close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация

код для вставкиСкачать
Медианы треугольника
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и
делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин.
Доказательство. Докажем, что
медианы AA1 и CC1 в точке
пересечения
M
делятся
в
отношении 2:1.
Пусть D – середина отрезка BA1.
Тогда C1D – средняя линия
треугольника
ABA1.
Следовательно, прямые AA1 и C1D
параллельны.
Так как CA1:A1D = 2:1, то по теореме о пропорциональных отрезках
получим: CM:MC1 = 2:1.
Аналогично доказывается, что медианы BB1 и CC1 в точке
пересечения делятся в отношении 2:1. Значит, все медианы
пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 :
1, считая от вершин.
Упражнение 1
Докажите, что если для сторон треугольнике ABC выполняется
неравенство AC > BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC,
т.е. угол ACM меньше угла BCM.
Доказательство.
Продолжим
медиану CM и отложим отрезок
MD, равный CM. Треугольники
AMD и BMC равны по двум
сторонам и углу между ними.
Следовательно, AD = BC. Так как
против
меньшей
стороны
треугольника лежит меньший угол,
то угол ACD меньше угла ADC.
Значит, угол ACM меньше угла
BCM.
Упражнение 2
Докажите, что медиана CM треугольника ABC меньше полусуммы
сторон AC и BC.
Доказательство.
Продолжим
медиану CM и отложим отрезок
MD, равный CM. Треугольники
AMD и BMC равны по двум
сторонам и углу между ними.
Следовательно, AD = BC. В силу
неравенства треугольника, сторона
CD меньше суммы сторон AC и AD.
Значит, медиана CM треугольника
ABC меньше полусуммы сторон AC
и BC.
Упражнение 3
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите
медиану этого треугольника, проведенную из вершины прямого
угла.
Ответ. 2,5.
Упражнение 4
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная
из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Доказательство следует из того, что центром окружности,
описанной около прямоугольного треугольника, является середина
гипотенузы.
Упражнение 5
Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что
для медианы mc, проведенной из вершины C, имеет место формула
mc 1
2 a 2b c .
2
2
2
2
Доказательство. По теореме косинусов,
примененной к треугольникам ACD и
BCD, имеем:
a 2
b 2
c
2
4
2
c
4
m 2
2
c
mc 2
2
c
2
c
2
m c cos B D C .
m c cos A D C ,
Складывая эти равенства, получим равенство a 2 b 2 из которого непосредственно следует искомая формула.
c
2
2
2mc ,
2
Упражнение 6
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов всех его сторон.
Доказательство. Отрезок CO является медианой треугольника BCD.
Из предыдущей задачи следует равенство c 2 d 2 2 a 2 2 b 2 .
Что и требовалось доказать.
Упражнение 7
Стороны треугольника равны 11, 12 и 13. Найдите медиану,
проведенную к большей стороне.
Ответ. 9,5.
Упражнение 8
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 4.
Найдите основание этого треугольника, если медиана, проведенная
к боковой стороне, равна 3.
Ответ.
10 .
Упражнение 9
Докажите, что медиана треугольника делит его площадь пополам,
а три медианы треугольника делят его на шесть треугольников
одинаковой площади.
Упражнение 10
Площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь
треугольника, стороны которого равны медианам треугольника
ABC.
Решение. На продолжении отрезка
MC1 отложим равный ему отрезок C1D.
Стороны треугольника ADM равны
две трети медиан, а его площадь равна
одной третьей. Следовательно,
площадь треугольника, стороны
которого равны медианам
треугольника ABC, равна три
четвертых.
Ответ. 0,75.
Биссектрисы треугольника
Теорема.
Биссектриса
противоположную сторону
прилежащим сторонам.
угла
треугольника
делит
на части, пропорциональные
Доказательство. Пусть CD – биссектриса
треугольника ABC. Докажем, что AD :
DB = AC : BC. Проведем прямую BE,
параллельную CD. В треугольнике BEC
угол B равен углу E. Следовательно, BC
= EC. По теореме о пропорциональных
отрезках, AD : DB = AC : CE = AC : BC.
Упражнение 1
В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, угол A равен
30о. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM этого
треугольника.
Ответ. 15о.
Упражнение 2
Угол C треугольника ABC равен 60о. Найдите угол между
биссектрисами AA1 и BB1 этого треугольника.
Ответ. 120о.
Упражнение 3
Пусть в треугольнике ABC AC = b, BC = a. Докажите, что для
биссектрисы lc, проведенной из вершины C, имеет место формула
lc ab c ' c '',
где c’, c’’ – отрезки на которые биссектриса делит сторону AB
Доказательство. По теореме косинусов,
примененной к треугольникам ACD и
BCD, имеем:
b c ' l c 2 c ' l c cos AD C ,
2
2
2
a c '' l c 2 c '' l c cos BD C .
2
2
2
Умножим первое равенство на c’’, второе на c’ и сложим
полученные равенства. Делая тождественные преобразования,
получим равенство lc2 ab c ' c '', .
Упражнение 4
В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5. Найдите биссектрису
CD.
Ответ:
12 2
7
.
Упражнение 5
В треугольнике ABC AC = BC = 20, AB = 5, Найдите биссектрису
AD.
Ответ: 6.
Упражнение 6
В треугольнике ABC AC = 12, BC = 15, AB = 18, Найдите
биссектрису СD.
Ответ: 10.
Упражнение 7
В треугольнике ABC AC = BC, AD – биссектриса, AB = CD = 1.
Найдите AC.
Ответ:
1
5
2
.
Упражнение 8
Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его площадь
на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. У треугольников AC1C и BC1C высота,
проведенная из вершины C, общая, а стороны AC1 и BC1
относятся как стороны AC и BC. Следовательно, площади
треугольников AC1C и BC1C относятся как стороны AC и BC.
Упражнение 9
В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5, CD – биссектриса.
Найдите площадь треугольника ACD.
Ответ:
2
4
7
.
Упражнение 10
Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что
биссектриса CС1 делится точкой пересечения биссектрис в
отношении (a+b):c, считая от вершины.
Доказательство. Проведем прямую C1C’, параллельную AA1.
Тогда A1C’: C’B = AC1: C1B = b : a. Пусть A1C’ = bx, C’B = ax. Так
как CA1: A1B = b : c, то CA1: A1C = b(a+b)x/c. Следовательно, CO :
OC1 = (a + b)/c.
Высоты треугольника
Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр,
опущенный из прямого угла на гипотенузу, есть среднее
геометрическое проекций катетов на гипотенузу.
(Средним геометрическим двух положительных чисел a
и b называется положительное число c, квадрат которого
равен ab, т.е. c = a b ).
Доказательство. Треугольники ADC и CDB подобны.
AD
CD
Следовательно, C D B D , или CD2 = ADBD, т.е. CD
является средним геометрическим AD и BD.
Упражнение
1
В треугольнике ABC AB = 5, BC = 4, AC = 3.
Найдите высоту CH.
Ответ. 2,4.
Упражнение
2
В треугольнике ABC AB = 6, AC = BC = 5.
Найдите высоту AH.
Ответ. 4,8.
Упражнение
3
В треугольнике ABC AB = 6, AC = 5, BC = 4.
Найдите высоту CH.
Ответ.
5 7
4
.
Упражнение
4
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что треугольники A1AC и B1BC
подобны.
Доказательство. Треугольники A1AC и B1BC
прямоугольные и имеют общий угол C.
Следовательно, они подобны по двум углам.
Упражнение
5
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что углы A1AC и B1BC равны.
Доказательство. Окружность с
диаметром AB пройдет через точки
A1 и B1. Вписанные углы A1AC и
B1BC опираются на одну дугу AB1.
Следовательно, они равны.
Для доказательства равенства углов
можно было бы воспользоваться
тем, что стороны данных углов
перпендикулярны.
Упражнение
6
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Доказательство. Окружность с диаметром AB пройдет
через точки A1 и B1. Вписанные углы AA1B1 и ABB1
опираются на одну дугу AB1. Следовательно, они равны.
Упражнение
7
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что углы BAC и B1A1C равны.
Доказательство. Угол BAC равен 90о минус угол ABB1.
Угол B1A1C равен 90о минус угол AA1B1. Так как углы
AA1B1 и ABB1 равны (см. предыдущую задачу), то равны и
углы BAC и B1A1C.
Упражнение
8
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что треугольник ABC подобен
треугольнику A1B1C.
Доказательство. Углы BAC и B1A1C равны (см.
предыдущую задачу). Угол C треугольников ABC и A1B1C
общий. Следовательно, данные треугольники подобны по
двум углам.
Упражнение 9
В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1.
Докажите, что угол A1C1C равен углу B1C1C, т.е.
биссектриса треугольника A1B1C1 лежит на высоте
треугольника ABC.
Доказательство. Имеют место равенства:
A1C1C A1 A C B1 B C B1C1C .
Упражнение 10
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты
AA1, BB1 и CC1. Его углы равны , , . Найдите углы
треугольника A1B1C1.
Ответ.
2 , 2 , 2 .
Упражнение 11
Теорема. Для радиуса r окружности, вписанной в
треугольник, имеет место формула
1
r
1
ha
1
hb
1
,
hc
где ha, hb, hc – высоты треугольника.
Доказательство. Пусть стороны треугольника ABC равны
a, b, c. Для площади S треугольника имеют место
равенства: 2 S a ha b hb c hc ; 2 S ( a b c ) r ,
Из которых следует требуемая формула.
Упражнение 12
Докажите, что точки, симметричные точке пересечения
высот треугольника относительно его сторон, лежат на
окружности, описанной около этого треугольника.
Доказательство. Для точки C’,
симметричной точке H
пересечения высот треугольника
ABC, имеем
A C ' B A H B A1 H B1 180 C .
Следовательно, точка C’ принадлежит описанной
окружности. Аналогично, описанной окружности
принадлежат остальные две симметричные точки.
Окружность 1
Теорема 1. Угол с вершиной внутри круга измеряется
полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и
вертикальный с ним угол.
Доказательство. Рассмотрим угол АСВ с вершиной С внутри круга
и точками А и В на окружности. Пусть А1, В1 – точки пересечения с
окружностью сторон вертикального к нему угла. Проведем хорду
BB1. Угол АСВ является внешним углом треугольника B1СВ.
Следовательно, ACB = AB1B + B1BA1. Углы,стоящие в правой
части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что
и завершает доказательство.
Окружность 2
Теорема 2. Угол между касательной к окружности и
хордой, проведенной через точку касания, измеряется
половиной дуги окружности, заключенной внутри этого
Доказательство. Пусть угол ACB образован
угла.
касательной AC и хордой BC окружности.
Если этот угол – прямой, то BC – диаметр
окружности и, следовательно, угол ACB
измеряется половиной дуги полуокружности,
заключенной внутри этого угла. Если угол
ACB – острый, то проведем диаметр CD.
Имеем ACB = ACD – BCD. Угол ACD
измеряется половиной дуги CBD окружности.
Угол BCD измеряется половиной дуги BD
окружности. Следовательно, их разность
(угол ACB) измеряется половиной дуги CB
окружности, заключенной внутри этого угла.
Самостоятельно рассмотрите случай тупого угла.
Окружность 3
Теорема 3. Угол с вершиной вне круга, стороны которого
пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг
окружности, заключенных внутри этого угла.
Доказательство. Рассмотрим угол ACB с вершиной C вне
окружности и точками A и B на окружности. Пусть А1, В1 – точки
пересечения с окружностью сторон AC и BC. Проведем хорду AB1.
Угол АВ1B является внешним углом треугольника AB1С.
Следовательно, ACB = AB1B – B1AA1. Углы, стоящие в правой
части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что
и завершает доказательство.
Окружность 4
Теорема 4. Произведение отрезков любой хорды,
проведенной через внутреннюю точку круга,
равно
произведению
отрезков
диаметра,
проведенного через ту же точку.
Доказательство. Пусть дан круг с
центром в точке O, хорда AB и диаметр
CD пересекаются в точке E. Докажем,
что AB AE CE DE . Треугольники
ACE и DBE подобны. Следовательно,
AE
DE
CE
BE
,
значит, AB AE CE DE .
Окружность 5
Теорема. Произведение отрезков AE и BE секущей,
проведенной к окружности из внешней точки E, равно
квадрату отрезка CE касательной.
Доказательство. Треугольники EAC и ECB подобны.
Следовательно, AE:CE = CE:BE, значит, AE·BE = CE2.
Упражнение 1
Вписанные углы ACB и CAD равны
соответственно 36о и 20о. Найдите угол AQB,
образованный пересекающимися хордами AC и
BD.
Ответ: 56о.
Упражнение 2
Угол AQB, образованный пересекающимися
хордами AC и BD окружности, равен 54о.
Вписанный угол ACB равен 34о. Найдите
вписанный угол CAD.
Ответ: 20о.
Упражнение 3
Дуги AB и CD окружности составляют
соответственно 72о и 38о. Найдите угол AQB,
образованный пересекающимися хордами AC и
BD.
Ответ: 55о.
Упражнение 4
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и
DAE опираются на дуги окружности, градусные
величины которых равны соответственно 118о и
38о.
Ответ: 40о.
Упражнение 5
Угол ACB равен 42о. Градусная величина дуги AB
окружности равна 124о. Найдите угол DAE.
Ответ: 40о.
Упражнение 6
Угол ACB равен 42о. Градусная величина дуги DE
окружности равна 38о. Найдите угол ADB.
Ответ: 61о.
Упражнение 7
Найдите угол ACB, если вписанный угол ADB
равен 62о, а угол AQB равен 80о.
Ответ: 44о.
Упражнение 8
Хорда AB стягивает дугу окружности в 92о.
Найдите угол ABC между этой хордой и
касательной к окружности, проведенной через
точку B.
Ответ: 46о.
Упражнение 9
Угол между хордой AB и касательной BC к
окружности равен 32о. Найдите градусную
величину дуги, стягиваемую хордой AB.
Ответ: 64о.
Упражнение 10
Через концы A, B дуги окружности в 62о
проведены касательные AC и BC. Найдите угол
ACB.
Ответ: 118о.
Упражнение 11
Касательные CA и CB к окружности образуют
угол ACB, равный 122о. Найдите градусную
величину дуги AB, стягиваемую точками касания.
Ответ: 58о.
Упражнение 12
Хорда АВ стягивает дугу окружности в 44о.
Найдите углы, которые образует эта хорда с
касательными к окружности, проведенными
через ее концы.
Ответ: 22о.
Упражнение 13
Найдите угол ACB, если его стороны CA и CB
касаются окружности, а дуга ADB окружности,
заключенная внутри этого угла, равна 132о.
Ответ: 48о.
Упражнение 14
Угол ACB равен 52о. Его стороны CA и CB
касаются окружности. Найдите градусную
величину дуги ADB окружности, заключенной
внутри этого угла.
Ответ: 128о.
Упражнение 15
Найдите угол ACB, если его стороны CA и CB
касаются окружности, а дуга ADB окружности,
заключенная внутри этого угла, равна 232о.
Ответ: 52о.
Упражнение 16
Угол ACB равен 48о. Его стороны CA и CB
касаются окружности. Найдите градусную
величину дуги ADB окружности, заключенной
внутри этого угла.
Ответ: 228о.
Упражнение 17
В угол АВС вписана окружность. Точки касания
делят окружность на дуги, градусные величины
которых относятся как 5:4. Найдите величину
угла АВС.
Ответ: 20о.
Упражнение 18
Окружность разделена точками А, В, С на дуги,
градусные величины которых относятся как 11 :
3 : 4. Через точки А, В, С проведены касательные
до их взаимного пересечения. Найдите углы
образовавшегося треугольника.
Ответ: 80о, 60о, 40о.
Упражнение 19
Найдите величину угла ACB.
Ответ: 45о.
Упражнение 20
Найдите величину угла ACB.
Ответ: 45о.
Упражнение 21
Найдите геометрическое место точек, из которых
данный отрезок АВ виден под данным углом, т. е.
таких точек С, для которых угол АСВ равен
данному углу.
Ответ: Дуги двух окружностей одинакового радиуса,
опирающихся на отрезок AB, без точек A и B.
Упражнение 22
Найдите геометрическое место вершин C
прямоугольных треугольников АВС с данной
гипотенузой АB.
Ответ: Окружность с диаметром AB, за исключением
точек A и B.
Упражнение 23
Для данных точек А и В найдите геометрическое
место точек С, для которых угол АСВ: а) острый;
б) тупой.
Ответ: а) ГМТ, лежащих вне
окружности с диаметром AB и
не принадлежащих прямой AB;
б) ГМТ, лежащих внутри
окружности с диаметром AB и
не принадлежащих отрезку AB.
Упражнение 24
На прямой c отметьте точку C, из которой
отрезок AB виден под наибольшим углом.
Ответ:
Упражнение 25
На прямой c отметьте точку C, из которой
отрезок AB виден под наибольшим углом.
Ответ:
Упражнение 26
Пусть AC и BD – хорды окружности, пересекающиеся в
точке E. Докажите, что треугольники ABE и CDE
подобны.
Доказательство: Угол A треугольника
ABE равен углу D треугольника CDE,
как вписанные углы, опирающиеся
на одну дугу окружности.
Аналогично, угол B равен углу C.
Следовательно, треугольники ABE и CDE подобны по
первому признаку.
Упражнение 27
На рисунке AE = 3, BE = 6, CE = 2. Найдите DE.
Ответ: 4.
Упражнение 28
На рисунке AB = 8, BE = 6, DE = 4. Найдите CD.
Ответ:
5
1
3
.
Упражнение 29
На рисунке CE = 2, DE = 5, AE = 4. Найдите BE.
Ответ: 10.
Упражнение 30
На рисунке CE = 4, CD = 10, AE = 6. Найдите AB.
Ответ: 15.
Упражнение 31
На рисунке DL – биссектриса треугольника DEF,
вписанного в окружность. DL пересекает окружность в
точке K, которая соединена отрезками с вершинами E и
F треугольника. Найдите подобные треугольники.
Ответ: DEK и DLF, DEK и ELK, DLF и ELK,
DFK и DLE, DFK и FLK, DLE и FLK.
Упражнение 32
В
окружность
вписан
остроугольный
треугольник ABC, AH – его высота, AD – диаметр
окружности, который пересекает сторону BC в
точке M. Точка D соединена с вершинами B и C
треугольника. Найдите подобные треугольники.
Ответ: ABH и ADC, ACH и ADB, ABM и CDM,
BMD и AMC.
Упражнение 33
Через внешнюю точку E окружности проведены две
прямые, пересекающая окружность соответственно в
точках A, C и B, D. Докажите, что треугольники ADE и
BCE подобны.
Доказательство: Угол D
треугольника ADE равен углу
C треугольника BCE, как
вписанные углы, опирающиеся
на одну дугу окружности. Угол
E этих треугольников общий.
Следовательно, треугольники ADE и BCE подобны по
первому признаку.
Упражнение 34
Через внешнюю точку E окружности проведены две
прямые, пересекающая окружность соответственно в
точках A, C и B, D. Докажите, что AE·CE = BE·DE.
Доказательство: Треугольники
ADE и BCE подобны. Значит,
AE : DE = BE : CE.
Следовательно, AE·CE = BE·DE.
Упражнение 35
На рисунке AE = 9, BE = 8, CE = 24. Найдите DE.
Ответ: 27.
Упражнение 36
Через внешнюю точку E окружности проведены
прямая, пересекающая окружность в точках A и B, и
касательная EС (C – точка касания). Докажите, что
треугольники EAC и ECB подобны.
Доказательство. У треугольников
EAC и ECB угол E общий. Углы
ACE и CBE равны, как углы,
опирающиеся на одну хорду.
Следовательно, треугольники EAC
и ECB подобны.
Упражнение 37
На рисунке AE = 6, BE = 24. Найдите CE.
Ответ: 12.
Упражнение 38
Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B.
Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a,
причем r < R и r + R < a. Найдите AB.
Решение. Пусть O1 – центр окружности радиуса R, O2 – центр
окружности радиуса r. Возможны два случая: AB – внешняя
касательная, AB – внутренняя касательная.
В первом случае (рис. 1) через точку O2
проведем прямую, параллельную AB, и
обозначим P ее точку пересечения с прямой
O1A. Тогда AB = O1O 2 2 O1 P 2 a 2 ( R r ) 2 .
Во втором случае (рис. 2) через точку O2
проведем прямую, параллельную AB, и
обозначим P ее точку пересечения с прямой
O1A. Тогда AB = O1O 2 2 O1 P 2 a 2 ( R r ) 2 .
Ответ.
a ( R r ) или
2
2
a (R r) .
2
2
Упражнение 39
Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса
25. Найдите высоту трапеции.
Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и
радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены
по одну сторону от центра O, основания AB и CD расположены по разные
стороны от центра O.
В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую,
перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки
пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ
трапеции равна OQ – OP. Имеем OQ = 25 2 7 2 24, OP =
2
2
25 20 15. Следовательно, PQ = 9.
Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую,
перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки
пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ
трапеции равна OQ + OP. Имеем OQ = 25 2 7 2 24, OP =
2
2
25 20 15. Следовательно, PQ = 39.
Ответ. 9 или 39.
Упражнение
40
центрами O и O пересекаются
Окружности с
в точках A и B.
1
2
Известно, что угол AO1B равен 90о, угол AO2B равен 60о, O1O2 = a.
Найдите радиусы окружностей.
Решение. Возможны два случая: точки O1, O2 расположены по разные стороны
от прямой AB, точки O1, O2 расположены по одну сторону от прямой AB.
Обозначим r радиус окружности с центром O1. Тогда радиус окружности с
центром O2 будет равен r 2 . Обозначим P точку пересечения прямых O1O2 и
AB. Тогда O1P = r 2 / 2, O2P = r 6 / 3 .
В первом случае (рис. 1) r 6 / 3 r 2 / 2 a
и, следовательно, r a( 6 2)
a ( 12 2)
,R 2
2
Во втором случае (рис. 2) r 6 / 3 r 2 / 2 a
и, следовательно, r Ответ.
r a( 6 a( 6 2)
,R a ( 12 2)
2
2)
, R a ( 3 1).
2)
, R a ( 3 1).
2
r a( 6 2
2
или
.
.
Упражнение 41
Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол
AOC равен 60о. В треугольник ABC вписана окружность с
центром M. Найдите угол AMC.
Решение. Возможны два случая расположения вершины B
треугольника ABC.
В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C
треугольника ABC равна 150о. Так как AM и
CM – биссектрисы этих углов, то сумма
углов CAM и ACM равна 75о и,
следовательно, угол AMC равен 105о.
Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C
треугольника ABC равна 30о. Так как AM и
CM – биссектрисы этих углов, то сумма
углов CAM и ACM равна 15о и,
следовательно, угол AMC равен 165о.
Ответ. 105о или 165о.
Упражнение 42
Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно,
что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC.
6
Решение. По теореме синусов
sin C
4
24.
Откуда sin C sin A
1
4
, sin A Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC.
1
.
6
Опустим перпендикуляр BH на прямую AC. Тогда BH = ABsinA = 1. По теореме
Пифагора AH = 6 2 1 35 , CH = 4 2 1 15 . В первом случае (рис. 1)
AC = 35 15 . Во втором случае (рис. 2) AC =
Ответ.
35 15
или
35 15 .
35 15 .
Упражнение 43
Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в
точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB.
Решение. Пусть AA1, BB1 – высоты треугольника ABC. Опишем
окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через
точки A1 и B1. Возможны два случая расположения точки H.
В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA1, как вписанные
углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C
равен 45о. Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135о.
Ответ. 45о или 135о.
Упражнение 44
В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1, O – центр
вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B1C1 = 12. Найдите
радиус R окружности, описанной около треугольника BOC.
Решение. Возможны два случая расположения отрезка B1C1.
На BC, как на диаметре, опишем окружность с центром P.
Треугольник B1C1P равносторонний. Следовательно, сумма
углов BPB1 и CPC1 равна 120о. В первом случае (рис. 1)
треугольники
BPC1
и
CPB1
равнобедренные.
Следовательно, сумма углов B и C равна 120о. Так как BO и
CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120о. По теореме
синусов находим R = 8 3 .
Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60о.
Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150о.
По теореме синусов находим R = 24.
Ответ. 8 3 или 24.
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
181
Размер файла
2 081 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа