close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Razumnova Smirnova Nachert krome Str

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Архитектурный факультет
Кафедра начертательной геометрии
и инженерной графики
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Задания и методические указания
к расчетно-графической работе
для студентов всех специальностей
(кроме направления подготовки «Строительство»,
«Строительство уникальных зданий и сооружений»)
Санкт-Петербург
2011
УДК 514.18 : 378 (075.8)
Рецензент канд. техн. наук, доцент В. В. Егоров (СПбГАСУ)
Начертательная геометрия: задания и методические указания к расчетно-графической работе / сост.: Е. А. Разумнова, В. С. Соколова; СПбГАСУ. –
СПб., 2011 – 52 с.
Представлены варианты заданий, приведены методические указания по выполнению
и графическому оформлению, даны образцы выполнения работ.
Предназначены для студентов всех специальностей (кроме направления подготовки
«Строительство», «Строительство уникальных зданий и сооружений»).
Табл. 1. Ил. 32. Библиогр.: 2 назв.
 Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2011
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Задания и методические указания
к расчетно-графической работе
для студентов всех специальностей
(кроме направления подготовки «Строительство»,
«Строительство уникальных зданий и сооружений»)
Составители:
Разумнова Елена Альбертовна,
Соколова Валентина Сергеевна
Редактор В. А. Преснова
Корректор А. А. Стешко
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 19.10.11. Формат 6084 1/8. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 6,5. Тираж 500 экз. Заказ 117. «С» 62.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
2
Введение
Начертательная геометрия как наука занимается изучением графических
методов отображения пространства. Она играет важную роль в формировании
и подготовке будущих специалистов. Средством общения людей в их производственной деятельности являются чертежи, которые должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении.
Целью изучения начертательной геометрии является формирование у будущих специалистов системы обобщенных и конкретных знаний, позволяющих, пользуясь различными приемами, решать инженерные задачи, совершенствовать методы изображения пространственных тел на плоскости, развивать
инженерные эрудицию и фантазию.
В процессе выполнения работы решаются следующие задачи:
 расширение, углубление и закрепление теоретических знаний студентов в решении позиционных и метрических задач;
 развитие и закрепление навыков самостоятельной творческой работы,
поиска наиболее рационального способа в решении различных инженерных
задач.
1. Тематика расчетно-графической работы
В соответствии с учебным планом предусмотрено выполнение расчетнографической работы, состоящей из построения развертки усеченной поверхности многогранника, решения позиционной и метрических задач. Задание на
данную работу приведено по вариантам в таблице и прил. 1.
Содержание расчетно-графической работы
Задача № 1. Построить в трех проекциях линию пересечения многогранника заданной проецирующей плоскостью £ и определить натуральную
величину полученного сечения.
Задача № 2. В зависимости от варианта определить проекции и натуральную величину расстояния:
1) между вершиной и ребром, не лежащим с этой вершиной в одной грани;
2) двумя параллельными ребрами;
3) двумя скрещивающимися ребрами;
4) вершиной и гранью, не содержащей этой вершины;
5) ребром и гранью, параллельными между собой.
Задача № 3. В зависимости от варианта определить натуральную величину угла:
1) между двумя пересекающимися ребрами;
2) двумя скрещивающимися ребрами;
3
Номер
варианта
Задача № 2
Задача № 3
Номер
варианта
Задача № 2
Задача № 3
1
4
5
19
4
2
2
2
4
20
2
5
3
1
3
21
1
1
4
5
2
22
5
1
5
3
1
23
3
3
6
5
4
24
2
2
7
3
3
25
4
4
8
2
5
26
5
2
9
4
4
27
1
3
10
1
2
28
2
4
11
3
1
29
3
4
12
5
3
30
5
5
13
1
4
31
4
3
14
3
5
32
5
4
15
4
1
33
1
2
16
2
1
34
2
3
17
1
5
35
3
1
18
3
2
36
2
5
3) ребром и гранью, не содержащей данного ребра;
4) двумя смежными гранями;
5) двумя несмежными гранями
Задача № 4. Построить развертку поверхности многогранника, усеченного плоскостью £.
2. Рекомендации по выполнению и оформлению работы
Эпюры работы рекомендуется выполнять на трех листах чертежной бумаги формата А3 (297420 мм). Образец оформления приведен в прил. 2.
Масштаб выбирается таким образом, чтобы построения занимали не менее
примерно 3/4 всего поля чертежа. Толщина линий на чертеже берется в соответствии с ГОСТ 2.303–68. Все видимые основные линии – сплошные, толщиной S = 0,5...1,4 мм. Линии центровые и осевые (штрихпунктирные), линии
невидимых контуров (штриховые) должны быть толщиной от S/2 до S/3. Линии
построений и линии связи на эпюрах должны быть сплошными тонкими
4
(S/2…S/3). Линии сгиба на развертках – штрихпунктирные с двумя точками,
где расстояние между штрихами 4…6 мм, а длина штриха 5…30 мм; толщина
такой линии от S/2 до S/3.
Студенту предоставляется право выбора способа решения той или другой задачи, однако при выполнении всей работы должны быть представлены
различные способы преобразования комплексного чертежа. Рекомендуемые
способы:
 для решения задачи № 1 – метод перемены плоскостей проекций;
 задачи № 2 – как метод перемены плоскостей проекций, так и методы
вращения вокруг проецирующей прямой или вокруг линии уровня;
 задачи № 3 – метод вращения вокруг прямой уровня;
 построения развертки поверхности (задача № 4) – методы триангуляции, раскатки, нормального сечения и др.
Образцы выполнения чертежей приведены в прил. 2.
3. Теоретические основы
К позиционным задачам относятся задачи на пересечение геометрических образов и задачи на принадлежность:
 точки линии;
 точки поверхности;
 линии поверхности.
Метрическими называются задачи, в которых требуется определить значение геометрических величин: расстояний, углов, площадей и т. д.
При решении многих метрических задач применяются теоремы о проецировании прямого угла и перпендикулярности прямой и плоскости. Для их
решения могут быть использованы способы преобразования комплексного
чертежа. При этом в основе алгоритма решения метрической задачи лежит
приведение геометрической фигуры, метрическая характеристика которой определяется в положение, параллельное плоскости проекций, так как фигура на
эту плоскость проецируется без искажения. Под геометрической фигурой здесь
понимается или отрезок прямой, определяющий расстояние между двумя точками, или плоский угол между двумя пересекающимися прямыми, или плоская
фигура.
Метрические задачи можно условно разделить на три типа:
1. Определение расстояний (между двумя точками; точкой и прямой; параллельными прямыми; скрещивающимися прямыми; точкой и плоскостью;
параллельными плоскостями).
2. Определение углов (между пересекающимися прямыми; скрещивающимися прямыми; прямой и плоскостью; плоскостями).
3. Определение натуральной величины и формы плоской фигуры.
5
Далее будут представлены некоторые из способов преобразования комплексного чертежа, которые рекомендуется применять в решении задач данной
работы.
3.1. Преобразование комплексных чертежей методом замены
плоскостей проекций
При замене плоскостей проекций одна из основных плоскостей проекций заменяется новой плоскостью, расположенной перпендикулярно незаменяемой плоскости проекций. При этом новая плоскость проекций выбирается
таким образом, чтобы интересующая нас геометрическая фигура занимала по
отношению к ней частное положение.
Пример 1. Определить натуральную величину отрезка [АВ] прямой l
(рис. 1, 2).
B2
2
B4
B
l2
A2
l
l4
4
B1
A
l1
A4
1
X1, 2
A1
X1, 4
Рис. 1
Решение. Отрезок [АВ] спроецируется без искажения на плоскость проекций 4, параллельную прямой l (см. рис. 1). Меняем плоскость 2 на плоскость 4 (2  4), выбираем 4 параллельно l и перпендикулярно незаменяемой плоскости 1, т. е.
6
4  l
при (2  4) имеем
4  1.
B2
l2
A2
X1, 2
B1
l1
A1
B4
l4
X1, 4
AB
A4
Рис. 2
В новой системе плоскостей проекций (4  1) прямая l является прямой
уровня и проецируется на плоскость 4 без искажения в натуральную величину
[А4В4] = [АВ].
Чтобы получить такую замену плоскостей на комплексном чертеже, необходимо:
 провести новую ось Х1, 4 параллельно горизонтальной проекции отрезка А1В1;
 построить новые линии связи через горизонтальные проекции точек
А1 и В1 перпендикулярно к новой оси Х1, 4;
 на новых линиях связи отложить от новой оси Х1, 4 отрезки, соответственно равные расстояниям, на которые точки А2 и В2 удалены от оси Х1, 2.
7
Так как при замене плоскости 2 на 4 горизонтальная плоскость π1 осталась без изменения, то аппликаты концов отрезка в старой (2  1) и новой
(4  1) системах плоскостей проекций одинаковы (см. рис. 1).
Таким образом, получена новая проекция прямой l4. т. е. натуральная величина отрезка [АВ] = [А4В4].
Пример 2. Перевести отрезок [CD] прямой общего положения в проецирующее положение (рис. 3).
C2
l2
D2
X1, 2
D1
l1
C1
D4
X1, 4
l4
X4, 5
АВ
C4
l5(C5  D5)
Рис. 3
Решение. Одной заменой плоскостей проекций эту задачу решить нельзя,
так как новая плоскость, перпендикулярная прямой общего положения, не будет перпендикулярна ни 1, ни 2; т. е. не получим систему ортогональных
плоскостей проекций. В этом случае необходимо провести две последователь8
ные замены плоскостей проекций: вначале меняем плоскость 2 на 4 так,
чтобы [CD] ║ π4. Тогда отрезок прямой [CD] станет линией уровня в системе
4  π1. Получим проекцию C4D4 (аналогично тому, что было сделано в примере 1 с отрезком [АВ]). Затем переходим от системы π4  π1 к системе π5  π4,
чтобы сделать отрезок [CD]  π5. Выбираем новую плоскость π5 перпендикулярно полученной прямой уровня, т. е. π5  C4D4. Взаимная перпендикулярность плоскости π5 и отрезка [CD] обусловливает перпендикулярность оси
Х4, 5 проекции C4 D4. Удаление концов отрезка [C5D5] от оси Х4, 5 равно расстоянию от концов отрезка [C1D1] до оси Х1, 4. Итак, для решения этой задачи выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: сначала прямая l
преобразована в прямую уровня, а затем второй заменой прямая l преобразована в проецирующую прямую:
lпрямая общего положения  lпрямая уровня lпрямая проецирующая.
Пример 3. Плоскость общего положения £, заданную параллельными
прямыми а и b, перевести в проецирующее положение (рис. 4).
a2
12
b2
h2 22
A2
X1, 2
a1
11
h1
A1
b1
21
h4(14  24)
A4
a4  b4
X1, 4
Рис. 4
Решение. Из геометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой
плоскости. На основании этого определения заменяем плоскость π2 на новую
плоскость π4, перпендикулярную к прямой, принадлежащей плоскости £. В качестве прямой плоскости £ принимаем горизонталь h этой плоскости. На рис. 4
9
проведена ось Х1, 4  h1. Определяем новую проекцию горизонтали h4, которая
проецируется в точку. Через эту точку пройдет след плоскости на поле π4 –
£π4 . Чтобы построить этот след, необходима проекция еще одной какой-либо
точки, принадлежащей плоскости £. На рис. 4 построена точка А4. Через точки
А4 и h4 проходит след проецирующей плоскости £π4.
Пример 4. Определить истинные размеры и форму АВС (рис. 5).
B2
A2
h2
C2
X1, 2
A1
h1
B1
C1
X1, 4
C4
A4  h4
B4
X4, 5
C5
B5
ABC
(и.в.)
A5
Рис. 5
Решение. Форма и истинные размеры ∆АВС получены на плоскости π5,
параллельной плоскости треугольника. Предварительно плоскость треугольника была переведена в проецирующее положение путем замены плоскости π2 на
плоскость π4, перпендикулярную горизонтали h (Х1, 4  h1).
10
Итак, для решения поставленной задачи необходимо провести две
последовательных замены плоскостей проекций: сначала преобразовать
плоскость в проецирующую, а затем вторично преобразовать заданную
плоскость в плоскость уровня:
£ плоскость общего положения  £ плоскость проецирующая  £ плоскость уровня.
3.2. Преобразование комплексного чертежа методом вращения
вокруг проецирующей прямой
При таком методе преобразования комплексного чертежа плоскости проекций не меняют своего положения в пространстве; перемещается (вращается
вокруг оси) геометрическая фигура, принимая частное положение относительно неподвижных плоскостей проекций.
i2
l2
1, 2
A2
A2
O2
X1, 2
l1
i1  O1
R

A1
A1
Рис. 6
Точка при вращении вокруг оси i, перпендикулярной плоскости проекций i  π1, описывает окружность l, принадлежащую плоскости γ, параллельной плоскости проекций π1. Это значит, что окружность вращения l точки (A),
радиус вращения R и угол поворота  проецируются на плоскость проекций,
перпендикулярную оси вращения, без искажения (рис. 6). Метод вращения во11
круг проецирующей прямой удобно использовать для определения натуральной величины отрезка, их углов наклона к плоскостям проекций и для определения натуральной величины плоской фигуры.
Пример 5. Определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона отрезка к плоскости проекций π1 (рис. 7).
i2
B2
н.в. AB 
A2

O2
A2
2
A1
i1  O1
B
A1
Рис. 7
Решение. Если отрезок перевести в положение, параллельное фронтальной плоскости проекций π2, то на плоскости π2 без искажения в натуральную
величину спроецируется и отрезок [АВ], и угол его наклона () к горизонтальной плоскости проекций π1.
Для упрощения графических построений ось вращения проведем через
конец отрезка (точку В). В этом случае при вращении отрезка точка В останется на месте, а точка А будет перемещаться по дуге окружности, принадлежащей плоскости   i.
Пример 6. Определить натуральную величину ∆АВС (рис. 8).
Решение. Треугольник АВС спроецируется в натуральную величину на
плоскость проекций, если будет лежать в плоскости уровня, т. е. параллельной
данной плоскости проекций.
12
i2
B2
B2
12
A2
C2
h2
A2
A2
C 2
h2
C1
i1  C1
h1
A1
ABC (н.в.)
11
B1
h1
B1
11
A2
A1
Рис. 8
Так как плоскость £ ∆АВС занимает общее положение, то вращение вокруг оси осуществляется в два этапа: на первом плоскость £ вращаем до положения, перпендикулярного одной из плоскостей проекций (£  π2); на втором –
плоскость вращаем до положения, параллельного другой плоскости (£║π1).
3.3. Преобразование комплексного чертежа методом вращения вокруг оси,
параллельной плоскости проекций (вращение вокруг линии уровня)
Этот метод рекомендуется применять в решении задач на определение
натуральных величин плоских фигур. Причем в этом случае возможно одним
поворотом расположить плоскость общего положения параллельно плоскости
проекций. Вращение вокруг прямой уровня рассмотрим в двух следующих
примерах.
Решение. Пересекающиеся прямые а и b принадлежат плоскости δ. Переведем плоскость δ в положение, параллельное плоскости проекций π1.
13
Пример 7. Определить истинную величину плоского угла между пересекающимися прямыми а и b (рис. 9).
C2
Z = Z()C – Z()O
C 2 12
2
h2
22
O2
a2
b2
Z
C1
11
R
a1
a1
C1
C0
O1

h1
21
b1
b1
S
1
Рис. 9
Тогда за ось вращения следует принять такую прямую в плоскости δ, которая была бы параллельна π1, т. е. одну из горизонталей h плоскости δ.
Точки 1 и 2 принадлежат оси вращения, а значит неподвижны, поэтому
для перевода плоскости δ в положение δ, параллельное плоскости π1, достаточно повернуть вокруг оси h только одну точку С.
Точка С будет вращаться вокруг оси h по окружности, плоскость которой γ
перпендикулярна оси h, а значит и плоскости проекций π1. Поэтому траектория
движения точки С (окружность) на π1 спроецируется в виде прямой, совмещенной со следом плоскости γ  π1 (т. е. γ1). Чтобы найти новое положение точки С (С1), необходимо определить положение центра вращения О и величину
радиуса вращения R. Центр вращения определяется точкой пересечения γ1 и h1.
Величина радиуса вращения равна гипотенузе прямоугольного треугольника
С1О1С0, у которого катет С1С0 равен разности расстояний концов отрезка ОС от
плоскости π1 (или О2С2 от оси Х).
Из точки О1 проводим дугу радиусом R = О1С0 и отмечаем точку ее пересечения с γ1 , т. е. С1 – новое положение точки С. Соединив точку С с непод14
вижными точками 1 и 2, получаем истинную величину угла  между пересекающимися прямыми а и b.
Пример 8. Определить форму и размеры ∆АВС (рис. 10).
Z = Z()C – Z()O
B2
A2
O2
12
h2
C2
X
S
A1
B1
O1
R
C1
B0
11
Z
h1
B1
1
C1
1
Рис. 10
Решение. Для решения задачи достаточно повернуть плоскость £ (АВС)
до положения, параллельного одной из плоскостей проекций (π1 или π2). В первом случае осью вращения должна быть горизонталь плоскости треугольника,
во втором – фронталь.
Решение этой задачи аналогично предыдущей. Показанные на рис. 10
построения выполнены в следующей последовательности:
 проведена горизонталь h (ось вращения);
 найдено положение центра вращения (О1) вершины В ∆АВС, а именно γ1 ∩ h1 = О1;
 определена величина радиуса вращения R для точки В;
 отмечено новое положение точки В как пересечение дуги S со следом
проецирующей плоскости γ(γ1 ), т. е. В'1 = s ∩ γ1;
15
 проведена прямая В'111 и на ней найдена точка С'1, т. е. новое поло-
жение вершины треугольника С, которая вращается в плоскости ║ γ;
 соединив точки В'1 и С'1 с точкой А1, получим ∆АВС в истинную величину.
4. Развертки поверхностей
Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без складок
и разрывов, называют развертывающимися, а геометрическую фигуру, получающуюся после совмещения, – разверткой поверхности. К развертывающимся поверхностям относятся все гранные поверхности, конические, цилиндрические, поверхности с ребром возврата.
Поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, относятся к неразвертываемым. При необходимости изготовления этих поверхностей из листового материала их приближенно заменяют
развертывающимися и строят условные развертки. К неразвертываемым поверхностям можно отнести сферу, тор, цилиндроид и др.
Чертежи разверток получили широкое применение в производстве изделий из листового материала: в судостроении, в котельном, кровельном, картонажном и других производствах.
4.1. Развертывание пирамидальных и конических поверхностей
(способ триангуляции)
Этот способ применяется для построения разверток пирамидальных
и конических поверхностей.
Построение разверток сводится к многократному построению натуральных величин треугольников, из которых состоит пирамидальная поверхность
или многогранная поверхность, вписанная в данную коническую.
Пример 1. Построить полную развертку поверхности пирамиды SABC
(рис. 11).
Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую
фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды. Поэтому построение
сводится к определению действительной величины ребер пирамиды и построению по трем сторонам треугольников – граней пирамиды. На рис. 11 определение действительной длины ребер пирамиды выполнено с помощью
вращения их вокруг оси i (i  π1, S  i). Путем вращения рёбра пирамиды SA,
SB, SC совмещаются с плоскостью, параллельной фронтальной плоскости проекций, и становятся таким образом прямыми уровня – фронталями, натуральная величина которых определяется на фронтальной плоскости проекций.
Так как стороны нижнего основания ∆АВС являются горизонталями, то
их натуральные величины можно измерить на плоскости π1.
16
S2
i2
A0
S0
R = A1B1
R  S 2 B2
A2
B2
B0
C2
C 2
C1
B2
A2
A1
A0
S1  i2
C1 B1
A1
C0
A0
B1
Рис. 11
Для построения развертки из произвольной точки S0 проводят прямую,
на которой откладывают длину ребра SA = S2A2 (см. рис. 11). Затем из точки S0
радиусом [S2 В2] проводят дугу, а из точки А0 с радиусом [A1В1] проводят вторую дугу. Пересечение дуг укажет положение точки В0 треугольника S0A0B0.
Аналогично строим развертки граней S0С0B0 и S0С0А0, затем к развертке боковой поверхности пристраиваем треугольник основания АВС.
Пример 2. Построить развертку боковой поверхности прямого кругового
конуса (рис. 12).
Поверхность прямого кругового конуса разворачивается в сектор с углом
при вершине £ = d / l · 180°, где d – диаметр окружности основания, l – длина
образующей.
Пример 3. Построить развертку боковой поверхности наклонного конуса
(рис. 13).
Заменим коническую поверхность на вписанную пирамидальную, в результате чего развертка конической поверхности заменяется разверткой пирамидальной поверхности. Построив развертку пирамидальной поверхности, получим приближенную развертку боковой поверхности конуса. Чем больше
17
число граней вписанной пирамидальной поверхности, тем меньше разница
между действительной и приближенной развертками. Так как поверхность
имеет плоскость симметрии, то можно построить развертку только одной ее
половины.
S2
S
l
l

d
Рис. 12
\
S2
i2
н.в.
S
42  72
72 62 52 42 32 22 12
S1 = i1
71
61
12 2 2 32
11 21 32
52 62
51 61
41  71
11
21
51
41 31
Рис. 13
4.2. Развертывание призматических и цилиндрических поверхностей
Пример 4. Построить развертку боковой поверхности усеченного прямого кругового цилиндра (рис. 14).
18
62
72
52
42
32
22
12
D
D
1
71
11
21
61
31
41
51
Рис. 14
Полная развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, одна
сторона которого равна длине образующей, а другая – длине окружности основания. Для построения на развертке точек линии среза делят горизонтальную проекцию основания и развертку основания цилиндра на равное число
частей. Через точки деления проводят образующие цилиндра на развертке
и фронтальной проекции цилиндра. Так как образующие – горизонтально проецирующие прямые, то они спроецируются в натуральную величину на плоскости проекции 2. Отложив их натуральные величины на соответствующих
образующих на развертке, получают развертку боковой поверхности цилиндра.
Так как цилиндр имеет плоскости симметрии 1, то можно построить развертку только одной ее половины.
4.3. Способ нормальных сечений
Для построения развертки цилиндра или призмы поверхность пересекают плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, и определяют длину линии нормального сечения. Затем эта линия разворачивается в прямую линию,
а образующие – в перпендикулярные к ней прямые. Линия нормального сечения принимается за базу отсчета размеров образующих.
19
Пример 5. Построить развертку наклонной призмы (рис. 15).
15
25
t2  2
н.в.
D2
A2
C2
35
F2
12
22
32
F
F
E
X2,5
E2
D
D
B2
X1,2
t
1
C
31
B1
E1
B
11
A
A
A1
D1
C1
21
F1
C
Рис. 15
Ребра AD, BE, CF параллельны плоскости π2, поэтому проецируются на эту
плоскость без искажения. Если ребра призмы занимают произвольное положение,
их сначала делают прямыми уровня, а затем строят нормальное сечение.
Для определения расстояния между ребрами пересечем призму ABCDEF
фронтально-проецирующей плоскостью, перпендикулярной к ребрам. На основании теоремы о проецировании прямого угла фронтальные проекции ребер
и секущая плоскость будут взаимно перпендикулярны. Построим сечение –
треугольник 1, 2, 3 и определим натуральную величину этого сечения, например методом замены плоскостей проекций.
На свободном месте чертежа проводим произвольную прямую t. На ней
откладываем натуральные величины сторон нормального сечения (линия 1, 2,
3, 1), а затем через их концы проводим прямые, перпендикулярные к прямой t.
На построенных перпендикулярах по обе стороны от прямой t откладываем натуральные величины боковых ребер, измеренные на плоскости π2; в результате
получаем точки D, F, E, Р по одну сторону от прямой t и точки A, C, B, A по
другую сторону. Соединив точки отрезками прямых, получаем развертку боковой поверхности призмы.
20
Пример 6. Построить развертку боковой поверхности наклонного цилиндра (рис. 16).
14  12
4 4
4 2  10 2
2  2
4 (н.в.)
7 2  7 4
102
X1, 2 11
21
31
4
7
10
1

X2, 4
104
12 22 32
1
42 52 62 72
41
71
101
Рис. 16
Для построения искомой развертки заменяют поверхность наклонного
цилиндра, вписанной в нее призматической поверхностью. Затем задачу решают так же, как это было показано в примере 5.
4.4. Способ раскатки
На рис. 17 выполнена развертка боковой поверхности наклонного эллиптического цилиндра методом раскатки. В цилиндр предварительно вписана
восьмиугольная призма. Этот метод применяют, когда основание поверхности
параллельно одной плоскости проекций, а образующие параллельны другой
плоскости проекций. В данном примере одно основание цилиндра параллельно
плоскости π2 и проецируется на нее без искажения. Образующие параллельны
плоскости проекций π1 и тоже проецируются без искажения на π1 .
За плоскость развертки принята плоскость £, проходящая через ребро 1, 1
вписанной призмы, параллельная плоскости π1. Совмещаем грань 1, 1, 2, 2
с плоскостью £. Для этого мысленно разрезаем поверхность по ребру 1, 1,
а затем осуществляем поворот грани 1, 1, 2, 2 вокруг ребра 1, 1
Для нахождения совмещенного с плоскостью £ положения ребра 2, 2 из
точки 21 проводим луч, перпендикулярный к ребру 1, 1, делаем засечку на нем
дугой радиуса 12 2 2 , проведенной из центра в точке 11, точку 2. Через полу-
ченную точку 2 проводим прямую параллельную 1, 11.
Далее принимаем совмещенное положение ребра 2, 2  за новую ось
и вращаем вокруг нее грань 2, 2, 3, 3 до совмещения с плоскостью £ и т. д.
На рис. 17 показано положение произвольной точки K, принадлежащей поверхности, и построение ее на развертке.
21
72
62
7 2
6 2
852
82
K2
52
12 52
42
12
2 2
4 2
22
Рис. 17
32
32
51 41  61
31  71
21  81
K1
51
4 1  6 1 2 1  8 1 2 1  81
11
K
4.5. Условные развертки поверхностей
Условные развертки строятся для теоретически неразвертываемых поверхностей. Общий прием решения задачи на построение условной развертки
неразвертываемой поверхности состоит в том, что отсеки заданной поверхности заменяют отсеками развертывающихся поверхностей – гранными, цилиндрическими и коническими.
В виде примера на рис. 18 приведен один из многочисленных вариантов
построения развертки шара.
Через ось шара i проведен ряд меридиональных плоскостей, которые делят поверхность шара на 12 равных секций. Достаточно построить приближенную развертку одной из них.
22
S2
12
i2
22
S
32
F
E
C
D
A
B
N2
A1
31
B1
C1
21
D1
E1
11
S1  N1  i1
F1
N
Рис. 18
Так как вершины всех секций сходятся на полюсах шара в точках N и S,
то выпрямленная длина секции равна 1/2 длины окружности главного меридиана. Эта длина отложена на вертикальной прямой NS, которая разделена на шесть
равных частей. Точки А и В находятся на расстоянии, равном 1/12 длины окружности экватора сферы, и расположены симметрично относительно линии NS. Аналогично построены еще несколько точек – C, D, E и F . Через точки 2 и 3 проведены прямые, параллельные АВ, и на них отложены отрезки ЕF и CD, равные 1/12 части соответствующих параллелей шара, замеренные в плоскости π1.
Затем построенные точки соединяют плавной кривой. Нижняя часть секции симметрична верхней. Остальные 11 секций развертки являются повторением первой.
23
Рассмотренный способ применяется, например, при наклейке карты земной поверхности на глобус.
5. Примеры решения задач, входящих в работу
5.1. Позиционная задача
Задача № 1. Построить проекции линии пересечения многогранника
проецирующей плоскостью £ и определить натуральную величину полученного сечения (рис. 19).
15
45
25
35
X2, 5
S3
S2
  2
12
23
13
43
22 42
33
32
X1, 2
A2
B2 C2
B3
D2
D3 A3
C3
B1
D1
A1
21
31
11
C1
41
S1
Рис. 19
Решение. Поскольку плоскость £ является фронтально-проецирующей,
линия пересечения на фронтальной плоскости проекций 12, 22, 32, 42 совпадает
с вырожденной проекцией плоскости. На плоскостях π1 и π3 проекции линии
пересечения достроены в непосредственной проекционной связи по точкам
1, 2, 3, 4, принадлежащим соответствующим ребрам пирамиды. Видимость
линии пересечения определена с учетом видимости граней пирамиды. Грань
24
многогранника на эпюре будет невидимой, если содержит хотя бы одно невидимое ребро. На плоскости π1 невидимым ребром является С1D1, значит и проекция грани C1D1S1 не видна. На плоскости π3 невидимое ребро S3D3, так как не
видна проекция точки D (D3), принадлежащей ломаной ABCD. Следовательно,
грани B3S3D3 и C3D3S3 при невидимом ребре S3D3 тоже не видны.
Далее определяется натуральная величина сечения 1, 2, 3, 4 пирамиды
плоскостью £. Для этого плоскость сечения £ надо сделать плоскостью уровня
относительно новой плоскости проекций π5. Осуществляем замену плоскости
π1 на π5. Чтобы π5 оказалась параллельной плоскости сечения £, ось Х2, 5 надо
провести параллельно вырожденной проекции плоскости £π2. По линиям связи,
перпендикулярным оси Х2, 5, определяем натуральную величину сечения 15, 25,
35, 45. Расстояния от оси Х2, 5 до точек 15, 25, 35, 45 равны расстояниям от оси Х1, 2
до точек 11, 21, 31, 41.
Задачу на определение натуральной величины сечения можно решить
и другими способами, например вращением вокруг проецирующей оси
(см. пример 6 на рис. 8) или вращением вокруг линии уровня (см. пример 8 на
рис. 10). При решении задачи вращением вокруг линии уровня необходимо
нужные элементы вынести на отдельное поле чертежа и выполнить там
решение.
5.2. Метрические задачи
Задача № 2. Определить проекции и натуральную величину расстояния:
1. Между вершиной А и ребром SC, не лежащим с этой вершиной в одной грани (рис. 20).
Решение. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Решение этой задачи в общем виде
является трудоемким, поэтому целесообразно преобразовать прямую общего
положения в проецирующую.
Преобразование проекций прямой общего положения в точку требует
двойной замены плоскостей, что было показано на рис. 3, где отрезок прямой CD
на плоскость π5 спроецировался в точку.
Решая задачу на определение расстояния от вершины А до ребра SC, следует вынести на отдельное поле проекции этих элементов. Выполнив двойную
замену плоскостей проекций, ребро SC стало проецирующим относительно
плоскости π5, а его проекция на π5 будет точкой. На эту же плоскость π5 спроецирована и точка А. Расстояние между новой проекцией А5 точки А и новой
проекцией S5C5 ребра SC будет искомым и равным │АK│.
Проекцию перпендикуляра АK следует показать в первоначальной системе π1  π2. Причем на плоскости π4 проекция отрезка АK построена параллельно оси Х4, 5, так как этот отрезок параллелен плоскости π5.
2. Между двумя параллельными ребрами (рис. 21).
Решение. На рисунке показано определение расстояния между двумя параллельными ребрами призмы, обозначенных а и b. Ребра являются прямыми
25
общего положения. Выполнив двойную замену плоскостей проекций, прямые
а и b преобразовались в точки. Расстояние между точками является искомым.
При второй замене плоскостей проекций плоскость π5 расположилась под прямым углом к заданным прямым. Следовательно, перпендикуляр k, опущенный
из какой-либо точки одной прямой на другую, параллелен плоскости π5 и спроецируется на нее без искажения.
S2
K2
A2
X1, 2
C2
A1
C1
K1
A4
S1
K4
X1, 4
S4
A5
C4
АK
S5  C5  K5
X4, 5
Рис. 20
26
B2
A2
22
a2
12
K2
11
K1
b2
X1, 2
b1
a1
21
A1
B1
b4
14
K4
X1, 4
a4
24
B4
A4
X4, 5
b5
a5
K
Рис. 21
3. Между двумя скрещивающимися ребрами (рис. 22).
Решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми а и b измеряется длиной перпендикуляра MN, общего для данных прямых.
Если одна из них, например а  π2, то общий перпендикуляр MN окажется параллельным плоскости π2. Но тогда прямой угол между MN и второй из
скрещивающихся прямых b на плоскость π2 спроецируется без искажения.
Для такого частного случая, когда одна из скрещивающихся прямых перпендикулярна плоскости проекций (а  π2), задача решается, как показано на рис. 22.
27
2
N2
b2
a2  M2
N2
a2  M2
b2
X
N
b
a1
a
1
b1
M1
M
N1
Рис. 22
Определим расстояние между скрещивающимися ребрами SB и AD
(рис. 23), обозначенных на чертеже как а и b. Одна из скрещивающихся прямых а расположена параллельно плоскости π1. Это позволяет с помощью только одной замены плоскостей проекций перейти к частному случаю, решение
которого приведено на рис. 22. Поменяв плоскость π2 на π4, прямая а стала
перпендикулярна π4 и построения в системе π1 / π4 на рис. 23 ничем не отличаются от построений, выполненных на рис. 22.
В общем же случае, когда каждая из скрещивающихся прямых не параллельна ни одной из плоскостей проекций, задача сводится к преобразованию
чертежа, в результате которого проекция одной из данных прямых должна
стать точкой, т. е. потребуется двойная замена плоскостей проекций (см. рис. 3).
4. Между вершиной и гранью, не содержащей этой вершины (рис. 24).
Решение. Требуется определить расстояние от точки до плоскости: например, от точки А до плоскости £ (SBC). Искомое расстояние измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки А до плоскости £. Этот перпендикуляр проецируется в натуральную величину на ту плоскость проекций, относительно которой данная плоскость £ является проецирующей. На рис. 24 расстояние от вершины А до грани SBC определено способом замены плоскостей
проекций и равно отрезку А4K4, где точка K является точкой пересечения перпендикуляра с плоскостью £. Проекции перпендикуляра к плоскости £ на эпюре перпендикулярны горизонтали (А1K1  h1) и фронтали (А2K2  f2) плоскости.
28
S2
b2
N2
A2
X1, 2
M2
B2
a2
A1
D2
B1
N1
M1
B4
a1
b1
D1
N4
MN
a4  A4  D4  M4
b4
X1, 4
S4
Рис. 23
5. Между ребром и гранью, параллельными между собой (рис. 25).
Решение. В таком случае расстояние измеряется длиной перпендикуляра
MN, опущенного из произвольной точки М, принадлежащей ребру, на параллельную ему плоскость. Таким образом, эта задача сводится к предыдущей,
т. е. к определению расстояния от точки до плоскости.
29
S2
12
f2
K2
A2
X1, 2
B2 h2
C2
B1
A1
K1
11
h1
f1
C1
B4  C4  h4
A4
K4
AK
S1
X1, 4
S4
Рис. 24
Задача № 3. Определить натуральную величину угла:
1. Между двумя пересекающимися ребрами (рис. 26).
Решение. На рис. 26 показано определение угла между пересекающимися
ребрами BS и CS методом вращения вокруг линии уровня (см. пример 7 на рис. 9).
Плоскость угла вращением вокруг горизонтали ВС приведена в положение, параллельное горизонтальной плоскости. Горизонтальная проекция S1 вершины
угла S оказалась удалена от горизонтальной проекции оси вращения В1С1 на
расстояние, равное RS, – истинной величине отрезка OS.
30
N2
M2
X1, 2
A2
h2 C2
h1
h4  A4  C4
D2
C1
D1
N1
A1
M1
D4
N4
MN
M4
X1, 4
Рис. 25
S2
S1
Z
h2
O2 B2
S0
RS  OS
C2
O1
Z
B1 h1
C1
S1
1
Рис. 26
31

Истинная величина радиуса вращения RS найдена способом прямоугольного треугольника. RS равен гипотенузе прямоугольного O1S1S0, где один катет – это горизонтальная проекция O1S1, а второй катет S1S равен разности высот концов отрезка OS, т. е. S1S0= ∆Z, где ∆Z = Z(●)S – Z(●)O.
Плоскость, в которой вращается вершина угла S , обозначена через γ
(γ  ВС , а так как BС ║ π1, то γ  π1).
2. Между двумя скрещивающимися ребрами (рис. 27).
S 2
S2
Z
S1
B2
A2
X
O2
B1
A1
S1

O1
C2 h2
C1
h1
Rs
S1
1
Z
S0
Рис. 27
Решение. Мерой угла между скрещивающимися прямыми является угол
между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым, т. е. задача сводится к предыдущей.
На рисунке показаны скрещивающиеся ребра пирамиды SA и ВС. Ребро
SA перенесено в точку С на ребре ВС. Вращением вокруг горизонтали ВС определена истинная величина угла .
3. Между ребром и гранью, не содержащей этого ребра (рис. 28).
Решение. Углом между ребром и гранью, т. е. между прямой и плоскостью, является угол φ, образованный этой прямой и ее проекцией на данную
плоскость.
32

A
l


n
C
B
Рис. 28
Из произвольной точки А прямой l опущен перпендикуляр n на данную
плоскость £. Точки В и С – это точки пересечения данной прямой l и перпендикуляра n с плоскостью £.
Построение проекций угла φ требует определения точек В и С. Но, определяя только величину угла φ, решение обычно упрощают, опуская построение
точек В и С. В прямоугольном АВС искомый угол φ° = 90° – γ°, где γ – угол
между прямой l и перпендикуляром n к плоскости £.
На рис. 29 изображены грань ASB и ребро SC многогранника, не принадлежащее грани ASB. Далее показано определение угла φ между прямой SC
и плоскостью ASB. Из произвольной точки Т на прямой SC опущен перпендикуляр n к данной плоскости, т. е. N1  h1, N2  f2, где h и f – горизонталь и фронталь в плоскости ASB. Далее определена истинная величина угла γ между SC и N.
Дополнив найденный угол γ до 90°, получим дополняющий (т. е. искомый) угол φ.
4. Между двумя смежными гранями (рис. 30).
33
S2
n2
T2
l2
Z
f2
X
h2
22
12
O2
B2
A2
C2
B1
A1
C1
21
h1
f1
n1
T1
h1

l1
Z

O1
1
RТ
S1
T1
T0
 = 82
 = 90–82
Рис. 29
Решение. Углом между двумя смежными гранями является двугранный
угол. Ребром двугранного угла служит общая сторона двух треугольников прямая SD. В этом случае целесообразно преобразовать прямую SD в точку путем
последовательного перехода от системы π1  π2  π1  π4  π4  π5. Плоскость π5, перпендикулярная SD, будет параллельна сторонам линейного угла,
которым измеряется двугранный угол φ.
34
S2
A2
A1
X1, 2
D2
C2
C1
D1
S1
A4
X1, 4
D4
C4
S4
D5  S5

X4, 5
A5
C5
Рис. 30
5. Между двумя несмежными гранями (рис. 31).
Решение. Мерой угла, образованного двумя плоскостями, служит линейный угол, полученный при сечении двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной к двум заданным плоскостям.
На рисунке показан линейный угол φ двугранного угла между плоскостями £ и β, полученный при пересечении этих плоскостей, третьей плоскостью γ, перпендикулярной к ребру АВ, т. е угол φ равен углу между прямыми
а и b – прямыми, по которым плоскость γ пересекает плоскость £ и β. Как видно из рисунка, решение задачи может быть упрощено, если определять не угол φ,
а угол θ, т. е. угол между перпендикулярами N и m к этим плоскостям, опущенным из произвольной точки М. Тогда искомый угол φ = 180° – θ.
35


M


n
m
b
a

Рис. 31
На рис. 32 определен угол между несмежными гранями ABS и CDS.
S2
n2
12 h2
X
D2
h2
A2
B2 C2
f1
n1
B1
A1
h1
m2
22
Z
f2
O2
M2
11
1

f1

D1
f1
C1
S1
m1
M 1
O1
M1
h1
Z
R
21
 = 180 – 
Рис. 32
36
Из произвольной точки М опускаем перпендикуляры к этим плоскостям:
N  АBC и m  CDS. Так как горизонталями являются АВ и CD в этих треугольниках, то N1  А1В1 и m1  С1D1. Фронтальные проекции N2 и m2 перпендикулярны фронталям данных плоскостей.
Вращением вокруг горизонтали h' определяем истинную величину угла θ
между перпендикулярами m и N.
Находим величину угла φ, равную разности между углом 180° и θ.
5.3. Развертка усеченной поверхности многогранника
Задача № 4. Построить развертку заданной геометрической фигуры усеченной плоскостью (см. рис. 11).
Решение. Для построения развертки можно воспользоваться одним из
методов, описанных выше. На рис. 11 показано решение задачи методом триангуляции. Плоскость основания пирамиды параллельна горизонтальной плоскости π1 и проецируется на нее без искажения (А1В1С1D1 – натуральная величина).
Натуральные величины боковых ребер пирамиды определены методом
вращения вокруг проецирующей прямой (і  π1). На плоскости π2 получены натуральные величины ребер пирамиды, на которых определено положение точек 1, 2, 3, 4 линии сечения. Далее на развертке на соответствующих ребрах
пирамиды отложены натуральные величины отрезков [S1], [S2], [S3], [S4] .
37
Рекомендуемая литература
1. Начертательная геометрия. Н. Н. Крылов, Г. С. Иконникова, В. Л. Николаев, В. Е. Васильев. – 8 изд., испр. – М.: Высшая школа, 2002. – 224 с.
2. Бударин О. С. Начертательная геометрия. Краткий курс: учеб. пособие /
О. С. Бударин. – СПб.: Изд-во «Лань», 2008. – 368 с.
38
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
£2
£1
£2
£1
40
Продолжение прил. 1
£2
£2
£2
£2
41
Продолжение прил. 1
£2
£2
£2
£2
42
Продолжение прил. 1
£1
£1
£2
£1
43
Продолжение прил. 1
£1
£1
£1
£1
44
Продолжение прил. 1
£2
£1
£2
£1
45
Продолжение прил. 1
£2
£1
£2
£1
46
Продолжение прил. 1
£2
£2
£2
£2
47
Окончание прил. 1
£1
£1
£1
£1
48
X1,2
A1
A2
2
B1
C1
B2 C2
11
22
12
49
41
21
D1
D2
42
S1
31
32
S2
н.в.
A
C
B
4
D
3
S
2
B
1
4
A
C
Приложение 2
Образец выполнения заданий
Продолжение прил. 2
50
X1,2
A1
A2
N1
B1
B2
N2
D1
D2
S1
S2
51
X1,4
A4
h1
h2
N4
S4
B4D4h4
X1,2
B1
B2
D1
D2
S1
S2
h1
O1

O2
S1
S1
Окончание прил. 2
Оглавление
Введение ...................................................................................................................3
1. Тематика расчетно-графической работы...........................................................3
2. Рекомендации по выполнению и оформлению работы....................................4
3. Теоретические основы..........................................................................................5
3.1. Преобразование комплексных чертежей методом замены
плоскостей проекций...........................................................................................6
3.2. Преобразование комплексного чертежа методом вращения
вокруг проецирующей прямой .........................................................................11
3.3. Преобразование комплексного чертежа методом вращения
вокруг оси, параллельной плоскости проекций
(вращение вокруг линии уровня) .....................................................................13
4. Развертки поверхностей......................................................................................16
4.1. Развертывание пирамидальных и конических поверхностей
(способ триангуляции).......................................................................................16
4.2. Развертывание призматических и цилиндрических поверхностей........18
4.3. Способ нормальных сечений......................................................................19
4.4. Способ раскатки...........................................................................................21
4.5. Условные развертки поверхностей............................................................22
5. Примеры решения задач, входящих в работу...................................................24
5.1. Позиционная задача.....................................................................................24
5.2. Метрические задачи.....................................................................................25
5.3. Развертка усеченной поверхности многогранника...................................37
Рекомендуемая литература.....................................................................................38
Приложения..............................................................................................................39
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
11 323 Кб
Теги
smirnova, nachert, str, krome, razumnova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа