close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Дифференциальные уравнения

код для вставкиСкачать
Дифференциальные
уравнения
Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
имеют вид: y p y qy f ( x )
Решение этих уравнений основано на
следующей теории.
Th: Общее решение линейного
неоднородного дифференциального
уравнения выражается суммой его
частного решения и общего
решения соответствующего
линейного однородного уравнения.
y y 00 y *
Рассмотрим способ нахождения
частного решения неоднородного
уравнения, ограничиваясь
решением таких неоднородных
уравнений второго порядка, у
которых правая часть является
многочленом, т.е. Р(х), или
показательной функцией Аекх.
Для отыскания частного решения
у* будем применять метод
неопределенных коэффициентов,
причем у следует искать в таком
же виде, какой имеет Р(х) или Аекх.
I. Подбор частного решения у*, когда правая
часть – многочлен.
а) если Р(х) – многочлен и q≠0, то у*
следует искать в виде многочлена такой
же степени
# Р(х) = 2х + 3 или х, то у* : Ах + В
Р(х) = х2 или (x2+1) или (x2 + x — 1), то
y*: Ах2 + Вх + С
При этом коэффициенты многочлена
находятся из системы линейных
алгебраических уравнений, которые
получатся при подстановке в
дифференциальное уравнение
предполагаемого многочлена и его
производных.
#
у" - 2у' - 3у = 2х нач. усл.: у(0) = 0
у'(0) = 1
у* = Ах + В
у*' = А; у*" = 0
-2А — 2Ах — 3В = 2х
A 1
2A 2
A 1
;
2
2 A 3B 0 3B 2 B 3
y* x 2
3
k2 — 2k — 3 = 0
D = 4 + 12 = 16
k1 24
3
2
k2 = -1
yoo = C1 e-x + C2 e3x
y C 1e
x
C 2e
3x
x
2
3
y' = -C1e-x + 3C2e3x — 1
2
C
C2
1
C1 C 2 0 3
;
3
C 3C 1 1 4 C 2 4
1
2
2
3
2
1
C 2 3
C 2 1
1
3 3
y e
x
1
C 2 3
C 1
1
1
3
e
3x
x
2
3
б) q = 0 (при этом
характеристическое уравнение
имеет один нулевой корень), то в
многочлене, для частного решения
у*, вводится множитель х.
Это значит, что вместо А берется
Ах, вместо Ах + В — Ах2 + Вх
вместо
Ах2 + Вх + С — Ах3 + Вх2 + Сх т.
в) если р = 0 и q = 0, то в многочлен у*
вводятся множитель х2.
# y" – 2y' = 24x
k2 – 2k = 0
q=0
k (k – 2) = 0
у* = Ах2 + Вх
k = 0, k = 2
y*' = 2Ах + В
Y = C1 + C2e2x
y*" = 2А
2А — 4Ax — 2В = 24х
4 A 24
A 6 A 6
2 A 2 B 0 A B B 6
у* = -6х2 – 6х
y = -6x2 – 6x + C1 + C2e2x
II. Подбор частного решения у* когда правая
часть – показательная функция.
а) если в правой части задана
показательная функция aebx, то
частное решение y* следует искать
в виде Aebx.
б) если характеристическое
уравнение, соответствующее
однородному уравнению, имеет
корень x = b, то частное решение
следует искать в виде y* = Axebx.
в) если правая часть – сумма
функций различного вида, то
частное решение составляется в
виде суммы функций
соответствующих каждому
слагаемому.
# x2 + e-x = f(х)
y* = Ax2 + Bx + C + Me-x
Каждое слагаемое проще
определяется отдельно!
# y" – 3y' – 4y = 9e2x
k2 – 3k – 4 = 0
D = 9 + 16 + 25
k1 35
4
2
k2 = -1
Y = C1e-x + C2e4x
y* = Ae2x
y*' = 2Ae2x
y*" = 4Ae2x
4Ae2x – 6Ae2x – 4Ae2x = 9e2x
-6A = 9
A 9
1
6
y 1
1
2
1
2
e
2x
C 1e
x
C 2e
4x
Примечание: в каких случаях применим метод
подбора частного решения
1 ) f ( x ) Ae
x
2 ) f ( x ) A cos x B sin x
3 ) f ( x ) Pn ( x )
4 ) f ( x ) Pn ( x ) e
x
5 ) f ( x ) Pn ( x ) cos x Q m ( x ) sin x
x
6 ) f ( x ) e ( A cos x B sin x )
Пример. Решить уравнение
y y xe 2 e
x
x
y y 0
k 1 0
2
k 1, 2 i
y оо C 1 cos x C 2 sin x
у * u 1 u 2 ( Ax B ) e Ce
x
u ( Ax B ) e Ce
x
x
u Ae ( Ax B ) e Ce
x
x
x
u 2 Ae ( Ax B ) e Ce
x
x
x
x
u u 2 Ae ( 2 Ax 2 B ) e 2 Ce
x
A 0 ,5
B 0 ,5
C 1
x
x
xe 2 e
x
x
Метод вариации произвольных постоянных
Ищем решение в виде:y=C1(x)y1+C2(x)y2
Причем y1 и y2 найдены ранее
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
52
Размер файла
387 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа