close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определители. Ф.Крамера

код для вставкиСкачать
Лекция № 2
Тема «Определители и системы линейных
уравнений
Введение. Понятие «определитель» восходит к Г.
Лейбницу (1678); первая публикация принадлежит Г.
Крамеру (1750). Теория определителей создана
трудами А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коши и К.
Якоби. Термин «определитель» встречается впервые у
К. Гаусса (1801). Современное обозначение введено А.
Кэли.
1. Определители второго порядка и системы двух
линейных уравнений с двумя неизвестными
Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел:
à1 1
à 21
à1 2 à 22 Определителем второго порядка, соответствующим этой таблице,
называется число
а 11 а 22 а 21 а 12
Определитель обозначается символом
Таким образом,
à1 1
à1 2
à 21
à 22
а 11
а 12
а 21
а 22
à1 1 à1 2 à1 2 à 2 1 .
Например,
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными
x и y:
(1)
Числа
а 11 , а 22 , а 21 , а 12 называются коэффициентами системы;
b1 , b 2 - свободными членами. В записи коэффициентов
называется номером строки (уравнения), а индекс
j
a ij индекс i
называется
номером столбца (неизвестного).
Такую запись системы, в которой свободные члены находятся в правых
частях, будем называть стандартной.
Определение: Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными
называется всякая пара чисел (x,y), обращающая эту систему в
тождество. Если существует только одна такая пара, то решение
называется единственным.
Одним из методов решения системы, известного из школьного
курса, является метод исключения неизвестной.
С помощью определителей этот метод можно интерпретировать
следующим образом.
Введем в рассмотрение следующие три определителя для системы (1):
Определитель, составленный из коэффициентов
системы, называется определителем системы.
Определители,
,полученные из определителя
системы заменой соответствующего столбца
столбцом
свободных
членов,
называются
вспомогательными.
Теорема (правило Крамера).
Если 0, то система имеет единственное решение,
которое находится по формулам
у
х
х
; у
.
Данные формулы называются формулами Крамера.
Пример 1. Решить по правилу Крамера систему уравнений
2 х 3 у 4,
3 х 2 у 3 .
Решение. Вычислим определитель системы
2
3
3
2
2 2 3 3 5.
Так как определитель системы отличен от нуля, то,
согласно правилу :Крамера, решение системы
существует, единственно и находится по формулам
Крамера.
Вычислим
определители
ó х
2 4
3 3
и
у
2 3 3 4 6 12 6.
По формулам Крамера находим неизвестные
х х
1
5
;
у у
6
5
.
2. Определители третьего порядка и свойства
определителей
Определителем (детерминантом) третьего
порядка, соответствующим квадратной таблице
а 11
а 21
а 31
а 12
а 22
а 32
а 13 а 23 а 33 называется число, получаемое из элементов таблицы по следующему правилу
à1 1
à1 2
à1 3
à 21
à 22
à 2 3 à1 1 à 2 2 à 3 3 à1 2 à 2 3 à 3 1 à 2 1 à 3 2 à 1 3 ( à 3 1 à 2 2 à 1 3 à 31
à 32
à 33
à 2 1 à1 2 à 3 3 à 2 3 à 3 2 à 1 1 ).
Например,
2
1
3
0
3
4 2 3 1 1 4 1 2 0 3 3 3 1 1 0 1
1
2
1
2 4 2 17 .
Из определения и решенного примера следует правило
вычисления определителей третьего порядка,
называемого правилом треугольников
Более общее правило вычисления определителей любого порядка
основано на понятии минора и алгебраического дополнения.
Минором M ij элемен
a ij определителя называется
та
определитель,
полученный из данного вычеркиванием строки и
столбца, на пересечении которых расположен
данный элемент .
Пример 2. В определителе (смотри предыдущий пример)
2
1
3
0
3
4
1
2
1
можно указать девять миноров (по числу элементов). Так для
элемента а 11 2 минором служит определитель 3 4
2
для элемента
а 23 4
минором
служит
1
определитель
2
1
1
2
Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij определителя называется
его минор M
ij
умноженный на 1 i j
i -номер строки, j - номер столбца,
на пересечении которых расположен элемент:
Aij 1
i j
M ij
В условиях предыдущего примера:
1 1
,
A11 1
A 23 1
23
3
4
2
1
2
1
1
2
=-3-8=-11;
= - (4+1)= -5.
Теперь можно сформулировать правило вычисления определителей.
Теорема разложения. Определитель равен сумме произведений элементов
какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Таким образом, для определителя справедливы шесть разложений:
à11 À11 à12 À12 à13 À13
à11 À11 à 21 À21 à 31 À31 ,
à 21 À21 à 22 À22 à 23 À23
à12 À12 à 22 À22 à 32 À32 ,
à 31 À31 à 32 À32 à 33 À33
à13 À13 à 23 À23 à 33 À33 .
Левая тройка формул – это разложение определителя по
элементам строк, а правая – по элементам столбцов. Например,
разложение определителя по элементам первой строки в
условиях примера 2 выглядит следующим образом:
2
1
3
0
3
4 1
2
1
2
3
4
2
1
1
0
4
1
2
3
0
3
1
2
17 .
Получили значение определителя, совпадающее со
значением его, вычисленным по правилу треугольников (См.
пример 1).
Рассмотрим теперь свойства определителей, которые
также позволяют упростить их вычисление. При этом мы не
будем указывать порядок определителя, так как эти свойства
справедливы для определителей любого порядка.
СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки
заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками, т.е.
а 11
а 12
а 13
а 11
а 21
а 31
а 21
а 22
а 23 а 12
а 22
а 32 .
а 31
а 32
а 33
а 23
а 33
а 13
Замена строк столбцами, а столбцов строками называется
транспонированием определителя
Свойство 2. Перестановка двух строк (столбцов) определителя
равносильна умножению его на –1.
Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца),
то он равен нулю.
Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца (строки) на одно
и то же число равносильно умножению определителя на это число.
Например,
kа 11
а 12
а 13
а 11
а 12
а 13
kа 21
а 22
а 23 k а 21
а 22
а 23 .
kа 31
а 32
а 33
а 32
а 33
а 31
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю,
то определитель равен нулю.
Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны, то
определитель равен нулю.
Свойство 7. Если строка (столбец) определителя есть сумма двух чисел,
то определитель равен сумме двух определителей с соответствующими
столбцами. Например,
а 11
а 11
а 12
а 13
а 11
а 12
а 13
а 11
а 12
а 13
а 21
а 21
а 22
а 23 а 21
а 22
а 23 а 21
а 22
а 23 .
а 31
а 31
а 32
а 33
а 31
а 32
а 33
а 31
а 32
а 33
Свойство 8. Если к элементам столбца (строки) определителя прибавить
элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и тоже число, то
определитель не изменится. Например,
а 11
а 12
а 13
а 11 ka 13
а 12
а 13
а 21
а 22
а 23 а 21 ka 23
а 22
а 23 .
а 31
а 32
а 33
а 31 ka 33
а 32
а 33
Последнее свойство называют еще «элементарными преобразованиями
определителя», которые дают еще один удобный способ вычисления
определителей. Покажем это на следующем примере.
1 2 3
Пример 3. Вычислить симметричный определитель:
2
1
2
3
2
1
.Решение. Вычитая из второй строки удвоенную первую, а из третьей строки
утроенную первую, получим
1
2
3
1
2
2
1
2 0
3
3
2
1
0
4
3
4 1
8
3
4
4
8
24 16 40
Системы трех уравнений с тремя неизвестными
х1 , х 2 и х 3
Рассмотрим стандартную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
а 11 х1 а 12 х 2 а 13 х 3 b1 ,
а 21 х1 а 22 х 2 а 23 х 3 b 2 ,
а х а х а х b
31 1
32 2
33 3
3.
Обозначим символами
,
1, 2 , 3
следующие определители
а11
а12
а13
b1
а12
а13
а11
b1
а13
а11
а12
b1
а 21
а 22
а 23 , 1 b 2
а 22
а 23 , 2 а 21
b2
а 23 , 3 а 21
а 22
b2 .
а 31
а 32
а 33
а 32
а 33
b3
а 33
а 32
b3
b3
а 31
а 31
Определитель называется определителем системы ;
1, 2 , 3
вспомогательные определители
получаются из определителя системы заменой соответствующего столбца
столбцом свободных членов.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы
уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное
решение, которое находится по формулам Крамера
х1 1
,
х2 2
,
х3 3
.
х1 х 2 х 3 0 ,
3 х1 2 х 2 х 3 5 ,
4 х х 5 х 3.
1
2
3
Пример 4. Решить по правилу Крамера
систему уравнений:
Решение. Вычислим определитель системы
1
1
3
2
4
1
1
1 10 4 3 8 1 15 11
5
Так как определитель системы уравнений отличен от нуля, то решение
системы существует, единственно и находится по формулам (8). Вычислим
1, 2 , 3
определители
0
1
1
1
0
1
1 5
2
1
0 5 3 6 0 25 11 ; 2 3
5
1
3
1
5
4
3
5
1
1
0
3 3
2
5 6 20 0 0 9 5 22 ;
4
1
3
25 0 9 20 3 0 33 ;
х1 1
11
11
1; х 2 2
33
11
3; х 3 х3
и
х1 , х 2
По формулам Крамера (8) находим неизвестные
3
22
11
2.
Рассмотрим систему уравнений:
а 11 х1 а 12 х 2 а 13 х 3 0 ,
а 21 х1 а 22 х 2 а 23 х 3 0 ,
а х а х а х 0.
31 1
32 2
33 3
(2)
Система (2) называется однородной системой трех линейных уравнений с
тремя неизвестными. Очевидно, что 1 2 3 0
Система всегда совместна, так как
является решением системы.
õ1 õ2 õ3 0
Если
0, то, согласно правилу Крамера, это будет единственным решением.
Если
=0, то, согласно последнему замечанию, система имеет бесконечно
много решений, и в этом случае одно из уравнений является
следствием других.
Заключение. Теория определителей позволяет создать общий метод
решения алгебраических систем любого порядка.
Литература:
Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.:
Астрель, 2004.
Шипачев В.С. Высшая математика, М.: Высшая школа, 2005.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А. Математика в экономике. Часть 1., - М.:
Финансы и статистика, 2003. - 384 с.
Мокеева О.Л. Математика. Методические рекомендации для учащихся
профильных классов. Часть 1. - Владивосток: ИЭИ ДВГТУ, 2005. – 65 с.
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
133
Размер файла
1 206 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа