close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Пространство и время в теории

код для вставкиСкачать
Пространство и время в
теории относительности
Д-р физ.-мат. наук Сергей М. Копейкин
Кафедра физики и астрономии
Университет Миссури-Колумбия
США
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
1
Определение координат
Системой координат называется
совокупность одной, двух, трех или более
пересекающихся координатных осей, точки, в
которой эти оси пересекаются, – начала
координат – и единичных отрезков на
каждой из осей. Каждая точка в системе
координат определяется упорядоченным
набором нескольких чисел – координат. В
конкретной невырожденной координатной
системе каждой точке соответствует один и
только один набор координат.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
2
Пример: декартовы координаты (x;y)
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
3
Пример: полярные координаты
Полярные координаты легко
преобразовать в декартовы.
Пусть (x; y) – координаты точки в
декартовой системе координат,
(ρ; φ) – в полярной. Тогда очевидно,
что:
x co s y sin 1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
4
Преобразование координат в
Эвклидовом пространстве
Пусть на плоскости заданы две
бесконечно-близкие точки с
координатами ( x1 , y1 ) и ( x 2 , y 2 ).
Обозначим d x x 2 x1 , d y y 2 y1 ,
dl --- расстояние между точками.
По теореме Пифагора
d l (d l ) d x +d y .
2
2
2
2
Если мы сдвинем и/или
повернём систему координат,
то формула для dl² по
прежнему будет работать,
но уже для новых
штрихованных координат.
d l (d l ) (d x ') +(d y ') .
2
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
2
2
2
5
Пространство Минковского
Выберем «геометризованную» систему
единиц с=1.
Если взять все события интервал от
которых до начала координат постоянен,
т.е.
s² = t² - x² = C,
то получится:
при s² = t² - x² = C > 0 --- гипербола (blue),
Пусть на плоскости (t,x) заданы
две бесконечно-близкие точки с
координатами ( t1 , x1 ) и ( t 2 , x 2 ).
Обозначим ds --- «расстояние»
между точками. По «теореме
Пифагора»
при s² = t² - x² = C = 0 --- две прямые t = x, и
t = - x, (green)
при s² = t² - x² = C < 0 --- гипербола (red).
d s (d s ) c d t +d x .
2
2
2
2
2
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
6
Преобразование координат в
пространстве Минковского
Знак выражения для ds²
позволяет разделить все
отрезки в пространствевремени на три типа:
ds² > 0 т.е. dt > dx или dx/dt < 1
--- времениподобный
интервал
Пусть на плоскости Минковского заданы
две бесконечно-близкие точки с координатами
( t1 , x1 ) и ( t 2 , x 2 ) . Обозначим
d t t 2 t1 , d x x 2 x1
ds --- интервал между точками.
По определению
ds² = 0 т.е. dt = dx или dx/dt = 1
--- нулевой интервал
ds² < 0 т.е. dt < dx или dx/dt > 1
--пространственноподобный
интервал
d s (d s ) d t +d x .
2
2
2
2
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
7
Нулевой (световой) конус
Нулево́й ко́нус (световой конус) — поверхность в пространстве
Минковского, множество всех точек, для которых интервал,
отделяющий их от данного события А (вершины нулевого
конуса), светоподобен (то есть равен нулю). Вершина разделяет
поверхность нулевого конуса на две части. Одна часть
поверхности лежит в области будущего по отношению к
вершине и содержит все события, которых может достичь
световой сигнал из вершины. Другая часть содержит все
события в прошлом, такие, что испущенный из них «световой»
сигнал может достичь вершины. Ось нулевого конуса в любой
системе отсчёта совпадает с проходящей через вершину
мировой линией частицы, неподвижной в данной системе
отсчёта. Поскольку никакой сигнал не может распространяться
быстрее скорости света, нулевой конус имеет прямое
отношение к причинно-следственной структуре пространства, а
именно, он разделяет всё пространство Минковского на три
части по отношению к вершине А: область абсолютного
прошлого (все события в прошлом, которые могут повлиять на
событие в вершине), область абсолютного будущего (все
события в будущем, на которые влияет событие в вершине
конуса) и область абсолютно удаленного (события, отделённые
от вершины пространственноподобным интервалом, т. е. не
связанные с вершиной причинно-следственными связями).
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
8
Неравенство треугольника C
в геометрии Эвклида:
Неравенство треугольника
в геометрии Минковского
C
AB+BC AC
AB+BC AC
Прямая АС имеет
минимальную длину.
имеет
B Прямая
максимальную «длину».
B
Двигающиеся часы идут
медленнее покоящихся.
A
A
Небольшое
«сглаживание» сторон
треугольника не нарушает
неравенства:
C
Прямая АС имеет
минимальную длину.
C
B
AB+BC AC
A
Небольшое «сглаживание»
сторон треугольника
(движение с ускорением)
не нарушает
неравенства:
B
A
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
AB+BC AC
Часы, двигающиеся с
ускорением, идут
медленнее, чем часы,
двигающиеся с постоянной
скоростью.
9
•
•
•
•
•
•
Инерциальная система отсчёта
Инерциальная система отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой справедлив
закон инерции: любое тело, на которое не действуют внешние силы, находится в
состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Всякая система отсчёта, движущаяся относительно ИСО равномерно и
прямолинейно, также является ИСО. Согласно принципу относительности, все ИСО
равноправны, и все законы физики в них действуют одинаково.
Предположение о существовании хотя бы одной ИСО в изотропном пространстве
приводит к выводу о существовании бесконечного множества таких систем,
движущихся друг относительно друга со всевозможными постоянными скоростями.
Если такая совокупность ИСО существует, то пространство называется однородным
и изотропным, а время — однородным; согласно теореме Нётер однородность
пространства относительно сдвигов даст закон сохранения импульса, изотропность
приведет к сохранению момента импульса, а однородность времени - к сохранению
энергии движущегося тела.
Если скорости относительного движения ИСО, реализуемых действительными
телами, могут принимать любые значения, связь между координатами и моментами
времени любого «события» в разных ИСО осуществляется преобразованиями
Галилея.
В специальной теории относительности скорости относительного движения ИСО,
реализуемых действительными телами, не могут превышать некоторой конечной
скорости «с» (скорость распространения любого безмассового поля в вакууме) и
связь между координатами и моментами времени любого «события» в разных ИСО
осуществляется преобразованиями Лоренца.
С разной степени точности и в зависимости от области использования,
инерциальными системами можно считать системы отсчёта, связанные с Землёй,
Солнцем, галактикой, или всей вселенной (В астрометрии глобальная ИСО
неподвижна относительно «звезд»)
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
10
Лоренц-инвариантность — свойство физических законов записываться одинаковово
во всех инерциальных системах отсчета (с учетом преобразований Лоренца).
Если ИСО K' движется относительно ИСО K с постоянной скоростью V вдоль
оси x, а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих
системах, то преобразования Лоренца имеют вид:
где c — фундаментальная предельная скорость («каноническая» физическая
реализация с: скорость света вакууме).
Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть x',y',z',t' через x,y,z,t
получается заменой V на V' = - V.
Формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной
скоростью v
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
11
Релятивистский эффект
замедления времени
Пусть, например, в некоторой точке x' системы K' происходит процесс
длительностью 0 t '2 t '1 (собственное время), где t '1 и t ' 2 – показания
часов в K' в начале и в конце процесса. Длительность этого процесса в
системе K будет равна
t 2 t1 t '2 v x '/ c
1 2
2
t '1 v x '/ c
1 2
2
t ' 2 t '1
1 2
0
1 2
0
.
где β = v/c Двигающиеся часы идут медленнее покоящихся. Аналогичным
образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает
релятивистское сокращение длины.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
12
Относительность одновременности
•
Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' ( x '1 x '2 )
одновременно с точки зрения наблюдателя в K' ( t '1 t '2 t ' ) происходят
два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в
системе K будет иметь
t1 •
t ' v x '1 / c
2
,
t2 t ' v x ' 2 / c
2
t 2 t1 v( x ' 2 x '1 )
0
1 1 1 Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно
разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак
разности t 2 t1 определяется знаком выражения v( x '2 x '1 ) , поэтому
в одних системах отсчета первое событие может предшествовать
второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе
событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к
событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно
из событий является физическим следствием другого. Можно показать,
что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок
следования причинно-следственных событий одинаков во всех
инерциальных системах отсчета.
2
2
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
2
13
Релятивистское преобразование скорости
•
•
•
В классической механике Ньютона скорости преобразуются при
переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую согласно
преобразованиям Галилея. Если скорость тела в системе отсчёта S
была равна v, а скорость системы отсчёта S' относительно системы
отсчёта S равна u, то скорость тела в при переходе в систему отсчёта
S' будет равна v‘ = v – u.
Для скоростей, близких к скорости света преобразования Галилея
становятся несправедливы. При переходе из системы S в систему S'
необходимо использовать преобразования Лоренца для скоростей:
в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S.
Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей
преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
14
Аберрация света
•
Аберрация света - изменение направления светового луча вследствие
движения наблюдателя относительно источника света.
•
Пусть система отсчёта К' движется со скоростью v относительно
системы отсчёта К в положительном направлении оси X. Углы,
образуемые направлением распространения света с направлением
движения К' относительно К, обозначим в К и К' соответственно и .
Тогда, согласно специальной теории относительности, справедливо
следующее соотношение между и :
cos ' cos v / c
1 ( v / c ) cos '
tan 2 1 v / c
2
,
sin ' 2
1 ( v / c ) cos sin tan 1 v / c
2
1 v / c
Последняя формула указывает на то, что аберрация света может быть
интерпретирована как конформное отображение сферы (звездного неба
наблюдателя): S² → S², а на языке комплексных функций аберрация
света – дробно-линейное отображение.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
15
Аберрация и сокращение размеров
движущихся тел
(1/3)
Лоренцево сокращение (сокращение длины движущегося
тела) — физический эффект, заключающийся в том, что
с
«точки зрения наблюдателя» движущиеся относительно него
предметы имеют меньшие линейные размеры (в направлении
движения), чем если бы они не двигались. Для объяснения
эффекта обычно приводится такой пример: пусть мимо
неподвижной линейки пролетает стержень с собственной
длиной 1 м. Однако, когда стержень поравняется с линейкой,
неподвижный наблюдатель «увидит», что длина стержня
меньше 1 м.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
16
Аберрация и сокращение размеров
движущихся тел
(2/3)
«Увидеть» предмет можно только с помощью световых
лучей. Рассмотрим параллелный пучок света и выберем
два луча разделенных растоянием r в системе отсчета
движущегося стержня. Другими словами, мы
рассматриваем два события P и Q, взятые в один и тот
же момент времени (t=0 ) по часам стержня и
разделенные чисто пространственным расстоянием r. В
системе отсчета наблюдателя эти же два события не
являются одновременными и разделены интервалом
времени t =v r/c². Пространственное разделение P и
Q в системе отсчета наблюдателя равно r= r.
Интервал в пространстве Минковского (s)²= -c²(t)²+(r)²
= (r)² является инвариантным. Поэтому параллельный
пучок световых лучей, хотя и изменяет направление
движения при переходе от одной ИСО к другой, остатется
параллельным при преобразовании Лоренца, с
«перпендикулярным» расстоянием между лучами
равным расстоянию в покоящейся системе отсчета.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
17
Аберрация и сокращение размеров
движущихся тел
(3/3)
В частности, это означает, что размер
сферы, полученный при её
фотографировании посредством
параллельного пучка лучей, не будет
зависеть от конкретного наблюдателя, и
всегда будет равен размеру сферы на
фотографии, сделанной в системе
покоя сферы, то есть r. Аберрация
изменяет направление пучка лучей.
Фотографическая пластинка должна
быть поставлена так, чтобы лучи света
падали на неё перпендикулярно.
Протяженная двигающаяся сфера
наблюдается как повернутая на
некоторый угол (равный углу
аберрации!); при этом наблюдаемое
поперечное сечение сферы остается
неизменным – то есть Лоренцево
сокращение сферы не наблюдается!
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
Фотография сферы
18
Наблюдаемая форма движущегося куба:
постановка задачи
Куб с ребром l 0 движется со
скоростью v относительно
наблюдателя. Наблюдатель
фотографирует куб в момент,
когда лучи, испущенные кубом,
достигнут фотопластинки
одновременно под прямым углом
к направлению движения. Куб
виден под малым телесным
углом – поэтому пучок лучей
предполагается параллельным.
Какой вид имеет изображение
куба на фото-пластинке?
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
19
Наблюдаемая форма движущегося куба:
решение
Изображение создается квантами света,
которые достигают фотопластинки
одновременно. Эти кванты излучаются
разными частями куба неодновременно по
причине того, что:
1) Свет от разных частей куба проходит разные
геометрические расстояния;
2) События, одновременные в системе отсчета
фото-пластинки, не являются
одновременными в системе отсчета куба.
Свет от ребра Е’F’ проходит расстояние l в
0
дополнение к расстоянию, проходимому
светом от ребра A’B’. Поэтому этот свет
излучен раньше, на время t= l 0 /c, и
изображения рёбер EF и AB не сливаются.
Рёбра AD и BC испытывают лоренцево
сокращение вследствие неодновременности
событий A’ и D’, а также B’ и С’.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
Изображение
куба на фотопластинке (=v/c).
20
Пространство-время как
математическое многообразие
• Многообразием размерности N называется множество точек
удовлетворяющих в окрестности любой из этих точек аксиомам
N-мерного (псевдо)-Евклидова пространства. Таким образом,
любая точка многообразия может рассматриваться как начало
локальной координатной системы.
• Координаты точек, лежащих в окрестности начала локальных
координат, задаются посредством N параметров, непрерывно
изменяющимся от нуля до некоторого максимального значения,
лежащего на границе координатной системы.
• Непрерывное многообразие также предполагается
дифференцируемым, то есть функции, задающие
преобразование координат, являются дифференцируемыми.
• Многообразие отличается от поверхности тем, что поверхость
вложена в пространство большего числа измерений.
Многообразие обладает самодостаточностью, и не требует
вложения в высшие измерения.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
21
Атлас многообразия
x
y
Локальные
координаты
Локальные
координаты
y
( y , y ,..., y )
1
2
n
x ( x , x ,..., x )
1
2
n
Локальные
координаты
z
( z , z ,..., z )
1
2
n
x
z
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
z
y
22
Тензоры
Физические законы не должны зависеть
от выбора локальных координат и
закона их преобразования. По этой
причине Эйнштейн сформулировал
законы теории относительности в
ковариантной форме с помощью
тензорного анализа.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
23
Тензорный закон
преобразования
Тензор определяется как геометрический
объект, который описывается многомерным
набором функций – компонент тензора. При
замене системы координат компоненты
тензора преобразуются по линейному закону.
Зная компоненты тензора в одной системе,
всегда можно вычислить его компоненты в
другой, если задана матрица преобразования
системы координат.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
24
Ньютоновская гравитация: чем процесс падения
яблока отличается от процесса «падения» Луна
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
25
Лифт движется
«вверх» с
ускорением
ПринципПринцип
эквивалентности
эквивалентности
Не существует способа различить
состояние прямолинейного движения
с постоянным ускорением от состояния
покоя в постоянном и однородном
гравитационном поле
Лифт находится
в покое в
гравитационном
поле
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
26
Равенство инертной и
гравитационной масс
mi a m g g
Инертная масса
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
Гравитационная масса
27
Экспериментальное доказательство
принципа эквивалентности
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
28
Метрический тензор
•
Метрический тензор, совокупность величин, определяющих геометрические
свойства пространства (его метрику). В общем случае риманова пространства n
измерений метрика определяется заданием квадрата расстояния ds² между двумя
бесконечно близкими точками:
Двойную сумму часто не пишут,
подразумевая правило суммирования
Эйнштейна.
•
•
Совокупность величин
образует тензор второго ранга, который и называется
метрическим тензором. Этот тензор симметричен. Вид компонент
зависит от
выбора системы координат, однако ds² не меняется при переходе от одной
координатной системы к другой, то есть является инвариантом относительно
преобразований координат.
В каждой точке пространственно-временного четырехмерного многообразия
метрический тензор может быть приведен к диагональному виду и отнормирован к
метрике Минковского:
1
0
diag - 1, 1, 1, 1 0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
0 0 0 1 29
Измерение длин и углов при помощи метрики
•
На Римановом многообразии, длина L сегмента кривой, заданной параметрически как
вектор-функция параметра t вдоль кривой, равна:
•
Угол между двумя векторами,
и
, определен в касательном
пространстве c положительно-определенной метрикой формулой
•
В пространстве Минковского с псевдо-эвклидовой метрикой квадрат длины вектора может
быть положительным (пространственно-подобный вектор); равен нулю (изотропный или
нулевой вектор), или быть отрицательным (времени-подобный вектор).
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
30
Углы в релятивистской астрометрии
Мировая линия
наблюдателя
Наблюдател
ь движется со скоростью
V
α
γ 1,V / c .
Фотоны двигаются
1 1,k1
от звезды 1 в направлени и k 1
и от звезды 2 в направлени и k 2 2 1 , k 2 , где 1 и 2
время
пространство
обозначают
частоту света . Эти два напрвления
проектирую
тся на пространст во, ортогональ ное мировой
линии наблюдател я, с помощью
P
g
V V
, где g
оператора
проекции
- метрика пространст ва - времени.
Угол между двумя звездами на небесной сфере
определяет ся формулой
cos :
P k 1 k 2
P k 1 k 1
P k 2 k 2
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
V
P k 1 k 2
k1
V
k2
31
Движение пробных частиц
Пробные частицы двигаются вдоль геодезических мировых линий,
которые всегда располагаются либо внутри , либо на поверхности
нулевого конуса. Уравнение геодезической линии:
где
- символы Кристоффеля, s – афинный параметр вдоль
геодезической. Символы Кристоффеля физически эквивалентны
гравитационной силе, действующей на частицу. В локальноинерциальной системе координат все символы Кристоффеля
обращаются в нуль, гравитационная сила отсутствует, и частица
двигается вдоль прямой линии без ускорения. Это проявление
принципа эквивалентности, который справедлив в ОТО. В
альтернативных теориях гравитации принцип эквивалентности может
нарушаться.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
32
Связь метрического тензора и
символов Кристоффеля
Метрический тензор не изменяется при параллельном переносе
вдоль кривой, то есть его ковариантная производная равна нулю.
Это следствие двух условий паралелльного переноса:
– Длина вектора сохраняется
– Кручение отсутствует (символ Кристоффеля симметричен по
двум нижним индексам: )
Вычисляя ковариантную производную, и приравнивая её нулю,
получаем:
1
2
g
g g g x
x
x
Так как символы Кристоффеля характеризуют гравитационную
силу, отсюда следует, что метрический тензор играет роль
гравитационного потенциала.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
33
Кривизна
Кривизна пространства-времеи характеризуется тензором
Римана, который выражается через первые и вторые
производные метрического тензора
R
x
x
R R R R R R R R 0
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
34
Уравнения Эйнштейна
• Метрический тензор гравитационный потенциал
• Афинная связность гравитационная сила
• Принцип эквивалентности правило ковариантного
дифференцирования
1
g
2
g g g x
x
x
•Уравнения гравитационного поля
R
(R 1
2
1
2
R 8 G
c
4
R) 0 T
T
0
Распределение вещества
Определяет кривизну
пространства-времени
Кривизна определяет
Закон движения вещества
Линеаризованная гравитация
g h
1
2
h h h x
x x
Гармоническая (Лоренцева) калибровка
h
x
1 h
2 x
0
Линеаризованные уравнения Эйнштейна
1 2
2
2
c t
2
16 G
h 4
c
1 T T 2
Документ
Категория
Презентации по физике
Просмотров
15
Размер файла
726 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа