close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
2 семестр
Для студентов 1 курса ИК
Лектор: Бер Людмила Михайловна
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
1
www.themegallery.com
ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1985. – 368 с.
2.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1, 2. – М.:
ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 1998.
3.
Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1, 2. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2002.
4.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1975.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
5.
Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ. Справочное пособие. Ч.1.
– Минск: Вышэйшая школа, 1989.
6.
Герасимович А.И., Кеда Н.П., Сугак М.Б. Математический анализ. Справочное
пособие. Ч.2. – Минск: Вышэйшая школа, 1990.
7.
Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. –
М.: Наука, 1973.
8.
Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. –
Минск: Высшая школа А, 2008.
9.
Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в
примерах и задачах. Т. 1,2 – Издательское объединение «Вища школа», 1977.
2
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Неопределенный интеграл
Пусть X R.
Определение. Функция F(x), x X называется первообразной для функции y = f(x) на множестве X если она
дифференцируема в каждой точке этого множества и F'(x)=f(x).
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a, b] функция
y=f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные
первообразные одной и той же функции f(x) на множестве X, то
они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е.
F2(x) = F1(x) + С, где С – константа.
3
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Неопределенный интеграл
Определение. Совокупность F(x) + С всех первообраных функции y = f(x) на множестве X называется
неопределенным интегралом функции y = f(x).
Обозначение. f ( x ) dx
при этом f(x) называют подынтегральная функция,
f(x) dx – подынтегральное выражение,
а – знак интеграла.
С геометрической точки зрения неопределенный
интеграл представляет собой однопараметрическое
семейство кривых y = F(x) + С (С – параметр),
обладающих следующим свойством: все касательные к
кривой в точках с абсциссой x = x0 параллельны между
собой.
4
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Основные свойства
1.
2.
( f ( x ) dx ) f ( x ) ,
d
f ( x ) dx f ( x ) C .
f ( x ) dx f ( x ) dx
.
3.
dF ( x ) F ( x ) C
4.
Интеграл от алгебраической суммы функций равен, алгебраической
.
сумме их интегралов, т. е.
5.
f ( x ) g ( x ) dx
f ( x ) dx g ( x ) dx .
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.
c f ( x ) dx c f ( x ) dx
6.
Если f ( x ) dx F ( x ) C
, где c – const.
и x = (t) – дифференцируемая функция,
то f ( ( t )) d ( t ) F ( ( t )) C .
В частности,
f ( аt в ) dt 1
a
F ( at b ) C , (а 0).
5
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Таблица интегралов
6
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Таблица дифференциалов
Во всех формулах этой таблицы в качестве и можно брать произвольную
дифференцируемую функцию и = (х).
1.
u n 1 n
d
u
du
n 1
2. d ln u ,
xdx 1
dx
7.
2
2
cos u
2
du
8.
u
d ( ctgu ) du
2
sin u
3. d ( e u ) e u du
9.
au u
d
ln a a du
10.
5. d (sin u ) cos udu
11.
6.
12.
4.
du
d ( tgu ) d (cos u ) sin udu
7
d arcsin u du
1 u
2
du
d arccos u 1 u
du
d arctgu
d arcctgu
1 u
2
2
du
1 u
2
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Методы интегрирования
I.
Непосредственное интегрирование – интегрирование
с помощью свойств, тождественных преобразований подынтегральной
функции и таблицы основных интегралов.
II. Интегрирование по частям. Теорема.
Если функции
u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом
промежутке существует интеграл vdu , то на нем существует и
интеграл udv , причем
udv
uv vdu
III. Замена переменной. Теорема.
Пусть функция x = (t)
определена и дифференцируема на некотором множестве Т и : Т X.
Тогда если на множестве X функция y = f (x) имеет первообразную F(x),
то на множестве Т справедлива формула
f ( x ) dx
x ( t )
8
f ( ( t )). ( t ) dt
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
Разложение полиномов на
сомножители
www.themegallery.com
Определение. Число b (действительное или комплексное) называется
корнем полинома Pn(x), если Pn(b) = 0.
Теорема 1. Для того, чтобы b было корнем полинома Pn(x), необходимо и
достаточно, чтобы Pn(x) делилось на (x – b).
Теорема 2. Пусть корень полинома b есть комплексное число. Тогда
комплексно сопряженное число b также является корнем этого
полинома.
Основная теорема алгебры. Всякий полином степени п 1 имеет хотя
бы один корень (действительный или комплексный).
Теорема 3. Полином степени п имеет ровно п корней.
Определение. Если в разложении Pn(x) на сомножители бином (x – b)
повторяется k раз, то говорят, что корень b имеет кратность k.
Если k = 1, то корень называется простым.
Заметим еще, что в паре комплексно сопряженных корней оба корня
имеют одинаковую кратность.
9
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
Интегрирование дробнорациональных функций
www.themegallery.com
Рациональной дробью называется дробь вида Pm(x) /Qn(x), где
Pm(x) и Qn(x) – многочлены степени т и п соответственно.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя
меньше степени знаменателя (т < п), в противном случае дробь
называется неправильной.
Простейшими элементарными дробями называются дроби
следующего вида:
1.
2.
3.
4.
A
;
xa
A
(x a)
m
, m > 1, целое;
Ax B
, где квадратный трехчлен не имеет действительных корней;
x px q
2
Ax B
( x px q )
2
k
, где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
10
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
Интегрирование дробнорациональных функций
www.themegallery.com
Теорема. Пусть Pm(x) /Qn(x) правильная рациональная дробь, знаменатель
которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей
(с вещественными коэффициентами)
Qn(x) = a (x x1) k (x x2) l … (x2 + r x + s) …(x2 + p x + q)s ,
где x1, x2,… вещественные корни, (x2 + p x + q), … (x2 + r x + s) квадратные
трехчлены, не разложимые на вещественные множители (k + l +… + +…+ s = n ).
Тогда имеет место разложение
Pm ( x )
Qn ( x)
A1
x x1
M 1x N1
( x px q )
2
A2
( x x1 )
... 2
... A
( x x1 )
M 1 x N 1
( x px q )
2
1
k
B1
( x x2 )
B2
( x x2 )
M x N
( x px q )
2
... 2
... B
( x x2 )
Rs x S s
( x rx s )
2
s
l
...
,
где Ai , Bi , Mi , Ni , Ri , Si , … вещественные числа (некоторые из которых могут
быть равны нулю).
11
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Алгоритм интегрирования
дробно-рациональной функции
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби,
разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.
2. Знаменатель Qn(x) разложим на простейшие сомножители:
Qn(x) = (x – a)k…(x – b)l … (x2 + p x + q)s , где многочлен (x2 + p x + q) не имеет
действительных корней.
3. Представим дробь Pm(x) /Qn(x) в виде суммы простейших дробей с
неопределенными коэффициентами:
Pm ( x )
Qn ( x )
A1
xa
A2
(x a)
2
... Ak
(x a)
k
... C 1 x D1
( x px q )
2
C 2 x D2
( x px q )
2
2
... C s x Ds
( x px q )
2
s
где A1, A2, … ,Cs, Ds неопределенные коэффициенты, которые надо найти.
4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем
числители в обеих частях равенства.
5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в
числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х.
6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных
значений, полагая x равным действительным корням знаменателя.
7. Подставим найденные коэффициенты A1, A2, … ,Cs, Ds в разложение дроби.
8. Проинтегрируем простейшие дроби.
12
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Интегрирование
тригонометрических функций
I.
R (sin
x , cos x ) dx , где R – рациональная функция .
1. Универсальная подстановка:
t tg
x
2
sin x x 2 arctg t
2t
1 t
2
,
cos x dx 1 t
2
1 t
2
2 dt
1 t
2
2. Упрощенные подстановки.
a)
R ( sin x , cos x ) R (sin x , cos x )
Подстановка:
t cos x
b)
R (sin x , cos x ) R (sin x , cos x )
Подстановка:
t sin x
c)
R ( sin x , cos x ) R (sin x , cos x )
d)
R (tg x )
Подстановка: t tg x
Подстановка:
R (ctg x )
13
t ctg x
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Интегрирование
тригонометрических функций
II.
Интегралы вида
sin
m
x cos
n
, где n и m – целые.
xdx
1. Если n и m – четные, положительные, то применяются формулы
понижения степени:
sin 2
1 cos 2
cos 2
1 cos 2
2
2
2. Если
2 sin cos sin 2
n или m – нечетное, то непосредственно отделяют от
нечетной степени один множитель.
3. Если n и m – дробные или целые отрицательные и (n + m ) четное
отрицательное, то замена t = tg x, иди t = сtg x.
14
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Интегрирование
тригонометрических функций
III.
Вид интеграла
1. sin kx cos lxdx
Применяются формулы
sin kx cos lx 1
(sin( k l ) x sin( k l ) x )
2
2. cos kx cos lxdx
cos kx cos lx 3. sin kx sin lxdx
sin kx sin lx 1
(cos( k l ) x cos( k l ) x )
2
1
(cos( k l ) x cos( k l ) x )
2
15
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Интегрирование некоторых
иррациональных функций
16
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
Подстановки П.Л.Чебышева
Интеграл вида
m
x ( ax
n
b ) dx
p
, где m, n, p – рациональные числа
выражается через элементарные функции только в следующих
случаях:
1.
2.
p < 0 – целое x = t s, d x = s t s-1 d t , s – нок знаменателей m и n;
m 1
n
– целое ax b t
n
s
, s – знаменатель дроби p= к/s,
1
t b n
;
x a
s
3.
m 1
p
n
– целое 1
x a n t b s
ax b t x
n
s
n
, s – знаменатель дроби p= к/s,
1
n
.
17
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
www.themegallery.com
«Неберушиеся интегралы»
Интегралы вида R x , P ( x ) dx , где Pn (x) – многочлен
степени выше второй, в общем случае не выражается через
элементарные функции. При этом если n = 3 или n = 4, то
они называются эллиптическими, п > 4, то ультраэллиптическими.
Интегралы от трансцендентных функций:
n
1.
e
x
– интеграл Пуассона;
2
dx
2. sin x dx ,
x
1
3. dx ,
ln x
4. sin
2
x dx
cos x
dx
x
ex dx x
, cos x
– интегральный синус, косинус;
– интегральный логарифм;
2
dx
– интегралы Френеля и др.
18
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
Спасибо за внимание
Бер Л.М. Интегральное исчисление
ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17.06.10
20
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
5
Размер файла
1 482 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа