close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математика

код для вставкиСкачать
Математика
Лекция 4
Деление отрезка в данном
отношении
Даны две точки M 1 ( x1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Найти координаты точки M3, делящей отрезок в
отношении , т.е. | M 1 M 3 | или M 1 M 3 M 3 M 2
| M 3M
М2
2
|
M 1M
3
( x 3 x1 , y 3 y 1 , z 3 z 1 )
M 3M
2
( x2 x3 , y 2 y3 , z 2 z3 )
М3
М1
x 3 x 1 ( x 2 x 3 ),
y 3 y 1 ( y 2 y 3 ),
z 3 z 1 ( z 2 z 3 ),
x1 x 2
x3 1 ,
y1 y 2
,
y3 1
z1 z 2
z
.
3
1 2
Декартов базис
Опр. Аффинный базис называется
декартовым прямоугольным, если его
векторы попарно перпендикулярны и имеют
единичную длину.
e1 i ;
e2 j ;
e3 k î ðòû
i j k
i j k 1
3
Декартова прямоугольная
система координат (с/к)
Опр. Аффинная с/к называется декартовой
прямоугольной, если ее базис декартов
прямоугольный.
Z
O X i î ñü àá ñö è ññ
M
k
O Y j î ñü î ðä è í àò
O Z k î ñü àï ï ë è ê àò
i
j
O
Y
X
OÌ
i j k ;
, , ê î î ðä è í àòû â åê òî ðà
4
Проекция
Опр. Проекция вектора на ось ОХ – длина отрезка
оси, заключенного между проекциями его начальной и
конечной точек
со знаком “+”, если направление отрезка совпадает с
направлением оси
со знаком “–”, в противном случае.
В
А
С
пр OX AB CD
D
Х
О
пр OX AB CD
А
В1
В1
О
В
D
пр OX AB | AB | cos С
Х
5
Свойства проекции
1. пр е a пр е a
2. ï ð å ( a b ) ï ð å a ï ð åb
6
Теорема. Декартовы прямоугольные
координаты вектора равны проекциям
вектора a ( x , y , z ) на соответствующие оси
декартовой прямоугольной с/к.
x ï ðÎ
Õ
y ï ðÎ
a
Y
z ï ðÎ Z a
a
Из опр. проекции x | a | cos y | a | cos z | a | cos где , , – углы наклона вектора к осям OX, OY, OZ.
По т.Пифагора
| a |
x y z
2
2
2
z
x
y
7
Направляющие косинусы
cos x
x y z
2
cos 2
2
y
x y z
2
cos 2
2
z
x y z
2
2
2
2
2
2
cos cos cos 1
8
Скалярное произведение
векторов
Ск. пр. – операция умножения вектора
на вектор, в результате которой
получается скаляр (число).
( a , b ) a b | a | | b | cos ( a , b ) | a | ï ð a b | b | ï ð b a
9
Свойства
1. ( a , b ) ( b , a )
2. ( a , b c ) ( a , b ) ( a , c )
3. ( a , b ) ( a , b ), где - константа
4. Если векторы a и b коллинеарны, то
(a , b ) | a | | b |
4а. ( a , a ) a
2
| a |
2
10
Свойства
5. a 0 è ë è b 0,
6. a b ( a , b ) 0
7. Åñë è ( a , b ) 0, a 0, b 0,
8. ( i , i ) i 1
2
òî ( a , b ) 0
òî
a b
2
( j, j) j 1
2
(k , k ) k 1
(i , j ) (i , k ) ( j , k ) 0
11
Скалярное произведение в
координатной форме
Пусть
Тогда
a ( x1 , y1 , z1 ) x1i y1 j z1 k
b ( x2 , y2 , z2 ) x2i y 2 j z 2 k
( a , b ) ( x1 i y 1 j z 1 k , x 2 i y 2 j z 2 k ) x1 x 2 ( i , i ) x1 y 2 ( i , j ) x1 z 2 ( i , k ) y1 x 2 ( j , i ) y1 y 2 ( j , j ) y1 z 2 ( j , k ) z1 x 2 ( k , i ) z1 y 2 ( k , j ) z1 z 2 ( k , k ) x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 .
12
(a , b ) x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
| a |
2
x1
cos ï ðb a ab
2
y1
2
z1
(a , b )
| a ||b |
(a , b )
|b |
(a , b ) 0
13
Векторное произведение
Опр. Векторным произведением векторов a и b
называется вектор
c a b [ a , b ] , который
1. c a и c b
2. | c | | a | | b | sin( a , b )
3. a , b , c - правая тройка
Правая
c
b
a
тройка.
Если смотреть с конца
вектора c , то кратчайший
поворот от a к b
происходит против
часовой стрелки.
14
S h | a | | b | | a | sin b
h
a
S a,b 15
Свойства
1.
[ a , b ] [ b , a ]
2.
[ a , b ] [a , b ]
3. [ a b , c ] [ a , c ] [ b , c ]
Критерий коллинеарности
Если a 0 è b 0 , то [ a , b ] 0 a b
16
Векторное произведение в
координатной форме
a x1 i y 1 j z 1 k
b x2i y2 j z2k
[ a , b ] [ x1i y1 j z1 k , x 2 i y 2 j z 2 k ] 0
0
x1 x 2 [ i , i ] x1 y 2 [ ik
, j ] x1 z 2 [ i , k ] y1 x 2 [ j,ki ] y1 y 2 [ j , j ] y1 z 2 [ j , k ] z1 x 2 [ k , i ] z1 y 2 [ k , j ] z1 z 2 [ k , k ].
k
i
i
j
0
[a , b ] x 1
j
k
y1
z1
x2
y2
z2
17
Векторное произведение в
координатной форме
a x1 i y 1 j z 1 k
b x2i y2 j z2k
i
[a , b ] x 1
j
k
y1
z1
x2
y2
z2
18
Смешанное произведение
векторов
Опр. Смешанным
произведением
трех
векторов a ,b , c , называется число,
равное ( a ,b ,c ) ([ a ,b ], c )
Свойства
1. ( a b ) c a ( b c )
2. ( a , b , c ) ( b , c , a ) ( c , a , b ) (b , a , c ) ( a , c , b ) ( c , b , a )
19
Геометрические свойства
1.
V ,
(a , b , c ) V ,
åñë è òðî é ê à a , b , c "ï ðàâ àÿ",
åñë è òðî é ê à a , b , c "ë åâ àÿ" .
V ï àð | ( a , b , c ) |
c
d
b
a
2.
a , b , c ê î ì ï ë àí àðí û
(a, b , c ) 0
20
Смешанное произведение в
координатной форме
a x1 i y 1 j z 1 k
b x2i y2 j z2k
c x3i y3 j z3 k
d a b x1
j
k
y1
z1
x2
y2
z2
i
y1
d c x3
y2
z1
z2
y3
y1
i y2
x1
z1
x2
z2
z3
z1
z2
x1
j
x2
x1
y1
x2
y2
z1
z2
x1
k x2
x1
y1
y2
(a , b , c ) x 2
y1
z1
y2
z2
x3
y3
z3
21
Аналитическая геометрия
22
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
21
Размер файла
422 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа