close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация.

код для вставкиСкачать
Системы счисления
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ
Что такое система счисления?
Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного
набора специальных знаков (цифр).
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она
вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в
записи числа. Так, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать
два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в
зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр,
изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка
означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей
единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0,7= 7*102 + 5 • 101 + 7-10° + 7*10-1 = 757,7.
Любая позиционная система счисления характеризуется
своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — это
количество различных знаков или символов,
используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно
бесчисленное множество позиционных систем: двоичная,
троичная, четверичная и т.д. . Запись чисел в каждой из
систем счисления с основанием q означает
сокращенную запись выражения
an-1qn-1+an-2qn-2+…+a1q1+a0q0+a-1q-1+…+a-mq-m
где а1 - цифры системы счисления; n и m - число целых и
дробных разрядов, соответственно.
Например:
1011, 12 = 1*23 + 0*22+ 1*21 + 1*2° + 1*2-1 ;
276, 528 = 2*82 + 7*81 + 6*8° + 5*8-1+2*8-2.
КАКИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ИСПОЛЬЗУЮТ
СПЕЦИАЛИСТЫ ДЛЯ ОБЩЕНИЯ С ЭВМ ?
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся
степенью числа 2, а именно:
• двоичная (используются цифры О, 1);
• восьмеричная (используются цифры О, 1, ..., 7);
• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти
используются цифры О, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до
пятнадцати - в качестве цифр используются символы А, В, С, D, Е, F ).
Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух
десятков целых чисел:
10-я
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2-я
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
8-я
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
16-я
0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10-я
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2-я
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
8-я
12
13
14
15
16
17
20
21
22
23
16-Я
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
Из всех систем счисления особенно проста и поэтому
интересна для технической реализации в ЭВМ
двоичная система счисления.
ПОЧЕМУ ЛЮДИ ПОЛЬЗУЮТСЯ ДЕСЯТИЧНОЙ
СИСТЕМОЙ, А ЭВМ - ДВОИЧНОЙ ?
Люди предпочитают десятичную систему,
вероятно, потому, что с древних времен
считали. по пальцам, а пальцев у людей по
десять на руках и догах. Не всегда и не везде
люди пользуются десятичной системой
счисления. В Китае, например, долгое время
пользовались пятеричной системой
счисления.
А ЭВМ используют двоичную систему потому,
что она имеет ряд преимуществ перед
другими системами:
О для ее реализации нужны технические
элементы с двумя возможными состояниями
(есть ток - нет тока, намагничен ненамагничен и т.п.), а не, например, с
десятью, как в десятичной, что намного
проще;
•представление информации
посредством только двух состояний
надежно и помехоустойчиво;
•возможно применение аппарата
булевой алгебры для выполнения
логических преобразований
информации;
•двоичная арифметика намного проще
десятичной;
• двоичные таблицы сложения и
умножения предельно просты.
Двоичная таблица сложения
Двоичная таблица умножения
0+0 = 0
0+1 = 1
0*0 = 0
0*1 = 0
1 + 0=1
1+1=10
1*0 = 0
1•1=1
Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов
необходимых для записи чисел.
ПОЧЕМУ В ЭВМ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТАКЖЕ ВОСЬМЕРИЧНАЯ И
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ?
Двоичная система, удобная для ЭВМ, для человека неудобна изза её громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот
выполняет машина. Однако, чтобы профессионально
использовать ЭВМ, следует научиться понимать слово машины.
Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная
системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как
десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в
четыре (шёстнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в
двоичной системе (ведь числа 8 и 16 - соответственно, третья и
четвертая степени числа 2).
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в
двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру
заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр)
или тетрадой (четверкой цифр):
Например,
537,18 = 101 011 111, 0012 ; 1А3,F16 = 1 1010 0011, 11112
Соответственно, чтобы перевести число из
двоичной системы в восьмеричную или
шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и
вправо от запятой на триады (для
восьмеричной) или тетрады (для
шестнадцатеричной) и каждую такую группу
заменить соответствующей восьмеричной
(шестнадцатеричной) цифрой.
Например,
10101001,101112 = 10 101 001, 101 1102 = 251,568
10101001,101112 = 1010 1001, 1011 10002 = A9,В816 .
КАК ПЕРЕВОДЯТСЯ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ
В ДВОИЧНУЮ (ВОСЬМЕРИЧНУЮ, ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ)?
При переводе десятичного числа в систему с
основанием q (q= 2, 8, 16) его необходимо
последовательно делить на q до тех пор, пока не
останется остаток, меньший или равный q-1.
Число с основанием q записывается как
последовательность остатков от деления, записанных в
обратном порядке, начиная с последнего.
Пример. Перевести число
234 из десятичной
системы в двоичную,
восьмеричную и
шестнадцатеричную :
Ответ: 23410 =11 101 0102 =3528
=EA16
КАК ПЕРЕВОДЯТСЯ ЧИСЛА ИЗ ДВОИЧНОЙ
(ВОСЬМЕРИЧНОЙ, ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ)
СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ?
Для этого число в двоичной (восьмеричной,
шестнадцатеричной) системе надо представить в
виде суммы степеней основания его системы
счисления.
Примеры:
1011,12 = 1000+10+1+0,1 = 1 *23+ 1*21 + 1 *2° +1*2-1 =
11,510
276,58 = 200+70+6+0,5 = 2 • 82 + 7 • 81 + 6 • 8° + 5 • 8-1
=190,6210
1F316 = 100+FО+З = 1 • 162 + 15 • 161 + 3 • 16° = 49910
НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.
Единичная (унарная) система счисления. Находки
археологов свидетельствуют, что первобытные люди
отображали равным количеством значков (зарубки,
черточки, точки) количество чего либо.
Древнеегипетская десятичная система
Славяне числа кодировали буквами а=1, В=2, Г=3;
чтобы избежать путаницы ставился специальный знак
~ титло
АЛФАВИТНАЯ
система счисления. Славянская
нумерация сохранялась до конца XVII века.
При Петре I возобладала т.называемая арабская
нумерация. Славянская нумерация сохранилась в
богослужебных книгах.
КАК ПРЕДСТАВЛЯЮТСЯ В ЭВМ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА?
Обычно целые числа занимают в памяти ЭВМ один, два или
четыре байта.
Целые числа без знака в двубайтовом формате (16
двоичных разрядов) могут принимать значения от нуля до
65535 (т.е. от 0 до 216-1), а со знаком - от -215 до +215 (т.е. от 32768 до 32767). Знак «+» обычно кодируется нулем, а «-»
единицей.
Например, десятичное число 18 (100102) может быть
записано в машине так:
КАК ПРЕДСТАВЛЯЮТСЯ В ЭВМ БУКВЫ И
СИМВОЛЫ?
Каждый символ имеет свой код — т.е.
последовательность из 8 нулей и единиц (байт). Всего
существует 28= 256 разных последовательностей из 8
нулей и единиц.
Соответствие байтов и символов задается с помощью
таблицы, в которой для каждого кода указывается
соответствующий символ.
Например:
Таким образом, последовательность символов
«А+В» в памяти запишется следующим образом:
ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Запись числа в двоичной системе удобна для компьютера, но громоздка для
человека. На помощь приходят системы, родственные двоичной
ВОСЬМИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ использует 8 цифр:
0,1,2,3,4,5,6,7.
Единица, записанная в самом младшем разряде означает просто единицу (1*8
в нулевой степени),
та же единица в следующем разряде обозначает 8 (1*8 в первой), в
следующем 64(1*8 во второй)и т.д.
1008 =1*82 +0*81 +0*80 = 1*64+0+0=6410
8 - это 2 в третьей степени. При переводе в восьмиричную систему двоичное
число из трех записывается одной цифрой.
Для перевода из двоичной в восьмиричную число, записанное в двоичной
системе делим на триады справа налево
Например , 11011100011=11 011 100 011 и заменить каждую группу одной
восьмиричной цифрой 2 2 4 2 и получим 22428
Для перевода числа из восьмиричной системы в двоичную достаточно
заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив
каждую цифру в виде триады (1 в двоичной системе 1 добавляем до триады
впереди 00)
Еще компактней выглядит запись двоичного числа в ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ
СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ.
Для первых 10 из 16 шестнадцатиричных цифр используются привычные цифры 0 1
2 3 4 5 6 7 8 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита
A-10 , B-11, C-12 , D-13, E-14, F-15
Цифра 1 в самом младшем разряде означает 1, в следующем разряде означает 16 (в
первой степени), в следующем разряде 16*16 (162)=256, в следующем разряде 1*163 и
т.д.
10016 =25610
Цифра F, записанная в самом младшем разряде означает 15 в десятичной системе, F в
следующем разряде означает 15*16 в первой степени в десятичной системе и т.д.
2 1 0 - 1 разряды (степени числа 16)
Число 21016=10*162+15*161+0*160
21016=10*256+240+0*1=2560+240+0=280010
210
BAD16= 11*162+10*161+13*160=11*256+10*16+13*1=2816+160+13=298910
16 - это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в
шестнадцатиричную число двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной
цифры в шестнадцатиричной системе.
Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить
каждую цифру на ее перевод в двоичную, представив каждую цифру в виде сочетания
четырех 1 и 0
A
O
F
1010
0000
1111
AOF16
10
2
8
16
0
000
0
0
1
001
1
1
2
010
2
2
3
011
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
Документ
Категория
Презентации по информатике
Просмотров
37
Размер файла
2 484 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа