close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекции-семинары (PPT)

код для вставкиСкачать
Ранняя Вселенная
В Н Лукаш, В Н Строков
Астрокосмический Центр ФИАН
Краткий курс релятивистской астрофизики и теории
Вселенной включает пять лекций и пять семинаров
Акцент сделан на гравитацию и следующие темы
Гравитация и гравитирующие системы
Удержание материи и линзирование
Геометрия ранней Вселенной
Рождение космологических возмущений
Генерация анизотропии реликтового излучения
Лекция 1
Гравитация и
гравитирующие системы
основы ОТО: вычисления «на пальцах»
(без вариационного принципа, топологии,
дифференциальной геометрии и
тензорного анализа)
Релятивистская физика
в отсутствии гравитации
Принцип специальной теории относительности
Законы физики одни и те же для всех
инерциальных (неускоренных) наблюдателей
измеренная скорость любого
свободно движущегося тела постоянна
Событие: точка в пространстве-времени
Инерциальный наблюдатель: {хi}=(t,x),
xi=xi(s) – мировая линия
(s)- собственное время:
s s
0
1/2
2
dt dx ds ds ds 2
ik diag 1, 1, 1, 1 dx dx
ik ds ds
0 s
i
k
1/2
ds
- метрический тензор Минковского
Хронометрическая гипотеза:
(s) – время, измеренное наблюдателем,
движущимся вдоль мировой линии xi=xi(s):
d ik dx dx
2
i
k
времениподобный интервал:
пространственоподобный интервал:
нулевой интервал:
d2>0 всюду
d2<0 всюду
d2=0 всюду
Ненулевая геодезическая (траектория свободно
движущейся массивной частицы):
2
d x
x x ,
i
i
d
2
i
0
Нулевая геодезическая:
2
d x
ds
2
i
i
0
&
ik
dx dx
ds
k
0
ds
где s – афинный параметр, xi=xi(s)
Принцип СТО: физические законы инвариантны
относительно преобразования
i
i
k
i
x kx T
где Ti – постоянный 4-вектор (трансляции)
ki – постоянная матрица 4х4 (преобразование Лоренца)
ik m m
i
{
ограничения
{
6 параметров:
k
1
0
0
ортогональность
запрет обращения времени
det k 1 запрет зеркального отражения
i
3 Лоренц. поворота v (O’ относительно O)
3 пространственных поворота (углы Эйлера)
Однородное преобразование Лоренца
i
k
T
v
1 v
v
2 T I v v v 1
2 1 / 2
Преобразования Лоренца сохраняют собственное
время, d’2=d2 и уравнения геодезических:
2
d x'
d'
2
i
2
0
тогда и только тогда, если
d x
d
2
i
0
Однозначное картографирование событий в R4
ОТО (релятивистская теория
гравитации) локально
сохраняет принципы СТО
2 основания ОТО:
• принцип соответствия (в пределе малых скоростей и
слабого гравитационного поля ОТО переходит в
механику Ньютона)
• принцип эквивалентности:
F=mia
F=mgg
mi=mg
Законы (движения/физики) для свободно падающего
тела в постоянном гравитационном поле те же, что
и для неускоренного тела вдали от гравитационных
масс.
Теперь {xi}=(x0, x1, x2, x3) – произвольные координаты
(нет однозначного картографирования событий).
Принцип соответствия: в окрестности любого
события р:
2
yi=yi(xk):
d y
d
i
0
2
p
вдоль траектории уi() любой свободно падающей
частицы, проходящей через р, d2=ikdyidyk
Уравнение геодезической в произвольных координатах:
2
d x
d
2
i
d g ik dx dx
i
i
g ik k
i
k
1
2
g
im
dx
d
k аффинная связь:
2
dx
i
k
k
0
d
dx
i
y
dy
m
x x
dy
dx
g
i
mk , 2
k
y
m
x
k
m
m - метрический
тензор
g m ,k g k ,m Важно: вместо поиска инерциальной
системы отсчета {yi} в каждой точке
пространства-времени, возьмем
метрический тензор как определяющий
элемент пространства-времени.
Результат: метрическая теория гравитации
(ОТО – только один из примеров)
Гравитационное красное смещение
(прямое следствие метрической теории)
g ik ik h ik ,
в пределе слабого грав. поля:
в случае нерел. частицы:
2
d x
d
2
i
dx
d
dt
2
dt 0,
d i
00
g 00 1 2 E
R
1 E R
E
d
i
E R;
2
k 1/ 2
1
2
2
d g ik dx dx
i
00
d x
d t Ньютоновский предел: 2 0 ,
d E
стац. поле
d
2
R
h ik 1
1
2
h 00 , k
ik
h 00 g 00 dt 1 dt
1/ 2
C GM
RC
C
2 10
6
c1
( энергетиче ские единицы )
g Gm
C 1
m
33
G 10
см
m Pl
Pl 1
5
19
10 г 10 GeV
G
Pl m Pl 1
Масса, энергия и гравитация
4 G Уравнение Пуассона:
G = 6.67•10-8 дин см2 г-2
g ik
Н
(4х4+ симметрии 10 потенциалов)
ОТО
Уравнение Пуассона вторые
= распределение
массы, энергии
производные
в ОТО:
метрического
тензора
Симметрии: T ik T ki
Лоренцева ковариантность: Tik i mk T' m
Закон сохранения: ik
Ti x
k
0
Уравнения ОТО
уравнение Пуассона:
предложение:
g 00 8 GT 00
G ik 8 GT ik
линейная комбинация вторых
производных g ik
в локально инерциальной системе отсчета уi :
G ik g ik g
g
G
k
i,k
, ik
k ,i
g
i ,k
ik g ,
ik
g
m
,m
ik
2
y y
i
k
0 : 0 g i , k g , k i g , i
0
==-, =-
G ik k
k
0
m
0
g ik g i , k g k , i ik g , m g , ik ik g Ньютоновский предел:
,
t
x
8 G T 00 3
T
1
G 00 3
G
1
3
g 00 g 1
3
но
T
T00 :
2
1
G ik 1
2
g ik g
i ,k
1
g
k ,i
ik g
m
,m
g
1
2
, ik
ik g назад к
G ik R ik х i:
тензор Риччи: R ik g
m
2
g
m
g
2
i , km
g ik R
g k , im g ik , m g m , ik g np i km ik m
R ik R ik
1
1
1
2
n
p
n
p
g ik R 8 GT ik
R 8 GT
1
8 G Tik g ik T 2
Ньютоновский предел
g ik ik h ik ,
R ik
p h ik 1,
1
8 G Tik ik T 4 G ik , h ik 2 ik
2
u iu k
R ik 1
h
,
i , k
h k , i h ik , h , ik ,
,
2
,
,
, i k , k i , ik 2 , ik , ik
,
,
4 G 2
1 2 d 1 2 d y
2
Уравнения Фридмана, связь с уравнением Пуассона
H 2
8G
,
4 G p H
3
4G a
2
1 3
H 4G 2
t ,
2
2 d
2
1 2 y a x 1 ,
2
Ньютон.
предел
a H 2
x
4
2
2
d y dt
t
H
2
p
3
2
H
2
2
2
a dx
2
{
Отклонение луча света массивным телом
g ik ik 2 ik ,
GM
1
r
rmin r0 rg 2 GM
dk i
ds
dk 0
,i k
0,
ds
02
k
dk ds
k i
dx
ds
2
{
2 ,
k 0 const 1 ,
k e A , ,
k
k i k 0,
i
e A , 2 e 1 2 A , 1 , A , y
i
,
ee
d
ds
k
i
x
i
dk
0
/2
0
ds
rg
r
y
ds 2 , y ds d rg
r0
rg
r
2
cos d 2 4 GM
r0
cos ds rg
r0
Решение Шварцшильда
d A r dt B r dr r d sin
статика:
2
2
2
2
2
d
d
A
t
tr
2A
r
,
r
rr
r
B
,
r
B'
r
tt
,
2B
sin cos ,
r sin
2
A
,
2B
,
B
2
cos ,
r
r
' r
d
dr
1
2
компоненты тензора Риччи
R tt A''
2B
R rr R A''
2A
A ' B'
4B
2
A ' B'
4 AB
A '
2
4 AB
rB
A '
4A
A'
2
2
B'
rB
R r B' A ' 1 2
B 2B B
A sin 1
Rik=0:
R tt R rr R 0
1
1
0 A R tt B R rr
1 A ' B' rB A
B
A ( r ) B ( r ) const 1
0 R 1 A rA ' 0
A 1
const
r
1
2 GM
r
Статика только при r rg
rg 2 GM
Свободное падение в поле Щварцшильда
u 0 const ,
dr
rg
u r
ds
u
r
2
0
u r
rg 1 r 0
dr
dt
2
2
u u
2
0
rg
r
r 2
1
rg
r
dr
rg 1 dt
r dr
d
u0 1
условие
параболического
падения
m - масса частицы
u0 1
2
mu0 - внешняя масса
закон сохранения
энергии
Семинар 1
Предел слабого поля
Ньтоновский предел и слабое поле в
модели Фридмана
Гравволны в модели Фридмана
Классические эффекты ОТО
Лекция 2
Гравитационное
линзирование.
Гравитационное удержание
материи.
Физические основы
теории гравитационного линзирования
точечная масса
плоскость линзы
ˆ 4 GM
2 rg
1 , 2 2 - поверхностная ˆ 4G
2 d '
плотность массы
грав. линзы
Основное свойство гравитационной линзы:
ахроматическая, сохраняет поверхностную
яркость источника
D
ds
Уравнение линзы: ; ˆ i
S
D os
угол смещения
F
F0
S
d - телесный
угол, покрываемый i, s
непостоянен по
источнику: уярчение,
деформация
Усиление яркости
неразрешенных
источников
{
S d i
i det d S
i i
i
1
Аксиальная
симметрия:
ˆ 4 GM ;
i-условие:
D ds
ˆ 0
D os
i id i
Sd S
, ˆ ˆ 0
C
M 2
C D OS
4 GD
Однородный диск:
od
D ds
= С
2
CE
4 GM CE D od D ds
D od D os
(когда О в фокусе)
zd 0.5, zS 2:
линза
М Dod
[МС] [пк]
C 1 г/cм2
R
[пк]
(<R)/C
СЕ
[”]
=СЕDod
[пк]
звезда в
Галактике
1
104 210-8
2106
610-4
310-5
звезда в
удаленной
галактике
1
109 210-8
21011
210-6
10-2
галактика
1012 109
5103
4
2
104
скопление
галактик
1014 109
105
1
20
105
Расстояние между изображениями ~ 2CE M/Dod ~ MH0
CE
2
Точечная масса:
A ,B A ,B
tot
1
2
S S ,
,
2
CE
4
2
S
2 rg D ds
D od D os
2
CE
1 S
2 4 S
1 S 2 S
S CE :
tot 1 . 34 ,
2 CE
dS
сечение СЕ ~ M
2
Самогравитирующие системы
из барионов:
М M
m
3
P
2
p
звезды
10
33
г
Удержание протонов
собственным гравитационным полем
T mp v
R rN
1/ 3
p
2
p
e
2
GMm
r
,
p
R
a
r
M m pN р,
a Gm N р
2
54
a e 10
2
M mpN p a
3/ 2
N p 10
,
M
m
2
p
3
P
2
p
10
3
MC
2/3
Юпитер
Солнце:
N b 10
57
a 1
,
TC m b v
2
b
1
r
N
1/ 3
b
10 см
8
1
1 кэВ
RC
Солнце – классический объект (баланс
температуры и гравитации, нет ħ)
Функция Салпитера:
dN f ( m ) d log m , m M / M f (m ) Am
1 . 35
0 .3 exp m Холодная звезда
Eb ni
e ,p ,n
xe x p n
1/ 3
e
nb
,
M mb N b a
БК:
m x
2
i
xn n
3/ 2
M
m
3
P
2
b
1/ 3
n
,
0
1 2 GM / R
xn
mb ,
mb
2
i
1/ 3
b
R
ni
n
N
1/ 3
b
mi ,
x x
3
e
a Gm N
2
b
3 1/ 3
n
2/3
b
b
x x e m n m p 1 . 3 МэВ , x n 0
E b ax m x
2
e
2
me
Свободное движение в поле Щварцшильда
u 0 const ,
2
m u
2
o
r
2
1
rg 2
2
m p 1 r rg
r
u0 1
условие
параболиm - масса частицы
ческого
mu0 - энергия частицы падения
m p 2
u u
2
0
2
m
1
2
rg
r
0
условие связи (удержание
частицы гравитационным полем)
x1 am e
, x2 2am e
1 a
1 a
a 0 .7 , M 1 1 .4 M C
2
2
НЗ:
1
x n 100 МэВ
Ядерные силы: n 10
x :
xe 13
см , n 2 10 г / см
mp x
14
2
e
3
m x ,
2
n
xe 2
n
x
2
n
2m n
x n x x БК
НЗ
КЗ
ЧД
En m x
2
n
2
2ax
m n 1 mn
1 / 2
,
a 0 .5
Самогравитирующие системы
из темной материи:
вириализованные гало
dp
dr
r
GM r r
2
,
4 G r
М r 4 r dr ,
2
0
p nT v
2
Изотермическая сфера:
v
2
T
const
m
r d ,
2
r dr dr 2
d
0
{
8
1 0 r / 6
2
2
r
2
4 Gm
T
,
r r0 r r0
,
4 G
v
2
1
0
(аттрактор)
r
M r
10 T [ кэВ ]
М С
Gm
200 кпк 2 Tr
13
Семинар 2
Модели гравитационных линз
Гравитационная задержка
Полузамкнутый мир
Лекция 3
Геометрия ранней Вселенной
и космологические
возмущения
Экспериментальные основания
Космологическая инфляция
Рождение космологических возмущений
Наблюдательная проверка
Цель: приготовить начальные условия для
Фридмановской космологии и
образования структуры Вселенной
фоновая модель
ds
2
dt
2
a dx 2
2
первичные космологические возмущения
/ ~ 10
5
горячая Вселенная и темная материя
n
b
/ n ~ 10
9
,
нежелательные реликты
UR
cr E
~ cr темная энергия
b ~ 0 .2 с Экспериментальные основания КСМ
с
4
3 10
17
3 10
3 10
13
0 . 3 эВ
1 МэВ
1
10
10
10
эВ
10
35
43
2
10 ГэВ
10
15
ГэВ
10
19
ГэВ
}
}
Астрономия: модель
1. Хаббловский поток:
v Hr,
r ax ,
H a /a
dr
v a x dt
однородность, изотропия
2. Полная плотность:
0/сг 1
cr 1 2 2 cr
a H 3
2
29
2
-3
cr H 2 10
h г см
8G
h = H0/100 [км с-1 Мпк-1]
1
=0
a H
2
2
плоское пространство
vis ~ 0.003
b ~ 0.05
M ~ 0.25 ,
E ~ 0.7
m=M+b=0.3
плоскостность, небарионная материя
{
ds
2
H
2
2
8G
3
2
3H
a
8G
a
a
a H .
a
a
a
2
2
,
H 4 G p H
cr a a t ,
dt a dx ,
2
a
2
cr
3 H p 1 a H 4
H H G 3 p 3
2
2
Где находится материя?
Светящаяся:
* звезды в галактиках,
* газ в скоплениях (Т~1 кэВ)
Темные барионы:
* межгалактический газ
(Т~0.010.1 кэВ),
* MaCHOs (ЧД, НЗ, КК,
планеты)
...не более 20% МАЧО в гало,
остальные 80%- небарионная ТМ
Где спрятана темная материя?
* большая дисперсия скорости галактик
в скоплениях (Zwicky & Smith, 1930),
* массы скоплений установлены (1980)
рентгеновский газ (Т~1 кэВ)
гравитационные линзы
в ~ 100 раз больше массы звезд,
в ~ 5-10 раз больше массы газа,
* плоские кривые вращения S-галактик,
стабилизация дисков (1970)
Ответ: небарионная ТМ находится в
гравитационно-связанных системах
слабовзаимодействующие частицы,
не диссипируют как барионы
Барионы радиационно остывают, сбрасывая энтропию
через э/м излучение, и оседают к центрам галактик,
достигая вращательного равновесия
Темная материя группируется вокруг светящегося
вещества галактик в масштабе около 200 кпк
ТМ не взаимодействует со светом,
но свет там, где ТМ
Мы видим звук (все барионы ! )
..и полные возмущения плотности
(звуковая модуляция подавлена!)
Независимый эксперт:
первичный нуклеосинтез
Возраст 1с - 3 мин, температура 1 МэВ – 70 кэВ
единственный параметр, определяющий
химический состава обычного вещества:
плотность барионов
Состав Вселенной
МОДЕЛЬ ПОДРАЗУМЕВАЕТ ПОЧТИ
ВАКУУМНУЮ ИНВАРИАНТНОСТЬ
(нарушена Лоренцева инвариантность)
Ti p u i u k p k
k
i
Лоренц-неинвариантный член
Лоренц-инвариантный член
И(+p=0) Ф(+p0)
ТРЕБУЕТСЯ РАСТЯЖКА МАСШТАБОВ В
ДОФРИДМАНОВСКУЮ ЭПОХУ РАСШИРЕНИЯ
Запас времени =14 млр лет/10-44 сек = 1060
Вселенная большая, но фактор роста
ограничен = t1/2 = 1060/2 = 1030 !
Получается
10-33см субмм ~
РИ
Надо
Н = H0-1 5103 Мпк = 1030 РИ
Надо еще 30 порядков по размеру!
Инфляция -
расширение с громадным
ускорением из малого размера в большой
за доли секунды
- однородность, изотропия, эвклидовость,..
Начальные и приобретенные
масштабы структуры
Геометрия Вселенной
• Нулевой порядок диаграмма Хаббла
a (t)
• Первый порядок структура
S-мода (возмущения плотности)
T-мода (гравитационные волны)
V-мода (вихревые возмущения )
S(x)
T( x )
V( x)
Космологическая модель в 4-х функциях
Происхождение начальных
космологических возмущений
гравитационное рождение
безмассовых полей под действием
нестационарного внешнего
гравитационного поля
• рождение материи (частицы)
• генерация Т-моды (гравитационные волны)
• генерация S-моды (возмущения плотности)
S → причина образования структуры Вселенной
Т → НЕИЗБЕЖНО рождается квантово-
гравитационным образом, как и S
Наблюдательная космология:
T и V оставляют след в
анизотропии и поляризации РИ
Первичные возмущения плотности, ~10-5
Невозможно создать в горячей Вселенной
Можно сгенерировать параметрически,
если отказаться от модели горячей
Фридмановской Вселенной
Возмущения плотности: = 1 + 2 С1, С2
для >>1:
- С1 cos + С2 sin Более изящное описание: q-скаляр
1
q 3 H q q 0
2
3a
Преобразование:
q 1
q 0
' q aq,
q k k
2
3
3
q k C 1 sin C 2 cos d
d
qk 0
Эволюция
растущей и
падающей мод
возмущений
метрики
Эволюция
растущей и
падающей мод
возмущений
плотности
Для галактических масштабов нам
необходимо: С1 и/или С2 ~ 10-4.
Но для << 1: С1 << 1, C2 << << 1
Таким образом, мы имеем
фактически:
естественно:
С1 >> C2
C1 = C2 << << 1
C1 ~ 10-4
Идея параметрического усиления
q 3 H q 2
a
2
2
x
2
q 0,
Конформное преобразование
q q,
q U
2
q Uq,
q 0,
t 2
2
2
k,
U a a
~ a H 2
a ~ C1 = C2 << << 1
стоячая волна в фазе C1
C1 >> C2
U0
бегущая волна
Фазовая информация:
рождается только растущая мода
U 0:
q C1
(a ~ )
sin C2
растущая мода
cos падающая мода
вакуум: C 1 C 2 , после рождения: C C
1
2
первый пик:
p 0 30
rec
200
WMAP-3
Атомная физика: проблема горизонта
Горизонт «там»
~310-2Но
3 К
3000 К
Горизонт «здесь»
Но=5000
Мпк
5ый вывод: Проблема горизонта не может быть
решена в горячей Вселенной
(шире – в ЗАМЕДЛЯЮЩЕЙСЯ
0 )
ВСЕЛЕННОЙ a
ds
2
2
2
2
2
dt a d x a d d x 2
2
dt
a ~ t,
a
Замедляющаяся Вселенная:
Ускоряющаяся Вселенная:
0
a
0
a
0
a
(ФВ)
(ИВ)
Какой масштаб расширяется быстрее?
k a
k
,
H H
1
a
a
,
k
~ a
H
.
или 0
В критическом случае
0 :
a
t
~
~
dt
a
0
dt
~ ln t
t
0 , ФВ
разогрев
ИВ
t
~
0
dt
a
,0 1
k гор гор H a H exp - N Мпк
a 0
a 0
N H dt
N I N F ~ ln a
NI Hd
N F 60
,
1
Какая материя может обеспечить инфляцию?
R GM 4 G R
2
R
3
(N)
R 4 G 3 p R
3
(E)
если (+3р)<0, то
0
R
Ядерная физика: нейтрино
Первичный нуклеосинтез:
1) T ~ 1 МэВ
2) N < 4
космология: N < 4
(гравитоны, релятивистские «…ино»)
n 300 см-3 :
m 0.4 эВ
N.B. Ускорители дают N 3.14 по
измерению ширины распада Z0 бозона
Г(Z0) 2.8 + 0.2(N-3) ГэВ
Лабораторные ограничения:
me< 3 эВ, m< 160 кэВ, m< 18 МэВ
SK: m2- = 210-3 эВ
С: m2е- = 610-5 эВ
Космологические ограничения:
n= n = ⅜ n , e± →2: n/n = 3/22
e± → : спектр. поправка ~ 4%
= 112 m см-3
m = 93 h2 эВ = 13 эВ
< 0.1 : m< 0.4 эВ
Только левые возбуждаются
в ранней Вселенной
Космологический нуклеосинтез:
t
3
MP
32 T
2
2
МэВ 3
с 1 10 с
Т Основные элементы
- Эффект параметрического усиления
гравитационное рождение
безмассовых полей в ранней Вселенной
-Инфляция
Вселенная большая, начальные условия
для Фридмановской модели
-Тесты очень ранней вселенной
основной тест: спектры первичных
космологических возмущений
Семинар 3
Кривые вращения и распределение массы
ТЭ и ТМ как модификации ОТО
Простейшие модели инфляции
Как получить уравнение на q-скаляр?
Лекция 4
Рождение космологических
возмущений
2
q 3 H 2 q q 0
a
W
(2)
q L q a dt d x
3
3
2
1 2
2
,i
L q q q ,i q 2
a
Условие const означает, что q приобретает массу
2
1
2
,
i
2
2
~ q : L q q
~ ~ q
~ q
~ q
q
,i
2 a 2
~
эффективная масса поля q
Ковариантное обобщение
D
W
q ,
(2)
;
D 0 ,
q L q L q 1
2
D
2
gd x
q , q ,
4
u
u P
2
Важнейшие результаты теории
параметрического усиления
:
:
L=L(w,),
w2=,μ,μ
q=Hv+A,
.
L(q)= ½ Dμq,μq,
v= /w= /,
A=a/a
(Dμq,μ);=0
2
q 3 H 2 q 2 q 0
a
1 2 2
2
,i
L q q q ,i q 2
2
2
w L
2
2
2
2
4 G H w
dp w 2
3 H 8 G V w
p w dw
Мы можем формально рассматривать
q-скаляр как пробное скалярное поле
во Фридмановской модели.
Это открывает возможность для
стандартного построения Гамильтонова
формализма!
Канонически сопряженный скаляр:
x
L q q
q
2
Уравнение движения поля q
в конформных координатах
q aq,
q Uq
2
,
2
2
U U a a
в Фурье-пространстве:
q U q 0 ,
q aq
a U U a , a , a , a , a a
k
2
q Uq ,
2
2
2
2
2
2
Адиабатический случай: U=0
a ~ ,
U 0
q C 1 sin C 2 cos k
3
2
q U q 0 ,
U ~ 1
2
k
Стоячая волна
(растущая мода)
Бегущая волна
1
2
Квантование
и конформная неинвариантность
* Гильбертово пространство пространство всех решений q
q1 q 2 J 12 d i ,
J 12 ; 0
J 12 iD
q
*
1
q 2 , q q 2 *
,
* Коммутационное соотношение
q t , x ( t , x ) q q i g x x Это напоминает квантование
фононов в гидродинамике:
v,
i x x p
Фононы – кванты поля q
Плотность Лагранжиана
и полная энергия
L q L q H E 1
2a
4
1
2a
1
a
4
2
2
,i
2
q q ,i q U q
H a
q 2
3
E dV
q ,i q
2
,i
Uq
2
- локальная плотность энергии поля q
при k>1:
2 1 E p v 2
2 p 1
2
- напоминает плотность энергии звуковой
волны в негравитирующей жидкости
Физический смысл поля q
малые масштабы
q ~ Hv
возмущения материи
(потенциал скорости)
большие масштабы
q ~ А
гравитационный
потенциал
h ij A ij B ,ij
2
2
~
ds dt a d x
~
a a 1 q x 2
2
Поле q конформно связано с Фридмановской
Вселенной.
В случае конформной инвариантности U=0
( например ,
a ~ )
Важный частный случай: a ~ U 0
Во всех других случаях U0 и q конфорно
неинвариантно. Это означает, что поле q
взаимодействует с фоновой нестационарной
метрикой, что обеспечивает спонтанное и
индуцированное рождение фононов во время
расширения.
Вторичное квантование
q q
k
q
k
a
q k k
a
*
d k a k q k a k q k
3
k
k k ,
k
2 3/2
a
e
ik x
,
a
k
a k 0
k k {
k
U k 0,
k k
*'
2
*
k
'
k
k
i
a k | vac 0
a >
< 0
2 V w 3 p w 6aa
при a 0 : V() становится не важным
при a 0 : кинетический член не важен
Проблема рассеяния для поля q
при a ~ H aH const
( p / 3) :
Cохранение числа фононов
Представление фононов:
ν k 2 1 / 2
e
i ,
k/
3
Полевой гамильтониан:
3
H Re g d k E k N k
Ek / a
N k a k a k
- энергия фононов
- оператор числа фононов
Операторы «растущей» и «падающей» мод:
sin cos 3
ik x
q
d k e C 1
C2
3/2 2 1
3
3
2
2
H a d k C1 C 2
6
1
Средняя плотность энергии:
E H
1
3
3
3
2 a a d x
a k a k n k k k 1
3
d k E k n k 2 числа заполнения
постоянны
Вычислим число фононов, рожденных
за некоторый период времени:
a a ~ ,
1 2
Это можно сделать, подсчитав
количество фононов до (<1)
и после (>2).
b k k a k a k
*
k
k
2
k
2
1
a k | in 0
b k | out 0
,
a ,
A 0 А ,
1
1 2
2 , A const
k k
b k b k n k
n k k
E Re g
1
24 A
3
2
2
3
d
k k
2
Теорема: при а”>0 (A>1) преимущественно
рождается растущая мода возмущений
dt
Доказательство: q ( x ) D 1 x D 2 x 2 3
a
(общее решение за горизонтом)
Начальные условия: С 2
С1
2
С2
2
1
при a 0 (начальные условия под горизонтом):
«растущая» мода
q q x при a 0 (начальные условия за горизонтом):
1
a
k 1
e
ik 2 1
a
k 1
2
1
k
e
2
sin gk
ik ke
A
ik , поскольку
k k iAg
gk k 1
q
2
0
C
(b)
1
i,
dk
2
k
q
k
C
C1
g k 1 ,
(a)
1
2
qk ,
k
const ~ 1
k
2
gk
sin 2 3
«растущая» мода
k 1
2
g C
(a)
C2 ,
2
C
1/ 4
(b)
C2
2
A
2
C2
(a)
C2
2
Типичные спектры
q k Mk ,
1
k M ~ 1
Два замечания к проблеме рассеяния
• Начальные условия устанавливаются за
горизонтом, если a 0
• Чтобы получить k M ~ kgal необходимо
выполнить условие ускорения a 0 на
стадии 1 < < 2.
В этом случае начальный вакуум должен
быть задан в «адиабатической зоне» (под
горизонтом), что может быть сделано в
общем виде на стадии инфляции!
Семинар 4
Схема расчета количества рожденных частиц в
нестационарных полях
Спектр космологических возмущений после
инфляции на скалярном поле
Соотношение между тензорной и скалярной
модами
Почему не рождаются векторные возмущения?
Лекция 5
Генерация анизотропии
реликтового излучения
* После рекомбинации большая часть фотонов
приходит к нам без рассеяния
* Возмущения плотности наблюдаются в настоящее
время как угловые вариации температуры РИ
* Масштаб горизонта на рекомбинации:
r * Звуковой горизонт на рекомбинации:
* Отсюда следует:
{
k 0 r
0
s 1
2
0
zr
h
1
0
3
Положение первого акустического пика, s 200
~ 104 причинно несвязанных областей на
поверхности последнего рассеяния
1 : Первичный спектр (мгновенная рекомбинация)
0
1 : Космологические параметры (затяжная
0
рекомбинация)
Мгновенная рекомбинация
излучение
идеальная жидкость, < r = ls
{ кинетическое приближение, > r
Число фотонов в элементе фазового объема
3
3 dN f x , p d x d p
x
f x ,p
, x , p p 0 , p - 4-импульс фотона
4-скаляр в фазовом пространстве,
сохраняется вдоль траектории свободного фотона
Уравнение Больцмана
f f x p 0
d
x
p
df
pu
e
p
p
f
- частота фотона, измеренная
наблюдателем с 4-скоростью uμ
- направление на небе
откуда пришел фотон
2
f f T exp[ T ( x , e ) ] 1
T ( x ,e )
T T0 ( 1 T ) , T0 T0 ( ) , T
~
p
0
~
x x , ~ (1 ' e )
g~ 00
~
0
T T H 0 ' e
0 ,1 - зависит от наблюдателя только
монополь и диполь
2
- не зависит от движения наблюдателя
относительно РИ
Спектр РИ
T (e ) a m Y m ( e ),
,m
( 1 )C 2
C
C
( 2 1)
1 / 2
C a m
2
m
1/ 2
T
T0
- парциальная
анизотропия в моде ℓ
- неопределенность спектра из-за
случайных фаз alm (cosmic variance)
Угловая корреляционная функция
( сos e 1 e 2 )
1
C ( ) T ( e1 ) T ( e 2 ) ( 2 1 ) C P (cos )
4 2
2
2
T T ( e 1 ) T ( e 2 ) 2 C ( 0 ) C ( ) Связь C с (Гауссовым) полем плотности
предполагает усреднение по ансамблю
(по случайным фазам Фурье-гармоник).
Эта процедура для >>1 эквивалентна
усреднению по небесной сфере
Гиперповерхность рекомбинации: t r t t
const ( t r , x ) ( t , x ) t ( t ) t
t 3H
,
3 4 b b
b
p x
1 ' p
, e , i - 4-импульс фотона
a
e (1, e )
v
u 1 D , a
p pi
u (0)
r
2
- 4-скорость наблюдателя
p ( 2 u ) - эйконал
const ,
,
r
2
,
u const
- световой
конус
p iu i
r pp 0 ,
p
p
a
(1 ar
(1 D e v ' )
1
3
D e v ' )r
, e ' , r , Fd ,
'
F' d 1
2
1
2
h e e F
h e e d
0
0
0
Tr
1
1
0
1 r e v |r D |r T0 T r
h
'
e
e
d
r 1 z 3
2 r
1
1
T (e ) ev D 3
ls 2
0
h
e e d i
ik
k
ls
плотность
красное Интегральный эффект
Допплер
барионов
смещение
Сакса-Вольфа
1
3
N
e v N 2 dt релятивизм ( c 2 2 ) dt
2
a (1 2
2
c
2
2
)d x 1
С e v N (1 ) 2 dt
3
H
1
где
1
3
( c N ) Hv
N
H
,
v , ,
v a c a H
2
2
На материальнодоминированной стадии:
3
,
0
2
1
2 T (e, x) c e , 3
aH
r
T (e, x) k
(T )
1
(2 )
3/2
(T )
k
1
2 k k 1 3
aH 0
e
ik x r
3
d k,
x r x e(r 0 )
2
1
2k
2 1 2
2
k
3a H
3
a
H
0 r
r
2
2
1
2k
2 2k
2 2
1 2 2 С ( ) k 1 2 2 9
a
H
a
H
a
H
a
H
1 1 sin( k | e 1 1 e 2 2 |) dk
k | e11 e 2 2 |
k
после дифференцирования:
sin( k | e 1 1 e 2 2 |)
k | e11 e 2 2 |
1 2 0
сферические
функции Бесселя
( 2 1) j
0
( k 1 ) j ( k 2 ) P (cos )
C 4
9
2
k
2
2k
W ( x ) 1 2
3( a H )r
ХЗ:
k 0,
W ( k 0 )
2
dk
k
2k
j ( x ) j ' ( x )
( a H )r
0 .3 0 ,
k 0
30
Положение акустических пиков
Радиационнодоминированная плазма:
q C1
sin k c sd C2
sin c C 1 cos 8
1
n n , n k 0 30
r
k
3
cos 1
200 n ,
C 1 cos 100
Немгновенная рекомбинация
•Эффект конечной толщины (информация
о положении откуда пришли фотоны
стерта)
•Силковское затухание (диссипация
неоднородностей)
подавление мод при k>kf , k>kS
• Общий масштаб диссипации
k
2
d
k
2
f
k
2
S
d k d 0 ~ 10
3
Эффект конечной толщины
( t ) T n e ( t ) t - Вероятность рассеяния на t для t
p ls ( 1 1 )( 1 2 )...( 1 N ) e
t
t 0
- вероятность нерассеяния с tls
t n t ls n t ,
0
n 1 , 2 ,..., N ,
ls
T n e dt оптическая толща
Функция видимости (максимум на zr 1100):
V ( ls ) ' e
T 1
(2 )
3/2
1 2
2 exp k f ( ls r ) 6
2
k
(T )
k exp i k x r 2
2k f
3
34
d k , k f r
=r (поверхность последнего рассеяния):
zr 1100,
ne/n 0.3
=t (своб.пробег H-1):
zd 900,
nе/n 0.02
Заключение (РИ):
* Наиболее точный инструмент
догалактической космологии
* Первичные возмущения – растущая
адиабатическая мода (инфляция)
* Чувствителен к космологическим
параметрам и процессу реионизации
Семинар 5
Откуда берется множитель l(l+1) на
вертикальной оси спектра мощности CMB?
Как влияет наличие ТЭ и других компонент
Космологической Стандартной Модели на вид
спектра?
Контрольная
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
22
Размер файла
6 140 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа