close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Bondarenko Sovrem metody an08

код для вставкиСкачать
1
Санкт-Петербург
2008
Учебное пособие
Часть 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
И СИНТЕЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
А. В. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, В. И. МОЖАР,
Л. И. СОНЧИК
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Федеральное агентство по образованию
ISBN 978-5-9227-0105-1
2
¤ А. В. Бондаренко, В. В. Бондаренко,
В. И. Можар, Л. И. Сончик, 2008
¤ Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет,
2008
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия
Табл. 7. Ил. 80. Библиогр.: 17 назв.
Рассматриваются основные понятия и постулаты теории электрических
цепей, описание некоторых активных и/или невзаимных элементов цепи, а также
ряд теорем анализа активных цепей и методов эквивалентных преобразований,
не нашедших достаточного освещения в существующей учебной литературе.
На многочисленных примерах иллюстрируются теоретические и прикладные
аспекты анализа цепей.
Пособие предназначено для студентов всех специальностей очного и заочного
отделений, а также для аспирантов и инженерно-технических работников,
интересующихся вопросами теории электрических цепей.
ISBN 978-5-9227-0105-1
Бондаренко А. В., Бондаренко В. В., Можар В. И., Сончик Л. И.
Современные методы анализа и синтеза электрических цепей:
учебное пособие / Санкт-Петербургский государственный архитектурностроительный университет. – СПб., 2008. – 216 с.
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. С. Ф. Свиньин (Санкт-Петербургский
институт информатики и автоматизации РАН); д-р техн. наук, проф. М. А. Шакиров
(СПбГТУ).
УДК 621.83:681.51
3
Несмотря на наличие большого числа учебников по электротехнике и электронике, теоретическим основам электротехники и теории
электрических цепей и ТЭЦ, раздел активных цепей еще не нашел
достаточного и последовательного освещения в учебной литературе.
В особенности это относится к современным методам анализа активных цепей, получающих все более широкое применение в электротехнике, электронике, радиотехнике, автоматике, электроизмерениях
и т. п.
Предполагается, что читатель знаком с начальными сведениями по
анализу активных цепей, преобразованию Лапласа, элементами матричного анализа и другими разделами в соответствии с существующими
программами обучения в высшей школе.
Настоящее издание является первой частью планируемого учебного пособия по анализу и синтезу линейных, нелинейных и дискретных
цепей. В силу этого изложение начинается с более общего и углубленного рассмотрения основных понятий и постулатов теории электрических
цепей, чему и посвящена первая глава.
Общий подход к анализу активных цепей потребовал рассмотрения более универсального способа описания этих систем с помощью так
называемых системных матриц. Определение последних и их связь
с параметрами активных цепей даны во второй главе. Здесь же рассматривается ряд конкретных активных элементов (управляемых источников, аномальных элементов, гираторов, преобразователей иммитансов
и т. п.), а также подчеркивается их внутренняя органическая связь между собой.
Третья глава посвящена некоторым методам эквивалентных преобразований в активных цепях. Среди них такие малоизвестные в учебной
литературе методы преобразований, как перенос управляемых источников при взаимных преобразованиях ветвей звезды в треугольник, взаимное преобразование управляемых источников, а также обобщенные преобразования для активных четырехполюсников.
В четвертой главе приведен ряд полезных теорем, которые могут
быть эффективно использованы при анализе активных цепей. Среди них –
ВВЕДЕНИЕ
4
теорема замещения ветвей для активных цепей с зависимыми источниками; обобщение теоремы Тевенина и Нортона для многополюсных цепей, содержащих внутри себя независимые источники напряжения и тока
и другие теоремы.
Пятая глава охватывает вопросы анализа цепей с зависимыми источниками напряжения и тока с учетом алгоритмов «расширения» описания цепи, описания составляющих общей цепи на основе произвольных координат; метод переменных состояний и т. д.
Шестая глава посвящена теоремам чувствительности, своду общих
правил расчета этих функций, методу присоединенных схем (теорема
Рорера) и многочисленным иллюстративным примерам.
В седьмой главе дается проектирование и расчет ARC-фильтров
с различными типами аппроксимаций частотной характеристики; особое внимание посвящено фильтрам Золотарева–Кауэра.
Все параграфы, выводы и рекомендации иллюстрируются соответствующими примерами. Причем анализируемые схемы имеют практическое приложение – это корректирующие цепи, фильтры, усилительные устройства и т. п.
Литературные источники, на которые даются ссылки в тексте, хотя
и дают основную ориентацию читателю, в то же время не претендуют
на исчерпывающую полноту. Они будут дополняться при публикации
других частей учебного пособия.
Настоящее учебное пособие предназначено не только для студентов, занимающихся по программам бакалавра и магистра, но и для инженеров, аспирантов, преподавателей, а также может быть полезно всем,
интересующимся представленными проблемами.
5
В дальнейшем будет часто встречаться понятие «многополюсник
с общим узлом» (рис. 1.2), у которого напряжения отсчитываются от одного общего (опорного, базового) узла, и которому (без потерь общности) может быть приписан номер (n + 1). Возможны и смешанные варианты МП, когда имеются группы полюсов, организованные по обеим
Рис. 1.1
ЭЦ
с активными
и нелинейными
элементами
Приступая к изучению современных методов анализа активных
цепей (линейных, нелинейных, параметрических, дискретных и т. п.),
читатель, как правило, уже знаком с основами теории в области пассивных цепей: вольт-амперными характеристиками элементов, законами
Кирхгофа, основными методами анализа гармонических и переходных
режимов и т. п. Тем не менее полезно еще раз возвратиться к исходным
понятиям и аксиомам на более обобщенном уровне.
Итак, в самом общем виде любая аналоговая (как и дискретная,
цифровая) электрическая цепь (ЭЦ) представляет собой многополюсник
или многопорт (МП). На рис. 1.1 показан 2n-полюсник или n-порт, где
слово «порт» относится к одной паре полюсов (зажимов), через которые
протекает один и тот же ток. В кружках представлены номера портов,
ЭЦ с активными линейными и/или нелинейными элементами.
1.1. Исходные положения теории цепей
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОСТУЛАТЫ
ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
а)
6
Рис. 1.3
б)
Частными случаями многополюсных цепей являются:
x двухполюсник или однопорт (рис. 1.3, а);
x четырехполюсник или двухпорт (рис. 1.3, б).
Штриховая линия относится к возможному варианту трехполюсника с общими нижними зажимами портов.
Рис. 1.2
схемам. Можно принять, что первая схема (см. рис. 1.1) является структурой уравновешенного типа, а вторая (см. рис. 1.2) – структурой неуравновешенного типа (имеется общий узел). По уравновешенному типу
обычно строятся системы связи и передачи данных, различные измерительные и преобразовательные схемы мостовых типов. Типичными примерами неуравновешенной структуры являются цепи микроэлектроники, измерительных систем, вычислительных устройств.
^>u t @ t  ' t >U 0 @ ! 0 >u t @ >U 0 @ f`.
7
Представленная запись читается так: для данного множества напряжений [u(t)] при всех t, входящих во временной интервал 't, существует совокупность напряжений [U0] > 0, таких, что выдерживается
указанное далее неравенство. Причем свойство K (D) охватывает все символы после вертикальной черты, а квадратные скобки указывают на принадлежность к одному «порту». Выделенные слова относятся к введенным выше кванторам.
М
где фигурные скобки характеризуют множество объектов D с определенными свойствами (после вертикальной черты).
Используя три квантора:
общности D
(читайте «для всех D»);
существования («существует…»);
описания («такой(ая), что…»),
можно в лаконичной математической форме представить характеристики как обычных элементов цепи (т. е. R, L, C, источников энергии, зависимых источников напряжения и тока), так и любых многополюсных
структур.
Рассмотрим примеры использования указанной символики согласно
(1.1).
Пример 1.1. Пусть в результате анализа некоторой цепи получена
система напряжений, характеризуемая зависимостью
Рассмотрим математические аспекты в приложении к теории цепей и систем.
Пусть имеется некоторое (непустое) множество М (система)
объектов D, обладающих определенным свойством K (D), представленное
в следующей форме:
(1.1)
М ^ D | K D `,
1.2. Обобщенное описание свойств электрических цепей
При описании свойств ЭЦ широкое применение находит символика теоретико-множественного подхода, принятого в математике. Такой
подход приводит к более лаконичным и строгим описаниям свойств изучаемых объектов [1, 2].
^>u R t , i R t @
u R t Ri R t , u R t , i R t  D`.
ª
«¬u C t d
Cu C t º»  M C ,
dt
¼
d
CuC t , uC t , iC t  D ½¾.
dt
¿
^>u t , it @ K u,i , u t , it  D`,
8
где K u,i определяет связь токов и напряжений на зажимах цепи
в n-мерном векторном пространстве действительных значений.
О конкретных характеристиках данной связи речь пойдет ниже.
Введенная символика позволяет кратко представить основные
аксиомы или постулаты теории электрических цепей [2].
Mn
Пример 1.3. В общем случае для многополюсной цепи (см. рис. 1.1,
1.2), имеющей n-пар зажимов, согласно (1.1) запишем
º
ªd
«¬ d t Li L t , iL t »¼  M L .
где использована вольт-амперная характеристика (ВАХ) емкостного
элемента.
Индуктивность (или L-элемент цепи) в краткой форме:
MC
­
®>uC t , iC t @ iC t ¯
Или в краткой форме
где  – квантор принадлежности.
Здесь уже учтена основная вольт-амперная характеристика резистора (закон Ома). Аналогичная запись и для проводимости G = 1/R. Емкость (или С-элемент цепи):
Здесь D относится к области действительных значений токов
и напряжений в R-элементе, после вертикальной черты указано свойство
K(D); в данном случае – закон Ома. Более краткий вариант записи может
быть таким:
>Ri R t , i R t @  M R ,
MR
Пример 1.2. Представим описание R, L, C-элементов цепи.
Резистор:
K ^u t , it `  M n ,
(1.2)
^ >u1t u2 t @ , >i1t i2 t @ ` M n .
(1.3)
9
Объединение величин иногда называется принципом суперпозиции
или наложения.
Следует подчеркнуть, что только одновременное выполнение зависимостей (1.2) и (1.3) характеризует линейность ЭЦ. Невыполнение
какой-либо из аксиом (или обеих) говорит о нелинейности цепи. Заме-
причем
^u1t , i1t ` M n ; ^u2 t , i2 t ` M n ,
где K – некоторый коэффициент пропорциональности.
По этой причине эту аксиому называют также свойством пропорциональности.
Аксиома аддитивности относится к рассмотрению двух совокупностей токов и напряжений:
то и
^u t , it `  M n ,
Второй постулат относится к линейности ЭЦ. Свойство линейности определяется выполнением двух аксиом: однородности (пропорциональности) и аддитивности [2].
Аксиома однородности утверждает, что если
1.4. Второй постулат
^u t , i t ` D .
Первый постулат (или аксиома) связан с утверждением о том, что
все напряжения, токи, заряды, потокосцепления в рассматриваемых ниже
ЭЦ являются вещественными функциями времени, хотя часто в целях
удобства расчетов они могут быть представлены математическими моделями в виде комплексных чисел, комплексной частоты, ортогональных разложений и тому подобных. Таким образом,
1.3. Первый постулат
dt
2
d 2 u t a1u t ˜
d u t a0u t dt
d
it b0it .
dt
dt
2
d 2 u t ka1u t ˜
d u t d
ka0u t kit b0 kit .
dt
dt
d t2
d 2 kut d t2
d kut a1ku t ˜
a0 ku t .
dt
d u t ka1u t ˜
ka0u t z
dt
10
и любой вещественной величины t0 найдется другая пара векторов
>u t , it @  M n
Третий постулат связан с инвариантностью во времени (стационарность) цепи. Он утверждает, что реакция не зависит от времени приложения одного и того же возбуждения, т. е. для каждой пары
1.5. Третий постулат
Отсюда следует вывод о нелинейности исследуемой цепи.
z a2
ka2
d 2 u t Однако левая часть (реакция и ее производные) не соответствует
уравнению с измененной в k раз реакцией, т. е.
ka2
Является ли данная цепь линейной? Изменим возбуждение и его
производную (правая часть уравнения) в K раз, тогда
a2
тим также, что выполнение свойств (1.2) и (1.3) на внешних «портах»
еще не означает отсутствия нелинейных элементов внутри цепи (возможны эффекты взаимной компенсации, отсутствия полной наблюдаемости реакций и т. п.). С другой стороны, только линейные элементы
цепи еще не гарантируют выполнения положений самого постулата линейности.
Представим пример проверки цепи на выполнение данного постулата.
Пример 1.4. Пусть в результате анализа цепи получено следующее
дифференциальное уравнение:
>u t , it @
>ut0 t t0 , it0 t t0 @ .
(1.4)
dt
du С1 t ,
d uС1 t t0 d
.
uС2 t C
dt
dt
iС1 τ
iС1 t t 0 ,
iС2 t iС1 t t 0 ,
dt
du С1 t t 0 u1 t at
Тогда
d i t .
dt
11
d i t t0 d i1 t d i t ; u2 t at 2
at t0 1
.
dt
dt
dt
u t at
и элемент является стационарным.
Пример 1.6. Пусть гипотетический (предполагаемый) элемент
характеризуется зависимостью
поэтому
iС2 t C
Если ввести новые переменные W t t0 , dW d t, тоо
iС2 t C
а для смещенного по времени напряжения ic2 t ic1 t получим
iС1 t C
Многополюсник, составленный из инвариантных во времени элементов цепи, всегда удовлетворяет данному постулату, хотя обратное
утверждение не всегда справедливо: переменные во времени элементы
могут компенсировать действие друг друга, и по входам (выходам) цепь
ведет себя как времянезависимая [3].
Рассмотрим примеры выполнения (1.4).
Пример 1.5. Пусть используется ВАХ элемента С.
Тогда для некоторого iС1 t имеем
причем
>ut0 t , it0 t @ M n ,
d i1 t di W
u1 W at0 1 .
dt
dt
dt .Отсюда
u 2 t a W t0 at
t t 0 , dW
d i1 t t0 .
dt
f
t
³ >u t @ ˜ >it @ dt t 0,
(1.5)
12
Пятый постулат – постулат причинности (каузальности). Он утверждает, что если цепь (система) обладает причинными связями, то реакция цепи не может предшествовать возбуждению. При этом одинаковые
воздействия приведут к тождественным реакциям [4].
На этом постулате основано использование одностороннего преобразования Лапласа (операторный метод), когда условно считается, что
возбуждение приложено t t 0 , а импульсная характеристика цепи удовлетворяет условиям теоремы Пэйли–Винера [2, 4].
1.7. Пятый постулат
где индекс t означает транспозицию вектора напряжений.
При невыполнении (1.5) для какого-либо t или промежутка 't цепь
считается активной.
Заметим также, что не всегда цепь, содержащая активные элементы, является таковой. Иногда даже при наличии активных элементов она
удовлетворяет условию пассивности (1.5). Типичные примеры – идеальные гираторы, о которых речь пойдет ниже.
wt t
Четвертый постулат характеризует пассивность или активность
анализируемой цепи [1]. Многополюсная цепь считается пассивной, если
для любой пары >u t ,it @ M n и конечного времени t энергия, накопленная к этому времени, не является отрицательной величиной, т. е.
1.6. Четвертый постулат
Появился добавочный член, который и свидетельствует о нестационарности этого элемента.
u 2 t u1 t W0 at0
Обратный переход к переменной t приведет к
Примем W
f
f
f
(1.6)
13
При нарушении этого соотношения цепь считается невзаимной. Как
правило, все пассивные цепи удовлетворяют соотношению (1.6). Однако
имеются цепи, удовлетворяющие условию пассивности (1.5), но не являющиеся обратными. Среди них, например, те же идеальные гираторы.
Обратимость ведет к симметричным иммитансным матрицам ЭЦ.
t
t
³ >u1 t @ ˜ >i2 t W@dW ³ >u 2 t @ ˜ >i1 t W @ dW.
f
Шестой постулат – принцип взаимности (или обратимости) цепей.
Он в большей степени, чем другие, определяется топологией (структурой) цепи [4].
Многополюсник считается взаимным или обратимым, если для
любых пар векторов >u1 t , i2 t @, >u 2 t , i2 t @  M n справедливо
о
соотношение свертки (соотношение Лоренца):
1.8. Шестой постулат
Хотя абсолютное большинство технических устройств удовлетворяет пятому постулату, существуют объекты, описание которых не ограничивается данным постулатом. Например, пространственное распределение характеристик (вместо времени используется любая координата); компьютерная обработка сигналов, не использующая «реальное время»; процессы в системах связи другие.
(2.1)
V jZ ; >U s @ и >I s @ – изображения по Лапласу вектора
ора
(2.2)
(2.3)
14
Продемонстрируем плодотворность (2.3) на примере четырехполюсной цепи, не содержащей внутренних независимых источников энергии. В этом случае при перестановке второй и третьей строк в единичной матрице получим
>U s @º
> >As @, >Bs @ @ ˜ >Q @1 ˜ >Q @ ˜ ª«
» >0@ .
¬>I s @ ¼
В выражение (2.2) можно ввести дополнительную неособенную
(определитель не равен 0) матрицу [Q], выполняющую процедуру
перестановки напряжений и/или токов в исходных векторах, тогда
>U s @º
> >As @, >Bs @ @ ˜ ª«
» >0@ .
¬>I s @ ¼
напряжения >u t @ и вектора тока >i t @ на входах и выходах цепи.
Соотношение (2.1) часто используют и в иной матричной форме:
частоты s
где > As @ и >Bs @ – системные матрицы, зависящие от комплексной
> As @ ˜ >U s @ >Bs @ ˜ >I s @; ^>u t @, >it @` M n ,
В дальнейшем будем широко использовать преобразования Лапласа и ряд теорем операционного исчисления, содержание которых предполагается известным читателю.
Любой многополюсник, показанный на рис. 1.1 и 1.2, может быть
представлен с помощью следующего матричного соотношения, характеризующего K(D):
2.1. Системные матрицы
2. ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ АКТИВНЫХ
И/ИЛИ НЕВЗАИМНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПИ
ª q1
«q
¬ 3
q2 º
,
q 4 »¼
> A0 s @1 ˜ >B0 s @ ˜ ª«
15
В случае параметров сопротивлений [q2] = [q3] = 0; [q1] = [q4] = [1],
[A(s)] = [A0(s)], [B(s)] = [B0(s)] и [Z(s)] = [A(s)]–1[B(s)] – искомая матрица
Z-параметров.
В случае параметров проводимостей аналогично можно установить
связь системных матриц с гибридными параметрами, а также и с характеристическими параметрами двухпорта. В итоге становится ясной про-
>Q1 s @ >A0 s @1 ˜ >B0 s @.
U 2 s º
(2.4)
».
¬ I 2 s ¼
В (2.4) образовалась матрица параметров передачи четырехполюсника:
ªU1 s º
« I s »
¬ 1 ¼
откуда следует, что
> A0 s @ > As @ ˜ >q1 @ >Bs @ ˜ >q3 @,
>B0 s @ >Bs @ ˜ >q 4 @ > As @ ˜ >q 2 @,
> A0 s @ ˜ ª«
U1 s º
U s >B0 s @ ˜ ª« 2 º» ,
»
¬ I 1 s ¼
¬ I 2 s ¼
где приняты следующие обозначения:
так что с учетом (2.3) найдем
>Q @1
|
ª
º
«1 0 | 0 0 »
«
»
|
«
» U s U s º
«0 0 1 0 » ª 1 º ª 1
«
»
»
«
|
«
» U s Ι
1 s »
«
»
___ ___ ___ ˜ « 2
.
«
»
1 s » «U 2 s »
«
» «Ι
|
«0 1 0 0» «¬ I 2 s »¼ «¬ I 2 s »¼
|
«
»
«
»
|
«0 0 0 1 »
|
¬
¼
В свою очередь [Q]–1 может быть разбита на четыре подматрицы
>Q @ ˜ >U 1 s , U 2 s I1 s , I 2 s @ t
г)
в)
б)
а)
16
Рис. 2.1
При анализе цепей с активными элементами широко используются
следующие четырехполюсники (рис. 2.1):
2.2. Управляемые источники
цедура получения любого из возможных представлений четырехполюсника (в случае их существования) на основании соотношения (2.1) [5].
ИТУТ
ИТУН
ИНУТ
ИНУН
Тип
зависимого
источника
>h@
>y@
>z @
>q@
ª 0 0º
«α 0 »
¬
¼
ª 0 0º
« q 0»
¬
¼
ª0 0 º
« r 0»
¬
¼
ª 0 0º
«P 0»
¬
¼
Иммитансная
матрица
17
0º
0»
¼
0 º
ª0
«0 1 »
¬«
D ¼»
ª0 1 º
g»
«
0 »¼
¬«0
ª0
«1
¬ r
ª1
0º
« P »
«¬ 0 0»¼
Матрица
параметров
передачи цепи
>Q @
>Q @
0 1 0º
1 0 0»
»
0 0 0»
»
0 0 1¼
ª1
«0
«
«0
«
¬0
0 0 0º
0 0 1»
»
0 1 0»
»
1 0 0¼
>A0 @1 ˜ >B0 @
>B@1 ˜ >A@
>A@1 ˜ >B@
ª0
«0
«
«1
«
¬0
>A0 @1 ˜ >B0 @
Связь
иммитансной
матрицы с
системными
матрицами
Таблица 2.1
а) ИНУН – источник напряжения, управляемый напряжением
(рис. 2.1, а);
б) ИНУТ – источник напряжения, управляемый током (рис. 2.1, б);
в) ИТУН – источник тока, управляемый напряжением (рис. 2.1, в);
г) ИТУТ – источник тока, управляемый током (рис. 2.1, г) [1, 3].
В общем случае коэффициенты пропорциональности зависимых
источников могут принимать комплексные значения.
В табл. 2.1 представлены матрицы, описывающие работу управляемых источников, и указана их связь с системными матрицами согласно
(2.1), где иммитансная матрица может быть матрицей сопротивлений,
проводимостей или гибридной.
19
ª 0 G2 º
,
«G
0 »¼
¬ 1
18
Рис. 2.2
>y@
Из определения гиратора следует, что
Рис. 2.3
При выполнении равенства G1 G2 G (проводимость гирации)
получим идеальный гиратор (ИГ), представленный на рис. 2.3.
I 2 s G1U1 s .
I1 s G2U 2 s ;
Гиратор – это четырехполюсник со следующими конститутивными
законами (т. е. связями токов и напряжений между собой) [1, 3]:
2.4. Гиратор
Для однопорта норатора (рис. 2.2, б) получим по определению
элемента
>0@˜ U s >0@˜ I s ,
в)
б)
ª0 0º ªU1 s º ª1 0º ª I1 s º
«1 0» ˜ «U s » «0 0» ˜ « I s » .
¼ ¬ 2 ¼
¬
¼ ¬ 2 ¼ ¬
Заметим, что нуллатор удовлетворяет постулату взаимности (интегралы (1.6) обращаются в нули), а норатор – нет. Поэтому норатор невзаимен и активен.
где напряжение и ток могут принимать произвольные значения, не
зависящие друг от друга.
Пара нуллатор–норатор образуют в совокупности двухпорт нуллор
(рис. 2.2, в) с описанием
т. е. он является необратимым четырехполюсником. Но в то же время
G1 G2 .
­ ˜ ½
­ ˜ ½
Re ®U 1 I1 ¾ Re ®U 2 I 2 ¾ ,
¯
¿
¯
¿
а)
В последнее время в технической литературе часто используются
так называемые аномальные элементы: нуллатор, норатор и нуллор [1].
Для двухполюсника нуллатора (рис. 2.2, а) система (2.1) примет следующий
вид:
ª1º
ª0º
«1» ˜ U s «0» ˜ I s ,
¬,¼
¬,¼
> A@
>B @
т. е. ток и напряжение такого элемента равны нулю.
2.3.Аномальныеэлементы
так
Z вх s k1U 2 s k1k 2 Z s ,
1
I 2 s k2
1
U 1.
k1
U 2 s Z н s I 2 s .
U1 s I1 s I1
1
I2,
k2
20
При этом ясно, что исходная система может быть переписана в виде
U 1 k1U 2 ;
Ясно, что
U2
В свою очередь, КОИ могут быть как с инверсией тока, так и с
инверсией напряжения.
Матрицы некоторых идеальных двухпортов представлены в табл. 2.2.
Рассмотрим пример КОИ с инверсией напряжения. Из системы
уравнений для гибридных g-параметров найдем:
1
I1 I 2 ;
k2
Z вх s k1Z н s , Yвх s k 2Yн s .
Идеальный инвертер (ИИ) – четырехполюсник, инвертирующий
иммитанс нагрузки, т. е.
k
Z вх s ,
Z н s где k – вещественный коэффициент, который в общем случае может
принимать комплексные значения [1].
Идеальный конвертер иногда именуется как конвертер отрицательного иммитанса (КОИ) – изменяет знак нагрузки:
2.5. Преобразователи иммитансов
т. е. мощность не потребляется, что отвечает условиям постулата пассивности. Иногда встречаются гираторы (особенно в случае синтеза цепей), когда G1 o Y1 s , G2 o Y2 s , т. е. проводимости становятся комплексами.
ª0 nº
«n 0»
¬
¼
ª0 1 º
n»
«
«¬ 1 n 0 »¼
Идеальный
трансформатор
kº
0 »»
¼
ª1
0º
« n
»
¬ 0 n¼
ª0
«1
¬« k
# k1 º
0 »
»¼
º
»
k 2 ¼»
0 º
1 »
k 2 »¼
0
1
ª 0
«# 1
«¬
k2
ª k1
«0
¬«
ª k1
« 0
«¬
Матрица
параметров
передачи
Z н s n2
n – коэффициент
трансформации
Z вх s Z н s Z н s k1k 2
2
Z вх s k
Z вх s Z вх s k1k 2 Z н s Z вх s k1k 2 Z н s Входной импеданс
21
Следует отметить, что на основании табл. 2.2 из одних идеальных
>h@
>g @
ª0 1 º
k»
>z @ « 1
0 »
«¬ k
¼
0
k
º
> y @ ª«
»
¬ k 0 ¼
# k1 º
0 »¼
# 1 º
k2 »
0 »
¼
º
k2 »
0 »
¼
k1 º
0 »¼
1
Идеальный
гиратор
>y@
ª 0
«
«# 1
k1
¬
ª 0
«# k
¬ 2
Идеальный
инвертер
>z @
ª 0
«
«1
¬ k1
0
>h@ ª«
¬k 2
>g @
ª 0
1 º
k2 »
«
>g @
« 1
0 »
k1
¬
¼
0
k
1º
>h@ ª«
»
0
k
¬ 2
¼
Иммитансная
матрица
КОИ
с инверсией
тока
КОИ
с инверсией
напряжения
Наименование четырехполюсника
Таблица 2.2
откуда и следуют параметры передачи, помещенные в третьем столбце табл. 2.2.
22
элементов можно получить другие, и наоборот, из четырех зависимых
источников (ЗИ) два могут быть выбраны независимо, а остальные формируются из комбинации выбранных.
Что касается самих ЗИ, то они могут быть построены на основе
нуллаторов и нораторов, которые могут быть положены в основу для
получения схем всех четырехполюсников из табл. 2.2. В свою очередь
нуллатор, норатор и нуллор моделируются с помощью гираторов и КОИ
и т. д. Другими словами, выполняя анализ цепи с гиратором или ЗИ, мы
анализируем адекватную цепь с нуллорами. С другой точки зрения, цепь
с нуллорами есть система, содержащая ЗИ или иные активные элементы. В силу сказанного достаточно рассмотреть детальнее анализ цепей,
например с ЗИ.
Следует иметь в виду то, что рассмотренные четырехполюсные
элементы в общем случае могут быть многополюсными: мультигираторами, мультиконвертерами, многообмоточными идеальными трансформаторами и т. д.
Если анализируемые многополюсные цепи содержат внутри себя
независимые источники энергии, то они при необходимости могут быть
трансформированы в источники, подключенные к внешним зажимам
цепи. Типичный пример – многополюсный эквивалент теорем Тевенина
и Нортона, рассмотренных в четвертом разделе.
Как будет показано в третьем разделе, можно не интересоваться
специфическими характеристиками того или иного преобразователя
иммитансов, а выбирать лишь описание его в такой системе координат,
где оно будет выглядеть рациональнее, т. е. использовать универсальные
подходы к анализу соединения исследуемых многопортов с помощью
гибридных или даже (более общих) системных матриц (2.1) и (2.2).
gU 1 s или током (ИТУТ) при
D
а)
23
P Z1
.
Z2
Таким образом, при наличии внутренних сопротивлений и проводимостей задача преобразования является достаточно тривиальной. Но
не намного усложняется положение и для «непреобразуемых» зависимых источников – источников без внутренних иммитансов.
Пусть имеется фрагмент цепи, показанный на рис. 3.2, а с ИТУН.
Осуществив перенос ЗИ по контуру, выделенному сплошными линиями, получим легко преобразуемые в дальнейшем ЗИ на рис. 3.2, б.
Если управляющее напряжение U s U1 s U 2 s U 3 s , тоо
после преобразования можно получить три различных ИТУН, каждый
из которых управляется какой-либо одной составляющей напряжения
U(s) (рис. 3.3, б).
P Z1
˜ I1 s или I 2 s DI1 s , где
де
Z2
P
U 1 s 2r
замене U1 s Z1I1 s , т. е. I 2 s напряжением (ИТУН) при
ИНУТ с коэффициентом r PZ1 , управляемый током I s . С другой
ой
стороны, выходную ветвь ИНУН можно заменить эквивалентной,
показанной на рис. 3.1, б, и получить еще два ЗИ тока, управляемых
Будем считать известными читателю методы преобразования независимых источников напряжения и тока при наличии внутренних сопротивлений и проводимостей, а также методы переноса источников тока
по контуру, а источников напряжения – через узел, что особенно желательно при отсутствии их внутренних иммитансов.
Учитывая сказанное, обратимся к ЗИ. Пусть ИНУН включен, как
показано на рис. 3.1, а. Так как PU 1 s PI1 s Z1, то не трудно получить
3.1. Взаимные преобразования зависимых
(управляемых) источников
3.НЕКОТОРЫЕМЕТОДЫЭКВИВАЛЕНТНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В АКТИВНЫХ ЦЕПЯХ
а)
б)
P
24
Рис. 3.1
P
s
б)
25
Рис. 3.2
Рис. 3.3
а)
26
В случае «непреобразуемого» ИНУТ (рис. 3.4, а) с учетом того, что
I s I1 s I 2 s , можно получить вариант преобразования (рис. 3.4, б)
или при переносе источника напряжения через узел – другую схему
(рис. 3.4, в).
б)
а)
Рис. 3.4
27
Может оказаться, что одна из ветвей звезды содержит ЗИ, например
ИТУН (рис. 3.5, а), а управление определяется другой ветвью. Перенесем
источник (рис. 3.5, б) по контуру. С учетом того, что по теореме замещения
ветви можно выделить двухполюсник g, получим окончательно цепь,
отраженную на рис. 3.5, в.
3.2. Перенос управляемого источника при
преобразованиях «звезды» в «треугольник»
в)
б)
Рис. 3.5
в)
а)
28
Таким образом, в результате преобразования получен ЗИ, не
соединенный с центральным узлом «звезды».
Иногда, наоборот, желательно сделать управление от какой-нибудь
фазы для ЗИ, например U1(s), управляемого линейным напряжением
трехфазной системы, как показано на рис. 3.6, а.
Поскольку U12 s U1 s U 2 s , то получим промежуточный
вариант (рис. 3.6, б), который после применения теоремы замещения
ветви с ИТУН приводит к окончательному виду цепи (рис. 3.6, в).
б)
а)
Рис. 3.6
29
Рассмотрим еще раз ситуацию, показанную на рис. 3.5, в. При этомнеобходимо
в)
б)
I1 s . Входной ток первого зажима эквивалентного
Y1
I1 s Y1
Y3
Y2
˜ U12 s ˜ U 31 s .
Y1 Y2 Y3
Y1 Y2 Y3
3.3. Обобщенный метод преобразования
активных четырехполюсников
gY3
.
Y1 Y2 Y3
а)
> ys @
30
Y3 s º
ªY1 s Y3 s «Y s Y s Y s Y s » ,
¬ 4
¼
3
2
3
Представляет интерес преобразование активных четырехполюсников (трехполюсников) общего вида, содержащих ИТУН и ИНУТ
(рис. 3.7).
Определим, например, параметры Т-образной эквивалентной схемы (рис. 3.7, б) для преобразования «треугольника» в «звезду» с одновременным преобразованием зависимых источников. Несложно установить, что матрица проводимостей цепи (рис. 3.7, а) составляет
где g 0
gY2
, а g1
Y1 Y2 Y3
g1U 31 s ,
Отсюда величина тока ЗИ составит
U 1 s Поэтому
треугольника (рис. 3.7, б) легко представить следующим образом (используя
известные преобразования для пассивной части цепи):
I1 s Y12U12 s Y31U 31 s .
рис. 3.7, а следует, что U s преобразовать «звезду» ветвей в «треугольник», т. е. к цепи (рис. 3.7, а).
Ветвь с проводимостью Y1 в процессе преобразования должна быть устранена. Из
а ее инверсия >Y s @1
г)
в)
б)
31
>Z s @ приводит к формуле
Рис. 3.7
Y3 s º
1 ªY2 s Y3 s ,
«
'y ¬Y3 s Y4 s Y1 s Y3 s »¼
Y s Y2 s Y s Y s ; Z 3 s 3 ; Z 2 s 1 ; Z 4 s 4 .
'y
'y
'y
'y
32
Заметим, что на основании общего описания четырехполюсника
через [Y(s)] или [Z(s)] можно наметить пути к реализации цепей (их синтезу) по заданным требованиям к иммитансным параметрам.
Z 4 s ;
'Z
Z1 s Z 2 s Z1 s Z 3 s Z 2 s Z 3 s Z 3 s Z 4 s .
Z 3 s ; Y4 s 'Z
'Z
Z1 s ; Y3 s 'Z
Z 2 s ; Y2 s 'Z
Y1 s Аналогичные расчеты для пары в–г рис. 3.7 приведут к следующим
соотношениям:
Z1 s где Δ y Y1 s Y2 s Y1 s Y3 s Y2 s Y3 s Y3 s Y4 s . При этом, согласно рис. 3.7, б и матрице [Z(s)], можно получить:
>zs @
ЭЦ
ЭЦ
Рис. 4.1
ЭЦ
ЭЦ
TU s 33
U вых s .
U вх s Обоснование вытекает из неизменности законов Кирхгофа в выделенном контуре и узловой паре.
Пример 4.1. Определить передачу по напряжению для цепи, показанной на рис. 4.2:
б
а
Эта теорема говорит о том, что любая ветвь с сопротивлением Zij (s)
между узлами i и j может быть замещена источником напряжения или
тока [4].
Верно и обратное утверждение: источники напряжения (ИНУТ) или
тока (ИТУН) могут быть замещены сопротивлением Z ij(s) или
проводимостью Yij (s), как показано на рис. 4.1.
4.1. Теорема замещения ветвей для активных
цепей с зависимыми источниками
4.НЕКОТОРЫЕТЕОРЕМЫ,ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ДЛЯ АНАЛИЗА АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ
U вых s U вх s Z 2 s Z 4 s .
RZ 2 s Z 2 s R Z 3 s Z 4 s r 34
Рассмотрим теорему замещения ветвей на случай схем, содержащих
ИНУН и ИТУТ (рис. 4.4). В первой цепи (рис. 4.4, а) входное напряжение
для ЭЦ II составляет 1 P u1 t , а во второй цепи (рис. 4.4, б) входной ток
4.2. Теорема об исключении зависимого источника из цепи
TU
Если обозначить g–1 = R, то из контура, отмеченного стрелкой,
получим
Рис. 4.3
На основании теоремы компенсации ветвей с ИТУН и ИНУТ
и с учетом того, что U 0 s U вх s U 2 s и gU 0 s g U вх s g U 2 s ,
параллельно Z2 подключена отрицательная проводимость (–g), а ИНУТ
замещен резистором величиною r. В результате получим схему, представленную на рис. 4.3.
Рис. 4.2
ЭЦ I
ЭЦ I
Рис. 4.4
ЭЦ II
ЭЦ II
35
Для цепи на рис. 4.4, а:
1. Каждое сопротивление и величина источников напряжения в ЭЦ I
умножаются на коэффициент 1 P , без изменения ЭЦ II, либо – наоборот.
2. Каждое сопротивление и величина источников напряжения
в ЭЦ II делятся на коэффициент 1 P без измененич ЭЦ I.
В обоих случаях величины источников токов остаются неизменными.
Доказательство основано на следующих рассуждениях (с учетом
постулата линейности). Если воспользоваться описанием цепи по методу
контурных токов, то изменение всех контурных сопротивлений и величин
источников напряжений в 1 P раз не приведет к изменению
переменных – самих контурных токов, причем напряжение, приложенное
б)
а)
данной ветви), а в правой цепи исключить источник тока D i1 t (разрыв
ветви), то законы в обеих схемах не нарушатся, если обеспечены
следующие условия.
в левой цепи устранить источник P u1 t (сделать короткое замыкание
для ЭЦ II равен 1 D i1 t . Несложно установить следующие факты: если
36
Рис. 4.5
к цепи II, будет равно 1 P u1 t , т. е. токи в цепи II также останутся
неизменными. И наоборот,равновесие не нарушится, если выполняются условияп. 2.
Дляцепи нарис. 4.4, бна дуальнойоснове необходимопотребовать выполнение
следующих условий:
1. Каждая проводимость и величина источников токов в ЭЦ I
умножаются на коэффициент 1 D без изменения ЭЦ II, либо –
наоборот.
2. Каждая проводимость и величина источников токов в ЭЦ II
делится на коэффициент 1 D без изменения ЭЦ I.
Обоснование строится на дуальной основе по методу узловых
напряжений. Проиллюстрируем на примере случай, соответствующий
рис. 4.4, б.
Пример 4.2. Рассмотрим схему, представленную на рис. 4.5. Если
воспользоваться положением п. 1, то получим цепь, изображенную на
рис. 4.6, с удаленным ЗИ. Следует обратить внимание на то, что L1 делится
на 1 D , а узловые потенциалы сохраняются неизменными, как
и некоторый ток, например i2(t).
Следуя п. 2, можно получить другой вариант цепи, показанной на
рис. 4.7. Заметим, что ток в L2 уменьшился в 1 D раз.
Подчеркнем, что цепи I и II, показанные на рис. 4.4 и 4.5, не должны
иметь посторонних связей, кроме указанных между собой.
37
При наличии ЗИ внутреннее сопротивление (проводимость) эквивалентного источника напряжения (тока) определяется, как известно
(в случае пассивных цепей), при исключении независимых источников.
Причем сами ЗИ не должны исключаться из рассмотрения [3]. Невыполнение этого требования (т. е. удаление ЗИ) приводит к ошибочным результатам, поскольку при этом могут оказаться исключенными сопротивления или проводимости, связанные с теоремой замещения ветвей.
4.3. Теоремы Тевенина и Нортона для линейных цепей
с зависимыми источниками
Рис. 4.7
Рис. 4.6
б)
Рис. 4.8
i t 38
P u1 t 1 P R2 R3 R4 .
>1 P R2 R3 R4 @it ,
откуда ток в контуре составит
P u1 t u0 t u1 t R2it ;
(4.1)
Задача сводится к определению величины эквивалентного источника
напряжения u0(t) и его внутреннего сопротивления R0 (рис. 4.8, б). Пусть
через резистор R2 протекает ток i(t), тогда
Pu1 t R2 R3 R4 it ;
а)
Пример 4.3. Применить теорему Тевенина по отношению к uвых(t)
в цепи с ИНУН, показанной на рис. 4.8, а.
P u1 t .
1 P R2 R3 R4
R0c
u 0 t ik 3 t R3 >1 P R2 R4 @
1 P R2 R3 R4 ,
Pu1 t 1 P R2 R4 ,
39
Рис. 4.9
отличное от прежнего значения R0c , являющегося ошибочным.
С учетом сказанного можно использовать три метода определения
сопротивления (проводимости) эквивалентного источника.
1. В цепь включается дополнительный (тестовый) источник.
Определяется создаваемый им ток и на основании последнего находят
Z0. В частном случае в примере 4.3 это R0. Обратимся к вышеупомянутому
примеру и подсоединим тестовый источник u2(t) (рис. 4.9) при удалении
источника u1(t).
откуда
i k 3 t R0c
R3 R2 R4 R2 R3 R4 ,
где не содержится величина P. С другой стороны, при коротком
замыкании выходных зажимов (в соответствии с рис. 4.8, б) из (4.1) при
R3 0 получим
Для нахождения R0c исключим источники u1(t) и ИНУН, тогда
i t Искомое напряжение эквивалентного источника напряжения определяется
через i(t):
i t u 2 t .
1 P R2 R 4
u 0 t ,
ik3 t i t ˜ R3||Rн u a t Pu a t ˜ R3||Rн ,
R2 R4 R3||Rн 40
u1 t R2 R4 R3 || Rн .
1 P R2 R4 R3 || Rн но ua t u1 t R2it , откуда
u н t uн t u0 t Rн
.
(4.2)
Rн R0
Таким образом, если к исходной цепи (рис. 4.8, а) подключить Rн,
определить uн(t) и представить ответ в форме (4.2), то сразу можно
выделить как u0(t), так и R0, т. е. найти все параметры эквивалентного
источника. Итак, по рис. 4.8, а
т. е. необходимо дополнительно найти ток короткого замыкания ik 3 t .
Данные рассуждения представлены и выполнены выше.
3. Если на выходные зажимы схемы (рис. 4.8, б) подключить
некоторое нагрузочное сопротивление Rн, то
R
u 2 t R3 >1 P R2 R4 @
R0
.
i2 t 1 P R2 R3 R4
Это совпадает с результатом, полученным выше.
2. Сопротивление эквивалентного источника можно определить из
рис. 4.8, б по формуле
Очевидно, что
так что
u 2 t .
R3
1 P ua t R4it u2 t ; R2it ua t ,
Ток i t определим из уравнения:
i2 t i t i3 t i t Из анализа схемы следует, что
U s I s k1
– внутренний импеданс
k3
41
по теореме Тевенина. Величина эквивалентного источника напряжения
составит при I s 0 k3 X s k 4
U s k1 X s ; I s k3 X s ; Z 0 s причем k1 и k3 определяют зависимость искомых переменных U s , I s от некоторой дополнительной неизвестной X(s), а k2 и k4 определяются
внутренними источниками цепи.
При отсутствии независимых внутренних источников
где ki = 1y4 – некоторые коэффициенты, связанные с параметрами цепи,
­U s k1 X s k 2 ;
®
¯ I s k 3 X s k 4 ,
сказанное сохраняет силу, причем G0 R01 – внутренняя проводимость
источника тока.
Рассмотренные выше примеры по определению параметров эквивалентных генераторов напряжения и тока относятся к несложным цепям. В более усложненных вариантах схем определение величины источников напряжения и тока короткого замыкания ветви приводит к необходимости утомительных повторных анализов цепи. Трудности значительно снижаются, если используется другой подходящий и эффективный метод анализа. В качестве такового, например, может быть рекомендован метод пропорциональных (определяющих) величин, сводящийся к получению двух итоговых уравнений для исследуемой ветви:
Из последнего выражения несложно идентифицировать u0(t) и R0
согласно (4.2).
В случае эквивалентного источника тока (теорема Нортона)
1 P R2 R4 R .
3
1 P R2 R3 R4 н
Rн
PR3 Rнu1 t >1 P R2 R4 @R3 Rн R3 Rн
PR3u1 t ˜
1 P R2 R3 R4 R
uн t Окончательнополучим
Рис. 4.10
Ia
42
U s U a s U s ;
2
2
4 I 21
U10
2
I1 4 I a ;
2 I1 4 I a ;
0 ,5 I1;
I 1 4 I a ; U s 0,5 I1 I a ; U 21
I1; I10
2 I 1 4 I a I1
I10 I1 I a
U s U 21 U10
I 21
U10 1 ˜ I1 2 ˜ I1
Зададимся током I1 и выберем нумерацию узлов, указанных в кружках. Определим напряжения и токи ветвей цепи:
I k 3 s k
U 0 s k2 3 k4 .
k1
Z 0 s Таким образом, однократный анализ позволяет найти как U0(s), так
и Ik3(s). Проиллюстрируем предлагаемую методику примером.
Пример 4.4. Определить эквивалентный источник напряжения для
цепи, показанной на рис. 4.10; сопротивления указаны в омах; Ua(s),
Ia(s) – изображения независимых источников; все величины являются
функциями от s.
§
·
k
U 0 s ¨¨ k1 4 k 2 ¸¸ ,
k3
©
¹
а ток короткого замыкания ветви определяется через
I1
U s 2 Ia a 2
2
I1 0 ,5U a s 2 I a s .
I1 0,5U a s 2 I a s ,
I1 4 I a ;
k1k 4
k2
k3
1;
0 ,5U a s k1
k3
0,5U a s 2 I a s (4.3)
43
>U s @º
>> As @, >Bs @@ ˜ >Q@1 ˜ >Q@ ˜ ª«
» >k @ .
¬ >I s @ ¼
(4.4)
где [k] – вектор ограничений размером (n u1), обусловленных этими независимыми источниками, при этом вместо (2.3) получим соответственно
>U s @º
>> As @, >Bs @@ ˜ ª«
» >k @,
¬ >I s @ ¼
Воспользуемся соотношением (2.2) для многополюсных целей с
учетом возможного наличия энергии внутри них. Тогда
4.4. Обобщение теоремы Тевенина и Нортона
на случай линейных n-портов, содержащих внутри себя
независимые источники энергии
Заметим, что численно U0(s) и Ik3(s) совпали, так как Z 0 s 1.
4 I a s 0 ,5U a s 2 I a s .
I k 3 s k 2 k 4
2 I a s 4 I a s 0 ,5U a s 2 I a s ;
U 0 s Z 0 s где k1 1 , k 2 4 I 0 s , k1 3 , k 2 0,5U a s 2 I a s .
Получим параметры эквивалентного источника:
I s U s Итак, получим исходную систему уравнений
0 ,5 I1 I a I a s I s I a I 21 I a
ªV1 s º
«V s » ,
¬ 2 ¼
>k @.
(4.5)
@
ªV s º
˜ >M s @ ˜ « 1 »
¬V2 s ¼
>N s @1 ˜ >k @.
(4.6)
@
ªV s º
˜ >M s @ ˜ « 1 »
¬V2 s ¼
>0@,
(4.7)
ªV10 s º ª>N s @1>k @º
«
»
»«
>0@ ¼ .
¬V20 s ¼ ¬
(4.8)
44
Другими словами, при выполнении уравнений (4.8) и (4.6) остается справедливым и (4.7). Но поскольку
ªV1 s º
«V s »
¬ 2 ¼
где нулевой индекс у переменных показывает на отсутствие независимых источников; в правой части – нулевой вектор-столбец размерностью n u 1.
По существу, (4.7) представляет собой только преобразование исходного описания (2.2). Объединяя (4.6) и (4.7) в одно матричное соотношение, получим
1
>>1@, >N s@
Здесь первая субматрица – единичная. Те же рассуждения можно
применить и к >M s @. Ясно, что в случае многополюсников без внутренних источников (4.6) сводится к равенству
1
>>1@, >N s @
Если в (4.5) матрица >N s @ – неособенная, то можно получить канонические системы координат с учетом дополнительных источников
энергии (правая часть):
V s >>N s @, >M s @@ ˜ ª« 1 º»
¬V2 s ¼
тогда согласно (4.3) найдем
>>As @, >Bs @@ ˜ >Q @1 >>N s @, >M s @@,
где в правой части через V1(s) и V2(s) обозначены как напряжения, так и
токи, а также их возможные комбинации, что характерно, например, для
волновых параметров; при этом вторую группу сомножителей обозначим
через
>U s @º
>Q @ ˜ ª«
»
¬ >I s @ ¼
Если обозначить через
ª>N s @1 >k @º
»;
«
>0@ ¼
¬
1
º
ª
>Q@1 «>N s @ >k @» .
>0@ ¼
¬
V10 s º
»
¬V20 s ¼
>0@; ª«
(4.9)
45
Вводя желаемую неособенную матрицу перестановок [P] строк
и столбцов в (4.5), несложно получить только источники напряжения,
либо только источники токов, а также смешанный вариант: часть «портов» содержит последовательно включенные источники напряжения,
а другая часть – параллельно подсоединенные источники токов.
Пример 4.5. Найти эквивалентный двухпорт для следующего четырехполюсника мостового типа (рис. 4.12).
Рис. 4.11
МЦБ
Из (4.9) следует, что получено выражение для эквивалентных источников напряжения и тока при отсутствии напряжений и токов на зажимах многополюсника согласно рис. 4.11, где МЦБ – многополюсная
цепь без внутренних источников.
ª>V0 s @º
«>I s @»
¬ 0 ¼
ªV1 s º
«V s »
¬ 2 ¼
V1 s º ªV10 s º
» «
»,
¬V2 s ¼ ¬V20 s ¼
то при нулевых входных переменных из (4.8) найдем:
>Q @ ˜ ª«
Рис. 4.12
46
ª U1 s º
|
ª
º « I s »
« 1 Z 2 | 1 Z 2 » ˜ « 2 »
« 1 Z1 1 Z1 » «U s »
«¬
|
»¼ « 2 »
¬« I1 s ¼»
ª Z 2 I s º
« U s » .
¬
¼
Несложные выкладки приведут к уравнению типа (4.3):
>I s @
>hs @ ˜ ª« 1 º» >k @,
¬>V2 s @¼
где независимыми переменными являются I1 s и U 2 s .
ª>V1 s @º
«>I s @»
¬ 2 ¼
(4.10)
Пусть данный двухпорт описывается гибридными параметрами
б)
а)
ª
| Z1 Z 2
«1 0 Z Z
| 1 2
«
2
0
1
«
|
Z1 Z 2
¬«
ª Z1 Z 2 º
« 1 1 » ,
¬
¼
ª Z 2U s Z1Z 2 I s º
1
.
Z 2 I s »¼
Z1 Z 2 «¬ U s U s 2 Z1Z 2 º ª 1 º
« I s »
Z1 Z 2 » « 2 »
»˜ Z 2 Z1 » «U s »
« 2 »
Z1 Z 2 ¼» «
¬ I1 s »¼
1
Z1 Z 2
h s 47
1 ª Z1 Z 2
Z1 Z 2 «¬ 2
Рис. 4.13
2 Z1Z 2 º
;
Z 2 Z1 »¼
Последнее матричное равенство позволяет идентифицировать гибридную матрицу пассивных частей цепи эквивалентных источников напряжения U0(s) и тока I0(s) согласно рис. 4.13:
Z 1 Z 2 I s º
ª Z 2U s « Z Z Z Z »
1
2 »
2
« 1
«
»
« U s Z 2 I s »
«
»
Z1 Z 2 ¼
¬ Z1 Z 2
>N s @
ª 1 Z2 º
1
« 1 Z » ; >N s @
¬
1¼
получим следующее выражение:
В правой части (4.10) находится матрица [k]. Для дальнейшего перехода к канонической системе уравнений по типу соотношения (4.6)
после учета того, что
0 0 1º
1 0 0»
»
0 0 0»
»
0 1 0¼
>k @,
(4.11)
(4.12)
Рис. 4.14
49
48
Другими словами, строки матрицы [R(s)] должны представлять собой
линейную комбинацию столбцов [H(s)]t, где t относится к операции
транспонирования матрицы [5].
Пример 4.6. Обратимся вновь к мостовой цепи с указанными
дополнительными переменными Ia(s), Ib(s) (рис. 4.14).
>Rs @˜ >H s @ >0@ .
¬ 2 ¼
По требованиям данной теоремы необходимо выполнение условия
1 s º >R s @ ˜ >k c@
>Rs @˜ >>N cs @, >M cs @@˜ ª«U
.
U s »
где штрихами отмечены матрицы при наличии дополнительных переменных; H(s) – некоторая матрица связи этих переменных с параметрами цепи.
Исключение вектора переменных [Y(s)] из (4.11) эквивалентно определению некоторой новой матрицы [R(s)], при умножении на которую
обеих частей уравнения получаем
>>N cs @, >M cs @@ ˜ ª«
U 1 s º
» >H s @ ˜ >Y s @
¬U 2 s ¼
дополнительные переменные [Y(s)], которые в конечном итоге будут исключены, т. е.
Иногда при составлении описания многополюсной цепи по типу
(4.5) для упрощения выкладок предпочтительнее ввести некоторые
4.5. Теорема об исключении переменных
при составлении уравнений для многополюсников
1
ª 1
º
« 2 Z U s 2 I s »
1
«
».
1
1
«
U s I s »
2
«¬ 2 Z1
»¼
1
2 Z1 Z 2
ª I 01 s º
« I s »
¬ 02 ¼
> y s @
ª Z 1 Z 2 Z1 Z 2 º
«Z Z
»,
¬ 1
2 Z1 Z 2 ¼
а эквивалентные источники токов составят
можно получить следующие y(s) – параметры автономного четырехполюсника:
Z 1 Z 2 º ª I 1 s º
ª 2 Z1 Z 2
0| 1
«
»
«Z Z
Z1 Z 2 » « I 2 s » ªU 0 s º
2
|
,
« 1
»˜
2 » «U 1 s » «¬ I 0 s »¼
« Z 2 Z1 1 0
|
«¬ Z1 Z 2
Z1 Z 2 »¼ «¬U 2 s »¼
откуда
>Р@
ª0
«0
«
«1
«
¬0
Z2
>U s Z1 I s @;
Z1 Z 2
1
I 0 s >U s Z 2 I s @ .
Z1 Z 2
Допустим, что желательно иметь эквивалентный двухпорт (согласно теореме Нортона) только с источниками токов. Тогда после введения
перестановочной матрицы [P] и соответствующей перестановки переменных на зажимах
U 0 s ª 1 Z1
« 1 Z
¬
2
Z1
Z2
Z1 º
;
Z 2 »¼
50
1 1 0º
Z Z
>Rs @ ª« 1 2
1 0 1»¼
¬ 0
и итоговые уравнения выглядят следующим образом:
­ R1 R2 Z1 R3 Z 2 R4 Z1 0 ;
®
¯ R2 Z1 Z 2 R3 Z1 Z 2 R4 Z1 Z 2 0 .
В результате несложно установить, что
Z1
Z1
ª
º
ª Z2 º
ª
º
ª 1º
R3 «
R4 «
R1 « » R2 «
»
»
»
¬0¼
¬ Z1 Z 2 ¼
¬ Z1 Z 2 ¼
¬ Z1 Z 2 ¼
или
ª0 0º
«0 0»
¬
¼
ª Z º
ª Z º
ª Z º ª0 0º
ª 1º
R1 « » R2 « 1 » R3 « 2 » R4 « 1 » «
»,
¬ 1¼
¬ Z 2 ¼
¬ Z1 ¼
¬ Z 2 ¼ ¬0 0¼
где Ri, I = 1,4 – строки матрицы [R(s)]t.
Ясно, что предыдущее соотношение эквивалентно следующему [5]:
>H s @ t
Линейная комбинация столбцов [H(s)] t должна формировать
нулевую матрицу, т. е.
0
ª
º
« U s Z I s »
2
«
»
«
».
U s «
»
Z 2 I s ¬
¼
1 º ªU1 s º
0 Z1 » « I 2 s »
»˜«
»
1
0 » «U 2 s »
» «
»
1
0 ¼ ¬ I1 s ¼
0
ª 1 1 º
« Z Z » I s º
1
2 » ª a
˜«
«
« Z 2
Z1 » ¬ I b s »¼
»
«
¬ Z1 Z 2 ¼
1
ª0
«1
0
«
«0 Z1
«
¬0 Z1
Желательно получить уравнения, где в качестве переменных фигурируют
лишь U1(s), U2(s), I1(s), I2(s), а дополнительные переменные Ia(s) и Ib(s) после
составления описания цепи подлежат исключению. Из рис. 4.14 непосредственно
видно, что согласно (4.11)
0
1
1
0
Z1
Z1
1 º
Z1 »
»
0 »
»
0 ¼
ª Z 2 I s º
« U s » .
¬
¼
ª 1 Z2 1 Z2 º
« 1 Z 1 Z » ;
¬
1
1 ¼
0
ª
º
« U s Z I s »
2
»
>Rs @ «
U s «
»
«
»
Z 2 I s ¬
¼
0
1
51
Ненулевые начальные условия в емкости моделируются источником
напряжения ступенчатой формы 3/s. Выбрали две дополнительные
переменные: U0(s) и контурный ток I0(s).
Рис. 4.15
Легко заметить, что полученный результат полностью совпадает
с данными примера 4.5.
Пример 4.7. Включение ARC-цепи с ненулевыми условиями
на рис. 4.15 (величины в Ом, Ф), содержащую ИНУН с коэффициентом
пропорциональности P = 5.
ª0
«1
>R s @ «
«0
«
¬0
0
4
s
0
4
s
0º
0 1»
»
1 0 »
»
0 0»
¼
1
т. е.
т. е.
s º
s 4 »
s¼
>Rs @
R3
s
ª 5
4
«
«¬ 5 1 s 8
5 R4 R3 ; R2
>Rs @ >0
0
>Rs @ > >N cs @, >M cs @ @
3
52
s
0
t
,
5
1
t
6
1
@ >3 s 0@
ª13 1
s
«
«¬ 11
0.
s º
4 »;
1 s »
4¼
s § s·
¨ 1 ¸ R4 ,
4 © 4¹
1 0º
» .
0 1»
¼
ª0º
«0»
« » .
«3 »
« s»
¬0¼
ª0 0 º
«0 0 » ,
¬
¼
4
s4
0 ; R2 ˜ R3 R4
s
s
В результате умножения на >R s @ получим
R1
Отсюда следует
R1 5 R3 5 R4
ª0º
ª s º
ª s º
ª 1º
R1 « » R2 « 4 » R3 « » R4 «s 4 »
¬0¼
¬ 1¼
s¼
¬ s¼
¬
должна формировать нулевую матрицу
>H s @
t
ª 1 0
«0 4
¬
s
s
1
0 º
ª I1 s º ª 1
« I s » « 0
4 » ªU s º
0
s »
« 2 »«
«
1 » ¬ I 0 s »¼
«U1 s » « 5
«
«
»
4 »
¬U 2 s ¼ «¬ 5 1 s ¼»
Линейная комбинация столбцов
ª 2
« 0
«
«3 1
s
«
«¬ 1
Итак,имеем:
1
Ÿ
1
º
0,5 s 2 13,25 s 1»
»
¼
s
3 º
ª
« I1 s 2 s 1»
.
«
33 »
« I 2 s »
2 s 1¼
¬
1
s ª
«5 s
2 s 1 «
¬ s
ªU1 s º
«U s »
¬ 2 ¼
53
а «несимметрию» создает ИТУН с коэффициентом
1
º
5 ª1
« 1 0,5s 13,25 1 » ,
2s 1 «
s ¼»
¬
5
.
2s 1
На рис. 4.16 через [y(s)] обозначена симметрическая матрица
Рис. 4.16
Здесь параллельно входу и выходу цепи параллельно включены два
источника тока из правой части. Заметим, что отсюда можно перейти
к теореме Нортона для двухпорта (рис. 4.16).
1
º
ª
«13 s 1 »
« 11 1»
¼
¬
ª13 1
s
«
11
«¬
ª I1 s º
«
»
s
º
3
1 6 4 » « I 2 s » ª s º .
«
»
1 5 1 s » «U1 s » ¬ 0 ¼
4¼ «
»
¬U 2 s ¼
Перейдем, например, к каноническому описанию через y-параметры. Для этого умножим обе части последнего равенства на матрицу
так что
54
1. Влах,И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем /
И. Влах, К. Сингхал. – М.: Радио и связь, 1988. – 560 с.
2. Заде, Л. Теория линейных систем / Л. Заде, Ч. Дезоер. – М.: Наука, 1970. –
704 с.
3. Madhu S. Linear Circuit Analysis. Prentice-Hall, International Inc. Engle Wood
Cliffs, New Jersey, 1988. – 833 p.
4. Сиберт, У. М. Цепи, сигналы, системы / У. М. Сиберт. – М.: Мир, 1988.
Т. 1 и 2. – 336 с.
5. Groetsch C. W., Thomas King J. // Matrix Methods and Applications. PrenticeHall. – 1988. – № 9. – 314 p.
6. Бондаренко, А. В. Электротехника / А. В. Бондаренко; СПБГАСУ. – СПб.:
2004. – 340 с.
Рекомендуемая литература к главам 1–4
55
Выполнение п. 2 возможно как путем отдельного составления матриц, описывающих ЗИ с их последующим приложением к результатам
п. 1, так и без каких-либо дополнительных математических конструкций на основе определенных операций над строками и столбцами матрицы пассивной части цепи. В первом случае, как правило, размерность
матрицы после выполнения п. 2 увеличивается с одновременным ростом ее разреженности, а во втором – наоборот, происходит снижение ее
размерности. Данное положение можно выразить иначе: на матрицу воздействует некоторый оператор по ее преобразованию в другую матрицу,
отвечающую введению ЗИ в цепь. Во всех случаях исходная матрица
пассивной части цепи трансформируется, как правило, в несимметричную форму. В целях сопоставления эти два подхода будут рассмотрены
детальнее.
Комментарий
Рассмотренные выше характеристики ЗИ напряжения и тока –
ИНУН, ИНУТ, ИТУН, ИТУТ – позволяют определить характер ограничений, вносимых в описание конкретной цепи на основе двух распространенных методов угловых напряжений контурных токов.
В дальнейшем общая концепция анализа цепей с ЗИ характеризуется следующим комплексом алгоритмов.
1. Составляется узловая матрица (в случае метода узловых напряжений (МУН)) или матрица контурных сопротивлений (для метода контурных токов (МКТ)) для пассивной части цепи, не содержащей ЗИ.
2. Учитывая ограничения, налагаемые подключением ЗИ в цепь
для «коррекции» или дополнения исходной матрицы схемы, полученной согласно п. 1, подключаем матрицу, соответствующую полной цепи
с включением ЗИ.
3. По найденной матрице (п. 2) через соотношения, связывающие
искомые системные функции с определителем и его алгебраическими
дополнениями полученной системы уравнений, завершаем анализ цепи.
5.1. Алгоритмы расчета с «расширением» описания цепи
5. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗАВИСИМЫЕ
ИСТОЧНИКИ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
Пассивная
часть цепи с
элементами
R, L, C
Рис. 5.1
k
m-ИНУН
PU ij s >
@
P U i s U j s .
(5.1)
56
Пусть пассивная часть соответствует некоторой матрице проводимостей n-порядка при базовом n 1 -узле >Y s @ n .
При подключении ИНУН через зажимы k–р потечет некоторый ток
Im(s). Дополним матрицу пассивной части цепи >Y s @ n ограничениями
U kp s U k s U p s Будем считать, что методика составления уравнений по МУН для
пассивной части цепи хорошо известна читателю; учтем лишь ограничения на переменные цепи согласно п. 2 от ИНУН, показанного внутри
штриховой рамки.
Входы и
выходы
всей цепи
В последние десятилетия ИНУН, соответствующие идеальным усилителям напряжения с конечными коэффициентами усиления и операционным усилителем (ОУ) с P o f , нашли весьма широкое распространение в радиоэлектронике, автоматике, микросхемотехнике, приборостроении и других научно-технических областях, что и обусловливает
актуальность изучения данных методов анализа.
Пусть анализируемая цепь N в соответствии с постулатами главы
состоит в общем случае из пассивной части и активной подцепи, содержащей m-ИНУН (как показано на рис. 5.1), с выделением последним по
счету ЗИ, у которого входные зажимы i–j, а выходные k–p, причем
Ukp(s) = Ukp(s) = P, P – коэффициент пропорциональности ИНУН.
Анализ линейных цепей с ИНУН
>Y s @ n1
ª
«
«
«
«
>0@
>Y s @ n « nun
«
«
«
« «
¬ P
n1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
P
|
|
|
|
1
1
>Y @ИНУН
|
(5.2)
0 º
0 »
»
0 »
»
1 »
0 »
»
1 »
»
»
0 ¼
n1
| º
| »
»
| »
»
1 »
.
| »
»
1 »
»
»
¼
| | |
1
1
0
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|ª
|
|
i«
|
|
|«
>Y s @ n
|
j«
| « |
k«
|
|
| ««
| |
p « | « | |
«
P0
P0
¬ 0
пересечении i и j столбцов с n 1 -й строкой, а элементы +1 и –1 на
пересечении этой же строки со столбцами, соответствующими узловым
потенциалам Uk(s) и Up(s). Дополнительный m 1 -й столбец будет
содержать +Im и –Im на пересечении строк с номерами k и р (выходы
ИНУН) с учетом того, что ток вытекает из k узла цепи, т. е. имеет в правой
части системы уравнений знак минус. В этом случае
U i s U j s U k s U p s I m s от ИНУН по (5.1), т. е. введем дополнительные n 1 строку и столбец
(базовый узел станет уже n 2 -м).
Расположим в новой матрице n 1 -порядка элемент µ на
т. е.
|
p
|
j
|
k
|
|
i
Ui
ª | « | «
|
«
«
« | « | «
« | «¬
1
n1
1
58
>0@ nun
| |
| | | Uj
| >Y @ИТУТ
0
|
|
|
|
|
|
Uk
Up
|
I k s DI i s ; U i s U j s 0 ; I p s I k s ,
Рис. 5.2
Im
1 º
1 »
»
»
» . (5.3)
D »
D »
»
»
0 »¼
Введение m-ЗИ приведет к дополнительным m-строкам и столбцам. В (5.2) записана так называемая прямая сумма матриц, причем вторая «активная» матрица содержит ненулевые элементы лишь в последних строке и столбце. Точка над знаком суммирования отвечает операции «прямого» суммирования соответствующих субматриц.
Попутно отметим, что выписывая компонентные уравнения для
других типов ЗИ, а в общем случае – для любого четырехполюсника
(или многополюсника), можно заранее свести эти «активные» субматрицы в таблицу.
Так, например, в случае ИТУТ (рис. 5.2) получим
(5.4)
ª0 0 º
«¬P 1»¼ ;
>В @
или
ª 1 0º
« 0 0 » ; Iij(s) = Ii(s); Ikp(s) = Ik(s)
¬
¼
> А@
ª0
«g
¬
>В@
59
0º
;
0»¼
>В @
ª 1 0º
« 0 1» .
¬
¼
ª 0 0º
« r 1 » .
¬
¼
И, наконец, для ИТУН Iij(s) = 0, Ikp(s) = gUij(s)
> А@
ª 0 0º
ª 1 0º
« 0 0 » ; >В @ « D 1» .
¬
¼
¬
¼
Для ИНУТ найдем при Uij(s) = 0, Ukp(s) = rIij(s)
в соответствии с (5.1).
Для ИТУТ получим
> А@
где, например, в случае ИНУН имеем следующие системные матрицы
ªU s º
ªU s º
> А@ «U ij s » >B @ «U ij s » >0@,
¬ kp ¼
¬ kp ¼
Если для любого типа ЗИ принять Ii(s) = –Ij(s); Ik(s) = –Ip(s); Uij(s) =
= Ui(s) – Uj(s); Ukp(s) = Uk(s) – Up(s), то согласно (1.7)–(1.8)
Рис. 5.3
Линейная
активная
цепь
Общие результаты по всем типам ЗИ сведены в табл. 5.3 [4], которая заполнена на основании результатов рассмотрения обобщенного четырехполюсника с указанными на рис. 5.3 узловыми точками и напряжениями.
Таблица 5.3
60
Продолжение табл. 5.3
61
Продолжение табл. 5.3
62
Окончание табл. 5.3
63
Примечания: 1. Обратить внимание на полярность зажимов в последнем случае ОУ с одним входом. Это вызвало
изменение знака в последнем столбце [Y]ОУ.
2. Иногда используются модели ЗИ с несколькими входами и выходами (более двух). Следуя рассмотренной методике
и составив компонентные уравнения, несложно получить развитие содержания табл. 5.3 для произвольных многополюсных
ЗИ, а также преобразователей табл. 2.1 и др.
3. Данный метод можно трактовать как частный случай суммирования матриц проводимостей с увеличенными
размерностями, цепи которых имеют ряд изолированных узлов, не дающих вклад в общий результат. Иногда его называют
модифицированным МУН или методом расширенных узловых потенциалов. Рассмотрим ряд примеров анализа активных
схем на основе предложенного метода.
Рис. 5.4
U вых s .
U вх s uвых(t)
0
º
»
sC1
0
»; G
G1 G2 sC1 G2 » 1
»
G2
sC 2 G2 ¼
G1
64
Из табл. 5.3 имеем при i = 4, k = 2
>Y s @ n
0
ªG1
«0
sC1
«
« G1 sC1
«
0
¬0
1
; G2
R1
1
.
R2
Здесь используется ИНУН с коэффициентом пропорциональности P.
Составим матрицу пассивной части цепи для обозначенных узлов
(числовые индексы в кружках).
uвх(t)
Н U s Однако следует иметь в виду, что поскольку ИТУН имеет описание
в виде параметров проводимости в отличие, скажем, от ИНУН, то пассивную матрицу [Y(s)]n нет необходимости увеличивать в размерах,
а можно внести параметр g на пересечениях соответствующих строк
и столбцов, о чем будет сказано далее.
Для ОУ с двумя выходами и конечным коэффициентом пропорциональности µ получим результат, аналогичный (5.1).
Пример 5.1. Составить матрицу проводимостей для фильтра нижних частот (ФНЧ) по следующей схеме (рис. 5.4) и найти передачу по
напряжению
G22 .
U 2 s U1 s 3
Y5 s Y6 s P С1G2 ˜ s '
; '
'
2
sC2 G2 sC1 G2 т. е. операции
0º
1»
»
0» .
»
0»
0»¼
PG1G2
˜
C1C 2 s 2 H U s 65
1
.
s
>C1G 2 1 P C2 G1 G2 @ G1G 2
C1C 2
C1C 2
PG1G2
'PG1G2 ˜ s
В данном случае Y1(s) – Y2(s) в расчете НU s U 2 s U1 s не
участвуют, а потому и не вычислены в явном виде. Из третьей строки
>Y s @ ред видно, что Y5 s U1 s Y6 s U 2 s 0 , т. е.
2 G2
где Y5 s G1G2 ' ; Y6 s >Y s @ ред
1
ªY1 s Y2 s 0 º
«Y s Y s 1 » ,
4
« 3
»
«¬Y5 s Y6 s 0»¼
0
0
G1
ª G1
« 0
0
sC1
sC1
«
« G1 sC1 G1 G2 sC1 G2
«
0
sC 2 G2
G2
« 0
«¬ 0
1
0
P
Итоговая матрица – пятого порядка.
После исключения третьего и четвертого узлов,
редукции матрицы [Y(s)] получим:
>Y s @ >Y s @n >Y @ИНУН
Следовательно, матрица всей цепи составит согласно (5.2)
G2
sC3
>sC1 C 2 C3 G2 @
sC1
0
sC3
0
0
0 º
G2 »
»;
G2 »
»
0 ¼
G1
66
1
1
.
; G2
R1
R2
Из табл. 5.3 выписываем матрицу активной подцепи при i = 3, j = k.
>Y s @ n
ª sC1
« sC
1
«
« 0
«
¬ 0
Для пассивной части цепи при выбранной нумерации узлов имеем
Рис. 5.5
Данная передаточная функция в дальнейшем будет неоднократно
использована в ряде примеров анализа.
Пример 5.2. Составить матрицу проводимостей для схемы фильтра
верхних частот (ФВЧ) по рис. 5.5, где используются ОУ с P o f .
>Y s @
G2
G2
1
sC3
sC2 G1
0
1
>sC1 C2 C3 G2 @
sC3
G2
0
0
0
0
sC1
5.2. Определение системных функций
по матрицам проводимостей цепей
ª sC1
« sC
1
«
« 0
«
« 0
«¬ 0
0º
0»
»
0» .
»
1»
0»¼
Окончательная матрица пятого порядка по МУН примет следующий
и
, а выходными
67
и
. Если пассивная часть цепи соответствует матрице проводимостей
[Y(s)]n n-порядка, то возможные m-зависимые источники приведут
к результирующей [Y(s)] порядка, большего чем (n + m), поскольку,
например, каждый ИНУТ вносит по две дополнительных строки
и столбца. Выполнив исключение всех внутренних узлов цепи, кроме i,
j, k, p, т. е. произведя редукцию матрицы [Y(s)] на основании следствия
теоремы Якоби [s] получим следующую матрицу двухпорта:
Считаем входными узлы с номерами
Рис. 5.6
Пусть в общем случае необходимо найти входные и передаточные
функции четырехполюсной цепи с описанием [Y(s)], имеющей нагрузку Yн(s)
и внутреннее сопротивление (проводимость) источника Zi(s) (рис. 5.6).
вид:
где
0
0
1
0
@
G1G2P ;
H U s P G2G2
68
s C1C2 s>C1G2 1 P C2 G1G2 @ G1G2
2
Таким образом,
.
s 2C1C2 s>C1C2 1 μ C2 G1 G2 @ G1G2 .
>
sC2 G2
P
G2
0
0
0
1
'11
'12
0
G2
Δ12
,
Δ11
sC1
G1 G2 sC1 U 2 s U1 s 0
3 G1
H U s На основании >Y s @0 в (5.5) можно вычислить любую из системных
функций, пользуясь табл. 5.4.
Проиллюстрируем соотношения, представленные в табл. 5.4, на ряде
примеров, рассмотренных выше.
Пример 5.3. Определить функцию передачи по напряжению и входное сопротивление цепи с матрицей, найденной в примере 5.1 (рис. 5.4):
i = 1, k = 2, j = p = 0. Из п. 1 табл. 5.4 получим:
где в знаменателе (5.5) находится определитель редуцированной матрицы,
а в числителе – ее алгебраическое дополнение, причем, например
'i j k p обозначает, что i-строка прибавляется к j-строке, а k-столбец
к p-столбцу и затем j-строка и p-столбец вычеркиваются.
Знак алгебраического дополнения определяется доумножением
результата на 1i p .
y s y12 s º
>Y s @ 0 ª« 11
»
¬ y21 s y22 s ¼
ª Δk p k p Δk p i j º
1
,
Δi j i j k p k p «¬ Δi j k p Δi j i j »¼ (5.5)
где
3
2
y12 s y 21 s y11 s y 22 s Входное
сопротивление
(импеданс)
U1s ;
Z вх s I1s Коэффициент
передачи по току
I s H I s 2
I1s '
'
,
Таблица 5.4
y11 s y12 s H U s ;
69
Z вх s | Yн s 0
Z вх s | Yн s o f
'
' i j i j ' k p k p ' i j i j ,k p k p ' Yн s ' k p k p ;
' i j i j Yн s ' i j i j ,k p k p 1
' k p k p ' i j k p k p k p c
y 22 s Yн s ' y11 s Yн s Z вх s H I s | Yн o f
' Yн s '
;
y21 HU S ˜ y22 s y11 s HU S ˜ y12 s ' i j i j ' i j k p Yн s 'i j k p H I s H U s | Yн s ' i j i j Yн ' i j i j ,k p k p ' i j k p ;
Выражение через определитель
и алгебраические дополнения
y21 s H U s y22 s Yн s s 2G1C1C2 sG1G2 >C1 1 P C2 @.
№ Системная функция
п/п
1 Коэффициент
передачи по
напряжению
U 2 s H U s U1 s '
Z вх s '11
Для входного сопротивления найдем при Yн(s) = 0 (п. 3 табл. 5.4)
I1 s U1 s 2i s Проводимость
передачи
I s Yпер s 2 ;
U1 s 0
'
' i j k p Yн s y21 s Yн s y22 s Yн s 0
;
Yпер s | Yн s of
' i j i j ,k p k p ' i j k p ' i j i j Yн s ' i j i j ,k p k p Yпер s ' i j i j ' i j k p ' Yн s ' k p k p Z пер s | Yн s ;
' i j i j ,k p k p '
' k p k p y21s ' Yн s y11 s ' i j k p Z пер s Z вых s | Yi s of
Z вых s | Yi s ;
' ˜ ' i j i j ,k p k p .
(5.6)
70
В (5.6) содержится детерминант ' исходной матрицы >Y S @ цепи с ЗИ.
Некоторые свойства алгебраических дополнений при манипуляции индексами i, j, k, p
подробнее освещены, например, в [5], куда и адресуем заинтересованного читателя.
' k p k p ' k p i j ' i j k p ' i j i j Примечания. 1. При выводе формул учтено следствие из теоремы Якоби,
представляющее собой следующее соотношение, связанное с (5.5):
6
5
1
U1 s ;
2is Zi s Передаточное
сопротивление
(сопротивление
передачи)
U 2 s Z пер s I1 s Yi s I1 s № Системная функция
Выражение через определитель
п/п
и алгебраические дополнения
4 Выходное
y11 s yi s Z вых s сопротивление
' yi s y22 s (импеданс)
' k p k p yi s ' i j i j ,k p k p U 2 s ;
;
Z вых s ' yi s ' i j i j I 2 s Окончание табл. 5.4
0
1 sC1 G2
5
1
0
1
0
0
sC3 G1
H U s 3
sC3 G1
1
0
1
G2
`
s 2C3 C1 C2 sC1 C2 C3 G1G2
s 2C1C3
.
C1 C2 sG1 C1 C2 C3 G1G2 ,
sC3
0
sC3
s 2 C1C3 ;
71
Рассмотренный выше подход при своей привлекательности и легкой формализуемости все же имеет серьезный недостаток – значительное увеличение размерности описания цепи при нескольких ЗИ, да
и размерность матриц переменных также возрастает. Исследуем новый
5.3. Алгоритмы расчета при сокращении размерности матриц,
описывающих пассивную часть цепи
отсюда
2
^s C
'11
>sC1C2C3 G2 @
при раскрытии по элементам последнего столбца
'14
sC3
'14
,
'11
где (дополнительно раскрывая по элементам первого столбца дополнения)
H U s Пример 5.4. Определить передачу по напряжению для цепи примера
5.2, показанной на рис. 5.5.
Согласно данным табл. 5/4 при i = 1, k = 4, j = p = 0 получим
2. При нахождении алгебраических дополнений Y12(S) и Y21i (S) с суммарными
индексами знак определяется после умножения на (–1) в степени, равной сумме
первых индексов в скобках.
3. Если с каждой парой зажимов четырехполюсника связать по одному
контуру, то, используя контурные сопротивления, можно по аналогии получить
таблицу, подобную табл. 5/4, но оперирующую с Z-параметрами цепи.
73
72
>Y1 j s PY1k s , Y2 j s Y2k s ,..., Ykj s PYkk s , ...
t
... , Y jj s PY jk s ,..., Ynj s PYnk s @ ,
т. е. от элементов j-столбца вычитаются проводимости k-столбца,
умноженные на коэффициент P.
Из представленных рассуждений следует, что для ИНУН с одним
входом число столбцов общей матрицы сокращается на единицу
(исключен k-столбец). Количество строк также может быть сокращено
на 1 – при произвольности выходного тока ИНУН и для разрешимости
полученной системы уравнений – k-строка вычеркивается.
Особенно простое правило получения матрицы проводимостей с
ИНУН вытекает из распространенного на практике трехполюсного
ИНУН при i = p = 0. В этом случае выполняется лишь п. б) алгоритма.
о
Поскольку I k s gU ij s gU i s gU j s , а I p s I k s , то
несложно установить, что в пассивную матрицу проводимостей на
пересечении i, j-столбов и k, p-строк вносятся добавки от коэффициента
пропорциональности g согласно
Рис. 5.7
Обратимся теперь к ситуации с наличием ЗИ типа ИТУН (рис. 5.7).
При этом размерность общей матрицы остается прежней. Два оставшихся типа ЗИ – ИТУТ и ИНУТ приведут при выражении управляющих токов через узловые потенциалы к ИТУН и ИНУН. Впрочем, возможны и иные пути: добавление ±1 в управляющую или управляемую
ветви с последующим преобразованием источников энергии, моделирование ЗИ с помощью генераторов и др.
При наличии в цепи ряда независимых и зависимых источников
напряжения, ни один из зажимов у которых не является общим (в противном случае узловой потенциал другого зажима заранее известен, и
существует необходимость в составлении строки матрицы, отвечающей
данному источнику), составляется дополнительное уравнение, связывающее величину источника напряжения с узловыми потенциалами цепи
и временно вводится дополнительная переменная – ток через рассматриваемый источник напряжения. Однако данные операции проделыва-
т. е. к i-столбцу добавляются проводимости k-столбца, умноженные на
P, и, наконец,
в) для j-столбца получим
>Y1i s PY1k s , Y2i s Y2k s ,... ,Yki s μYkk s , ...
t
... , Yii s PYik s ,... , Yni s μYnn s @ ,
при его транспозиции. Очевидно, что следует просуммировать
проводимости k- и р-столбцов;
б) для i-столбца получим:
>Y1 p s Y1k s , Y2 p s Y2k s , ..., Ykp s Ykk s , ...
t
..., Y pp s Y pk s , ..., Ynp s Ynk s @
Отсюда несложно сделать следующие заключения:
а) после перегруппировки членов р-столбец примет вид
U k s U p s P U i s P U j s .
алгоритм анализа, который в противовес сказанному снижает размерность матриц пассивной части цепи с одновременным увеличением их
значения.
Для первого шага положим, как и ранее, что ИНУН подключен к
зажимам с номерами i, j, k и p. Тогда с учетом (5.1) получим
2
3
1
2
3
74
0 º2
G G G g
>G @ D ª« 1 1 3
.
G2 G4 »¼ 3
g
¬ G2
Произведения элементов первого столбца в [G]a на U1 являются
известными и могут быть перенесены в правую часть уравнений по МУН.
Так что окончательная система уравнений выглядит следующим образом:
>G @ n
0 º2
ª G1 G2 G3 .
« G
G2 G4 »¼ 3
0
¬ 2
При подключении ИТУН добавка вносится на пересечениях двух
столбцов со второй и третьей строками, т. е.
1
В данной цепи потенциал первого узла известен: U1 = U10. Для
пассивной части, содержащей узлы 2 и 3, найдем (i = 1, j = 0, k = 3, p = 2)
Рис. 5.8
ются мысленно, а в результате суммируются строки с номерами, отвечающими номерам зажимов источника.
Обратимся к примерам по анализу активных цепей с ЗИ, следуя
предлагаемой методике расчетов.
Пример 5.5.Составить систему уравнений по МУН для цепи,
показанной на рис. 5.8, где присутствует ИТУН.
3¼
ªG1 g U10 º
c
«¬G2 – g U10 »¼ ; >G @ a
ªG1 G3 g
«¬ g
0 º
.
G2 g 4 »¼
G2
0
0
0
0
0
3
G1 G0
2
G0
0 º1
0 »2
» .
0 »3
»
G3 ¼ 4
4
D1 G1U 2
g1U 2 ; g1
D1 G1 ; D 2 I 2
D 2 G2U 3
g 2U 3 ; g 2
D 2 G2 .
75
Скорректированная матрица при подключении двух ИТУН составит
(i = 2, j = 0, k = 2, p = 3 для первого ИТУН и i = 3, j = 0, k = 3, p = 4 для
второго):
D1 I1
Управляющий ток для первого ИТУТ равен I1 = G1U2; для второго
ИТУТ – I2 = G2U3, при этом каждый ИТУТ превратится в ИТУН:
>G @ n
ª G0
« G
« 0
« 0
«
¬ 0
1
Матрица пассивной части цепи при размыкании источников
составит
Рис. 5.9
Заметим, что в данном случае ИТУН может вначале приниматься
за независимый источник, а затем выполняется перегруппировка членов
с учетом его «зависимости».
Пример 5.6. Определить передачу по напряжению для цепи,
представленной на рис. 5.9 и содержащей 2 ИТУТ.
¬
2º
>G @c a ˜ ª«U
U »
D1G1
0
G0
G0 G1 1 D1 G2 1 D 2 D 2 G2
0
0
0º
0»
».
0»
»
G3 ¼
>G @ n
ªG1 G2
« G
1
«
«¬ G2
1
76
0
G1
G1 G3
2
G2 º 1
0 »2 .
»
G2 G4 »¼ 3
3
Считаем, как и в примере 5.5, потенциал U1 = U10; матрица пассивной
части цепи без ИНУН составит:
Рис. 5.10
U 3 '14
D1D 2 G1G2G0
.
U1 '11 G2G3 1 D 2 >G0 G1 1 D1 @
Пример 5.7. Составить матрицу проводимостей для схемы,
показанной на рис. 5.10, и определить передачу по напряжению.
Отсюда
>G @ a
ª G0
« G
« 0
« 0
«
¬ 0
1 P U 2 PU1 ,
т. е. третий столбец умножается на 1 P и складывается со вторым, а к
U3
PU G1 U 2
PU1 U 2 U 2
1 P U 2 PU1,
U3
необходимо найти
U1
G1 G2 PG2 G4 .
G1 G3 1 P G2 G4 G4
2
G1
G3 G4
3
G2 º 1
G4 » 2 .
»
G2 G4 ¼» 3
U3
U10
P U1
U10
77
P G4
.
G1 G3 1 P G2 G4 U1
G4
,
U 10 G1 G3 1 P G 2 G4 а искомое соотношение составит
Учтем также, что U2 = U1 – U10; PU1 = U3, так что в [G]n надо
просуммировать первую и вторую строки, вычеркнуть третью строку,
сложить первый и второй столбцы, причем часть второго, содержащая
известную величину U10, переносится в правую часть системы по МУН.
После выполнения указанных операций получим одну строку, из которой
следует, что
>G @ n
ªG1 G2
« 0
«
¬« G2
1
U3
G1 G2 PG3 G2 U
.
P 1 P 2
U1
U1 G1 G3 1 P G2 G4 Пример 5.8. Определить передачу по напряжению для цепи примера
5.7, если узлы 2 и Q взаимно поменяли нумерацию.
В этом случае матрица пассивной части цепи равна:
т. е.
'12
'11
Однако для определения
U2
U1
первому столбцу прибавляется третий, умноженный на P, а вторая и
третья строки суммируются, так что
U3
U 2 P U 1 U 2 Здесь i = 1, j = p = 2, k = 3. В данном случае
0
G2 G3
G1 G4
0
G4
0
0
G2
0
0
0
0
0
G2
G1
0
0
G2
G 4 G5
G5
G4
0
0
0
º
»
»
0
»
».
0
»
G5 »
»
G5 G6 ¼
0
0
78
Ограничения, вносимые ИНУН, сводятся к следующим: пятый столбец умножается на µ и суммируется с третьим; пятый столбец, после
умножения на 1 P складывается с четвертым и вычеркивается пятая
строка, как это условно показано стрелками:
>G @ n
ª G1
« 0
«
« G1
«
« 0
« 0
«
¬ 0
Матрица пассивной части цепи составляет
Рис. 5.11
Пример 5.9. Определить функцию передачи по напряжению для
цепи, показанной на рис. 5.11, где включен ИНУН с двумя входами.
где
1
2
PG4
G2 G3
PG5
G1 1 P G4
0
PG5
G2
0
4 ,5
0
3,5
G1
º
0 »
»
0 ».
»
0 »
G5 G6 »¼
6
0
ªG1 G2
« G
1
«
« G2
«
¬ 0
0
P G5
G1 1 P G4
G1
G2
G1 1 P G4
G 2 G3
PG5
0
PG5
º
»
»
0 »
»
G5 G6 ¼
0
0
G2 º
P G4 »
»
G2 G3 »
»
P G5 ¼
G1
0
G1 G2 G5 PG3 G4 ;
G2
0
0
G2
79
G5 G6 >G1G2 G3 G4 G3G4 1 P G1 G2 @.
' 1 2 1 2 ' 1 2 6
ª G1
« G
« 1
« 0
«
¬ 0
Согласно табл. 5.4 найдем при i = 1, j = 2, k = 6, p = 0
' 1 2 6
U 6 'i j k p HU
,
U12 'i j i j ' 1 2 1 2 0
ª G1
« 0
G2
«
« G1
0
«
G2
« 0
«¬ 0
0
HU
G5
,
G5 G6
80
Выходное напряжение u7(t) снимается с седьмого узла, являющегося выходом третьего усилителя напряжения. Поскольку, согласно рассмотренной методике, седьмые строка и столбец будут отсутствовать в
матрице проводимостей активной цепи, то можно ввести последовательно
с выходом дополнительную проводимость с новым выходным узлом 8,
которую в окончательном выражении для функции передачи можно положить равной 0.
Поэтому на рис. 5.12 G0 обозначена штрихами. В силу пояснений
в предыдущем примере на матрице пассивной части цепи укажем стрелками соответствующие трансформации столбцов и строк при введении
ИНУН в цепь.
Рис. 5.12
G1G2G5 G3 G4 .
G3G4 G1 G2 G5 G6 Пример 5.10. Определить передачу по напряжению для цепи,
показанной на рис. 5.12, при R1 = R2 = R3 = 1, C2 = 2C1 = 1 Ф, С3 = 2 Ф,
содержащей 3 ИНУН с различными коэффициентами.
а при P o f
HU
G1G2G5 G3 G4 P
.
G5 G6 >G1G2 G3 G4 1 P G3G4 G1 G2 @
В частности, при P = 1
HU
В итоге получим
81
>G1 sC1 >G2 sC2 P 2P3 sC2G3 @ P1P 2 sC1G2 G3 sC3 @.
P1P 2P3 G1G2G3G0 ;
'18
;
'11
1
.
82
Рис. 5.13
s3 2 s 2 2 s 1
Следует заметить, что (обратите внимание на п. 3 примечания к
табл. 5.3) любую сложную цепь можно представить с помощью неопределенной матрицы проводимостей, в которой сумма элементов строк и
столбцов равна нулю и является суммой таких матриц отдельных частей
цепи, причем при необходимости добавляется нужное число изолированных узлов. Данный метод близок по духу и диакоптическим методам
(методам расчленения цепи на части), один из которых кратко будет освещен ниже. Проиллюстрируем сказанное.
Пример 5.11. Определить входное сопротивление цепи Zвх(s) с обобщенным конвертером отрицательного сопротивления (КОИ), имеющего
описание через свою матрицу проводимостей (рис. 5.13).
H U s При заданных значениях параметров получим (G – сокращается)
'11
'18
H U s Порядок сократится на 3 единицы, при этом тенденция очевидна –
с ростом числа ИНУН порядок будет значительно снижаться. Искомая
передача по напряжению при i = 1, j = 0, k = 8, p = 0 составит
º
1»
».
1»
»¼
0 0º
0 0»
»;
0 0»
»
0 0¼
0 º
0 0
0 »
»;
0 0
0 »
»
0 0 Y1 s ¼
ª0
«0
«
«0
«
¬0
>YIV s @
>YIV s @
83
0 0
0 0 0º
0 0 0»
»;
0 1 1»
»
0 1 1 ¼
ª0
«0
«
«0
«
¬0
0º
1 0»»
»;
1 0»
»
0 0»¼
0
0 0º
0 0»
»;
0 0»
»
0 0¼
0
ª0
« 0 y3
«
y4
«
« 0 y3
y4
«
«¬ 0
0
0
ª0
« 0 Y s 2
«
«0
0
«
0
¬0
>YIII s @ >Y s @ k
>YII s @
>YI s @
ª Y1 s Y1 s « Y s Y s 1
« 1
« 0
0
«
0
¬ 0
Примем за общий пятый узел и в итоговой неопределенной матрице проводимостей вычеркнем пятую строку и пятый столбец. Итак, выпишем отдельные матрицы проводимостей всех ветвей цепи.
>Y s @ k
ª y3
« y
« 4
« y3
«¬ y4
Отдельным анализом установлено, что
0 0 Y2 s º
0 0
0 »
».
0 0
0 »
»
0 0 Y2 s ¼
'11
'
Y2 s y3
Y1 s Y2 s y4
y3 y 4
,
y3Y1 s y 4Y2 s 84
где '11 – алгебраическое дополнение матрицы проводимостей; ' –
определитель системы.
Для простых цепей подробное выписывание отдельных матриц
можно исключить и формировать [Y(s)]a непосредственно по конфигурации цепи, как это можно выполнить и в этом примере.
И в заключение этого параграфа рассмотрим пример анализа цепи,
состоящей из ряда многополюсных подсхем.
Пример 5.12. Составить матрицу проводимостей цепи, представленной на рис. 5.14, содержащей ИНУН и четыре отдельных многополюсных схемы со своими известными описаниями через y-параметры.
Укажем стрелками трансформации столбцов и строк матрицы
проводимостей без учета подключения ИНУН. При составлении
исходной матрицы будем придерживаться принципов заполнения строк
и столбцов в соответствии с указаниями примера 5.11, тогда
Z вх s y3
1
y4
0
º
»
§
y3 ·
¨¨ Y1 s Y2 s ¸¸ 1
0
»
y4 ¹
».
©
»
y3
1
0
»
y4
»
1 1 Y1 s Y2 s »¼
0
Y1 s Искомое входное сопротивление составит:
>Y s @ a
ªY1 s Y2 s «
« Y1 s «
«
0
«
«
«¬ Y2 s Суммируя представленные матрицы, получим
>YIV s @
ªY2 s « 0
«
« 0
«
¬Y2 s 85
86
Рис. 5.14
87
Рис. 5.15
Часто удобно рассматривать ИНУН не с одним или двумя входами,
а с произвольным их количеством, причем каждый из входов обеспечивает передачу сигналов с соответствующим коэффициентом усиления
и полярностью (рис. 5.15).
5.4. Анализ цепей, содержащих ИНУН с несколькими входами
Поскольку каждая многополюсная подсхема может содержать произвольное число внутренних узлов, то данная разновидность методов
анализа с предварительным выделением таких подсхем и определением
их матриц проводимостей может существенно упростить вычисления.
Тем более что часть многополюсников может иметь заранее известные
табличные представления – существенная часть всех процедур САПР
и других способов анализа и проектирования.
–
Рис. 5.16
–1
+1
88
Примем для простоты, что G1 = 1, i = 1,8, а коэффициенты ИНУН
указаны на рис. 5.16.
Представим лишь так называемую усеченную матрицу пассивной
части цепи без строк с номерами 7…12, которые должны быть удалены
после подключения ИНУН. Над столбцами укажем необходимые стрелки с весовыми коэффициентами.
2+
1+
1–
1–
+2
+1
–1
–1
1–
1+
+1
1+
Из рис. 5.15 следует, что U 0 μ1U1 μ2U 2 μ3U 3 ... Отсюда
ясно, что в матрице проводимостей производится суммирование
элементов столбца с U0, умноженных на коэффициенты P1, –P2, P3, …
соответственно со столбцами, содержащими потенциалы U1, U2, U3, …,
причем вычеркивается строка, отвечающая узлу CU0. В случае отсутствия
общего зажима для входов и выхода многополюсного ИНУН надо
составить уравнение для напряжения выходного порта, выраженное через
наложение напряжений соответствующих портов входов, а затем сделать
заключение о суммировании столбцов и строк исходной матрицы, как
это имело место в рассмотренных выше примерах. На практике рис. 5.15
отвечает системе из сумматоров и ОУ.
Пример 5.13. Определить матрицу проводимостей цепи, показанной
на рис. 5.16 и содержащей два нелинейных резистивных двухполюсника,
управляемых напряжениями G9 и G10.
89
90
2
I2
I 2U 2 ;
I1 U1 I 2 U 2 ˜U 2
U2
G10U1
G9 ˜ U 2
I 2 U 2 I 2 Z н I 2 I 2 Z н I1 U1 .
U1
I1
1
;
a1a 2 Z н
a1a2 Z нU12 или Yвх
I1
U1
1
˜ U1 a1a2 Z н
91
I1 U 2 a11 l a12U 2 1 , I 2 U1 a2U1 , Z н Rн , I1 a11 l a12 a 2 RнU1 1 трансформированная характеристика диада, коллекторного перехода
и т. д.;
проводимость, управляемая U1;
в) при
I1 U 2 a1U 2 , I 2 U1 a2U12 , I1
б) при
гиратор при Z вх
Например, для ряда частных видов ВАХ нелинейных двухполюсников получим:
а) при
I1 U 2 a1U 2 , I 2 U 1 a 2U 1 , I1 a1a 2 Z нU 1 – обычный линейный
I1
(напряжение на нелинейной проводимости G 9 , как следует из
приведенной числовой матрицы, совпадает с U2, а на нелинейном
элементе G10 – c U1) следующее выражение для входного тока гиратора
I1
G9 º 1
>G @ 0
.
0 »¼ 2
Любопытно отметить, что получилась матрица проводимостей нелинейного гиратора, позволяющего выполнять ряд важных преобразований нагрузочных иммитансов.
Так, например, принимая сопротивление (импеданс) нагрузки равным Zн, получим с учетом
ª 0
« G
¬ 10
1
Исключим все узлы, кроме первого и второго, тогда получим
четырехполюсник с матрицей
92
Рис. 5.17
Поскольку нуллор можно считать математической моделью ОУ
с бесконечным усилением, то, по существу, остается одна проблема –
анализ цепей с ОУ, обладающими бесконечными входными сопротивлениями и нулевыми выходными, а также P i o f . Один из возможных
подходов – методика, освещенная ранее и предлагающая расширение
размерности иммитансных матриц на основании данных табл. 3.
Следует обратить внимание на одно из обстоятельств при использовании методики сокращения размерности описания цепи. Суть проблемы заключается в том, что при суммировании строк и столбцов матриц с ОУ (нуллорами) необходимо проявлять осторожность в вопросах
учета различия инвертирующего и неинвертирующего входов во избежание получения ложных знаков в ответах, нарушения условий стабильности и устойчивости и т. д. Одним из способов исключения возможных
ошибок в знаках является следующий: вначале принимается конечная
величина коэффициента усиления PiUi, а затем в ответе полагают Pi o f .
Пример 5.14. Определить передачу по напряжению мостовой цепи
с ОУ, часто используемой в измерительных устройствах, показанной на
рис. 5.17, где D и E – некоторые вещественные коэффициенты.
Анализ цепей с нуллорами и ОУ при «бесконечных» значениях
коэффициентов усиления
г) при
I1 a1U 2n , I 2 U 1 a 2U 1m , Z н Rн , I1 a1 Rн a 2 n U 1n m – повышение степени нелинейности входной проводимости; и многое другое.
2
DR 1 E
1 D E P
; '14
U3
DR 1 E 2
1 D P
'13
U1 ; U 4
'11
; '11
1 D P 1 D E ;
D 2 R 2 1 E '14
U1 ;
'11
PU 4 U 3 93
Принимая P o f , найдем HU
положением строк и столбцов в >G @ D .
U2
U2
U1
DE
.
1 D E
DEPU1
.
1 D P 1 D E
Знаки алгебраических дополнений определяются реальным
'13
Ясно, что
Используем методику сокращения описания цепи для матрицы
пассивной части цепи
P1G2 G1
0
G1 G3
PG G1 G3 ;
0
º1
PG3 G1 » 2 .
»
G1 G2 ¼» 5
4 ,5
U4
94
'14
U1 ;
'11
'11 G1 G3 ˜ G1 G2 PG2 G1 ˜ PG3 G1 .
Таким образом
'14
По данной матрице рассчитаем
>G @ D
2 ,3
1,3
ª 0
« 0
«
¬« PG2
После составления матрицы проводимостей пассивной части цепи,
удаления третьей и пятой строк, суммирования первого и второго столбцов с третьим, умноженным на ± P1, а также суммирования пятого столбца, умноженного на (–P) с четвертым, получим окончательный вид матрицы цепи:
Рис. 5.18
представленной на рис. 5.18 и содержащей 2 ОУ с P1,2 o f .
Из выражения для НU видно, что при малых разбалансах плеч моста
(E << 1) выходное напряжение пропорционально E.
Пример 5.15. Определить выходное напряжение цепи,
PU 4
P1P 2 G2 G1 G3 .
G1 G3 (G1 G2 ) – P1G2 G1 P 2 G3 G1 >Y s @ p
95
diag ^Y1 s , Y2 s , Y3 s , Y4 s `.
При отсутствии нуллоров имеем (пассивная цепь):
Рис. 5.19
§ G ·
При P1 и P 2 o f получим U 5 o ¨¨1 1 ¸¸ U1.
© G3 ¹
Еще раз подчеркнем, что изменение полярностей входов ОУ1 и ОУ2
привело бы к неверному результату.
В заключение рассмотрим пример анализа цепи с нуллорами.
Нуллор, как правило, является совокупностью нуллатора и норатора.
Падение напряжения между зажимами нуллатора равно нулю, что
вызывает суммирование столбцов по МУН. А в силу произвольности
величин токов, проходящих через норатор, строки, к которым подключен
норатор, можно объединить. Таким образом, размерность матрицы после
подключения одного нуллора снижается на 1. Для невырожденных
случаев число нуллаторов обязательно соответствует числу нораторов, а
порядок матрицы снижается на величину, определяемую количеством
подключенных нуллоров.
Пример 5.16. Определить узловую матрицу цепи, показанной на
рис. 5.19.
U5
Рис. 5.21
97
96
Рис. 5.20
где знак тильды над матрицами проводимостей означает, что эти матрицы известны заранее или могут быть получены для каждой из подцепей;
а векторы токов с тильдой относятся к токам удаленных ветвей. В исключенных ветвях, в свою очередь, будут протекать прежние токи при
условии, если к ним подключены некоторые гипотетические дополнительные источники напряжений U~1 s , U~2 s и U~3 s (рис. 5.21).
Нельзя не отметить важный принцип расчета сложных цепей, включающий в себя ряд направлений, называемый диакоптикой, предложенный американским ученым Габриэлем Кроном. Термин «диакоптика» в
переводе с греческого означает разделение, расчленение сложного на
части. В данном методе анализа цепей обязательно присутствует последующее объединение расчлененных частей общей цепи. Другими словами, сложная цепь (система) разбивается на произвольное количество
частей, описание которых относительно просто и может быть табулировано, и с учетом связей вычлененных частей или отдельных ветвей цепи
с оставшейся системой формируется окончательный результат.
Хотя данная теория, разработанная Г. Кроном в 30–50-х гг. данного
столетия [6], опирается в основном на аппарат тензорного исчисления,
довольно большой круг электро- и радиотехнических цепей может быть
подвергнут анализу на основе обычного матричного аппарата, и, в частности, на описании через иммитанные и гибридные параметры.
Рассмотрим цепь, показанную на рис. 5.20, где выделен ряд ветвей:
Z1(s), Z2(s) и Z3(s) с указанными токами I1(s), I2(s) и I3(s), которые будут в
дальнейшем удалены.
На рис. 5.20 выделен ряд независимых источников тока: Ia(s), Ic(s),
Ie(s), напряжения Ub(s), Ud(s). Данную цепь можно расчленить на три
части при удалении ветвей Z1(s), Z2(s) и Z3(s). Будем считать, что
оставшиеся части I, II и III имеют свои узловые описания (в матричной
форме):
~
~
YI s U I s I I s I I s ;
~
~
YII s U II s I II s I II s ;
(5.7)
~
~
YIII s U III s I III s I III s ,
5.5. Метод анализа сложных цепей
путем их расчленения на отдельные части
>Y s @ a
ªY1 s Y2 s º
«Y s Y s » ,
¬ 3
¼
4
что позволяет, например, установить один из возможных путей синтеза
заданной матрицы [Y(s)]a согласно рис. 5.19.
После суммирования 1-го и 3-го, 2-го и 4-го столбцов, а также 1-й и
2-й, 3-й и 4-й строк получим:
~
ªU 1 s º
«~
»
«U 2 s » Ÿ >Z s @ ˜ >I s @
«U~ s »
¬ 3 ¼
>U~s @ .
(5.8)
ª
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«¬
ª0 0 0 1 1 0 0 0 0º
«0 0 0 0 0 1 1 0 0» ,
«
»
«¬0 0 0 0 0 0 0 1 1»¼
98
где введена матрица связи А и краткая форма записи.
> А@
0
0º
0
0
0»
»
0
0
0»
»
0 » ª I 1 s º
1 0
0 » ˜ «« I 2 s »»
1 0
»
0 1
0 » «¬ I 3 s »¼
0 1 0 »
»
0
0 1»
0
0 1»¼
0
> @ >A@ ˜ >I s @
или в более лаконичном виде
~
I s ~
ª I aca s º
«~
»
« I ccc s »
« I~ s »
« ece »
« I~23 s »
«~
»
« I 32 s »
«~
»
« I 45 s »
« I~ s »
« ~54 »
« I 76 s »
«~
»
«¬ I 67 s »¼
(5.9)
Напряжения узловых пар цепи (см. рис. 5.20) должны сохраняться
неизменными после удаления ветвей, а токи узлов связаны с токами исключаемых ветвей через некоторую матрицу связи А.
0
0 º ª I 1 s º
ª Z 1 s « 0
Z 2 s 0 » ˜ « I 2 s »
»
«
» «
0
Z 3 s ¼» ¬« I 3 s ¼»
¬« 0
Другими словами, после удаления ветвей оставшаяся часть образует некий многополюсный эквивалентный генератор для каждого из возникших «портов». Цепи рис. 5.21 называются по терминологии Крона
примитивными и могут быть описаны матричным (в общем случае –
блочно-диагональные матрицы) способом:
ª0 0 0 1 1 0 0 0 0 º
«0 0 0 0 0 1 1 0 0 » u
«
»
«¬0 0 0 0 0 0 0 1 1»¼
(5.10)
@
@
>I 0 s @ >~I s @ .
(5.12)
@
@
>U s @
99
>Y~s @1˜>I 0 s @ >Y~s @1˜>A@˜>I s @ ;
После исключения токов >I s @ из (5.13) и (5.14) найдем
>Y~s @˜ >U s @ >I 0 s @ >A@ ˜>I s @.
>
>
(5.14)
В соотношении (5.12) источники напряжения U b s и U d s могут
быть предварительно преобразованы в источники токов, либо внесут
необходимые коррекции в >I 0 s @ , как это было разобрано ранее в примерах анализа. Желательно только так проводить расчленение, чтобы обеспечить неособенность матрицы ~
I s , либо провести дополнительные
приемы – например, дополнить ветвь взаимокомпенсирующими элементами и т. д.
Из (5.8)–(5.12) получим
(5.13)
>Z s @˜ >I s @ U~ s > A@ t ˜ >U s @ ;
>
или в более компактной форме:
~
Y s ˜ >U s @
>
Соотношение (5.10) может быть записано в краткой форме:
~
(5.11)
U s > A@ t ˜ >U s @.
Оставшиеся после удаления ветвей части удовлетворяют равенству
на основании (5.7)
~
~
ªYI s 0
0 º ªU I s º ª I I s º ª I I s º
«~
»
»
«
~
0 » ˜ «U II s » « I II s » « I II s »
YII s « 0
«
» «
»
~
»
« 0
0
YIII s »¼ «¬U III s »¼ «¬ I III s »¼ « ~
¬
¬ I III s ¼
u [U aca s , U ccc s , U ece s , U 2 s , U 3 s , U 4 s , U 5 s , U 7 s , U 61 s ] t .
ªU 1 s º
«U s »
« 2 »
«¬U 3 s »¼
Далее введем узловые потенциалы на зажимах исключаемых ветвей.
Тогда
>
@
>
@
~ 1
~ 1
> A@ t ˜ Y s ˜ >I 0 s @ > A@ t ˜ Y s ˜ > A@˜ >I s @ .
(5.15)
@
@
>
>
>
@
@
>
@
>
@
>
@
~ 1
~ 1
Z s ˜ > A@ t ˜ Y s ˜ >I 0 s @ .
>
>Z s @ 0 ˜ >I 0 s @ .
@ 1 >Y~s @ 1˜ >A@˜ >Z~s @ 1˜ >A@ t ˜ >Y~s @ 1 ·¸¹ ˜>I 0 s @
§¨ Y~ s ©
(5.18)
(5.17)
причем R1
R2
>
100
@
1Ф , P 1 .
Рис. 5.22
2 Ф , С2
@ 1 : , C1
>
>
@ В (5.18) выражение круглых скобок характеризует некоторую
матрицу сопротивлений, связывающую источники токов, с узловыми
потенциалами. Поясним сказанное примером.
Пример 5.17. Для цепи, показанной на рис. 5.22 и рассмотренной
ранее, определить матрицу сопротивлений согласно (5.18), т. е.
>Z s @ 0 Y~ s 1˜ >1@ >A@ ˜ Z~s 1˜ >A@ t ˜ Y~s 1 ,
>U s @
Из (5.15) искомый вектор узловых потенциалов составит
>I s @
тогда на основании (5.16) и введенного обозначения получим
§¨ >Z s @ > A@ t ˜ Y~ s 1 ˜ > A@·¸ ˜ >I s @ > A@ t ˜ Y~ s 1 ˜ >I s @ . (5.16)
0
©
¹
Обозначим для краткости через Z~ s выражение для сомножителя
левой части (5.16), стоящего перед вектором токов,
~
~ 1
Z s >Z s @ > A@ t ˜ Y s ˜ > A@ ,
>
Из (5.15), объединяя сомножители при матрицах >I s @, получим
>Z s @˜ >I s @
Рис. 5.23
>Y~II s@
0º
G0 »¼
101
4
3
ª s
« G
¬ 0
1
1;
R1
ª sC 2
« PG
¬
0
>Y~I s @
0º
;
G0 »¼
На рис. 5.23, а штрихами указаны I и II отдельные части цепи.
Ясно, что
б)
а)
Здесь сопротивление R0, внесенное дополнительно, примем равным
нулю.
Расчленим цепь на две части с удалением ветвей, содержащих С1
и R2, причем к последним подключим гипотетические генераторы U~1 s и U~2 s , как показано на рис. 5.23, а и б:
0º
0»
»
G0 »¼
1
1
;
R0
ª
«1 0
« 1
«0
s
«
1
«0
«¬
s
Отсюда
ª1
«2 s
«0
¬
º
ª1
« 2 s 0» .
« 0 1»
¼
¬
102
1
1
ª
«1 2 s G
0
«
«
1
¬«
º
0»
»
0».
»
R0 »
»¼
º
0 »» ª 1 1º
0 »˜« 0 1 »
»
» «
1 » «¬ 1 0 »¼
G0 »¼
s 1 º
s ».
»
1
2 »
s ¼»
ª
«1 0
º ª 1 0 1º « 1
0»
«
» ˜ «0 s
1
1
0
»
¼ «
¬
1¼
« 1
«0 s
¬
>Z~s @ >Z s @ >A@ t ˜ >Y~s @ 1 ˜ >A@
>Z s @
> А@
ª 1 1º
« 0 1 »;
«
»
«¬ 1
0 »¼
Согласно (5.9) и рис. 5.23, б получим
~
ª I 2 s º ª 1 1º
«~ » «
» ª I C1 s º ;
»
« I 3 s » « 0 1 » ˜ «
I R2 s ¼»
«
¬
« I~ s » « 1
0 »¼
¬ 4 ¼ ¬
>Y s @1
0
ª1
«0
s
«
«¬0 G0
G0
0,5
s s 0,5
2
˜ I вх s ; >I 0 s @
U 4 s U вх s 1
0,5
,
s s 0,5
2
@
103
Z pp s Z qq s Z qp s Z pq s ,
>Z~s @ представляется скалярной величиной, определяемой «коррекцией»
t ~
1
от члена > А@ ˜ >Y s @ ˜ > А@ , равногоо
§U U2 ·
s 2 s 0 ,5
¸¸
.
U вх s ˜ ¨¨ вх
ss 0 ,5
© R1 ¹
В заключение следует отметить, что рассмотренная разновидность
методов диакоптики называется разделением по ветвям, имеющим импедансное описание. В противном случае надо провести предварительный пересчет, обращение адмиттансного или гибридного описания, что
в значительной мере снизит эффективность метода расчленения.
С другой стороны, введение добавочной ветви между, например,
узлами с номерами р и q (а также ее исключение, что равносильно
введению отрицательного иммитанса ветви) приведет к внесению двух
дополнительных единичных элементов в [A], соответствующих токам p
~
и q узлов. При известной матрице исходной цепи Y s 1 матрица
а входное сопротивление
H U s I вх s >
>I вх s , 0, 0@;
U вх s U вх s ,
R1
так что передача по напряжению цепи составит
U 4 s Из полученной матрицы >Z s @ 0 несложно установить, что
о
>Z s @ 0
1
0 º
ª0,51 s s 0,5
« 0,5
1 s
0 ».
2
«
»
s s 0,5
1 s 1 s s 2 ¼»
¬« 0,5
Окончательно матрица сопротивлений при G0 o f составит:
>Z~s @
Z в s Z pp s Z qq s Z qp s Z pq s ,
104
В (5.21) «звездочка» относится к сопряженному комплексу. Таким
образом,
ª
º
~
P0 U *1 s ˜ I1 s U *2 s ˜ I 2 s ... U *n s ˜ I n s «U * s » ˜ >I s @0 . (5.21)
¬«
¼» 0
t
(5.20)
Обоснование строится на законе консервации энергии и полной
мощности Р на всех зажимах n- полюсной цепи, т. е.
>Y s @N >P@t ˜ >Y s @ 0˜ >P@.
где >P @ – используемое преобразование, то несложно понять, чтоо
в новые >U s @N , >I s @N . В предыдущем параграфе все подцепи по
предположению уже имели описания в одинаковом координатном базисе
с общим нулевым узлом, что на практике не всегда выполняется. И если
предположить, что связь старых и новых зависимых переменных
выражается через
(5.19)
>U s @0 >P@ ˜ >U s @N ,
где векторы-столбцы старых переменных >U s @0 , >I s @0 преобразуются
При анализе цепей часто приходится иметь дело с трансформацией
координат. Так, например, желательно перейти от исходного представления
>Y s @ 0˜ >U s @ 0 >I s @ 0
к новому
>Y s @N ˜ >U s @N >I s @N ,
5.6. Преобразование координат и получение неопределенных
матриц проводимостей и сопротивлений
где Z в s – исходное сопротивление ветви, а остальные члены представляют собой сопротивления, стоящие на пересечении строк и столбцов
с номерами р и q соответственно (см. 5.7).
т. е.
t
t
и >U s @ t
0
t
t
t
t
.
(5.24)
(5.23)
(5.22)
t
U 3 s U 4 s , U 3 s U 2 s @ ,
105
Y2 s Y1 s Y2 s ª Y1 s Y2 s º
«
».
Y2 s Y3 s Y2 s Y2 s Y3 s «
»
«¬ Y1 s Y2 s Y2 s Y3 s Y1 s Y2 s Y3 s Y4 s »¼
который нужно свести к узловым потенциалам относительно базового –
второго узла, при этом старая матрица проводимостей составляет
U 2 s 0:
>Y s @ 0
>U s @ >U 1 s U 2 s ,
а это, в свою очередь, приводит к (5.20).
Рассмотрим пример преобразования координат.
Пример 5.18. Для трехпорта с описанием в системе y-параметров
имеем вектор переменных
>I s @N >Р @ ˜ >Y s @ 0 ˜ >Р@ ˜ >U s @N ,
t
t
ª º §
·
(5.26)
«U s » ˜ ¨ >I s @N >Р @ ˜ >Y s @0 ˜ >Р @ ˜ >U s @N ¸ 0.
¹
¬
¼N ©
На основании (5.26) следует, что при произвольных значениях
сопряженного вектора напряжений
t
t
ª º
ª º
˜
U
s
>
I
s
@
(5.25)
N
«
»
«U s » ˜ >Р @ ˜ >Y s @0 ˜ >Р @ ˜ >U s @N .
¬
¼N
¬
¼N
Или в иной форме (группируя слагаемые (5.22) в левой части)
t
ª º
ª º
˜
U
s
I
s
>
@
0
«
»
«U s » ˜ >Y s @0 ˜ >Р @ ˜ >U s @N .
¬
¼0
¬
¼0
С учетом (5.22)–(5.24) найдем
t
t
>U s @ N ˜ >P@
ª º
«U s » ˜ >I s @N ;
¬
¼N
На основании (5.19) и (5.23) получим
t
>U s @ 0 >U s @ N ˜ >P@
t
ª º
«U s » ˜ >I s @0
¬
¼0
>Р@
t
ª1 0 0º
«0 1 1 » .
«
»
«¬0 1 0»¼
(5.27)
>Z s @ 0
106
ª Z11 Z12 Z13 º
«Z
Z 22 Z 23 » ; >Y s @ 0
»
« 12
«¬ Z13 Z 23 Z 33 »¼
1
>Z s @ 0
.
Рассмотрим пример построения дерева и расчета >Y s @N .
Пример 5.19. Для индуктивно-связанной системы, показанной на
рис. 5.24, а, найти неопределенную матрицу проводимостей, если
известна исходная матрица сопротивлений.
где [Р] – транспонированная приведенная матрица инциденций графа,
ветвями которого являются напряжения узловых пар для входящих в
дерево графа. При этом размерность [P] превышает размерность >Y s @.
>Y s @N >P@ ˜ >Y s @ 0 ˜ >P@,
t
Данная матрица отвечает мостовой цепи с горизонтальными ветвями Y1 s и Y3 s и вертикальными Y2 s и Y4 s при общем втором узле.
В иных случаях необходимо перейти к напряжениям в портах от
узловых потенциалов относительно общего узла.
Иногда возникает задача определения неопределенной матрицы проводимостей (сопротивления) в случае перехода от произвольной системы
узловых пар к парам, имеющим общий узел. В этом случае расчет матрицы проводимостей с общим узлом может осуществляться по формуле
ª1 0 0º
ª1 0 0 º
«
»
>Y s @ «0 1 1» ˜ >Y s @ 0 ˜ ««0 1 1»»
«¬0 1 1»¼
«¬0 1 1 »¼
Y1 s Y2 s º
ªY1 s Y2 s « Y s ».
0
Y1 s Y4 s 1
«
»
0
Y2 s Y3 s ¼»
¬« Y2 s ª1 0 0 º ªU 1 s º
«0 1 1» ˜ «U s » ;
«
» « 3 »
«¬0 1 0 »¼ «¬U 4 s »¼
Выполняя (5.20), найдем
ªU 1 s U 2 s º
«U s U s »
4
»
« 3
«¬U 3 s U 2 s »¼
На основании (5.19) получим
Рис. 5.24
>Р@
107
ª1 1 0 0 0 0 º
«0 0 1 1 0 0 »
«
»
«0 0 0 0 1 1»
«
».
«1 0 1 0 0 0 »
«0 0 1 0 1 0 »
«
»
¬0 0 0 0 1 0 ¼
На рис. 5.24, а указаны три узловые индуктивно-связанные пары
1–2, 3–4 и 5–6 с соответствующими ориентациями ветвей. Строим дерево (рис. 5.24, б), при этом необходимо добавить новые ветви 1–3, 3–5
и 5–0; 0–общий узел. В этом случае матрица инциденций [P] составит:
б)
а)
y13
y23
y33
0
0
0
y12
y22
y23
0
0
0
0 0 0º
0 0 0»
»
0 0 0»
».
0 0 0»
0 0 0»
»
0 0 0¼
y12
y12
y 22
y 22
y 23
y 23
y11
y11
y12
y12
y13
y13
y 23
y 23
y 22
y 22
y12
y12
y33
y33
y 23
y 23
y13
y13
y13 º
y13 »
»
y 23 »
»,
y 23 »
y33 »
»
y33 ¼
108
где шестой узел соответствует общему, нулевому. Если необходимо принять за опорный узел другой, отличный от шестого, то необходимо вычеркнуть строку и столбец, отвечающие номеру нового базового узла.
Преобразование (5.27) можно рассматривать в качестве развития
(5.20), если считать, что к исходному описанию добавляются ветви
с нулевыми проводимостями, образующими дополнительные узловые
пары, формирующие указанное дерево графа. Обоснование КЕ (5.20)
представлено выше.
Сказанное ранее также справедливо и для дуального случая – преобразования матриц сопротивлений.
Представленная методика позволяет анализировать сложные системы, предварительно расчлененные на отдельные блоки, имеющие иммитансные описания. В случае отсутствия таковых предварительно выполняются ряд приемов по внесению добавок ±K (иммитансов) для исключения вырожденности исходящих матриц. Общая стратегия рассуждений проиллюстрирована в примерах 5.11, 5.12, 5.17.
Возвратимся снова к общему случаю задания многополюсников
в смешанном координатном базисе: одни представлены через иммитан-
>Y s @N
ª y11
« y
« 11
« y12
«
« y12
« y13
«
¬ y13
Выполняя умножение матриц согласно (5.26) получим:
>Y s @ a
ª y11
«y
« 12
« y13
«
« 0
« 0
«
¬ 0
Старое представление дает следующую матрицу:
>D@ ˜ >Y s @, (5.28)
1, n – независимые координаты напряжения, тока;
____
ªD11 D1 j D1n º ªY1 s º
« |
» «|
|
»
|
« |
» «|
|
»
|
|
« |
» «|
|
»
«
» «
»
«D i1 D ij D in » ˜ «Y j s » Ÿ >X s @
|
|
|
«
» «| »
|
|
« ||
» «| »
|
|
«
» «| »
«D n1 D nj D nn » «¬Yn s »¼
¬
¼
109
X i s , i 1, n – зависимые переменные.
Матрица [D] содержит различные типы параметров. Если предположить, что X i s является напряжением или током, Yi s – током или
напряжением, то можно установить, что при dij z 0 можно поменять местами и между собой, причем при i z j результирующая матрица [D]
будет цепного характера, а при i = j – иммитансной или гибридной. Добавим, что данная процедура может повторяться последовательно нужное число раз. Для пояснения сказанного перегруппируем строки и столбцы [D] в (5.28) в соответствии с новым порядком следования переменных.
____
где Yi s , i
ª X 1 s º
« |
»
« |
»
« |
»
« X s »
« |i »
« |
»
« |
»
«
»
¬ X n s ¼
сные параметры, другие – через гибридные, третьи – через матрицы прямой и обратной передач, и, наконец, некоторая часть многопортов может
иметь волновое описание. При этом в зависимости от того обстоятельства, что часть переменных является независимой, а остальные выражаются через эти независимые координаты, можно выделить три типа параметров:
x независимые параметры одного типа (z- или y-параметры);
x независимые параметры различных типов (гибридное представление, но на каждом «порте» выбирается лишь одна независимая переменная);
x параметры передачи, где две независимые переменные могут
относиться к одному порту (сюда же можно отнести волновое описание)
и, следовательно, не входят в первые два типа.
Пусть n-полюсник имеет следующее представление:
ªD aa
«D
¬ ba
D ab º ªYa s º
.
˜
D ij »¼ «¬Yi s »¼
ªE aa
«E
¬ ba
E ab º ªYa s º
ª X a s º
˜«
Ÿ«
»
»
»
E ij ¼ ¬ X i s ¼
¬Y j s ¼
Ya s º
»,
¬ X i s ¼
>β@ ˜ ª«
(5.30)
(5.29)
Dij 1
,
D ij 1 D ba ;
D ab D ij 1 D ba ;
D aa D ab D ij 1 D ba ;
(5.31)
ª 0 0 3 º ªU1 s º
« 0 0 7 » ˜ «U s » .
«
» « 2 »
¬« 3 8 0 »¼ «¬ I 3 s »¼
110
Очевидно, что в данном случае параметры относятся ко второму
типу, но, к сожалению, U 3 s и I 3 s не могут быть переставлены, так
ак
как D 33 0 . Введем дополнительные строку и столбец для обеспечения
возможности дальнейшей трансформации гибридных параметров в параметры проводимостей при I 4 s 0 :
ª I1 s º
« I s »
« 2 »
«¬U 3 s »¼
при этом главным условием такой замены переменных является Dij z 0.
Рассмотрим пример преобразований.
Пример 5.20. Определить параметры проводимостей конвертера
отрицательного иммитанса, представленного гибридной матрицей трехпорт (нет иммитансного описания):
Eij
Eba
E ab
E aa
независимые переменные, кроме Y j s .
Аналогичная ситуация возникает и в новой системе (5.30) с матрицей [E].
Несложно установить справедливость следующих формул перехода
от [D] к [E]:
се
X a s – вектор-столбец переменных, содержащий X i s ; Ya s – все
причем Dаа, Dab, Dba – объединяют все члены матрицы [D] за вычетом D ij ;
ª X a s º
«Y s »
¬ j
¼
После взаимной замены X i s и Yi s в (5.29) получим
ª X a s º
«¬ X i s »¼
ª0
«0
«
« 3
«
¬0
Gba
Gab
Gaa
.
111
Такой подход позволяет не только избавиться от неудобных координат, но и в случае реализации цепи по заданной матрице выбрать подходящие, с точки зрения инженерных вариантов, члены вновь добавляемых строк и столбцов. Однако на данном этапе вопросы синтеза таких
цепей пока еще находятся за рамками наших исследований.
>Y s @ >U1 s , U 2 s , U 3 s , U 4 s @
;
0º
;
8 »¼
ª0
«3
¬
t
3º
;
7»¼
0º
;
0»¼
Gab º
;
Gbb »¼
ª0
«0
¬
ª0
«0
¬
ªGaa
«G
¬ ba
1º
ª 0
;
« 1
0»¼
¬
ª0 1 º
E ij ;
«1
0»¼
¬
> X s @ >I1, I 2 , I 3 , I 4 @
E ba
E ab
E aa
>Y s @ >G @
>D ij @1
>D ij @
t
0 3 0º ªU1 s º
0 7 0» ««U 2 s »»
»˜
.
8 0 1 » « I 3 s »
»
» «
0 1 0¼ ¬ I 4 s ¼
В данном случае по (5.28) и (5.31)
ª I1 s º
« I s »
« 2 »
«U 3 s »
«
»
¬U 4 s ¼
(5.32)
___
Y
D
D 21
Y1 s 23 Y3 s 0 .
D 22
D
D 22
D12 D 23 º
D 22 » ªY1 s º
»˜«
D D
Y s »
D 33 23 32 » ¬ 3 ¼
D 22 »¼
D12
ª
º
«Y01 s D Y02 s »
22
».
«
D 32
«
»
«Y03 s D Y02 s »
¬
¼
22
D13 (5.33)
112
Таким образом, для последовательного исключения узлов
с номерами k, l, m,… по аналогии с (5.33) необходимо в исходной матрице
ª X 1 s º
« X s »
¬ 3 ¼
D12 D 21
ª
« Dn D
22
«
D
D 32
21
«D 31
«¬
D 22
Если в исходной системе (5.32) сделать подстановку данной величины Y2 s , то получим при вычеркивании второй строки и второго столбца
Y2 s 0;
огда
1,3 . Положим в (5.32) X 2 s 0 , тогда
D 21Y1 s D 22Y2 s D 23Y3 s Y01 s и Y01 s , Y02 s , Y03 s , i
уравнения, связывающие некие переменные X i s , Y1 s , Y2 s , Y3 s где наряду с автономными параметрами >Y0 s @ для примера взяты три
>X s @ >D@ ˜ >Y s @ >Y0 s @ Ÿ
ª X 1 s º ª D11 D12 D13 º ªY1 s º ªY01 s º
« X s » «D
D 22 D 23 » ˜ «Y2 s » ««Y02 s »» ,
« 2 » « 21
»
» «
¬« X 3 s ¼» ¬«D 31 D 32 D 33 ¼» ¬«Y3 s ¼» ¬«Y03 s ¼»
Напомним еще раз процедуру исключения какого-либо узла из
матрицы [D]:
5.7. Операция редукции матриц, подключение и удаление
элемента в матрице узловых сопротивлений
D pq DEE
D pE D E q
;
DEE z 0,
(5.34)
ª Z11 Z1k Z1n º ª I1 s º
|
|
« |
» «|
»
|
|
« |
» «|
»
|
|
« |
» «|
»
« Z Z Z » ˜ « I s » ,
k
kn
kk
« |k1
»
| » « |
|
« |
»
«
»
|
|
|
« |
»
| » « |
|
«
» «
»
¬ Z n1 Z nk Z kn ¼ ¬ I n s ¼
(5.35)
113
где выделены k-столбец и k-строка, а также элемент Zkk, к которому надо
подключить добавочное сопротивление Zg(s) – между k-узлом и общим.
Процедура заключается в следующем. Вносим в (5.35) добавочные
k-столбец и k-строку, причем к элементу Zkk на их пересечении прибавляем
Zg(s); ток добавочного узла принимаем равным 1, а Uk(s) = 0.
ªU 1 s º
« |
»
« |
»
« |
»
«U s »
« |k »
« |
»
»
« |
«
»
¬U n s ¼
о
членов независимых (автономных параметров >Y0 s @ необходимо вместо
столбца с номером q подставить столбец этих параметров и воспользоваться этой же формулой.
Рассмотренная процедура позволяет определять влияние, оказываемое подключением и удалением новых ветвей между любыми узлами
цепи. Рассмотрим это подробнее.
1. Между k-узлом и общим включено добавочное сопротивление
Zq(s), которое может быть взято со знаком (+) или (–).
Пусть решение для узловых потенциалов некоторой цепи
соответствует уравнению
D pq – его исходное значение; E  ^ k , l , m `; pq z E. При определении
где Dcpq – новое значение параметра на пересечении р-строки и q-узла,
Dcpq
[D], подлежащей редукции, провести вертикальные и горизонтальные
линии через узлы с этими номерами и учесть элементы матрицы, стоящие
на их пересечении. Новое значение элемента матрицы [D] может быть
определено по общей формуле вида:
114
c
После выполнения операции редукции >Z s @ , т. е. исключения
последнего узла, получим
0
ª0,5 1 s s 0,5
º
1«
» ; ' s 2 s 0,5 ;
>Z s @ 0
0,5
1 s
0
»
'«
«¬ 0,5
1 s 1 s s 2 »¼
не проводя всех повторных вычислений.
Образуем согласно (5.36) новую матрицу с добавлением второй строки и второго столбца с Rq (третий узел соответствует второму и матрице).
Произведя редукцию в (5.36) последнего (n + 1)-узла, получим
исходную систему, но уже с учетом Zg(s). Проиллюстрируем сказанное.
Пример 5.21. Пусть в цепи примера 5.17 (рис. 5.22) между третьим
узлом и общим включен резистор Rq. Определить новую матрицу
сопротивлений на основании полученной ранее
(5.36)
115
где исходная матрица трансформируется в
.
116
Редукция последней матрицы (удаление (n + 1)-узла) в (5.37) приведет к искомому результату.
Пример 5.22. Включим сопротивление Rq между узлами с номерами 2 и 3 в цепи примера 5.21, тогда
после введения дополнительных строк и столбцов в соответствии с (5.37) получим
Проведя исключение последнего узла, найдем
117
ª>Y s @ º ª>Y0n s @ º
>H s @nm ˜ « n
»«
».
¬>Yn m s @¼ ¬>Y0n m s @¼
(5.38)
>H s @m ˜ >Yn m s @,
(5.39)
118
где в (5.39) знак «минус» соответствует противоположной ориентации
портов у соединяемых многополюсников. При разбиении на блоки
гибридной матрицы в (5.38) найдем
> X n m s @
m-порт вносит следующие ограничения на переменные портов:
ª> X n s @ º
«> X
»
¬ n m s @¼
Если принять за >Y s @ вектор-столбец независимых переменных,
за > Х s @ – зависимых и за >Y0 s @ – вектор автономных параметров, тоо
согласно (5.33) получим
Рис. 5.25
В случае смешанного координатного базиса, когда нежелательно
предварительно преобразовывать координаты (переменные могут быть
как токами, так и напряжениями, а в общем случае – зарядами и потокосцеплениями), можно воспользоваться материалами параграфа 5.6.
Действительно, предположим, что некоторый (n + m)-порт имеет описание через гибридную матрицу [H(s)](n+m) и к нему подключается другой
m-порт m n c некоторой матрицей [H(s)]m (рис. 5.25).
5.8. Анализ n-портов при гибридном описании
n
n
0n
(5.41)
(5.40)
(5.42)
119
При отсутствии внешних зажимов (n = 0) и взаимном соединении
ряда многополюсников каждый из внутренних портов может быть замещен источником напряжения или тока. Соединение последних образует
полюсный граф, в котором можно выбрать подходящее дерево и его дополнение, т. е. новые переменные, например, ввести узловые потенциалы по отношению к базовому узлу, провести изменение координат и т. д.
Предложенный метод анализа особенно полезен, когда подключаемые
многополюсники уже имеют готовые описания, которые не всегда быстро трансформируются в иммитансные параметры. К тому же, как это
бывает в случае нелинейных устройств, существуют лишь однозначные
управления только по току или только по напряжению, исключающие
возможность преобразования переменных.
>H s @mun 0 ;
>H s @mum >H s @m >H s @ ;
>X n s @ >Yn s @ >0@ .
причем матрица в (5.42) – неособенная.
Любопытно отметить, что в частном случае n = 0 рассматривается
соединение двух m-портов, и на основании (5.40) следует вывод о суммировании гибридных параметров, так как
>Y0 n s @c >Y0 n s @ >H s @num ˜ > A@1 ˜ >Y0 n m s @;
> A@ >H s @mum >H s @m ,
>H s @n >H s @nun >H s @num >H s @mum >H s @m 1 ˜ >H s @mun ;
где приняты следующие обозначения в (5.41):
n
Исключая из (5.40) вектор-столбец переменных >Yn m s @,
окончательно получим
> X s @ >H s @ ˜ >Y s @ >Y s @c ,
ª>H s @nun
«
¬>H s @mun
ª> X n s @
º
»
« >H s @ ˜ >Y
n m s @¼
m
¬
>H s @num º ª>Yn s @ º ª>Y0n s @ º
.
˜
>H s @mum »¼ «¬>Ynm s @»¼ «¬>Y0nm s @»¼
2, m 6
t
t
;
;
0º
1»
»;
0»
»
0¼
kU 3 ;
U3
120
1
U 4 ; I 3 0 ; I4 – не определен. Ограничения отт Z s составят
k
U 2 I 2 Z s . Таким образом, вычеркивание третьего столбца и четвертой строки приведет к системе уравнений:
Ограничения, налагаемые ИНУН, сводятся к следующим: U 4
Рис. 5.26
согласно (5.38) подключен двухпорт-ИНУН и двухполюсник Z s .
Определить входной импеданс при k – 2 (рис. 5.26).
n
>Y s @ >U1, I 2 , I 3 , U 4 @
> Х s @ >I1, U 2 , U 3 , I 4 @
>Н s @2 6
ª0 1 1
«1 0 0
«
«1 0 0
«
¬0 1 0
Рассмотрим примеры подключения многополюсников.
Пример 5.22. К восьмиполюснику четырехпорту с гибридной
матрицей
ª0 1 0º ªU 1 º
«1 0 1» ˜ « I » ;
«
» « 2 »
«¬1 0 0»¼ «¬U 4 »¼
1 k
1 k
; I1
˜ U1 ; Z вх s Z s ,
Z
Z
k 2
U 1 s º
» >H 0 s @ ˜ > 0 s @ >H 2 s @ ˜ >Y0 s @,
¬ I 2 s ¼
>H1 s @ ˜ ª«
121
а через >H 0 s @ и >H 2 s @ характеризуется связь всех автономных
где >Y01s @ – относится к новым возможным автономным параметрам,
ª I 1 s º
«U s »
¬ 2 ¼
где >Y0 s @
ников.
При этом может случиться, что несложно установить зависимость
левого вектора системы (5.43) от основных переменных, т. е.
>H s @ ˜ ª«
U 1 s º
(5.43)
» >Y0 s @,
¬ I 2 s ¼
учитывает возможные автономные параметры многополюс-
ª I 1 s º
«U s »
¬ 2 ¼
т. е. схема в целом представляет собой конвертер отрицательного
импеданса.
Рассмотрению примера с применением полюсного графа и выбору
дерева предпошлем несложное рассуждение. Допустим, что при выборе
определенного дерева, ветви которого включают максимальное число
потенциальных связей и источников напряжения, в дополнение – токовые связи и источники токов, выбраны в качестве новых переменных
вектор-столбец >U s @ из части ветвей дерева и вектор-столбец >I s @, когда
да
существуют замкнутые системы, состоящие только из потенциальных
ветвей, а отсекающие системы – только из токовых. В этом случае по
аналогии с (5.41) можно записать
>H s @2
ªU 2 º
«U »
¬ 3¼
ª Z s º ª I º
« 1 » ˜ « 2 ».
«
» U
¬ k ¼ ¬ 4¼
Так что согласно (5.41) и (5.42) получим после исключения
переменных I2 и U4:
ª I1 º
«U »
« 2»
«¬U 3 »¼
>0@ .
(5.44)
ª h11 s h12 s º ª I1 s º
« h s h s » ˜ «U s » ;
¬ 21
¼ ¬ 2 ¼
22
Z s I 3 s ; I 4 s Y s U 2 s .
ª I 2 s º
«U s »
¬ 1 ¼
ªh22 s h21 s º ªU 2 s º
« h s h s » ˜ « I s »
¬ 12
¼ ¬1
¼
11
ª I 2 s º
«¬U1 s »¼
122
ªh22 s h21 s º ªU 2 s º ªh21 s º « h s h s » ˜ « I s » « h s » I 0 .
¬ 12
¼ ¬ 3 ¼ ¬ 11 ¼
11
1 º
1 º ªU 2 s º
ª Y s ª Y s .
˜«
; H1 s «
»
«¬ 1
»
Z s »¼
Z s ¼ ¬ I 3 s ¼
¬ 1
Изменим порядок следования переменных в координатах четырехполюсника и выразим его переменные через U 2 s и I 3 s , тогда
да
I 2 s Y s U 2 s I 3 s .
Выполнив подстановки, получим согласно (5.44)
U1 s U 2 s Z s I 3 s ;
Из рис. 5.27, б и в следует, что
I 1 s I 0 I 3 s ;
U 2 s ªU 1 s º
« I s »
¬ 2 ¼
Вначале рассмотрим пример по формальному использованию соотношения (5.44), а затем представим алгоритм получения данных матриц прямо из предварительно построенного полюсного графа.
Пример 5.23. Определить гибридное описание цепи, показанной
на рис. 5.27, а и содержащей соединения четырехполюсного и двухполюсных элементов; стрелками указаны выбранные ориентации ветвей.
Полюсный граф системы источников, эквивалентных ветвям
(рис. 5.27, б), представлен на рис. 5.27, в; жирными линиями указано
выбранное дерево. Две стрелки указывают на токовую ветвь, однако потенциальную. Выберем за основание переменные будущей гибридной
системы U 2 s и I 3 s , а в качестве дополнительных I 2 s , U 3 s . Итак,
ак,
исходное описание соединяемых четырехполюсника и двухполюсника
следующее:
>1@ >H 2 s @ ˜ >Y0 s @ >H s @˜ >Y01 s @
>H s @ >H1 s @ ˜ «
ªU 1 s º
»
¬ I 2 s ¼
параметров с левым вектором (5.43), тогда, выполняя эту подстановку в
(5.43), окончательно получим:
в)
а)
б)
123
Рис. 5.27
ªh s º
« 21 » ;
¬h11 s ¼
>0@; Y01 s I1
ªh22 s Y s « h s 1
¬ 12
h21 s 1 º
;
h11s Z s »¼
t
I0 2
1
124
2 ª h11 s h12 s º ª I1 s º
.
˜
1 «¬h21 s h22 s »¼ «¬U 2 s »¼
Над первым столбцом указано, что переменная I1 s зависит и отт
тока источника I 0 .
Для двухполюсников имеем
ªU 1 s º
« I s »
¬ 2 ¼
первой основной ветви (1), а I 3 s – второй (2), тогда, выражая
переменные четырехполюсника через основные переменные 1 и 2,
проставим эти индексы под столбцами его гибридной матрицы:
t
с переменными >U s @ и >I s @ , в данном случае U 2 s и I 3 s ,
1
2
и разнести элементы исходных матриц по соответствующим клеткам
матриц >H s @ >H1 s @ и >H 0 s @. Кроме того, надо добавить в клетки
с соответствующими индексами ±1, если в замкнутой или отсекающих
системах ориентация хорды совпадает (противоположна для знака минус)
направлению выбранной главной ветви дерева.
Возвратимся к примеру и над описанием каждого порта проставим
нужные индексы согласно условию выбранной последовательности
ует
ветвей основных переменных U 2 s и I 3 s . Пусть U 2 s соответствует
Y0 s можно было бы выписать сразу, если над уравнениями соединяемых
цепей представить нумерацию, соответствующую основным ветвям
>H 0 s @
>H s @ >H1 s @
h21 s 1 º ªU 2 s º ªh21 s º
ªh22 s Y s ª0º
I0 « » .
«
˜«
»
»
« h s 1
»
h11 s Z s ¼ ¬ I 3 s ¼ ¬h11 s ¼
¬0¼
¬ 12
Данный пример указывает на следующий алгоритм
последовательных операций.
Полученные матрицы
В соответствии с (5.44) окончательно получим
1
2
125
Рис. 5.28
h21 s 1 º ªU 2 s º ª h21 s º
1 ªh22 s Y s ª0º
I0 « » ,
˜«
«
«
»
»
»
h11 s Z s ¼ ¬ I 3 s ¼ ¬ h11 s ¼
2 ¬ h12 s 1
¬0¼
что и получено в примере.
Рассмотрим более сложный пример анализа соединения многих
портов.
Пример 5.24. Найти гибридное описание согласно (5.44) для соединения, показанного на рис. 5.28 на основании предложенного алгоритма расчета.
Пусть каждый из портов имеет свое описание (для краткости указание их зависимости от s опускаем) и каждый из них считаем неавтономным, что, разумеется, не снижает общности рассуждения.
Заносим параметры этих портов в клетки новых матриц, являющихся членами соотношения (5.43), кроме того, сечение А–А дает (+1),
а замкнутая система (–1):
ª g11, IV g12 , IV º ªU1, IV º
«
»˜«
»;
«¬ g 21, IV g 22 , IV »¼ «¬ I 2 , IV »¼
3 I 20
127
Рис. 5.29
126
ª g11, IV g12 , IV º ªU1, IV º
«
»˜ «
»;
¬« g 21, IV g 22 , IV ¼» ¬« I 2 , IV ¼»
1U 20
3 2 I10
3 ª z11, III z12 , III º ª I1, III º
«
»˜ «
»;
3 2 «¬ z21, III z22 , III »¼ «¬ I 2 , III »¼
3 I10
2 ª h11, II h12 , II º ª I1, II º
«
»˜ «
»;
1 ¬« h21, II h22 , II ¼» ¬« I 2 , II ¼»
В грáфе рис. 5.29 жирными линиями выделено дерево, источники
энерг ии ук азаны явно, индек сы y-ветвей относятся к основным
переменным: U2, II, I1, II, IVI, которые мы обозначим через U1, I2 и I3
соответственно.
ª I1, IV º
«
»
¬«U 2 , IV ¼»
ªU1, III º
«
»
«¬U 2 , III »¼
ªU1, II º
«
»
¬«U 2 , II ¼»
y12 , I º ªU1, I º
»˜ «
»;
y22 , I »¼ «¬U 2 , I »¼
2
1
ª I1, I º 1 ª y11, I
« » «
«¬ I 2 , I »¼ 1 «¬ y21, I
1
1U 20
Расставим индексы основных переменных над описаниями портов:
Отрицательный знак индекса означает, что данная переменная дает
знак минус перед параметром многополюсника. Из замкнутых систем
(IVI, I1, III, U10, I2, IX, U1, I2, IV, IV) и (I2, III, U1, I1, II) видно, что в первом столбце
на втором месте стоит (–1) и (+1) на третьем, а из отсекающей системы
(IVI, I1,I, U1, U1,I, U2,I, U1,IV) получим (–1) на третьем месте и (+1) – на втором
месте первой строки.
В результате получим следующее окончательное матричное
уравнение для соединения портов (см. рис. 5.28).
Необходимо отметить, что если в замкнутую или отсекающую системы входят независимые источники токов и (или) напряжений, то соответствующие +1 или –1 ставятся в матрицу, связывающую общее описание с автономными параметрами (элемент на пересечении третьей строки и первого столбца в прямоугольной матрице). В полученном ответе
вверху указаны матрицы цепи в соответствии с (5.44).
U V Z 5 I V ; U VI Z 6 I VI ; >Y0 s @ >0@.
Используемые переменные представлены на клеммах портов рис. 5.28.
Опуская представление ветвей через источники напряжения и тока, сразу
обратимся к рассмотрению полюсного грбфа, показанного на рис. 5.29.
ª I1, IV º
«
»
«¬U 2 , IV »¼
ªh11, II h12 , II º ª I1, II º
»;
»˜«
«
¬«h21, II h22 , II ¼» ¬« I 2 , II ¼»
ªU1, II º
»
«
¬«U 2 , II ¼»
y12, I º ªU1, I º
»˜«
»;
y22 , I ¼» ¬«U 2 , I ¼»
ª z11, III z12 , III º ª I1, III º
«
»˜«
»;
«¬ z 21, III z 22, III »¼ «¬ I 2 , III »¼
ª y11, I
«
¬« y21, I
ªU1, III º
«
»
«¬U 2 , III »¼
ª I1, I º
« »
¬« I 2 , I ¼»
128
t
>I С1 s, I С2 s, ..., I Сm s @ t и >U С s @ >U С1 s,U С2 s , ...,U Сm s @ t–
– вектор напряжений на этих зажимах;
129
векторы токов и напряжений емкостных элементов;
>I С s @
t
– вектор-столбец изображений входных и
>U n s @ >U1 s ,U 2 s , ...,U n s @
выходных токов всей цепи;
>I n s @ >I1 s , I 2 s , ..., I n s @
Безынерционный блок AR содержит все резисторы и ЗИ; имеется m
емкостных элементов и O индуктивных. Если принять, что
Рис. 5.30
Рассмотрим блок-схемы цепи, показанной на рис. 5.23, детальнее
с выделенными отдельными блоками С и L для реактивных элементов
(рис. 5.30).
5.9. Формирование уравнений по методу переменных состояния
для цепей с зависимыми источниками
>I L1 s , I L2 s ,..., I LO s @ t и >U L s @ >U L1 s ,U L2 s , ...,U LO s @ t –
>GnC @ >GnL @º ªU n s º
>GCC @ >GCL @»» ˜ ««U C s »»
>GLC @ >GLL @»¼ «¬U L s »¼
ª I n s º
« I s » ,
« C »
«¬ I L s »¼
(5.45)
>GLL @˜ >U L s @
>GLC @ ˜ >U C s @ >GLn @ ˜ >U n s @ >I L s @.
Из последней строки (5.44) найдем:
> GCL @˜ >U L s @ >I c s @ >GCC @˜ >U C s @ >GCn @˜ >U n s @.
(5.47)
(5.46)
(5.48)
Тогда
iC t 130
du t di t C C ; u L t L L .
dt
dt
Осуществим переход во временную область из (5.48) с учетом
указанных на рис. 5.28 направлений токов и реактивных элементов
ª>I C s @ >GCL @ ˜ >U L s @º
ª >GCC @º
«>0@ >G @ ˜ >U s @
» «>G @ » ˜ >U C s @ ¬
¼
¬ LC ¼
LL
L
ª>0@ º
ª >GCn @º
« » ˜ >I L s @ «
» ˜ >U n s @
¬>G Ln @ ¼
¬>1@L ¼
ª >GCC @ >0@ º ª>U C s @º ª >GCn @º
«>G @ >1@ » ˜ «>I s @ » «>G @ » ˜ >U n s @ .
¼ ¬ Ln ¼
¬ LC
L¼ ¬ L
В совокупности (5.46) и (5.47) образуют следующую систему
матричных уравнений:
или
>GCn @˜ >U n s @ >GCC @˜ >U C s @ >GCL @˜ >U L s @ >I c s @ >0@
Из второй строки (5.45) получим
где общая матрица проводимостей разбита на соответствующие блоки.
ª>Gnn @
«>G @
« Cn
«¬>GLn @
токи и напряжения в индуктивностях, то блок-схема на рис. 5.30 может
быть представлена следующим образом:
>I L s @
(5.49)
u C t º
» >u n t @.
¬i L t ¼
> А@ ˜ ª«
(5.51)
1 ª >GCC @ >0@ º
> A@ 0 ˜ «
»;
¬ >G LC @ >1@L ¼
(5.52)
131
От (5.52) легко перейти к соотношениям во временной области.
Системы (5.51) и (5.52) сформированы в предположении, что реакциями
всей цепи являются токи на первых n ее клеммах.
>I n s @ >GnC @ ˜ >U C s @ >GnL @ ˜ >I L s @ >Gnn @ ˜ >U n s @
>U s @
>>GnC @ ˜ >GnL @@ ˜ ª« C º» >Gnn @ ˜ >U n s @.
¬>I L s @ ¼
>В@
1 ª >GCn @ º
> A@ 0 ˜ «
» .
¬ >GLn @¼
Часто полученные матрицы в (5.51) имеют собственные наименования, принятые в общей теории систем: [A] – матрица динамики, [B] –
матрица входов. В дополнение к (5.51) обычно формируется еще одна
система уравнений, которую несложно получить из первой строки (5.45)
> A@
В (5.51) приняты следующие обозначения с учетом (5.49)–(5.50):
d ª>u C t @º
dt «¬>i L t @ »¼
> A@0
ª >C @ >GCL @ >L@ º
(5.50)
« >0@ >G @ >L@» ,
¼
¬
LL
то получим каноническую формулу уравнений состояния цепи:
где >С @ diag ^C1 , C 2 ,..., C m `; >L @ diag ^L1 , L2 ,..., LO `; >1@L –
единичная матрица размерности O u O .
Если в (5.49) обозначить через [A]0 следующую неособенную (ее
определитель не равен 0) матрицу
ª >C @ >GCL @ >L@ º d ªuC t º
« >0@ >G @ >L@» dt «i t »
¼ ¬L ¼
¬
LL
ª >GCC @ >0@ º ª>uC t @º ª >GCn @ º
«
»˜«
» ˜ >u n t @ ,
»«
¬ >G LC @ >1@L ¼ ¬>i L t @ ¼ ¬ >G Ln @¼
0 0º ª
U 1 s º
»
0 P» «
» ˜ «U C s » ;
1
1 P» «
»
» U s 0 1 ¼ «¬ C2 »¼
ª I 1 s º
ª1 0 0 0º «
»
«0 1 1 0» ˜ « I 2 s »
«
» « I 3 s » ,
»
¬«0 0 0 1»¼ «
¬ I 4 s ¼
ª1
«0
«
«0
«
¬0
G1
0
G2
0
0
0 G1 G2
0
0 º
0 »
» ; Ri
G2 »
»
G2 ¼
Gi1 ;
i
1, 2.
ª1
ª1 0 0 0º
«
«0 1 1 0» ˜ >G @ ˜ «0
«
»
«0
«¬0 0 0 1»¼
«
¬0
0 0º
ªU s º
0 P» « 1
» ˜ U C s »
1 P» « 1 »
» «U C s »
0 1¼ ¬ 2 ¼
132
где новая матрица проводимостей:
ª I s º
«1
»
« I C1 s »
« I C s »
¬ 2 ¼
ªU s º
1
>G0 @˜ ««U C1 s »» ,
«U C s »
¬ 2 ¼
Новая система уравнений получается после перемножения полученных матриц
>G @
ª G1
« 0
«
« G1
«
¬ 0
причем ток, вытекающий из узла, принят с положительным знаком.
Узловая матрица цепи без учета ИНУН и емкостей С1 и С2 составит
(блок AR):
ª I s º
«1
»
« I C1 s »
«
»
¬« I C2 s ¼»
ªU 1 s º
«U s »
« 2 »
«U 3 s »
»
«
¬U 4 s ¼
Примечание. В общем случае одна часть реакций может быть напряжениями, а другая – токами. Это повлечет за собой дополнительное
разбиение на блоки первого столбца и первой строки, не меняя сути общего подхода.
Поскольку ИНУН вносит ограничение U 22 s PU C2 s , то взаимосвязь токов и напряжений преобразуется к следующему (при положительных направлениях токов, указанных на рис. 5.29.
Gnn
G1 ;
º
PG1 G 2 G 2 » .
»
1 P G 2 »¼
P G1
(5.53)
133
Аналогичным образом можно исследовать частные случаи для цепей, не содержащих С-элементов или содержащих только реактивности.
Проиллюстрируем формирование системы по типу (5.52). При этом
необходимо учесть, что в общем случае цепь AR имеет некоторое число
внутренних узлов, не указанных на рис. 5.28, узловые потенциалы которых можно предварительно выразить через напряжения на емкостях
и токи в индуктивностях с помощью соответствующих матриц перехода.
Пример 5.25. Сформировать систему уравнений по методу переменных состояния и определить передачу по напряжению цепи, показанной на рис. 5.31, а.
d
>u C t @ >С @1 ˜ >GCC @ ˜ >uC t @ >С @1 ˜ >GCn @ ˜ >u n t @.
dt
В таком случае (5.51) трансформируется к равенству
[A]0 = –[C], [A] = –[C]–1˜ [GCC]; [B] = –[C]–1˜ [GCn].
[GCL] = [0], [GLL] = [GLn] = [0], [GnL] = [0];
0 º
ªС
.
« 1
С 2 »¼
¬0
Обратимся к важному частному случаю ARC-цепей (отсутствие
L-элементов), тогда
> А@0
>GnC @ >G1 PG1 @ ;
>GCn @ > G1 0@ t ;
PG1 P 1G2 º
G G
>GCC @ ª« 1 2
;
1 P G2 »¼
¬ G2
Из >G0 @ видно, чтоо
>G 0 @
G1
ª G1
« G G G
1
2
« 1
G2
«¬ 0
б)
Рис. 5.31
134
1
2
>U1 s , U 2 s , U С s , U С s @
через составляющие вектора-столбца
>U1 s , U 2 s , U 3 s , U 4 s @
t
t
.
На рис. 5.31, б схема представлена в виде, отвечающем рис. 5.30.
Выразим вектор-столбец узловых потенциалов
а)
ª1
«0
«
«0
«
¬0
0
0
1
0
0
1
1
0
0º ªU1 s º
«
»
0» «U 2 s »
»˜
.
0» «U C1 s »
»
» «
1¼ «¬U C 2 s »¼
>0
ªu С1 t º
P@ ˜ «
» >0@ ˜ u1 t ¬«u С2 t ¼»
>С @0 ˜ >u С t @ >0@ ˜ u1 t .
135
1
ª G1 º
˜ « C1 »
« »
«¬ 0 »¼
1 PG1G2
;
˜
' C1C 2
>C @0 ˜ ^s>1@ >A@ `1 ˜ >B@ >D@
PG1 P 1G2 º
»
C1
»
G2 1 P »
s
»
C2
¼
U 2 s U 1 s ª
«s C
1
>0 P@˜ «
« G2
« C
¬
2
H U s Системная функция (в данном случае – передача по напряжению)
может быть определена через матрицы уравнения состояния
u 2 t На основании (5.53) получим каноническую форму уравнения
состояния
ª1
º
0 » ªG1 G2 PG1 P 1G2 º
«
ªuC t º
d ªuC1 t º
C1
1 P G2 » ˜ « 1 » » ˜ « G2
«u t » «
1» «
» ¬uC 2 t ¼
dt ¬ C 2 ¼
« 0
¬
¼
«¬
»
C2 ¼
ª G1 G2 PG1 P 1G2 º
ª1
º
0 »
« C
» ªuC t º
«C
C1
ª G º
1
« 1
»˜« 1 » » ˜ « 1 » u1 t «
1
1
G
G
P
0
¼
2
2
«
» ¬uC 2 t ¼
« 0
» ¬
«¬ C2
»¼
«¬
C2 »¼
C2
ªG1 º
« C1 » u1 t > A@ ˜ >uC t @ >B @ u1 t .
«¬ 0 »¼
Выходное уравнение u 2 t P u C2 t можно представить в виде
следующего матричного соотношения
ªU1 s º
«U s »
« 2 »
«U 3 s »
«
»
¬U 4 s ¼
Согласно выводам параграфа 5.6 при n = m = 2 найдем
Рис. 5.32
вид:
1
sL
º
»
».
1»
sC2 sL »¼
u 2 t ; для узловой мат-
136
1·
1
­§
°°¨ G sC1 sL ¸U1 s sL U 2 s I 0 s ;
©
¹
®
° 1 >U s U s @ sC U s 0 .
1
2 2
°¯ sL 2
Другими словами, система узловых уравнений имеет следующий
>Y s @
1
ª
«G sC1 sL
«
1
«
«¬
sL
В данном примере u C1 t u1 t ; u C2 t рицы получим
s2 s
>C1G2 1 P C 2 G1 G2 @ G1G2 ,
C1C 2
C1C 2
что, естественно, совпадает с результатами расчета примеров 5.1 и 5.3.
В простейших случаях нет необходимости в использовании общих
выражений (5.48)–(5.52), и результат может быть получен непосредственно из узлового описания цепи, как это иллюстрируется нижеследующим
примером.
Пример 5.26. Составить уравнения по методу переменных состояний для цепи, показанной на рис. 5.32.
'
sLI L s ,
I 0 s ,
1
L
1
C2
0
1 º
ª1º
C1 »
» ªu1 t º « C1 »
« »
»
0 » ˜ «u2 t » « 0 » i0 t .
»
«
» «¬iL t »¼ « 0 »
« »
»
0»
«¬ »¼
¼
137
Обратимся к более сложному примеру ARC-цепей.
Пример 5.27. Составить уравнения состояния для цепи, показанной на рис. 5.33 и содержащей ИНУН с коэффициентом пропорциональности m и операционный усилитель (ОУ) с дифференциальным входом
при P ОУ o f .
После составления матрицы проводимостей согласно выбранной
индексикации узлов при конечном значении P ОУ получим следующую
матрицу узловых проводимостей:
ªu1 t º
d «
u2 t »
»
dt «
«¬iL t »¼
ª G
« C
« 1
«
« 0
«
« 1
«¬ L
получим соотношения во временной области
1
1
G
­
°sU 1 s C U 1 s C I L s C I 0 s ;
1
1
1
°
1
°
I L s ;
®sU 2 s C1
°
°
1
1
U 1 s U 2 s °sI n s L
L
¯
Второе уравнение исходной системы сводится к sC2U 2 s I L s .
В результате из системы уравнений в s-области
sC1U1 s GU1 s I L s I 0 s .
или после перегруппировки членов –
G sC1 U 1 s I L s вследствие чего из первого уравнения найдем
Кроме того, видно, что
U 1 s U 2 s U L s Рис. 5.33
Выход
0
º1
»2 .
P ОУ G
»
1 PОУ sC2 G2 ¼» 3
4 ,5
Тогда
138
U 5 s U 4 s U C2 s .
G1U C1 s GU C2 s G1U 1 s ;
sC 2 >U 5 s U 4 s @ PG2U C1 s G2U C1 s ;
sC1U C1 s ­sC1 G G U 2 s G1U 1 s GU 5 s 0 ;
®
¯ PG2U 2 s G2 sC 2 U 4 s sC 2U 5 s U C1 s .
Примем во внимание, что
U 5 s | U C1 s U C2 s , U 2 s U C1 s .
При P ОУ o f, U 2 s o U 4 s , выполняя предельный переход, получим U 2 s | U 4 s :
­ G1U1 s >1 P ОУ G sC1 G1 @ ˜ U 2 s P ОУ G ˜ U 4 s GU 5 s ;
® PG P sC U s >1 P sC G @U s sC U s .
¯
2
ОУ
2
2
ОУ
2
2
4
2 5
Отсюда следует система уравнений:
Вход
>Y s @
2 ,3,5
G1
ª G1
« G sC G 1 P G
1
1
ОУ
« 1
PG2 P ОУ sC2
¬« 0
1
U вых s U 1 s >С @0 ˜ ^s>1@ > A@ `1 ˜ >B@
>P
sPG1G2
а для 4-го узла –
C1
dt
du C2 t ;
139
u 4 t u C2 t .
u 3 t u C1 t u 2 t u C1 t μu
C2 t ;
C2
du C1 t u 3 t u 4 t ,
dt
R2
u 3 t u 4 t R2
u1 t u 3 t R1
.
s 2 C1C 2 sG1C 2 P 1G2 G
Примечание. Хотя уравнения состояния, как было показано в примерах, легко вывести из узлового описания цепи, однако их можно получить и непосредственно во временнуй области на основании первого
закона Кирхгофа, составленного для токов в выбранных узлах цепи.
На следующем примере покажем это.
Пример 5.28. Воспользуемся схемой примера 5.25 – см. рис. 5.31.
Для 3-го узла имеем
H U s u вых t ªu C1 t º
0@ ˜ «
» ; >D @ >0@ ; >С @ 0 >P 0@.
«¬u C2 t »¼
Таким образом, передача по напряжению составит:
>В @
ª G1
º
0» .
«C
¬ 1
¼
Выпишем в матричном виде выходное уравнение:
t
Во временной области найдем
G
Gº
ª
ª G1 º
1
d ªu C1 t º «
C1
C1 » ªuC1 t º « »
»˜«
«
» «
» « C1 » u1 t ;
u
t
dt «¬u C2 t »¼ « 1 P G2
»
«
C
0 ¬ 2 »¼ ¬« 0 ¼»
«¬ C 2
»¼
G1
Gº
ª
« C
C1 »
1
»;
> А@ «
« 1 P G2
»
0 »
« C
¬
¼
2
dt
u1 t u 3 t u 4 t u3 t R1
R2
C2
140
G2 u C1 t P 1 G 2 u C2 t .
dt
В совокупности из новых уравнений после деления на С1 и С2
получим результат, согласующийся с данными примера 5.25.
du C2 t Из второго уравнения непосредственно получим
G1 G2 uC1 t >PG1 P 1G2 @ ˜ uC2 t G1u1 t .
C1
duC1 t Выполняя перегруппировку слагаемых, получим:
H s , x s
jZ
141
H jZ, x N jZ, x .
D jZ, x В этом случае некоторую комплексную величину H jZ, x лучше
рассматривать в показательной форме
H jZ, x H jZ, x l jM H Z, x .
S xH s , x § N cs, x Dcs, x ·
x¨
¸,
(6.2)
© D s , x D s , x ¹
где штрихи относятся к производным по х.
Понятно, что учет производных позволяет судить об изменениях
H(s,x) лишь в пределах достаточно малых линейных вариаций х. Пусть
s j Z , тогда
S xH s,x N s, x – отношение номиналов, зависящих от х, то несложно
Ds, x установить, используя (6.1), что
S xH s,x dH s,x x d ln H s,x ˜
.
(6.1)
H s,x dx
d ln x
Одним из первых инициаторов ее введения являлся Боде Г., так что
эта функция иногда именуется чувствительностью по Боде [3].
Классическая чувствительность широко используется, когда надо
определить изменение амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик при изменении номинала любого из параметров элементов схемы. Если принять, что
Чувствительность цепи характеризуется величиной изменения (относительной или абсолютной) любой ее характеристики, вызванного
вариацией одного или нескольких схемных параметров. Классическая
логарифмическая функция чувствительности определяется отношением относительных изменений любой характеристики, например, системной функции H(s,x), где х – один или набор изменяющихся параметров,
и самого параметра, т. е.
6.1. Основные определения функций чувствительности
6. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЦЕПЕЙ
d H j Z, x x
d M H Z1 x ˜ j
˜x .
H j Z, x dx
dx
(6.4)
^
Re
S xH jZ, x `;
H j Z,x Sx
j M H Z, x ˜ S xM H Z,x .
(6.5)
dH s, x dx
(6.6)
S xH s,x 142
dH s, x ˜ х.
dx
(6.7)
без нормирующих множителей х, H s, x – это так называемая абсолютная
чувствительность.
Такого рода функция часто используется при расчете погрешностей, абсолютной точности измерений и т. п. случаях. В ряде вариантов, о
которых пойдет речь ниже, используется понятие полуотносительной
функции чувствительности
S xH s,x В (6.5) используются две функции: чувствительности модуля (т. е.
амплитудо-частотная характеристика (АЧХ)) и чувствительности аргумента (фазочастотная характеристика (ФЧХ)). Иногда первую из них
проще определить как раз из общей функции (6.2), а не вычисляя предварительно модуль H jZ, x .
Иногда в качестве меры изменения H s, x в зависимости от х принимают просто отношение приращений, т. е.
S xH j Z,x d M H Z, x M H Z, x ˜ S xM H Z,x .
dx
Таким образом, (6.4) можно представить в виде
H jZ, x Sx
Из (6.4) следует, что вещественная часть функции чувствительности характеризует чувствительность модуля H jZ, x , а минимальноее
изменение аргумента (фазы), т. е.
S xH j Z,x ln H jZ, x ln H jZ, x jM H Z, x .
(6.3)
Согласно (6.1), при использовании логарифмического представления (6.3) получим
Отсюда
i 1
П s s pi N 0 s, x k ˜ i n1
D0 s, x ,
(6,8)
i 1
i 1
S xH s, x i
ds zi x m ds pi x
.
¦
1 s s zi dx i 1 s s pi dx
n
S xk ¦
(6.9)
i
m S zi
S xpi
¦ x .
1 s s pi i 1 s s zi
n
S xk ¦
(6.10)
143
Можно показать, что любые примеры, рассмотренные выше, хорошо иллюстрируют то положение, при котором полиномы числителя
и знаменателя, т. е. N s, x и Ds, x , являются билинейными функциями
6.2. Некоторые свойства функций чувствительности
Очевидно, что домножив числители дробей первой суммы на pi,
а числители дробей второй суммы на zi в (6.10), получим соотношения
для классических чувствительностей всей системной функции и каждого из ее нулей, полюсов и постоянного множителя k. Рассмотренные определения позволяют аналогично сформулировать (6.1) и другие соотношения во временной области.
S xH s,x Используя определение (6.7) для нулевой или полюсной чувствительности, найдем (6.9)
d ln H s, x d ln х После деления обеих частей равенства на ln х и введения обозначения для функций чувствительности получим
n
m
ln H s, x ln k ¦ ln s s zi ¦ ln s s pi .
о
их нормировке, а s zi и s pi – нуль и полюс системной функции, то
где k – некоторый коэффициент, нулевой индекс полиномов говорит об
H s, x k ˜
m
П s s zi Выражения (6.7) часто используются при расчете корневой чувствительности (для нулей и плюсов) системных функций (введена И. Горовицем) для изменения характеристик цепи, как и (6.1), и в других случаях.
Несложно установить и связь между (6.1) и (6.7).
Если представить исходную системную функцию в виде
3
1.
n
m
n
i 1
i 1
i 1
¦ S xH s,x .
144
x
1 H s,x Sx
. В частности, при n = –1 S 1H s,x n
S хH s,x .
6. Для H s, x N s, x D s, x получим S xH s,x S xN s,x S xD s,x .
7. Независимое переменное имеет степень n, тогда
i 1
то S xH s,x m
¦ H i s, x S xH s,x ¦ H i s, x .
n
i 1
¦ H i s, x , тогда
0.
S xH 0 s, x .
mS xH 0 s,x ,
1
1 H 0 s, x Sx
; S x>СH 0 s, x @
3
mS xCH 0 s,x получим
¦ H i s, x ,
S xH s,x 5. Если H s, x S Hns,x x
1
4. Пусть H s, x S x>СH 0 s , x @
S xH s,x m
>СH 0 s, x @
так что, например,
3. При H
2. Пусть H s, x Сx , тогда S xcx
1. Если H s, x С – постоянная величина, то S xc
S xH s,x § N s D2 s ·
(6.11)
x¨ 2
¸,
© N s, x Ds, x ¹
т. е. нет необходимости в операции дифференцирования – достаточно
представить каждый из полиномов в билинейной форме.
Классическая форма функции чувствительности в (6.1) позволяет
установить следующие ее свойства или правила расчета.
Отсюда следует, что (6.2) сводится к выражению
Ds, x D1 s хD2 s .
N s, x N1 s хN 2 s ;
от х. Другими словами, имеет место разложение:
^
`
Re S xH s , x , а для полной функции – см. 6.5.
^
`
­
½
1
°
°
Re ® x
.
Mx ¾
°̄ S a x j M x ˜ S a x °¿
1
S axa .
k
s 2 b1s b0
s 2 a1s a0
.
Z0
145
D 2 E2 ;
D s s D 2 E 2 s 2 2Ds D 2 E2 .
Обычно применяются следующие обозначения:
Наибольший практический интерес представляют собой комплексные корни Ds , т. е.
s1,2 D r jE ;
H s N s D s Все названные свойства легко проверяются на основе (6.1), а их
использование снижает затраты на вычислительные процедуры, исключает лишние промежуточные преобразования.
Проиллюстрируем примерами полученные соотношения. Очень
часто системные функции второго порядка являются основными звеньями при построении цепей старших степеней, при этом в общем случае
15.
a x Sx
о S xa x 14. Если существует взаимосвязь a x и xa , то
a x tg a x S xa x .
a x ctg a x S xa x .
13. В случае H x cos a x S xH x 12. При H x sin a x S xH x 1
S xa s, x .
ln as, x a s, x S xa s,x .
11. В случае H s, x ln as, x S xH s , x 10. При H s, x l a s,x S xH s,x 1
Mm S xH s,x .
9. Для аргумента M Н s, x получим
M Н s, x H s, x Sx
8. Если рассматривается модуль меняющейся функции H s, x , то
Z0
; E
2Q
Z0 1 1
.
4Q
PG1G2
˜
C1C 2
G1G2
иQ
C1C 2
C1G2 1 P C 2 G1 G2 G1G2 C1C 2
.
. Определим
s
s >C1G2 1 P C 2 G1 G2 @ G1G2
C1C 2
C1C 2
2
1
Z
sG 0
1
G
sG 1
1
1 G1
s
2 G1
Z
sС 0
Z
1
sGQ1
G1G2C1C2
sG1
С1
1
sС
1
;
2
146
sGC11G2 1 μ C2 G1 G2 1 С
1
Z
sС1 ; sС 0
1
2
2
2
Для добротности Q имеем (п. 6):
Аналогично sG20
sPZ0
0.
1 – на основании свойств пп. 2 и 3.
2
1
.
2
По отношению к емкостным элементам получим
G1G2
CC
sG 1 2
1
переменных х  ^С1 , С2 , R1, R2 , P`.
чувствительность резонансной частоты Z0 и добротности Q от вектора
Ясно, что Z02
H U s Z
D s s 2 0 s Z0 2 .
Q
Пример 6.1. Проанализируем чувствительности системной функции второго порядка примера 5.25, где была установлена передача по
напряжению в виде
Таким образом,
D
Z0
,
2D
где Q – добротность полюсной пары.
В этом случае
Q
2
sGC11G2 1 μ ˜ C1G2 1 μ sGC12G1 ˜ C2G1 sGG12
2
C1G2 1 μ C2 G1 G2 2
C1G2 1 P C2 G1 G2 sPC1G2 ˜ C1G2 sPC1G2PC1G2P
1 sСC2 G1G2 ˜ C 2 G1 G2 1
2
2 C1G2 1 P C 2 G1 G2 C1G2 § G1 G2 C2 ·
¸¸Q .
˜ ¨1 C2G1 ¨©
C1G2
¹
CG
1
1 P 1 2 ˜ Q ;
2
C 2 G1
dH s, x 147
dH s, x dH s, x dH s, x ˜ dx1 ˜ dx2 ... ˜ dxn .
dx1
dx2
dxn
Задавшись требуемыми величинами добротности и резонансной
частоты и их возможными вариациями, а также рассчитав номинальные
значения параметров, на основании полученных функций чувствительности можно определить допуски на параметры элементов цепи. Действительно, пусть H s, x H s, x1, x2 , ..., xn , функция зависит от n-параметров. Тогда при одновременном изменении всех параметров получим
sPQ
sСQ
2
sСC11G2 1 μ ˜ C1G2 1 μ
1
2 C1G2 1 μ C2 G1 G2 § G ·
1 C1G2 1 μ r C2 G1 G2 1
1 ¨¨1 1 ¸¸Q ;
2 C1G2 1 μ C2 G1 G2 2
© G2 ¹
sСQ1
C1G2
C1G2
1
1
1
˜Q ˜Q,
C2G1
C2G1
2
2
где в числитель дроби были добавлены члены r С1С2 .
1
2
C1G2 1 μ C2 G1 G2 1
C1G2
1
C1G2
˜Q;
2 C1G2 1 μ C2 G1 G2 2
C2G1
1 C1G2 1 μ C2 G1 G2 sGQ2
s
2 G2
sGC1G2 1 μ ˜ C1G2 1 μ sGC1G1 ˜ C2G1 sGC2G2 C2G2
G1
1
sG
(6.12)
@
H s,x 2
py
n
¦ §¨ S xi
148
Одна из фундаментальных теорем теории цепей – теорема Телледжена, по-видимому, знакомая читателям по стандартным учебникам курса
ТОЭ [1, 2], позволила получить интересную и важную с точки зрения
сокращения вычислительных затрат теорему чувствительности (теорему Р. Рорера). Дальнейшее развитие идей теории присоединенных схем,
на которых основана теория Р. Рорера, позволило получить общие результаты и для многополюсных цепей, имеющих описание в различных
координатных базисах.
~
Пусть М и М обозначают исходную и присоединенную n-полюсные цепи. Введение понятия присоединенной цепи позволило избежать
6.3. Анализ чувствительности многополюсных схем
H s,x ·
¸ ˜ di ,
(6.14)
©
¹
i 1
где di – выбранные весовые коэффициенты.
В иных случаях более адекватным является подход с учетом статистических связей элементов между собой, их вероятных критериев. Статистический анализ допусков на параметры, расчет функций чувствительности высших порядков (т. е. чувствительностей от чувствительностей), оптимизация критериев, связанных с (6.13) и (6.14) – широко применяются при проектировании современных цепей и систем.
S
2
t
(6.13)
d ln H s, x s xH s, x d ln x ,
где t – соответствует транспозиции вектора-столбца чувствительностей.
Допуски на параметры элементов для худшего случая характеризуют
(6.12) и (6.13).
Иногда результирующая функция чувствительности определяется
как среднеквадратичная величина всех частных функций, взятых с соответствующими весовыми коэффициентами
>
Выражение (6.12) можно представить в виде матричного произведения вектора функции чувствительности и вектора относительных приращений параметров, т. е.
n
dx
dH s, x d ln H s, x ¦ s xH s, x i .
i
xi
H s, x i 1
После деления обеих частей равенства на H s, x найдем
t t
>Qs @ ˜ >N s @;
s
V jZ ,
(6.15)
>
ª'>Q1 s @ º
ª>Q1 s @ º
«'>Q s @» ˜ >N s @ «>Q s @» ˜ '>N s @ .
¬
¼
¬ 2 ¼
2
@
t
(6.16)
˜
ª
«¬'>Q1 s @
t
,
'>Q2 s @
t
'>N s @
t
t
t
t
@
tº
~
U s »
¼
> @ >
t
@
t
tº
~
U s »
¼
@
t
t
0.
0,
tº
~
U s » ¼
> @ >
t
tº ª~
ª
>
Q
s
@
,
>
Q
s
@
1
2
«¬
»¼ ˜ « I s ¬
149
t
@
> @ >
º ª~
»¼ ˜ « I s ¬
t
tº ª~
ª
'>N s @ ˜ «>Q1 s @ , >Q2 s @ » ˜ « I s ¼ ¬
¬
Если в (6.18) выполняется равенство
>N s @
t
> @ >
t
(6.19)
(6.18)
tº
~
U s »
0.
(6.17)
¼
Если произвести транспонирование обеих частей (6.16) и затем
выполнить подстановку согласно (6.17), то в результате получим
t
tº ª~
ª
'
>
U
s
@
,
'
>
I
s
@
«¬
»¼ ˜ « I s ¬
В (6.16) предполагалось, что матрица >Q s @ >Q1 s @ t , >Q2 s @ t
разбита для удобства дальнейшего анализа на два блока соответствующих
размерностей.
На основании теоремы Телледжера [2,4]
ª'>U s @º
«'>I s @ »
¬
¼
некоторая прямоугольная матрица размерности 2n u 2n k .
При вариациях параметров элементов исследуемой цепи согласно
(6.15) получим
столбец размером (2n – k) u 1 токов и напряжений на портах М; >Qs @ –
где базис содержит 2n–k линейно-независимых векторов, >N s @ – вектор-
t
>>U s @ , >I s @ @
необходимости выполнения операции дифференцирования при расчете
функций чувствительности и определить последние лишь путем перемножения токов и (или) напряжений соответствующих ветвей (портов)
исходной и присоединенной схем. Пусть исходный многополюсник имеет
следующее системное описание в s-области
@
t
t
˜
t
> @ >U~s @
t
tº ª~
ª
«¬>Q1 s @ , >Q2 s @ »¼ ˜ « I s ¬
t
º
w >U,I @
» Ÿ wx ;
¼
i
t
¼
t
t
t
0,
150
> @ >U~s @ t , т. е. матрица сопротивлений
t
t ~
или окончательно >Z s @ ˜ I s заменяется транспонированием.
t
>>Z s@ , >1@ @ ˜ ª«¬ >I~s @ , >U~s@ º»¼
Причем присоединенная цепь характеризуется следующей системой
в соответствии с (6.20)
w xi
>I s @ t ˜ '>Z s @ t ˜ >I~s @ Ÿ w >U,I @ .
¬
>I s @ t ˜ >'>Z s @ t , >0@@˜ ª«>I~s @ t , >U~ s @ t º»
t
(6.21)
xi  ^ x1, x2 , ..., xm ` .
В (6.21) xi принадлежит множеству переменных параметров цепи,
а символ «следует из» указывает на способ определения функции абсолютной чувствительности. В свою очередь (6.20) удовлетворяет условиям построения присоединенной цепи.
Выражения (6.20) и (6.21) являются основными для получения изменений при любых частотных параметрах портов; адмиттансных, импедансных, гибридных, волновых, параметрах передачи, а также урав~
нений для присоединенных многополюсных схем М .
Обратимся к рассмотрению ряда широко распространенных случаев.
а) Описание М через параметры сопротивлений >Z s @.
В данном случае
>N s @ >I s @ ; >Q1 s @ >Z s @ ; >Q2 s @ >1@ – единичная матрица.
Согласно (6.21) получим
>N s @
> @ >
t
tº
~
>N s @
U s »
>0@, (6.20)
¼
тогда на основании (6.20) и (6.18) найдем, что из формул следует
t
t
tº ª~
ª
˜ >Q1 s @ , >Q2 s @
«¬
»¼ ˜ « I s ¬
при произвольных составляющих вектора '>N s @ t , т. е.
>U s @ ; >Q1 s @ >1@ ; >Q2 s @ >Y s @.
ª>I s @ I º
>H s @ ˜ «
»
¬«>U s @ II ¼»
@
>
ª>Z s @ >Ps @º ª>I s @ I º
«>Ds @ >Y s @» ˜ «>U s @ » .
¬
¼ ¬«
»
II ¼
@
ª>Z s @ >Ps @º
;
« >0@
>1@ »¼
¬
>Q2 s @
> @
> @
>0@ º
ª >1@
«>Ds @ >Y s @» ;
¬
¼
>N s @
ª>I s @ I º
«
».
¬«>U s @ II ¼»
151
Несложно увидеть, что результаты пп. а) и б) входят в последнее
соотношение в виде частных случаев.
г) Описание через параметры передачи [А].
Опуская промежуточные выкладки для (6.21) получим
~
t
t
t
ª>I s @ I º ª'>Z s @ '>Ds @ º ª I s I º
w >U,I @
Ÿ
.
»˜« ~
»
«>U s @ » ˜ «
w xi
¬
II ¼
«¬'>Ps @ t '>Y s @ t ¼» ¬« U s II ¼»
Из (6.21) получим
>Q1 s @
В данном выражении выделены блочные матрицы размерностей,
определяемых из условий, что мерность векторов-столбцов токов и
напряжений индекса I может быть принята равной рu1; р z 0; р < n, так
как случаи р = n и р = 0 сводятся к пп. а) и б). Таким образом,
ª>U s @ I º
«
»
¬«>I s @ II ¼»
>
w xi
а присоединенная цепь удовлетворяет следующему матричному
t
равенству по (6.20) ~
>Y s @ t ˜ U~ s t , где, как и в первом случае,
I s фигурирует транспозиция исходной матрицы.
в) Описание через гибридные параметры >H s @.
Для гибридных параметров необходимо ввести различие между
входными и выходными переменными; примем, что индекс II относится
к независимым переменным вектора напряжений, а индекс I – независимым составляющим вектора тока, тогда
>U s @ t ˜ '>Y s @ t ˜ >U~s @ Ÿ w >U,I @ ,
Отсюда (6.21) приведет к
Здесь положим >N s @
б) Описание через параметры проводимостей >Y s @.
> @
> @
> @
> @
~
ª> A22 s @ t > A12 s @ t º ª U s II º
»,
«
»˜« ~
«¬> A21 s @ t > A11 s @ t »¼ «¬ I s II »¼
>b@
t
>а @
t
N s .
·
>a @ ¨¨ >s @ ¸¸ ˜ >a~ @,
© wxi ¹
t§w
1 ª>U @ I >I @ I º
«
»,
2 «¬>U @ II >I @ II »¼
1 ª>U @I >I @ I º
«
»;
2 ¬«>U @II >I @ II ¼»
§ w>b@ ·
¨¨
¸¸
© wxi ¹
ª>1@ >s @º
«>1@ >s @» ; N s ¬
¼
152
Для двухполюсных ветвей, содержащих Z(s) и Y(s) присоединенная цепь согласно пп. а) и б) будет содержать ветви с теми же иммитансами. Большой интерес представляет поиск присоединенных цепей для
идеальных трансформаторов и зависимых источников различных типов.
Рассмотрим примеры построения таких цепей.
6.4. Построение присоединенных цепей
>@
Здесь [b] – отражение волны, [a] – падающие волны. Присоединенная цепь характеризуется соотношением
~
b >s @t ˜ >a~ @.
где
тогда
>а@
где условием существования данного описания является неособенность матрицы в
правой части.
д) Описание через волновые параметры [s].
При использовании нормировки положим, что
~
ª U s I º
«~
»
«¬ I s I »¼
> @
> @
~
ª '> A11 s @ t '> A21 s @ t º ª I s I º
w>U,I @
»Ÿ
.
«
»˜« ~
t
t
wxi
«¬ '> A12 s @ '> A22 s @ »¼ «¬ U s II »¼
Уравнение для присоединенной цепи составит
ª>U s @ II º
«
»
¬«>I s @ II ¼»
ª §1·
« '¨ n ¸
« © ¹
¬« 0
1
º
0»
;
»
0¼»
0¼
@t
153
º
0º » ~
~
~
~
˜ I1 s , I 2 s , U1 s , U 2 s »
»
0¼
»¼
'n ~
~
~
~
§ 1 ·~
U 2 s '¨ ¸ I1 s I 2 s 'nU1 s U 2 s 2 I1 s 'nI 2 s U1 s n
© ¹
n
~
~
U1 s I 2 s I 2 s U1 s 'n .
>
ª A21 s A22 s º
;
« 0
0 »¼
¬
ª0 'nº
'>Q2 s @ «
.
0 »¼
¬0
>Q2 s @
'>Q1 s @
¬
ª1
º ª~
º
« n 0 » ˜ «U 2 s » ,
~
«
» « I s »
¬0 n ¼ ¬ 2 ¼
>N s @ t >U 2 s , I 2 s @;
A s A12 s º
>Q1 s @ ª« 11
»;
Отсюда получаем:
ªª § 1 ·
º
'¨ ¸ 0 » ª 0
«
«
,
>U 2 s , I 2 s @ ˜ «« © n ¹
» «¬ 'n
0¼»
«¬¬« 0
~
ªU 1 s º
«~
»
¬« I1 s ¼»
~
ª n 0 º
ªU 2 s º
«
»
˜ «~
»
1
« 0 »
« I 2 s ¼»
¬
¬
n¼
т. е. схема осталась без изменений.
Для (6.21) получим
1
Пример 6.2. Определить описание идеального трансформатора с
~ и найти сумму согласно (6.21).
коэффициентом трансформации n для M
Исходное описание для М составляет
ª1
º
0 » ªU 2 s º
­U 2 s nU 1 s ªU1 s º «
или «
˜«
n
®
»
».
¯ I1 s nI 2 s ¬ I 1 s ¼ «0 n » ¬ I 2 s ¼
¬
¼
Согласно п. г) получим
Рис. 6.1
>I1 s ,
154
>
@t
ª0 0 0 'Ds º ~
~
~
~
U 2 s @ ˜ «
˜ I1 s , I 2 s , U 1 s , U 2 s »
0¼
¬0 0 0
~
I1 s U 2 s 'Ds .
Таким образом, получили коэффициент Ds – см. рис. 6.1, б.
Для расчета чувствительности по (6.21) найдем
ª 0 0 º ª I 1 s º
«Ds 0 » ˜ «U s » ,
¬
¼ ¬ 2 ¼
присоединенная цепь имеет следующее описание:
~
~
ªU 1 s º ª0 Ds º ª I1 s º
˜
«~
» «
».
«
0 »¼ ¬«U~ 2 s ¼»
¬« I 2 s ¼» ¬0
ªU 1 s º
« I s »
¬ 2 ¼
Согласно п. в) при описании цепи через гибридные параметры
б)
а)
Пример 6.3. Найти присоединенную цепь для ИТУТ с коэффициентом пропорциональности a(s) – рис. 6.1, а.
ª I 1 s º
«U s »
¬ 2 ¼
Рис. 6.2
155
~
~
~
I1 s Ps I x s ; U 2 s 0 ,
>
@t >0@.
ª ª1 Ps º ª0 0º º ~
~
~
~
˜«
˜ I1 s , I 2 s , U1 s , U 2 s « «¬0
»
»
»
0 ¼ ¬0 1 ¼ ¼
¬
Выполняя умножение матриц, получим:
>Q1 s @
ª 1 0º
ª0 0 º
«Ps 0» ; >Q2 s @ «0 1 » .
¬
¼
¬
¼
Отсюда следует описание присоединенной цепи из (6.20):
ª 0 0º ªU 1 s º
«Ps 0 » ˜ « I s » .
¬
¼ ¬ 2 ¼
Из (6.15) получим следующие матрицы:
б)
а)
Пример 6.4. Определить присоединенную цепь для ИНУН с коэффициентом пропорциональности P(s) – рис. 6.2, а.
ª ª0
I 2 s @ « «
¬ ¬0
Δμs º
0 »¼
>
@
t
~
~
~
ª0 0 º º ~
,«
I1 s , I 2 s , U1 s , U 2 s »
»
0
0
¬
¼¼
~
U1 s I 2 s Δμs .
156
Рис. 6.3
Без источников
Остальные ветви
Аналогичным образом могут быть исследованы и оставшиеся типы
зависимых источников.
При анализе функций чувствительности системных функций многополюсной цепи необходимо выделить ветви портов из (6.17), перенести их влево, справа останутся лишь члены, связанные с внутренними
ветвями цепи. Выбор функций возбуждения позволяет с учетом (6.21)
определять абсолютные чувствительности.
Итак, обратимся к рассмотрению рис. 6.3 многополюсника, где часть
источников напряжений может замещаться источниками токов в зависимости от исследуемых системных функций.
>U1 s ,
т. е. получили ИТУТ с коэффициентом пропорциональности Ps – см. рис. 6.2,
б, согласно (6.21)
>
t
b
t
t
b
p
t
t
b
p
t
t
t
t
(6.22)
@ >
@
w Uk
˜
wx I i
k zi
1 wU k
˜
I i wx
w
Z пер ,
wx
@
>U b s @ t ˜ '>Yb s @ t ˜ >U~b s @ .
@ >
(6.24)
H I s 157
s 2 LCR2 sCR1 R2 L R1 R2
R1
R1
.
D s В этом случае можно рассматривать изменения по току для входных и передаточных проводимостей. Для передач по напряжению и току
надо воспользоваться п. в) – гибридными параметрами.
Пример 6.5. Для цепи, показанной на рис. 6.4, определить чувствительности S RH I s , S LH I s и SCH I s , где
де H I s – передача по току..
Несложный анализа позволяет получить
>U p s @t ˜ '>Y p s @t ˜ >U~ p s @t
>
т. е. эти функции отличаются лишь постоянным множителем Ii.
Ii – входной ток, i-порта – возбуждение, не зависящее от х.
Таким образом, расчет чувствительности по (6.23) приведет к не~
обходимости выбора подходящих возбудителей I p s и I p s .
Для параметров проводимостей по п. б) получим
wH U
wx
Если есть необходимость в рассмотрении вариации порта по напряжению, входных или передаточных сопротивлений, то
@ >
Примем, например, что со стороны входов n-порт описывается матрицей сопротивлений, а токи и напряжения внутренних ветвей связаны
импедансами ветвей, тогда с учетом ориентации токов по рис. 6.3, повторяя выкладки п. а), получим
t
~
>I b s @ t ˜ '>Z b s @ t ˜ >I b s @. (6.23)
I p s t ˜ ' Z p s t ˜ I p s b
' U p s t , ' I p s > > @ > @ @ ˜ ª«¬>I~ s @ , >U~ s @ º»¼
>'>U s @ , '>I s @ @ ˜ ª«¬>~I s@ , >U~ s @ º»¼ .
На рис. 6.3 указаны ориентации токов и напряжений в портах. Внутри указаны векторы токов и напряжений внутренних ветвей >I b s @ ,
>U b s @. Согласно (6.17) получим
>
158
ª'>Z s @ t '>Ds @ t º ª0º
>1 0@ «
»˜« »
t
t
1
¬«'>Ps @ '>Y s @ ¼» ¬ ¼
@
'>Ds @ t .
Согласно п. в) надо выбрать в левой части (6.22) следующие векторы напряжений и токов в портах 1 и 2 соответственно для коэффициента
Ds H I s .
~
ª'>Z s @ t '>Ds @ t º ª I p1 s º
»
I p1 s , U p2 s ˜ «
»˜« ~
«¬'>Ps @ t '>Y s @ t »¼ «¬U p2 s »¼
Рис. 6.5
Рис. 6.4
В данном случае рис. 6.3 приведет к рис. 6.5, где удален исходный
источник I s и введены дополнительные U p1 s и U p2 s с токами
ами
I p1 s и I p2 s .
@
S
R1 R2
.
D s H I s R1
H s SL I
S
1
~
; I L s D s В результате получим:
~
I R 1 s D s 159
D 2 s sR1 sCR2 sL 1
2
;
;
1
~
; U C s D s s 2 LCR2 sL R2
~
I R 1 s sL R1 .
D s На портах присоединенной цепи имеем: I p1 s 0 , U p2 s 1 В –
источник напряжения в 1 В. В этом случае
U C s R1 sCR2 sL 1
;
D s I L s s 2 LCR 2 sL R2
;
D s I R 1 s Несложные выкладки приведут к
~
H s H s H I s H s H s S ˜S I .
I R s I R s ; S L I
S ˜S I ; S I
C
YC
R1
ZL
1
Поскольку для обратимой цепи структура схемы, присоединенной
к цепи (рис. 6.5), не меняется, то в исходной цепи на первом порте
включен источник тока I p1 s 1 A, а второй порт имеет U p2 s 0 .
и
с учетом направления тока I p1 s ~
~
~
'>Ds @ 'H I s I R1 s I R1 s 'R I L s I L s 'sL U C s U C s 'sC
>
Правая часть (6.22) содержит следующие произведения:
~
0
0 º ª I R1 s º
ª'R1
«~
»
I R1 s , I L s , U C s ˜ « 0 'sL 0 » ˜ « I L s » ,
»
«
«¬ 0
Cs »¼ ««U~C s »»
0
¬
¼
sR1 R2 sL R1 PG1G2
˜
C1C2 s 2 1
2
0,5
С2
2 Ф , P 1.
s s 0 ,5
U С1 s U 1 s U G1 s PU С2 s s
2
s
s s 0,5
2
G1G2
' s ;
;
160
;
s s 0,5
sC 2 G1 G1G2 1 P s
.
2
' s s s 0,5
U С2 s U 1 s U G1 s U G2 s sC 2 G1
' s s 2 s 0 ,5
U G2 s U 3 s U 4 s U G1 s 's C1C 2 s 2 s>C1G 2 1 P C 2 G1 G2 @ G1G 2 ;
s 2 C1C 2 sC1G2 1 P sC 2 G2
;
' s .
s s 0,5
Обратимся к рис. 6.6, где изображена исходная цепь а и присоединенная б.
Прямой анализ цепи рис. 6.6, а позволяет определить следующие
напряжения ветвей:
G G sC 2 U G1 s U 1 s U 3 s 1 1 2
'
H U s R2 1: , С1
s
>C1G2 1 P C2 G1 G2 @ G1G2
C1C2
C1C2
или при следующих номиналах: R1
H U s .
D 2 s Полученные результаты легко могут быть проверены непосредственно дифференцированием H I s .
Рассмотрим численный пример расчета чувствительности для цепи,
показанной на рис. 5.29 (примеры 5.25 и 6.1).
Пример 6.6. Передача по напряжению для указанной цепи имеет
вид
H s SC I
Рис. 6.6
~
U С2 s PsC1 G1 ' s PG2
' s 161
2
1
2s 1
;
;
s s 0,5
2
2s 1
s s 0,5
2
s s 0,5
~
~
U G1 s U G2 s ~
U G2 s ~
U G1 s ;
Расчеты, выполненные для цепи на рис. 6.6, б, приведут к
б)
а)
~
U G1 s s 2 s 0,5
1
;
S
H U s С2
H s SP U
'2 s s 2s 1
;
'2 s ss 0,5
;
~
U С s I
'2 s s
2s 12
~
sU С1 s U С1 s 2
;
s s 1
~
;
sU С2 s U С2 s 2
' s H U s G2
~
U G1 s U G1 s H U s sС 2
S
H U s С1
sS
H U s G1
~
sC1U С1 1
162
.
'2 s Заметим, что чувствительность функции передачи по напряжению
по отношению к P определялась из того обстоятельства, что правая часть
(6.17) содержит множители с приращением 'P согласно данным примера 6.4.
Левая часть (6.17) содержит знак минус, но и приращения проводимостей правой части также давали отрицательные знаки за исключением слагаемого от 'P, входившего со знаком плюс.
Результаты данного примера также можно проверить прямым дифференцированием HU s . При этом необходимо подчеркнуть, что метод
д
присоединенных схем позволяет не только избежать операций прямого
дифференцирования системных функций, но и получить функции чувствительностей по всем параметрам элементов цепи всего при двух анализах – исходной и присоединительной цепей, что значительно сокращает вычислительные затраты.
S
S
~
I
2
2s 1
.
's Искомые функции чувствительностей составят:
~
U С1 s 1. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. ТОЭ. – М.; Л.: Энергоиздат, 1981. – 1536 с. –
163
2. Матханов Д. Н. Основы анализа электрических цепей (Линейные цепи). –
М.: Высшая школа, 1990. – 400 с.
3. Мезон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы, системы. – М., 1963. –
620 с.
4. Основы анализа и синтеза электронных цепей. Под ред. проф. П. А. Ионкина. – М.: Высшая школа, 1972. – 636 с.
5. Сигорский В. П., Петренко А. И. Алгоритмы анализа электронных схем. –
Киев; Техника, 1970. – 396 с.
6. Крон Г. Тензорный анализ сетей. Радио и связь. – М., 1978. – 720 с.
416 с.
Рекомендуемая литература к гл. 5 и 6
Представленные методы и приемы анализа цепей ни в коей мере не
претендует на исчерпывающую полноту охвата всех подходов к анализу
сложных цепей. Авторы намеренно избегали обсуждения числовых алгоритмов анализа, вопросов анализа устойчивости цепи (ни на минуту
не упуская из виду ее важности для активных схем), статистических и
вариационных принципов и многих других, несомненно, важных для
решения указанных проблем. В последнее время особое значение стали
приобретать исследования в области хаотических явлений сложных цепей.
Авторы не рассматривают (за исключением нескольких примеров)
анализ собственно нелинейных цепей, поскольку это выходит за рамки
изложения. Этим вопросам будет посвящен отдельный выпуск пособия.
Заключение
164
Основной акцент при рассмотрении характеристик будет уделяться свойствам фильтров нижних частот (ФНЧ), принимаемых в качестве
7.1. Этапы аппроксимации характеристик фильтров
В настоящей главе кратко проанализированы основные этапы проектирования фильтров, реализованных на базовом наборе элементов:
резисторах, емкостях, операционных усилителях напряжения. Они включают в себя, прежде всего, вопросы апроксимации частотных и(или) временных характеристик синтезируемых селективных устройств на основе исходных требований к ним. Результатом решения задач первого этапа является получение одной или нескольких системных функций дробно-рационального типа минимального порядка (старшей степени полинома знаменателя).
Второй этап предлагает собственно задачу реализации аналоговой
или цифровой цепи с базовым набором элементов последней в виде сумматоров, элементов задержки и усилителей. Для аналогового случая предложены несколько вариантов реальных схем, ориентированных на различные значения величины добротности полюсной пары: нескольких
единиц, нескольких десятков и, наконец, сотен. Основная цель – получение цепи с минимальным (или близким к нему) количеством используемых элементов для каждого диапазона значений добротности.
Заключительный этап проектирования включает в себя задачу перехода к реальным параметрам цепи (денормирование элементов), рекомендации по последовательности соединения реализованных звеньев
первого и второго порядков, расчету функций чувствительности к вариациям параметров элементов и т. п.
Все этапы проектирования сопровождены иллюстративными примерами проектирования фильтров с конкретными частотными и(или)
временными характеристиками, необходимыми теоретическими предпосылками и справочными таблицами, позволяющими спроектировать
желаемые системы без обращения к специальной литературе и детальным справочникам. Впрочем, интересующихся данными проблемами
подробнее можно отослать к достаточно фундаментальным работам
в данной области [1, 2].
7. ПРОЕКТИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ АКТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
k
s m bm1 s m1 bm Z s m 2 ... b0
s n a n1 s n1 a n Z s n2 ... a 0
;
m t n,
(7.1)
Aе
T jZ
Z
d 1 ; T j: ZС
Aе j: ; 0 d : d 1 ;
Z
Z Х . Поскольку данные
(7.2)
165
a1c – минимальное затухание в полосе прозрачности; :1 – нормированная
граница этой полосы; : – нормированная частота относительно
граничной частоты пропускания ZС .
Кратко рассмотрим известные методы аппроксимации АЧХ и ФЧХ
фильтров.
характеристики не могут быть реализованы с помощью (7.1) при
конечных значениях m и n, технические характеристики затухания а
(величины, обратной T j Z , выражаемой в логарифмах) представлены
на рис. 7.1, б.
Здесь a0c – максимальное значение затухания в полосе прозрачности;
A , MZ Z
0;
! 1; T jZ 0 ; : ! 1 .
ZС
; 0d
Из (7.2) видно, что Е T j Z
T jZ
Z ·¸
¨ Z ¸¸
© С¹
j ¨¨
§
При aj = 0 (a0 z 0) получим системную функцию полиноминального
типа, не имеющую конечных нулей передачи (все нули расположены
в бесконечности).
Обратимся к идеальным характеристикам ФНЧ, показанным
на рис. 7.1 (АЧХ- и ФЧХ-характеристики).
где k – постоянный коэффициент.
T s прототипов при проектировании фильтров верхних частот (ФВЧ), полосовых (ПФ) и заграждающих или режекторных (ЗФ). Решение проблемы аппроксимации приведет к определению системной функции дробно-рационального типа от переменной s V j Z вида
б)
а)
|T |
166
Рис. 7.1
M
1 H 2 ˜ : 2n
1
,
(7.3)
1
sin
(7.4)
1
отт
2
а 0c
е
20 lg T jZ
10 lg 1 H 2 : C2n и a1c 10 lg 1 H 2: 2n ,
167
то нетрудно вывести формулу по определению порядка n, обеспечивающего данную величину затухания и неравномерности:
Sk
j
2k 1
S
(7.5)
˜ S j cos 2k 1 ; k 0,1, 2 ...
2n
2n
Из (7.5) следует, что полюсы устойчивой цепи расположены на полуокружности в левой полуплоскости s.
Пример 7.1. Определить функцию передачи ФНЧ при неравномерности в полосе пропускания 1 дБ, а при Z 2ZС затухание превышает
30 дБ.
Поскольку
S 2k 1
1
2 n
максимального) при : 0 получим H 2 1 , т. е.
1
1
T 2 : .
; T s T s 2n
1 :
1 1n s 2 n
Из (7.4) следуют значения полюсов передачи:
передаваемой мощности (уровень напряжения тока
2
,
1 H ˜ : 2n
тогда при : 1 (граница полосы пропускания) и половинной
T 2 : где H 2 – коэффициент, определяющий неравномерность характеристики
фильтра в полосе пропускания. Поскольку
T j: T : Несложно показать, что для получения максимально гладкой аппроксимации, т. е. при равенстве нулю для Z 0 всех производных отт
T s полиноминального типа до n порядка включительно нормированная системная функция с учетом (7.1) и рис. 7.1, б примет следующий
вид (для модуля):
1. Фильтры Баттерворта (максимально гладкая аппроксимация)
ln
2 ln 2
103 1100,1 1 | 5,96 .
0,7071 r j 7071;
S
S
r j cos
4
4
sin
5S
5S
r j cos
12
12
0,9659 r j 0,2588 .
0,2588 r j 0,9659 ;
S
S
r j cos
12
12
sin
sin
2
2
2
2
>s 0,2588 0,9659 @ u >s 0,7071
u >s 0,9659 0 ,2588 @ .
2
@
0 ,70712 u
изменить на
n
:
1
˜s
168
0,25893 ; H
0,50885 ;
, где H можно найти из выражения (с учетом (7.3).
1 10 lg 1 H 2 ; H 2
H
Однако по поставленным в примере (1) требованиям затухание
в полосе прозрачности не должно превышать 1 дБ, т. е. частоту s надо
D s Отсюда определим
Ds s s0 s s5 s s1 s s4 s s2 s s3 ;
s 2 ,3
s1, 4
s0,5
функции T s 1
, АЧХ которой имеет затухание 3 дБ на границе
D s полосы пропускания.
Согласно (7.5) получим:
Принимаем n = 6 (ближайшее целое число).
Предварительно определим полином знаменателя системной
n
На основании заданных условий получаем:
n
§10 0,1a1c 1·§10 0,1a0c 1·
¸
¸¨
¨
¹©
¹.
lg ©
:
2 ln
:C
˜
s
. Если дополнительно
:C
:C
;
0,8935
:C
;
0,8935
V 2 Z2 ;
s V 2 Z2
N s ;
1
Z0
– вещественная и мнимая
ая
и Z Z0 1 2Q
4 Q2
169
части полюсов соответственно, то пара полюсов фильтра Баттерворта с
полюсной пары; V
Q
Z02
N s Z
s 2 0 ˜ s Z02
Q
V 2 Z2
,
2V
где N s – полином числителя (не выше второй степени); Q – добротность
T s 0,9659 r j 0,2588
0,7071 r j 7071
0,2588 r j 0,9659 :C
.
0,8935
Одной из самых распространенных форм реализации T s , как известно, является каскадное соединение звеньев второго и третьего порядков.
Поскольку системная функция звена второго порядка имеет вид
s 2, 3
s1, 4
s 0 ,5
ввести новую переменную в полученные выше значения корней Ds ,
то окончательно найдем
подстановке нового значения частоты 0 ,8935 ˜
n
1
s
s
s
0,50895 6 ˜
0,8935 ˜
.
:C
:C
:C
В итоге общее изменение системной функции производится при
H
1
а :С – любое значение частоты среза при ZС z 1 .
Таким образом найдем новое значение частоты
sin
S
S
r j cos
2n
2n
Z0
1
.
r jZ0 1 2Q
4Q 2
V 2 Z2
2V
1
2V
1
1 H 2 ˜ : 2n
1
,
(7.6)
модуля T : по высоте составляет
1 H2
, : 0 – характеризует полосу
су
Vn1 : 170
2:Vn : Vn1 : .
(7.7)
пропускания ФНЧ.
Ясно, что V0 : 1, V1 : . Для любогоо n ! 1 можно воспользоваться рекурсивной зависимостью:
2
H2
Как показано на рис. 7.2, функция T s имеет колебательный
характер, причем расстояние между пиками колебаний для квадрата
2
Vn : cos n arccos : , H – постоянный коэффициент..
где Vn : – нормированный полином Чебышева n-порядка,
T : 2. Фильтры Чебышева (равноволновая аппроксимация)
Рассмотрим системную функцию
.
S
2 sin
2n
Так, например, в примере 7.1 Q = 1,93, а для n = 10 Qmax = 3,20.
Данное обстоятельство весьма привлекательно при реализации таких
функций с малыми значениями функций чувствительности, зависящих
от Q.
Недостатками фильтров Баттерворта можно считать недостаточную
крутизну затухания в переходной полосе частот от 1 до , и значительные
выбросы переходных характеристик.
Qmax
Для полиномов Баттерворта Z0 1 и потому максимальное значение добротности составит
s0, n 1
максимальной добротностью может быть определена из (7.5) при k = 0 и
k = n – 1. Так что имеем
1
0
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Т2(Ω)
Ω0
171
a
c
Таблица 7.1
Vn : cos n arccos : :
2 :2 – 1
4 :3 – 3 :
8 :4 – 8 :2 + 1
16 :5 – 20 :3 + 5 :
32 :6 – 48 :4 + 18 :2 – 1
64 :7 – 112 :5 + 56 :3 – 7 :
128 :8 – 256 :6 + 160 :4 – 32 :2 + 1
256 :9 – 576 :7 + 432 :5– 120 :3 + 9 :
512 :10 – 1280 :8 +1120 :6– 400 :4 + 50 :2–1
Рис. 7.2
а – кривая четного порядка,
b – кривая нечетного порядка,
с – фильтр Баттерворта
b
H2
1 H2
Ω
В табл. 7.1 представлены полиномы Чебышева согласно (7.7) от n =
1 до n = 10. Заметим, что можно воспользоваться и зависимостью вида
Vn : ch n arccos : , которая лучше подходит при : t : 0 , а исходная –
для : d : 0 .
1 H2
1
cos
@
2
1 H 2
3
˜ n2
:0 1, H |1
@
§ n · ˜ n,
¨
¸
© 2 2¹
kS
. Крутизна АЧХ при
n
: !!1
>
# 10 lg 1 H 2 2 n 1 : n # 20 lg 2 n 1 H: n
n
172
0,1ac
0,1 ac
Arch ª§¨10 1 1·¸ / §¨10 0 1·¸º
«¬©
¹ ©
¹»¼
1
2
/Arch
Z
.
ZC
(7.8)
Последние два слагаемых отвечают фильтру Баттерворта (проверьте
это самостоятельно). Так что дополнительное затухание фильтров
Чебышева при : >> 1 составляет 6 (–1) дБ, что позволяет при одинаковых
требованиях к а1 обойтись более низким порядком T(s).
C учетом (7.6) и рис. 7.2, б можно установить формулу для
определения порядка системной функции
20n 1 lg 2 20 lg H 20 n lg : 6n 1 20 lg H 20 n lg : .
D1 # 10 lg 1 H 2Vn2 : >
где множитель в круглых скобках соответствует крутизне фильтра Баттерворта при неравномерности в полосе прозрачности, равной также
3 дБ. Отсюда ясно, что крутизна нарастания затухания у фильтров Чебышева в n раз больше, чем при максимально гладкой аппроксимации АЧХ.
Теперь рассмотрим ситуацию в полосе режекции при : >> 1.
Согласно (7.6) и рис. 7.2, б
1
H2
cos
2k 1 S
та
˜ , а минимумы квадрата
2
n
: 0 1 при неравномерности в 3 дБ составит
d
T : d:
:0
0 , T : 1,
(см. рис. 7.2). Максимумы случаются
: 2
, то видно, что квадрат модуля
модуля – при cos n arccos : 0 , т. е. : min
при cos n arccos : 0 , : max
а при Vn2 : 1 o T 2 : колеблется между 1 и
1
1 H 2 Vn 2 : 1
точно n раз, так как при Vn2
1 H2
Поскольку T r (7.9)
1
2
# 4,
173
откуда выбирается ближайшее бóльшее целое число.
n
ª 10 3 1 º
Arch « 0,1 »
¬10 1¼
Z
Arch
ZC
порядок системной функции T s :
2
1,
где знаменатели у V k и Zk указывают на размеры малой и большой его
о
осей.
Поскольку в выражение (7.9) входит коэффициент H , то корни
полинома знаменателя T s должны рассчитываться для конкретной
величины H , что вызывает необходимость пользования детальными
таблицами справочников [1–3].
Рассмотрим в качестве примера проектирование T s фильтра
Чебышева при требованиях, обусловленных примером 7.1.
Пример 7.2. На основании а1c 30 дБ и а0c 1 дБ определим
º
ª
º ª
«
»
«
»
Zk
Vk
»
«
» «
« sh §¨ 1 Arsh 1 ·¸ » « ch§¨ 1 Arsh 1 ·¸ »
«¬ © n
H ¹ »¼
H ¹ »¼ «¬ © n
2
Из представленных соотношений ясно, что полюсы расположены
на эллипсе в левой части плоскости s, так как
sk
V k r jZn ;
1·
S
§1
V k sin 1 2k sh ¨ Arch ¸ ;
2S
H¹
©n
S
1
1·
§
Zk r cos 1 2k ch¨ Arch ¸ ;
2n
H¹
©n
k 0, 1, 2, ..., n 1.
Полюсы при равноволновой аппроксимации могут быть найдены
по формулам
0,206 ; H 2
r ln x x 1 .
2
ln x x 2 1 ;
0,1396;
1 ·
S §1
r cos ch¨ Arsh
¸ r0,9841;
8 ©4
0,5092 ¹
V1, 2 0,337 ; Z1,2 r0,4067 .
1 ·
S §1
sin sh ¨ Arsh
¸
8 ©4
0,5092 ¹
@>
@
1 H2
1
для
H , где Н
D s Q max
V Z
2V
2
2
Z0
1
r jZ0 1 ;
2Q
4Q 2
174
ª
º
S
cos
«
»
1
2n
»
1 «
S
1
1 ·»
§
«
2 sin
sh Arsh ¸
«¬ ¨© n
2n
H ¹ »¼
s0, n 1
Q maxB ˜ Mn, H ,
Ds s 0,1396 2 0,98412 ˜ s 0,337 2 0,4067 2 ; Н 0,2454 .
Заметим, кстати, что фильтр Баттерворта потребовал в этом случае
n = 6.
Любопытно отметить также и максимальную добротность
полюсной пары фильтров Чебышева.
Исходя из (7.9) получим при k = 0 и k = n – 1
>
n – четных.
В нашем случае
выбирается для получения T 0 1 при n – нечетных и
В итоге определим полином знаменателя для T s Z0,3
V 0, 3
2
0,2593; H 0,5092 .
1 H
Рассчитаем полюсы по формуле (7.9)
Согласно рис. 7.2
H
Arch x
Arsh x
При расчетах удобно пользоваться выражениями через натуральные
логарифмы:
эллиптический косинус, sc Z
0
³
M
175
sn Z
– тангенс, cs Z
cn Z
dx
cos M –
(7.10)
cn Z
– котангенс,
sn Z
; 0 d m d1 .
1 m sin 2 x
Будем считать, что sn Z sin M – эллиптический синус, cn Z
Z M, m АЧХ данных фильтров обладают равноволновыми колебаниями как
в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Общая форма кривой показана на рис. 7,2, а сплошной линией. Системная функция T s уже не является полиноминальной и содержит конечные нули передачи,
лежащие на мнимой оси.
АЧХ эллиптических фильтров, названных так потому, что теоретическое рассмотрение их характеристик основано на использовании эллиптических функций и интегралов, обладает еще большей крутизной
нарастания затухания, чем фильтры Чебышева того же порядка. Отсюда
следует, что для удовлетворения тех же требований по затуханию и неравномерности порядок эллиптического фильтра будет ниже, чем у Чебышева (и подавно по сравнению с фильтром Баттерворта).
Обратимся к рассмотрению некоторых положений теории эллиптических функций (без доказательств).
Эллиптическим интегралом первого порядка называется интеграл
вида
3. Фильтры Кауэра–Золотарева (эллиптические фильтры)
n = 10 Q max 22,3 , что ~ в 7 раз выше, чем у фильтров Баттерворта,
последнее, естественно, скажется на ужесточении требований
к реализации таких звеньев.
Можно рассматривать и класс Чебышевских фильтров с равноволновой аппроксимацией в полосе задерживания и монотонным характером затухания в полосе прозрачности. Интересующихся отсылаем
к литературе [1, 4]. Такие характеристики будут использованы также
и в разделе цифровых фильтров.
где Q maxB – максимальная добротность фильтров Баттерворта; Mn, H –
функция, определяемая радикалом и зависящая от n и H. Например, при
n = 4 Q max # 3,6 (неравномерность в полюсе прозрачности 1 дБ), а для
1 m sin 2 Z 12
(7.11)
dx
sin M
Аналогично можно показать, что
th Z
0
sn 1.
³ cos x ; Z Arth sin M
M
(7.12)
sn >k m ; m@
176
M
sin
1; sn >2k m ; m@ 0 и т. д.,
M
S
, то получается полный эллиптический интеграл
л
Если M
2
·
§S
k m Z ¨ ; m ¸ .
2
¹
©
На основании (7.10) видно, что
sn jZ , m1 sin J ; ch jZ , m1 cos J ;
J arctg j sin M; sn Z , m j sc jZ , m1 ;
1
;
sn jZ , m j sc Z , m1 ; сn jZ , m сn Z , m1 dn Z , m1 ; sc jZ , m j sn Z , m .
dn jZ , m сn Z , m (7.13)
cn Z ; 1 dn Z ; 1 cos M sch Z .
Если ввести дополнительный параметр m1 = 1 – m и произвести
замену переменной sin x j tg H , то можно получить следующие
соотношения:
или
Z M ; 1
sn Z , 0 sin Z ; cn Z , 0 cos Z ; dn Z , 0 1.
При m = 1 из (7.10) найдем:
В частных случаях при m = 0, Z = M получаем тригонометрические
функции:
sn > Z M ; m @ sn >Z M ; m @ sin M sin M ;
cn Z cn Z ; dn Z dn Z .
– дельта-функция, не имеющая аналогов
в тригонометрическом варианте.
Из (7.10) следует, что Z M ; m Z M ; m , откуда получим:
dn Z
d12 mC12 s12
,
D
dn Z1 Z 2 dn Z1 Z 2 s n Z 1 ; m ; s 2
s n Z 2 ; m .
q
k m k m1 k m l
177
1 1
ln .
k q
1 1 m1 4
˜
;
1
2
1 m1 4
1
l 2l 5 15l 9 150l13 ... ;
2
S
1 2q 2q 4 2q 9 ... ;
2
(7.15)
При расчете функций Якоби можно использовать специальные таблицы или применять следующие соотношения:
D 1 ms 12 s 22 ; s1
где приняты следующие обозначения:
C12 s22 d12
;
D
cn Z1 Z 2 cn Z1 Z 2 следует, что, поскольку период sc Z ; m1 есть 4k(m), то вдоль мнимой
оси период sn также равен 4k(m).
Иногда введенные выше функции (их общее число составляет 12)
называют функциями Якоби.
При расчете фильтров потребуются следующие формулы:
sC d s C d
sn Z1 Z 2 1 2 2 2 1 1 ;
D
C1C2 s1d1s2 d 2
сn Z1 Z 2 ;
D
d d ms1C1s2C21
dn Z1 Z 2 1 2
;
D
(7.14)
s 2 s22
sn Z1 Z 2 sn Z1 Z 2 1
;
D
т. е. эллиптический синус – периодическая функция с периодом 4k(m) по
вещественной оси. В то же время из (7.13) для sn jZ ; m j sc Z ; m k m1 1 16
| ln , если m o 1 , то
о
k m S m
1 2q 2q 4 2q 9 ...
u
2
6
12
1 2q 2q 4 2q 9 ...
u
(7.16)
пропускания : C
1
2
, считая граничную частоту полосы
178
§ H1 ·
уют
¨¨ ¸¸ , где H1 и H 2 характеризуют
© H2 ¹
:2
1, m
1. Определяем m
Z
.
Dq,U 1 2q cos 2S U 2q 4 cos 4 SU 2q 9 cos 6SU ; U
k
2
m
Обратимся к иллюстрированному примеру расчета АЧХ с требованиями, рассмотренными в примере 7.1, при этом будем придерживаться
следующего алгоритма расчета.
Здесь обозначены:
1 q q q ...
cos SU q 2 cos 3 SU q 6 cos 3 SU ...
;
u
Dq ; U 1 2q 2q 4 2q 9 ...
dn Z , m u
1 2q 2q 4 2q 9 ...
1 2q cos 2SU 2q 4 cos 4 SU 2q 9 cos 6SU
u
.
Dq, U cn Z , m 1 q 2 q 6 q12 ...
sin SU q 2 sin 3 SU q 6 sin 3 SU ...
;
u
Dq ; U sn Z , m k m1 1 16
| ln .
k m S m
Для самих функций можно использовать следующие формулы:
Если m близко к нулю, то
C
1 H 22
k0
. Как H1 , так и H 2
1 H12
k0
k m1c k m 2 4H 2
8
| 2 ln
.
ln
c
k m1 k m S
H1 :1 1 m o1, mco 0
r j
;
ªГ
º
m 2 sin « k m ; m»
¬N
¼
1
1
k m k m §1
·
Arsh
sC 1 ¨ ; m c ¸ |
c
c
H1
Nk m ©H
¹ Nk m m o0
.
:12
1
0,25 ; m1 1 m 0,75 ; H12 100,1 1,259 ;
e1
179
0,509 ; e22 103 1 999 ; e2
31,61; mc
0,259
| 70 .
999
В дальнейшем применим упрощенные выражения для малых
значений m1c .
2. Определяем степень полинома знаменателя (порядок фильтра)
Q 4,31˜ 61
8
N | 2 ln
2,32 .
ln
2 1
0,509
S
m
Пример 7.3. Воспользуемся данными примера 7.1.
а0c 1 дБ ; а1c 30 дБ ; :1 2 ; : С 1; 2 d : f .
1. Находим
U0
РГ
ª Г
º
j sn « r k m jU 0 ; m » ,
N
¬
¼
где Г = 0, 2, …, N – 1 (N – нечетное); Г = 1, 3, …, N–1 (N – четное).
Zp
3. Определяют нули и полюсы
Nt
определяются из а0c и а1c (дБ).
2. Определяют степень полиномов знаменателя с учетом (7.16)
и в полосе режекции T : : ! :
неравномерности в полосе прозрачности при : C T : C 1
1,085
2 ˜ 1,627
2
˜
0,333 ;
sin SU
;
D0,0118 ; U sn >1,085 ; 0,25@ 0,881.
Z
2k m 1 0,018
1 0,036
P1
180
S
; U 0 | 0,493.
2
1,627
1
˜ Arsh
;
3 ˜ k m 0,509
k mc |
U0 #
sn 0,493 ; 0,75
;
cn0,493 ; 0,75
ª r
º
j sn « r ˜ 1,627 jU 0 ; 0,25» ;
¬ 3
¼
j sn > jU 0 ; 0,25@ sc 0,493 ; 0,25
Отсюда
Pr
2
r j 2,271 – нули, лежащие на мнимой оси.
Отсюда Z 2 r j
0,881
Для полюсов получим следующее соотношение:
U
sn >1,085 ; 0,25@ |
Определим эллиптический синус по (7.16):
1 1 0,75 4
l
˜
# 0,018 ; q # 0,018 ;
1
2
4
1 0,75
S
2
k 0,25 # 1 0,036 1,627 ;
k 0,25 1,085.
3
2
Z2
.
ª2
º
0,5 sn « k 0,25; 0,25»
¬3
¼
Обратимся к подробному расчету знаменателя Z2.
На основании (7.15) получим:
r j
Выбрали N = 3.
3. Определяем нули и полюсы T(s) фильтра (Z0 = 0).
;
u
s 0,6377 >s 0,21282 0,8648 2 @
s 2 5,157
.
4. Максимально гладкая аппроксимация фазы
(группового времени замедления); фильтры Бесселя
T s 0,2128 r j 0,8648.
0,8432 2 0,25 0,8812
Искомая передаточная функция фильтра составит
sn 2 0,493 ; 0,75
cn0,493 ; 0,75 dn 1,085 ; 0,25
0,5377 ˜ 0,4731 ˜ 0,8432 ˜ 0,898 r j 0,881 ˜ 0,8883
u
cn 2 0,493 ; 0,75 0,25sn 2 1,085 ; 0,25
j sn 1,085 ; 0,25 dn 0,493 ; 0,75 j sn 0,493 ; 0,75 cn 1,085 ; 0,25
D 1 msn 2 1,085 ; 0,25 sn 2 j 0,493 ; 0,25.
После подстановки указанных функций получим:
d n j 0,493; 0,25;
Сn 1,085 ; 0,25;
s1C2 d 2 s2C1d1
,
D
d n 1,085 ; 0,25; d 2
j
sn j 0,493; 0,25; С1
Сn j 0,493; 0,25; d1
sn 1,085 ; 0,25; s2
j sn >1,085 j 0,493 ; 0,25@
181
Предшествующие методы аппроксимации были адресованы приближениям амплитудно-частотных характеристик фильтра, при этом поведению фазы не уделялось должного внимания. В некоторых случаях, как
раз требования к линейности ФЧХ или постоянству группового времени
запаздывания уделяют первостепенное внимание, при этом, разумеется,
P2
P2
С2
s1
где
0,6377 ;
ª 2
º
j sn «r k m j 0,493 ; 0,25» j sn >1,085 j 0,493 ; 0,25@.
¼
¬ 3
Согласно (7.14) получим (с учетом (7.13)):
P2
P1
sn 0,493 ; 0,75 0,5377 ; cn 0,493 ; 0,75 0,8432 ;
Wгр ; Wгр
1
ZС
W0 .
b0
bk
nk
2n k ! .
k !n k !
bn s bn1s n1 ... b0
n
;
Z
Q
º
ª
SZ «
Q
Z
˜ 1 W § 1 · Z jW§ 1 · »
¨ Q ¸
2 «
¨ Q ¸ »
© 2¹
© 2¹¼
¬
˜е
jZ
.
.
,
(7.17)
182
MZ Z M H Z ,
Если для полученной фазовой характеристики в (7.17), равной
1
1·
¨n ¸
n © 2¹
WZ§ 1 ·
¨ n ¸
© 2¹
W§Z
b02
GH Z2 е jMH Z ˜ е jZ .
º
ª
S 2n1 « 2 Z
Z
»
Z
W
W
« §¨ n 1 ·¸ §¨ n 1 ·¸ »
2
© 2¹¼
¬ © 2¹
tg MH
GH Z2
T jZ
В (7.17) принято, что
фазовой зависимостью вида l jZ , тогда
Введем обозначение для выражения, стоящего перед «идеальной»
T V E0
2
Если ввести функции Бесселя полуцелых индексов, то
T s Можно показать, что системная функция полиномиального типа
имеет следующий вид:
GMZ
GZ
контролируется и сама АЧХ. Согласно идеальной характеристики ФНЧ
из (7.2)
ª
º
2n 1 Z 2n 4
Z2n 2
...» ;
k «Z 2 n 2
2 n1 2n 1 2n 3 ¼»
¬«
1
Z2
2n 1 Z4
...
2 n 1 2 n 12 2 n 3
k
b02
1
.
(7.19)
(7.18)
§
¨ T s ©
b0 ·
¸
D s ¹
s
2
2
2
6,7039 s 14,27225 s 4,6493s 18,1563
2
8,4967s 18,8011 s 7,47114s 20,8528 s 5,0319s 26 514
2
2
5,792s 9,1401 s 4,2076s 11,4877
s 3,6467 s
2
s 1
s 2 3s 3
s 2,322 s 2 6,7785 6,4595
s
D s 183
Проектирование фильтров Бесселя основано на трех главных принципах:
а) определяется системная функция T s , обеспечивающая гладкую
функцию группового замедления t0;
б) данная системная функция T s должна обладать заданной шириной полосы замедления с заданной погрешностью;
в) обеспечение заданного затухания АЧХ на уровне 3 дБ.
6
5
4
1
2
3
Порядок
Таблица 7.2
(производные Ÿ 0 при Z 0 ), тоо GH Z2 не является таковой, но быстро
приближается к постоянной величине при возрастании Z (см. (7.19)).
Ряд полиномов знаменателя T s для Wгр 1 с представлены в табл. 7.2.
Заметим, что если Wгр выражается максимально гладкой кривой
GH Z2
Для модуля (7.17) получим
dM H Z
dZ
W гр
dM Z
dMZ
,
r1 H
dZ
dZ
то разложение указанных функций Бесселя в ряд приведет к
определить групповое время запаздывания
1
10 552
7.2. Реализация системных функций фильтров
8,4967 s 18,8011 s 7,4714 s 20,8528 s 2 5,0319 s 26,51
2
.
184
В настоящее время широкое распространение получила реализация исходных передаточных функций с помощью ARC-цепей, т. е. цепей, содержащих активные элементы (зависимые источники различных
типов, преобразователи иммитансов, гиратоды и т. д., а также элементы
Р и С. При таком исполнении фильтров можно получать любые добротности полюсных пар для частот, не достижимых с помощью пассивных
RLC-аналогов. Налицо преимущество в габаритах, весе, отсутствии магнитных связей и легкости перестройки их характеристик. Ряд практических трудностей, связанных с малым допустимым разбросом параметров при высших значениях добротностей (Q), минимизацией темпера-
s
2
T s выборе ближайшего большего значения n 6G H 2 ,52 | 0 ,56 , чтоо
примерно соответствует 2,5 дБ. Окончательно получим следующее
выражение для функции передачи фильтра:
G H 2,5 2
2,5 2n 2
2n 12,5 4
... | 0,473 .
2n 1 2n 12 2n 3
Результат несколько превышает величину затухания, равную 0. При
dM H Z
1 ª 2n Z 2n 2 º ¨§ 2 n ˜ n ! ¸· ª 2 n 2,5 2n 2 º
0,025 t
˜ «2,5 «Z »
».
2n 1 ¼»
2n 1 ¼» ¨© 2n ! ¸¹ ¬«
dZ
b0 «¬
Величина n = 5 удовлетворяет данному неравенству. Однако с точки
зрения выполнения требований по затуханию из (7.19) получим
2
Рассмотрим иллюстрированный пример.
Пример 7.4. Определить системную функцию фильтра Бесселя, у
которого время запаздывания на нормированной частоте 2,5 отклоняется от постоянного значения не более 2,5 %, а затухание не должно превышать 3 дБ.
Находим необходимый порядок полинома знаменателя из условия
неравномерности времени задержки. Согласно (7.18)
TU s U 2 s U 1 s k
Z 02
185
V 2 Z2 ; Q
V 2 Z2
.
2V
kZ 02
;
Z0
2
2
˜ s Z0
s Q
s R1 R2 C1C 2 s>C1 R1 1 k C 2 R1 R2 @ 1
2
Передача по напряжению цепи составляет:
Рис. 7.3
Рассмотрим наиболее популярную цепь, предложенную Sallen-Key
в 1955 году (см. рис. 7.3), содержащую ИНУН с коэффициентом пропорциональности k (см. сводную таблицу).
7.3. Реализация малой добротности полюсной пары
турных вариаций их параметров, стабилизацией характеристик и др.,
решаются рациональным выбором схемных конфигураций, методов реализации системных функций, интегральных схем с требуемыми характеристиками и необходимыми оптимизационными процедурами по
снижению интегральной функции чувствительности, использования элементов с противоположными температурными законами изменения параметров, термостабилизацией и др. приемами.
>s 0,2588
@>
2
2
@>
2
0,9659 ˜ s 0,7071 0,7071 ˜ s 0,9659 0,2588
2
2
@
.
что
s 0,9659
H1
1; Z01 1; Q1
2
2
H1
2
Z03
1; Q3
H3
s 0,5176 s 1
2
1
; R2C2 1; k 2
2
;
;
186
1,932 ; R3C3 1 ; k3
TU 3 s Для третьей секции
2
Z02
1 ; Q2
s 2 1,4142 s 1
H2
1
3
1,0682 .
Q
2,482 .
3 2.
1
# 0,5177 ; R1C1 1 ; k1
1,9318
TU 2 s Для второй секции
2
Z01
2
.
s 1,9318s 1
0,2588
Первой выбирается секция с низшей добротностью полюсов. Ясно,
TU1 s Данная функция может быть реализована с помощью трех секций
(см. рис. 7.3), включенных каскадно без каких-либо промежуточных (буферных) усилителей между ними.
Для первой секции
2
1
TU s 1
1
Z2
; Q
.
RC
3 k
Пример 7.5. Реализовать ФНЧ с характеристикой Баттерворта шестого порядка из примера 7.1.
Данная цепь обычно реализует небольшие величины Q (порядка
нескольких единиц), и при k = 1 просто используется повторитель
о
напряжения. Если выбрать R1 R2 R и C1 C2 C , то
Z Z0
k Ql
jS
2,
Z0 1 2Q 2
1
; Q!
4Q 2 1
k 2Q
Z0
187
повторителя напряжения, а пара полюсов – уже рассмотренным выше способом.
Следует также учесть и то, что повторитель напряжения можно исключить при
Cip
C1
1
˜ 10 6 Ф ; Rip 10 3 : .
2Sf C R0 2S
Впрочем, можно также выбрать R0 для каждого звена независимо.
Иногда возникает необходимость реализации системных функций
третьего порядка. В этом случае можно использовать схему, представленную на рис. 7.4 (иной вариант – в сводной табл. 7.3).
В данном случае имеется вещественный полюс (–s1) и пара комплексносопряженных s 2,3 V r jZ . Вещественный полюс реализуется цепью с
Осуществим переход к реальным значениям параметров Ci и Ri;
i = 1, 2, 3. Пусть fC = 1 кГц; Ci = 1; R0 = 1,0 кОм, тогда
ZС
1
·
§
¨1 1 ¸ 1 .
1
¨ 2Q 2 ¸
2Q 2
¹
©
2
этом случае настройку фильтра можно выполнить на частоте среза ZC ,
определяемой по уровню затухания в 3 дБ:
1
, то в
2
1
, что также позволяет произвести
2
max
оQ
настройку звена по Z max и TU jZ max . Если окажется, что
при Z max
TU jZ
Непосредственное дифференцирование TU j Z для определения
максимального значения приведет к следующим результатам:
и фазе S 2 .
что позволяет легко произвести его настройку по данной величине kQ
TU
Отметим, что передача каждого звена при известной частоте Z0
составит
188
Передача по напряжению составит:
Рис. 7.5
Обратимся к цепи, представленной на рис. 7.5 и собранной на
усилителе напряжения с коэффициентом пропорциональности k o f
(см. также схему 1 табл. 7).
7.4. Реализация добротностей порядка нескольких десятков
условии получения выражения для системных функций третьего порядка и
приравниваниякоэффициентовпристепеняхsккоэффициентамполиномазнаменателя.
Полученнаясистеманелинейныхуравненийможетбытьрешеначисленнымиметодами
или на основании формул Кардана для кубичного уравнения.
Рис. 7.4
U 2 s U1 s s 2 s 2 G3 C G1 G2 sG1 C
C2
G3
C Z0
.
2Q
§
1·
C Z0 ¨¨ 2 Q ¸¸ .
Q¹
©
1
R3
,а
2 R1
TU1
U 0 s U 1 s 189
§
1 ·
¨¨ 3Q ¸Z 0 s
3Q ¸¹
©
;
Z0
2
2
s s
Z0
Q
§
1·
C Z0 ¨¨ 2 Q ¸¸
Q¹
©
можно использовать для настройки на среднюю частоту каскада.
Вариант режекторного фильтра представлен на рис. 7.6. Он собран
на усилителе напряжения С(–k0) и ОУ.
Передача по напряжению первого каскада с (–k0) составляет
R2
R1 определяет величину передачи в полосе прозрачности
Таким образом, R3
2Q
при выбранном С определяют величину
C Z0
Q (настройка на добротность полюсной пары).
C Z0 , тогда
G2
Q
2C
и G3
G1 G2
Можно выбрать, например, G1
1
Q Z0
Z0 2 G3
G1 G2 G3
2
.
и Z0
Q
C
C2
Из полученных соотношений видно, что
при С1 = С2 = С.
Ясно, что это характеристика полосового фильтра, причем
TU s Рис. 7.6
3
1 k0
.
1
;
RC 1 k 0
E
D
1
1
U 2 s ,
D
E
9Q 2 1
3
190
получаем
ª1 E§
1 ·º
s 2 s « ¨ 3Q ¸» Z0 Z02
3Q ¹¼
1 ˜
¬Q D ©
.
Z
E
s 2 s 0 Z02
Q
U 2 s TU1 ˜ U1 s ˜
U 2 s U1 s При выборе
TU
в том числе
U 2 s 1
1
U 0 s ˜ U1 s ,
D
E
Второй каскад представляет собой сумматор, т. е.
Q
Z0
s 2 Z02
1
,
˜
E s 2 s Z0 Z2
0
Q
1 k0 ; k0
1
при выборе одного из
1 k0
E
9Q 2 1 .
3
Вход
191
Рис. 7.7
Выход
Обратимся к цепи, показанной на рис. 7.7, собранной на трех
операционных усилителях.
7.5. Реализация добротностей порядка нескольких сотен
D
параметров находят другой.
4. По усилению на высоких или низких частотах находят E , тогда
Z0
9 Q 2 1.
3. Из произведения RC
3Q
1. Определяется добротность по формуле Q
Z0
.
'Z
2. Находится величина коэффициента усиления k0 по соотношениям
так что при заданной полосе режекции 'ZU и центральной частоте Z0
параметры элементов цепи находятся следующим образом.
TU
4
R
A0 2
R1
6
.
2 ˜ 10 6 Ом ;
0,16 ˜ 10 6 Ф ;
§ R1 ·
¨ R ¸
©
0¹
Q
2S ˜ 100 ˜ 0,16 ˜ 10
200
2S ˜ 100 ˜ 10
1
2 ˜ 106
. Например, при R1 = 105 Ом А0 = 20. При А0 = 2
R1
1˜ Q
Z0 C
1
Z0 R0
TU s 192
ª 2 Zp
º
˜ s Z 2p »
«s Qp
¬«
¼»
s 2 Z 22
,
Для получения нулей передачи на оси jZ может быть использована
цепь, показанная на рис. 7.8 (см. схему 4 в табл. 7.3).
Передаточная функция по напряжению составит:
7.6. Реализация комплексных нулей передачи
R1 = 106 Ом и т. д.
Отсюда A0
R2
С
A0
R2
1
Q
˜ R2 C
; R
.
R1C
R1
ZC
Пусть, например, R0 = 10 кОм; Q = 200 и f0 = 100 Гц, тогда
Передаточная функция цепи составляет (при бесконечных коэффициентах усиления f)
1
U вых s s
;
˜
TU
U вх s R1 C § 2
·
1
s
¨s ¸
¨
R2C R02C 2 ¸¹
©
отсюда получим
Z0
1
1
Z0
;
.
R0 C
Q R2 C
Усиление на частоте Z0 составит
T jZ p
jZ p
R2
R4
.
R8
Выход
Zp 1
R4
по
R ; C2
C ; R8
формуле
C7
2
ª §
· º
Z
2
¸ » ,
Q p «1 ¨
« ¨© Z p ¸¹ »
¬
¼
R4
.
2
§Z ·
R8 ¨ 2 ¸ 1
¸
¨
© Zp ¹
Z p C7
Qp
193
Пример 7.6. Реализовать системную функцию эллиптического фильтра, полученную в примере 7.3. Реализация выполняется каскадным со-
.
определяется
R4 Z2p C 2
1
Далее
Можно выбрать R1
что позволяет проверить Qp.
резистор R8, при s
и R5
Z pC7 R8 ; Z2
Рис. 7.8
R3
; Q
R1R4 R5C2C7
При настройке Z2 используется резистор R4, Z p – резистор R5, Qp –
Вход
2
где Z p
s 2 2,2712
s 2 0,4256 s 0,9290
s 2 5,157
s 0,21282 0,86482
2,3496 ˜
R4
5,157
2,3496 : ;
194
Возможные варианты схем представлены в сводной табл. 7.
1 15,2018 : ;
0,86482
1
R5
7,081˜10 2 : ;
15,2018 ˜ 0,9290 ˜1
R 1: .
1
0,4256
R8
В данном случае при С = 1 Ф
T2 s .
1 Ф , k t 1,57.
1
и его реализация
s 0,6377
Для звена второго порядка по схеме рис. 7.8 получим
Рис. 7.10
показана на рис. 7.10, где R # 1,568 : , C
Звено I порядка имеет ПФ T1 s Рис. 7.9
единением двух звеньев I и II порядков (рис. 7.9): T s T1 s T2 s k1 , где
k1 – некоторый коэффициент усиления фильтра.
.3
195
Продолжение табл. 7.3
196
197
Продолжение табл. 7.3
198
199
Продолжение табл. 7.3
200
Продолжение табл. 7.3
201
Окончание табл. 7.3
202
T p ВЧ
T s НЧ
1
, где р – частота ФВЧ.
p
Таким образом,
1
s0
1
p
~.
; s Ÿ jZ ; p Ÿ jZ
p0
k0 е j M
1
, т. е. он будет обратен по
k0 е j M после трансформации будет
s
~
T jZ
T j Z е
jZ
1
~
jZ
T jZ
jM Z 1
~ и потому
jZ
1;
Z ~
Z
~ MZ
MZ
Z
T jZ
1.
~
Z
jMZ Z 1
~
Z
1 ˜е
Z ~
Z
s jZ
,
203
Заметим, что частота среза, равная 1, сохраняется в обеих АЧХ.
На рис. 7.11 представлены в качестве примеров графики АЧХ и АЧФ
для фильтров НЧ и ВЧ соответственно при различных конкретных частотах.
т. е.
Но j Z
~
p jω
величине и иметь аргумент с противоположным знаком, а потому
добротность полюсной пары сохраняет свое значение. Для системных
функций получим:
~ е jMω~ ; T s T p
T jω
T jZ е jMω .
соответствовать полюсу
При этом любой полюс s0
s
Преобразование ФНЧ в ФВЧ производится согласно соотношению
7.7. Реализация преобразования частоты для получения
ФВЧ, ПФ и режекторных фильтров
а)
204
Рис. 7.11, а
б)
205
Рис. 7.11, б
TU 3 p TU 2 p H3 p2
p 2 1,4142 p 1
H2 p2
;
p 2 1,9318 p 1
s 2 1,9318 s 1
1
s
p
H1 p 2
;
TU1 p TU 2 p TU 3 p .
Так как Z01 1
206
1
1
1,0682 , то при выборе f = 1
и k1 3 c
R1C1
Q
кГц, R0 = 1 кОм получим R1 = R2 = 1 кОм, С1 = С2 – 1/2S мкФ, Н1 = k1.
Рис. 7.12
.
p 2 1,5176 p 1
На рис. 7.12 показана реализация лишь первого звена фильтра
TU1 p .
для третьей –
для второй секции
TU1 p 1
s
p
H1
Для первой секции
TU s TU1 s ˜ TU 2 s ˜ TU 3 s Пример 7.7. Реализовать ФВЧ с характеристикой Баттерворта по
прототипу ФНЧ примера 7.1.
max
для настройки сохраняется, а Zmax и ZС – преобразуются
s
~2
p2 Z
m
~
p ˜ 'Z
,
QНЧ
Z0 НЧ
Z20 НЧ
0; s
pm ; V
~
'Z
˜ Z0 НЧ , тогда
Zm
pm4 207
V 3
V
pm 2 V 2 pm2 pm 1 0 .
(7.20)
QНЧ
QНЧ
Если принять, что данное произведение приведет к каскадному соединению двух звеньев второго порядка, общий знаменатель которого
составляет
2
~
~
ª
Z
§Z
· º
1
0 ПФ1
« p m2 ~
˜
p m ¨¨ ~0ПФ1 ¸¸ » u
Z m Q ПФ1
«¬
© Z m ¹ »¼
2
~
~
ª
(7.21)
· º
§Z
Z
1
2
0
ПФ
2
0
ПФ
2
¸¸ » 0 ,
p m ¨¨ ~
u « pm ~
˜
Q ПФ 2
Zm
«¬
© Z m ¹ »¼
p
Пусть ~
Zm
2
·§
¸¨ p ·¸
~ ¸ ¸¸¨ Z
©
¹ m¹
p 2 Z~ 2m p 'Z~ .
~ 2 ˜ Z2
4
3 §
~ ˜Z
'Z
'Z
§ p ·
0 НЧ § p ·
0 НЧ
¨
¨¨ ~ ¸¸ ¨ 2 ¨¨ ~ ¸¸ ~
2
~
Zm ˜ QНЧ © Zm ¹ ¨
Zm
© Zm ¹
©
~ ˜Z
'Z
p
0 НЧ
~
~ 1 0.
Zm ˜ QНЧ Zm
Так что
s2 ~ – центральная частота полосового фильтра; 'Z
~ – его полоса
где Z
са
m
пропускания.
Рассмотрим положение полюсов полосового фильтра из частотного
преобразования знаменателя звена второго порядка.
TПФ p T s из низкочастотного прототипа (обратное значение).
Частотные преобразования низкочастотного прототипа в полосовой
фильтр выполняются согласно соотношению
Значение TU jZ
~
Z
m
~
~
Z
0 ПФ1 ˜ Z0 ПФ 2 .
2
º
~ ª Q
§ Q ·
Z
m «
G ПФ r ¨¨ G ПФ ¸¸ 4 » ;
»
2 « QНЧ
© QНЧ ¹
¬
¼
QПФГ
QПФ 2
QПФ # QНЧ 1 4
TНЧ jZ
jZ
~ 2 Z
~2
Z
m
~
~
jZ˜'Z
.
~2 Z
~2
Z
m
~ ˜ 'Z
~ ;
Z
~
Z
~
~ ·2
'Z
§ 'Z
~2 .
˜Zr ¨
˜ Z¸ Z
m
2
© 2
¹
~ ·2
~
§ 'Z
~ 2 r 'Z ˜ Z .
˜ Z¸ Z
¨
m
2
© 2
¹
(7.22)
208
~ .
Среднее геометрическое этих частот соответствует Z
m
На рис. 7.13 представлены АЧХ и ФЧХ для ФНЧ и ПФ фильтров
Чебышева.
~
Z
Поскольку диапазон Z y Z отображается в два диапазона для
полосового фильтра: один вдоль оси j Z , а другой ( j Z ), то двее
положительные частоты для ПФ составят
Z
~ rM Z . Каждая частотаа
Для ФЧХ получим: MПФ Z
НЧ
~ , так как
отображается в два значения Z
TПФ jZ
2
§
·
~
~ ¨ 1 G r G ¸.
Z
#
Z
;
0
ПФ
2
,
1
m
¨
4 2¸
G2
©
¹
Определим амплитудно-частотную характеристику полосового
фильтра
для
~
Z
0 ПФ 2,1
QПФ 2
Если принять, что G < 1, то можно получить приближенные формулы
QПФ1
QНЧ
4
4·
4
§
1 2 ¨1 2 ¸ 2 2 ;
2
© G ¹ G QНЧ
G
2
то из сравнения коэффициентов уравнений (7.20) и (7.21) несложно установить,
что
а)
209
7.13, а
б)
210
Рис. 7.13, б
0,9826 ˜ p 2
~
Z
m 1
p2 1
;
0,1 p
100 p 4 10,9773 p 3 201,1025 p 2 10,9773 p 100
~2
p2 Z
m
~
p˜ 'Z
2
§ p ·
¨¨ ~ ¸¸ 1
© Zm ¹
~
p 'Z
˜
~ Z
~
Z
m
m
.
> p 0,0287
2
@>
1,04542 ˜ p 0,02622 0,95582
0,009826 ˜ p 2
@
.
0,0262 2 0,95582
~
Z
0 ПФ 2
1,0458
18,22 ;
2 ˜ 0,0287
0,9562
18,25 ;
0,9562 ; Q2
2 ˜ 0,0262
1,0458 ; Q1
211
0,0287 2 1,0454 2
~
Z
0 ПФ1
Отсюда получим:
~
~
Z
Z
0 ПФ1 ˜ p
0 ПФ 2 ˜ p
T1 p T
p
;
.
2
2
p 0,0287 1,0454 2
p 0,0262 2 0,95582
Если предположить, что каждое из звеньев второго порядка будет
реализовано цепью, показанной на рис. 7.7, то
TПФ p T1 p T2 p звеньев второго порядка: TПФ p T1 p ˜ T2 p , тогда
Представим TПФ p в виде произведения передаточных функций
TПФ p so
T s 1
1
.
˜ 2
0,5089 s 1,0977 s 1,1025
Преобразование частоты выполняется согласно соотношению
Рассмотрим пример реализации полосового фильтра по низкочастотному прототипу – фильтру Чебышева второго порядка с неравномерностью в полосе прозрачности, равной 1 дБ.
Пример 7.8. Реализовать ПФ четвертого порядка с характеристикой
Чебышева и полосой пропускания, равной 10 % от центральной частоты
~ . Для ФНЧ имеем:
Z
m
~
Z
0 ПФ1 ; R21 Q1 ˜ R01 18,22 R01 ;
~
Z0 ПФ 2 ; R22 Q21 ˜ R02 18,25R02 .
~ ·2
~
'Z
§ 'Z
¸ 1 r
¨
2
© 2 ¹
~
0,952 ; Z b1 1,051 .
2
0,1
§ 0,1 ·
;
¨ ¸ 1 r
2
© 2 ¹
~
Z
0 ПФ 2
Рис. 7.14
~
Z
0 ПФ1
212
На рис. 7.14 произведена нормировка максимальных значений АЧХ.
Видно, что резонансные частоты звеньев находятся вблизи частот среза
~ .
~ иZ
Z
b1
b
| T ПФ | ( jZ) |
Настройка звеньев II порядка описана выше. На рис. 7.14 представлена АЧХ для данного ПФ и отдельных звеньев.
~
Z
b
~
Z
b,bc
Таким образом, емкости или сопротивления могут быть произвольными, а остальные параметры элементов легко выражаются через выбранные значения.
Две частоты среза на границе полосы пропускания ПФ могут быть
~
~
определены из формулы (7.22) при Z
m 1, Z 1, 'Z 0 ,1.
R02C2
R01C1
213
1. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров / Пер. с нем. – М.: Радио и связь,
1983. – 752 с.
2. Альбац М. Е. Справочник по расчету фильтров и линий задержки. ГЭИ. –
М.; Л.,1963. – 200 с.
3. Мошиц Г. Проектирование активных фильтров / Пер. с англ. – М.: Мир,
1984. – 320 с.
4. Темеш П., Митра С. Современная теория фильтров и их проектирование. –
М.: Мир, 1977. – 560 с.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников
и инженеров / Пер. с англ. И. Г. Арановича. – М.: Наука, 1968. – 720 с.
Рекомендуемая литература к гл. 7
При каскадном соединении звеньев II порядка надо придерживаться следующих рекомендаций. Для обеспечения максимального динамического диапазона (что особенно важно при больших амплитудах входного сигнала), снижения общей чувствительности системной функции,
а также упрощения настройки отдельных фильтров необходимо объединять высокодобротные полосы с нулями, которые являются наиболее
близкими к ним, причем звенья соединяются каскадно с последовательно нарастающей величиной их полюсной добротности.
Более детальные рассуждения читатель найдет в [3, 4]. Некоторые
из звеньев фильтров представлены в сводной табл.7.
214
Введение………………………………………………………………………………3
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ…...………………………………………………5
1.1. Исходные положения теории цепей…………………………...…………5
1.2. Обобщенное описание свойств электрических цепей………..…………7
1.3. Первый постулат……………………………………………………………9
1.4. Второй постулат……………………………………………….……………9
1.5. Третий постулат………………………………………………………….10
1.6. Четвертый постулат………………………………………………………12
1.7. Пятый постулат……………………………………………………………12
1.8. Шестой постулат…………………………………………………………13
2. ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ АКТИВНЫХ И/ИЛИ
НЕЗАВИСИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПИ…….………………………………14
2.1. Системные матрицы………………………………………………………14
2.2. Управляемые источники…………………………………………………16
2.3. Аномальные элементы……………………………………………………18
2.4. Гиратор……………………………………………………………………19
2.5. Преобразователи иммитансов……………………………………………20
3. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В АКТИВНЫХ ЦЕПЯХ…………………………………………………………23
3.1. Взаимные преобразования зависимых (управляемых) источников……23
3.2. Перенос управляемого источника при преобразованиях «звезды»
в «треугольник»………………………………………….……………………27
3.3. Обобщенный метод преобразования активных четырехполюсников…30
4. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ АНАЛИЗА
АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ………………………………………………………….33
4.1. Теорема замещения ветвей для активных цепей с зависимыми
источниками……………………………………………………………………33
4.2. Теорема об исключении зависимого источника из цепи………………34
4.3. Теоремы Тевенина и Нортона для линейных цепей
с зависимыми источниками………………………………………………….37
4.4. Обобщение теоремы Тевенина и Нортона на случай линейных
n-портов, содержащих внутри себя независимые источники энергии……43
4.5. Теорема об исключении переменных при составлении уравнений
для многополюсников…………………………………………………………48
Рекомендуемая литература к главам 1–4……………………………………54
5. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗАВИСИМЫЕ ИСТОЧНИКИ
ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ…..………………………………………………….55
5.1. Алгоритмы расчета с «расширением» описания цепи…………………55
5.2. Определение системных функций по матрицам проводимостей
цепей……………………………………………………………………………67
ОГЛАВЛЕНИЕ
215
5.3. Алгоритмы расчета при сокращении размерности матриц,
описывающих пассивную часть цепи……………………………………….71
5.4. Анализ цепей, содержащих ИНУН с несколькими входами………….87
5.5. Метод анализа сложных цепей путем их расчленения
на отдельные части……………………………………………………………96
5.6. Преобразование координат и получение неопределенных
матриц проводимостей и сопротивлений………………………………….104
5.7. Операция редукции матриц, подключение и удаление элемента
в матрице узловых сопротивлений…………………………………………112
5.8. Анализ n-портов при гибридном описании……………………………118
5.9. Формирование уравнений по методу переменных состояния
для цепей с зависимыми источниками………………………………………129
6. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЦЕПЕЙ……………141
6.1. Основные определения функций чувствительности…………………141
6.2. Некоторые свойства функций чувствительности…………….………143
6.3. Анализ чувствительности многополюсных схем……………..………148
6.4. Построение присоединенных цепей…………………………..………152
7. ПРОЕКТИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ АКТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ……….164
7.1.Этапы аппроксимации характеристик фильтров…………...…………164
7.2. Реализация системных функций фильтров……………………………184
7.3. Реализация малой добротности полюсной пары………………………185
7.4. Реализация добротностей порядка нескольких десятков……………188
7.5. Реализация добротностей порядка нескольких сотен……..…………191
7.6. Реализация комплексных нулей передачи…………………………….192
7.7. Реализация преобразования частоты для получения ФВЧ, ПФ
и режекторных фильтров……………………………………………………203
216
Подписано к печати 22.12.08. Формат 60u84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 12,6. Тираж 500 экз. Заказ 129. «С» 49.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, ул. 2-я Красноармейская, 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 5.
Редактор О. Д. Камнева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Учебное пособие
Часть 1. Введение в анализ электрических цепей
СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
И СИНТЕЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Бондаренко Анатолий Васильевич
Бондаренко Валентин Васильевич
Можар Владимир Иванович
Сончик Леонид Иванович
Учебное издание
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
6 195 Кб
Теги
sovrem, bondarenko, an08, metod
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа