close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Проблема бесконечности в математике и её методологическое значение

код для вставкиСкачать
Популярный обзор некоторых методологических проблем математики в стиле советской философии 1970-х годов. В последних разделах затрагиваются предпринимавшиеся в то время усилия по созданию альтернативы классической математике на принципах математичес
ПРОБЛЕМА БЕСКОНЕЧНОСТИ В МАТЕМАТИКЕ
И ЕЁ МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ 1
И.А. Головинский, ©1974 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Актуальная, потенциальная и практическая бесконечность ..................... 1
Проблема бесконечного в античной математике ...................................... 3
Бесконечное в математике Нового времени .............................................. 5
Теория множеств и третий кризис оснований ........................................... 7
Основные направления обоснования математики в первой трети XX
века и трактовка ими бесконечного ........................................................... 9
6. Бесконечность в рамках конструктивного направления в математике .. 11
7. Соотношение классической и конструктивной концепций .................... 13
8. Некоторые выводы .................................................................................... 14
Литература ...................................................................................................... 15
1.
2.
3.
4.
5.
1. Актуальная, потенциальная и практическая бесконечность
Идея бесконечности является одной из центральных в современной
математике. Она настолько пронизывает все основные её разделы, что иногда
саму математику определяют как науку о бесконечном. Богатством
содержания и силой своих методов современная математика в немалой
степени обязана использованию понятия бесконечности. Однако разработка и
применение этого понятия связаны с рядом серьёзных логических трудностей,
которые неоднократно на протяжении истории математики порождали
кризисы оснований, потрясавшие всё здание этой науки. Анализ этих
трудностей составляет одну из важнейших проблем методологии математики.
1
Реферат, подготовленный автором в 1974 г. в рамках сдачи философского минимума для
поступления в аспирантуру. Дан популярный обзор некоторых методологических
проблем математики в соответствии с уровнем и стилем советской философии того
времени. В последних разделах затрагиваются осуществлявшиеся в те годы усилия по
созданию альтернативы классической математике на принципах математического
конструктивизма.
Прошедшие почти полвека подтвердили обоснованность
конструктивистской критики классической математики. Но подтвердился и сделанный в
данном обзоре вывод о принципиальной ограниченности математического
конструктивизма.
1
При этом затрагиваются принципиальные философские вопросы, и
плодотворность методологического анализа зависит от правильного их
решения.
Математика имеет дело с абстрактными объектами. В соответствии с
этим бесконечность в математике имеет абстрактный характер.
Математическая
бесконечность
является
лишь
приблизительным,
схематичным отражением действительной, объективной бесконечности.
Делая акцент на тех или иных аспектах реальной бесконечности, можно
прийти к различным математическим абстракциям бесконечности.
В
математике и её приложениях используются три абстракции бесконечности:
абстракция
актуальной бесконечности,
абстракция
потенциальной
бесконечности и понятие «практической» или «фактической» бесконечности.
Актуальное бесконечное (множество, величина) мыслится как
законченное целое, данное всеми своими частями. Таковы, например,
множество точек отрезка прямой или множество всех натуральных чисел.
Формирование понятия актуально бесконечного множества происходит путём
абстрагирования, обобщения и идеализации. Рассматривая различные
предметы как элементы множества, мы отвлекаемся, абстрагируемся от
большинства их конкретных свойств. Мы сохраняем лишь те свойства,
которые присущи всем рассматриваемым предметам и на основе
совершённого таким образом обобщения объединяем эти предметы в
множество. Мы допускаем также возможность одновременно рассматривать
бесконечную совокупность предметов, что является идеализацией, поскольку
в природе такого рода совокупностей мы непосредственно не наблюдаем: идея
бесконечного возникает лишь на основе длительной человеческой практики.
Эффективное построение бесконечного множества элементов
невозможно: оно никогда не закончится, так как любые средства, которые
могут находиться в распоряжении людей, имеют принципиально конечный
характер. «Построение бесконечного числа отдельных предметов, выполнение
бесконечного числа актов неосуществимо не только в силу недостатка
практических средств, но и принципиально не может быть осуществлено
никогда и никакими средствами» [Новиков, 1973, с. 15].
Напротив, абстракция потенциальной бесконечности предполагает
возможность одновременного существования только конечного (но сколь
угодно большого) числа элементов бесконечного множества, возможность
выполнения сколь угодно большого, но всегда конечного количества
действий. «Смысл этого понятия состоит в том, что рассматривается
бесконечное множество осуществимых возможностей. Каждая из них в
отдельности осуществима, осуществимо также любое конечное число этих
возможностей, но все вместе они неосуществимы» [Новиков, 1973, с. 19].
Абстракция потенциальной бесконечности игнорирует то обстоятельство, что
практическое построение, скажем, чрезвычайно больших натуральных числе
может превосходить материальные возможности всего человечества.
Построение в смысле потенциальной бесконечности (или потенциальной
2
осуществимости) носит абстрагированный и обобщённый, идеализированный,
умозрительный характер. Бесконечное здесь выступает как процесс,
развертывающийся во времени, которое длится неограниченно.
Потенциально бесконечным является, например, процесс построения
десятичных дробей, служащих рациональными приближениями числа √2 с
возрастающей точностью:
1,4; 1,41; 1, 414; …
Мы знаем, как вычислить любой член этой последовательности и при
наличии достаточного времени и материальных ресурсов могли бы явно
выписать любое конечное число её членов. Однако завершить построение всей
последовательности невозможно в рамках концепции потенциальной
бесконечности.
В приложениях математики к естествознанию и технике используется
понятие «практической» или «фактической» бесконечности. «Бесконечными»
здесь считаются обычные конечные числа и величины, но столь большие, что
в данном конкретном рассуждении или вычислении их без ущерба для
правильности результатов можно рассматривать как бесконечные. Равным
образом очень маленькие по абсолютной величине значения считаются
«бесконечно малыми» или просто нулями, если это допустимо в пределах
требуемой точности.
Обратимся теперь к анализу той роли, которую играли эти понятия
бесконечного в истории математики, особенно в периоды кризисов её
оснований.
2. Проблема бесконечного в античной математике
Формирование математики как дедуктивной науки произошло, как
известно, в Древней Греции, в VI в. до н.э. В античной математике проблема
бесконечного выступала в основном в форме проблемы структуры
непрерывного («континуума»). Примерами континуумов, т.е. непрерывных
множеств, могут служить множества точек отрезка, прямой, круга, квадрата,
куба, шара и т.д. Особенной остроты споры о континууме достигли в V - IV
вв. до н.э. после открытия несоизмеримых величин.
Это открытие было сделано в пифагорейской школе. Полагая, что в
основе всего мироздания лежат соотношения целых чисел, пифагорейцы
считали, в частности, что отношение для любых двух отрезков можно
выразить отношением целых чисел, т.е. рациональной дробью. Однако
открытие несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, а затем и других
пар несоизмеримых отрезков нанесло сокрушительный удар по этим взглядам.
Оказалось, что не существует такой единицы измерения, какой бы малой ни
была она, которую можно было бы целое число раз уложить и в стороне, и в
3
диагонали квадрата. Из этого пифагорейцы сделали вывод, что отрезок прямой
состоит из не имеющих никаких размеров элементов, число которых
бесконечно. Эти элементы получили название «атомов», т.е. «неделимых»,
ибо невозможно разделить то, что не имеет никаких размеров. «Точка есть то,
что не имеет частей», - гласит первое определение «Начал» Евклида.
Так в математику вошла актуальная бесконечность. Однако
представление об отрезке как актуально бесконечном множестве точек
породило многочисленные возражения и дискуссии, отзвуки которых дошли
до нас в сочинениях Платона и Аристотеля и в виде знаменитых апорий
(парадоксов) Зенона Элейского. Одна из этих апорий, «Дихотомия», сводится
к парадоксальному заключению о том, что невозможно суммировать
бесконечный ряд
1+
1 1 1 1
+ + +
+⋯
2 4 8 16
за конечное время, ибо бесконечное по самому своему определению есть то,
что не может быть никогда исчерпано. Апории Зенона были направлены
против использования актуальной бесконечности и в особенности против
представления, что пространственные и временные интервалы состоят из
актуально бесконечного числа неделимых элементов. Таким образом,
абстрактный характер математического понятия актуальной бесконечности в
науке Древней Греции ещё не был вполне осознан.
Как же были преодолены указанные затруднения?
В V в. до н.э. философ Анаксагор впервые высказал следующий принцип:
«В малом не существует наименьшего, но всегда есть ещё меньшее». Эта точка
зрения означала отказ от актуальной бесконечности и переход к идее
бесконечности потенциальной, что и стало господствующей концепцией в
древнегреческой математике. В философском лагере её поддерживали Платон
и Аристотель.
На основе идеи потенциальной бесконечности крупнейшим математиком
Евдоксом Книдским был разработан так называемый «метод исчерпывания»,
с помощью которого доказывались теоремы о длинах, поверхностях и объёмах
криволинейных фигур. Строгость этого метода оставалась непревзойдённой
вплоть до XIX века. Евдокс создал также общую теорию величин и их
отношений, во многом предвосхитившую теорию действительных чисел Р.
Дедекинда (1870-е годы). В основу этой теории Евдокса была положена так
называемая «аксиома Евдокса – Архимеда», исключавшая из математики
актуально бесконечно-малые.
Другой подход был предложен философом-материалистом Демокритом.
Все тела он считал состоящими из конечного, хотя и «сверхчувственно
большого» числа атомов. Эта идея, близкая к точке зрения «практической»
бесконечности, оказалась плодотворной в математике. Она позволила
Демокриту ещё до Евдокса найти объёмы пирамиды и конуса, т.е. впервые
решить задачи, относящиеся по существу к области математического анализа.
4
Однако точка зрения Демокрита сообщала математическим утверждениям
приближённый характер, с чем не могли согласиться ревнители
математической строгости. Не могли примириться с этим и идеалистыплатоники, связывавшие использование точных геометрических образов с
якобы существующим «миром чистых идей», который порождает
несовершенный «мир вещей». Взгляды Демокрита третировались и
замалчивались господствовавшей идеалистической философией.
Теории Евдокса явились тем фундаментом, на котором уже в
эллинистическую эпоху было завершено возведение величественного здания
греческой математики. Однако метафизическая абсолютизация лишь одной из
сторон бесконечного – потенциальной бесконечности – рано или поздно
должна была отрицательно отразиться на развитии науки. Только Архимед
сумел, вопреки установившимся традициям, вновь использовать в своих
работах как «неделимые», так и идеи Демокрита, и это принесло блестящие
результаты. Но разрыв между методами открытия и методами доказательства
– а в качестве такового официальная наука признавала только метод
исчерпывания, противоречие между содержанием исследования и той формой,
в которую оно облекалось, - достигли у Архимеда таких масштабов, что уже
ближайшие его последователи не могли понять многих его работ.
Абсолютизация потенциальной бесконечности и некоторые другие
ограничительные тенденции метафизического характера способствовали
начавшемуся со II в. до н.э. застою, а затем и упадку античной науки.
Сказались и идеалистические предрассудки: математики эпохи эллинизма за
редким исключением не желали видеть связи своей науки с задачами практики
и считали, вслед за Платоном, проявление интереса к приложениям
недостойным истинного геометра. Причиной распространения идеализма и
метафизики явились неблагоприятные изменения общественных условий:
рабовладельческая демократия сменилась монархией и деспотией.
3. Бесконечное в математике Нового времени
Новый взлёт математики, ознаменовавший подлинную революцию в ней,
происходит в XVII столетии. Наиболее характерной чертой этой революции
явилось возникновение общего понятия функциональной зависимости,
которое становится центральным понятием и основным предметом изучения
для новой науки – математического анализа. Значение этой революции
отметил Ф. Энгельс в «Диалектике природы», указав, что с введением
переменных величин в математику вошли движение и диалектика.
Методы нового анализа опирались в первую очередь на изучение
поведения функций «в малом», то есть на сколь угодно малых («бесконечномалых») отрезках изменения аргумента. Это побудило создателей анализа
снова обратиться к идеям о бесконечно-малых и бесконечно-больших
величинах, причём особое внимание привлекла, как наиболее плодотворная,
5
концепция актуально бесконечно-малых, или «неделимых». Первоначально
идея общей функциональной зависимости выступала преимущественно в
геометрической форме, и поэтому обосновать инфинитезимальные методы
сначала старались на геометрической базе. Первой попыткой дать такое
обоснование явилась «Геометрия неделимых» (1635 г.) Б. Кавальери
(«принцип Кавальери»).
Однако с развитием методов анализа бесконечно-малых геометрический
язык всё более усложнялся, становился чрезмерно громоздким и неудобным.
Постепенно осознавалась необходимость придать инфинитезимальным
методам арифметико-алгебраическую форму, заменить рассуждения
вычислениями, что и было осуществлено Ньютоном и Лейбницем.
Соответственно арифметический характер приобрела математическая
бесконечность. Идея арифметизации бесконечного впервые была
провозглашена Дж. Валлисом в его «Арифметике бесконечных» (1656 г.), где
он ввёл для бесконечно большой величины специальный символ «∞». С этого
времени математики начинают очень свободно обращаться с актуальной
бесконечностью. В математических формулах наравне с конечными
величинами появляются бесконечные, и сами эти формулы теперь содержат
бесконечное число членов. На исчисление бесконечно-малых начинают
смотреть как на свое рода «алгебру бесконечного». Это направление, наиболее
ярким представителем которого явился Л. Эйлер, обогатило науку огромным
количеством новых ценных результатов.
Но в то время как основное внимание крупнейших учёных было
сосредоточено на открытии новых результатов, основания математического
анализа оставались разработанными совершенно недостаточно. Не было,
прежде всего, ясности в вопросе о том, считать ли бесконечно-малые
актуально данными, завершенными, или же переменными, которые
потенциально могут стать меньше любого данного положительного числа.
Так, Ньютон в своей теории «первых и последних отношений» пытался
соединить оба эти подхода. Лейбниц высказывал по отдельности как одну, так
и другую точку зрения, а также и идею «практической» бесконечности, что
вызвало особенно резкие возражения. При действиях с бесконечно-малыми и
бесконечно-большими величинами из-за отсутствия сколько-нибудь полных и
точных правил приходилось опираться в основном на интуицию; и если
ведущих математиков она не подводила, то у их менее талантливых
последователей возникали недоразумения. Непонятно было, например,
почему в одних случаях с бесконечно-малыми можно было обращаться как с
нулями, а в других – нельзя.
Такого рода затруднения позволили философу-идеалисту Дж. Беркли
выступить с острой критикой всего математического анализа. В трактате
«Аналист» (1734 г.) Беркли пытался доказать, что истины самой точной из
наук – математики – обоснованы ничуть не лучше, чем догматы религии;
следовательно, если учёные верят в правильность результатов анализа
бесконечно-малых, то у них нет никаких оснований для того, чтобы не верить
6
в бога. В соответствии со своей философской системой, сущность которой он
выразил в афоризме: «Существовать – значит быть воспринимаемым», Беркли
отрицал существование бесконечного и не допускал использование его в
математике. Согласно Беркли, уже одна десятитысячная часть дюйма не
является чувственно воспринимаемой; тем более не могут быть
воспринимаемы чувственно безграничная делимость отрезка или актуально
бесконечно-малая величина.
Критика Беркли стимулировала исследования по обоснованию
математического анализа, однако удовлетворительное решение этой
проблемы, сочетающее общность арифметического подхода, удобства
алгебраической символики и строгость метода пределов, было достигнуто
только в трудах О.Л. Коши «Алгебраический анализ» (1821 г.) и «Резюме
лекций по дифференциальному и интегральному исчислению» (1823 г.).
Теория Коши использовала только абстракцию потенциальной бесконечности,
а актуальная бесконечность из математического анализа устранялась.
Несколькими годами ранее те же идеи высказал Б. Больцано, но его работы
остались малоизвестными. Однако и до появления всех этих работ, еще не
имея удовлетворительного обоснования анализа, математики продолжали
успешно его разрабатывать, причём уверенность в правильности получаемых
результатов опиралась как на интуитивную убедительность последних, так и
– что в конечном счёте было гораздо важнее – на успешное их применение в
естествознании и технике, т.е. на практике. Позиция большинства учёных того
времени выражалась словами Лейбница: «… Бесконечные и бесконечно малые
обоснованы тем, что в геометрии и даже в природе всё происходит, как если
бы они представляли собой совершенные реальности» [Лейбниц, 1948, с. 192].
Иначе говоря: несмотря на то, что сущность бесконечно-больших и
бесконечно-малых не выяснена, что они сами по себе обоснованы
недостаточно, однако они успешно применяются для исследования природы и
поэтому вполне допустимы в науке.
4. Теория множеств и третий кризис оснований
С созданием теории пределов Коши проблема обоснования
математического анализа ещё не получила своего полного разрешения. Сама
теория пределов опиралась на понятие действительного числа, для которого
ещё не существовало строгого обоснования. Такое обоснование, путём
сведе́ния действительных чисел к натуральным, дали одновременно, в 1872 г.,
независимо друг от друга и разными способами Р. Дедекинд, Г. Кантор, К.
Вейерштрасс и Ш. Мерэ. Однако в теории действительных чисел вводились в
рассмотрение различные бесконечные множества рациональных чисел, и тем
самым снова появлялась актуальная бесконечность. Развитие теории
действительных чисел и других разделов анализа привело, наконец, к
формированию представлений об актуально бесконечных множествах и к
7
возникновению теории бесконечных множеств. Эта теория, созданная
Г.Кантором в 1870-90-х гг., обозначила переломный момент в истории
проблемы бесконечного. Впервые актуально бесконечное стало предметом
систематического, строго научного изучения. Кантор преодолел путаницу,
накопившуюся за долгие столетия в ходе многочисленных споров о
бесконечном. Он выяснил, что первоначальным, более глубоким и общим
является не понятие "бесконечной величины", а понятие "бесконечного
множества". При этом оказалось, что одни свойства конечных совокупностей
не имеют места в случае бесконечных множеств, в то время как другие
сохраняют свою силу. Некоторые характеристики конечных множеств при
переходе к бесконечному «расслаиваются». Так, всякое конечное множество
при отвлечении от природы составляющих его элементов полностью
характеризуется числом этих элементов. Бесконечное же множество можно
характеризовать следующими атрибутами:
1) с точки зрения «многочисленности» его элементов – мощностью
(кардинальным числом);
2) в отношении размеров «занимаемого пространства» - мерой множества
его элементов-точек;
3) в отношении порядка расположения его элементов – порядковым типом
(ординальным числом).
Два бесконечных множества могут иметь одинаковую мощность, но
разную меру. В свою очередь, множества одинаковой меры могут различаться
порядковым типом. Принцип «целое больше части» неверен для мощности и
меры, но остаётся справедливым для порядкового типа. «Расслоение» понятий
позволяет более глубоко вскрыть структуру изучаемых объектов, выявить
многообразие черт в единстве конкретного.
Теория множеств предоставила мощные средства для обоснования
классических разделов математики: арифметики, алгебры, геометрии, анализа.
На базе теории множеств возникли общая топология и теория меры. Однако к
концу XIX в. в теории множеств были обнаружены логические противоречия
(антиномии), поставившие под сомнение не только саму эту теорию, но и
некоторые
классические
методы
рассуждений.
«…
Разразился
исключительный по своей силе «кризис оснований», который более тридцати
лет потрясал мир математики и временами грозил опорочить не только все её
недавние завоевания, но также и наиболее классические её области» [Бурбаки,
1963, с. 44].
Один из парадоксов теории множеств, обнаруженный самим Кантором,
состоит в следующем. Кантором была установлена теорема: множество всех
подмножеств любого множества М имеет мощность бóльшую, чем мощность
исходного множества М. Теперь рассмотрим множество всех множеств. Из
определения его следует, что оно имеет мощность, максимальную среди всех
множеств. Образуем множество всех его подмножеств. По теореме Кантора,
это множество должно иметь еще бóльшую мощность, что противоречит
предыдущему.
8
Паарадоксы теории множеств внесли смятение в ряды математиков. Р.
Дедекинд и Г. Фреге, пытавшиеся свести арифметику натуральных чисел к
теории множеств и логике, объявили свои работы ошибочными. Настойчивые,
но бесплодные усилия Кантора преодолеть эти парадоксы привели к
обострению его нервного заболевания.
5. Основные направления обоснования математики в первой трети XX
века и трактовка ими бесконечного
Дискуссия, развернувшаяся вокруг парадоксов, выявила расхождения во
взглядах крупнейших математиков по самым основным методологическим
вопросам. В области методологии математики возникло несколько
направлений, поставивших своей целью придать математике форму, которая
исключала бы возможность появления теоретико-множественных парадоксов,
и тем самым – преодолеть кризис её оснований. Наиболее значительными из
этих направлений явились логицизм, формализм (финитизм) и интуиционизм.
Логицисты (Рассел, Уайтхед и др.) стремились разрешить антиномии
теории множеств путём более глубокого логического анализа парадоксальных
ситуаций, не отвергая саму абстракцию актуальной бесконечности. По
мнению логицистов, источник парадоксов заключается в применении
определений, использующих круг («непредикативных» определений), когда
совокупность вещей, которую мы объединяем в множество, такова, что
некоторые из них зависят от самого образуемого множества. Именно так
обстоит дело с парадоксом Кантора: множество всех множеств принадлежит
самому себе в качестве элемента. Определение этого множества ведёт к
противоречию; стало быть, это множество не существует, и его определение
требует невозможного. Рассел и Уайтхед построили вариант теории множеств
(«теорию типов»), в котором не применяются непредикативные определения.
Формалисты предлагали математические теории, а также логику
рассматривать чисто формально, отвлекаясь от их содержания. Предложения
теории и правила логики, по которым строится теория, можно записать в виде
формул специального исчисления. Часть этих формул принимается за
аксиомы исчисления. Из аксиом при помощи формальных правил вывода
должны, по замыслу формалистов, быть выводимы за конечное число шагов
все истинные предложения данной теории, и только они. При этом число
аксиом и правил вывода всегда конечно. Таким образом, классическая
математика превращается в чисто формальную систему. Полученные
формальные исчисления должны изучаться содержательными методами, но с
использованием только таких логических средств, которые не вызывают
каких-либо сомнений и не могут приводить к парадоксам. В частности, не
допускается абстракция актуальной бесконечности. После того, как такими,
не подлежащими сомнению, «финитными», средствами установлена
формальная непротиворечивость исчисления, последнее может быть
9
истолковано содержательно, получить какую-нибудь интерпретацию.
Некоторые формулы теории при таком истолковании могут превратиться в
теоремы о бесконечных множествах.
Тем самым будет обосновано
использование в математике абстракции бесконечности и установлены
границы её применимости. «Оперирование с бесконечным может стать
надёжным только через конечное», - писал основатель формализма Д.
Гильберт [Гильберт, 1948, с. 364].
Бесконечное в математике не является, однако, по мнению Гильберта,
отражением реально существующей бесконечности. Оно выражает, скорее,
представление об очень большом, или очень малом. Математическая
бесконечность есть всего лишь вспомогательное научное понятие, удобная
фикция, идея, посредством которой (как указывал ещё Кант), «конкретное
дополняется в смысле цельности» (цит. по: [Гильберт, 1948, с. 364]).
Следуя своей программе, формалисты во главе с Гильбертом добились
немалых успехов и были, казалось, близки к достижению одной из основных
своих целей – доказательству непротиворечивости арифметики натуральных
чисел. Однако в 1931 г. австрийский логик К. Гёдель установил две свои
знаменитые теоремы, которые обнаруживали невозможность полной
формализации математического знания и невыполнимость формалистской
программы при буквальном её понимании. Первая теорема Гёделя (теорема о
неполноте арифметики), несколько позже усовершенствованная американцем
Дж.Б. Россером, гласит, что для всякой непротиворечивой формальной
теории, содержащей арифметику, можно построить формулу, которая
истинна, но невыводима в данной теории. Почти все математические теории
(геометрия, анализ, теория вероятностей и др.) включают арифметику
натуральных чисел, как элементарную составную часть. Поэтому они не могут
быть сведены к конечному набору аксиом и правил вывода. Вторая теорема
Гёделя (теорема о непротиворечивости) утверждает невозможность
доказательства непротиворечивости формальной теории методами, которые
первоначально были приняты школой Гильберта и считались единственно
допустимыми для этой цели.
Философское значение теорем Гёделя велико. По отношению к
рассматриваемой нами проблеме они свидетельствуют, в частности, о том, что
бесконечное (например, множество истинных утверждений о натуральных
числах) не может быть полностью сведено к конечному (в случае программы
формализма – к совокупности аксиом и правил вывода).
С наиболее радикальной критикой актуальной бесконечности и
связанных с ней методов рассуждений, принятых в классической математике,
выступили
интуиционисты.
Основным
критерием
правильности
математических рассуждений (построений и доказательств) интуиционисты
считали их внутреннюю убедительность, в которой удостоверяет нас наша
научная интуиция. Логика, с точки зрения интуиционизма, не является наукой,
предшествующей математике; она не является интуитивно более
убедительной и более надежной, чем математика: последнюю интуиционисты
10
отождествляли с точной частью нашего мышления вообще. Законы логики, по
их мнению, были выведены из практики обращения с конечными
совокупностями, а затем безосновательно распространены на актуально
бесконечные множества. Интуиционизм решительно отверг представления о
бесконечных множествах как интуитивно недостаточно ясные. Интуиционизм
отказался также от использования закона исключённого третьего по
отношению к бесконечным множествам. Воплощением абстракции
потенциальной бесконечности в интуиционизме явилась идея «свободно
становящейся последовательности».
6. Бесконечность в рамках конструктивного направления в математике
К 30-м годам XX столетия выяснилось, что ни одно из ведущих
направлений в основаниях математики не может дать её обоснование,
приемлемое для всех и одновременно полное. Теоремы Гёделя показали
ограниченность возможностей логицизма и формализма; непродуктивность
интуиционизма выявилась в процессе его математической практики. Но
каждая из этих школ внесла существенный вклад в развитие оснований и в
дальнейшую разработку глубоких методологических проблем математики. В
ходе этого развития были выработаны идеи и методы, на базе которых в 30-е
годы XX в. начало складывать конструктивное направление в математике.
Как и интуиционизм, конструктивное направление целиком и полностью
порывает с представлениями об актуально бесконечном. Краеугольным
камнем конструктивной математики служит идея потенциальной
бесконечности, наиболее полное свое выражение находящая в концепции
потенциальной осуществимости. Математический объект считается
потенциально осуществимым, если его можно построить (мысленно) за
конечное число операций, причём предполагается, что в нашем распоряжении
имеется достаточно ресурсов, необходимых для построения. Потенциально
осуществимый объект называется конструктивным, если заранее, до начала
построения, известен способ, ил алгоритм, согласно которому требуемый
объект строится шаг за шагом из некоторых простейших (мысленных)
элементов, не изменяемых в процессе всего построения. Построение
конструктивного математического объекта подобно сооружению дома из
кирпичей или сборке часового механизма из стандартных деталей. В
математике потенциально осуществимые объекты (в том числе
конструктивные) строятся из букв какого-либо алфавита, являются словами в
этом алфавите. Одним из простейших математических объектов служит
натуральное число: его можно осуществить, выписывая подряд в нужном
количестве вертикальные штрихи:
11
|||||||…||
n раз
Получается слово в алфавите, состоящем из единственной буквы «|».
Представление о конструктивных методах построения объектов
оформляются математически в виде точного понятия алгоритма. Понятия
конструктивного объекта и алгоритма - основные в конструктивной
математике. Целый ряд обстоятельств указывает на то, что всякий
потенциально осуществимый процесс, способ реализации которого известен,
можно формализовать в виде некоторого алгоритма. Это утверждение
известно под названием «тезиса Чёрча». Оно не может быть полностью
обосновано
внутри
математики
и
принимается
сторонниками
конструктивного направления в качестве естественнонаучной гипотезы.
Исследования в рамках конструктивного направления в математике
стимулировались не только неудовлетворительным (с точки зрения
конструктивистов) состоянием логической базы математики. Конструктивизм
позволил по-новому поставить вопрос о взаимосвязи математических теорий
с их приложениями, теснее связать эти две области.
Ещё в XIX в. математики стали отличать «эффективные» доказательства
существования
математических
объектов
от
«неэффективных».
«Неэффективное» доказательство существования состоит в том, что
предположение о несуществовании требуемого объекта приводится к
противоречию. Такие доказательства не дают никакого способа нахождения
искомого объекта, а часто и не могут его дать. Если известно только то, что
объект принадлежит определённой совокупности, то в том случае, когда эта
совокупность бесконечна, для отыскания нужного объекта необходимо
произвести, вообще говоря, актуально бесконечное число актов перебора, что
практически сделать невозможно. В классической математике имеется и ряд
других процедур неэффективного характера. Следует подчеркнуть, что все
они так или иначе связаны с применением абстракции актуальной
бесконечности.
Когда ситуации, описываемые неэффективными теоремами, возникают в
практических приложениях, математик-вычислитель обычно опирается на
собственный опыт и интуицию и старается заменить «неэффективные»
объекты их конструктивными, вычислимыми аналогами. Конструктивная
математика идёт как раз по этому пути и прослеживает все вычислительные
связи значительно лучше, чем классическая.
Но конструктивисты идут ещё дальше. Они считают, что успешность
практических приложений тех или иных математических теорий определяется
по существу именно теми конструктивными, потенциально осуществимыми
объектами, которые фигурируют в этих теориях. Напротив, такие сильные,
далеко идущие идеализации, как понятие актуальной бесконечности и другие,
связанные с ним, представляют собой, с точки зрения конструктивистов,
12
«дезориентирующие излишества принятого способа математического
моделирования реальных явлений» [Шанин, 1970, с. 41]. Конструктивисты
надеются, что в результате предпринятой ими перестройки математики будут
созданы теории, вполне обеспечивающие потребности естественных наук и в
то же время свободные от употребления потенциально неосуществимых
неконструктивных объектов.
7. Соотношение классической и конструктивной концепций
Всё сказанное, однако, не означает, что классическая математика станет
ненужной. Используемые в ней сильные идеализации служат мощным
инструментом теоретического познания, освещающим пути и для
конструктивных исследований, и для практических приложений. Система
понятий и методов классической математики предоставляет бóльшую свободу
для теоретического исследования по сравнению с более осторожными
концепциями конструктивизма. «Чистое» (т.е. неэффективное) доказательство
существования, отвлекаясь от менее важных подробностей, выявляет главные
черты изучаемого объекта подчас лучше, чем громоздкое конструктивное
построение.
Отметим ещё один аспект в соотношении конструктивного и
классического подходов. Некоторые конструктивисты полагают, что что
внешний мир не подсказывает нам с необходимостью представлений о какихлибо иных объектах, кроме конструктивных [Кушнер, 1973, с. 27]. Таким
образом, согласно этому взгляду, конструктивная математика является
адекватным и достаточно полным отражением человеческого опыта и
практики.
С данным тезисом согласиться нельзя. Рассмотрим следующий
мысленный эксперимент. Возьмём монетку и будем подбрасывать её
неограниченное число раз. Соответственно выпаданию герба или решки будем
записывать ноль или единицу друг за другом, в виде бесконечной
последовательности.
Будем
предполагать,
как
это
принято
у
конструктивистов, что мы не ограничены во времени, пространстве и
материалах, требуемых для выписывания последовательности. Но в
дополнение к конструктивистским идеализациям будем предполагать
возможность неограниченного повторения нашего эксперимента. Так, если
наш «физический прибор» износится, мы сможем заменить его точно таким
же. Тогда у нас получается некоторый потенциально осуществимый процесс.
Этот процесс заведомо не является конструктивным: невозможно указать
никакой конечный (математический) алгоритм,
строящий нашу
последовательность.
Ситуации, когда исход некоторых акций заранее неизвестен (и не может
быть известным) встречаются в экспериментальной науке и в практической
деятельности людей сплошь и рядом. Они не укладываются ни в какие
13
конструктивистские рамки. Но математика должна их описывать. И она это
делает. Какими же средствами?
Обратимся к теории действительных чисел. Один из наиболее
употребительных способов построения системы действительных чисел –
введение действительного числа через последовательность его рациональных
приближений. В конструктивной математике такая последовательность
задаётся алгоритмом, перерабатывающим номер каждого рационального
приближения в его значение. С логической точки зрения, конструктивное
действительное число (КДЧ) есть лишь этот конечно-определённый алгоритм
Речь о бесконечной последовательности рациональных приближений есть
только дань его происхождению. Тот факт, что последовательность,
порождаемая этим алгоритмом, сходится (к некоторому КДЧ), представляет
собой просто некоторое свойство порождающего алгоритма.
Но последовательность рациональных приближений действительного
числа можно получать также посредством подходящего потенциально
осуществимого «физического эксперимента», в процессе физических
измерений. В этом случае о законе её образования заранее ничего не известно
и, вообще говоря, не может быть известно. Она становится полностью
известной нам только тогда, когда получены все её члены после выполнения
бесконечного числа «физических экспериментов».
Последовательность определяет действительное число, когда она
сходится. Для того, чтобы только сформулировать признак сходимости
последовательности (известный «критерий Коши»), мы должны разрешить
себе говорить обо всех её членах сразу. У нас нет другого способа задать
конкретную последовательность такого рода, кроме как через предъявление
сразу всех её членов. Тем самым мы вводим в математику представление об
актуально бесконечном (счётном) множестве. Именно так поступают в
классической математике. Но, быть может, этот способ не даёт других
объектов, кроме тех, которые уже введены конструктивно? Оказывается – нет:
даёт, и в этом нетрудно убедиться. Множество конструктивных
действительных чисел счётно, поскольку счётно множество порождающих их
алгоритмов. В то же время множество классических действительных чисел
несчётно. Классических действительных чисел «гораздо больше», чем тех
действительных чисел, которые можно построить конструктивно.
Возможны промежуточные случаи: перед началом построения
бесконечной последовательности мы располагаем частичной информацией о
ней. Такие ситуации рассматриваются в различных интуиционистских
системах.
8. Некоторые выводы
Выводы из методологического анализа проблемы бесконечности в
математике можно сделать следующие.
14
1. Математическая бесконечность не является полным и адекватным
отражением реальной бесконечности. «Актуальная бесконечность есть просто
несовершенная математическая модель, предназначенная для изображения
колоссально большого целого числа, конечного «в себе» и не допускающего в
действительных условиях никакого конечного изображения … То, что мы
называем актуальной бесконечностью, есть не что иное, как конечное, но
фиксированное и очень большое» [Лузин, 1958, с. 268].
2. Абстракция актуальной бесконечности относится к числу самых
мощных инструментов математики. Без неё невозможен классический
(неинтуиционистский и неконструктивистский) математический анализ, а
последний сохраняет безраздельное господство в математическом
естествознании.
3. Средства классической аристотелевской логики совершенно
недостаточны для изучения бесконечного. Необходим углублённый анализ
логики и её значительное развитие.
4. В природе мы обнаруживаем потенциально бесконечные процессы и
явления. При анализе этих явлений некоторые их черты выступают как
конечное, другие – как бесконечное. Стремясь выразить бесконечное
посредством тех или иных формальных средств, математики тем самым
изучают бесконечное через конечное. В свою очередь, конечное не может быть
познано во всей своей полноте без перехода к идее бесконечного. Как заметил
ещё Гегель, «сущность всего конечного состоит в том, что оно само себя
снимает» [Гегель, 1929, с. 135].
5. На каждом отдельном этапе своего развития математика пытается
охватить бесконечное имеющимися в её распоряжении методами, выразить
бесконечное через конечное. Хотя попытки такого рода имеют исключительно
важное значение для науки (как, например, финитизм Гильберта или
конструктивное направление), они, как всякий раз оказывается, не достигают
полного успеха. Это свидетельствует о том, что бесконечное нельзя свести к
конечному. Тем не менее изучение бесконечного достигает всё новых
результатов. «Познание бесконечного … может, по самой своей природе,
совершаться только в виде некоторого бесконечного асимптотического
процесса», - писал Энгельс. – «И этого для нас достаточно, чтобы мы имели
право сказать: бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо, а это
всё, что нам нужно» [Маркс и Энгельс, 1961, с. 549].
Литература
Бурбаки Н. (1963). Очерки по истории математики. М.: Изд. ин. лит., 1963.
Гегель Г.В. (1929). Сочинения, т. 1. М.-Л., Госиздат, 1929.
Гильберт Д. (1948). О бесконечном. / В кн.: «Основания геометрии», М.-Л.,
ОГИЗ – Гос. изд. тех.-теор. лит., 1948.
15
Кушнер Б.А. (1973). Лекции по конструктивному математическому анализу.
М.: Наука, 1973.
Лейбниц Г.В. (1948). Избранные отрывки из математических сочинений. Сост.
и перев. А.П. Юшкевич. / Успехи матем. наук, 1948, 3, I(23).
Лузин Н.Н. (1958). Лекции об аналитических множествах. / Собр. соч., т. II.
М., Изд-во АН СССР, 1958.
Маркс К. и Энгельс Ф. (1961). Сочинения. Изд. 2-е, т. 20. М., Госполитиздат,
1961.
Новиков П.С. (1973). Элементы математической логики. М., Наука, 1973.
Шанин Н.А. (1970). Вступительная статья к книге: Р.Л. Гудстейн.
Рекурсивный математический анализ. М., Наука, 1970.
16
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа