close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация

код для вставкиСкачать
ПРОГРЕССИИ
Информационно – справочная
система
МОУ - СОШ с. Восточное
1
Введение
«Пребудет
вечной истина,
Как скоро ее познает слабый человек!»
Шамиссо
Наша презентация создана для того, чтобы помочь
Термин «прогрессия» происходит от латинского слова
вам повторить тему, вспомнить, если забыли,
основные определения и формулы.
Вы узнаете, как прогрессии применяются в жизни и
как знание формул и правил поможет вам не
ошибиться при решении жизненных задач. И, кроме
того, закрепить эти знания на примере
рассмотренных на страничках задач. В конце
предлагаем вам проверить, как вы подготовились к
контрольной работе и оценить свои знания.
«progressio», означающее движение вперед, рост, успех.
МОУ - СОШ с. Восточное
2
Историческая страничка
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с
запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление
наследства и др.
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны
китайским и индийским ученым. Индийский математик
АРИАБХАТТА(5в.) применял формулы общего члена и суммы
арифметической прогрессии.
Но правило для нахождения суммы членов произвольной
арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга
абака» в 1202 г (ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ).
Ты можешь посмотреть как решали задачи на прогрессии.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ прогрессия в древности
ЗАДАЧА из старинного учебника
ПРОБЛЕСКИ таланта юных в арифметике
ЛЕГЕНДА о шахматной доске
МОУ - СОШ с. Восточное
3
Арифметическая прогрессия в древности.
В клинописных табличках вывилонян, в египетских пирамидах (IIв. до
н.э.) встречаются примеры арифметических прогрессий.
Вот пример задачи из египетского папируса АХМЕСА:
«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10
мужчинами, чтобы каждый следующий получил на 1/8
меры больше, чем предыдущий».
Вот формула, которой пользовались египтяне.
a1 S
( n 1) n
d
2
Сейчас мы записываем ее немного по-другому:
S ( a1 a n ) n
2
Проверьте, сколько получит первый человек.
Ответ:
МОУ - СОШ с. Восточное
4
Ответ к задаче 1
1
100
1
8
a1 (10 1) 10 9 10
2
16
10 9
16
151
9 , 4375 мер
16
МОУ - СОШ с. Восточное
5
Задача из старинного учебника
В старинной «Арифметике» МАГНИЦКОГО мы находим
следующую забавную задачу.
Один крестьянин продавал лошадь за 156 рублей. Покупатель,
уже почти купивший лошадь, затем раздумал и вернул ее хозяину,
сказав при этом:
- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких
денег не стоит.
Тогда крестьянин предложил другие условия:
- Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее
подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно в придачу.
Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼
копейки, за второй – ½ копейки, за третий – 1 копейку и т.д.
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром
получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за
гвозди придется заплатить не более 10 рублей.
На сколько же покупатель проторговался?
Ответ:
МОУ - СОШ с. Восточное
6
Ответ к задаче 2
За 24 подковных гвоздя пришлось заплатить
¼ + ½ +1 + 2 + 22 + … + 224 - 3 копеек.
Эта сумма равна
2 2 21
1
4 2 22 1 4194303 3 коп . 42000 руб
2 1
4
4
То есть покупатель проторговался на огромную сумму.
За такую цену необидно и лошадь дать в придачу.
МОУ - СОШ с. Восточное
7
Проблески таланта юных в арифметике.
С формулой суммы нескольких членов арифметической
прогрессии связан один из эпизодов биографии немецкого
математика Карла Гаусса (1777 – 1855), который уже в раннем
возрасте проявил необыкновенные математические
способности.
Однажды на уроке, чтобы надолго занять третьеклассников,
пока он будет заниматься с первоклассниками, учитель велел
сложить все числа от 1 до 100. Он надеялся, что старшие дети
будут долго решать этот пример, но девятилетний Карл сразу же
поднял руку и показал учителю ответ. Изумленный учитель
понял, что это самый способный ученик в его практике.
Работа мальчика удивила учителя. Решение мальчика было не
только правильным, но к тому же весьма простым и
оригинальным. В решении Карла ярко проявилась его
математическая зоркость. Ему оказалось достаточным взглянуть
на запись задания
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99+ 100.
Подумай, как рассуждал мальчик
Ответ:
В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его
даже называли «царем математики».
МОУ - СОШ с. Восточное
8
Ответ к задаче 3
Он заметил, что (1 +100) = (2 + 99) = …
= (50 + 51) = 101
Таких пар было в 2 раза меньше, чем
всех слагаемых, т.е. 50. Выходит, что
вся сумма равна 101× 50 = 5050
МОУ - СОШ с. Восточное
9
Легенда о шахматной доске
Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и
неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за
давностью времен, невозможно проверить.
Шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь Шерам
познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием
возможных в ней положений шахматных фигур. Узнав, что игра была
изобретена одним из его подданных, царь призвал его к себе ее изобретателя,
ученого Сету, чтобы достойно вознаградить его. Он сказал, что достаточно
богат, чтобы выполнить любое желание ученого.
Сета попросил царя выдать за первую клетку шахматной доски одно пшеничное
зерно, за вторую – 2 зерна, за третью - 4, за четвертую – 8, за пятую – 16 и т.д.
Сможет ли царь Шерам выполнить желание Сеты?
Ответ:
1 зерно весит приблизительно 40млг, поэтому все пшеничные зерна весят больше
триллиона тонн. Это превосходит количество пшеницы, собранной
человечеством до настоящего времени.
Если бы Шераму очень уж захотелось выполнить желание Сеты, то ему пришлось
бы превратить земные царства в пахотные поля, осушить моря и океаны,
растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни и засеять все
это пространство пшеницей. Тогда, пожалуй, лет за пять он смог бы
расплатиться с Сетой.
Чтобы представить себе, как велико это количество, прикиньте, какой величины
амбар потребовалось бы построить, чтобы разместить это зерно.
МОУ - СОШ с. Восточное
10
Легенда о шахматной доске
1 м3 пшеницы вмещает 15000000 зерен, значит награда
шахматного изобретателя должна была бы занять объем
примерно в 12000000000000 м3 12000км3.
Значит амбар должен быть шириной 10м, высотой 4м и длиной
3000000000км, а это в 2 рада дальше, чем от Земли до
Солнца!!!...
Индусский царь не мог выдать подобную награду, но если бы он
был силен в математике, то смог бы освободиться от столь
обременительного долга. Для этого нужно было предложить
Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю
причитающуюся ему пшеницу.
Если бы Сета стал считать зерна и считал непрерывно день и ночь,
отсчитывая по 1 зерну в секунду, то в первые сутки он отсчитал
бы всего 86400 зерен. 1000000 зерен он отсчитывал бы почти
десять суток неустанного счета. Даже если бы он всю
оставшуюся жизнь отсчитывал зерна, все равно бы сумел унести
лишь малую часть своей награды.
МОУ - СОШ с. Восточное
11
Решение задачи 4
Понятно, что нам придется находить сумму 64
членов геометрической прогрессии
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …
здесь b1 = 1, q = 2, n = 64
S 64 1( 2
64
1
2 1
2
64
1 18 . 446 . 744 . 073 . 709 . 551 . 615 зерен
(18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона
73бмиллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615).
МОУ - СОШ с. Восточное
12
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ страничка
Определение:
Последовательность чисел,
построенная по закону, который позволяет
неограниченно продолжать эту последовательность
называется прогрессией ( латинское слово
«прогрессио» – движение вперед).
3;6;9;12;15;18;…
3;9;27;81;…
Сможем ли мы указать следующие члены этих
числовых последовательностей?
Можно ли их назвать прогрессиями?
Чем отличаются данные прогрессии?
В курсе алгебры рассматривается два вида
прогрессий:
МОУ - СОШ с. Восточное
13
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ страничка -2
Числовая последовательность, в которой
каждый член, начиная со второго, равен
предыдущему члену, сложенному с одним и тем
же числом, называется арифметической
прогрессией.
Т.е. , а n a n 1 d где d – разность прогрессии.
a n a 1 d ( n 1);
Sn an a n 1
, n 1
a n 1
a1 a n n
2
МОУ - СОШ с. Восточное
14
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ страничка -3
Числовая последовательность, в которой каждый ее член, начиная
со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число, называется геометрической прогрессией.
где q - знаменатель прогрессии
b b q
n
b n b1 q
Sn n 1
bn ;
b1 q 1
n
1
b n 1 b n 1
q 1
Если в геометрической прогрессии знаменатель по модулю меньше 1,
то прогрессия называется бесконечно убывающей геометрической
прогрессией:
S b1
1 q
МОУ - СОШ с. Восточное
15
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ страничка -4
Примеры:
1) Число 99 является членом арифметической прогрессии 3, 5, 7, 9, … . Найти номер этого
члена.
• Решение:
а1 = 3, d = 2, тогда имеем 99 = 3 + 2(n – 1)
99 = 2n. n = 49
Ответ: n =49.
2) Найти седьмой член геометрической прогрессии, если b1 = 81 и q = 1/3.
• Решение:
b7 = 81 × (1/3)7 – 1 = 81 : 36 = 1/9
Ответ: 1/9.
3) Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, … . Найти номер этого
числа.
• Решение:
Пусть п - искомый номер. Тогда 486 = 2× 3п –1; 243 = 3 п—1; 35 = 3п—1;
откуда п —1 = 5; и п = 6.
Ответ: п = 6.
МОУ - СОШ с. Восточное
16
Прогрессии в жизни и в быту
Ребятам часто кажется, что на уроках они
изучают что-то совсем не нужное в жизни. Они
постоянно задают вопрос «И где мне в жизни
пригодятся эти ваши прогрессии?»
Посмотрите, как умение решать задачи на
прогрессии может пригодится в жизни.
Что значит жить на проценты
Прогрессия размножения
МОУ - СОШ с. Восточное
17
Что значит жить на проценты
Сегодня многие учреждения предлагают потребителям сберегательные услуги, которые
выглядят как заманчивая альтернатива «чулку». Если у вас есть сбережения, то
непременно приходится решать вопрос – куда вложить деньги, как их можно сохранить
и приумножить.
Надо с настороженностью относиться к многочисленным рекламным объявлениям,
обещающим большие проценты на вклад, которые, к сожалению, не всегда корректны.
А все дело в том, что процент можно считать по-разному.
Давайте проверим, в какой банк выгоднее положить деньги, в тот, который обещает 10% на
сумму вклада ежемесячно или в тот, который начисляет проценты раз в квартал в
размере 30% на вклад?
Пусть вы положили в банк 1000 рублей. Тогда в первом банке сумма вклада будет
составлять после
1 месяца
1000 + 1000 × 0,1 = 1000 ×1,1 = 1100руб.
2 месяцев
1100 + 1100 × 0,1 = 1000 × (1,1)2 = 1210 руб.
……..……………………………………………………………
12 месяцев
1000 × (1,1)12 = 3138, 4 руб.
Вклад ежемесячно увеличивается в 1,1 раза, следовательно, за год он увеличится в
(1,1)12 = 3,1384 раза , что составит прирост на 214%
Во втором банке вклад ежеквартально увеличивается в 1,3
раза, т.е. за 4 квартала он увеличится в (1,3)4 = 2,8561 раза, что
составляет прирост на 186%.
Теперь ясно, что выгоднее положить деньги в первый банк.
МОУ - СОШ с. Восточное
18
Прогрессия размножения - 1.
Думали ли вы когда-нибудь, что представлял бы собой наш мир, если все живые
существа размножались бы беспрепятственно? Легко показать, что закон
геометрической прогрессии размножения привел бы такой мир к самому
прискорбному состоянию, какое только можно себе вообразить. В каких-нибудь 20-30
лет вся поверхность суши сплошь зарастет непроходимыми дебрями растений, в
которых будут буквально кишеть миллиарды всевозможных животных, яростно
пожирая друг друга в борьбе за место. Океан вместо воды наполнится рыбой, а воздух
сделается непрозрачен от птиц и насекомых. И в этом нет ни капельки преувеличения.
Даже если бы на земле сначала было всего одно растение одуванчика, которое
ежегодно дает около 100 семян, то, если бы они все прорастали, мы имели бы:
В первый год
1 растение
Во второй год
100 растений
В третий год
10000 растений
В четвертый год
1000000 растений
В пятый год
1000000000 растений
В шестой год
10000000000 растений
В седьмой год
1000000000000 растений
В восьмой год
10000000000000 растений
В девятый год
10000000000000000 растений
Это в 70 раз больше, чем площадь всей поверхности суши ( 135 миллионов м2).
Следовательно уже через 9 лет материки земного шара были покрыты одуванчиками ,
по 70 штук на каждом квадратном метре.
И так вели бы себя все растения, животные, насекомые и птицы.
МОУ - СОШ с. Восточное
19
Прогрессия размножения - 2.
Так произошло много лет назад в Австралии. Когда этот материк
открыли европейцы, там не было ни одного кролика. Кроликов
привезли в Австралию в конце 18 века, и так как там нет хищников,
питающихся кроликами, то размножение этих грызунов пошло
необычайно быстрыми темпами, вскоре полчища кроликов наводнили
всю Австралию, нанося страшный вред сельскому хозяйству.
Фермерам пришлось спешно начинать борьбу с грызунами.
Второй пример. В Америке не было воробьев. Столь обычная у нас
птица была ввезена в Соединенные Штаты для борьбы с вредными
насекомыми. Как и в Австралии никто не охотился на этих милых
пичужек, и они стали быстро размножаться. Вскоре количество
вредных насекомых уменьшилось, что воробьям нечего стало есть. Они
принялись за растения и стали опустошать посевы. Пришлось спешно
приступать к борьбе с воробьями. Эта борьба обошлась американцам
так дорого, что на будущее был издан приказ, запрещающий ввозить в
страну каких бы то ни было животных.
МОУ - СОШ с. Восточное
20
Дидактическая
Ну вот, мы и добрались почти до конца.
Не мешало бы теперь проверить, а не
напрасно ли мы потратили на это дело
целый урок.
Для этого открой ТЕСТ и ответь на
несколько несложных вопросов. После
чего можешь сразу посмотреть свою
оценку за урок
Кстати, ты можешь посмотреть
исследование , которое провели ребята.
Презентация. Обрати внимание, что
слайды в ней меняются по щелчку мышки.
МОУ - СОШ с. Восточное
21
Библиотечная страничка
Более подробную информацию можно получить,
используя следующие источники:
1. Е. И. Игнатьев Хрестоматия по математике - М.:
Просвещение, 1993.
2. Дорофеев Г.В. Процентные вычисления - М: Дрофа Москва, 2003.
3. Петрова И. Н. Проценты на все случаи жизни Л.:
Наука. Ленингр. отделение, 1996.
4. С. Акимова Занимательная математика. - М.: Госиздат
физ.- мат. Литературы, 1997г.
5. Математический энциклопедический словарь./под
ред. Ю. В. Прохоровой. - М.: сов. Энциклопедия, 1988.
6. Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной
математике. - 3-е изд., испр. - Минск: Вышэйш. школа,
1978.
МОУ - СОШ с. Восточное
22
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
35
Размер файла
182 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа