close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аналитическая геометрия

код для вставкиСкачать
Аналитическая
геометрия
Лекции8,9
Прямая на
плоскости
Определение. Уравнением линии на
плоскости Oxy называется
уравнение, которому удовлетворяют
координаты x и y любой точки
данной линии и не удовлетворяют
координаты любой точки, не лежащей
на этой линии.
Теорема. Всякое уравнение первой
степени Ax By C 0 ,
где А и В
не обращаются в нуль
одновременно, представляет собой
уравнение некоторой прямой линии на
плоскости Oxy .
Уравнение прямой,
проходящей через точку
перпендикулярно вектору
Введем следующие понятия. Вектор,
перпендикулярный прямой l , будем
называть нормалью прямой и
обозначать n . Итак, n l .
Вектор, параллельный прямой,
будем называть направляющим
вектором этой прямой. Обозначим его
a m, p .
Тангенс угла наклона прямой к
положительному направлению оси Ox
будем называть угловым
коэффициентом этой прямой: tg k
у
n
l
a
о
х
Пусть точка M 0 x 0 , y 0 лежит на
прямой. Точка M x , y -произвольная
точка прямой.
n A, B ;
M ( x, y )
M 0 x0 , y 0 .
M 0M n
Тогда скалярное произведение
n M 0 M A ( x x0 ) B ( y y 0 ) 0 .
Получили уравнение прямой,
проходящей через заданную точку,
перпендикулярно данному вектору:
A( x x 0) B ( y y 0) 0
Общее уравнение прямой
Из предыдущего уравнения легко
получаем общее уравнение прямой
Ax By C 0
Каноническое уравнение
прямой
Пусть M 0 x 0 ; y 0 l
и a || l
a m ; p M x; y M 0 x0 ; y0 l
Тогда из условия коллинеарности
векторов M 0 M ( x x 0 , y y 0 )
и a m , p ; получаем каноническое,
т. е. простейшее уравнение прямой:
x x0
m
y y0
p
Пример
Написать уравнения прямых,
проходящих через точку M 0 2 , 1
параллельно и перпендикулярно
вектору AB 3, 1 .
x2
y 1
Первое уравнение
3
второе
1
3( x 2) ( y 1) 0
.
и
Уравнение прямой,
проходящей через две точки
Пусть
M 1 x1 ; y 1 l
M ( x, y )
M 2 x2 , y2 ;
M 2 x2 ; y2 l
M 1 x1 , y1 M 1 M || M 1 M 2
Координаты этих векторов
пропорциональны:
y y
x x
y y
x x
1
2
1
1
2
1
Получили уравнение прямой, проходящей
через две точки.
Параметрические уравнения
прямой
Приравняем обе части соотношения
x x0
y y0
l
m
к t. Получим параметрические уравнения
прямой
x mt x 0
y pt y 0
Уравнение прямой с угловым
коэффициентом
Преобразуем уравнение
к виду
y y1 y
y 2 y1
x 2 x1
y 2 y1
x 2 x1
x x1
x 2 x1
( x x1 )
( x x1 ) y 1
y y1
y 2 y1
Обозначив
y 2 y1
x 2 x1
k,
M 2 x2 , y2 ;
y1 kx1 b ,
где k tg ,
получим
y kx b
M 1 x1 , y1 Уравнение прямой ,проходящей
через точку
Пусть точка M 0 x 0 , y 0 лежит на
прямой y k x b . Тогда y 0 kx 0 b .
Вычтем из первого второе соотношение .
Получим
y y 0 k x x0 Уравнение прямой в отрезках
x
a
y
1
B (0, b )
b
b
A ( a , 0)
a
Взаимное расположение
прямых
Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые заданы общими
уравнениями
l1 : A1 x B 1 y C 1 0 , n 1 A1 ; B 1 l 2 : A2 x B 2 y C 2 0 , n 2 A2 ; B 2 Тогда угол между этими прямыми равен
углу между их нормалями , т. е.
cos A1 A2 B1 B 2
2
A1
2
B1
2
A2
.
2
B2
Пусть даны прямые
l 1 : y k 1 x b1
l2 : y k 2 x b2
2 1
1
2
Тогда
tg 2 1 tg tg 2 tg 1
1 tg 1 tg 2
k
2
k
1 k k
1
1
2
k 2 k1
1 k1 k 2
Условия параллельности
Прямые параллельны тогда и только
тогда, когда выполняется одно из двух
условий ( в зависимости от вида
уравнений прямых).
l1 || l 2 k 1 k 2
A1
A2
B1
B2
Условие перпендикулярности
l1 l 2 k 1 k 2 1
A1 A 2 B 1 B 2 0
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки M 0 x 0 , y 0 до
прямой Ax By C 0
находят по
формуле
d .
Ax 0 By 0 C
2
A B
2
Пример
Найти уравнение прямой, проходящей
через точки A1 5 , 1
и A2 2 , 5 .
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
14
Размер файла
264 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа