close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение задач с параметрами в итоговом

код для вставкиСкачать
Презентация темы «решение задач
с параметрами в итоговом
повторении курса алгебры.»
Разработано
учителем
математики
гимназии №22
Захарьян А. А.
Оглавление
1)
2)
3)
4)
Предисловие
Занятие №1
Занятие №2
Занятие №3
3
4-20
21-29
30-42
Предисловие
• В последнее время в билетах вступительных экзаменов по
математике, в ЕГЭ обязательно встречаются задачи с параметрами.
Однако эта тема не входит в программу школьного курса за
исключением классов с углублённым изучением математики.
Существует мнение, что решение задачи с параметрами не выходит за
пределы программы школьного курса математики. Имеется в виду, что
если ученик или абитуриент владеет школьной программой, то он
может самостоятельно, без специальной подготовки справится с
задачей с параметрами. На самом деле решить задачу с параметрами
может учащийся, который прошел специальную целенаправленную
подготовку. Поэтому в школьной математике этим задачам должно
уделяться внимание.
• В классах с углублённым изучением математики параметрам
уделяется достаточно внимания, начиная с решения линейных
уравнений. При изучении каждой темы «углублёнки» можно найти
время для решения задач с параметрами. Чего нельзя сказать об
общеобразовательных классах и классах с гуманитарным уклоном.
Поэтому я предлагаю учителям, работающим в
неспециализированных выпускных классах перед итоговым
повторением уделить несколько часов решению задач с параметрами
Занятие №1 (2 часа)
• Главное, что должен усвоить школьник это то, что
параметр – это число, хоть и неизвестное, но
фиксированное, имеющее двойственную природу.
После этих вступительных слов можно спросить у
школьников встречались ли они с параметрами.
Это линейная функция y=kx+b, где x и y –
переменные, k и b – параметры; квадратное
уравнение ax2+bx+c=0, где x - переменная a, b, c, параметры.
• Задачи надо начинать решать с очень простых,
постепенно усложняя их.
Пример №1. Сравнить –а и 5а
•
•
•
•
•
•
Решение:
1) если а <0, то –а>0, 5a<0, значит
–а>5a
2) если а=0, то –а=0, 5а=0, значит
–а=5а
3) если а>0, то –а<0, 5a>0, значит
–а<5a.
Ответ: если a<0, то –а>5a
если а=0, то–а=5а
если а>0, то–а<5a.
Пример №2. Решить уравнение ах=2
• Решение:
• 1) если а=0, то 0х=2, решений
нет
2
• 2) если а≠0, то х= a
• Ответ: если а=0, то решений нет
•
если а≠0, то х=
2
a
Пример №3 Решить уравнение
(а2-9)х=а+3
• Решение:
• 1) если а=3, то 0х=6,
решений нет
• 2) если а=-3, то 0х=0, х R
• 3) если а≠±3, то а2-9≠0, x x
1
a3
• Ответ: если а=3, то
решений нет
• если а=-3, то x R
1
• если а≠±3, то x a3
a3
a 9
2
Пример №4 Решить неравенство: ах<7
• Решение:
• 1) если a>0, то
• 2) если а<0, то
• 3) если а=0, то
x R
x
7
a
x
7
a
0x 7
• Ответ: если а>0, то х<
если а<0, то
•
•
если а=0, то
- «И»
7
a
7
x
a
x R
Пример №5 Решить уравнение
x a
x 3
• Решение:
xa
x3
0
x a 0,
x a,
x 3 0
x 3.
• Ответ: если а=-3, то решений нет
если а≠-3, то х=а.
0
Пример №6 Решить уравнение
( a 1) x 2 x 1 a 0
2
•
•
Решение:
1) если а=-1, то -2х+1+1=0; х=1
1 a
•
2) если а≠-1,то х=1 или x •
Ответ: если а=-1, то х=1
1 a
если а≠-1,то х=1 или x a 1
a 1
Пример №7 Решить уравнение
x b ( x 4) 0
• Решение:
x b ( x 4) 0
x b 0
x b
x b, b
x 4 0, x 4, x 4, b 4.
x b 0
x b
• Ответ: если b<-4, то x=-4 или x=b
•
если b=-4, то x=-4
•
если b>-4, то x=b.
Пример №8 Решить уравнение
x
•
2
1 a ( x 1) 0
Решение:
a ( x 1) 0 ,
a ( x 1) 0 ,
x 1 0,
2
x 1,
1 a ( x 1) 0
x 1 0
a ( x 1) 0
x 1.
2
x
2
•
1) если а≠0, то х=1
•
2) если а=0, то x R значит х=1 или х=-1
•
Ответ: если а≠0, то х=1
если а=0, то х=±1
Пример №9 Решить неравенство
(1 b ) x 2 bx 1 0 .
2
2
•Решение:
1) a) если b=1, то 2 x 1 0; x 1
2
б) если b=-1, то 2 x 1 0 ; x 1
2.
2) если b≠±1, то неравенство квадратное
D
b (1 b ) 2 b 1
2
2
2
4
1
b
D
2
2
0 2b 1 0 ,
1
4
b
2
• a)
D
1 b 0 b ( 1;1)
2
1
0 b ( ; 4
)(
2
4
D
4
0 1
b
2
1
b
2
0 b (
1
2
;
;)
2
2
b
2
b
1
x ;
2
1 b
D
1
b 2b 2 1
; 2
1 b
x R
1
2
)
x R
• б) 1 b 0 b ( ; 1) (1; )
• учитывая, что при b ( ; 1 ) (
2
2
•
• то
•
2
;)
D
0,
4
b 2b 2 1 b 2b 2 1 x
;
2
2
1 b
1 b
• Ответ: если b=1, то
•
1
если b=-1, то
1
x ; 2
1
x ; 2
если b ( ; 1) (1; ) то
b 2b 2 1 b 2b 2 1 x
;
2
2
1
b
1
b
• если b ( 1; 1
)(
1
2
2
2
b
2
b
1
x ;
2
1 b
• если
1
1 b ;
2
2
то
;1) то
b 2b 2 1
; 2
1 b
x R
• Рассмотренные выше задачи требовалось просто решить.
В следующих задачах будет поставлено какое-то более
«узкое», конкретное условие.
Пример №102При каких а уравнение
ax x 3 0
имеет единственное решение?
• Решение:
• 1) если а=0, то х=3
• 2) если а≠0, то уравнение квадратное и оно имеет
единственное решение при D=0
• D=1-12a
1
D 0 1 12 a 0 a 12
• Ответ: при а=0 или а=
1
12
Пример №11 При каких а уравнение
(a 2) x (4 2a ) x 3 0
2
имеет единственное решение?
•
•
•
Решение:
1) если а=2, то решений нет
2) если а≠2, то уравнение имеет единственное решение
при D=0
D
( 2 a ) ( a 2 ) 3 a 7 a 10
2
2
4
a 5
0 a 7 a 10 0 4
a 2
D
•
2
Ответ: при а=5
Задачи для самостоятельного домашнего
решения задаются с ответами для
самоконтроля
При каких а уравнение имеет решения, найти их
1)
a3
x 1
(x 5 3a
x2
14 a
3a 2
при
ax 3
x x2
2
2
2 18
18
a ( ; 6 ) ( 6 ; ) ( ; ) ( ; ))
3
3 7
7
2) Решить уравнение:
xa
a) 2
0
x 4x 3
(при а=1 или а=3 решений нет; при а≠1 и а≠3 х=а)
•
б)
•
•
x2
xa
0
(при а=-2 решений нет; при а≠-2 х=2)
3) При каких а уравнение имеет ровно три корня
x x a( x x)
3
(при
3
a ( 1;1))
Занятие №2 (2 часа)
• Урок начинается с разбора
домашнего задания. Затем учитель
предлагает решить более общую
задачу.
Пример №12 Выяснить, при каких
значениях параметра а уравнение
2
5 ( 4 a ) x 10 x a 0 имеет:
•
•
•
•
1) два различных корня;
2) не более одного корня;
3) два корня различных знаков;
4) два положительных корня.
•
•
Решение:
1) уравнение имеет два различных корня тогда и только
тогда, когда оно квадратное и D>0.
4 a 0,
a 4,
4 a 0,
a 4,
a ( 1; 4 ) ( 4 ;5 )
D
2
25 5 a ( 4 a ) 0
a ( 1;5 )
a 4a 5 0
0
4
•
2) а) если а=4, то
б)
x
2
3
a 4,
a 4,
a 4,
2
a ( ; 1] [ 5 ; )
D 0
a ( ; 1] [ 5 ; )
a 4a 5 0
• 3) уравнение ax bx c 0 имеет два корня различных
c
0 значит
• знаков тогда и только тогда, когда
2
a
5( 4 a )
a
0 a ( 0;4 )
• 4) уравнение ax bx c 0 имеет два положительных
корня тогда и только тогда, когда
2
D 0,
4 a 0,
c
0,
a
b
0
a
4 a 0,
2
a [ 1;5 ],
a 4 a 5 0,
a
a 4,
a [ 1; 0 )
0,
5(4 a )
a ( ; 0 ) ( 4 ; ),
10
a 4
0
5(4 a )
Самостоятельная работа.
Вариант I
• 1. Для всякого а решить уравнение
x ( 2 a 1) x 2 a 0
2
•
•
•
•
Решение:
Т.к. сумма коэффициентов равна 0, то х=1 или х=2а
Ответ: 1; 2а.
2. При каких b уравнение имеет единственный корень?
Для каждого b найти этот корень.
3 x bx 12 0
2
• Решение:
• Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и
только тогда, когда D=0
D b 144
2
b 12 ,
D 0 b 144 0 b 12
2
12
; x 2
• 1) если b=12, то x 6
•
12
• 2) если b=-12, то x ; x 2
6
•
• Ответ: при b=12 x=-2
•
при b=-12 x=2.
• 3. Для каждого значения параметра решить неравенство:
( x 4 )( x b ) 0 .
2
• Решение:
( x 4 )( x b ) 0 ( x 2 )( x 2 )( x b ) 0
• Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев
2
функцию f(x)= ( x 2 )( x 2 )( x b ) ,
• непрерывную на R, имеющую нули 2, -2, b
• Рассмотрим три случая:
• 1) b 2
x [b ; 2 ] [ 2; )
• 2) -2<b<2
x [ 2; b ] [ 2; )
• 3) b 2
x [ 2;2 ] [b ; )
• Ответ: если
b 2
то x [ b ; 2 ] [ 2 ; )
• если -2<b<2, то x [ 2 ; b ] [ 2 ; )
• если b 2 то x [ 2 ; 2 ] [ b ; )
Вариант II
• Задания аналогичны заданиям варианта I.
• 1. x 2 ( 3 a 1) x 3 a 0
• Ответ: -1; 3а.
• 2. 5 x 2 bx 20 0
• Ответ: при b=20 x=-2
•
при b=-20 x=2.
( x 1)( x a ) 0
2
• 3.
• Ответ: если a 1, то x ( ; a ] [ 1;1]
•
если -1<a<1, то x ( ; 1] [ a ;1]
•
если a 1, то x ( ; ; 1] [1; a ]
Занятие №3 (2 часа)
• Теперь можно приступать к решению
задач ЕГЭ с параметрами.
Пример №1. Найти все значения параметра p,
при которых уравнение 7 4 cos x p (1 tg 2 x )
имеет хотя бы один корень.
• Решение:
2
cos
x 0,
2
7 4 cos x p (1 tg x ) 7 cos 2 x 4 cos 3 x p .
cos 2 x 0 ,
a 0,
cos x a ,
1 a 1,
2
2
3
3
7
a
4
a
p
;
7
a
4
a
p.
• Рассмотрим функцию
f(a)= 7 a 4 a , определённую
2
3
[-1;0)U(0;1] и найдём её область значений.
• f(-1)=11; f(1)=3; при
2
• f ’(a)= 14 a 12 a ;
a 0
f (a ) 0
на
• f ’(a)=0
• Т.к.
a 0,
2
14 a 12 a 0 2 a ( 7 6 a ) 0 7
a 6
0 D ( f );
7
D ( f ) то экстремумов у функции нет,
6
следовательно E(f)=(0;11].
• Чтобы уравнение 7 a 4 a p , а значит и данное
уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и
достаточно, чтобы p ( 0 ;11 ].
2
• Ответ: ( 0 ;11 ]
3
Пример №2. Найти все значения а, при
которых область определения функции
y ((
a)
2 x 10
(x
x) a x
2
2
3
5 x log
x
a
(a )
2
log
2
16
)
0 ,5
содержит ровно одно двузначное натуральное
• Решение:
число.
( a ) 2 x 10 ( x 2
• D(y): x 0 ,
x 1.
x) a x
2
3
5 x log
x
a
(a )
2
• Решим первое неравенство системы:
( a)
2 x 10
(x
x) a x
2
2
3
5 x log x a
(a )
2
a a x a x a a 0;
x
5
5
3
5
x
8
a ( a a ) x ( a a ) 0;
5
x
3
5
x
( a a )( a x ) 0 ;
x
3
5
5
3
log 2 16
0
log 2 16
0,
a x
5
a
x
a
a 5
a 0,
3
x 0;
5
a 0,
3
x 0;
5
x
a
5
a
x
a
5
a
a ,
3
x ;
5
a ,
3
x ;
5
a x a 3 ,
a x;
x
a a 3,
a x.
• 1) если 0<a<1, то
x
a
x
a
3,
x;
3,
x a,
x 3;
x ( 0 ; a ) ( 3; ).
x;
• Решение не удовлетворяет условию задачи.
• 2) если а>1, то
x
a
x
a
3,
x;
3,
3 x a ,
a x 3;
x ( 3; a ).
x;
• Чтобы решение удовлетворяло условию задачи,
необходимо и достаточно, чтобы
• Ответ:
(10 ;11 ]
a (10 ;11 ].
Пример №3. Найти все значения параметра а,
при каждом из которых множество решений
неравенства
a
2
8a 4a
2
x( x 2a 4)
x
содержит какой-нибудь отрезок длиной 2,но
не содержит никакого отрезка длиной 3
• Решение:
a 8a 2
4a
2
x( x 2a 4) x
a 8a 2
4a
2
ax 8 ax 4 a x 2 a x 4 x
2
x 2a x 4 x 0 2
2
2
x
x
a ( x 4 ) 2 ax ( x 4 ) x ( x 4 )
2
3
2
x
0
( x 4 )( x a )
x
2
0.
2
2
2
0
• Решим неравенство методом интервалов,
рассмотрев
2
функцию f ( x ) ( x 4 )( x a ) непрерывную на R\{0},
имеющую нули 4, а: x
• 1) если a 0
•
x ( 0;4 )
- решение содержит отрезок длиной 3, что не
удовлетворяет условию задачи.
• 2) если 0<a<4
x ( 0; a ) ( a ;4 )
• Чтобы решение удовлетворяло условию задачи,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
a
a
a
a
1,
2;
2,
3;
• т.е. a [1; 2 ) ( 2 ;3 ]
• 3) если a 4
•
x ( 0 ; 4 ) - аналогично
• Ответ:
[1; 2 ) ( 2 ;3 ]
случаю 1)
Пример №4. Найти все значения параметра p, при
которых уравнение
( 2 p 3) x ( p 3) x 1 0
2
имеет хотя бы один корень, и число различных корней этого
уравнения равно числу различных корней уравнения
2x 1
21 p
1
x 3 3
• Решение:
• 1)
2x 1
21 p
1
x33
2
• Пусть x 3 =t, t 0 тогда 2 x 1 2 t 7
2t 7
2
21 p
1
t3
;
2 t 6 t 7 t 21 21 p ;
3
2
2t 6t 7t p.
3
2
• Рассмотрим функцию f ( t ) 2 t 3 6 t 2 7 t :
• D(f)=[0; ),
• f(t)=0
t ( 2t 6t 7 ) 0 2
t=0.
• E(f)=(- ;0]
• f’(t)=
6 t 12 t 7 2
f’(t)<0 f • Значит графики функций f ( t ) 2 t 3 6 t 2 7 t и y=p могут
иметь только одну общую точку, т.е. уравнение
• 2 t 6 t 7 t p а значит и уравнение
3
2
2x 1
21 p
• может иметь ровно один корень при p 0 .
1
x33
• 2) Узнаем при каких p уравнение
• имеет ровно один корень:
3
2
• а) если 2p+3=0 ( p ), то x 2
условию.
3
( 2 p 3) x ( p 3) x 1 0
2
p
3
-удовлетворяет
2
2
• б) если 2 p 3 0 , то уравнение ( 2 p 3) x ( p 3) x 1 0
имеет единственный корень при D=0.
D ( p 3) 4 ( 2 p 3) p 2 p 3 .
2
•
2
p 1,
D=0 p 2 p 3 0 p 3 .
2
• Итак, уравнение ( 2 p 3) x 2 ( p 3) x 1 0 имеет ровно
• один корень при
3
p ; 1;3 .
2
• Но уравнению
3
2x 1
21 p
1
x33
удовлетворяют только
2x 1
1
p 0,
• т.е. при p и p=-1 уравнения 21 p
и
x
3
3
2
2
• ( 2 p 3) x ( p 3) x 1 0 имеют равное число корней, а
именно, по одному.
• Ответ: 3 ; -1
2
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
75
Размер файла
486 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа