close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Novikova Mehanika UP2014

код для вставкиСкачать
А. М. НОВИКОВА, А. В. КУДРЯВЦЕВ,
И. И. ИВАНЕНКО
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
А. М. НОВИКОВА, А. В. КУДРЯВЦЕВ, И. И. ИВАНЕНКО
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
1
УДК 532.5/7.001.12 (076.1.5)
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор А. Н. Ким (СПбГАСУ); канд. техн.
наук, доцент К. П. Моргунов (Государственный университет морского и речного флота им. адм. С. О. Макаренко)
Новикова, А. М.
Механика жидкости и газа: учеб. пособие / А. М. Новикова,
А. В. Кудрявцев, И. И. Иваненко; СПбГАСУ. – СПб., 2014. – 139 с.
ISBN 978-5-9227-0538-7
Предназначено в помощь студентам специальности 271101 – строительство
уникальных зданий и сооружений (СУЗС), направлений подготовки 270800 –
строительство (С), 140100 – теплоэнергетика (ТЭ) всех форм обучения при выполнении контрольной работы по дисциплине «Механика жидкости и газа».
Включает в себя краткие сведения из теории по темам контрольной работы,
методические рекомендации и примеры решения задач по соответствующим
темам, справочные данные, необходимые для решения задач.
Ил. 72. Библиогр.: 13 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0538-7
© А. М. Новикова, А. В. Кудрявцев,
И. И. Иваненко, 2014
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2014
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов специальности 271101 – строительство уникальных зданий и сооружений (СУЗС), направлений подготовки 270800 – строительство (С),
140100 – теплоэнергетика (ТЭ), в учебных планах которых предусмотрен общий курс механики жидкости и газа.
Основное назначение учебного пособия – помочь студентам выработать навыки применения теоретических знаний для решения
учебных и технических задач.
Учебное пособие включает в себя краткие сведения из теории
и методические рекомендации по решению задач данной темы. Приводятся примеры решения задач. В конце учебного пособия представлены справочные и нормативные данные, необходимые для решения предлагаемых задач.
Задачей изучения дисциплины является приобретение знаний
в области статики и динамики жидкости и газа, что должно основываться на изучении студентами следующих курсов:
1) математики (векторная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисления, численные методы интегрирования);
2) теоретической механики (статика, кинематика, динамика);
3) инженерной графики (построение линий пересечения плоскостей);
4) информатики (использование методов прикладной математики
и стандартных программ MATHCAD при решении инженерных задач).
В учебном пособии особое внимание уделено методике расчета напорных потоков, ограниченных твердыми стенками, расчету трубопроводов, так как вся будущая инженерная деятельность
выпускников связана с современной техникой, оборудованной
гидравлическими системами, а также решению проблем по дальнейшему совершенствованию механизации трудоемких процессов
в производстве.
3
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Круг вопросов, охватываемых гидравликой (механикой жидкости и газа), обширен, и законы гидравлики в той или иной мере
находят применение практически во всех областях инженерной
деятельности. Гидравлическими методами на практике решаются
задачи, в частности, транспортирования жидкости по трубопроводам, конструирования гидравлических устройств и машин. Студентам, обучающимся на инженерных факультетах, важно понять,
что язык «мира техники» – это формулы, схемы и чертежи. При
этом важно знать не только формулы соответствующих разделов
механики жидкости и газа, но и условия, когда их использование
правомерно.
Целями контрольной работы являются изучение и усвоение на
практике общих схем гидравлических расчетов, а также приобретение навыков работы с технической и справочной литературой.
Контрольная работа должна быть оформлена на листах бумаги
форматом А4 (210×297). Первый лист – титульный, на котором указываются Ф.И.О. студента, факультет, группа, курс, номер зачетной
книжки, Ф.И.О. преподавателя, дата выполнения работы. Текст желательно располагать на одной стороне листа, вторая, свободная,
может использоваться для замечаний рецензента или внесения исправлений.
При решении задач рекомендуется придерживаться следующих
требований:
• перед решением работы и ее оформлением необходимо привести полностью ее условие без сокращений;
• следует придерживаться той последовательности при решении
задач, в которой они даны в задании, строго соблюдая при этом нумерацию задач, которые указаны в задании;
4
• в работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Не допускается замена задач задания другими. Работы, содержащие не все задачи задания, а также содержащие задачи не своего
варианта, не засчитываются;
• решение задач должно сопровождаться развернутыми пояснениями: необходимо привести в общем виде все используемые формулы с объяснениями употребляемых обозначений; объяснить и мотивировать все действия по ходу решения; сделать все необходимые
чертежи, схемы, графики, поясняющие рисунки;
• если вычисления, выполненные при решении задач, приближенные, то следует придерживаться правил приближенных вычислений;
• полученный ответ обязательно снабжается размерностью. Отсутствие размерности или же неправильное ее представление считается за ошибку и учитывается при общей оценке работы;
• если работа не зачтена, то студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, выполнить все его рекомендации.
Контрольная работа должна сдаваться на кафедру заблаговременно. К сессии допускается студент, имеющий зачтенную работу.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ПО ТЕМАМ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Тема 1. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ
И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ
Механика жидкости и газа изучает законы равновесия и движения жидкостей и газов с целью использования этих законов для решения практических инженерных задач.
Понятие жидкость включает в себя как капельные жидкости, так
и газы. Капельные жидкости (вода, масла, нефть, бензин, керосин,
ртуть) считаются мало сжимаемыми, обладающими большим сопротивлением изменению своего объема (в отличие от газообразных жидкостей) и малым сопротивлением изменению своей формы (в отличие
от твердых тел). Капельная жидкость может заполнять часть объема сосуда, образуя свободную поверхность – поверхность раздела с газовой
средой. Газообразные жидкости (пары и газы) – сжимаемые, они полностью заполняют объем сосуда и не имеют свободной поверхности.
Капельные и газообразные жидкости объединяет свойство текучести, т. е. обладание малыми силами сцепления между отдельными
частицами. Многие физические свойства и механические законы капельных и газообразных жидкостей идентичны.
Основными параметрами, определяющими физические свойства
жид­костей и газов, являются плотность, удельный вес, сжимаемость,
упругость, температурное расширение, вязкость, поверхностное натяжение.
Плотностью r, кг/м3, называется масса жидкости, заключенная
в единице объема:
m
ρ= .
(1.1)
V
6
Удельный (объемный) вес g, Н/м3, – это вес единицы объема жидкости:
γ=
G
.
V
(1.2)
Удельный (объемный) вес и плотность связаны между собой отношением
G mg
γ= =
= ρg .
(1.3)
V
V
Относительная плотность rотн или относительный удельный
вес gотн – это отношение плотности или удельного веса данной жидкости к плотности или удельному весу дистиллированной воды при
t = 4 °C и атмосферном давлении; является безразмерной величиной:
d = rотн = gотн = rж / r4° = gж / g4°.
(1.4)
Плотность газообразных жидкостей существенно зависит от температуры. Из уравнения Клапейрона – Менделеева
P = rgRT
(1.5)
можно установить зависимость плотности газа от температуры:
ρt =
ρ0 ⋅ T0
,
T
(1.6)
где P – абсолютное давление, Па; r – плотность газа, кг/м3; g – ускорение свободного падения, м/с2; R – газовая постоянная, Дж/(кг · град);
T – абсолютная температура, равная (t + 273) К; rt и r0 – плотность
газа соответственно при новой T и начальной T0 температурах.
Кроме того, плотность газа в значительной степени зависит
от давления и выражается уравнением
ρP =
ρ ⋅P
0
P0
,
(1.7)
где rP и r0 – плотности газа, кг/м3, соответственно при новом P и начальном P0 давлениях в Па.
Плотности некоторых жидкостей приведены в прил. 1.
7
Сопротивление жидкости изменению объема в зависимости от
давления характеризуется коэффициентом объемного сжатия, который выражает относительное изменение объема на единицу изменения давления bV, Па–1:
βV =
dV
.
V ⋅ dP
(1.8)
Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, представляет собой модуль объемной упругости Eж, Па–1:
Eж =
1
.
βV
(1.9)
Для воды при нормальных условиях можно принимать
bV = 0,5 ⋅ 10–9 Па–1; Eж = 2 ⋅ 10–9 Па.
Коэффициент температурного расширения bt, °C–1, выражает
относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на один градус:
βt =
dV
.
V ⋅ dT
(1.10)
Для воды при нормальных условиях bt = 10–4 °C–1.
В отличие от капельных жидкостей газообразные жидкости значительно изменяют объем при изменении давления и температуры.
Изменение объема газа в зависимости от изменения давления выражается законом Бойля – Мариотта:
P1V1 = PV,
(1.11)
где P1 и V1 – соответственно начальное давление и объем газа;
P и V – давление и объем при любом другом состоянии газа.
Изменение объема газа при изменении температуры выражается
законом Гей-Люссака при постоянном давлении P = const:
V = V0 (1 + aq),
(1.12)
где V0 – объем газа при 0 °C; q – температура в °C; a = 1/273 – коэффициент расширения.
8
Свойство жидкостей оказывать сопротивление перемещению частиц и развивать при движении внутренние касательные напряжения называется вязкостью.
Вязкость капельных жидкостей с повышением температуры понижается, а газов – увеличивается.
Зависимость вязкости капельных жидкостей от давления незначительна, ею во многих расчетах можно практически пренебречь.
Касательное напряжение определяется из уравнения:
τ=µ⋅
du
,
dy
(1.13)
где m – коэффициент динамической вязкости; du/dy – градиент скорости, характеризующий относительное изменение скорости du между
отдельными слоями потока толщиной dy.
Из уравнения (1.13) видно, что коэффициент динамической вязкости m численно равен единичной силе трения t при градиенте скорости du/dy = 1/с.
Динамическая вязкость в системе МКС измеряется в Па · с, в системе СГС – в пуазах (П). 1 П = 0,1 Па · с.
Для характеристики вязкости применяют также отношение динамической вязкости к плотности жидкости, называемое кинематической вязкостью, n = m/r. Кинематическая вязкость в системе
МКС имеет размерность [n] = м2/с, в системе СГС – стокс (Ст).
1 Ст = 1 см2/с = 10–4 м2/с.
Значения коэффициентов кинематической вязкости некоторых
жидкостей приведены в прил. 2.
Находясь в покое или движении, все частицы жидкости и газа испытывают действие сил:
• массовых или объемных (сила тяжести, сила инерции, центробежная сила). Массовые силы (если жидкость однородная, то объемные) пропорциональны массе (объему) и выражаются в виде
Fm = r ⋅ a ⋅ V,
(1.14)
где r – плотность жидкости или газа; a – ускорение движения;
V – объем жидкости или газа;
• поверхностных (силы гидродинамического давления, сила трения, сила упругости). Поверхностные силы распределены по по9
верхности жидкости или газа, пропорциональны ее площади и выражаются в виде
FP = P ⋅ w,
(1.15)
где P – единичная сила или напряжение; w – площадь действия силы;
•поверхностного натяжения, которые действуют на поверхности раздела жидкости и газа, стремятся придать объему жидкости сферическую форму и вызывают некоторое дополнительное давление. Однако это давление сказывается лишь при малых
объемах жидкости и сферических объемах (капель) и определяется формулой
F=
2s
,
r
(1.16)
где s – коэффициент поверхностного натяжения; r – радиус сферы.
В результате действия поверхностных и массовых сил внутри
жидкости возникает напряжение сжатия, которое называется гидростатическим давлением, обладающим двумя свойствами:
• гидростатическое давление всегда направлено по внутренней
нормали к поверхности, на которую оно действует, и создает только
сжимающее напряжение. Касательные напряжения могут возникать
только при движении;
• давление в точке не зависит от ориентации площадки в пространстве и одинаково по всем направлениям, т. е. Px = Py = Pz = Pn.
Для малой площадки DS, выделенной на горизонтальной поверхности, находящейся под действием силы DF (рис. 1.1), имеем
Pср = DF/DS,
(1.17)
где Pср – среднее гидростатическое давление внутри площадки.
Предел отношения силы DF к площадке DS при уменьшении ее
размеров до нуля называется гидростатическим давлением в точке Р.
∆F
.
∆S →0 ∆S
P = lim
(1.18)
В системе единиц МКС размерность гидростатического давления
[P] = Н/м2 = Па (Паскаль).
10
DF
DS
Рис. 1.1
При оценке давления различают полное (абсолютное) давление P, атмосферное давление Pа, избыточное давление Pизб и вакуумметрическое давление Pвак.
Полное (или абсолютное) давление P – это давление, которое
складывается из давления на свободной поверхности жидкости
и давления, создаваемого уровнем вышележащего слоя жидкости:
P = P0 + rgh,
(1.19)
где P0, Па, – давление на свободной поверхности жидкости; rgh, Па, –
избыточное (манометрическое) давление – столб жидкости; h, м, –
глубина погружения рассматриваемой точки относительно свободной поверхности.
Уравнение (1.19) является основным уравнением гидростатики
и позволяет определить давление в любой точке жидкости в зависимости от глубины погружения и давления на поверхности. Уравнение показывает также, что величина давления на поверхности
жидкости P0 передается в любую точку внутри жидкости без изменения. Это положение называется законом Паскаля. Если изменить
давление на поверхности, то ровно на такую же величину изменится
давление во всех точках жидкости.
Атмосферное давление Pа – это давление, создаваемое окружающей воздушной средой.
Избыточное давление Pизб – это превышение полного давления P
над атмосферным давлением Pа:
Pизб = P – Pа.
11
(1.20)
• Избыточное давление Pизб кроме того принято также называть манометрическим давлением Pм. Его измеряют манометрами
и пьезометрами.
• Вакуумметрическое давление Pвак – это «недостаток» полного
давления P до атмосферного Pа:
Pвак = Pа – P.
(1.21)
Оно измеряется приборами, которые называются вакуумметрами.
Помимо паскалей (Па) давление также измеряется и во внесистемных единицах:
– техническая атмосфера (ат), 1 ат = 1 кгс/см2 = 1 · 104 кгс/см2 =
= 0,981 · 105 Па;
– бар, 1 бар = 1 · 105 Па;
– миллиметр ртутного столба, 1 мм рт. ст. = 133,3 Па;
– метр водного столба, 1 м вод. ст. = 9,81 кПа.
Поверхность раздела газовой и жидкой среды называют свободной поверхностью жидкости.
Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления.
Частными случаями поверхности равного давления являются свободная поверхность и горизонтальное дно сосуда.
Если через боковые стенки закрытого резервуара с жидкостью, на поверхности которой давление P0, вывести стеклянные
трубочки: справа с открытым верхом, называемую пьезометром,
а слева с закрытым верхом, называемую жидкостным манометром, то жидкость в них поднимется на разные высоты: hп и hпр
(рис. 1.2).
Тогда, используя формулу (1.19) для жидкости в закрытой трубке,
можно написать уравнение
hпр = P/(rg).
(1.22)
Полученная высота hпр называется приведенной высотой абсолютного давления и измеряет абсолютное давление в точке подключения манометра. Для жидкости в пьезометре имеем
P = Pа + rghп.
12
(1.23)
Рис. 1.2
Решая (1.23) относительно hп, получим:
hп =
P − Pа Pизб
=
.
ρg
ρg
(1.24)
Полученная высота называется приведенной высотой избыточного давления, или пьезометрической высотой, и показывает избыточное давление в точке подключения пьезометра.
Точки подключения жидкостного манометра и пьезометра находятся на высоте z от горизонтальной плоскости 0 – 0. Тогда уровень
жидкости в пьезометре будет на высоте HP от плоскости 0 – 0, равной сумме высоты положения точки подключения z и пьезометрической высоты hп, т. е.
HP = z +
Pизб
.
ρg
(1.25)
Высота HP называется пьезометрическим напором, который для
всех точек рассматриваемого объема неподвижной жидкости есть
величина постоянная: HP = const.
Уровень жидкости в манометре будет на высоте HS от плоскости
0 – 0, равной сумме высоты положения точки подключения z и приведенной высоты абсолютного давления hпр, т. е.
13
HS = z +
P
.
ρg
(1.26)
Высота HS называется гидростатическим напором, который для
всех точек рассматриваемого объема неподвижной жидкости есть
величина постоянная: HS = const.
Если в резервуаре абсолютное давление жидкости будет равно атмосферному, т. е. Pизб = 0, то уровень жидкости в пьезометре установится на той же высоте, что и в резервуаре, и пьезометрическая высота
в точке присоединения будет равна глубине погружения данной точки h.
Если давление в сосуде меньше атмосферного, то говорят, что в нем вакуум. Если
к сосуду с вакуумом присоединить вертикальную прозрачную трубку и опустить ее
в сосуд с жидкостью (рис. 1.3), на поверхности которого атмосферное давление, то
жидкость в трубке поднимется на величину hвак, называемую вакуумметрической
высотой. Величину hвак можно определить, используя уравнение (1.19) для точки, где давление равно атмосферному:
Рис. 1.3
Pа = P0 + rghвак.
(1.27)
Решая (1.27) относительно hвак, получим:
hвак =
Pа − P0 Pвак
=
.
ρg
ρg
(1.28)
Прибор, представленный на рис. 1.3, называют жидкостным вакуумметром.
Рекомендации к решению задач
Условием задач первой темы является определение гидростатического давления в точке.
Решение подобных задач основывается на использовании основного уравнения гидростатики (1.19). С его помощью описывают условие равновесия покоящейся жидкости применительно к поверхно14
сти равного давления, намеченной в пределах однородной жидкости.
Следует отметить, что нельзя намечать поверхность равного давления в пределах газообразной и капельной жидкостей, а также различных жидкостей, например ртути и воды.
Кроме того в левой и правой части уравнения равновесия должен
быть задействован один и тот же вид гидростатического давления:
либо абсолютное P, либо манометрическое Pм (избыточное Pизб или
вакуумметрическое Pвак).
Применяя основное уравнение гидростатики, также надо иметь
в виду, что второй член rgh в его правой части может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от направления
его действия.
Пример 1
Закрытый резервуар с жидкостью rж = 900 кг/м3 снабжен пьезометром и жидкостным манометром. Определить высоту поднятия
жидкости в манометре hx, если уровень жидкости в пьезометре выше
уровня жидкости в резервуаре на величину h = 1,5 м, а расстояние от
поверхности жидкости в резервуаре до точки A hA = 1,2 м. Давление на
поверхности жидкости в манометре P0 = 0, Pа = 9,8 ⋅ 104 Па (рис. 1.4).
Рис. 1.4
Решение
Проведем поверхность равного давления через т. 1 и т. A (рис. 1.4).
Тогда давление в т. 1 будет равно давлению в т. A, т. е. P1 = PA.
15
Определим давление в точках по основному уравнению гидростатики:
P1 = P0 + rжghA.
(1.29)
PA = 0 + rжghx.
(1.30)
Так как левые части уравнений равны, то равны и правые, т. е.
P0 + rжghA = rжghx.
(1.31)
Решая (1.31) относительно hx, получим
hx = (P0 + rжghA)/(rжg).
(1.32)
Давление P0 на поверхности жидкости в резервуаре не задано, поэтому проведем еще одну поверхность равного давления через т. 2
и свободную поверхность в резервуаре, давление на которой P0. Тогда давление P0 будет равно давлению в т. 2, т. е. P0 = P2.
Определим давление P2 по основному уравнению гидростатики:
P2 = Pа + rжgh.
(1.33)
Так как P0 = P2, то запишем
P0 = Pа + rжgh.
(1.34)
Подставив значение P0 в уравнение (1.32), определим hx:
hx =
Pa + ρ ж ⋅ g ⋅ h + ρж ⋅ g ⋅ hA
ρg
=
(
Pа + ρ ж ⋅ g h + hA
ρg
)=
105 + 900 ⋅ 9,8 (1,5 + 1,2)  123 814
=
= 14,03 м.
900 ⋅ 9,8
8820


=
Пример 2
Найти избыточное давление P0 на свободной поверхности воды
в резервуаре, если известны глубина воды до нижнего уровня ртути
16
верхнего ртутного манометра a = 0,2 м, нижнего – h = 1,15 м, показание верхнего манометра h1 = 150 мм. Определить показание нижнего
ртутного манометра h2 (рис. 1.5).
Рис. 1.5
Решение
Проведем поверхность равного давления через т. 1, на поверхности раздела вода – ртуть, и т. 2. Тогда давление в точках будет
равным, т. е. P1 = P2.
Определим давление в точках по основному уравнению.
P1 = P0 + rgh.
(1.35)
Давление P1 избыточное, значит, давление в т. 2 тоже должно
быть избыточным. Так как манометр открыт, на поверхности ртути
давление атмосферное, Pизб = 0, тогда
P2 = rртgh2.
(1.36)
Так как левые части уравнений (1.35) и (1.36) равны, то равны
и правые, тогда
P0 + rgh = rртgh2.
17
(1.37)
Решая относительно h2, получим
h2 =
P0 + ρ gh
ρ рт g
.
(1.38)
В уравнении (1.38) P0 неизвестно, поэтому для его определения
проведем поверхность равного давления через т. 3, на поверхности
раздела вода – ртуть верхнего манометра, и т. 4. Тогда
P3 = P4.
(1.39)
По основному уравнению определим эти давления.
P3 = P0 + rga.
(1.40)
P4 = rртgh1.
(1.41)
Левые части уравнений (1.40) и (1.41) равны, значит, равны и правые. Тогда
P0 + rga = rртgh1.
(1.42)
Решая (1.42) относительно P0, получим
P0 = rртgh1 – rga.
(1.43)
Подставим полученное выражение в уравнение (1.38), получим:
h2 =
=
P0 + ρgh
ρрт g
=
ρрт gh1 − ρga + ρgh
=
ρрт g
13,6 ⋅ 10 3 ⋅ 9,8 ⋅ 0,15 − 10 3 ⋅ 9,8 ⋅ 0,2 + 10 3 ⋅ 9,8 ⋅ 1,15
13,6 ⋅ 10 3 ⋅ 9,8
18
= 0,22 м.
Тема 2. СИЛА ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
НА ПЛОСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
При расчете строительных конструкций и сооружений необходимо знать не только давление жидкости в отдельных точках, но и общую силу давления на сооружение или его часть. Обычно при технических расчетах учитывают силу давления только от избыточного
гидростатического давления, т. е. без учета атмосферного давления,
так как оно действует на стенки равномерно с обеих сторон и само
себя уравновешивает.
Равнодействующая элементарных сил гидростатического давления на какую-нибудь поверхность называется суммарным давлением, или силой давления F на эту поверхность. Сила давления в системе МКС выражается в ньютонах (Н).
Сила давления, действующая со стороны жидкости F на некоторый участок рассматриваемой стенки S, расположенный под углом a
к горизонту (рис. 2.1), может быть найдена с помощью следующей
формулы:
F = (P0 + rghC) S = PC S.
(2.1)
Выражение в скобках представляет собой гидростатическое
давление в центре тяжести рассматриваемой площади. Следовательно, сила давления на плоскую поверхность равна произведению давления в центре тяжести этой поверхности на ее площадь.
Для открытых поверхностей P0 = 0 и сила давления определяется
по уравнению
F = PС ⋅ S = rghС S,
(2.2)
где hC – глубина погружения центра тяжести смоченного участка
относительно свободной поверхности, м; S – площадь смоченной
поверхности, м2.
19
D
D
Рис. 2.1
Для инженерных расчетов важно знать не только величину силы
давления жидкости, но и точку ее приложения. Данная точка называется центром давления. Направление силы давления на плоскую поверхность, согласно первому свойству гидростатического давления,
нормально к плоскости.
Определение координаты центра давления lD производится на основе известной из теоретической механики теоремы о равенстве
равнодействующей относительно некоторой оси сумме моментов
составляющих относительно той же оси.
lD = lC +
(P
0
ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ I C
)
+ ρ ⋅ g ⋅ lC ⋅ sin α S
.
(2.3)
Для открытых резервуаров P0 = 0 и формула (2.3) имеет вид
lD = lC +
IC
,
lC ⋅ S
(2.4)
а для вертикальной стенки, при lD = hD, lC = hC, получим
hD = hС +
20
IС
hС ⋅ S
,
(2.5)
где IC – момент инерции площади плоской фигуры относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести фигуры.
Моменты инерции, площади, центры тяжести и центры давления
для фигур различных сечений приведены в прил. 3.
Из уравнения (2.5) видно, что центр давления D лежит ниже
I
центра тяжести C на величину эксцентриситета e = С .
hС ⋅ S
Только для плоского горизонтального днища центр давления
и центр тяжести совпадают, т. е.
hC = hD.
(2.6)
2.1. Эпюра гидростатического давления. Графоаналитический
способ определения силы давления и точки ее приложения
Графическое изображение распределения гидростатического давления по стенке или по длине какого-либо контура называется эпюрой гидростатического давления.
Учитывая, что избыточное давление прямо пропорционально
глубине погружения, достаточно знать его величину в характерных точках: т. 0 и т. 1 на рис. 2.2. Для т. 0, расположенной на поверхности воды, и т. 1 у дна, рассматривая избыточное давление,
имеем
P1 = 0; P2 = rgh.
Рис. 2.2
Рис. 2.3
21
Отложив эти значения давлений в точках нормально к стенке, в сторону жидкости, получим эпюру давления в форме тре­
угольника.
Если на поверхности воды имеет место избыточное давление P0,
то на эту величину возрастет давление в каждой точке жидкости
(рис. 2.3). Эпюра давления на часть стенки высотой a будет выглядеть, как показано на рис. 2.4. При наличии жидкости с двух
сторон стенки находят давление с каждой из сторон, а затем они
складываются, что позволяет получить эпюру трапецеидальной
формы (рис. 2.5). Эпюра давления на криволинейную поверхность
требует вычисления давления во многих точках этой поверхности,
Рис. 2.4
Рис. 2.5
Рис. 2.6
Рис. 2.7
22
а значения давления откладываются по нормали к соответствующим
точкам. В итоге получим эпюру, показанную на рис. 2.6.
Эпюра давления используется для графоаналитического способа
определения силы давления и точки ее приложения.
Для стенки, наклоненной под углом a к горизонту (см. рис. 2.2),
силу избыточного гидростатического давления находим как произведение площади эпюры гидростатического давления S на ширину
стенки b:
F = ρg
bh 2
⋅ b = S ⋅ b,
2 sin α
(2.7)
где S – площадь эпюры гидростатического давления, представляющая собой площадь треугольника, S = r ⋅ g ⋅ h ⋅ l/2;
h
.
l – высота треугольника, l =
sin α
bh3
Точку приложения силы давления при I С =
находим:
12 sin 3 α
lD = lС +
IС
lС ⋅ S
=
2 h
h
bh3 ⋅ 2 sin2 α
+
=
.
2 12sin 3α ⋅ abh 2 3 sin α
(2.8)
Для вертикальной плоской поверхности точка приложения силы
давления будет следующей:
hD = hС +
IС
hС ⋅ S
=
h bh3 ⋅ 2 2
+
= h,
2 12 ⋅ bh 2 3
(2.9)
т. е. сила давления проходит через центр тяжести эпюры гидростатического давления.
Как объемная фигура эпюра избыточного гидростатического давления показана на рис. 2.7, из которого видно, что сила давления может быть представлена весом жидкости в объеме призмы, имеющей
поперечным сечением площадь эпюры гидростатического давления,
а высотой – ширину фигуры b, т. е.
F = V = S ⋅ b.
23
(2.10)
Рекомендации к решению задач
При решении задач по данной теме необходимо использовать
уравнение равновесия, отражающее равенство нулю алгебраической суммы сил, действующих на плоскую поверхность, в направлении выбранных осей координат. При определении точки приложения равнодействующей двухстороннего давления необходимо
использовать теорему о равенстве момента равнодействующей
силы сумме моментов составляющих сил. Каждый из моментов
сил Mi относительно рассматриваемой точки определяется как
произведение силы Fi на плечо этой силы li, равное кратчайшему расстоянию от центра вращения до направления действия
силы.
Пример 3
Для регулирования уровня жидкости в напорном резервуаре
установлен поворачивающийся прямоугольный затвор с размерами a ⋅ b = 1 ⋅ 2 м2, который открывает отверстие в вертикальной
стенке.
Определить натяжение троса T, если глубина h = 2,9 м, манометрическое давление на поверхности жидкости Pм = 8,7 кПа, плотность жидкости rж = 900 кг/м3.
Трением в шарнире и весом затвора пренебречь (рис. 2.8).
Рис. 2.8
24
Решение
На затвор действуют сила давления жидкости F и натяжение троса T. Затвор будет находиться в равновесии, если сумма моментов
сил, действующих на него, относительно точки O будет равна 0,
т. е. SMO = 0. Запишем уравнение равновесия:
SMO = F ⋅ x – T ⋅ a = 0,
(2.11)
T = F ⋅ x/a,
(2.12)
откуда
Определим силу F, учитывая, что на поверхности жидкости манометрическое давление Pм:
F = (Pм + rghС) S = [Pм + rж g(h + h/2)] a ⋅ b.
(2.13)
Плечо силы F до точки O x = a/2 + е. Расстояние между центром тяжести и центром давления – эксцентриситет е, для момента
ba3
инерции площади прямоугольного затвора IС =
12
3
2
I
ba
a
(2.14)
=
е= С =
.
a
a
hС ⋅ S



12  h +  a ⋅ b 12  h + 
2
2


Подставив все величины в уравнение (2.12), найдем T:




2

a 
a
a



+
+
⋅
+
P
g
h
a
b
ρ


ж
 м

a


2
2






12  h +  

2 


T=
=
a


12
8,7 ⋅ 103 + 0,9 ⋅ 103 ⋅ 9,8 (2,9 + 0,5) 2 0,5 +


 
12 (2,9 + 0,5) 
=

=
1
= 103 (8,7 + 0,9 ⋅ 9,8 ⋅ 2 ⋅ 3,4)(0,5 + 0,02) = 35,7 ⋅ 103 Н = 35,7 кН.
25
Пример 4
Прямоугольный щит длиной a = 5 м и шириной b = 5 м закреплен шарнирно в т. O. Глубина воды слева от щита H = 4 м, справа –
h = 2 м. Угол наклона щита к горизонту a = 60°.
Пренебрегая весом щита и силой трения в шарнире, определить
усилие T, необходимое для подъема щита (рис. 2.9).
Рис. 2.9
Рис. 2.10
Решение
На щит действуют силы слева: сила давления воды F1, направленная нормально к щиту и находящаяся на расстоянии x1 от т. O
(плечо силы), и усилие T, направленное в противоположную направлению F1 сторону, находящееся на расстоянии a от т. O; справа –
сила F2 с плечом до т. O x2 (рис. 2.10). Щит находится в равновесии,
если сумма моментов сил, действующих на него, относительно т. O
равна 0, т. е. SMO = 0.
Тогда
SMO = T ⋅ a – F1 ⋅ x1 + F2 ⋅ x2 = 0.
(2.15)
Решая уравнение (2.15) относительно T, получим
T=
F1 ⋅ x1 − F2 ⋅ x2
a
Определим силы F1 и F2.
F1 = rghС1 ⋅ S1.
26
.
(2.16)
Здесь hС1 = H1/2 – глубина погружения центра тяжести силы F1
H
от поверхности воды слева; S = 1 b – площадь смоченной
1
sin α
поверхности щита слева, таким образом,
H 12
42
392 ⋅ 10 3
b = 10 3 ⋅ 9,8
=
= 452,6 ⋅ 10 3 Н.
F1 = ρg
5
2 sin α
0,866
2 sin 60 о
F2 = rghС2 ⋅ S2.
Здесь hС2 = H2/2 – глубина погружения центра тяжести силы F2
H
от поверхности воды справа; S 2 = 2 ⋅ b – площадь смоченной
sin α
части щита справа, таким образом,
F2 = ρg
H 22
22
98 ⋅ 10 3
= 113,2 ⋅ 10 3 Н = 113,2 кН.
b = 10 3⋅ 9,8
5
=
о
2 sin α
0
,
866
2 sin 60
Эпюра гидростатического давления слева представляет собой
прямоугольный треугольник, наклоненный под углом a = 60° к горизонту. Сила F1 проходит через центр тяжести эпюры на расстоянии от поверхности воды слева lD1 = 2H1/(3sin a) и на расстоянии
H1/(3sin a) от дна. Длина щита до т. O – a. Тогда плечо силы F1 до т. O
1 H1
.
3 sin α
Аналогично сила F2 проходит через центр тяжести треугольной
эпюры справа на расстоянии ld2 = 2H2/(3sin a) от поверхности воды
и на расстоянии H2/(3sin a) от дна. Тогда плечо силы F2 до т. O
1 H2
x2 = a −
.
3 sin α
Подставив полученные выше выражения в уравнение (2.16), получим:


1 H1 
1 H2 
 − F2  a −

F  a −
3 sin α 
3 sin α 


T=
=
a
1⋅ 4 
1⋅ 2 


452,6  5 −
 − 113,2  5 −

3 ⋅ 0,866  1087,2
3 ⋅ 0,866 


=
=
= 217,4 кН.
5
5
x1 = a −
27
Таким образом, для подъема щита нужно приложить усилие
T > 217,4 кН.
Пример 5
Круглую трубу диаметром D = 2 м перекрывает плоский затвор.
Определить равнодействующую силу двухстороннего давления
воды на плоский затвор и точку ее приложения, если глубина воды
слева H1 = 5 м, справа – H2 = 2 м (рис. 2.11).
D
D
Рис. 2.11
Решение
Плоский затвор испытывает двухстороннее давление воды.
Сила давления воды слева F1 = rghС1 ⋅ S приложена в центре давления d1, находящемся на расстоянии hD1 от поверхности воды слева. Сила давления воды справа F2 = rghС2 ⋅ S приложена в центре
давления d2, находящемся на расстоянии hD2 = 2H2/3 от поверхности воды справа и расстоянии H2/3 от дна. Направление сил противоположно, поэтому равнодействующая сила равна их разности,
т. е. F = F1 – F2.
Глубина погружения центра тяжести затвора слева
hС1 = H1 – H2/2.
Глубина погружения центра тяжести затвора справа
hС2 = H2/2.
28
Площадь плоского затвора, закрывающего круглую трубу,
S = pD2/4.
Определим силы F1 и F2 и равнодействующую F.
H  π ⋅ D2
2  3,14 ⋅ 2 2


F1 = ρg  H 1 − 2 
=
= 10 3 ⋅ 9,8  5 − 
2  4
2
4


= 123,1 ⋅ 103 Н = 123,1 кН.
F2 = ρg
H2 π ⋅ D2
2 3,14 ⋅ 2 2
= 10 3 ⋅ 9,8
= 30,8 ⋅ 10 3 Н = 30,8 кН.
2
4
2
4
F = F1 – F2 = 123,1 – 30,8 = 92,3 кН.
Так как затвор испытывает двухстороннее давление воды, центр
давления равнодействующей силы F найдем из уравнения равновесия моментов относительно т. O.
F ⋅ hD = F1 ⋅ hD1 – F2 ⋅ x.
(2.16)
Решая уравнение относительно hD, определим hD.
hD =
F 1 ⋅ hD 1 − F2 ⋅ x
F
.
(2.17)
Принимая момент инерции площади круга относительно
π ⋅ D4
, определим центр давления силы F1 по
центра тяжести I С =
64
уравнению (2.5).
hD 1 = hС1 +
H

=  H1 − 2
2

IС
H 
πD 4 ⋅ 4

=
=  H1 − 2  +
H2 
2 
hС1 ⋅ S 

2
64  H 1 −
 πD
2 

D2
2
22


= 5 −  +
= 4,06 м.
+
2
2

 16  H − H 2  
16  5 − 

 1
2
2 


29
Плечо силы F2 до т. O
1
1
x = H1 − H 2 = 5 − ⋅2 = 4,3 м.
3
3
Подставив полученные значения в уравнение (2.18), найдем:
hD =
F1 ⋅ hD 1 − F2 ⋅ x
F
=
123,1 ⋅ 4,06 − 30,8 ⋅ 4,33
= 3,97 м.
92,3
Тема 3. СИЛА ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
При определении силы гидростатического давления на криволинейную поверхность заранее не известны точка приложения этой
силы и ее направление, так как в каждой точке направление давления нормально к поверхности в этой точке. Поэтому при определении силы давления на криволинейную поверхность предварительно определяют три ее составляющие, параллельные координатным
осям Fx, Fy, Fz.
F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .
(3.1)
Если имеется цилиндрическая поверхность, то у нее будут две
составляющие: Fx – горизонтальная; Fz – вертикальная. Сила гидростатического давления на цилиндрическую поверхность будет
F = Fx2 + Fz2 ,
(3.2)
а направление этой силы определится углом наклона к горизонту b,
тангенс которого запишется в виде
tg b = Fz /Fx.
(3.3)
На рис. 3.1 представлена схема для определения F, Fx, и Fz для
цилиндрической поверхности.
Горизонтальная составляющая силы давления на цилиндрическую
поверхность равна силе давления на ее вертикальную проекцию:
Fx = rghC ⋅ Sz,
(3.4)
где rghC – гидростатическое давление в центре тяжести вертикальной проекции цилиндрической поверхности; Sz – площадь вертикальной проекции.
31
Рис. 3.1
Вертикальная составляющая силы давления равна весу жидкости
в объеме тела давления V:
Fz = rg ⋅ V = rg ⋅ Sт.д ⋅ b,
(3.5)
где V – объем тела давления; Sт.д – площадь тела давления; b – ширина фигуры.
Объем тела давления представляет собой объем, ограниченный
цилиндрической поверхностью, ее проекцией на поверхность жидкости или ее продолжением и вертикальными поверхностями, соединяющими границы цилиндрической поверхности с соответствующими точками ее проекции.
Горизонтальная составляющая Fx проходит через центр тяжести
эпюры гидростатического давления нормально к вертикальной проекции цилиндрической поверхности. Вертикальная составляющая Fz
проходит через центр тяжести объема тела давления, а направление
ее зависит от взаимного расположения объема V и жидкости.
Если объем заполнен жидкостью (рис. 3.2), то тело давления положительное (+), или действительное (фактическое). В этом случае
вертикальная составляющая Fz по величине равна силе тяжести и совпадает с ней по направлению, т. е. направлена вниз. Если объем не
заполнен жидкостью (рис. 3.3), то тело давления отрицательное (–),
или мнимое, и Fz будет направлена в противоположную силе тяжести сторону, т. е. вверх.
Равнодействующая сила давления на цилиндрическую поверхность F пройдет через точку пересечения горизонтальной и вертикальной составляющих под углом b к горизонту со стороны жидкости.
32
Рис. 3.2
Рис. 3.3
Если образующая цилиндрической поверхности описывает
окружность, то равнодействующая F пройдет через центр тяжести
окружности. Точка пересечения вектора силы F с цилиндрической
поверхностью называется центром давления.
Пример 6
Определить величину и направление силы давления воды на 1 м
ширины (b) секторного затвора радиуса R = 2,5 м, если центральный
угол сектора a = 45° (рис. 3.4).
Рис. 3.4
33
Решение
Силу давления на секторный затвор определим по уравнению 3.2):
F = Fx2 + Fz2 ,
Горизонтальную составляющую Fx найдем по уравнению (3.4):
Fx = rghC ⋅ Sz.
Согласно схеме рис. 3.4 глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции hC = H/2, высота проекции H = R ⋅ sin a, тогда
площадь вертикальной проекции
Sz = H ⋅ b = R ⋅ sin a ⋅ b.
(3.6)
Подставив выражения в уравнение (3.4), определим горизонтальную составляющую:
Fx = rg ⋅ R⋅ sin a ⋅ R ⋅ sin a ⋅ b = rg ⋅ R2 ⋅ sin245° ⋅ b =
= 103 ⋅ 9,8 ⋅ 2,52 ⋅ 0,7072 ⋅ 1 = 30,6 ⋅ 103 Н = 30,6 кН.
(3.7)
Вертикальную составляющую определим из уравнения (3.5):
Fz = rg ⋅ V = rg ⋅ Sт.д ⋅ b.
Площадь тела давления (заштрихованная часть на рис. 3.4) определится как разность площади сектора OAB и площади треугольника OEB:
Sт.д = SсекOAB – SDOAB.
(3.8)
Площадь сектора составляет 1/8 часть площади круга, отсюда
1
1
S сек OAB = π R 2 = 3,14 ⋅ 2,5 2 = 2,45 м 2 .
8
8
Площадь треугольника, согласно рис. 3.4:
1
1
1
SDOAB = OE ⋅ H = R ⋅ cos a ⋅ R ⋅ sina = R2 cos 45° ⋅ sin 45° =
2
2
2
1
2 2
2
= 2,5 ⋅ 0,707 = 1,56 м .
2
34
Подставив полученные значения в уравнение (3.8), получим:
Sт.д = 2,45 – 1,56 = 0,89 м2.
Тогда
Fz = rg ⋅ Sт.д ⋅ b = 103 ⋅ 9,8 ⋅ 0,89 ⋅ 1 = 8,75 ⋅ 103 Н = 8,75 кН.
(3.9)
F = Fx2 + Fz2 = 30,6 2 + 8,752 = 31,83 кН.
Определим направление силы F из уравнения (3.3):
b = arctg Fz/Fx = arctg 8,75/30,6 = arctg 0,286 = 16°.
Пример 7
Круглое отверстие радиусом R = 20 см в дне резервуара с водой
перекрывается клапаном-полусферой того же радиуса, вес которого
G = 200 Н. Вычислить силу T, необходимую для поднятия клапана,
при напоре H = 2,5 м, если давление на поверхности воды атмосферное (рис. 3.5).
Рис. 3.5
Решение
Клапан будет находиться в равновесии, если сумма сил, действующих на него, будет равна 0. На клапан действуют следующие силы:
сила T, направленная вверх; вертикальная составляющая силы давления на полусферу Fz = rg ⋅ V, направленная вниз; вес клапана G,
также направленный вниз; горизонтальные составляющие равнодействующей силы Fx, равные силе давления на вертикальные проекции
35
полусферического клапана. Так как силы давления на вертикальные
проекции равны по величине и противоположны по направлению,
Fx = 0. Запишем уравнение равновесия клапана
T – Fz – G = 0.
(3.10)
Объем тела давления, согласно рис. 3.5 (заштрихованная фигура),
равен разности объемов цилиндра и полусферы, тогда
1 3
2
⋅ ⋅ p ⋅ R3 = p ⋅ R2 (H – R).
2 4
3
2
2
Fz = rg ⋅ p ⋅ R2 (H –
R) = 103 ⋅ 9,8 ⋅ 3,14 ⋅ 0,22 (2,5 –
0,2) =
3
3
= 2,92 ⋅ 103 Н.
Из уравнения (3.10), подставив полученные значения, найдем T:
V = Vцил – Vполусф = p ⋅ R2 ⋅ H –
T = Fz + G = 2920 + 200 = 3120 Н = 3,1 кН.
Таким образом, для поднятия клапана необходимо приложить
силу, большую, чем 3,1 кН.
Пример 8
Определить силу давления воды на 1 м ширины (b = 1 м) нижней
цилиндрической части сооружения и ее направление, если глубина
воды H = 2,5 м, угол наклона плоской стенки к горизонту a = 60°,
радиус закругления r = 1 м (рис. 3.6).
Рис. 3.6
36
Решение
Сила давления на цилиндрическую часть F = Fx2 + Fz2 .
Горизонтальная составляющая равна силе давления на вертикальную проекцию цилиндрической части: Fx = rghC ⋅ Sz.
Глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции
hC = (H – r/2); площадь вертикальной проекции Sz = r ⋅ b, тогда
Fx = rg (H – r/2) r ⋅ b = 103 ⋅ 9,8 (2,5 – 1/2) 1 ⋅ 1 =
= 19,6 ⋅ 103 Н = 19,6 кН.
(3.11)
Вертикальная составляющая Fz = rg ⋅ V = rg ⋅ Sт.д ⋅ b.
Тело давления находится над цилиндрической частью. Площадь
тела давления – площадь фигуры KLAB. Она состоит из положительной площади SDKLA и отрицательной – площади фигуры SKNB и площади SDKAN (рис. 3.6). Суммарная площадь тела давления будет равна
площади фигуры KNB (на рис. 3.6 заштрихованная фигура), которую
можно определить геометрически:
1
SKNB = SMLAB – SDKAN + SDKLA – Sкруга =
4
= Hr + (H – r) cos a(H – r)/2 – (H – r)cos a(H – r)/2 – p r2/4 =
= Hr – p r2/4 = 2,5 ⋅ 1 – 3,14 ⋅ 12/4 = 1,72 м2.
Fz = rg Sт.д b = 103 ⋅ 9,8 ⋅ 1,72 ⋅ 1 = 16,86 ⋅ 103 Н = 16,86 кН.
F = Fx2 + Fz2 = 19 ,6 2 + 16 ,86 2 = 25,85 кН.
Направление силы давления определим из уравнения (3.3):
b = arctg Fz/Fx = arctg 16,86/19,6 = arctg 0,29 = 40,7°.
37
Тема 4. ПЛАВАНИЕ ТЕЛ. ЗАКОН АРХИМЕДА
Рассмотрим силы давления жидкости на полностью погруженное
в нее тело ABCD произвольной формы (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Горизонтальные составляющие силы, действующие на вертикальные проекции криволинейных поверхностей AC и AD, равны по
величине, но имеют разные знаки, т. е. взаимно уравновешиваются. Также будут равны и взаимно противоположны силы давления
на поверхность тела в перпендикулярной к чертежу плоскости.
Вертикальные силы давления на криволинейные поверхности
ABC и ADC определяются по величине, как силы тяжести тел давления, опирающихся на эти поверхности:
Fв1 = r ⋅ g ⋅ WEBCDK и Fв2 = r ⋅ g ⋅ WEBADK.
Равнодействующая направленных в противоположные стороны
вертикальных составляющих силы давления равна их разности:
38
F = Fв1 – Fв2 = r ⋅ g (WEBCDK – WEBADK) = r ⋅ g ⋅ WABCD.
Разность объемов тел давления дает объем самого тела WABCD = Wт.д.
Таким образом, на погруженное в жидкость тело действует сила
гидростатического давления, направленная вертикально вверх
и равная силе тяжести жидкости, вытесненной погруженным объемом тела. Это положение называется законом Архимеда, сила FA –
выталкивающей силой, или силой Архимеда, а объем вытесненной
жидкости – водоизмещением W, т. е.
FA = r ⋅ g ⋅ W.
(4.1)
На законе Архимеда основана теория плавания тел. Всякое погруженное в жидкость тело находится под действием двух сил: силы
тяжести тела G и равнодействующей силы давления FA.
Условия плавания тел:
FA = G – тело находится в равновесии;
FA > G – тело всплывает или плавает;
FA < G – тело тонет.
Для плавающего на поверхности однородного тела с плотностью
rт и объемом Wт будем иметь условие равновесия:
rт ⋅ g ⋅ Wт = r ⋅ g ⋅ W, или
W ρт
= .
Wт ρ
(4.2)
Это положение является исходным при определении глубины погружения (осадки) плавающего однородного тела.
Для плавающих тел водоизмещение – это вес жидкости в объеме
погруженной в нее части тела, а центр тяжести этого объема – центр
водоизмещения. Линия пересечения свободной поверхности жидкости с боковой поверхностью плавающего тела называется ватерлинией, а плоскость внутри тела, ограниченная ватерлинией, – плоскостью плавания. Вертикальная ось O – O, проходящая через центр
водоизмещения, называется вертикальной осью плавания, а расстояние между центром тяжести C и центром водоизмещения D – эксцентриситетом (рис. 4.2, а). Положение тела на рис. 4.2, а называется
нормальным.
Способность плавающих тел восстанавливать нарушенное при
крене равновесие называется остойчивостью.
39
При наклоне плавающего тела его центр тяжести не изменит
своего положения, а центр водоизмещения D переместится в положение D′.
Рис. 4.2
Линия действия выталкивающей силы FA, проходящей через
точку D′, пересекает ось плавания в точке M, называемой метацентром. Расстояние от метацентра до центра водоизмещения называется метацентрическим радиусом r.
Взаимное положение метацентра и центра тяжести определяет
остойчивость плавающего тела. При положении метацентра выше
центра тяжести тело будет находиться в состоянии остойчивого
равновесия (рис. 4.2, б). При совпадении метацентра и центра
тяжести – неостойчивое безразличное равновесие (рис. 4.2, в);
если метацентр ниже центра тяжести – неостойчивое равновесие
(рис. 4.2, г). При остойчивом равновесии метацентрический радиус больше эксцентриситета: r > e, при неостойчивом – r < e. Расстояние между этими величинами называется метацентрической
высотой hm.
hm = r – e.
(4.3)
Метацентрический радиус может быть определен по формуле
r=
I
,
W
(4.4)
где I – момент инерции плоскости плавания относительно продольной оси плавания.
40
Таким образом, условие остойчивости плавающего тела имеет вид
hm > 0 или r > e.
(4.5)
Рекомендации к решению задач
При решении задач, относящихся к данной теме, необходимо использовать уравнения равновесия (4.2) и условие остойчивости (4.5).
Пример 9
По окончании погрузки 1250 м3 песка осадка баржи h увеличилась на 1 м (h + 1).
Определить плотность песка rп, если площадь плоскости плавания баржи W = 2000 м2 (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Решение
Баржа с песком будет находиться в равновесии, если сумма веса
баржи и песка будет равна выталкивающей силе FA:
где
Gб + Gп = FA ,
(4.6)
FA = r ⋅ g (h + 1) W.
(4.7)
41
Вес баржи без песка определим из уравнения равновесия:
Gб = r ⋅ g ⋅ h ⋅ W.
(4.8)
Определим вес песка:
Gп = rп ⋅ g ⋅ Wп.
(4.9)
Подставим полученные выражения в уравнение (4.6):
r ⋅ g ⋅ h ⋅ W + rп ⋅ g ⋅ Wп = r ⋅ g (h + 1) W
(4.10)
и, решая уравнение (4.10) относительно rп, получим:
ρп =
ρ ⋅ g (h + 1) Ω − ρ ⋅ g ⋅ Ω ⋅ h ρ ⋅ g ⋅ Ω (h + 1 − 1) 10 3 ⋅ 2000
=
=
=
1250
g ⋅ Wп
g ⋅ Wп
= 1600 кг/м3.
Пример 10
В воде плавает деревянный цилиндр высотой h и диаметром d
так, что его образующие вертикальны. Выяснить предельную высоту hкр, при которой цилиндр теряет остойчивость, если d = 0,5 м;
rд = 800 кг/м3 (рис. 4.4).
Рис. 4.4
Решение
Цилиндр будет находиться в критическом состоянии, т. е. в безразличном неостойчивом равновесии, если метацентрическая высота будет равна нулю (hm = 0).
42
hm = r – e,
где
r=
I
π⋅d4
− метацентрический радиус; I =
− момент
64
W
p⋅d2
h0 – водоизмещение; e = h/2 – h0/2 –
4
эксцентриситет, т. е расстояние между центром тяжести цилиндра
и центром водоизмещения.
Из уравнения равновесия (4.2) определим h:
инерции круга; W =
h0 / h = rд /r,
h = h0 ⋅ r / rд.
(4.11)
Критическое положение цилиндра описывается равенством:
 h0 ⋅ ρ h0 

h  ρ
π⋅d4 ⋅4
d2

=
−
−
− 0 ⋅  − 1 = 0.
2


64 ⋅ π ⋅ d ⋅ h0  2 ⋅ρ д 2  16 ⋅ h0 2  ρ д

Решая уравнение относительно h0, получим:
r – e = 0, т. е.
h0 =
d2
=
0,5 2
0,25
=
= 0,35 м.
2
 1000 
8⋅
− 1
 800

 ρ

8 ⋅ 
− 1
 ρд

Подставив полученное значение h0 в уравнение (4.11), найдем
критическую высоту hкр.
hкр = h0 ⋅ r/rд = 0,35 ⋅ 1000/800 = 0,44 м.
43
Тема 5. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ
ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ.
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Кинематика жидкости значительно отличается от кинематики
твердого тела. Жидкость рассматривается как сплошная (непрерывная) среда, заполняющая полностью пространство без образования
пустот (разрывов). Все свойства жидкости, если они не являются постоянными, непрерывно изменяются в пространстве.
Изучение законов движения начинается на основе гидромеханики невязкой (идеальной) жидкости, т. е. без учета сил трения, а затем
вводятся уточнения на основе экспериментов.
Кинематика жидкости изучает связи между геометрическими характеристиками пространства и времени. Гидродинамика изучает
законы движения жидкости как результат действия сил.
Основные гидромеханические характеристики жидкости – скорость движения частиц и гидродинамическое давление. В общем
случае для потока жидкости скорость и давление являются функциями координат пространства и времени, т. е. u = f1(x, y, z), P = f2(x, y, z),
при этом движение называется неустановившимся. Для него частные производные ∂P/∂t ≠ 0 и ∂u/∂t ≠ 0.
Если с течением времени скорость и давление остаются неизменными, то такое движение называется установившимся. Для него
∂P/∂t = 0 и ∂u/∂t = 0.
Линией тока называется кривая, во всех точках которой вектор
скорости каждой частицы будет касательным к этой кривой.
Линии тока, проведенные через точки по контуру элементарной
площадки для данного момента времени, образуют поверхность, которая называется трубкой тока. Жидкость, находящаяся в трубке
тока, образует элементарную струйку.
Совокупность элементарных струек, протекающих в единицу
времени через площадку конечных размеров, называется потоком
жидкости.
44
Потоки делятся:
• на напорные – ограниченные со всех сторон жесткими стенками русла и не имеющие свободной поверхности;
• безнапорные – ограниченные снизу и с боков жесткими стенками и имеющие свободную поверхность;
• струи – ограниченные с боков жидкой или газовой средой.
Основными параметрами потока являются:
• живое сечение – поверхность, перпендикулярная линиям тока,
площадь которого обозначается w;
• смоченный периметр c – часть длины периметра живого сечения, соприкасающаяся с жесткими стенками русла;
• гидравлический радиус R – отношение живого сечения к смоченному периметру: R = w/c;
• расход Q – количество жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение потока: Q = v ⋅ w;
• средняя скорость v – некоторая одинаковая для всех точек живого сечения скорость, при которой расход будет таким же, как при
местных фактических скоростях: v = Q/w.
Установившееся движение называется равномерным, если по
длине потока живые сечения и средние скорости в них остаются постоянными.
Если живые сечения по длине потока изменяются хотя бы по форме или при неизменных живых сечениях изменяется распределение
скоростей в них, то такое движение называется неравномерным.
В естественных руслах движение потока является установившимся неравномерным. Для облегчения изучения такого движения
вводят понятие плавноизменяющееся движение, которое характеризуется следующими свойствами:
• кривизна линий тока в потоке считается незначительной;
• угол расхождения между отдельными линиями тока весьма мал;
• живые сечения потока являются плоскими, нормальными оси
потока.
Основными уравнениями, позволяющими решить простейшие
задачи о движении жидкости, являются уравнение неразрывности
движения и уравнение Бернулли.
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид
v1 ⋅ w1 = v2 ⋅ w2 = Q = const,
45
или
v1/v2 = w2/w1.
(5.1)
Для сжимаемой жидкости и газа уравнение неразрывности
имеет вид
Qm = r ⋅ v ⋅ w = const.
(5.2)
Уравнение Бернулли для потока невязкой жидкости имеет вид
P1 av12
P av 2
(5.3)
+
= z 2 + 2 + 2 = const .
rg 2 g
rg 2 g
Уравнение Бернулли имеет геометрический, гидравлический
и энергетический смысл. Геометрически оно представляет ту или
иную высоту, гидравлически – напор:
z – геодезическая высота (напор);
P
− пьезометрическая высота (напор);
rg
z1 +
av 2
− скоростная высота (напор);
2g
z+
P
= H S − гидростатический напор;
rg
z+
P av 2
+
= H − полный или гидродинамический напор;
rg 2 g
энергетически – ту или иную удельную энергию:
z – удельная потенциальная энергия положения (eп.п);
P
− удельная потенциальная энергия давления (eп.д);
rg
av 2
− удельная кинетическая энергия (ex);
2g
P
z+
( eп ) − удельная потенциальная энергия потока;
ρg
z+
P αv 2
+
(e ) − удельная энергия потока.
ρg 2 g
При движении вязкой жидкости часть энергии теряется на преодоление сопротивлений по пути движения, и уравнение Бернулли
для потока вязкой жидкости имеет вид
46
z1 +
P1 αv12
P αv 2
+
= z 2 + 2 + 2 + hC ,
ρg 2 g
ρg 2 g
(5.4)
где hC – потери энергии (напора) на преодоление гидравлических
сопротивлений.
Потери устанавливаются отдельно: для прямых участков и для
местных сопротивлений. Потери на прямых участках называются
линейными или потерями по длине на трение hl. Местные сопротивления (hм) – это устройства, в которых происходит резкая деформация потока, выражающаяся в изменении скорости или направления
движения; это фасонные части, арматура, приборы и оборудование.
При расчете значения сопротивлений суммируются:
hC = Shl + Shм.
(5.5)
Графически уравнение Бернулли представляют в виде диаграммы (рис. 5.1).
Наклон пьезометрической линии к горизонту по длине потока
называется пьезометрическим уклоном Iп. Наклон напорной линии
к горизонту называется гидравлическим уклоном I. Для вязкой жидкости гидравлический уклон I = hl / l.
Потери по длине на трение hl определяются по-разному в зависимости от режимов движения. Существуют два режима движения
жидкости: ламинарный, характеризующийся параллельно-струйным
течением жидкости, и турбулентный, сопровождающийся перемешиванием слоев жидкости. Критерием режимов движения является
безразмерное отношение, называемое числом Рейнольдса.
v⋅L
(5.6)
Re =
,
ν
где v – средняя скорость потока, м; L – параметр сечения: для круглых труб L = d, для сечений иной формы L = R; n – коэффициент
кинематической вязкости.
Число Рейнольдса, при котором происходит переход от турбулентного режима движения к ламинарному, называется критическим числом Рейнольдса (Reкр). Для цилиндрических труб
vкр ⋅ R
vкр ⋅ d
= 580. При
Re кр =
= 2320, для труб иных сечений Re кр =
ν
ν
Reкр > Re режим движения турбулентный; при Reкр < Re – ламинарный.
47
Рис. 5.1
Потери напора по длине определяются по формуле Дарси–
Вейсбаха
l v2
(5.7)
hl = l
,
d 2g
где l – коэффициент гидравлического трения по длине – коэффициент Дарси. При ламинарном режиме
λ=
64
.
Re
(5.8)
При турбулентном режиме различают три области гидравлических сопротивлений.
1. Область гидравлически гладких труб существует в диапазоне
чисел Рейнольдса Reкр < Re < 20d/Dэ, где Dэ – гидравлически эквивалентная шероховатость (прил. 4). Она характеризуется формулами вида
l = f(Re).
Наибольшее распространение в этой области получила формула
Блазиуса
λ=
0,3164
.
Re
48
(5.9)
2. Переходная или доквадратичная область существует в диапазоне чисел Рейнольдса 20d/Dэ < Re < 500d/Dэ. Она характеризуется
формулами вида
l = f (Re; r/D),
где D – абсолютная шероховатость; r/D – относительная гладкость.
Наибольшее распространение в этой области получила формула
А. Д. Альшуля
 68 ∆ э 
λ = 0,11
+

 Re d 
0, 25
.
(5.10)
Для водопроводных труб используется формула Ф. А. Шевелева
n
m 
f
l = n 1 +  .
D  u
3. Область гидравлически шероховатых труб существует при
числах Рейнольдса Re > 500d/Dэ. Она характеризуется формулами
вида
l = f (r/D).
В этой области коэффициент гидравлического трения определяется по следующим формулам:
• Б. Л. Шифринсона
∆ 
λ = 0,11 э 
 d 
0, 25
,
(5.11)
,
(5.12)
• Прандтля
λ=
0,25
 3,7 ⋅ D 

lg 
 ∆э 
2
• Ф. А. Шевелева
λ=
0 ,021
.
d 0 ,3
49
(5.13)
Местные потери определяются по формуле
hм = ς
v2
,
2g
(5.14)
где V – коэффициент местного сопротивления.
Значения некоторых коэффициентов местных сопротивлений
приведены в прил. 5.
Основные виды местных потерь можно условно разделить на следующие группы:
1) потери, связанные с изменением сечения потока (или средней
скорости). Сюда относятся различные виды входа жидкости в трубу;
выхода жидкости в резервуар; внезапное сужение или расширение;
плавное сужение или расширение;
2) потери, вызванные изменением направления потока. Здесь
рассматривают различного рода повороты, колена, угольники, отводы, используемые в трубопроводах;
3) потери, связанные с протеканием жидкости через арматуру
различного типа (вентили, краны, обратные клапаны, сетки, дроссель-клапаны и др.);
4) потери, связанные с делением или слиянием потоков. Это, например, тройники, крестовины, отверстия в боковых стенках трубопроводов при наличии транзитного расхода.
При наличии на трубопроводе последовательно нескольких местных сопротивлений обычно потери на них складываются.
Рекомендации к решению задач
Задачи этой темы рассчитаны на применение уравнения Бернулли
для реального потока жидкости, т. е. с учетом гидравлических потерь
и коэффициента кинетической энергии (коэффициента Кориоли­
са) a, который для напорных турбулентных потоков следует принимать равным единице: a = 1, а в случае ламинарного режима a = 2.
Общая схема использования уравнения Бернулли сводится к следующему:
• намечают горизонтальную плоскость сравнения. В случае горизонтальных трубопроводов ее лучше проводить по оси трубопровода;
50
• выбирают два сечения, относительно которых составляют уравнение Бернулли. Сечения следует выбирать так, чтобы было как
можно больше известных величин;
• первоначально записывают уравнение Бернулли в общем
виде (5.4) и устанавливают значения отдельных слагаемых с учетом
исходных данных;
• подставляют в уравнение Бернулли найденные выражения для
отдельных слагаемых, производят необходимые преобразования
и решают его относительно искомой величины;
• общие потери hC в уравнении Бернулли суммируют из местных
потерь и потерь по длине на трение.
Если по условию задачи не задана величина коэффициента гидравлического трения l, его определяют следующим образом:
• определяют режим движения, сравнивая вычисленное число
Рейнольдса с критическим Reкр;
• устанавливают область гидравлического сопротивления,
∆
определяя Re э d
• вычисляют коэффициент l согласно установленной области сопротивления.
Значения коэффициентов гидравлически эквивалентной шероховатости Dэкв приведены в прил. 4.
Для построения диаграммы уравнения Бернулли вычисляют все
потери по пути движения жидкости и скоростные напоры на каждом участке. Диаграмма строится в масштабе, причем вертикальный
и горизонтальный масштабы могут быть разными.
Пример 11
Определить расход воды, протекающей по восходящему трубопроводу диаметром d = 100 мм и длиной l = 25 м, если длина восходящего участка l2 = 3 м; напор в начале H = 3,5 м; в конце – h = 1,5 м;
давление в начальном резервуаре Pм = 0,2 кПа. Трубопровод имеет поворот на 30°, коэффициент поворота V30° = 0,17. Ось наклонного участка трубопровода выше оси горизонтального на величину
h = 1,2 м. На половине длины горизонтального участка имеется наполовину открытая задвижка.
51
С учетом потерь напора построить напорную и пьезометрическую линии (рис. 5.2).
Рис. 5.2
Решение
На расчетной схеме (см. рис. 5.2) намечаем сечения: 0 – 0 по свободной поверхности первого резервуара и 1 – 1 по свободной поверхности воды второго резервуара. Горизонтальную плоскость сравнения O – O проведем по оси горизонтального участка трубопровода.
Напишем уравнение Бернулли для выбранных сечений:
z0 +
P0 α 0 v02
P α v2
+
= z1 + 1 + 1 1 + h0 −1 ,
ρg
ρg
2g
2g
(5.15)
где z0 = H; P0 = Pм; v0 @ v1 @ 0, так как скорости на поверхности воды
в резервуарах малы по сравнению со скоростью в трубопроводе;
z1 = (h1 + h); P1 = 0, так как на поверхности давление атмосферное,
а значит, избыточное равно 0; h0–1 – потери напора от сечения 0 – 0
v2
до сечения 1 – 1; h0–1 = hвх + hз + h30° + hвых + hl = (Vвх + Vз + V30° +
2g
+ V + l⋅l/d).
вых
Подставим найденные значения слагаемых в уравнение (5.15)
H – (h1 + h) +
Pм
ρg
= v2
(V + Vз + V30° + Vвых + l⋅l/d).
2 g вх
(5.16)
Здесь значения коэффициентов местных сопротивлений следующие:
Vвх = 0,5; Vз = 2,06; V30° = 0,17; Vвых = 1,0 (прил. 5).
52
Коэффициент Дарси l определим по формуле (5.13):
l=
0,021
d
0,3
=
0,021
0,10,3
= 0,042 .
Подставив найденные значения коэффициентов в уравнение (5.16) и решив его относительно v2/(2g), получим:
H − h1 − h +
Pм
ρg
3,5 − 1,5 − 1,2 +
0,2 ⋅103
103 ⋅ 9,8
v2
=
=
= 0,06 м.
2 g ς + ς + ς + ς + λ l 0,5 + 2,06 + 0,17 + 1 + 0,042 25
вх
з
вых
30 o
d
0,1
Найдем скорость: v = 2 g ⋅ 0,06 = 19,6 ⋅ 0,06 = 1,08 м/с.
Зная скорость, определим расход:
πd 2
3,14 ⋅ 0,12
Q = v⋅ω = v
= 1,08
= 0,0085 3 м3/с = 8,5 л/с.
4
4
Для построения диаграммы уравнения Бернулли определим
потери на участках:
hвх = Vвх ⋅ v2/(2g) = 0,5 ⋅ 0,06 = 0,03 м;
hз = Vз ⋅ v2/(2g) = 2,06 ⋅ 0,06 = 0,12 м;
h30° ⋅ v2/(2g) = 0,17 ⋅ 0,06 = 0,01 м;
hвых = Vвых ⋅ v2/(2g) = 1 ⋅ 0,06 = 0,06 м;
l − l 2 v 2 25 − 3
hl1 =
λ
=
0,042 ⋅ 0,06 = 0,55 м;
d
2g
0,1
l v2
3
hl2 = λ 2
= 0,042
0,06 = 0,08 м.
d 2g
0,1
Начальный напор
H + Pм/(rg) = 3,5 + 0,2 ⋅ 103/(103 ⋅ 9,8) = 3,52 м.
Сумма всех потерь
h0–1 = 0,03 + 0,12 + 0,01 + 0,06 + 0,55 + 0,08 = 0,75 м.
В начале трубопровода по вертикали откладываем начальный
напор и проводим горизонтальную линию – продолжение начального напора. Откладываем от нее потери в соответствующих точ53
ках и, соединяя их, получаем напорную линию. Затем от напорной
линии откладываем вниз значение скоростного напора и проводим параллельную напорной линии пьезометрическую линию
(см. рис. 5.2).
Пример 12
Определить напор в резервуаре H и расход Q воды, протекающей по трубопроводу переменного сечения, если d1 = 100 мм;
d2 = 125 мм; l1 = 30 м; l2 = 70 м; скорость на выходе из трубопровода
v2 = 1 м/с.
На половине длины первого участка имеется наполовину открытая задвижка (Vз = 2,0). Коэффициенты гидравлического трения
l1 = 0,03; l2 = 0,27. С учетом потерь напора построить напорную
и пьезометрическую линии (рис. 5.3).
Рис. 5.3
Решение
На расчетной схеме (см. рис. 5.3) намечаем сечения: 0 – 0 по свободной поверхности воды в резервуаре и 2 – 2 на выходе из трубопровода. Так как трубопровод горизонтальный, то плоскость сравнения O – O проведем по его оси.
54
Напишем уравнение Бернулли для выбранных сечений:
z0 +
P0 a 0 v02
P a v2
+
= z2 + 2 + 2 2 + h0 − 2 ,
rg
rg
2g
2g
(5.17)
где z0 = H; P0 = P2 = Pа; v0 @ 0, так как скорость на поверхности воды
в резервуаре мала по сравнению со скоростью в трубопроводе; z2 = 0;
v2 = 1 м/с по условию задачи; h0–2 – потери напора от сечения 0 – 0
до сечения 2 – 2, h0–2 = hвх + hз + hв.р. + hl1 + hl2; коэффициент Кориолиса a2 = 1.
Подставив найденные значения в уравнение (5.17), получим:
v2
v2
v2
v2
v2
l v2
l v2
H = 2 + h0 −1 = 2 + ς вх 1 + ς з 1 + ς в.р. 1 + λ1 1 1 + λ 2 2 2 =
2g
2g
2g
2g
2g
d1 2 g
d2 2g
=
v12 
l  v2 
l 
 ς вх + ς з + ς в.р. + λ1 1  + 2 1 + λ 2 2 .
2g 
d1  2 g 
d2 
(5.18)
Скорость v1 в уравнении (5.18) неизвестна, определим ее из уравнения неразрывности (5.1):
v1 =
v 2 ⋅ ω 2 v 2 ⋅ 4 ⋅ πd 22 v 2 ⋅ d 22 1 ⋅ 0,125 2
=
=
=
= 1,56 м/с.
ω1
d12
4 ⋅ πd12
0,12
Коэффициенты сопротивления в уравнении (5.18):
Vвх = 0,5; Vз = 2 – по условию задачи; Vв.р = [1 – (d1/d2)2]2 = = [1– (0,1/0,125)2]2 = 0,13 – коэффициент потерь на внезапное расширение относительно скорости, взятой до сопротивления, v1; l1 = 0,03;
l2 = 0,027 – по условию задачи.
Подставив значения известных величин в уравнение (5.18), найдем начальный напор H:
1,56 2 
30 
12 
70 
H=
 0,5 + 2,0 + 0,13 + 0,03  +
1 + 0,027
 = 2,2 м.
2 ⋅ 9,8 
0,1  2 ⋅ 9,8 
0,125 
Определим расход Q:
Q = v1 ⋅ w1 = v2 ⋅ w2 = 1,56 ⋅ 3,14 ⋅ 0,12/4 =
= 1 ⋅ 3,14 ⋅ 0,1252/4 = 0,012 м3/с = 12 л/с.
Для построения диаграммы уравнения Бернулли определим потери напора и скоростные высоты в характерных точках:
55
v12/(2g) = 1,562 ⋅ 2 ⋅ 9,8 = 0,12 м;
v22/(2g) = 12 ⋅ 2 ⋅ 9,8 = 0,05 м;
hвх = Vвх ⋅ v 12/(2g) = 0,5 ⋅ 0,12 = 0,06 м;
hз = Vз ⋅ v12/(2g) = 2 ⋅ 0,12 = 0,24 м;
hв.р. = Vв.р ⋅ v 12/(2g) = 0,13 ⋅ 0,12 = 0,02 м;
l1 v12
30
= 0,03
0,12 = 1,08 м;
d1 2 g
0,1
l v2
70
hl2 = λ 2 2 2 = 0,027
0,05 = 0,76 м.
d 2 2g
0,125
На схеме (см. рис. 5.3) по свободной поверхности воды в резервуаре проводим горизонтальную линию, соответствующую начальному напору H = 2,2 м, и откладываем от нее вниз, в соответствующих точках, найденные значения потерь напора. Соединяя точки
прямой линией, получим напорную линию. От напорной линии откладываем вниз скоростные высоты: на участке с диаметром трубы
d1 = 0,1 м – v12/(2g) = 0,12 м; на участке с d2 = 0,125 м – v22/(2g) = 0,05 м
и проводим пьезометрическую линию, параллельную напорной на
соответствующем участке (см. рис. 5.3).
hl1 = λ1
Пример 13
Какое абсолютное давление необходимо поддерживать в резервуаре A (H1 = 1,5 м), чтобы через кран, расположенный на высоте
H2 = 20 м и имеющий коэффициент сопротивления Vк = 3,5, проходило
3 м3/ч воды? На длине l1 = 15 м труба имеет диаметр d1 = 40 мм, на
длине l2 = 10 м – d2 = 20 мм. Коэффициенты поворотов V1 = V2 = 0,15;
Dэ = 0,2 мм; кинематическая вязкость воды n = 1,31 ⋅ 10–6 м2/с (рис. 5.4).
Решение
Намечаем два сечения: 0 – 0 по свободной поверхности воды
в резервуаре и 2 – 2 – на выходе из крана относительно плоскости
сравнения O – O, проведенной по оси горизонтального участка трубопровода диаметром d1 (см. рис. 5.4). Напишем уравнение Бернулли для этих сечений:
56
Рис. 5.4
z0 +
P0 a 0v02
P a v2
+
= z 2 + 2 + 2 2 + h0 − 2 ,
rg
rg
2g
2g
(5.19)
где z0 = H1; P0 – искомое давление; P2 = Pа; v0 @ 0, так как скорость
на поверхности воды в резервуаре мала по сравнению со скоростью
4⋅Q
в трубопроводе; z2 = H2; v2 =
м/с – по заданному расходу; h0–2 –
pd 22
потери напора от сечения 0 – 0 до сечения 2 – 2, h0–2 = hвх + hв.с + 2hпов +
+ hк + hl1 + hl2; коэффициент Кориолиса a2 = 1.
Подставив найденные значения в уравнение (5.19), получим:
P
P
v2
H 1 + 0 = H 2 + a + 2 + h0−2 и, записав его относительно искомоrg
rg 2 g
го P0, найдем


P
v2
P0 = ρg  H 2 − H1 + a + 2 + hвх + hв.с + 2 ⋅ hпов + hк + hl1 + hl 2 . (5.20)
ρg 2 g


Определим неизвестные величины, входящие в уравнение (5.20).
Примем атмосферное давление Pа = 105 Па. По заданному расходу Q = 3 м3/ч = 3/3600 = 0,8 ⋅ 103 м3/с найдем v1 и v2:
57
v1 =
4 ⋅ Q 4 ⋅ 0 ,8 ⋅ 103
4 ⋅ Q 4 ⋅ 0 ,8 ⋅ 103
=
= 0 ,64 м/с; v2 =
=
= 2 ,55 м/с.
2
2
πd1 3,14 ⋅ 0 ,04
π d 22 3,14 ⋅ 0 ,02 2
Скоростные напоры:
v12/(2g) = 0,642/(2 ⋅ 9,8) = 0,021 м; v22/(2g) = 2,552/(2 ⋅ 9,8) = 0,33 м.
Найдем потери напора:
hвх = Vвх ⋅ v12/(2g) = 0,5 ⋅ 0,021 = 0,011 м;
hпов = Vпов ⋅ v12/(2g) = 0,15 ⋅ 0,021 = 0,003 м;
1
hпов = Vпов ⋅ v22/(2g) = 0,15 ⋅ 0,33 = 0,05 м;
2
hв.с = Vв.с ⋅ v22/(2g) = 0,5 [1 – (d2/d1)2] v22/(2g) =
= 0,5 [1 – (0,02/0,04)2] 0,33 = 0,25 м;
hк = Vк ⋅ v22/(2g) = 3,5 ⋅ 0,33 = 1,16 м;
l1 v12
l v2
; hl 2 = l 2 2 2 .
d1 2 g
d2 2g
Для определения коэффициентов l1 и l2 необходимо знать область сопротивления, в которой работает трубопровод. Ее можно определить по уравнению Re ⋅ Dэ/d. Область сопротивления для
участка трубопровода диаметра d1:
∆
v ⋅∆
v ⋅d ∆
0,64 ⋅ 0,2 ⋅ 10 − 3
Re1 ⋅ э = 1 1 э = 1 э =
= 98; так как это значеν
d1
ν d1
1,31 ⋅ 10 − 6
ние < 500, значит область сопротивления – переходная.
Для переходной области подходит формула (5.10).
hl1 = l1
 68 ∆ э 

λ1 = 0,11
+
 Re1 d 1 
0, 25
 68 ⋅ ν ∆ э 

= 0,11
+
 v1 ⋅ d1 d1 
0 ,25
0, 25
=
 68 ⋅ 1,31 ⋅ 10 − 6 0 ,2 ⋅10 − 3 

+
= 0 ,11
= 0 ,033;
0 ,04 
 0 ,64 ⋅ 0 ,04
0 , 25
0 , 25
 68 ⋅ 1,31⋅ 10 − 6 0,2 ⋅ 10 −3 
 68 ⋅ ν ∆ 
 = 0,036.
+  = 0,11 
λ 2 = 0,11
+
0,02 
 v2 ⋅ d 2 d 2 
 2,55 ⋅ 0,02
10
15
0,33 = 5,94 м.
0,021 = 0,26 м; hl2 = 0,036
Тогда hl1 = 0,033
0,02
0,04
58
Подставив найденные значения потерь напора в (5.20), получим:


10 5
+ 0,011 + 0,003 + 0,05 + 1,16 + 0,25  +
P0 = 10 3 ⋅ 9,8  20 − 1,5 + 3
10 ⋅ 9,8


3
3
5
+ 10 ⋅ 9,8 (0,26 + 5,94 ) = 356,4 ⋅ 10 Па = 3,56 ⋅ 10 Па.
ТЕМА 6. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ
ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
В зависимости от соотношения потерь энергии движение жидкости бывает трех видов:
• при истечении через отверстия в стенках сосудов поток теряет энергию только на преодоление местных сопротивлений:
hC = Shм = Sv2/(2g);
• при движении жидкости через короткие трубопроводы (всасывающие трубы насосов, сифоны, короткие участки водоводов и др.)
потери затрачиваются как на преодоление местных сопротивлений,
l v2
v2
так и на трение по длине: hC = Σhl + Σhм = λ
+ (Σς м ) ;
d 2g
2g
• при движении жидкости в длинных трубопроводах удельный
вес потерь напора на преодоление местных сопротивлений очень
мал (2–3 %). Их из расчета можно исключить или учесть, вводя некоторый запас: hC = Shl = a ⋅ Shl.
6.1. Истечение жидкости через отверстия
Отверстие считается малым, если его вертикальный размер значительно (в 5–10 раз) меньше глубины погружения отверстия под
уровень жидкости в сосуде, из которого происходит истечение.
Стенка считается тонкой, если вытекающая струя соприкасается
лишь с кромкой отверстия, обращенной внутрь сосуда, и не касается боковой поверхности отверстия. Это наблюдается при толщине
стенки не более (2…2,5)d отверстия.
На некотором расстоянии от отверстия, близком к 0,5d, струя
получает сжатие поперечного сечения (рис. 6.1), происходящее изза непараллельности линий тока, подходящего к отверстию потока
и характеризуемое уменьшением диаметра и сечения струи до ве60
личины wc = w ⋅ e, где wc – площадь сечения струи в сжатом сечении.
Отношение wc / w = e называется коэффициентом сжатия струи.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
Сжатие бывает:
• совершенным – при расстоянии от любой стороны отверстия до
стенки сосуда не меньше тройного размера отверстия в направлении
измеряемого расстояния;
• несовершенным – при более близком расположении отверстия
от стенки сосуда;
• неполным – когда на части периметра отверстия струя не получает сжатия.
Расчетные формулы для определения скорости и расхода при истечении жидкости через малое отверстие можно получить из уравнения Бернулли, составленного для двух сечений: 0 – 0, проведенного
по свободной поверхности жидкости в резервуаре, и C – C – в сжатой зоне, проведенного относительно горизонтальной плоскости,
проходящей по оси отверстия (рис. 6.2):
v = ϕ 2gH 0 и Q = µω 2gH 0 ,
где j – коэффициент скорости, ϕ =
a = 1, тогда ϕ =
(6.1)
1
. Для сжатого сечения
α + ς отв
1
; V – коэффициент отверстия; w – площадь
1 + ς отв отв
61
P0 − P a 0 v02
– напор истечения; m – коэф+
2g
rg
фициент расхода отверстия, m = e ⋅ j; e – коэффициент сжатия. Для
идеальной жидкости a = 1, Vотв = 0 и тогда
отверстия; H 0 = H +
v = 2gH 0 .
(6.2)
Формула (6.2) называется формулой Торричелли; здесь v – это
скорость падения частицы жидкости с высоты H0.
Если давление на свободной поверхности в сосуде и давление
внешней среды равны (P0 = P), а также если можно пренебречь скоростью жидкости в сосуде, то напор истечения будет равен глубине
погружения отверстия под уровень жидкости: H0 = H.
Когда истечение происходит не в газовую среду, а под уровень
жидкости (рис. 6.3), то напор истечения будет следующим:
H 0 = H1 − H 2 +
P0 − P
P −P
= DH + 0
,
rg
rg
(6.3)
где H1 и H2 – геометрические напоры с двух сторон отверстия;
DH = H1 – H2.
При равенстве давлений в обоих сосудах H0 = DH.
В зависимости от формы сечения отверстия, через которое происходит истечение, форма поперечного сечения струи имеет самый
разнообразный вид. Это явление называется инверсией струи и объясняется различными условиями сжатия по периметру отверстия,
а также влиянием поверхностного натяжения жидкости.
Форма вытекающей струи в вертикальной плоскости (см. рис. 6.1)
определяется уравнениями
x = v ⋅ t; y = g ⋅ t2, где v = 2gH 0 ; t – время.
Исключив t, получим уравнение x2 = 4j2 ⋅ H0 ⋅ y, т. е. уравнение параболы.
Расход жидкости, вытекающей из большого прямоугольного отверстия, определяется по формуле
H2
Q = m 2g ∫
H1
(
)
2
zdz = mb 2 g H 23 / 2 − H 13 / 2 ,
3
62
(6.4)
где m – коэффициент расхода при истечении через отверстие; z – глубина погружения центра тяжести отверстия под уровень жидкости;
b – ширина отверстия; H1 и H2 – соответственно глубина жидкости
до верхней и нижней кромки отверстия (рис. 6.4).
Рис. 6.3
Рис. 6.4
Если отверстие не прямоугольной формы, то расход определяется
из уравнения
H2
Q = µ 2 g ∫ bz zdz ,
(6.5)
H1
где bz = f (z).
При решении ряда инженерных задач приходится встречаться
со случаем, когда истечение жидкости из резервуара происходит при
одновременном притоке расхода Q0. При этом напор истечения будет
переменным.
Время полного опорожнения призматического резервуара при
переменном напоре в два раза больше времени истечения из резервуара такого же объема при постоянном напоре, равном напору H1, т. е.
tоп = 2W/Q1,
(6.6)
где tоп – время полного опорожнения резервуара; W – начальный
объем жидкости в резервуаре; Q1 – расход в начале истечения при
напоре H = H1.
63
6.2. Истечение жидкости через насадки
Приставленный к отверстию патрубок, длина которого в несколько раз больше отверстия, называется насадком. Насадки способны
увеличивать расход по сравнению с расходом из отверстий. Они применяются для получения мощной сконцентрированной струи, эффекта подсасывания и т. д. Всасывающие трубы ГЭС, трубчатые водоспуски в плотинах, водопропускные трубы в насыпях дорог и др.
по характеру гидравлических явлений в них аналогичны насадкам,
поэтому изучение гидравлики насадков важно для уяснения работы
подобных устройств.
По форме насадки разделяются на цилиндрические (рис. 6.5, а–в),
конические (рис. 6.5, г, д), коноидальные (рис. 6.5, е). Насадок, приставленный к отверстию снаружи, называется внешним, расположенный внутри сосуда, – внутренним.
а
б
в
г
д
е
Рис. 6.5
Струя жидкости, войдя в насадок, так же как при истечении через простое круглое отверстие, подвергается сжатию (dc ~ 0,8d), но
в дальнейшем постепенно расширяется, заполняя все поперечное
сечение насадка, и вытекает из него полным сечением (e = 1).
Формулы для определения скорости и расхода при истечении через насадок (на примере внешнего цилиндрического насадка) получим из уравнения Бернулли, написанного для двух сечений: 0 – 0 – на
свободной поверхности в сосуде и 1 – 1 – у выходного сечения наРис. 6.7
садка относительно плоскости сравнения, проведенной
через центр
тяжести выходного сечения насадка (рис. 6.6).
v = ϕ 2gH 0 , Q = µω 2gH 0 ,
64
(6.7)
где ϕ =
1
− коэффициент скорости насадка;
ς отв
l
α+
+ ς расш + λ
ε
d
Vотв – коэффициент сопротивления отверстия; e – коэффициент сжатия отверстия; Vрасш – коэффициент расширения; l – коэффициент
гидравлического трения по длине; m – коэффициент расхода насадка,
m = e ⋅ j = 1 ⋅ j = j.
Рис. 6.6
Если подставить в выражение для m значения коэффициентов, то получим для внешнего цилиндрического насадка m = 0,82. Заметим, что
коэффициент расхода отверстия m = 0,62 прочих проравных условиях.
Таким образом, видим, что насадок дает увеличение расхода благодаря расширению струи после сжатия. Чтобы это происходило, необходимо соблюдение ряда условий:
• насадок должен иметь длину l не менее (3…4)d;
• абсолютное давление в насадке вблизи сжатого сечения должно
быть больше паров жидкости. В противном случае жидкость начинает вскипать и в зоне отжима скапливаются ее пары, струя отделяется от стенок насадка и происходит так называемый срыв вакуума.
Объем выделившихся паров становится настолько велик, что они
вырываются наружу, а в насадок проникает газ из внешней среды.
Он перестает выполнять свою роль и работает как отверстие. Поэтому важно знать давление в насадке.
Для определения давления составляют уравнение Бернулли
для сжатого сечения и выходного относительно плоскости сравнения, проведенной через центр тяжести выходного сечения насадка
65
(рис. 6.7). Решая уравнение относительно разности давлений, получим:
Pа P с
α

−
= hвак =  2 − α − ς расш ϕ ⋅ H 0 ,
ρg ρg
ε

или, заменяя постоянные их числовыми
значениями, получим
hвак = 0,75H0.
(6.8)
Это равенство показывает, что вакуум
в сжатом сечении тем больше, чем больше напор истечения H0. Значение hвак не
должно превышать 7,5 м вод. ст., следовательно, напор в резервуаре
не должен быть выше 10 м вод. ст.
При истечении из насадка под уровень в выражении напора H0
следует подставлять разность уровней DH, а при определении вакуума учитывать, что он будет меньше на глубину затопления насадка,
т. е. hвак = 0,75H0 – h.
Значения коэффициентов m, j, e для отверстий и насадков приведены в прил. 6.
Рис. 6.7
Рекомендации к решению задач
При решении задач данной темы необходимо учитывать, при
каком напоре (постоянном или переменном) происходит истечение
жидкости. При определении расхода или скорости по формулам,
приведенным выше, необходимо подставлять в них соответствующие коэффициенты.
Пример 14
Резервуар разделен тонкой стенкой, в которой имеется круглое
отверстие диаметром dо = 30 мм. Диаметр конически сходящегося
насадка, через который вытекает вода из первого отсека, d1 = 15 мм;
диаметр внешнего цилиндрического насадка, через который вытекает вода из второго отсека, d2 = 20 мм (рис. 6.8).
66
о
Рис. 6.8
Определить расход воды из бака Q и глубину H2 во втором отсеке,
если глубина воды в первом отсеке H1 = 1,25 м, а расстояние от дна
до центра цилиндрического насадка h = 0,2 м. Движение воды в резервуаре установившееся.
Решение
По условию задачи движение установившееся, значит, расход
воды, поступившей в резервуар, будет равен сумме расходов, вытекших через насадки (конический в дне первого отсека и цилиндрический в стенке второго отсека):
Q = Q1 + Q2.
(6.9)
Кроме того расход, вытекающий из первого отсека во второй через отверстие в стенке, равен расходу, вытекающему из второго отсека в атмосферу, т. е.
Q0 = Q2, или
m 0 w0 2 g (H1 − H 2 ) = m 2 w2 2 g (H 2 − h ),
(6.10)
где (H1 – H2) – напор истечения из отверстия при истечении под уровень; (H2 – h) – напор истечения через цилиндрический насадок;
m0 = 0,62 – коэффициент расхода через отверстие; m2 = 0,82 – коэффи67
циент расхода через цилиндрический насадок; w0 = pd0 2/4 – площадь
отверстия; w2 = pd2 2/4 – площадь насадка.
Подставим в уравнение (6.10) известные по условию задачи значения, найдем H2.
pd 2
pd 2
m 0 0 2 g (H1 − H 2 ) = m 2 2 2 g (H 2 − h ), возведем обе части
4
4
уравнения в квадрат и сократим одинаковые величины, получим:
µ 02 d 04
H −h
,
= 2
2 4
µ 2 d 2 H1 − H 2
H2 =
(
)
H 2 m 22 d 24 +m 02d 04 = m 02 d 04 H 1 + m 22 d 24 h .
µ 02 d о4 H1 + µ 22 d 24h
µ 22 d 24 + µ 02 d 04
=
0,62 2 ⋅ 0,034 ⋅ 1,25 + 0,82 2 ⋅ 0,02 4 ⋅ 0,2
0,82 2 ⋅ 0,02 4 + 0,62 2 ⋅ 0,034
= 0,98 м.
Определим расход через цилиндрический насадок:
πd 22
3,14 ⋅ 0,02 2
2 ⋅ 9,8(0,98 − 0,2 ) =
2 g (H 2 − h ) = 0,82
4
4
= 0,001 м3/с = 1,0 л/с.
Определим расход через конический насадок:
3,14 ⋅ 0,015 2
Q1 = µ1d12 2 gH 1 = 0,94
2 ⋅ 9,8 ⋅ 1,25 =
4
= 0,00082 м3/с = 0,82л/с.
Q2 = µ 2
Подставив значения Q1 и Q2 в уравнение (6.9), найдем Q:
Q = 0,82 + 1,0 = 1,82 л/с.
Пример 15
Из закрытого резервуара вода вытекает через круглое отверстие
в тонкой стенке и внешний цилиндрический насадок, имеющие
одинаковый диаметр d0 = dн = 20 мм и находящиеся на одинаковой
глубине от свободной поверхности воды в резервуаре H = 1,5 м
(рис. 6.9).
Определить манометрическое давление Pм на свободной поверхности воды, если разность расходов отверстия и насадка DQ = 0,7 л/с.
Движение установившееся.
68
Рис. 6.9
Решение
Расход, вытекающий через насадок, больше расхода, вытекающего из отверстия, так как коэффициент расхода насадка mн = 0,82
больше коэффициента расхода отверстия m0 = 0,62. Тогда разность
расходов
DQ = Qн – Q0,
где Qн = µ н
πd н2
4
πd 2
P 

2 g  H + м  ; Q0 = µ 0 0
ρg 
4

(6.11)
P 

2 g  H + м  .
ρg 

Подставим Qн и Q0 в уравнение (6.11), получим


P 
P 
∆Q = µ н ω 2 g  H + м  −µ 0 ω 2 g  H + м  , возведем обе части уравρg 
ρg 


нения в квадрат и решим относительно Pм.


∆Q 2 ⋅ 4 2
Pм = ρg  2 4
−
H
=
2
 π d ⋅ 2 g (µ н − µ 0 )



4 2 ⋅ 0,7 2 ⋅ 10 −6
− 1,5 =
= 10 3 ⋅ 9,8 
2
2
4
 3,14 ⋅ 0,02 ⋅ 2 ⋅ 9,8(0,82 − 0,62 )

= 47,4 ⋅ 103 Па = 47,3 кПа.
69
Пример 16
Из закрытого бака, установленного на полу, вытекает вода через
малое отверстие в боковой стенке (рис. 6.10).
Рис. 6.10
Определить, на какой высоте h должно быть расположено отверстие, чтобы при глубине воды в баке H = 3 м и манометрическом давлении на свободной поверхности жидкости Pм = 10 кПа дальность
падения струи была lпад = 3,5 м.
Решение
Уравнение струи имеет вид
x = 2ϕ yH 0 ,
(6.12)
где x = lпад – дальность падения струи; H0 – напор истечения, для
данной задачи H0 = (H – h) + Pм/(rg); j = 0,97 – коэффициент скорости отверстия; y = h – расстояние от пола до центра тяжести отверстия.
Подставив принятые величины в (6.12), получим
lпад = 2ϕ h(H − h ) +
Pм
, или, возведя обе части уравнения в квадрат,
ρg
70
P 

2
= 4ϕ 2 h(H − h ) + м  и, преобразовав уравнение, имеем
l пад
ρ
g

h2 − h ⋅ H −
h 2 − 3h −
2
l пад
4ϕ
2
+
Pм
= 0 . Подставим числовые значения:
ρg
3,5 2
10 4 ⋅ 10 3
2
+ 3
= 0, или h – 3⋅h – 2,24 = 0.
4 ⋅ 0,97 10 ⋅ 9,8
Решим полученное квадратное уравнение относительно h:
3
h1, 2 = ± 1,5 2 + 2,24 = 1,5 ± 2,12 м, откуда
2
h1 = 1,5 + 2,12 = 3,62 м; h2 = 1,5 – 2,12 = – 0,62 м.
Из двух корней принимаем положительное значение; таким образом, отверстие должно быть расположено на расстоянии 3,62 м
от пола.
Пример 17
В вертикальный цилиндрический сосуд диаметром D = 1 м поступает вода из крана с расходом Q, которая затем выливается через малое отверстие в дне сосуда при глубине воды в нем H = 1,5 м
(рис. 6.11).
Рис. 6.11
71
Определить расход Q и диаметр отверстия d, если после закрытия
крана сосуд опорожняется за 19 мин.
Решение
Время опорожнения призматического сосуда при переменном напоре в два раза больше времени опорожнения того же сосуда при
постоянном напоре, т. е.
tоп =
2W
,
Q
(6.13)
где W – начальный объем воды в сосуде, W = p ⋅ D2 ⋅ H/4; Q – начальный расход.
Из уравнения (6.13) найдем Q:
2π ⋅ D 2 ⋅ H 3,14 ⋅ 12 ⋅ 1,5
Q=
=
= 0 ,039 м3/с = 39 л/с.
2 ⋅ 19 ⋅ 60
4 ⋅ tоп
Диаметр отверстия найдем из уравнения расхода жидкости,
πd 2
вытекающей из отверстия: Q = µω 2 gH = µ
2 gH , откуда
4
4Q
4 ⋅ 0 ,039
d=
=
= 0 ,015 м = 15 мм.
µπ 2 gH
0 ,62 ⋅ 3,14 2 ⋅ 9 ,8 ⋅ 1,5
ТЕМА 7. НАПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
В ТРУБОПРОВОДАХ
При расчете водоводов, нефтепроводов, газопроводов и др. наиболее часто приходится встречаться с движением жидкости и газа
по трубам.
Трубопроводы, в которых преобладают местные потери
(> 5…10 % всех потерь), называют короткими, и при их расчете
учитываются как местные потери, так и потери по длине на трение.
Работающие полным сечением короткие трубы под насыпями,
дюкеры, небольшой длины трубы, соединяющие резервуары, и всасывающие трубы центробежных насосов рассчитываются по формулам, аналогичным формулам расчета истечения жидкости через
насадки:
Q = µω 2gH 0 ,
(7.1)

P  
P 
где H 0 =  zн + н  −  zк + к  − разность начального и конечного
ρg  
ρg 

напоров; m = mс – коэффициент расхода системы, который определяется при истечении из коротких труб в атмосферу:
m=
1
l
a + SV + l
d
,
(7.2)
при истечении жидкости под уровень
m=
1
l
SV + l
d
73
.
(7.3)
Для определения местных потерь используют зависимость
hм = ς
v2
16Q 2
=ξ 2 2
= ς ⋅ S0 м Q 2 = Sм Q 2 ,
2g
π d 2g
(7.4)
8Q 2
удельное
местное
сопротивление;
−
gπ 2 d 2
S м = ς ⋅ S 0 м − гидравлическое местное сопротивление.
При расчете трубопроводов, передающих жидкость на большие
расстояния, преобладают потери по длине на трение; местные потери по сравнению с ними составляют ничтожную часть (2–3 %),
и ими можно пренебречь.
Трубопроводы, расчет которых может производиться только
на трение по длине, получили название длинных трубопроводов.
К ним относятся водопроводы, газопроводы, нефтепроводы, бензопроводы и др.
Различают простые и сложные трубопроводы (рис. 7.1).
где
S0 м =
Рис. 7.1
Простым называют трубопровод, не имеющий ответвлений, по
которому жидкость подается транзитом и у которого расход и диаметр труб не изменяются по всей длине (рис. 7.1, а).
Сложные трубопроводы имеют сеть труб с изменяющейся конфигурацией как в плане, так и в профиле.
Выделяют следующие основные виды сложных трубопроводов:
• с последовательным соединением, при котором расход жидкости на всем пути остается постоянным, сам же трубопровод состоит
из участков различных диаметров и длин (рис. 7.1, б);
74
• параллельным соединением, при котором две или более линии
отходят от одной точки и сходятся в другой (рис. 7.1, в);
• кольцевые сети, представляющие собой систему замкнутых
трубопроводов (колец), питаемых от основной магистрали и переносящих жидкость к местам потребления (рис. 7.1, г);
• разветвленные тупиковые сети, в которых жидкость от источника питания поступает в магистраль, далее в боковые ответвления, к местам потребления и обратно в магистраль не поступает
(рис. 7.1, д);
• комбинированные сети, имеющие в своем составе кольцевые
сети и разветвленные тупиковые сети.
При гидравлическом расчете сложной сети трубопроводов необходимо различать следующие виды расходов:
• сосредоточенный, или узловой – расход, отделяющийся или
присоединяющийся в конкретной точке (пункте) сети;
• путевой, или распределенный – расход, отбираемый из трубопровода непрерывно. Qпут = q0 ⋅ l, где q0 – удельный путевой расход,
т. е. расход на единицу длины трубопровода;
• транзитный – часть расхода трубопровода, предназначенная
для снабжения жидкостью последующих участков сети;
• расчетный – расход, на величину которого осуществляется гидравлический расчет рассматриваемого участка трубопровода.
• При гидравлическом расчете сети трубопроводов обычно принимают установившееся напорное движение жидкости в круглых
трубах. Для случая движения воды в условиях городских и производственных трубопроводов удельная потенциальная энергия потока (z + P/(rg)) определяется величинами в несколько десятков метров, в то время как средняя скорость течения меняется в диапазоне
v = (0,8…1,6) м/с, что дает значение удельной кинетической энергии
в интервале v2/(2g) = (0,03…0,13) м. Такое соотношение позволяет
пренебречь значениями v2/(2g), и тогда уравнение Бернулли без учета местных потерь примет вид
z1 +
P1
P
= z2 + 2 + hl .
rg
rg
(7.5)
Обозначая P/(rg) = H напор в рассматриваемом сечении относительно отметки трубопровода, получим
75
(z1 – z2) + (H1 – H2) = hl.
Потери
напора
(7.6)
в длинных
трубопроводах определяютl v2
ся по формуле Дарси–Вейсбаха hl = l
или по формуле
d 2g
h
Q 2l
v 2l
I = wC R l , откуда hl = 2 2 = 2 .
Шези Q = wC R
l
wC R C R
Произведение wC R = K называется расходной характеристикой трубы. Для труб из определенного материала, работающих
в квадратичной области сопротивления, когда C не зависит от скорости движения, а K зависит только от диаметра трубы, расход
Q = K I,
а
hl =
Q2
l.
K2
(7.7)
(7.8)
Вычисленные значения K для трубопроводов, работающих в квадратичной области сопротивления, в зависимости от диаметра и материала трубы приведены в прил. 7. Если скорость движения потока
отличается от установленной, то значение K вычисляют по формуле
Kнекв = а ⋅ K,
где a – поправочный коэффициент на неквадратичность, приведенный в прил. 8.
Выразив в формуле Дарси–Вейсбаха скорость через расход, получим:
hl = λ
l 16Q 2
8λ
= 2 4 l ⋅ Q 2 = S 0 lQ 2 = SQ 2 ,
2 4
d 2 gπ d
gπ d
(7.9)
8l
− удельное сопротивление трубопровода; S = l ⋅ Q2 –
gp 2 d 4
гидравлическое сопротивление трубопровода.
Значения удельных сопротивлений для труб различного диаметра
и материала приведены в прил. 9.
Расчет трубопроводов сложного начертания является важной задачей. Если при расчете трубопроводов неизвестным является диагде S 0 =
76
метр, то его предварительно определяют по экономически выгодной
скорости:
d=
Q
4Q
= 1,13
,
πv э
vэ
(7.10)
где vэ – экономически выгодная скорость: для труб меньших
диаметров vэ = (0,6…1,2) м/с; для труб больших диаметров
vэ = (0,9…1,6) м/с.
Потери напора по длине трубопровода с последовательным соединением труб, без учета местных потерь, определяются суммированием потерь напора на отдельных его участках (рис. 7.2):
hl = hl1 + hl2 + hl3 + ... + hln .
(7.11)
Рис. 7.2
Потери на отдельных участках определяют по формулам (7.8)
или (7.9).
Для каждой параллельной линии трубопровода с параллельным соединением труб разности напора в начале и конце одинаковы (т. е. потери напора для всех линий равны), а сумма идущих
по отдельным линиям расходов равна полному расходу, поступающему к точке ответвления или отводящемуся от нее (рис. 7.3).
Таким образом,
Q = Q1 + Q2 + Q3 + … + Qn,
(7.12)
hl1 = hl2 = hl3 = ... = hln .
(7.13)
77
Рис. 7.3
Расход на участке с путевым расходом меняется по длине
от q0l + Qтр в начале участка до Qтр в конце участка (рис. 7.4).
Рис. 7.4
Определение расчетного расхода на этом участке производится
из условия, чтобы фактическая потеря напора на участке с путевым
расходом и расчетная потеря напора были одинаковыми.
Расчетная зависимость для определения расчетного расхода
на участке с путевым расходом имеет вид
2
Qрасч = Q тр
+ Qтр q0 l + q02 l 2 / 3 .
(7.14)
При отсутствии транзитного расхода (Qтр = 0) формула (7.14)
упрощается:
Qрасч = 0,58q0 ⋅ l.
(7.15)
На практике вместо формулы (7.14) используется формула
Qрасч = Qтр + 0,55q0 ⋅ l.
(7.16)
Перед выполнением гидравлического расчета разветвленной тупиковой сети производят подготовительную работу:
• на сети выбирают наиболее удаленную и высоко расположенную точку (точка 4 на рис. 7.5). Линия от башни до выбранной точки
78
называется магистралью (главной линией), а линии, отходящие от
магистрали, – ответвлениями;
• затем разбивают разветвленную сеть на расчетные участки, которые являются простыми трубопроводами. Участки обозначают
двумя цифрами, этими же цифрами обозначают все величины, относящиеся к данному участку;
• в соответствии с планом местности устанавливают длины
участков, отметки поверхности земли и отметки заложения трубопровода в характерных точках (узлах);
• по известным узловым и путевым расходам определяют расчетные расходы.
Рис. 7.5
Расчет сети проводят в определенной последовательности:
1. Устанавливают расчетные расходы отдельных участков, начиная с ответвлений высшего порядка и заканчивая магистралью,
«против течения воды».
2. Ведут расчет магистрали (на рис. 7.5 линия 1 – 4).
2.1. Используя значения экономичной скорости, вычисляют
диаметры трубопроводов на всех участках магистрали по формуле (7.10). Вычисленные диаметры округляют до ближайшего сортаментного значения.
2.2. Для каждого участка магистрали по вычисленным диаметрам
находят сначала расходные характеристики K (удельные сопротивления S0), а затем потери напора по формуле (7.8) или (7.9).
2.3. Начиная с конца магистрали, последовательно для каждого
участка находят напор в его начале по формуле (7.6). Для этого необходимо последовательно вычислить напоры:
79
H3 = (z4 – z3) + Hсв + h3 – 4;
H2 = (z3 – z2) + H3 + h2 – 3;
H1 = (z2 – z1) + H2 + h1 – 2.
Величина H1, найденная последней, представляет собой уровень
воды в водонапорной башне и служит основой для расчета насосной
установки.
3. Ведут расчет ответвлений аналогично расчету магистрали,
только «по течению воды»; определяют напоры H в концевых точках и сравнивают их с заданными Hсв. Должно быть Hi > Hсв, если
Hi < Hсв, значит, магистраль намечена неправильно и следует выполнить расчет заново, принимая новое направление магистрали.
Расчет кольцевых сетей сводится к определению диаметров всех
участков сети и напора в ее начале, когда заданы значения расходов
в узловых точках, расположение и отметки трубопроводов, длины
отдельных участков (рис. 7.6).
Рис. 7.6
Первым этапом является предварительное распределение потоков в кольцевых сетях. Для обеспечения надежности работы кольцевой сети при аварии на одном из ее участков должна быть предусмотрена их взаимозаменяемость.
Распределение расходов по участкам кольцевой сети должно обеспечить необходимые узловые расходы и удовлетворять условию баланса расходов в каждом узле
SQ = 0,
80
(7.17)
где SQ – алгебраическая сумма расходов, притекающих к узлу
(берутся со знаком «+») и вытекающих из него (берутся со знаком («–»).
Следующий этап расчета сводится к определению диаметров трубопроводов по экономической скорости (уравнение (7.10)). Затем
для каждого участка устанавливаются потери напора по длине по
формулам (7.8) или (7.9). Сеть считается увязанной (рассчитанной),
если при данных расходах по ветвям кольцевой сети потери напора
по одной ветви кольца равны потерям по другой:
Shl = 0,
(7.18)
где Shl – алгебраическая сумма потерь напора по кольцу.
Причем потери напора, возникающие при движении воды по часовой стрелке, считают положительными, а против часовой стрелки, – отрицательными. Уравнений вида (7.17) составляется столько,
сколько узлов в сети, а уравнений вида (7.18) – столько, сколько колец в данной сети.
Перекачка по трубам газов (природный и искусственный газы,
воздух, пар) имеет весьма широкое применение для различных бытовых и технических целей. По сравнению с движением капельных
жидкостей движение газов характеризуется рядом особенностей, обусловливаемых различиями их физических свойств.
При расчете течения в трубах газов обычно рассматриваются
потери не напора, а давления. При малых перепадах давления для
определения потерь давления на трение и на местные потери формулы имеют вид
∆Pтр = ρghтр = λ
l v2
ρ ;
d 2
(7.19)
v2
,
2
(7.20)
∆Pм = ρghм = ςρ
где DP – потерянное давление; r – плотность газа; величина rv2/2
носит название динамического давления.
Плотность газа определяется по формуле r = Pср/(gRT), в которой
Pср = (P1 + P2)/2, где P1 и P2 – значения давления в концевых сечениях
трубопровода.
81
Формулу (7.19) можно также представить в виде
Rтр =
∆Pтр
l
=
λ v2
ρ ,
d 2
(7.21)
где Rтр – так называемое удельное сопротивление трения.
Тогда уравнение Бернулли можно записать в виде
P1 + ρ
v12
v2
= P2 + ρ 2 + ∆Pпот .
2
2
(7.22)
При расчетах вентиляции потери на местные сопротивления имеют бóльшую величину, чем потери на трение, т. е. такие системы
относятся к коротким трубам.
В длинных газопроводах, наоборот, потери давления на местные
сопротивления невелики по сравнению с потерями на трение и определяются по формуле (7.19).
При расчетах движения газов с большими перепадами уравнение
Бернулли имеет вид
P1 − P2 =
2
l v2
l r1 1 .
DP d
2
2−
P1
(7.23)
Уравнение (7.23) отличается от формулы Дарси – Вейсбаха для
определения потерь давления при движении несжимаемой жидкости
лишь множителем, зависящим от отношения DP/P1. До тех пор пока
сохраняется условие DP/P1 < 5 %, пренебрежение этим множителем
дает ошибку до 2,5 %, что допустимо в большинстве инженерных
расчетов.
Таким образом, не абсолютная величина начального давления
газа P1 определяет, можно ли при расчете пользоваться формулой
Дарси, а относительная величина изменения этого давления по длине газопровода в целом.
Формула для определения расхода газа имеет вид
G =ω
gd P12 − P22
.
λ lRT
82
(7.24)
Коэффициент гидравлического трения l, входящий в полученные
зависимости, определяется по тем же формулам, что и при движении
несжимаемых жидкостей.
Пример 18
Вода из реки поступает в колодец с расходом Q = 50 л/с по стальной трубе длиной L = 120 м, имеющей обратный клапан.
Определить разность h уровней воды в реке и колодце, если диаметр d = 200 мм, а температура воды в реке t = 15 °C (рис. 7.7).
Рис. 7.7
Решение
Согласно условию задачи данный трубопровод относится к коротким трубопроводам. Расход в них определяется по формуле (7.1).
h, для данной задачи он равен
Q = µω 2gH 0 , где H0 =
разности уровней воды в реке и колодце; m – коэффициент расхода системы, для нашего случая, т. е. при истечении под уровень,
1
µ=
.
l
ς вх + ς вых + λ
d
Из прил. 5 (табл. П5.5) коэффициент на вход с обратным клапаном
Vвх = 5,5; Vвых = 1. Для определения коэффициента трения l необходимо установить область сопротивления трубопровода по критерию
83
Re
∆э v ⋅ d ⋅ ∆э v ⋅ ∆э
=
=
,
d
d ⋅ν
ν
(7.25)
где v = 4Q/(pd2); гидравлически эквивалентная шероховатость
Dэ = 0,2 мм (прил. 4) для стали; коэффициент кинематической вязкости n = 1,15 ⋅ 10–6 м2/с (прил. 2) для воды при 15 °С.
Подставив найденные значения в уравнение (7.25), найдем:
∆э 4 ⋅Q ⋅ ∆э
4 ⋅ 0,05 ⋅ 0,2 ⋅ 10 −3
=
=
= 277 < 500, значит, область
d
π ⋅ d 2 ⋅ ν 3,14 ⋅ 0,2 2 ⋅ 1,15 ⋅ 10 −6
сопротивления доквадратичная. Определим l по формуле Альтшуля:
Re
0, 25
0, 25
 68 ⋅ ν ⋅ π ⋅ d ∆ э 

=
= 0,11 
+
d 
 4⋅Q
0, 25
 68 ⋅ 1,15 ⋅ 10 −6 ⋅ 3,14 ⋅ 0,2 0,2 ⋅ 10 −3 

= 0,021.
= 0,11
+
4 ⋅ 0,05
0,2 

1
1
µ=
=
= 0,23.
l
120
5,5 + 1 + 0,021
ς вх + ς вых + λ
d
0,2
 68 ⋅ ν ∆ э 
λ = 0,11
+

d 
 v⋅d
Решив уравнение (7.1) относительно h, найдем h:
h=
Q2
µ 2 ⋅ ω2 ⋅ 2 g
=
16 ⋅ Q 2
µ 2π2 ⋅ d 4 ⋅ 2g
=
16 ⋅ 0,05 2
0,22 2 ⋅ 3,14 2 ⋅ 0,2 4 ⋅ 19,6
= 2,67 м.
Пример 19
Вода подается по горизонтальному пластмассовому трубопроводу, состоящему из двух последовательных участков: AB = 400 м,
BC = 300 м с диаметрами DAB = 150 мм, DBC = 200 мм (рис. 7.8).
Рис. 7.8
84
• Расходы воды в точках: QB = 15 л/с; QC = 12 л/с; свободный напор в конце трубопровода Hсв = 16 м.
• Определить необходимое давление насоса в точке A (пренебрегая высотой всасывания и потерями напора на всасывающей трубе),
а также изменение давления при уменьшении расхода в т. B на 3 л/с
и одновременном увеличении расхода в т. C на 3 л/с.
Решение
В длинных трубопроводах потери по длине определяются разностью начального и конечного напоров. Кроме того в трубопроводах
с последовательным соединением труб потери напора по всей длине
трубопровода суммируются из потерь на каждом участке. В начальной точке A установлен насос, поэтому начальный напор Hн = P/(rg).
Конечный напор Hк = Hсв. Тогда
P/(rg) – Hсв = hl AB + hlBC ,
откуда
P = rg (Hсв + hl AB + hlBC ).
(7.26)
Потери напора на участках AB и BC определим по формуле (7.8):
hl AB =
2
2
QBC
QAB
l
;
h
=
l BC .
AB
l
2
BC
2
K AB
K BC
Определим расход QBC, скорость vBC, S 0 и потери hlBC .
BC
QBC = QC = 12 л/с = 0,012 м3/с, тогда vBC = 4QBC/(pD2BC) =
= 4 ⋅ 0,012/(3,14 ⋅ 0,152) = 0,68 м/с. По DBC из прил. 7 найдем
KBC = 0,148 м3/с. Так как скорость vBC < 1 м/с, введем поправку на неквадратичность для KBC из прил. 8: a = 0,96. K BCнекв = 0,148 ⋅ 0,96 = = 0,142 м3/с.
Q2
0,012 2
hlBC = 2 BC l BC =
300 = 2,14 м.
K BCнекв
0,142 2
Определим расход QAB, скорость vAB, S 0 АВ и потери hl AB .
QAB = QC + QB = 12 + 15 = 27 л/с = 0,027 м3/с, тогда vAB = 4QAB/
/(pD2AB) = 4 ⋅ 0,027/(3,14 ⋅ 0,22) = 0,86 м/с. По DAB из прил. 7 найдем KAB = 0,443 м3/с. Так как скорость vAB < 1 м/с, введем по85
правку на неквадратичность для KAB из прил. 8: a = 0,988.
K ABнекв = 0,443 ⋅ 0,988 = 0,438 м3/с.
hl AB =
2
Q AB
2
K AB
некв
l AB =
0,027 2
0,443 2
400 = 1,52 м.
Подставим найденные значения слагаемых в уравнение (7.26):
P = rg (Hсв + hl AB + hlBC ) = 103 ⋅ 9,8 (16 + 2,14 + 1,52) =
= 192,67 ⋅ 103 Па = 192,67 кПа.
Определим теперь, как изменится давление насоса при изменении узловых расходов.
Так как расход в точке C уменьшился на 3 л/с, то и расход на
участке BC уменьшится на ту же величину: QBC = QC – 3 = 12 – 3 =
= 9 л/с = 0,009 м3/с.
Скорость на участке BC также изменится: vBC =
4QBC /
/(pD2BC) = 4 ⋅ 0,009/(3,14 ⋅ 0,152) = 0,51 м/с.
Найдем новое значение поправки: a = 0,924, тогда K BCнекв =
= 0,148 ⋅ 0,924 = 0,137 м3/с.
Найдем новое значение потерь:
2
QBC
0,009 2
hlBC = 2
l BC =
300 = 1,29 м.
K BCнекв
0,137 2
Одновременно с уменьшением расхода в точке C расход в точке B
увеличился на ту же величину: QB = 15 + 3 = 18 л/с = 0,018 м3/с, а значит, расход на участке AB останется прежним: QAB = QC + QB = 0,009 +
+ 0,018 = 0,027 м3/с. Значит, скорость и потери на участке AB останутся прежними: hl AB = 1,52 м.
Определим новое значение давления насоса в точке A.
P = rg(Hсв + hl AB + hlBC ) = 103 ⋅ 9,8 (16 + 1,29 + 1,52) =
= 184,34 ⋅ 103 Па = 184,34 кПа.
Таким образом, при изменении узловых расходов давление насоса в начальной точке уменьшится.
Пример 20
Какой напор Hн необходимо создать в начале стального горизонтального трубопровода длиной l = 1300 м и диаметром d1 = 150 мм
86
для пропуска расхода Q = 18 л/с при напоре в конце трубопровода
Hк = 10 м (рис. 7.9)?
Рис. 7.9
Как изменится напор в начале H′н, если для пропуска расхода параллельно основной трубе уложить трубу диаметром d2 = 100 мм той
же длины?
Решение
1. Определим напор Hн в начале простого трубопровода:
Hн – Hк = S 0 lQ2, откуда Hн = Hк + S 01 lQ2.
1
(7.27)
Для определения удельного сопротивления S 01 найдем скорость:
4⋅Q
4 ⋅ 0,018
v1 =
=
= 1,02 м/с. Из прил. 9 (табл. П9.4) для сталь2
π ⋅ d1 3,14 ⋅ 0,15 2
ного трубопровода по скорости и диаметру найдем S 01 = 46,3 с2/м6.
Подставим найденные значения в уравнение (7.27), найдем Hн:
Hн = 10 + 46,3 ⋅ 1300 ⋅ 0,0182 = 29,5 м.
(7.28)
2. При параллельном соединении труб потери напора на всех линиях равны. Для данной задачи при равенстве длин имеем
S 01 lQ12 = S 02 lQ22 или
S 01 Q12 = S 02 Q22.
(7.29)
Считая скорость на обеих линиях v > 1 м/с, из прил. 9 найдем S 01 = 46,3 с2/м6 для d1 = 150 мм и S 02 = 275 с2/м6 для d2 = 100 мм.
87
Из уравнения (7.29) выразим Q1:
Q1 =
Q22 S 0 2
S 01
=
275 ⋅ Q22
= 2,44Q2 .
46,3
(7.30)
Общий расход Q (до ответвления) равен сумме расходов на линиях, т. е.
Q = Q1 + Q2 = 2,44 Q2 + Q2 = 3,44 Q2, откуда Q2 = Q/3,44 = 0,018/3,44 =
= 0,0052 м3/с = 5,2 л/с.
Q1 = 2,44 Q2 = 2,44 ⋅ 0,0052 = 0,0128 м3/с = 12,8 л/с.
Зная расходы на линиях, определим скорости на линиях и удельные сопротивления.
4Q
4 ⋅ 0 ,0128
4Q2 4 ⋅ 0 ,0052
v1 = 12 =
= 0 ,72 м/с; v2 =
=
= 0 ,67 м/с.
2
πd1 3,14 ⋅ 0 ,15
πd 22 3,14 ⋅ 0 ,12
Из прил. 9 (табл. П9.4) по v1 и d1 найдем S 01 = 48,8 с2/м6, а по v2
и d2 – S 0 = 290 с2/м6.
2
При параллельном соединении потери напора по длине на обеих
линиях равны разности начального и конечного напоров, т. е.
H′н – Hк = S 01 lQ12 = S 0 2 Q22, тогда
H′н = Hк + S 01 lQ12 = Hк + S 0 2 lQ22 = 10 + 48,8 ⋅ 1300 ⋅ 0,01282 = 20,4 м.
Сравним начальный напор при параллельном соединении и в
простом трубопроводе:
Hн – H′н = 29,5 – 20,4 = 9,1 м.
Таким образом, при параллельном подключении еще одной линии трубопровода начальный напор уменьшится на 9,1 м.
Пример 21
Разветвленная водопроводная сеть (рис. 7.10) характеризуется
следующими данными: длины участков l1 – 2 = 1700 м; l2 – 3 = 200 м;
l3 – 4 = 400 м; l3 – 5 = 300 м; l2 – 6 = 500 м; отметки земли: z1 = 20 м;
z2 = 30 м; z3 = 35 м; z4 = 37 м; z5 = 36 м; z6 = 38 м; узловые расходы:
Q2 = 10 л/с; Q3 = 6 л/с; Q4 = 15 л/с; Q5 = 12 л/с; Q6 = 20 л/с; удельные
путевые расходы на участках 2 – 3 и 3 – 5 q0 = 0,03 л/с/м; свободный
напор в узловых и конечных точках сети Hсв > 10 м; трубы стальные.
88
Рис. 7.10
Определить необходимые диаметры труб и напоры в узловых точках, если насос, установленный в точке 1, создает давление P1 = 0,5 МПа.
Решение
Перед расчетом разветвленной тупиковой сети намечаем магистральную линию, наиболее удаленную и высоко расположенную
по отношению к начальной точке.
Принимаем за магистральную – линию 1 – 4. Расчет магистрали
начнем с участка 3 – 4, т. е. «против течения».
Используя уравнение (7.6) для определения потерь напора по длине, найдем напор в начале участка 3 – 4 (точка 3).
(H3 + z3) – (H4 + z4) = Q23–4 ⋅ S 0 ⋅ l3–4 , откуда
3− 4
H3 = Hсв + z4 – z3 + Q23–4 ⋅ S 0
⋅ l .
3− 4 3–4
(7.31)
Определим расчетный расход на участке 3 – 4:
Q3–4 = Q4 = 15 л/с = 0,015 м3/с.
По уравнению (7.10), приняв vэ = 1 м/с, найдем диаметр d3–4:
d 3− 4 = 1,13
Q3− 4
0,015
= 1,13
= 0,138
vэ
1
м, примем d3–4 = 150 мм –
ближайший к сортаментному диаметру для стальных труб.
По принятому диаметру уточним скорость на участке:
4Q3− 4
4 ⋅ 0,015
v3− 4 =
=
= 0,85 м/с.
2
πd 3− 4 3,14 ⋅ 0,15 2
89
По найденным d3–4 и v3–4 из прил. 9 (см. табл. П9.4) найдем удельное сопротивление S 03−4 = 47,25 с2/м6.
Подставим в уравнение (7.31) полученные значения, найдем H3:
H3 = 10 + 37 – 35 + 0,0152 ⋅ 47,25 ⋅ 400 = 16,25 м.
(7.32)
Рассчитаем участок магистрали 2 – 3. Напор в начале участка H2
найдем, используя уравнение (7.6) для рассматриваемого участка:
H2 = H3 + z3 – z2 + Q22–3 ⋅ S 0
⋅ l .
2−3 2–3
(7.33)
Определим расчетный расход на участке 2 – 3:
Q2–3 = Q4 + Q3 + Q5 + q0 ⋅ l3–5 + 0,55 ⋅ q0 ⋅ l2–3 =
= 15 + 6 + 12 + 0,03 ⋅ 300 + 0,55 ⋅ 0,03 ⋅ 200 = 45,3 л/с = 0,0453 м3/с.
По уравнению (7.10) определим d2–3:
d 2 − 3 = 1,13
Q2 − 3
0 ,0453
= 1,13
= 0 ,240 м, примем d2–3 = 250 мм – блиvэ
1
жайший к сортаментному диаметру для стальных труб.
Уточним скорость v2–3:
4Q2−3
4 ⋅ 0,0453
v 2 −3 =
=
= 0,92 м/с.
πd 2−3 3,14 ⋅ 0,25 2
Из прил. 9 (см. табл. П9.4) по найденным d2–3 и v2–3 найдем удельное сопротивление S 0 2−3 = 2,85 с2/м6.
Подставим в уравнение (7.33) полученные значения, найдем H2:
H2 = 16,25 + 35 – 30 + 0,04532 ⋅ 2,85 ⋅ 200 = 22,41 м.
(7.34)
Рассчитаем участок 1 – 2. В начале участка работает насос, поэтому начальный напор H1 равен напору насоса Hн = P1/(rg). Тогда
(P1/(rg) + z1) – (H2 + z2) = Q21–2 ⋅ S 01−2 ⋅ l1–2.
(7.35)
Так как начальный и конечный напоры известны, из уравнения (7.35) найдем удельное сопротивление S 01−2 :
S 01−2

 P1
 rg + z1  − (H 2 + z 2 )

.
=
Q12− 2 ⋅ l1− 2
90
(7.36)
Рассчитаем расчетный расход на участке 1 – 2:
Q1–2 = Q4 + Q3 + Q5 + q0⋅l3–5 + q0⋅l2–3 + Q2 + Q6 =
= 15 + 6 + 12 + 0,03 ⋅ 300 + 0,03 ⋅ 200 + 10 + 20 = 78 л/с = 0,078 м3/с.
Подставим численные значения в уравнение (7.36), определим
удельное сопротивление:
 0,5 ⋅ 10 6



 10 3 ⋅ 9,8 + 20  − (22,41 + 30 ) 18,59

S 01− 2 = 
=
= 1,8 с2/м6.
2
10
,
34
0,078 ⋅ 1700
Из прил. 9 (табл. П9.4) принимаем ближайший больший диаметр
d1–2 = 250 мм.
Теперь приступим к расчету ответвлений («по течению» жидкости). Рассчитаем участок 2 – 6. Напор в начале участка известен, поэтому, используя уравнение (7.6), определим напор в конце участка,
т. е. в т. 6.
H6 = H2 + z2 – z6 – Q22–6 ⋅ S 0
⋅ l .
2 − 6 2–6
(7.37)
Расчетный расход на участке 2 – 6 Q2–6 = Q6 = 20 л/с = 0,02 м3/с.
Диаметр на участке d2–6 найдем по уравнению (7.10):
Q2 − 6
0,02
= 1,13
= 0,16 м. Примем ближайшее сорта1
vэ
ментное значение d2–6 = 175 мм. Уточним скорость v2–6:
4Q2−6
4 ⋅ 0,02
v 2−6 =
=
= 0,83 м/с.
2
πd 2−6 3,14 ⋅ 0,175 2
Из прил. 9 (см. табл. П9.4) найдем S 02−6 = 20 с2/м6. Подставим численные значения слагаемых в уравнение (7.37), найдем напор:
H6 = 22,41 + 30 – 38 – 0,022 ⋅ 20 ⋅ 500 = 18,41 м.
Рассчитаем участок 3 – 5. Напор в начале участка известен, поэтому, используя уравнение (7.6), определим напор в конце участка,
т. е. в т. 5.
d 2−6 = 1,13
H5 = H3 + z3 – z5 – Q23–5 ⋅ S 0
⋅ l .
3−5 3–5
(7.38)
Расчетный расход на участке 3 – 5 Q3–5 = Q5 + 0,55 ⋅ q0 ⋅ l3–5 = 12 +
+ 0,55 ⋅ 0,03 ⋅ 300 = 16,95 л/с = 0,01695 м3/с. Диаметр на участке d3–5
найдем по уравнению (7.10):
91
Q3− 5
0,01695
= 1,13
= 0,147 м. Примем ближайшее соvэ
1
ртаментное значение d3–5 = 150 мм. Уточним скорость v3–5:
4Q3−5 4 ⋅ 0,01695
v3−5 =
=
= 0,96 м/с.
πd 32−5 3,14 ⋅ 0,15 2
Из прил. 9 (см. табл. П9.4) S 03−5 = 46,55 с2/м6. Подставим численные значения слагаемых в уравнение (7.38), найдем напор:
H5 = 16,25 + 35 – 36 – 0,016952 ⋅ 46,55 ⋅ 300 = 11,24 м.
Напоры в конечных точках получились больше Hсв = 10 м, значит,
сеть рассчитана верно.
d 3−5 = 1,13
Пример 22
Определить расход газа Q в системе газопровода, состоящего из стальных трубопроводов, соединенных последовательно
(рис. 7.11), с диаметрами d1 = 0,5 м; d2 = 0,3 м; d3 = 0,15 м. Длина
трубопроводов l1 = 1000 м; l2 = 500 м; l3 = 250 м. Абсолютное давление в начальном сечении P1 = 2 ⋅ 106 Па; общий перепад давления
DP = 4 ⋅ 105 Па; температура газа 0 °C; плотность газа, приведенная
к нормальным условиям, r = 0,72 кг/м3; кинематическая вязкость
газа n = 15 ⋅ 10–6 м2/с; Dэ = 0,001 м.
Рис. 7.11
Решение
Предполагаем, что газопровод работает в квадратичной области
сопротивления при DP/P1 > 5 %. Используя уравнение (7.23), заменив скорость через расход v = Q/w = 1,27Q/d 2, получим:
P1 − P4 =
l
v2
l
Q 2 ρ1 P1
2
Σλ i ρ1 Σ i = 1,62
Σλ i5 ,
2 P1 − ∆P
2
2 P1 − ∆P
di
di
P1
92
(7.39)
где i – порядковый номер трубопровода; l – коэффициент Дарси,
который для квадратичной области определим по формуле Шифрин0 , 25
∆ 
сона: λ = 0,11 э  .
 di 
Учитывая, что P1 – P4 = DP, расход газа во всем трубопроводе найдем из уравнения (7.24), заменив весовой расход объемным
G = Q ⋅ r ⋅ g:
∆P(2P1 − ∆P)
∆P(2P1 − ∆P)
= 5,62
Q=
=
l
li
0, 25
0, 25
i
1,62 ⋅ 0,11⋅ ∆ э ⋅ ρ1 P1 ⋅Σ 5,35
0,178 ⋅ 0,001 ⋅ ρ1 P1Σ 5, 25
di
di
= 5,62
4 ⋅ 10 5 ( 2 ⋅ 2 ⋅ 10 6 − 4 ⋅ 10 5 )
 1000
500
250
0,72 ⋅ 2 ⋅ 10 6  5, 25 +
+
5 , 25
0,3
0,15 5, 25
 0,5



= 2,37 м3/с.
Проверим, правильно ли выбрана область сопротивления трубопровода, для чего вычислим критерий для первого участка газопровода с наибольшим диаметром:
∆
4Q∆ э
vd ∆
4 ⋅ 2,37 ⋅ 0,001
Re1 э = 1 1 э =
=
= 805 > 500.
2
d1
ν d1
πd1 ν 3,14 ⋅ 0,5 2 ⋅ 15 ⋅ 10 − 6
Следовательно, трубопровод работает в квадратичной области
сопротивления.
Тема 8. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ И КАНАЛАХ
Движение в открытых руслах и каналах характеризуется наличием свободной поверхности. При равномерном движении
будут постоянными площадь и форма живого сечения, расход
и средняя скорость течения, местные скорости в сходных точках
сечений.
В условиях равномерного движения (рис. 8.1) уклон дна, пьезометрический и гидравлический уклоны равны, т. е. I = i = iп.
Рис. 8.1
Для постоянного живого сечения потока основной его характеристикой является глубина потока. Глубина равномерного движения
потока называется нормальной и обозначается как h0.
Уравнение Бернулли для равномерного движения в открытом потоке при равенстве скоростей в сечениях и одинаковых (атмосферных) давлениях на поверхности примет вид z1 – z2 = hl. Это означает,
что при равномерном движении потери напора по длине определяются разностью отметок поверхности воды.
Основной формулой для расчета движения воды в каналах и руслах является формула Шези
94
v = C Ri = W i,
(8.1)
где R – гидравлический радиус, R = w/c; C – коэффициент Шези,
или скоростной множитель; W – скоростная характеристика потока,
W = C i (W и С определяются по эмпирическим формулам).
Наиболее точной является формула акад. Павловского, получившая широкое распространение в гидротехнической практике,
1
1 y
(8.2)
R или W = R z ,
n
n
где n – коэффициент шероховатости дна и стенок русла; y и z – показатели степени (z = y + 0,5), зависящие от R и n и определяемые
по формулам
C=
(
R(
y = 2,5 n − 0,13 − 0,75 R
z = 0,37 + 2,5 n − 0,75
)
n − 0,1).
n − 0,1 ;
(8.3)
(8.4)
Для приближенных расчетов применяют приближенные формулы Павловского
y ≈ 1,7 n при R < 0,1 м;
y ≈ 1,5 n при 0,1 < R < 1,0 м;
(8.5)
y ≈ 1,3 n при 1,0 < R < 3,0 м.
В практике гидравлических расчетов иногда применяют формулы
с постоянными значениями показателя степени:
1
1
C = R1 / 6 и W = R 0 , 67 – формула Маннинга;
n
n
1 1/ 5
1
и W = R 0,7 – формула Форхгеймера.
C= R
n
n
Значения коэффициентов шероховатости и скоростной характеристики приведены в прил. 10, 11.
Расход потока определяют по формуле
Q = ωC Ri = ωW i = K i ,
где K = wW – расходная характеристика.
95
(8.6)
Выразив из уравнения (8.6) K, получим
(8.7)
K = Q / i.
Наиболее распространенные формы сечений каналов – прямоугольная (рис. 8.2, а); треугольная (рис. 8.2, в); трапецеидальная
(рис. 8.2, б); криволинейная (рис. 8.2, г).
а
б
в
г
Рис. 8.2
Основными гидравлическими характеристиками каналов являются глубина жидкости – h0; ширина канала по дну – b; ширина русла
по верху – B; площадь живого сечения – w; смоченный периметр – c;
гидравлический радиус – R.
Для наиболее распространенной формы канала – трапецеидальной – имеем (рис. 8.3):
w = (b + mh)h; c = b + 2h 1 + m 2 ;
B = b + 2 mh; R =
ω
(b + mh )h ,
=
χ b + 2h 1 + m 2
где m – коэффициент заложения откосов, m = ctg j. При разной крутизне откосов площадь сечения w = (b + mср h)h; смоченный пери-
)
(
метр c = b + h 1 + m12 + 1 + m 22 ; ширина русла по верху B = b +
+ 2mср h, где mср =
m1 + m2
.
2
Из приведенных формул можно получить зависимости для русел
прямоугольного и треугольного сечения.
В прямоугольном русле стенки вертикальные, следовательно,
m = 0, тогда w = bh; c = b + 2h; B = b; R = (bh)/(b + 2h) (рис. 8.4).
96
Для русла треугольной формы (рис. 8.5) b = 0, поэтому w = mh2;
B = 2 mh; c = 2h 1 + m 2 ; R =
mh 2
2h 1 + m 2
.
Рис. 8.3
Рис. 8.4
Рис. 8.5
При подборе сечения канала по возможности следует проектировать так называемый гидравлически наивыгоднейший профиль,
пропускающий при данной площади поперечного сечения наибольший расход. Такие русла имеют максимальный (при прочих
равных условиях) гидравлический радиус Rmax, и протекание потока в них происходит с максимально возможной средней в сечении
скоростью vmax.
В руслах трапецеидального сечения гидравлически наивыгоднейшего профиля отношение ширины русла к глубине при равномерном
движении (относительная ширина русла) обозначается bг.н. При заданном коэффициенте заложения откосов
β г.н =
(
)
b
= 2 1 + m2 − m .
h
97
(8.8)
Для русел гидравлически наивыгоднейшего профиля может быть
подсчитан безразмерный параметр yг.н, зависящий от формы поперечного сечения. Для русла трапецеидального сечения
ψ г.н = 8 1 + m 2 − 4m.
(8.9)
Если заданы расход, тип укрепления и уклон дна русла, то, определив предварительно K р = Q / i и функцию
Kрn
ψ г.н
,
(8.10)
из прил. 12 для осредненного значения z находят максимальный гидравлический радиус Rmax.
Максимально возможная при заданных условиях средняя в сечении скорость
vmax = Wmax i .
(8.11)
Для русел трапецеидального сечения гидравлически наивыгоднейшего профиля:
• гидравлический радиус Rmax = h0/2;
• площадь живого сечения w = yг.н R2max.
При гидравлическом расчете каналов встречаются три основных
типа задач.
Первый тип задач. Требуется определить расход Q (скорость v),
если известны размеры канала (b, h, m), коэффициент шероховатости n, уклон i.
Технология расчета следующая: вычисляются w, c, R. Затем по
табличным данным либо по формулам находят W или C и определяют расход (скорость) по формулам (8.1), (8.6).
Аналогично решается задача по определению уклона канала, если
известны Q (v), b, h, m и n. Затем из формулы (8.6) находят уклон:
i=
Q2
Q2
=
.
w2C 2 R 2 w2W 2
(8.12)
Можно найти уклон по максимальной скорости:
i=
2
2
vmax
vmax
=
.
C 2R W 2
98
(8.13)
Второй тип задач. Требуется определить глубину при заданном
расходе Q. Эта задача называется задачей о нормальной глубине. Известны b, m, n, i.
Данная задача имеет несколько вариантов решения. Первый вариант – подбором по формуле Шези. Здесь удобно вначале вычислить
расходную характеристику K р = Q / i . Затем задаются каким-либо
значением h1 и вычисляют соответствующие ему значения w1, c1, R1,
W1 (C1) и K1. Полученные значения K1 сравнивают с Kр. Здесь возможны три случая: K1 < Kр; K1 > Kр; K1 = Kр. В первом случае принимают h2 > h1; во втором – h2 < h1, а в третьем случае, так как h1 = h0,
расчет прекращают.
Второй вариант аналогичен первому, только при нем сокращается число отдельных вариантов. Здесь целесообразно вычислить не
менее трех пар значений K = f (h), при этом одно значение обязательно должно быть больше Kр и одно меньше Kр. После этого строят
график зависимости K = f (h) и находят Kр на искомую глубину h0
(рис. 8.6).
Рис. 8.6
Аналогично решается задача по определению ширины канала
по дну b.
Третий тип задач. Требуется подобрать размеры поперечного сечения канала: ширину b и глубину h0, если известны Q, v, m, n, i.
Так как b и h0 неизвестны, то одной из них задаются, а вторую
определяют. При этом следует стремиться к тому, чтобы сечение по99
лучилось гидравлически наивыгоднейшим. Для этого определяют
b
βг.н = = 2 1 + m 2 − m , затем выражают b через h и подбирают h0
h
аналогично предыдущей задаче либо решают совместно уравнения
для w и c относительно h.
Средняя скорость v движения воды в каналах должна находиться
в пределах vmin ≤ v ≤ vmax, где vmax – максимально допустимая скорость
течения воды при равномерном движении. При v > vmax русло канала
будет размываться водой, а при v < vmin – заиливаться наносами, которые транспортирует поток.
Скорость протекания воды зависит от уклона канала, а максимальная скорость – только от материала, из которого сложены стенки и дно русла канала.
Для определения максимально допустимых скоростей используются многочисленные эмпирические формулы, в которых эта скорость зависит от среднего диаметра частиц грунта d, глубины потока h или его гидравлического радиуса R и других параметров.
)
(
R
– формула И. И. Леви,
(8.14)
7d
где A – коэффициент, учитывающий уплотненность грунта (для хорошо уплотненных грунтов A = 3,2; для грунтов с рыхлой структурой A = 2,8).
vдоп = A gd lg
vдоп = 5 d 0,3 h0,2 – формула А. М. Латышенкова.
(8.15)
Минимальные скорости протекания воды в канале устанавливаются из условия недопущения заиливания каналов, зависят от размеров и количества взвешенных частиц в потоке и также определяются
по эмпирическим формулам.
v min = 0,01
vг.к
d
4
p 0,0225
R – формула И. И. Леви, (8.16)
0,01 n
где vг.к – скорость падения частиц в покоящейся жидкости, называемая гидравлической крупностью частицы; d – средний диаметр
частиц преобладающей массы взвешенных наносов; p – массовая
насыщенность, %, взвешенных наносов с dср > 0,25 мм; n – коэффициент шероховатости русла; R – гидравлический радиус.
100
vmin = AQ 0,2 – формула А. С. Гиршкана,
(8.17)
где A – коэффициент, принимаемый в зависимости от гидравлической
крупности частиц (для vг.к < 1,5 мм/с A = 0,33; для vг.к = (1,5…3,5) мм/с
A = 0,44; для vг.к > 3,5 мм/с A = 0,55); Q – расход потока, м3/с.
Пример 23
Определить, какой уклон i следует придать дну канала, если ширина его по дну b = 0; коэффициенты заложения откосов m1 = 1,5;
m2 = 2; коэффициент шероховатости n = 0,018; расход Q = 0,079 м3/с;
глубина равномерного движения h0 = 0,37 м (рис. 8.7).
Рис. 8.7
Решение
Из уравнения (8.6) для определения расхода Q = ωC Ri = ωW i
найден уклон i (8.12):
i=
Q2
Q2
=
.
w2C 2 R 2 w2W 2
При разной крутизне откосов для треугольного сечения площадь живого сечения w = mсрh2; смоченный периметр
(
)
c = h 1 + m12 + 1 + m 22 ; гидравлический радиус R = w/c; скоростную характеристику можно определить по формуле Павловского
1
W = R z или из прил. 11 по R и n; средний коэффициент заложеn
101
ния откосов mср =
= 0,24 м2.
m1 + m2 1,5 + 2
=
= 1,75. Тогда w = 1,75 ⋅ 0,372 =
2
2
)
(
χ = 0,37 1 + 1,5 2 + 1 + 2 2 = 0,37(1,8 + 2,24) = 1,49 м.
R = 0,24/1,49 = 0,16 м.
По R = 0,16 м и n = 0,018 из прил. 11 найдем W = 15,5 м/с.
Подставим полученные значения в уравнение (8.12), получим
i = 0,0792/(0,242 ⋅ 15,52) = 0,00045.
Пример 24
Определить максимально возможную среднюю в сечении скорость потока, нормальную глубину протекания и ширину трапецеидального русла по дну, если расчетный расход Q = 4 м3/с, уклон дна
i = 0,001, коэффициент заложения откосов m = 2.
Канал укреплен хорошей сухой кладкой (рис. 8.8).
Рис. 8.8
Решение
Максимально возможную среднюю скорость определим по уравнению (8.11): vmax = Wmax i .
Для русла трапецеидального сечения гидравлически наивыгоднейшего профиля найдем безразмерный параметр yг.н:
ψ г.н = 8 1 + m 2 − 4m = 8 1 + 2 2 − 4 ⋅ 2 = 9,89.
102
(8.18)
Расчетная расходная характеристика
Q
4
=
= 125 м3/с.
i
0,001
Kр =
(8.19)
Для канала, укрепленного хорошей сухой кладкой, коэффициент
шероховатости n = 0,0225 (прил. 10, табл. П10.2).
Гидравлически наивыгоднейший радиус Rmax найдем из прил. 12
по среднему значению: z = 0,5 + 1,5 n = 0,5 + 1,5 0,0225 = 0,73
K n 125 ⋅ 0,0225
и функции р =
= 0,28 . Rmax = 0,65.
ψ г.н
9,89
Для трапецеидального сечения Rmax = h0 /2, откуда
h0 = 2Rmax = 2 ⋅ 0,65 = 1,3 м.
Гидравлически наивыгоднейшее отношение βг.н =
откуда
(
)
(
)
b
= 2 1 + m2 − m ,
h
)
(
b = 2h 1 + m 2 − m = 2 ⋅ 1,3 1 + 2 2 − 2 = 0,62 м.
Максимальную скоростную характеристику определим по формуле Павловского:
1 z
1
Wmax = Rmax
=
0,65 0,73 = 32,4 м/с, тогда
n
0,0225
v max = Wmax i = 32,4 0,001 = 1,02 м/с.
Проверим пропускную способность русла при найденных h0 и b,
для чего определим площадь живого сечения по уравнению
w = yг.н R2max = 9,89 ⋅ 0,652 = 4,18 м2.
Qр = ωW i = 4,18 ⋅ 32,4 0,001 = 4,28 м3/с.
Так как расчетный расход получился больше заданного, значит,
при полученных значениях h0 = 1,3 м и b = 0,62 м русло канала будет
иметь гидравлически наивыгоднейший профиль.
Пример 25
Определить подбором и построением графика K = f (h) нормальную глубину и среднюю в сечении скорость потока в русле при сле103
дующих условиях: ширина русла по дну b = 4 м, коэффициент заложения откосов m = 0, продольный уклон i = 0,0009, расчетный расход
Q = 16 м3/с. Канал облицован тесаным камнем (в средних условиях)
(рис. 8.9).
Рис. 8.9
Решение
Для решения задачи подбором определим расчетную расходную
характеристику:
K р = Q / i = 16 / 0,0009 = 533,3 м3/с.
Коэффициент шероховатости n найдем из прил. 10
(табл. П10.2): n = 0,0225. Русло прямоугольное, так как m = 0.
Для прямоугольного русла площадь живого сечения w = bh, смоченный периметр c = b + 2h, расходная характеристика K = wW,
скоростная характеристика W =
1 z
R , показатель степени z =
n
= 0,5 + 1,5 n = 0,5 + 1,5 0,0225 = 0,72.
Для определения h0 подбором вычисления сведем в таблицу.
h, м
w = bh, м2
1,0
2,0
2,5
2,75
2,713
4,0
8,0
10,0
11,0
10,85
1
c = b + 2h,
R = w/c, м W = R z , м/с K = wW, м3/с
м
n
6,0
0,67
33,31
133,24 < Kр
8,0
1,0
44,44
355,56 < Kр
9,0
1,11
47,94
479,47 < Kр
9,5
1,16
49,39
543,3 > Kр
9,43
1,15
49,16
533,4 @ Kр
104
Как видно из таблицы, при h = 2,715 м расходная характеристика
K = Kр, поэтому принимаем h0 = 2,715 м.
Для определения h0 графическим способом построим график зависимости K = f (h) по трем точкам: K = 133,24 м3/с; K = 355 м3/с
и K = 543,3 м3/с (рис. 8.10). На графике по вычисленному значению
Kр = 533,3 м3/с (ось абсцисс) найдем искомую величину: h0 = 2,715 м
(ось ординат).
Рис. 8.10
Пример 26
Металлический лоток полукруглого сечения r = 0,4 м установлен
с уклоном i = 0,005 (рис. 8.11).
ϕ
r
Рис. 8.11
105
h
Определить, какой расход Q будет протекать по лотку при наполнении h = 0,3 м.
Решение
Сначала определим центральный угол сектора j. Из рис. 8.11 видно, что arccos j/2 = (r – h)/r = (0,4 – 0,3)/0,4 = 0,25, откуда j/2 = 75,5°,
а значит, угол j = 151°. Площадь живого сечения определим как площадь сегмента:
 0,4 2  151 ⋅ 3,14
r 2  ϕо π

=
− 0,485  = 0,172 м2.
ω = 
−
sin
ϕ

о

2  180
2  180


Смоченный периметр определим как длину дуги:
c = prj/180° = 3,14 ⋅ 0,4 ⋅ 151/180 = 1,05 м.
Гидравлический радиус R = w/c = 0,172/1,05 = 0,164 м.
Коэффициент шероховатости n для металла возьмем из прил.
10 (табл. П10.2): n = 0,011. Скоростную характеристику определим
по формуле Павловского, предварительно найдя показатель степени z:
z = 0,5 + 1,5 n = 0,5 + 1,5 0,011 = 0,66 .
1
1
0,164 0,66 = 27,57 м/с.
W = Rz =
n
0,011
Теперь определим расход по формуле Шези:
Q = ωW i = 0,172 ⋅ 27,57 0,005 = 0,34 м3/с.
ТЕМА 9. ДВИЖЕНИЕ ГРУНТОВЫХ ВОД.
ЗАКОН ФИЛЬТРАЦИИ
Движение жидкости в грунтах и пористых средах называется
фильтрацией. Обычно рассматривают движение гравитационной,
свободной, воды, которая находится под действием сил тяжести.
Грунтовые воды, находясь в движении, образуют фильтрационный поток.
Движение грунтовых вод может быть напорным и безнапорным. При безнапорном движении фильтрационный поток ограничивается сверху свободной поверхностью, во всех точках которой
давление является постоянным и обычно равно атмосферному. Эта
свободная поверхность называется депрессионной поверхностью,
а линия пересечения ее с вертикальной плоскостью – кривой депрессии.
Объем воды, проходящей через живое сечение пористой среды
в единицу времени, называют фильтрационным расходом.
Под скоростью фильтрации понимают частное от деления расхода на площадь сечения всей пористой среды, через которую происходит фильтрация. Скорость фильтрации является фиктивной скоростью течения, отличной от действительной скорости, с которой
перемещается вода в порах грунта.
Основной закон ламинарной фильтрации (закон Дарси) может
быть записан так:
v = kI или Q = wkI,
(9.1)
где v – скорость фильтрации; Q – фильтрационный расход; I – гидравлический уклон; w – полная площадь поперечного сечения
потока, включая и площадь, занятую твердыми частицами грунта;
k – коэффициент фильтрации.
107
Опыты показывают, что движение грунтовых вод подчиняется закону Дарси не во всех случаях, а лишь при малых числах Рейнольдса
фильтрационного потока, т. е. при
Re =
vd
≤ 5,
νp1 / 3
(9.2)
где d – диаметр зерен грунта; n – коэффициент кинематической вязкости; p – коэффициент порозности грунта, p = w′/w (отношение
объема пор в грунте w′ ко всему объему грунта w).
Павловский установил величину критической скорости фильтрации vкр, до которой применим закон Дарси:
vкр = (0,75 p + 0,23)
νN
,
6,5d
(9.3)
где N – постоянное число, равное 50...60.
При скорости фильтрации v > vкр движение грунтовых вод подчиняется уравнению v = kI m, где m – показатель степени, приближающийся к 0,5, как при турбулентном режиме движения наземных
вод. В этом случае для определения скорости турбулентной фильтрации Павловский предложил формулу, аналогичную формуле
Шези,
v = Ap i ,
(9.4)
где A – эмпирический коэффициент, определяемый для крупнозернистых грунтов (d > 5 см) по формуле Избаша
14 

A =  20 −  d .
d

(9.5)
Коэффициент фильтрации k, характеризующий водопроницаемость грунта, зависит от многих факторов: величины и формы частиц грунта, степени их однородности, температуры воды и др. –
и определяется одним из следующих способов:
• с помощью специальных формул, в которые входят физические
постоянные грунта;
108
• лабораторными исследованиями образцов грунта в специальных приборах;
• изучением в ответственных случаях (для крупных объектов)
грунта в действительных полевых условиях с помощью пробных откачек воды из колодцев или нагнетателей.
В грунтовом потоке с плавноизменяющимся движением
(рис. 9.1) давление в живом сечении распределяется по закону гидростатики z + P/(rg) = H = const, поэтому для всех линий тока
потеря напора будет одна и та же – dH, а расстояние между сечениями остается постоянным – dS и, следовательно, гидравлический
уклон для всех линий тока в живом сечении будет тоже постоянdH
ным: I = −
. Кроме того, линии тока параллельны линии дна
dS
и свободной поверхности, поэтому гидравлический уклон равен
dH
уклону дна, т. е. I = −
= i. dS
Рис. 9.1
Колодец на водонепроницаемом грунте называется простым совершенным колодцем (рис. 9.2). Приток грунтовых вод к нему происходит по периферийной части колодца. До откачки грунтовые воды
будут иметь естественный уровень A – A, высота которого H называется мощностью водоносного пласта. Если из такого колодца откачивать воду, то уровень воды в колодце понизится и образуется так
называемая депрессионная воронка, форма которой при однородном
грунте будет симметричной.
109
Рис. 9.2
Уравнение кривой депрессии имеет вид
H 2 − h02 =
Q R
ln .
πk r0
(9.6)
Дебит совершенного колодца определяется по формуле
Q = 1,36k
H 2 − h02
,
R
lg
r0
(9.7)
где H – мощность водоносного пласта; h0 – глубина воды в колодце; k – коэффициент фильтрации; r0 – радиус колодца; R – радиус
влияния колодца, определяемый при предварительных подсчетах
по формуле
R = 3000 S k ,
(9.8)
где S = H – h0 – снижение уровня воды в колодце (глубина от­качки).
При наличии водоносных пластов, обладающих достаточно большой водопроницаемостью, воду с поверхности
земли можно отвести в эти пласты с помощью поглощающих (абсорбирующих) колодцев (рис. 9.3). В таком колодце
110
Рис. 9.3
(в отличие от совершенного колодца) движение грунтовых вод направлено не к его оси, а в противоположную сторону (вода просачивается из колодца в водоносный слой).
Поглощающая способность колодца определяется по формуле
Q = 1,36k
h02 − H 2
.
R
lg
r0
(9.9)
Если водоносный пласт прикрыт сверху водонепроницаемым
слоем, причем грунтовые воды, насыщающие этот пласт, находятся
под давлением больше атмосферного (случай напорного движения
грунтовых вод), то такой водоносный пласт называется артезианским, а колодец, питающийся из этого пласта, носит название артезианского колодца (рис. 9.4). Горизонтальная линия A – A, до которой
поднимется вода в колодце, будет является линией естественного
напора грунтовых вод. Депрессионная воронка, которая образуется
вокруг колодца при откачке воды, будет являться кривой подпора,
уравнение которой имеет вид
111
h − h0 = 0,37
Q r
lg .
kt r0
(9.10)
Рис. 9.4
По этому уравнению можно построить кривую напоров, а также
определить дебит колодца Q при h = H и r = R:
Q = 2,73kt
H − h0
,
R
lg
r0
(9.11)
где k – коэффициент фильтрации; H – естественный напор грунтовых вод; h0 – напор воды в колодце; t – толщина водоносного
пласта.
При устройстве водосборной галереи (дрены) на водоупоре
(рис. 9.5) по истечении некоторого времени вокруг нее образуется
кривая депрессии, описываемая уравнением
h=
2qx 2
+h0 ,
k
(9.12)
из которого, задаваясь различными расстояниями x, находят соответствующие глубины h.
112
Для определения одностороннего притока воды к галерее
q = Q/b, входящего в уравнение (9.12), полагая h = H и x = L, находим
H 2 − h02
,
2L
q=k
(9.13)
где L – длина влияния галереи, т. е. та длина, на которой сказывается
осушительное действие галереи (дрены).
Рис. 9.5
Для определения полного расхода Q = 2qb используют зависимость
Q = kb
H 2 − h02
,
L
(9.14)
где b – протяженность галереи.
Для определения длины влияния галереи иногда применяют зависимость
H − h0
L=
,
(9.15)
I ср
где Iср – средний уклон кривой депрессии, принимаемый в зависимости от рода грунта по таблице представленной далее.
113
Галька, крупный песок
Песок (в зависимости от крупности)
Песчано-глинистые грунты
(в зависимости от плотности)
Глинистые грунты
Плотные глины
0,003–0,005
0,005–0,015
0,05–0,1
0,1
0,15
Также при одностороннем притоке воды к водосборной (дренажной) галерее расход можно определить по формуле
(
)
(
)
kl H 2 − h02
(9.16)
,
b

2 R − 
2

где l – длина галереи; b – ширина галереи; R – радиус влияния.
При малой (по сравнению с радиусом влияния) ширине галереи
расход q на единицу длины можно определить по формуле
Q=
q=
k H 2 − h02
.
2R
(9.17)
При отсутствии данных о величине R расход может быть получен
по формуле
q = kI ср
H + h0
.
2
(9.18)
Пример 27
Определить радиус влияния R совершенного грунтового колодца
при H = 10 м; h0 = 8 м; r0 = 0,5 м; k = 0,0003 м/с; Q = 500 м3/сут (рис. 9.6).
Решение
Дебит совершенного колодца определяется по формуле (9.7)
H 2 − h02
, откуда найдем радиус влияния.
Q = 1,36k
R
lg
r0
114
Рис. 9.6
(
)
R 1,36k H 2 − h02 R
lg =
,
= 10
r0
Q
r0
(
1,36 k H 2 − h0
R = r0 ⋅10
Q
)
(
1,36 k H 2 − h02
Q
)
(
= 0,5 ⋅10
, откуда
1,36 ⋅ 0, 0003 10 2 − 82
500 / 86 400
)
= 0,5 ⋅ 347 = 173 м.
Пример 28
Для сброса воды в грунт запроектирован поглощающий колодец.
Определить возможный сбрасываемый расход, если бытовая глубина воды в водоносном слое H = 2 м; h0 = 6 м; d = 30 см; R = 700 м;
k = 0,003 м/с (рис. 9.7).
Решение
Сбрасываемый в поглощающий колодец расход можно определить по формуле (9.9) Q = 1,36k
h02 − H 2
.
R
lg
r0
115
Рис. 9.7
r0 = d/2 = 30/2 = 15 см = 0,15 м.
Q = 1,36k
h02 − H 2
62 − 22
= 1,36 ⋅ 0,003
= 0,036 м3/с = 36 л/с.
R
700
lg
lg
r0
0,15
Пример 29
Вычислить дебит артезианской скважины при условии, что мощность водоносного пласта t = 15 м; S = 6 м; d = 0,3 м; R = 150 м;
k = 1 см/с (рис. 9.8).
Решение
Дебит артезианского колодца определяется по формуле (9.11):
H − h0
, r0 = d/2 = 0,3/2 = 0,15 м. k = 1 см/с = 0,01 м/с.
R
lg
r0
S
6
Q = 2,73 kt
= 2,73 ⋅ 0,01 ⋅ 15
= 0,82 м3/с = 820 л/с.
R
150
lg
lg
r0
0,15
Q = 2,73kt
116
Рис. 9.8
Пример 30
Определить приток воды к водозаборной галерее, расположенной на водоупоре, если отметка статического горизонта воды
11,0 м; отметка водоупора 6,0 м; глубина воды в галерее h0 = 1 м;
ширина b = 2 м; длина галереи l = 50 м; коэффициент фильтрации
k = 0,009 см/с; радиус влияния R = 240 м (рис. 9.9).
Рис. 9.9
117
Решение
При известном радиусе влияния галереи полный приток воды
(
)
kl H 2 − h02
, здесь
b

2 R − 
2

H = 11,0 – 6,0 = 5,0 м; k = 0,009 см/с = 0,00009 м/с.
к ней можно определить по формуле (9.16) Q =
Тогда Q =
(
)
(
)
kl H 2 − h02
0,00009 ⋅ 50 5 2 − 12
= 0,00022 м3/с = 0,22 л/с.
=
2
b


2 R − 
2  240 − 
2
2


ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Плотность ρ и относительная плотность δ
некоторых жидкостей при 20 °С
Наименование жидкости
Ацетон
Бензин авиационный
Бензин автомобильный
Вода морская
Вода пресная
Воздух при барометрическом
давлении 100 кПа
Глицерин безводный
Керосин
Масло компрессорное
Нефть
Ртуть
Спирт этиловый безводный
Эфир этиловый
119
r, кг/м3
792
739–751
712–761
1002–1029
998
d
0,792
0,739–0,751
0,712–0,761
1,002–1,029
0,998
1,183
0,0012
1250
792–840
899–924
850–950
13547
789
715–719
1,25
0,792–0,84
0,899–0,924
0,85–0,95
13,547
0,789
0,715–0,719
Приложение 2
Значения кинематической вязкости ν
для некоторых жидкостей
Наименование жидкости
Вода
То же
«
«
Нефть (плотность 880 кг/м3)
Ртуть
Спирт этиловый безводный
Бензол
Глицерин безводный
Температура t, °C
5
10
15
20
15
20
20
20
20
120
Кинематическая
вязкость, n⋅10–6, м2/с
1,52
1,31
1,15
1,10
28–34
11,4
154
74
41 000
Приложение 3
Момент инерции IC, площадь S, координаты центра тяжести hC
и центра давления hD плоских фигур
Форма фигуры
IC
hC
D
h/2
D
hdD
S
bh
bh/2
D
pR4/4
D
D
D
121
R
pR2
a
pab
R
p(r2 – R2)
Приложение 4
Значения эквивалентной шероховатости Δэкв, мм, для труб
Трубы, их материал и состояние
Стальные цельнотянутые новые
То же, бывшие в эксплуатации
Новые цельнотянутые из стекла, латуни, меди
То же из алюминия
Стальные сварные новые
То же, бывшие в эксплуатации
Чугунные новые
То же, бывшие в эксплуатации
Бетонные, с хорошей (гладкой) поверхностью
То же при среднем качестве работ; железобетонные
То же при грубой (шероховатой) поверхности
Асбестоцементные новые
То же, бывшие в эксплуатации
Стеклянные
122
Dэкв, мм
0,02–0,05
0,15–0,3
0,0015–0,01
0,015–0,05
0,04–0,1
0,1–0,15
0,25–1,0
1,0–1,5
0,3–0,8
2,5
3,0–9,0
0,05–0,1
0,6
0,0015–0,01
Приложение 5
Таблица П5.1
Коэффициенты местных потерь при изменении сечения потока
Наименование местного сопротивления
Вход в трубу прямой, при острых входных кромках
То же при закругленных кромках
То же при скошенных кромках
Выход из трубы в резервуар больших размеров
Внезапное расширение
Внезапное сужение
ζм
0,5
0,2
0,15
1,0
(w2 / w1 – 1)2
0,5(1 – w2 / w1)
Таблица П5.2
Коэффициенты сопротивления при резком повороте на угол α°
0
1
90
1,19
a°
ζ
a°
ζ
30
0,155
110
1,87
45
0,318
130
2,6
60
0,555
150
3,2
75
0,806
180
3,6
Таблица П5.3
Значение коэффициента a при плавном повороте на угол α°
a°
a
a°
a
30
0,55
90
1,0
40
0,65
100
1,05
50
0,75
120
1,13
60
0,83
140
1,2
70
0,88
160
1,27
80
0,95
180
1,33
Таблица П5.4
Коэффициенты сопротивления задвижки ζз в зависимости
от степени открытия h/d
Открытие h/d
wотк / w
Значение ζз
1
1,0
0
7/8
0,948
0,07
6/8
0,856
0,26
5/8
0,740
0,81
123
4/8
0,609
2,06
3/8
0,466
5,52
2/8
0,315
17,0
1/8
0,159
97,8
Таблица П5.5
Коэффициенты сопротивления ζ всасывающих клапанов с сеткой
и обратных клапанов в зависимости от диаметра трубы
Тип запорного
устройства
Всасывающие
клапаны с сеткой
Обратные клапаны
Тип запорного
устройства
Всасывающие
клапаны с сеткой
Обратные клапаны
40
50
12
10
–
18
Диаметр трубы D, мм
75
100
150
8,5
7,0
200
6,0
5,2
5,5
250
11
8
6,5
Диаметр трубы D, мм
300
350
400
500
750
4,4
3,7
3,4
3,1
2,5
1,6
45
35
3
25
18
–
Таблица П5.6
Коэффициенты сопротивления для разделения потоков
в зависимости от отношения расхода в ответвлении
к суммарному расходу
Qотв / Q
ζотв
ζтр
0,0
0,95
0,04
0,2
0,88
– 0,08
0,4
0,89
– 0,05
0,6
0,95
0,07
0,8
1,10
0,21
1,0
1,28
0,35
Таблица П5.7
Коэффициенты сопротивления для соединения потоков
в зависимости от отношения Qотв / Q
Qотв / Q
ζотв
ζтр
0,0
– 1,20
0,04
0,2
– 0,40
0,17
0,4
0,08
0,30
124
0,6
0,47
0,41
0,8
0,72
0,51
1,0
0,01
0,60
Приложение 6
Коэффициенты расхода μ, скорости φ, сжатия ε
при истечении жидкости из отверстий и насадков
Тип отверстия или насадка
e
j
m
Малое отверстие при совершенном сжатии
0,64
0,97
0,62
–
0,6
–
0,70
–
0,65–0,70
–
0,80–0,85
0,82
0,82
0,78
0,75
0,72
0,78
0,75
0,72
0,98
0,71
0,98
0,71
0,45–0,50
0,45–0,50
–
0,96
–
0,89
0,94
0,90
0,98
0,98
Отверстие средних размеров при всестороннем сжатии и отсутствии направляю–
щих стенок
Большие отверстия с несовершенным,
–
но всесторонним сжатием
Донные отверстия без сжатия по дну,
–
со значительным боковым сжатием
То же, с весьма плавными боковыми под–
ходами
Внешний цилиндрический насадок
1,0
при l = (3…4)d и полном заполнении
То же, при расположении насадка под углом к стенке:
a = p/9
1,0
1,0
a = p/4,5
1,0
a = p/3
Внутренний цилиндрический насадок:
при l = 0,5d
0,52
при l = (3…4)d
1,0
Конически расходящийся насадок при угле
1,0
конусности q = (p/36…p/24)
Конически сходящийся насадок при угле
конусности:
–
q = p/60
0,98
q = p/13
–
q = p/3
Коноидальный насадок (при максимальной
1,0
пропускной способности)
125
Приложение 7
Расходные характеристики для труб различных диаметров
Диаметр условного
прохода, мм
новых стальных
при v = 1 м/с
неновых стальных
при v ≥ 1,2 м/с
железобетонных,
неновых чугунных
при v ≥ 1,2 м/с
асбестоцементных
при v = 1 м/с
пластмассовых
при v = 1 м/с
Значения расходной характеристики K, м3/с, для труб
50
60
75
80
100
125
150
175
200
250
300
350
400
450
500
600
700
800
900
1000
1200
1400
1500
1600
0,0206
0,0259
0,0404
0,0570
0,0912
0,136
0,212
0,257
0,440
0,779
1,23
1,84
2,60
3,53
4,61
7,33
10,5
14,8
20,0
26,2
42,0
62,6
74,8
88,6
0,01645
0,0209
0,0328
0,0469
0,0760
0,1144
0,1805
0,219
0,380
0,646
1,085
1,635
2,32
3,16
4,16
6,65
9,53
13,5
18,4
24,2
39,2
58,5
70,3
83,8
0,0093
–
–
0,0324
0,0565
0,1015
0,164
–
0,351
0,625
1,05
1,51
2,14
2,90
3,84
6,20
9,32
13,3
18,1
23,9
38,8
57,5
–
81,4
0,0121
–
–
0,0346
0,0730
0,1145
0,178
–
0,380
0,669
1,045
1,52
2,15
–
3,74
6,87
10,25
14,5
19,6
25,8
–
–
–
–
0,01285
0,0203
–
0,0328
0,0555
0,104
0,148
–
0,443
0,873
1,19
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
126
Приложение 8
Значения поправочного коэффициента a
Средняя
скорость
потока v,
м/с
новых
стальных
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,40
3,80
4,20
4,60
5,00
0,869
0,927
0,948
0,962
0,973
0,981
0,990
0,994
1,000
1,007
1,014
1,018
1,022
1,025
1,028
1,031
1,033
1,035
1,036
–
–
–
–
–
Значения a для труб
неновых
стальных,
асбестоцечугунных
ментных
и железобетонных
0,842
0,874
0,884
0,906
0,913
0,929
0,932
0,947
0,947
0,961
0,960
0,973
0,971
0,983
0,980
0,992
0,985
1,000
1,000
1,013
1,000
1,024
1,000
1,034
1,000
1,041
1,000
1,048
1,000
1,054
1,000
1,059
1,000
1,064
1,000
1,068
1,000
1,072
1,000
1,079
1,000
1,085
1,000
1,089
1,000
1,094
1,000
1,097
127
пластмассовых
0,834
0,873
0,902
0,934
0,944
0,960
0,975
0,988
1,000
1,021
1,039
1,055
1,068
1,081
1,093
1,104
1,114
1,124
1,132
–
–
–
–
–
Приложение 9
Удельные сопротивления S0 для труб, изготовленных
из различного материала
Таблица П9.1
Удельные сопротивления S0 для железобетонных
и неновых чугунных водопроводных труб, с2/м6
D
трубы,
мм
50
75
100
125
150
200
250
300
350
400
450
500
600
700
750
800
900
1000
Средняя в сечении скорость v, м/с
0,3
19400
2190
471
142
53,5
11,6
3,52
1,31
0,58
0,285
0,152
0,088
0,033
0,015
0,010
0,007
0,004
0,002
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
18200 17500 16900 16500 16100
2050
1970
1900
1850
1810
442
423
408
399
390
133
128
123
120
118
5,02
4,81
4,64
4,54
4,43
10,8
10,4
10,0
9,8
9,57
3,30
3,16
3,05
2,98
2,92
1,23
1,18
1,14
1,11
1,09
0,544 0,521 0,503 0,492
0,48
0,268 0,256 0,248 0,242 0,236
0,143 0,137 0,132 0,129 0,126
0,082 0,079 0,076 0,074 0,072
0,031 0,030 0,029 0,028 0,0276
0,014 0,013 0,0128 0,0125 0,0122
0,0096 0,0092 0,0088 0,0086 0,0084
0,0068 0,0065 0,0063 0,0061 0,006
0,0036 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032
0,0021 0,002 0,0019 0,0019 0,0018
128
0,9
1,0
> 1,2
15800
1780
383
115
4,35
9,39
2,86
1,07
0,471
0,232
0,124
0,071
0,027
0,012
0,0083
0,0059
0,0032
0,0018
15600
1760
379
114
4,31
9,3
2,83
1,06
0,467
0,230
0,123
0,070
0,0268
0,0118
0,0082
0,0058
0,0031
0,0018
15200
1710
368
111
4,18
9,03
2,75
1,025
0,453
0,223
0,119
0,068
0,026
0,011
0,008
0,0057
0,003
0,0017
Таблица П9.2
Удельные сопротивления S0 для пластмассовых труб, с /м6
2
D
трубы,
мм
70
80
100
115
125
150
170
190
200
225
250
300
350
400
450
Средняя в сечении скорость v, м/с
0,35
0,5
0,75
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
1377
502
178
91,3
50,5
25,1
13,6
7,83
4,23
2,49
1,34
0,727
0,389
0,209
0,113
1271
463
164
84,3
46,6
23,2
12,5
7,23
3,91
2,29
1,24
0,671
0,359
0,193
0,104
1159
423
150
76,9
42,5
21,2
11,4
6.59
3,56
2,09
1,13
0,612
0,326
0,176
0,0940
1086
396
140
72
39,8
19,8
10,7
6,18
3,34
1,92
1,06
0,573
0,307
0,165
0,089
991
361
128
65,7
36,3
18,1
9,77
5,63
3,04
1,79
0,97
0,523
0,28
0,15
0,0811
929
339
120
61,6
34,1
17,0
9,16
5,28
2,85
1,68
0,91
0,49
0,262
0,141
0,0761
883
322
114
58,6
32,4
16,1
8,71
5,02
2,71
1,59
0,86
0,466
0,25
0,134
0,0723
847
309
110
56,2
31,1
15,5
8,36
4,82
2,6
1,53
0,83
0,447
0,239
0,129
0,0694
Таблица П9.3
Удельные сопротивления S0 для асбестоцементных труб, с2/м6
D
трубы,
мм
50
75
100
119
128
147
195
235
291
322
386
456
482
546
576
672
768
Средняя в сечении скорость v, м/с
0,25
0,50
0,75
1,0
1,5
2,0
2,5
8610
1050
236
95,7
80,6
31,9
7,37
2,80
0,92
0,54
0,21
0,089
0,067
0,035
0,026
0,0119
0,0060
7640
931
210
84,9
71,5
28,3
6,53
2,49
0,81
0,48
0,19
0,079
0,059
0,031
0,023
0,0106
0,0054
7160
873
196
79,5
67,0
26,5
6,12
2,33
0,76
0,45
0,18
0,074
0,055
0,029
0,022
0,0099
0,0050
6850
835
288
76,1
64,1
25,4
5,86
2,23
0,73
0,43
0,17
0,071
0,053
0,028
0,021
0,0095
0,0048
6470
788
177
71,8
60,5
24,0
5,53
2,11
0,69
0,41
0,16
0,067
0,050
0,026
0,020
0,0090
0,0045
6230
760
171
69,3
58,3
23,1
5,33
2,03
0,66
0,39
0,15
0,065
0,048
0,025
0,019
0,0065
0,0044
6080
741
167
67,5
56,9
22,5
5,20
1,98
0,65
0,38
0,15
0,063
0,047
0,025
0,019
0,0084
0,0043
129
Таблица П9.4
Удельные сопротивления S0 для неновых стальных труб, с2/м6
D
труб
мм
50
70
80
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
400
450
500
600
700
800
900
1000
Средняя в сечении скорость v, м/с
0,3
14200
3700
1500
342
136
57,9
24,3
11,87
6,17
3,30
1,96
1,202
0,78
0,522
0,264
0,140
0,0796
0,0305
0,0147
0,0072
0,0039
0,0032
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
13300 12700 12300 12000 11700
3470
3330
3200
3140
3070
1400
1340
1300
1270
1240
320
307
296
290
283
127
122
115
108
113
53,9
51,7
49,9
48,8
47,7
22,8
21,8
21,0
20,6
20,1
11,12 10,66 10,29 10,06
9,83
5,78
5,54
5,35
5,23
5,11
3,10
2,97
2,86
2,80
2,73
1,84
1,76
1,70
1,66
1,62
1,127 1,127 1,042 1,019 0,995
0,731
0,70
0,676 0,661 0,646
0,490 0,469 0,453 0,443 0,432
0,247 0,240 0,339 0,224 0,218
0,131 0,125 0,121 0,118 0,116
0,075 0,072 0,069 0,068 0,066
0,029 0,027 0,026 0,026 0,025
0,0138 0,0132 0,0128 0,0125 0,0122
0,0068 0,0065 0,0063 0,0061 0,006
0,0036 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032
0,0021 0,002 0,0019 0,0019 0,0018
130
0,9
1,0
11500
3000
1220
278
110
46,8
19,7
9,66
5,01
2,68
1,59
0,997
0,633
0,424
0,214
0,113
0,065
0,025
0,012
0,0059
0,0032
0,0018
11400
2980
1200
275
109
46,3
19,5
9,55
4,96
2,66
1,58
0,967
0,627
0,420
0,212
0,112
0,064
0,024
0,0118
0,0058
0,0031
0,0018
1,1
≥ 1,2
11200 11100
2940
2800
1190
1170
270
267
108
106
45,6
45,0
19,2
19,0
9,41
9,27
4,89
4,82
2,62
2,58
1,55
1,53
0,953 0,939
0,618 0,609
0,414 0,408
0,209 0,206
0,111 0,109
0,063 0,062
0,024 0,024
0,0117 0,0115
0,0057 0,0057
0,0031 0,003
0,0018 0,0017
Приложение 10
Коэффициенты шероховатости n стенок и дна русел
Таблица П10.1
Коэффициент шероховатости n
для неукрепленных искусственных русел
Поверхность русла
Каналы в плотном лессе, плотном мелком
гравии:
при полной планировке дна и откосов
при частичной подчистке дна и откосов
при производстве работ машинами без последующей планировки
Каналы и русла в скальных породах:
чисто высеченные
в средних условиях работ, без сглаживания
грубо высеченные в скале
Каналы в галечнике
Большие земляные каналы:
в лессе, плотной земле, без наносов
в песчаных и супесчаных грунтах
Большие земляные каналы при различных
условиях содержания и ремонта:
при полной планировке дна и откосов
при частичной планировке
при производстве работ машинами без последующей планировки
Большие земляные каналы в плохих условиях:
с местными обвалами откосов
с местными обвалами откосов, местами
с водорослями, булыжником или гравием по
дну
с неправильным профилем
со значительными промоинами и обвалами
Малые земляные каналы при различных условиях содержания и ремонта:
при полной планировке дна и откосов
при частичной планировке
при производстве работ машинами без последующей планировки
131
лучших
Для условий
средних худших
0,017
0,018
0,02
0,02
0,225
0,025
0,0225
0,025
0,0275
0,02
0,0225
0,025
0,025
0,0225
0,03
0,035
0,03
0,035
0,04
0,035
0,035
–
–
0,018
0,02
–
–
0,0225
0,025
0,025
0,025
0,0275
0,03
0,0275
0,03
0,035
–
0,03
0,025
–
–
–
–
–
0,035
–
–
0,04
0,025
0,0275
0,03
0,0275
0,03
0,035
0,03
0,035
0,04
Таблица П10.2
Коэффициент шероховатости n русел с искусственным креплением
Поверхность русла
Цементная:
из чистого цемента
штукатуренная цементным раствором
Бетонированная:
наиболее гладкая, без песка и гравия на дне
без специальной отделки, без песка и гравия
то же при наличии песка и гравия на дне
бетонная неотделанная
без сглаживания проволочными щетками
без сглаживания поверхности
при тщательном производстве работ
торкретная, волнистая
Металлическая:
гладкая неокрашенная
гладкая окрашенная
ржавая, шероховатая; стальная рифленая
Деревянная:
желоб из клепок
из продольно расположенных строганых
досок или брусьев
то же из не строганых досок или брусьев
из поперечно расположенных строганых
досок или брусьев
то же из нестроганых досок или брусьев
Кирпичная и каменная:
кладка из кирпича, покрытого глазурью
кирпичная кладка, покрытая цементным
раствором
облицовка из тесаного камня
бутовая кладка на цементном растворе
сухая кладка
мощение из булыжного камня
то же из рваного камня
Прочие поверхности:
брезент по деревянным рейкам
грунты, пропитанные битумом или дегтем
фашинные тюфяки и тяжелые фашины
каменная наброска в плетнях
канавы с земляным дном
132
Состояние поверхности
хорошее среднее плохое
0,011
0,011
0,012
0,013
0,013
0,015
0,011
0,013
0,015
0,014
0,015
–
–
0,018
0,012
0,014
0,017
0,017
–
0,018
–
0,0225
0,013
0,015
0,018
0,018
–
–
0,02
0,025
0,011
0,012
0,02
0,012
0,013
0,025
0,014
0,017
0,03
0,011
0,012
0,014
0,011
0,012
0,014
0,015
0,018
0,018
0,012
0,013
0,015
0,017
0,02
0,02
0,011
0,013
0,015
0,012
0,013
0,018
0,025
0,02
0,0225
0,015
0,015
0,025
0,03
0,0225
0,0275
0,017
0,017
0,03
0,035
0,0275
0,03
0,014
0,017
0,0225
0,0225
0,0275
0,015
0,018
0,025
0,025
0,03
0,016
0,019
0,0275
0,0275
0,035
133
R, м
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,011
21,3
23,9
26,3
28,6
30,8
33,0
35,0
37,0
38,9
40,8
42,6
43,5
46,1
47,8
49,4
51,1
55,0
58,8
62,4
65,9
69,3
0,012
19,0
21,4
23,6
25,7
27,8
29,7
31,6
33,4
35,2
36,9
38,6
39,4
41,8
43,4
44,9
46,4
50,0
53,5
58,9
60,2
63,3
0,013
17,2
19,3
21,4
23,3
25,2
27,0
28,7
30,4
32,1
33,7
35,2
36,0
38,2
39,6
41,1
42,5
45,9
49,1
52,2
55,3
58,2
0,014
15,6
17,6
19,5
21,3
23,0
24,7
26,3
27,5
29,4
30,9
32,3
33,1
35,1
36,5
37,8
39,1
42,3
45,3
48,3
51,1
53,9
0,015
14,2
16,1
17,9
19,5
21,2
22,7
24,2
25,7
27,1
28,5
29,9
30,5
32,5
33,8
35,0
36,2
39,2
42,1
44,8
47,5
50,1
0,017
12,0
13,7
15,2
16,7
18,1
19,5
20,8
22,1
23,4
24,6
25,8
26,4
28,1
29,3
30,4
31,5
34,1
36,7
39,2
41,6
43,9
0,018
11,2
12,7
14,1
15,5
16,9
18,2
19,4
20,7
21,9
23,0
24,2
24,7
26,4
27,5
28,5
29,5
32,1
34,5
36,9
39,1
41,4
0,02
9,67
11,0
12,3
13,6
14,8
16,0
17,1
18,2
19,3
20,3
21,4
21,9
23,4
24,3
25,3
26,2
28,5
30,7
32,9
35,0
37,0
8,22
9,41
10,6
11,7
12,7
13,8
14,8
15,8
16,7
17,7
18,6
19,0
20,4
21,2
22,1
22,9
25,0
27,0
28,9
30,8
32,7
0,0225
Коэффициент шероховатости n
0,025
7,09
8,15
9,17
10,2
11,1
12,0
12,9
13,8
14,7
15,6
16,4
16,8
18,0
18,8
19,6
20,3
22,2
24,0
25,8
27,5
29,2
6,19
7,14
8,06
8,95
9,81
10,7
11,5
12,3
13,1
13,8
14,6
15,0
16,1
16,8
17,5
18,2
20,0
21,6
23,2
24,8
26,4
0,0275
Скоростные характеристики W, м/с, при различных значениях
коэффициента шероховатости и гидравлического радиуса
0,03
5,46
6,32
7,16
7,97
8,75
9,52
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,5
14,5
15,2
15,8
16,5
18,1
19,6
21,1
22,6
24,0
Приложение 11
0,035
4,35
5,07
5,77
6,45
7,12
7,78
8,42
9,05
9,67
10,3
10,9
11,2
12,1
12,6
13,2
13,8
15,2
16,5
17,8
19,1
20,4
3,56
4,18
4,78
5,36
5,94
6,50
7,06
7,61
8,15
0,69
9,22
9,48
10,3
10,8
11,3
11,8
13,0
14,2
15,4
16,5
17,6
0,04
134
R, м
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
0,011
72,6
75,8
79,0
82,1
85,1
88,0
90,9
96,5
102
107
112
117
122
127
131
136
140
149
157
165
173
181
0,012
66,4
69,4
72,3
75,1
77,9
80,6
83,3
88,5
93,6
98,5
103
108
112
117
121
125
129
137
145
152
160
167
0,013
61,1
63,9
66,6
69,3
71,9
74,4
76,9
81,8
86,5
91,1
95,5
99,8
104
108
112
116
120
127
135
142
148
155
0,014
56,6
59,2
61,7
64,2
66,7
69,1
71,4
76,0
80,4
84,7
88,9
92,9
96,9
101
105
108
112
119
126
132
138
145
0,015
52,6
55,1
57,5
59,9
62,2
64,4
66,7
71,0
75,2
79,2
83,1
87,0
90,7
94,3
97,9
101
105
111
118
124
130
136
0,017
46,2
48,4
50,6
52,7
54,8
56,8
58,8
62,7
66,5
70,1
73,7
77,1
80,5
83,8
87,0
90,1
93,2
99,1
105
110
116
121
0,018
43,5
45,0
47,7
49,7
51,7
53,7
55,6
59,3
62,9
66,3
69,7
73,0
76,2
79,4
82,4
85,4
88,4
94,0
99,5
105
110
115
39,0
40,9
42,8
44,7
46,5
48,3
50,0
53,4
56,7
59,9
60,3
66,0
69,0
71,8
74,6
77,4
80,1
85,3
90,3
95,2
99,8
104
0,02
Коэффициент шероховатости n
34,5
36,2
37,9
39,6
41,2
42,9
44,4
47,5
50,5
53,4
56,3
59,0
61,7
64,3
66,9
69,3
71,8
76,5
81,1
85,5
89,7
93,8
0,0225
0,025
30,8
32,4
34,8
35,6
37,1
38,5
40,0
42,8
45,6
48,3
50,9
53,4
55,9
58,3
60,6
62,9
65,1
69,5
73,7
77,7
81,6
85,3
0,0275
27,9
29,4
30,8
32,2
33,6
35,0
36,4
30,0
41,5
44,0
46,4
48,8
51,1
53,3
55,5
57,6
59,7
63,7
67,6
71,3
74,9
78,4
Окончание прил. 11
0,03
25,4
26,8
28,2
29,5
30,8
32,1
33,3
35,8
38,2
40,5
42,7
44,9
47,1
49,1
51,2
53,2
55,1
58,9
62,5
66,0
69,3
72,5
0,035
21,6
22,8
24,0
25,2
26,3
27,5
28,6
39,7
32,9
34,9
36,9
38,8
40,7
42,6
44,4
46,2
47,9
51,2
54,4
57,5
60,5
63,3
18,7
19,8
20,9
21,9
23,0
24,0
25,0
27,0
28,9
30,7
32,5
34,3
36,0
37,7
39,3
40,9
42,5
45,5
48,4
51,1
53,8
56,4
0,04
Приложение 12
Максимальный гидравлический радиус, соответствующий руслу
гидравлически наивыгоднейшего профиля
Rmax, м
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
Значения
0,65
0,0022
0,0036
0,0054
0,0078
0,0107
0,0123
0,0162
0,023
0,028
0,034
0,041
0,049
0,057
0,067
0,077
0,088
0,12
0,159
0,205
0,258
0,319
0,388
0,467
0,554
Kpn
y
при z
Rmax, м
г.н
0,7
0,002
0,0033
0,0049
0,0071
0,0097
0,0129
0,0167
0,021
0,026
0,032
0,039
0,046
0,054
0,063
0,074
0,084
0,116
0,154
0,199
0,252
0,313
0,381
0,459
0,547
0,75
0,0018
0,0029
0,0045
0,0065
0,009
0,0104
0,0137
0,02
0,025
0,03
0,037
0,044
0,052
0,06
0,07
0,08
0,111
0,149
0,193
0,246
0,306
0,375
0,453
0,541
135
0,85
0,90
0,95
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
Значения
0,65
0,65
0,76
0,87
1,0
1,29
1,62
2,0
2,43
2,9
3,47
4,07
4,74
5,48
6,28
7,14
8,07
9,09
10,16
11,34
12,59
13,9
15,31
16,8
18,38
Kpn
y
при z
г.н
0,7
0,64
0,75
0,87
1,0
1,29
1,63
2,03
2,48
2,99
3,56
4,19
4,9
5,65
6,5
7,41
8,42
9,48
10,62
11,87
13,18
14,61
16,11
17,72
19,42
0,75
0,64
0,75
0,87
1,0
1,3
1,65
2,05
2,52
3,05
3,64
4,3
5,02
5,83
6,73
7,69
8,71
9,88
11,07
12,43
13,87
15,36
16,98
18,69
20,52
Cписок литературы
1. Альтшуль А. Д. Гидравлика и аэродинамика / А. Д. Альтшуль,
Л. С. Животовский, Л. И. Иванов. – М. : Стройиздат, 1987. – 414 с.
2. Альтшуль А. Д. Примеры расчетов по гидравлике / А. Д. Альтшуль. –
М. : Стройиздат, 1982.
3. Большаков В. А. Сборник задач по гидравлике / В. А. Большаков. –
Киев : Вища школа, 1982. – 289 с.
4. Большаков В. А. Справочник по гидравлике / В. А. Большаков [и др]. –
Киев : Вища школа, 1984. – 343 с.
5. Гиргидов А. Д. Механика жидкости и газа (гидравлика) : учебник /
А. Д. Гиргидов. – СПб. : Изд-во СПбГТУ, 2002. – 545 с.
6. Константинов Ю. М. Гидравлика : учебник / Ю. М. Константинов. –
2-е изд. – Киев : Вища школа, 1988. – 398 с.
7. Косой В. Д. Гидравлика (с примерами решения инженерных задач) /
В. Д. Косой, С. А. Рыжов. – М. : ДеЛи принт, 2008. – 68 с.
8. Лапшев Н. Н. Гидравлика : учебник для студ. высш. учеб. заведений /
Н. Н. Лапшев. – М. : Издательский центр «Академия», 2008. – 269 с.
9. Лапшев Н. Н. Основы гидравлики и теплотехники : учебник для студ.
учреждений высш. проф. образования / Н. Н. Лапшев, Ю. Н. Леонтьева. –
М. : Издательский центр «Академия», 2003. – 399 с.
10. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. –
М. : Дрофа, 2003. – 432 с.
11. Механика жидкости и газа : учеб. пособие для вузов / под ред.
В. С. Швыдкого. – ИКЦ «Академкнига», 2003. – 70 с.
12. Сологаев В. И. Гидравлика (механика жидкости и газа) : учеб. пособие / В. И. Сологаев. – Омск : Изд-во СибАДИ, 2010. – 73 с.
13. Штеренлихт А. Б. Гидравлика : учебник / А. Б. Штеренлихт. – М. :
Колосс, 2005. – 367 с.
Оглавление
Предисловие……………………………………………………………..........3
Методические рекомендации к решению задач контрольной работы…….4
Краткие сведения из теории по темам контрольной работы.
Примеры решения задач……………………………………………………...6
Тема 1. Гидростатическое давление и его измерение…………………6
Рекомендации к решению задач…………………………………………....14
Пример 1………………………………………………………………….….15
Пример 2………………………………………………………………….….16
Тема 2. Сила гидростатического давления на плоские
поверхности…........................................................................19
2.1. Эпюра гидростатического давления. Графоаналитический способ
определения силы давления и точки ее приложения………………………21
Рекомендации к решению задач…………………………………………....24
Пример 3…………………………………………………………………..24
Пример 4…………………………………………………………………….27
Пример 5…………………………………………………………………….29
Тема 3. Сила гидростатического давления на криволинейные
поверхности…………………………………………………………………31
Пример 6…………………………………………………………………….33
Пример 7…………………………………………………………………….35
Пример 8…………………………………………………………………….36
Тема 4. Плавание тел. Закон Архимеда…………………………………...38
Рекомендации к решению задач………………………………………...…41
Пример 9…………………………………………………………………….41
Пример 10………………………………………………………………...…42
Тема 5. Основы кинематики и динамики жидкости. Уравнение
Бернулли. Гидравлические сопротивления……………………...….…44
Рекомендации к решению задач…………………………………………..50
Пример 11…………………………………………………………………..51
Пример 12………………………………………………………………....54
Пример 13………………………………………………………………...56
Тема 6. Истечение жидкости через отверстия и насадки…………….60
6.1. Истечение жидкости через отверстия…………………………………60
6.2. Истечение жидкости через насадки……………………………………64
Рекомендации к решению задач……………………………………...…….66
137
Пример 14………………………………………………………..…….....66
Пример 15………………………………………………………………....68
Пример 16……….……………………………………………………….....70
Пример 17………………………………………………………………....71
Тема 7. Напорное движение в трубопроводах……………………………73
Пример 18………………………………………………………………....83
Пример 19………………………………………………………………....84
Пример 20………………………………………………………………....86
Пример 21………………………………………………………………...88
Пример 22………………………………………………………………...92
Тема 8. Равномерное движение в открытых руслах и каналах…........94
Пример 23………………………………………………………………….101
Пример 24………………………………………………………………….102
Пример 25………………………………………………………………….103
Пример 26………………………………………………………………….105
Тема 9. Движение грунтовых вод. Закон фильтрации………………107
Пример 27………………………………………………………………….114
Пример 28………………………………………………………………….115
Пример 29………………………………………………………………….116
Пример 30………………………………………………………………….117
Приложения……………………………………………………………..…119
Список литературы……………………………………………………...... 136
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
Учебное издание
Новикова Антонина Михайловна,
Иваненко Ирина Ивановна,
Кудрявцев Анатолий Валентинович
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Учебное пособие
Редактор А. В. Афанасьева
Корректор М. А. Молчанова
Компьютерная верстка В. Е. Королевой
Подписано к печати 26.12.14. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 8,1. Тираж 100 экз. Заказ 147. «С» 102.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
11 110 Кб
Теги
mehanika, up2014, novikov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа