close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Интервалы посоянного знака

код для вставкиСкачать
Интервалы постоянного знака
алгебраической дроби.
Найти интервалы постоянного
знака алгебраической дроби
означает найти интервалы
на числовой оси, где выполняются
неравенства:
P ( x)
Q ( x)
0 и
P ( x)
Q ( x)
0
.
При решении таких неравенств
пользуются следующими
утверждениями:
P ( x)
0 P ( x) Q ( x) 0.
Q ( x)
P ( x)
Q ( x)
0 P ( x) Q ( x) 0.
Для решения последних неравенств,
применяется так называемый
метод интервалов.
Пусть ,
P ( x ) Q ( x ) ( x 1 ) ( x 2 ) ... ( x n )
где
1 , 2 , ... n
- значения, при которых
P ( x) Q ( x) 0
и удовлетворяющие условию
1 2 ... n
.
,
На основании выше сделанного
замечания заключаем,
что для любого числа
x0 n
значение каждого сомножителя
положительно;
поэтому соответствующее значение
P ( x0 )
многочлена
P ( x)
также положительно.
Для любого числа
из промежутка
x1
( n 1 , n )
соответствующее числовое
значение последнего сомножителя
отрицательно, а числовые значения
всех остальных сомножителей
положительны;
поэтому число
P ( x1 )
отрицательно.
Аналогично для любого числа
из промежутка
и т.д.
( n 2 , n 1 )
x2
Следовательно, решение неравенств
P ( x) Q ( x) 0
и
P ( x) Q ( x) 0
состоит в следующем.
На числовую прямую (ось) наносят
числа
1 , 2 , ... n
.
В промежутке справа от
наибольшего из них ставят знак "+",
если все коэффициенты при x в
сомножителях положительны
или отрицательных – четное число.
В следующем из них
(считая справа налево)
промежутке ставят знак минус,
затем знак плюс, затем знак минус
и т.д.
Тогда множество всех решений
неравенства
P ( x) Q ( x) 0
будет объединение всех промежутков,
в которых поставлен знак "+",
- +1 2 3
-+
n2
n
а решением неравенства
P ( x) Q ( x) 0
будет объединение всех промежутков,
в которых поставлен знак "-"
Заметим однако, что,
если какой-либо из сомножителей
имеет четную степень,
то при переходе через точку
с этим значением
знак не изменяется.
Поэтому полезно при каждом
значении
т
ставить его степень,
то есть степень,
которую имеет сомножитель
(x m )
.
Таким образом, для того,
чтобы найти интервалы
знакопостоянства алгебраической
дроби
P ( x)
Q ( x)
,
необходимо сначала найти
те значения x,
при которых алгебраическая дробь
P ( x)
Q ( x)
обращаются в нуль или
не определена.
Все эти значения наносят
на числовую прямую, а затем
проставляют знаки "+" или "-"
в соответствии
с методом интервалов.
Окончательно записываем
интервалы, при которых
алгебраическая дробь >0,
и при которых
она меньше нуля, т.е.:
1, при x объединени ю интервалов со знаком " "
P ( x) sign
0 , при x тем значениям , при которых P ( x ) 0
Q ( x) 1, при x объединени ю интервалов со знаком " "
Пример 1.
Найти интервалы
знакопостоянства выражения:
( x 12 )( x 1) ( x 4 )
4
f ( x) ( x 1) ( x 5 ) ( x 3 )
2
5
3
6
Решение
-12, -1, -4, 1, 3, 5 – это значения x,
при которых выражение f(x) = 0,
или не определено.
Нанесем числа -12, -1, -4, 1, 3, 5
на числовую ось в порядке
их возрастания:
-
+
-12(1) -4(3)
-
-1(4)
1(2) 3(6)
-
+
5(5)
Так как все коэффициенты при x
положительны, то справа от
значения 5 ставим знак "+".
На интервале (3, 5) выражение f(x)
меняет свой знак на
противоположный, т.е. на "-".
На интервале (1, 3) знак выражения
остается прежним, так как
6
x
3
сомножитель
имеет степень равную "6"
(четную степень), и, следовательно,
при переходе через число 3
выражение не изменяет своего
знака.
Аналогично на интервалах
(-1, 1), (-4, -1).
На интервале же (-12, -4)
выражение снова меняет свой знак
на противоположный, т.е. на "+".
И, наконец, на интервале (-, -12)
выражение опять меняет свой знак
уже на "-". Таким образом,
1, при x ( 12 , 4 ) ( 5 , )
sign f ( x ) 0 , при x 12 , 4 , 1
1, при x ( , 12 ) ( 4 , 1) ( 1, 1) (1, 3 ) ( 3 , 5 )
Рациональные уравнения
и неравенства.
Системы неравенств.
Рациональным называется уравнение
вида
P ( x)
0
Q ( x)
,
где P(x) и Q(x) – многочлены (Q(x) 0).
Решение уравнения сводится к
решению уравнения P(x) = 0.
и проверке того, что его корни
удовлетворяют условию Q(x) 0,
т.е. уравнение
P ( x)
Q ( x)
0
равносильно системе
P (x)
0,
Q (x)
Q ( x ) 0 .
Пример 1.
Решить уравнение
1
x 1
2
x2
1
.
Решение.
Имеем
1
x 1
2
x2
1 0
( x 2 ) 2 ( x 1) ( x 2 )( x 1)
( x 1)( x 2 )
0
x 2 4 x 2 0,
0 ( x 1)( x 2 )
( x 1)( x 2 ) 0 .
x 4x 2
2
Корнями уравнения
x 4x 2 0
являются числа
6
2
2
и
2
6
,
которые не являются корнями
уравнения
( x 1)( x 2 ) 0
.
Таким образом,
уравнение имеет два корня:
x1 2 6
и
x2 2 6
.
Уравнение вида
Ax
ax b1 x c
2
Bx
ax b2 x c
2
C
,
где АВС 0, ас 0,
заменой переменной
y ax c
x
сводится к решению уравнения
A
y b1
B
y b2
C
.
Пример 2.
Решить уравнение
4x
x x3
2
5 x.
x 5x 3
2
3
2
Решение.
Поскольку число x 0
не является корнем данного уравнения,
то, разделив на х числитель и
знаменатель каждой дроби в левой
части уравнения, получим уравнение,
равносильное данному уравнению:
4
x 1
3
5
3
x5
x
Положив
t x
3
.
2
x
3
x
,
получим уравнение
4
t 1
5
t5
3
2
которое равносильно уравнению
t 2 t 15
2
( t 1)( t 5 )
0.
,
Это уравнение имеет два корня:
t1 5
и
t2 3
.
Таким образом,
исходное уравнение равносильно
совокупности двух уравнений
3
x x 5,
x 3 3.
x
Второе уравнение этой совокупности
корней не имеет, а первое уравнение
имеет два различных корня:
x1 5
2
13
и
x1 5
2
13
,
которые являются решениями
исходного уравнения.
Уравнения вида
ax
2
ax
2
b1 x c
b2 x c
ax
2
ax
2
b3 x c
b4 x c
A
,
а также уравнения вида
ax b1 x c
2
ax b 2 x c
2
Ax
ax b 3 x c
2
,
A 0,
решаются аналогично уравнению
вида (3).
,
Пример 3.
Решить уравнение
2 x 15 x 16
2
2 x 13 x 16
2
2 x 11 x 16
2
2 x 12 x 16
2
17
30
.
Решение.
Поскольку х = 0 не является
корнем уравнения, то оно
равносильно уравнению
2 x 15 2 x 13 16
x
16
x
2 x 11 2 x 12 16
17
x
16
30
x
.
Положив
2x 16
,
t
x
получим уравнение
t 15
t 13
t 11
t 12
17
или
17 t 515 t 3762
2
( t 13 )( t 12 )
30
0,
решая последнее уравнение, находим
t 1 18
и
.
Таким образом,
• исходное уравнение равносильно
совокупности уравнений
• Решая данную совокупность уравнений,
находим корни исходного уравнения: , .
• Для упрощения нахождения решений
рациональных уравнений иногда
применяется метод разложения на
простейшие дроби.
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
135
Размер файла
729 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа