close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Karamyan Prokofyeva Analit geom plosk

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
А. А. КАРАМЯН, С. И. ПРОКОФЬЕВА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2012
1
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
УДК 514.122.1/.2
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент В. Г. Пак (БГТУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент О. Р. Полякова (СПбГАСУ)
Карамян, А. А.
Аналитическая геометрия на плоскости: учеб. пособие /
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева; СПбГАСУ. – СПб., 2012. – 86 с.
ISBN 978-5-9227-0345-1
Излагаются два раздела аналитической геометрии на плоскости: прямая
линия на плоскости и теория кривых второго порядка. Текст сопровождается
решениями задач и иллюстрациями к ним. Он составлен на основе лекций, читаемых на протяжении многих лет студентам всех специальностей СПбГАСУ.
Предназначено для студентов всех специальностей и всех форм обучения.
Ил. 78. Библиогр.: 6 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0345-1
 А. А. Карамян, С. И. Прокофьева, 2012
 Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2012
2
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
1. Метод координат
Аналитическая геометрия – это раздел математики, который устанавливает связь между геометрией и алгеброй, позволяет формулировать и решать геометрические задачи алгебраическими средствами. В основе аналитической геометрии лежит метод координат. Создателем этого метода является французский философ и математик
Рене Декарт, который впервые в 1637 году ввел метод координат
и применил его к решению геометрических задач.
Декартова прямоугольная система координат на плоскости представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые: ось X, или
ось абсцисс, и ось Y, или ось ординат. Точка их пересечения O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица длины. Тогда каждой точке M, лежащей на плоскости, ставится в соответствие упорядоченная пара
чисел x и y. Эти числа называются прямоугольными декартовыми координатами точки M, число х называется абсциссой точки М, а y – ее
ординатой. Обратно, каждой
упорядоченной паре чисел
( x, y ) можно поставить в соответствие некоторую точку
плоскости, для которой x является ее абсциссой, а y – ординатой (рис. 1).
Этот принцип взаимно
однозначного соответствия
лежит в основе аналитической геометрии.
Оси координат делят
плоскость на четыре четверти, или четыре квадранта.
Первым квадрантом является
Рис. 1
3
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Вводная часть
четверть между положительной полуосью OX и положительной полуосью OY. Далее квадранты нумеруются по порядку против часовой
стрелки (см. рис. 1).
Однако в отдельных случаях при рассмотрении конкретных задач могут оказаться более удобными другие системы координат:
а) на рис. 2 изображена декартова косоугольная система координат. В этом случае угол между положительным направлением оси X
и положительным направлением оси Y не является прямым. Часто в этом случае оказывается необходимым брать
по осям координат разные единицы масштаба. Эта система
координат используется довольно редко;
б) полярная система координат применяется гораздо
Рис. 2
чаще, она задается точкой О,
называемой полюсом, лучом, из нее выходящим, называемым полярной осью ОА, масштабом для измерения длин и направлением положительного отсчета углов ϕ. Положение точки М на плоскости определяется расстоянием этой точки от полюса, которая называется
радиус-вектором r, и полярным углом ϕ, образованным радиусвектором с полярной осью, при этом угол отсчитывается против часовой стрелки (рис. 3).
Две координаты ϕ и r определяют единственную точку на
плоскости и называются полярными координатами точки М.
В случае полярной системы координат нет взаимно однозначного
соответствия между точками
плоскости и полярными координатами. Точки с полярными коорРис. 3
динатами (r , ϕ) и (r , ϕ + 2πk ) совпадают. Кроме того, для полюса O имеем r = 0 , а ϕ является неопределенным. Поэтому для выполнения принципа однозначного
соответствия считают r ≥ 0 , ϕ принадлежит [0, 2π ) . Тогда всякая пара
4
чисел r и ϕ определяет единственную точку на плоскости M (r , ϕ) ,
и наоборот, каждой точке плоскости, кроме полюса, отвечают определенные значения ее полярных координат r и ϕ.
Итак, любая точка плоскости
может быть задана как ее прямоугольными декартовыми координатами, так и полярными координатами. При решении задач часто возникает необходимость перейти от
одной системы координат к другой.
Эта связь между двумя системами
координат наиболее просто выражается, если прямоугольную декартову систему координат выбрать так,
Рис. 4
чтобы ее начало совпало с полюсом
О, а положительное направление оси X с полярной осью OA (рис. 4).
Тогда прямоугольные декартовы координаты точки М выражаются
через ее полярные координаты по формулам:
 х = r cos ϕ,

 y = r sin ϕ .
В свою очередь r и ϕ однозначно находятся через х и у:
r = x 2 + y 2 ,


y
tg ϕ = .

x
2. Простейшие задачи на плоскости
Расстояние между двумя точками
Если на плоскости заданы две точки в декартовой прямоугольной системе координат M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x2 , y2 ) (рис. 5), то расстояние
между ними d находят по формуле
5
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ,
(1)
что следует из теоремы Пифагора,
примененной к треугольнику
∆MM 1M 2 .
Деление отрезка в данном
отношении
Если точка M ( x, y ) лежит
на прямой, проходящей через две
заданные
точки
M 1 ( x1 , y1 )
Рис. 5
и M 2 ( x2 , y2 ) (рис. 6), и дано отношение: λ =
М 1М
ММ 2
, в котором точкаа
M делит отрезок [M 1M 2 ] , то можно найти координаты точки M ( x, y ) .
Отметим точки M 1 и M 2 ,
а также точку M, координаты которой надо найти, на рис. 6. Спроектируем все три точки на ось OX
и обозначим их проекции соответственно x1 , x2 , x. На основании
известной теоремы геометрии
о пропорциональности отрезков
прямых, заключенных между параллельными прямыми, имеем:
Рис. 6
6
у=
у1 + λу2
.
1+ λ
(3)
В частном случае, когда точка M делит отрезок [M 1M 2 ] пополам, т. е. λ = 1, координаты точки M – середины отрезкаа, определяются по формулам:
х +х
у + у2
х= 1 2; у= 1
.
(4)
2
2
Площадь треугольника через координаты его вершин
Если даны координаты трех вершин треугольника: A( x1 , y1 ) ;
B( x2 , y2 ) ; C ( x3 , y3 ) , то можно доказать, что площадь такого треугольника ABC вычисляется по формуле
S=
1
x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) .
2
(5)
В зависимости от значений координат и от порядка их нумерации в правой части под модулем может получиться как положительная, так и отрицательная величина. Однако площадь геометрической
фигуры всегда неотрицательна, т. е. S ≥ 0 , поэтому результат вычисления следует брать по абсолютной величине.
Признаком того, что три точки лежат на одной прямой, может служить равенство нулю площади соответствующего треугольника, т. е.
3. Линия на плоскости
Решая это уравнение относительно неизвестного x, найдем, что
х1 + λх2
.
1+ λ
Аналогично, проектируя точки на ось OY, получим:
x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) = 0 .
х − х1 М1М
=
= λ.
х2 − х ММ 2
х=
Вводная часть
(2)
Линия в декартовой системе координат
В прямоугольной декартовой системе координат каждой точке
плоскости соответствует пара вещественных чисел: M ( x, y ) , где x –
абсцисса точки, а y – ее ордината. Пусть x и y связаны функциональ7
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Вводная часть
ной зависимостью, т. е., меняя по произволу x (или y), мы будем получать каждый раз соответствующее определенное значение y (или x).
Каждой такой паре значений x и y отвечает определенное положение
точки M на плоскости XOY. Если эти значения будут меняться, то точка M будет передвигаться по плоскости и при своем движении опишет некоторую линию, которая называется графиком данной функциональной зависимости.
Если зависимость задана аналитически в виде уравнения в явной форме y = f (x) или в неявной форме F ( x, y ) = 0 , то это уравнение называется уравнением кривой на плоскости, а кривая – графиком уравнения.
Кривая и ее уравнение являются лишь различными способами
выражения одной и той же функциональной зависимости, т. е. все
точки, координаты которых удовлетворяют уравнению кривой, лежат
на этой кривой и, обратно, координаты всех точек, лежащих на кривой, удовлетворяют ее уравнению. Иногда множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, называют геометрическим местом точек для этого уравнения.
Следует отметить, что не всякое уравнение задает линию на плос-
щее уравнение третьей степени и т. д. Линия, которая в системе декартовых прямоугольных координат определяется алгебраическим
уравнением степени n, называется алгебраической линией n-го порядка.
В данном пособии будут подробно рассмотрены алгебраические линии первого порядка (6), которые определяют прямую на плоскости, и линии второго порядка (7), которым соответствуют в зависимости от величин коэффициентов эллипс, гипербола или парабола.
кости. Например, соотношение x 2 + y 2 = 0 определяет одну-единственную точку – начало координат O (0,0) , а уравнению x 2 + y 2 = −1
не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, т. е. оно определяет «пустое» множество точек.
Основным предметом изучения в аналитической геометрии являются линии, определяемые в прямоугольной декартовой системе
координат алгебраическими уравнениями вида:
Ax + By + C = 0 ;
2
2
Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 ;
(6)
(7)
(8)
Ax 3 + Bx 2 y + Cxy 2 + Dy 3 + Ex 2 + Fxy + Gy 2 + Hx + Iy + K = 0
и т. д.
Здесь A, B, C, D, … – фиксированные числа, они называются
коэффициентами этих уравнений.
Уравнение (6) называется общим уравнением первой степени,
уравнение (7) – общее уравнение второй степени, уравнение (8) – об8
Параметрические уравнения линии
Во многих случаях удобно задавать плоскую линию не одним
уравнением, как в декартовой системе координат, F ( x, y ) = 0 , а системой из двух уравнений:
 х = ϕ(t ),

 y = ψ (t ),
(9)
где координаты x, y точек линии являются функциями одной и той же
переменной t, называемой параметром. При одном и том же значении
параметра t уравнения (9) однозначно определяют координаты ( x, y )
некоторой точки M линии. При изменении t изменяются и координаты x и y, т. е. соответствующая им точка M переходит в новое положение на линии. Уравнения (9) называются параметрическими уравнениями линии на плоскости. Обычно в качестве параметра t берется
время или угол поворота радиус-вектора точки. Параметрическое задание линии бывает полезно во многих прикладных задачах. Исключив из уравнений (9) параметр t (если это возможно), придем
к уравнению, связывающему x и y в виде F ( x, y ) = 0 . Это уравнение
определяет ту же траекторию движения точки M, однако часто в декартовых координатах это уравнение имеет более сложный вид.
В качестве примера найдем параметрическое уравнение циклоиды. Циклоидой называется линия, описываемая точкой M окружности радиуса а, катящейся без скольжения по прямой линии. Расположим оси координат, как показано на рис. 7.
9
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Рис. 7
Предположим, что точка М катящейся окружности в начале движения совпадала с началом координат точкой О. Определим координаты точки М после того, как окружность повернулась на угол t. Пусть
радиус катящейся окружности равен а. Тогда, как видно из рис. 7,
x = ОР = ОВ − РВ,
но так как окружность катится без скольжения, то
ОВ = МВ = at; PB = MK = a sin t.
Следовательно, x = at − a sin t = a(t − sin t ) .
Далее y = MP = KB = CB − CK = a − a cos t = a (1 − cos t ) .
Таким образом, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид
Вводная часть
точки на плоскости в полярной системе координат определяется двумя координатами: полярным углом ϕ, который задает направление
и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки, и расстоянием r точки от полюса. В полярной системе координат, задавая линию на плоскости, считают угол ϕ независимой переменной, аргументом, а расстояние r точки от полюса – функцией аргумента ϕ. Функциональная зависимость, как и в декартовой системе координат,
может быть задана в явном виде r = f (ϕ) или неявном F (r , ϕ) = 0 .
Графически этим уравнениям отвечает некоторая кривая на плоскости. Построение графика кривой в полярной системе координат проводят по точкам: аргумент ϕ берут из интервала [0, 2π] , а r находят по
заданному уравнению, имея в виду, что r ≥ 0 , т. е. кривая будет существовать только для тех ϕ, для которых r – неотрицательно.
Полярная система координат часто удобнее декартовой. Зная
формулы перехода от одной системы координат к другой, можно всегда перевести уравнение линии в ту систему, в которой оно будет наиболее простым. Рассмотрим теперь несколько линий в полярной системе координат.
1. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке O в декартовой системе координат имеет вид
х 2 + у 2 = R . Используя фор-
Линия на плоскости в полярной системе координат
Напомним, что полярная система координат задается полюсом
(точкой О) и выходящим из него лучом (полярной осью). Положение
 x = r cos ϕ
мулы перехода 
, получим в полярной системе координатт
 y = r sin ϕ
уравнение этой же окружности: r = R , что означает: все точки окружности (при любых значениях угла ϕ) равноудалены от ее центра.
2. Кардиоида. Если круг диаметром 2a , с окружностью которого связана точка М, катится по некоторой неподвижной окружности
такого же диаметра и катящийся круг расположен внутри неподвижного, то точка М будет двигаться по траектории, которая в полярной
системе координат имеет вид r = 2a (1 − cos ϕ) и называется кардиоидой. Построим эту кривую. Для этого составим таблицу, будем давать ϕ
любые значения из [0, 2π] и вычислять соответствующие значения r;
2a считаем фиксированным положительным числом.
Из полюса O проведем полярную ось OA и будем откладывать
угол ϕ против часовой стрелки от полярной оси ОА. Угол ϕ определя-
10
11
x = a(t − sin t ) 
0 ≤ t ≤ 2π .
y = a (1 − cos t )
При изменении t от нуля до 2π точка M опишет одну арку циклоиды и вернется на ось OX , но на расстоянии x = 2πa от начального положения. При изменении t от –∞ до +∞ получится кривая, состоящая из множества таких арок.
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
ет направление луча, а затем на этом луче откладываем расстояние,
равное r. Вид кривой (рис. 8) определил ее название. Отметим, что
в декартовой системе координат уравнение этой линии будет гораздо
более сложным.
Вводная часть
период будет
на угол ϕ:
2π
. Составим теперь таблицу, учитывая ограничение
3
ϕ
r
−
π
6
0
π
12
a 2
2
−
0
а
π
12
a 2
2
π
6
0
Учитывая непрерывность функции, построим кривую по точкам,
используя таблицу. В результате получим лепесток, расположенный
π
π
между ϕ = − и ϕ = (рис. 9).
6
6
ϕ=
π
6
Рис. 8
3. Трилистник. r = a cos 3ϕ , a ≥ 0 . Такого рода кривых может
ет
быть достаточно много: r = a sin 3ϕ, r = a cos 4ϕ, r = a sin 4ϕ,
r = a cos 5ϕ, r = a sin 5ϕ и т. д. Часто их называют трех-, четырех- или
пятилепестковыми розами.
Построим кривую r = a cos 3ϕ . Прежде чем составлять таблицу
r (ϕ) , как в предыдущем примере, остановимся на двух моментах:
• r должно быть неотрицательно, т. е. r ≥ 0 , поэтому можно
брать только такие ϕ из [0, 2π ) , для которых cos 3ϕ ≥ 0 , а это значит,,
π
π
π
π
≤ 3ϕ ≤ или − ≤ ϕ ≤ , таким образом, рассматриваемая
ая
2
2
6
6
кривая существует только при таких значениях аргумента ϕ;
• следует учесть периодичность тригонометрической функции
косинус: cos 3ϕ = cos( 3ϕ + 2π) = cos 3(ϕ + 2 π / 3) , т. е. у функции cos 3ϕ
что −
12
ϕ=−
π
6
Рис. 9
Далее продолжим построение, приняв во внимание, что через
2π
кривая повторится и в интервале 0 ≤ ϕ < 2π будет еще дваа
угол
3
таких лепестка.
Перейдем теперь к рассмотрению алгебраических линий первого и второго порядков.
13
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
В современном городе должна господствовать прямая линия. Жилые дома, водопроводные
и канализационные линии, шоссе, тротуары – все
должно строиться по прямой. Прямая линия оздоровляет город. Кривая несет ему разорение, всякого рода опасности и осложнения, парализует
жизнь.
Ле Корбюзье
1.1. Уравнение прямой линии на плоскости
В декартовых координатах прямая линия задается алгебраическим уравнением первой степени. Существует несколько способов задания прямой на плоскости:
а) общее уравнение прямой
(1.1)
Ax + By + C = 0,
где А, В, С – численные коэффициенты.
При C = 0 уравнение Ах + Ву = 0 определяет прямую, проходящую через начало координат; при B = 0 ( A ≠ 0 ) уравнение имеет вид
Ах + С = 0 , или х = −
С
, и определяет прямую, параллельную оси OY;
А
при A = 0 ( B ≠ 0 ) уравнение принимает вид Ву + С = 0 , или у = −
С
,
В
и определяет прямую, параллельную оси ОХ;
б) уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой b:
(1.2)
у = kx + b,
где k – угловой коэффициент прямой: k = tgα ;
α – угол, образованный прямой с положительным направлением
оси ОХ, который отсчитывается против часовой стрелки;
b – ордината точки пересечения прямой с осью ординат (рис. 1.1).
14
Глава 1. Прямая линия
Уравнение (1.2) определяет любую прямую, не перпендикулярную к оси ОХ. В частности, при b = 0 уравнение
у = kx дает прямую, проходящую через начало координат;
при k = 0 у = b – прямую, параллельную оси ОХ. Прямая,
параллельная оси OY, задается
Рис. 1.1
уравнением x = a . Этот случай
не следует из уравнения (1.2);
в) уравнение прямой, проходящей через заданную точку
M 0 ( x 0 , y 0 ) в данном направлении,
у − у0 = k ( x − x0 ).
(1.3)
Выведем это уравнение. Используя (1.2), получим у = kx + b и
у 0 = kx0 + b , так как прямая проходит через точку M 0 . Вычтем из первого уравнения второе, получим (1.3). Если k рассматривать как переменную величину, то уравнение (1.3) определяет пучок прямых, проходящих через заданную точку M 0 ;
г) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x2 , y2 ) .
Воспользуемся уравнением (1.2) для этих двух точек и получим
систему
 у1 = kx1 + b,

 y 2 = kx2 + b.
Из этих двух уравнений надо найти неизвестные k и b для искомой прямой. Вычтя из нижней строки верхнюю, получим
или
у2 − у1 = k ( x2 − x1 ),
k=
y2 − y1
.
x2 − x1
15
(1.4)
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 1. Прямая линия
Так вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки. Определив k, найдем второе неизвестное b:
1.2. Угол между двумя прямыми, условия их параллельности
и перпендикулярности
y 2 − y1
x1 ,
x 2 − x1
а затем найденные k и b подставим в уравнение (1.2):
b = y1 − kx1 = y1 −
y=
y2 − y1
y −y
x + y1 − 2 1 x1.
x2 − x1
x2 − x1
Перенесем y1 в левую часть, а справа общий множитель вынесем за скобки:
y2 − y1
( x − x1 ).
x2 − x1
Окончательно уравнение прямой, проходящей через две точки,
примет вид
y − y1 =
y − y1
x − x1
=
;
(1.5)
y2 − y1 x2 − x1
д) уравнение прямой в отрезках на осях.
Положим, что прямая отсекает на координатных осях отрезки,
длины которых равны a и b , т. е. проходит через две точки A(a, 0)
и B (0, b) (рис. 1.2).
Тогда по формуле (1.5) ее
уравнение будет
или
y−0 x−a
,
=
b−0 0−a
Две прямые, пересекаясь, образуют два смежных угла: один –
острый, другой – тупой. В частном случае, когда прямые взаимно перпендикулярны, эти углы будут прямыми. Выведем формулу, по которой можно вычислить угол между прямыми, зная их угловые коэффициенты. Мы предполагаем, что ни одна из прямых не перпендикулярí à ê î ñè ОХ. Рассмотрим две прямые, при этом будем одну из них
называть первой L1 (любую), другую второй – L2 (рис. 1.3).
Обозначим соответственно через k1 и k 2 угловые
коэффициенты этих прямых.
Углом между двумя прямыми
L1 и L2 называется наименьший угол, на который нужно
повернуть против часовой
стрелки прямую до совмещения ее с прямой L2 . На рис. 1.3
прямая L1 образует угол α1 с
Рис. 1.3
положительным направлением оси ОХ, а прямая L2 – угол α 2 . Прямую L1 следует повернуть против часовой стрелки (в положительном направлении) на некоторый
угол θ так, чтобы она совпала с прямой L2 . Согласно сказанному, имеем
Отсюда
α 2 = θ + α1 или θ = α 2 − α1 .
tgα 2 − tgα1
.
1 + tgα1 tgα 2
Так как tgα1 = k1 , tgα 2 = k2 , окончательно получим
x y
+ = 1.
(1.6)
a b
В заключение отметим, что
прямая на плоскости характеризуется двумя независимыми паРис. 1.2
раметрами. Поэтому, чтобы написать уравнение конкретной прямой, надо знать численные значения ее параметров.
тЕсли поменять местами обозначения прямых L1 и L2 , то в соответствии с определением за угол между данными прямыми следует
16
17
tgθ = tg(α 2 − α1 ) =
tgθ =
k 2 − k1
.
1 + k1k 2
(1.7)
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
взять угол θ * . Для нахождения tgθ * в числителе (1.7) нужно поменять местами k1 и k 2 . Тогда, сохранив абсолютную величину, тангенс
угла между прямыми поменяет знак:
tgθ* = tg (π − θ) = − tgθ .
Таким образом, в зависимости от того, какую прямую мы прила
мем за первую L1 , а какую за L2 , получим либо тангенс острого угла
( tgθ > 0 ), либо тангенс тупого угла θ * ( tgθ* < 0 ). Учитывая эти двее
возможности, формулу (1.7) можно записать в виде
tgθ =
k 2 − k1
1 + k1k 2
.
(1.8)
При решении задач необходимо знать условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых. Очевидно, две прямые параллельны тогда, когда углы наклона их к оси ОХ имеют одинаковые значения, т. е. tgα1 = tgα 2 , но tgα1 = k1 , а tgα 2 = k 2 . Отсюда следует, чтоо
условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:
(1.9)
k1 = k2 .
π
Если две прямые перпендикулярны, т. е. угол θ = , тогда тан2
генс угла θ теряет арифметический смысл (обращается в бесконечность). В этом случае в формуле знаменатель правой части будет равен нулю: 1 + k1k 2 = 0 . Отсюда следует условие перпендикулярности
двух прямых:
1
k2 = − .
k1
(1.10)
1.3. Расстояние от точки до прямой
Пусть даны прямая Ах + Ву + С = 0 и точка M 0 ( x0 , y0 ) . Надо
найти расстояние d от точки M 0 до прямой (рис. 1.4).
18
Глава 1. Прямая линия
Для решения этой задачи
следует из точки M 0 опустить
перпендикуляр на прямую, затем найти точку пересечения
данной прямой и перпендикуляра, точку N, и, наконец, определить расстояние между
двумя точками M 0 и N.
Данная прямая Ах + Ву +
+ С = 0 имеет угловой коэффициент k = −
Рис. 1.4
A
, тогда угловой коэффициент перпендикуляра M 0 N
B
в соответствии с (1.10) будет k ⊥ =
мет вид
y − y0 =
B
, а уравнение прямой M 0 N приA
B
( x − x0 ).
A
Для нахождения координат точки N надо решить систему двух
уравнений
 Ax + By + C = 0,


B
 y − y 0 = A ( x − x0 ).
Второе уравнение можно записать иначе, введя параметр t:
y − y0 x − x0
=
= t.
B
A
Выразим х и у через этот параметр:
 x = x0 + At ,

 y = y 0 + Bt.
19
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Подставим эти выражения в первое уравнение и найдем параметр t:
A( At + x0 ) + B( Bt + y0 ) + C = 0,
или
Глава 1. Прямая линия
его из условия перпендикулярности
прямых CD и AB (рис. 1.5). Воспользовавшись формулой (1.5), получим
уравнение прямой AB
t ( A 2 + B 2 ) = − Ax0 − By 0 − C ,
откуда
у − уА
х − хА
.
=
у В − у А хВ − х А
− Ax0 − By0 − C
.
A2 + B 2
Теперь найдем координаты точки N – пересечения прямой и перпендикуляра
t=
Подставим сюда координаты точек А и В, получим
у − 6 х −1
=
.
0 − 6 9 −1
 Ax + By + C 
x = A  − 0 2 0 2  + x0 ;
A +B


Окончательно уравнение прямой AB примет вид
 Ax + By + C 
y = B  − 0 2 02
 + y0 .
A +B


Зная координаты двух точек M 0 и N, найдем расстояние между
ними по формуле (1.1):
d=
A2 ( Ax0 + By0 + C ) 2 B 2 ( Ax0 + By0 + C ) 2
.
+
( A2 + B 2 ) 2
( A2 + B 2 ) 2
d=
A2 + B 2
.
или
3
у − 6 = − ( х − 1)
4
3
27
у =− х+ .
4
4
Из этого уравнения следует, что угловой коэффициент прямой
Преобразуем подкоренное выражение и получим окончательно
Ax0 + By0 + C
Рис. 1.5
(1.11)
Задача 1. Треугольник ABC задан координатами своих вершин:
A(1, 6) , B (9, 0) , C (2, − 1) . Написать уравнение высоты CD и вычислить ее длину d = CD .
3
AB : k AB = − . Тогда угловой коэффициент прямой CD определяет4
ся по формуле (1.10):
kCD = −
1
k AB
4
= ,
3
а уравнение высоты в соответствии с (1.3)
y=
4
11
x− .
3
3
Решение. Уравнение прямой CD можно написать по формуле
(1.3), но для этого необходимо знать ее угловой коэффициент. Найдем
Найдем координаты точки D, которая является точкой пересечения прямых AB и CD . Решим систему двух уравнений
20
21
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
3
27

 у = − 4 х + 4 ,

 у = 4 х − 11 .

3
3
Решением будет xD = 5 , y D = 3 . Находим длину высоты CD как
ак
расстояние между точками C и D по формуле (1):
d = ( xD − xC ) 2 + ( y D − yC ) 2 = (5 − 2) 2 + (3 + 1) 2 = 5.
Длину высоты d можно было найти и по формуле (1.11), которая
дает расстояние от точки до прямой. Записав уравнение прямой AB
в общем виде (1.1)
3 х + 4 у − 27 = 0
и зная координаты точки С (2, –1), получим
d = CD =
3 ⋅ 2 − 4 ⋅ 1 − 27
= 5.
9 + 16
Задача 2. Через точку M 0 (3, − 1) провести прямые под углом
м
45° к заданной прямой 6 х − 2 у + 5 = 0 .
Решение. Угловой коэффициент заданной прямой L0 найдем из
ее уравнения
6 х − 2 у + 5 = 0 ⇒ k0 = 3.
Угловой коэффициент искомой прямой k определяем по формуле (1.8):
1=
k − k0
,
1 + kk0
где учтено, что tg θ = tg 45 = 1 . Решая это уравнение относительно
Глава 1. Прямая линия
ниям будут соответствовать по формуле (1.3) уравнения двух прямых,
проходящих через точку M 0 :
• прямая L1 :
у + 1 = −2( х − 3) , или 2 х + у − 5 = 0 ,
• прямая L2 :
1
у + 1 = ( х − 3) , или х − 2 у − 5 = 0 .
2
Все три прямые изображены на рис. 1.6.
Задача 3. В прямоугольнике
даны (рис.1.7): уравнение одной
стороны 2 x − y − 8 = 0 , точка
а
M (−1, 0) , лежащая на стороне,
параллельной данной, и уравнение диагонали 8 x + y − 12 = 0 . Составить уравнения остальных
трех сторон прямоугольника.
Решение. Допустим, что
в прямоугольнике (см. рис. 1.7)
даны уравнение стороны BC , точка М на стороне AD и уравнение
диагонали AC . Угловой коэффициент прямой BC из ее уравнения
k BC = 2 . Прямая AD проходит через точку М параллельно прямой
BC , т. е. ее угловой коэффициент
k AD = k BC = 2 . Уравнение прямой
AD будет
Рис. 1.6
Рис. 1.7
y − 0 = 2( x + 1) , или 2 x − y + 2 = 0 .
1
неизвестного k, получаем два значения: k1 = −2 и k 2 = . Этим значе2
Точка А является точкой пересечения стороны AD и диагонали
AC. Найдем координаты точки А, решив систему двух уравнений
22
23
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 1. Прямая линия
Два уравнения получаются из уравнений медиан:
хА + уА − 6 = 0;
8 х + у − 12 = 0,

2 х − у + 2 = 0.
Получим x A = 1 , y A = 4 . Аналогично найдем координаты точки С
как точки пересечения прямых BC и AC :
8 х + у − 12 = 0,

2 х − у − 8 = 0.
2 х В − у В + 3 = 0.
Еще два уравнения можно поРис. 1.8
лучить, если воспользоваться координатами точки D, которая является серединой отрезка AB и принадлежит третьей медиане. Для этого сперва найдем координаты точки
пересечения медиан (точки О), решив систему уравнений:
Координаты точки С будут xC = 2 , yC = −4 . Угловой коэффициент сторон AB и CD найдем из условия перпендикулярности их стоороне BC
k AB = kCD = −
1
k BC
1
=− .
2
Окончательно, используя (1.3), напишем уравнения прямых AB
и CD :
• прямая AB :
1
у − 4 = − ( х − 1) , или х + 2 у − 9 = 0 ,
2
• прямая CD :
1
у + 4 = − ( х − 2) , или х + 2 у + 6 = 0 .
2
Задача 4. В треугольнике заданы две медианы: x + y − 6 = 0 ,
2 x − y + 3 = 0 – и одна вершина, точка C (−3, 3) . Найти координаты
двух других вершин.
Решение. Подставив координаты точки С в уравнения медиан,
убедимся, что она не принадлежит заданным медианам (рис. 1.8). Для
нахождения четырех неизвестных величин – координат точки
A( x A , y A ) и точки B ( xB , y B ) – необходимо иметь четыре уравнения.
24
 х + у − 6 = 0,

2 х − у + 3 = 0.
Получим xO = 1, yO = 5 . Точка пересечения медиан, как известно, делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Зная координаты точек С и О, находим координаты точки D по формулам (2) и (3):
хО =
хС + λ ⋅ х D
yC + λ ⋅ y D
; уO =
.
1+ λ
1+ λ
Подставим координаты точек О, С и учитывая, что λ = 2 , получим xD = 3, y D = 6 . Теперь напишем уравнения, связывающие координаты точек А, В, D:
х А + хВ
= 3 , или х А + х В − 6 = 0 .
2
у А + уВ
= 6 , или у А + у В − 12 = 0 .
2
Итак, для нахождения четырех неизвестных имеем систему линейных уравнений
25
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 1. Прямая линия
12 ⋅ 0 + 5 ⋅ 52 / 5 + С
 х А + у А − 6 = 0,
2 х − у + 3 = 0,
 В
В

 х А + х В − 6 = 0,
 у А + у В − 12 = 0.
Это уравнение имеет два решения: C = −26 и C = −78 . Таким
образом, условию задачи удовлетворяют две прямые
Для решения этой системы выразим, например, у А и у B из первых двух уравнений и подставим их в четвертое уравнение:
12 х + 5 у − 26 = 0 и 12 х + 5 у − 78 = 0 .
у А = 6 − х А , у В = 3 + 2хВ .
Получим систему из двух уравнений:
 х А + хВ − 6 = 0,

− х А + 2 хВ − 3 = 0.
Ее решение x A = 3, xB = 3 , тогда y A = 3, y B = 9 . 
Задача 5. Дана прямая 12 x + 5 y − 52 = 0 . Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстояние d = 2 .
Решение. Уравнения параллельных прямых отличаются друг от
друга только свободными членами, поэтому уравнение искомой прямой запишем в виде
12 x + 5 y + C = 0.
2=
Ax0 + By0 + C
, которая дает расстояние от точки до прямой.
A2 + B 2
В нашей задаче эта точка находится на заданной прямой
12 x + 5 y − 52 = 0 . Возьмем произвольную точку, например, точкуу
, или 26 = 52 + С .
Задача 6. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми x + y − 5 = 0 и 7 x − y − 19 = 0 .
Решение
При пересечении двух прямых L1 и L2 образуются две пары
накрест лежащих углов (рис. 1.9).
Им будут соответствовать две
биссектрисы.
Биссектриса, которая делит
угол пополам, также является
геометрическим местом точек,
равноудаленных от сторон угла,
Рис. 1.9
т. е. для любой точки M ( x, y ) ,
принадлежащей биссектрисе, справедливо равенство
MA = MB .
Запишем это уравнение, используя (1.11)
Для нахождения величины С воспользуемся формулой (1.11)
d=
144 + 25
или
х + у − 5 7 х − у − 19
=
,
1+1
49 + 1
5 х + у − 5 = 7 х − у − 19 .
Это уравнение имеет два решения:
52
) . Подставив в приведенное выражение соответствующие
5
числа, получим
5( х + у − 5) = 7 х − у − 19 , или х − 3 у + 3 = 0 ;
5( х + у − 5) = −(7 х − у − 19) , или 3 х + у − 11 = 0 .
26
27
M 0 (0,
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 1. Прямая линия
Задача 7. Даны вершины треугольника A(1, 1) ; B(10, 13) ;
C (13, 6) . Составить уравнение биссектрисы угла А.
Решение
I способ. В треугольнике, как известно из геометрии, биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам. Сделаем рисунок (рис. 1.10).
Пусть биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке D. Тогда
II способ. В данном варианте решения используются угловые
ты
коэффициенты сторон AB и AC . Их можно найти через координаты
вершин треугольника (1.4)
BD : DC = AB : AC .
Рис. 1.10
Обозначим это отношение λ.
Найдем длины сторон AB и AC как
ак
расстояние между двумя точками по
формуле (1)
k AB =
Угол А, образованный сторонами AB и AC , биссектриса делит
пополам (см. рис. 1.10), ∠θ1 = ∠θ2 и, следовательно,
tgθ1 = tgθ 2 .
Используя формулу для тангенса угла между двумя прямыми
(1.7), запишем это соотношение в развернутом виде:
k AB − kб kб − k AC
=
,
1 − k AB kб 1 − k AC kб
АВ = ( х В − х А ) 2 + ( у В − у А ) 2 = 15 ;
АС = ( хС − х А ) 2 + ( уС − у А ) 2 = 13.
Тогда λ =
15
. Координаты точки D находим по формулам (2) и (3):
13
хD =
xB + λ ⋅ xC
y + λ ⋅ yC
, yD = B
.
1+ λ
1+ λ
где k б – угловой коэффициент биссектрисы. После подстановки чис4
5
и очевидных преобразований поленных значений k AB = , k AC =
3
12
лучаем квадратное уравнение относительно неизвестной величины k б :
63k б2 + 32 k б − 63 = 0.
Подставим численные значения координат и величину λ, полу325
259
, yD =
. Биссектриса угла А, как прямая, проходящая
28
28
через две точки (1.5), имеет уравнение
чим xD =
у −1
х −1
=
,
(259 / 28) − 1 (325 / 28) − 1
или
7 х − 9 у + 2 = 0.
28
y − yA 5
yB − y A 4
= ; k AC = C
= .
xB − x A 3
xC − x A 12
Его корни kб =
биссектрис:
7
9
и kб = − . Им соответствуют два уравнения
9
7
7
у − 1 = ( х − 1) , или 7 х − 9 у + 2 = 0 ;
9
9
у − 1 = − ( х − 1) , или 9 х + 7 у − 16 = 0 .
7
29
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Одна из них делит угол А, другая – смежный угол. Точки В и С,
как видно из рис. 1.10, лежат по разные стороны от искомой биссектрисы. Поэтому при подстановке координат этих точек в ее уравнение
получаются числа разных знаков. Такому условию удовлетворяет уравнение
7х − 9 у + 2 = 0,
которое и дает биссектрису угла А.
Задача 8. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями x + 2 y = 0 ; x + 4 y − 6 = 0 ; x − 4 y − 6 = 0 .
Решение
При решении этой задачи крайне важно расположить треугольник относительно осей координат в соответствии с уравнениями его
сторон. После этого можно применять формулу (1.7). При этом особое внимание обращается на расположение сторон относительно друг
друга с тем, чтобы получить тангенсы внутренних углов треугольника, а не смежных с ними.
Возможен другой способ решения. Одну из вершин треугольника поместим в начало координат
(рис. 1.11), а угловые коэффициенты сторон расположим в порядке их
убывания: k1 > k 2 > k3 .
Тогда тангенсы внутренних
Рис. 1.11
углов треугольника определяются
формулами:
Глава 1. Прямая линия
х − 4 у − 6 = 0 ⇒ k = 1 / 4.
В соответствии с указанием расположим их в порядке убывания
и припишем им индексы 1, 2, 3, тогда
1
1
1
k1 = , k 2 = − , k3 = − .
4
4
2
Подставим эти численные значения в приведенные выше формулы, получим
6
8
2
tg∠A = − , tg∠B = , tg∠C = .
7
15
9
По таблице можно найти значения углов:
∠A = 139,5 ; ∠B = 28 ; ∠C = 12,5.
k1 − k 2 k 2 − k3 k3 − k1
;
;
.
1 + k1k 2 1 + k 2 k3 1 + k1k3
Применим этот метод к нашей задаче. Найдем угловые коэффициенты сторон треугольника из их уравнений:
x + 2 y = 0 ⇒ k = −1 / 2;
x + 4 y − 6 = 0 ⇒ k = −1 / 4;
30
31
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Глава 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
p
p

x + =  x −  + y2 ;
2
2

2
2
p 
p

2
x+  =x−  + y .
2 
2

2
2.1. Парабола
Определение. Параболой называется геометрическое место
точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой
фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Введем систему координат следующим образом (рис. 2.1). Проведем через точку F перпендикулярно директрисе d ось ОХ с положительным направлением от директрисы к фокусу. Начало координат О поместим в середине между F и d. Тогда ось ОY пройдет параллельно директрисе d. Расстояние от фокуса F до прямой d обозначим
через р ( p > 0 ). Во введенной выше системе координат получим уравнение директрисы x = −
p
p 
и фокус F  , 0  .
2
2 
Итак, по определению параболы, если M 1 , M 2 , M – точки,
лежащие на параболе, то они удовлетворяют условиям M 1 N1 =,
Упрощая полученное уравнение, получим
y 2 = 2 px.
(2.1)
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.
Итак, зная расстояние р между фокусом и директрисой параболы, всегда можно ввести прямоугольную систему координат, в которой эта
парабола имеет уравнение (2.1). Верно и обратное: всякая кривая,
имеющая такое уравнение в некоторой системе координат, является
параболой. Расстояние р между фокусом и директрисой параболы называется фокальным параметром. Если точка M ( x, y ) лежит на параболе, то и точка M 1 ( x, − y ) тоже принадлежит ей. Это следует из того,
что координаты обеих точек удовлетворяют уравнению (2.1). Поэтому
ось ОХ является осью симметрии параболы y 2 = 2 px (рис. 2.2).
Если при введении системы координат ось ОХ направить от фокуса
к директрисе (рис. 2.3), то получим другое уравнение параболы:
= M 1F M 2 N 2 = M 2 F , MN =
= MF . Пусть точка M ( x, y ) –
произвольная точка параболы. Какому же уравнению удовлетворяют ее координаты х, у? Из рисунка
видно, что
p
MN = x + ,
2
так как прямая MN параллель-
Рис. 2.1
2
p

на OX , и MF =  x −  + y 2 . Из условия MN = MF имеем при
2

p
p
x + > 0 , т. е. x > − :
2
2
32
Рис. 2.2
Рис. 2.3
33
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
y 2 = −2 px.
(2.2)
Если от директрисы к фокусу F перпендикулярно директрисе
направить ось ОY (рис. 2.4), то получим уравнение параболы вида
x 2 = 2 py.
Глава 2. Кривые второго порядка
Из определения следует способ построения параболы вручную
с помощью линейки, угольника, карандаша и нити (рис. 2.7).
(2.3)
И если, наконец, выбрать ось OY от фокуса к директрисе
(рис. 2.5), то получим уравнение
x 2 = −2 py.
(2.4)
Рис. 2.7
Рис. 2.4
Рис. 2.5
От фокального параметра р
зависит форма параболы. Рассмотрим две параболы, заданные уравнениями y 2 = 2 p1 x ,
y 2 = 2 p2 x , где p1 > p2 (рис. 2.6).
Пусть точки M 1 ( x, y1 )
и M 2 ( x, y2 ) , где y1 > 0 , y2 > 0 ,
лежат соответственно на первой
и второй параболе. Тогда, очевидно, ординаты этих точек y1
и y2 удовлетворяют неравенству
у
Нарисуем на листе бумаги точку – фокус F и прямую – директрису параболы. Вдоль директрисы закрепим линейку. К ней приложим вплотную угольник своим меньшим катетом. К вершине противолежащего острого угла угольника надо прикрепить нить, длина которой равна большому катету. Второй конец нити надо закрепить
в фокусе. Карандашом натянуть нить вдоль большого катета угольника; получится точка параболы. Двигая угольник вдоль линейки так,
чтобы карандаш удерживал нить натянутой и прижатой к большему
катету угольника, получим непрерывную линию – параболу.
Задача 1. Найти величину фокального параметра р, фокус F
и уравнение директрисы параболы x 2 = 5 y .
Решение. У параболы, заданной этим уравнением, y ≥ 0 , поэтому ветви направлены вверх. Это уравнение типа (2.3), поэтому 5 = 2 p
и, следовательно, p = 2,5 . Расстояние от вершины до фокуса у параp
болы = 1,25 , фокус имеет координаты F (0, 1,25) , директриса имеет
2
уравнение y = −1,25 . 
2.2. Окружность
y1 = 2 p1 x > y2 = 2 p2 x . Поэтому парабола с большим фокальным параметром более широкая.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек плоскости (множество всех точек), равноудаленных от данной
точки плоскости, называемой ее центром.
34
35
Рис. 2.6
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Напомним некоторые термины и факты, касающиеся окружности и круга (рис. 2.8).
O – центр окружности;
АтВ – дуга окружности;
ОА = r – радиус;
ВС = d = 2r – диаметр;
PQ – секущая – прямая, проходящая через любые две точки
окружности;
MN – хорда;
ТА, ТВ – касательные к окружности.
Пусть секущая MN поворачивается так, что точка N движется по
окружности к точке М (рис. 2.9). Секущая при этом вращается вокруг
точки М и стремится к предельному положению МР. Прямая МР
называется касательной к окружности в точке М.
Определение. Сектор – это часть круга, ограниченная двумя
радиусами окружности ОА и ОВ и дугой окружности АтВ (рис. 2.10).
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой АСВ и хордой
АВ окружности (рис. 2.11). Серединный перпендикуляр СD к хорде АВ
окружности называется высотой сегмента.
Рис. 2.8
Рис. 2.9
Касательная и окружность имеют одну общую точку – точку касания. Известны свойства касательной:
1) касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точке касания: MP ⊥ MO (см. рис. 2.9);
2) из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к окружности, ограничивающей этот круг, их отрезки равны:
TA = TB (см. рис. 2.8).
В строительстве и архитектуре часто используются детали в виде
кругового сектора и сегмента.
36
Рис. 2.10
Рис. 2.11
Напомним некоторые понятия, касающиеся углов в круге и способов их
измерения (рис. 2.12).
О – центр окружности;
∠AOB – центральный угол, образованный двумя радиусами ОА и ОВ;
∠ACB – вписанный в окружность
угол.
Величина любого угла может быть
выражена в градусах (и не только в окружности), а также и в радианах. 1 радиРис. 2.12
ан – это величина центрального угла
∠AOB , у которого длина дуги АтВ равна ее радиусу: АтВ = ОА = ОВ.
l
1 рад = ,
r
где длина дуги окружности l = r , r – радиус окружности.
α рад =
l
или l = αr .
r
37
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Тогда длина всей окружности C = 2πr , где число π определяется как отношение длины окружности С к диаметру d = 2r :
π=
1
(2l − L ),
3
где р – длина дуги АСВ; l – длина хорды АС; L – длина хорды АВ.
Если дуга содержит не более 60°, то относительная погрешность
этой формулы не превышает 0,5 %.
Известны школьные теоремы:
• вписанный угол ∠ACB (см. рис. 2.12) равен половине центрального угла ∠AOB , опирающегося на дугу окружности АmВ;
• все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны;
• все вписанные углы, опирающиеся на диаметр АВ (рис. 2.13),
прямые, т. е. ∠ACB = ∠ADB = 90 .
Площадь круга равна S = πr 2 =
1
1
= (2πr )r = Cr , где r – радиус круга,
2
2
С – длина окружности.
Площадь кругового сектора
πr 2
α,
360
где α – градусная мера соответствующего
центрального угла.
S сек =
Рис. 2.13
38
1 2
ϕr ,
2
где ϕ – радианная мера дуги.
Площадь сегмента (рис. 2.14), не равного полукругу, вычисляется по формуле
C
.
2r
Число π – иррациональное, π = 3,1415926…
В строительной практике часто случается, что (см. рис. 2.10) как
радиус окружности, так и угол АОВ неизвестны. Тогда длину дуги
АСВ (см. рис. 2.11) в сегменте можно вычислить по приближенной
формуле Гюйгенса:
p ≈ 2l +
S сек =
πr 2
α ± S∆ ,
360
где α – градусная мера дуги кругового
сегмента;
S ∆ – площадь треугольника AOB
с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор.
Знак «–» выбирается, если α < 180 ,
S сек =
знак «+» – если α > 180 .
Строителю и архитектору важно поРис. 2.14
мнить свойство, называемое в математике «изопериметрическим неравенством»:
круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре или (что то же самое) наименьший периметр при заданной площади.
Итак, теперь пусть введены декартовы прямоугольные координаты ОХY, тогда общее уравнение окружности:
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0;
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R 2 ,
A
B
1
A2 + B 2 − 4C .
, y0 = − , R =
2
2
2
Здесь ( x0 , y0 ) – центр окружности, R – ее радиус. Эта окруж-
где x0 = −
ность касается оси ОХ при C =
A2
B2
и оси ОY при C =
.
4
4
39
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Уравнение окружности с центром в начале координат
x2 + y 2 = R2 .
Уравнение окружности радиуса R в полярных координатах с центром в точке (ρ0 , ϕ0 ) :
ρ 2 − 2ρρ0 cos(ϕ − ϕ0 ) + ρ02 = R 2 .
Длина L (рис. 2.15) каждой из касательных MN и МК, проведенных из точки M ( x1 , y1 ) к окружности с центром O( x0 , y0 ) и радиусом
м
R в декартовых координатах:
L = MN = MK =
Рис. 2.15
( x1 − x0 )2 + ( y1 − y0 )2 − R 2 .
В заключение заметим, что еще
в древности окружность рассматривали как предел правильного многоугольника при стремлении числа его
сторон к бесконечности при условии,
что длина каждой стороны стремится
к нулю.
Мы привели здесь только очень
малую часть всей информации об окружности и круге, так необходимой
в профессии строителя и архитектора.
Глава 2. Кривые второго порядка
Определение. Эллипсом называется геометрическое место
точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек
F1 и F2 есть величина постоянная. Эта величина обозначается 2a .
оТочки F1 , F2 называются фокусами эллипса, расстояние
между ними обозначается 2c
и называется фокусным расстоянием. Число а называется большой полуосью эллипса,
середина О отрезка F1 F2 –
центром эллипса.
Получим уравнение эллипса. Введем прямоугольную
систему координат. Ось ОХ проведем через фокусы F1 и F2 , ось
сь
OY (рис. 2.16) – через центр О.
Пусть M ( x, y ) – произвольная
точка
эллипса.
40
По
определению
эллипса
2a = F1M + F2 M > F1F2 = 2c , тогда a > c , так как сумма расстояний
произвольной точки М от двух фиксированных точек F1 и F2 не может быть меньше расстояния между точками F1 и F2 . В такой системе координат назовем F1 ( −c, 0) левым фокусом, а F2 (c, 0) правым
фокусом. Тогда имеем:
F1M = ( x + c) 2 + y 2 ; F2 M = ( x − c) 2 + y 2 .
2.3. Эллипс
В книге Дж. Литлвуда «Математическая смесь» можно прочитать цитату, взятую из сочинения Р. Болла «The story of the heavens»
(1886 г.): «Если эллипс и не обладает законченной простотой окружности, то он, по крайней мере, привлекает богатством форм… являясь линией абсолютного изящества, вызывающей в нас самые возвышенные представления…».
Рис. 2.16
Эти расстояния r1 = F1M и r2 = F2 M называются фокальными
радиусами точки М.
Итак, для точек эллипса выполняется условие
или
F1M + F2 M = 2a,
41
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
( x + c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 = 2a.
Упростим это уравнение эллипса, дважды возведя в квадрат. Эти
преобразования приведут к эквивалентному уравнению при условиях x ≤ a , c < a , т. е. cx ≤ a 2 :
( x + c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 ;
a ( x − c) 2 + y 2 = a 2 − xc;
(
) (
)
2
a 2 ( x − c) 2 + y 2 = a 2 − xc ;
(a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ).
2
2
Так как a > c , то число a − c положительно, обозначим егоо
а.
через b 2 . Число b = a 2 − c 2 называется малой полуосью эллипса.
Тогда уравнение эллипса принимает вид
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 .
(2.5)
(2.6)
Верно и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (2.5), то эта точка лежит на эллипсе.
Из уравнения (2.5) следуют некоторые свойства эллипса:
1. Кривая имеет две оси симметрии ОХ и OY. Действительно,
если точка M ( x, y ) лежит на эллипсе и ее координаты удовлетворяютт
42
симметричная точке M ( x, y ) относительно центра О, тоже принадлежит
этому же эллипсу.
3. Весь эллипс лежит в прямоугольнике (рис. 2.17), ограниченном
прямыми x = a , x = − a , y = b , y = −b ,
параллельными осям координат ОХ
и OY. Этот прямоугольник называется
основным прямоугольником для данного эллипса, что следует из уравнения
y2
x2
,
≤ 1,
≤
1
b2
a2
т. е. − a ≤ x ≤ a , − b ≤ y ≤ b . Точки
(2.5) и неравенств
Рис. 2.17
B1 (0, b) , B2 (0, − b) называются вершинами эллипса.
Для построения эллипса рассмотрим только его часть, лежащую
в первой четверти, поскольку он имеет две оси симметрии. Из урав-
нения (2.5) имеем при x ≥ 0 , y ≥ 0 y =
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Рекомендуется запомнить и соотношение между величинами a, b, c:
b2 = a 2 − c2.
уравнению (2.5), тогда этому же уравнению удовлетворяют и координаты точек M 1 (− x, y ) , M 2 (− x, − y ) , M 3 ( x, − y ) .
2. Центр эллипса является его центром симметрии. Действительно, если точка M 1 ( x, y ) лежит на эллипсе, то и точка M 2 (− x, − y ) ,
с координатами A1 ( − a, 0) , A2 ( a, 0) ,
Разделив обе части на a 2b 2 , получим
x2 y2
+
= 1.
a 2 b2
Глава 2. Кривые второго порядка
b 2
уa − x 2 . Ясно, что для суa
ществования кривой должно выполняться условие a 2 − x 2 ≥ 0 , или
0 ≤ x ≤ a.
При непрерывном возрастании аргумента х от 0 до а значения
координаты у монотонно и непрерывно убывают от b до 0 (при этом
a > b ). Отсюда следует примерный вид эллипса (см. рис. 2.16).
Если через фокусы эллипса проходит ось OY , то b – это большая
ом
полуось, b > a , F (0, c) , F (0, − c) . Уравнение эллипса (2.5) при этом
не изменится, а соотношение (2.6) заменится на следующее:
43
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
(2.7)
a 2 = b2 − c2 ,
где b > a .
Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе
координат с полуосями a и b имеет вид
 x = a cos ϕ,

 y = b sin ϕ .
Для точки M ( x, y ) (рис. 2.18) углом ϕ будет угол между осью
ОХ и прямой ОK, где K – точка пересечения перпендикуляра NK
к большей оси, проведенного через точку М, с окружностью радиуса
R = a , равного большей полуоси а эллипса.
При a = b получим известное параметрическое уравнение
окружности радиуса а (рис. 2.19):
 x = a cos ϕ,

 y = a sin ϕ.
Рис. 2.20
Построить на бумаге две взаимно перпендикулярные оси. На
одной из них (оси ОХ) отложить от точки пересечения осей О вправо
и влево равные отрезки OA1 и OA2 длиной а и равные отрезки вправо
о
и влево OF1 и OF2 длиной с, которые определяют фокусы F1 и F2
эллипса. Возьмем нить длиной 2a , закрепим ее концы в фокусах F1 и
F2 . Если с помощью карандаша натянуть нить, то будут получаться
точки эллипса. Верхняя половина эллипса получится, если карандаш
передвигать из правой точки A1 против часовой стрелки до точки A2 ,
так как r1 + r2 = 2a . Нижняя половина строится аналогично.
Для характеристики формы кривых второго порядка служит число, называемое эксцентриситетом.
c
называется эксцентриситетом кривой.
a
ом,
Для эллипса 0 ≤ e < 1 , так как c < a . Эксцентриситет e = 0 в том,
и только в том случае, когда c = 0 , т. е. когда фокусы совпадают F1 = F2 .
Определение. Число e =
Рис. 2.18
Рис. 2.19
Из определения эллипса вытекает способ построения эллипса
вручную с помощью линейки, карандаша и нити (рис. 2.20).
Тогда эллипс превращается в окружность с центром O = F1 = F2 и радиусом а. Более знакомо следующее уравнение такой окружности:
x2 + y 2 = a 2.
Сравним два эллипса с разными эксцентриситетами e1 и e2 ,
e1 < e2 (рис. 2.21).
44
45
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Фокусы имеют координаты F1 (−5, 0), F2 (5, 0) .
Б) По условию F1F2 = 8 , т. е. c = 4 . Поскольку фокусы лежат на
оси OY, то 2b = 10 , b = 5 . Найдем по формуле (2.7)
a 2 = b 2 − c 2 = 25 − 16 = 9 . Уравнение эллипса имеет вид
Фокусы имеют координаты F1 (0, 4) , F2 (0, − 4) .
Задача 3. Найти полуоси и фокусы эллипса 25 x 2 + 9 y 2 = 1 .
Решение
Для приведения к каноническому виду перепишем уравнение
следующим образом:
Рис. 2.21
2
Для этого обе части равенства (2.6) разделим на a :
Отсюда
x2 y 2
+
= 1.
9 25
2
x2
y2
+
= 1.
1 25 1 9
2
b
c
=1− 2 .
2
a
a
b
= 1 − e2 .
(2.8)
a
Из равенства (2.8) следует, что при малом значении е полуоси
а и b почти равны между собой, т. е. форма эллипса близка к форме
окружности. При е, близком к 1, величина а значительно больше b,
и эллипс более вытянут вдоль оси ОХ.
Имеем
c = b2 − a 2 =
a2 =
1
,
25
1
a= ,
5
b2 =
1
1
, b = , b > a , поэтому
этому
9
3
4
.
15
4

 4
Фокусы F1 , F2 расположены на оси OY: F1  0,  , F2  0, −  .
15 

 15 
2.4. Гипербола
Задача 2. Составить уравнение и найти фокусы эллипса:
а) если его малая полуось равна 24, а расстояние между фокусами, лежащими на оси ОХ, равно 10;
б) если большая ось равна 10, а расстояние между фокусами,
лежащими на оси OY, равно 8.
Решение
Определение. Гиперболой называется геометрическое место
точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых
до двух фиксированных точек F1 и F2 (фокусов) есть положительное число. Это число обозначается через 2а. Расстояние между фо-
А) По условию b = 24 , F1F2 = 10 , поэтому имеем 2c = 10 , c = 5 ,
кусами F1F2 обозначается 2с, оно называется фокусным расстоя-
a 2 = b 2 + c 2 = 242 + 52 = 601.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
x2
y2
+
= 1.
601 576
46
нием. Середина О отрезка F1F2 называется центром гиперболы.
Выведем каноническое уравнение гиперболы (рис. 2.22). Введем прямоугольную систему координат. Ось ОХ проведем через фокусы от F1 к F2 . Через центр гиперболы перпендикулярно оси ОХ
Х
проведем ось OY.
47
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Далее совершим ряд простых преобразований:
± a ( x − c ) 2 + y 2 = xc − a 2 ;
a 2 ( x 2 − c 2 ) + a 2 y 2 = x 2c 2 + a 4 − 2 xca 2 ;
x 2 (c 2 − a 2 ) − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 ).
Поскольку c > a , то число c 2 − a 2 > 0 . Обозначим разность
b2 = c2 − a 2.
Тогда уравнение перепишется в виде
(2.10)
b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 .
Разделив на a 2b 2 , получим каноническое уравнение гиперболы
Рис. 2.22
Пусть M ( x, y ) – произвольная точка гиперболы. Для всех точек
гиперболы по определению выполняется равенство
x2 y2
−
= 1.
a 2 b2
MF1 − MF2 = 2a.
Верно и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (2.11), то эта точка лежит на гиперболе.
Число а называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью.
Из уравнения (2.11) вытекают следующие свойства гиперболы:
1°. Оси ОХ, OY являются осями симметрии гиперболы, а центр
гиперболы (начало координат) является ее центром симметрии.
2°. Перепишем уравнение (2.11) в виде
(2.9)
Из рис. 2.22 ясно, что F1F2 > MF1 − MF2 , поэтому c > a . Из (2.9)
имеем:
MF1 − MF2 = ±2a;
( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = ±2a.
Это уравнение можно упростить. Перенесем второй радикал
в правую сторону и возведем в квадрат обе части уравнения:
( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a ( x − c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 .
48
(2.11)
y2 x2
=
− 1.
b2 a2
x2
− 1 ≥ 0 , т. е. x ≥ a
a2
или x ≤ −a , x ≥ a . Поэтому в полосее − a < x < a точки гиперболы не
Его левая и правая части неотрицательны:
49
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
располагаются. На прямых x = a, x = − a расположены только точки
A1 (− a, 0) , A2 (a, 0) , называемые вершинами гиперболы. Итак, гипербола распадается на две ветви: правую при x ≥ a и левую при x ≤ −a .
Используя симметрию, рассмотрим только верхнюю часть правой ветви гиперболы. Перепишем уравнение (2.11) в виде
c
> 1, так как c > a . Он харакa
теризует форму гиперболы. Если (при данном а) эксцентриситет увеличивается, то ветви гиперболы все более распрямляются (рис. 2.23).
y=
4°. Эксцентриситет гиперболы e =
b 2
x − a2 .
a
При непрерывном возрастании переменной х от а до +∞ значения
у тоже будут непрерывно возрастать от 0 до +∞. Таким образом, гипербола является сплошной бесконечно протяженной кривой (рис. 2.22).
3°. Основным прямоугольником гиперболы называется прямоугольник, ограниченный прямыми x = a, x = − a , y = b, y = −b . Его диагонали имеют уравнения
y=
b
b
x, y = − x.
a
a
(2.12)
Эти прямые являются асимптотами гиперболы. Это означает,
что при удалении точки гиперболы от начала координат эта точка неограниченно приближается к одной из этих прямых (2.12). Для обоснования этого утверждения рассмотрим две точки (см. рис. 2.22)
с одинаковой абсциссой: M ( x, y ) на гиперболе и M 1 ( x, y1 ) на асимп-
b
b 2
x − a 2 , y1 = x.
a
a
При неограниченном возрастании х от а до +∞ разность
тоте. Их ординаты соответственно равны y =
(
)(
)
Рис. 2.23
Определение. Директрисой гиперболы или эллипса, соответствующей данному фокусу F, называется прямая d, перпендикулярная к
a
и леe
жащая по ту же сторону от центра, что и фокус F (рис. 2.24).
В канонической системе координат фокусам F1 ( −c, 0) , F2 (c, 0)
соответствуют две директрисы, имеющие уравнения
фокальной оси кривой, отстоящая от центра на расстоянии
a
a
x=− ,x= .
e
e
b x − x2 − a2 x + x2 − a2
b
b 2
y1 − y = x −
x − a2 =
=
a
a
a x + x2 − a2
ab
=
x + x2 − a2
Если при определении гиперболы через фокусы F1 , F2 проходит
ось ОY, то уравнение гиперболы примет вид
монотонно убывает и стремится к нулю. Точки М и M 1 , удаляясь
в бесконечность, неограниченно сближаются между собой.
y2 x2
−
= 1.
b2 a2
50
51
(
)
(2.13)
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
a 1 

 x = 2  t + t  ,

 y = b  1 − t  .

2 t 
Рис. 2.24
Действительная полуось здесь – число b, а мнимая – число а.
Вершины такой гиперболы тоже расположены на оси OY и имеют координаты B1 (0, b) , B2 (0, − b) . Ветви гиперболы направлены вверх
и вниз (рис. 2.25).
Здесь параметр t ∈ (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞ ) . Чтобы убедиться в правильности, достаточно подставить эти уравнения в уравнение (2.11).
При t = ±1 получим вершины гиперболы (a, 0 ); (− a, 0) .
В заключение сообщим без доказательства и вывода полярное
уравнение эллипса, гиперболы и параболы (доказательство [1]).
Ï óñòü F – фокус одной из этих линий второго порядка, а d –
соответствующая этому фокусу директриса (в случае гиперболы
рассматривается фокус и директриса, ближайшие к рассматриваемой ветви). Полярная система координат вводится следующим образом
(рис. 2.26). Полюс совместим
с фокусом F, полярную ось направим по оси линии от директрисы к фокусу.
Будем считать, что парабола имеет эксцентриситет
e = 1.
Тогда полярное уравнение
Рис. 2.26
эллипса, гиперболы и параболы
имеет вид
ρ=
Рис. 2.25
Параметрические уравнения канонической гиперболы имеют вид
52
р
.
1 − e cos θ
(2.14)
Здесь е – эксцентриситет кривой; р – фокальный параметр кривой, который равен длине FK половины фокальной хорды, перпендикулярной к ее оси. В случае параболы р – это расстояние от фокуса до
директрисы. Такое полярное уравнение (2.14) часто используется
в механике.
53
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Заметим, что известное уравнение обратной пропорциональноm
( m = const ≠ 0 ) определяет равнобочную гиx
перболу, асимптотами которой служат оси координат (рис. 2.27). (Вывод можно найти в [1]). Угол поворота осей равен 45°.
сти величин х и у: y =
Глава 2. Кривые второго порядка
Решение
b 12
= . Расстояние между верa 5
шинами 2b = 48 , поэтому b = 24 . Тогда a = 10 . Уравнение гиперболы
лы
имеет вид (2.13):
Из уравнения асимптот имеем
у2
х2
−
= 1.
576 100
Задача 6
Найти острый угол между осью симметрии параболы х 2 = 10 у
и асимптотой гиперболы
вой коэффициент.
Рис. 2.27
Задача 4
Найти полуоси и фокусы гиперболы, если она задана уравнением
16 x 2 − 9 y 2 = −144 .
Решение
Чтобы получить каноническое уравнение, разделим обе части
уравнения на (–144). Тогда получим
х2
− у 2 = 1 , имеющей отрицательный угло9
Решение
У параболы ветви направлены вверх (рис. 2.28), ось симметрии –
это ось OY. Нужная асимптота имеет угловой коэффициент k = –b/a,
1
поэтому при a = 3 , b = 1 имеем k = − . Отсюда ясно, что острый угол
ол
3
1
между асимптотой и осью ОХ α = arctg . Поэтому искомый уголл
3
π
1
ϕ = − arctg .
2
3
у2 х2
−
= 1.
16 9
Отсюда а 2 = 9, b 2 = 16 , c 2 = a 2 + b 2 = 25 . Это уравнение имеет
вид (2.13), поэтому вершины и фокусы F1 (0, 5) , F2 (0, − 5) расположеены на оси OY.
Задача 5
Составить уравнение гиперболы, если известно уравнение асим12
птоты у = х , а расстояние между вершинами на оси OY равно 48.
5
Рис. 2.28
54
55
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Задача 7
Написать уравнение гиперболы, если ее асимптоты имеют урав5
нения y = ± x и гипербола проходит через точку N (6, 9) .
3
Решение
b
b 5
Из уравнения асимптот у = ± x имеем = . Поскольку точкаа
a
a 3
N лежит на гиперболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению
гиперболы (2.11), т. е.
62
а2
−
92
b2
= 1. Поэтому решаем систему уравнений
b 5
 a = 3 ,

 36 − 81 = 1.
 a 2 b 2
36 729
5
171 2 171
= 1, a 2 =
Имеем b = a , поэтому 2 −
, b =
. По2
9
3
25
a
25a
лучаем каноническое уравнение гиперболы вида (2.11):
х2
у2
−
= 1.
171 / 25 171 / 9
Рис. 2.29
Рассмотрим три возможных случая преобразования координат:
– параллельный перенос осей;
– поворот осей;
– одновременно параллельный перенос и поворот осей (общий
случай).
2.6. Параллельный перенос осей
Произведем параллельный перенос осей исходной (назовем ее
старой) системы координат XOY на вектор ОО1 . Получим новую систему координат Х 1О1Y1 . При этом начало новой системы координатт
будет в точке О1 , которая в старой системе ХOY имеет координаты
( а0 ,b0 ) (рис. 2.30).
2.5. Преобразование декартовых координат
Рассмотрим на плоскости (рис. 2.29) две системы прямоугольных координат XOY и X ′O ′Y ′ .
Пусть произвольная точка М на плоскости имеет в системе координат XOY координаты ( x, y ) , а в системе Х ′О ′Y ′ – координаты
ты
( х′, у ′ ). Зная координаты х, у, поставим задачу: как найти координаты
х ′, у ′ , и обратно. Эта задача возникает при переходе от системы координат XOY к системе Х ′О ′Y ′ . Такой переход называется преобразованием координат.
56
Рис. 2.30
57
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Для произвольной точки M плоскости, которая имеет координаты
( x, y ) в системе XOY и координаты ( х1 , у1 ) в системе Х 1О1Y1 , имеем
 х = х1 + а0 ,

 у = у1 + b0 .
(2.15)
Тогда новые координаты ( х1 , у1 ) выражаются через старые:
 х1 = х − а0 ,

 у1 = у − b0 .
(2.16)
Формулы (2.15) и (2.16) называются формулами преобразования
координат при параллельном переносе осей.
2.7. Поворот осей
Рассмотрим исходную систему координат XOY и новую систему
Х 2 ОY2 , полученную из исходной поворотом на угол α против часовой стрелки вокруг начала координат. Пусть М – произвольная точка
плоскости, имеющая в системе ХОY координаты ( x, y ) , а в системе
Х 2 ОY2 координаты ( x 2 , y 2 ) (рис. 2.31).
Установим связь между этими координатами. Для этого рассмотрим треугольник AMB . Ясно, что угол ∠AMB тоже равен α и
x = OP = OR − PR = OR − AB;
y = PM = PA + AM = RB + AM ;
OR = OB cos α = x2 cos α;
RB = OB sin α = x2 sin α.
Из ∆AMB находим
АВ = МВ sin α = y 2 sin α , AM = MB cos α = y 2 cos α .
58
Рис. 2.31
Подставляя все эти равенства, получим:
 x = x 2 cos α − y 2 sin α,

 y = x 2 sin α + y 2 cos α .
(2.17)
Эти формулы и называются формулами преобразования координат при повороте координатных осей.
2.8. Общий случай
В общем случае (рис. 2.32) старая система координат XOY преобразована в новую произвольную систему координат X 2O1Y2 , определяемую однозначно новым началом координат O1 с координатами
(a0 , b0 ) и углом поворота α . Это преобразование можно разбить на
два шага: первый – параллельный перенос осей на вектор ОО1 (при
этом получим систему координат X 1O1Y1 ), затем – поворот этих осей
на угол α (получим систему координат X 2O1Y2 ).
59
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Рис. 2.32
Пусть произвольная точка плоскости М имеет в системе XOY
координаты ( x, y ) , в системе X 1O1Y1 – координаты ( x1 , y1 ) , в X 2O1Y2 –
координаты ( x2 , y2 ) . Тогда по формулам (2.15)
 х = х1 + а0 ,

 у = у1 + b0
и по формулам (2.17)
Рис. 2.33
Пусть эллипс имеет полуоси а и b. Введем вспомогательную сим
стему координат X 1O1Y1 , которая получена параллельным переносом
осей на вектор ОО1 .
В новой системе X 1O1Y1 уравнение эллипса – каноническое:
 x1 = x2 cos α − y2 sin α,

 y1 = x2 sin α + y2 cos α .
х12 у12
+
= 1.
а 2 b2
В итоге получим формулы преобразования координат в общем
случае:
Подставляя сюда формулы (2.16) преобразования координат при
параллельном переносе, получим искомое уравнение эллипса со смещенным центром (a0 , b0 ) :
 x = x2 cos α − y2 sin α + a0 ,

 y = x2 sin α + y2 cos α + b0 .
2.9. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными
центрами и параболы со смещенной вершиной
при параллельном переносе осей
( х − а0 ) 2 ( у − b0 ) 2
+
= 1.
а2
b2
(2.18)
1. Эллипс. Рассмотрим на плоскости произвольный эллипс с центром O1 (a0 , b0 ) и осями, параллельными осям координат (рис. 2.33).
2. Гипербола. Рассмотрим гиперболу с полуосями а и b и центром в точке O1 (a0 , b0 ) (рис. 2.34). Если оси гиперболы параллельны
осям ОХ и OY, то так же, как и в предыдущем пункте, получим уравнение гиперболы со смещенным центром O1 (a0 , b0 ) :
60
61
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
( х − а0 ) 2 ( у − b0 ) 2
−
= 1.
а2
b2
(2.19)
Если ветви гиперболы направлены вверх и вниз, центр (a0 , b0 ) ,
то уравнение выглядит так:
( у − b0 ) 2 ( x − a0 ) 2
−
= 1.
b2
a2
(2.20)
3. Парабола. Рассмотрим (рис. 2.35) параболу с вершиной в точХ.
ке O1 (a0 , b0 ) , параметром р и осью симметрии, параллельной оси ОХ
тоВведем систему координат X 1O1Y1 , где OX OX 1 , OY OY1 , и в которой парабола имеет каноническую форму. В ней у12 = 2 рх1 – уравнение параболы. Вспомнив, что х1 = х − а0 , у1 = у − b0 , получим искоомое уравнение
( y − b0 ) 2 = 2 p ( x − a0 ).
(2.21)
Глава 2. Кривые второго порядка
( у − b0 ) 2 = −2 p ( x − a0 );
(2.22)
– уравнение параболы с вершиной (a0 , b0 ) и ветвями вверх
( х − а0 ) 2 = 2 р ( у − b0 );
(2.23)
– уравнение параболы с вершиной (a0 , b0 ) и ветвями вниз
( х − а0 ) 2 = −2 р ( у − b0 ).
(2.24)
2.10. Геометрический смысл уравнения второй степени
Итак, установлено, что рассмотренным выше эллипсу, гиперболе и параболе соответствуют уравнения второй степени с двумя переменными. Верно и обратное утверждение.
Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0,
(2.25)
где А, В, С, D, E, F – числовые коэффициенты; А и С одновременно не
равны нулю, т. е. А 2 + С 2 ≠ 0 .
Сначала рассмотрим случай B = 0 , т. е. уравнение
Ax 2 + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0.
(2.26)
Возможны случаи AC > 0 , AC < 0 , AC = 0 .
Рассмотрим эллиптический случай AC > 0 , т. е. число
Рис. 2.34
Рис. 2.35
Аналогично получаются и остальные уравнения параболы:
– уравнение параболы с вершиной (a0 , b0 ) и ветвями влевоо
62
АС − В 2 ≠ 0 . Это означает, что коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки. Пусть A > 0 , C > 0 . Если A < 0 , C < 0 , то умножим обее
части уравнения на (–1). Выделим полные квадраты по переменным
х и у, получим
63
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
2
Если M < 0 , A > 0 , C < 0 , то уравнение (2.27) перепишется в виде
2
D  D2
E  E2


А х +  −
+ C y +  −
+ F = 0.
A
A
C
C


Обозначим M =
2
( y + E / C )2 − (x + D / A)2
M /C
2
D
E
+
− F . Тогда
A
C
2
2
A( x + D / A) + C ( y + E / C ) = M .
(2.27)
Если M > 0 , то разделим обе части уравнения (2.27) на М и перепишем его в виде
( x + D / A)2 + ( y + E / C )2
M/A
M /C
= 1.
M
M
; b=
и центA
C
 D E
ром O1  − , −  .
 A C
Если M < 0 , то такому уравнению не соответствует никакогоо
геометрического образа.
Если M = 0 , то уравнению (2.27) удовлетворяет только одна точкаа
 D E
O1  − , −  .
 A C
Рассмотрим гиперболический случай AC < 0 . Пусть, например,
A > 0 , C < 0 . (Если A < 0 , C > 0 , то умножим уравнение на (–1).) Тогогда после выделения полных квадратов по х и у при M ≠ 0 уравнение
(2.26) можно преобразовать к виду
M/A
Если
− M /C
64
= 1,
где M / C > 0 ; − M / A > 0 , и задает гиперболу с полуосями
M
M
 D E
,b=
, центром
м O1  − , −  , ветвями вверх и вниз.
C
A
 A C
Если M = 0 , то уравнение (2.27) можно переписать в виде
a= −
2
E 
D  



 А х +   −  − C  y +   = 0.
C 
A  



Это уравнение равносильно двум линейным уравнениям
D
E


A x +  − − C  y +  = 0 ;
A
C


D
E


A x +  + − C  y +  = 0.
A
C


Эти уравнения двух прямых, проходящих через точку с коорди-
 D E
натами O1  − , −  , можно объединить в одно уравнение
 A C
y=± −
A
D E
x+ − .
C
A C
Рассмотрим параболический случай AC = 0 . Пусть, например,
A ≠ 0 , C = 0 . Выделим полный квадрат по переменной х и получим
уравнение
2
= 1.
M > 0 , то это уравнение гиперболы с полуо сями
 D E
M
M
,b = −
a=
и центром
м O1  − , −  .
 A C
A
C
−M /A
2
Это уравнение эллипса с полуосями a =
( х + D / A)2 − ( y + E / C )2
Глава 2. Кривые второго порядка
Если E ≠ 0 , то
о
D
D2

А х +  =
− 2 Ey − F .
A
A

2

D
F
D2 


A x +  = −2 E  y +
−

A
2
E
2
AE



65
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Дальнейшее упрощение уравнения (2.27) достигается преобразованиями (2.17), соответствующими повороту осей в точке O1 на угол
л
 D D2
F 
.

−
и это – уравнение параболы с вершиной  − ;

 A 2 AE 2 E 
Если же E = 0 , то при
ных прямых:
2
D
− F > 0 это уравнение двух вертикальA
x=−
При
А( x2 cos α − y2 sin α) 2 + 2 B( x2 cos α − y2 sin α)( x2 sin α + y2 cos α) +
( x2 ) 2 ( A cos 2 α + 2 B cos α sin α + C sin 2 α) +
D
D2
− F = 0 это – уравнение одной прямой x = − .
A
A
2
В заключение можно заметить, что число АС − В является важ-
ной характеристикой кривой: при АС − В 2 ≠ 0 кривая имеет центр,
2
т. е. это случай эллиптический или гиперболический. При АС − В = 0
имеем параболический случай.
Если перейти от исходной системы координат XOY к новой си-
де
стеме X 1O1Y1 параллельным переносом осей на вектор ОО1 , где
E
D
; b0 = − ; х1 = х − а0 ; у1 = у − b0 , то уравнение
C
A
(2.25) в системе X 1O1Y1 приводится к одному из канонических уравнений – (2.1)–(2.5), (2.11), (2.13).
Рассмотрим уравнение (2.25) в случае B ≠ 0 . Предположим, чтоо
после параллельного переноса осей в точку O1 (a0 , b0 ) , т. е. после пе-
O1 (a0 , b0 ) ; a0 = −
рехода к системе X 1O1Y1 , уравнение (2.25) имеет вид
А( х1 ) 2 + 2 Вх1 у1 + С ( у1 ) 2 + F ′ = 0,
лу
α и переходу к системе координат X 2O1Y2 . Чтобы вывести формулу
для угла α , подставим формулы (2.17) в уравнение (2.28):
+ C ( x2 sin α + y2 cos α) 2 + F ′ = 0 ;
D
D2 F
±
− .
A
A2 A
D2
− F < 0 уравнение не имеет геометрического образа.
A
А при условии
Глава 2. Кривые второго порядка
(2.28)
+ ( y2 ) 2 ( A sin 2 α − 2 B sin α cos α + C cos 2 α) +
+ x2 y2 (−2 A cos α sin α + 2 B cos 2 α − 2 B sin 2 α +
+ 2C sin α cos α) + F ′ = 0.
Выберем угол α таким, чтобы в этом уравнении коэффициент
при произведении x2 y2 был равен нулю, т. е. угол α должен удовлетворять уравнению
B ( tgα) 2 − (C − A) tgα − B = 0.
66
(2.30)
Тогда в системе координат X 2O1Y2 уравнение (2.29) принимает вид
где A′ ≠ 0 , C '≠ 0 ,
A′( x2 ) 2 + C ′( y2 ) 2 + F ′ = 0,
(2.31)
A′C ′ = AC − B 2 , A′ + C ′ = A + C.
Из уравнения (2.30) можно определить только tgα . Чтобы найти
cos α и sin α , нужно воспользоваться формулами:
sin α = ±
tgα
2
1 + tg α
; cos α = ±
1
1 + tg 2α
Задача 8
Привести к каноническому виду уравнения:
а) 4 x 2 + 9 y 2 − 40 x + 36 y + 100 = 0 ;
где F ′ = Da0 + Eb0 + F .
(2.29)
67
.
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
б) 4 x 2 − y 2 + 8 x − y + 3 = 0 ;
в) 2 x 2 + 6 x + y − 1 = 0 ;
г) 32 x 2 + 52 xy − 7 y 2 + 180 = 0 ;
д) 9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 − 20 x + 110 y − 50 = 0 .
Делим обе части на
4( x 2 − 10 x ) + 9( y 2 + 4 y ) + 100 = 0;
4( x 2 − 10 x + 25 − 25) + 9( y 2 + 4 y + 4 − 4) + 100 = 0;
4( x − 5) 2 − 100 + 9( y + 2) 2 − 36 + 100 = 0;
2
4( x − 5) + 9( y + 2) = 36.
1

y+ 
2
( x + 1)
2
= 1.
−
3 / 16
3/ 4
Это каноническое уравнение гиперболы со смещенным центром
1

15
2
2
O1  − 1, −  . Полуоси a = 3 , b = 3 . Тогда
да с = а + b =
, фо2


4
2
4
кусы расположены на прямой y = −
( x − 5) 2 ( y + 2) 2
+
= 1.
9
4


15 1 
15 1 
, −  , F2  − 1 +
, −  . Вершины имеют коордира: F1  − 1 −
4
2
4
2


y+
Это уравнение эллипса с центром (5, − 2) , полуосями a = 3 , b = 2 ,
с = a 2 − b 2 = 5 . Фокусы отстоят от центра на большой оси на рас-
(
) (
)
5 , поэтому F 5 − 5 , − 2 , F 5 + 5 , − 2 . Вершины имеютт
координаты A1 (2, − 2) , A2 (8, − 2) , B1 (5, 0) , B2 (5, − 4) .
(
) (
)
4 x 2 + 2 x − y 2 + y + 3 = 0;
Б)
1
15
на расстоянии с =
от цент2
4


3 1
3 1
, −  , A2  − 1 +
, −  . Асимптоты гиперболы именаты A1  − 1 −
4
2
4
2


ют уравнения
Делим обе части равенства на 36:
стоянии
3
:
4
2
Решение
А) Совершим несколько простейших эквивалентных преобразований, выделяя полные квадраты по х и по у:
2
Глава 2. Кривые второго порядка
1
1
= 2( x + 1), y + = −2( x + 1),
2
2
поскольку угловые коэффициенты асимптот k = ±
В)
b
= ±2 .
a
2 x 2 + 6 x + y − 1 = 0;
(
)
2 x 2 + 3 x + y − 1 = 0;
1 1

4 x 2 + 2 x + 1 − 1 −  y 2 + y + −  + 3 = 0;
4 4

2
1 1

4( x + 1)2 − 4 −  y +  + + 3 = 0;
2 4

x 2 + 3 x + 1,5 2 − 1,52 + 0,5 y − 0,5 = 0;
1
3

4( x + 1) −  y +  = .
2
4

Это каноническое уравнение параболы вида (2.24) с ветвями вниз
и вершиной O1 (− 1,5; 5,5) . Так как 2 p = 0,5 , то параметрр p = 0,25 .
68
69
(
)
2
2
( x + 1,5) 2 = −0,5 y + 2,75;
( x + 1,5) 2 = −0,5( y − 5,5).
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Фокус, отстоящий от вершины на расp
, имеет координаты
2
F (− 1,5; 5,375) (рис. 2.36).
Г) Поскольку B = 26 ≠ 0 , то для
приведения уравнения к каноническому виду нужно перейти к системе координат X 2OY2 с помощью поворота осей
на угол α . Для этого решим уравнение
(2.30) при A = 32 , B = 26 , C = −7 :
стоянии
Рис. 2.36
Рис. 2.37
2
26 tg α + 39 tgα − 26 = 0.
1
1
Отсюда имеем tgα = −2 или tgα = . Пусть, например, tgα = ,
2
2
Д) Найдем угол α поворота осей из уравнения (2.30) при A = 9 ,
B = −12 , C = 16 :
− 12 tg 2α − 7 tgα + 12 = 0.
1
2
1
α = arctg , sin α =
, cos α =
. Тогда из (2.29) найдем
5
5
2
A′ = A cos 2 α + 2 B cos α sin α + C sin 2 α = 45 ;
C ′ = A sin 2 α − 2 B sin α cos α + C cos 2 α = −20.
Уравнение (2.31) выглядит так:
45( x2 ) 2 − 20( y2 ) 2 + 180 = 0.
Делим его на (–180) и переносим 1 вправо:
( y 2 ) 2 ( x2 ) 2
−
= 1.
9
4
Это каноническое уравнение гиперболы с полуосями b = 3 , a = 2
(рис. 2.37) и ветвями вверх и вниз в системе X 2OY2 .
70
Отсюда имеем tgα = −
3
4
или tgα = . Выберем любое из этих
4
3
3
3
4
3
значений, например tgα = . Тогда α = arctg , sin α = , cos α = .
4
5
5
4
Подставим формулы (2.17)
x=
4
3
3
4
x2 − y 2 ; y = x2 + y 2
5
5
5
5
в исходное уравнение, тогда A'= 0 , C '= 25 . В результате получим
3 
4 
4
3
25 y 22 − 20  x 2 − y 2  + 110  x 2 + y 2  − 50 = 0 ;
5 
5 
5
5
25 y22 + 50 x2 + 100 y2 − 50 = 0 ;
y22 + 2 x2 + 4 y2 − 2 = 0.
71
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Приведем это уравнение к каноническому виду с помощью выделения полного квадрата по y2 :
храма имеет эллиптический или полуэллиптический вид, то в нем есть
две замечательные точки, соответствующие фокусам эллипса. Жрецы располагали, например, статую божества в одном из фокусов, а
другой жрец, говорящий от имени божества, маскировался в месте
второго фокуса. Посетители храма, которые не видели его, были уверены, что с ними говорит божество.
( y2 + 2) 2 = −2( x2 − 3).
Это – уравнение параболы,
имеющей в системе XOY вершину
 18 1 
с координатами O1  ,  .
 5 5
Если сделать параллельный
перенос осей X 2OY2 в точку O1 на
вектор ОО1 , то ветви параболы
в системе X 1O1Y1 будут направлены влево и уравнение примет вид
Рис. 2.38
y 21 = −2x1 ,
где
Гипербола
Световые лучи, исходящие из одного фокуса гиперболы, после
зеркального отражения от гиперболы кажутся отраженными из другого фокуса (рис. 2.40).
Парабола
Лучи, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы параллельны ее оси (рис. 2.41).
x1 = x 2 − 3 ,
y1 = y 2 + 2 (рис. 2.38).
2.11. Оптические и акустические свойства кривых
второго порядка
Эллипс
Световые лучи или звуковой сигнал, исходящие из одного фокуса, например из F1 , после зеркального отражения от эллипса приходят во второй фокус F2 . Иными словами, если A( x0 , y 0 ) – точка эллипса,
Рис. 2.39
то отрезки AF1 и AF2 образуют с каасательной, проведенной к эллипсу
в точке A , равные углы ϕ (рис. 2.39).
Есть легенда, что такое свойство
звука использовали древние строители храмов и жрецы. Если помещение
72
Рис. 2.40
Рис. 2.41
Это свойство лучей позволяет равномерно
освещать, например, экран, помещенный перпендикулярно оси параболы, всего лишь одним источником света, находящимся в фокусе этой параболы.
Или, наоборот, приборами большого размера, имеющими параболическую поверхность, можно улавливать слабые световые и звуковые сигналы, так как они все собираются в точке фокуса, куда
можно поместить приемник (рис. 2.42).
73
Рис. 2.42
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
2.12. Конические сечения
конуса. Прямая, соединяющая вершину с любой точкой направляющей, называется образующей. Если образующая «пробежит» по всем
точкам направляющей, то получится конус. Если направляющая –
окружность, то конус является круговым.
Итак, если плоскость пересекает круговой конус перпендикулярно оси конуса, то в сечении мы получим окружность. Если эта плоскость не перпендикулярна оси и пересекает только одну полость конуса, то в сечении получится эллипс. Если плоскость параллельна
образующей, то линией пересечения будет парабола. Если плоскость
пересекает обе полости конуса, то в сечении получим гиперболу, одна
ветвь которой в одной полости, а другая – в другой.
 çàêëþ ÷åí èè ñî î áù èì åù å î äèí çàì å÷àòåëüí û é äðåâí èé факт
о конических сечениях: через любые пять точек на плоскости, никакие
три из которых не лежат на одной прямой, можно провести единственное коническое сечение.
Кривые второго порядка были хорошо изучены математиками
еще в древней Греции в III–II вв. до н. э. Великий математик эллинизма Аполлоний из Перги (ок. 260–170 гг.) написал трактат из восьми
книг о конических сечениях «О кониках».
С тех пор часто можно услышать, что все кривые второго порядка называют «коническими сечениями». Оказывается, что все кривые
второго порядка можно получить сечением кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 2.43).
2.13. Кривые второго порядка в технике, строительстве,
архитектуре
Напомним, что такое круговой конус. На плоскости нарисуем
окружность или любую другую линию, называемую направляющей
конуса. Вне этой плоскости возьмем точку, называемую вершиной
Линии второго порядка часто используются строителями, архитекторами, инженерами, дизайнерами.
Эти линии встречаются нам на каждом шагу в окружающем нас
мире. Именно поэтому они хорошо изучены уже очень давно. А в силу
их простоты, изящества и легкого построения еще и часто применимы.
Как показал Ньютон, траектории любых тел под действием взаимного притяжения являются кривыми второго порядка. Форма орбиты (т. е. траектория движения) зависит от масс и относительных
скоростей взаимодействующих тел.
Согласно законам Кеплера, все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам. В одном из фокусов этого эллипса
находится Солнце.
Тело, выпущенное с Земли со скоростью менее 8 км/с, падает на
поверхность по параболе.
На рис. 2.44 представлена траектория падения баскетбольного
мяча. Если же тело, например искусственный спутник, выпущено
с Земли с большей скоростью, чем 8 км/с, то оно будет вращаться
вокруг нашей планеты по эллиптической траектории.
74
75
Рис. 2.43
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Всем известный фирменный знак «Макдоналдса» (рис. 2.46) содержит две параболы.
Рис. 2.44
В технике, астрономии используются оптические свойства кривых второго порядка.
На солнечных электростанциях ставят параболические зеркала,
например в Калифорнии. Свойство параболы собирать параллельные
лучи в одной точке используют в телескопах, радиолокаторах, телевизионных антеннах-тарелках.
Список архитектурных объектов, в которых можно увидеть параболу, эллипс или гиперболу, можно продолжать очень-очень долго.
Приведем несколько примеров.
Ворота или арка в Сент-Луисе (архитектор Эро Сааринен) имеет форму параболы (рис. 2.45). Это самый высокий монумент в Америке. Высота 192 м.
Рис. 2.46
В норвежском городе Тромсё построена библиотека с крышей
в форме параболы (рис. 2.47).
Рис. 2.45
Рис. 2.47
76
77
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Рис. 2.48
Самый грандиозный античный амфитеатр, Колизей (рис. 2.48, 2.49) в Риме, является в плане эллипсом с большой осью, равной 187,77 м,
и малой осью 155,64 м.
Глава 2. Кривые второго порядка
На рис. 2.51, 2.52 мы видим, как архитектор Paulo Sertorio (Пауло Серторио) в основу идеи своего здания музея современного искусства взял три эллипса в пространстве.
Рис. 2.49
Эллипсы можно увидеть в интерьерах домов и во внешних деталях здания, называемого Habitat Machines («обитаемые машины»),
дизайнера-архитектора Дэвида Траутримаса (рис. 2.50).
Рис. 2.50
78
Рис. 2.51
79
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Рис. 2.53
Рис. 2.52
Еще одним примером использования знаменитым архитектором
Норманом Фостером эллиптических линий является здание мэрии
Большого Лондона на берегу реки Темзы (рис. 2.53).
Ажурные стальные конструкции телевизионной башни Шухова
на Шаболовке демонстрируют гиперболу. Такие башни начали строить еще с конца ХIХ века (рис. 2.54).
80
Рис. 2.54
81
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 2. Кривые второго порядка
Гиперболическая светомузыкальная башня-скульптура Samspel
построена у городка Хюснес в Норвегии (рис. 2.55).
В Париже можно полюбоваться мостом Александра III с аркойпролетом в форме параболы (рис. 2.57).
Рис. 2.55
610-метровая гиперболическая сетчатая Шуховская башня возведена в Китае в Гуанчжоу (рис. 2.56).
Рис. 2.57
Параболу можно увидеть в силуэте офисного комплекса «Плаза» в Санкт-Петербурге на Малоохтинском проспекте (рис. 2.58).
Рис. 2.56
Рис. 2.58
82
83
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
Рекомендуемая литература
Оглавление
1. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. –
М.: Наука, 1975.
2. Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. – М.:
Физматгиз, 1960.
3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии /
Д. В. Клетеник. – М.: Наука, 1969.
4. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский. – М.: Наука, 1987.
5. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1968.
6. Литлвуд Дж. Математическая смесь / Дж. Литлвуд. – М.: Наука, 1990.
Вводная часть ......................................................................................................3
1. Метод координат .....................................................................................3
2. Простейшие задачи на плоскости..........................................................5
3. Линия на плоскости ................................................................................7
Глава 1. Прямая линия .....................................................................................14
1.1. Уравнение прямой линии на плоскости ...........................................14
1.2. Угол между двумя прямыми, условия их параллельности
и перпендикулярности..............................................................................17
1.3. Расстояние от точки до прямой ........................................................18
Глава 2. Кривые второго порядка ..................................................................32
2.1. Парабола .............................................................................................32
2.2. Окружность ........................................................................................35
2.3. Эллипс.................................................................................................40
2.4. Гипербола ...........................................................................................47
2.5. Преобразование декартовых координат ...........................................56
2.6. Параллельный перенос осей .............................................................57
2.7. Поворот осей ......................................................................................58
2.8. Общий случай ....................................................................................59
2.9. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными
центрами и параболы со смещенной вершиной
при параллельном переносе осей ............................................................60
2.10. Геометрический смысл уравнения второй степени.......................63
2.11. Оптические и акустические свойства кривых
второго порядка ........................................................................................72
2.12. Конические сечения.........................................................................74
2.13. Кривые второго порядка в технике, строительстве,
архитектуре ...............................................................................................75
Рекомендуемая литература .................................................................................84
84
85
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
Учебное издание
Карамян Анна Аршавировна
Прокофьева Светлана Ивановна
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Учебное пособие
Редактор О. Д. Камнева
Корректоры К. И. Бойкова, М. А. Молчанова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 14.05.12. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 5,1. Тираж 1000 экз. Заказ 64. «С» 28.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
86
87
А. А. Карамян, С. И. Прокофьева. Аналитическая геометрия на плоскости
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
88
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
7 020 Кб
Теги
analiz, geom, prokofyeva, plosk, karamyan
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа