close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вневписанная окружность

код для вставкиСкачать
ОКРУЖНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
Вневписанные окружности
треугольника
Автор работы: Фролов Алексей,
ученик 9 класса «В»
ГБОУ СОШ №2 п.г.т. Усть-Кинельский
Руководитель: Фролова Елена Юрьевна,
учитель математики
ГБОУ СОШ №2 п.г.т. Усть-Кинельский
ФРОЛОВ АЛЕКСЕЙ, 9 «В» КЛАСС
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема заключается в недостатке знаний по этой
теме, что в свою очередь не позволяет решать задачи
олимпиадного уровня.
Обладание достаточным багажом геометрических знаний и
умением применять их
в профессиональной и творческой
деятельности в настоящее время является актуальным.
Цель работы: показать эффективность применения теории
вневписанных окружностей при решении планиметрических
задач на доказательство и вычисление элементов треугольника.
1. ВВЕДЕНИЕ
Основные задачи:
познакомиться
треугольника;
с
понятием
вневписанной
окружности
вывести свойства вневписанных окружностей;
научиться применять их при решении геометрических задач;
создать банк задач по данной теме.
Объектом исследования являются вневписанные окружности, а
предметом – установление взаимосвязей между элементами
вневписанных окружностей и треугольника.
Вневписанная окружность представляется
изысканным элементом геометрии треугольника.
2.1. ПОНЯТИЕ
ВНЕВПИСАННОЙ
2.2. СВОЙСТВА
ОКРУЖНОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА
ВНЕВПИСАННОЙ
ОКРУЖНОСТИ
"Каждыйокружности
треугольник
определяетесть
Свойство 1. Центр вневписанной
треугольника
семейство окружностей, помогающих
точка пересечения биссектрисы
внутреннего угла, противолежащего
глубже и полнее понять "устройство"
той стороне треугольника, которой
окружность касается, и
треугольника".
биссектрис двух внешних углов треугольника.
И.Ф. Шарыгин.
В
Дано: ∆ АВС;
окр. (О; r);
Окружность
называется
вневписанной
М, N,
К – точки касания.
в
треугольник, если она касается одной из
Доказать: О – точка пересечения
сторон треугольника и продолжений
биссектрис
двух других
сторон. В, КАС, NСА.
А
N
С
N
К
О
2.2. СВОЙСТВА
ВНЕВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
Свойство 2. Расстояния от вершины угла треугольника до точек
касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны
полупериметру данного треугольника.
Дано: ∆ АВС;
окр. (О; ra ) – вневписанная.
В1
В
ra
Доказать: АВ1 = АС1 = p.
Доказательство.
Отрезки касательных, проведенных к
А
окружности из одной точки, равны,
поэтому ВВ1 = ВА1, СА1 = СС1, АВ1 = АС1.
О
А1
ra
ra
С
2p = (AC + СА1)+(AB + ВА1) = (AC + CC1)+(AB + BB1) = AC1+ AB1= 2AC1 = 2AB1
АВ1 = АС1 = p, что и требовалось доказать.
2.3. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ С
РАДИУСАМИ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Свойство 3. Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон
данного внутреннего угла треугольника, равен произведению
полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т.е.
ra p tg
2
, rb p tg
2
, rc p tg
Доказать: ra p tg
Пусть САВ = .
В1
2
А1
.
ra
ra
2
А
С
p
.
О
ra
2
Доказательство.
.
В
Дано: ∆ АВС;
окр. (О; ra ) – вневписанная.
∆ АОС1 – прямоугольный ОС1=АС1 tg ra p tg .
2
2
Остальные формулы выводятся аналогично.
2.3. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ С
РАДИУСАМИ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Свойство 4. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной
стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к
разности полупериметра и этой стороны.
Дано: ∆ АВС;
окр. (О; ra) – вневписанная.
Доказать: r a S
pa
,r
b
S
pb
, r
c
S
pс
В
c
.
ra
а
.
ra
О
А
ra
Доказательство.
С
Имеем: S = S∆ABC = S∆AOC + S∆АOB – S∆BOC ,
S 1
2
ra b c a ra b
c a 2a 2
ra p a Аналогично выводятся остальные формулы.
С1
ra S
p a
.
2.3. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ С
РАДИУСАМИ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Свойство 6.
1
1
1
1
ra
rb
rc
r
Свойство 5.
r a r b r c r 4R
1 ra 2
rb 4 S
S
pb
pa
3
rc S
pс
p ( p a )( p b )( p c )
5 r
S
6
R abc
4S
p
Свойство 8.
Свойство 7.
r ar br br cr cr a p
S
2
ra rb rc rp
2
2.3. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ С
РАДИУСАМИ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Следствие 1.
Свойство 8.
r a r b r c rp
2
= (r p) · p = S p
S ra rb rc
p
S = rp
Следствие 2.
S ra rb rc r
3. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ВНЕВПИСАННЫХ
ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
Задача №1. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и
BE. DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.
Решение.
Точка E равноудалена от прямых AD, BC и
AB, поскольку она лежит на биссектрисах
DE и BE углов ADC и ABC .
Значит, E – центр вневписанной
окружности ΔADB. Поэтому точка E
лежит на биссектрисе внешнего угла при
вершине A ΔABD.
в
AD – биссектриса угла BAC Лучи AE и AD
делят развёрнутый угол с вершиной A на три
равных угла.
Следовательно, каждый из них равен 60º, а BAC = 120º.
А
E
D
C
Ответ: 120º.
Правильному применению методов можно научиться,
только применяя их на разнообразных примерах.
Г. Цейтен
Задача №2. К двум непересекающимся окружностям проведены две
общие внешние касательные и общая внутренняя касательная.
Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между
внешними касательными, равен отрезку внешней касательной,
заключенному между точками касания.
А М
Доказательство.
Пусть MN = a.
АК = р, тогда ВК = р – а.
Значит, АВ = р - (р - а) = а,
то есть АВ = МN.
В
О1
a
С
Аналогично доказывается, что CD = MN.
О
N D
К
4. Заключение
В результате проведённого исследования:
доказаны свойства вневписанных окружностей;
установлена связь между радиусами вневписанных
окружностей и полупериметром треугольника, между
радиусами вписанной, описанной и вневписанных
окружностей;
выявлена зависимость площади треугольника от
радиусов вневписанных окружностей и полупериметра;
разработан комплекс задач по данной теме.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Березин, В.И. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных
занятий по математике / В.И.Березин: книга для учителя. – М.:
Просвещение, 1985.
2. Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника /
Квант-1987, №7.
3. Васильев, Н.Б. и др. Заочные математические олимпиады / Н.Б.Васильев.
– М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
4. Гнеденко, Б.В. Энциклопедический словарь юного математика /Б.В.
Гнеденко. – М.: Педагогика, 1989.
5. Заславский А.А., Протасов В.Ю., Шарыгин Д. И. Геометрические
олимпиады им. И.Ф. Шарыгина — М.:МЦНМО, 2007. — 152 с.: ил.
6. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике
сборника под редакцией М. И. Сканави».
7. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. —
с. 44-48.
8. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — М.: Наука, 1982.—
160 с.
Окружная научно-практическая конференция
Фролов Алексей, ГБОУ СОШ №2
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
1 025
Размер файла
923 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа