close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация

код для вставкиСкачать
Digital Signal Processing
Лекция 2
DSP
Дискретные сигналы и системы
•
•
•
•
•
•
DSP
Классификация сигналов и систем
Дискретные сигналы (последовательности)
Дискретные линейные системы с постоянными параметрами
Устойчивость и физическая реализуемость ДЛС
Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами
Представление дискретных сигналов и систем в частотной области
Дискретные сигналы и системы
y (n) x ( k ) h ( n k ) x ( n ) * h ( n ).
k (n)
ЛПП
система
DSP
h (n )
(1.7)
Дискретные сигналы и системы
Примеры свертки:
DSP
Дискретные сигналы и системы
Устойчивость и физическая реализуемость
• Устойчивой назовем систему, в которой каждый
ограниченный входной сигнал создает ограниченный
выходной сигнал. Линейная система с постоянными
параметрами устойчива тогда и только тогда, когда
(1.9)
S h(k ) .
k • Достаточность. Если x(n) – ограничена, то есть |x(n)|<M и
(1.9) справедливо, тогда
y (n) h(k ) x(n k )
k h(k ) x(n k ) M
k h(k ) .
k Следовательно, y(n) ограниченная.
• Необходимость. Если S=, то для ограниченного входного
сигнала
1, при h ( n ) 0 ;
x(n) 1, при h ( n ) 0 ;
DSP
Дискретные сигналы и системы
• Необходимость (продолжение)
выходной сигнал при n=0 равен
y (0) x(k )h( k ) k k h( k ) h ( m ) S .
m то есть y(0) – не ограничено.
• Физически реализуемая система – это система, у которой
изменения на выходе не опережают изменения на входе.
Поэтому отклик y(n0) зависит только от x(n) для nn0 Это
требует, чтобы h ( n ) 0 , при n<0. Такую систему называют
еще каузальной (causal - причинный). Для нее
n
y (n) x ( k ) h ( n k ),
k DSP
Дискретные сигналы и системы
Пример.
Пусть ЛПП – система имеет импульсную характеристику
h ( n ) a u ( n ).
n
Поскольку h ( n ) 0 , при n<0, система физически
реализуема.
Вычислим
S | h(k ) | | a |
k k
.
k 0
Если | a | 1, бесконечная геометрическая прогрессия
имеет сумму
S 1
1 | a |
,
но, если | a | 1 , ряд расходится. Следовательно, система
устойчива только при | a | 1 .
h(n)
DSP
|a|<1 – система устойчивая
h(n)
|a|>1 – система неустойчивая
Дискретные сигналы и системы
Линейные разностные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Важную роль играет подкласс ЛПП – систем, для которых
вход x(n) и выход y(n) удовлетворяют линейному
разностному уравнению N-го порядка с постоянными
коэффициентами вида
N
M
a (k ) y (n k ) b(k ) x(n k )
k 0
(1.10)
k 0
Общепринято предполагать, что такое разностное
уравнение (1.10) характеризует физически реализуемую
систему, и мы будем придерживаться этого положения, хотя
в общем случае это не так.
Например, разностному уравнению 1-го порядка
y ( n ) ay ( n 1) x ( n )
при x ( n ) ( n ) удовлетворяют как y ( n ) a u ( n ),
n
так и y ( n ) a u ( n 1).
n
DSP
(1.11)
Дискретные сигналы и системы
Первое решение соответствует физически реализуемой
системе, второе нет.
Без добавочной информации разностное уравнение (1.10)
неоднозначно определяет соотношение между входом и
выходом.
Например, если уравнению (1.11) удовлетворяет y1(n) при
х(n) =х1(n), то ему также удовлетворяет решение вида
у(n)
= у1(n) +k an, где k - произвольная постоянная.
В общем случае к любому решению (1.10) можно прибавить
составляющую, удовлетворяющую однородному
разностному уравнению (с нулевой правой частью), и эта
сумма также будет удовлетворять (1.10).
Решение однородного уравнения
N
a (k ) y (n k ) 0,
k 0
N
имеет вид y ( n ) n
A k z k , если zk – совокупность простых
k 1
N
DSP
корней характеристического уравнения k 0
a (k ) z
N k
0.
Дискретные сигналы и системы
Константы Ak определяются начальными условиями. Для
кратных корней решение записывается иначе.
Для физически реализуемой системы разностное
уравнение можно переписать в виде
N
y ( n ) ( a ( k ) / a ( 0 )) y ( n k ) k 1
M
( b ( k ) / a ( 0 )) x ( n k ).
k 0
Таким образом, n-е значение выхода можно вычислить,
зная n-е значение входа и соответственно N и М прошлых
значений выхода и входа.
Как и в случае свертки, разностное уравнение не только
дает теоретическое описание системы, но может быть
основой для реализации системы.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Пример.
y ( n ) ay ( n 1) x ( n ).
Положим х(n)=(n) при нулевых начальных условиях y(-1)=0.
Тогда решение y(n)=h(n) будет импульсной характеристикой:
h ( n ) 0;
n 0;
h ( 0 ) ah ( 1) 1 1;
h (1) ah ( 0 ) a ;
.
.
h ( n ) ah ( n 1) a .
n
Таким образом
h ( n ) a u ( n ).
n
DSP
Дискретные сигналы и системы
Пример получения разностного уравнения и его
решения из области денежных платежей.
Банк предоставил ссуду в размере 50000 долларов, которая
должна быть возвращена через 30 лет равными
ежемесячными взносами размером p долларов.
Выплачиваемый процент установлен на уровне 15% в год от
невозвращенной суммы. Каковы должны быть ежемесячные
платежи и общая возвращенная банку сумма денег?
Пусть Р(n) - неоплаченная часть ссуды, оставшаяся после
выплаты n-го ежемесячного взноса. Тогда будет иметь
место следующее соотношение (разностное уравнение):
P(n) = (1+r)P(n -1) – p, для n = 1, 2, 3, …, 360,
где r = 0,15/12 = 0,0125 – ежемесячная норма процента.
Первоначально Р(0) = 50000 и мы хотим найти значение p ,
при котором Р(360) = 0.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Пример (продолжение).
Запишем последовательные решения:
P (1) (1 r ) P ( 0 ) p ;
P ( 2 ) (1 r ) P (1) p (1 r ) P ( 0 ) p [1 (1 r )];
2
P ( 3 ) (1 r ) P ( 0 ) p [1 (1 r ) (1 r ) ];
3
2
n 1
P ( n ) (1 r ) P ( 0 ) p (1 r )
n
(1 r ) 1
n
k
(1 r ) P ( 0 ) n
p.
r
k 0
Из последнего соотношения, полагая Р(360) = 0, имеем
p r (1 r )
(1 r )
360
360
1
P (0) 0 , 0125 * 1, 0125
1, 0125
360
1
360
50000 632 , 22
долларов.
Полная сумма возврата за ссуду составит величину
360*р = 227599,22 долларов.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Типы импульсных характеристик ЛПП систем.
ЛПП может иметь импульсную характеристику как конечной,
так и бесконечной длительности.
Будем называть системы с конечной импульсной
характеристикой - КИХ-системами, а системы с
бесконечной импульсной характеристикой - БИХ-системами.
Если в (1.10) положить N=0, так что
y (n) 1
M
b ( k ) x ( n k ),
a (0)
k 0
тогда оно совпадает со сверткой и соответствует КИХсистеме с импульсной характеристикой
( b ( n ) / a ( 0 )), n 0 ,1,..., M ;
h(n) 0 - в остальных случаях.
DSP
Для БИХ-системы должно быть N>0.
Дискретные сигналы и системы
Представление дискретных сигналов и систем в
частотной области.
Особо важную роль для дискретных сигналов и систем
играют синусоидальные и комплексные экспоненциальные
последовательности, поскольку в установившемся
состоянии отклик на синусоидальный входной сигнал ЛППсистемы является синусоидой той же частоты с амплитудой
и фазой, определяемыми системой.
Пусть входная последовательность х(n) =ejn для -< n<.
Тогда выходной сигнал ЛПП-системы
y (n) h (k )e
j ( n k )
e
j n
k Если ввести
h (k )e
j k
.
k H (e
j
)
h (k )e
j k
,
(1.13)
k то
DSP
y ( n ) H (e
j
)e
j n
.
(1.14)
Дискретные сигналы и системы
Частотная характеристика системы.
H(ej) называется частотной характеристикой системы, у
которой импульсная характеристика равна h(n).
e
j n
ЛПП-система
e
j n
H (e
j
)
Рис. 1.12. Получение частотной характеристики системы
еjn – собственная функция ЛПП-системы.
В общем случае H(ej) - комплексная функция
H(ej) = HRe(ej)+j HIm(ej)= | H(ej) |ejarg[H(.)] .
| H(ej) |={[HRe(ej)]2+[HIm(ej)]2}1/2 – амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ) системы
DSP
arg H(ej)=arctg { HIm(ej)/ HRe(ej)} - фазо-частотная
характеристика (ФЧХ) системы
Дискретные сигналы и системы
Частотная характеристика системы (продолжение).
Частотная характеристика также выражает отклик на
синусоидальный сигнал
x ( n ) A cos( 0 n ) ( A / 2 ) e
Отклик на
( A / 2)e
j
j 0 n
e
j
j 0 n
e
( A / 2)e
y1 ( n ) H (e
равен
j 0
j
e
j 0 n
)( A / 2 ) e
j
Если h(n) - действительная функция, то отклик на сигнал
(
A
j
)e
e
j 0 n
2
является комплексно-сопряженным с откликом y1(n):
y 2 (n ) H (e
j 0
)(
A
)e
j
e
j 0 n
.
2
Поэтому результирующий отклик
y ( n ) ( A / 2 )[ H ( e
( A / 2) H (e
Re{ H ( e
DSP
j 0
j 0
) [e
) Ae
j
j 0
)e
j
e
j 0 n
j [ 0 n ]
e
j 0 n
H (e
e
j 0
j [ 0 n ]
} A H (e
j 0
)e
j
e
j 0 n
]
]
) cos( 0 n ),
.
e
j 0 n
.
Дискретные сигналы и системы
Частотная характеристика системы (продолжение).
arg[ H ( e
j 0
)] - значение фазо-частотной характеристики
системы на частоте 0.
Пример расчета частотной характеристики.
Рассмотрим систему с импульсной характеристикой
1, 0 n N 1;
h(n) 0 в остальных случаях.
Рис. 1.13 Импульсная характеристика системы.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Пример расчета частотной характеристики
(продолжение).
Частотная характеристика равна
H (e
j
N 1
)
n0
e
j n
1 e
j N
1 e
j
e
j N / 2
e
(e
j / 2
(e
j N / 2
j / 2
e
e
j N / 2
j / 2
Рис. 1.14 АЧХ и ФЧХ системы.
DSP
)
)
sin( N / 2 )
sin( / 2 )
e
j ( N 1 ) / 2
.
Дискретные сигналы и системы
Свойства частотной характеристики
1. Частотная характеристика H(ej) является функцией
непрерывной частоты , и это периодическая функция
частоты с периодом 2. Это свойство следует
непосредственно из определения, так как ej(k = ejk.
Поэтому для полного описания H(ej) достаточно задать ее
на интервале - (02)
2. Для действительных h(n) АЧХ системы - H(ej) - четная
функция , а ФЧХ – argH(ej) – нечетная функция на
интервале -. В этом случае интервал задания H(ej)
сокращают до 0.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Преобразование Фурье.
Поскольку H(ej) - периодическая функция частоты, она может
быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.13) и
представляет H(ej) в виде ряда Фурье, в котором
коэффициентами Фурье являются значения импульсной
характеристики h(n). Отсюда следует, что h(n) могут быть
определены через H(ej) как коэффициенты Фурье периодической
функции т. е.
h ( n ) (1 / 2 ) H (e
j
)e
j n
d ,
(1.17)
где
H (e
j
)
n DSP
h (n )e
j n
.
(1.18)
Дискретные сигналы и системы
Преобразование Фурье (продолжение).
h ( n ) (1 / 2 ) где
H (e
j
H (e
j
)
h (n )e
)e
j n
j n
.
d ,
(1.17)
(1.18)
n Эти равенства можно также трактовать как представление
последовательности h(n) в виде суперпозиции (интеграла)
экспоненциальных сигналов, комплексные амплитуды
которых определяются выражением (1.18). Таким образом,
(1.17) и (1.18) являются парой преобразований Фурье для
последовательности h(n), где (1.18) играет роль прямого, а
(1.17) обратного преобразования Фурье.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Преобразование Фурье (продолжение).
Представление последовательности преобразованием (1.18)
будет справедливо для любой последовательности. Поэтому
для произвольной последовательности х(n) определим
прямое преобразование Фурье дискретного времени (ДВПФ)
соотношением
X (e
j
)
x (n )e
j n
(1.19)
,
n а обратное преобразование Фурье - соотношением
x ( n ) (1 / 2 ) X (e
j
)e
j n
d ,
(1.20)
X(ej) = | X(ej) |ejarg[X(ej)] – спектральная характеристика
последовательности x(n). | X(ej) | - амплитудно-частотный
спектр, arg[X(ej)] – фазо-частотный спектр.
Если
x(n) ,
n DSP
то спектральная характеристика X(ej) последовательности
х(n) существует.
Дискретные сигналы и системы
Преобразование Фурье (продолжение).
Возможность представления последовательности как
суперпозиции комплексных экспонент является очень
важным качеством при анализе линейных систем с
постоянными параметрами.
Так как отклик на каждую комплексную экспоненту
получается умножением на H(ej), то
y ( n ) T [ x ( n )] T [( 1 / 2 ) (1 / 2 ) H (e
j
) X (e
j
)e
X (e
j n
j
)e
j n
d ] (1 / 2 ) d (1 / 2 ) Y ( e
j
)e
j n
X (e
j
)T [e
j n
]d . d .
Поэтому преобразование Фурье выходного сигнала равно
Y (e
j
) H (e
j
) X (e
j
).
(1.21)
Этот результат может быть получен путем применения
преобразования Фурье к свертке
y (n) DSP
x ( k ) h ( n k ).
k Дискретные сигналы и системы
Пример.
Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем
имеет частотную характеристику
H (e
j
1, ср ;
)
0 , ср .
Так как H(ej) является периодической функцией, то это
соотношение определяет частотную характеристику для всех
. Такая система удаляет из входного сигнала все
компоненты в диапазоне частот ср .
DSP
Рис. 1.15 Частотная характеристика идеального дискретного
фильтра нижних частот.
Дискретные сигналы и системы
Пример (продолжение).
Импульсная характеристика h(n) определяется по (1.17):
h ( n ) (1 / 2 ) ср
ср
e
j n
d (sin ср n / n )
Рис. 1.16 Импульсная характеристика идеального фильтра
нижних частот с частотой среза ср.=/2.
Это физически нереализуемый и неустойчивый фильтр.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Последовательность
ДВПФ
x(n)
X(ej)
x(n-m)
X(ej)e-jm
x(n)ejn
X(ej(-))
x(k )h(n k )
X(ej) H(ej)
k 1
x(n)y(n)
2
X (e
j
)Y ( e
j ( )
Таблица 1.1. Некоторые важные свойства ДВПФ.
DSP
)d
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
8
Размер файла
590 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа