсор в ячейку, соответствующую пересечению
1-го исходного пункта и 1-го пункта потребления во вспомогательной таблице (в нашем случае С12), и протаскиваем курсор по строке,
соответствующей 1-му исходному пункту. При этом ячейки для суммирования будут очерчены пунктирной линией. Нажимаем ОК.
Копируем формулу суммы продукции, вывезенной из 1-й исходного пункта, для остальных исходных пунктов. Для этого выделяем
ячейку I12 и нажимаем иконку «Копировать на панели инструментов,
а затем выделяем остальные исходные пункты (соответственно ячейки
I13 и I14) и нажимаем иконку «Вставить» на панели инструментов.
3. Заполняем формулами строку «Остаток».
Для этого устанавливаем курсор на пересечении строки, соответствующей 1-му исходному пункту и столбцу «Остаток» (ячейка
J12), нажимаем знак «=» на клавиатуре и выделяем ячейку на пересечении столбца «Запасы» и строки «Карьер № 1» (соответственно ячейка Н12). Затем нажимаем знак «–» на клавиатуре и выделяем ячейку
на пересечении столбца «Вывезено» и строки «Карьер № 1» (соответственно ячейка I12), нажимаем клавишу Enter на клавиатуре.
Копируем формулу расчета остатка продукции, вывезенной из
1-го исходного пункта, для остальных исходных пунктов. Для этого
выделяем ячейку J12 и нажимаем иконку «Копировать» на панели инструментов, а затем выделяем остальные исходные пункты (соответственно ячейки J13 и J14) и нажимаем иконку «Вставить» на панели
инструментов.
4. Вводим формулу в ячейку, где будет размещаться значение
целевой функции (расходов на перевозку).
Для этого активируем ячейку, в которой будет размещаться
значение целевой функции (в нашем случае ячейка G17). Вызываем
мастер функций и в категории «Математические» выбираем
СУММПРОИЗВ, нажимаем ОК (рис. 2.6).
В окне «Аргументы функции» в строку «Массив 1» (рис. 2.7)
вводим значения стоимости перевозок, для чего устанавливаем курсор в строку «Массив 1» и нажимаем на левую клавишу мыши.
Затем устанавливаем курсор в ячейку на пересечении исходного
пункта № 1 и 1-го пункта потребления (участка работ) в транспортной таблице, нажимаем левую клавишу мыши и, не отпуская ее, протаскиваем курсор по диагонали до ячейки последнего исходного пун39
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 2. Составление планов перевозки дорожно-строительных материалов...
кта и последнего пункта потребления включительно (в нашем случае
от ячейки C4 до ячейки G6).
Рис. 2.7. Ввод массивов функции СУММПРОИЗВ
Вычислительный этап
Рис. 2.6. Ввод формулы для расчета значения целевой функции
Затем в окне «Аргументы функции» в строку «Массив 2»
(см. рис. 2.7) вводим значения искомых переменных, для чего сначала устанавливаем курсор в окне «Аргументы функции» в строку
«Массив 2» и нажимаем на левую клавишу мыши.
Далее устанавливаем курсор в ячейку на пересечении исходного
пункта № 1 и 1-го пункта потребления во вспомогательной таблице.
Нажимаем левую клавишу мыши и, не отпуская ее, протаскиваем курсор по диагонали до ячейки последнего исходного пункта и последнего пункта потребления включительно (в нашем случае от ячейки C12
до ячейки G14) (рис. 2.7).
В окне «Аргументы функции» нажимаем ОК. В ячейке, где должно размещаться значение целевой функции, будет «0». После проведения подготовительных действий переходим к составлению (расчету) плана перевозок дорожно-строительных материалов на участки
производства работ.
40
1. Запускаем программу «Поиск решения» командой Данные/
Анализ/Поиск решения (Excel 2007) или Сервис/Поиск решения (Excel
2003 и ниже)3.
2. Заполняем поля в появившемся окне.
В окне «Поиск решения»4 устанавливаем курсор в строку «Установить целевую ячейку», а затем активируем ячейку, в которую мы
хотим поместить значение целевой функции, установив на нее курсор и щелкнув левой кнопкой мыши. Эта ячейка будет мерцать (в нашем случае ячейка G17).
Если программы «Поиск решений» нет в меню, то ее следует подключить в
меню «Надстройки».
4
В Microsoft Office Excel 2003 вкладка «Поиск решения» находится в меню «Сервис», в Microsoft Office Excel 2007 вкладка «Поиск решения» находится в меню «Данные». Если в меню «Сервис» («Данные») отсутствует вкладка «Поиск решения», то
открываем в меню «Сервис» вкладку «Надстройки» и в появившемся окне помечаем
галочкой квадратик напротив строки «Поиск решения».
3
41
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 2. Составление планов перевозки дорожно-строительных материалов...
Далее необходимо установить принцип оптимальности, соответствующий расчету минимального значения функции стоимости
доставки дорожно-строительных материалов на участки производства
работ.
Для этого активируем радиокнопку «Минимальное значение».
В разделе «Изменяя ячейки» вводим ячейки, соответствующие плану
перевозок (C12:G14). Для их ввода устанавливаем курсор в ячейку,
соответствующую пересечению исходного пункта № 1 и пункта потребления № 1, и щелкаем левой кнопкой мыши. Протаскиваем курсор с нажатой левой кнопкой мыши по диагонали до ячейки, соответствующей значению последнего пункта потребления и последнего
исходного пункта включительно во вспомогательной таблице
(в нашем случае от ячейки С12 до ячейки G14) (рис. 2.8).
вспомогательной таблицы и ячейку, соответствующую 1-му пункту
потребления. При нажатой левой кнопке мыши протаскиваем курсор
по строке «Ввезено» до ячейки, соответствующей последнему пункту потребления (в нашем случае от ячейки С16 до ячейки G16).
Рис. 2.9. Ввод данных в окне «Добавление ограничения»
Затем устанавливаем курсор в окно «Ограничения», щелкнув на
нем левой кнопкой мыши. Нажимаем кнопку «Добавить». В окне
«Ссылка на ячейку» (рис. 2.9) вводим данные по количеству ввезенной продукции на каждый участок работ (строительную площадку,
пункт потребления), для чего помещаем курсор в строку «Ввезено»
В окне правее «Ссылка на ячейку» выбираем знак ограничения.
В нашем случае для удовлетворения потребности это будет знак равенства «=». Вводим значение ограничения, для чего устанавливаем
курсор в ячейку на пересечении строки потребностей и 1-го пункта
потребления (в транспортной таблице). Щелкнув левой кнопкой мыши
и не отпуская ее, протаскиваем курсор по строке потребностей до
последнего пункта потребления включительно (в нашем случае от
ячейки С7 до ячейки G7). Нажимаем ОК.
Переходим к вводу следующего ограничения, нажав на кнопку
«Добавить». Для ввода ограничений по запасам поступаем аналогично (см. рис. 2.9).
Активируем ячейку, соответствующую пересечению исходного
пункта № 1 и столбца «Вывезено» во вспомогательной таблице
42
43
Рис. 2.8. Ввод данных в окне «Поиск решения»
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 2. Составление планов перевозки дорожно-строительных материалов...
(рис. 2.9) и протаскиваем курсор по столбцу до ячейки, соответствующей последнему исходному пункту включительно (в нашем случае
от ячейки I12 до ячейки I14). Переходим к вводу знака ограничений,
для чего в окне, правее ссылки на ячейку выбираем соответствующий
знак. В нашем случае это «<=». Вводим значение ограничения, установив курсор в окно «Ограничение» и выделив после этого значение
запасов в столбце «Запасы» (в исходной транспортной таблице)
от 1-го пункта потребления до последнего пункта потребления включительно (в нашем случае от ячейки Н4 до ячейки Н6). Нажимаем ОК
(см. рис. 2.9).
Переходим к вводу параметров решения, нажав кнопку «Параметры» (см. рис. 2.8) в окне «Поиск решения». В окне «Параметры поиска
решения» (рис. 2.10) оставляем стандартные условия без изменения.
Ставим галочку в чекбоксах «Линейная модель» и «Неотрицательные
значения переменных». После чего нажимаем ОК (см. рис. 2.10).
рассчитанного плана выбираем результаты, устойчивость, пределы.
В нашем случае выбираем «Результат», «Сохранить найденное решение» и нажимаем ОК (рис. 2.11).
Рис. 2.11. Результаты вычислений5
Анализ результатов расчетов
Рис. 2.10. Работа в окне «Параметры поиска решения»
В окне «Поиск решения» нажимаем «Выполнить». В окне «Результаты поиска решения» в зависимости от потребностей в анализе
44
Во вспомогательной таблице (см. рис. 2.11) в ячейках на пересечении исходных пунктов (карьеров) и пунктов потребления (участков
работ) показаны оптимальные объемы перевозок.
В строке «Ввезено» – количество продукции (грузов), ввезенной в каждый пункт потребления (на каждый участок работ или каждому потребителю). В столбце «Вывезено» размещены объемы продукции, вывезенной из каждого исходного пункта (из каждого или от
каждого поставщика) для удовлетворения потребностей участков работ (пунктов потребления).
В столбце «Остаток» показаны запасы продукции (дорожно-строительных материалов, грузов), имеющейся в исходных пунктах после
удовлетворения потребностей участков работ (пунктов потребления).
В ячейке «Общие затраты» показана минимальная стоимость
перевозок для рассчитанного плана (расходы на перевозку дорожностроительных материалов).
5
В таблице значения данных приведены в тыс. ед.
45
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
2.2. Практические задачи по определению оптимального плана
перевозок грузов от поставщиков потребителям
2.2.1. Определение оптимального плана доставки
мостовых конструкций на участки выполнения
строительно-монтажных работ
На трех строительных базах сосредоточены запасы мостовых
конструкций, которые необходимы на пяти участках строительномонтажных работ. Стоимости перевозки 1 т конструкций с учетом их
отпускной цены с каждой базы на каждый из участков, а также запасы конструкций на базах и потребность в конструкциях на каждом
участке приведены в табл. 2.2. Требуется составить такой план закупки и доставки конструкций на участки работ, чтобы их общая стоимость с учетом доставки была минимальной.
Таблица 2.2
Стоимости перевозок конструкций с учетом отпускной цены, тыс. руб.
Производственные базы
1
2
3
Потребность, т
Участки выполнения строительно-монтажных
работ
1
2
3
4
5
20
23
20
15
24
29
15
16
19
29
6
11
10
9
8
150
140
110
230
220
Запасы
конструкций, т
320
280
250
2.2.2. Определение оптимального плана перевозок дорожностроительных материалов для работы дорожно-строительных
организаций по содержанию участка автомагистрали
Четыре дорожно-строительные организации выполняют работы
по содержанию участка автомагистрали. Потребности в дорожно-строительных материалах каждой организации соответственно равны 120,
50, 190 и 110 т. Дорожно-строительные материалы сосредоточены в
трех местах, а их запасы соответственно равны 160, 140, 170 т. На
каждое из предприятий дорожно-строительные материалы могут завозиться из любого места. Тарифы перевозок являются известными
величинами и задаются матрицей
46
Глава 2. Составление планов перевозки дорожно-строительных материалов...
7 8 1 2 


С = 4 5 9 8


9 2 3 6
Необходимо составить такой план перевозок, при котором их
общая стоимость является минимальной.
2.2.3. Определение оптимального плана перевозок горючесмазочных материалов дорожно-строительной организации
с хранилищ нефтеперерабатывающих компаний
В дорожно-строительной организации, имеющей в собственности АЗС, имеется возможность заключить договоры с тремя нефтеперерабатывающими компаниями на поставки дизельного топлива.
Известна стоимость транспортировки дизтоплива на АЗС с хранилищ
нефтеперерабатывающих компаний (табл. 2.3). Дизтопливо должно
быть поставлено на четыре автозаправочные станции в следующем
количестве: на АЗС № 1 – 5 тыс. т; АЗС № 2 – 15 тыс. т; АЗС № 3 –
15 тыс. т; АЗС № 4 – 10 тыс. т. Запасы дизтоплива в нефтеперерабатывающих компаниях составляют: № 1 – 15 тыс. т; № 2 – 25 тыс. т;
№ 3 – 5 тыс. т.
Таблица 2.3
Стоимость транспортировки дизтоплива
с хранилищ на АЗС, тыс. руб. за 10 т
Хранилища
1
2
3
АЗС
2
3
0
20
7
9
14
16
1
10
12
0
4
11
20
18
Требуется определить поставщиков и количество поставляемого ими топлива с учетом минимальной стоимости транспортировки
дизельного топлива с хранилищ нефтеперерабатывающих компаний
на автозаправочные станции. Рассчитать минимальную стоимость
перевозок дизтоплива.
47
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ЛОГИСТИЧЕСКИХ
ЦЕПЯХ
3.1. Методика решения задачи по определению оптимального
плана производства-хранения продукции
Исходные данные
Мостостроительная фирма, имеющая в своем составе механический участок, который выпускает металлические крепления пролетных строений мостов, имеет цель удовлетворить спрос на крепления, который меняется во времени. Общие затраты фирмы состоят из
затрат на производство креплений и затрат на их хранение (табл. 3.1).
План производства на длительный временный период определяет вспомогательные периоды, когда спрос удовлетворяется за счет
производства металлических креплений или использования их запасов со склада6. Известны удельные затраты на выпуск одной тонны металлических креплений и ее хранение, а также производственные возможности предприятия. Запас продукции на складе составляет 2 т креплений. По окончании производства необходимо создать
запас в 10 т.
Требуется определить такой оптимальный план работы предприятия (сколько производить и когда производить), который минимизирует общие затраты на производство и хранение металлических креплений.
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
Таблица 3.1
Исходные данные по спросу и затратам на производство и хранение
продукции
Спрос и затраты
Спрос на продукцию, т
Затраты на производство,
тыс. руб./т
Затраты на хранение,
тыс. руб./т
Производственные возможности предприятия, т
Горизонт планирования
Период Период Период Период Период Период
1
2
3
4
5
6
13,3
14,3
10,1
8,9
17,3
19,9
5,5
8,9
3,0
11,5
9,6
9,9
1,6
1,1
2,2
2,8
2,4
3,1
20,0
15,0
15,0
10,0
12,0
25,0
Экономико-математическая модель
Задачу производство – хранение можно сформулировать как
транспортную задачу. Эквивалентность между элементами производственной и транспортной систем устанавливается по правилам, указанным в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Соотношения между элементами транспортной и производственной
задачи
Производственная система
Транспортная система
1 Исходный пункт i
1
Период производства i
2
Пункт назначения j
2
Период потребления j
3
Предложение в пункте i
3
Объем производства за период i
4
Спрос в пункте j
4
Реализация за период j
5
Стоимость перевозки из
iвj
5
Стоимость производства и хранения за
период от i до j
Таким образом, речь идет, фактически, о задаче оптимального управления запасами на складе, которые, как известно, составляют существенную часть себестоимости продукции. Если запасов много, это одновременно хорошо (надежно обеспечивается спрос) и плохо (большие затраты на хранение). Поэтому необходимо определить
оптимальный размер запаса.
Табл. 3.2 иллюстрирует структуру транспортной задачи. Для рассматриваемой задачи стоимость «перевозки» единицы продукции из
периода i в период j выражается как
48
49
6
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
стоимость производства в i - й период, i = j;

стоимость производства в i - й период + стоимость

cij = задержки от i до j, i < j;
стоимость производства в i - й период + штраф за

нарушение срока, i > j.
Из определения cij следует, что затраты в период
д i при реализации креплений в тот же период i (i = j) оцениваются только стоимостью производства. Если в период i производится продукция, которая
будет потребляться позже (i < j), то имеют место дополнительные
затраты cijхр , связанные с хранением. Аналогично производство в i-й
период в счет невыполненных заказов (i > j) влечет за собой дополнительные расходы в виде штрафа cijштр .
Тогда целевая функция задачи примет следующий вид:
производство × План производства + Затраты на хранение × (Запас на
начало периода + Запас на конец периода)/2 стремились к min
(предусматривается, что продукция со склада потребляется равномерно,
а поступает на склад мгновенно) при ограничениях:
• запас на конец 6-го периода =10 (спланированный запас на
начало 7-го периода);
• общее количество продукции за период (План + Запас на начало
периода) ≥ Спрос за этот период;
• план производства продукции ≤ производственная мощность
предприятия в определенный период;
• план производства продукции ≥ 0.
m
n
i =1
j =1
∑ ∑ (cij + cijхр + cijштр ) xij → min,
(3.1)
где cij – затраты на производство металлических креплений в период
д
i при их реализации в тот же период i (i = j), тыс. руб./т;
cijхр – затраты, связанные с хранением креплений, потребляемых
позже (i < j), тыс. руб./т;
cijштр – дополнительные расходы в виде штрафа за производство
о
металлических креплений в i-й период в счет невыполненных заказов
(i > j), тыс. руб./т.;
xij – количество металлических креплений, выпускаемых за
период от i до j, т;
ai – запас продукции на конец периода i, т;
a j – запас продукции на начало периода j, т;
bi – спрос на продукцию в период i, т;
b j – спрос на продукцию в период j, т..
Подготовка исходных данных
1. Создаем исходную таблицу и вносим в нее имеющиеся исходные данные (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Исходные данные для решения задачи
2. Создаем таблицу для размещения результатов решения задачи (рис. 3.2).
Решение задачи по планированию производства и хранению
продукции
В задаче требуется найти такой План производства, чтобы Общие
затраты на производство и хранение продукции = Затраты на
Рис. 3.2. Создание таблицы для размещения результатов решения задачи
50
51
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
Заполнение таблицы с результатами решения задачи формулами
производство» и «Общие затраты на хранение». Для этого выделяем
эти строки, щелкнув левой кнопкой мыши по первой ячейке в столбце «Период 1» и, не отпуская кнопки, протаскиваем курсор до последней
ячейки в столбце «Период 6» и строке «Общие затраты на хранение»
(рис. 3.7).
1. В строку «Запас на конец периода» вводим формулы: «Запас
на начало периода» + «План производства» – «Спрос на продукцию»
(рис. 3.3).
Рис. 3.3. Заполнение формулами строки «Запас на конец периода»
2. Строку «Общие затраты на производство» заполняем формулой «План производства» × «Затраты на производство» (рис. 3.4).
3. Строку «Общие затраты на хранение» заполняем формулой:
«План производства» × «Затраты на хранение» (рис. 3.5).
4. Строку «Запас на начало периода» заполняем формулами ссылки на ячейку запасов на конец предыдущего периода (рис. 3.6).
5. В строку «Общее количество продукции» вводим формулы:
«План производства» + «Запас на начало периода».
6. В целевую ячейку «Общие затраты на производство и хранение» (J19) вводим формулу суммирования всех затрат на производство и хранение. Для этого вызываем мастер функций, щелкнув по
пиктограмме fx левой кнопкой мыши. После этого в категории «Математические» выбираем функцию СУММ. В строку «Число 1» заносим адреса ячеек, в которых размещены значения «Общие затраты на
52
Рис. 3.4. Заполнение формулами строки «Общие затраты на производство»
Рис. 3.5. Заполнение формулами строки «Общие затраты на хранение»
53
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
Определение оптимального плана производства-хранения
Рис. 3.6. Заполнение формулами строки «Запас на начало периода»
Рис. 3.7. Заполнение формулой целевой ячейки «Общие затраты
на производство и хранение»
54
1. Запускаем программу «Поиск решения» командой Данные/
Анализ/Поиск решения (Excel 2007) или Сервис/Поиск решения (Excel
2003 и ниже)7.
2. Заполняем поля в появившемся окне:
• в поле «Установить целевую ячейку» вводим адрес ячейки
($J$19), в которой будет находиться искомое значение общих затрат
на производство и хранение продукции (рис. 3.8);
• в поле «Изменяя ячейки» вводим адреса ячеек (рис. 3.8),
в которых будут находиться искомые величины плана производства
продукции (D15:I15);
• устанавливаем курсор в поле «Ограничения» и нажимаем
кнопку «Добавить», щелкнув по ней левой кнопкой мыши;
• в появившемся окне «Добавление ограничения» в поле «Ссылка на ячейку» вводим значения ячеек (D15:I15) («План производства»),
выделив их курсором;
• в поле «Знак ограничения» (оно находится правее «Изменяя
ячейки») выбираем соответствующий знак ≤;
• в поле «Ограничение» вводим значения ячеек (С9:Н9) («Производственные возможности предприятия»), выделив их курсором
(рис. 3.8);
• аналогично вводим ограничения на запасы к концу производства (рис. 3.8).
3. Переходим к заполнению окна «Параметры поиска решения»,
нажав кнопку «Параметры» в окне «Поиск решения». Так как это линейная модель, то фиксируем в окне «Параметры поиска решений»
переключатель на позицию «Линейная модель» и «Неотрицательные
значения».
4. Определяем оптимальный план производства-хранения:
• в окне «Поиск решения» нажимаем кнопку «Выполнить»;
• в появившемся окне «Результаты поиска решения» (рис. 3.9)
в поле тип отчета выбираем «Результаты», «Устойчивость» и нажимаем ОК.
7
Если программы «Поиск решения» нет в меню, то ее следует подключить в
меню «Надстройки».
55
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
Анализ результатов расчета
При оптимальном плане производства-хранения металлических
креплений общие затраты составляют 818,44 тыс. руб. при условии
начального (2 т) и конечного (10 т) запаса продукции.
3.2. Практические задачи по определению оптимального плана
производства-хранения продукции
3.2.1. Определение оптимального плана производства-хранения
однородной продукции на предприятии
Рис. 3.8. Работа в окне «Поиск решения»
Мостостроительная фирма, имеющая в своем составе механический участок, который выпускает металлические крепления пролетных строений мостов, имеет цель удовлетворить спрос на крепления, который меняется во времени. Общие затраты фирмы состоят из
затрат на производство креплений и затрат на их хранение (табл. 3.3).
План производства на длительный временной период включает вспомогательные периоды, когда спрос удовлетворяется за счет производства креплений или использования их запасов со склада. Известны
удельные затраты на выпуск одной тонны креплений и их хранение,
а также производственные возможности предприятия. Запас продукции на складе составляет 4 т. По окончании производства необходимо создать запас в 8 т.
Таблица 3.3
Исходные данные по спросу и затратам на производство и хранение
продукции
Спрос и затраты
Рис. 3.9. Работа в окне «Результаты поиска решения»
56
Спрос на продукцию, т
Затраты на производство,
тыс. руб./т
Затраты на хранение,
тыс. руб./т
Производственные возможности предприятия, т
Горизонт планирования
Период Период Период Период Период Период
1
2
3
4
5
6
15,3
16,3
12,1
10,9
19,3
21,9
7,5
10,9
5,0
13,5
11,6
11,9
3,6
3,1
4,2
4,8
4,4
5,1
22,0
17,0
17,0
12,0
14,0
27,0
57
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
3.3. Методика решения задачи по определению оптимального
размера заказа по нескольким товарным позициям с учетом
геометрических характеристик товара и емкости склада
поставлять всякий раз, когда происходит размещение заказа. В зависимости от рассматриваемой ситуации размер заказа может меняться
во времени.
Ответ на второй вопрос зависит от типа системы управления
запасами. Если система предусматривает периодический контроль
состояния запаса через равные промежутки времени (еженедельно или
ежемесячно), момент поступления нового заказа обычно совпадает
с началом каждого интервала времени. Если же в системе предусмотрен непрерывный контроль состояния запаса, точка заказа обычно
определяется уровнем запаса, при котором необходимо размещать
новый заказ.
Таким образом, решение обобщенной задачи управления запасами определяется следующим образом:
1. В случае периодического контроля состояния запаса следует
обеспечивать поставку нового количества ресурсов в объеме размера
заказа через равные промежутки времени.
2. В случае непрерывного контроля состояния запаса необходимо размещать новый заказ в размере объема запаса, когда его уровень достигает точки заказа.
Размер и точка заказа обычно определяются из условий минимизации суммарных затрат системы управления запасами, которые
можно выразить в виде функции этих двух переменных. Суммарные
затраты системы управления запасами выражаются в виде функции
их основных компонент:
Теоретические пояснения
Управление запасами является сложной и актуальной задачей.
Это обусловлено тем, что по статистике средние затраты на содержание запасов составляют почти треть их стоимости. Показатель затрат
на содержание запасов растет с усложнением современного производства, где номенклатура всего, что используется в производстве,
измеряется десятками и сотнями тысяч наименований. Поэтому существует очень высокий риск сбоя или остановки производства из-за
отсутствия хотя бы одной составляющей. Рассмотрим некоторые определения, без которых возникнут сложности дальнейшего изучения
материала данного раздела.
Запасы на производстве – это предметы, которые становятся
частью продукции или используются в производстве: сырье, продукция производственно-технического назначения, материалы и т. д.
Запасы в сфере услуг (магазины, салоны, почта, банки, рестораны, службы проката и т. д.) – это товары на продажу, запасные части,
деньги, продукты, транспортные средства, аттракционы и т. д.
Если запасов много, это одновременно хорошо (надежно обеспечивается спрос) и плохо (большие затраты на хранение). Поэтому
необходимо определить оптимальный размер запаса.
Проблема оптимального управления запасами является одной из
самых сложных в логистике.
Оптимально управлять запасом – значит определить такие моменты и объемы поставки для пополнения запасов, чтобы минимизировать общие затраты на создание и получение запасов в соответствии
с их использованием (спрос).
Любая модель управления запасами в конечном счете должна
дать ответ на два вопроса:
1. Какое количество продукции заказывать?
2. Когда заказывать?
Ответ на первый вопрос выражается через размер заказа, определяющего оптимальное количество ресурсов, которое необходимо
58
Суммарные
Затраты
Затраты на
Потери
затраты
на
Затраты на
оформление
от
системы =
+
+ хранение +
приобретение
заказа
дефицита
управления
заказа
запасами
Затраты на приобретение становятся важным фактором, когда
цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы
продукции убывает с возрастанием размера заказа.
Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расходы, связанные с его размещением. При удовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещения более
59
мелких заказов (более часто) затраты возрастают по сравнению со
случаем, когда спрос удовлетворяется посредством размещения более крупных заказов (следовательно реже).
Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (затраты на переработку, амортизационные расходы, эксплуатационные расходы) обычно возрастают с увеличением уровня запаса.
Потери от дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции.
Зависимость четырех компонент затрат обобщенной модели управления запасами от уровня запаса показана на рис. 3.10, из которого видно, что оптимальный уровень запаса соответствует минимуму
суммарных затрат.
затрат можно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат.
Модель управления запасами простейшего типа характеризуется постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита. Такую модель можно применять в следующих типичных ситуациях:
• использование осветительных ламп в здании;
• использование канцелярских товаров (бумага, блокноты, карандаши) крупной фирмы;
• использование некоторых промышленных изделий, таких как
гайки и болты;
• потребление основных продуктов питания (например, хлеба
и молока).
Изменение уровня запаса во времени показано на рис. 3.11.
Суммарные
затраты
Затраты на
хранение
Затраты на
оформление заказа
Закупочная цена
Потери
от
дефицита
Уровень запаса
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
Минимальные
Суммарные
затраты годовые затраты
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Моменты поставки заказов
S/2
Время
t0=S/q
Рис. 3.11. Изменение уровня запасов во времени
Модель управления запасами не обязательно должна включать
все четыре вида затрат, так как некоторые из них могут быть незначительными, а иногда учет всех видов затрат чрезмерно усложняет
функцию суммарных затрат. На практике какую-либо компоненту
Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени)
равна q. Наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером S (предполагается, что запаздывание поставки является
заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя S/q единиц времени после получения заказа размером S. Чем меньше размер
заказа S, тем чаще нужно размещать заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже.
60
61
Оптимальный
уровень
Уровень запаса
Рис. 3.10. Функция суммарных затрат
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
Так как затраты зависят от частоты размещения заказа и объема
хранимого запаса, то величина S выбирается из условия обеспечения
сбалансированности между двумя видами затрат. Это лежит в основе
построения соответствующей модели управления запасами.
Можно доказать, что Sопт доставляет минимум Ссумм(S), показав,
что вторая производная в точке Sопт строго положительна. Это выражение называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.
Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ Sопт еди-
S
единиц времени.
q
Оптимальные затраты Ссумм(S), получаемые путем непосредственной подстановки, составляют
ниц продукции через каждые t0 =
Исходные данные
Ежедневный спрос на некоторый товар (b) составляет 100 ед.
Затраты на размещение каждого запаса (K) постоянны и равны 100
ден. ед. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса (m) составляют 0,02 ден. ед. Определить экономичный размер партии и точку
заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням.
Cсумм =
Экономико-математическая модель
S
K
+m .
2
S
q
(3.2)
Как видно из рис. 3.11, продолжительность цикла движения за-
S
S
, средний уровень запаса равен .
q
2
Оптимальное значение запаса получается в результате минимизации Ссумм по S. Таким образом, в предположении, что S – непрерывная переменная, имеем:
каза составляет t0 =
dCсумм ( S )
Kq m
= − 2 + = 0,
(3.3)
2
dS
S
Откуда оптимальное значение размера заказа определяется выражением
S опт =
62
2 Kq
.
m
(3.5)
Решение задачи
Пусть K – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении, m – затраты на хранение единицы заказа
в единицу времени. Следовательно, суммарные затраты в единицу
времени можно представить в виде:
Cсумм =
S
K
+ m = 2 Kqm .
S
2
q
(3.4)
Из формулы Уилсона получаем
S опт =
2 ⋅ 100 ⋅ 100
= 1000 ед.
0,02
Соответствующая оптимальная продолжительность цикла со-
S 1000
ставляет t0 = q = 100 = 10 дней.
Так как срок выполнения заказа равен 12 дням и продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление заказа происходит,
когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на два
(=12–10) дня. Таким образом, заказ размером Sопт = 1000 ед. размещается, когда уровень запаса достигает 2 ⋅ 100 = 200 ед.
Следует заметить, что «эффективный» срок выполнения заказа
принят равным 2, а не 12 дням. Это объясняется тем, что этот срок
больше, чем t 0 . Однако после стабилизации системы (в этом примере
она достигается за два цикла) можно считать, что эффективный срок
выполнения заказа равен L − t0 при L > t0 . В описанных условиях
в любой момент времени имеется более одного размещенного, но еще
не выполненного заказа.
63
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
Пример решения задачи
2. Создаем таблицу для размещения результатов решения задачи
(рис. 3.13).
Дорожно-строительной фирме требуется оптимизировать расходы по созданию и хранению запасов. В результате анализа первичной
информации логистами были получены (табл. 3.4) данные о спросе на
четыре товара – балки двутавровые и швеллерные, битум в бухтах
и камень бордюрный по цене за единицу каждого товара, стоимости
его хранения и транспортно-заготовительных расходах, имеющихся
средствах на закупку хранение и доставку товара, а также информация
о размере товара и емкости склада. Для удобства присвоим условные
наименования товарам: балки двутавровые – товар 1, балки швеллерные – товар 2, битум в бухтах – товар 3, камень бордюрный – товар 4.
Таблица 3.4
Данные о номенклатуре товара, цене, спросе, размерах, затратах на доставку
и хранение, емкости склада и размерах средств на закупку товаров
Наименование
товара
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Затраты
ЗаниСпрос
на хра- маемый
на тонение
объем
вар
единицы единицы
товара
товара
25
20
30
15
440
850
1260
950
200
325
400
150
ТранспортноЦена за
загот. за- единицу
траты на
товара
единицу
товара
50
200
50
300
50
275
50
400
Емкость
склада,
м3
Имеющиеся
средства
50 000
30 000
Подготовка исходных данных
1. Создаем исходную таблицу и вносим в нее имеющиеся исходные данные (рис. 3.12).
Рис. 3.12. Исходные данные для решения задачи
64
Рис. 3.13. Создание таблицы для размещения результатов решения задачи
Заполнение таблицы для размещения результатов
решения задачи формулами
1. В каждую строку столбца «Оптимальный размер заказа»
таблицы с результатами решения задачи (рис. 3.13) вводим формулу
Уилсона.
С этой целью активируем ячейку С14 (рис. 3.14), вызываем мастер функций, щелкнув левой кнопкой мыши по пиктограмме f x ,
и в появившемся окне из категории «Математические» выбираем
функцию «Корень», нажимаем ОК.
В строку аргумента функции «Корень» вводим адреса ячеек,
в которых размещаются исходные данные для определения оптимального размера заказа (рис. 3.15).
Копируем введенную формулу в оставшиеся ячейки столбца
(рис. 3.16), щелкнув по ячейке с введенной формулой левой кнопкой
мыши и установив курсор в правом нижнем углу ячейки. После появления черного перекрестия, не отпуская левой кнопки мыши, необходимо протащить курсор по оставшимся ячейкам в столбце.
65
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
Рис. 3.16. Копирование формулы Уилсона
в столбце «Оптимальный размер заказа»
2. Вводим формулы в столбец «Стоимость заказа», для чего выделяем ячейку D14, выбираем на клавиатуре знак «=» и записываем
произведение соответствующих ячеек из столбца «Размер заказа» на
«Цена за ед. товара» (рис. 3.17). После этого копируем введенную формулу в оставшиеся ячейки столбца «Стоимость заказа».
Рис. 3.14. Заполнение формулами столбца «Оптимальный размер заказа»
Рис. 3.15. Продолжение операции по заполнению формулами столбца
«Оптимальный размер заказа»
Рис. 3.17. Заполнение формулами столбца «Стоимость заказа»
3. Вводим формулы в столбец «Затраты на хранение товара», для
чего выделяем ячейку Е14, выбираем на клавиатуре знак «=» и запи66
67
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
сываем формулу, соответствующую половине произведения затрат на
хранение ед. товара на размер заказа (рис. 3.18). После этого копируем введенную формулу в оставшиеся ячейки столбца «Затраты на хранение товара».
5. Вводим формулы в столбец «Общие затраты», для чего выделяем ячейку G14, выбираем на клавиатуре знак «=», записываем формулу (рис. 3.20) и копируем ее в оставшиеся ячейки столбца.
Рис. 3.20. Заполнение формулами столбца «Общие затраты»
6. Вводим формулы в столбец «Занятая емкость», для чего выделяем ячейку Н14, выбираем на клавиатуре знак «=», записываем формулу (рис. 3.21) и копируем ее в оставшиеся ячейки столбца.
Рис. 3.18. Заполнение формулами столбца «Затраты на хранение товара»
4. Вводим формулы в столбец «Транспортно-заготовительные
затраты на товар», для чего выделяем ячейку F14, выбираем на клавиатуре знак «=», записываем формулу (рис. 3.19) и копируем ее в оставшиеся ячейки столбца.
Рис. 3.19. Заполнение формулами столбца «Транспортно-заготовительные
затраты на товар»
Рис. 3.21. Заполнение формулами столбца «Занятая емкость»
68
69
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
7. Вводим формулы в строку «ВСЕГО» (рис. 3.22), для чего выделяем ячейку D18, вызываем мастер функций, щелкнув левой кнопкой мыши по пиктограмме fx . После этого в категории «Математические» выбираем функцию СУММ. В строку «Число 1» заносим
адреса ячеек, в которых размещены значения стоимости заказа. Для
этого выделяем этот столбец, щелкнув левой кнопкой мыши по первой ячейке в столбце и, не отпуская кнопки, протаскиваем курсор до
последней ячейки. Далее копируем формулу по оставшимся ячейкам
строки «ВСЕГО».
• в поле «Установить целевую ячейку» вводим адрес ячейки
($G$18), в которой будет находиться искомое значение дохода
(рис. 3.23). Для этого необходимо установить курсор в ячейку на пересечении строки «ВСЕГО» и столбца «Стоимость заказа» и щелкнуть левой кнопкой мыши;
• в поле «Изменяя ячейки» вводим адреса ячеек (рис. 3.23),
в которых будут находиться искомые величины размера заказа
(В14:В17);
• устанавливаем курсор в поле ограничения и нажимаем кнопку «Добавить», щелкнув по ней левой кнопкой мыши;
• в появившемся окне «Добавление ограничения» в поле «Ссылка на ячейку» вводим значения ячейки D17 (на пересечении строки
«ВСЕГО» и столбца «Стоимость заказа»);
• в поле «Знак ограничения» (оно находится правее «Изменяя
ячейки») выбираем соответствующий знак ≤ ;
• в поле «Ограничения» вводим значение ячейки Н5 («Имеющиеся средства»), выделив ее щелчком левой кнопки мыши (рис. 3.23);
Рис. 3.22. Заполнение формулами строки «ВСЕГО»
Определение размера заказа
1. Запускаем программу «Поиск решения» командой Данные/
Анализ/Поиск решения (Excel 2007) или Сервис/Поиск решения (Excel
2003 и ниже)8.
2. Заполняем поля в появившемся окне:
8
Если программы «Поиск решения» нет в меню, то ее следует подключить
в меню «Надстройки».
Рис. 3.23. Работа в окне «Поиск решения»
70
71
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
• переходим к вводу ограничения на емкость склада, выполнив аналогичные действия, как и при вводе ограничений на имеющиеся средства (см. рис. 3.23).
3. Переходим к заполнению окна «Параметры поиска решения»,
нажав кнопку «Параметры» в окне «Поиск решения»:
• устанавливаем переключатель «Оценки» «Линейная» (рис. 3.24);
• устанавливаем переключатель «Разности» «Прямые»
(см. рис. 3.24);
• устанавливаем переключатель «Метод поиска» «Ньютона»
(см. рис. 3.24);
• нажимаем ОК.
Рис. 3.25. Работа в окне «Результаты поиска решения»
Анализ результатов расчета
Рис. 3.24. Работа в окне «Параметры поиска решения»
4. Определяем размер заказа:
• в окне «Поиск решения» нажимаем кнопку «Выполнить»;
• в появившемся окне «Результаты поиска решения» (рис. 3.25)
в поле «Тип отчета» выбираем «Результаты», «Устойчивость» и нажимаем ОК.
72
1. Размер заказа в стоимостном выражении при существующих
ресурсах на приобретение товаров и емкости имеющегося склада составляет 3201,2 ден. ед. (столбец «Общие затраты» в таблице «Результаты решения задачи по определению объема заказа» на рис. 3.25).
2. Размер заказа по каждой товарной позиции представлен во
втором столбце этой же таблицы.
3. Оптимальный размер заказа, обеспечивающий минимум издержек, соответствует данным, представленным в третьем столбце
таблицы «Результаты решения задачи по определению объема заказа» на рис. 3.25. Однако он не может быть удовлетворен из-за ограничений средств на приобретение товара. Об этом свидетельствует отрицательное значение множителя Лагранжа в отчете по устойчивости (рис. 3.26).
Существует возможность уменьшения общих затрат при увеличении имеющегося объема денежных средств.
73
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 3. Управление запасами в логистических цепях
версальные подметально-поливомоечные автомобили четырех марок
разных производителей. Организация не имеет склада, и продажа автомобилей осуществляется непосредственно из магазина. Данные
о марках продаваемых автомобилей, цене, спросе, затратах на доставку и хранение, емкости торговой площадки и размерах средств на закупку автомобилей приведены в табл. 3.5. Требуется дать рекомендации руководителю торговой организации о размере заказа по каждой
марке автомобилей с учетом ограничений.
Таблица 3.5
Данные о номенклатуре товара, цене, спросе, затратах на доставку
и хранение, емкости торговой площадки и размерах средств
на закупку автомобилей
Марка
автомобиля
Рис. 3.26. Отчет по устойчивости решения задачи по определению
оптимального размера заказа
3.4. Практические задачи по определению оптимального
размера заказа по нескольким товарным позициям
3.4.1. Определение оптимального размера и точки заказа
Ежедневный спрос на некоторый товар составляет 100 ед.
Затраты на размещение каждого заказа на партию товара постоянны
и равны 100 ден. ед. Ежедневные затраты на хранение единицы товара составляют 0,02 ден. ед. Определите оптимальный (экономичный)
размер заказа и точки заказа при сроках выполнения заказа, равных
12, 23, 15, 8 и 10 дням.
1
2
3
4
Затраты на
оформление
и транспортировку одного автомобиля,
тыс. руб./
мес.
0,5
0,5
0,5
0,5
Затраты на
хранение
одного автомобиля,
тыс. руб./
мес.
0,25
0,25
0,25
0,25
Требуется
мест для
хранения одного автомобиля
1
1
1
1
Спрос на
автомобили,
шт./мес.
Цена за
автомобиль,
тыс. руб.
Емкость
торговой
площадки,
шт.
4
6
3
7
800
1600
2400
600
8
Имеющиеся
средства на
покупку автомобилей
25 000
3.4.3. Определение оптимального размера заказа по нескольким
товарным позициям с учетом минимизации общих затрат
на оформление заказа и его хранение на складе
Крупная дорожно-эксплуатационная организация, закупающая
дорожную технику для своих подразделений в регионах, продает уни-
Механический участок дорожно-строительного предприятия по
изготовлению конструкций металлических мостов имеет максимальную площадь складского помещения для сборочных единиц 25 м2. На
складе цеха хранится три вида сборочных единиц (щит настила, колесоотбой, въездное устройство). Площадь, необходимая для хранения
одной сборочной единицы, составляет 1 м2. Запас сборочных единиц
каждого вида на складе пополняется мгновенно и скидки цен на величину заказа отсутствуют. Дефицит сборочных единиц на складе не
допускается. Интенсивность спроса на каждую сборочную единицу
для сборки металлического моста, затраты на оформление заказа на
74
75
3.4.2. Определение размера заказа с учетом ограничений
на емкость торговых площадей и спроса на товар
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
каждый вид сборочных единиц и затраты на хранение одной сборочной единицы в единицу времени приведены в табл. 3.6. Определите
оптимальный размер заказа по каждому виду сборочных единиц
с учетом минимизации общих затрат на оформление заказа и его хранение на складе. Найдите минимальные затраты на оформление заказа и хранение сборочных единиц.
Таблица 3.6
Данные для решения задачи
Данные о спросе и затратах
Наименование
сборочных единиц
Колесоотбой
Щит настила
Въездное
устройство
Спрос
Затраты на
оформление
заказа
Затраты на
хранение
одной
сборочной
единицы
2
4
4
10
5
15
0,3
0,1
0,2
Площадь,
требуемая
для
хранения
одной
сборочной
единицы
1
1
1
Глава 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТА РАСПОЛОЖЕНИЯ
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОГО СКЛАДА В ЛОГИСТИЧЕСКИХ
ЦЕПЯХ
4.1. Методика определения места расположения
распределительного склада методом центра тяжести
грузопотоков
Исходные данные
Задача определения места расположения распределительного
центра на обслуживаемой территории методом нахождения центра
тяжести грузопотоков является одним из субоптимальных методов
определения места размещения распределительного центра. Субоптимальные методы эффективны для решения многих практических
задач. Они не обеспечивают отыскания оптимального решения, однако дают хорошие, близкие к оптимальным результаты при невысокой
сложности вычислений.
Крупная дорожно-строительная организация имеет несколько
объектов строительства в данном регионе. Пусть задана сеть потребителей дорожно-строительных материалов в логистической системе распределения (рис. 4.1), состоящая из приобъектных складов А1, А2,… Аi,… Аn.
Предполагаются известными места размещения (координаты)
потребителей (x1,y1); (x2,y2);…(xi,yi); … (xn,yn) (км) на обслуживаемой
территории. Кроме того, известны величины потребности в строительных материалах каждого приобъектного склада G1, G2, … Gi, …Gn
(т/ед. времени). Требуется найти координаты размещения распределительного склада дорожно-строительных материалов на обслуживаемой территории.
Экономико-математическая модель решения задачи
Если точные координаты размещения потребителей дорожностроительных материалов неизвестны, карта сети потребителей
(см. рис. 4.1) наносится в прямоугольных координатах (рис. 4.2),
с заменой каждого потребителя точкой в системе координат.
76
77
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
…
Глава 4. Определение места расположения распределительного склада...
AnGn
…
…
A3G3
A2G2
A1G1
AiGi
Запись AiGi означает, что у потребителя с номером Ai существует
суммарная потребность в дорожно-строительных материалах G i
в единицу времени.
Для минимизации расходов на перевозку дорожно-строительных
материалов к приобъектным складам целесообразно распределительный склад дорожно-строительных материалов разместить в центре
тяжести грузопотоков фигуры, образованной расположением потребителей на местности.
Нахождение координат центра тяжести грузопотоков (расположения распределительного склада на обслуживаемой территории)
производится таким же образом, как и нахождение центра тяжести
фигуры, образованной расположением потребителей на местности,
где вес точки размещения каждого потребителя соответствует его
потребности в дорожно-строительных материалах в единицу времени. Координаты расположения распределительного центра на обслуживаемой территории находятся по следующим формулам:
• абсцисса центра тяжести грузопотоков:
Рис. 4.1. Сеть потребителей
n
…
xрц =
yn
An
…
…
Gn
;
∑ Gi
(4.1)
i =1
Распределительный
центр
n
…
y1
i =1
n
• ордината центра тяжести грузопотоков:
yрц
y3
y2
∑ xiGi
A2G2
A3G3
yрц =
∑ yiGi
i =1
n
∑ Gi
,
(4.2)
i =1
A1G1
AiGi
yi
x1 x2
x3
xрц xi
…
xn
Рис. 4.2. Сеть потребителей в прямоугольной системе координат
78
где xрц , yрц – соответственно абсцисса и ордината расположения распределительного центра, км;
xi , yi – соответственно абсцисса и ордината расположения каждого из приобъектных складов, км;
G i – потребность каждого из приобъектных складов, т/мес., т/год;
n – общее количество приобъектных складов.
79
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 4. Определение места расположения распределительного склада...
Решение задачи по определению места расположения
распределительного склада дорожно-строительных материалов
Таблица 4.1
Координаты и потребность в дорожностроительных материалах приобъектных
складов
Исходные данные
Дана сеть потребителей в логистической системе распределения (рис. 4.3), состоящая из 10 приобъектных складов.
615
915
325
720
245
4
830
5
Потреби Координаты, Потребность
тели
км
Gi, т/мес.
xi
yi
1
5
7
10
2
10
17
45
3
15
40
25
4
18
19
5
5
50
3
60
6
50
50
15
7
55
35
20
8
70
20
30
9
90
45
15
10
90
15
20
1020
110
560
Рис. 4.3. Сеть потребителей в распределительной системе
Координаты приобъектных складов и их потребность в дорожно-строительных материалах заданы в табл. 4.1.
Необходимо найти место размещения распределительного склада дорожно-строительных материалов.
Подготовительный этап
1. Переносим табл. 4.1 в файл Microsoft Office Excel. При этом
в столбце «Потребители» (ячейки А3–А12) размещаем номера приобъектных складов, в столбец «Координаты» (ячейки В3–В12
и С3–С12) размещаем координаты х и у соответствующих приобъектных складов, в столбце «Грузооборот» (ячейки D3–D12) размещаем
потребности соответствующих приобъектных складов (рис. 4.4).
80
Рис. 4.4. Таблица с исходными данными
81
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 4. Определение места расположения распределительного склада...
Вычислительный этап
обслуживания), вычерченную на миллиметровой бумаге (рекомендуемый масштаб в 1 мм – 1 км) (рис. 4.6).
1. Создаем дополнительные столбцы для расчета произведений
координат на грузооборот по каждому потребителю. Для этого в ячейки Е3–Е12 вводим соответственно формулы =B3×D3, …, =B12×D12,
а в ячейки F3–F12 вводим соответственно формулы =C3×D3, …,
=C12×D12 (рис. 4.5).
2. В ячейку D13 вводим формулу суммы грузооборотов
=СУММ(D3; D12) (рис. 4.5).
60
615
50
915
325
40
720
30
20
2
Распределительный склад 830
45
1020
45
10 110
560
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Рис. 4.6. Размещение распределительного склада дорожно-строительных
материалов в системе координат
4.2. Практические задачи по определению места расположения
распределительного склада дорожно-строительных материалов
методом центра тяжести грузопотоков
Рис. 4.5. Таблица расчетов
3. Вводя в ячейки Е14 и F14 следующие формулы
=СУММ(E3:E12)/D13 и =СУММ(F3:F12)/D13 соответственно, получаем в них координаты размещения распределительного центра
xрц , yрц .
Определите места расположения распределительного склада
методом центра тяжести грузопотоков для 10 приобъектных складов,
используя следующие исходные данные:
4. По известным координатам наносим точку размещения распределительного центра на координатной плоскости (карте района
82
83
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Вариант 1
Потребители
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Глава 4. Определение места расположения распределительного склада...
Вариант 3
Координаты, км
xi
yi
4
7
22
30
46
51
59
82
94
100
Грузооборот
Gi, т/мес.
42
5
12
32
7
17
28
14
54
21
15
10
40
23
60
5
50
10
25
42
Потребители
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Координаты, км
xi
yi
7
12
26
29
35
47
50
68
75
92
60
2
31
44
15
10
56
17
34
11
Грузооборот
Gi, т/мес.
21
41
27
26
57
10
11
34
8
63
Вариант 2
Потребители
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Координаты, км
xi
yi
10
13
34
38
45
50
64
72
86
95
Грузооборот
Gi, т/мес.
52
10
16
24
27
10
7
40
19
27
45
20
8
13
17
37
32
5
22
12
84
85
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Глава 5. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ О ПОЛЬЗОВАНИИ
УСЛУГАМИ НАЕМНОГО СКЛАДА ДОРОЖНОСТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ
5.1. Методика принятия решения о пользовании услугами
наемного склада дорожно-строительных материалов
Исходные данные
Данная задача относится к классу решений «сделать или купить»
(МОВ – Make-or-buy Problem). Выбор между организацией собственного склада дорожно-строительных материалов или пользованием
услугами наемного склада осуществляется на основе нахождения «грузооборота безразличия» – точки на графике зависимости годовых
затрат от величины грузооборота, в которой затраты на организацию
собственного склада равны затратам на хранение дорожно-строительных материалов на наемном складе.
Для нахождения данной точки необходимо нанести на график
зависимости затрат на грузопереработку на собственном складе и затрат
на хранение товаров на наемном складе от величины грузооборота
дорожно-строительных материалов. Точка пересечения зависимостей
и будет точкой «грузооборота безразличия».
Экономико-математическая модель решения задачи
Затраты на грузопереработку на собственном складе дорожностроительных материалов делятся на условно-постоянные и условно-переменные. Условно-постоянные затраты не зависят от величины грузооборота и складываются из затрат на аренду участка под
склад, амортизацию техники, оплату коммунальных услуг и заработной платы управленческого персонала и специалистов. Условно-переменные затраты зависят от величины грузооборота (примем эту зависимость линейной) и определяются на основе расценок за выполнение логистических операций на собственном складе. Формула
86
Глава 5. Принятие решения о пользовании услугами наемного склада...
зависимости затрат на грузопереработку на собственном складе от
величины грузооборота выглядит следующим образом:
(5.1)
Fсобст = Спост + bG ,
где Fсобст – затраты на грузопереработку на собственном складе,
руб./год;
b – тариф на использование собственного склада, руб./т;
G – грузооборот дорожно-строительных материалов в организации, т/год;
Спост – условно постоянные затраты, руб./год.
Спост = Саренд + Самор + Скомм + СЗП ,
(5.2)
где Саренд – затраты на аренду участка под склад, руб./год;
Самор – затраты на амортизацию техники, руб./год;
Скомм – затраты на оплату коммунальных услуг, руб./год;
СЗП – заработная плата управленческого персонала и специалистов, руб./год.
Затраты на хранение дорожно-строительных материалов на наемном складе рассчитываются по формуле (принимается линейный
характер зависимости)
Fнаем = 365а
3G
Дq ,
(5.3)
где Fнаем – затраты на размещение товара на наемном складе,
руб./год;
365 – число дней хранения товара на наемном складе в год;
а – суточная стоимость использования 1 м2 грузовой площади
наемного склада (тариф на услуги наемного склада), руб./м2;
З – размер запаса в днях оборота, дней;
G – грузооборот организации, т/год;
Д – число рабочих дней в году, дней/год;
q – допустимая нагрузка на 1 м2 площади при хранении на наемном складе, т/м2.
87
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Решение задачи по принятию решения о пользовании
услугами наемного склада
Подготовительный этап
1. Создаем таблицы исходных данных (рис. 5.1).
Рис. 5.2. Значения затрат на пользование услугами
собственного и наемного складов
Рис. 5.1. Ввод исходных данных
Вычислительный этап
1. Задавая значения годового грузооборота в ячейках В7 и В8,
вводя формулы в ячейки С7; С8 (=СУММ(C1:C4)+B7×C5 и =СУММ
(C1:C4)+B8×C5) и Е7; Е8 (=365×B7×ПРОИЗВЕД(E1:E2)/
ПРОИЗВЕД(E3:E4) и =365×B8× ПРОИЗВЕД(E1:E2)/ПРОИЗВЕД (E3:
E4)), получаем значения затрат на грузопереработку на собственном
складе и затрат на пользование услугами наемного склада (рис. 5.2).
2. Через меню «Вставка» и подменю «Диаграмма…» вызываем
мастер диаграмм. На первом шаге выбираем тип диаграммы – график
(рис. 5.3). Нажимаем «Далее >».
Рис. 5.3. Шаг 1 мастера диаграмм
88
89
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
3. На втором шаге мастера диаграмм выбираем диапазон данных (вставляем =Лист1!$С$7:$С$8; Лист1!$Е$7:$Е$8), ряды в столбцах (рис. 5.4). На вкладке «Ряд» выбираем ряд 1 Значения = Лист1!
$С$7:$С$8; ряд 2 Значения = Лист1!$Е$7:$Е$8; подписи по оси
Х =Лист1!$В$7:$В$8 (рис. 5.5).
Рис. 5.5. Шаг 2 мастера диаграмм: Ряд
Рис. 5.4. Шаг 2 мастера диаграмм: Диапазон данных
4. На третьем шаге вводятся параметры диаграммы: заголовки
по оси Х и Y (рис. 5.6), линии сетки по оси Х основные и дополнительные, по оси Y основные (рис. 5.7).
5. На четвертом шаге выбирается место размещения диаграммы
(рис. 5.8).
6. Получившаяся диаграмма показывает результат грузооборота
безразличия 3000 т/год (рис. 5.9).
Рис. 5.6. Шаг 3 мастера диаграмм: Заголовки
90
91
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Рис. 5.7. Шаг 3 мастера диаграмм: Линии сетки
Рис. 5.9. Диаграмма грузооборота безразличия
Анализ результатов расчетов
Величина грузооборота безразличия показывает грузооборот, при
котором затраты на организацию собственного склада равны затратам на размещение товара на наемном складе.
При годовом грузообороте дорожно-строительных материалов
организации менее 3000 т/год ей целесообразно пользоваться услугами наемного склада, при годовом грузообороте более 3000 т/год организации целесообразно использовать собственный склад.
5.2. Практические задачи по принятию решения
о пользовании услугами наемного склада
Рис. 5.8. Шаг 4 мастера диаграмм: Размещение диаграммы
Принять решение о целесообразности пользовании услугами
наемного склада (найти грузооборот безразличия) при следующих
исходных данных:
92
93
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
Вариант 1
Тариф на использование собственного склада 4 руб./т, затраты
на аренду участка под склад – 24 000 руб./год, затраты на амортизацию техники – 2000 руб./год, затраты на оплату коммунальных услуг –
1500 руб./год, заработная плата управленческого персонала и специалистов – 2500 руб./год, суточная стоимость использования 1 м2 грузовой площади наемного склада – 0,3 руб./м2, размер запаса в днях оборота – 60 дней, число рабочих дней в году – 254, допустимая нагрузка на 1 м2 площади при хранении на наемном складе – 2 т/м2.
Вариант 2
Тариф на использование собственного склада 8 руб./т, затраты
на аренду участка под склад – 32 000 руб./год, затраты на амортизацию техники – 3000 руб./год, затраты на оплату коммунальных услуг –
2500 руб./год, заработная плата управленческого персонала и специалистов – 3500 руб./год, суточная стоимость использования 1 м2 грузовой площади наемного склада – 0,4 руб./м2, размер запаса в днях оборота – 60 дней, число рабочих дней в году – 254, допустимая нагрузка на 1 м2 площади при хранении на наемном складе – 3 т/м2.
Вариант 3
Тариф на использование собственного склада 7 руб./т, затраты
на аренду участка под склад – 28 000 руб./год, затраты на амортизацию техники – 3000 руб./год, затраты на оплату коммунальных услуг –
3000 руб./год, заработная плата управленческого персонала и специалистов – 4000 руб./год, суточная стоимость использования 1 м2 грузовой площади наемного склада – 0,5 руб./м2, размер запаса в днях оборота – 45 дней, число рабочих дней в году – 254, допустимая нагрузка на 1 м2 площади при хранении на наемном складе – 3 т/м2.
Учебное издание
Ермошин Николай Алексеевич,
Егошин Алексей Михайлович
Рехов Сергей Викторович
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ДОРОЖНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ
Учебное пособие (практикум)
Редактор О. Д. Камнева
Корректор М. А. Молчанова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 05.07.12. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 5,5. Тираж 100 экз. Заказ 97. «С» 47.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
94
95
Экономико-математические методы в дорожном строительстве
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
96
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
6 043 Кб
Теги
matematiki, ekonomika, egoschin, ermoschin
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа