close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

buba

код для вставкиСкачать
[ определение рациональной функции - простейшие рациональные дроби - интегрирование простейших рациональных
дробей – пример - разбиение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей - алгоритм
интегрирования рациональных функций ]
Рациональной функцией R(x) называется функция, равная отношению двух
многочленов:
m
m 1
b0 x b1 x
... bm
Qm ( x )
R( x ) n
n 1
Pn ( x )
a0 x a1 x
... an
где m, n – целые положительные числа; ai и bi – действительные числа. Если
m < n , то R(x) – называется правильной дробью, если m > n или m = n, то R(x)
– называется неправильной дробью.
Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы некоторого
многочлена (целая рациональная функция) и правильной дроби. Для этого
используется правило деления многочленов.
x
4
1
x
2
1
m 4 ,n 2 , m n
x
4
1
x
2
1
x
2
1 2
x
2
1
Простейшие рациональные дроби делятся на четыре типа:
Первый тип
Третий тип
A
Второй тип
(x a)
a - есть действительный корень кратности : (x - a ) m = 0, m = 2 , … , x a
Cx D
x
2
px q
( 3x 1)
3
1
3
3
В этом примере: одна дробь первого типа,
две – второго.
C x D
(x
2
px q )
(x 2 + px + q) n = 0, n = 2 , ... , ( 3x 1) 0 3 ( x ) 0 x1 x 2 x 3 3
3
Четвертый тип
нет действительный корней:
2
A
1
3
2
( 3x 1)
3
A
( 3x 1)
B
( 3x 1)
2
C
( 3x 1)
3
Первый тип
Второй тип
Третий тип
x2
x
(x
x
Cx D
px q
A
a
dx A A
a)
dx Cx D
2
px q
dx C
2
d(x a)
x a
A
A ln | x a | c
( 1 )( x a )
c ,( 1 )
1
dx
ln | x
2
px q | D q Cp
2
p
2
4
arctg
x q p
2
p
2
4
c
Четвертый тип
Первый интеграл – табличный
C x D
( x2
px q )
( D C p
2
)
dx C
2
( 2 x p ) dx
( x2
px q )
dx
(x
2
px q )
Второй интеграл берут понижая степень Этот прием будет показан при решении примера.
dx
@ ( x2
U
1)
dx
2
( x2
1)
(( x
2
2
1 0 , x1 ,2 1 i
2
arctgx arctgx dx
1)
2
1 ) x ) dx
(x
( x2
x
2
2
1)
1
2
1
2
xd ( x
(x
(
1
2
2
2
2
x
2
1
x2
1)
1)
x
dx
2
arctgx 1
2
x dx
( x2
1)
2
dx
x2
1
2 x
1
x
2
1
) c
dV
Находятся корни многочлена, стоящего в знаменателе дроби Qm(x)/Pn(x) : Pn(x = 0)
Qm ( x )
Pn ( x )
n
, Pn ( x ) a0x a1x
k
n 1
l
... an 0 Pn ( x ) r
s
a0 ( x a ) ( x b ) ( x px q ) ( x p1x q1 ) 0,
p
2
4
2
p1
2
2
q 0,
4
q1 0,..., k ... l .. 2r ... 2s .. n
Дробь Q m(x) / Pn (x) представляется в виде суммы дробей первого, второго,
третьего и четвертого типов, с учетом кратности действительных и комплексных
корней.
Дроби складываются. Собранные в группы комбинации коэффициентов у степеней x
в числителе приравниваются соответствующим коэффициентам у степеней x
многочлена Qm(x) . Решается полученная система уравнений для неизвестных
коэффициентов. Исходная рациональная дробь представляется как сумма
простейших дробей.
@
Разложить дробь
4
x
3
4x
x
4
x
A
x
3
4x
Cx D
x
2
4
A C 0
D 0
4A 4
3
A
x
4
x
3
4x
4x 0 x( x
Cx D
x
2
A( x
на простейшие дроби
2
4 ) 0 x1 0 , x 2 ,3 2 i
Простой корень
Пара мнимых корней
4
2
4 ) x ( Cx D )
x( x
2
4)
( A C )x
2
x( x
2
A 1
D 0
C 1
4
x
3
4x
Dx 4 A
4)
1
x
x
x
2
4
4
x( x
2
4)
Разложить подынтегральную функцию – выделить целую рациональную
функцию и правильную рациональную дробь
Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей
Проинтегрировать целую рациональную функцию
Проинтегрировать сумму простейших дробей по известным алгоритмам
R ( x ) dx ( R
R ( x ) dx (x) (
Qm ( x )
A
Pn ( x )
,
) dx R ( x ) dx A
x a (x a)
,
Cx D
x
2
px q
Qm ( x )
Pn ( x )
,
dx C x D
(x
2
px q )
)dx
2x
(x
@
2
2 x 13
2 )( x
2
1)
2
2x
dx
2
2 x 13
2
( x 2 )( x
1)
2
( x 2 )( x
x1 2 , x 2 ,3 i , x4 ,5 i
2x
2
2 x 13
( x 2 )( x
2x
(x
2
2
1)
2
2 x 13
2 )( x
2
1)
2
A
x 2
dx x
2x 2x 13
2
( x
2 )( x 1)
2
2
Cx D
x
2
dx
2
dx 1
Ex F
(x
2
x 2
x2
1
3 4x
2( x 1)
2
1)
dx 1
2
ln
2
3x 4
( x2
( x 2)
x 1
2
1)
2
2
2
1)
2
0 A C 0
2C D 0
2 A C 2D E 2
2 C D 2 E F 2
A 2 D 2 F 13
dx
4arctgx c
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
3
Размер файла
2 660 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа