close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

а – 1

код для вставкиСкачать
у
у
y = ах, а > 1
y = ах, 0 < а < 1
1
0
х
х
0
1
Автор: Семёнова Елена Юрьевна
МОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Содержание
• Понятие функции у = аx
• Применение показательной
функции
• Свойства показательной функции
• График показательной функции
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
Понятие показательной функции
Функцию вида
y = ах, где а ≠ 1, a > 0
называют
показательной функцией
Показательная функция часто используется при
описании различных физических процессов
1) Например, в теории межпланетных путешествий решается
задача об определении массы топлива, необходимого для
того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М
зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости
vo, с которой продукты горения вытекают из ракетного
двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и
притяжение Земли, то масса
топлива
определяется
формулой:
М = m(ev/vo-1) (формула
К.Э. Циолковского).
Например, для того чтобы
ракета с массой 1,5т имела
скорость
8000м/с,
надо
взять примерно 80т топлива.
Показательная функция часто используется при
описании различных физических процессов
2) Радиоактивный распад вещества задаётся формулой
m = m0(1/2)t/tо, где m и mо – масса радиоактивного вещества
в момент времени t и в начальный момент времени t = 0; T период полураспада (промежуток времени, за который
первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).
Когда радиоактивное
вещество распадается,
его количество
уменьшается.
Через некоторое время
остаётся половина
первоначального
количества вещества.
Чем больше период
полураспада, тем
медленнее
распадается вещество.
Показательная функция часто используется при
описании различных физических процессов
3) Изменение атмосферного давления p в зависимости
от высоты h над уровнем моря описывается формулой
p = pо ∙ ak, где pо – атмосферное давление над уровнем
моря, а – некоторая постоянная.
Барограф метеорологический
анероидный
Погодная станция Oregon
Scientific
Показательная функция часто используется при
описании различных физических процессов
3) Изменение атмосферного
давления p в зависимости от
высоты h над уровнем моря
Свойства показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0
1.
2.
3.
D(y) = (-∞; +∞),
E(y) = (0; +∞).
а) Нулей не имеет;
б) точка пересечения с осью ординат (0; 1),
т. к. у(0) = а0 = 1.
а) При а > 1 функция возрастает на R;
б) при 0 < а < 1 функция убывает на R.
4.
Ни четная функция, ни нечетная.
5.
Не ограничена сверху, ограничена снизу.
6.
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
7.
Непрерывна. Выпукла вниз.
8.
an ∙ a m = a n + m
an : am = an − m
(an)m = anm
(ab)n = an ∙ bn
(a : b)n = an : bn
График показательной функции
y = ах, а ≠ 1, a > 0
y = ах, 0 < а < 1
y = ах, а > 1
у
у
1
1
0
х
0
х
Свойства сравнения выражений вида ах, а ≠ 1, a > 0
1.
Если 0 < а < 1 или а > 1, то равенство ar = as справедливо
тогда и только тогда, когда r = s.
2.
Если 0 < а < 1, то
a) неравенство ax > 1 справедливо ⟺ x < 0;
б) неравенство ax < 1 справедливо ⟺ x > 0.
3.
Если а > 1, то
a) неравенство ax > 1 справедливо ⟺ x > 0;
б) неравенство ax < 1 справедливо ⟺ x < 0.
4.
Если а > 1, то
a) неравенство af(x) > ah(x) справедливо ⟺ f(x) > h(x);
б) неравенство af(x) < ah(x) справедливо ⟺ f(x) < h(x).
5.
Если 0 < а < 1, то
a) неравенство af(x) > ah(x) справедливо ⟺ f(x) < h(x);
б) неравенство af(x) < ah(x) справедливо ⟺ f(x) > h(x).
Показательные уравнения
Уравнения вида af(x) = аh(х), где а ≠ 1, a > 0
называют показательными уравнениями
⟺
af(x) = аh(х)
f(x) = h(х)
Методы решения показательных уравнений:
1. Функционально-графический метод.
2. Метод уравнивания показателей.
3. Метод введения новой переменной.
Показательные уравнения. Примеры
Пример 1
2
2x 4
64
2
2x 4
6
2
2x 4 6
x 5
Ответ
: 5
Пример 2
1
3
1
3
2 x 3 ,5
2 x 3 ,5
1
3
1
3
2 x 3 ,5 0 ,5
x 2
Ответ
: 2
Пример 3
0 ,5
2
5
x 3 x
x
2
3x 3x 8
x
2
6x 8 0
5
3 x 8
x 1 2,
x 2 4
Ответ
: 2; 4
Показательные уравнения. Примеры
Пример 4
0 ,2
Пример 5
4
x 0 ,5
5 0 ,04
5
1
5
x 0 ,5
:5
0 ,5
5
x
5
1 2 x 4
5
x
5
52x
5 5
2
2 2 2 х
1 5 25 5
0 ,5 x 0 ,5
x 2
x
2 x 2
x 2
х
2
х 1
х
2 2 24 0
2
х
2 2 24 0
Пусть
t
24 0
2
х
t , где
t 0 тогда
2 t 24 0
t 1 6 ,
t 2 4
x 5 2x
t 1 6 не уд ет условию
x 5
Вернемся
Ответ
: 5
2
х
4
х 2
Ответ
: 2
к исходной
t 0
переменной
Показательные уравнения. Примеры
Пример 6
2
2 x 2
х 2 Пусть
t
2
5
2
2
5
2
x
2
2
х 2
x
2
х 2
ОДЗ :
6
t, t 0
3
2
2
2
x
х 2
2
x
х 2
2
х
2
2
2
x к исходной
t 0
х
переменной
х
Ответ
: 1,5 .
2 2
2
2
2 4 4х х
2 2х
х 1,5
2
2
2 : )
х
4х 6
4
2
2 0
х ( ; 2 ] [
не уд ет условию
Вернемся
2
х t 6 0
3
t
,
1
2
t 2 4
t1 х
2
Показательные уравнения. Примеры
Пример 7
х
х
64 2х 2
6
2
3х 3
12 0
Вернемся
3х 3
6
х
2
2
3
12 0
х
3
6
3
12 0
х
3
2 х 8 2 х 12 0
или
t
2
1
х
х 3
8 t 12 0
t 1 2,
t 2 6 ;
: 3;
log
х 2 х t, t 0
Ответ
2х 6
3
3
Пусть
переменной
3
2х 2
3
х
к исходной
3
log
2
6
.
2
6
3
log
2
6
Показательные уравнения. Примеры
9 27
9
9
27
27
х
3
27
3
27
х
Пусть 3
х
х
х
к исходной
2
9
х
переменной
3
х 1
9
t , где t 0 , тогда
3
2t
2
9 0
t
3
3t
2
t
t
2
t
Вернемся
9 0
t
t
9
3
х
81
29
х 2
9 9
29
9
9
81
2
Пример 8
2
х
2
х
2
2
9 0
3 t 3 t 3 0
3 t
2
t 3 0
t 3
2
t t 3 0 нет корней
Ответ
: 1.
Показательные уравнения. Примеры
Пример 9 (однородное уравнение)
5
2 x 1
13 15
5 5
2x
5 5
2x
13 15
13 15
х
9
2x
х
5
5 3
54 9
х
Разделим
5 5
х
2х
х 1
9
54 х
9
6 9
х
0
0
0
13 15
9
х
6 9
9
х
х
0
х
5
13 6 0
3
5
Пусть 3
2
13 t 6 0
3
t 1 5 ,
t 2 2
Вернемся
х
на 9 , тогда
х
5t
5
3
х
к исходной
3
или
5
х 1
х
2
х log
5
3
х
t , где t 0 , тогда
Ответ : 1; log
5
3
переменной
5
3
2.
2
Показательные уравнения. Примеры
Пример 10 (составление отношения)
4
x
3
х 1
4
х 1
4
x
4
х 1
3
x
4
x 1
4
x 1
3 3
4
x 1
3
3
х 1
4
3
4 1 3
x 1
3
3
x 1
3
x 1
4
3
x 1
4
3
х 1
3
x
x 1
3 1 : 3
х 1
3 , т .к . 3
4
3
x 1 1
x 2
Ответ
: 2.
х 1
3 0
Показательные уравнения. Примеры
+
=4
Пример 11 (скрытая замена переменной)
2 x
3 2 3 Заметим , что 2 Пусть 2 уравнение
t t
2
1
t
4,
3 х
x
4
3 2 t1 t2 2
42 3
2
2 t , где t 0 , тогда 2 примет
вид :
t
4 t 1 0 , D 16 4 12
42 3
3 2
3
2
3
3 2
3 3 х
43 1
1
2 3 х
1
t
Показательные уравнения. Примеры
+
=4
Пример 11 (скрытая замена переменной)
Вернемся
2 к исходной
3 2 3 2 x
x
2
3
2
переменной
х
2
х
3
1
2
2
3
3
1
или
:
2 3 2 x
x
2
1
x 2
1
x 2
Ответ
: 2; 2 .
3
2
х
2
2
3
3
Показательные неравенства
Неравенства вида af(x) > аh(х), где а ≠ 1, a > 0
называют показательными неравенствами
af(x) > аg(х)
а>1
0<а<1
f(x) > g(х)
f(x) < g(х)
или
af(x) > аg(х) ⟺ (а – 1)(f(x) – g(x)) > 0
Показательные неравенства. Примеры
Пример 1
2
2x 4
2
2x 4
Пример 2
64
2
1
3
6
т .к . функция
возрастает
t
у 2 монотонно
на R , то
1
3
2 x 3 ,5
2 x 3 ,5
1
3
1
3
2x 4 6
x 5
Ответ : 5 ; т .к . функция
монотонно
0 ,5
1
у 3
убывает
2 x 3 ,5 0 ,5
x 2
Ответ : 2 ; t
на R , то
Показательные неравенства. Примеры
Пример 3
0 ,5
2
x 3 x
0 ,5
3 x 8
у 0 ,5 т .к . функция
монотонно
убывает
x
2
3x 3x 8
x
2
6x 8 0
н .ф . : x
2
t
на R , то
6x 8 0
x 1 2,
x 2 4
+
х ; 2 4 ; Ответ
:
; 2 4 ; 2
−
4
+
х
Показательные неравенства. Примеры
Пример 4
8
x
2
3x
2
3x
3
3х
х
18
2
3
2 27
х
2 3
2x
х
2 3
3x
3
3х
3
t 2 0
t
3
t 2 t
t 1
2
23
3
: 3
3х
,
т .к . 3
3х
0
3x
3х
2
t
т .к . t
3x
x
2
3
Пусть
23
2x
2
3
x
3
x
t , где
t 0
t 11 t
t 2 0 для
3
1 t 1 t 1 t
любых
t , то
2
t 2
t 1 0
Показательные неравенства. Примеры
Пример 4
Вернемся
2
3
2
3
к исходной
переменной
:
x
1
x
0
2
,
3
т .к . а 2
3
x
1, то ф ция
2
у убывает
3
x 0
Ответ
:
;
0 .
на R
Используемые материалы
1. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразоват.
учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. 2-е изд.,
стер. – М.: Мнемозина, 2008
2. http://www.physics.org/ 3. http://www.mathematics.ru/courses/algebra/design/index.htm 4. http://www.megabook.ru/index.asp - Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия
Документ
Категория
Презентации по физике
Просмотров
17
Размер файла
2 455 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа