close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Системы счисления

код для вставкиСкачать
Системы счисления
История
систем счисления
Система счисления –
это способ записи (изображения) чисел.
Системы счисления делятся на
позиционные
с.с.- системы записи
чисел, в которых вклад
каждой цифры в величину
числа зависит от ее
положения (позиции) в
последовательности цифр,
изображающей число.
непозиционные
с.с.- системы записи
чисел, в которых каждой
цифре соответствует
величина, не зависящая от ее
места в записи числа
Цель создания системы счисления
Простота способа записи на
материальном носителе (бумаге, камне,
дереве и т.п.)
Удобство выполнения арифметических
операций над числами в предложенной
записи.
Наглядность обучения основам работы с
числами.
Единичная система счисления
Возникла за 10-11 тысяч лет до н.э.
Для записи чисел применялся только один вид знаков —
палочка.
Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее
применения очевидны:
чем большее число надо записать, тем длиннее строки из
палочек
при записи большого числа легко ошибиться — нанести
лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать
палочки
Так как люди, естественным образом, при подсчете использовали
пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения
групп предметов из 5 и 10 штук (единиц).
И, таким образом, возникли уже более удобные системы записи
чисел.
Древнеегипетская десятичная
непозиционная система
Возникла во второй половине третьего тысячелетия до
н.э.
Использовала специальные знаки (цифры) для
обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105 106, 107.
Числа в египетской системе счисления записывались
как комбинации этих «цифр», в которых каждая
«цифра» повторялась не более девяти раз.
Число 345 древние египтяне записывали так:
Бумагу заменяла глиняная
дощечка, и именно поэтому
цифры
имеют
особое
начертание.
В основе как палочной, так и
древнеегипетской систем
счисления лежал принцип
сложения, согласно которому
значение числа равно сумме
значений цифр, участвующих
в его записи.
Ученые относят
древнеегипетскую систему
счисления к десятичной
непозиционной.
Фотография стены и глиняной дощечки
с древнеегипетскими иероглифами
Вавилонская шестидесятеричная
система
Возникла за две тысячи лет до н.э.
Числа в этой системе счисления составлялись из
знаков двух видов:
прямой клин служил для обозначения единиц
лежачий клин для обозначения десятков
специальный символ для обозначения
пропущенного шестидесятичного разряда, что
соответствует в привычной нам десятичной
системе появлению цифры 0 в записи числа.
Для определения значения числа надо было изображение числа разбить
на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков
(«цифр») соответствовало чередованию разрядов:
Значение числа определяли по значениям составляющих его «цифр», но с
учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60
раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.
Число 35 в вавилонской системе записывали так:
Число
Число
92=60+32
3632=3600+32
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной
непозиционной системе, а число в целом — в позиционной
системе с основанием 60.
Шестидесятеричная вавилонская система —
первая известная нам система счисления,
основанная на позиционном принципе.
Система вавилонян сыграла большую роль в
развитии математики и астрономии, ее следы
сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор
делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.
Точно так же, следуя примеру вавилонян,
окружность мы делим на 360 частей (градусов).
Запишите в десятичной с.с. (системе
счисления) :
Запишите в вавилонской с.с.:
Римская система
Римская система принципиально
ненамного отличается от
египетской. В ней для
обозначения чисел 1, 5, 10, 50,
100, 500 и 1000 используются
заглавные латинские буквы I, V,
X, L, С, D и М (соответственно),
являющиеся «цифрами» этой
системы счисления.
Число в римской системе
счисления обозначается набором
стоящих подряд «цифр».
Календарь на каменной плите (3-4 в.в.),
найденный в Риме
Значение числа равно:
сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр»
(назовем их группой первого вида);
разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры»
стоит меньшая. В этом случае от значения большей «цифры»
отнимается значение меньшей «цифры». Вместе они образуют
группу второго вида.
Левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок:
так перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только Х(10),
перед D(500) и М(1000) — только С(100),
перед Х(10) – только V(5) и I(1),
перед V(5) — только I(1)
сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого
или второго вида.
Число 33 в римской системе записывали так:
XXXIII=(X+X+X)+(I+I+I)=30+3
Число 444 так:
CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4
Число 1974 так:
MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)= =1000+900+50+20+4
Запишите в десятичной СС :
Запишите в римской СС :
1) XXVII
2) CMXXIX
1) 633
2) 2002
Алфавитные системы
Более совершенными
непозиционными системами
счисления были алфавитные
системы. К числу таких систем
счислении относились
славянская, ионийская
(греческая), финикийская и
другие. В них числа от 1 до 9,
целые количества десятков (от 10
до 90) и целые количества сотен
(от 100 до 900) обозначались
буквами алфавита. Алфавитная
система была принята и в древней
Руси. Числа от 1 до 10
записывали так:
«В год 6367. Варяги из заморья…»
Над буквами, обозначавшими числа, ставился специальный знак ˜ титло.
Это делалось для того, чтобы отличить числа от обычных слов:
Славяне, как и греки, умели записывать числа и большие 1000. Для этого
к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например,
числа 1000, 2000, 3000... записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3...,
только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак.
Число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее
обводили кружком:
. Называлось это число «тьмой». Отсюда
и произошло выражение «тьма народу».
10 тем, или 100 000, было единицей высшего разряда. Ее называли
«легион». 10 легионов составляли «леорд». Самая большая из величин,
имеющих свое обозначение, называлась «колода», она равнялась 1050.
Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».
Для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же
символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для
определения значения разряда (это признаки позиционных с.с.).
Индийская мультипликативная
система
В древнем Китае, Индии и в некоторых других странах существовали
системы записи, построенные на мультипликативном принципе.
Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни — Y.
Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: 3Y 2Х 3.
В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков,
сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после
каждого символа пишется название соответствующего разряда. С
использованием введенных обозначений число 100 можно записать в
виде 1Y.
Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание
названий разрядов при письме (подобно тому, как мы говорим «три
двадцать», а не «три рубля двадцать копеек»). Но при записи чисел по
такой системе очень часто требовался символ для обозначения
отсутствующего разряда.
Появление нуля
Современная десятичная система счисления возникла
приблизительно в V веке н.э. в Индии после величайшего
открытия — цифры «0» для обозначения отсутствующей
величины. Как же появился нуль?
Еще вавилоняне употребляли специальный символ для
обозначения нулевого значения разряда. Примерно во II веке до
н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились
греческие ученые. Вместе с их вычислительными таблицами они
переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59
они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной
нумерации. Для обозначения нулевого разряда они стали
использовать символ О (первая буква греческого слова Ouden ничто). Этот знак был прообразом нуля. Индийцы познакомились
с греческим нулём и вавилонской системой и объединили её со
своей мультипликативной системой получив систему, которую в
наше время принято называть арабской, так как именно они
завезли эту систему в Европу в начале XII века.
Цифры различных систем счисления
Каждая система счисления использовала свои символы для записи чисел,
которые мы называем «цифрами».
В палочной системе счисления
использовался единственный символ
«палочка», то есть единственная цифра
— 1.
В древнеегипетской
непозиционной десятичной
системе счисления
использовались следующие
«цифры»:
В римской непозиционной системе
счисления
в
качестве
«цифр»
использовались следующие заглавные
латинские буквы:
В алфавитной славянской
системе счисления в качестве
цифр» использовалось 27 букв
кириллицы. До конца XVII
века (до реформы Петра I) на
Руси
в
качестве
цифр
использовались
следующие
буквы:
В
современной
позиционной
десятичной с. с. используются 10
арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Почему их называют арабскими? С
возникшей
в
Индии
десятичной
системой
счисления
первыми
познакомились арабы. Они завезли эту
систему счисления в Европу, используя
ее при подсчетах в торговых операциях.
С начала XII века эта десятичная
система получила распространение во
всей Европе под названием арабской.
Будучи проще и удобнее остальных
систем,
она
достаточно
быстро
вытеснила все другие способы записи
чисел. С тех пор цифры, используемые
для записи чисел в десятичной системе
счисления, называют арабскими.
Так
видоизменялись
цифры,
употреблявшиеся арабами, пока они не
приняли современные формы. Эти цифры
называются цифрами «губар». Откуда
произошли сами цифры «губар», до сих пор
остается неясным.
«Мысль выражать все числа десятью знаками,
придавая им, кроме значения по форме, еще
значение по месту, настолько проста, что
именно из-за этой простоты трудно понять,
насколько она удивительна. Как нелегко было
прийти к этому методу, мы видим на примере
величайших гениев греческой учености
Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль
осталась скрытой ».
Математик и физик XVIII-XIX вв. П. Лаплас
Контрольные вопросы и
задания
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Чем отличаются позиционные системы счисления от
непозиционных?
Какие виды систем счисления вы знаете?
С применением каких систем счисления вы
встречались?
Придумайте свою непозиционную систему
счисления.
Запишите число 25 во всех системах счисления, о
которых было рассказано выше.
Используя римскую систему счисления, выпишите
числа от 100 до 110.
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
213
Размер файла
423 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа