close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Методы решения

код для вставкиСкачать
МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Методы решения
тригонометрических уравнений
Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна
Содержание
•
•
•
•
Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Однородные тригонометрические уравнения
С помощью тригонометрических формул:
− Формул сложения
− Формул приведения
− Формул двойного аргумента
Метод замены переменной
С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1;1]
решение исходного уравнения сводится к решению
квадратного или другого алгебраического уравнения.
См. примеры 1 – 3
Иногда используют универсальную тригонометрическую
x
подстановку: t = tg
2
1 tg
2
cos α 1 tg
2
α
2 tg
2
2 1t
2
α
1t
2
sin α 1 tg
α
2
2
α
2
2t
1t
2
Пример 1
2 sin
2
x 5 sin x 2 0
sin x t , где
Пусть
2t
2
t 1; 1, тогда
5t 2 0
t 1 2 , не удовлетвор
1
t 2 ;
2
яет условию
Вернемся
переменной
sin x к исходной
1
2
x 1 arcsin
n
x 1
n
Ответ
π
6
:
1
2
πn , n Z
πn , n Z
1
n
π
6
πn , n Z .
t 1 ; 1 Пример 2
cos
2
x sin
2
x cos x 0
Поскольку
cos
2
2 cos
Вернемся
2
x 1 cos
2
x , то
2
2
x cos x 1 0
t 1; 1, тогда
соsx t , где
t 1 0
t 1 1,
1
t 2 ;
2
к исходной переменной
соsx 1,
1 cos x ;
2
2
x 1 соs x cos x 0
Пусть
2t
sin
:
x 2π k , k Z
x arccos 1 2 π n , n Z
2
Ответ
: 2π k , k Z ; 2π
3
x 2π k , k Z
2π
x 2π n , n Z
3
2π n , n Z .
Пример 3
tg
x
2
3ctg
Поскольку
tg
x
2
3
tg
Пусть
t t
2
3
t
4
x
x
2
Вернемся
4
ctg
x
2
1
tg
4
2
x
tg
t , где
2
x
, то
2
t 0 , тогда
t
tg
tg
x
к исходной
переменной
x
2 arctg 1 π n , n Z
2
x
x arctg 3 π k , k Z
3;
2
2
1,
x
2 arctg 1 π n , n Z
x arctg 3 π k , k Z
2
π
x
2 4 πn , n Z
x 2arctg 3 π k , k Z
4t 3 0
t 1 1
t 2 3
π
x
2π n , n Z
2
x 2arctg 3 2 π k , k Z
Ответ
:
π
2
2 π n ; 2arctg 3 2 π k ; n , k Z .
Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в том, что
произведение нескольких множителей равно нулю,
если хотя бы один из них равен нулю, а другие при
этом не теряют смысл:
f(x) · g(x) · h(x) · … = 0
⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0
и т.д. при условии существования каждого из сомножителей
См. примеры 4 – 5
Пример 4
1 2
sin x cos x 0
3 5
1
sin x 3 0 ,
cos x 2 0 ;
5
1
sin
x
,
3
cos x 2 ;
5
1
n
x 1 arcsin 3 π n , n Z
2
x arccos 2 π k , k Z
5
Ответ
:
1 n arcsin
1
1
n
x 1 arcsin 3 π n , n Z
2
x π arccos
2π k , k Z
5
2
π n ; π arccos
2π k ; n , k Z .
3
5
Пример 5
2 sin x cos 5 x cos 5 x 0
cos 5 x 2 sin x 1 0
2 sin x 1 0 ,
cos 5 x 0 ;
1
sin
x
,
2
cos 5 x 0 ;
1
n
x
1
arcsin
πn , n Z
2
5 x π π k , k Z
2
Ответ
n π
x
1
πn , n Z
6
x π π k , k Z
10
5
π
πk
n π
: 1
πn , n Z ;
, k Z.
6
10
5
Однородные тригонометрические уравнения
Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют
однородным тригонометрическим уравнением
первой степени.
a sin x + b cos x = 0
a sin x b cos x
0
cos x + cos x = cos x
a tg x + b = 0
b
tg x = –
a
: cos x
Замечание.
Деление на cos x допустимо, поскольку решения
уравнения cos x = 0 не являются решениями
уравнения a sin x + b cos x = 0.
Однородные тригонометрические уравнения
Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
называют однородным тригонометрическим
уравнением второй степени.
: cos2x
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
a sin2x
b sin x cos x
c cos2x
0
+
=
+
2x
2
2
cos
cos x
cos2x
cos x
a tg2x + b tg x + c = 0
Далее, вводим новую переменную tg x = t и решаем
методом замены переменной.
Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0
то, уравнение решается методом разложения
на множители.
Пример 6
2 sin x 3 cos x 0
2 sin x
cos x
3 cos x
cos x
: cos x
sin 2 x
cos x
cos 2 x
cos 2 x
0
cos 2 x
tg 2 x 1
2
Ответ
cos 2 x
tg 2 x 1 0
3
x arctg
: cos 2 x
sin 2 x cos 2 x 0
0
2tgx 3 0
tgx Пример 7
3
2
πn , n Z
: arctg
3
2
2x x πn , n Z .
π
8
Ответ
π
πn , n Z
4
πn
2
: , n Z
π
8
πn
2
, n Z.
Пример 8
sin
2
x 3 sin x cos x 2 cos
sin
2
x
cos
2
x
3 sin x cos x
cos
2
x
2
2 cos
cos
2
x 0
2
x
x
: cos
0
2
tg x 3tgx 2 0
Пусть
t
2
tgx t , тогда
3t 2 0
t 1 1
t 2 2
Вернемся
tgx 1,
tgx 2 ;
Ответ :
к исходной переменной :
π
x πn , n Z
4
x arctg 2 π k , k Z
π
4
π n ; arctg 2 π k ; n , k Z .
2
x
Пример 9
3 sin x cos x cos
cos x
2
x 0
3 sin x cos x 0
3 sin x cos x 0 ,
cos x 0 ;
: cos x
1
tgx
,
3
π
x πn , n Z ;
2
1
π
x
arctg
π
k
,
k
Z
,
x πk , k Z ,
3
6
π
x π πn , n Z .
x πn , n Z ;
2
2
3 tgx 1 0 ,
x π π n , n Z ;
2
Ответ
: π
6
πk ;
π
2
π n ; n ,k Z .
Пример 10
sin
3
x sin
sin
3
x
cos
3
3
x
2
sin
x cos x 3 sin x cos
2
x cos x
cos
3
x
2
3 sin x cos
cos
3
x 3 cos
2
x
x
3
x 0
3 cos
cos
3
3
x
x
: cos
3
x
0
2
tg x tg x 3tgx 3 0
tg x tgx 1 3 tgx 1 0
2
tg
2
x 3 tgx 1 0
2
tg x 3 0 ,
tgx 1 0 ;
2
tg x 3 ,
tgx 1;
x arctg 3 π k , k Z ,
x π π n , n Z ;
4
Ответ
: π
4
π
x
πk , k Z ,
3
x π π n , n Z .
4
πn ; tgx 3 ,
x π π n , n Z ;
4
π
3
πk ; n , k Z .
Пример 11
2
2
3 sin
2
3 x 2 3 sin 3 x cos 3 x 5 cos 3 x 2
3 sin
2
3 x 2 3 sin 3 x cos 3 x 5 cos
3 sin
2
3 x 2 3 sin 3 x cos 3 x 5 cos 3 x 2 cos 3 x 2 sin
2
3 x 2 cos
2
2
3 x 2 3 sin 3 x cos 3 x 3 cos 3 x 0
sin
2
3x
cos
2
2
3x
2 3 sin 3 x cos 3 x
cos
2
3x
2
tg 3 x 2 3 tg 3 x 3 0
tg 3 x t , тогда
Пусть
2
t
2
2
2 3t t 3
t 3 0
t 3
2
3
0
cos
2
2
0
3 x sin
3x
3x
: cos
Вернемся
tg 3 x 3x x 2
2
3x
3x 2
2
3x 0
3x
0
к исходной
π
9
переменной
3
3 x arctg
2 3t 3 0
2
3 cos
3 x sin
2
sin
t
cos
π
3
Ответ
3 πn , n Z
πn , n Z
πn
3
:
,n Z
π
9
πn
3
,n Z.
С помощью тригонометрических формул
1. Формулы сложения:
sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny
sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny
cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny
cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny
tg (x + y) =
tg (x − y) =
tgx + tgy
1 − tgx tgy
tgx − tgy
1 + tgx tgy
сtgx сtgy − 1
сtg (x + y) =
сtgу + с tgх
сtgx сtgy + 1
сtg (x − y) =
сtgу − с tgх
Пример 12
: 2
3 cos x sin x 1
3
2
cos x 1
2
cos
6
cos x sin
2
3
Заметим , что
π
1
sin x 2
π
6
cos
sin x π
6
,
1
2
1
2
π
1
cos x 6
2
π
1
x arccos
2π n , n Z
6
2
x π
3
Ответ
π
6
2π n , n Z
: π
3
π
6
2π n , n Z .
sin
π
6
, тогда
Пример 13
π
π
sin x cos x 3
6
3
π
π
π
π
π
π
sin x cos x sin
cos x cos
sin x cos
cos x sin
sin x 3
3
6
6
3
6
3
2
cos x 1
2
sin x 3
2
cos x 3 cos x 1
2
sin x 3
cos x 1
x 2π n , n Z
Ответ
: 2π n , n Z
3 cos x
С помощью тригонометрических формул
2. Формулы приведения:
π
sin t cos t
2
π
cos t sin t
2
sin π t sin t
cos π t cos t
3π
sin t cos t
2
3π
cos t sin t
2
sin 2 π t sin t
cos 2 π t cos t
π
tg t ctg t
2
π
ctg t tg t
2
tg π t tg t
ctg π t ctg t
3π
tg t ctg t
2
3π
ctg t tg t
2
tg 2π t tg t
ctg 2π t ctg t
Лошадиное правило
В
старые
добрые
времена
жил
рассеянный математик, который при
поиске ответа менять или не менять
название функции (синус на косинус),
смотрел на свою умную лошадь, а она
кивала
головой
вдоль
той
оси
координат,
которой
принадлежала
точка,
соответствующая
первому
слагаемому аргумента π/ 2 + α или π + α.
Если лошадь кивала головой вдоль оси
ОУ, то математик считал, что получен
ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ,
то «нет, не менять».
С помощью тригонометрических формул
3. Формулы двойного аргумента:
sin 2x = 2sinx cosx
cos 2x = cos2x – sin2x
2tgx
tg 2x =
1 – tg2x
ctg2x – 1
ctg 2x =
2ctgx
cos 2x = 2cos2x – 1
cos 2x = 1 – 2sin2x
Пример 14
sin 4 x cos 2 x 0
2 sin 2 x cos 2 x cos 2 x 0
cos 2 x 2 sin 2 x 1 0
cos 2 x 0 ,
2 sin 2 x 1 0 ;
cos 2 x 0 ,
1
sin 2 x ;
2
π
2
x
πn , n Z
2
2 x 1 k arcsin 1 π k , k Z
2
Ответ
:
π
4
πn
2
,n Z;
π
πn
x
,n Z
4
2
x 1 k π π k , k Z
12
2
1 k
π
12
πk
2
,k Z.
С помощью тригонометрических формул
4. Формулы понижения степени:
sin
2
cos
2
α α 1
2
1
2
1 cos
2α sin α cos α 1 cos
2α sin
1
2
sin 2 α
α cos α 1 sin 2 α
2
5. Формулы половинного угла:
sin
cos
α
2
α
2
1 cos α
2
1 cos α
2
tg
ctg
α
2
α
2
sin α
1 cos α
sin α
1 cos α
1 cos α
sin α
1 cos α
sin α
С помощью тригонометрических формул
6. Формулы суммы и разности:
tg α tg β cos α cos β 2 cos
cos α cos β 2 sin
sin α sin β 2 sin
sin α sin β 2 sin
αβ
2
αβ
2
αβ
2
αβ
2
cos
sin
cos
cos
sin( α β )
αβ
cos α cos β
2
sin( α β )
βα
2
tg α tg β cos α cos β
ctg α ctg β αβ
2
αβ
2
ctg α ctg β sin( α β )
sin α sin β
sin( β α )
sin α sin β
С помощью тригонометрических формул
7. Формулы произведения:
cos α cos β sin α sin β sin α cos β 1
2
1
2
1
2
cos α β cos α β cos α β cos α β sin α β sin α β Мнемоническое правило
“Тригонометрия на ладони”
Очень часто требуется знать
наизусть значения cos, sin, tg, ctg
для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Но если вдруг какое-либо значение
забудется, то можно
воспользоваться правилом руки.
Правило: Если провести линии
через мизинец и большой палец,
то они пересекутся в точке,
называемой “лунный бугор”.
Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°.
Проведя лучи из “лунного бугра” через безымянный, средний,
указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°.
Подставляя вместо n: 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin, для
углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Для cos отсчет происходит в обратном порядке.
Не закончено!
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
30
Размер файла
981 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа