close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математика

код для вставкиСкачать
Математика
Лекция 5
Аналитическая геометрия
2
Алгебраические поверхности и линии
на плоскости первого порядка
Опр. Геометрическое место точек
в пространстве (на плоскости)
определяет плоскость (прямую на
плоскости)
тогда и только тогда, когда декартовы
координаты x, y, z текущей точки М
удовлетворяют алгебраическому
уравнению первого порядка
3
В пространстве
F ( x , y , z ) 0 поверхность
На плоскости
линия
F ( x, y ) 0
плоскость
прямая
Ax By Cz D 0
N ( A, B , C )
Ax By C 0
Введем вектор N
N ( A, B )
Вектор N называется нормальным вектором
(нормалью) плоскости и прямой на плоскости
Введем радиус-вектор текущей точки
r x, y, z (r , N ) D 0
r x, y (r , N ) C 0
4
Геометрический смысл нормального
вектора
Задача 1.На плоскости дана точка M 0 ( r0 ) M 0 ( x 0 , y 0 )
и вектор N ( A , B ) . Составить уравнение прямой на
плоскости, проходящей через точку M 0
перпендикулярно вектору.
y
M
Рассмотрим текущую точку прямой
M (r ) M ( x, y )
тогда вектор M 0 M r r0 ( x x 0 , y y 0 )
лежит на данной прямой.
0
N
r0
0
r
М
x
M 0M N (M 0M , N ) 0
( r , N ) ( r0 , N ) 0
A x B y ( x0 A y 0 B ) 0
( r r0 , N ) 0
A( x x 0 ) B ( y y 0 ) 0
5
Нормальный вектор – вектор,
перпендикулярный прямой.
6
Задача 2.
В пространстве дана точка M 0 ( r0 ) M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и
вектор N ( A , B , C ). Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку перпендикулярно вектору.
N
z
M0
r
x
0
вектор M 0 M r r0 ( x x 0 , y y 0 , z z 0 )
лежит на плоскости.
М
r0
Рассмотрим текущую точку прямой
M (r ) M ( x, y, z )
M 0M N (M 0M , N ) 0
y
( r r0 , N ) 0
A ( x x0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
( r , N ) ( r0 , N ) 0
A x B y C z ( x 0 A y 0 B z 0C ) 0
7
Нормальный вектор – вектор,
перпендикулярный плоскости.
8
Уравнения в отрезках
Общее уравнение плоскости Общее уравнение прямой
Ax By Cz D 0 на плоскости Ax By C 0
Пусть D 0 тогда
x
D/A
y
D/B
Обозначим D
a
A
Пусть C 0
z
D /C
,b D
B
,c Получим x y z 1
a
b
c
x
1
C/A
D
a
C
x
a
y
b
C
A
тогда
y
1
C/B
,b C
B
1
У
Z
с
b
а
b
а
У
О
Х
Х
9
Исследование уравнения прямой
1.
Ax By C 0
A 0, B 0, C 0
x
a
2.
A 0, B 0, C 0
A 0, B 0, C 0
y
b
1
b
О
x
y
0,
а
x
y
Ax By 0,
a
3.
y
y
b
b
x
a
x
О
By C 0
y
yb
b
x
О
10
4.
A 0, B 0, C 0
y
Ax C 0
xa
О
5.
A 0, B 0, C 0
Ax 0
а
y
х= 0
x0
x
О
6.
A 0, B 0, C 0
By 0
x
y
y0
у= 0
О
x
11
Исследование общего
уравнения плоскости
1. Ax By Cz D 0
x
a
y
b
z
c
1
Z
с
b
а
У
Х
2. A 0, B 0, C 0, D 0
Z
Ax By Cz 0
O(0,0,0)P
У
Х
12
Z
с
3а. A 0
P||OX
3б. B 0
P||OY
By Cz D 0
y
b
z
c
b
1
У
Х
Ax Cz D 0
x
a
z
Z
с
1
c
а
У
Х
3в. C 0
P||OZ
Ax By D 0
x
a
y
b
Z
1
b
а
У
Х
13
4а. A 0, B 0
P||XOY
Cz D 0
4б. A 0, C 0
P||XOZ
By D 0
4в. B 0, C 0
P||YOZ
Ax D 0
Z
У
Х
14
Z
5а. B 0, C 0, D 0
x0
плоскость YOZ
0
Х
У
Z
5б. A 0, C 0, D 0
y0
плоскость XOZ
0
У
Х
5в. A 0, B 0, D 0
z0
плоскость XOY
Z
0
У
Х
15
Параметрическое уравнение прямой
на плоскости и в пространстве
и вектор l . Записать уравнение
Дана точка M 0
прямой, проходящей
через эту точку параллельно
вектору l .
Опр. Вектор, параллельный
У
данной прямой или лежащий
М (х ,у )
на этой прямой, называется
l (m , n)
направляющим вектором
r0
М (х,у)
прямой.
r
0
О
0
0
Х
M 0 M || l
M 0M t l
r r0 t l
r r 0 t l , где t – параметр
16
Прямая на плоскости
M 0 (x0 , y0 )
l (m , n)
x x 0 tm
y y 0 tn
Прямая в пространстве
M 0 (x0 , y0 , z0 )
l (m , n, p )
x x 0 tm
y y 0 tn
z z tp
0
17
Каноническое уравнение прямой на
плоскости и в пространстве
Если исключить параметр t из
параметрического уравнения, то получим
каноническое уравнение прямой.
на плоскости
x x0
m
y y0
n
в пространстве
x x0
m
y y0
n
z z0
p
18
Уравнение прямой проходящей
через две точки М1 и М2
на плоскости
в пространстве
M 1 ( x 1 , y 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ) M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
M ( x, y , z )
M ( x, y )
l M 1M 2
M 1M
2
( x 2 x1 , y 2 y1 )
x x1
y y1
x 2 x1
y 2 y1
M 1M
2
( x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1
z 2 z1
19
Параметрическое уравнение
плоскости
Дана точка M 0 ( r0 ) и два неколлинеарных вектора a и b
Составить уравнение плоскости, проходящей
через
точку M 0 параллельно векторам a и b .
z
Векторы M 0 M , a , b компланарны,
a
линейно зависимы один из
b
M
них является линейной
М
r
комбинацией остальных, т.е.
r
0
0
0
x
y
p, q – параметры
r r0 p a q b
или
r r0 pa qb
x x 0 p a 1 q b1 ,
y y 0 pa 2 qb2 ,
z z 0 p a 3 q b 3 .
20
Уравнение плоскости, проходящей через
точку параллельно двум векторам
Т.к. векторы
( r r0 , a , b ) 0
M 0M , a, b
компланарны, то
x x0
y y0
z z0
a1
a2
a3
b1
b2
b3
0
21
Уравнение плоскости,
проходящей через три точки
M 1 ( x1 , y 1 , z 1 )
Векторы
M
M1
2
М
M 2 (x2 , y2 , z2 )
M 1M
M 1M
M
1
2
M 3 (x3 , y3 , z3 )
M 1M
3
компланарны
M , M 1M 2 , M 1M 3 0
M3
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1
z 2 z1 0
x 3 x1
y 3 y1
z 3 z1
22
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
26
Размер файла
437 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа