close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

алгебра и геометрия

код для вставкиСкачать
ВГУЭС
1
Кафедра
математики и моделирования
2
Курс лекций по линейной алгебре и
аналитической геометрии
Дубинина Любовь Яковлевна
оглавление
1. Определители
2. Элементы теории матриц
3. Системы линейных уравнений
4.Элементы векторной алгебры
4
Оглавление(продолжение)
5.Прямые и плоскости
6. Кривые второго порядка
7.Поверхности второго порядка
8.Замечательные кривые
9.Комплексные числа
5
Лекция1.
Выражение Определители
a11 a12
a 21 a 22
a11 a 22 a 21 a12
называется определителем 2-го
порядка .
6
Определители
Числа a 11 , a 12 , a 21 , a 22 – это элементы
определителя.
Индексы, стоящие внизу
соответствующего элемента, означают
номер строки и номер столбца
определителя, на пересечении которых
находится указанный элемент.
7
Определители
Элементы a 11 , a 22 называют
элементами главной диагонали
определителя, а другие два элемента –
соответственно элементами побочной
диагонали.
8
Определители третьего
порядка
Выражение
a 11 a 12
a 13
a 21 a 22 a 23 a 11 a 31 a 32 a 33
a 22 a 23
a 32 a 33
a 12 a 21 a 23
a 31 a 33
a 13 a 21 a 22
a 31 a 32
называется определителем 3-го
порядка.
9
минор
Минором элемента определителя 3-го
порядка называется определитель 2-го
порядка, получающийся из данного
определителя вычёркиванием строки и
столбца, в которых расположен элемент.
10
Обозначение минора
Минор элемента , стоящего на
пересечении i-й строки и j-го столбца
определителя, обозначают Мij.
11
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением
элемента определителя
3-го
порядка называется минор
этого элемента, взятый со
знаком плюс, если элемент
12
Алгебраическое дополнение
(продолжение)
расположен
на
пересечении
строки и столбца
с четной
суммой номеров, и со знаком
минус, если c нечётной.
13
Выбор знака
• Для определителя 3го порядка знаки
алгебраических
дополнений
определяются по
таблице:
+
-
+
-
+
-
+
-
+
14
теорема разложения
Определитель 3-го порядка равен
сумме парных произведений
элементов какого-либо ряда
определителя на их алгебраические
дополнения (под рядом понимается
строка или столбец)
15
Теорема разложения
(продолжение)
Таким образом,
разложений:
имеет
место
шесть
a 11 A11 a 12 A12 a 13 A13 ,
a 21 A 21 a 22 A 22 a 23 A 23 ,
a 31 A 31 a 32 A 32 a 33 A 33 ,
a 11 A11 a 21 A 21 a 31 A 31 ,
a 12 A12 a 22 A 22 a 32 A 32 ,
a 13 A13 a 23 A 23 a 33 A 33 .
16
Свойства определителей
1.Определитель не меняет своего
значения при замене каждой строки
соответствующим столбцом.
2.Определитель изменит знак ,если
поменять местами любые две
строки или столбца.
17
Свойства
определителей(продолжение)
3.Общий множитель элементов
какого-либо ряда определителя
можно выносить за знак
определителя.
18
Свойства определителей
(продолжение)
4.Определитель равен нулю, если он
имеет два одинаковых столбца или
строки.
5.Определитель равен нулю, если он
имеет нулевой ряд.
19
Свойства определителей
(продолжение)
6.Значение определителя
не
изменится, если к элементам строки
или столбца прибавить
соответствующие элементы другой
строки или столбца, умноженные на
одно число.
20
Определители высших порядков
Выражение
a 11
a 12
a 13
a 14
a 21
a 22
a 23
a 24
a 31
a 32
a 33
a 34
a 41
a 42
a 43
a 44
a 22
a 23
a 24
a 21
a 23
a 24
a 11 a 32
a 33
a 34 a 12 a 31
a 33
a 34 a 42
a 43
a 44
a 43
a 44
a 21
a 22
a 24
a 21
a 22
a 23
a 13 a 31
a 32
a 34 a 14 a 31
a 32
a 33
a 41
a 42
a 44
a 42
a 43
a 41
a 41
называется определителем 4-го
порядка
21
Метод приведения к
треугольному виду
Метод приведения к треугольному
виду заключается в таком
преобразовании данного
определителя, когда все элементы
его, лежащие по одну сторону одной
из его диагоналей, становятся
равными нулю.
22
Ключевые понятия
Определитель, элемент,
строка, столбец,
минор, алгебраическое дополнение,
порядок определителя.
23
Вопросы для самопроверки по
теме «Определители»
1. Определители второго и третьего
порядков.
2. Свойства определителей.
3. Методы вычислений определителей.
4. Алгебраическое дополнение.
5. Минор.
24
Лекция 2. Матрицы
Матрицей называется прямоугольная
таблица чисел .
Если матрица содержит m строк и n
столбцов, то говорят, что матрица имеет
размерность m n .
25
Матрицы
Матрица размера mm называется
квадратной.
Две матрицы считаются равными, если
равны их размеры и равны элементы,
стоящие на одинаковых местах.
26
Матрицы
Квадратная матрица называется
невырожденной (неособенной), если
её определитель отличен от нуля, и
вырожденной (особенной) , если
определитель её равен нулю.
27
Матрицы
Определитель произведения квадратных
матриц
равен
произведению
определителей
этих матриц:
det( A B ) det A det B
28
Действия над матрицами.
Суммой двух матриц одинаковой
размерности А и В
называется матрица С той же
размерности,
элементы которой равны суммам
элементов матриц A и B с
одинаковыми индексами.
29
Действия над матрицами
(продолжение)
Произведением матрицы
на
число называется матрица ,
получающаяся из матрицы A
умножением всех её элементов
на .
30
Действия над матрицами
(продолжение)
Разностью двух
матриц А и В
одинаковой
размерности
называется матрица A+(-B).
31
Действия над матрицами
(продолжение)
Произведением матрицы A ( a ij ) размера
m n на матрицу B ( b ij ) размера n k
называется матрица C ( c ij ) размера
,
m k , элемент c ij которой
32
Действия над матрицами
(продолжение)
стоящий в i-ой строке и j-ом
столбце, равен сумме произведений
элементов i-ой строки матрицы A и
соответствующих элементов j-го столбца
матрицы B.
33
ИЗОБРАЖЕНИЕ МАТРИЦЫ
a 11
a 21
A
a
m1
a 12
a 22
am2
a 1n a 2n a mn 34
Обратная матрица
Две невырожденные квадратные
матрицы одного и того же порядка
называются обратными, если их
произведение, взятое в любом
порядке, равно единичной матрице
того же порядка.
35
Формула обратной матрицы
.
А
1
А11
А21
А12
А22
А13
А23
А31 А11
А32 1 А12
А33 А13
А21
А22
А23
А31 А32 А33 36
Единичная матрица
1
0
E 0
0
1
0
0
0 0 1 37
Свойства операций над
матрицами
1.A+B=B+A
2.(A+B)+C=A+(B+C)
3.(A+B)k=kA+kB
38
Свойства операций
над
матрицами
(продолжение)
4. (AB)C=A(BC)
5. A(B+C)=AB+AC
6. A+O=A
7. AE=EA=A
39
Ранг
матрицы
Рангом матрицы называется порядок
наивысшего отличного от нуля
минора матрицы.
Ранг матрицы A обозначается:
R(A) или r(A) или rangA.
40
Теорема о ранге матрицы
Ранг матрицы равен максимальному
числу
линейно – независимых столбцов
матрицы. Максимальное число
линейно-независимых строк равно
максимальному числу линейнонезависимых столбцов.
41
Ранг матрицы
Рангом матрицы наз. порядок
базисного минора. Если матрица
нулевая ее ранг равен 0.
42
c ij
Элементарные
преобразования матрицы.
1.Умножение ряда на число не равное 0.
2. Перестановка строк или столбцов
местами.
3. Прибавление одной строки (или
столбца) к другой, умноженной на
число.
43
Элементарные
преобразования матрицы.
4.Отбрасывание
одного
одинаковых рядов.
из
двух
5.Отбрасывание нулевого ряда.
44
Элементарные
преобразования матрицы.
Теорема: Элементарные преобразования
не меняют ранг матрицы.
Матрицы, полученные с помощью
элементарных преобразований наз.
эквивалентными (~).
45
Ключевые понятия
Матрица, размерность матрицы, операции
над матрицами, обратная матрица, ранг,
элементарные преобразования матрицы.
46
Вопросы для самопроверки
по теме «Матрицы»
1. Понятие матрицы. Виды матриц.
2. Невырожденная матрица.
3. Линейные операции над матрицами.
47
Вопросы для самопроверки
по теме «Матрицы»(продолжение)
4. Свойства линейных операций над
матрицами.
5. Произведение матриц. Свойства.
48
Вопросы для самопроверки
по теме «Матрицы»(продолжение)
6. Необходимое и достаточное условие
существования матрицы, обратной
данной.
7. Алгоритм нахождения матрицы,
обратной данной.
49
Вопросы для самопроверки
по теме «Матрицы»(продолжение)
8. Определители взаимно-обратных
матриц.
9. Ранг матрицы. Способы нахождения
ранга матрицы.
50
Лекция3.Системы n линейных
уравнений с n неизвестными
а11 х1 а12 х 2 а13 х 3 ... а1 n х n b1 ,
а 21 х1 а 22 х 2 а 23 х 3 ... а 2 n х n b 2 ,
.......... .......... .......... .......... .......... ........,
а х а х а х ... а х b .
n2 2
n3 3
nn n
n
n1 1
51
Системы линейных уравнений
Решением
системы
будем
называть упорядоченный набор
чисел x1, x2, … , xn, обращающий
каждое уравнение системы в
верное равенство.
52
Системы линейных уравнений
Решить систему — значит найти все
ее решения или доказать, что ни
одного решения нет.
Система,
имеющая
решение,
называется совместной.
53
Системы линейных уравнений
Если система имеет только одно
решение, то она
называется
определенной.
54
Системы линейных уравнений
Если система
не
имеет
решений, то она называется
несовместной.
55
Системы линейных уравнений
Система, имеющая более чем одно
решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
56
Системы линейных уравнений
Система, у которой все
свободные члены равны нулю
(b1 = b2 =…= bn = 0),
называется однородной.
57
Системы линейных уравнений
Однородная система всегда совместна,
так как набор из n нулей удовлетворяет
любому уравнению такой системы.
58
Системы линейных уравнений
Если
число
уравнений
системы
совпадает с числом неизвестных , то
система
называется
квадратной.
59
Системы линейных уравнений
Две системы, множества
которых
совпадают,
решений
называются
эквивалентными или равносильными.
60
Системы линейных уравнений
Преобразование,
превращает
применение
систему
эквивалентную
эквивалентным
в
новую
исходной,
или
которого
систему,
называется
равносильным
преобразованием.
61
М е Метод
т о д Крамера
Крамера
а11
a12
...
a1 n
b1
a12
...
a1 n
а 21
a 22
...
a2n
b2
a 22
...
a2n
...
...
...
...
...
...
...
...
а n1
an2
...
a nn
bn
an2
...
a nn
.
x1 1 1
.
.
62
Метод
Крамера
Аналогично находят остальные
переменные по формулам:
xn n
.
63
Правило Крамера решения квадратных
систем линейных равнений
Если определитель матрицы A не
равен нулю, то система имеет
единственное решение,
определяемое формулами:
1
x1 x 2
2
x n
n
Здесь i – определитель n-го
порядка,
получающийся
из
определителя матрицы A
коэффициентов системы заменой
i-го столбца столбцом свободных
членов.
64
Матричный метод решения систем
Рассмотрим матрицы:
а 11 a 12
а 21 a 22
А
... ...
а
n1 a n 2
... a 1 n ... a 2 n ... ... ... a nn x1 x2 ...
x n
b1 b2 ...
b n
Х = А-1·В
65
Л е к ц и я 4. Т е о р е м а
Кронекера-Капелли
Для того чтобы система m
неоднородных линейных уравнений
с n неизвестными была совместной,
Необходимо и достаточно, чтобы
R(A)=R(B).
66
Метод
a11 a12
a 21 a 22
A
...
...
a
a
m
1
m2
Гаусса
a1 n b1 ... a 2 n b 2 ... ... ...
... a mn b m ...
67
Метод Гаусса (продолжение)
a11
0
...
0
0
...
0
a12
...
a1 r
a1 r 1
...
a1 r
a 22
/
...
a2r
/
a 2 r 1
...
a2r
...
...
...
...
...
...
0
...
a rr
/
a rr 1
/
...
a rn
0
...
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
/
/
b1 /
b2 ...
/
br /
br 1 ... / bm 68
Однородные системы
a11 x1 a12 x 2 ... a1 n x n 0 ,
a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n 0 ,
..........
..........
..........
..........
.....
a x a x ... a x 0 .
m2 2
mn n
m1 1
69
Теорема о совместности
однородной системы
Для того чтобы однородная система
линейных уравнений имела
нетривиальное решение, необходимо
и достаточно, чтобы ранг матрицы
этой системы был меньше числа
неизвестных n.
70
Ключевые понятия
Элементарные преобразования над
матрицей системы, прямой и обратный
ход, однородные системы,
фундаментальная система решений.
71
Ключевые понятия
Система уравнений, решение, общее
решение, частное решение, совместность
и несовместность системы, однородная и
неоднородная системы.
72
Вопросы для самопроверки
по теме «Системы уравнений»
1. Система линейных алгебраических
уравнений. Решение системы.
2. Матричная форма записи СЛАУ.
Решение СЛАУ матричным способом.
3. Правило Крамера.
73
Вопросы для самопроверки
по теме «Системы уравнений»
(продолжение)
4.Однородные системы уравнений.
5.Тривиальное решение.
6.Фундаментальная система решений
однородной СЛАУ.
74
Вопросы для самопроверки
по теме «Системы уравнений»
(продолжение)
7. Теорема
Кронекера - Капелли.
8. Линейные преобразования.
Собственные значения и собственные
векторы линейного преобразования.
75
a
Л е к ц и я 5. В е к т о р ы.
О с н о в н ы е п о н я т и я.
Вектором называется множество
всех направленных
отрезков,
имеющих одинаковую длину и
направление.
Обозначают векторы символами a
или AB , где А- начало, а B-конец
направленного отрезка .
76
В е к т о р ы. О с н о в н ы е п о н я т и я.
( Продолжение)
Нулевым вектором (обозначается
0)
называется вектор, начало и конец
которого совпадают.
77
Основные понятия
(продолжение)
Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной, или
модулем или абсолютной величиной.
78
Основные понятия
(продолжение)
Векторы называются
коллинеарными, если они
расположены на одной прямой или
на параллельных прямых
79
Основные понятия
(продолжение)
Векторы называются
компланарными, если они
параллельны одной плоскости.
Векторы называются равными,
если они сонаправлены и имеют
равные длины.
80
Линейные операции над
векторами
Линейными операциями называют
операции сложения и вычитания
векторов и умножения вектора на
число.
81
Сложение
векторов
c ab
Правило треугольника.
Правило параллелограмма
a
c
a
b
c
b
82
Сумма нескольких векторов
b
c
a
abcd
d
83
Противоположные векторы
c
c
84
Вычитание векторов
a
c
b
c a b
85
Умножение вектора на число
Произведением вектора a на
действительное число называется
вектор b (обозначают b a ),
определяемый следующими условиями:
1. b a
,
2. b a
0 .
при 0 и b a при
86
Умножение вектора на число
a
b
3a
1
b
2
c
c
87
Пример
В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные
части точками M и N.
Пусть CA a , CB b, выразить вектор CM
через
a
и
b.
Решение
AM M
1
AB ,
3
N
AB b a ,
CM CM AM a 1
3
b a .
88
Проекция вектора на ось
пр l AB АВ cos( AB ,l )
89
Координаты вектора
К о о р д и н а т а м и
вектора называются
е го п рое к ции на
о с и
к о о р д и н а т.
90
Координатные векторы
Z
i j k,
i i
k
j k 1.
Y
j
X
91
Разложение вектора на
составляющие
a
Z
– проекции
a
k
ay
O
X
,a y,az
вектора a на оси
координат (или
координаты вектора a )
az
ax
x
i
Y
j
a ax i ay j az k
92
Ключевые понятия
Вектор, модуль вектора, коллинеарность,
компланарность, сложение и вычетание
векторов, проекция вектора на ось.
93
Лекция6.Свойства линейных
операций над векторами
abba
a 0a
94
Свойства линейных операций
над векторами(продолжение)
a (b c ) ( a b ) c
a ( a ) 0
95
Свойства линейных операций
над векторами(продолжение)
( ) a ( a ) ( a )
( ) a a a
96
Свойства линейных операций
над векторами(продолжение)
(a b) a b
1 a a
( 1) a a
97
Орт. Орт вектора.
Ортом называется вектор
единичной
Ортом
д л и н ы.
вектора называется
с о н а п р а в л е н н ы й е м у о р т.
98
Единичный вектор
Пусть дан вектор
a
коллинеарный вектору
. Рассмотрим вектор
a
a0,
, одинаково с ним
направленный , но имеющий длину, равную
единице. Будем называть этот вектор ортом
данного вектора .
a0 a
a
.
99
Координаты единичного вектора
a 0 cos , cos , cos ,
где
cos , cos , cos - направляющие
косинусы вектора
a.
100
Пример
Найти косинусы углов, которые, вектор AB составляет с
осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5).
Решение.
AB AB
2
1; 4 2 ; 5 3 1; 2 ; 2 ,
1
2
2
2
2
2
3,
тогда
cos 1
3
, cos 2
3
, cos 2
3
101
Базис
Базисом в пространстве
называются
три некомпланарных вектора, взятых в
определенном порядке.
102
Базис
Базисом на плоскости называют два
неколлинеарных вектора , взятых в
определенном порядке; базисом на
прямой называют любой ненулевой
вектор на этой прямой.
103
Разложение вектора по базису
Каждый вектор в пространстве,
плоскости или на прямой может быть
разложен по базису пространства,
плоскости или прямой соответственно,
причем это разложение единственно.
104
Модуль вектора
a 2
ax
2
ay
2
az
105
Коллинеарные векторы
Векторы называются
коллинеарными, если они лежат
на одной прямой, либо
на
параллельных прямых.
106
Коллинеарные векторы
Обозначение :
a c , a b , c b .
a
c
b
107
Условие коллинеарности
векторов
Векторы коллинеарны, если их
координаты пропорциональны.
108
Условие коллинеарности двух
векторов (продолжение)
a
b
a || b ax
bx
где
ay
by
a a x ; a y ; a z az
bz
и
,
b b x ; b y ; b z .
109
Направляющие косинусы вектора
cos ax
cos ay
a
a
cos az
a
110
Направляющие косинусы вектора
2
2
2
cos cos cos 1
111
Ключевые понятия
Орт, координаты, базис, разложение
вектора по базису,
направляющие
косинусы вектора.
112
Лекция 7. Деление отрезка в
данном отношении
.
x
x1 x 2
y 1 z
y1 y 2
1 z1 z 2
1 113
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов
называется
произведение
их
модулей на косинус угла между
ними.
114
Скалярное произведение векторов
a b a b cos 115
Физический смысл скалярного
произведения
Работа постоянной силы на
прямолинейном участке пути равна
скалярному произведению вектора
силы на вектор перемещения.
116
Физический смысл скалярного
произведения
F
e
A F e
117
Угол между векторами
cos a b
a b
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
2
x1
2
y1
2
z1
2
x2
2
y2
118
2
z2
Проекция вектора на вектор
пр
b
a a b
b
119
Свойства скалярного произведения
a b b a
(a b ) ( a ) b a ( b )
120
Свойства скалярного
произведения (продолжение)
a
2
a
2
a a
2
121
Свойства скалярного
произведения (продолжение)
a b axbx ayby azbz
122
Пример
Дан вектор
угол
c 2 a 3b
между векторами
Найти модуль вектора
a
, b 5
a 4
, причем
b
и
равен
,
0
60 .
c.
Решение
с Так как
с
2
2
a
2 a 3b 2
a
2
4
2
16
2
4a
и b
a b a b cos 4 5 cos 60
то
c 2
0
4 16 12 10 9 25 12 a b 9 b
b
2
2
.
5 25 ,
2
10 ,
409 .
123
Ключевые понятия
Скалярное
произведение
физический
смысл
векторов,
скалярного
произведения, угол между векторами,
проекция
вектора
на
вектор.
124
Лекция8.Векторное
произведение векторов
Векторным произведением двух векторов
называется вектор, который обозначается a b
и определяется следующим образом: a b a b sin ,
где a , b – длина этого вектора равна
произведению длин перемножаемых векторов на
Синус угла между ними.
Этот вектор перпендикулярен каждому из
векторов и образует с ними правую тройку.
125
Обозначение векторного
произведения векторов
c
c ab
b
a
126
Физический смысл векторного
произведения
F
O
M
127
Физический смысл векторного
произведения
Если F – сила, приложенная к точке М,
то момент этой силы относительно точки
О равен векторному произведению
векторов F и OM .
128
Понятие «правой» тройки
векторов
Тройку векторов a , b , c называют правой, если
направление вектора c таково, что, смотря из его конца
вдоль вектора, поворот по кратчайшему пути от вектора
к вектору b будет виден против движения часовой
стрелки.
с
a, b, с
b
- правая тройка
a
129
a
Пример
Найти векторное произведение векторов
a 2i 3 j k ,
b 3i j 4 k .
Решение
i
ab 2
3
2
1
3
4
j
k
1 3
1
j
4
2
3
3
1
3
1
1
4
i k 13 i 5 j 11 k .
130
Векторные произведения
координатных векторов
k
j
i j k,
j i k,
k i j,
i k j,
j k i.
k j i.
i
131
Площадь параллелограмма
S пар a b
132
Площадь треугольника
S 1
2
ab
133
Свойства векторного
произведения
a b b a
ab0 a0
и
и
или
л
и
b0
или
a
b
aa 0
134
Свойства векторного
произведения
(a b) c a c b c
( a b ) ( a ) b a ( b )
135
Векторное произведение в
координатной форме
i
j
k
a b ax
ay
az
bx
by
bz
136
Пример
Найти
2 a 3b a 2b ,
если
a 2 , b 1, 90 .
0
Решение
2 a 3b a 2 b 2 a a 3 b a 4 a b 6 b b 7 b a 7 b a sin 7 1 2 sin 90
0
14 .
137
Ключевые понятия
Векторное
произведение
физический
произведения,
смысл
векторов,
векторного
правая
и
левая
тройка векторов.
138
Лекция 9.
Смешанное произведение
Смешанным произведением трёх
векторов называется произведение
вида :
(a b) c
139
Смешанное произведение
ax
abc b x
cx
ay
b
cy
az
y
bz
cz
140
Компланарные векторы
Три вектора называются компланарными, если они лежат
в одной или параллельных плоскостях.
p
a
n
b
c
a , b , c компланарн
ы,
m
m , n , p некомплана
рны .
141
Условие компланарности трёх
векторов
Если
a, b, c
компланарны, то
ax
ay
az
bx
by
bz 0.
cx
cy
cz
Элементами определителя являются координаты
векторов
a, b, c
142
Объём параллелепипеда
V abc
143
Объём тетраэдра
V тет 1
6
abc
144
Ключевые понятия
Смешанное произведение векторов ,
условие
компланарности
трёх
векторов.
145
Вопросы для самопроверки
по теме «Векторы»
1. Векторные и скалярные величины.
2. Векторы. Основные определения.
3. Равенство векторов. Орт.
4. Линейные операции над векторами.
146
Вопросы для самопроверки
по теме «Векторы»
(продолжение)
5. Линейно зависимые (независимые) векторы.
6. Базис на плоскости и в пространстве.
7. Разложение вектора по базису.
8. Линейные операции над векторами в
координатной форме.
147
Вопросы для самопроверки
по теме «Векторы»
(продолжение)
9. Деление отрезка в данном отношении.
10. Направляющие косинусы вектора.
11. Проекция вектора на ось.
12.Угол между вектором и осью.
148
Вопросы для самопроверки
по теме «Векторы»
(продолжение)
13. Скалярное произведение векторов.
Свойства.
14. Векторное произведение векторов.
15. Смешанное произведение векторов.
16. Компланарность векторов.
Необходимое и достаточное условие
компланарности.
149
Прямая на плоскости
A( x x 0) B ( y y 0) 0
n ( A; B )
150
Общее уравнение
Ax By C 0
151
Уравнение в отрезках
x
a
y
b
1
152
Каноническое уравнение
x
x
m
0
y
y
0
p
153
Уравнение прямой, проходящей
через две точки
x x1
x 2 x1
y y1
y 2 y1
154
Параметрические уравнения
x mt x 0
y pt y 0
155
С угловым коэффициентом
y y 0 k ( x x0 )
y kx b
156
Угол между двумя прямыми
tg cos k 2 k1
1 k1k 2
A1 A 2 B 1 B 2
2
A1
2
B1
2
A2
2
B2
157
Расстояние от точки до прямой
d Ax 0 By 0 C
2
A B
2
158
Ключевые понятия
Прямая, нормаль, направляющий вектор,
угол
между
расстояние
двумя
прямыми,
от точки до прямой.
159
Вопросы для самопроверки
по теме «Прямая на плоскости»
1.Различные способы задания прямой на
плоскости.
2. Угол между двумя прямыми.
3. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
160
Лекция10.Кривые второго
порядка.
Общее уравнение кривой
второго порядка имеет вид
Ах Вху Су
2
2
D х Еу F 0 .
161
Кривые второго порядка.
Уравнение
такого
вида
может
определять:
эллипс (в частности,
окружность),
гиперболу,
параболу,
пару
прямых
(параллельных,
пересекающихся либо совпадающих),
точку или не определять никакой линии.
162
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое
место точек (плоскости), сумма
расстояний которых от двух данных
точек, называемых фокусами этого
эллипса, есть величина постоянная.
163
Уравнение эллипса
х
2
а
2
у
2
в
2
1.
164
Эллипс
y
F1 ( C , 0 )
0
F 2 (C ,0 )
x
165
Определение гиперболы
Гиперболой называется
геометрическое место точек,
разность расстояний которых от двух
данных точек плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная
166
Уравнение гиперболы
х
2
а
2
у
2
в
2
1.
167
Гипербола
y
b
a
a
0
x
b
168
Лекция11.Определение параболы
Параболой
называется
геометрическое
место
точек,
равноудаленных от данной точки
плоскости, называемой фокусом, и
данной
прямой,
называемой
директрисой .
169
Ключевые понятия
Парабола, вершина, фокус,
директриса , ось параболы.
170
Уравнение параболы
2
у 2 рх
171
Парабола
y
y
0
F
2
2 px ,
x
172
Парабола
y
x
2
2 py .
F
0
x
173
Ключевые понятия
Эллипс, гипербола, окружность,
фокусы, оси, эксцентриситет.
174
Вопросы для самопроверки
по теме «Кривые второго порядка»
1.
2.
3.
4.
5.
Каноническое уравнения окружности.
Каноническое уравнение эллипса.
Определение эллипса.
Определение гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы.
175
Вопросы для самопроверки
по теме «Кривые второго порядка»
(продолжение)
6.Определение параболы. Канонические
уравнения параболы.
7. Приведение общего уравнения кривой
второго порядка к каноническому виду.
176
Полярные координаты
х cos , у sin ;
x
cos х
2
у
у
, sin 2
х
2
у
177
2
Лекция12.Плоскость
А ( х х о ) В у у о С z z о 0 .
178
Общее уравнение
Ах Ву Сz D 0 .
179
Уравнение в отрезках
х
а
у
в
z
с
1.
180
Уравнение через три точки
х х1
у у1
z z1
х 2 х 1 у 2 у1 z 2 z1 0 .
х 3 х 1 у 3 у1 z 3 z1
181
Угол между плоскостями
cos n1 n 2
n1 n 2
А 1А 2 В1В 2 С 1С 2
2
А1
2
В1
2
С1
2
А2
2
В2
.
2
С2
182
Условие параллельности
плоскостей
1 2
n1 n 2 A1
A2
B1
B2
C1
C2
183
Условие перпендикулярности
плоскостей
1 2
n1 n 2 n1 n 2 0
184
Расстояние от точки до
плоскости
d
Ах о Ву о Сz о D
А В С
2
2
2
185
Ключевые понятия
Плоскость, угол между
параллельность
перпендикулярность
плоскостями,
плоскостей,
плоскостей.
186
Вопросы для самопроверки
по теме «Плоскость»
1.Общее уравнение плоскости. Частные
случаи.
2. Уравнение плоскости, проходящей
через три данные точки.
3. Условия параллельности и
перпендикулярности двух плоскостей.
187
Лекция13.Прямая в пространстве
х хо
у уо z zо
m
p
q
188
Параметрические уравнения
х mt x o , y pt y o , z qt z o
189
Уравнение прямой, проходящей
через две точки
х х1
х 2 х1
у у1
z z1
у 2 у1 z 2 z1
190
Общие уравнения прямой
А1 х В1 у С 1 z D1 0 ,
А
х
В
у
С
z
D
0
,
2
2
2
2
191
Угол между прямыми
cos а1 а 2
а1 а 2
m 1 m 2 p1 p 2 q1 q 2
m p q m p q
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
.
2
2
192
Параллельность прямых
Если 1 2 , то
а1 а 2 m1
m2
p1
p2
q1
.
q2
193
Перпендикулярность прямых
Если
1 2
то а1 а 2 а1 а 2 0
194
Угол между прямой и плоскостью
sin n a
nа
Am Bp Cq
.
A B C m p q
2
2
2
2
2
2
195
Условие параллельности
прямой и плоскости
Если
, то Аm Вp Сq 0
196
Условие перпендикулярности
прямой и плоскости
Если ,
А
m
B
p
С
q
197
Ключевые понятия
Прямая в пространстве, угол между
прямыми в пространстве,
параллельность прямых,
перпендикулярность прямых,
угол между прямой и плоскостью.
198
Вопросы для самопроверки
по теме «Прямая в пространстве»
1. Прямая в пространстве. Способы
задания.
2. Угол между двумя прямыми.
3. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
4. Взаимное расположение прямой и
плоскости.
199
Лекция14.Поверхности второго
порядка. Эллипсоид.
Эллипсоид
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
1
200
Цилиндрические поверхности
Цилиндрической
поверхностью
называется поверхность, составленная
из всех прямых, пересекающих данную
линию L и параллельных данной
прямой . Линия L при этом называется
направляющей
цилиндрической
поверхности , а каждая из прямых,
составляющих поверхность
и
параллельных прямой , ее
образующей.
201
Цилиндрические поверхности
Если направляющая цилиндрической
поверхности лежит в одной из
координатных плоскостей , а
образующие
параллельны
координатной оси, перпендикулярной
этой плоскости, то уравнение такой
поверхности совпадает с уравнением
направляющей L, то есть содержит
только две переменных.
202
Эллиптический цилиндр
x
2
a
2
y
2
b
2
1
203
Конические поверхности
Конической поверхностью называется
поверхность, составленная из всех
прямых, пересекающих данную линию L
и проходящих через данную точку Р.
Линия L при этом называется
направляющей
конической
поверхности, точка Р – ее вершиной, а
каждая из прямых, составляющих
коническую поверхность, - ее
образующей.
204
Конус
х
2
а
2
у
2
в
2
z
2
с
2
0.
205
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
0
206
Однополостный гиперболоид
х
2
а
2
у
2
в
2
z
2
с
2
1.
207
Однополостный гиперболоид
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
1
208
Двуполостный гиперболоид
х
2
а
2
у
2
в
2
z
2
с
2
1.
209
Двуполостной гиперболоид
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
1
210
Эллиптический параболоид
2z х
2
р
у
2
g
,
211
Эллиптический параболоид
x
2
p
y
2
2z
q
212
Гиперболический параболоид
2z х
2
р
у
2
g
,
213
Ключевые понятия
Поверхность, эллипсоид, конус,
цилиндр, виды цилиндров,
однополостный гиперболоид,
двуполостный гиперболоид,
параболоид.
214
Вопросы для самопроверки по теме
«Поверхности второго порядка»
1. Поверхности второго порядка и их
канонические уравнения.
2. Общее уравнение поверхности второго
порядка и его приведение к
каноническому виду.
215
Лекция15.
Некоторые кривые
216
Полукубическая парабола
y
2
x
3
или
x t
y t
2
3
217
Кривая Гаусса
ye
x
2
218
Декартов лист
x
3
y
3
3 ax y
3 at
x 3
1 t
2
3 at
y 3
1 t
0
или
219
Циссоида Диоклеса
y
2
x
3
a x
2
at
x 2
1 t
3
at
y 2
1 t
или
220
Лемниската Бернулли
x
y
2
2 2
a
2
x
2
y
2
или
r
2
a cos 2
2
221
Циклоида
x a ( t sin t )
y a (1 cos t )
222
Гипоциклоида (астроида)
или
x a cos
y a sin
2
x
3
3
t
3
t
2
y
3
2
a
3
223
Кардиоида
r a (1 cos )
224
Ключевые понятия
Замечательные кривые, кривая Гаусса,
Декартов лист, циссоида
лемниската
Бернулли,
астроида,
Диоклеса,
циклоида,
кардиоида.
225
Лекция16.Комплексные числа.
Комплексным числом z называется
число вида x+iy,
где x и y–вещественные числа.
226
Комплексные числа (продолжение)
z x iy
называется алгебраической формой
записи комплексного числа.
227
Комплексные числа (продолжение)
Число x называется действительной
частью, y–мнимой частью комплексного
числа z. Это записывают следующим
образом:
x=Rez, y=Imz.
228
Комплексные числа (продолжение)
Если x=0, то число z называют чисто
мнимым; если y=0 , то получается
вещественное число z=x +0i.
Два комплексных числа z x iy
и z x iy называются сопряженными.
229
Комплексные числа (продолжение)
Два комплексных числа z1 x1 iy1 и
z 2 x 2 iy 2 равны друг другу, если x1 x 2
и y1 y 2 ; комплексное число z считается
равным нулю, если x=y=0.
230
Комплексные числа (продолжение)
Всякое комплексное число можно
изобразить точкой на плоскости, т.к.
каждому z соответствует
упорядоченная пара вещественных
чисел (x;y).
231
Модуль комплексного числа
Число x 2 y 2 называется модулем
комплексного числа z x iy
и
обозначается z .
232
Тригонометрическая форма
комплексного числа.
z r sin i sin 2
r x y
2
y
arctg x 233
Действия над комплексными
числами
z1 z 2 x1 x 2 i y1 y 2 z 1 z 2 x1 x 2 i y 1 y 2 234
Действия над комплексными
числами(продолжение)
z1 z 2 x1 iy 1 x 2 iy 2 x1 x 2 iy 1 x 2 ix1 y 2 2
i y1 y 2 x1 x 2 y1 y 2 i x1 y 2 x 2 y1 235
Действия над комплексными
числами(продолжение)
z1
z2
x1 iy 1
x 2 iy 2
x1 iy 1 x 2 iy 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2 2
x1 x 2 iy 1 x 2 ix 1 y 2 i y1 y 2
2
x2 y2
2
x1 x 2 y 1 y 2 i x1 y 2 x 2 y 1 2
x2 y2
2
236
Действия над комплексными
числами(продолжение)
z1 z 2 r1e
z1
z2
i 1
r1e
r2 e
r2 e
i 2
i 1
i 2
r1 r2 e
r1
r2
e
i 1 2 i 1 2 r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2 r1
r2
cos 1 2 i sin 1 2 237
Формулы Муавра
n
z r
n
n
cos n i sin n 2 kπ 2 kπ
z r cos
i sin
n
n n
238
Ключевые понятия
Мнимая единица, комплексное число,
действительная и мнимая части
комплексного числа; алгебраическая,
тригонометрическая и показательная
формы комплексного числа.
239
Вопросы для самопроверки по
теме «Комплексные числа»
1. Формы записи комплексного числа.
2. Сложение, умножение, деление
комплексных чисел.
240
Вопросы для самопроверки по
теме «Комплексные числа»
3. Модуль и сопряженное комплексного
числа и их свойства.
4. Возведение комплексного числа в
степень. Формула Муавра.
241
Вопросы для самопроверки по
теме «Комплексные числа»
(продолжение)
5. Извлечение корня из комплексного
числа.
6. Основная теорема алгебры.
7. Геометрическое изображение
комплексного числа.
242
Основная литература
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической
геометрии и линейной алгебры. – М.:
Наука, 2006.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова
Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах. – М.: Высшая школа, 2005,
ч.1.
243
Основная литература
3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко
Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К.
Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. – М.:
Эдиториал УРСС, 2007.
4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей
математике. Изд. 3 – 11. Гостехиздат, 1955 –
1957. – М.: Наука, 1964 – 1971.
244
Дополнительная литература
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей
математике. – М.: Физматлит, 2005.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий
курс высшей математики. – М.: Наука,
2006.
245
Дополнительная литература
3. Шипачев В.С. Основы высшей
математики. – М.: Высшая школа, 2004.
4.Л.Я.Дубинина,Л.С.Никулина,И.В.Пивоваро
ва.Курс лекций по высшей математике.Ч.1.В.:
ВГУЭС,2002.
246
Использование материалов
презентации
Использование данной презентации возможно только при условии
соблюдения требования законов РФ об авторском праве и
интеллектуальной собственности ,а также с учётом требований
настоящего Заявления.
Презентация является собственностью автора. Разрешается
распечатывать любую часть презентации для личного
некоммерческого использования, но не допускается её
использование с какой-нибудь иной целью.
Не разрешается вносить изменения в любую часть презентации.
247
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
31
Размер файла
1 027 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа