close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Движение вперед или прогрессии вокруг нас

код для вставкиСкачать
Движение вперед
или прогрессии вокруг нас
Автор презентации: Друщенко Е.А. учитель математики
МБОУ СОШ №2, г. Стрежевой, Томская обл., 2012 г.
ГЛАВНОЕ МЕНЮ
Теория и
практика
1
Использование
прогрессий
Возврат в главное меню
Следующий слайд
Предыдущий слайд
Закончить работу
Теория и практика
П
Р
О
Г
Р
Е
С
С
И
И
2
Экскурс в историю
Повторим теорию
Проверь себя
Задачник
Это интересно
«Математическим
языком
описывают сегодня не только
свойства
пространства
и
времени,
частицы
и
их
взаимодействие, физические и
химические явления, но также
все
больше
процессов
и
явлений в области биологии,
медицины,
экономики,
компьютерных наук...»
-из статьи “Фундаментальная
картина мира”, 2004)
Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии,
экономике, строительному делу и даже в поэзии используются
формулы арифметической и геометрической прогрессий.
П
Р
О
Г
Р
Е
С
С
И
И
3
в физике
в биологии
в экономике
в литературе
коротко о разном
«прогрессия» ( progressio, лат.)
Термин означает «движение вперед» и
был введен римским автором Боэцием (VI в.).
Этим термином в математике прежде
именовали всякую последовательность чисел,
построенную по такому закону, который
позволяет неограниченно продолжать эту
последовательность в одном направлении.
В настоящее время термин «прогрессия»
в первоначально широком смысле не
употребляется. Два важных частных вида
прогрессий
–
арифметическая
и
геометрическая – сохранили свои названия.
Сами
названия
«арифметическая»
и
«геометрическая» были перенесены на
прогрессии
из
теории
непрерывных
пропорций, изучением которых занимались
древние греки.
4
Кто же их открыл?
Прогрессии известны издавна, а потому
нельзя сказать, кто их открыл. Ведь и
натуральный ряд – это арифметическая
прогрессия.
Во время раскопок в Египте был
найден папирус, который датируется
2000 г. до н.э., но и его содержание было
переписано из другого, еще более
раннего, отнесенного к ІІІ тысячелетию
до н.э.
Ученые
расшифровали
текст
папируса, содержание некоторых задач
дает возможность отнести их к задачам
на прогрессии.
5
Задача из папируса Ахмеса
«Пусть тебе сказано: раздели
10 мер ячменя между 10
человеками, разность же
между каждым человеком и
его соседом равна 1/8 меры»
Формула, которой
S
d ab n
пользовались египтяне: a ( n 1) S n
6
2
2
Задача из папируса Райнда
«У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей,
каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти
по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
Решение задачи
Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши,
которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807
мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.
7
Леонардо Пизанский (Фибоначчи)
Эта задача много раз с разными
вариациями повторялась и у других
народов в другие времена. Например, в
написанной в XIII в. «Книге об абаке»
Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть
задача, в которой фигурируют 7 старух,
направляющихся в Рим (очевидно,
паломниц), у каждой из которых 7 мулов,
на каждом из которых по 7 мешков, в
каждом из которых по 7 хлебов, в
каждом из которых по 7 ножей, каждый
из которых в 7 ножнах.
В задаче спрашивается, сколько всего
предметов. В этой же книге приводится
правило для нахождения суммы членов
любой арифметической прогрессии.
8
«Исчисление песчинок»
В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет
арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает между
ними связь:
1, 2, 3, 4, 5, …
10, 102, 103, 104, 105, …
и указывает на связь между ними, например:
103·105=103+5=108,
т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии
достаточно сложить соответствующие члены арифметической
прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.
В ходе своих исследований Архимед нашел сумму бесконечной
геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым
примером появления в математике бесконечного ряда:
a
a
4
9
a
4
2
a
4
3
... a
1
1
4
4
a
3
Легенда об истории изобретения шахмат
О том, как давно была
известная
геометрическая
прогрессия,
свидетельствует
легенда. Изобретатель шахмат,
ученый Сета, попросил в
награду у индийского принца
Сирама за свое изобретение
столько пшеничных зерен,
сколько их получится, если на
первую клеточку шахматной
доски положить одно зерно, на
вторую в два раза больше и так
далее.
10
Древняя индийская легенда
Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках,
но он просчитался. За все 64 клетки шахматной доски изобретатель
должен был бы получить (264 – 1) зерно, что выражается 20-значным
числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не
менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен.
Оказывается, когда точно подсчитали общее количество зерен, то их
получилось 18 446 744 073 709 551 615. В этой задаче речь идет о
геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 2.
Необходимо найти сумму 64 первых членов геометрической прогрессии.
S64=264-1=18.446.744.073.704.551.615
11
Древний Вавилон
В
вавилонских
текстах
рассказывается о том, что
увеличение освещенной части
лунного диска на протяжении
первых пяти дней происходит по
закону
геометрической
прогрессии со знаменателем
2, а в следующие десять дней –
по
закону
арифметической
прогрессии с разностью 16.
Широкий интерес вавилонян к
астрономии делает понятным
возникновение этой задачи.
12
Древний Вавилон
На одной из глиняных табличек Древнего Вавилона,
относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 22 + 23 +
... + 29 = 210 – 1 (сумма первых девяти членов геометрической
прогрессии).
Вот другая задача, которую решали в Древнем Вавилоне во
втором тысячелетии до новой эры: «10 братьев, 1 и две трети
мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько
поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над
братом – на сколько он выше?»
Здесь требуется по сумме первых десяти членов
геометрической прогрессии 1 и двух третьей мины ( 1 мина =
60 шекелей) и известному восьмому члену определить разность
арифметической прогрессии.
13
«Русская правда»
Задачи
на
прогрессии
встречаются в одной из древнейших
памяток права – «Русской правде»,
составленной при Киевском князе
Ярославе Мудром (ХІ ст.). В этом
документе
есть
статья,
посвященная
вычислению
приплода от 22 овец за 12 лет при
условии, что каждая овца ежегодно
приносит одну овцу и два барана.
Также содержатся сведения о
приплоде от пчел за определенный
промежуток времени, о количестве
зерна, собранного на определенном
участке земли и др. Эти задачи не
имели хозяйственного значения, а
были
результатом
развития
интереса
к
математике
и
математическому
содержанию
данных задач.
14
Значительное количество задач на прогрессии есть в «Арифметике»
Л.Магницкого, которая была основным математическим
учебником в России на протяжении почти полстолетия.
Решение задачи из
арифметики Магницкого
1
1. Составим последовательность чисел
4
;
1
2
21
; 1; 2 ; 2 ; 2 .
2
2. Данная последовательность является геометрической
b1 прогрессией со знаменателем q =2,
3. Попытаемся подсчитать сумму
1
4
;
1
1
4
n = 24.
2
21
; 1; 2 ; 2 ; 2 .
2
Некто продал лошадь за 156 рублей. Но
покупатель, обретя лошадь, раздумал и
возвратил продавцу, посчитав, что дорого.
Тогда продавец предложил купить ее
подковные гвозди, лошадь же получить
тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в
каждой подкове 6. За первый гвоздь
Продавец попросил 1/4 коп., за второй1/2коп., за третий-1коп., и т.д.
Покупатель, соблазненный низкой ценой, и
желая даром получить лошадь, принял
условия продавца, рассчитывая, что за
гвозди придется уплатить не более
10 рублей. Не прогадал ли покупатель?
b1 q b1
n
4. Зная формулу
1
5. Имеем S 4
24
15
Sn 2
24
2 1
q 1
1
4 1 2 24 1 2 22 1 4194303 3 42000 p 2
4
4
4
2
Задача из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого
Купец имел 14 чарок серебряных,
причем веса чарок растут по
арифметической прогрессии с
разностью 4. Последняя чарка
весит 59 латов. Определить,
сколько весят все чарки.
Решение:
а14=а1+13d, a1=59-13·4=7,
S14=(7+59)/2·14=462.
Ответ: все чарки весят 462 лата.
16
Н.Шюке и К.Гаусс
Общее правило для суммирования любой
конечной геометрической прогрессии встречается
в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет
в 1484 году.
В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855)
нашел моментально сумму всех натуральных чисел
от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.
Сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д. равны, он
умножил 101 на 50 т.е. на число таких сумм. Иначе
говоря, он заметил закономерность, которая присуща
арифметической прогрессии.
1+2+3+4+…+98+99+100 =
= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=
=101x50 =5050.
17
Арифметическая
Геометрическая
Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую
последовательность, например, последовательность натуральных
чисел, их квадратов, кубов. В конце средних веков и в начале нового
времени этот термин перестал быть общеупотребительным. В XVII в.,
например, Джон Грегорн употребляет вместо прогрессии термин
«ряд»; другой видный английский математик Джон Валлис применяет
для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии». В XVIII
веке в английских и французских учебниках появились обозначения
геометрической прогрессии (Уильям Отред). Формула суммы
бесконечной геометрической прогрессии введена Торричелли.
18
Джон Валлис
Уильям Отред
Торричелли
Связь между прогрессиями
Прочитав подряд определения арифметической и геометрической
прогрессий можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь
заменить сложение умножением или наоборот. На связь между
прогрессиями первым, по – видимому, обратил внимание Архимед. В 1544
г. вышла книга немецкого математика М.Штифеля “Общая арифметика”.
Штифель составил таблицу:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
128
256
В верхней строке – арифметическая прогрессия с разностью 1.
В нижней строке – геометрическая прогрессия со знаменателем 2.
Расположены они так, что нулю арифметической прогрессии
соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный
факт. Нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:
2 –4 ;2 –3 ; 2 –2 ; 2 –1 ; 2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ; 2 7 .
Значит, если показатели составляют арифметическую прогрессию, то сами
степени составляют геометрическую прогрессию.
19
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется ряд чисел, в
котором каждое число, начиная со второго, равняется
предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным
числом.
Формула п-го члена: ап= а1+ d(п-1)
d- разность арифметической прогрессии: d= ап+1 - ап
Характеристическое свойство: ап = (ап-1 + ап+1 ): 2
Формулы суммы п- первых членов:
Sn 2 a1 d ( n 1)
n
2
d>0 прогрессия возрастающая;
20
Sn ( a1 a n ) n
2
d<0 прогрессия убывающая
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия - это ряд чисел, каждое из
которых получается из предыдущего умножением его на
некоторое постоянное для этого ряда число.
Формула п - го члена: b п = b1 ·q n1
q- знаменатель геометрической прогрессии: q = b n+1 : b n
Характеристическое свойство:
Формула суммы п - первых членов:
Sn b1 (q
n
1)
q 1
q > 1 прогрессия возрастающая; 0 < q < 1 прогрессия убывающая
21
Примеры прогрессий
Арифметическая прогрессия
1). 1, 3, 5, 7, 9, …
d=2
2). 5, 8, 11, 14, …
d=3
3). -1, -2, -3, -4, …
d = -1
4). -2, -4, -6, -8, …
d=-2
22
Геометрическая прогрессия
1). 1, 2, 4, 8, …
q=2
2). 5, 15, 45, 135, …
q=3
3). 1; 0,1; 0,001;0,0001;
q = 0,1
4). 1, 2/3, 4/9, 8/27, …
q = 2/3
Заполни таблицу
(a n) – арифметическая прогрессия
a1 a2 d
23
n an Sn
1
1
3
?
5
?
2
2
?
?
4 14 ?
3
?
?
?
6 15 60
?
Заполни таблицу
(b n) – геометрическая прогрессия
b1 b2 d
2
?
4
?
?
2 32 ?
1/2
?
2
?
6
?
5 96 ?
1
3
24
n bn Sn
1
?
Ответы.
(a n) – арифметическая прогрессия
a1 a2 d n an Sn
1 1 3 2 5 9 25
2 2 6 4 4 14 32
3 5 7 2 6 15 60
25
Ответы.
(b n) – геометрическая прогрессия
b1 b2 d
4
8 15
2 32 16 1/2 5
2 62
1
3
26
1
6
2
±16
2
n bn Sn
±2 5 96
18666
Задачник. Задачи физического содержания.
1.
2.
3.
4.
5.
27
В комнату с температурой 45 градусов внесено тело с температурой 90
градусов и через 8 минут температура упала до 60 градусов. Через сколько
минут температура упадет до 50 градусов?
После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется
20% находящегося в нем воздуха. Определить давление воздуха внутри
сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было
760 мм рт.ст.
При подъеме на высоту 5,5 км давление воздуха уменьшается в 2 раза. При
поднятии на высоту 11 км давление уменьшается в 4 раза, а на высоте 22 км
оно меньше в 16 раз. На какой высоте давление упадет до 3мм , если на
поверхности земли оно равно 768 мм?
Стеклянная пластинка толщиной в 2см пропускает 0,95 того света, который
на него падает. Найти количество света, падающего (параллельным пучком)
на стопку таких пластинок, если через 20 пластинок прошло лишь 7,5
световых единиц.
Воздушный шар должен подняться на высоту 44 км. Рассчитать давление
воздуха на этой высоте, если давление воздуха на уровне моря равно 768
мм.
Задачник. Задачи экономического содержания.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
28
Срочный вклад 1000 р., положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10%.
Каким станет вклад через 3 года?
Снижение себестоимости производства товара ровно 5% в год. Первоначальная
стоимость товара равна 10000 р. Чему станет равной его себестоимость через 2
года?
За обучение ребенка в музыкальной школе родители платят ежемесячно 300 рублей
в течении 10 месяцев, внося плату в начале каждого месяца. Администрация
школы заинтересована в том, чтобы получить 1 сентября как можно больше
наличных денег и поэтому предлагает родителям заплатить сразу 2800 рублей и
больше в течении года за обучение не платить. Банковская ставка составляет 36%.
Кому выгоднее один раз в год заплатить 2800 рублей: администрации или
родителям?
Чтобы отправить четыре бандероли, требуется четыре разные почтовые марки на
общую сумму 120 рублей. Цены марок составляют арифметическую прогрессию.
Сколько стоит самая дорогая марка, если она в три раза дороже самой дешевой?
Выяснить в какой банк выгоднее положить деньги 100 у.е. на 3 года, если 1-ый
банк даёт 3% в месяц, а 2-ой 40% в год‘
В сберегательный банк внесли вклад в размере 10000 рублей с доходом 2%
годовых. Какую сумму выплатит банк вкладчику через 4 года? (ответ дать в
рублях).
Задачник. Задачи биологического содержания.
12. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория- туфелька размножается
делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после
шестикратного деления их стало 320?
13. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько
стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было 6 клеток
14. Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около
100 летучих семян.
а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10
лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической
прогрессии?
б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?
15. Всего за пять поколений, то есть 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может
оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть
поверхность земного шара слоем толщиной почти 1 метр. С какой интенсивностью
размножается тля?
16. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если первоначальное
количество древесины было 40000 м³, при условии, что ежегодный
прирост древесины составляет 10%?
29
Задачник. Разные задачи.
Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком,
который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тысяч
руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во
второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т.д. в течение 30
дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от
сделки?
У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и
прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три
поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков
3000 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный
математический ответ нереален.
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он
принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше,
чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьёт по
40 капель, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его
до 5 капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно
купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что
составляет 200 капель)?
Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту
она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше,
чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева
высотой 5,25 м?
30
Задачник. Разные задачи.
Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по
прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и
т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины
предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до
двери по прямой 3 м?
Курс воздушных ванн начинает с 15 минут в первый день и увеличивают время
этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней
следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь
их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?
Том Сойер красил забор длиной 105 м, причем день за днем количество
выкрашенного за день уменьшалось на одну и ту же величину. За сколько
дней был выкрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 м
забора, а за последние три дня – 27 м?
В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок
получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за
каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько
раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
31
1
3
Ответы и решения
1. Решение. Используем закон охлаждения Ньютона: разность между
температурой тела, температурой среды изменяется в геометрической
прогрессии, если время охлаждения изменяется в арифметической
прогрессии. Обозначив у - разность температур в момент t, получим:
у 0= 900– 450
Y8= y 0 q8 = 600– 450
qt = (q8 )2
Yt = y 0qt = 50 0 – 450
t = 16 сек.
45q 8 = 15; q 8 = 1:3
45qt = 5; qt = 1:9
2. Так как после каждого движения поршня в сосуде остается 80% воздуха,
чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения
поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить
на 0,8.
Получим Г.П.- (bn), bn=760, а q=0,8.
Число, выражающее давление воздуха в сосуде после шести движений
поршня, является седьмым членом этой прогрессии :
b7= 760∙(0,8)6 ≈ 200 (мм рт. ст.).
32
Ответы и решения
10% = 0,1. Коэффициент увеличения вклада равен 1,1.
Имеем геометрическую
прогрессию (сn ). с1 = 1000 р., q = 1,1. с4 – вклад через три года.
Следовательно с4 = с1 . q3 = 1000 . (1,1)3 = 1331.
7. 9025 рублей.
9. 45 рублей.
11. 10824,32 рублей.
12. 5 инфузорий было первоначально.
13. Клетки растут в геометрической прогрессии.
q=2, клетки делились 10 раз, значит надо найти =6·210=6·1024= 6144
14. 1012 км2 ; нет, Sсуши = 148 млн км2
15. Одна тля при размножении дает поколение в 1 млн ед. новых тлей
16. 70,8 тыс м³
17. получил 3·106 руб., отдал примерно 107 руб., богач проиграл
18. 29000
19. 2 пузырька
20. 10 минут
21. Не дойдет
24. Число промахов 4, в цель попал 21 раз.
33
Магический квадрат и арифметическая прогрессия
Существует девятка простых
чисел 199, 409, 619, 829, 1039,
1249, 1459, 1669, 1879 которая
представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме
того, данные числа способны
разместиться в девяти клетках
квадрата 3Х3 так, что образуется
магический квадрат.
Кроме того, оказывается, что
из каждых девяти последовательных
членов
любой
арифметической
прогрессии
натуральных
чисел
можно
составить магический квадрат.
34
1669
199
1249
619
1039
1459
829
1879
409
a + 3d a + 8d
a+d
a + 2d a + 4d a + 6d
a + 7d
a
a + 5d
Космические объекты
Все космические объекты можно
разделить
в
следующие
четко
разделяющиеся группы:
электроны,
нуклоны и атомы;
молекулярные комплексы;
космическая пыль;
микрометеориты;
мелкие метеориты;
метеориты;
средние метеориты и кометы;
крупные метеориты и кометы;
малые астероиды,
спутники,
большие кометы;
астероиды,
спутники,
малые планеты;
большие планеты и нормальные звезды;
большие звезды и скопления звезд;
карликовые и нормальные галактики;
скопления и сверхскопления галактик;
Метагалактика.
35
Планеты Солнечной системы
36
Объект
Радиус,
тыс. км
масса, кг
Солнце
695
2·1030
Меркурий
2,4
3,3·1023
Венера
6,1
4,9·1024
Земля
6,4
6·1024
Марс
3,4
6,4·1023
Юпитер
71
1,9·1027
Сатурн
60
5,7·1026
Уран
26
8,7·1025
Нептун
25
1,0·1026
Указанные группы образуют
геометрическую
прогрессию
в
отношении
своих
масс
и
характерных размеров. Зная массы и
размеры одной только группы,
можно определить эти параметры и
для любой другой группы объектов
путем деления или умножения на
известные множители прогрессии.
И поскольку геометрическая
прогрессия справедлива в таком
большом диапазоне - от электронов
до Метагалактики - то можно выйти
за рамки известного и рассчитать
например массы и размеры преонов,
то есть таких мельчайших частиц,
которых современная техника и
почувствовать даже не может, но из
которых,
как
предполагается,
состоят элементарные частицы.
Прогрессии в технике
Коробка скоростей- одна из главных и сложных механизмов
почти каждой машины, начиная от автомобиля и заканчивая
металлорежущим станком.
Много усилий требуется конструкторам, чтобы спроектировать
их таким образом, чтобы ее детали были прочны, компактны, а весь
механизм обеспечивал нужное изменение скоростей движения. Русский
академик А.В. Гадолин на основании расчетов доказал, что коробки
скоростей следует строить со ступенями скоростей, расположенными по
геометрической прогрессии(передаточное число). Этот вывод и ныне есть
основным в процессе проектирования станков и механизмов.
37
Прогрессии в технике
Токарный станок, один из
представителей металлорежущих
станков
число ступеней заданного ряда чисел
оборотов в минуту;
nmax –макс-ное число оборотов в минуту;
nmin –мини-ное число оборотов в минуту.
38
Обработка на токарных станках ведется с
различной скоростью резания в зависимости от
материала, заготовки, режущего инструмента,
наличия или отсутствия охлаждения и др.
Так как скорость резания зависит от
диаметра заготовки и скорости ее вращения
(числа оборотов в минуту), а диаметр заготовки
(детали) задается чертежом, то регулировать
скорость резания можно только путем
изменения
числа
оборотов
в
минуту
обрабатываемой заготовки, т. е. числа оборотов
в минуту шпинделя. Для регулирования числа
оборотов в минуту шпинделя на станке имеется
специальный механизм коробка скоростей.
Коробка скоростей обеспечивает получение
на шпинделе станка различных чисел оборотов
в минуту, подчиненных закономерности
геометрической
прогрессии:
каждое
последующее число оборотов получается
умножением предыдущего на постоянное число
ф, называемое знаменателем прогрессии.
Изменение массы радиоактивного вещества со временем
Известно, что за единицу
времени такое вещество теряет
определенную
часть
своей
массы(она переходит в другое
вещество и энергию). Для
каждого
радиоактивного
вещества определяется величина
Т- время периода полураспада.
Массы
нераспавшегося
вещества в моменты 0,Т,2Т,3Т,…
образуют
бесконечно
убывающую
геометрическую
прогрессию.
39
Изучение интенсивности размножения различных видов растений,
насекомых и животных имеет большое практическое значение.
В биологии существует такой термин как
репродуктивный потенциал, т.е. скорость, с
которой
может
происходить
рост
численности популяции при отсутствии
факторов, препятствующих размножению,
и при обилии пищи. Вклад отдельной особи
в увеличении численности осуществляется
различными
способами,
например,
большим число потомков при каждом
размножении.
Девятое поколение одной пары мух
наполнило бы куб, сторона которого равна
140 км, или же составило бы нить, которой
можно опоясать земной шар 40 млрд. раз.
Потомство пары птиц величиной с
воробья при продолжительности жизни в
четыре года может покрыть весь земной
шар за 35 лет.
40
Размножение бактерий
Вообще микроорганизмы размножаются делением
пополам, поэтому при благоприятных условиях, через
одинаковый промежуток времени их число удваивается.
Способность к размножению у бактерий настолько
велика, что если бы они не гибли от разных причин, а
беспрерывно размножались, то за трое суток общая
масса потомства одной только бактерии могла бы
составить 7500 тонн. Таким громадным количеством
бактерий можно было бы заполнить около 375
железнодорожных вагонов.
Постепенно
микроорганизмы
пожирают
окружающую среду и начинают задыхаться в
собственных отходах. С этого момента рост
“народонаселения” замедляется, а затем вся микробная
“цивилизация” переходит “в мир иной”. Такая
“экологическая катастрофа” происходит всякий раз при
спиртовом брожении, например, вина. При достижении
11 – 13 % спирта бактерии, вырабатывающие ферменты
брожения, погибают. Именно поэтому крепость всех
сухих вин ограничена этими цифрами. В десертные
(крепленые) вина спирт добавляют. Данная схема
развития
присуща
любой
цивилизации,
паразитирующей на окружающей среде.
41
Интенсивность размножения бактерий
Интенсивность
размножения
бактерий используют в пищевой
промышленности (для приготовления
напитков, кисло-молочных продуктов,
при квашении, солении и др.); в
фармацевтической
промышленности
(для создания лекарств, вакцин); в
сельском хозяйстве (для приготовления
силоса, корма для животных и др.); в
коммунальном
хозяйстве
и
природоохранных мероприятиях (для
очистки сточных вод, ликвидации
нефтяных пятен).
42
Операция дисконтирования (от английского discountскидка) играет большую роль в бизнесе.
Прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её
помощью банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие
средства можно разместить в кредиты, решают, стоит ли вкладывать
средства в крупные проекты, доход от которых будет получен через
несколько лет и т.д.
43
Исчисление «сложных» процентов
Вклады
в
банках
увеличиваются
по
схемам
сложных и простых процентов.
Простые
проценты
это
увеличение
первоначального
вклада
в
арифметической
прогрессии, сложные проценты
– в геометрической прогрессии.
44
Так, если
клиент открыл в
Сбербанке вклад (депозит) на сумму 3
млн. рублей сроком на 5 лет, то банк
платит клиенту за пользование его
средствами ставку в размере 8%
годовых. Схема расчета такова, за
первый год хранения средств в банке
клиент
получит
240тыс.
рублей
(3.000.000 · 8%) и общая сумма депозита
составит
3.240.000
(3.000
000+3.000.000·8%). За два года хранения
общая сумма вклада – 3. 000.000
*=3.499.200рублей. За три года –
3.000.000 *=3.779.136 рублей. За четыре
года – 3.000.000 *=4.081.466,88 рублей.
За пять – 3.000.000 * =4.407.984,23
рублей.
Налицо
геометрическая
прогрессия: = 4.407.984,23 рублей, где
3.000.000 – первоначальная сумма
депозита, а
1,08 – знаменатель
прогрессии.
«Финансовые» пирамиды и сетевой маркетинг
Строятся на том же принципе. Суть пирамиды в том, что
запустивший ее получает от первых двух участников некоторую
сумму, от участников второго круга в два раза больше, от участников
третьего круга – в 4 раза больше и т.д Однако, любая «финансовая»
пирамида обречена на крах, т.к. количество вновь прибывающих рано
или поздно уменьшается. Структура «финансовой» пирамиды такова,
что деньги получает только тот, кто организовал и запустил пирамиду.
45
Прогрессии в литературе
...Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить...
А.С. Пушкин
Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях
ударных слогов стиха.
Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных
слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют
арифметическую прогрессию с первым членом 2 и
разностью прогрессии 2.
Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных
слогах стиха1; 3; 5; 7... Номера ударных слогов образуют
арифметическую прогрессию с первым членом 1 и
разностью прогрессии 2.
46
Примеры из литературы
Ямб
«МорОз и сОлнце; дЕнь чудЕсный!...»
«Мой дя`дя са`мых че`стных пра`вил…»
Хорей
«ВЕтер,вЕтер,тЫ могУч,
ТЫ гонЯешь стАи тУч…»
«Бу`ря мгло`ю не`бо кро`ет…»
47
Коротко о разном
Представьте, что вы – учетчик на стройке.
Привезли и вывезли большое количество бревен
строевого леса. Нужно быстро определить,
сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд
шоферу.
В данном случае, чтобы подсчет бревен
осуществлялся по простым формулам, один из
способов
–
использовать
естественное
расположение бревен так, чтобы в каждом
верхнем ряду их оказалось на единицу меньше,
чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует
арифметическую
прогрессию
и
общее
количество легко подчитывается по формуле
суммы арифметической прогрессии с разностью,
равной единице.
48
Коротко о разном
Распространение инфекционной болезни
среди людей идет по схеме, аналогичной
финансовой пирамиды.
Схематически это может выглядеть так:
инфицированный
человек
(источник
инфекции) передаёт возбудителя болезни
другим
людям,
каждый
вновь
инфицированный вовлекает в эпидемический
процесс n – ое число людей, т.е. возникает
инфекция.
При повышении температуры по
арифметической
прогрессии
скорость химической реакций растёт
по геометрической прогрессии. При
повышении температуры от +20 до +
60 градусов, скорость реакции
увеличивается в 150 раз.
49
Коротко о разном
50
Коротко о разном
Долгое
время
в
описании
демографического развития господствовали теории (примером может
служить широко известная теория Т.
Мальтуса, согласно которой рост
численности населения происходит по
закону геометрической прогрессии
(производство продовольствия при
этом растет в арифметической
прогрессии)), предполагающие, что
скорость увеличения числа людей на
Земле пропорциональна числу людей
N (так называемая кинетика первого
порядка).
51
«Прогрессио — движение вперед».
Закончился двадцатый век.
Куда стремится человек?
Изучен космос и моря,
Строенье звезд и вся земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг
«Прогрессио — движение вперед».
52
Литература
П.Т.Апанасов, Н.П.Апанасов «Сборник математических задач с практическим
содержанием», М. «Просвещение», 1987 г.
Г.И.Глейзер.История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей.М.:Просвещение,1982.
А.Г.Мордкович. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных
учреждений/– 10-е изд., перераб. – М.:Мнемозина, 2009.
А.С. Симонов. Экономика на уроках математики.- М.:Школа-Пресс,1999.
http://ru.wikipedia.org/
http://festival.1september.ru/
53
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
354
Размер файла
8 096 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа