close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Арифметика и геометрия столкновений

код для вставкиСкачать
Арифметика и геометрия
столкновений
Работу выполнил
ученик 11 а класса
Токмаков Тарас
Пусть по прямой движутся п шариков, упруго сталкиваясь между собой. Может ли между шариками
произойти бесконечное число столкновений или они через некоторое время разлетятся?
Оказывается, эту механическую задачу можно решить с помощью геометрии.
Соответствующие конструкции (в частности, придуманное в конце XIX века американским
физиком У. Гиббсом конфигурационное пространство) имеют фундаментальное значение и
применяются при решении многих задач классической механики и статистической физики.
В этой работе мы ответим на следующий вопрос:
По прямой двигаются n одинаковых шариков.
Какое максимальное число столкновений
между ними может произойти?
(здесь шарики
рассматриваются как материальные точки сталкивающиеся
друг с другом
абсолютно упруго, то есть с сохранением суммарных импульса и энергии. Предполагается
также, что все происходящие столкновения — п а р н ы е: по три и более шариков в одной
точке одновременно не оказываются.)
1.
Условимся скоростью материальной точки при движении по прямой — по координатной оси
Ох — называть величину проекции вектора скорости на ось Ох; таким образом, скорости
будут числами (для точки, движущейся вправо по оси Ох, скорость v>0, при движении
точки влево v<0). Обозначим скорости двух соударяющихся шаров одинаковой массы т до
столкновения через v1 и v2, после столкновения — через z1 и z2, и найдем z1, z2, считая
v1 и v2 известными. Для этого нужно записать законы сохранения импульса и энергии:
mv 1 mv 2 mz 1 mz 2 ,
1
1
1
1
2
2
2
2
mv 1 mv 2 mz 1 mz 2
2
2
2
2
или
z 1 z 2 v1 v 2 ,
2
2
2
2
z
z
v
v
2
2
1
1
а затем решить полученную систему уравнений относительно z1, z2.
Вместо непосредственного решения системы можно заметить,
что она имеет не более двух решений, ибо при подстановке z2= v1+v2-z1,
во второе уравнение системы
получается квадратное уравнение относительно z1; с
другой стороны, два решения очевидны — это
z 1 v1 ,
z 2 v2
и
z1 v 2 ,
z 2 v1
Первое из них лишено физического смысла: оно означает,
что шары продолжают движение с прежними скоростями,
как бы проскакивая друг через друга. Следовательно,
при абсолютно упругом соударении двух шаров одной
массы происходит обмен скоростями: z1= v2 и z2= v1.
2. Этот вывод особенно удобно интерпретировать на
графиках движения шаров на координатной плоскости
Otx (t — время, х — координата по оси Ох). До
столкновения шары двигаются по законам х = x1(t) = а1
+ v1t и х = x2(t) = а2 + v2t (здесь а1 и а2 — начальные
координаты шаров); их графики движения — прямые
(точнее — отрезки или лучи) на плоскости Otx, с
угловыми коэффициентами v1 и v2. Моменту соударения
шаров соответствует точка пересечения графиков. После
соударения графики х = x1(t) и х = x2(t) также являются
прямыми.
Поскольку угловой коэффициент первого графика х = x1(t) стал равен z1= v2, то
первый график после соударения является продолжением второго графика х =
x2(t) до соударения; аналогично, второй график после соударения является
продолжением первого графика перед соударением (рис. 1). Отсюда ясно, что
совокупность графиков движения п шаров равных масс представляет собой
объединение п лучей на плоскости Otx, проведенных из начальных положений
шаров аi, (при t= 0) с угловыми коэффициентами vi; по такой картинке легко
проследить график движения х = Xi(t) каждого шара — см. рисунок 2.
3. Эти рассмотрения показывают, что максимальное число Nmax соударений n шаров
равных масс равно максимальному числу точек попарного пересечения n лучей на
плоскости. Поскольку каждые два луча могут пересекаться только в одной точке,
Nmax равно числу пар из п лучей, то есть
N max C 2
n
n ( n 1)
2
Документ
Категория
Презентации по физике
Просмотров
15
Размер файла
140 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа