close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теория вероятностей и комбинаторика на ЕГЭ

код для вставкиСкачать
Элементы теории
вероятности и
комбинаторики
В10
Учитель математики МАОУ СОШ №53 Безденежных Л.И.
Основные понятия
• 1. Испытание – любое действие,
которое может привести к одному или
нескольким результатам.
• 2. Исход - конечный результат
испытания. Значит испытание может
иметь один или несколько исходов.
• 3. Благоприятный исход - желаемый
исход.
• Случайное событие (СС)- это
событие, которое либо произойдёт,
либо нет.
• Случайным называется событие, исход
которого невозможно точно предсказать
заранее.
• Каждое случайное событие (СС) имеет
свою вероятность произойти (сбыться,
реализоваться).
Определение
• Вероятность случайного события
равна отношению числа благоприятных
исходов к общему числу исходов
события
Вероятность события не может быть
больше 1 (число благоприятных
исходов, понятно, не может превышать
общее число исходов события).
Классическое определение
вероятности.
Р ( А) т
п
Р ( А) •
•
•
•
•
т
п
Р(А)- вероятность события А.
m – число (количество) благоприятных
исходов,
n – число (количество) всех исходов.
ПРАВИЛО: Вероятность всегда
равна от 0 до 1.
Ни меньше, ни больше!
Задача №1
• Фабрика выпускает сумки. В среднем
на 120 качественных сумок
приходится четыре сумки со
скрытыми дефектами. Найдите
вероятность того, что купленная сумка
окажется качественной. Результат
округлите до сотых.
Элементы комбинаторики:
• 1. Теорема о перемножении шансов:
Пусть множество А состоит из k
элементов,
а множество B — из m элементов,
тогда можно образовать ровно km пар,
взяв первый элемент из множества A, а
второй — из множества B.
Выборы шариков из урны
• (или кубиков из ящика, или карточек из
коробки, или книг с полки, или изделий из
партии, или номер при жеребьёвке и т.д.):
•
Есть урна (ящик), содержащая n
пронумерованных объектов (шаров). Мы
выбираем из этой урны k шаров;
результатом выбора является набор из k
шаров. Нас интересует, сколькими
способами можно выбрать k шаров из n,
или сколько различных результатов может
получиться?
Примеры
• При подбрасывании трёх монет возможно
2·2·2=8 различных результатов. Т.к. первая
монета принимает 2 результата (орел или
решка), вторая тоже два, и третья также два
результата.
• Бросая игральную кость три раза, получим
6*6*6=216 различных результатов
(исходов).
Задача на применение
теоремы об умножении
шансов
• №4. Сколько существует трёхзначных
чисел, все цифры которых различны?
возможные способы выбора:
• Выбор с
• Выбор без
возвращением:
возвращения:
каждый вынутый шар
вынутые шары в урну
возвращается в урну,
не возвращаются, и в
каждый следующий
полученном наборе не
шар выбирается из
могут встречаться
полной урны. Таким
одни и те же шары.
образом, в
полученном наборе из
k шаров могут
встречаться одни и те
же.
1.1. Выбор с
возвращением и
учётом порядка
• 1.2. Выбор с
возвращением и без
учёта порядка:
Размещение с
повторениями
• Сочетания с
повторениями
п
k
С k
n
A
k
n
Pk
• Выбор без
• Выбор без
возвращения с
возвращения без
учётом порядка:
учёта порядка:
• Размещение без
повторения
А k
п
• Сочетания без
повторений
n!
k ! n k !
С k
n
A
k
n
Pk
Найти число возможных результатов
подбрасывания трёх игральных костей, если
кости считаются неразличимыми.
• Решение.
С первой кости берём числа от 1 до 6,
со второй тоже с 1 до 6, с третьей с
одного до 6. Три набора, все числа
повторяются, порядок учитывается.
Следовательно, это размещение с
повторениями
3
6 216
Ответ: 216
Задача
• Водитель-дальнобойщик отправляется в рейс
«Москва—Екатеринбург». Во время рейса он
планирует сделать ровно 5 остановок в
городах, где живут его друзья. Однако на
пути следования ему встретятся 18 таких
городов, в том числе Нижний Новгород, где
живет Вася — лучший друг. Сколькими
различными способами дальнобойщик может
выбрать города для остановки, если Нижний
Новгород обязательно должен быть среди
них?
• Решение. В данном случае на трассе
порядок городов не будет меняться,
лишь надо выбрать из 18 городов 5, с
учетом того, что 1 город – Нижний
Новгород, следовательно остаётся
выбрать наборы по 4 города из
оставшихся 17, это сочетание без
повторений
С
4
17
17 16 15 14
1 2 3 4
2380
Задача
• В холодильнике лежат 8 видов
кошачьего корма в консервах и 4 вида
молока. Ежедневный рацион кота
состоит из 2 видов корма и 2 видов
молока. Сколькими способами можно
накормить кота, если в рацион
обязательно должно входить молоко
марки «Русское» стоимостью 87
рублей за 1 литр?
• Решение. В рацион должно входить
молоко марки «Русское», поэтому
надо выбрать ещё 1 молоко из
оставшихся 3-х
• и 2 вида корма из 8 видов корма в
консервах.
• И выбор молока сочетаем с
количеством выбора корма:
С С
1
3
2
8
3 87
84 .
1 1 2
Закон умножения в
комбинаторике
• Независимыми называются два
события, если появление одного из них
не влияет на вероятность появления
другого.
• число сочетаний (способов,
комбинаций) в независимых наборах
умножается.
Выполнение независимых
событий А и В
• Другими словами, пусть имеется A
способов выполнить одно действие и B
способов выполнить другое действие.
Путь также эти действия независимы,
т.е. никак не связаны между собой.
Тогда можно найти число способов
выполнить И первое, И второе действие
по формуле: C = A · B.
В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных.
Сколькими способами можно достать из этой
корзины 2 белых шара и 2 черных
С С 8 С 12
2
2
С 12 2
12 11
1 2
66
• Закон умножения показывает,
сколькими способами можно
выполнить сложное действие,
которое состоит из двух и более
простых – при условии, что все они
независимы.
Отличие законов умножения и
сложения в комбинаторике
Если закон умножения оперирует
«изолированными» событиями,
которые не зависят друг от друга,
то в законе сложения все наоборот.
Закон сложения
• взаимоисключающие события – такие
события, которые никогда не случаются
одновременно.
• Пример: «Петя вынул из кармана 1
монету» или «Петя не вынул из
кармана ни одной монеты»
Закон сложения в комбинаторике
• Если одно действие можно выполнить А
способами, а другое – В способами, и
эти действия взаимоисключающие, то
эти события можно объединить и
возникнет новое событие, которое
можно выполнить Х = А + В способами.
Задача
• В ларьке продаются 15 роз и 18
тюльпанов. Ученик 9-го класса хочет
купить 3 цветка для своей
одноклассницы, причем все цветы
должны быть одинаковыми. Сколькими
способами он может составить такой
букет?
Ответ: 1271.
Решение.
• По условию, все цветы должны быть
одинаковыми. Значит, будем покупать либо 3
розы, либо 3 тюльпана. В любом случае, k =
3.
• В случае с розами придется выбирать из n =
15 вариантов, поэтому число сочетаний
равно 455. Для тюльпанов же n = 18, а число
сочетаний 816.
• Поскольку розы и тюльпаны — это
взаимоисключающие варианты, работаем по
закону сложения. Получаем общее число
вариантов X = 455 + 816 = 1271
• Другими словами, при объединении
взаимоисключающих действий
(событий, вариантов) число их
комбинаций складывается.
• Закон сложения – это логическое
ИЛИ в комбинаторике, когда нас
устраивает любой из возможных
взаимоисключающих вариантов.
И наоборот, закон умножения —
это логическое «И», при
котором нас интересует
одновременное выполнение и
первого, и второго действия.
Решим несколько
задач на законы
умножения и
сложения, находя
отличия.
Задача
• В ящике лежат цветные карточки: 12
красных, 9 зеленых и 5 синих.
Сколькими способами можно достать из
ящика 2 карточки одного цвета?
• Реш. Действия взаимоисключающие
С
Ответ: 112.
2
12
С С
2
9
2
5
Задача
• В ассортименте магазина есть 12 видов
шоколадных конфет и 8 видов
карамели. Сотрудники компании
собирают для директора новогодний
подарок. Выяснилось, что директор
любит конфеты и карамель, поэтому в
подарок должны входить 3 вида конфет
и 3 вида карамели. Сколькими
способами можно составить такой
подарок?
Ответ:12320
• В подарок должно входить И 3 вида
конфет, И 3 вида карамели. Набор
конфеты как независимое событие от
набора карамели. Количество способов
выполнения этих независимых событий
находится по закону умножения.
С
3
12
С 3
8
Задача
• В ассортименте магазина есть 12 видов
шоколадных конфет и 8 видов
карамели. Сотрудники компании
собирают для директора новогодний
подарок, который должен содержать
либо 3 вида конфет, либо 3 вида
карамели. Смешивать в одном подарке
конфеты и карамель запрещается.
Сколькими способами можно собрать
такой подарок?
Ответ: 276.
• Решение. Смешивать в одном подарке
конфеты и карамель нельзя.
Следовательно, количество подарков
равно сумме возможных способов
составления подарков из конфет и
количества подарков из карамели.
С
3
12
С 276
3
8
Дополнительные условия.
• Дополнительные условия,
присутствующие в тексте задачи
накладывают существенные
ограничения на интересующее нас
сочетание.
Сравнить задачи
•
1. Имеется набор из 5 ручек разных
•
2. Имеется набор из 5 ручек разных
цветов. Сколькими способами можно
выбрать 3 ручки для обводки чертежа,
если среди них обязательно должен
быть красный цвет?
цветов. Сколькими способами можно
выбрать 3 ручки для обводки
чертежа?
Чувствуете разницу?
• 1) Вправе брать любые цвета. Значит,
число сочетаний из 5 по 3.
• 2) Из 5 ручек надо выбрать 3, при этом
одна из них должна быть красной, то
выбирать придется из n = 5 − 1 = 4
элементов по k = 3 − 1 = 2 элемента
• Это сочетание из 4 по 2
Задача
• У Пети в кармане есть 8 монет, из
которых 6 монет по рублю и 2 монеты
по 10 рублей. Петя перекладывает
какие-то три монеты в другой карман.
Сколькими способами Петя может это
сделать, если известно, что обе монеты
по 10 рублей оказались в другом
кармане?
Решение
• Итак, есть n = 8 монет. Петя
перекладывает k = 3 монеты, из которых 2
— десятирублевые. Получается, что из 3
монет, которые будут переложены, 2 уже
зафиксированы, поэтому числа n и k надо
уменьшить на 2. Имеем:
С
3 1
8 2
С 1
6
6
1!
Вывод:
• Эти примеры наглядно демонстрируют,
что введение любых ограничений
значительно сокращает нашу «свободу
выбора».
• Пусть имеется набор из n элементов,
среди которых надо выбрать k
элементов. При введении
дополнительных ограничений числа n и k
уменьшаются на одинаковую величину.
Задачи на вероятность
• где число всех исходов и число
благоприятных исходов находим с
помощью сочетаний.
Задача
• В урне находится 12 белых и 8 черных
шаров. Найти вероятность того, что два
одновременно изъятых наудачу шара
будут черными. Ответ округлить до
сотых.
Ответ: 0,15
• Решение . Пусть А – событие вынуты
два черных шара.
• Всего возможных вариантов выбрать из
12+8 =20 шаров по 2 шара
С
2
20
20 19
1 2
190
• благоприятных исходов из 8 черных
взять 2 – это
•
С 2
8
87
1 2
28
• По классическому определению вероятности
имеем
РА С
С
2
8
2
20
28
190
0 ,147 ... 0 ,15
Независимые события
• Вероятность совместного появления
двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих
событий (теорема об умножении
вероятностей).
Несовместные события
• Вероятность появления одного из двух
несовместных событий, безразлично
какого, равна сумме вероятностей этих
событий (теорема о сложении
вероятностей).
Задача
• Из шести карточек с буквами I, С, К, Ь,
Н, М наугад одну за другой вынимают и
раскладывают в ряд в порядке
появления. Какова вероятность того,
что появится слово
а) «НIС»; б) «CIM»?
• Пусть появится нужное слово – это
событие В.
Решение а), б) - одинаково
• Каждый вариант получившегося «слова»
является размещением из 6-ти элементов по
3. Число таких вариантов равно
А 6 5 4 120
3
6
• Из эти вариантов правильным будет 1.
Р(В) т
п
1
120
0 , 0083
Задача
• В вазе с цветами 15 гвоздик: 5
белых и 10 красных. Из вазы
наугад вынимают 2 цветка. Какова
вероятность того, что эти цветки:
а) оба белые; б) оба красные; в)
разного цвета; г) одного цвета.
Задача
• Вероятность того, что в течении
одной смены возникнет поломка
станка равна 0,05. Какова вероятность
того, что не возникнет ни одной
поломки за три смены?
Решение:
Пусть событие А состоит в том, что в течении
одной смены возникнет поломка станка. По
условию задачи вероятность этого события равна
Р(А) = 0,05.
Противоположное событие
состоит в том,
что в течении одной смены поломка станка НЕ
возникнет. Р ( А ) 1 Р ( А ) 0, 95
Искомая вероятность события
Р ( Аи Аи А ) Р ( А ) Р ( А ) Р ( А ) 0, 95 0, 95 0, 95
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
663
Размер файла
430 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа