close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация

код для вставкиСкачать
Системы линейных
уравнений.
Бугаева Вера Михайловна
учитель математики МОУ лицея№1
г. Комсомольска-на-Амуре
Цели
• Обобщить и углубить знания по теме
системы линейных уравнений и методы решений.
• Расширить кругозор учащихся.
• Показать применение данного материала при решении задач различного уровня.
Задачи
• Систематизировать знания и возможности применения
данного материала при решении систем уравнений в
7 – 11 классах и задач олимпиад разной степени сложности.
• Увлечь школьников предметом математики.
• Возможность самостоятельного изучения данной
темы и устранение пробелов в знаниях.
• Помощь учителям математики в проведении уроков,
кружковых и факультативных занятий по данной теме.
Область применения
В качестве самоучителя учащегося;
на факультативных занятиях и элективных
курсах, уроках;
При подготовке к олимпиадам различного
уровня и конкурсам;
В качестве электронного пособия для успешной сдачи экзаменов.
Описание технологии
создания работы
Данная работа выполнена в программе Microsoft
Power Point. В ней присутствуют чертежи к задачам
для лучшего понимания материала и выкладки формул из печатного варианта работы. В работе также
широко применяются анимационные эффекты. Размер шрифта позволяет представлять данную работу
как на уроках алгебры в условиях кабинета, так и на
различных конференциях, т. е., является универсальным. К тому же, благодаря выбранному размеру
шрифта логическая завершенность информации на
каждом слайде не нарушается.
Платон
Система вида
где
называется
линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными.
Основные методы решения
Метод
алгебраического
сложения
Метод
подстановки
Графический
метод
Метод
определителей
(формулы Крамера)
Метод
исключения
неизвестного
(метод Гаусса)
Впервые с темой «Системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными» ученики
встречаются в 7 классе. В процессе её изучения
рассматриваются три основных способа решения
таких систем: способ подстановки, способ алгебраического сложения, графический способ.
Напомним алгоритмы решения систем линейных уравнений известными тремя способами и
более подробно остановимся на наиболее интересных и увлекательных способах решения (метод определителей - метод Крамера, метод исключения неизвестного - метод Гаусса).
Уравнения системы можно складывать, вычитать, умножать на число,
перемножать, делить, соблюдая при этом возможность выполнения таких
операций.
Заметим, что следствие системы, получаемое в результате алгебраических преобразований , содержит все решения исходной системы и, кроме
того, оно может содержать лишние корни. Поэтому :
1) если следствие не имеет решений, то и исходная система не имеет
решений;
2) если решениями следствия окажутся действительные числа, то их
нужно подстановкой в исходную систему проверить, являются ли
они ее корнями;
3) если решениями следствия окажутся алгебраические выражения, то
их нужно рассматривать совместно с уравнением исходной системы.
В этом случае получим равносильную систему или совокупность систем.
Алгоритм решения систем методом сложения
• Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь
переменной.
• Сложить почленно уравнения системы.
• Составить новую систему: одно уравнение новое,
другое - одно из старых.
• Решить новое уравнение и найти значение одной
переменной.
• Подставить значение найденной переменной в
старое уравнение и найти значение другой переменной
• Записать ответ: х=…; у=… .
Пример 1. Решить систему уравнений
(2х+2у2)(х+у2)2=250,
(х+ху2+у2)(х+у2)2=225
Решение.
Сложим почленно уравнения системы, получим равносильную систему
(2х+2у2)(х+у2)2=250,
(х+ху2+у2)(х+у2)2=225
х+у2=5,
ху2=4.
Полученная система имеет четыре решения (4;1), (4;-1), (1;2) и (1;-2).
которая равносильна системе
Ответ: (4;1), (4;-1), (1;2), (1;-2).
Пример 2. Решить систему уравнений
Решение.
2х8 = х4у4+ 1
3у8 = х4у4+ 2
Перемножив почленно левые и правые части уравнений системы, получим уравнение
5х8у8 - 3х4у4 - 2 = 0, решая которое, находим х4у4 = 1 и х4у4 = - 2, из первого уравнения получим
ху = 1 и ху = - 1, а второе решений не имеет. Таким образом, исходная система равносильна
совокупности двух систем
ху = 1,
и
ху = -1
8
4
4
2х = х у +1
2х8 = х4у4+ 1
Решением первой системы являются две пары чисел (1;1), (-1;-1), а второй – (-1;1) и (1;-1).
Ответ. (1;1), (-1;-1), (-1;1) ,(1;-1).
Метод подстановки состоит в выражении одного неизвестного через другие
и подстановки его в оставшиеся уравнения, получая при этом систему, равносильную данной.
Пример 1. Решить систему:
2х + 3у = 3,
х - 4у = - 4,
х = 4у - 4,
2(4у – 4) + 3у = 3,
х = 4у - 4,
11у = 11,
х = 4у - 4,
у = 1,
х = 4у - 4,
8у – 8 + 3у = 3,
х = 0,
у = 1.
Ответ: (0; 1)
Пример 2. Решить систему:
х + 2у – z = 2,
2х – у + 3z = 4,
3х + у – 3z = 1.
Выразим из первого уравнения переменную х и подставим во второе и третье уравнения, получим:
х + 2у – z = 2,
2х – у + 3z = 4,
3х + у – 3z = 1,
х = 2 - 2у + z,
2(2 - 2у + z ) – у + 3z = 4,
3(2 - 2у + z ) + у – 3z = 1,
х = 2 - 2у + z,
- 5у + 5z = 0,
- 5у = – 5,
х = 2 - 2 + z,
- 5 + 5z = 0,
у = 1,
х = 2 - 2у + z,
4 - 4у + 2z – у + 3z = 4,
6 - 6у + 3z + у – 3z = 1,
х = z,
z = 1,
у = 1,
х = 1,
z = 1,
у = 1.
Ответ: (1; 1; 1)
Пример 3. Решить систему:
x – y = 1,
x2 + y2 = 41.
x – y = 1,
x2 + y2 = 41,
x = y + 1,
2y2 + 2y – 40 = 0,
x1 = - 5 + 1,
y1 = -5,
x2 = 4 + 1,
y2 = 4,
x = y + 1,
( y + 1)2 + y2 = 41,
x = y + 1,
y2 + y – 20 = 0,
x1 = - 4,
y1 = -5,
x2 = 5,
y2 = 4.
x = y + 1,
y2 + 2y + 1 + y2 = 41,
y2 + y – 20 = 0.
По теоремам Виета:
y1 + y2 = - 1,
y1y2 = - 20.
y1 = -5, y2 = 4.
Ответ: (- 4; - 5 ), ( 5; 4 ).
Пример 4. Для всех значений параметра a решить систему:
ах + (а – 1)у = 1,
(а + 1)х – (5 – 3а)у = а.
( )
Применяя метод подстановки для решения данной системы, надо учитывать, что каждый из коэффициентов при неизвестных может быть равен нулю. Поэтому необходимо
отдельно рассмотреть случай обращения в нуль коэффициента при том неизвестном,
которое мы будем выражать.
у = 1,
Пусть а = 0, тогда система имеет вид
х = – 5.
2а2 – 5а + 1 = 0
(1)
Д = 25 – 8 = 17,
(2)
Если
то уравнение (2) равносильно уравнению
которое решений не имеет.
данная система ( ) не имеет решений.
Значит, при
Если а
то уравнение (2) равносильно уравнению
которое также решений не имеет.
Следовательно, при а
и а
уравнение (2) имеет решение
или х =
Ответ: при а = 0 х = - 5, у = - 1; при а =
х=
система решений не имеет;
у=
Для графического метода решения систем двух уравнений с двумя неизвестными надо построить в одной системе координат графики обоих уравнений системы, найти координаты точек пересечения этих графиков, а в задачах с параметрами исследовать различные варианты взаимного расположения этих графиков. Заметим, что найденные координаты точек пересече-ния
должны быть проверены подстановкой в заданную систему уравнений.
Отметим также, что графический метод удобно применять в тех случаях,
когда после несложных преобразований можно без затруднений построить
графики уравнений исходной системы.
«Руководство» к действию.
•
•
•
•
Выразить у через х в каждом уравнении.
Построить в одной системе координат график каждого уравнения.
Определить координаты точки пересечения.
Записать ответ: х =…; у =… , или (х; у)
Решение.
y
у – х = 2,
у + х = 10;
.
10
.
6
.
-2
.
Построим график первого уравнения.
у=х+2
У=10-х
2
1
0
у – х = 2,
у + х = 10;
У=х+2
1
4
.
10
х
у
x
0
2
линейная функция,
график прямая линия
-2
0
Построим график второго уравнения.
у = 10 - х линейная функция,
график прямая линия
х 0 10
у 10 0
Ответ: (4;6)
Порядком определителя называется число столбцов или строк, которых всегда
одинаковое количество.
Вычисление определителя II порядка можно проиллюстрировать схемой
Главная
диагональ
Побочная
диагональ
Метод подстановки состоит в выражении одного неизвестного через другие
и подстановки его в оставшиеся уравнения, получая при этом систему, равносильную данной.
Пример 1. Решить систему:
2х + 3у = 3,
х - 4у = - 4,
х = 4у - 4,
2(4у – 4) + 3у = 3,
х = 4у - 4,
11у = 11,
х = 4у - 4,
у = 1,
х = 4у - 4,
8у – 8 + 3у = 3,
х = 0,
у = 1.
Ответ: (0; 1)
называется главным.
Составим еще два определителя для данной системы, которые получаются
из главного заменой столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свободных членов.
Эти формулы называются формулами Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве
(Швейцария) в семье врача. Уже в детстве он опережал
своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года
Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете.
Юноша так понравился магистрату, что специально для
него и ещё одного одного кандидата на место преподавателя была учреждена отдельная кафедра математики, где
Крамер и работал в последующие годы.
Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков
своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне,
Мопертюи и Клеро в Париже и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место.
Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных
его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на
французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции.
Каждому уравнению системы
на плоскости хоу соответствует
прямая, а самой системе пара прямых.
у
0
Пример 1.
Т.к.
х
т.е. если прямые пересекаются, то система
имеет единственное решение.
Решить систему уравнений
, то система имеет единственное
решение, которое найдем по формулам Крамера.
х = 2, у = 3.
Ответ: (2; 3).
Для того чтобы система
не имела решений, необходимо и
достаточно, чтобы главный определитель
телей
или
был отличен от нуля.
и хотя бы один из определи-
у
0
х
Пример 2. Решить систему уравнений:
В этой системе уравнений свободные члены не пропорциональны коэффициентам при переменных
поэтому данная система несовместна.
Ответ: решений нет.
Для того чтобы система
имела бесконечно много решений,
необходимо и достаточно, чтобы
у
0
Если коэффициенты
то условие
отличны от нуля,
эквивалентно условию
х
В этом случае прямые совпадают, систему называют несовместной и она имеет бесконечно много
решений.
Пример 3. Решить систему уравнений:
В этой системе уравнений свободные члены про-
порциональны коэффициентам при переменных
Значит, данная система равносильна одному из уравнений, например первому, и, следовательно, имеет бесконечное множество решений.
Пример 4. Найти все значения параметра a, при которых система
имеет единственное решение.
т.е.
Ответ:
Пример 5. Для каждого значения а решить систему:
Найдем определители
В этом случае данная система имеет единственное решение
2. При
принимает вид
Ее решение можно записать в виде
где t – любое действительное число.
значит, заданная
3. При
имеем
система решений
не имеет.
Ответ: при
при
при
решений нет.
Метод определителей можно использовать
для решения систем n линейных уравнений
с n переменными.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя переменными.
a11х + а12у + а13z = b1,
a21x + a22y + a23z = b2,
a31x + a32y + a33z = b3.
( )
Запишем главный определитель системы:
Составим еще три определителя:
Приведем два способа вычисления определителя третьего порядка.
1 способ.
При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом
треугольников или Саррюса, которое символически можно записать так:
основания треугольников параллельны
главной диагонали
побочной диагонали
Проще запомнить так.
Для вычисления определителя 3-го порядка приписать к нему снизу две первые строки и взять сумму произведений трех элементов расположенных на главной диагонали
и «прямых», параллельных главной диагонали, со знаком минус взять сумму произведений элементов, расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллельных ей.
Например. Вычислить определитель:
Пьер Фредерик Саррюс — французский математик
(10 марта 1798, Сент-Африк, департамент Аверон — 20 ноября 1861).
Вырос без отца, посредственно учился в школе, испытывая особенные трудности с
дисциплиной. Интересовался математикой и медициной, однако для получения медицинского образования требовалось заверенное мэром города «свидетельство о надлежащем поведении». Как сторонник протестантизма и бонапартизма Саррюс его не получил и поступил на факультет естественных наук, окончив его со специализацией в
математике в 1821 году. С 1826 г. он преподавал в Страсбургском университете, с 1829г.
был профессором, в 1839—1852 гг. деканом. В 1858 г. по болезни вышел в отставку.
Саррюс опубликовал ряд работ в «Журнале чистой и прикладной математики» Жозефа Лиувилля.
2 способ.
Определитель третьего порядка можно вычислить через определители второго порядка.
(*)
(1)
Определители второго порядка, входящие в выражение (1), составлены следующим
образом. Вычеркнем из таблицы (*) ту строку, и тот столбец, где стоит a11. Остающийся определитель входит в (1) множителем при вычеркнутой букве a11. Аналогично получаются два других определителя формулы. Смотри схему.
Полученные в выражение (1) определители второго порядка называются минорами, которые обозначаются так: Мij С помощью миноров можно облегчать задачу вычисления
определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и
тогда определитель будет равен
знак перед произведением равен (-1)n, где n = i + j.
Пример 6. Решить систему уравнений.
7х-3у+5я=32
5х+2у+я+11
2х-у+3я=143
∆х =
∆у =
32 -3 5
11 2 1
14 -1 3
7 32 5
5 11 1
2 14 3
7 -3 5
∆= 5 2 1 = 42- 6 - 25 - 20 + 7 + 45 +4 3,
2 -1 3
43= 0
= 192 – 42 +55 – 140 – 32 + 99 +86
= 231 + 64 + 350 – 110 – 98 – 440 = -43
7 -3 32
∆z = 5 2 11 = 196 - 66 - 160 - 128 + 77 + 210 =1 29
2 -1 14
Х = 86/43 = 2, у = -43/43 = -1, z = 129/43 = 3
Эту же систему можно решить другим методом –
методом Гаусса. Другое название этого метода метод исключения неизвестного.
Ответ: (2;-1;3)
Иоганн Фридрих Карл Гаусс
родился 30 апреля 1777г.
С трех лет от роду он уже умел считать и выполнять элементарные вычисления. В 1784г. Карл пошел в школу. Учитель
очень заинтересовался им и в 1786 г. Он получил из Гамбурга
специальный арифметический текст.
Карл покинул родительский дом в 1788г., когда поступил в школу следующей ступени. Гаусс не терял в новой школе времени даром: он хорошо выучил латынь,
необходимую для дальнейшей учебы и карьеры. В 1791г. Гаусс, в качестве одаренного молодого горожанина, был представлен государю, который для начала пожаловал Гауссу стипендию. В 1792 -1795гг. Гаусс был учеником новой гимназии – Коллегии Карла. Это была школа избранных.За время учебы Гаусс изучил работы Ньютона, "Алгебру" и "Анализ" Эйлера, работы Лагранжа. Первый эффектный успех
пришел к Гауссу, когда ему не было еще 19 лет - доказательство того, что можно
построить правильный 17- угольник циркулем и линейкой.
В 1795г. Гаусс поступил в Геттингенский университет, чтобы изучать математику. В
1799г. Гаусс получил степень доктора философии. Гаусс скончался 23 февраля
1855г.
Это наиболее универсальный и эффективный метод решения линейных алгебраических систем (метод Гаусса).
Он основан на том, что следующие две операции приводят к системе двух линей-ных
уравнений, равносильной исходной:
1. Домножением одного из уравнений на число ;
2. Замена одного из уравнений системы на его сумму с другим, домноженным на
какое-нибудь число.
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:
Первый этап (прямой ход метода) – система с помощью этих опера- ax + bу + cz= A,
ций приводится к ступенчатому (треугольному) виду путём последоваdy + pz = B,
тельного исключения неизвестных;
kz = C.
Второй этап (обратный ход) – последовательно определяются неизвестные из этой ступенчатой системы, начиная с последнего и кончая первым.
Пример 1. Решить систему уравнений.
x y z 6,
2 x 3 y 5 z 7, 3 x 5 y 4 z 25,
x 1,
y 2,
z 3.
2 x 2 y 2 z 12
x y z 6,
0 y 7 z 19, 0 2 y z 7,
x y z 6,
0 y 7 z 19, 0 0 15 z 45,
2 x 3 y 5 z 7
y 7 z 19
3 x 3 y 3 z 18
3 x 5 y 4 z 25
Ответ: (1; 2; 3).
2y 7 z
2 x 4 y 2 z 12
Пример 2
.
Решить систему уравнений.
2x y 3z 3
x 2 y z 6,
x 2 y z 6,
x 2 y z 6,
2 x y 3 z 3, 0 5 y 5 z 15, 0 5 y 5 z 15, x 3 y 4 z 1,
0 5 y 3 z 7,
0 0 8 z 8,
5 y 5 z 15
x 2 y z 6
x 3 y 4 z 1
5 y 3z 7
x 2 y z 6,
x 1,
0 y z 3, y 2,
0 0 z 1,
z 1.
5 y 5 z 15
5 y 3z 7
Ответ: (1; 2; 1).
8z 8
Пример 3. Решить систему уравнений
3 x 4 y 5 z 18,
x 6 y 8 z 0,
x 6 y 8 z 0,
2 x 4 y 3 z 26, 2 x 4 y 3 z 26, 0 16 y 19 z 26, x 6 y 8 z 1,
3 x 4 y 5 z 18,
0 14 y 19 z 18,
2 x 12 y 16 z 0
2 x 4 y 3 z 26
16 y 19 z 26
3 x 18 y 24 z 0
3x 4 y 5z 1
14 y 19 z 18
x 6 y 8 z 0,
x 8,
0 19 z 16 у 26, z 2,
0 0 2 y 8,
y 4.
Ответ: (8; 4; 2).
16 y 19 z 26
14 y 19 z 18
2 y 8
y 4
1. Решить системы уравнений:
x+y+z=6,
y+z+t=9,
z+x+t=7.
2x + 3y – z = 6,
x – y + 7z = 8,
3x – y + 2z = 7.
2. Найти все значения b, при каждом из которых система
4x+ by = 1 +b,
(6 +b)x + 2y = 3 +b.
не имеет решений.
3. Найти все значения с, при каждом из которых система
сх + (с+3)у = 3с-1,
(с+1)х + 8у = 4с.
имеет бесконечное множество решений
4. При каких значениях a и b система уравнений
aх2 – ау = 1 –a ,
bх + (3 – 2b0 = a+b.
имеет единственное решение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра
2. Краснов М. Вся высшая математика т.1 изд
3. Ю.Н.Макарычев, Н.Т.Миндюк, К.И. Пенина учебник алгебры
7класс
4. А.И.Азаров, С.А.Барвшов, А.С.Шибут – текстовые задачи
5. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф.
Сборник конкурсных задач по математике.-М.:Наука.-1983
6. Интернет
Удачи Вам
и успехов
в изучении
математики!
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
201
Размер файла
4 689 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа