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An investigation of the content of the "Arithmetica" of Boethius and the circumstances attending its use

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o f t h e content o f
THE ARITHMETICA OF BOETHIUS
AND THE GIRCUMSTABCES ATTENDING- IT S USE
A D is s e rta tio n
P re s e n te d to
th e F a c u lty o f th e S c h o o l o f E d u c a tio n
The U n iv e r s ity o f S o u th e rn C a lif o r n ia
In P a r t i a l F u lfillm e n t
o f t h e R e q u ir e m e n t s f o r t h e D e g r e e
D o c to r o f E d u c a tio n
by
D o n a ld F . M c N e il
M ay 1 9 4 1
UMI Number: DP25688
All rights reserved
INFORMATION TO ALL USERS
The quality of this reproduction is dependentupon the quality of the copy submitted.
In the unlikely event that the author did not send a complete manuscript
and there are missing pages, these will be noted. Also, if material had to be removed,
a note will indicate the deletion.
D issattaftm P o lish in g
UMI DP25688
Published by ProQuest LLC (2014). Copyright in the Dissertation held by the Author.
Microform Edition © ProQuest LLC.
All rights reserved. This work is protected against
unauthorized copying under Title 17, United States Code
ProQuest"
ProQuest LLC.
789 East Eisenhower Parkway
P.O. Box 1346
Ann Arbor, Ml 48106- 1346
Th is dissertation, writ ten under the direction
of the Chairman of the candidate’s Guidance
C o m m i t t e e and a p p r o v e d hy all m e m be rs of the
C o m m i t t e e > has been p r ese nte d to a n d a c ce p te d
by the F acu lty of the Sc ho ol of E du c at io n in
p a r ti a l fu lfillme nt of the requirements f o r the
de gree of D o c t o r of Education.
1 ......................
Dean
Guidance Committee
M. M. Thompson
Chairman
0 . E. H ull
D. Vfelty L efever
Louis P. Thorpe
P. J . Weersing
TABLE OF CONTENTS
CHAPTER
I.
PAGE
THE PROBLEM ♦ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
In tro d u c tio n
.
.
. .
.....................................................
S ta te m e n t o f th e p ro b le m
•
I m p o r t a n c e o f t h e p r o b le m
R e la te d i n v e s ti g a ti o n s
•
1
• . • ................................
3
• • • ..............................•
3
. . . . . . . . . . . .
Scope o f th e in v e s tig a tio n
5
• • • • • • • • • •
6
T he t e x t u s e d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n ..........................
7
T r a n s la tio n o f th e t e x t
. . . . . .
S
• • • • • • • •
9
..........................
The o r g a n i z a t i o n o f t h e t h e s i s
Sum m ary
IX .
1
..............................
.
THE ARITHM BTICA...................................... • • ..............................
B o e th iu s and h i s p la c e i n
a rith m e tic
.
.
10
12
th e h i s t o r y o f
• ♦ ....................•
.
...........................
12
.............................................. 2 1
S o u rc e s o f th e A r ith m e tic s
.
C o n te n t o f th e A r i t h m e ti c s
. . . . . . . . . .
23
E x p l a n a t i o n o f som e t e r m s u s e d i n t h e A r i t h m e t i c s 2 4
S u m m a r y ..................... ..... .
III.
.
..................................................
26
SUMMARY OF THE A R IT H M B T IC A .........................................
B ook I ,
27
27 c h a p t e r s • • • • • • ...........................................27
1 . In tro d u c tio n :
D iv is io n o f m a th e m a tic s
.
.
2 . On t h e s u b s t a n c e o f n u m b e r . . . • * • • •
3* T he d e f i n i t i o n a n d d i v i s i o n o f n u m b e r; a n d
27
28
iii
CHAPTER
PAGE
th e v a r io u s d e f i n i t i o n s o f ev en an d odd
n u m b e rs
........
......................
28
4.
On t h e p r i n c i p l e o f u n i t y
5*
T he s p e c i e s o f e v e n n u m b e rs
6*
On
th e
•• • • • • • •
.
. . ..
30
• .
30
e q u a l l y e v e n num ber an d i t s
p ro p e rtie s
31
7 . On t h e e q u a l l y o d d n u m b e r a n d i t s
p ro p e rtie s
• * • • • • « • • •
. . . . . . 3 1
8 . On t h e n u m b e r u n e q u a l l y e v e n a n d i t s
p r o p e r t i e s .......................... . .
9*
On t h e o d d n u m b e r a n d
th e
..
.............................
i t s d iv is io n s
p r i m e a n d s i m p l e n u m b e rs
32
• • •
10.
On
.. .
11.
On t h e s e c o n d a r y a n d com pound n u m b e r . . .
33
.
.3 4
34
1 2 . On t h a t n u m b e r, w h ic h c o n s i d e r e d a l o n e i s
s e c o n d a r y a n d com pound y e t c o m p a re d t o
a n o th e r i s
p r im e a n d s i m p l e .........................
•
34
1 3 . On t h e d i s c o v e r y o f a p r im e a n d s i m p l e
n u m b e r , a n d o f a s e c o n d a r y a n d com pound
n u m b e r , a n d o f a n u m b e r s e c o n d a r y a n d com*
p o u n d w hen c o n s i d e r e d a l o n e b u t p r im e a n d
s im p le w hen r e l a t e d
14.
t o a n o th e r num ber
♦ .
35
On t h e f i n d i n g o f t h o s e n u m b e r s , t h e m s e l v e s
s e c o n d a r y a n d c o m p o u n d , w h ic h a r e p r i m e a n d
s im p le i n r e l a t i o n
to each o th e r • • • .
•
36
iv
CHAPTER
PAGE
15* A n o t h e r d i v i s i o n o f e v e n n u m b e r s , i n t o
p e rfe c t,
i m p e r f e c t , a n d "m o re t h a n p e r ­
f e c t " n u m b e rs
.
.
. .............................................. .
.
37
p e r f e c t num ber •
57
16*
On t h e d e v e l o p m e n t o f t h e
17*
C o n c e rn in g a n y q u a n t i t y r e l a t e d
to a n o th e r
......................
. . . . . .
q u a n tity
1 8 • On t h e
.
.
.
.
.
.
39
s p e c ie s o f g r e a t e r and l e s s
in e q u a lity
. . . . . . . .
19* On m u l t i p l e x i n e q u a l i t y ,
its
39
d iffe re n t
s p e c ie s , and th e ir o rig in s
................................ 39
2 0 . On s u p e r p a r t i c u l a r i s i n e q u a l i t y ,
s p e c i e s , and t h e i r o r i g i n s
.
its
..................................... 4 1
2 1 . S u p e r p a r t i c u l a r i s and m u ltip le x r a t i o s
s u m m a riz e d o n a c h a r t
• • •
22# An e x p o s i t i o n b y w h ic h i t
th a t th e m u ltip le x r a t i o
is
................................ 4 3
c le a rly
show n
i s a n te c e d e n t to
th e o th e r s p e c ie s o f in e q u a lity ;
and an
e x p l a n a t i o n o f t h e c h a r t ............................................... 4 3
2 3 . On a t h i r d h i n d o f i n e q u a l i t y ,
s u p e rp a rtie n s , i t s
o rig in s
s p e c ie s ,
c a lle d
and t h e i r
• • • • • • .........................
47
2 4 . On t h e m u l t i p l e x s u p e r p a r t i c u l a r i s
in e q u a lity
•
25* On f u r t h e r u s e s f o r t h e c h a r t g i v e n i n a
49
V
CHAPTER
PAGE
p re c e d in g c h a p te r
50
26« On t h e m u l t i p l e x s u p e r p a r t i e n t i s
in e q u a lity
51
2 7 . A d e m o n s t r a t i o n o f t h e m a n n e r i n w h ic h
e v e r y i n e q u a l i t y p r o c e e d s fro m e q u a l i t y
B ook I I ,
.
51
41 c h a p te rs
1 . How e v e r y i n e q u a l i t y m ay b e r e d u c e d t o
e q u a lity
........................................................
54
2 . An e x p l a n a t i o n o f t h e m e th o d o f f i n d i n g
t h o s e n u m b e rs t h a t
in c e r ta in
can be u sed to g e th e r
i n e q u a l i t i e s ..............................
55
3 . C o n c e rn in g t h e i n t e r v a l p ro d u c e d b y j o i n ­
in g c e r ta in s u p e r p a r tic u la r is i n e q u a lit ie s
56
4 . On q u a n t i t y c o n s t a n t " p e r s e , " w h ic h i s
c o n s i d e r e d i n g e o m e t r i c f i g u r e s , a n d w h ic h
i s t h e common r a t i o
o f a l l m a g n itu d e s
. .
5 . On t h e l i n e a r n u m b e r
57
59
6 . On r e c t i l i n e a r p l a n e f i g u r e s w h o se s o u r c e
is
a t r i a n g l e , a n d o n t h e d e v e lo p m e n t o f
t r i a n g u l a r n u m b e rs
. . . . . . .
7 . On q u a d r a t i c n u m b e rs , a n d t h e i r d e v e lo p m e n t
59
61
8 . On p e n t a g o n a l n u m b e rs a n d t h e i r d e v e lo p m e n t 6 2
9 . On h e x a g o n a l a n d h e p t a g o n a l n u m b e rs a n d
t h e i r d e v e lo p m e n t, and t h e r u l e s f o r f in d in g
vi
PAGE
CHAPTER
f i g u r e d n u m b e rs o f a n y s o r t
.
.
.
♦ • • *
62
1 0 . On t h o s e f i g u r e d n u m b e rs t h a t a r i s e f r o m
o t h e r f i g u r e d n u m b e rs, and p r i n c i p a l l y on
t h e t r i a n g u l a r n u m b e r w h ic h i s
tio n f o r a l l th e o th e rs
th e fo u n d a ­
• • * • • • • • •
63
1 1 . S p e c u la tio n c o n c e rn in g th e e h a r t . o f
f i g u r e d n u m b e rs
. . • • * • . • • • • • •
64
......................... .
64
12* On s o l i d n u m b e rs
13.
.
.
. .
C o n c e r n i n g p y r a m i d i c a l n u m b e rs w h ic h a r e
t h e f o u n d a tio n f o r s o l i d f i g u r e d n u m b e rs,
j u s t a s t h e t r i a n g u l a r n u m b e rs a r e t h e
f o u n d a t i o n f o r s u r f a c e f i g u r e d n u m b e rs .
13* On t h e d e v e lo p m e n t o f s o l i d n u m b e r s
15*
On t r u n c a t e d p y r a m id s
.
65
. . .
66
• • • • • • • • • •
67
1 6 . On t h e s e v e r a l p a r a l l e l e p i p e d , w e d g e , a n d
s p h e r i c a l n u m b e rs
1 7 . On " p a r t e a l t e r a
o r e s " n u m b e rs
.........................
67
lo n g io r e s " and " a n te lo n g i-
• • • • •
.
.
66
1 8 . Q u a d r a t i c n u m b e rs a r i s e f r o m o d d n u m b e r s ;
" p a r t e a l t e r a l o n g i o r e s " n u m b e rs a r i s e
f r o m e v e n n u m b e r s ............................... • • • • •
19.
On t h e d e f i n i t i o n
o f " l a t e r c u l u s " n u m b e rs
20.
On c i r c u l a r a n d s p h e r i c a l n u m b e rs
• • • •
2 1 . On t h e n a t u r e o f t h o s e t h i n g s w h ic h a r e
69
70
70
vii
CHAPTER
PAGE
s a id to be o f th e
sam e n a t u r e a n d o f
t h o s e t h i n g s w h ie h a r e o f a d i f f e r e n t
n a t u r e , a n d t h e n u m b e r s w h ic h a r e b a s e d
o n e a c h n a t u r e .............................................................
.
71
e s p e c i a l l y n o t i c e a b l e i n n u m b e rs .....................
72
2 2 . A l l t h i n g s a r e b a s e d o n t h e i r own s u b ­
s ta n c e t o g e t h e r w ith t h e s u b s ta n c e o f
a n o th e r , and t h i s d o u b le d e p e n d e n c e i s
2 3 . On c e r t a i n r a t i o s e x i s t i n g b e tw e e n q u a d ­
ra tic
a n d " p a r t e a l t e r a l o n g i o r e s " n u m b ers
24* E v e r y r a t i o
72
o f t h e f i g u r e d n u m b e rs a r i s e s
fro m t h e q u a d r a t i c a n d " p a r t e a l t e r a
l o n g i o r e s * n u m b e r s ............................................................... 74
2 5 . How a q u a d r a t i c n u m b e r m ay b e p r o d u c e d
fro m a " p a r t e a l t e r a l o n g i o r e s " n u m b er, o r
a " p a r t e a l t e r a l o n g i o r e s " fro m a q u a d r a t i c 75
2 6 . On t h e s p e c i e s o f n u m b e rs w h o se f o u n d a t i o n s
a re u n ity and d u a lity
...........................................75
2 7 . C o n c e rn in g t h e d i f f e r e n c e s , n u m e r ic a l an d
p r o p o r t i o n a l , a r i s i n g w hen t h e q u a d r a t i c
s e r i e s i s w r i t t e n a l t e r n a t e l y w ith th e
" p a rte a lt e r a
lo n g io re s " s e r ie s
. . . . .
2 8 . A n o th e r p r o o f t h a t q u a d r a t i c s p a r t i c i p a t e
in th e n a tu re o f u n ity
76
.
• • • • ................................ 77
viii
CHAPTER
. .
29.
PAGE
C u b ic n u m b e r s a l s o p a r t i c i p a t e
in
th e
s u b s ta n c e o f u n i ty b e c a u se th e y a r i s e
f r o m o d d n u m b e r s .........................
73
30*
On p r o p o r t i o n a l i t y
31*
On t h e n u m b e r o f p r o p o r t i o n a l i t i e s
32*
On t h e f i r s t
m e tic , and i t s
78
p ro p o rtio n a lity ,
p ro p e rtie s
..
• .
79
c a lle d a r it h ­
• .. • .
..
• .
79
3 3 . On g e o m e t r i c p r o p o r t i o n a l i t y a n d i t s
p ro p e rtie s
80
34* I n w h ic h t h e d i f f e r e n t p r o p o r t i o n a l i t i e s
a r e c o m p a re d t o d i f f e r e n t k i n d s o f
g o v e r n m e n t s ............................... .
.
♦ ...................... 8 1
35* O n ly o n e p r o p o r t i o n a l m ean m ay b e i n s e r t e d
b e tw e e n tw o s u c c e s s i v e t e r m s o f t h e q u a d ­
ra tic
s e rie s ;
a n d o n l y tw o p r o p o r t i o n a l
m e a n s m ay b e i n s e r t e d b e tw e e n tw o s u c c e s ­
s iv e te rm s o f th e
c u b i c s e r i e s ................................ 8 2
36* On t h e h a r m o n ic p r o p o r t i o n a l i t y a n d i t s
p ro p e rtie s
.....................
« • . • • . . . • •
•
83
3 7 . Itfhy h a r m o n ic p r o p o r t i o n a l i t y i s g i v e n s u c h
a n a m e ; a n d on g e o m e t r i c h a r m o n y ...........................8 4
3 8 . On t h e m e th o d s b y w h ic h a n a r i t h m e t i c , o r
g e o m e t r i c , o r h a r m o n ic p r o p o r t i o n a l i t y m ay
b e i n s e r t e d b e tw e e n a n y tw o g i v e n n u m b e rs
86
ix
CHAPTER
PAGE
3 9 . On t h r e e p r o p o r t i o n a l i t i e s w h ic h a r e
tr a r y to
con­
t h e h a r m o n ic a n d g e o m e t r i c
p ro p o rtio n a litie s
• • • • • • • • • « . .
37
4 0 . On f o u r o t h e r p r o p o r t i o n a l i t i e s t h a t w e re
d e v is e d to
b r i n g t h e num ber o f p r o p o r t i o n ­
a litie s
to
up
te n ; and a c h a rt
p ro p o rtio n a litie s
o f th e te n
. . , . • . • • • • • •
88
4 1 . On t h e p e r f e c t a n d g r e a t e s t sy m p h o n y ,
w h ic h i s c o m p o s e d o f t h r e e i n t e r v a l s
IV .
. . .
90
THE PREFACE AND CERTAIN CHAPTERS TRANSLATED . . .
92
T he p r e f a c e
92
C h a p t e r I , B ook I
C h a p te r I I ,
........................................................................
B ook I
96
......................................................................... 1 0 2
C h a p t e r 1 1 1 , B ook I
.
.
C h a p t e r X E I I I , B ook I
.
.
.
.....................................................1 0 4
........................................
107
S u m m a r y ........................................................................................................1 1 0
V.
A COMPARISON OF THE CONTENT OF THE ARITHMETICA
i.
.
■1
WITH THE CONTENT OF RECENT MATHEMATICAL WORKS .
V I.
Ill
ON THE ARITHMETICA CONSIDERED AS A TEXTBOOK TO BE
USED BY STUDENTS PREPARING FOR A COURSE IN
PHILOSOPHY
V II.
SUMMARY
.
.
.
.
.
.............................
115
.......................................
BIBLIOGRA PHY.............................................................
124
.
129
L IS T OF FACSIMILES
PAGE
P h o t o s t a t o f F r o n t i s p i e c e o f A r i t h m e t i c s .........................
. •
xi
.................................
44
P h o to s ta t o f
P a g e 55 o f t h e A r i t h m e t i c s
P h o to s ta t o f
P a g e 56 o f t h e A r i t h m e t i c s .....................................
45
P h o to s ta t o f
P a g e 1 0 3 o f t h e A r i t h m e t i c s ..........................
60
P h o to s ta t o f
C h a p t e r X T I I I , B ook I ,
P h o to s ta t o f
l a s t page o f th e In d e x o f th e A r ith m e tic s
o f th e
A rith m e tic s
»
•1 0 9
133
D IV I SEV ER !
NI BOETII ARITH M ETICA,
4D V O B V S D I S C R E T A LI B RI S t AD I H>
• C T O C O M M E N T A RI O, M Y S T I C AM N V M E ;
jrorum applicationem perftringente, declarata*
PS*®
m
S B ECOLINES
CVamundaturapud S r M O N E M CO LI
N ifi V M,e regione fcholaz Dccretorutm
V>
CHAPTER I
THE PROBLEM
T he h i s t o r y o f m an o n e a r t h
is
lo n g ; g e n e r a tio n h a s
f o l l o w e d g e n e r a t i o n f o r m an y , m any c e n t u r i e s *
tio n
is
a w are o f i t s
E ach g e n e ra ­
own d e e d s , h a s k n o w le d g e b y w o rd o f m o u th
o f t h e d e e d s o f t h e g e n e r a t i o n o r tw o p r e c e d i n g i t ,
i s d im ly
a w are o f t h e d e e d s o f g e n e r a t i o n s f u r t h e r b a c k .o n ly b y t r a d i ­
t i o n and f o l k l o r e an d l e g a c i e s o f one k in d o r a n o th e r t h a t
t h e f o r t u n e s o f w a r a n d t h e r a v a g e s o f t im e h a v e s p a r e d *
Among t h e s e l e g a c i e s b o o k s s t a n d p r e - e m i n e n t b e c a u s e t h e y c a n
be c a r r ie d
f r o m p l a c e t o p l a c e a n d b r i n g t o men o f l a t e r g e n ­
e r a tio n s l i v i n g i n f a r o f f la n d s th e s to r y o f th e d e ed s o f
e a r l i e r g e n e ra tio n s *
C u ltu re and le a r n in g have th u s b een
h a n d e d dow n f r o m o n e g e n e r a t i o n t o a n o t h e r , e a c h g e n e r a t i o n
a d d in g i t s
c o n t r i b u t i o n u n t i l we now h a v e i n o u r l i b r a r i e s f a r
m o re b o o k s t h a n a n y m an c a n p o s s i b l y r e a d i n t h e l o n g e s t l i f e ­
tim e .
T h i s p r e s e n t c o n d i t i o n i s d u e t o t h e d e v e lo p m e n t o f
p rin tin g ,
b u t e v e n i n a n c i e n t d a y s w hen b o o k s w e re o f n e c e s s i t y
t r a n s c r i b e d b y h a n d t h e r e w e re v a s t c o l l e c t i o n s g a t h e r e d i n a
fe w l i b r a r i e s .
T he p a s s i n g y e a r s a n d t h e f o r t u n e s o f w a r , a n d
e s p e c i a l l y t h e s h o r t s i g h t e d n e s s o f m en , h a v e b e e n r e s p o n s i b l e
f o r th e d e s tr u c tio n o f th e s e a n c ie n t c o ll e c t io n s .
t h e s e b o o k s p r o b a b l y w e re n o t w o r t h p r e s e r v i n g ;
M any o f
some w e r e c o n ­
s i d e r e d t o b e s o v a l u a b l e t h a t t h e c o p i e s w e re m u l t i p l i e d a n d
2
p assed
in to
t h e h a n d s o f m any p r i v a t e o w n e rs *
w e re c o m p a r a tiv e ly r a r e
Such h ook s
i n a n c ie n t d a y s , b u t th e y h e lp e d t o
b r i d g e t h e g a p b e tw e e n g e n e r a t i o n s o f m e n , a n d t o p a s s o n
to
t h o s e who w e re f o r t u n a t e e n o u g h t o p o s s e s s th e m , t h e
l e a r n in g and c u ltu r e o f t h e i r a n c e s to rs #
Among b o o k s o f t h i s
s ta n d s p re -e m in e n t#
ty p e th e A r i t h m e ti c s o f B o e th iu s
I t w a s w r i t t e n a t t h e t i m e w hen t h e u s e
a n d e v e n t h e k n o w le d g e o f t h e G r e e k l a n g u a g e w a s r a p i d l y d e ­
c l i n i n g am ong t h e Rom ans*
B o e th iu s , s k i l l e d
in th e a r t s and
s c ie n c e o f G re e c e , so u g h t to p r e s e r v e f o r h i s L a tin c o u n try ­
m en t h e k n o w le d g e a n d c u l t u r e
t h a t th e G re e k s h ad g a th e r e d
a n d e x t e n d e d , a n d h e s u c c e e d e d s o w e l l t h a t h i s w o r k s w e re i n
c o n s t a n t u s e f o r o v e r a th o u s a n d y e a r s .
I n t h i s p e rio d th e
m ap o f E u r o p e w a s c h a n g e d m any t i m e s ; new p o l i t i c a l s y s te m s
a r o s e ; new l a n g u a g e s w e r e b o r n ; t h e New W o rld w a s d i s c o v e r e d ;
a ll
th e w h ile le a r n in g and c u l t u r e a d v an c ed b u t s lo w ly u n t i l
th e d is c o v e r y o f p r i n t i n g ; b u t th ro u g h a l l th e s e
A rith m e tic s h e ld i t s
a rith m e tic #
ch an g e s th e
p la c e a s th e one b o o k on t h e o r e t i c a l
I t p a s s e d t h r o u g h m any e d i t i o n s , a n d m any com­
m e n ta to r s s o u g h t t o e x p la in a n d a m p lif y t h e m eag er m a th e m a tic a l
k n o w le d g e i t
c o n ta in e d *
H o w e v e r-m u c h t h e m o d e rn r e a d e r m ay
s m ile a t w h a t a r e — t o u s — e x tr a v a g a n t an d u s e l e s s s y s te m s o f
r a t i o s and s e r i e s , he w i l l ,
m ade t o
i f he i s f a i r ,
l e a r n m o re a b o u t t h e t a n t a l i z i n g
re c o g n iz e th e e f f o r t
t h i n g c a l l " n u m b e r ,"
a n d a b o u t w h ic h o u r own k n o w le d g e i s f a r f r o m c o m p le te *
I t is
3
n o t i m p o s s i b l e t h a t m a t h e m a t i c a l s t u d e n t s o f a l a t e r t i m e m ay
s m i l e a s m uch a t o u r k n o w le d g e o f " n u m b e rw a s we do a t t h e
c o n te n t o f th e A r ith m e tic s ?
I n an e f f o r t to
l e a r n m o re a b o u t t h e l e g a c y t h a t s e r v e d
o u r a n c e s t o r s so lo n g , t h e f o l lo w in g w as p ro p o s e d a s a t o p i c
fo r in v e s tig a tio n .
S ta te m e n t o f th e p ro b le m .
w as an i n v e s t i g a t i o n o f th e
T he p u r p o s e o f t h i s
stu d y
c o n te n t o f th e A r ith m e tic s o f
B o e th iu s an d th e c ir c u m s ta n c e s a tte n d in g i t s
I n o t h e r w o rd s t h e p u r p o s e o f t h e
u se.
s tu d y w as t o a n sw e r
th e fo llo w in g q u e s tio n s :
1 * Who w a s B o e t h i u s a n d w h a t i s
h is ran k a s a
m a th e m a tic ia n ?
2 . W h ere d i d B o e t h i u s g a t h e r t h e m a t e r i a l p r e s e n t e d i n
th e A rith m e tic s ?
3 . W hat i s
th e c o n te n t o f th e A rith m e tic s ?
4 . W hat s t a n d i n g h a s t h e A r i t h m e t i c a i n t h e h i s t o r y o f
m a th e m a tic s ?
5 . W hat a r e
som e o f t h e p o s s i b l e r e a s o n s w hy t h e
A r i t h m e ti c a m a in ta in e d a p ro m in e n t p o s i t i o n i n t h e e d u c a ti o n a l
w o r l d f o r s o m any c e n t u r i e s ?
6 . Why d i d t h e A r i t h m e t i c a f a l l
Im p o rta n c e o f t h e p ro b le m .
in to
d is u s e ?
T he A r i t h m e t i c a w a s w r i t t e n
a b o u t 520 A . D . , s u r v iv e d i n m a n u s c rip t fo rm u n t i l th e d is c o v e r y
4
o f p rin tin g ,
a n d w e n t t h r o u g h m any e d i t i o n s b e f o r e 1 5 0 0 .
b o o k w as u s e d i n t h e
T he
s c h o o ls fro m v e r y e a r l y tim e s u n t i l
a b o u t 1650 A . B.
T he A r i t h m e t i c a i s e s s e n t i a l l y
a te x tb o o k ,
and a s su ch
s u p p l i e d i n som e f a s h i o n a t l e a s t t h e n e e d f o r m a t h e m a t i c a l
k n o w le d g e f e l t b y t e a c h e r a n d p u p i l .
I t w as i n t e r e s t i n g to
d i s c o v e r how f e w t h e s e n e e d s w e r e , a s c o m p a re d t o
th o s e o f
th e p re s e n t day .
I t w as a l s o i n t e r e s t i n g t o d is c o v e r w h a t n e e d s
B o e t h i u s s o u g h t t o s a t i s f y w hen h e w r o t e t h e A r i t h m e t i c a .
P ro b a b ly th e
s tro n g e s t rea so n o f a l l
on t h i s in v e s tig a tio n i s
f o r t h e w o rk d o n e
th e f a c t t h a t th e A rith m e tic a i s one
o f t h e fe w c h a n n e l s t h r o u g h w h ic h t h e c u l t u r e a n d l e a r n i n g o f
a n c i e n t G re e c e w as c a r r i e d d u r in g th e tr o u b le s o m e tim e s o f th e
b r e a k - u p o f t h e Rom an E m p ir e a n d d e l i v e r e d s a f e l y t o t h e
p r in te r s o f th e l a t e
fifte e n th
c e n tu ry .
As th e A rith m e tic a d e a ls w ith t h e o r e t i c a l a r ith m e tic ,
m uch o f i t h a s b e e n o u tm o d e d , b u t t h e r e r e m a i n a fe w i t e m s
th a t a re s t i l l
ta u g h t i n th e s c h o o ls o f th e p r e s e n t d a y .
On t h i s p o i n t H o g b e n 1 h a s t h e f o l l o w i n g t o
say about
s u c h w o rk s a s t h e A r i t h m e t i c a :
T he f a c t i s t h a t m o d e rn m a t h e m a t i c s d o e s n o t b o r r o w
s o v e r y m uch f r o m a n t i q u i t y .
To b e s u r e , e v e r y u s e f u l
1 L a n c e lo t H o g b en , M a th e m a tic s f o r t h e M i l l i o n
Y o rk : W. W. N o r t o n a n d C om pany, I n c . , 1 9 3 7 ) , p . 2 6 .
(New
5
d e v e lo p m e n t i n m a th e m a tic s r e s t s o n t h e h i s t o r i c a l
f o u n d a t i o n o f som e e a r l i e r b r a n c h . A t t h e sam e t i m e
e v e r y new b r a n c h l i q u i d a t e s t h e u s e f u l n e s s o f c l u m s i e r
t o o l s w h ic h p r e c e d e d i t .
T h is o b j e c t i o n t o a n c i e n t w o rk s on m a th e m a tic s h a s
l e s s v a l u e w hen we c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g f r o m D f O o g e:
T he p h i l o s o p h i c a l a r i t h m e t i c o f t h e G r e e k s , <v* * &o f w h ic h t h e a r i t h m e t i c o f N ic o m a c h u s i s a
s p e c im e n , c o r r e s p o n d s i n a m e a su re to o u r num ber th e o r y ;
t h e s u b j e c t w a s d e s i g n e d f o r m a tu r e s t u d e n t s a s a p r e p a ­
r a t i o n f o r t h e s tu d y o f p h ilo s o p h y , an d w as n o t a t a l l
in te n d e d f o r c h ild r e n . . .
G re e k a r i t h m e t i c m u st b e
c o n s i d e r e d , t h e n , f r o m t h e p o i n t o f v ie w o f t h e p h i l ­
o s o p h e r an d t h e o r e t i c a l m a th e m a tic ia n , r a t h e r th a n fro m
t h a t o f o u r e le m e n ta r y s c h o o ls *
K a r p in s k y 3 m akes a s i m i l a r s ta te m e n t?
" T h e o re tic a l
a r i t h m e t i c w as s t u d i e d i n G re e c e b y a d u l t s a s p r e p a r a t o r y t o
P h ilo s o p h y ."
R e la te d i n v e s ti g a t i o n s .
M any w r i t e r s m ake p a s s i n g
m e n tio n o f B o e th iu s a n d h i s A r i t h m e t i c a , o r r e f e r t o
th e book h o ld s i n th e h i s t o r y o f e d u c a tio n ,
th e p la c e
b u t no E n g lis h
t r a n s l a t i o n o f t h e A rith m e tic s h a s b e e n fo u n d i n t h e f o llo w in g
lib ra rie s :
U n i v e r s i t y o f S o u th e r n C a l i f o r n i a , L o s A n g e le s
P u b lic L ib r a r y , U n iv e r s ity o f C a l i f o r n i a a t L os A n g e le s ,
L o y o la , C a l i f o r n i a , S t a n f o r d , S a n ta C l a r a , S an P r a n c is c o
C o l l e g e f o r Women, D o m in ic a n C o l l e g e a t S a n R a f a e l , S t . L o u i s
2 N ic o m a c h u s o f G e r a s a , I n t r o d u c t i o n t o A r i t h m e t i c
( M a r t i n L u t h e r D fO o g e , t r a n s l a t o r ; New Y o r k ; T he M a c m illa n
C om pany, 1 9 2 6 ) , p . 4 .
3 L o u i s C h a r l e s K a r p i n s k y , T he H i s t o r y o f A r i t h m e t i c
( C h i c a g o : R a n d , M c N a lly a n d C om pany, 1 9 2 5 ) , p . 1 6 9 .
U n i v e r s i t y , C a t h o l i c U n i v e r s i t y o f A m e r i c a , C o lu m b ia , H a r v a r d ,
o r th e C o n g re s s io n a l L ib r a r y .
F u rth e rm o re , a d i l i g e n t s e a r c h h a s f a i l e d
to lo c a te
an y t h e s i s o r d i s s e r t a t i o n on th e A r ith m e tic a .
Scope o f th e i n v e s ti g a t i o n .
In
th is in v e s tig a tio n
th e
A r i t h m e t i c a w as c o n s id e r e d m e r e ly a s a L a t i n te x tb o o k i n
m a t h e m a t i c s w h ic h w a s i n u s e f o r m any c e n t u r i e s .
t h e A r i t h m e t i c a i s now sh o w n t o b e l i t t l e
tio n
m o re t h a n a t r a n s l a ­
o f t h e C r e e k w o rk o f N ic o m a c h u s , t h e r e i s
t h a t th e
E ven th o u g h
s m a ll e v id e n c e
s c h o l a r s o f t h e M id d le A g e s w e r e f a m i l i a r w i t h t h e
s o u rc e s u s e d by B o e th iu s .
T he k n o w le d g e o f G re e k i n E u r o p e
d i e d o u t a f t e r t h e t i m e o f B o e t h i u s a n d w as n o t r e v i v e d f o r
m any c e n t u r i e s .
L a t i n w as t h e la n g u a g e o f t h e
A r ith m e tic a w as i n u s e ;
book f o r i t s
th e
s c h o o l s w hen t h e
s tu d e n ts o f th a t day re a d th e
m a th e m a tic a l c o n t e n t , r a t h e r th a n s tu d ie d i t
a n e x a m p le o f L a t i n l i t e r a t u r e ;
t i o n m akes l i t t l e
as
c o n s e q u e n tly , t h i s i n v e s ti g a ­
m e n tio n o f t h e la n g u a g e d i f f i c u l t i e s .
T he m a t h e m a t i c a l t r u t h s p r e s e n t e d b y B o e t h i u s w e r e
g a t h e r e d b y h im f r o m o t h e r w r i t e r s , who i n
t u r n h a d summed u p
t h e i r own w o rk t o g e t h e r w i t h t h a t o f t h e i r p r e d e c e s s o r s .
It
w o u ld b e i n t e r e s t i n g t o t r a c e b a c k , a s f a r a s p o s s i b l e , t h e
h is to ry
o f som e o f t h e i t e m s p r o p o s e d b y B o e t h i u s , b u t t h i s
r e s e a r c h h a s a lre a d y been done i n th e s e v e r a l h i s t o r i e s o f
m a th e m a tic s .
7
T he t e x t u s e d i n t h i s
u sed fo r t h is
in v e s tig a tio n .
T he t e x t t h a t w as
s tu d y i s th e fo llo w in g :
B o e th iu s , S e v e rin u s , A r ith m e tic s . F i r s t E d itio n w ith th e
C o m m e n ta ry b y G i r a r d u s R u f f u s . P a r i s : S . d e C o l i n e s ,
1521.
277 p a g e s {288 mm* b y 207 m m *).
T he t e x t w as p u r c h a s e d fr o m D a w s o n 's B ook S h o p , L o s
A n g e l e s , a n d t h e p r o p r i e t o r s , who a r e e x p e r t s i n t h e f i e l d
o ld b o o k s, s t a t e
th a t th e t e x t i n q u e s tio n i s
of
a u th e n tic .
S im o n d e C o l i n e s , t h e p u b l i s h e r o f t h e t e x t , b o r e a
good r e p u t a t i o n b o th a s a p r i n t e r an d a s a p u b lis h e r *
tru e
th a t te x tu a l c ritic is m
I t is
w as n o t f a r a d v a n c e d a t t h e b e ­
g in n in g o f th e s i x t e e n t h c e n tu r y , b u t i t
i s h a r d ly p ro b a b le
t h a t a man o f C o l i n e s ’ s t a n d i n g a s a p u b l i s h e r w o u ld h a v e
p r i n t e d a n y t h i n g n o t a c c e p t a b l e t o t h e l e a r n e d men o f t h e d a y .
F u r th e r m o r e , t h e r e w e re o t h e r p r i n t e d e d i t i o n s o f th e
A r i t h m e t i c a i n u s e i n t h e s c h o o l s a t t h a t t i m e a n d i t w o u ld
h a v e b e e n d a n g e ro u s f o r a n y p u b l i s h e r t o ta m p e r w ith su ch a
w e l l- k n o w n t e x t *
Q rc u tt4 s t a t e s
on th e
th a t
’’S im o n d e C o l i n e s w a s a n e n t h u s i a s t
s u b je c t o f L a tin l i t e r a t u r e . "
sam e i d e a :
P u tn a m 5 e x p r e s s e s t h e
" C o lin e s gave s p e c i a l a t t e n t i o n to
o f th e b e s t L a tin c l a s s i c s ,
* . ."
th e p ro d u c tio n
T he p r i n t i n g d o n e b y
4 W i l l i a m D ana O r c u t t , M a s t e r M a k e rs o f t h e B ook (New
Y o rk : D o u b le d a y , D o r a n C om pany, 1 9 2 8 ) , p* 9 1 .
5 G e o rg e H a v e n P u tn a m , B o o k s a n d T h e i r M a k e rs d u r i n g
t h e M id d le A g e s (2 v o l s . ; New Y o rk : G. P . P u tn a m ’ s S o n s , 1 8 9 7 ) ,
p . ZT.
C o l i n e s h a s b e e n p r a i s e d h y s u c h men a s M c M u rtie
G u s ta ffs o n
8
6
a n d U p d ik e *
h a s fo u r p ag es o f d is c u s s io n on th e te x ts
o f th e A r ith m e tic a i n th e l i b r a r y a t B e rn e , a n d , w h ile he
s t a t e s t h a t t h e d e d i c a t i o n t o Sym m achus w as g r e a t l y c h a n g e d
in one t e x t ,
and t h a t o th e r t e x t s hav e i n te r p o la t io n s and
e v id e n t c o n tr a d ic tio n s , h i s te s tim o n y d o es n o t d e s tr o y th e
u s e f u ln e s s o f th e e d i t i o n p r in te d by C o lin e s — c o n s id e re d a s
a t e x t b o o k i n m a th e m a tic s *
T r a n s la tio n o f th e t e x t *
u n d e r d is c u s s io n in t h i s
T he c o p y o f t h e A r i t h m e t i c a
t h e s i s w as p r i n t e d in 1521, and th e
p r i n t e r s m ade u s e o f m any a b b r e v i a t i o n s *
c a te
V a rio u s s ig n s i n d i ­
th e o m is s io n o f t h e l e t t e r s m an d n a n d t h e f i n a l s y l ­
l a b l e s o f w o rd s.
B or th e
sak e o f a c c u ra c y , th e f i r s t
i n s t u d y i n g t h e t e x t w as to r e w r i t e i t
b re v ia tio n s .
s te p
and s u p p ly a l l th e a b ­
T he s c h o l a r o f t h e M id d le A g e s w o u ld h a v e
s m i l e d a t t h i s p r o c e d u r e b e c a u s e s u c h a b b r e v i a t i o n s w e re
fo u n d i n a l l h i s b o o k s.
M o d e rn s t u d e n t s , h o w e v e r , a r e
s D o u g la s C . M c M u r tie , T he B ook (New Y o rk s C o v i c i
B r ie d e , 1937) p p . 5 0 1 , 3 33 , an d 3 4 4 -3 4 7 .
7 D a n ie l B e r k e le y U p d ik e , P r i n t i n g T y p e s , T h e ir
H i s t o r y , B o m s , a n d U se ( 2 v o l s . ; C a m b rid g e : H a r v a r d U n i v e r ­
s i t y t r e s s , 1 9 2 7 ), V o l. I , p . 1 9 0 .
B r i d o l f V l a d i m i r G u s t a f f s o n , f,De C o d i c i b u s B o e t i i
De I n s t i t u t i o n e A r i t h m e t i c a L ib r o r u m B e r n e n s i b u s , " A c t a
S o c i e t a t i s S c i e n c i a r u m B e n n i c a e , Tom us X I ( H e l s i n g f o r s i a e :
S x o f f i c i n a ty p o g r a p h ie s S o c i e t a t i s L i t t e r a r i a e B e n n ic a e ,
MDCCCLXXX), p p . 3 4 1 - 3 4 4 .
7
a c c u s to m e d t o f i n d i n
in f u l l.
T he L a t i n o f t h e A r i t h m e t i c a , w i t h t h e e x c e p t i o n
o f th e P r e f a c e ,
little
t h e i r b o o k s a l l t h e w o rd s w r i t t e n o u t
is
d iffic u lty
s im p le a n d d i r e c t i n
in tra n s la tio n , bu t i f
a tte m p te d w ith o u t f i r s t
s ty le
and o f f e r s
th e t h e s i s had been
s u p p ly in g th e a b b r e v ia tio n s t h i s
w r i t e r f e e l s t h a t t h e r e w o u ld h a v e b e e n ro o m f o r c r i t i c i s m .
A nyone c o u ld q u e s t io n p a r t i c u l a r s ta te m e n ts a n d a s s e r t t h a t
' I
p o s s ib ly , in th e h a s te o f th e a c tu a l t r a n s l a t i o n , an in c o r r e c t
s u b s t i t u t i o n h a d b e e n m ade f o r o n e o f t h e s i g n s .
t h e r e i s now n o p o s s i b l e g r o u n d f o r c r i t i c i s m
H o w e v e r,
on t h a t
sc o re
b e c a u s e t h e s e n t e n c e s i n t h e A r i t h m e t i c a w e re f i r s t w r i t t e n
o u t in f u l l in L a tin ,
th e n t r a n s l a t e d .
c h e c k e d f o r g ra m m a tic a l a g re e m e n t, an d
T he r e w r i t i n g o f t h e 1 1 0 p a g e s o f t h e
A r i t h m e t i c a r e p r e s e n t s n o s m a l l p a r t o f t h e w o rk d o n e o n t h e
th e s is .
T he o r g a n i z a t i o n o f t h e t h e s i s .
In th is
firs t
c h a p te r
t h e r e a d e r w a s g i v e n som e i n f o r m a t i o n a b o u t B o e t h i u s a n d h i s
A r i t h m e t i c a , a n d r e m in d e d o f t h e i m p o r t a n t p l a c e
o c c u p ie d b y
b o o k s i n th e tr a n s m is s io n o f c u l t u r e an d l e a r n i n g fro m one
g e n e ra tio n to a n o th e r.
T he p r o b l e m w a s t h e n p r e s e n t e d , i t s
i m p o r t a n c e s t r e s s e d , f o l l o w i n g w h ic h t h e r e w e r e p o i n t e d o u t
th e a r e a s u n to u c h e d by t h i s i n v e s t i g a t i o n .
th is
T he t e x t u s e d i n
i n v e s t i g a t i o n w as t h e n g iv e n b r i e f m e n tio n .
T he s e c o n d c h a p t e r f u r n i s h e s o t h e r i n f o r m a t i o n n e c e s s a r y
t o a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e i n v e s t i g a t i o n : n a m e ly , t h e p l a c e
o f B o e th iu s i n
th e h i s t o r y o f a r i t h m e t ic , th e s o u rc e s u se d
by B o e th iu s , a g e n e r a l s ta te m e n t o f th e ty p e o f m a th e m a tic a l
k n o w le d g e f o u n d i n t h e b o o k , a n d f i n a l l y , w h a t i s v e r y im ­
p o r ta n t f o r th e re a d e r o f th e
tio n o f th e
th ird
c h a p te r , a b r i e f e x p la n a -
o u tm o d e d m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n s u s e d i n t h e
A rith m e tic a l
The t h i r d
c h a p t e r i s g i v e n o v e r t o a sum m ary o f t h e
A rith m e tic a , c h a p te r by c h a p te r.
T h is r a t h e r te d io u s l i s t o f
ite m s i s n e c e s s a r y f o r an u n d e rs ta n d in g o f th e e x te n t o f th e
w o rk .
The f o u r t h c h a p te r g i v e s a t r a n s l a t i o n o f t h e P r e f a c e
a n d som e i m p o r t a n t c h a p t e r s , i n t h e i r e n t i r e t y ,
in o rd e r to
s u p p l y t h e r e a d e r w i t h e x a m p le s o f t h e t y p e o f p r e s e n t a t i o n
u se d i n a n c ie n t tim e s .
T he f i f t h
c h a p t e r m a k e s a c o m p a r is o n o f t h e c o n t e n t o f
t h e A r i t h m e t i c a w i t h t h e c o n t e n t o f r e c e n t w o rk s c o v e r i n g t h e
sam e f i e l d
i n m a th e m a tic s .
T he s i x t h c h a p t e r o f f e r s som e d i s c u s s i o n o f t h e w o r t h
o f th e A r ith m e tic a l c o n s id e re d a s a te x tb o o k fo rm e rly u s e d by
s t u d e n t s p r e p a r i n g th e m s e lv e s f o r a c o u rs e i n p h ilo s o p h y .
T he s e v e n t h c h a p t e r p r e s e n t s a su m m ary o f t h e
fin d in g s
o f th e in v e s tig a tio n .
S um m ary.
T h is c h a p t e r o u t l i n e s t h e p ro b le m p ro p o s e d
i n t h i s i n v e s ti g a t i o n o f th e c o n te n t o f th e A rith m e tic a and
th e c irc u m s ta n c e s a tte n d in g i t s
y e ars.
u s e f o r w e ll o v e r a th o u s a n d
T he i m p o r t a n c e o f t h e p r o b l e m a n d t h e
sco p e o f th e
i n v e s t i g a t i o n a r e t h e n p r e s e n t e d , f o llo w e d by a b r i e f m e n tio n
o f th e
c o n te n t o f th e re m a in in g c h a p te r s o f t h e t h e s i s .
CHAPTER II
THE ARITHMETICA
T h is m a th e m a tic a l te x tb o o k h a s h a d b r i e f m e n tio n i n
m o d e rn h i s t o r i e s o f e d u c a t i o n *
P o r e x a m p le , t h e b o o k a n d i t s
a u t h o r a r e g i v e n j u s t a l i n e o r tw o b y C u b b e r l e y A a n d M o n ro e*
I t is
t r u e t h a t t h e s e m o d e rn a u t h o r s h a v e s o m uch m a t e r i a l t o
p r e s e n t t h a t i t i s i m p o s s i b l e f o r th e m t o
a n y p a r t i c u l a r w o rk o n m a t h e m a ti c s *
e d u c a tio n i s
little
g i v e m uch s p a c e t o
T h e m o d e rn s t u d e n t o f
t h u s n o t a l t o g e t h e r b la m e w o r th y i f h e know s
e l s e a b o u t t h e A r i t h m e t i c a .th a n t h a t i t
o n m a t h e m a t i c s i n u s e m any c e n t u r i e s p a s t *
i s a te x tb o o k
T h is c h a p t e r ,
t h e n , p r o p o s e s t o re m e d y t h i s d e f e c t i n p a r t b y g i v i n g som e
little
i n f o r m a t i o n a b o u t B o e t h i u s a n d h i s w o rk*
B o e th iu s an d h i s p la c e i n t h e h i s t o r y o f a r i t h m e t i c *
A n i c i u s M a n l i u s S e v e r i n u s B o e t h i u s w a s b o r n a t Rome a b o u t
4 7 5 A* D* a n d d i e d a b o u t 526*
He b e l o n g e d t o a f a m i l y w h ic h
f o r tw o p r e c e d i n g c e n t u r i e s h a d b e e n e s t e e m e d o n e o f t h e m o s t
i l l u s t r i o u s i n Rome*
I t is
n o t c e r t a i n w h e th e r o r n o t h e w as
e d u c a te d i n A th e n s , b u t h e w as e x c e p t i o n a l l y w e l l r e a d i n
^ E llw o o d P* C u b b e r l e y , The H i s t o r y o f E d u c a t i o n
( B o s to n s H o u g h to n M i f f l i n C om pany, 1 9 2 0 ) , p • 1 6 3 .
2 P a u l M o n ro e , A T e x tb o o k i n t h e H i s t o r y o f E d u c a t i o n
(Hew Y o rk : T he M a c m illa n C om pany, 1 9 1 X 1 , p* 269*
13
G re e k l i t e r a t u r e
and s c ie n c e and he u sed t h i s
k n o w le d g e a n d
s k i l l t o b r i n g t o m e d i e v a l E u r o p e som e g l i m p s e o f t h e i n t e l le c tu a l l if e
o f th e o ld w o rld .
D u c k e t t 4 g i v e s u s m o re i n f o r m a t i o n a b o u t B o e t h i u s i n
th e f o llo w in g :
B o e t h i u s , t h e n , w a s i n s y m p a th y w i t h h i s a g e w h en h e
d e s i r e d t o e d u c a t e y o u n g m en i n t h e l i b e r a ! a r t s .
We
s h a l l se e l a t e r on t h a t h i s f r i e n d C a s s io d o ru s p u rs u e d
t h e sam e i d e a l i n t h e l a b o r s f o r e d u c a t i o n w h ic h f i l l e d
h is advanced y e a rs .
B u t i t w a s o n t h e f o u r a r t s w h ic h
a f t e r w a r d s fo r m e d t h e h i g h e r d i v i s i o n o f c u l t u r e am ong
R e n a is s a n c e s c h o l a r s t h a t B o e th iu s c h o se f i r s t t o w r i t e .
T he s t u d y o f t h e s e w o u ld p r e s u p p o s e som e a c q u a i n t a n c e
w i t h t h e o t h e r t h r e e : t h e a r t o f g ra m m a r, i n c l u d i n g l i t ­
e r a t u r e , th e a r t o f d i a l e c t i c , m a in ly c o n c e rn e d w ith
l o g i c , a n d t h e a r t o f r h e t o r i c , e m b ra c in g c o m p o s itio n
b o th o r a l and w r i t t e n .
To t h e i n f l u e n c e o f B o e t h i u s w a s
due in g r e a t p a r t th e e s ta b lis h in g i n l a t e r d ay s o f th e
f o u r a r t s o f th e h ig h e r c o u rse a s an i n t e g r a l and f ix e d
p a r t o f l i b e r a l e d u c a tio n .
I t w a s d u e t o h im , i n d e e d ,
t h a t we owe t h e fa m o u s nam e o f t h i s f o u r f o l d t r a i n i n g :
i n a r i t h m e t i c , m u s ic , g e o m e try , an d a s tro n o m y ,
"Among
a l l th e s c h o la r s In a n c ie n t d a y s ,” he b o ld ly d e c la r e d ,
"who w e r e re n o w n e d f o r r e a s o n i n g s o f p u r e i n t e l l e c t a s
d i s c i p l e s o f P y th a g o ru s , i t i s c e r t a i n t h a t no one re a c h e d
th e h e ig h t o f p e r f e c t i o n i n th e s c h o o ls o f P h ilo s o p h y
e x c e p t h e h a d s o u g h t s u c h n o b l e p r u d e n c e b y w h a t I m ay
c a l l a f o u r f o l d p a t h (q u o d am q u a s i q u a d r i v i o ) . . . By
t h i s f o u r f o l d p a t h t h e s t u d e n t m u s t t r a v e l w h o se m in d ,
a l r e a d y e n d o w ed w i t h p r o m i s e , r i s e s f r o m t h e n a t u r a l
s e n s e t o t h e s u r e r c e r t a i n t i e s o f i n t e l l i g e n c e .**5 T he
nam e " Q ,u a d riv iu m " t h u s r u n s b a c k t o B o e t h i u s .
3 W. W. R o u s e B a l l , A S h o r t Ac c o u n t o f t h e H i s t o r y o f
M a t h e m a t i c s (L o n d o n : M a c m illa n a n d C om pany, L t d . , 1 9 0 8 ) , p . 1 3 2 .
4 E l e a n o r S h i p l e y D u c k e t t , T he G a te w a y t o t h e M id d le
A g e s (New Y o rk : T he M a c m illa n C o m p a n y ,1 9 3 8 ) , p . 1 5 3 .
and 9 .
3 B o e t h i u s , Be I n s t i t u t i o n s A r i t h m e t i c s . I ,
F rie d le in .
1, pp. 7
14
K a rp in s k y 6 s t a t e s :
" [th e a rith m e tic
tin u e d in a c tiv e u se w e ll in to th e
o f B o e th iu s ] con­
s e v e n te e n th c e n tu ry , and
w as u s e d i n E u r o p e a n c h u r c h s c h o o l s a l m o s t e x c l u s i v e l y f o r
th e s u b je c t o f a rith m e tic i n th e te n th ,
e le v e n th , and tw e lf th
c e n tu rie s * "
T he i n f l u e n c e o f B o e t h i u s w a s f e l t e v e n a f t e r t h e r e w a s
n e e d f o r a d i f f e r e n t p r e s e n t a t i o n o f t h e m a th e m a tic s o f f e r e d
b y h im .
K a rp in s k y 7 s t a t e s t h a t " d u r in g t h i s p e r io d
(b e tw e e n
t h e i n v e n t i o n o f p r i n t i n g a n d 1 5 0 0 A . D# ) t h e r e a p p e a r e d a b o u t
tw e n ty -s ix e d itio n s in L a tin o f th e t h e o r e t i c a l a r ith m e tic s ,
a lo n g B o e th ia n l i n e s . "
When B o e t h i u s w r o t e t h e A r i t h m e t i c s h e w as l o o k i n g b a c k ­
w a r d s t o w a r d s t h e g r e a t c o n t r i b u t i o n s t o m a t h e m a t i c a l k n o w le d g e
3
m ade b y t h e G r e e k s , o f whom S m ith h a s t h e f o l l o w i n g t o s a y :
W h a t, t h e n , w e r e t h e m a t h e m a t i c a l c o n t r i b u t i o n s p e c u ­
l i a r t o t h e G r e e k s ? B id t h e s e p e o p l e s i m p l y a c c e p t t h e
a c c u m u l a t e d w isd o m o f t h e p a s t a n d a d d t o i t t h e i r m o re
m a t u r e q u o t a o f k n o w le d g e , o r w e re t h e y a b l e t o c o n t r i b u t e
t o t h e w o r l d s o m e t h i n g t h a t w a s n e w , b e c o m in g c r e a t o r s
i n s t e a d o f m e re t r a n s m i t t e r s ?
T he
tu rie s
school
c iv iliz
a n s w e r i s s i m p l e a n d v e r y d i r e c t : W it h i n f o u r c e n ­
a f t e r T h a l e s ( c . 5 7 5 B . C «) f o u n d e d t h e I o n i a n
o f p h ilo s o p h y , t h e r e h a d d e v e lo p e d i n th e G re ek
a t i o n a n e n t i r e l y new t y p e o f m a t h e m a t i c s , b a s e d
6 L o u is C h a r le s K a rp in s k y , The H i s t o r y o f A r i t h m e ti c ,
p . 62.
7 I b id .,
p. 68.
® D a v id E u g e n e S m i t h , M a t h e m a t i c s ( B o s t o n : M a r s h a l l
J o n e s C o m p an y , 1 9 2 3 ) , p . 7 .
15
u p o n new p r i n c i p l e s , a n d h a v i n g new a im s a n d m e th o d s *
I t i s i n t h i s e p o c h - m a k in g a d v a n c e t h a t a l l s u b s e q u e n t
m a th e m a tic s f i n d s i t s b e g in n in g s , a n d t o t h i s b e g in n in g
t h e w o rld i s l a r g e l y in d e b te d f o r t h e b a s a l p r i n c i p l e s
u p o n w h ic h r e s t s o u r p r e s e n t s c i e n c e o f n u m b e r , f o r m ,
and space*
I n p a r t i c u l a r , we s h a l l f i n d t h a t i t w a s i n
t h e s e c e n t u r i e s t h a t t h e f o u n d a t i o n s w e re l a i d f o r o u r
m o d e rn t h e o r y o f n u m b e r s , f o r o u r e l e m e n t a r y g e o m e t r y ,
f o r th e s tu d y o f c o n ic s an d h ig h e r p la n e c u r v e s , f o r
m a t h e m a t i c a l m e c h a n i c s , a n d e v e n , th o u g h m o re r e m o t e l y ,
f o r th e i n t e g r a l c a lc u lu s *
T h e re h a v e b e e n n u m ero u s
e p o c h - m a k in g p e r i o d s i n t h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s , b u t
c o n s id e r in g a l l th e c irc u m s ta n c e s an d r e s u l t s , , i t i s
c e r t a i n t h a t t h e r e n e v e r h a s b e e n a m o re s i g n i f i c a n t o n e
t h a n t h a t w h ic h i n c l u d e d t h e n a m e s o f T h a l e s , P y t h a g o r u s ,
E u d o x u s, P l a t o , A r i s t o t l e , E u c l id , A p p o lo n iu s , and
A r c h im e d e s *
a
M i l l e r m a k e s a n i n t e r e s t i n g c o m p a r is o n a n d f u r n i s h e s
a b i t o f in f o r m a tio n t h a t e x p la in s i n p a r t w hat B o e th iu s
s o u g h t t o p r e s e r v e f o r h i s c o u n tr y m e n :
B e fo re th e c l a s s i c G re e k p e r i o d o f m a th e m a tic a l d e v e lo p ­
m e n t , a p p l i c a t i o n s t o a s t r o n o m y a n d s u r v e y i n g se e m t o
h a v e f u r n i s h e d t h e m a in i n c e n t i v e s f o r t h e s t u d y o f
m a t h e m a ti c s *
I n a b r o a d w ay i t h a s b e e n s a i d t h a t t h e
a n c i e n t B a b y lo n ia n s w e re l e d t o m a th e m a tic a l s tu d y
th ro u g h t h e i r i n t e r e s t in s t a r s , w h ile th e a n c ie n t
E g y p t i s m s w e re l e d t o t h i s s t u d y t h r o u g h t h e i r i n t e r e s t
i n th e m e a su re m e n t o f la n d *
T he f o r m e r r e c e i v e d t h e i r
i n s p i r a t i o n f r o m a b o v e ; t h e l a t t e r , f r o m b e lo w *
T he
t e r m g e o m e tr y p o i n t s t o w a r d s t h e i n f l u e n c e o f m e a s u r e ­
m e n t o f l a n d i n t h e e a r l y d e v e lo p m e n t o f o n e o f t h e e x ­
t e n s i v e f i e l d s o f p u re m a t h e m a ti c s *
T he c l a s s i c G re e k p e r i o d , w h ic h m ay b e r e p r e s e n t e d b y
t h e w > rk s o f E u c l i d , A r c h im e d e s , a n d A p p o l o n i u s , e x h i b i t s
a new d o m i n a t i n g c o n c e p t ; v i z . , t h e c o n c e p t o f i r r a t i o n a l
q u a n t i t i e s , g i v in g r i s e to th e m a th e m a tic s o f a th o u g h tw o r l d , a n d e x h i b i t i n g m any f a c t s w h ic h a r e t o o r e f i n e d t o
r e c e i v e v i s i b l e e x p r e s s i o n i n t h e o u t s i d e w o rld *
I f lh ile
9 G* A* M i l l e r , H i s t o r i c a l i n t r o d u c t i o n t o M a t h e m a t i c a l
L i t e r a t u r e (New Y o rk : T he M a c m i ll a n C om pany, 1 9 2 X ), p . 9 3 .
16
th e a n c i e n t B a b y lo n ia n s r e c e i v e d t h e i r m a th e m a tic a l i n ­
s p i r a t i o n fro m th e s t a r s , t h e a n c ie n t E g y p tia n s r e c e iv e d
s i m i l a r i n s p i r a t i o n fro m th e e a r t h , th e a n c i e n t G re e k s
w e re i n s p i r e d t o s t u d y m a t h e m a t i c s b y t h e t h o u g h t - w o r l d *
T h e c o n c e p t o f i r r a t i o n a l q u a n t i t i e s m ay p e r h a p s b e s a i d
to h a v e b e e n t h e d o m in a tin g m a th e m a tic a l c o n c e p t l e a d in g
to th e g r e a t ad v an c es o f th e a n c ie n t G re e k s.
T h e d e c l i n e a n d f a l l o f b o t h G r e e c e a n d Rome s e r v e d t o
c h e c k t h e a d v a n c e i n m a t h e m a t i c a l k n o w le d g e .
o f th e f i f t h
A bout th e end
c e n t u r y A . D . , B o e t h i u s m ade a n e f f o r t t o
save
f o r h i s c o u n tr y m e n som e o f t h e t r e a s u r e s h e saw s l i p p i n g f r o m
t h e i r g r a s p b y t r a n s l a t i n g i n t o L a t i n a s m uch a s h e c o u l d o f
t h e w o rk o f t h e s c h o l a r s o f G r e e c e .
T h is e f f o r t i s m e n tio n e d
b y S e h a c h n e r 1 0 i n h i s w o rk o n t h e m e d i e v a l u n i v e r s i t i e s :
P r a c t i c a l l y a l l t h e k n o w le d g e o f t h e a g e [ t h e M id d le
A g e s ] w a s b a s e d o n t h e w o rk o f f i v e u n o r i g i n a l a n d f o r
th e m o st p a r t in a c c u r a te c o m p ile rs o f th e f i f t h a n d s i x t h
c e n tu rie s .
I n t h o s e c e n t u r i e s o f g lo o m a n d d e f e a t t h e r e
w as n o th o u g h t o f p u r s u in g n o v e l i n v e s t i g a t i o n s ; o n ly
d e s p e r a te a tte m p ts t o s a lv a g e w hat e ac h a u th o r th o u g h t
v a lu a b le o u t o f th e fu n d s o f le a r n in g y e t a v a i la b l e .
Gf
t h e s e B o e th iu s ( c . 4 7 5 -5 2 4 ) w as t h e m o st d i s t i n g u i s h e d
a n d c o m p e te n t.
H is c o m p ila tio n s a n d t r a n s l a t i o n s i n
a r i t h m e t i c , m u s ic , a s tro n o m y , and p h ilo s o p h y , n o ta b ly
o f A r i s t o t l e , c o lo u r e d th e th o u g h t o f E u ro p e f o r a g e s to
com e.
T hus t h e A r i th m e tic s w as n o t a n o r i g i n a l w o rk , n o r d id
its
c o n t e n t s e m b ra c e t h e e n t i r e m a t h e m a t i c a l k n o w le d g e o f t h e
G re e k s.
T h i s m a t h e m a t i c a l k n o w le d g e f e l l e a s i l y i n t o
th e
g r e a t d i v i s i o n s know n a s a r i t h m e t i c , g e o m e t r y , a s t r o n o m y , a n d
m u s ic .
A r i t h m e t i c , n a t u r a l l y , f u r n i s h e s t h e g r o u n d w o rk f o r
N a th a n S c h a c h n e r , T he M e d i a e v a l U n i v e r s i t i e s
Y o r k : F r e d e r i c k A . S t o k e s C om pany, 1 9 3 8 ) , p . 1 3 .
(New
17
th e o th e r th r e e an d B o e th iu s p u t i n to
one hook a l l th e in f o r ­
m a t i o n h e c o u l d g a t h e r on t h e f a s c i n a t i n g s u b j e c t o f num b er*
A nd h i s b o o k s e r v e d i t s
p u rp o se w e ll.
T he Rom an E m p ir e f e l l
a n d f o r s e v e r a l c e n t u r i e s b a r b a r i a n t r i b e s o v e r r a n t h e w h o le
o f E u r o p e ; l e a r n i n g w a s r e s e r v e d f o r t h e p r i v i l e g e d fe w who
som ehow m a n a g e d t o o b t a i n som e l e i s u r e a n d s e c u r i t y .
w e re s c a r c e an d b o o k s w e re h a r d t o o b t a i n ;
T ea ch e rs
i n f a c t t h e y w e re
t o be s e e n o n ly i n th e h a n d s o f th e w e a lth y o r i n th e s c a n ty
l i b r a r i e s o f th e m o n a s te rie s .
D u r in g t h i s l o n g p e r i o d t h e
k e p t a liv e
in th e s c h o o ls o f E u ro p e .
d iv id e d i n to
s is tin g
s e v e n l i b e r a l a r t s w e re
tw o g r o u p s :
T h e se s e v e n a r t s w e re
th e l e s s e r c a lle d th e tr iv iu m ,
o f g ra m m a r, l o g i c , a n d r h e t o r i c ;
and th e g r e a te r
c a l l e d th e q u a d riv iu m , c o n s i s t i n g o f a r i t h m e t i c ,
a s tr o n o m y , a n d m u s i c .
con­
g e o m e try *
A fte r th e d e c lin e o f le a r n in g th a t f o l ­
lo w e d t h e f a l l o f G r e e c e a n d R om e, t h e a m o u n t o f m a t e r i a l
a v a i l a b l e i n a n y o f t h e s e v e n a r t s w as s o s m a ll t h a t i t
be w r itte n by hand i n
one book.
c o u ld
T he A r i t h m e t i c s w as t h e b o o k
o n t h e o r e t i c a l a r i t h m e t i c a n d i t h e ld - i t s
p la c e u n t i l th e
p r i n t i n g p r e s s s p r e a d f a r a n d w id e t h e n e w e r d e v e l o p m e n t s i n
m a th e m a tic s .
T h e r e w a s t h e n s o m uch new m a t e r i a l o n a n d a b o u t
a r i t h m e t i c t h a t t h e r e w as n o p o s s i b i l i t y o f c o n f i n i n g t h e s u b ­
j e c t o f t h i s one o f th e l i b e r a l a r t s w ith in th e lim its o f any
one b o ok.
It
is
t r u e t h a t t h e w o rk o f B o e t h i u s w a s n o t im m e d i­
a te ly e c lip s e d , b u t i t
s t e a d i l y l o s t i t s p re -e m in e n c e e v e n
18
th o u g h r e v i s e d an d b r o u g h t up t o d a te *
R e f e r e n c e h a s a l r e a d y b e e n m ade ( p a g e 1 4 ) t o t h e num­
b e r o f e d i t i o n s o f a r i t h m e t i c s w r i t t e n a lo n g B o e th ia n l i n e s
b e tw e e n t h e i n v e n t i o n o f p r i n t i n g a n d 1 5 0 0 A . D*
M ille r* ^
h a s a p a ra g ra p h th a t o f f e r s an e x p la n a tio n :
O ur o r d i n a r y s y s te m o f n o t a t i o n t o t h e b a s e 10 i s so
c o n v e n i e n t a n d s e e m s s o n a t u r a l t h a t i t a p p e a r s so m e w h a t
s u r p r i s i n g t o f i n d t h a t i t w as g e n e r a l l y in tr o d u c e d i n t o
E u r o p e a s l a t e a s t h e l a t t e r p a r t o f t h e M id d le A ges*
A s t h i s s y s t e m i s s o m uch s i m p l e r t h a n t h e Roman s y s t e m ,
i t i s v e r y i n t e r e s t i n g t o n o te t h a t t h e l a t t e r s y s te m
g a v e w ay s l o w l y a n d s t u b b o r n l y e v e n a f t e r t h e b e t t e r s y s ­
tem?, w as known*
I n f a c t , t h e p r e s e n t s y s te m w as n o t
g e n e r a l l y a d o p te d i n E u ro p e b e f o r e t h e s i x t e e n t h c e n t u r y ,
a lth o u g h i t h a d b e e n u se d s e v e r a l c e n t u r ie s e a r l i e r i n
t h e n o te d l i b e r A b a c i o f L eo n a rd o o f R is a .
T he A r i t h m e t i c s d e a l s w i t h t h e o r e t i c a l a r i t h m e t i c a n d
i t w o u ld se e m t h a t t h e
s y s te m o f n u m b e rs i n u s e c o u l d o f f e r
n e it h e r h e lp n o r h in d ra n c e t o
t h e d e v e lo p m e n t o f t h e o r i e s .
N e v e r t h e l e s s , t h e n u m e r ic a l s y s te m u s e d i n t h e A r i t h m e t i c s w as
h a n d ic a p p e d , unknow n t o i t s
a u th o r , by th e th r e e g r e a t d e f e c ts
o f t h e Rom an s y s te m o f n o t a t i o n :
th e f a i l u r e
to
c o n s id e r "0 ”
a s a n u m b e r , t h e n e c e s s i t y f o r u s i n g c o m p le x f i g u r e s f o r t h e
i n t e g e r s b e tw e e n 1 a n d 9 , a n d t h e i g n o r a n c e o f t h e d e c i m a l
s y s te m .
I n t h e Roman s y s t e m , f o r e x a m p le , i t w as e a s i e r b y
f a r t o a d d t h e sum o f t h e f i r s t e l e v e n o d d n u m b e rs t o f i n d t h e
s q u a r e o f 11 th a n i t w as t o m u l t i p l y 11 b y 1 1 .
A d iffe re n t
c u m b ro u s g r o u p i n g o f o d d n u m b e rs w a s u s e d i n t h e A r i t h m e t i c a
H
M i l l e r , o p . c i t .4 p . 1 4 9 .
19
t o f i n d t h e c u b e o f a n y g i v e n n u m b er*
T he d e v e l o p m e n t a n d
u s e o f H in d u n u m b e rs c o m b in e d w i t h t h e d e c i m a l s y s t e m r e n d e r e d
u s e l e s s m uch o f t h e m a t h e m a t i c a l k n o w le d g e s o p a i n s t a k i n g l y
s e t fo rth
in th e A rith m e tic s *
A t th e
sam e t i m e a l l t h e d i s ­
t i n c t i o n s b e tw e e n o d d a n d e v e n n u m b e r s , a n d t h e t h r e e d i v i ­
s i o n s o f e v e n n u m b e r s , w e re f o u n d t o b© u s e l e s s i n t h e d e c i m a l
s y s t e m w h e re a l l p o s s i b l e n u m b e rs m e e t o n a common g r o u n d a n d
w h e re a l l a r e h a n d le d w ith e q u a l f a c i l i t y *
F u rth e rm o re , th e
d e c im a l s y s te m d e s t r o y e d m o st o f t h e v a lu e o f t h e c o m p lic a te d
s y s te m o f f r a c t i o n s * t a u g h t i n t h e A r i t h m e t i c s *
In th e p rin te d
copy o f th e A rith m e tic s u n d e r d is c u s s io n
i n t h i s t h e s i s , u s e i s m ade o f t h e H in d u n u m b e rs *
As i t
se e m s
p r o b a b l e t h a t t h e y w e r e u n k n o w n i n E u r o p e w h en B o e t h i u s w r o t e
t h e A r i t h m e t i c s , t h e t e s t i m o n y o f S m i t h 1 2 i s w e lc o m e h e r e :
T he f i r s t d e f i n i t e e x t e r n a l r e f e r e n c e t o t h e H in d u
n u m e r a l s i s i n a n o t e b y S e v e r u s S e b o k h t , a b i s h o p who
l i v e d i n M e s o p o ta m ia , c . 6 5 0 .
S in c e h e s p e a k s o f " n in e
s i g n s , " t h e z e r o s e e m s n o t t o h a v e b e e n know n t o him *
By
t h e c l o s e o f t h e 8 t h c e n t u r y , h o w e v e r , som e a s t r o n o m i c a l
ta b le s o f In d ia a re s a id to have been tr a n s la te d in to
A r a b ic a t B a g h d ad , a n d i n a n y c a s e t h e n u m e ra ls becam e
k now n t o A r a b i c s c h o l a r s a b o u t t h i s tim e *
A bout 825 a l K h o w a riz m i w r o t e a s m a l l b o o k o n t h e s u b j e c t a n d t h i s w as
t r a n s l a t e d i n t o L a t i n b y A b e l a r d o f B a th ( c . 1 1 2 0 ) u n d e r
t h e t i t l e o f L i b e r A l g o r i s m i d e n u m e ro In d o ru m *
T h e re i s
som e r e a s o n f o r b e l i e v i n g t h a t t h e n u m e r a l s f o u n d t h e i r
w ay i n t o E u r o p e e v e n e a r l i e r t h a n i n t o B a g h d a d , b u t t h e
e a r l i e s t E u r o p e a n m a n u s c r i p t t h a t i s know n t o c o n t a i n
th e m w a s w r i t t e n i n S p a i n i n 9 7 6 .
I S D a v id E u g e n e S m i t h , " N u m e r a l s ," E n c y c l o p e d i a
B r i t a n n i c a (1 9 5 7 e d i t i o n ) , V o l . XVT, p . 615*
The v o c a b u la r y u s e d b y B o e th iu s h a s l e f t i t s
on o u r la n g u a g e *
fro m t h e l a t i n
T he f o l l o w i n g l i s t
15
im p re s s
g i v e s w o rd s d e r i v e d
te rm s u se d by B o e th iu s a n d e a r l i e r w r i t e r s
w i t h i m p l i c a t i o n o f t h e m o d e rn m e a n in g s
A d d itio n
(B o e th iu s u s e d s e v e r a l o th e r te rm s a s w e ll
f o r t h i s o p e r a tio n .)
s u b tra c tio n
lin e
m u ltip lic a tio n
q u a d rila te ra l
p ro d u c t
p r im e
tria n g le
m in u s
u n it
p e rp e n d ic u la r
sum
d ig it
p la n e
m in u te s
a ltitu d e
a n g le
seconds
q u o tie n t
p ro p o rtio n
equal
I n a d d itio n t o th e a b o v e , th e
q u a n tity
fo llo w in g l i s t
te rm s d e r iv e d d i r e c t l y fro m th e l a t i n
c o n ta in s
te rm s — w ith p r a c t i c a l l y
t h e sam e m e a n in g — u s e d b y B o e t h i u s i n h i s A r i t h m e t i c s *
a d d itio n
c irc le
d e n o m in a tio n
a lte rn a te ly
c irc u la r
d iffe re n c e
a ltitu d e
c o m m e n s u ra b le
d im e n s io n
a n g le
common
d im in u tio n
a rith m e tic
c o n s ta n t
d is c re p a n c y
b ase
cube
d iv is ib le
c e n te r
d e fin itio n
d iv is io n
K a r p i n s k y , o £ . c i t • , p* 1 5 0 .
El
d u a lity
in e q u a lity
m u ltip lic ity
ra tio
d u p le x
in fin ite
m u ltip ly
re c tilin e a r
e le m e n t
in te rv a l
p a ra lle l
sequence
e q u a lity
lim it
p a ra lle le p ip e d
s in g u la r
e q u ila te ra l
lin e
p a rtitio n
s o lid
e x a m p le
lin e a r
p e n ta g o n
sp ace
e x tre m e s
m a g n itu d e
p e rp e n d i c u la r
sp h e re
e x tre m ity
m a jo r te rm
p la n e
s u b tra c tio n
fig u re
m a th e m a tic s
p lu ra l
sum
fin ite
m axim um
p r im e
to ta l
fo rm
m eans
p ro g re s s io n
tria n g u la r
g e n e trix
m e d ia n
p ro p o rtio n
trip le
g e o m e tric
m edium
p ro p o rtio n a lity t r ip l i c a te
g e o m e tr y
m em ber
p y r a m id
tria n g le
h a r m o n ic
m inim um
q u a d ra tic
u n it
h e p ta g o n
m in o r t e r m
q u a d rila te ra l
u n ity
hexagon
m u ltia n g u la r
q u a d ru p le
v a ria tio n
in c re m e n t
m u ltip le x
q u a n tity ,
v e rte x
in d iv is ib le
m u ltip lic a tio n
q u o tie n t
S o u rc e s o f th e A r ith m e tic s .
in g to
s a y c o n c e rn in g th e
D u c k e tt14 h a s th e f o llo w ­
so u rc e o f th e A r ith m e tic s :
T h ere i s l i t t l e t r a c e o f o r i g i n a l i t y i n an y p a r t o f th e
w o rk o n t h e " q u a d r i v i u m , n a n d i n t h i s f i r s t s e c t i o n ( o n
a r i t h m e t i c ) t h e s o u r c e w as t h e G r e e k m a t h e m a t i c i a n ,
N ic o m a e h u s o f G e r a s a ( p r o b a b l y t h e c i t y i n t h e D e c a p o l i s
o f P a le s tin e ).
Some t i m e b e tw e e n 50 a n d 1 0 0 A . D .
14 D u c k e tt, o p . c i t . . p . 1 5 4 .
22
N ic o m a e h u s h a d w on l a s t i n g fa m e b y h i s I n t r o d u c t i o n t o
A r i t h m e ti c , and h e w as t h e o b v io u s m o d el f o r one w ho,
l i k e B o e th i u s , w as n o m a s te r i n t h e f i e l d *
So c l o s e l y
d id B o e th iu s f o llo w h i s le a d t h a t s c h o l a r s h av e not h e s i ­
ta te d to c a l l t h i s L a tin t r e a t i s e a tr a n s la tio n *
A nd
w o r s e s t i l l , s e v e r e c r i t i c i s m h a s b e e n d e a l t h im f o r
m a r r in g h i s r e n d e r i n g b y t h e r e p e a t e d o m is s io n o f v a lu ­
a b le p o r tio n s o f th e o r ig in a l*
He d e c l a r e d i n t h e
P r e f a c e t h a t h e w as n o t " b i n d i n g h i m s e l f b y t h e m o s t
n a r r o w la w o f t r a n s l a t i o n b u t w a s r o a m i n g f r e e l y i n t h e
p a th , n o t i n th e a c tu a l f o o tp r in ts " o f h is so u rc e , in ­
te n d in g t o c o n d e n se p a r t s o f h i s m a t e r i a l and i n o t h e r
p a r t s t o m ake s m a l l a d d i t i o n s *
T h is p la n h e c a r r i e d o u t
th o u g h i t i s a g re e d t h a t t h e a d d i t i o n s w e re o f l i t t l e ,
i f a n y v a l u e t o l a t e r g e n e r a t i o n s ; a n d h i s w o rk o n l y
i n t e r e s t s u s h e r e b e c a u s e t h r o u g h i t m any o f h i s own
c o u n tr y m e n , a n d t h e v a s t m a j o r i t y o f s t u d e n t s o f m a th e ­
m a t i c s i n t h e M id d le A g e s , l e a r n e d G r e e k p r i n c i p l e s o f
a rith m e tic .
S m ith 1 ® h a s t h e f o l lo w in g t o
sa y c o n c e rn in g th e s o u rc e s
o f t h e A r i t h m e t i c s a n d t h e o p i n i o n B o e t h i u s f c o u n tr y m e n h e l d
o f t h e w o rk :
B o e t h i u s • • • e m b o d ie d i n h i s B e I n s t i t u t i o n s
A r i t h m e t i c s L i b r i d u o m uch o f t h e t h e o r y a s s e t f o r t h
i n t h e w o r k s o f E u c l i d , N ic o m a e h u s , a n d The o n o f S m y rn a ,
b u t h e ad d ed n o th in g t h a t w as o r i g i n a l .
N e v e rth e le s s ,
so s u p e r i o r w a s h i s w o rk t o t h a t o f a n y o t h e r w r i t e r s o f
h i s p e r i o d , and so s u p e r i o r w as h e t o a n y o t h e r o f th e
L a t i n s who l i v e d j u s t a f t e r t h e P a l l o f R om e, t h a t h i s
a r i t h m e t i c w a s l o o k e d u p o n b y h i s d e g e n e r a t e c o u n tr y m e n
a s r e p r e s e n ti n g th e h ig h e s t ty p e o f s c h o la r s h ip .
T h e o n o f S m y rn a , m e n t i o n e d i n t h e a b o v e q u o t a t i o n ,
w ro te a te x tb o o k on a r i t h m e t i c
o n m uch t h e
sam e l i n e s a s t h a t
■j a
o f N ic o m a e h u s a b o u t 1 3 0 A . B .
17
R o b b in s
h a s a d i f f e r e n t o p in io n a b o u t th e
so u rc e o f
1 5 D a v id E u g e n e S m i t h , M a t h e m a t i c s * p* 51*
16 B a l l ,
p . 132.
op* c i t * , p* 95*
I ? N ic o m a e h u s o f G e r a s a . I n t r o d u c t i o n t o A r i t h m e t i c ,
"
23
th e A rith m e tic a l
He s t a t e s b l u n t l y t h a t
th e r e i s l i t t l e i n d i c a t i o n t h a t B o e th iu s u se d a n y o th e r
s o u r c e s t h a n t h e I n t r o d u c t i o n ( N ic o m a e h u s 1 w o rk ) i t s e l f *
[H e a d d s t h a t ] h e [ B o e t h i u s ] p r e s e n t s , w i t h c e r t a i n
l i m i t a t i o n s , a f a i r l y a d e q u a te L a t in v e r s io n o f th e
o rig in a l • • «
T he c o n t e n t o f t h e A r i t h m e t i c s *
A t th e p r e s e n t tim e ,
we u n d e r s t a n d b y t h e t e r m " a r i t h m e t i c " t h e s c i e n c e o f n u m b e rs
o r t h e a r t o f c o m p u ta tio n b y f i g u r e s *
t e r m i n a d i f f e r e n t s e n s e a n d S m ith
18
T he a n c i e n t s u s e d t h e
e x p la in s i t
fo r us as
fo llo w s :
We com m only g i v e t h e name o f " a r i t h m e t i c " t o t h a t p a r t o f
m a t h e m a t i c s w h ic h t r e a t s p r i m a r i l y o f n u m e r i c a l r e l a t i o n s ,
t a k i n g t h e nam e f r o m t h e G r e e k w o rd f o r n u m b e r ( ^ v
05,
a rith m o s ).
T he a n c i e n t s , h o w e v e r , u s e d t h e t e r m t o d e ­
n o te o n ly th e th e o r y o f n u m b e rs, su c h a s t h e s tu d y o f
p r i m e s , o r t h e p r o p e r t i e s o f s q u a r e n u m b e rs *
To t h e
p r a c t i c a l u s e o f n u m b e r s , i n c l u d i n g t h e m e th o d s o f w r i t ­
i n g th e m a n d o f c o m p u tin g w i t h th e m , t h e y g a v e t h e nam e
o f " l o g i s t i c " ( A 0 y 1 crT 1M/j, l o g i s t i k e ; i n L a t i n , l o g i s ­
tic s )*
T h is w as lo o k e d u p o n b y th e a n c i e n t s c h o l a r s a s
a so m e w h a t p l e b e i a n a r t , w h i l e a r i t h m e t i c w a s c o n s i d e r e d
a n i n t e l l e c t u a l p u r s u i t w o rth y o f t h e a t t e n t i o n o f th e
p h ilo s o p h e r*
P la to p o s s ib ly r e f e r s to t h i s d u a l n a tu re
o f t h e w o rk w i t h n u m b e rs w hen h e s a y s : " A r i t h m e t i c i s o f
tw o k i n d s , o n e o f w h ic h i s p o p u l a r , a n d t h e o t h e r
p h ilo s o p h ic a l."
B e c a u se o f i t s n o n - i n t e l l e c t u a l n a t u r e , l o g i s t i c w as
n o t ra n k e d a s on e o f th e f o u r m a th e m a tic a l s c i e n c e s ; i t
w a s p a r t o f t h e t r a d e o f a c o m m e r c ia l a p p r e n t i c e ; i t h a d
no s e r i o u s a d v o c a c y i n th e s c h o o ls o f p h ilo s o p h y ; so
h u m b le w a s i t s s t a t u s t h a t i t w a s t a u g h t c h i e f l y b y
s l a v e s , a n d n o t a s i n g l e t r e a t i s e o n t h e s u b j e c t h a s com e
down t o u s f r o m c l a s s i c a l t i m e s *
S m ith , o p * c i t * , p . 1 4 .
24
K a rp in s k y
19
a d d s a n o th e r b i t o f in f o r m a tio n a b o u t th e
w o rk o f N ic o m a e h u s , t h e p r i n c i p a l s o u r c e o f B o e t h i u s *
A rith m e tic s *
It
i s a s fo llo w s :
Among t h e G r e e k s tw o d i v e r g e n t m e th o d s o f t r e a t i n g
t h e sam e a r i t h m e t i c a l f a c t s w e re f o l l o w e d e v e n f r o m t h e
• tim e o f P y th a g o r u s .
On t h e o n e h a n d t h e r e w a s t h e
s t r i c t l y m a t h e m a t i c a l t r e a t m e n t w h ic h i s e x e m p l i f i e d b y
t h e a r i t h m e t i c o f E u c l i d ( c . 3 2 0 B . C .) a p p e a r i n g i n
B ooks V I I , V I I I , IX , a n d X o f th e E le m e n ts ; on th e o th e r
h a n d t h e r e w as th e s im p le s ta te m e n t o f a r i t h m e t i c a l f a c t s ,
w ith o u t a n y p r o o f b u t w ith p h ilo s o p h ic a l d i s q u i s i t i o n , a s
e x e m p l i f i e d b y t h e a r i t h m e t i c o f N ic o m a e h u s f c . 1 0 0 A# P . ) *
B a l l 20 w r i t e s t h e f o llo w in g c o n c e rn in g t h e c o n te n t o f
th e A rith m e tic s :
T o w a rd s t h e c l o s e o f t h i s c e n t u r y
(th e f i r s t a f t e r
C h r i s t ) , c i r c a 1 0 0 , a l e w , N ic o m a e h u s o f G e r a s a p u b ­
l i s h e d a n A r i t h m e t i c , w h ic h ( o r r a t h e r t h e L a t i n t r a n s l a ­
t i o n o f i t ) r e m a in e d f o r a t h o u s a n d y e a r s a s t a n d a r d a u ­
t h o r ity on th e s u b je c t.
G e o m e tric a l d e m o n s tr a tio n s a r e
h e r e a b a n d o n e d , a n d t h e w o rk i s a m e r e c l a s s i f i c a t i o n o f
t h e r e s u l t s th e n know n, w ith n u m e r ic a l i l l u s t r a t i o n s : t h e
e v id e n c e f o r th e t r u t h o f t h e p r o p o s i t i o n s e n u n c ia te d ,
f o r I c a n n o t c a l l th e m p r o o f s , b e i n g i n g e n e r a l a n i n d u c ­
t i o n , fro m n u m e r ic a l i n s t a n c e s .
T he o b j e c t o f t h e b o o k
i s a s tu d y o f t h e p r o p e r t i e s o f n u m b ers, an d p a r t i c u l a r l y
of th e ir ra tio s .
N ic o m a e h u s 'c o m m e n c e s w i t h t h e u s u a l
d i s t i n c t i o n s b e tw e e n e v e n , o d d , p r i m e , a n d p e r f e c t num­
b e r s ; h e n e x t d i s c u s s e s f r a c t i o n s i n a so m e w h at c lu m s y
m a n n e r; h e t h e n t u r n s t o p o ly g o n a l a n d t o s o l i d n u m b e rs;
and f i n a l l y t r e a t s o f r a t i o , p r o p o r tio n and th e p ro g re s ­
s io n s .
A r i t h m e ti c o f t h i s k in d i s u s u a l l y te rm e d
B o e t h i a n , a n d t h e w o rk o f B o e t h i u s o n i t w a s a r e c o g n i z e d
t e x t b o o k i n t h e M id d le A g e s .
E x p l a n a t i o n o f som e t e r m s u s e d i n t h e A r i t h m e t i c s .
B e­
f o r e p r e s e n t i n g a sum m ary o f t h e A r i t h m e t i c s , i t i s a d v i s a b l e
19 K a r p i n s k y , o p . c i t . . p . 1 5 .
B a ll,
op. c i t . ,
p . 94.
25
t o e x p l a i n som e o f t h e t e r m s u s e d , f o r w h ic h t h e r e a r e n o c u r ­
r e n t E n g lis h e x p re s s io n s a v a i la b l e .
fro m J a c k s o n :
T he f o l l o w i n g i s
ta k e n
21
T he m a n n e r o f d e s i g n a t i n g v a r i o u s r a t i o s w a s a l s o
p e c u l ia r and e la b o r a te .
F o r e x a m p le , t h e r e l a t i o n o f
a n y tw o n u m b e r s w h o se r a t i o i s 1 § t o o n e w a s c a l l e d
" s e s q u i a l t e r a l ” , m e a n in g t h a t t h e a n t e c e d e n t c o n t a i n s
t h e c o n s e q u e n t o n c e and o n e - h a l f m o re.
S im ila rly th e r a t i o
1 1 /3 : 1 , o r 4 : 3 w as c a l l e d
1 1 /4 : 1 , o r 5 :4 w as c a l l e d
”s e s q u i t e r t i a l ” , and
" s e s q u iq u a rta l" , e tc .
O f a l l t h e p a i r s o f n u m b e rs t h a t c a n r e s u l t i n " s e s q u i "
r a t i o s , t h e a n t e c e d e n t s w e re c a l l e d " s u p e r p a r t i c u l a r i s "
an d th e c o n s e q u e n ts " s u b s u p e r p a r t i c u l a r i s " .
When t h e i n t e g r a l p a r t o f t h e r a t i o i s g r e a t e r t h a n 1
t h e ab o v e r a t i o s w e re p re c e d e d by t h e c o rr e s p o n d in g ad ­
j e c t i v e s , th u s th e r a t i o
1 w as c a l l e d d u p le x s e s q u i a l t e r a l ,
2 1 /2
1 w as c a l l e d d u p le x s e s q u i t e r t i a l ,
2 1 /3
l w a s c a l l e d t r i p l e x s e s q u i q u a r t a l , an d so o n .
3 1 /4
W hen t h e f r a c t i o n i n t h e r a t i o e x c e e d s a u n i t f r a c t i o n ,
t h e r a t i o w a s nam ed a c c o r d i n g t o t h e n u m e r a t o r , t h u s t h e
ra tio
1 2 /3
: 1w as c a l l e d s u p e r b i p a r t i e n s , a n d
1 3 /4
: 1w a s c a l l e d s u p e r t r i p a r t i e n s , a n d s o o n ,
m e a n in g e x c e s s b y tw o p a r t s , b y t h r e e p a r t s , a n d s o o n .
The p r e f i x " s u b " w as u s e d t o d e s ig n a te th e i n v e r s e o f
th e above r a t i o , th u s th e r a t i o
1 : 1
2 /3 w as c a l l e d s u b s u p e r b ip a r tie n s , and
1 : 1
3 / 4 w as c a l l e d s u b s u p e r t r i p a r t i e n s .
The r e a s o n f o r e m p h a s iz in g t h e s e p e c u l i a r c l a s s i f i c a ­
t i o n s o f num ber i s n o t m a n i f e s t .
L e g e n d re ( T h e o r ie s d e s
N o m b re s , 1 7 9 8 , p r e f a c e ) e x p l a i n e d t h e p r o m in e n c e g i v e n
^ L a m b e r t L i n c o l n J a c k s o n , T he E d u c a t i o n a l S i g n i f i c a n c e
o f S i x t e e n t h C e n t u r y A r i t t o e t i c (New Y o rk ; T e a c h e r s C o i l e g e ,
C o lu m b ia U n i v e r s i t y , 1 9 0 6 ) , p p . 3 3 - 3 5 .
26
th e s u b j e c t on t h e g ro u n d t h a t : . " i t s s tu d y b ecom es a s o r t
o f p a s s i o n w i t h t h o s e who t a k e i t u p . "
T h is p h a s e o f
a r ith m e tic had i t s o r ig in in th e p ro d u c ts o f th e
P y t h a g o r e a n S c h o o l , w a s e x p o u n d e d b y N ic o ia a c h u § , a n d
w a s c o m m u n ic a te d t o t h e s c h o l a r s o f t h e R e n a i s s a n c e b y
B o e t h i u s 1 t r a n s l a t i o n o f N ic o m a e h u s *
Df O oge
22
o f f e r s a d i f f e r e n t e x p l a n a t i o n f o r t h e em p h a­
s i s g iv e n to r a t i o s :
"T h e i n t i m a t e c o n n e c t i o n b e tw e e n a r i t h ­
m e t i c a n d m u s ic a c c o u n t s i n
som e m e a s u r e f o r t h e c o m p l e t e a n d
e v e n t e d i o u s d i s c u s s i o n o f r a t i o s i n t h e G re ek t r e a t i s e s
on
A rith m e tic * "
Sum m ary*
T h is c h a p te r g av e a s h o r t a c c o u n t o f B o e th iu s ,
t h e w r i t e r o f t h e A r i t h m e t i c s * a n d m ade m e n t i o n o f t h e p l a c e
t h e w o rk h e l d i n
t h e s c h o o l s o f t h e M id d le A g e s .
I t th e n p re ­
s e n te d t h e r e a s o n s w hy t h e A r ith m e tlc a g r a d u a l l y f e l l
d i s u s e an d w as f i n a l l y
d is c a rd e d .
in to
T he d i f f e r e n t o p i n i o n s
c o n c e r n in g t h e s o u r c e s u s e d b y B o e th iu s w e re s e t f o r t h .
T he
c o n te n t o f th e A r i t h m e t i c s w as i n d i c a t e d ,
fo llo w e d by an ex ­
p l a n a t i o n o f som e t e r m s u s e d i n t h e w o r k .
T h is e x p la n a t i o n
i s n e c e s s a r y f o r t h e u n d e r s t a n d i n g o f m any s e n t e n c e s i n t h e
fo llo w in g c h a p te r .
22
p. 5.
N ic h o m a c h u s o f G e r a s a , I n t r o d u c t i o n t o A r i t h m e t i c *
CHAPTER III
SUMMARY OF THE ARITHMETIC A
T h e b e s t m e th o d t o g a i n a k n o w le d g e o f t h e c o n t e n t s o f
any book i s , , o f c o u rs e ,
to re a d i t .
H o w e v e r, t h e r e a r e fe w
m o d e rn r e a d e r s who w o u ld e n j o y t h e A r i t h m e t i c s i n t h e l a n g u a g e
i n w h ic h i t w a s w r i t t e n ,
tra n s la tio n
of its
o r who w o u ld t a k e t h e t i m e t o r e a d a
110 p a g e s .
F o r th e s e re a so n s t h i s
p r e s e n t s a b r i e f su m m a ry , i n E n g l i s h ,
c h a p te r
o f th e s i x t y - e i g h t
c h a p t e r s c o n t a i n e d i n t h e tw o b o o k s o f t h e A r i t h m e t i c s .
m o d e rn r e a d e r w i l l p e r h a p s r e j o i c e
T he
i n t h e f a c t t h a t m any o f
th e c h a p te r s i n th e A r ith m e tic s a r e v e ry b r i e f .
SUMMARY OF CHAPTER I ,
BOOK I
" I n t r o d u c t io n : D iv is io n o f M a th e m a tic s ”
I n th e f i r s t
fa m o u s e x p r e s s ,
s e n te n c e o f t h i s
c h a p te r i s fo u n d th e
” q uodam q u a s i q u a d r i v i o , ” t h a t f u r n i s h e d t h e
nam e " q u a d r i v i u m ” t o t h e f o u r r e l a t e d
s c ie n c e s :
a rith m e tic ,
g e o m e t r y , a s t r o n o m y , a n d m u s ic i n t h e M id d le A g e s .
B o e th iu s s t a t e s
t h a t a l l l e a r n e d m en o f a n t i q u i t y m ad e
u s e o f th e s e fo u r s c ie n c e s a s a p r e p a r a tio n f o r th e s tu d y o f
w is d o m , t h a t i s ,
p h ilo s o p h y .
B o e th iu s d iv id e s a l l t h in g s i n t o
d e n t s ” a n d a s s e r t s t h a t w isd o m c h i e f l y
" e s s e n c e s ” and " a c c i­
c o n c e rn s i t s e l f w ith
28
e s s e n c e s , t h a t i s , w ith th in g s t h a t e x i s t in
th e m s e lv e s an d
do n o t in h e r e i n a n y th in g e ls e #
E s s e n c e s a r e d i v i d e d i n t o m a g n itu d e a n d m u l t i t u d e #
G e o m e try c o n c e r n s i t s e l f w i t h im m o v a b le m a g n i t u d e ; a s t r o n o m y
w i t h m o v a b le m a g n i t u d e ; m u s ic w i t h m u l t i t u d e
is ,
"ad a liu d ," th a t
th e r e l a t i o n o f one m u s ic a l n o te to a n o th e r ; w h ile a r i t h ­
m e tic d e a ls w ith m u ltitu d e
" p e r s e ," t h a t i s , m u ltitu d e u n d e r­
s to o d a s e x i s t i n g a p a r t fro m an y s p e c i f i c
th in g .
A rith m e tic
e x i s t e d b e f o r e a n y t h i n g e l s e : w i t h o u t a r i t h m e t i c , o r n u m b e r,
g e o m e tr y a n d m u s ic a n d a s t r o n o m y c a n n o t e x i s t .
a m p le s a r e o f f e r e d t o
show t h a t t h i s
S e v e ra l ex­
l a s t s ta te m e n t i s
tru e .
SUMMARY O f CHAPTER I I , BOOK I
"O n t h e S u b s t a n c e o f N u m b er"
S in c e t h e c ir c u m s ta n c e s t h a t c o n tr o l a l l c r e a te d t h in g s
a r e d e t e r m i n e d b y n u m b e r , n u m b e r i t s e l f m u s t b e c o m p o se d o f
som e im m u ta b le s u b s t a n c e .
A nd y e t n u m b e r s e e m s t o b e m ade u p
o f d i v e r s e e l e m e n t s w h ic h f l o w f r o m t h e sam e s o u r c e a n d a r e
j o i n e d t o g e t h e r t o fo rm o n e s y s t e m a t i c o r d e r .
SUMMARY OF CHAPTER I I I ,
BOOK I
"T h e D e f i n i t i o n a n d D i v i s i o n o f N u m b er; a n d t h e V a r i o u s
D e f i n i t i o n s o f E v e n a n d Odd N u m b e rs "
N um ber i s
a c o lle c tio n o f u n itie s ,
o r a g ro u p o f
29
q u a n t i t i e s m ade u p o f u n i t i e s *
An e v e n num ber i s a num ber
t h a t c a n b e d i v i d e d i n t o tw o e q u a l p a r t s w i t h no r e m a i n d e r
o f one.
in to
An odd num ber i s
a num ber t h a t c a n n o t b e d i v id e d
tw o e q u a l p a r t s w i t h o u t a r e m a i n d e r o f o n e .
T he P y t h a g o r e a n s c h o o l d e f i n e d a n e v e n n u m b e r a s a
num ber t h a t w hen d iv id e d by th e s m a ll e s t p o s s i b l e d i v i s o r
o t h e r t h a n u n i t y — n a m e ly " 2 " — p r o d u c e d t h e l a r g e s t p o s s i b l e
e q u a l p a r t s — n a m e ly h a l v e s — w i t h o u t a r e m a i n d e r .
t
A n o th e r a n c i e n t d e f i n i t i o n o f e v e n num ber i s
lo w in g : a n e v e n num ber i s
a n u m b e r t h a t n o m a t t e r how d i v i d e d
w i l l b e m ade u p o f a p a i r o f o d d n u m b e rs
n u m b ers.
F o r in s ta n c e ,
t h r e e and f i v e ,
th e f o l ­
e ig h t i s
of
a p a ir o f even
e q u a l to one and se v e n ,
tw o a n d s i x , f o u r a n d f o u r .
T he c o r r e s p o n d i n g
d e f i n i t i o n o f o d d n u m b e r i s t h e f o l l o w i n g : a n o d d n u m b er i s
a
n u m b e r t h a t n o m a t t e r how d i v i d e d w i l l a lw a y s p r o d u c e o n e o d d
w i t h o n e e v e n n u m b e r, n e v e r a p a i r o f o d d n u m b e r s n o r a p a i r
o f ev en n u m b ers.
F or in s ta n c e ,
seven i s
e q u a l to one and s ix ,
tw o a n d f i v e , t h r e e a n d f o u r .
A n o th e r p a i r o f d e f i n i t i o n s i s
a ls o o f f e r e d .
n u m b e r i s t h a t n u m b e r w h ic h b e c o m e s o d d w h en u n i t y i s
o r s u b tra c te d .
An e v e n
added
A n o d d n u m b e r i s t h a t n u m b e r w h ic h b e c o m e s
e v e n w hen u n i t y i s a d d e d o r s u b t r a c t e d .
30
SUMMARY OF CHAPTER I V , BOOK I
"On t h e P r i n c i p l e o f U n i t y "
E v e ry num ber i s
a n d j u s t b e lo w i t
is
t h e m e a n b e tw e e n t h e n u m b e r j u s t a b o v e
i n th e n a t u r a l s e r i e s o f n u m b ers.
t h e m ean b e tw e e n f o u r a n d s i x # . F i v e i s
tw o a b o v e i t
w is e , f iv e i s
a n d tw o b e lo w i t ,
its
a l s o t h e m ean f o r
n a m e ly s e v e n a n d t h r e e .
t h e m ean f o r t h r e e a b o v e i t
an d so on u n t i l one i s r e a c h e d .
its e lf,
L ik e ­
a n d t h r e e b e lo w i t ,
One i t s e l f h a s a n u m b e r a b o v e
n a m e ly tw o , b u t n o n u m b e r b e lo w i t s e l f .
own m e a n .
Thus f iv e
Thus one i s
One m u s t t h e n b e c o n s i d e r e d t h e p r i m e u n i t y
and re c o g n iz e d a s th e g e n e tr ix o f a l l p l u r a l i t y .
SUMMARY OF CHAPTER V , BOOK I
"T h e S p e c i e s o f E v e n N u m b e rs "
T h ere a re t h r e e
s p e c i e s o f e v e n n u m b ers: e q u a l l y e v e n ,
e q u a lly o d d , an d u n e q u a lly e v e n .
t o b e o n l y tw o s p e c i e s ,
th ird
A t f i r s t g la n c e t h e r e
se e m
e q u a lly even and e q u a lly o d d , f o r th e
s p e c ie s , u n e q u a lly e v e n , p a r t i c i p a t e s i n
t h e m e a n in g o f
b o th th e o th e r s p e c ie s .
SUMMARY OF CHAPTER V I , BOOK I
"O n t h e E q u a l l y E v e n N um ber a n d I t s
P ro p e rtie s "
E q u a l l y e v e n n u m b e rs a r e n u m b e rs t h a t c a n b e d i v i d e d
31
in to
tw o e q u a l p a r t s w i t h o u t a r e m a i n d e r , a n d t h e e q u a l p a r t s
a g a in d iv id e d w ith o u t a re m a in d e r, an d th e p r o c e s s c o n tin u e d
u n t i l u n ity be rea ch e d *
n u m b e r tw o i n i t s
b e rs*
A s m ay b e s e e n r e a d i l y o n l y t h e
v a r i o u s p o w e r s c a n s u p p l y e q u a l l y e v e n num­
A ll th e f a c to r s
o f a n e q u a l ly e v e n num ber a r e th e m s e lv e s
e q u a l ly even*
If
to th e
s m a l l e s t e q u a l l y e v e n n u m b e r , tw o , o n e b e
added, th re e re s u lts *
Now t h r e e i s o n e l e s s t h a n t h e n e x t
e q u a l l y e v e n n u m b er, f o u r .
I f t h r e e an d f o u r be a d d e d , s e v e n
r e s u l t s , w h ic h i s o n e l e s s t h a n t h e n e x t h i g h e s t e q u a l l y e v e n
n u m b e r, e i g h t *
T h i s p r o c e s s m ay b e c a r r i e d o n t o a n y l e n g t h *
E ach f a c t o r o f a num ber m u st h a v e a c o r r e s p o n d in g te r m
t h a t i s a ls o
a f a c t o r o f t h e num ber i n q u e s t i o n .
d iv id e s s ix ty - f o u r s ix te e n tim e s , and i n
Thus fo u r
tu r n s ix te e n d iv id e s
s i x t y - f o u r f o u r tim e s *
SUMMARY OF CHAPTER V I I , BOOK I
"On t h e E q u a l l y Odd N um ber a n d I t s P r o p e r t i e s ”
An e q u a l l y o d d n u m b e r i s a n u m b e r t h a t p o s s e s s e s t h e
n a tu r e and s u b s ta n c e o f " e v e n n e s s ,” b u t on th e se co n d d iv is io n
d i f f e r s fro m t h e e q u a l l y e v e n n u m b er.
T h e n u m b e rs 6 , 1 0 , 1 4 ,
1 8 , 2 2 , a n d t h e l i k e , m ay b e d i v i d e d e q u a l l y o n c e b u t n o m o re*
T he c o r r e s p o n d in g p a i r s o f f a c t o r s o f t h e s e n u m b ers a r e
a l w a y s m ade u p o f o n e o d d a n d o n e e v e n n u m b e r .
T en i s e q u a l t o
32
2 x 5 ;
1 8 i s e q u a l t o 2 x 9 o r 6 x 3*
T h e se e q u a l l y odd n u m b ers a r e p ro d u c e d b y t a k i n g t h e
n a t u r a l s e r i e s o f odd n u m b e rs, 1 , 3 , 5 , 7 , e t c . ,
p ly in g by 2 , r e s u l ti n g
in th e s e r i e s ,
and m u lti­
2, 6 , 10, 14, e tc .
E a c h num ber i n t h e s e r i e s d i f f e r s b y 4 fro m t h e num ber t h a t
p re c e d e s an d fo llo w s i t .
is
I n o t h e r w o r d s , w hen t h i s
s e rie s
f o r m e d , t h r e e n u m b e rs o f t h e n a t u r a l s e r i e s a r e o m i t t e d
b e tw e e n a n y tw o n u m b e r s o f t h e e q u a l l y o d d s e r i e s .
Por
e x a m p le , b e tw e e n 2 a n d 6 , t h e n u m b e rs 3 , 4 , a n d 5 a r e
o m itte d .
T he tw o s p e c i e s o f n u m b e r s , e q u a l l y e v e n a n d e q u a l l y
o d d , d i f f e r i n th e f o llo w in g m a n n e r.
s e rie s ,
I n th e e q u a lly even
f o r e x a m p le , 2 , 4 , 8 , 1 6 , t h e p r o d u c t o f t h e e x ­
tre m e s i s
e q u a l t o th e p ro d u c t o f th e m ean s.
odd s e r i e s ,
tre m e s i s
f o r e x a m p le , 2 , 6 , 1 0 , 1 4 , t h e sum o f t h e e x ­
equal to
t h e sum o f t h e m e a n s .
o f e x p re s s in g t h i s d if f e r e n c e ,
c a l l e d a g e o m e tric s e r i e s ,
a rith m e tic
I n th e e q u a lly
I n o u r m o d e rn w ay
th e e q u a lly even s e r i e s
is
and t h e e q u a l ly odd s e r i e s a n
s e rie s .
SUMMARY
OF CHAPTER
T i l l , BOOK I
” 0 n t h e N um ber U n e q u a l l y E v e n a n d I t s P r o p e r t i e s ”
T he u n e q u a l l y e v e n n u m b e r i s r e l a t e d
to b o th th e
e q u a l l y e v e n n u m b e r a n d t h e e q u a l l y o d d n u m b e r.
L ik e t h e
33
e q u a l ly e v e n num ber i t
tw o e q u a l p a r t s ,
p e r m i t s m o re t h a n o n e d i v i s i o n i n t o
and l i k e
t h e e q u a l l y odd num ber th e e q u a l
d i v i s i o n s c a n n o t b e c o n tin u e d u n t i l u n i t y b e r e a c h e d .
e x a m p le :
For
32 i s a n e q u a l l y e v e n n u m b e r; 2 2 i s a n e q u a l l y o d d
n u m b e r; w h i l e 2 8 i s
a n u n e q u a lly e v e n n u m b er.
F u rth e rm o re , a l l th e p a i r s o f f a c t o r s o f an e q u a lly
e v e n num ber a r e e v e n n u m b e rs, an d a l l t h e p a i r s o f f a c t o r s
o f a n e q u a l l y o d d n u m b e r a r e m ade u p o f o n e e v e n w i t h o n e
o dd n u m b er, b u t th e u n e q u a lly e v e n num ber h a s b o th k in d s o f
p a irs of fa c to rs .
F o r e x a m p le , 2 4 i s
e q u a l to 4 x 6 a s w e ll
as 3 x 8.
A l l u n e q u a l l y e v e n n u m b e rs a r e f o r m e d b y m u l t i p l y i n g
som e o n e o f t h e n a t u r a l s e r i e s o f o d d n u m b e r s , 3 , 5 , 7 , 9 , a n d
s o on, b y t h e n u m b e r 2 r a i s e d t o
som e p o w e r .
B o e th iu s
f u r n is h e s th e fo llo w in g t a b l e :
3,
5,
7,
9,
4,
8,
16,
32,
11,
6 4 , and so o n .
SOTMARY OF CHAPTER 1 2 , BOOK I
"On t h e Odd N u m b e r, a n d I t s
D iv is io n s "
An odd num ber i s a num ber t h a t i n n a t u r e a n d b y s u b ­
s t a n c e d i f f e r s fro m a n e v e n n u m b er.
T he o d d n u m b e r i s
o f th re e k in d s :
th e f i r s t k in d ,
in d e e d , i s p rim e a n d s im p le ; t h e s e c o n d i s
se c o n d a ry and
34
com pound; th e t h i r d k in d i s r e l a t e d to
in
t h e o t h e r tw o b e c a u s e
som e c i r c u m s t a n c e s i t m ay b e r e g a r d e d a s p r i m e a n d s i m p l e
w h i l e i n o t h e r c i r c u m s t a n c e s t h e sam e n u m b e r m ay b e r e g a r d e d
a s s e c o n d a ry an d com pound.
SUMMARY OF CHAPTER X , BOOK I
"On t h e P r im e a n d S im p le N u m b er"
A p rim e an d s im p le num ber i s a num ber t h a t h a s no
o th e r fa c to rs
1 1 , and so o n .
e x c e p t i t s e l f and u n ity ,
f o r e x a m p le , 3 , 5 , 7 ,
P o w e r s o f s u c h n u m b e rs a d m i t n o o t h e r f a c ­
t o r s t h a n t h e n u m b er i n q u e s t i o n a n d u n i t y .
The num ber 2 i s
c o n s id e r e d t o b e a n e v e n n u m b er, a n d
h e n c e c a n n o t b e p rim e a n d s im p le .
SUMMARY OF CHAPTER X I , BOOK I
"On t h e S e c o n d a r y a n d Com pound N u m b e r"
A s e c o n d a r y a n d com pound n u m b e r i s
cause i t
r e t a i n s th e
w as fo rm e d , b u t i t
a n odd num ber b e ­
p e c u l i a r i t y o f t h e n u m b e rs f r o m w h ic h I t
i s n o t s i m p l e b e c a u s e c o m p o u n d ed o f tw o o r
m o re n u m b e r s .
SUMMARY OF CHAPTER X I I , BOOK I
"O n t h a t N u m b e r, w h ic h C o n s i d e r e d A lo n e i s S e c o n d a r y a n d
C om pound y e t C o m p are d t o A n o t h e r i s P r im e a n d S i m p l e "
A s e c o n d a r y a n d co m p o u n d n u m b e r s u c h a s 1 5 i s
c o n s id e re d
35
a s p r i m e a n d s i m p l e w h en i t
n u m b e r m ade u p o f t o t a l l y
is
c o m p a re d w i t h a n o t h e r com p o u n d
d i f f e r e n t f a c t o r s such a s 4 9 .
In
o t h e r w o r d s , tw o n u m b e r s t h a t p o s s e s s n o common f a c t o r o t h e r
t h a n u n i t y a r e c o n s i d e r e d a s p r im e a n d s i m p l e i n r e l a t i o n t o
each o th e r.
SUMMARY OF CHAPTER X E I I , BOOK I
n0 n t h e D i s c o v e r y o f a P r im e a n d S im p le N u m b e r, a n d o f a
S e c o n d a r y a n d C om pound N u m b e r, a n d o f a N um ber S e c o n d a r y
a n d C om pound w hen C o n s i d e r e d A lo n e b u t P r im e a n d S im p le
w h en R e l a t e d t o A n o t h e r N u m b e r"
I n t h e f o l l o w i n g l i s t o f o d d n u m b e r s ( w h ic h c a n b e
c o n tin u e d i n d e f i n i t e l y )
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,
23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, i t
w ill be seen th a t
o f e v e ry th ir d
e v ery f i f t h
s t a r t i n g w ith th e num ber 3 , 3 i s a f a c t o r
n u m b er, a n d s t a r t i n g w ith 5 ,
5 i s a fa c to r o f
n u m b er, a n d s t a r t i n g w ith 7 , 7 i s
a fa c to r of
e v e r y s e v e n th n u m b e r, a n d so o n .
I n t h e f o l l o w i n g l i s t o f e v e n n u m b e rs ( w h ic h c a n b e
c o n tin u e d i n d e f i n i t e l y )
2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 , 14 1 6 , 1 8 , 2 0 ,
i t w i l l be n o t i c e d t h a t e a c h num ber h a s f o r one f a c t o r , t h e
num ber o f i t s
p la c e i n th e
has 1 fo r a fa c to r;
6 , th e
s e rie s .
T hus 2 , t h e f i r s t n u m b er,
4 , t h e s e c o n d n u m b e r, h a s 2 f o r a f a c t o r ;
t h i r d n u m b er, h a s 3 f o r a f a c t o r ;
and so o n .
36
Two n u m b e rs t h a t p o s s e s s n o common f a c t o r o t h e r t h a n
u n ity a re
c o n s i d e r e d a s p r im e a n d s i m p l e i n r e l a t i o n
to
one
a n o th e r.
SUMMARY 03? CHAPTER X E I I I , BOOK X
"O n t h e F i n d i n g o f t h o s e N u m b e rs , T h e m s e lv e s S e c o n d a r y
a n d C om pound, w h ic h a r e P r im e a n d S im p le i n R e l a t i o n
to E ach O th e r"
To p r o v e w h e t h e r tw o u n e q u a l n u m b e rs a r e p r i m e a n d
s im p le i n r e l a t i o n t o one a n o t h e r ,
t h e f o l l o w i n g m e th o d .
it
i s e x p e d ie n t to u se
F ro m t h e g r e a t e r n u m b e r s u b t r a c t t h e
s m a lle r.
I f th e d i f f e r e n c e be g r e a t e r th a n th e s m a lle r, su b ­
t r a c t th e
s m a l l e r a s m any t i m e s a s m ay b e n e c e s s a r y u n t i l
th e d if f e r e n c e
F ro m t h e
o b ta in e d i s l e s s
th a n t h e s m a ll e r n u m b e r.
s m a lle r num ber th e n s u b t r a c t t h e d i f f e r e n c e a n d
c o n tin u e th e p r o c e s s u n t i l th e d i f f e r e n c e s e q u a l e a c h o t h e r .
I f u n i t y be r e a c h e d b e f o r e th e d i f f e r e n c e s a r e fo u n d e q u a l,
t h e o r i g i n a l n u m b e rs a r e p r i m e t o
common f a c t o r .
s u b tra c t 9.
e a c h o t h e r and h av e no
F o r e x a m p le , h a v i n g g i v e n 29 a n d 9 , f r o m 29
The d i f f e r e n c e ,
2 G, i s g r e a t e r t h a n 9 , s o 9 m u s t
be s u b tr a c te d tw ic e b e fo r e th e d i f f e r e n c e
th a n 9 .
o b ta in e d i s
F ro m 9 t h e n s u b t r a c t t h e new d i f f e r e n c e ,
n e c e s s a r y n u m b e r o f tim e s , w h ic h i n t h i s
i s o b ta in e d .
le s s
2 , th e
ease i s 4, u n til 1
T h e r e f o r e , 29 a n d 9 a r e p r im e t o e a c h o t h e r .
O r h a v i n g g i v e n 21 a n d 9 , f r o m 2 1 s u b t r a c t 9 .
F ro m t h e
37
d iffe re n c e ,
o f 3*
1 2 , a g a i n s u b t r a c t 9 , o b t a i n i n g a new d i f f e r e n c e
F ro m 9 s u b t r a c t 3 .
3 w i l l b e fo u n d *
On t h e
seco n d s u b tr a c tio n a n o th e r
S in c e 3 e q u a ls 3 , 3 i s
a f a c t o r o f b o th th e
o r i g i n a l n u m b e rs a n d 21 a n d 9 a r e n o t p r i m e a n d s i m p l e i n
re la tio n
to each o th e r .
summary o f c h a p t e r x v ,
book x
" A n o t h e r D i v i s i o n o f E v e n N u m b e rs , i n t o P e r f e c t ,
I m p e r f e c t , a n d '’M ore t h a n P e r f e c t ’ N u m b e rs ”
If
th e
sum o f t h e n u m b e rs t h a t w i l l d i v i d e a g i v e n
n u m b e r b e e q u a l t o t h e g i v e n n u m b e r, t h a t n u m b e r i s
a p e r f e c t n u m b e r.
I f th e
sum b e l e s s ,
c a l l e d a n im p e r f e c t n u m b er.
g iv e n num ber i s
w h o s e sum i s e q u a l t o
le s s
th a n th e
n u m b er.
th e g iv e n num ber i s
sum b e g r e a t e r ,
th e
c a l l e d a " m o re t h a n p e r f e c t " n u m b e r .
F or in s ta n c e ,
T he n u m b e r 8 i s
I f th e
c a lle d
28 i s
d i v i s i b l e by 1 , 2 , 4 , 7 , and 1 4 ,
28.
T h e r e f o r e 28 i s a p e r f e c t n u m b e r.
d i v i s i b l e b y 1 , 2 , a n d 4 , w h o se sum i s
7,
g iv e n num ber an d 8 th e n m u st b e a n im p e r f e c t
The num ber 24 i s
d i v i s i b l e by 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , and
1 2 , w h o s e sum i s g r e a t e r t h a n 2 4 .
T h e re fo re ,
24 i s
a "m o re
th a n p e r f e c t " n u m b er.
SUMMARY OF CHAPTER X V I, BOOK I
"O n t h e D e v e lo p m e n t o f t h e P e r f e c t N u m b e r"
P e r f e c t n u m b e rs a r e
sc a rc e .
O n ly o n e s u c h n u m b e r i s
f o u n d b e tw e e n 1 a n d 1 0 , a n o t h e r b e tw e e n 1 0 a n d 1 0 0 , a n o t h e r
b e tw e e n 1 0 0 a n d 1 , 0 0 0 , a n d s o o n .
P e r f e c t n u m b e rs a lw a y s h a v e a s t h e l a s t n u m e r a l e i t h e r
6 or 8.
I n f a c t t h e s e tw o n u m e r a l s a l t e r n a t e
in s u c c e s s iv e
p e r f e c t n u m b e rs.
T he d i s c o v e r y o f p e r f e c t n u m b e rs i s m ade i n t h i s w a y :
firs t,
p u t dow n t h e s e r i e s o f e q u a l l y e v e n n u m b e rs ( p o w e r s o f
2 ), 1 , 2 , 4 , 8 , 16, 32, 64, 128, 256, to
(u n ity i s ,
o f c o u rs e , added to
any lim it d e s ire d
th e s e r i e s ) ;
s e c o n d ly ,
if a
p r im e a n d s i m p l e n u m b e r r e s u l t s f r o m t h e a d d i t i o n o f a n y num­
b e r o f t h e m em b ers o f t h i s
t a k i n g th e m i n
s e rie s ,
s t a r t i n g fro m u n i t y a n d
o r d e r , t h e n t h a t p r im e a n d s i m p l e n u m b e r i s
t o be m u ltip lie d by th e
l a s t num ber u s e d i n t h e
th e r e s u l t i n g num ber i s
a p e r f e c t n u m b er.
F o r in s ta n c e , add 1 and 2 .
s im p le n u m b e r.
p e r f e c t n u m b er.
s e r i e s , and
T h e sum i s 3 , a p r im e a n d
M u ltip ly 3 by 2 , and th e p ro d u c t, 6 , i s
A g a in , ad d 1 , 2 , an d 4 .
T he sum i s
a
7, a
p rim e an d s im p le n u m b e r.
M u ltip ly 7 b y 4 , and th e p ro d u c t,
28, is
A dd 1 , 2 , 4 , a n d 8 .
a p e r f e c t n u m b e r.
1 5 , a com pound n u m b e r t h a t c a n n o t b e u s e d .
and 1 6 .
T h e sum i s
T he sum i s
A dd 1 , 2 , 4 , 8 ,
3 1 , a p r im e a n d s i m p l e n u m b er*
31 b y 1 6 , a n d th e p r o d u c t, 4 9 6 , i s
M u ltip ly
th e n e x t p e r f e c t n u m b e r.
T h i s p r o c e s s m ay b e c a r r i e d o n i n d e f i n i t e l y .
SUMMARY OF CHAPTER X V I I , BOOK I
" C o n c e rn in g a n y Q u a n tity R e la te d t o A n o th e r Q u a n tity "
I n th e r e la tio n s h ip
a tw o fo ld d iv is io n *
a n o th e r q u a n tity ,
o f q u a n tity to
q u a n tity th e r e i s
E ith e r one q u a n tity e x a c tly e q u a ls
o r one q u a n tity i s g r e a te r o r l e s s th a n
a n o th e r q u a n tity *
SUMMARY OF
CHAPTER X V I I I , BOOK I
"On t h e S p e c i e s o f G r e a t e r a n d L e s s I n e q u a l i t y "
T h ere a r e f i v e d i v is io n s o f t h e g r e a t e r i n e q u a l i t y ,
n am ed r e s p e c t i v e l y , m u l t i p l e x ,
s u p e rp a rtic u la ris ,
su p e rp a r­
t i e n s , m u ltip le x s u p e r p a r tic u la r is , m u ltip le x s u p e rp a rtie n s *
To t h e s e f i v e
opposed f iv e
d iv is io n s o f th e g re a te r in e q u a lity th e re a re
d iv is io n s o f th e
l e s s e r i n e q u a l i t y , w h ic h h e a r
t h e sa m e n a m e s w i t h t h e a d d i t i o n o f t h e p r e f i x
" s u b ."
T he
nam es o f th e d i v i s i o n s o f t h e l e s s e r i n e q u a l i t y a r e a s f o l ­
lo w s :
s u b m u ltip le x ,
m u ltip le x
s u b s u p e rp a rtic u la ris ,
s u b s u p e rp a rtie n s ,
s u b s u p e r p a r ti c u la r ! s , and m u ltip le x s u b s u p e rp a rtie n s *
SUMMARY OF CHAPTER X IX , BOOK I
"On M u l t i p l e x I n e q u a l i t y , I t s D i f f e r e n t S p e c i e s ,
and T h e ir O rig in s "
M u l t i p l e x i s t h e nam e o f t h e f i r s t d i v i s i o n o f t h e
g r e a te r in e q u a lity #
It
i s th e r e l a ti o n s h i p
e x i s t i n g b e tw e e n
tw o n u m b e r s s u c h t h a t o n e n u m b e r c o n t a i n s t h e o t h e r m o re t h a n
once#
If
t h e l a r g e r num ber c o n ta in s t h e
th e in e q u a lity i s
if
fo u r tim e s ,
c a lle d
d u p le x ; i f
s m a lle r one tw ic e ,
th r e e tim e s , t r i p l e x ;
q u a d ru p le x ; and so o n .
¥ h e n a s m a lle r num ber i s
c o m p a re d t o a l a r g e r n u m b e r
t h a t c o n t a i n s i t m o re t h a n o n c e t h e i n e q u a l i t y i s
m u ltip le x #
I f th e
s m a lle r num ber i s
e q u a lity
is
nam ed s u b d u p l e x ; i f t h r e e
fo u r tim e s ,
s u b q u a d r u p l e x ; a n d s o on#
c a lle d
c o n ta in e d tw ic e th e
tim e s ,
s u b trip le x ;
su b ­
in**
if
T he o r i g i n o f t h e d i f f e r e n t s p e c i e s o f m u l t i p l e x i n ­
e q u a lity i s
a s fo llo w s :
1, 2, 3, 4,
5 , 6 , 7 , 8 , 9 , a n d so on i n d e f i n i t e l y , ta k e a n y
num ber su c h a s 2 #
in r e la tio n
to 4 i s
i n th e n a t u r a l s e r i e s o f n u m b e rs,
Now 2 i n r e l a t i o n
s u b d u p le x ; w h ile 4 i n r e l a t i o n
d u p le x , s t i l l 4 i n r e l a t i o n
re la tio n
to
3 is
to 8 i s
to
2 is
trip le x ,
q u a d ru p le x , w h ile 2 i n r e l a t i o n
2 in r e la tio n
s u b d u p le x #
d u p le x , b u t 6 i n r e l a t i o n
T he sam e 6 i n r e l a t i o n
2 is
to 1 i s d u p le x , and 2
to 8 i s
s u b q u a d ru p le x .
c o n tin u e d i n d e f i n i t e l y .
to
to
2 is
A g a in 6 i n
t o 12 i s
s u b d u p le x #
and 8 in r e l a ti o n
6 is
to
s u b tr ip le x , and
T h e p r o c e s s m ay b e
41
SUMMARY OP CHAPTER XX, BOO£ I
"On S u p e r p a r t i c u l a r i s I n e q u a l i t y , I t s
S p e c ie s ,
and T h e ir O r ig in s "
T he i n e q u a l i t y nam ed s u p e r p a r t i c u l a r i s i s
t i o n s h i p e x i s t i n g b e t w e e n tw o n u m b e r s ,
th e r e l a ­
such t h a t th e f i r s t
n u m b e r c o n t a i n s t h e s e c o n d n u m b e r o n c e w i t h som e f r a c t i o n
r e m a i n i n g , t h e n u m e r a t o r o f w h ic h m u s t a lw a y s b e u n i t y .
th e f i r s t num ber c o n ta in s th e
tim e s , th e r e l a ti o n s h i p
is
th e r a t i o
o f 3 to
2.
s e c o n d num ber one and o n e - h a l f
or ra tio
as is
is
c a lle d
s e s q u ia lte r,
as
I f t h e f i r s t num ber c o n t a i n s t h e
s e c o n d num ber o n e an d o n e - t h i r d
s e s q u ite rtiu s ,
If
th e r a t i o
tim e s ,
th e r a t i o
o f 4 to
3.
is
c a lle d
I f t h e f i r s t num­
b e r c o n ta in s th e se c o n d num ber one an d o n e - q u a r te r tim e s ,
th e r a t i o
is
c a lle d s e s q u iq u a rtu s , a s i s
th e r a t i o
o f 5 to 4 .
T h is l i s t
o f r a t i o s , w i t h t h e i r c o r r e s p o n d i n g n a m e s , m ay b e
c o n tin u e d i n d e f i n i t e l y .
T hese d i f f e r e n t s p e c ie s o f th e
e q u a lity have t h e i r o r ig in
s e s q u ia lte r.
th is
s e rie s ,
s u p e rp a rtic u la ris in ­
i n t h i s w ay,
s t a r t i n g w ith th e
S e t down a n a t u r a l s e r i e s o f n u m b e r s ; b e lo w
r e p e a t i t m u ltip lie d by 3; and i n th e t h i r d
l i n e r e p e a t th e f i r s t
s e r ie s m u ltip lie d by 2 .
E ach p a i r o f
n u m b e r s i n t h e tw o l o w e r s e r i e s w i l l h a v e t h e r a t i o
s e s q u ia lte r.
T he f o l l o w i n g i s
a n e x a m p le .
c a lle d
42
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
T he p a i r s o f n u m b e r s , 3 a n d 2 , 6 a n d 4 ,
9 a n d 6 , 12
a n d s o o n , a l l fo r m s e s q u i a l t e r r a t i o s .
A s e rie s o f s e s q u ite rtiu s r a tio s
lo w in g w ay.
is
fo rm ed i n th e f o l ­
S e t dow n a s e r i e s o f n a t u r a l n u m b e r s ; b e lo w t h i s
s e r i e s , r e p e a t i t m u ltip lie d by 4; and in th e t h ir d
p e a t th e f i r s t
s e r ie s m u ltip lie d by 5 .
B a c h p a i r o f n u m b e rs
i n t h e tw o l o w e r s e r i e s w i l l h a v e t h e r a t i o
tiu s .
lin e re ­
c a lle d
s e s q u ite r­
T h e f o l l o w i n g w i l l s e r v e a s a n e x a m p le .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
The p a i r s o f n u m b ers 4 a n d 3 , 8 a n d 6 , 12 a n d 9 , a n d s o o n ,
a l l fo rm s e s q u i t e r t i u s r a t i o s .
T he s e s q u i q u a r t u s r a t i o
ra tio s
a n d t h e n u m e ro u s o t h e r " s e s q u i 1*
can b e fo rm ed i n a m an n er s i m i l a r to t h a t o u t l i n e d f o r
th e s e s q u ia lte r and th e s e s q u i te r tiu s r a t i o s .
T he f i r s t n u m b e r i n a n y g i v e n " s e s q u i " r a t i o
" d u e e s , B t h e s e c o n d n u m b e r " c o m i t e s . **
th e
s e s q u ite rtiu s r a tio
in th e p a ir i s
g iv e n above
is
c a lle d
T h u s i n t h e e x a m p le o f
( 4 : 3 ) , 4 , t h e f i r s t num ber
c a lle d th e d u c e s , and 3 , th e
c o m ite s .
43
SUMMARY OF CHAPTER XXX, BOOK I
" S u p e r p a r tic u la r is and M u ltip le x R a tio s
S u m m a riz e d o n a C h a r t "
T h e c h a r t s u m m a r iz e s t h e p r e c e d i n g c h a p t e r i n
w ay a s t o e x p l a i n c l e a r l y t h e r e l a t i o n s h i p
th e v a r i o u s " s e s q u i" r a t i o s fro m 1 1 /2
e x i s t i n g b e tw e e n
(3 :2 )
to 1 1 /9
N o te : The c h a r t on t h e f o llo w in g p a g e i s
c o p y o f p a g e 55 o f t h e A r i t h m e t i o a .
such a
(1 0 :9 ).
a p h o to s ta t
T he w o rd s o n t h e c h a r t
a r e i n L a t i n , b u t t h e m o d e rn r e a d e r w i l l n o t h a v e t o o g r e a t
d i f f i c u l t y in re a d in g i t
i f h e k e e p s i n m in d t h a t t h e
p r i n t e r s o f t h e M id d le A g e s u s e d s o m e t h i n g t h a t l o o k s v e r y
m uch l i k e o u r " f " f o r t h e l e t t e r
" s ."
T he l e t t e r
"v" i s
u s e d f o r " u " ; a n d a l i n e d ra w n o v e r a v o w el i n d i c a t e s t h a t
a n "m " o r a n " n " f o l l o w s t h a t v o w e l .
SUMMARY OF CHAPTER X X I I , BOOK I
"An E x p o s i t i o n b y w h ic h i t
i s C l e a r l y Show n t h a t t h e
M u ltip le x R a tio i s A n te c e d e n t to th e O th e r S p e c ie s
o f In e q u a lity ;
and a n E x p la n a tio n o f th e C h a rt"
T he f i r s t l i n e
a c r o s s th e to p o f th e c h a r t
(sh o w n o n
p a g e 4 5 ) i s t h e s e r i e s o f n a t u r a l n u m b e rs f r o m 1 t o
seco n d lin e
g iv e s t h i s
and so o n .
F ro m t h i s
s e r i e s d o u b le d ; t h e t h i r d ,
c h a rt i t
10.
T he
tre b le d ;
can be se e n p l a i n l y th a t th e
Secuda
vnitas
45
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46
m u ltip le x r a t i o
is
a n te c e d e n t t o a n y o t h e r fo rm o f r a t i o *
T h e c o lu m n o f n u m b e rs o n t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e
ch art is
i t s e l f t h e n a t u r a l s e r i e s o f n u m b e rs, a lth o u g h i t w as ob­
ta in e d by d o u b lin g , t r e b l i n g ,
e tc * ,
t h e num ber o n e .
T he l i n e o f n u m b e rs r u n n i n g d i a g o n a l l y f r o m t h e u p p e r
l e f t hand c o rn e r to
th e lo w e r r i g h t h a n d c o r n e r , t h a t i s ,
1,
4 , t o 8 1 a n d 1 0 0 , i s m ade u p o f t e t r a g o n a l n u m b e r s , o r num­
b e r s t h a t a r e t h e p r o d u c t o f tw o e q u a l f a c t o r s .
o n a l n u m b ers a r e a l s o
T hese t e t r a g ­
c a l l e d q u a d r a t i c n u m b e rs *
S t a r t i n g fro m 4 i n t h e se c o n d l i n e an d p r o c e e d in g
e ith e r to
t h e r i g h t o r d o w n w a rd s , o n e f i n d s a s e r i e s d o u b l e
t h e n a t u r a l s e r i e s o f n u m b e rs *
one f in d s a t r i p l e
q u a d ru p le s e r i e s ;
s e rie s ;
F ro m 9 i n t h e t h i r d
f r o m 16 i n t h e f o u r t h l i n e ,
th e
The r a t i o
seco n d l i n e
fo u rth lin e
is
a
and so o n .
The s u p e r p a r t i c u l a r i s r a t i o
c h a rt.
lin e ,
i s a l s o fo u n d o n t h i s
o f n u m b e rs i n t h e t h i r d
th a t o f s e s q u ia lte r;
t o n u m b ers i n t h e t h i r d
lin e to
th o s e in
o f n u m b e rs i n t h e
lin e ,
s e s q u ite rtiu s ;
and
s o on*
On e i t h e r s i d e o f t h e d i a g o n a l l i n e o f t e t r a g o n a l num­
b e rs i s
f o u n d a n o t h e r s e r i e s o f n u m b e rs c a l l e d l o n g i l a t e r a l .
Now l o n g i l a t e r a l n u m b e r s a r e t h e p r o d u c t r e s u l t i n g
m u ltip lic a tio n
fro m th e
o f a n y num ber i n t h e n a t u r a l s e r i e s o f n u m b e rs
b y t h e n e x t g r e a t e r n u m b e r i n t h a t sam e s e r i e s *
m e n t m ay b e r e d u c e d t o t h e f o r m u l a x ( x 4 l ) *
T h is s t a t e ­
F o r e x a m p le , 1
47
tim e s 2 e q u a ls 2 , 2 tim e s 3 e q u a ls 6 , 3 tim e s 4 e q u a ls 1 2 ,
4 t i m e s 5 e q u a l s 2 0 , a n d s o on*
I t w i l l b e n o t ic e d on t h e c h a r t t h a t i n t h e f o u r a d ­
j a c e n t s q u a r e s o c c u p i e d b y t h e t e t r a g o n a l n u m b e rs 1 a n d 4 ,
a n d t h e l o n g i l a t e r a l n u m b ers 2 an d 2 , t h e p r o d u c t o f th e
t e t r a g o n a l n u m b ers e q u a l s th e p r o d u c t o f t h e l o n g i l a t e r a l
n u m b e rs.
T h is o b s e r v a tio n
h o ld s tr u e f o r a l l th e o th e r
s e r ie s o f a d ja c e n t sq u a re s
s ta n c e ,
in
on th e
sam e d i a g o n a l . F o r i n ­
th e f o u r a d ja c e n t s q u a re s o c c u p ie d by th e t e t r a g ­
o n a l n u m b e r s 16 a n d 2 5 , a n d t h e l o n g i l a t e r a l n u m b e r s 20 a n d
2 0 , t h e p r o d u c t o f 16 a n d 25 e q u a l s t h e p r o d u c t o f 2 0 t i m e s
20.
SUMMARY OF CHAPTER
m il,
"On a T h i r d K in d o f I n e q u a l i t y ,
BOOK I
c a lle d S u p e rp a rtie n s ,
I t s S p e c ie s , and T h e ir O rig in s
I n a p r e c e d in g c h a p te r t h e r e w as m e n tio n o f a n i n ­
e q u a lity c a lle d
c o n ta in s th e
s u p e rp a rtic u la ris ,
s e c o n d num ber
f i r s t num ber
w ith a f r a c t i o n re m a in in g , and
n u m e ra to r o f t h i s f r a c t i o n
in e q u a lity c a lle d
i n w h ic h t h e
m u s t a lw a y s b© u n i t y .
th e
Now i n t h e
s u p e r p a r t i e n s th e f i r s t num ber c o n ta in s
t h e s e c o n d n u m b e r o n c e w i t h som e f r a c t i o n r e m a i n i n g , b u t t h e
n u m e r a t o r o f t h i s f r a c t i o n m u s t a l w a y s b e som e n u m b e r o t h e r
t h a n u n i t y w hen t h e f r a c t i o n
T h is k in d o f i n e q u a l i t y i s
i s red u c ed to
its
lo w e s t te r m s .
g i v e n a nam e b a s e d o n t h e n u m b e r
48
of u n its
ity ,
i n th e n u m e ra to r o f t h e f r a c t i o n .
or ra tio
1
in e q u a l­
of
2 /3 : 1 i s
1 3 / 4 :
If
Thus th e
1 is
e a lle d s u p e r b ip a r tie n s , and
of
c a lle d su p er t r i p a r t i e n s .
th e above r a t i o s a r e r e v e r s e d , th e p r e f i x
"su b " i s
a d d e d t o t h e nam e, t h u s th e r a t i o
1
: 1 2 /3 i s
e a lle d su b s u p e r b ip a r tie n s , and
1
: 13 /4 i s
c a lle d su b su p er t r i p a r t i e n s .
T he n a t u r a l o r d e r o f t h e
s u p e rp a rtie n s i s
in o rd e r,
b e rs;
c a lle d
sh o w n i n t h e f o l l o w i n g t a b l e m ade b y l i s t i n g
a fte r s ta rtin g
and in th e
s t a r t i n g w ith
s e rie s o f in e q u a litie s
w i t h 3 , t h e n a t u r a l s e r i e s o f num­
second lin e l i s t i n g
5 , th u s 3
5
T hese s e v e r a lp a i r s o f
th e s e r i e s
4
5
6
7
7
9
11
13
ra tio s
m ay
o f o d d n u m b e rs
8
9
1 5 17
10
19 e t c .
be m u l t i p l i e d b y a n y n u m b er,
a s 5 : 3 m ay b eco m e 1 0 : 6 o r 1 5 : 9 , w i t h o u t c h a n g i n g t h e i r v a l u e .
W ith t h e v a r i o u s n a m e s f o r t h e d i f f e r e n t s u p e r p a r t i e n s
in e q u a litie s lis te d
S in c e t h e r a t i o
tiu s "
a b o v e , a n o t h e r nam e m u s t b e u n d e r s t o o d .
5 :3 i s
c a lle d
i s u n d e rs to o d w ith i t ,
su p er b ip a r t i e n s . th e
" te r-
a n d t h e nam e f o r t h i s r a t i o
w o u ld p e r h a p s b e m o re u n d e r s t a n d a b l e i f
p e r b i t e r t i u s ” (1 2 / 3 ) .
te rm
In th e r a t i o
i t w e re w r i t t e n
"su­
7 : 4 , t h e nam e g i v e n i s
s u p e r t r i p a r t i e n s and " q u a r tu s " m u st be u n d e rs to o d w ith i t ,
s o t h i s nam e m i g h t b e c h a n g e d t o
F o r th e r a t i o
9 :5 ,
" s u p e rtriq u a rtu s "
s u p e rq u a d rip a rtie n s ,
(1 3 / 4 ) .
th e c o rre s p o n d in g
te rm i s
**s u p e r q u a d r i q u i n t u s * *
STJMM&RY
(1 4 / 5 ) .
OF CHAPTER
X X I I I I , BOOK I
"O n t h e M u l t i p l e x S u p e r p a r t i c u l a r i s I n e q u a l i t y * *
T he p r e c e d i n g c h a p t e r s h a r e e x p l a i n e d i n e q u a l i t i e s o f
,th e s im p le r s o r t :
ta in e d in
n a m e ly , t h o s e i n w h ic h o n e n u m b e r i s
con­
a n o t h e r n u m b e r o n c e , w i t h som e s i m p l e f r a c t i o n
Now t h e m u l t i p l e x s u p e r p a r t i c u l a r i s i n e q u a l i t y ,
over*
or ra tio , re ­
f e r s t o t h e r e l a t i o n s h i p e x i s t i n g b e tw e e n tw o n u m b e rs s u c h
t h a t one num ber i s
c o n t a i n e d i n t h e o t h e r n u m b e r tw o o r m o re
t i m e s a n d h a s r e m a i n i n g som e f r a c t i o n w i t h 1 f o r a n u m e r a t o r .
The v a r i o u s nam es t h a t a r e
g iv e n t o
th e d if f e r e n t
s p e c ie s o f th e m u ltip le x s u p e r p a r t i c u l a r i s in e q u a lity depend
on t h e num ber o f tim e s o n e num ber i s c o n ta in e d i n t h e o t h e r
a s w e ll a s on t h e d e n o m in a to r o f th e f r a c t i o n .
s h ip o f
The r e l a t i o n ­
5 :2 i s
c a l l e d d u p le x s e s q u i a l t e r ,
7 :2 i s
c a lle d
trip le x
9 :2 i s
c a lle d
q u a d r u p le x s e s q u i a l t e r , a n d so o n ;
7 :3 i s
s e s q u ia lte r,
c a l l e d d u p le x s e s q u i t e r t i u s ,
1 0 :3 i s
c a lle d tr ip le x
1 3 :3 i s
c a l l e d q u a d ru p le x s e s q u i t e r t i u s , an d so o n ;
9 :4 i s
I f th e
s e s q u ite rtiu s ,
c a l l e d d u p le x s e s q u i q u a r t u s , an d so o n .
s m a lle r num ber i s
c o m p a re d t o
t h e g r e a t e r num ber
50
th e
re la tio n s h ip i s
th e
p re fix
e x p r e s s e d b y t h e sam e t e r m s a s a b o v e
,rs u b M a d d e d .
2: 5 is
e a lle d
s u b d u p le x s e s q u i a l t e r ,
S r lO i s
c a lle d
s u b trip le x
4:
e a lle d
s u b d u p le x s e s q u iq u a r tu s *
9 is
SUMMARY
"On
E o r e x a m p le t h e r e l a t i o n s h i p
m
of
and
CHAPTER XXV, BOOK I
E u r t h e r U s e s f o r t h e C h a r t G iv e n i n a P r e c e d i n g C h a p t e r *
T he r e a d e r w i l l n o t i c e
t h a t t h e n u m b ers i n th e f i r s t
ity .
on t h e c h a r t g iv e n on p a g e
lin e
I f t h e n u m b e rs i n t h e t h i r d
r e s p o n d i n g n u m b e rs i n t h e
in th e f i f t h
lin e
to th o s e
p a r tie n tis in e q u a lity ;
fifth ,
lin e
th e s u p e r p a r tic u la r is
in th e t h ir d
th e r e l a ti o n s h i p
lin e
c o m p a re d t o
g iv e n th e s e v e r a l i n e q u a l i t i e s l i s t e d
p a r ti c u la ris .
c a lle d su p e r-
th o s e in th e second
a n d w hen t h e r e ­
se v e ra l lin e s is re v e rse d ,
s m a ll e r num ber i s
p a rti c u la ris ,
is
o f n u m b e rs
o f n u m b e rs i n t h e
c a lle d m u ltip le x s u p e r p a r tic u la r is ;
l a t i o n s h i p b e tw e e n t h e s e
w h en t h e
a r e c o m p a re d w i t h c o r ­
T he r e l a t i o n s h i p
and s e v e n th , and n in th l i n e s to
is
45
show t h e m u l t i p l e x i n e q u a l ­
second lin e
in e q u a lity w i l l be re c o g n iz e d .
lin e
s e s q u ite rtiu s ,
w ith
th a t i s ,
th e g r e a t e r , th e nam es
a b o v e b eco m e s u b s u p e r ­
s u b s u p e r p a r t i e n t i s , an d s u b m u ltip le x s u p e r­
51
SUMMARY OF CHAPTER 2XVT, BOOK I
"O n t h e M u l t i p l e x S u p e r p a r t l e n t i s I n e q u a l i t y ”
T he m u l t i p l e x s u p e r p a r t i e n t i s i n e q u a l i t y ,
re fe rs
to th e r e l a ti o n s h i p
t h a t one n u m b e r i s
or ra tio ,
e x i s t i n g b e tw e e n tw o n u m b e r s s u c h
c o n t a i n e d i n t h e o t h e r n u m b e r tw o o r m o re
t i m e s w i t h a r e m a i n d e r o f som e f r a c t i o n
t h a t h a s a num ber
o th e r th a n u n i t y f o r a d e n o m in a to r.
T he v a r i o u s n a m e s t h a t a r e g i v e n t o t h e d i f f e r e n t
s p e c ie s o f th e m u ltip le x s u p e r p a r tie n tis in e q u a lity depend
on th e num ber
a s w e ll
of
c o n ta in e d i n th e o th e r
a s on t h e n u m e ra to r o f t h e f r a c t i o n .
s h ip o f
8 :3 i s
If
T he r e l a t i o n ­
c a l l e d d u p le x s u p e r b i p a r t i e n s ,
1 1 :3 i s
c a lle d tr ip l e x
1 1 :4 i s
c a l l e d d u p le x s u p e r t r i p a r t i e n s ,
1 9 :5 i s
e a lle d
trip le x
s u p e rb ip a rtie n s ,
s u p e rq u a d rip a rtie n s ,
and so o n .
t h e s m a l l e r n u m b e r i s c o m p a re d t o t h e g r e a t e r n u m b e r
th e r e la tio n s h ip
w ith th e p r e f ix
of
tim e s o n e num ber i s
3 :8
i s e x p r e s s e d b y t h e sam e t e r m s a s a b o v e b u t
"su b " ad d ed .
is
c a lle d
F o r e x a m p le , t h e r e l a t i o n s h i p
s u b d u p le x s u p e r b i p a r t i e n s .
SUMMARY OF CHAPTER 23CV II, BOOK I
"A D e m o n s t r a t i o n o f t h e M a n n e r i n w h ie h E v e r y
I n e q u a l i t y p r o c e e d s fro m E q u a l it y "
In th is
c h a p te r th e r e
i s o f f e r e d a d e m o n s tra tio n o f
5E
t h e m a n n e r i n w h ic h t h e s e v e r a l i n e q u a l i t i e s a r e d e r i v e d f r o m
e q u a lity by u s in g a c e r ta in p ro c e d u re .
T he p r o c e d u r e m ay b e
s u m m a riz e d a s f o l l o w s : h a v i n g g i v e n a s e r i e s o f t h r e e n u m b e r s ’,
t o d e v e lo p a n o th e r s e r i e s o f th r e e n u m b e rs.
f i r s t num ber i n t h e s e c o n d s e r i e s ,
firs t
s e rie s .
U se f o r t h e
U se f o r t h e
th e f i r s t num ber o f th e
se c o n d num ber i n t h e s e c o n d s e r i e s ,
t h e sum o f t h e f i r s t a n d s e c o n d n u m b e rs o f t h e f i r s t
U se f o r t h e t h i r d n u m b e r o f t h e s e c o n d s e r i e s ,
f i r s t num ber o f th e f i r s t
o f th e f i r s t
firs t
s e rie s .
t h e sum o f t h e
s e r i e s a n d t h e s e c o n d num ber d o u b le d
s e r i e s t o g e t h e r w i t h t h e t h i r d n u m b e r o f t h e sam e
s e rie s .
T he f o l l o w i n g e x a m p le s w i l l i l l u s t r a t e
th e
m e th o d .
H a v in g g i v e n t h e t h r e e e q u a l i t i e s
1 , 1 , 1 , a s th e
f i r s t s e r i e s , p u t dow n 1 a s t h e f i r s t n u m b e r i n t h e
s e rie s ,
to b e fo rm e d .
se c o n d num ber i n
second
T hen 1 p l u s 1 , o r £ , w i l l be th e
th e seco n d s e r i e s .
A fte r t h is ,
ta k e 1 p lu s
1 d o u b le d p l u s 1 a g a in t o fo rm 4 , t h e t h i r d num ber i n
seco n d s e r i e s .
th e
T he tw o s e r i e s w i l l a r r a n g e t h e m s e l v e s i n
1, 1, 1.
t h i s w ay
1,
E, 4 , and a m u ltip le x in e q u a lity i s
show n
d e r iv e d fro m e q u a l i t y .
A g a in , b y u s in g a s th e f i r s t
s e r i e s t h e n u m b ers 1 , E ,
4 , th e s e r i e s 1 , 3 , 9 , a n o th e r m u ltip le in e q u a li t y , w i l l be
d e r i v e d w hen t h e a b o v e m e th o d i s
t h e s e r i e s 1 , 4 , 16 i s p r o d u c e d .
e m p lo y e d .
F ro m 1 , 3 , 9 ,
I t w ill be n o tic e d th a t
fro m t h e e q u a l i t y 1 , 1 , 1 , t h e r e w as p ro d u c e d t h e d u p le x
55
i n e q u a l i t y 1 , 2 , 4 ; fro m t h e d u p le x w as p ro d u c e d t h e t r i p l e x
1, 3,
9 ; a n d s o o n . T h i s p r o c e s s m ay b e c a r r i e d
on a t le n g th .
If
2, 1 , used
th e s e r i e s 1 ,
a s th e f i r s t
w h ic h i s
s e rie s ,
2 , 4 , be re v e rs e d and 4 ,
th e d e riv e d s e r i e s w i l l be 4 , 6 , 9 ,
a n e x a m p le o f t h e s u p e r p a r t i c u l a r i s i n e q u a l i t y ,
n a m e ly , t h e
s e s q u ia lte r.
I f th e
s e rie s 1,
3, 9 , be re v e rs e d and 9, 3 , 1 , used
a s th e f i r s t
s e r ie s th e
1 6 , w h ic h i s
a n o t h e r e x a m p le o f t h e s u p e r p a r t i c u l a r i s i n ­
e q u a l i t y , n a m e ly , t h e
ru p le x in e q u a lity ,
d e riv e d s e r i e s w i l l th e n be 9 , 1 2 ,
s e s q u ite rtiu s .
one o b ta i n s th e
By r e v e r s i n g t h e q u ad ­
s e s q u iq u a rtu s , and so o n .
F ro m t h e s e s q u i a l t e r i n e q u a l i t y 4 ,
9, 6, 4,
i s p ro d u c e d th e
6 , 9, re v e rse d to
s u p e rb ip a rtie n s in e q u a lity 9 , 15, 25.
F ro m t h e s e s q u i t e r t i u s i n e q u a l i t y 9 , 1 2 , 1 6 , r e v e r s e d
to 16, 12, 9, i s
p ro d u c e d th e
s u p e r trip a r tie n s in e q u a lity 16,
28, 49.
F ro m t h e s e s q u i a l t e r i n e q u a l i t y 4 , 6 , 9 , t h e r e i s p r o ­
d uced d i r e c t l y , by u s in g th e
q u ia lte r 4, 10, 25.
1 2 ,.1 6 ,
th e
sam e m e t h o d , t h e m u l t i p l e x s e s ­
F ro m t h e s e s q u i t e r t i u s i n e q u a l i t y ,
9,
sam e m e th o d p r o d u c e s t h e m u l t i p l e x s e s q u i t e r t i u s
in e q u a lity 9 , 21, 49.
F ro m t h e
duced d i r e c tl y
s u p e rtrip a rtie n s 16, 28, 49,
th e re i s p ro ­
th e m u ltip le x s u p e r t r i p a r ti e n s 1 6 , 4 0 , 121.
T h e s e s e v e r a l e x a m p le s a r e
s u f f ic ie n t to
sh o w t h a t
t h e v a r i o u s i n e q u a l i t i e s a r e a l l p ro d u c e d fro m th e e q u a l i t y
54
1 , 1 , 1 , a n d f r o m o n e a n o t h e r b y u s i n g t h e m e th o d s u g g e s t e d *
SUMIARY OF CHAPTER I ,
BOOK I I
"How E v e r y I n e q u a l i t y m ay b e R e d u c e d t o E q u a l i t y "
I n th e p r e c e d in g c h a p te r a d e m o n s tra tio n w as g iv e n o f
t h e m a n n e r i n w h ic h e v e r y i n e q u a l i t y p r o c e e d s f r o m e q u a l i t y *
In th is
c h a p t e r w i l l b e sh o w n a m e th o d b y w h ic h e v e r y i n ­
e q u a l i t y m ay b e r e d u c e d t o a n e q u a l i t y .
th e
T h i s m e th o d i s m uch
sam e a s t h a t g i v e n i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r e x c e p t t h a t
s u b t r a c t i o n s a r e m ade r a t h e r t h a n a d d i t i o n s *
L e t t h e r e be g iv e n t h r e e te rm s s u c h t h a t t h e f i r s t
b e a r s t h e sam e r e l a t i o n
d o e s to th e
th ird .
to
th e s e c o n d , a s th e se c o n d te rm
T hen l e t
th e f i r s t te rm o f t h i s
be th e f i r s t te rm o f t h e se c o n d s e r i e s t o be fo rm e d .
th e
se co n d te rm o f th e f i r s t
o f th e
s e rie s
s u b t r a c t th e
F ro m t h e t h i r d
sum o f t h e f i r s t
th e se c o n d te r m d o u b le d o f t h e
s u l t a s th e
th ird
re s u lts .
se co n d te rm o f
te rm o f th e f i r s t
te rm o f t h e
s e rie s
seco n d s e r i e s and
second s e r i e s and u se th e r e ­
te rm o f th e se c o n d s e r i e s .
e s s a r y to p e rfo rm t h i s r o u tin e
F ro m
s u b t r a c t th e f i r s t te rm
seco n d s e r i e s and u s e th e r e s u l t a s th e
th e second s e r i e s .
s e rie s
I t m ay b e n e c ­
s e v e r a l tim e s b e fo r e e q u a l it y
T h e f o l l o w i n g w i l l s e r v e a s a n e x a m p le : G iv e n t h e
s e r ie s 8 , 32, 128.
seco n d s e r i e s ;
T hen 8 w i l l b e t h e f i r s t
3 2 m in u s 8 , o r 2 4 , w i l l b e t h e
te rm o f th e
se c o n d te rm o f
55
th e
second s e r ie s ;
w h ic h i s t h e
th ird
fro m 128 t a k e 8 p l u s tw ic e 2 4 , l e a v i n g 7 2 ,
te rm o f th e se c o n d s e r i e s 8 ,
2 4 , 72*
A
r e p e t i t i o n o f th e p ro c e s s p ro d u c e s 8 , 1 6 , 3 2 , and a f i n a l r e ­
d u c tio n r e s u l t s i n th e
e q u a l i t y 8 , 8 , 8*
T h e s t u d e n t w i l l l e a r n t o a d a p t t h i s m e th o d t o t h e
re d u c tio n o f in e q u a lit ie s o th e r th a n th e m u ltip le x
illu s tra te d
above*
SUMMARY OF CHAPTER I I ,
BOOK I I
”An E x p l a n a t i o n o f t h e M e th o d o f F i n d i n g t h o s e N u m b e rs
t h a t can b e U sed T o g e th e r i n C e r ta in I n e q u a l i t i e s ”
It
is
e v id e n t t h a t an y num ber t h a t i s
to be u sed as
t h e c o m ite s o f a s e s q u i a l t e r i n e q u a l i t y m u st be d i v i s i b l e b y
2 b e c a u s e t h e d u c e s o f t h a t sam e i n e q u a l i t y m u s t b e t h e
o f th e
c o m ite s p lu s o n e -h a lf *
It is
sum
a ls o e v id e n t th a t th e
c o m ite s o f a s e s q u i t e r t i u s i n e q u a l i t y m ust b e d i v i s i b l e b y
3 b e c a u s e t h e d u c e s o f t h a t sam e i n e q u a l i t y m u s t b e t h e
o f th e c o m ite s p lu s o n e -th ir d *
w i l l show t h e
e q u a lity ;
T he sam e l i n e
c o n n e c t i o n b e tw e e n 4 a n d t h e
b e tw e e n 5 a n d t h e
An i l l u s t r a t i o n
2
3
s e s q u iq u in tu s ;
o f th e
4
6
9
8
12
18
27
sum
o f re a s o n in g
s e s q u iq u a rtu s in ­
and so o n .
s e s q u i a l t e r i n e q u a lity fo llo w s :
16
24
36
54
81
32
48
72
108
162
243
56
I t w i l l fee n o t i c e d t h a t 3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 2 4 3 , t e r m i n a t e
s e rie s
th e
o f s e q u i a l t e r a i n e q u a l i t i e s b e c a u s e t h e s e num feers a r e
n o t d i v i s i b l e fey 2 .
F u r t h e r m o r e , t h e ro w s sh o w t h e d u p l e x
i n e q u a l i t y , w h ile t h e d ia g o n a l l i n e s g iv e s e v id e n c e o f th e
trip le x
in e q u a lity *
A n o th e r i l l u s t r a t i o n
1
3
4
9
12
16
is
27
36
48
64
th e fo llo w in g s e s q u i t e r t i u s ,
81
108
144
192
256
243
324
432
576
76©
1024
c o n c l u d e w i t h 4 , 16 , 6 4 , e t c * ,
d i v i s i f e l e fey 3 ;
t h e ro w s sh o w a t r i p l e x
d ia g o n a l l i n e s ,
a q u a d ru p le x in e q u a lity *
SUMMARY OF CHAPTER I I I ,
in e q u a lity ;
th e
BOOK I I
" C o n c e r n i n g t h e I n t e r v a l P r o d u c e d fey J o i n i n g C e r t a i n
S u p e rp a rtic u la ris I n e q u a litie s ”
T he r u l e s
f o r f in d in g th e m u ltip le x i n t e r v a l s p ro d u c e d
fey j o i n i n g tw o d i f f e r e n t s u p e r p a r t i c u l a r i s i n e q u a l i t i e s a r e
a s fo llo w s :
If
t h e tw o f i r s t
s u p e rp a rtic u la ris in e q u a litie s a re
jo in e d t h a t th e d u c e s o f one in e q u a lity I s
o th e r in e q u a lity ,
d u p le x i n e q u a l i t y .
ity ,
so
th e c o m ite s o f th e
t h e n t h e tw o r e m a i n i n g num feers w i l l f o r m a
F o r e x a m p le , 2 : 3 i s
and 3 :4 a s e s q u i t e r t i u s , an d i n th e
a s e s q u ia lte r in e q u a l­
s e r ie s 2 :3 :4 ,
2 and
57
4 fo rm a d u p le x i n e q u a l i t y *
A g a in , 3 : 4 , a s e s q u i t e r t i u s ,
jo in e d to 4 :6 , a s e s q u i a lt e r a ,
fo rm s th e s e r i e s 3 : 4 : 6 , o f
w h ic h 3 a n d 6 p r o d u c e a d u p l e x i n e q u a l i t y .
A d u p le x i n e q u a l i t y
a trip le x
in e q u a lity ;
6 :1 2 :1 8 , an d 6 :1 8 i s
6 :9 :1 8 , w ith th e
A trip le x
jo in e d to a s e s q u i a lt e r p ro d u ce s
f o r e x a m p le , 6 : I E a n d I S ; 1 8 p r o d u c e
th e t r ip l e x ;
sam e t r i p l e x ,
in e q u a lity
a q u a d ru p le x i n e q u a l i t y ,
o r 6 :9 an d 9 :1 8 p ro d u c e
6 :1 8 .
jo in e d to a s e s q u i t e r t i u s fo rm s
f o r 3 :9 an d 9 :1 2 p ro d u c e 3 :9 :1 2 .
A q u a d ru p le x i n e q u a l i t y
jo in e d to a s e s q u iq u a rtu s
fo rm s a q u in c u p le x : 4 :1 6 a n d 1 6 :2 0 p ro d u c e 4 :1 6 :2 0 .
A q u in c u p le x i n e q u a l i t y
fo rm s a s e s c u p le x :
jo in e d to
a s e s q u iq u in tu s
5 :2 5 a n d 2 5 :3 0 p ro d u c e 5 :2 5 :3 0 .
T h i s p r o c e s s m ay b e e a r r i e d o n i n d e f i n i t e l y .
SUMMARY OF CHAPTER H I I ,
BOOK I I
"On Q u a n t i t y C o n s t a n t f p e r s e , f w h ic h i s
G e o m e tr ic F i g u r e s ,
C o n s id e re d i n
a n d w h ic h i s t h e Common R a t i o
of
A l l M a g n itu d e s "
T h u s f a r we h a v e c o n s i d e r e d q u a n t i t i e s i n r e l a t i o n
one a n o th e r.
Now we a r e t o t r e a t o f c e r t a i n
to
c h a ra c te ris tic s
o f q u a n t i t i e s ta k e n a lo n e a n d s e p a r a te d fro m o th e r q u a n t i t i e s ,
a n d we s h a l l f i n d t h i s i n f o r m a t i o n u s e f u l w hen we a g a i n c o n ­
s id e r re la te d
q u a n titie s .
VSfaen we d i s c u s s g e o m e t r i c f i g u r e s
58
and th e ir
s p a c e s a n d d i m e n s i o n s we a r e o n l y m e n t i o n i n g i n
a n o t h e r w ay l i n e a r n u m b e r s a n d t r i a n g u l a r n u m b e r s a n d q u a d ­
ra tic
n u m b e rs *
A rith m e tic ,
in d e e d , i s
th e r o o t and so u rc e
o f t h e s c i e n c e o f g e o m e try .
T he s i g n s m en u s e t o
e x p re ss " f iv e ” o r "se v en ” o r
" t e n ” a r e m e r e ly c o n v e n t io n a l te r m s u s e d t o e x p r e s s a n id e a *
It
i s e a s i e r to h o ld up f iv e f i n g e r s to
fiv e
th a n to
te rm f o r
e x p re ss th e id e a o f
in v e n t a te rm f o r f i v e , y e t th e in v e n tio n o f th e
" f i v e ” w as n e c e s s a r y b e c a u s e t h e i d e a o f ”f i v e ” i s
q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h e i d e a o f u n i t y t a k e n f i v e t im e s *
U n ity m u l t i p l i e d b y u n i t y c a n p ro d u c e no num ber g r e a t e r th a n
u n i t y , w h i l e a n y n u m b e r o t h e r t h a n u n i t y w h en m u l t i p l i e d b y
i t s e l f p ro d u c e s a n o th e r num ber g r e a t e r t h a n i t s e l f *
th e n h a s no d im e n s io n , y e t i t
U n ity
i s th e fo u n d a tio n f o r th e
o t h e r n u m b e rs t h a t h a v e d im e n s io n *
A p o i n t h a s no d im e n s io n , b u t a p o i n t g e n e r a t e s a
lin e *
A l i n e h a s o n ly one d im e n s io n , l e n g t h , b u t i t
a s u r f a c e h a v in g le n g t h and b r e a d th .
g e n e ra te s
A s u r f a c e , w ith th e s e
tw o d i m e n s i o n s , g e n e r a t e s a s o l i d w i t h l e n g t h a n d b r e a d t h a n d
h e ig h t*
T he c h a r t
( p a g e 6 0 ) t h a t a c c o m p a n ie s t h i s
c h a p te r
d i v i d e s n u m b e r s i n t h e f o l l o w i n g w ay :
EQUAL n u m b e r s , o r CUBES, w i t h t h r e e e q u a l f a c t o r s ;
MEDIANS, o r PARALLELEPIPEDS, w i t h o n l y tw o o f t h e t h r e e
fa c to rs
e q u a l; and
59
UNEQUAL n u m b e r s , o r WEDGES, w i t h t h r e e u n e q u a l f a c t o r s .
SUMMARY OF CHAPTER V , BOOK I I
"On t h e L i n e a r N u m b e r”
A lth o u g h u n i t y i t s e l f e x i s t s
a l i n e a r n u m b er, y e t u n i t y i s
s tre tc h e d o u t in to
le n g th .
t o w id th .
cannot be
t h e f o u n d a tio n f o r num ber
Now a n u m b e r i s
l a c k s a l l w i d t h , y e t w h en i t
g iv e s r i s e
i n a num ber i t
is
l i n e a r w h en i t
u s e d w ith a n o th e r num ber i t
W id th a n d l e n g t h a l o n e a r e n o t t h e
b a s i s f o r a s o l i d , b u t w h en h e i g h t h a s b e e n a d d e d t o
tw o a s o l i d i s
p ro d u c e d .
th e s e
A l i n e a r num ber s t a r t s w ith 2 ,
a n d u n i t i e s m ay b e a d d e d o n e a t a t i m e t o a n i n d e f i n i t e num­
b e r, a s ,
f o r e x a m p le ,
II,
III,
IIII,
IIIII,
IIIIII.
SUMMARY OF CHAPTER V I , BOOK I I
"On R e c t i l i n e a r P l a n e F i g u r e s w h o s e S o u r c e i s
a T ria n g le ,
.
a n d o n t h e D e v e lo p m e n t o f T r i a n g u l a r N u m b e rs ”
P la n e s u r f a c e i s
a ls o
fo u n d i n n u m b ers, s t a r t i n g w ith
3 , f o r t h r e e p o i n ts in a p la n e d e te rm in e a t r i a n g l e ;
p o i n t s d e te rm in e a q u a d r i l a t e r a l ;
If,
fro m an y p o i n t w ith in th e
d ra w n f r o m t h a t p o i n t t o
fiv e ,
fo u r
a p e n ta g o n ; a n d so o n .
f i g u r e s m e n tio n e d , l i n e s b e
e ac h v e rte x o f th e f ig u r e
b e a s m any t r i a n g l e s f o r m e d a s t h e r e a r e
th e re w ill
s id e s to th e f i g u r e .
T r i a n g u l a r n u m b e rs a r e t h o s e n u m b e rs w h o se t o t a l u n i t s
C I N T E R VALL A N O N CON CVRR E N T I A
LONGITVDO
"LATITVDO
PR OF VNDIT AS
MEDIA H A B I T V D O
INAEQ. VA
P A R A L L E L E P I P E D VS
CVNEVS
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prof.minor. I prof. maior. (atitu.rn inor. latitu. maior. longi.minor. longi. frnaior. t
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(P h o to stat o f Chart i n A rith m etics Showing Types
o f S o lid Numbers)
61
c a n b e s h a p e d t o f o r m a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e , f o r e x a m p le ,
1,
3,
6,
I
I
I I
I
I-1
I I I
. -
As i s
10,
15,
21.
I
I I
I I I
I I I .I
I
1 .1
I I I
I I I I
I I I I I
I
I I
I I I
I . I l l
1,1 I 1,1
I I I . I I I
e v i d e n t , t h i s p r o c e s s m ay b e c a r r i e d o n i n d e f i n i t e l y .
SUMMARY OF CHAPTER V I I , BOOK I I
w0 n Q u a d r a t i c N u m b e rs a n d T h e i r D e v e lo p m e n t"
Q u a d r a t i c n u m b e r s a r e t h o s e n u m b e rs w h o se t o t a l u n i t s
can be a rra n g e d to
4,
I I
I I
f o r m a s q u a r e , f o r e x a m p le ,
I I I
I I I
I I I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
36.
25,
16,
9,
I
I
I
I
I
I
I
I
I
T h i s p r o c e s s , a l s o , m ay b e c a r r i e d o n t o
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I I
I I
I I
I I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
any le n g th .
T he s e r i e s o f q u a d r a t i c n u m b e rs m ay b e b u i l t u p f r o m
t h e s e r i e s o f o dd n u m b e rs i n t h i s
f a s h i o n : G iv e n t h e
s e rie s
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 , 1 3 , 1 5 , an d so on i n d e f i n i t e l y ,
to
th e
f i r s t q u a d r a t i c n u m b e r,
1 , add 3 to f in d
th e seco n d ;
to th e
s e c o n d q u a d r a t i c n u m b er,
4 , add 5 to f in d
th e th ir d ;
to
th ird
9 , add 7 to f in d
th e f o u r th ;
th e
q u a d r a t i c n u m b er,
to th e
f o u r t h q u a d r a t i c number,1 6 ,
an d so
on i n d e f i n i t e l y .
add 9 to f in d
th e f i f t h ;
I
I
I
I
I
I
62
SUMMARY OF. CHAPTER VIII, BOOK II
wOn P e n t a g o n a l N u m b e rs a n d T h e i r D e v e lo p m e n t
P e n t a g o n a l n u m b e rs a r e t h o s e n u m b e r s w h o se t o t a l u n i t s
m ay b e a r r a n g e d t o f o r m a p e n ta g o n *
T h e y m ay b e s e l e c t e d
f r o m t h e s e r i e s o f n a t u r a l n u m b e r s i n t h i s w ays
to
1,
th e f i r s t p e n ta g o n a l, add 4 to
fo rm t h e s e c o n d ,
to
5,
t h e s e c o n d p e n t a g o n a l , ad d 7 t o
fo rm th e t h i r d ,
to
12,
t h e t h i r d p e n t a g o n a l , add 1 0 t o
fo rm th e f o u r t h ,
to
22,
t h e f o u r t h p e n t a g o n a l , a d d 13 t o
f o r m t h e f i f t h , a n d so o n .
SUMMARY OF CHAPTER I X , BOOK I I
* 0 n H e x a g o n a l a n d H e p t a g o n a l N u m b e rs a n d T h e i r D e v e lo p m e n t,
a n d t h e R u l e s f o r F i n d i n g F i g u r e d N u m b e rs o f A ny S o r t "
H e x a g o n a l a n d h e p t a g o n a l n u m b e r s a r e t h o s e n u m b e rs
w h o s e t o t a l u n i t s m ay b e a r r a n g e d t o f o r m a h e x a g o n o r h e p t a ­
gon r e s p e c tiv e ly .
T he r u l e s f o r f i n d i n g t h e s e r i e s o f f i g u r e d n u m b e r s
o f a n y k i n d m ay b e d e d u c e d f r o m t h e f o l l o w i n g :
1 s t te rm
2nd te rm
3 rd te rm
4 th te rm
5 th te rm
1 .2 ,3
6
1 ,2 ,3 , 4
10
1 ,2 ,3 ,4 ,5
15
T ria n g u la r
1
1 .2
3
Q u a d ra tic
1
1 ,3
4
1 ,3 ,5
9
1 ,3 ,5 ,7
16
1 ,3 ,5 ,7 ,9
25
P e n ta g o n a l
1
1 .4
5
1 ,4 ,7
12
1 ,4 ,7 ,1 0
22
1 ,4 ,7 ,1 0 ,1 3
35
63
1 s t te rm
H exagonal
H e n ta g o n a l
2nd te rm
3 rd te rm
4 th te rm
5 th te rm
1
1 .5
6
1 ,5 ,9
15
1 ,5 ,9 ,1 3
28
1 ,5 ,9 ,1 3 ,1 7
45
1
1.6
7
1 ,6 ,1 1
18
1 ,6 ,1 1 ,1 6
34
1 ,6 ,1 1 ,1 6 ,2 1
55
T h i s p r o c e s s m ay b e c a r r i e d o n a t l e n g t h *
SUMMARY OF CHAPTER X , BOOK I I
"On T h o s e F i g u r e d N u m b e rs t h a t A r i s e f r o m O t h e r F i g u r e d
N u m b e rs , a n d P r i n c i p a l l y o n t h e T r i a n g u l a r N um ber
w h ic h i s
th e F o u n d a tio n f o r A l l th e O th e rs "
The f o llo w in g c h a r t l i s t s
s e v e ra l s e r ie s o f fig u re d
n u m b e rs *
T ria n g u la r
1
3
6
10
15
21
28
Q u a d ra tic
1
4
9
16
25
36
49
P e n ta g o n a l
1
5
12
22
35
51
70
H exagonal
1
6
15
28
45
66
91
H e p ta g o n a l
1
7
18
34
55
81
112
On o b s e r v i n g t h e a b o v e c h a r t t h e r e a d e r w i l l n o t i c e
t h a t th e
se co n d te rm
in th e s e r i e s o f q u a d r a tic s i s
o f th e f i r s t an d se co n d te rm s o f th e t r i a n g u l a r ;
th ird
t h e sum
t h a t th e
t e r m i n t h e s e r i e s o f q u a d r a t i c s i s t h e sum o f t h e
second and t h i r d
t r a n g u l a r n u m b e r s , . a n d s o on*
A s tu d y o f th e p e n ta g o n a l s e r i e s r e v e a l s t h a t th e
se c o n d te rm o f t h e p e n ta g o n a l s e r i e s i s
th e
sum o f t h e f i r s t
64
te rm o f th e t r i a n g u l a r and t h e se c o n d te rm i n th e q u a d r a t ic ;
t h a t th e t h i r d
te rm i n t h e p e n ta g o n a l i s
se c o n d t r i a n g u l a r and th e t h i r d
t h e sum o f t h e
q u a d r a tic , and so o n .
T hus t h e t r i a n g u l a r p ro d u c e s th e q u a d ra tic ;
a n g u la r and th e q u a d r a tic p ro d u c e t h e p e n ta g o n a l;
g u l a r an d th e p e n ta g o n a l p ro d u c e t h e h e x a g o n a l;
T h is i n f o r m a ti o n m akes i t
th e t r i ­
th e t r i a n ­
and so o n .
e v i d e n t t h a t t h e t r i a n g u l a r n u m b ers
a r e th e f o u n d a tio n f o r a l l th e o t h e r f ig u r e d n u m b ers.
SUMMARY OF CHAPTER X I , BOOK I I
" S p e c u l a t i o n C o n c e r n i n g t h e C h a r t o f F i g u r e d N u m b e rs "
I f t h e n u m b e rs i n t h e
c h a p t e r b e c o m p ared i n
q u a d ra tic , o r th e
ag o n al to
s iz e ,
c h a r t g iv e n in th e p re c e d in g
th a t i s ,
q u a d ra tic to
th e
tr ia n g u la r to th e
th e p e n ta g o n a l, o r th e h ex ­
th e h e p ta g o n a l, i t w i l l b e n o tic e d t h a t
th e d i f f e r ­
e n c e s e x i s t i n g b e tw e e n c o r r e s p o n d i n g t e r m s i n t h e d i f f e r e n t
s e r i e s o f f i g u r e d n u m b ers a r e a l l t r i a n g u l a r n u m b e rs .
fo re ,
it
b e rs i s
is
W h e re ­
c l e a r l y e v i d e n t t h a t t h e s e r i e s o f t r i a n g u l a r num­
t h e f o u n d a tio n a n d p r i n c i p a l e le m e n t i n a l l t h e o t h e r
s e r i e s o f f i g u r e d n u m b ers.
SUMMARY OF CHAPTER X I I , BOOK I I
"On S o l i d N u m b e rs "
T he w ay i s
now c l e a r f o r t h e d i s c u s s i o n o f s o l i d
65
n u m b e rs *
To n u m b e r s o f o n e d i m e n s i o n , l i n e a r n u m b e r s , we
a d d e d a n o th e r d im e n s io n and p ro d u c e d s u r f a c e n u m b e rs; and
now we a d d a t h i r d
d im e n s io n an d p ro d u c e s o l i d
n u m b ers, o r
n u m b e rs w i t h t h e t h r e e d i m e n s i o n s o f l e n g t h , b r e a d t h , a n d
h e ig h t.
SUMMARY OF CHAPTER X I I I , BOOK I I
" C o n c e r n i n g F y r a m i d i c a l N u m b e rs w h ic h a r e
S o l i d F i g u r e d N u m b e rs ,
a re
It
th e F o u n d a tio n f o r
j u s t a s t h e T r i a n g u l a r N u m b e rs
t h e F o u n d a t i o n f o r S u r f a c e F i g u r e d N u m b e rs "
is
re a d ily
s e e n t h a t a s t h e t r i a n g u l a r num ber i s
t h e f o u n d a t i o n f o r t h e o t h e r f i g u r e d n u m b e rs , so t h e p y ra m id
is
th e p r in c ip le
p y ra m id i s
fo r i t s
o f h e i g h t am ong t h e
a s o l i d h a v in g f o r i t s
s o l i d n u m b ers.
Now a
b a s e a p la n e p o ly g o n an d
s i d e s s e v e r a l t r i a n g l e s w i t h a common v e r t e x a n d w i t h
t h e i r b a s e s fo rm in g t h e
s i d e s o f t h e b a s e o f t h e p y ra m id .
th e b a se i t s e l f be a t r i a n g l e
If
t h e r e w i l l b e t h r e e m o re t r i ­
a n g le s f o r m in g t h e s i d e s o f t h e p y ra m id ;
if
th e b ase be a
s q u a re th e r e w i l l b e f o u r t r i a n g l e s on th e s i d e s o f th e p y ra ­
m id ; a p e n t a g o n a l b a s e r e q u i r e s f i v e
s ix
s id e s ; and so on.
s id e s ;
a hexagonal b ase,
SOTM^RT 01* CHAPTER XXXII, BOOK II
* 0 n t h e D e v e lo p m e n t o f S o l i d N u m b e rs 1*
A p y r a m id ic a l num ber i s
a r r a n g e d t o f o r m a p y ra m id *
n u m b ers i s
th e
a n u m b e r w h o se u n i t s c a n b e
The f i r s t ty p e o f p y r a m i d ic a l
t h a t b a s e d o n t r i a n g u l a r n u m b e rs *
t r i a n g u l a r num ber 3 i t
I f th e b a se be
i s e v id e n t th a t 1 w i ll be th e apex
and t h a t 3 p lu s 1 e q u a ls 4 , th e
s e c o n d p y r a m i d i c a l n u m b er*
t h e b a s e be th e t r i a n g u l a r num ber 6 , th e n o v e r th e
base
If
w ill
b e t h e t r i a n g u l a r n u m b e r 3 , a n d t h e n t h e a p e x 1 , a n d t h e sum
o f 6 an d 3 and 1 e q u a ls 1 0 ,
th e
t h i r d p y r a m i d i c a l n u m b e r*
f o llo w in g t h i s p r o c e s s t h e r e a d e r w i l l s e e th e p y r a m id ic a l
n u m b e r s b a s e d o n t h e t r i a n g u l a r n u m b e rs i n t h e c o r r e s p o n d i n g
p a i r s o f n u m b ers a s h e r e g iv e n :
T r i a n g u l a r n u m b ers
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
P y r a m i d i c a l n u m b e rs 1
4
10
20
35
56
84 120
165
220
If
th e
sam e p r o c e s s a s g i v e n a b o v e b e m ade u s e o f , b u t
t h e b a s e b e a q u a d r a t i c n u m b er, t h e c o r r e s p o n d in g s e r i e s o f
q u a d r a t i c n u m b e rs a n d o f p y r a m i d ic a l n u m b ers b a s e d o n t h e
q u a d ra tic
s e r i e s w i l l be a s fo llo w s :
Q u a d r a tic n u m b ers
1
P y r a m i d i c a l n u m b e rs 1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
5
14
30
55
91
140
204
285
385
T h i s sam e p r o c e s s m ay b e
u sed
to
t o a n y l e n g t h , a n d i t a l s o m ay b e u s e d t o
c a r r y th e aboves e r ie s
d e te rm in e th e
s e rie s
o f p y r a m i d i c a l n u m b e rs b a s e d o n a n y s e r i e s o f f i g u r e d n u m b e rs *
67
SUMMARY OF CHAPTER XV, BOOK I I
"O n T r u n c a t e d F y r a m i d s "
I f a r e g u l a r p y ra m id b e i n t e r s e c t e d b y p a s s i n g th r o u g h
it
a p la n e p a r a l l e l t o t h e b a s e , th e p o r t i o n re m a in in g b e ­
tw e e n t h e i n t e r s e c t i o n
p y r a m id #
and th e b a se i s
T he p o l y g o n p r o d u c e d b y t h e
c a lle d a tru n c a te d
cut su rfa ce is
s im ila r
t o t h e p o ly g o n fo rm in g t h e b a se #
I f t h e t r u n c a t e d p y ra m id b e f u r t h e r c u t b y a n o th e r
p l a n e o r p l a n e s , p a s s e d o b l i q u e l y t o t h e a x i s o f t h e p y r a m id
in
s u c h a w ay a s t o p a s s t h r o u g h t h e u p p e r s u r f a c e o f t h e
t r u n c a t e d p y r a m id a n d y e t a v o i d i t s
b a s e , th e n i f
t h e num ber
o f s i d e s i n t h e u p p e r p o ly g o n i s one l e s s t h a n i n t h e b a s e ,
th e
t r u n c a t e d p y ra m id i s c a l l e d
" c u rta "
(c lip p e d ),
and i f
t h e n u m b e r o f s i d e s i n t h e u p p e r p o l y g o n i s tw o l e s s t h a n i n
t h e b a s e t h e t r u n c a t e d p y ra m id i s
c a lle d
" b is c u rta "
(tw ic e
c l i p p e d ) , a n d s o on#
SUMMARY OF CHAPTER X V I, BOOK I I
"On t h e S e v e r a l P a r a l l e l e p i p e d , W ed g e, a n d S p h e r i c a l N u m b e rs "
L i n e a r n u m b e rs h a v e o n e d im e n s io n ; q u a d r a t i c n u m b ers
a r e e n d o w e d w i t h tw o d i m e n s i o n s , l e n g t h a n d w i d t h , a n d n e e d
o n ly th e t h i r d
d im e n s io n , h e i g h t ,
I f th e h e ig h t be th e
t o m ake th e m s o l i d n u m b e rs #
sam e v a l u e a s t h e l e n g t h a n d b r e a d t h , t h e
n u m b e rs a r e
c a lle d
e x a m p le o f t h e
c u b i c n u m b e rs *
1
Q u a d r a t i c n u m b e rs
1
C u b ic n u m b e rs
1
th ird
2
3
4
5
6
7
4
9
16
25
36
49
8
27
64
125
216
343
s o l i d n u m b e r h a s tw o e q u a l f a c t o r s w i t h t h e
f a c t o r l e s s t h a n t h e o t h e r tw o t h e n u m b e r i s
a ffl a t e r c u l u s . ,,
th ird
fa c to r,
an
t h r e e k in d s o f n u m b e rs:
L in e a r n u m b ers
I f th e
T he f o l l o w i n g i s
I f th e
c a lle d
tw o e q u a l f a c t o r s a r e l e s s t h a n t h e
th e num ber i s
c a lle d an " a s s e r ."
s o l i d num ber h a s t h r e e u n e q u a l f a c t o r s i t
is
I f th e
c a l l e d a "w e d g e
num ber •
SUMMARY OF CHAPTER X 7 I I * BOOK I I
"O n f P a r t e a l t e r a
lo n g io re s *
a n d *A n t e l o n g i o r e s f N u m b e rs "
" P a r t e a l t e r a l o n g i o r e s " 1 n u m b e r s a r e t h o s e n u m b e rs
w h o se tw o f a c t o r s c a n b e r e d u c e d t o t h e f o r m u l a X(X + 1 ) .
I n o t h e r w o r d s , t h e f a c t o r s m ay d i f f e r o n l y b y u n i t y ,
th re e
as
tim e s f o u r p ro d u c e s tw e lv e , a n d f o u r tim e s f i v e p r o ­
d u c e s t w e n ty *
Now 2 1 a n d 2 0 a r e
" p a rte a l t e r a lo n g io re s "
n u m b e rs *
" A n t e l o n g i o r e s " n u m b e r s a r e t h o s e n u m b e rs w h o se tw o
1 N u m b e rs h e r e c a l l e d " p a r t e a l t e r a l o n g i o r e s " w e re
c a l l e d " l o n g i l a t e r a l " n u m b e rs o n p a g e 4 7 .
B o e t h i u s u s e d tw o
d i f f e r e n t n a m e s f o r t h e sam e t h i n g , a n d n e i t h e r nam e h a s a n
E n g lis h e q u iv a le n t.
69
f a c t o r s c a n b e r e d u c e d t o t h e f o r m u l a X (X * Z ) w i t h " Z "
a l w a y s som e n u m b e r g r e a t e r t h a n u n i t y .
5 p ro d u ce s 15, an
F o r e x a m p le , 3 t i m e s
" a n t e l o n g i o r e s " n u m b er#
SUMMARY OF CHAPTER X V I I I , BOOK I I
" Q u a d r a t i c N u m b e rs A r i s e f r o m Odd N u m b e rs ;
’P a r t e a l t e r a
l o n g i o r e s f N u m b e rs A r i s e f r o m E v e n N u m b e rs ”
Q u a d ra tic
G iv e n
th e
n u m b e rs a r i s e f r o m o d d n u m b e r s i n t h i s
s e r i e s o f odd n u m b ers 1 , 3 , 5 ,
7 , 9 , and so o n ,
th e f i r s t q u a d ra tic ,
1,
e q u a ls 1 ,
th e seco n d q u a d r a tic ,
4,
e q u a ls 1 and 3 ,
th e t h ir d
9,
e q u a ls 1 , 3 , and 5 ,
th e fo u r th
q u a d ra tic ,
q u a d ra tic ,
16,
e q u a ls 1 , 3 , 5 , and 7 ,
th e f i f t h
q u a d ra tic ,
25,
e q u a ls 1 , 3 , 5 , 7 , and
th e s ix th
q u a d ra tic ,
36,
e q u a ls 1 , 3 , 5 ,
and t h i s p ro c e ss
m ay b e c a r r i e d t o
" P a rte a l t e r a
lo n g io re s "
b e r s i n t h i s w a y : G iv e n t h e
9,
7 , 9 , and 11,
an y le n g th #
n u m b e rs a r i s e f r o m e v e n num­
s e r i e s o f ev en n u m b e rs, 2 , 4 , 6 ,
8 , 1 0 , 1 2 , an d so o n ,
th e f i r s t lo n g io r e s ,
2 , e q u a ls 2 ,
th e second lo n g io re s ,
6 , e q u a ls 2 and 4 ,
th e t h i r d
lo n g io re s ,
1 2 , e q u a ls 2 , 4 , and 6 ,
th e f o u r th lo n g io re s ,
2 0 , e q u a ls 2 , 4 , 6 ,
and
th e f i f t h
3 0 , e q u a ls 2, 4 , 6 ,
8 , and 10,
lo n g io re s ,
w ay:
8,
70
th e
s ix th
lo n g io re s ,
4 2 , e q u a ls 2 , 4 ,
6, 8 , 10, and 12,
a n d s o on*
SUMMARY OF CHAPTER X IX , BOOK I I
"On t h e D e f i n i t i o n o f
, L a t e r o u l u s f N u m b e rs "
C u b ic n u m b e r s h a v e t h r e e e q u a l f a c t o r s .
n u m b e rs h a v e t h r e e f a c t o r s ,
th e t h i r d .
" la te rc u iu s "
tw o o f th e m e q u a l a n d g r e a t e r t h a n
" A s s e r " n u m b ers h a v e t h r e e
e q u a l and l e s s th a n th e t h i r d .
fa c to rs ,
tw o o f th e m
" C u n e o lu s " n u m b e r s , o r w ed g e
n u m b e rs, h a v e t h r e e f a c t o r s , a l l u n e q u a l.
SUMMARY OF CHAPTER XX, BOOK I I
"On C i r c u l a r a n d S p h e r i c a l N u m b e rs "
A c irc le
is
a c lo s e d c u rv e d l i n e
e v e r y p o i n t o f w h ic h l i n e
is
ly in g in a p la n e ,
e q u i d i s t a n t fro m a p o i n t w ith in
c a lle d th e c e n te r .
A s p h e re i s a c lo s e d c u rv e d s u r f a c e e v e ry p o in t o f
w h ic h i s
e q u i d i s t a n t fro m a p o i n t w i t h i n c a l l e d t h e c e n t e r .
Now c i r c u l a r a n d s p h e r i c a l n u m b e r s a r e t h o s e n u m b e r s
t h a t n o m a t t e r how o f t e n m u l t i p l i e d b y t h e m s e l v e s a l w a y s r e ­
ta in
th e
sam e f i n a l d i g i t .
It
is
e v id e n t t h a t 1 , 5 , and 6 ,
r a i s e d t o a n y p o w e r w i l l a lw a y s e n d i n 1 , 5 , a n d 6 , r e s p e c ­
tiv e ly .
a re
T h e s q u a r e s o f 1 , 5 , a n d 6 , n a m e ly , 1 , 2 5 , a n d 3 6 ,
c i r c u l a r n u m b e rs, b u t t h e h i g h e r p o w e rs o f 1 , 5 , a n d 6 ,
a r e a l l s p h e r i c a l n u m b ers.
71
SUMMARY OF CHAPTER XXI, BOOK II
^On t h e H a t u r e o f T h o s e T h in g s w h ic h a r e S a i d t o h e o f t h e
Sam e N a t u r e a n d o f T h o s e T h i n g s w h ic h a r e o f a D i f f e r e n t
N a t u r e , a n d t h e N u m b e rs w h ic h a r e B a s e d o n E a c h N a t u r e ”
Men who h a v e i n v e s t i g a t e d t h e n a t u r e o f t h i n g s ,
p e c i a l l y m en o f m a t h e m a t i c a l t r a i n i n g ,
d iv is io n o f n a tu re .
es­
h a v e m ade a t w o f o l d
T hey s a y t h a t a l l th e
s u b s ta n c e s o f a l l
t h i n g s e x i s t b y r e a s o n o f t h e i r own p o w e r s a n d t h a t t h e s e s u b ­
s t a n c e s c a n s u f f e r n o c h a n g e , a n d t h a t t h a t n a t u r e w h ic h i s
v a ria b le i s
endow ed w ith t h e s u b s ta n c e o f c h a n g e .
T hey a ls o
s a y t h a t t h e v a r i a b l e n a t u r e i s d e r i v e d f r o m im m u t a b l e n a t u r e .
Now u n i t y i s u n c h a n g e a b l e , b u t d u a l i t y i s
u n ity .
tu re
A nd s i n c e a l l t h e o d d n u m b e rs a r e f o r m e d w i t h t h e n a ­
o f u n ity ,
q u a d ra tic
in th e
d e r iv e d fro m
an d w hen t h e y a r e g a th e r e d i n t o
g ro u p s p ro d u ce
n u m b e rs, t h e n t h e s e q u a d r a t i c n u m b ers p a r t i c i p a t e
s u b s ta n c e o f u n i ty
m u ltip lic a tio n
i n a tw o fo ld m an n e r, e i t h e r by a
o f e q u a ls o r by th e a d d itio n o f a s e r ie s o f
odd n u m b e rs.
E v e n n u m b e r s p r o d u c e ”p a r t e a l t e r a l o n g i o r e s ” n u m b e r s ,
and c o n s e q u e n tly th e s e
e v e n n u m b ers.
la tte r
s h a re th e d e riv e d n a tu r e o f th e
SUMMARY OF CHAPTER XXIX, BOOK II
" A l l T h i n g s a r e B a s e d o n T h e i r Own S u b s t a n c e t o g e t h e r
w i t h t h e S u b s t a n c e o f A n o t h e r , a n d T h i s D o u b le
D e p e n d e n c e i s E s p e c i a l l y N o t i c e a b l e i n N u m b e rs "
E v e ry th in g t h a t i s
im m o b ile i n i t s
so l i m i t e d a n d d e f in e d t h a t i t
n e v e r be w hat i t
own s u b s t a n c e i s
can s u f f e r no ch an g e and c an
h a s n o t been#
O n ly u n i t y a n d t h o s e t h i n g s
fo rm ed fro m u n i t y c a n b e s a i d t o b e d e te r m in e d i n
s u b s ta n c e #
T h e s e t h i n g s i n d e e d a r e q u a d r a t i c n u m b e r s , fo r m e d f r o m e q u a l s
a n d odd n u m b e rs, fo rm e d b y u n i t y
to g e th e r w ith a l l
in
Now t h e n u m b e r 2 ,
th e o th e r " p a r te a l t e r a
does not p a rtic ip a te
v a ria b le
its e lf.
lo n g io r e s " n u m b ers,
i n t h i s im m o b ility o f s u b s ta n c e , b u t i s
s u b s ta n c e .
D e s p i t e t h e f a c t t h a t n u m b e rs a r i s e
f r o m s u c h d i v e r s e s o u r c e s , f r o m t h e im m o b ile a n d t h e u n s t a b l e
fro m t h e o dd an d e v e n ,t h e y n e v e r t h e l e s s fo rm th e m s e lv e s i n t o
o n e c o h e r e n t w h o le , h a rm o n io u s i n a l l r e s p e c t s #
SUMMARY OF CHAPTER X X I I I , BOOK I I
"On C e r t a i n R a t i o s E x i s t i n g b e tw e e n Q u a d r a t i c a n d
* P a rte a l t e r a
l o n g i o r e s f N u m b e rs "
T h e r e l a t i o n s h i p s t h a t e x i s t b e tw e e n q u a d r a t i c s
and " p a r te a l t e r a
by in s p e c tio n .
(X2 )
l o n g i o r e s " [X (X + 1 ) ] n u m b e r s m ay b e f o u n d
F or in s ta n c e ,
g iv e n th e
tw o s e r i e s o f n u m b e r s
73
j u s t m e n tio n e d : 1
4
9
16
25
36
49 e t c * ,
2
6
12
20
30
42
56
o b se rv e d t h a t th e r e la tio n s h ip
p a ir,
2 :1 ,
o f th e
is
e tc ., i t
b e tw e e n m e m b e rs o f t h e f i r s t
t h a t o f th e d u p le x i n e q u a l i t y ;
seco n d p a i r ,
m e m b e rs o f t h e
6 :4 ,
w ill be
b e tw e e n m em b ers
th e s e s q u ia lte r in e q u a lity ;
th ird p a ir ,
1 2 :9 , th e s e s q u i t e r t i u s ;
m e m b e rs o f t h e f o u r t h p a i r ,
b e tw e e n
b e tw e e n
2 0 :1 6 , th e s e s q u iq u a r tu s ;
and so
on.
If,
i n t h e s e r i e s g i v e n a b o v e , t h e d i f f e r e n c e s b e tw e e n
t h e m e m b e rs o f s u c c e s s i v e p a i r s b e p u t d o w n , a n o t h e r s e r i e s
w i l l be d is c o v e re d .
f i r s t p a ir,
6 :4 ,
is
2 :1 , i s
T h e d i f f e r e n c e b e tw e e n m e m b e rs o f t h e
1 ; b e tw e e n m e m b e rs o f t h e
2 ; b e tw e e n m e m b e rs o f t h e t h i r d p a i r ,
second p a i r ,
1 2 :9 ,
is
3;
and so o n .
If
th e p a ir in g i n th e above s e r i e s b e changed by p la c ­
in g th e f i r s t
under th e
1
te rm o f t h e " p a r t e a l t e r a
se c o n d te rm
o f th e q u a d ra tic
lo n g io re s " s e r ie s
s e rie s
4
9
16
25
36
49
e tc .,
2
6
12
20
30
42
e t c . , a n o th e r s e r i e s
w i l l be d e v e lo p e d .
e q u a lity ;
p a ir,
in
In th e p a ir 4 :2 ,
th e n e x t p a i r ,
in th is
o f in e q u a litie s
th e r a t i o
is
9 :6 , a s e s q u ia lte r ;
1 6 :1 2 , a s e s q u i t e r t i u s ;
16, 25, 36, e tc .,
p a irs o f
n u m b e rs f o r m a s e r i e s
a d u p le x i n ­
in th e n e x t
and so o n .
The r e a d e r w i l l o b s e rv e t h a t i n th e
1, 4, 9,
fa s h io n :
s e r ie s o f q u a d ra tic s
t h e d i f f e r e n c e s b e tw e e n s u c c e s s i v e
o f odd n u m b ers
3, 5, 7, 9, e tc .
74
F o r e x a m p le ,
t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n 1 a n d 4 i s
a n d 9 i s 5 ; b e tw e e n 9 a n d 16 i s
Now i f
3 ; b e tw e e n 4
7 ; an d so o n .
a t t e n t i o n be p a id to th e s e r i e s o f " p a r te a l t e r a
l o n g io r e s " n u m b e rs, su c h a s 2 , 6 , 1 2 , 2 0 , 3 0 , e t c . ,
th e d i f ­
f e r e n c e s b e tw e e n s u c c e s s i v e p a i r s w i l l b e s e e n t o b e t h e
s e r i e s o f e v e n n u m b ers 4 , 6 , 8 , 1 0 , e t c .
A n o th e r i n t e r e s t i n g m a th e m a tic a l t r u t h
if
th e q u a d ra tic
s e r i e s and th e
is
" p a rte a lt e r a
d is c o v e re d
lo n g io re s w
s e r i e s b e a r r a n g e d i n t h e f o llo w in g m a n n e r:
1,
4,
2,
9,
6,
16,
25,
12,
20,
36, e tc .,
30, e tc .
The
sum o f 1 a n d 4 p l u s t w i c e
2 e q u a ls 9 , a q u a d ra tic ;
and
th e
sum o f 4 a n d 9 p l u s t w i c e
6 e q u a ls 2 5 , a n o th e r q u a d r a tic ;
an d so o n .
L i k e w i s e , u s i n g t h e sam e p a i r e d s e r i e s ,
and
6 p lu s tw ic e 4 e q u a ls 1 6 ,
a q u a d ra tic ;
th e
sum
of 2
a n d t h e sum
of 6
a n d 12 p lu s tw ic e 9 e q u a ls 3 6 , a n o th e r q u a d r a tic ;
SUMMARY OF CHAPTER
m ill,
and so o n .
BOOK I I
" E v e r y R a t i o o f t h e F i g u r e d N u m b e rs A r i s e s f r o m t h e
Q u a d ra tic and
* P a rte a l t e r a
lo n g io re s *
N u m b e rs "
E a r l i e r i n t h i s w o rk t h e t r i a n g u l a r n u m b e r w a s sh o w n
t o b e th e s o u rc e o f a l l th e o t h e r f ig u r e d n u m b e rs.
Now i t
c a n b e show n t h a t t h e t r i a n g u l a r n u m b e r s r e s u l t f r o m c o m b in a ­
t i o n s o f th e q u a d r a t ic an d " p a r t e a l t e r a l o n g i o r e s " n u m b e rs.
75
I f th e
s e r ie s o f th e q u a d ra tic
a re w ritte n a lte r n a te ly
in
and " p a r te a l t e r a
t h i s fa s h io n
lo n g io re s "
(th e q u a d ra tic s a re
u n d e r s c o r e d ) , 1 , 2 , 4 , 6 , J9, 1 2 , 1 6 , 2 0 , 2 5 , 3 0 , 3 6 , 4 2 , e t c * ,
i t w i l l b e o b s e r v e d t h a t t h e sum o f 1 a n d 2 i s
n u m b e r;
t h e sum o f 2 a n d 4 i s
p a i r s o f n u m b ers i n th e
3, a tria n g u la r
6 ; an d fro m t h e o t h e r s u c c e s s iv e
sam e s e r i e s ,
10* 1 5 , 2 1 , 2 8 , 3 6 , 4 5 ,
an d so o n , a r e p ro d u c e d , a n d th e s e a r e a l l t r i a n g u l a r n u m b ers.
SUMMARY OF CHAPTER XXV, BOOK I I
"How a Q u a d r a t i c N um ber m ay b e P r o d u c e d f r o m a '’P a r t e a l t e r a
lo n g io re s *
N u m b e r, o r a
* P a rte a l t e r a lo n g io r e s *
fro m a Q u a d ra tic *
I f o n e o f t h e tw o e q u a l f a c t o r s o f a q u a d r a t i c n u m b e r
be in c r e a s e d o r d e c re a s e d by 1 ,
a " p a rte a lt e r a
t h e tw o f a c t o r s t h e n p r o d u c e
l o n g i o r e s " n u m b er.
I f th e
s m a lle r f a c t o r o f
t h e tw o u n e q u a l f a c t o r s o f a " p a r t e a l t e r a
lo n g io r e s " num ber
be in c r e a s e d by 1 , th e
f a c to r s w i l l th e n b e e q u a l and p ro d u ce
a q u a d r a t i c n u m b er.
SUMMARY OF CHAPTER XXVI, BOOK I I
"O n t h e S p e c i e s o f N u m b e rs w h o se F o u n d a t i o n s
a r e U n ity jtn d D u a l i t y "
It
is
e v id e n t t h a t u n ity i s
th e p r i n c i p le ,
in th e
f i r s t p l a c e , o f im m u ta b le s u b s t a n c e , a n d t h a t d u a l i t y
is
th e
76
p rin c ip le o f change.
In th e
se co n d p l a c e , a l l odd n u m b ers,
b ecau se o f th e ir r e la tio n s h ip to u n ity , p a r tic ip a te
in th is
im m u ta b le s u b s t a n c e , w h i l e e v e n n u m b e rs a r e p r o d u c e d b y
s e c o n d a r y n u m b e rs #
Q u a d r a t i c n u m b e rs a r e p r o d u c e d b y j o i n ­
in g odd n u m b e rs, a n d t h e r e f o r e p a r t i c i p a t e
s u b s ta n c e o f u n i t y ; b u t th e
" p a rte a l t e r a
i n t h e im m u ta b le
lo n g io re s " have
e v e n n u m b e rs a s t h e i r f o u n d a t i o n a n d c a n n e v e r h a v e a s h a r e
i n t h e im m u ta b le s u b s t a n c e o f u n i t y *
SUMMARY OF CHAPTER XXVTI, BOOK I I
" C o n c e rn in g t h e D i f f e r e n c e s , N u m e ric a l a n d P r o p o r t i o n a l ,
A r i s i n g w hen t h e Q u a d r a tic S e r i e s i s W r i t te n A l t e r n a t e l y
w ith th e
fP a rte a l t e r a
lo n g io re s 1 S e rie s "
When t h e q u a d r a t i c a n d t h e
s e r ie s a re w ritte n a lte r n a te ly
s e r ie s i s u n d e rlin e d ),
" p a rte a lt e r a
in th is
1 , S, 4, 6,
9,
fa s h io n
IE , 1 6 ,
lo n g io re s "
(th e q u a d ra tic
SO, e t e . ,
th e
d i f f e r e n c e s b e tw e e n t h e s u c c e s s i v e p a i r s o f n u m b e rs w i l l b e
fo u n d t o a r r a n g e th e m s e lv e s i n t h i s m a n n e r: 1 ,
5 ,5 ,
e tc .
S ,E , 3 , 3 , 4 , 4 ,
Now t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n S a n d 4 i s t h e sam e a s
t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n 4 a n d 6 , b u t t h e r e l a t i o n b e tw e e n S
and 4 i s
t h a t o f t h e d u p le x i n e q u a l i t y , w h ile b e tw e e n 4 an d
6 th e re i s
a s e s q u ia lte r.
b e tw e e n 4 a n d 6 i s
S , a n d t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n 6 an d 9 i s
3 , b u t th e r e la tio n s h ip
to
On t h e o t h e r h a n d t h e d i f f e r e n c e
o f 9 to
4 , n a m e ly s e s q u i a l t e r .
I t is
6 is
th e
sam e a s t h a t o f 6
e v id e n t t h a t t h i s
c o m p le x ity
77
o f r e l a t i o n s h i p h o l d s t r u e f o r o t h e r m e m b e rs o f t h e s e r i e s
g i v e n a b o v e , n o m a t t e r how f a r e x t e n d e d .
SUMMARY OF CHAPTER X X V T II, BOOK I I
" A n o th e r P r o o f t h a t Q u a d r a tic s P a r t i c i p a t e
in
th e N a tu re o f U n ity "
Odd n u m b e rs p a r t i c i p a t e
in th e n a tu re
of u n ity ,
as has
b e e n s h o w n , a n d q u a d r a t i c s h a v e t h e i r f o u n d a t i o n i n o d d num­
b e rs.
The v a r i o u s r e l a t i o n s h i p s o f q u a d r a t i c s w ith o t h e r
s e r i e s r e v e a l som e c o n n e c t i o n w i t h o d d n u m b e r s .
is
c le a rly
sh o w n w h en t h e
c o n s id e re d :
s e v e r a l m u ltip le x in e q u a litie s a re
th e q u a d r a tic s w i l l b e fo u n d t o
n u m b e re d p l a c e s i n t h e
s e rie s .
in g d u p le x an d t r i p l e x
in e q u a litie s ,
1
1
2
3
o ccup y th e odd
F or in s ta n c e ,
in th e fo llo w ­
4
8
16
32
64
128
256
e tc .,
9
27
81
243
729
2 ,1 8 7
6 .6 5 1
e tc .,
t h e o d d n u m b e re d p l a c e s i n t h e
ra tic
T h is t r a i t
n u m b ers.
A little
s e r i e s a r e o c c u p ie d by q u ad ­
e x p e r i m e n t a t io n w i l l c o n v in c e th e
r e a d e r t h a t t h e q u a d r a t i c s o c c u p y t h e sam e p l a c e s i n a l l
s e r i e s o f m u ltip le x in e q u a lity .
SUMMARY OF CHAPTER 2 X H , BOOK II
" C u b ic N u m b e rs a l s o P a r t i c i p a t e i n t h e S u b s t a n c e
o f U n ity
B e c a u s e t h e y A r i s e f r o m Odd N u m b e rs ”
C u b ic n u m b e rs a l s o p a r t i c i p a t e
u n i ty b e c a u se th e y a r i s e
e v e n n u m b e r s ..
T h is t r u t h
in th e
s u b s ta n c e o f
f r o m o d d n u m b e rs a n d n e v e r f r o m
is
c le a rly
sh o w n f r o m t h e f o l l o w ­
i n g : I n t h e n a t u r a l s e r i e s o f o d d n u m b e rs 1 , 3 , 5 , e t c . ,
w i l l be n o t i c e d t h a t th e f i r s t odd num ber i s
n u m b e r, t h a t
th e
se c o n d c u b ic
n u m b e r , t h a t t h e sum o f t h e
b e rs i s
1,
1
th e
th ird
3 ,5 ,
8
sum o f t h e n e x t tw o o d d
th e
firs t
it
c u b ic
n u m b ers i s th e
n e x t t h r e e o d d num­
c u b i c n u m b e r , a n d so o n i n d e f i n i t e l y .
7 ,9 ,1 1 , 1 3 ,1 5 ,1 7 ,1 9 ,2 1 ,2 3 ,2 5 ,2 7 ,2 9 ,
27
64
125
e tc .
SUMMARY OF CHAPTER XXX, BOOK I I
”0n P r o p o r tio n a lity ”
A p ro p o rtio n
i s a s e rie s o f r a tio s .
It
h a rm o n y o r a g r e e m e n t b e tw e e n s e v e r a l r a t i o s .
m u ltip le x r a t i o s ,
w ill,
no
sam e s p e c i e s .
th e
The te rm s o f
p ro v id e d t h a t th e
F or in s ta n c e ,
1 :2 i s a d u p le x i n e q u a l i t y , a s i s t h e r a t i o
1 :2 ::4 :8
a ls o
o r i n e q u a l i t i e s , m ay b e i n t e r c h a n g e d a t
m a tte r w hat th e d if f e r e n c e s a r e ,
r a t i o s a re o f th e
is
th e r a t i o
4 :8 .
T h e re fo re ,
o r 2 :1 ::8 :4 o r 1 :4 ::2 :8 .
T h ere i s
a s p e c ie s o f p r o p o r tio n t h a t c o n s id e r s o n ly
79
t h e d i f f e r e n c e s b e tw e e n tw o s e t s o f n u m b e r s , a s 1 , 2 , a n d
3,4.
T h ere i s
th e
sam e d i f f e r e n c e b e tw e e n 1 a n d 2 a s e x i s t s
b e tw e e n 3 a n d 4 .
SUMMARY OF
CHAPTER XXXI, BOOK I I
"On t h e N um ber o f P r o p o r t i o n a l i t i e s "
Bp t o t h e
tim e o f P l a t o a n d P y th a g o r u s an d A r i s t o t l e
o n l y t h r e e p r o p o r t i o n a l i t i e s w e r e k n o w n , n a m e ly , t h e a r i t h ­
m e t i c , g e o m e tr ic , an d h a rm o n ic .
S oon a f t e r t h a t tim e t h r e e
o t h e r p r o p o r t i o n a l i t i e s w e r e d e v e l o p e d w h ic h w e re c a l l e d
s im p ly t h e f o u r t h ,
f i f t h , and s ix th .
T he P y t h a g o r e a n s , o u t
o f t h e i r r e s p e c t f o r t h e p e r f e c t n u m b e r, 1 0 , d e v e lo p e d f o u r
m o re .
The d e t a i l s o f t h e
se v e ra l p ro p o rtio n a litie s a re d is ­
c u sse d in th e fo llo w in g c h a p te r s .
SUMMARY OF CHAPTER X X X II, BOOK I I
"O n t h e F i r s t P r o p o r t i o n a l i t y , C a l l e d A r i t h m e t i c ,
and I t s P r o p e r t ie s "
A rith m e tic p r o p o r t io n a li t y i s
b a sed on th e c o n s ta n t
n u m e r i c a l d i f f e r e n c e s b e tw e e n s u c c e s s i v e t e r m s i n
and h a s no r e g a rd f o r th e r a t i o s
e x i s t i n g b e tw e e n t h e s e t e r m s .
A rith m e tic p r o p o r t io n a li t y i s
f i r s t p r o p o r tio n a lity because i t
p ro p o rtio n a litie s ,
a s e rie s ,
is
c o n s id e re d to be th e
th e b a se f o r th e o th e r
j u s t a s a rith m e tic i t s e l f i s
th e b ase fo r
th e o th e r th r e e
s c i e n c e s o f t h e q u a d r i v i u m , n a m e ly , g e o m e t r y ,
a s t r o n o m y , a n d m u s ic *
T he a r i t h m e t i c p r o p o r t i o n a l i t y
fo rm u la
(c o n s id e rin g
m ay b e r e d u c e d t o
W
A" a s th e f i r s t
te rm ,
WDBa s t h e con**
s ta n t d iffe re n c e ,
and "L " a s th e l a s t
t e r m ) : A , A + D,
A -f 2D , A + 3D ,
.
L.
.
I f any th re e
th e f i r s t
.
L, -
2D , 1 - D ,
s u c c e s s i v e t e r m s b e c h o s e n , t h e sum o f
an d t h i r d te rm s w i l l be fo u n d e q u a l to tw ic e th e
m id d le te r m .
If
any f o u r s u c c e s s iv e te rm s be c h o se n th e
sum o f t h e f i r s t a n d f o u r t h w i l l b e f o u n d e q u a l t o t h e
o f th e
th e
se co n d and t h i r d .
F u rth e rm o re , i f any th r e e
s iv e te rm s o f t h e s e r i e s b e c h o se n , th e
sum
su cces­
s q u a r e o f t h e m id d le
te rm w i l l e x c e e d th e p ro d u c t o f th e f i r s t an d t h i r d te rm s by
th e
sq u a re o f th e d if f e r e n c e .
L (A * 2 D ) ^ -V
(A + 3 d ) ] •
in c re a s e s ,
w h ic h i s
F in a lly ,
th e r a t i o
[(A + D)
] *
-
i t w i l l be fo u n d t h a t a s th e
s e rie s
b e tw e e n s u c c e s s i v e t e r m s d e c r e a s e s ,
c o n tra ry to w hat i s
f o u n d i n h a r m o n ic p r o p o r t i o n a l i t y .
I n g e o m e tric p r o p o r t i o n a l i t y t h e r e i s a c o n s ta n t r a t i o
b e tw e e n
s u c c e s s iv e te rm s .
SUMMARY OF CHAPTER S X X T II, BOOK I I
"Q n G e o m e t r ic P r o p o r t i o n a l i t y a n d I t s
P ro p e rtie s "
G e o m e t r ic p r o p o r t i o n a l i t y i s b a s e d o n t h e
ra tio
c o n s ta n t
e x i s t i n g b e tw e e n s u c c e s s i v e t e r m s i n a s e r i e s , a n d h a s
81
n o r e g a r d f o r t h e n u m e r i c a l d i f f e r e n c e s e x i s t i n g b e tw e e n
th e s e
te rm s .
T h e g e o m e t r i c p r o p o r t i o n a l i t y m ay b e r e d u c e d t o t h e
f o r m u l a ( c o n s i d e r i n g "A” a s t h e f i r s t t e r m i n
”R " a s t h e
c o n s ta n t r a t i o ,
A , A R, AR2 , AR3 , AR4 ,
If
a lity
th re e
th e
s e rie s ,
a n d wn " a s t h e n u m b e r o f t e r m s ) :
. . .
ARn - 3 , ARn ” 2 , AR11" 1 .
s u c c e s s iv e te rm s o f a g e o m e tric p r o p o r tio n ­
be c h o sen , th e p ro d u c t o f th e f i r s t and t h i r d
w i l l be fo u n d e q u a l t o
th e
te rm s
s q u a r e o f t h e m id d le te r m .
If
f o u r s u c c e s s iv e te rm s be c h o s e n , th e p ro d u c t o f th e f i r s t
a n d f o u r t h te rm s w i l l b e fo u n d e q u a l t o
second and th ir d
th e p ro d u c t o f th e
te rm s .
T h e d i f f e r e n c e s b e tw e e n s u c c e s s i v e t e r m s i n a g e o m e t r i c
s e r i e s w i l l be fo u n d to h av e th e
sam e r a t i o
a s t h a t i n th e
g e o m e tric s e r i e s i t s e l f .
SUMMARY OF CHAPTER 2 X 0 1 1 1 , BOOK I I
" I n w h ic h t h e D i f f e r e n t P r o p o r t i o n a l i t i e s a r e C o m p a re d
to D iffe re n t
K i n d s o f G o v e r n m e n ts "
A rith m e tic p r o p o r t i o n a l i t y i s
r u l e d b y a fe w , b e c a u s e th e
th e
s m a lle r te rm s .
c o m p a re d t o a s t a t e
l a r g e r r a t i o s a r e fo u n d b e tw e e n
.H a r m o n ic .p r o p o r tio n a lity i s
c o m p a re d t o
t h e b e s t f o r m o f g o v e r n m e n t, b e c a u s e t h e l a r g e r r a t i o s a r e
f o u n d am ong t h e l a r g e r th erm s.
G e o m e t r ic p r o p o r t i o n a l i t y
is
c o m p a re d t o
sam e r a t i o
t h e d e m o c r a tic fo rm o f g o v e rn m e n t, b e c a u s e t h e
e x i s t s am ong b o t h
s m a lle r an d l a r g e r te rm s .
SUMMARY OF CHAPTER KXXF, BOOK I I
" O n ly One P r o p o r t i o n a l M ean m ay b e I n s e r t e d b e tw e e n Two
S u c c e s s i v e T e rm s o f t h e Q u a d r a t i c S e r i e s ;
a n d O n ly Two
P r o p o r t i o n a l M e a n s m ay b e I n s e r t e d b e tw e e n Two
S u c c e s s i v e T e rm s o f t h e C u b ic S e r i e s 1?
It
is
e v i d e n t t h a t t h e p r o p o r t i o n a l m ea n b e tw e e n tw o
sq u a re f ig u r e s w i l l be a r e c ta n g le t h a t h a s th e h e ig h t o f
one s q u a re and th e le n g th o f th e o t h e r s q u a r e .
n u m b e rs f i n d
in s ta n c e ,
a p r o p o r t i o n a l m ean i n t h e
th e q u a d ra tic 4 i s e q u a l to
n e x t q u a d ra tic in
3 tim e s 3 .
th e s e r ie s i s
a n d t h i s n ew s e r i e s i s 4 : 6 : 9 ,
6 :4 a r e b o th
sam e f a s h i o n .
2 tim e s
9 , w h ic h i s
T h e p r o p o r t i o n a l m ea n i s
Q u a d ra tic
th u s
2
2,
For
and th e
th e p ro d u c t o f
tim e s 3 , o r 6 ,
i n w h ic h t h e r a t i o
o f 9 :6 and
s e s q u ia lte r in e q u a litie s .
T h is p r o p e r ty o f th e q u a d r a tic
s e r i e s m ay b e s u m m a r iz e d
i n t h i s f a s h i o n : G iv e n a n y tw o c o n s e c u t i v e i n t e g e r s A a n d B ,
t h e A 2 a n d B2 w i l l b e t h e tw o q u a d r a t i c s a n d AB w i l l b e t h e i r
p r o p o r t i o n a l m ean#
T he s p e c i e s o f s u p e r p a r t i c u l a r i s i n e q u a l i t y
p ro d u c e d w i l l b e d e te r m in e d b y t h e n u m b ers t h a t a r e s u b s t i t u t e d
f o r A and B.
It
is
e v i d e n t t h a t t h e tw o s o l i d f i g u r e s t h a t c a n b e t h e
p r o p o r t i o n a l m e a n s b e tw e e n tw o c u b i c f i g u r e s w i l l h a v e t h e
83
f o llo w in g d im e n s io n s :
t h e f i r s t p r o p o r t i o n a l m ean w i l l h a v e
tw o d i m e n s i o n s f r o m o n e c u b e a n d t h e t h i r d
se c o n d c u b e , w h ile th e
d im e n s io n fro m t h e
d im e n s io n fro m th e
s e c o n d p r o p o r t i o n a l m ean w i l l h a v e o n e
firs t
c u b e a n d tw o d i m e n s i o n s f r o m t h e
s e c o n d c u b e*
T h i s p r o p e r t y o f c u b i c f i g u r e s m ay b e s u m m a riz e d i n
t h i s fa s h io n :
G iv e n a n y tw o c o n s e c u t i v e
in te g e r s A and B,
t h e n A® a n d B® w i l l b e t h e tw o c u b i c s a n d t h e tw o p r o p o r 2
2
3
t i o n a l m e a n s w i l l b e A B a n d AB , a n d t h e s e r i e s w i l l b e A ,
A2 B , A B ^, a n d B3 .
T h e f o l l o w i n g w i l l s e r v e a s a n e x a m p le :
L e t 3 a n d 4 b e t h e n u m b ers c h o s e n , th e n
c u b e s , th e
27
an d 64 w i l l b e th e
f i r s t p r o p o r t i o n a l m ean w i l l b e 3 x 3 x 4 ,
o r 56,
a n d t h e s e c o n d p r o p o r t i o n a l m ean w i l l b e 3 x 4 x 4 , o r 4 8 ,
and th e s e r ie s w i l l be
27,
3 6 , 4 8 , a n d 64*
Now t h e r a t i o s
6 4 :4 8 , 4 8 :3 6 , an d 3 6 :8 7 a r e a l l s e s q u i t e r t i u s i n e q u a l i t i e s *
As w as m e n tio n e d a b o v e i n w r i t i n g o f t h e p r o p e r t i e s o f q u ad ­
ra tic s ,
th e s p e c ie s o f s u p e r p a r t i c u l a r i s in e q u a li t y p ro d u ced
w i l l b e d e t e r m i n e d b y t h e n u m b e rs c h o s e n *
SUMMARY OF CHAPTER XXXVI,
BOOK I I
w0 n t h e H a rm o n ic P r o p o r t i o n a l i t y a n d I t s
H a rm o n ic p r o p o r t i o n a l i t y i s
e n c e s b e tw e e n i t s
te r m s *
I t is
P ro p e rtie s ”
n o t b a s e d on e q u a l d i f f e r ­
t e r m s , n o r o n e q u a l r a t i o s b e tw e e n i t s
th a t p ro p o rtio n a lity
i n w h ic h t h e r e l a t i o n s h i p
84
t h a t e x i s t s b e tw e e n t h e
te rm s e r i e s i s
f i r s t and t h i r d
te rm s o f a t h r e e -
t h e sam e a s e x i s t s b e tw e e n t h e d i f f e r e n c e s
a r i s i n g w hen t h e t h i r d
te rm i s
c o m p a re d w i t h t h e s e c o n d t e r m
an d th e n t h e se c o n d te rm
c o m p a re d w i t h t h e f i r s t
e x a m p le s w i l l i l l u s t r a t e
t h e h a rm o n ic p r o p o r t i o n a l i t y .
D i f f e r e n c e s b e tw e e n t e r m s
H a rm o n ic p r o p o r t i o n a l i t y
D u p le x
T rip le x
1
1
3,
2
4,
I n th e t r i p l e x
e x a m p le t h e r a t i o
The
5
2,
6
I n t h e d u p l e x e x a m p le t h e r a t i o
2 :1 .
te rm .
3,
6
6 :3 i s
th e
sam e a s
6 :2 i s
t h e sam e a s
3 :1 .
T he h a r m o n ic p r o p o r t i o n a l i t y m ay b e s u m m a r iz e d i n t h e
f o l l o w i n g w ay: The t h r e e te r m s o f th e s e r i e s A , B , C , m u st be
so ch o sen th a t
q u a n tity
(j)
is
a p o s itiv e in te g e r and i s
(C - B ) d i v i d e d b y t h e q u a n t i t y
e q u a l to th e
(B - A ) .
I n w o rk in g w ith t h e s e p r o p o r t i o n a l i t i e s i t
o b se rv e d t h a t th e p ro d u c t o f th e f i r s t
and t h i r d
w i l l be
te rm s i s
o n e - h a l f th e p r o d u c t o f th e m id d le te r m m u l t i p l i e d b y th e
sum o f t h e f i r s t
and t h i r d
SUMMARY OF
te rm s .
CHAPTER X D C 7 II, BOOK I I
"Why H a rm o n ic P r o p o r t i o n a l i t y i s
G iv e n s u c h a N am e;
a n d o n G e o m e t r ic H a rm o n y "
T h e h a r m o n ic p r o p o r t i o n a l i t y i s
cause in
it
g i v e n s u c h a nam e b e ­
a lo n e a r e fo u n d th o s e p r o p o r tio n s o f m u s ic a l
85
so u n d s t h a t a r e c a l le d
s y m p h o n ie s *
T he s y m p h o n ic d i a t e s ­
s a r o n , t h e c h i e f e l e m e n t i n sy m p h o n y , i s b a s e d o n t h e e p i t r i t a
( 4 :3 ) p r o p o r t i o n fo u n d i n t h e h a rm o n ic p r o p o r t i o n a l i t y *
In
t h e s e r i e s 2 , 3 , 6 , t h e d i f f e r e n c e s b e tw e e n t h e e x t r e m e s i s
4*
I n th e s e r i e s ,
tre m e s i s
3*
3 , 4 , 6 , t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n t h e e x ­
T he c o m b i n a t i o n o f t h e tw o s e r i e s g i v e s t h e
d ia te s s a r o n 4 :3 , a s e s q u ite r tiu s in e q u a lity *
T h e s y m p h o n ic d i a p e n t e ,
i s a ls o
fo u n d i n th e
and 3 , 4 ,
o f th e
b ased on th e
s e s q u ia lte r
c o m b i n a t i o n o f t h e tw o s e r i e s ,
6 , b e c a u se th e 3 :2 o f th e f i r s t
(3 :2 ),
2, 3, 6,
s e r i e s an d th e 6 :4
seco n d a r e b o th s e s q u i a l t e r i n e q u a l i t i e s .
T h e s y m p h o n ic d i a p a s o n i s f o u n d i n t h e s e r i e s 3 , 4 ,
6,
b e c a u se 6 :3 i s th e d u p le x i n e q u a l i t y .
B o th t h e d i a p e n t e a n d t h e d i a p a s o n a r e f o u n d i n t h e
s e r i e s 2 , 3 , 6 , b e c a u se 3 :2 i s
I n th e
s e r ie s 3 , 4 , 6 , th e d iffe re n c e
a n d se c o n d te rm s i s
is
to
a d o u b le d ia p a s o n .
m e t r i c h a rm o n y .
is re la te d
h as s ix fa c e s ,
ra tio
It
d u p le x *
b e tw e e n t h e
th e se c o n d te rm a s 1 i s
to 4 .
firs t
Now 4 : 1
F u r t h e r m o r e , s i n c e 1 a n d 4 a r e m em b ers
o f t h e g e o m e tric s e r i e s ,
6 , 8, 12,
s e s q u ia lte r and 6 :3 ,
is
to
th e s e r ie s 3 , 4 ,
a ls o
th e
c a lle d
6,
is
c a lle d a geo­
" c u b ic " b e c a u se i t s
d o u b le ,
c u b e s , in a s m u c h a s t h e s o l i d
e ig h t t r i h e d r a l a n g le s ,
and tw e lv e e d g e s .
8 :6 f u r n is h e s th e d ia te s s a r o n , and 1 2 :8 ,
cube
T he
th e d ia p e n te .
86
SUMMARY OF CHAPTER 23QCVIII, BOOK II
"On til© M e th o d s b y w h ic h a n A r i t h m e t i c ,
o r G e o m e tric ,
o r H a rm o n ic P r o p o r t i o n a l i t y m ay b e I n s e r t e d
b e t w e e n a n y Two G iv e n N u m b e rs "
I n th e f i r s t p la c e ,
t h e g i v e n p a i r s o f n u m b e rs i n
w h ic h t h e t h r e e d i f f e r e n t p r o p o r t i o n a l i t i e s a r e t o b e i n ­
s e r te d m u st b e e i t h e r b o th odd o r b o th e v e n .
To f i n d t h e a r i t h m e t i c p r o p o r t i o n a l i t y b e tw e e n tw o
n u m b e r s , a d d t h e tw o n u m b e rs a n d d i v i d e b y 2 , a n d t h e r e s u l t
w ill be th e p r o p o r tio n a lity d e s ir e d .
F o r e x a m p le , g i v e n 1 0
a n d 4 0 , t h e i r su m , 5 0 , d i v i d e d b y 2 y i e l d s 2 5 , t h e a r i t h m e t i c
p ro p o rtio n a lity ,
and th e s e r i e s i s
10, 25, 40.
To f i n d t h e g e o m e t r i c p r o p o r t i o n a l i t y b e tw e e n tw o num­
b e r s , m u l t i p l y t h e tw o n u m b e rs t o g e t h e r a n d e x t r a c t t h e
s q u a r e r o o t o f t h e p r o d u c t , w h ic h w i l l b e t h e p r o p o r t i o n a l i t y
d e s ire d .
F o r e x a m p le , g iv e n 10 a n d 4 0 , t h e i r p r o d u c t , 4 0 0 ,
y i e l d s 20 a s th e s q u a re r o o t and t h e p r o p o r t i o n a l i t y d e s i r e d .
T he s e r i e s i s
10, 20, 40.
To f i n d t h e h a r m o n i c p r o p o r t i o n a l i t y b e tw e e n tw o num­
b e r s , m u l t i p l y t h e n u m e r i c a l d i f f e r e n c e b e tw e e n t h e tw o num­
b e rs by th e
s m a l l e r n u m b er, a n d d i v i d e t h i s p r o d u c t b y t h e
sum o f t h e g i v e n t e r m s .
T h is q u o t ie n t ad d ed t o t h e s m a lle r
t e r m p r o d u c e s t h e h a r m o n i c p r o p o r t i o n a l i t y b e tw e e n t h e
g iv e n n u m b ers.
tw o
F o r e x a m p le , g i v e n 1 0 a n d 4 0 , t h e p r o d u c t o f
87
th e ir d iffe re n c e ,
is
300*
3 0 , m u ltip lie d by th e
T hen 300 d iv id e d b y 5 0 , t h e
f o r a q u o t i e n t w h ic h i s
s m a l l e r n u m b e r, 1 0 ,
sum o f 1 0 a n d 4 0 , h a s 6
t o b e a d d e d t o t h e s m a l l e r num ber 1 0 ,
p r o d u c in g 1 6 , t h e h a rm o n ic p r o p o r t i o n a l i t y b e tw e e n 10 a n d 4 0 .
The s e r i e s
is 10, 16, 40.
SUMMARY OF CHAPTER XXXIX, BOOK I I
"O n T h r e e P r o p o r t i o n a l i t i e s w h i c h a r e C o n t r a r y t o
th e
H a r m o n ic a n d G e o m e t r i c P r o p o r t i o n a l i t i e s "
T hese th r e e p r o p o r t i o n a l i t i e s a r e g iv e n , n o t b e c a u se
o f a n y u s e f u l n e s s i n th e m , b u t t o
p r e s e r v e t h e k n o w le d g e o f
t h e t e n p r o p o r t i o n a l i t i e s know n t o
th e a n c ie n ts .
T h e p r o p o r t i o n a l i t y know n a s t h e f o u r t h
is
th e r e l a ­
tio n s h ip
e x i s t i n g am on g t h r e e n u m b e r s i n a s e r i e s ,
th e r a t i o
b e tw e e n t h e g r e a t e s t a n d t h e s m a l l e s t i s
a s t h a t e x i s t i n g b e tw e e n t h e d i f f e r e n c e s ,
th e
th e
sam e
t h a t b e tw e e n
s m a l l e s t a n d m id d le te r m , a n d s e c o n d b e tw e e n t h e m id d le
te rm a n d th e g r e a t e s t te r m .
p o r tio n a lity i s th e
is
firs t
such th a t
c o n tr a r y to
A n e x a m p le o f t h e f o u r t h p r o ­
s e rie s 3, 5, 6.
T h is p r o p o r t i o n a l i t y
th e h a rm o n ic .
T h e p r o p o r t i o n a l i t y k now n a s t h e f i f t h
tio n s h ip
is
th e r e l a ­
e x i s t i n g am on g t h r e e n u m b e r s i n a s e r i e s ,
t h e m id d le te r m i s
to
su ch th a t
th e s m a ll e s t te rm a s t h e i r d i f f e r e n c e
i s t o t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n t h e m id d le te r m an d t h e g r e a t e s t
ss
te rm *
A n e x a m p le o f t h e f i f t h
p ro p o rtio n a lity i s
2, 4, 5,
w h ic h i s e v i d e n t l y c o n t r a r y t o t h e g e o m e t r i c p r o p o r t i o n a l i t y .
The s i x t h p r o p o r t i o n a l i t y i s
th e r e l a ti o n s h i p
e x is tin g
i n a s e r i e s o f t h r e e n u m b e rs s o c h o s e n t h a t t h e g r e a t e s t t e r m
is
to
th e m id d le te rm a s t h e d i f f e r e n c e
te r m an d th e m id d le te r m
i s to th e
is
s m a lle s t
d i f f e r e n c e b e tw e e n t h e
m id d le te r m a n d t h e g r e a t e s t te r m .
T h is p r o p o r t i o n a l i t y a l s o
b e tw e e n t h e
A n e x a m p le i s
1, 4, 6.
c o n tr a r y to th e g e o m e tric .
SUMMARY OF CHAPTER X L, BOOK I I
"O n F o u r O t h e r P r o p o r t i o n a l i t i e s t h a t w e r e D e v i s e d t o
B r i n g t h e N um ber o f P r o p o r t i o n a l i t i e s u p t o T e n ;
a n d a C h a r t o f th e T en P r o p o r t i o n a l i t i e s "
T he f i r s t am ong t h e s e f o u r ,
a lity
in o rd e r,
is
o r th e
th a t re la tio n s h ip
s e v e n th p r o p o r tio n -
am ong t h r e e n u m b e r s s u c h
t h a t t h e i n e q u a l i t y b e tw e e n t h e f i r s t a n d t h i r d
to
te rm s i s
equal
t h a t e x i s t i n g b e tw e e n t h e d i f f e r e n c e s , n a m e ly , o f t h e f i r s t
a n d t h i r d a s c o m p a re d w i t h t h a t o f t h e f i r s t a n d s e c o n d .
e x a m p le i s
th e
as is
o f w h ic h 3 i s
3 :2 ,
s e rie s 6, 8,
9.
The r a t i o
9 :6 i s
An
a s e s q u ia lte r,
t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n 6 a n d 9 , a n d
2 t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n 6 a n d 8 .
T he s e c o n d am ong t h e s e f o u r ,
a lity
in
o rd e r,
is
th e r e la tio n s h ip
o r th e e ig h th p ro p o rtio n am ong t h r e e n u m b e r s s u c h
t h a t t h e i n e q u a l i t y e x i s t i n g b e tw e e n t h e
th ird
and f i r s t te rm s
89
is
e q u a l to , t h e r a t i o
o f t h e i r d i f f e r e n c e a s c o m p a re d t o t h e
d i f f e r e n c e b e tw e e n t h e
i s th e
s e rie s 6,
7 , 9*
3 : 8 , o f w h ic h 3 i s
th e
seco n d and t h i r d
The r a t i o
te r m s *
9 :6 i s
An e x a m p le
s e s q u ia lte r,
t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n 9 a n d 6 , a n d 8 i s
d i f f e r e n c e b e tw e e n 9 a n d 7 .
T he t h i r d
o f t h e s e f o u r , o r num ber 9 , i s
s h i p e x i s t i n g am ong t h r e e
th e r e l a ti o n ­
te rm s su c h t h a t th e i n e q u a l i t y b e ­
tw e e n t h e f i r s t a n d s e c o n d t e r m s i s
th e
sam e a s t h a t b e tw e e n
t h e i r d i f f e r e n c e a n d t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n t h e f i r s t
th ird
a re
as is
te r m *
A n e x a m p le i s 4 ,
6 , 7*
and
T he r a t i o s 6 : 4 a n d 3 : 2
s e s q u ia lte r*
The f o u r t h o f t h i s
a lity
in o rd e r,
is
g ro u p , and th e te n th p r o p o r tio n ­
th a t re la tio n s h ip
n u m b ers i n a s e r i e s
such th a t th e
se co n d te rm
a s t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n t h e f i r s t
f e r e n c e b e tw e e n t h e
e x is tin g
and t h i r d
seco n d and t h i r d .
is to
th e f i r s t
is
th e d i f ­
to
A n e x a m p le i s
Now 5 : 3 i s a s u p e r b i p a r t i e n s i n e q u a l i t y — 5 i s
3 th e f i r s t — and th e
am ong t h r e e
sam e n u m b e rs o c c u r a g a i n ,
th e
5,
5, 8.
se c o n d te rm ,
5 :3 , w ith
th is
5 t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n 3 an d 8 , and t h e 3 t h e d i f f e r e n c e
b e tw e e n 5 a n d 8 .
E x a m p le s o f t h e t e n p r o p o r t i o n a l i t i e s a r e
th is
c h a rt:
1*
A rith m e tic
1,
2, 3
2.
G e o m e t r ic
1, 2, 4
3*
H a rm o n ic
.3 , 4 , 6
g iv e n in
90
4.
C o n t r a r y t o H a rm o n ic
3,
5*
C o n t r a r y t o G e o m e t r ic
2, 4, 5
6*
C o n t r a r y t o G e o m e t r ic
1, 4, 6
8
.
9
10
.
SUMMBY
o f ch apter x l i ,
5, 6
6, 8,
9
6 , 7,
9
4,
6,
7
3,
5, 8
BOOK I I
"On t h e P e r f e c t a n d G r e a t e s t S y m p h o n y , w h ic h
i s C o m p o sed o f T h r e e I n t e r v a l s ”
T he s e r i e s 6 , 8 ,
s e r ie s because i t
th e th r e e
9 , 12 i s t h e p e r f e c t a n d g r e a t e s t
c o n ta in s th e th r e e p r o p o r tio n a litie s and
in e q u a litie s
o n w h ic h sy m p h o n y i s b a s e d .
The p e r f e c t r a t i o s a r e 6 : 8 : ; 9 : 1 2 o r 6 : 9 : : 8 : 1 2 i n a s ­
m uch a s t h e p r o d u c t o f t h e e x t r e m e s e q u a l s t h e p r o d u c t o f
th e m ean s.
T hese,
in d e e d , a r e g e o m e tric p r o p o r t i o n a l i t i e s .
An a r i t h m e t i c p r o p o r t i o n a l i t y i s
A h a rm o n ic
p ro p o rtio n a lity i s
6 , 8 , 12.
T he i n e q u a l i t i e s 9 : 6 a n d 1 2 : 8 a r e
b a s e f o r t h e s y m p h o n ic d i a p e n t e ;
1 2 :9 a r e
sa ro n ;
s e s q u ite rtiu s ,
1 2 :6 i s
th e b a se o f th e
a d u p le x ,
6, 9, 12.
s e s q u ia lte r , o r th e
th e i n e q u a l i t i e s 8 :6 and
th e b a se f o r th e
s y m p h o n ic d i a t e s -
th e b a se o f th e d ia p a s o n ;
s y m p h o n ic e p o g d o u n .
and 9 :8
91
T h is t h i r d
c h a p t e r o f t h e t h e s i s h a s p r e s e n t e d a sum ­
m ary o f e a c h o f t h e
s ix ty - e ig h t c h a p te rs in th e A rith m e tic s *
M any e x p l a n a t i o n s a n d e x a m p le s h a v e b e e n o m i t t e d f o r t h e s a k e
o f b re v ity , b u t i t
is
b e lie v e d t h a t th e
s c o p e o f t h e w o rk h a s
b een f a i t h f u l l y d e p ic te d in th e t r a n s l a t i o n .
In o rd e r to
show i n
d e t a i l t h e m a n n e r i n w h ic h B o e t h i u s
b r o u g h t t h e k n o w le d g e g a t h e r e d b y h i s p r e d e c e s s o r s t o
t e n t i o n o f h i s c o n te m p o r a r ie s and th e n c e to
th e a t ­
s u c c e e d in g a g e s
a t r a n s l a t i o n o f th e P re fa c e to th e A r ith m e tic s and o f c e r ­
ta in
c h a p t e r s o f t h e w o rk i s
o f th e
th e s is .
o f f e r e d i n th e fo llo w in g s e c tio n
CHAPTER IV
THE PREFACE AND CERTAIN CHAPTERS TRANSLATED
T h is c h a p te r o f f e r s a t r a n s l a t i o n o f t h e P r e f a c e t o
th e A rith m e tio a and o f c e r t a i n
im p o rta n t c h a p te r s in o rd e r
t o p e r m i t t h e m o d e rn r e a d e r t o
e x a m in e f o r h i m s e l f t h e
m e th o d s u s e d b y t h e
a n c i e n t s i n p r e s e n t i n g m a th e m a tic a l
tru th s #
While
he i s
re a d in g th e s e tr a n s la tio n s ,
i t w ill be
w e l l f o r t h e r e a d e r t o k e e p i n m in d , a s w a s m e n t i o n e d e a r l i e r
in th is
th e s is ,
t h a t th e A rith m e tio a t r e a t s
a r i t h m e t i c a n d w as s t u d i e d b y m a tu re
o f th e o re tic a l
s tu d e n ts a s a p re p a ra tio n
f o r th e s tu d y o f p h ilo s o p h y .
THE PREFACE
‘
The P r e f a c e
t o t h e tw o b o o k s o f a r i t h m e t i c o f A n i t i u s
M a n liu s S e v e r in u s B o e th iu s , a v e ry n o te d a n d d i s t i n g u i s h e d
m an, e x - e o n s u l o f t h e p a t r i c i a n
p a tric ia n
c la s s ,
i s d e d ic a te d to th e
Sym m achus#
I n t h e m a t t e r o f e x c h a n g in g g i f t s ,
th o s e g i f t s a re
c o n s i d e r e d o f g e n u i n e w o r t h , w hen b e tw e e n t h o s e who h o l d o n e
a n o th e r i n h ig h e s te e m , i t
is
c l e a r l y e v id e n t t h a t n o th in g
w a s e v e r r e c e i v e d f r o m t h e o n e w h ic h w o u ld o b l i g a t e t h e
o t h e r t o a m o re g e n e r o u s d o n a t i o n i n r e t u r n , n o r w a s a n y t h i n g
93
a c c e p te d to be r e p a id w ith f l a t t e r y .
B e a r i n g t h e a b o v e i n m in d , I h a v e p r o d u c e d a w o rk a c ­
c u ra te ly a u th e n tic a te d , and a u th e n tic re c o rd s a re n e c e ssa ry
t o a g r e a t w o rk e v e n a f t e r
d e s ire to
so m e o n e h a s b e e n i n s p i r e d w i t h a
a c c o m p lis h s o m e th in g .
a s w h en h e i s
A man i s
n e v e r so f o o lis h
so c o n fid e n t o f h im s e lf t h a t h e ig n o r e s th e s e
v a lu a b le s o u rc e s .
T hose t h i n g s ,
t h e n , w h ic h we h a v e t a k e n f r o m t h e
h o u s e o f G r e e k L i t e r a t u r e we h a v e p u t i n t o
t h e l a n g u a g e o f H om e.
If
s to re ­
th e tr e a s u r y o f
T h u s t h e p l a n o f my w o rk b e c o m e s c l e a r .
I h a v e th r o w n a n y n ew l i g h t o n t h e t e a c h i n g s o f t h e w i s e
m e n , m ay t h e s e t e a c h i n g s b e a p p r o v e d b y t h e ju d g m e n t o f t h e
m o st l e a r n e d m an.
C o n s e q u e n t l y , y o u w i l l u n d e r s t a n d how t h e
r e s u l t s o f so g r e a t la b o r e a g e r ly a w a it y o u r d is tin g u is h e d
in v e s tig a tio n ,
tifie d
and i t
s h a l l n o t be p u b lis h e d u n t i l i t
by th e a p p ro v a l o f y o u r r e s p e c te d o p in io n .
s ta n d on th e
th e
s in c e
s e c r e t s o f w isd o m d o e s n o t
a u t h o r i t y o f t h e a u t h o r , b u t o n t h e ju d g m e n t o f
a n o th e r.
As a m a tte r o f f a c t ,
e v id e n c e ,
s in c e i t
d e n t m en.
fo r­
T h ere
s h o u l d b e n o s u r p r i s e a b o u t t h i s m ode o f p r o c e d u r e ,
t h a t w o r k w h ic h d e l v e s i n t o
is
re a so n depends upon i t s
i s f o r c e d to u n d e rg o th e
own
ju d g m e n ts o f p r u ­
M o r e o v e r , I d o n o t d em an d f o r t h i s
little
w o rk a n y
o t h e r re c o m m e n d a tio n s t h a n a r e dem anded f o r t h e o t h e r a r t s .
F o r no a r t i s
a l l o th e rs ,
so c o m p le te i n a l l i t s
and so e n t i r e l y
p a rts ,
so in d e p e n d e n t o f
d ep en d en t upon i t s
own m e r i t s ,
94
th a t i t
d o es n o t n eed th e h e lp o f th e o th e r a r t s ,
m a k in g s t a t u e s o f m a r b l e , o n e j o b i s
t h e m e th o d o f g i v i n g e x p r e s s i o n
jo b .
N e i t h e r w o rk i s
to
in
c u t o u t th e s to n e ;
t o t h e im a g e i s
th e r e s u l t o f th e
F o r,
q u i te a n o th e r
sam e a r t i s t ;
th e p o l­
is h e d s to n e o f th e la p id a r y a w a its th e hand o f th e m a s te r.
I n p a i n t i n g a p i c t u r e m an y t h i n g s a r e e n t r u s t e d t o
o f th e o rd in a ry la b o r e r s .
th e hands
Raw p r o d u c t s m u s t b e g a t h e r e d b y
th e h a n d s o f s k i l l e d f a r m e r s ; p ig m e n ts m u st be s e c u r e d fro m
t h e w is e s e l e c t i o n s o f m e r c h a n ts ;
th e b u sy m i l l .
o f m a te ria l.
A l l th e s e l a b o r e r s p ro v id e d i f f e r e n t k in d s
Do we n o t e x p e r i e n c e t h e
in s tr u m e n ts o f w a r?
s tro n g b r e a s tp la te i s
A n o t h e r m an s e l l s t h e
c o v e r i n g s m ade t o f i t
sam e s y s t e m i n
One m an s h a r p e n s t h e t i p s
a n o t h e r 1s w o r k s h o p t h e
b la c k a n v il.
lin e n m u st be f u r n is h e d in
th e
o f a rro w s; in
fo rm e d o n t h e
c o v e rin g f o r s h i e ld s ,
b ecau se o f h is s k ille d h a n d ic r a f t.
T h u s o n e a r t i s p e r f e c t e d b y m any a r t s .
B ut th e
f i n a l to u c h
o f o u r w o rk r u n s a l o n g f a r m o re s m o o t h ly a n d e a s i l y .
F o r you
s h a l l m e r e l y t o u c h y o u r h a n d t o my f i n i s h e d w o r k , a n d i t
s h a ll
n o t b e n e c e s s a r y f o r y o u t o lo o k f o r c o n s e n s e s o f o p i n i o n f r o m
f a v o r a b le and c a p a b le
ju d g e s .
G r a n t e d t h a t y o u r ju d g m e n t i s
c o m p e t e n t b e c a u s e o f w id e e x p e r i e n c e i n v a r i o u s a r t s ,
it is
c o m p l e t e w hen y o u h a v e m ade o n e e x a m i n a t i o n .
s till,
Y ou a r e
a s k e d t o i n v e s t i g a t e how m uch v a l u e my l a b o r h a s a d d e d t o
s u b j e c t a s a r e s u l t o f my l o n g p e r i o d s o f s t u d y .
th is
F o r th e e f ­
f i c i e n c y o f a t r a i n e d m in d q u i c k l y g r a s p s t h e k e r n e l o f s u b t l e
95
th in g s .
th o s e
C a n t h e p o v e r t y o f my v o c a b u l a r y s u f f i c e t o
c le a r up
t h i n g s w h ic h a r e t a n g l e d u p i n a m az e o f c o n f l i c t i n g
o p in io n s ?
T h e r e f o r e , t h e a d v a n t a g e s o f ju d g m e n t o t h e r t h a n m in e
a re
s o u g h t, e s p e c i a l l y s in c e yo u a r e w e ll v e rs e d i n b o th
la n g u a g e s .
Y ou c a n , b e c a u s e o f y o u r t r a i n i n g
y o u r o p in io n o f t h i s w o rk , g iv e a d e f i n i t e
who m ay a t t e m p t t o
ju d g e t h e
i n G re e k , b y
an sw er to
th o s e
c o n te n ts o f o u r w o rk .
I hav e n o t o b lig a te d m y s e lf to o
s tric tly
to
th e p r e ­
s c r i p t i o n s o f an y o t h e r w r i t e r , n e i t h e r h a v e X fo llo w e d to o
rig id ly
th e t r a n s la ti o n .
Though I h a v e fo llo w e d th e p a th o f
o t h e r a u th o r s , I h a v e n o t fo llo w e d th e e x a c t f o o t p r i n t s , b u t
have been a l i t t l e
m o re l i b e r a l t h a n o t h e r s .
T h o se p o i n t s
c o n c e r n i n g n u m b e r s t h a t a r e d i s c u s s e d m o re a t l e n g t h b y
N ic o m a c h u s , I h a v e b r i e f l y
s u m m a r iz e d .
w e re n o t s u f f i c i e n t l y e l a b o r a t e d ,
T h o se p o i n t s t h a t
an d c o n s e q u e n tly w e re n o t
c l e a r l y enough e x p la in e d , I have r e o r d e r e d w ith s l i g h t v a r i ­
a tio n s , and o c c a s io n a lly ,
t o c l e a r u p som e p o i n t s , I h a v e
u s e d my own t e r m s a n d d e s c r i p t i o n s .
How m uch l a b o r a n d t i m e
t h a t h a s c o s t u s , th e th o u g h tfu l re a d e r w ill c le a r ly p e rc e iv e .
W hen, t h e r e f o r e , I
d e c id e d to w r i t e a b o u t th e f o u r
b r a n c h e s o f m a th e m a tic s , I c h o se to
t r e a t a rith m e tic
s in c e i t
Y ou a b o v e a l l
is
th e b a s is o f th e r e s t .
w o rth y o f t h i s w o rk , e s p e c i a l l y s i n c e I r e a l i z e d
w as d a n g e r o f w a n d e rin g fro m t h e t r u t h .
firs t,
se e m e d
th a t th e re
F o r , th o u g h y o u a r e
96
a l w a y s r e a d y t o p a r d o n a n y o n e , my l o v e o f " b e in g r i g h t c a u s e d
me t o a p p r o a c h y o u t o b e c o n f i d e n t o f my s t a t e m e n t s .
I
th o u g h t f u r t h e r t h a t n o th in g w as w o rth y t o b e d e d i c a t e d t o
so g r e a t a c h a r a c te r , u n le s s
i t w e re a d o rn e d b y a to u c h o f
g e n i u s , p e r f e c t e d b y c a r e f u l r e v i s i o n a n d w o r t h y o f s o m any
h o u rs sp e n t in
its
c o m p o s itio n .
A nd s o I
do n o t d o u b t t h a t
w i t h y o u r u s u a l k i n d n e s s t o m e, y o u w i l l c u t o u t t h e s u p e r ­
flu o u s p a r t s , w ill f i l l
i n th e g a p s and c o r r e c t th e m is ta k e s ;
n o r do I d o u b t t h a t y o u w i l l e n j o y t h i s w o rk b e c a u s e o f y o u r
keen in te l le c t .
T h is i n t r o d u c t i o n h a s gone b ey o n d th e p o i n t .
s ta te m e n t h e r e in t h a t p le a s e s you w i l l be i t s
m e.
I fu lly
own e f f o r t s
re a liz e
own r e w a r d f o r
how m uch m o re r e a d i l y we a p p r e c i a t e o u r
t h a n t h e w o rk o f o t h e r s .
g l a d l y g iv e th e g o ld e n g r a i n
B acchu s,
E v ery
so I d e d ic a te
T h e r e f o r e , a s I w o u ld
to C e re s and th e r i p e v in e s to
t o y o u t h e f u n d a m e n t a l s o f a new w o r k .
May y o u e n h a n c e o u r w o r k w i t h y o u r p a t e r n a l i n t e r e s t .
y o u c o n s e c r a t e my f i r s t
e ffo rts
May
by y o u r m o st le a r n e d a p p ro v a l.
T hen th e a u th o r w i l l b e r e g a r d e d w ith t h e
sam e e s t e e m a s t h e
w o r t h y s c h o l a r who a p p r o v e s h i s w o r k .
CHAPTER I ,
" In tro d u c tio n :
BOOK I
D iv is io n o f M a th e m a tic s "
Among a l l t h e m en o f a n c i e n t r e n o w n , who a f t e r t h e
97
le a d o f P y th a g o ru s c u l t i v a t e d
c le a rly
t h e m in d ’ s p u r e r e a s o n ,
e v i d e n t t h a t s c a r c e l y o n e o f th e m a t t a i n e d
o f p e rfe c tio n
it
is
th e h e ig h t
i n t h e d e p a r t m e n t s o f p h i l o s o p h y , t o whom t h e
n o b i l i t y o f s u c h k n o w le d g e h a d n o t b e e n t r a c e d o u t b y a k i n d
o f f o u r - l a n e r o a d , t h a t w i l l n o t b e h id d e n fro m t h e p e r c e p t i o n
Jot
o f o n e w ho s e a r c h e s r i g h t l y *
w isd o m i s
th e
c o m p r e h e n s io n
o f t h i n g s t h a t e x i s t a n d t h a t p o s s e s s a n im m u ta b le s u b s t a n c e .
Now, we s a y t h a t t h o s e t h i n g s r e a l l y a r e , w h ic h n e i t h e r i n ­
c re a se in
a re
in te n s ity ,
n o r a re d e c re a se d by any le s s e n in g , n o r
changed by any v a r ia tio n s ;
b u t r a t h e r , w h ic h m a i n t a i n
th e m s e lv e s in t h e i r p r o p e r f o r c e ,
s u p p o r t o f t h e i r own n a t u r e *
dependent
f o u n d i n a n y w ay j o i n e d w i t h b o d i e s *
tim e s ,
r e a s o n o f t h e i r im m u ta b le s u b s t a n c e ;
and e x i s t by
y e t th e y a re
changed by
i n a b o d y , an d u p o n c o n ta c t w ith a c h a n g e a b le
th in g th e y p a s s o v e r to a f i c k l e
th e re fo re ,
and w h a te v e r
Now t h e s e t h i n g s
i n d e e d a r e i n c o r p o r e a l b y t h e i r own n a t u r e ,
p a rtic ip a tio n
on th e
T hese th in g s a r e q u a l i t i e s ,
q u a n t i t i e s , fo rm s , m a g n itu d e s , p l a c e s ,
is
(o n ly )
a re tr u ly
in c o n s ta n c y .
T hese th in g s ,
and p r o p e r ly s a id to be s in c e ,
a s w as
s a i d , b y t h e i r n a t u r e t h e y p o s s e s s a n im m u ta b le e s s e n c e a n d
v irtu e .
A nd i t
is
o f th e s e
th in g s , th a t i s ,
t h i n g s w h ic h a r e
p r o p e r l y s a i d t o b e , a n d w h ic h a r e p r o p e r l y c a l l e d e s s e n c e s ,
t h a t w isd o m p r o f e s s e s a k n o w l e d g e .
T h e r e a r e tw o d i v i s i o n s o f e s s e n c e .
tin u o u s and jo in e d
to g e th e r in a l l i t s
One k i n d i s
con­
p a r t s and n o t s e p a r a te d
98
by any d iv is io n s
s to n e ,
(w ith in i t s e l f )
The o t h e r k in d i s
d e te rm in e d by i t s p a r t s ,
one w h o le , a s ,
d is ju n c t in i t s e l f ,
a n d , a s i t w e re,
fo r in s ta n c e ,
a h e a p , and w h a te v e r e l s e
th a t i s
b y t h e i r own p r o p e r l i m i t s
tu d e e x i s t s p e r se a s th r e e
com posed h e a p - l i k e
c o m p o se d o f e l e m e n t s b o u n d e d
and s e p a r a te d fro m one a n o th e r .
Now o n e k i n d o f m u l t i ­
o r fo u r o r fo u rfo ld
w h a t e v e r , w h ic h n e e d n o t h i n g e l s e i n
o rd e r to
o r o n e -th ird ,
o r s e s q u i t e r t iu m , o r w h a te v e r e l s e
cannot i t s e l f
is
A n o th e r
re fe rre d
to
o r s e s q u ia lte ru m ,
o f such a n a tu re
e x is t u n le s s i t be in r e la tio n
One k i n d o f m a g n i t u d e i s
o r a n y num ber
e x is t.
k in d o f m u ltitu d e d o e s n o t e x i s t p e r se b u t i s
s o m e th in g e l s e a s o n e - h a l f ,
to
th a t
som e o t h e r .
c o n s t a n t a n d l a c k s a l l m o v e m e n t;
a n o t h e r k i n d a l w a y s s p i n s i n a r o t a t i n g m o v em en t a n d i s
s till.
its e lf
and
a h e rd , a p e o p le , a g ro u p ,
T h e p r o p e r nam e o f t h e s e i s m u l t i t u d e .
it
a
a n d a l l t h e b o d i e s o f t h i s w o r l d , w h ic h a r e p r o p e r l y
c a l l e d m a g n itu d e s .
in to
a s , f o r e x a m p le , a t r e e ,
never
Of a l l th e s e k in d s o f m u ltitu d e A rith m e tic s c o n c e rn s
e n t i r e l y w ith m u ltitu d e p e r s e .
T he r u l e s o f m u s i c a l
m o d u l a t i o n e x a m in e m u l t i t u d e a d a l i u d .
G e o m e try h o l d s f o r t h
a k n o w le d g e o f im m o v a b le m a g n i t u d e , w h i l e a s t r o n o m y o f f e r s
s k i l l i n d i s c e r n i n g m o v a b le m a g n i t u d e .
Now i f
la c k th e s e fo u r d iv is io n s , he c an n o t f in d a l l
th e
se arc h er
th a t is
tru e ,
and w ith o u t t h i s a s p e c t o f t r u t h no one c an e x e r c is e r i g h t
w is d o m .
l? o r w isd o m i s
a k n o w le d g e a n d c o m p l e t e g r a s p o f
th o s e th in g s t h a t r e a l l y
a re .
B u t I p r o t e s t t h a t h e who
99
sp u rn s th e s e
h e o u g h t*
p a t h s o f w isd o m c a n n o t b e s e e k i n g p h i l o s o p h y a s
F o r s u r e ly p h ilo s o p h y i s
th e
l o v e o f w is d o m , a n d
h e h a s a l r e a d y c o n d e m n e d i t who h a s d e s p i s e d i t s
T h is to o I t h in k I
s h o u ld a d d : t h a t a l l th e f o r c e o f
m u l t i t u d e , p r o g r e s s i n g fro m a s i n g l e te rm
in fin ity ;
b u t m a g n itu d e , s t a r t i n g
b u lk .
je c ts th is in f in ity
n o th in g t h a t i s
so u rc e c e r ta in
fin ite
does
c a p a b le o f i n f i n i t e
and in d e te r m in a te pow er o f n a tu r e ;
fo r
can be e i t h e r c o lla te d by s c ie n c e o r
Y e t r e a s o n i t s e l f h a s ta k e n fro m t h i s
t h i n g s o n w h ic h i t
w ill se a rc h in to
q u a n tity ,
P h ilo s o p h y , t h e r e f o r e , w i l li n g l y r e ­
in fin ite
g r a s p e d b y t h e m in d .
i n c r e a s e s to w a rd
fro m f i n i t e
n o t re c e iv e a lim it in d iv is io n , b u t i s
d iv is io n o f i t s
p a th s *
tru th *
For i t
can e x e rc is e
in d u s try th a t
h a s s e p a r a te d th e te rm o f
q u a n t i t y fro m th e p l u r a l i t y
o f i n f i n i t e m u ltitu d e a n d ,
c a s tin g a s id e an e n d le s s s p l i t t i n g
o f m a g n itu d e , h a s d e f in e d
fo r i t s e l f d e fin ite
s ta n d s p ro v e n th e r e f o r e
d iv is io n s .
It
t h a t w hoever p a s s e s o v e r a l l t h i s h a s l o s t th e e n t i r e
o f p h ilo s o p h y .
T h is th e n i s
le s s o n
t h e f o u r - p a t h e d w ay o n w h ic h
t h o s e m u s t t r a v e l w h o s e k e e n e r m in d c a n b e l e d f r o m t h e
s u b je c t to o u r se n se s to
t h e m o re c e r t a i n
th in g s
th in g s o f i n te llig e n c e .
F o r t h e r e a r e v a r i o u s d e g r e e s and c e r t a i n m e a s u re s o f
p ro g re s s io n s ,
b y w h ic h o n e c a n r i s e
a n d p r o g r e s s so a s to
t h a t e y e o f t h e m in d , w h ic h ( a s P l a t o
says)
i s m o re w o r t h y t o
b e s a v e d a n d p r e s e r v e d t h a n m any b o d i l y e y e s ,
l i g h t o n ly c an t r u t h
e m p lo y
s in c e by i t s
b e i n v e s t i g a t e d a n d e x a m in e d .
T hese
100
b r a n c h e s o f k n o w le d g e w i l l e n l i g h t e n , I
b e r e f t o f b o d ily se n se s*
be th e f i r s t
le a rn e d ,
s a y , t h i s h id d e n eye
Of th e s e d e g re e s , th e n , w hat i s
b u t t h a t o n e w h ic h i s
th e b a s is and in a
w ay h o l d s t h e p l a c e o f a p a r e n t o f t h e o t h e r s *
i s A rith m e tic *
For i t
is
p rio r to
c a u se th e g r e a t F o u n d er o f t h i s
to
Now t h i s o n e
a l l th e o th e r s n o t o n ly b e ­
w o r ld f s m a s s , G od, h a d t h i s
s c ie n c e a s H is f i r s t m o d el o f d e s ig n and d e te rm in e d t h a t a l l
t h i n g s f a s h io n e d b y H is r e a s o n s h o u ld f i n d
o rd e r c o n s titu te d
A rith m e tic .
and,
if
It
o f n u m b ers, b u t a ls o
i s th e
t h e i r h a rm o n y i n a n
fro m t h e v e r y n a t u r e o f
s o r t o f th in g th a t by n a tu re i s
o n c e t a k e n a w a y , a t t h e sam e t i m e a l l t h i n g s a f t e r i t
a r e ta k e n aw ay, b u t i f
changed in
th e
th e se c o n d a ry th in g s c e a s e , n o th in g i s
s t a t u s o f t h e s u b s t a n c e o f t h a t w h ic h i s p r i o r *
T hus " a n im a l" i s p r i o r t o
"m an*"
For i f
y o u t a k e aw ay
" a n i m a l " a t o n c e t h e n a t u r e o f "m an " i s l o s t *
a w a y " m a n ," s t i l l
th o s e
p rio r
" a n im a l" w i l l n o t be l o s t .
I f you ta k e
A nd v i c e v e r s a ,
t h i n g s a r e a l w a y s s e c o n d a r y w h ic h i m p l y s o m e t h i n g e l s e
b e s i d e s t h e m s e l v e s , a n d t h o s e a r e p r i o r w h ic h i n v o l v e n o t h i n g
b u t th e n o tio n o f th e m s e lv e s a s i n th e
F o r,
i f y o u s a y " m a n ," y o u a t t h e
"M an" i s
fo r
is
sam e t i m e b e s p e a k " a n i m a l * "
t h e sam e t h i n g a s " a n i m a l . "
" a n i m a l , " y o u do n o t
" a n im a l" i s
(n e c e s s a rily )
n o t th e
sam e e x a m p le o f "m an * "
B u t i f you m e n tio n
i m p l y t h e hum an s p e c i e s ,
sam e t h i n g a s " m a n ."
s e e n t o o c c u r i n A r i t h m e t i c a n d G e o m e tr y .
T h i s sam e t h i n g
F o r, i f you
t a k e aw ay n u m b e rs , w h e re w i l l y o u f i n d a t r i a n g l e ,
o r a sq u a re ,
10X
o r any g e o m e tric a l f ig u r e ?
A l l su ch f i g u r e s r e c e iv e t h e i r
n a m e s f r o m t h e n u m b e rs u s e d *
H o w e v e r, i f y o u w e r e t o
aw ay t h e s q u a r e a n d t h e t r i a n g l e ,
and i f
ta k e
a l l g e o m e tr y b e c a s t
a s i d e , y e t " t h r e e " a n d " f o u r " a n d t h e n a m e s o f t h e o t h e r num­
b e r s r e m a in u n to u c h e d *
fig u re ,
t h e nam e o f n u m b e r s i s i m m e d i a t e l y i m p l i e d i n w h a t I
s a y , b u t w h en I
ric
fig u re .
b e rs i s
A g a i n , w h e n I s p e a k o f som e g e o m e t r i c
s p e a k , o f n u m b e r s , I h a v e m e n t i o n e d n o g e o m e t­
I n d e e d , how g r e a t l y s u p e r i o r t h e f o r c e
t o m u s ic c a n b e s t b e p r o v e d f r o m t h i s
t h a t n o t o n ly a r e
c o n s id e ra tio n ,
t h o s e t h i n g s p r i o r b y n a t u r e w h ic h a r e
e x i s t e n t r a t h e r t h a n t h o s e w h ic h m u s t b e r e l a t e d
e ls e ,
b u t e v e n m u s ic a l m o d u la tio n i t s e l f
nam es o f n u m b e rs.
A nd t h e
p e n te " and " d ia p a s o n " a r e
is
F or " d ia te s s a ro n " and " d ia -
c a l l e d b y t h e nam es o f t h e a n t e c e ­
M o re o v e r, th e p r o p o r t i o n o f so u n d a g a i n s t so u n d
f o u n d i n d i a p a s o n h a rm o n y i s
p o r tio n o f th e
m o d u la tio n i s
s o m e th in g
i s d e s ig n a te d by th e
fo u n d o n ly i n n u m b ers an d i n n o t h in g e l s e .
th a t is
to
s e lf-
sam e t h i n g c a n h a p p e n h e r e w h ic h
w as j u s t m e n tio n e d o f g e o m e tr y .
d e n t n u m b er.
o f num­
d o u b le d n u m b e r.
so u n d
g a th e r e d fro m th e p r o ­
"What i s
com posed o f a n e p i t r i t a
F o r th e
c a lle d a d ia te s s a ro n
c o lla tio .
W hat i s
c a l l e d a d i a p e n t e c o n s o n a n c e i s m ade u p o f a h e m i o l i a m e d i­
e ta s .
W hat i s
" e p o g d o u s " i n n u m b e r s , t h a t sam e t h i n g i s
" to n e " in m u s ic .
p ro o fj
A nd t o a v o i d t h e t a s k o f n o t i n g e v e r y
t h e e n t i r e b o d y o f t h i s w o rk w i l l sh o w b e y o n d a n y
d o u b t how p r i o r A r i t h m e t i c i s
to
a l l o th e rs .
It
e x c e ls
102
S p h e r i c a l a n d A s t r o n o m i c a l a s m uch a s t h e tw o o t h e r d i v i s i o n s
ex cel th is
th ird .
F o r i n A s tr o n o m y t h e r e a r e
c e n te r, p a r a lle l c ir c le s ,
sp h e re s,
and t h e m id d le a x i s , a n d a l l t h e s e
a r e w i t h i n t h e p r o v i n c e o f G e o m e tr y .
I t is
t h e p r i o r n a t u r e o f G e o m e try f r o m t h i s ,
fo llo w s q u i e t ,
c irc le s ,
p o s s ib le to
show
t h a t e v e r y m ovem ent
an d b y n a t u r e q u i e t i s a lw a y s p r i o r .
A s tro n ­
omy t e a c h e s o f m o v a b le t h i n g s , a n d G e o m e try o f im m o v a b le
th in g s , a s ,
f o r i n s t a n c e , t h e v e r y m o tio n o f t h e
sh o w n f o r t h
in c o n s is te n t m o d u la tio n s .
s ta n d s p ro v e n a ls o
fo rc e
th e
and th e re
s t a r s p re c e d e s th e
i s no d oubt b u t th a t
n a t u r e A r i t h m e t i c e x c e l s M u s ic s i n c e i t
s c i e n c e s m o re a n c i e n t t h a n M u s i c .
is
F or th is re a so n i t
c o u rse o f th e
o f m u s ic i n a n t i q u i t y ,
by i t s
to
th a t
s ta rs
a p p e a rs p r io r
Y e t, p r o p e r ly s p e a k in g ,
e v e ry c o u rse o f th e s t a r s and e v e ry a s tro n o m ic a l p a tte r n i s
c o n s titu te d
la te
by th e n a tu r e o f n u m b ers.
r i s i n g s and s e t t i n g s ;
s p e e d s o f w a n d e rin g s t a r s ;
i n g a n d w a n in g o f t h e m o o n .
A rith m e tic i s
th is
p rio r to
a ll
F o r t h u s d o we c a l c u ­
t h u s d o we w a t c h t h e d e l a y s a n d
t h u s d o we w a t c h t h e m a n i f o l d w ax­
W h e re fo re ,
e ls e ,
s in c e th e fo rc e o f
a s h a s b e e n m ade c l e a r , w i t h
s t a t e m e n t we c o n c l u d e t h e e x o r d i u m .
CHAPTER I I , BOOK I
f,0 n t h e S u b s t a n c e o f N u m b e r"
F ro m t h e v e r y b e g i n n i n g o f n a t u r e a l l c r e a t e d t h i n g s
se e m f o r m e d a f t e r a p a t t e r n o f n u m b e r s , f o r t h i s w a s t h e
p r i n c i p a l e x a m p la r i n t h e m in d o f t h e c r e a t o r *
F ro m t h i s
s o u r c e w as b o rro w e d t h e n um ber o f t h e ‘f o u r e le m e n t s , h e n c e
a ls o
t h e c h a n g e o f s e a s o n s , t h e m o v e m e n ts o f t h e
th e r e v o lu tio n o f th e h e a v e n s.
a ll
th e s e
b e rs,
its
own s u b s t a n c e a n d t h a t i t
R a th e r,
be n o t com posed o f
F o r w h a t t h e n w o u ld j o i n
s ta n c e o f n u m b ers, s in c e i t s
tru th ,
o f num­
n e c e s s a r y t h a t n um ber a lw a y s c o n ti n u e w ith o u t
d iv e r s e e le m e n ts .
th in g s ,?
and
c irc u m s ta n c e s o f
t h in g s a r e d e te rm in e d b y th e r e l a t i o n s h i p
i t is
change in
S in c e th e
s ta rs ,
it
to g e th e r th e
p a tte r n h a s jo in e d
to g e th e r a l l
seem s a c o m p o s ite o f i t s e l f .
n o t h i n g s e e m s t o b e c o m p o se d o f l i k e
sub­
Y e t, in
th in g s ,
or of
t h o s e t h i n g s t h a t a r e n o t c o n n e c t e d b y som e m a n n e r o f p r o p o r ­
t i o n a n d d i f f e r f r o m e a c h o t h e r b y t h e i r w h o le s u b s t a n c e a n d
n a tu re .
It
is
c l e a r t h e n t h a t n u m b ers a r e
th e y a re
n o t c o m p o se d o f l i k e
t h i n g s n o r o f e le m e n ts t h a t
a r e r e l a t e d b y no p a t t e r n o f p r o p o r t i o n .
c ip le s ,
th e re fo re ,
s ta n c e i s
c o m p o s ite s , t h a t
The f i r s t
p rin ­
t h a t c o m p o se n u m b e r s — a s f a r a s t h e i r
concerned— a r e
su b ­
t h o s e w h ic h a l w a y s e x i s t a n d a lw a y s
e n d u re
( f o r n e i t h e r c a n a n y t h i n g b e c o m p o se d o f w h a t d o e s n o t
e x is t)
a n d w h ic h a r e
p o w e r o f c o m p o s in g .
o f:
th e m s e lv e s d i s s i m i l a r an d endow ed w i t h a
T h e s e t h e n a r e v d ia t n u m b e r s a r e c o m p o s e d
e v e n a n d o d d , w h ic h b y som e G o d ^ g iv e n p o w e r , a l t h o u g h
th e y th e m s e lv e s a r e d i s s i m i l a r and c o n tr a r y ,
one so u rc e and a re
p ro p o rtio n .
jo in e d i n to
one s y s te m a tic
s till
flo w fro m
o rd e r and
104
CHAPTER III, BOOK I
"T h e D e f i n i t i o n a n d D i v i s i o n o f N u m b e r; a n d t h e
V a r i o u s D e f i n i t i o n s o f E v e n a n d Odd N u m b e rs ”
E i r s t o f a l l we m u s t d e f i n e w h a t a n u m b e r i s #
ber is
a c o lle c tio n
of u n itie s ,
t i e s m ade u p o f u n i t i e s .
in to
o r a g a in , a g ro u p o f q u a n ti­
T he f i r s t
e v en an d odd n u m b ers.
A num­
d i v i s i o n o f num ber i s
An e v e n n u m b e r i s t h a t n u m b e r
w h ic h c a n b e d i v i d e d i n t o tw o e q u a l p a r t s w i t h o u t a r e m a i n d e r
o f one b e in g l e f t o v e r.
can d iv id e in to
An o d d n u m b e r i s
t h a t w h ic h n o o n e
tw o e q u a l p a r t s w i t h o u t t h e u n i t y
tio n e d b e in g l e f t
o v e r.
j u s t m en­
T h e s e d e f i n i t i o n s a r e common a n d
w e l l know n.
A c c o rd in g t o
th e P y th a g o re a n s c h o o l,
even and odd
n u m b e r s a r e d e f i n e d a s f o l l o w s : An e v e n n u m b e r i s o n e w h ic h
by a s in g le
d iv is io n can be d iv id e d in to
s m a lle s t, th e
g r e a t e s t in sp a c e and th e
th e g r e a t e s t and
s m a lle s t in
q u a n tity
a c c o rd in g to . th e
d i v e r s e p r o p e r t i e s o f t h e s e tw o g e n e r a ; a n d
a n o d d num ber i s
t h a t t o w h ic h t h i s
n a tu ra l d iv is io n
fa lls
c a n n o t h a p p e n b u t w hose
i n t o tw o u n e q u a l s u m s .
.L e t t h i s be
a n e x a m p le , t h a t a n y g i v e n e v e n n u m b e r b e d i v i d e d :
b e fo u n d no p o r t i o n g r e a t e r a s r e g a r d s t h e
v is io n th a n
th e h a l f ,
and a t th e
th e re w ill
sp ace o f th e d i­
sam e t i m e t h e r e w i l l b e n o
l e s s o r d i v i s i o n a s r e g a r d s q u a n t i t y t h a n o n e m ade i n t o
equal p a rts .
E or in s ta n c e ,
if
t h e e v e n n u m b e r ”8 ” i s
tw o
d iv id e d
105
in to
” 4 ” a n d " 4 ” t h e r e w i l l b e n o d i v i s i o n t h a t c a n m ake
g re a te r p o rtio n s .
o th e r d iv is io n
q u a n tity .
tw o p a r t s .
o f th e
is
B ut a t th e
sam e t i m e t h e r e w i l l b e n o
t h a t can d iv id e th e e n t i r e num ber w ith l e s s
F o r no d i v i s i o n
is
le s s
th a n th e
1/5/hen o n e d i v i d e s t h e w h o le i n t o
space i s
in c re a s e d .
in d e e d le s s e n e d *
d iv is io n
in to
th ir d s th e
sum
b u t th e num ber o f d i v i s i o n s
A nd w h a t w a s s a i d a b o v e *
" a c c o rd in g to
d i v e r s e p r o p e r t i e s o f t h e s e tw o g e n e r a , " i s
th e
in t h i s w is e .
We h a v e t a u g h t a l r e a d y t h a t q u a n t i t y i n c r e a s e s e v e n t o
fin ite
p l u r a l i t i e s , b u t s p a c e s o r m a g n itu d e s a r e
e v en t h e m o st i n f i n i t e
s u lt is
le s s e n e d to
s m a lln e s s e s , b u t h e re a c o n tr a r y r e ­
o b ta in e d f o r t h i s d i v i s i o n o f a n e v en num ber i s
g re a te s t in
sp ace and s m a lle s t in
T h ere i s
in g to
in ­
q u a n tity .
a n o th e r d e f i n i t i o n o f an e v en num ber a c c o rd ­
a m o re a n c i e n t m e t h o d .
w h ic h r e c e i v e s d i v i s i o n
u n eq u al p o rtio n s , b u t in
in to
An e v e n n u m b e r i s
t h a t num ber
tw o e q u a l p o r t i o n s a n d i n t o
tw o
s u c h a w ay t h a t i n n e i t h e r d i v i s i o n
is
e v e n m ix e d w i t h o d d o r o d d w i t h e v e n .
is
t h e p r i m a r y e v e n n u m b e r "2 * ," w h ic h d o e s n o t r e c e i v e a n u n ­
eq u al d iv is io n
tw o a l o n e .
s in c e
it
is
c o m p o s e d o f tw o u n i t i e s a n d t h e s e
Now w h a t I am s a y i n g i s
b e p o s i t e d a n e v e n n u m b er, i t
p o r tio n s , a s te n i s
The s o l e e x c e p tio n
in t h i s w is e .
can be d iv id e d
d iv d e d i n t o
fiv e s .
in to
If
th e re
tw o e q u a l
T he sam e t e n
can
a l s o b e d i v i d e d i n t o u n e q u a l s , n a m e ly t h r e e a n d s e v e n .
it
w i l l b e f o u n d t h a t , w h en o n e p a r t o f a d i v i s i o n
is
B ut
even,
th e c o rre s p o n d in g p a r t o f t h a t d iv is io n w i l l a ls o
and, i f
one p a r t o f a d i v i s i o n
d iv is io n d o e s n o t f a i l to
e x a m p le , i n t h e
fiv e s ,
or in to
a re odd.
i s odd, th e o th e r p a r t o f th a t
a g re e w ith i t s
sam e n u m b e r , t e n .
it
F o r w hen i t
as, f o r in s ta n c e ,
fo rm e r d iv is io n
e ig h t in to
fiv e
N e ith e r can i t
fo u r and f o u r , and
and t h r e e ,
o th e r i s
o r w h en o n e p a r t o f t h e d i v i s i o n i s
fo u n d t o b e e v e n .
in any d iv is io n i s
Now a n o d d n u m b e r i s
a lw a y s d i v i d e d i n t o
w ith o u t th e o th e r ,
t h a t n u m b e r w h ic h
u n e q u a ls so t h a t i t
b u t a lw a y s o n e p o r t i o n
od d n ess.
th r e e and f o u r ,
A nd t h i s
For in s ta n c e ,
th e one p o r tio n
sam e i s f o u n d i n
is
fo u n d to be
odd th a t th e o th e r
a lw a y s sh o w s b o t h s p e c i e s o f n u m b e r , n e i t h e r i s
and th e o th e r to
in th e
e v e r h a p p e n t h a t w hen
one p a r t o f th e d iv is io n i s e v e n , th e
in to
d iv id e d i n to
i n d e e d b o t h p a r t s com e o u t e v e n , a n d i n t h e
l a t t e r b o th a r e odd*
is
is
fo r
o r a n o th e r e v e n num ber be d iv id e d i n t o
a g a in in to u n e q u a ls , a s e ig h t in to
odd;
odd n ess, a s ,
se v e n an d t h r e e , b o th p a r t s i n e i t h e r p o r tio n
B ut i f
equal p a rts ,
be even,
is
if
one k in d e v e r
g iv e n to
ev en n ess
you d iv id e sev en
odd an d th e o th e r e v e n .
a l l o d d n u m b e rs * N e i t h e r c a n t h e r e
e v e r b e i n t h e d i v i s i o n o f a n o d d n u m b e r o t h e r t h a n t h e s e tw o
s p e c i e s w h ic h n a t u r a l l y
c o m p o se t h e v i r t u e
an d s u b s ta n c e o f
a l l n u m b e rs.
B u t i f we w o u ld d e f i n e t h e s e s p e c i e s b y e a c h o t h e r ,
o d d n u m b e r w o u ld b e
an
s a i d t o b e t h a t n u m b e r w h ic h d i f f e r s f r o m
a n e v e n num ber ( e i t h e r b y e x c e s s o r d e f e c t ) b y u n i t y .
A g a in ,
107
a n e v e n num ber i s
b e r by u n ity ,
t h a t n u m b e r w h i c h d i f f e r s f r o m a n o d d num­
e ith e r in
ex cess o r d e fe c t.
o n e fro m a n e v e n n u m b e r, o r a d d o n e t o
or if
it,
F o r i f you ta k e
it
i s m ade o d d ;
y o u d o t h e sam e w i t h a n o d d n u m b e r a n e v e n n u m b e r
a lw a y s r e s u l t s .
CHAPTER X n i X , BOOK I
"O n t h e F i n d i n g o f T h o s e N u m b e rs , T h e m s e lv e s S e c o n d a r y
a n d C om pound , w h ic h a r e P r i m e a n d S im p le i n R e l a t i o n
to B ach O th e r"
I n d e e d , i n t h e f o l l o w i n g w ay we c a n d i s c o v e r s u c h num­
b e rs.
If
a n y o n e s h o u ld g i v e u s n u m b ers an d a s k u s t o
w h e t h e r t h e n u m b e r 1 a l o n e , o r som e o t h e r n u m b e r , i s
common f a c t o r ,
t h e w ay t o f i n d
fro m t h e l a r g e r #
When
s m a lle r m u st be
A g a in t h e s m a l l e r m u st b e su b ­
tra c te d
fro m w h a t i s
B u t,
t h i s r e m a in d e r b e a s m a ll e r n u m b er, i t m u st be su b ­
if
tra c te d
le ft,
th e ir
i t w o u ld b e a s f o l l o w s .
tw o d i f f e r e n t n u m b e r s h a v e b e e n g i v e n , t h e
s u b tra c te d
fin d
if
t h a t s t i l l b e t h e l a r g e r n u m b er.
f r o m t h e o t h e r (n o w ) l a r g e r n u m b e r .
m u st b e fo llo w e d u n t i l th e s e a l t e r n a t e
1 , o r in
som e o t h e r n u m b e r , i n
case th e
u n lik e .
B ut you w ill p e rc e iv e
th a t
is
e q u a l to
its e lf.
tio n s r e s u lt in 1,
T h e re fo re , i f
A nd t h i s m e th o d
s u b tra c tio n s r e s u l t in
g iv e n n u m b ers w e re
th e num ber t h a t i s
th e s e s u c c e s s iv e
t h e g iv e n n u m b ers n e c e s s a r i l y a r e
le ft
s u b tra c ­
s a id to
108
h a v e no o t h e r f a c t o r i n common t h a n 1 .
s iv e
s u b tra c tio n s r e s u lt in
tio n e d
above,
B ut i f
th e s e
su cces­
som e o t h e r n u m b e r , a s w a s m en­
t h a t n u m b e r w i l l b e t h e common f a c t o r b e tw e e n
t h e tw o g i v e n n u m b e r s .
S u p p o s e now t h a t we h a v e tw o n u m b e r s
g i v e n t o d i s c o v e r w h e t h e r t h e y h a v e a common f a c t o r .
L et
th e m b e r e s p e c t i v e l y 9 a n d 8 9 , a n d we s h a l l m ake t h e a l t e r ­
n a te
s u b tra c tio n s
fro m th e
la rg e r,
t h i s 20, th e n ,
in t h i s w is e .
th a t i s
9 fro m 2 9 ;
l e t u s a g a in
is
9 ; a n d 11 w i l l b e l e f t .
9;
2 is
B ut i f
le ft.
I
A nd i f
I
L e t u s s u b tr a c t th e s m a lle r
20 w i l l b e l e f t .
F ro m
s u b t r a c t t h e s m a l l e r n u m b er, t h a t
F ro m t h i s n u m b e r I a g a i n s u b t r a c t
s u b t r a c t t h i s 2 f r o m .9 ,
s u b t r a c t 2 fro m 7 , 5 re m a in s ;
7 is
an d fro m t h i s
2 , 3 r e m a i n s ; w h ic h d i m i n i s h e d b y a n o t h e r 2 l e a v e s 1 .
le ft*
5 a n o th e r
T h e re ­
upon re v e rs in g th e
s u b t r a c t i o n s a n d t a k i n g 1 fro m 2 , o n ly 1
re m a in s ; a n d i t
e v id e n t t h a t 1 i s
is
t h e o n l y common f a c t o r
o f t h e tw o g i v e n n u m b e r s , 9 a n d 2 9 , a n d t h a t t h e r e c a n b e n o
o th e r.
We t h e r e f o r e
s a y t h a t 9 a n d 29 a r e p r i m e i n r e l a t i o n
to each o th e r.
B u t l e t o t h e r n u m b ers b e g iv e n u s u n d e r t h e
sam e c o n d i t i o n ,
th a t i s ,
9 a n d 2 1 , a n d l e t th e m b e s t u d i e d
a s t o w h a t s o r t t h e y a r e w hen c o m p a re d t o
I
s u b tr a c t th e q u a tity o f th e
th a t
is ,
re m a in s .
If
anyone a ls o
A g a in
s m a lle r num ber fro m t h e l a r g e r ,
9 fro m 2 1 , a n d 12 w i l l b e l e f t *
a g a in s u b t r a c t 9 ; 3 re m a in s .
each o th e r.
F ro m t h i s 1 2 I
I f t h i s 3 be ta k e n fro m 9 , 6
s u b t r a c t s 3 fro m t h i s
6 , 3 re m a in s ;
f r o m w h ic h 3 c a n n o t b e s u b t r a c t e d , a n d t h i s n u m b e r i s
equal
109
C D
e
IN V E N T IO N ! EO R V M N V M E R O R V M , V I
ad fe fecundi SC compofiti fu n t: ad alios vero relati 5prinii Sc
incompofiti.
C AP *X1111 ♦
Va vero ratione tales numeros inuenire pofllmus: fi quis #
nobis eofdem proponat,& imperet agnofcere vtru aliqua
menfura commenlurabiles fint, an certefoia vnitas vtrofqj
metiatur:reperiedi ars talis efhDatis enim duobus nume;
ris inaequalibus: auferre de maiore minorem oportebit.SC
qui relicftus fuerit, fi maior efl: auferre ex eo rurfus mino*
rerrufi vero minor fuerir.eum ex reliquo maiore detrahere. Atq* hoc eo vfq*
faciendum:quoad vnitas vltima,vicem retra<Sionis impediat:aut aliquis nu
merus impar neceflario,fi vtriq* numeri impares proponantur.Sed eum qui
relinquitur numerum: fibi jpfi videbis aequalem ♦Ergo fi in vnum incurrat
viciftim ifta fubtra<2 io: primi contra fe neceiiario numeri dicentur, SC nulla
alia menfura nifi fola vnitate coniu<5h'.Si vero ad aliquem numerum (vt fu*
perius didum eft) finis diminutionis incurreritierit idem numerus qui me*
tiatur vtrafq? fummas.atqj eundem ipfumqui remanferit:dicemus vtroruq*
communem efle mefuram. Age enim duos numeros propofitos habeamus:
quos iubeamur agnofcere,an eos aliqua menfura communis metiatur.Atcg
hi fint:9fcilicet 8C z$* hoc igitur faciemus modo reciprocam diminutionem*
Auferamus de maiore minorem,hoc eft de x9,nouenarium: relinquetur zo*
Ex his ergo io,rurfus minorem detrahamus,id eft 9:SC relinquentur 11.♦E x
his rurfus detraho 9:relidi funt i.Q uos fi detraho nouenario:relidi funt 7♦
Quod fi duo rurfus feptenario depferimtfuperfunt 7. atq* ex his alios duos:
tres rurfum exuberant♦ quos alio binario diminutos: fola vnitas fuperftes
egreditur. Rurfus fi ex duobus vnum auferam: in vno terminus detra&io*
nis ha?rebit* quern duorum illorum numerorum, id eft 9 8 C 1 9 : folum neqj
alium coftat efie menfuram* H os ergo contra fe primos vocabimus.Sed fint
alij numeri nobis eadem conditione propofiti,id eft z i SC 9:vtqualeshi fint
inueftigentur cum fibimet fuerint inuicem comparati. rurfus aufero de ma*
lore minoris numeri quantitatem,id eft 9de ti:relinquentur n .E x his rur*
fus demo 9tfuperfunt j*Qui fi ex nouenario retrahantur: fenarins relinque*
tur.Quibus item fi quis ternarium demat,3relinquentunde quibus tres de*
trahi nequeunt. atqj hie eft fibiipfi aequalis* nam 5 qui detrahebantur, vicp
ad ternarium numerum peruenerunt*a quorquoniam aequales funt,detrah£
tninuiq* non poterunt.Hos igitur commenfurabiles pronunciabimus:& eft
eorum qui eft reliquus ternarius menfura communis.
( P h o t o s t a t o f C h a p t e r X X I I I , B ook I ,
o f th e A rith m e tio a )
110
to
its e lf♦
in 3,
F o r t h e 5 w h ic h w as s u b t r a c t e d
f r o m w h ic h 3 c a n n o t b e s u b t r a c t e d
(fin a lly )
s in c e
re s u lte d
th e y a re e q u a l.
We s h a l l t h e n p r o n o u n c e t h e g i v e n n u m b e r s c o m m e n s u ra b le a n d .
t h e 5 w h ic h w a s l e f t
t h e i r common m e a s u r e #
SUMMARY
T h is c h a p t e r c o n t a i n s a t r a n s l a t i o n o f t h e P r e f a c e
t h e A r ith m e tio a a n d o f o t h e r c h a p t e r s i n t h e w o rk .
o r i g in a l L a tin th e P re fa c e
w o u ld h a v e b r o u g h t j o y t o
s ty l e o f th e L a tin
s im p le a n d d i r e c t#
In
to
th e
i s a l i t e r a r y m a s te rp ie c e t h a t
th e h e a r t o f C ic e r o , w h ile th e
in th e c h a p te rs o f th e A rith m e tic s i s
It
is hoped th a t th e tr a n s la ti o n
conveys
t o t h e r e a d e r som e g r o u n d s f o r a n e v a l u a t i o n o f t h e o r i g i n a l .
The t h i r d
and t h i s
c h a p te r o u tlin e d th e sco p e o f th e A rith m e tio a .
f o u r t h c h a p t e r h a s p r e s e n t e d som e s e c t i o n s o f t h e
w o rk i n d e t a i l .
T he f o l l o w i n g c h a p t e r ,
t h e n , w i l l s u m m a r iz e
t h e fe w i t e m s c o n t a i n e d i n t h e A r i t h m e t i o a t h a t a r e
c u r r e n t i n m a th e m a tic a l te x tb o o k s .
s till
CHAPTER V
A COMPARISON OF THE CONTENT OF THE ARITHMETIOA
WITH THE CONTENT OF RECENT MATHEMATICAL WORKS
T he c o n t e n t o f t h e A r i t h m e t i o a a p p e a r s s c a n t y ,
in d e e d ,
w h e n a c o m p a r i s o n i s m ade w i t h r e c e n t m a t h e m a t i c a l w o r k s i n
th e
sam e f i e l d *
H o w ev e r,
t h e r e a d e r m u s t re m e m b e r t h a t t h e
a u t h o r o f t h e A r i t h m e t i o a w a s t o t a l l y u n a w a r e o f m any m a t h e ­
m a t i c a l t r u t h s : h e h a d n o k n o w le d g e o f n e g a t i v e n u m b e r s , h e
d i d n o t o o n s id e r z e r o a n u m b er, t h e d e c im a l p o i n t a n d d e c im a l
n o t a t i o n t o g e t h e r w i t h l o g a r i t h m s a n d a l l t h e k n o w le d g e b a s e d
o n th e m w e re l i k e w i s e u n k n o w n t o him *
W hat we now c a l l a n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n , B o e t h i u s
tre a ts
th re e
th e
i n C h a p t e r X3QCLI o f B o o k I I .
He t e l l s
us th a t,
if
any
s u c c e s s iv e te rm s o f a n a r i t h m e t i c p r o g r e s s io n b e c h o se n ,
sum o f t h e f i r s t a n d t h i r d
te rm .
te rm s w i l l b e tw ic e t h e
He a l s o t e l l s u s t h a t t h e s q u a r e o f t h e m i d d l e t e r m o f
any th re e
s u c c e s s iv e te rm s w i l l e x c e e d th e p ro d u c t o f th e
f i r s t an d t h i r d te rm s , b y th e
sq u a re o f th e d iffe re n c e
i n g b e tw e e n t h e t e r m s o f t h a t s e r i e s .
f o rm u la s n o r d o e s h e i n d i c a t e
th e l a s t
la c k i s
second
e x is t­
He d o e s n o t g i v e a n y
a n y s h o r t m e th o d f o r f i n d i n g
t e r m i n t h e s e r i e s o r t h e sum o f t h e
e v id e n tly due to B o e th iu s f f a i l u r e
s e rie s .
T h is
t o m ak e u s e o f
th e e q u a tio n .
I n C h a p te r X O X II o f B ook I I
th e re i s
a b r i e f tre a tm e n t
112
o f g e o m e tric p r o g r e s s i o n s .
re a d e r i s
No f o r m u l a s a r e p r e s e n t e d a n d t h e
s im p ly in fo rm e d t h a t , i f
a g e o m e tric p r o g r e s s io n h e c h o s e n ,
te rm s w i l l e q u a l th e p r o d u c t o f t h e
If
f o u r te rm s h e c h o se n ,
th re e
th e
s u c c e s s iv e te rm s o f
sq u are o f
firs t
t h e m id d le
and t h ir d
th e p ro d u c t o f th e
te rm s .
se c o n d and t h i r d
te rm s w i l l e q u a l th e p ro d u c t o f th e f i r s t and f o u r t h te r m s .
B o e th iu s t r e a t s
XXXVI, B o o k I I ,
o f h a rm o n ic p r o g r e s s i o n s i n C h a p te r
h u t t h e y a r e n o t th e h a rm o n ic p r o g r e s s i o n s
i n u s e t o d a y , n a m e ly t h e r e c i p r o c a l s o f t h e n u m b e r s i n a n
a rith m e tic p ro g re s s io n .
s is ts
B o e th iu s *
o f t h r e e te rm s s o c h o se n t h a t
th e t h i r d
te rm th e
sam e r a t i o
th a t
h a rm o n ic p r o g r e s s i o n c o n ­
th e
f i r s t te rm h e a r s t o
t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n
th e
f i r s t a n d s e c o n d t e r m s h e a r s to t h e d i f f e r e n c e b e tw e e n
th e
second and th ir d
te rm s .
An e x a m p le i s
1 0 :1 6 :4 0 .
D i r e c t i o n s f o r f i n d i n g o n e p r o p o r t i o n a l m ean b e tw e e n
tw o n u m b e r s t h a t a r e p e r f e c t s q u a r e s a r e g i v e n i n C h a p t e r
XXXV o f B o o k I I .
fin d in g
T h e sam e c h a p t e r f u r n i s h e s t h e m e th o d f o r
tw o p r o p o r t i o n a l m e a n s b e tw e e n tw o n u m b e r s t h a t a r e
p e rfe c t cu b es.
I n C h a p t e r X E I I I o f B ook I ,
B o e t h i u s p r o p o s e s a m e th o d
f o r d e t e r m i n i n g w h e t h e r o r n o t a n y tw o g i v e n n u m b e r s h a v e a
common f a c t o r .
T h is m e th o d , s u b s t a n t i a l l y a s g iv e n b y
B o e th iu s , w as i n u s e i n th e
s c h o o l s o f L o s A n g e l e s a fe w
y e a rs ago.
W hen t h e s e
fe w i t e m s f r o m t h e A r i t h m e t i c a a r e p u t
113
to g e th e r i t
i s re a d ily
i n a few p a g e s o f t h e
s e rie s ,
s e e n t h a t t h e sam e m a t e r i a l i s
c h a p te r s on r a t i o ,
and
in an y h ig h sc h o o l a lg e b r a te x tb o o k .
In
c o m m e n tin g o n t h e c o n t e n t o f t h e A r i t h m e t i c s , i t
n e c e ssa ry
F or in s ta n c e , to fin d
s q u a re o f th e num ber 1 2 , B o e th iu s t e l l s
th e re a d e r to
th e
fin d
sum o f t h e f i r s t t w e l v e o d d n u m b e r s , 1 , 3 , 5 , e t c *
It
w as e v i d e n t l y e a s i e r t o p e rfo rm
th e a d d itio n s in d ic a te d
i t w as t o m u l t i p l y X I I b y X I I .
T he c u b e s o f n u m b ers w e re
lik e w is e
is
t o m ake m e n t i o n o f t h e l i m i t a t i o n s im p o s e d b y t h e
s y s t e m o f Rom an n u m e r a l s u s e d *
th e
p ro p o rtio n ,
tre a te d
th a n
t o b e d i s c o v e r e d i n a so m e w h a t s i m i l a r f a s h i o n b y
a d d in g c e r t a i n
o d d n u m b e rs *
A ra b ic n o t a t i o n an d t h e d e c im a l
s y s t e m h a v e f r e e d t h e m o d e rn s t u d e n t f r o m m uch o f t h i s m a t h e ­
m a t i c a l d r u d g e r y a n d h a v e d e s t r o y e d t h e u s e f u l n e s s o f m any
t h i n g s t h a t B o e th iu s fo u n d n e c e s s a r y i n h i s tim e .
F o r t h e s tu d e n t o f th e h i s t o r y
in te re s tin g
c u rre n t in
o f e d u c a tio n , th e r e a l l y
ite m s in th e A r ith m e tic s a r e n o t th e ite m s s t i l l
o u r t e x t b o o k s , b u t r a t h e r t h e m an y s t a t e m e n t s sh o w ­
i n g o d d r e l a t i o n s h i p s o f n u m b e rs *
E v e ry tin y
c l u e t h a t p ro m ­
i s e d t o r e v e a l som e f u r t h e r m a t h e m a t i c a l t r u t h w as f o l l o w e d
to
its
lim it.
F in a lly
t h e r e w as a s s e m b le d a b o d y o f t r u t h s
t h a t e x h a u s te d th e p o s s i b i l i t i e s o f a s y s te m h a m p e re d b y
Rom an n o t a t i o n a n d l i m i t e d
S u m m ary *
to p o s i t i v e
T h is c h a p te r l i s t s
in te g e rs *
th e fe w ite m s o f m a th e m a tic a l
114
lo re
s till
c u rre n t in
o u r te x tb o o k s .
A r ith m e tic , g e o m e tric ,
a n d t h e o l d - t y p e h a rm o n ic p r o g r e s s i o n s a r e t r e a t e d b r i e f l y
and th e re i s
a m e th o d o f f e r e d
o f tw o n u m b e r s , a n d a l s o
f o r f i n d i n g a common f a c t o r
a p la n f o r i n s e r tin g
p ro p o rtio n a l
m e a n s b e tw e e n tw o s q u a r e s o r tw o c u b e s .
The f o l l o w i n g c h a p t e r o f f e r s som e i n f o r m a t i o n o n t h e
A r ith m e tic s c o n s id e re d a s a te x tb o o k to be s tu d ie d b e fo re th e
s tu d e n t e n te r e d th e h a l l s o f p h ilo s o p h y .
T he a r i t h m e t i c
of
t r a d e a n d c o m m e rc e e n j o y e d n o s u c h f a v o r s , b u t t h e t h e o r e t i c a l
a r i t h m e t i c o f B o e th iu s w as i n o ld e n tim e s i n
t h i s p u rp o se .
g r e a t dem an d f o r
CHAPTER V I
ON THE ARITBMETICA CONSIDERED AS A TEXTBOOK TO BE USED
BY STUDENTS PREPARING FOR A COURSE IN PHILOSOPHY
B o e th iu s t e l l s
A rith m e tic a , th a t a l l
u s, in
th e I n tr o d u c tio n to
th e ren o w n ed p h ilo s o p h e r s o f a n t i q u i t y
h ad h a d th e a d v a n ta g e o f a f o u r f o ld p r e p a r a t i o n :
o f a rith m e tic ,
th e
g e o m e try , a s tr o n o m y , a n d m u s ic .
v e r y w o rd u s e d b y B o e t h i u s ,
th e s tu d y
In f a c t,
th e
" q u a d r i v i u m , " b e c a m e t h e nam e
u s e d by g e n e r a t i o n s a f t e r B o e th iu s w hen t h e r e w as m e n tio n
m ad e o f t h e f o u r s c i e n c e s .
It
i s w e l l t o re m in d t h e r e a d e r a t t h i s p o i n t t h a t t h e
a r i t h m e t i c m e n tio n e d a s one o f t h e p a r t s o f th e
w as t h e o r e t i c a l a r i t h m e t i c r a t h e r
q u a d riv iu m
th a n th e a r i t h m e t i c o f
c o m m e rc e .
T h e s t u d e n t o f t h e A r i t h m e t i c a h a s p l a c e d b e f o r e h im
in th e In tro d u c tio n s e v e ra l id e a s
o f th e boo k.
He i s
to ld
th a t in d ic a te
t h a t " w isd o m i s t h e
th e p u rp o se
c o m p r e h e n s io n
o f t h i n g s t h a t e x i s t a n d t h a t p o s s e s s a n im m u ta b le s u b s t a n c e . "
He i s i n t r o d u c e d t o
a c c id e n ts ," and i s
th e d is t in c t io n
to ld
th a t i t
b e tw e e n " s u b s t a n c e " a n d
is
o f " s u b s ta n c e " o r " e s s e n c e "
t h a t w isd o m p r o f e s s e s a k n o w l e d g e .
T he d i v i s i o n s o f " e s s e n c e "
a re th e n p re s e n te d and r e f e r r e d
q u a d riv iu m .
o f th e
F in a lly ,
a rith m e tic
to
is
th e fo u r s c ie n c e s o f th e
sh o w n t o b e t h e f o u n d a t i o n
th r e e o th e r s c ie n c e s , a n d , t h e r e f o r e , a r ith m e tic m ust
116
b© t h e f i r s t o n e s t u d i e d .
A f te r th e I n tr o d u c tio n
on th e
s u b s ta n c e o f n u m b er.
t o m o d e rn r e a d e r s , b u t i t
o f w h a t w as t o
th e r e fo llo w s a s h o r t c h a p te r
The a rg u m e n t seem s i n c o n c lu s iv e
gave th e a n c ie n t s tu d e n t an in k lin g
fo llo w i n h i s s tu d y o f a r i t h m e t ic .
E ven th o u g h t h e r e i s
n o t a g re a t d e a l o f p h ilo s o p h ic a l
m a t e r i a l p r e s e n t e d i n t h e A r i t h m e t i c a , t h e b o o k w as o f v a l u e
to p ro s p e c tiv e p h ilo s o p h ic a l s tu d e n ts b e c a u se o f i t s
m ent and i t s
d e v e lo p m e n t.
w r i t e s o f s u b s ta n c e i n
In
th e I n tr o d u c tio n
th e a u th o r
g e n e r a l , t h e n com es a c h a p t e r o n t h e
s u b s ta n e e o f n u m b er, f o llo w e d b y a n o th e r o n u n i t y .
a re
firs t
a rra n g e ­
tr e a te d a s s in g le
e n titie s ,
N u m b e rs
and a fte rw a rd s th e r e ­
l a t i o n s h i p s e x i s t i n g b e t w e e n n u m b e rs o f d i f f e r e n t k i n d s a s
o b se rv e d in th e
s e v e r a l r a t i o s and p ro g re s s io n s a re d e s c rib e d
in g re a t d e ta il.
E a c h new w o rd i s
b ro u g h t fo rw a rd to
d e f i n e d a n d e x a m p le s a r e
c la r if y p o s s ib le d i f f i c u l t i e s .
T h e m o d e rn s t u d e n t o f p h i l o s o p h y , a t f i r s t
a p p e a rs to
th a n d id
h a v e a m uch b e t t e r p r e p a r a t i o n f o r h i s
th e a n c ie n t s tu d e n t w ith h i s q u a d riv iu m .
th e q u a d riv iu m d id h e lp th e s tu d e n t t o a c q u ir e
v e lo p a t t i t u d e s
t h a t w e re u s e f u l i n d i a l e c t i c s ,
g la n c e ,
s tu d ie s
H o w e v e r,
s k ills
and de­
i n w h ic h h e
w a s o b l i g e d t o m ake a s y s t e m a t i c a n a l y s i s o f c o n c e p t i o n s i n
o rd e r to
d e v e l o p w h a t w a s i m p l i e d i n th e m .
A g a in , i t
is
not
q u i t e f a i r t o m ake c o m p a r i s o n s w i t h m a t h e m a t i c s c o u r s e s o f
t h e p r e s e n t d a y , e v e n th o u g h su c h c o u r s e s a r e c o n s id e r e d
117
s o l e l y a s p r e p a r a tio n f o r th e s tu d y o f p h ilo s o p h y .
H ig h
s c h o o l c o u r s e s i n m a th e m a tic s a r e e l i m i n a t e d a t o n c e b e c a u s e
t h e A r i t h m e ti c a w as d e s ig n e d f o r m a tu re s t u d e n t s a s a p r e p a *1
r a t i o n f o r p h ilo s o p h y
a n d th e m a tu re s t u d e n t s o f o u r d a y a r e
i n th e u p p e r d iv is io n s o f o u r c o lle g e s and th e g ra d u a te
s c h o o ls o f th e u n i v e r s i t i e s .
to
docum ent t h i s
s ta te m e n t,
E v en w ith o u t r e s e a r c h e v id e n c e
it
m o d e rn m a t u r e s t u d e n t s who a r e
is
s a fe to
a s s e r t th a t our
d o i n g w o rk i n m a t h e m a t i c s a r e
i n t h e s c h o o ls o f s c ie n c e and e n g in e e r i n g r a t h e r th a n i n th e
sc h o o l o f p h ilo s o p h y .
T he m o d e r n s t u d e n t o f p h i l o s o p h y e n t e r s u p o n h i s
c o u r s e a f t e r no s e t fo rm o f p r e p a r a t i o n .
The e l e c t i v e
s y s te m
i n s e c o n d a ry s c h o o ls f u r n is h e s o p p o r tu n itie s f o r a l l m anner
o f c o m b in a tio n s o f la n g u a g e , h i s t o r y ,
s c ie n c e ,
a n d m a th e ­
m a tic s , b e s id e s th e v a rio u s v o c a tio n a l s u b je c ts .
th e s e
Y /h e th e r
s u b je c ts a re a l l e q u a lly v a lu a b le a s p r e p a r a tio n f o r
t h e s tu d y o f p h ilo s o p h y re m a in s a s a p ro b le m t o b e s o lv e d b y
som e s t u d e n t i n . r e s e a r c h .
w i l l be fo u n d th a t th e
A nd i t
i s q u ite
s t u d e n t w ho h a s s t u d i e d
w e l l w i l l h a v e t h e a d v a n t a g e w h en h e i s
tio n s
p o s s ib le th a t i t
c o n c e rn in g s u b s ta n c e an d a c c id e n t,
a few s u b j e c t s
c o n fro n te d w ith q u e s­
tim e a n d s p a c e ,
a p p e a ra n c e and r e a l i t y .
1 N ic h o m a c h u s o f G e r a s a , I n t r o d u c t i o n t o A r i t h m e t i c .
p.
4.
118
T h e A r i t h m e t i c a s h o u l d n o t b e c o m p a re d w i t h t h e v a r i ­
o u s i n t r o d u c t i o n s t o p h i l o s o p h y now f o u n d o n t h e
s h e lv e s o f
our lib r a r ie s .
A ran d o m s a m p lin g o f s u c h w o rk s sho w s t h a t
th e y r e a l l y
firs t
a re
c o u r s e s i n p h i l o s o p h y , w h ic h t h e
A rith m e tic a d id n o t p re te n d to b e .
T he p r e s t i g e
o f a book d ep en d s n o t o n ly on i t s
con­
t e n t , b u t a l s o o n t h e r e p u t a t i o n a n d re n o w n o f t h e a u t h o r .
T he c o n t e n t o f t h e A r i t h m e t i c a h a s b e e n t r e a t e d a t l e n g t h ,
a n d som e a c c o u n t h a s b e e n g i v e n o f i t s
M a th e m a tic s .
Now, h o w e v e r , s i n c e
it
u se a s a te x tb o o k in
is
under d is c u s s io n as
a te x tb o o k t h a t w as u s e d b y s tu d e n ts p r e p a r in g th e m s e lv e s
f o r a s tu d y o f p h ilo s o p h y i t
to
its
a u th o r , B o e th iu s .
is
p r o p e r to d e v o te
som e s p a c e
I f B o e th iu s h im s e lf h ad n o t b e e n a
p h ilo s o p h e r th e v a lu e o f th e A r ith m e tic a beyond i t s
m a t h e m a t i c s w o u ld b e q u e s t i o n a b l e .
u se in
H o w e v e r, B o e t h i u s w a s a
p h i l o s o p h e r o f n o te a n d h i s w o rk s o n p h ilo s o p h y h e l d t h e
c e n te r o f in te r e s t in
fa c t,
th a t f ie ld
f o r m an y c e n t u r i e s .
t h e l a n g u a g e u s e d b y so m e w r i t e r s i n d e s c r i b i n g
f lu e n c e o f B o e th iu s o n p h ilo s o p h y a n d th e
In
th e in ­
te a c h in g o f p h ilo s ­
o p h y s e e m s r a t h e r m o re t h a n m i l d l y e x t r a v a g a n t .
P a tc h h a s
tw o h u n d r e d p a g e s i n h i s T he T r a d i t i o n o f B o e t h i u s a n d p r a c tie a lly
t h e w h o le o f i t
c o u ld b e q u o te d .
We f i n d :
2 H o w ard Ho1 1 i n P a t c h , T h e T r a d i t i o n o f B o e t h i u s
(New Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 3 5 ) , p . 2 1 .
119
I n t h e f i r s t p l a c e , , w hen l e a r n i n g w a s s c a r c e h i s
B o e th iu s 1 m a n u s c r ip ts w e re c o p ie d i n c o m p a ra tiv e
abundance.
No p r o p e r l y e q u i p p e d l i b r a r y w a s w i t h o u t
. o n e o r m o re o f h i s w o r k s .
In th e seco nd p la c e , w hat
he w ro te f u r n is h e d th e b a s i s f o r e d u c a tio n i n v a r i o u s
s u b je c ts i n th e s c h o o ls and u n i v e r s i t i e s d u rin g th e
m any c e n t u r i e s u n t i l t h e R e n a i s s a n c e , w h a t e v e r m o d i f i ­
c a tio n s and c r o s s c u r r e n ts changed th e c o u rs e o f th o u g h t.
On a n o t h e r p a g e we r e a d : * 5 " T h e p a r t p l a y e d b y B o e t h i u s i n
th e h i s t o r y o f d i a l e c t i c
c la r e s in h i s c o n c lu s io n :
is re a lly
4
f u n d a m e n ta l."
P a tc h d e -
I n som e p a r t o f t h e m e d i e v a l w o r l d , t h e n , . . .
one
c o u ld h a v e s e e n s t u d e n t s p o r in g o v e r t h e B o e th ia n
te x tb o o k s on a r ith m e tic and l o g ic and th e o th e r A r ts ,
and h e a rd g re a t s c h o la rs le c tu r in g on t h e i r m a te ria l
in a l l th e im p o rta n t u n i v e r s i t i e s ; . . .
T he g r e a t n e s s
o f B o e th iu s i n t h i s o r t h a t re a lm o r i n th e d i f f e r e n t
c e n t u r i e s m ay s e e m t o f l u c t u a t e ; b u t t h e s t a t u r e o f
h i s L ady P h ilo s o p h y s u f f e r e d c h a n g e , and he i s l i k e h e r .
D u c k e tt h a s a lo n g c h a p te r on " P h ilo s o p h y i n
C e n t u r y " i n w h ic h t h e r e
re n o w n a s a p h i l o s o p h e r .
is
th e S ix th
m uch m a t e r i a l c o n f i r m i n g B o e t h i u s f
5
I n i t we f i n d :
P o r t h e nam e o f B o e t h i u s h a s b e e n t h e c e n t r e o f m any
p r o b l e m s , a s m any a s t h e v a r i e d s i d e s o f h i s e x t r a ­
o rd in a ry g e n iu s .
He w a s s k i l l e d i n m a t h e m a t i c s a n d
l o g i c , h e w as a m u s ic ia n a n d a p o e t; h e w a s , a b o v e a i l ,
l e a r n e d i n t h e p h i l o s o p h y o f G r e e c e a n d R om e.
I n a n o t h e r p l a c e : 6 "We h a v e now p a s s e d t h r o u g h t h e f o u r f o l d
3
, p. 34.
4 I b id . , p . 122.
5 E l e a n o r S h i p l e y D u c k e t t , T he G a te w a y t o
A ges, p . 147.
6 I b i d ., p . 157.
t h e M id d le
120
o u te r c o u r t s o f m a th e m a tic a l s c ie n c e an d c a n lo o k a t th e
m o re d i r e c t i n t e r e s t s
o f B o e th iu s i n p h ilo s o p h y ."
And
a g a i n : ' "B u t B o e th iu s w as n o t o n ly t r a n s l a t o r a n d c o m m e n ta to r ..
We h a v e a w h o le s e r i e s o f i n d e p e n d e n t w o r k s o f h i s ,
d e a l i n g w ith h i s b e lo v e d l o g i c ;
. . . "
A nd t h e
m o s tly
fo llo w in g
q u o ta tio n fro m th e
sam e c h a p t e r o f D u c k e t t s h o u l d s a t i s f y
Q
ev en an a r d e n t a d m ire r o f B o e th iu s :
" A g a in , B o e t h i u s w a s
b o th fo o d and s tim u la n t to
s e a ts
t h o s e who s a t i n t h e p r o f e s s o r i a l
o f t h e m e d ie v a l s c h o o l s ."
Such q u o t a t i o n s a s t h e s e m ig h t b e c o n tin u e d a t g r e a t
l e n g t h b u t th e num ber p r e s e n te d i s
s u f f i c i e n t t o m ake know n
B o e th iu s 1 w o rth a s a p h ilo s o p h e r , a n d c o n s e q u e n tly t h a t th e
A r i t h m e t i c a w h ic h h e w r o te f o r s t u d e n t s p r e p a r i n g th e m s e lv e s
f o r th e
s t u d y o f p h i l o s o p h y w a s w r i t t e n b y a m an w e l l p r e p a r e d
f o r th e t a s k .
M a th e m a tic s a n d p h ilo s o p h y h a v e b e e n c l o s e l y r e l a t e d
s i n c e t h e tim e lo n g b e f o r e B o e th iu s , an d t h e r e l a t i o n s h i p
c o n tin u e s e v e n to th e p r e s e n t d a y .
T h e A r i t h m e t i c a w o u ld
h a v e a s t a n c h d e f e n d e r i n S haw ^ w ho w r i t e s :
7 I b i d ., p . 160.
8 I b id ., p.
167.
9 J a m e s B y r n i e S haw , L e c t u r e s o n t h e P h i l o s o p h y o f
M a t h e m a t i c s ( C h i c a g o : T h e O pen C o u r t P u b l i s h i n g C o m p an y ,
1 9 1 8 ), p . 191.
121
The d e v e lo p m e n t o f m a th e m a tic s h a s p r o f o u n d ly i n f l u ­
en ced p h ilo s o p h y .
We n e e d b u t m e n t i o n P y t h a g o r u s ,
P l a t o , D e s c a r t e s , S p i n o z a , L e i b n i z , K a n t , C o m te , a n d
R u s s e l l , i n o r d e r t o c a l l t o m in d p h i l o s o p h e r s w h o se
s y s t e m s w e r e c o n t r o l l e d l a r g e l y b y t h e i r v i e w s o n m a th e ­
m a tic s .
T h e r e h a v e b e e n a l s o m a t h e m a t i c i a n s w ho h a v e
b e e n a t t h e sam e t i m e p h i l o s o p h e r s , a n d w h o s e c r i t i c i s m s
h a v e l a r g e l y in f lu e n c e d e x i s t i n g s y s te m s . . . .
T he
s e a r c h i n g a n a l y s i s t h e m a t h e m a t i c i a n h a s m ade o f h i s
own c o n c e p t i o n s h a v e n o t o n l y i l l u m i n a t e d t h e m , b u t a t
t h e sam e t i m e h a s c l e a r e d t h e f o g aw ay f r o m som e o f t h e
p h ilo s o p h ic a l n o tio n s .
T he f o l l o w i n g q u o t a t i o n f r o m K e y s e r ^ g i v e s a n i n d i ­
c a tio n
o f h i s v ie w s on t h e h e lp t h a t m a th e m a tic s c a n g iv e th e
p h ilo s o p h e r:
Now, i t s o h a p p e n s t h a t t h e t e r m m a t h e m a t i c s i s t h e
nam e o f t h a t d i s c i p l i n e w h i c h , b e c a u s e i t a t t a i n s m o re
n e a r ly th a n any o th e r to th e l e v e l o f l o g ic a l r i g o r ,
i s b e t t e r q u a li f ie d th a n any o th e r to r e v e a l th e p ro ­
to ty p e o f w hat i s b e s t i n th e q u a lity o f th in k in g a s
th in k in g .
On a n o t h e r p a g e K e y s e r ^ h a s t h i s
in te re s tin g
s ta te m e n t:
L e t me s a y a t t h e o u t s e t t h a t t h e r e a r e tw o p r e t t y
o b v i o u s c o n s i d e r a t i o n s w h ic h I d o n o t i n t e n d t o i n s i s t
u p o n , a lth o u g h th e y a r e n o t w ith o u t r e v e la n c e and w e ig h t.
One o f th e m i s t h a t w h ic h c o n c e i v e s m a t h e m a t i c s a s b e i n g
i t s e l f a b ra n c h o f p h ilo s o p h y ; th e o t h e r r e l a t e s t o th e
f a m i l i a r c o n te n tio n o f P l a t o , t h a t m a th e m a tic a l d i s c i p l i n e
i s i n d is p e n s a b l e a s a p r e p a r a t i o n f o r w h a t h e c o n c e iv e d
to be th e p h ilo s o p h e r’ s d i s t in c t iv e ta s k — th a t o f
D ia le c tic .
Shaw a n d K e y s e r , q u o t e d a b o v e , w e r e b o t h w r i t i n g o n
t h e p h ilo s o p h y o f m a th e m a tic s an d c o n s e q u e n tly t h e i r
C a s s iu s J . K e y s e r, M a th e m a tic a l P h ilo s o p h y
Y o r k : E . P . D u t t o n a n d C o m p an y , 1 9 2 2 ) , p . 1 8 .
11 I b i d . , p .
20.
(New
122
s t a t e m e n t s h a v e m o re w e i g h t t h a n e a n h e g i v e n t o w h a t S m ith
h a s to
12
sa y in p a s s in g :
I n v ie w o f t h e s e a p t i t u d e s o f t h e G r e e k s , I t i s n o t
t o be w o n d e re d t h a t th e m a th e m a tic ia n , — w hose th o u g h t
i s so c lo s e ly a l l i e d to th e s p e c u la tio n s o f th e p h ilo s ­
o p h e r , a n d w h o s e d o m a in o f i n t e r e s t o n c e i n c l u d e d m u s i c
a n d a s t r o n o m y , a n d who n o t i n f r e q u e n t l y o f f e r e d a h e l p ­
in g h an d t o a l l th e f i n e a r t s , — s h o u ld lik e w is e c la im
G r e e c e f o r t h e b i r t h p l a c e o f h i s own c h o s e n s c i e n c e *
H o w e v e r, i t
is
in te re s tin g
to
fin d o u t tw e n tie th
c e n tu ry
w r i t e r s on m a th e m a tic s q u i t e i n a c c o r d w ith t h e s c h o la r o f
th e
s ix th
c e n t u r y , B o e th iu s *
S u m m ary *
T h e o r e ti c a l a r i t h m e t i c w as one o f t h e f o u r
s c ie n c e s u se d a s a p re p a ra tio n f o r th e
The A r ith m e tic a in tr o d u c e d i t s
" a c c id e n t,"
re a d e rs to
" s u b s ta n c e ” and
th e d iv is io n s o f " s u b s ta n c e ,” th e d if f e r e n c e
b e tw e e n " u n i t y ” a n d " d u a l i t y . ”
o f t h e w o rk l i e s
d ire c t
s tu d y o f p h ilo s o p h y *
in
its
H o v /e v e r, t h e p r i n c i p a l v a l u e
c le a r-c u t d e fin itio n s ,
s im p le an d
s t a t e m e n t s , p r o p e r l y c h o s e n e x a m p le s , and th e l o g i c a l
a rr a n g e m e n t a n d d e v e lo p m e n t o f t h e m a t e r i a l p r e s e n te d *
th e s e r e a s o n s th e A rith m e tic a d id o f f e r th e
a lth o u g h b r i e f , p r e p a r a tio n f o r th e
For
s tu d e n t e x c e lle n t,
s tu d y o f d i a l e c t ic s *
B o e th iu s w as w e ll p r e p a r e d t o w r i t e a te x tb o o k f o r
s tu d e n ts p r e p a r in g th e m s e lv e s f o r th e
s tu d y o f p h ilo s o p h y b e ­
c a u s e h e h i m s e l f w as a p h i l o s o p h e r o f n o te *
D a v id E u g e n e S m i t h , M a t h e m a t i c s * p .
H i s w o rk o n
3*
123
p h i l o s o p h y i n f l u e n c e d p h i l o s o p h i c a l t h i n k i n g f o r m any
c e n tu rie s *
The c l o s e
c o n n e c t i o n b e tw e e n m a t h e m a t i c s a n d p h i l o s o p h y
h a s c o n tin u e d fro m th e
tim e o f P l a t o
u n t i l th e p r e s e n t d a y .
CHAPTER VII
SUMMARY
T he A r i t h m e t i c a o f B o e t h i u s i s
l i n k s b e tw e e n t h e
tim e s .
one o f th e c o n n e c tin g
a n c i e n t G r e e k m a t h e m a t i c i a n s a n d o u r own
I t w as u se d f o r c e n t u r i e s a s a te x tb o o k in
ic a l a rith m e tic ,
B o e th iu s
Rom an w r i t e r s .
one o f th e
f o u r s c ie n c e s o f th e q u a d riv iu m .
(4 7 5 -5 2 6 A . D .) w as one o f th e
He w a s a m an o f h i g h r a n k i n
h e sa w t h e d e c l i n e o f G r e e k l i t e r a t u r e
la s t g rea t
th e e m p ire an d
h e l d m any o f f i c e s o f t r u s t a n d r e s p o n s i b i l i t y .
a tte m p te d to t r a n s l a t e
th e o re t­
I n h i s day
and le a r n in g and
in to L a tin and th u s p re s e rv e f o r h i s
c o u n tr y m e n t h e t r e a s u r e s
t h a t w e re s l i p p i n g fro m t h e i r g r a s p .
B o e t h i u s w a s a man o f l e a r n i n g a n d am ong h i s a c c o m p l i s h m e n t s
in c lu d e d
th e s c ie n c e o f n u m b ers.
h i m s e l f c o m p e te n t t o
In c o n seq u en ce , he b e lie v e d
p ro d u c e a w o rk o n m a th e m a tic s , t h e
A rith m e tic a .
Some m o d e rn w r i t e r s m a i n t a i n t h a t h e c o m p i l e d t h e w o rk
f r o m t h e w r i t i n g s o f E u c l i d , N ic h o m a c h u s o f G e r a s a , a n d T h e o n
o f S m y rn a .
A n o th e r h o l d s t h a t th e A r i th m e ti c a i s m e re ly a
tra n s la tio n
o f t h e w o rk o f N ic h o m a c h u s o f G e r a s a a l o n e .
A ll
a g re e t h a t B o e th iu s a d d e d n o th in g t h a t w as o r i g i n a l a n d t h a t
h e a d a p te d h i s m a t e r i a l to
s u i t h i s own e n d s .
H o w ev e r, no
m a t t e r w h a t h i s s o u r c e s o r t h e n u m b e r o f c h a n g e s h e m ade b y
o m is s io n
or a m p lific a tio n ,
h e p r o d u c e d a w o rk t h a t w a s ^ th e
125
a c c e p te d te x tb o o k on t h e o r e t i c a l a r i t h m e t ic u n t i l th e
te e n th
c e n tu ry .
T h e o r e t i c a l a r i t h m e t i c w as t h e b r a n c h o f
m a th e m a tic s s t u d i e d i n p r e p a r a t i o n
a rith m e tic
sev en ­
f o r p h ilo s o p h y .
The
o f t r a d e a n d co m m erce i s n o t i n c l u d e d i n t h e
A rith m e tic a .
M o d e rn t e a c h e r s m a r v e l a t t h e l o n g u s e o f t h e
A r i t h m e t i c a a s c o m p a re d t o t h e
sh o rt liv e s
o f o u r te x tb o o k s .
On t h i s
A rith m e tic a i t s e l f
re p re s e n te d th e
y e a rs to
o f even th e b e s t
p o in t i t m u st b e r e c a l l e d
s triv in g
l e a r n m o re a b o u t " n u m b e r .”
th a t th e
o f a th o u s a n d
T he w o rk w as t h e
flo w e r­
i n g o f a m a th e m a tic a l s y s te m h a m p e re d b y t h e c r u d i t i e s o f
Homan n o t a t i o n a n d l i m i t e d t o
h e ld i t s
p la c e
p o s itiv e
in te g e rs .
T he w o rk
i n t h e s c h o o l s u n t i l t h e u s e o f H in d u n u m b e r s ,
a n d o f z e r o a s a n u m b er, an d o f t h e d e c im a l p o i n t a n d t h e
d e c im a l s y s te m
s o w id e n e d t h e m a t h e m a t i c a l h o r i z o n t h a t t h e
now s c a n t y o f f e r i n g s o f t h e A r i t h m e t i c a w e r e n o l o n g e r o f
any v a lu e ♦
T he A r i t h m e t i c a i s
d iv id e d in to
w r i t e s f i r s t o f s u b s ta n c e i n
s t a n c e o f n u m b er.
d i v id e s num ber i n t o
d iv id e d i n t o
n u m b ers.
tw o b o o k s .
B o e th iu s
g e n e ra l, and th e n o f th e
su b ­
A f t e r g i v in g a d e f i n i t i o n o f num ber h e
ev en and odd n u m b ers.
E v en n u m b e rs a r e
e q u a lly e v e n , e q u a lly o d d , and u n e q u a lly ev en
Odd n u m b e r s a r e c l a s s e d a s p r i m e a n d s i m p l e , o r
s e c o n d a r y a n d c o m p o u n d , o r a s m ix e d .
d iv id e d in to
E v e n n u m b e rs a r e
a ls o
i m p e r f e c t n u m b e r s , p e r f e c t n u m b e r s , a n d " m o re
126
th a n p e r f e c t " n u m b e rs•
A f t e r t h i s t r e a t m e n t o f i n d i v i d u a l n u m b ers B o e th iu s
c o n s i d e r s n u m ero u s r e l a t i o n s h i p s
e x i s t i n g b e t w e e n tw o n u m b e rs
s u c h a s w h en A a n d B a r e g i v e n , A i s t w i c e B o r o n e - h a l f B ,
o r th ric e
B o r o n e - t h i r d B; o r th e r a t i o
b e tw e e n A an d B i s
a s 3 :2 o r 2 :3 , 4 :3 o r 3 :4 , and o th e r s im ila r p r o p o r tio n s .
M any p o l y s y l l a b i c n a m e s a r e u s e d t o d e s c r i b e
c o m b i n a t i o n s , w h ic h r e a l l y
tio n s .
th e v a rio u s
f o r m a c u m b ro u s s y s t e m o f f r a c ­
Some r u l e s a r e g i v e n b y w h ic h t h e s e r a t i o s ,
e q u a litie s ,
s e rie s ,
a s B o e th iu s c a l l s
th e m , a r e
o r in ­
c o m b in e d i n t o
sh o rt
a n d t h e n o t h e r r u l e s a r e p r e s e n t e d b y w h ic h i t
be d e m o n s tra te d t h a t a l l
d e r iv e d fro m a s e r i e s
can
su ch s e r ie s o f in e q u a litie s a re
o f e q u a l n u m b ers.
B o e th iu s th e n m e n tio n s th e p o i n t ,
a n d sh o w s t h a t t h e t r i a n g l e
is
th e
lin e ,
and s u r f a c e ,
s o u rc e o f a l l p la n e
r e c tilin e a r fig u re s .
He n e x t c o n s i d e r s " f i g u r e d " n u m b e r s , o r n u m b e r s w h o se
u n its
can be a rra n g e d in
fig u re s .
F o r in s ta n c e ,
th e
fo rm o f v a r i o u s g e o m e tr ic a l
9 i s a " s q u a r e " num ber b e c a u s e i t s
X II
n in e u n i t s can be a rra n g e d
i n th e fo rm o f a s q u a r e , I I I ;
III
w h ile 10 i s a " t r i a n g u l a r " num ber s in c e i t s u n i t s c a n be
I
a rra n g e d in t h i s fa s h io n ,
I I
.
N u m b e rs w h o se u n i t s c a n
I . I . I
be a rra n g e d to
I I I I .
fo rm th e v a r i o u s r e g u l a r s o l i d s a r e c a l l e d
" s o l i d " n u m b ers.
127
T h e d i s t i n c t i o n b e tw e e n s q u a r e n u m b e rs ( x 2 ) a n d t h e
" p a rte a lt e r a
l o n g i o r e s " n u m b ers
The s q u a r e s a r e
th e
" p a rte
[x (x + l)]
i s p o in te d o u t.
sh o w n t o b e d e r i v e d f r o m o d d n u m b e r s , a n d
a lte ra
lo n g io r e s " fro m ev en n u m b ers.
B o e th iu s g iv e s b r i e f m e n tio n t o a r i t h m e t i c , g e o m e tr ic ,
a n d h a rm o n ic p r o p o r t i o n a l i t i e s .
p ro p o rtio n a litie s
H is a r i t h m e t i c
an d g e o m e tric
a r e f a m i l i a r t o m o d e rn s t u d e n t s o f m a t h e ­
m a t i c s , b u t h i s h a r m o n i c p r o p o r t i o n a l i t y i s k now n t o d a y o n l y
to
s t u d e n ts o f m u s ic .
tie s ,
but s ta te s
He m e n t i o n s s e v e n o t h e r p r o p o r t i o n a l i ­
t h a t th e y a r e o f l i t t l e
u tility .
T h e a u t h o r c o n c l u d e s h i s w o rk w i t h a h a r m o n i c - g e o m e t r i c
p r o p o r t i o n w h ic h c o n t a i n s f o u r t e r m s a n d i l l u s t r a t e s
g re a t p ro p o rtio n a litie s ,
a rith m e tic ,
w ith t h a t o f p r e s e n t- d a y m a th e m a tic a l w o rk s.
to o f f e r u s .
fa c ts
th re e
g e o m e tric and h a rm o n ic .
T he A r i t h m e t i c a f a r e s b a d l y w h e n i t s
o n ly a few l i t t l e
th e
c o n te n t i s c o m p a red
B o e th iu s h a s
on s e r i e s and o n e s m a ll ite m on f a c t o r s
H o w e v e r, b e f o r e we j u d g e h im t o o h a r s h l y ,
it
is
w e l l t h a t we r e m i n d o u r s e l v e s t h a t B o e t h i u s d i d n o t c o n s i d e r
z e r o a n u m b e r , k n ew n o t h i n g o f n e g a t i v e n u m b e r s , a n d w a s t o ­
ta lly
u n a w a re o f t h e d e c im a l s y s te m a n d t h e v a s t f i e l d
k n o w le d g e b a s e d o n i t .
u la tio n
F u rth e rm o re , th e d i f f i c u l t i e s
of
o f m a n ip ­
i n h e r e n t i n t h e Homan s y s t e m o f n o t a t i o n r e q u i r e d
p lic a te d
com­
p r o c e d u r e s now a l t o g e t h e r o u tm o d e d b y t h e d e c i m a l
s y s te m .
T h e c r o w n in g g l o r y o f t h e A r i t h m e t i c a i s
th a t i t
w as
128
u se d a s a te x tb o o k by s tu d e n ts p r e p a r in g th e m s e lv e s f o r th e
s tu d y o f p h ilo s o p h y .
a s su ch in
a c c id e n t,
th e
it.
The s t u d e n t d id n o t f i n d m uch p h ilo s o p h y
T h e r e a r e o n l y a fe w i t e m s o n s u b s t a n c e a n d
and s o m e th in g on t h e
s tu d e n t d id f in d
s u b s ta n c e o f n u m b er.
a n o r d e r l y d e v e lo p m e n t o f t h e
s e n te d ; h e fo u n d d e f i n i t i o n s , m o s tly d e s c r i p t i v e i t
b u t d e f in itio n s none th e
l e s s t h a t m ade i t
t a k e t h e w r i t e r ’ s m e a n in g .
p la n a tio n s
to p ic s p re ­
is
tru e ,
im p o s s ib le t o m is ­
He a l s o f o u n d e x a m p le s a n d e x ­
t h a t c l e a r e d aw ay a n y p o s s i b l e m i s u n d e r s t a n d i n g s .
T h is t h e s i s o f f e r s a t r a n s l a t i o n
fe w c h a p t e r s o f t h e A r i t h m e t i c a t o
tu n ity
H o w e v e r,
o f th e P re fa c e and a
g iv e th e r e a d e r an o p p o r­
t o u n d e r s t a n d t h e s c o p e o f t h e w o rk a n d t h e m e th o d o f
p r e s e n ta tio n u se d by B o e th iu s .
The L a t i n o f th e A r i t h m e ti c a
is
s im p le a n d d i r e c t an d s h o u ld h av e o f f e r e d no d i f f i c u l t i e s
to
s t u d e n t s w h o se d a i l y w o rk w as c a r r i e d
on i n t h a t la n g u a g e .
BIBLIOGRAPHY
BIBLIOGRAPHY
PRIMARY SOURCE
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t i o n s A r i t h m e t i c a L ib r o r u m B e r n e n s i b u s , w A c t a S o c i e t a t i s
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H e ls in g fo rs ia e :
Ex
O f f ic in a T y p o g ra p h ic s S o c i e t a t i s L i t t e r a r i a e F e n n ic a e ,
MDCCCL23X* P p . 3 4 1 - 3 4 4 .
H o g b e n , L a n c e l o t , M a t h e m a t i c s f o r t h e M i l l i o n . New Y o r k : W.
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J a c k s o n , L a m b e rt L in c o ln , The E d u c a ti o n a l S i g n i f i c a n c e o f
S i x t e e n t h C e n tu ry A r i t h m e t i c , fro m t h e p o i n t o f v ie w o f
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t j
Index*
133
cx quadratis SC parte altera longioribusjomnis formarum ratio con
fiitat*
x x iiil
C Quem adm odu quadrati ex parte altera longioribus,vel parte altera Ion*
giores ex quadratis fiant*
XXV
4£Q uod principaliter eiufdem quidem fit fubftantiae vnitastfecudo vero lo
co impares n umeri, ter tio q u a d ra tic quodprfcipaliter dualitas alterius
fit fubllantiae: fecundo vero loco pares numeri,tertio parte altera longio/
res*
xxvi
fbAlternatim pofitis quadratis,SC parte altera longioribus:qui fit eoru con
fenfus ,in differentia SC in proportiombus*
XXVII
t£Probatio,quadratos eiuidem effe naturae*
XXVIII
(CCubos eiulde participare fubflantiae quod ab imparibus nafcatur* XXIX
f t D e proportionalitatibus*
XXX
tEQ uf apud atiquos .pportionalitas fuerit:& quas pofleri addiderft* XXXI
(CQuod primum de ea quae vocatur Arithmetica ,proportionalitate dicen*
dum eil:deq> eadem SC ibis proprietatibus*
XXXII
f [ D e geometrica medietate,eiufcp proprietatibus*
XXXIII
€LQuac medietates,quibus rerumpublicarum flatibus comparetur* XXXIIII
C Q u o d fuper£icies:vna tantu in proportionalitatibus medietate iungatur,
folidi vero numeri;duabus medietatibus in medio collocantur*
xxxv
(C D e harmonica medietate,eiufq? proprietatibus.
XXXVI
tCQuare didla fit harmonica medietas ea quae digeffa eft, SC de geometrica
harmonia*
XXXVII
^EQuemadmodum coftitutis altrinfecus duobus termini's larithmetica,geo
m e tr ic a l harmonica inter eos medietas alternetur, atqs de eorum gene*
rationibus*
XXXVIII
(C D e tribus medietatibus,q harmonicg Sc geometric^ cotrariae fu n t.x x x ix
(£ D e quatuor medietatibus:quas pofleri ad implendum denarium limite
adiecerunt,& decern medietatum diipofitione*
XL
4£D e maxima SC perfedla fymphonia,qu£ tribus difteditur interuallis.XLl
C G a p i t V m I N D I C I S FINIS*
CIndex chartarum: a b c d e f g h i k l m n o p q r f t
v x y* omnes funt terniones; praerer t qui efl quaternio,# y
quinternionem*
CExcudebat Simon CoIina?us,Parifijs, Anno MD?X1 Quinto
Idus Iulias*
I fl1
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