close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Функционалы Минковского

код для вставкиСкачать
Главная Астрономическая
Обсерватория РАН
Санкт-Петербург
Н.Г.МАКАРЕНКО
ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ИЗ
АСТРОНОМИЧЕСКИХ
ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
«Физика плазмы в солнечной системе»
14 - 18 февраля 2011 г. ИКИ РАН
ЧТО МЫ МОЖЕМ ИЗМЕРИТЬ?
b
0
A
1
b
a
a b 1 2P
ab S
1, if x A
A x 0, if x A
A x d xd y len g th ( A )
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Basic Set- кольцо выпуклости:
выпуклые множества и их конечное
объединение
B x , - шар с радиусом K x K
B x,
- покрытие Минковского
Герман
Минковский
(1864-1909)г.
или - параллельное тело для K
K – множество точек
N 6
N 4
N 3
Кроме компонент связности можно считать периметр и площадь покрытия
ФОРМУЛА ШТЕЙНЕРА
R В
2
S ( K ) a 4 a 2
2
W 0 W 1 W 2 2
W i Функционалы
Якоб Штейнер
(1796-1863)г.
K
Минковского
W 0 ( K ) a площ адь K
2
W 1 ( K ) 4 a перим ет р K
W 2 ( K ) , характ ерист ика Э йлера
=1
=
+
=0
--
=1+1-1=1
Морфологические свойства
Wi
Г. Хадвигер. Лекции об объеме, площади поверхности
и изопериметрии, 1966
•Инвариантность при трансляциях и вращениях
W i gK W i K
Хьюго
Хадвигер
1908-1981г.
gG
•Аддитивность (формула включения-выключения)
Wi K1 K 2 Wi K1 Wi K 2 Wi K1 K 2 •C-непрерывность
lim l K l K lim l W i K l W i K
КРИВИЗНА И ВАРИАЦИЯ ПЛОЩАДИ
H k1 k 2
K k1 k 2
Вариация площади
( S ) 1 k1 dx 1 k 2 dy 2
1 ( k1 k 2 ) k1 k 2 S
TUBE FORMULA
N (T ube ( M , ) Герман Вейль
(1885-1955)
L
j j ( B 0,1 ) j0
j 2
N j
Nj
j 2 1
Кривизна Липшица - Киллинга
j -
k P X A k (T ube ( A , )) M
dim M
k
j
-
1
2 k 2
j0
(
x
exp
k
A R
j
j !) M
k
j
A
Функционалы Минковского
2
2 dx ,
L j ( M ),
ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНОЙ
ФУНКЦИИ ЗА УРОВЕНЬ
S.O.Rice. Mathematical Analysis of Random Noise.
Bell Syst. Tech. J. 1944. 23. 282
Стефан Райс
(1907-1986)г.
N u-число выбросов на единицу
длины
Q u-средняя продолжительность
выброса
2
2
N u 1 2 exp u 2 , 1 K 0 Qu 1
2
u u exp u
u 1 1 u
2
(1 3)
u
4
2
2 ,
(1 3 5)
u
6
....
R.Adler The Geometry of Random Fields.
K.J.Worsley, The geometry of random
Images. Chance. 1996. 9(1). 27
Robert Аdler
Technion-Israel
Institute of
Technology
Для достаточно регулярного случайного
поля, множество выбросов принадлежит
кольцу выпуклости
ВСЕ ФУНКЦИИ И
МНОЖЕСТВА – РУЧНЫЕ
ВСЕ МНОГООБРАЗИЯ-
СТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ
M dim M
j0
jM
Keit Worsley
McGill University,
Canada
ЧТО ТАКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ?
Истинных изображений не существует!
Это всего лишь отклик сенсора!
u : u , u x ( x ) dx
x exp 1 ( x 1) , x 1
2
u , c1 1 c 2 2 c1 u , 1 c 2 u , 2
n u , n u ,
Слабое дифференцирование:
d
f ,
dx f , d dx
df
d x ,
ПОЛНАЯ ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИЙ
1D
1
f C ; f
V
f dx
f
V
H ( f
0
2D
f dx dy ì åðà Ðàäî í à
1
h )dh
ПЕРИМЕТР И ТЕОРЕМА О
КОПЛОЩАДИ
E x , y f f dx dy P er E d ПЕРИМЕТР измеряет
полную вариацию
поля в слое ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЙЛЕРА
Леонард Эйлер
(1707-1783)
A 4( B ) 4 Р 1( Г ) 1
A
B
+1
-1
#( vertex ) #( edges ) #( faces ) #( cubes ) 55 90 40 4 #( blobs ) #( tunnels ) #( hollow s ) 2 1 0 1
И ТЕОРИЯ МОРСА
Теория Морса: EC = #max (M) - #saddles (S) + #min (m)
РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИЗА MDI
Ah ( I ) x I x h
1. Сложность поля - Эйлерова характеристика
2. Вариация градиента - Периметр
СТРУКТУРА ПОЛЯ: ХАРАКТЕРИСТИКА
ЭЙЛЕРА
Устойчивость
во времени!
Поля фона и АО одинаковы
и описываются
логнормальным законом!
IDC (Infinitely Divisible Cascades) P. Chainais, R. Riedi, P. Abry. (2003)
ТОПОЛОГИЯ И ВСПЫШКИ
AO 09393
AO 10649
AO 10656
ФОРМЫ НА ОБЛАКЕ ТОЧЕК
Имеется облако точек из
неизвестного топологического
многообразия Х.
Как реконструировать Х с точностью
до гомологий ?
Разбиение Вороного и
триангуляция Делоне
Борис Николаевич
Делоне (1890-1980)
Георгий Феодосьевич
Вороной (1868-1908)
Триангуляция Делоне
и Свидетели.
СЛАБЫЙ СВИДЕТЕЛЬ
СИЛЬНЫЙ СВИДЕТЕЛЬ
КОМПЛЕКСЫ ЧЕХА –ВЬЕТОРИСА-РИПСА
Вьеторис Леопольд
Франц (1891-2002)
Илья Рипс
(1948-)
Эдуард Чех
(1893-1960)
ФИЛЬТРАЦИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВ
X1 X2 X3 …Xn
t=0
t=1
a
b
a
d
a, b
t=2
b
c
c, d, ab,bc
t=3
a
d
b
c
cd, ad
t=4
a
b
d
c
ac
t=5
a
b
d
c
abc
a
b
d
c
acd
Симплексы и цепи
0-симплекс
точка a
1-симплекс
отрезок a , b 2-симплекс
треугольник a , b , c Линейная комбинация симплексов
называется цепью C k
3-симплекс
тетраэдр a , b , c , d ОПЕРАТОР ГРАНИЦЫ
1 a , b b ( 1) a b a
1
b a ab ,
2 a , b, c b, c a , c a , b b, c c, a a , b Граница границы есть нуль!
1 2 a , b , c c b c a b a 0
ЦЕПИ, ЦИКЛЫ, ГРАНИЦЫ
Цепи C k : c k k
i 1
a i i ,
Циклы Z k : C k 0, Z k C k
Границы B k : B k C k 1 B k Z k
c1 c 2 h
C1
h
C2
z
H k Z k B k ker im k rank H k
c1 c 2 h
c1 ~ c 2
Гомологии Сферы
C0 1 0 1
C1 0 1 0
C2 1 2 1
1 0 1 2
Векторное поле на сфере
имеет 2 особенности
Комплексы Чеха-Рипса для сферы
10%
Баркоды и Теория Морса
g
1
, x ?
ДИАГРАММЫ ПЕРСИСТЕНТНОСТИ
ТЕОРЕМА УСТОЙЧИВОСТИ
Для двух ручных непрерывных функций f и g
на конечно триангулируемых пространствах
d b D k ( f ), D k ( g ) f g
МЕТРИКА БУТЫЛОЧНОГО ГОРЛЫШКА
d b ( A , B ) inf sup a a ( a )
БАРКОДЫ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
Гауссовское поле для разных уровней
L=0.3
L=0.5
Wittness complex
L=0.6
L=0.7
t 0.55
SOHO
t 0.65
АО SOHO
L=0.5
L=0.5
L=0.7
L=0.8
t 100 G
SDO
t 300 G
КАК УСЛЫШАТЬ
3D ГЕОМЕТРИЮ ПОЛЯ
(m ax X ( s ) t ) E ( ( S X t ))
s S
E V o lu m e 2 2
3
t
2 D ia m eter 2 2
1 e
2
e
t / 2
2
t /2
1 / 2 A rea 2 EC
2 мера грубости поля
1/ 2
2
e
t
3/2
z /2
dz
2
2
te
t /2
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТОПОЛОГИИ ПОЛЯ С
ТОЧНОСТЬЮ ДО ГОМОЛОГИЙ
?
?
Лозы и Виноградники
Дискретные
гомотопии
f ,g :R R : f ~ g
h0 ( x ) f ( x ) g ( x )
H x, 0 f ( x)
h0 0
2
H ( x ,1) g ( x )
(B.T.Fazy (2010)//arXiv 1002.1937 v.1)
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Документ
Категория
Презентации по физике
Просмотров
21
Размер файла
8 644 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа