close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Глава II. Векторная алгебра

код для вставкиСкачать
4. Координаты вектора
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по
базису называются координатами этого вектора в данном
базисе.
Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве
называют декартову систему координат, базисом в которой
является единичные, попарно ортогональные вектора.
Говорят, что три некомпланарных вектора
образуют
правую тройку, если с конца третьего вектора
кратчайший поворот от первого вектора
ко второму вектору
виден совершающимся против часовой стрелки, и левую
тройку, если по часовой.
Векторы, образующие правую декартову прямоугольную
систему координат, обозначают i, j, k.
Оси координат в этой системе координат называют
соответственно осью OX (абсцисс), OY (ординат), OZ
(аппликат)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано
направление, называют осью.
Проекцией точки А на прямую (плоскость) называется
основание
перпендикуляра, опущенного из точки А на
эту прямую.
AB – некоторый
Пусть – ось,
вектор, A 1 и B 1 – ортогональные
проекции на ось точек A и B
соответственно.
B
A
A1
B1
В ек тор A 1 B 1 назовем вект орной проекц ией ве кт ора AB
ось .
на
О П РЕ Д Е Л Е Н И Е . П роекцией (орт огональной проекцией )
вект ора AB на ось назы вает ся длина е го вект орной
проекции
A 1B 1
вект ор A 1 B 1
на эт у ось, взят ая со знако м плю с, если
и ось сонапра влены , и со зна ком м инус –
если вект ор A 1 B 1 и ось прот ивополо ж но направлен ы .
О бозначаю т: Пр
AB , Пр AB .
ТЕОРЕМА 6. Координаты вектора ā V(2) (V(3)) в декартовом
прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть проекции этого
вектора на соответствующие координатные оси.
Свойства проекций
1. Пр l AB AB cos φ
2.
3.
Т Е О Р Е М А 7.
1) Е сли вект ор
a
{ 1 , 2 , 3 } , вект ор
им еет в базисе
b
e1 , e 2 , e 3
коо рдин ат ы
им еет в т ом ж е базисе коо рдин а-
т ы { 1 , 2 , 3 } , т о вект ор a b
будет им ет ь в баз исе
e1 , e 2 , e 3 координ ат ы
{ 1 1 , 2 2 , 3 3 } .
2) Е сли ве кт ор a
{ 1 , 2 , 3 } ,
им еет в базисе
e1 , e 2 , e 3 координат ы
т о для лю бого дейст вит ельного числа
вект ор a бу дет им ет ь в т ом ж е бази се координ ат ы
{ 1 , 2 , 3 } .
Т Е О Р Е М А 8 (кри тери й колл и н еарн ост и своб од н ы х векто ров
в коо рд и н ат н ой ф орм е).
В ект ор ы a { 1 ; 2 ; 3 } и b { 1 ; 2 ; 3 } коллин еа р н ы
т огда и т оль ко т огда,
пропорцион ал ьн ы , т .е.
1
1
2
2
когда
их
координ ат ы
–
3 k
.
3
П ричем , если коэф ф ициен т пр опорци он альн ост и k > 0 ,
т о вект ор ы a и b – сон аправ лен ы , а есл и k < 0 – т о
прот ивоп олож н о н аправлен ы
Т Е О Р Е М А 9 (связь коорд и н а т вектора в разн ы х б ази са х).
П уст ь e1 , e 2 ,e 3 и f1 ,f 2 ,f 3 два базиса во м н ож е ст ве
V
(3)
. П рич ем им ею т м ест о равен ст ва:
f1
11 e1 21 e 2
31 e 3 ,
f2
12 e1 22 e 2
32 e 3 ,
f3
13 e1 23 e 2
33 e 3 .
Е сли ве кт ор a
им еет в базисе
e1 , e 2 , e 3
коор дин ат ы
{ 1 , 2 , 3 } , а в базисе f1 , f 2 , f 3 – коор дин ат ы { 1 , 2 , 3 } ,
т о справедливо равен ст в о
A TB ,
где
( м атриц у
1 1 11 12 13 A 2 , B 2 , T 21 22 23
32
33 3
3
31
T
назы ваю т м атр ицей пер ехода о т базиса
e1 , e 2 , e 3 к базису f1 , f 2 , f 3 ).
§2. Простейшие задачи векторной алгебры
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова
прямоугольная система координат. Выберем во множестве
V(3) (V(2)) декартов прямоугольный базис i, j, k (i, j).
ЗА Д А Ч А 1. Н ай ти ко орд инаты век тор а AB , если известны
д екартовы ко орд инаты нач ала и кон ца вектора.
y
O
A
B
x
ЗАДАЧА
2.
Найти длину вектора, если известны его
координаты в декартовом прямоугольном базисе.
y
B
ay
A
C
ax
x
O
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты
его орта.
О П РЕ Д Е Л Е Н И Е . О рт ом вект ора a
сон аправленн ы й с вект о ром
длину.
a
назы вает ся ве кт ор a 0 ,
и и м е ю щ ий един ичную
Геометрический смысл координат орта вектора
Будем обозначать через , и углы, которые вектор a
образует с координатными осями
Oy и
Ox ,
Oz
соответственно.
cos , cos , cos назы ваю тся направляю щ и м и косинус ам и
a
вект ора a .
a
1
x
x
К оординат ы орт а вект ор а a
косинусам и.
З ам ечание. Так как
A1
B1
являю т ся его направляю щ им и
a 0 1 и a 0 cos ; cos ; cos cos cos
2
2
,
то
cos 1 .
2
Это равенство называют основным
направляющих косинусов вектора.
тождеством
для
ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти
координаты точки, которая делит отрезок в заданном
отношении.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е . Г ово рят , чт о т очка
M 1M
2
в от нош ении M
де лит от резок
0
( 1) если M 1 M 0 M 0 M 2 .
Если λ > 0 , то точка M0 лежит между точками M1 и M2. В этом
случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внутреннем отношении.
Если λ < 0 , то точка M0 лежит на продолжении отрезка M1 M2.
В этом случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внешнем отношении.
M
r1
M0
r0
O
1
r2
M
2
§3. Нелинейные операции на множестве векторов
1. Скалярное произведение векторов
2. Векторное произведение векторов
3. Смешанное произведение векторов
1. Скалярное произведение векторов
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е . С калярн ы м пр оизве дением
b
a
двух ненулевы х ве кт о ров
и
назы вает ся число, равное произведени ю их
м одулей н а косинус у гла м еж ду ним и, т .е.
число a b cos .
Е сли a 0 или b 0 , т о скалярное произв едение вект оров
a и b полагаю т равны м нулю .
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е.
(a , b ) (b , a )
2) Скалярное произведение ненулевых векторов a и b равно
произведению длины вектора a на проекцию вектора b
на вектор a (длины вектора b на проекцию a на b ).
( a , b ) a Пр a b b Пр b a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектора a на
вектор b называется проекция вектора
a на ось, определяемую вектором b .
a
b
3) Числовой множитель любого из двух векторов можно
вынести за знак скалярного произведения. Т.е.
( a , b ) ( a , b ) ( a , b )
a1 a 2
4) Если один из векторов записан в виде суммы,
то их скалярное произведение тоже можно
записать в виде суммы. Т.е.
( a1 a 2 , b ) ( a1 , b ) ( a 2 , b )
( a , b1 b 2 ) ( a , b1 ) ( a , b 2 )
a1
a2
b
5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат
2
(
a
,
a
)
a
вектора) равно квадрату его длины. Т.е.
6) Н енулевы е вект оры a
и b перпендикуля рны т ог да и
т олько т огд а, когда их с каля рное прои зведение равно ну лю
(кри тери й п ерп ен д и к уля рн ости век торо в).
7 ) Е сли в дек а р т о в о м п р ям о уго л ьн о м ба зи се вект о р ы a
и м ею т к о о р д и н а т ы : a { a x ; a y ; a z } , b { b x ; b y ; b z } ,
то
(a , b ) a xbx a yb y a zbz .
иb
(1 )
Формулу (1) называют выражением скалярного произведения
через декартовы координаты векторов.
8) Е сли под дейст вием п ост оянной силы F
ет ся по пр ям ой из т очки M 1 в
будет ра вна
A F , M 1M 2
го п рои звед ен и я).
M2,
т очка перем ещ а т о работ а силы F
(ф и зи ческ и й см ы сл ска лярн о-
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
13
Размер файла
610 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа