close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аналитическая геометрия на плоскости.

код для вставкиСкачать
Аналитическая геометрия
на плоскости.
§1 Уравнение линии на плоскости.
Основная задача - исследовать
математическими методами формы,
расположения и свойства данной линии.
Определение: Линия на плоскости есть
множество точек, обладающих некоторыми
геометрическими свойствами,
исключительно им присущими.
Определение: Уравнением линии (кривой) на
плоскости ОХУ называется уравнение,
которому удовлетворяют координаты Х и У
каждой точки данной линии и не
удовлетворяют координаты точки, не
лежащей на этой линии.
!т. М (х,у)передвигается по линии, х и у
удовлетворяя, изменяясь уравнению
линии, поэтому координаты т. М (х ,у)
называются текущими координатами точки
линии.
Основные задачи.
1. Дана линия, рассмотрим как множество
точек. Составить уравнение этой линии .
2. Дано уравнение некоторой линии. Изучить
по этому уравнению ее геометрические
свойства(определить форму и
расположение).
Определение: Линия называется линией или
кривой n-го порядка, если она
определяется уравнение n-ой степени
относительно текущих прямоугольных
координат.
Х +У = 5 прямая
Х² = У парабола
У = Х³ кубическая парабола
§2 Прямая линия
п.1 Общее уравнение прямой.
Задача:
М 0 ( x 0 , y 0 ), n ( A , B )
M 0 , n ?
М0
n
M
Решение:М ( x , y ) текущая точка прямой
M 0 M ( x x0 , y y 0 )
ò .ê .n , òî
n M 0M , n M 0M 0
A( x x0 ) B ( y y 0 ) 0
Ax B y C 0
Геометрический смысл А и В: n ( A , B ) Определение: n нормаль прямой
п.2 Уравнение прямой «в отрезках».
Пусть C
0 , A , B 0 , тогда
Ax B y C | : ( C )
X
C
A
C
A
Y
C
1
B
a, C
B
b
x
a
y
b
1
- уравнение прямой «в отрезках»
- отрезки, отсекаются прямой на осях
координат
a, b
x 0 y b
y 0 x a
п.3 Каноническое уравнение прямой.
Задача:
S (m , n)
M 0 ( x 0 , y 0 ), S , M 0 ?
S
M
M0
Решение:
M ( x, y ) M 0 M ( x x0 , y y 0 )
коллинеарен M 0 M
пропорциональны.
S
x x0
m
координаты
y y0
n
п.4 Параметрические уравнения
прямой.
x x0
m
y y0
t;
t ïàðàìåòð
n
x x 0 mt
y y 0 nt
t ( ; )
п.5Уравнение прямой проходящей
через две заданные точки.
Задача: M 1 , M
2
M
?
Решение:
M
M ( x, y )
M1
M 1 M ( x x1 , y y 1 )
M 1M
M 1M
иM
1
M
2
2
( x 2 x1 , y 2 y 1 )
коллинеарные
2
x x1
x 2 x1
y y1
y 2 y1
п.6 Уравнение с угловым
коэффициентом.
Задача 1: Рассмотрим прямую, проходящую
через начала координат.
(0 x ^ )
?
y
y
0
x
x
Решение: M ( x , y ) - текущая точка линии.
y x tg ;
tg k
определяет направление прямой
Определение: k - называется угловой
коэффициент прямой.
Задача 2: Рассмотрим прямую, проходящую
через точку B ( 0 , b ).
b - отрезок, отсекаемый на оси OY .
( OX ^ )
y
y
B
M ( x, y )
0
x
x
y b x tg y kx b
если k 0 , 0 0 y b
если y , òî OX , x b
2
a -абсцисса следа на оси OX .
п.7 Угол между двумя прямыми.
2 1
1 : y k 1 x b1
2
: y k 2 x b2
tg tg ( 2 1 ) tg k 2 k1
1 k1k 2
tg 2 tg 1
1 tg 1 tg 2
1
y
2
2
1
1
0
2
x
п.8 Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
a ) 1 1 2
1 2 tg 1 tg 2 k 1 k 2
2
90 ; ctg 0
k1 k 2 1
á ) 1 : A1 x B 1 y D 0
2
: A2 x B 2 y D 0
1 2 ; n1 n 2
1 2 ; n1 n 2
A1 A 2 B 1 B 2 0
A1
A2
B1
B2
1 k1k 2
k 2 k1
0
n1 ( A 1 , B 1 )
n 2 ( A2 , B 2 )
1
2
n1
n2
n2 2
1
n1
п.9 Точка пересечения двух прямых.
1 : A1 x B1 y D 1 0
2 : A2 x B 2 y D 2 0
1 2 M ( x0 , y0 )
M ( x0 , y0 ) ?
M 1 A1 x 0 B1 y 0 D1 0
M 2 A2 x 0 B 2 x 0 D 2 0
( x0 ; y0 )
есть решение системы уравнений:
A 1 x 0 B1 y 0 D 1 0
A2 x 0 B 2 y 0 D 2 0
п.10 Взаимное расположение двух
прямых.
если прямые пересекаются, то система имеет
единственное решение (п.9);
если прямые параллельны, то система не
имеет решения;
если прямые совпадают, то система имеет
бесконечно много решений.
п. 11 Уравнение прямой, проходящей
через данную точку в данном
направлении.
Дано: ( ^ ox );
M 0 ( x0 , y0 ) ?
y kx b
y
M 0 ( x0 , y 0 )
x
y 0 kx 0 b
y y0 k ( x x0 ) *
п.12 Уравнение пучка прямых.
если k дано, то уравнение * определяет одну
прямую, если k – меняем, то уравнение *
определяет пучок прямых, проходящий
через т. M 1 ( x1 , y 1 ) .
п. 12 Расстояние от точки до прямой.
: Ax By D 0 ; M 1 ( x1 , y 1 )
d Ax 1 By
A
2
1
D
B
2
Чтобы определить расстояние от точки до
прямой, надо в левую часть общего
уравнения прямой подставить координаты
данной точки, взять модуль результата, и
разделить его на длину нормали прямой
(n A B ).
2
2
§ Применение линейной зависимости в
экономических задачах.
Пример 1: Издержки производства 100 шт.
некоторого товара составляют 300 тыс. руб, а
500 шт. – 600 тыс. руб. Определить издержки
производства 400 шт. товара при условии, что
функция издержек линейная.
Решение: если функция линейная, то графиком
её является прямая. В нашем случае
проходящая через точки (100,300);(500,600).
x øò . y - издержки пр-ва (в тыс. руб).
y y1
y 2 y1
y 300
300
ïðè
x x1
x 2 x1
x 100
y 300
600 300
500 100
y 300 400
x 400
y 525
x 100
òûñ . ðóá .
3
4
( x 100 ) y 3
4
x 225
Задача 2: Издержки перевозки двумя
видами транспорта выражаются функциями
y = 150 + 50x и y =250+25x,
где x - расстояние перевозок в сотнях км.
y – транспортные расходы.
Определить, начиная с какого расстояния
более экономичным становиться второй
вид транспорта.
y
x 4
y 150 50 x
y 350
y 250 25 x
400
300
200
100
4
x
Ответ: при расстоянии превышающим
400 км, более экономичны перевозки
вторым видом транспорта.
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
23
Размер файла
465 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа