close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Курс лекций по теоретической

код для вставкиСкачать
Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)
Кафедра теоретической механики
Научно-технический центр транспортных технологий
Бондаренко А.Н.
Курс лекций по
теоретической
механике
Динамика (II часть)
Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов,
обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе (1974-2006 гг.). Учебный
материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров.
Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра
Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional.
Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки.
Завершение – Esc.
Замечания и предложения можно послать по e-mail: bond@miit.ru .
Москва - 2007
Лекция 9. Работа, мощность силы.
Кинетическая энергия. Теоремы об
изменении кинетической энергии для
материальной точки и системы.
Пример решения задач на
использование теоремы об изменении
кинетической энергии материальной
точки.
Лекция 9
Работа, мощность силы. Кинетическая и потенциальная энергия – механическое движение в результате взаимодействия
механических систем может переноситься с одной механической системы на другую:
1.
без превращений в другую форму движения, т.е. в качестве того же механического движения,
2.
с превращением в другую форму движения материи (потенциальную энергию, теплоту, электрическую энергию и т.д.)
Каждый из этих случаев имеет свои измерители (меры) механического движения и механического взаимодействия, отстаиваемые в свое
время Декартом и Лейбницем (см. таблицу):
Ф. Энгельс показал существование и равноправность
обоих (векторных и скалярных) мер движения, каждой
Мера механического движения
Мера механического
из которых соответствуют свои меры механического
взаимодействия
взаимодействия.
Декарт
Количество движения Q m v
Импульс силы S F dt
Импульс силы является мерой действия силы при
изменении механического движения.
2
Работа является количественной мерой превращения
mv
Лейбниц
Кинетическая энергия
Работа силы
A F ds
T механического движения в какую-либо другую форму
2
движения материи.
Работа силы, приложенной к материальной точке – Пусть точка приложения переменной по величине и направлению силы
перемещается по некоторой произвольной траектории. На малом (элементарном) перемещении силу можно считать постоянной и
элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения (касательную к траектории движения),
умноженной на элементарное перемещение :
Знак элементарной работы определяется
бA F ds F cos ds
бA 0 ;
0 s
величиной угла и знаком cos :
2
ds
v
M
Поскольку часто более удобно работать с острыми углами, то в этом случае
бA 0 .
2
используют острый угол и знак присваивают по следующему простому
T
правилу: если сила и перемещение совпадают по направлению,
то присваивается знак +, если противоположны по направлению, то знак .
F
Элементарная работа может быть записана в виде скалярного произведения: бA F d r
Работа на конечном перемещении M M1 получается
суммированием или интегрированием:
A бA
2. Сила постоянная по величине (F = const)
и параллельна перемещению ( =0):
M1
M1
M1
A F x dx F y dy F z dz .
A F dr
A F ds
Частные случаи: 1. Сила постоянная по величине (F = const)
и направлению ( =const):
и в проекциях: бA F x dx F y dy F z dz .
M
M
M
M1
M1
M
M
A F cos ds F cos ds Fs cos .
A Fs .
3. Сила перпендикулярна перемещению:
A 0
1
Лекция 9 (продолжение – 9.2)
Можно доказать следующие теоремы и утверждения:
Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на
M1
M1
M1
M1
том же перемещении:
A Ai
A R d r ( F1 F 2 ...) d r F1 d r F 2 d r ... A1 A1 ... A i
M
M
M
M
■
Работа постоянной сил по величине и направлению на составном перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы
на каждом из составляющих перемещений:
A F s F ( s 1 s 2 ...) F s 1 F s 2 ... A s1 A s 2 ... A si
A A si
A 0
M1
M1
■
Работа внутренних сил неизменяемой системы равна нулю:
■
Работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению силы тяжести на разность высот:
i
(R R
A i
'
) dr M
M1
A
G
M
■
( R R ) dr
0;
( R R ).
'
M
A G ( z1 z )
M1
x
dx G y dy G z dz ( G ) dz
Gz
M
Работа линейной силы упругости (реакции пружины)
при перемещении из состояния равновесия:
A c
Δx
z1
G ( z 1 z );
z
( G x G y 0, G z -G)
M1
2
.
A
2
R
M1
x
dx M
( cx ) dx
c
M
x
2
2
x1
2
c
x0
x1
;
2
( R x cx )
Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Запишем выражение для
элементарной работы силы, приложенной к точке, и выразим элементарное перемещение через угол поворота тела:
z
бA F ds F cos ds F cos R d бA Fh d M z ( F ) d .
ω
R
h
Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу,
для конечного угла поворота:
h
d
F
ds
R
В частном случае постоянного значения момента силы относительно оси
работа равна произведению момента силы на угол поворота:
F
-работа силы, приложенной
к вращающемуся твердому
телу, выражается через
момент силы относительно
оси.
1
A
M
z
( F )d .
A M z ( F )( 1 ).
Мощность – величина, характеризуемая количеством работы, произведенной в единицу времени:
T
Мощность силы, приложенной к точке:
N A
dt
Мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу:
N A
dt
F ds
dt
M z d
dt
F v F v .
M z z M .
N A
.
dt
2
Лекция 9 (продолжение – 9.3)
■
Кинетическая энергия – характеризует способность механического движения превращаться в эквивалентное количество другого
движения:
2
2
m k vk
■
Кинетическая энергия
mv
Кинетическая энергия
T T системы материальных точек:
материальной точки:
2
2
■
Кинетическая энергия твердого тела
при поступательном движении:
2
T I z z
2
T T 2
m k vk
m k vk
Mv C
2
I zC z
2
2
T v
2
2
2
T T 2
■
Кинетическая энергия твердого тела
при вращательном движении:
■
Кинетическая энергия
твердого тела при плоском
движении:
Mv C
2
2
2
2
m k vk vk
vC m k
2
d rkC
m
k
v
2
2
M 2
m k ( z h k )
vC ( v1 v 2 ... v v C )
;
2
2
z
2
2
Mv C
2
m
I z z
2
k
h 2
k
2
m k ( v C v kC ) ( v C v kC )
d
(I z ;
2
Mv C
2
2
k
hk )
v C m k v kC 2
( m k rkC ) 0 ;
m
2
m k v kC
.
2
I zC z
2
( m k rkC 0 )
dt
dt
2
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки – Изменение кинетической энергии точки равно работе
сил, действующих на точку на том же перемещении:
Проинтегрируем полученное соотношение:
Запишем основной закон динамики точки:
m a Fi R
v
M
2
mv 2 mv
Выразим ускорение через скорость и умножим
d 2 dA ; 2 A
dv
M0
m
d
r
R
d
r
или
m
v
d
v
R
d
r
.
v0
левую и правую части соотношения скалярно
dt
на дифференциал радиуса-вектора :
После подстановки пределов получаем:
2
2
mv 0
mv
mv 2 dA
v v A
md d 2
2
2
2 Теорема об изменении кинетической энергии системы – Изменение кинетической энергии системы равно работе сил,
действующих на систему на соответствующих перемещениях точек системы:
Запишем теорему об изменении кинетической энергии для произвольной точки системы,
при этом выделим работу внешних и внутренних сил, приложенных к данной точке:
2
2
m k vk
mv k 0
i
e
Ak Ak .
Просуммируем левые и правые части соотношений: 2
2
В левой части получили разность кинетических энергий системы:
i
e
T T0 Ak Ak .
2
m k vk
2
2
mv k 0
2
Ak Ak .
i
e
Для неизменяемой системы:
T T0 e
Ak ;
Ak 0
i
3
Лекция 9 (продолжение – 9.4)
Пример решения задачи на применение теоремы об изменении кинетической энергии для материальной точки – Снаряд
массы m выбрасывается пружинным устройством из канала под углом к горизонту. Длина нерастянутой пружины жесткостью c
равна длине канала l0. Перед выстрелом пружина сжимается на величину d. Определить скорость снаряда при вылете из канала,
а также максимальную высоту полета.
Дано: , c, d, m, l0
Начальная скорость снаряда равна нулю: v 0 0 .
Найти: v1, H
Работа сил, приложенных к объекту, равна:
v2
1. Выбираем объект - снаряд
A A N AG A R .
v1
d
2.
Отбрасываем связи – ствол, пружину
Работа нормальной реакции равна нулю (направление
N
реакции перпендикулярно перемещению): A N 0 .
R
3. Заменяем связи реакциями – N, R
Работа силы тяжести:
G H
AG G h mgd sin .
4. Добавляем активные силы – G
Работа упругой реакции пружины
2
d
(направление реакции совпадает
AR c
.
с перемещением):
2
2
2
mv 1
d
Подставляем определенные
0 mgd sin c
,
величины в теорему:
2
2
5. Записываем теорему об изменении
кинетической энергии для точки:
G
2
2
mv 1
Определяем максимальную высоту полета
(повторяем шаги 1-5):
2
2
mv 2 mv 1
A
2
2
2
mv 0
2
A
Отсюда величина скорости вылета снаряда:
v1 cd
2
2 gd sin .
m
Вертикальная скорость снаряда в наивысшей точке траектории равна нулю : v 2 y 0 .
Работа силы тяжести:
AG G h mg ( H l 0 sin ).
Подставляем определенные
величины в теорему:
После некоторых сокращений и
преобразований:
cd 2
cd 2
2
m 2 gd sin cos m 2 gd sin m
m
2
2
(
cd
2
2m
gd sin ) sin g ( H l 0 sin ).
2
Горизонтальная скорость снаряда постоянная (из закона
сохранения проекции на ось x количества движения точки)
и равна:
2
cd
v 2 x v1 x 2 gd sin cos .
m
mg ( H l 0 sin ).
Отсюда максимальная
высота полета:
H (
cd
2
2 mg
d sin ) sin l 0 sin .
2
Заметим, что предыдущее выражение можно более быстро получить,
записывая теорему об изменении кинетической энергии только для
вертикальной скорости движения точки, поскольку горизонтальные силы
отсутствуют и горизонтальная скорость не изменяется..
4
Документ
Категория
Презентации по физике
Просмотров
15
Размер файла
842 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа