close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теорема

код для вставкиСкачать
Соотношения между сторонами и углами
треугольника
B
C
D
b
a
A
B
c
Денис
Гуляев
10 “a”
A
C
Оглавление
1) Теорема о площади треугольника
2) Теорема синусов
3) Теорема косинусов
4) Измерительные работы
5) Вот и всё!
В оглавление
Теорема о площади треугольника
y
Теорема:
Площадь
треугольника
равна
половине
произведения
двух его сторон на
синус угла между
ними
A
h
C
x
B
Доказательство :
Пусть в треугольнике АВС ВС = а, СА = b и S – площадь
этого треугольника. Докажем, что S = ½ ab sinC.
Введём систему координат с началом в точке С так,
чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а
точка А имела положительную ординату. Площадь
данного треугольника можно вычислить по формуле S
= ½ ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате
точки А, т.е.
h = b sinC. Следовательно, S = ½ ab sinC.
Теорема доказана!
В оглавление
Теорема синусов
A
Теорема:
Стороны треугольника
пропорциональны
синусам
противолежащих углов.
c
b
C
a
B
В оглавление
Доказательство:
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, что
a/sin A = b/sin B = c/sin C.
По теореме о площади треугольника S = ½ ab sin C, S = ½ bc sin A, S = ½ ca
sin B.
Из первых двух равенств получаем ½ ab sin C = ½ bc sin A, откуда
a/sin A = c/sin C. Точно так же из второго и третьего равенств следует
a/sin A = b/sin B. Итак, a/sin A = b/ sin B = c/ sin C.
Теорема доказана.
В оглавление
Теорема косинусов
C(b cosA; b sinA)
Теорема:
Квадрат стороны
треугольника равен
сумме квадратов двух
других сторон минус
удвоенное произведение
этих сторон на косинус
угла между ними
b
A
a
c
B(c;0)
В оглавление
Доказательство:
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, например,
что
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA.
Введём систему координат с началом в точке А (см. рис.). Тогда точка
В имеет координаты (с;0), а точка С имеет координаты (b cosA; b
sinA). По формуле расстояния между двумя точками получаем:
BC2 = a2 = (b cosA - c) 2 + sin2 A = b2 cos2A + b2 sin2A – 2bc cosA + c2 =
= b2 + c2 - 2bc cosA. Теорема доказана.
В оглавление
Измерительные работы
А
Измерение высоты предмета.
Предположим, что требуется
определить высоту АН
какого-то предмета. Для
этого отметим точку В на
определённом расстоянии а
от основании Н предмета и
измерим угол АВН: АВН = α.
По этим данным из
прямоугольного
треугольника АНВ находим
высоту предмета: АН = а*tgα.
α
β
C
B
a
Н
В оглавление
Если основание предмета
недоступно, то можно поступить
так: на прямой, проходящей через
основание Н предмета, отметим две
точки В и С на определённом
расстоянии а друг от друга и
измерим углы АВН и АСВ: АВН = α и
АСВ = β.
Эти данные позволяют определить
все элементы треугольника АВС, в
частности АВ. В самом деле, угол
АВН – внешний угол треугольника
АВС, поэтому угол А = α-β.
Используя теорему синусов находим
АВ:
АВ = (a*sinβ):sin(α-β). Из
прямоугольного треугольника АВН
находим высоту АН предмета: АН =
АВ*sinα.
Итак, АН = (а*sinα*sinβ) sin(α-β).
В оглавление
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
22
Размер файла
2 220 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа