close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация Квадратные уравнения

код для вставкиСкачать
«Квадратные уравнения»
( алгебра, 8 класс)
Автор: Полетайкина В.Н.
Милькова Т.И.
учителя математики
МОУ Власовская средняя
общеобразовательная школа
В математике
следует помнить не формулы,
а процессы мышления.
Ермаков В.П.
Историческая справка
Простые уравнения люди научились решать
более трех тысяч лет назад в Древнем
Египте, Вавилоне и только 400 лет назад
научились решать квадратные уравнения.
Одним из тех, кто внес большой вклад в
развитие математики, был французский
математик Виет. Формы решения квадратных
уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе
были впервые изложены в «Книге абака»,
написанной в 1202г. итальянским
математиком Леонардом Фибоначчи. Автор
разработал самостоятельно некоторые новые
алгебраические примеры решения задач и
первый в Европе подошел к введению
отрицательных чисел
-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратным уравнением
называется
уравнение вида ах2 + вх +с = 0,
где х – переменная,
а, в и с некоторые числа,
причем а ≠ 0.
а-
первый коэффициент, в - второй коэффициент,
– свободный член.
с
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПОЛНЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
НЕПОЛНЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0
а ≠ 0, в = 0, с = 0
3х2 + 7х – 9 = 0
3х2 - 2х = 0
4х + х2 – 3 = 0
2х + х2 = 0
х2 + 3х – 7 = 0
125 + 5х2 = 0
25 - 10х - х2 = 0
49х2 – 81 = 0
Определите коэффициенты
квадратного уравнения:
1) 6х2 – х + 4 = 0
а = 6, в = -1, с = 4;
2) 12х - х2 + 7 = 0
а = -1, в = 12, с = 7;
3) 8 + 5х2 = 0
а = 5, в = 0,
4) х – 6х2 = 0
а = -6, в =1, с = 0;
5) - х + х2 = 15
а = 1, в =-1, с = -15.
с = 8;
РЕШЕНИЕ
НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
в=0
с=0
в, с = 0
ах2 + с = 0
ах2 + вх = 0
ах2 = 0
1.Перенос с в правую часть
уравнения.
ах2 = -с
2. Разбиение уравнения
на два равносильных:
х2 = -с/а
3.Если –с/а > 0 -два решения:
а
Вынесение х за
скобки:
х(ах + в) = 0
2.Деление обеих частей
уравнения на а.
х1 = с
1.
и х2 = - с
а
Если –с/а < 0 - нет решений
х=0
и
ах + в = 0
3. Два решения:
х = 0 и х = -в/а
1.Деление обеих частей
уравнения на а.
х2 = 0
2.Одно решение: х = 0.
РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО УРАВНЕНИЯ :
а) 2х + х2= 0 б) х2 – 81 = 0
в) 3х2 – 2х = 0
г) 125 + 5х2 = 0
Проверь себя:
а) 2х + х² = 0
х ( 2 + х) = 0
б) х² – 81 = 0
х² = 81
х = 0 или 2 + х = 0 х = 9 х = -9
х = -2
Ответ: 0; -2
Ответ: 9; -9
в) 3х² – 2х = 0
х (3х – 2) = 0
х = 0 или 3х – 2 = 0
3х = 2
х = 2/3
Ответ: 0; 2/3
г) 125 + 5х² = 0
5х² = - 125
х² = - 25
Ответ: корней нет
Способы решения
полных квадратных уравнений
1. Выделение квадрата двучлена.
2. Формула: D = b2- 4ac, x1,2=
3. График.
4. Теорема Виета.
b
2a
D
Алгоритм решения квадратного
уравнения ах² + bx + c = 0
1. Вычислить дискриминант D по формуле
D = b² - 4ас.
2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах²
+ bx + c = 0 не имеет корней.
3. Если D = 0, то квадратное уравнение
имеет один корень, который находится по
формуле х = - в/ 2а
4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах²
+ bx + c = 0 имеет два корня:
х1,2 = (-в ±√D)/2а
Вторая формула
где k=b/2
Если D 1<0, то уравнение корней не имеет.
Пример:
5х²-8х+3=0
D 1=(-4)²-5*3=16-15=1
D 1>0
x=(4±√1)/5, x=(4±1)/5, x 1 =1, x 2=3/5.
Ответ: 1; 3/5
D 1=k-ac, D 1>0, x
1,2=-k±√D 1/a,
РЕШИ УРАВНЕНИЯ
способом выделения квадрата
двучлена :
1.
- х + 3х2 – 70 =0
2.
2х2 -9х + 10 = 0
3.
х2 – 8х -9 = 0
РЕШИ УРАВНЕНИЯ
с помощью формулы :
а) -7х + 5х2 + 1 =0
б) (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 10,5)
в) 2х2 + 5х -7 = 0
г) –х2 = 5х - 14
д) х2 – 8х + 7 = 0
е) 6х – 9 = х2
РЕШИ УРАВНЕНИЯ
графически :
1) 1/3х2 -х = - 2/3
2) а) х2 + 1,5х = 2,5
3) а) 6х + х2– 3 =0
Решение нестандартных задач
Найти корни уравнения
1978 х² - 1984 х + 6 = 0
Правило:
Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма
коэффициентов а + в + с = 0,
то х1 = 1, х2 = с/а
Если а – в + с = 0, то х1 = -1, х2 = - с/а
Ответ: х1 = 1, х2 = 6/1978 = 3/989
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному
члену.
Иначе говоря, если x1 и x2 - корни
уравнения х² +px + q = 0, то
x1 + x2 = - p,
х1* x2 = q.
Франсуа Виет
Данные формулы называют формулами
Виета в честь французского математика Ф.Виета
(1540-1603), который ввел систему
алгебраических символов, разработал основы
элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто
числа стал обозначать буквами, что существенно
развило теорию уравнений.
Например,
приведенное уравнение х² - 7х +10 = 0 имеет корни 2
и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.
Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену.
Исторические сведения:
Квадратные уравнения впервые встречаются в работе
индийского математика и астронома Ариабхатты.
Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее
правило решения квадратных уравнений, которое
практически совпадает с современным.
В Древней Индии были распространены публичные
соревнования в решении трудных задач. Задачи часто
облекались в стихотворную форму.
________________________________________________
Вот задача Бхаскары:
Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?
Решение задачи Бхаскары:
Пусть было
x
обезьянок,
тогда на поляне забавлялось –
x
8
2
Составим уравнение:
x
8
2
+
12 = х
Ответ: х1= 16 , х2= 48 обезьянок.
.
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
344
Размер файла
230 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа