close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Многогранники

код для вставкиСкачать
Платоновы тела
Архимедовы тела
Тела Кеплера-Пуансо
Великий древнегреческий ученый
Платон, живший в IV-V вв. до н. э.
Выпуклый многогранник
называется правильным, если
все его грани равные правильные
многоугольники и, кроме того, в
каждой вершине сходится
одинаковое число ребер.
Тетраэдр
а – ребро многогранника;
Г – количество граней – 4;
N1 - количество ребер в каждой гране– 3;
N2 - количество ребер в каждой вершине – 3;
В - количество вершин – 4;
Р – общее количество ребер – 6;
Площадь поверхности S a 3 ;
Объём V a 12 2
;
Радиус описанной окружности
;
Радиус вписанной окружности r a126 .
2
3
R a 6
4
Гексаэдр (правильный шестигранник - куб)
а – ребро многогранника,
Г – количество граней - 6;
N1 - количество рёбер в каждой гране – 4;
N2 – количество граней в каждой вершине – 3;
В – количество вершин – 8;
Р – общее количество рёбер – 12;
Площадь поверхности
;
2
S 6a
Объём
;
3
V a
Радиус описанной окружности R a 3 ;
2
Радиус вписанной окружности
.
a
r 2
Октаедр (правильный восьмигранник)
а – ребро многогранника;
Г – количество граней – 4;
N1 - количество ребер в каждой гране– 3;
N2 - количество ребер в каждой вершине – 3;
В - количество вершин – 4;
Р – общее количество ребер – 6;
Площадь поверхности S 2 a 2; 3
a 2
Объём;
V a 2
R 3
Радиус описанной окружности
2 ;
a 6
Радиус вписанной окружности r .
3
6
.
Додекаэдр (правильный двенадцатигранник)
а – ребро многогранника,
Г – количество граней - 12;
N1 – количество граней в каждой вершине – 5;
N2 - количество рёбер в каждой вершине – 3;
В – количество вершин – 20;
Р – общее количество рёбер – 30;
Площадь поверхности S 3 a 2 25 10 ;5
1
Объём V 4 a (15 7 ;5 )
Радиус описанной окружности r a 250 20 110; 5
Радиус вписанной окружности R a 3 (1 5 ) .
3
4
Икосаэдр (правильный двадцатигранник)
а – ребро многогранника,
Г – количество граней - 12;
N1 – количество граней в каждой вершине – 5;
N2 – количество рёбер в каждой вершине – 3;
В – количество вершин – 20;
Р – общее количество рёбер – 30;
Площадь поверхности S 5 a 2 ; 3
Объём V 5 a (3 5;)
12
Радиус описанной окружности R a 10 4 2 5 ;
Радиус вписанной окружности r a 3 ( 3 5 ) .
3
12
У правильных многогранников есть
ещё одна особенность
Если считать центры
граней тетраэдра
вершинами нового
многогранника, то вновь
получим тетраэдр.
Центры граней куба образуют октаэдр.
Центры граней октаэдра образуют куб
Центры граней додекаэдра образуют икосаэдр
Центры граней икосаэдра образуют додекаэдр
Открытие тринадцати полуправильных
многогранников приписывается Архимеду
Из правильных многогранников (Платоновы тела)
можно получить так называемые полуправильные
многогранники, или Архимедовы тела. Гранями их
являются также правильные, но разноимённые
многоугольники.
Относительно недавно (в конце 50-х
- начале 60-х годов XX века)
несколько математиков практически
одновременно, независимо друг от
друга указали на существование еще
одного, ранее неизвестного
полуправильного выпуклого
многогранника псевдоромбокубоктаэдра. Однако не
все специалисты согласны с
причислением этого многогранника к
архимедовым телам.
.
Тела Архимеда получаются из правильных многогранников с помощью
операции (усечения), и они тоже являются выпуклыми многогранниками. А
продолжение их граней и рёбер позволяет получить звёздчатые
многогранники, которые являются не выпуклыми. Их ещё называют телами
Кеплера-Пуансо
Было
предложение
Кеплера
рассматривать
невыпуклые
многогранники со звёздчатыми гранями, подобными пентаграмме и
последовавшее за этим открытие двух правильных невыпуклых
однородных многогранников - малого звездчатого додекаэдра и
большого звездчатого додекаэдра. Поэтому эта группа многогранников
носит название тела Кеплера - Пуансо.
Вклад Кеплера (1571-1630гг) в теорию многогранника – это, вопервых,
восстановление
математического
содержания
утерянного трактата Архимеда о полуправильных выпуклых
однородных
многогранниках.
Весьма
оригинальна
космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался
связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами
правильных многогранников.
Он был открыт Леонардо Да
Винчи, затем спустя почти 100
лет
переоткрыт
Иоганном
Кеплером и назван им (звезда
восьмиугольная). У октаэдра
есть только одна звездчатая
форма. Её можно рассматривать
как соединение двух тетраэдров.
Большой
звездчатый
додекаэдр
принадлежит к семейству тел КеплераПуансо, то есть правильных невыпуклых
многогранников. Грани большого звездчатого
додекаэдра – пентаграммы, как и у малого
звездчатого додекаэдра. У каждой вершины
соединяются три грани. Вершины большого
звездчатого
додекаэдра
совпадают
с
вершинами описанного додекаэдра.
Большой звездчатый додекаэдр был
впервые описан Кеплером в 1619 г. Это
последняя звездчатая форма правильного
додекаэдра.
Икосаэдр имеет 20 граней. Если каждую
из них продолжить неограниченно, то
тело
будет
окружено
великим
многообразием
отсеков-частей
пространства, ограниченных плоскостями
граней. Все звёздчатые формы икосаэдра
можно
получить
добавлением
к
исходному телу таких отсеков. Не считая
самого икосаэдра, продолжения его
граней
отделяют от пространства
20+30+60+120+20+60+12+30+60+60
отсеков десяти различных форм и
размеров. Большой икосаэдр состоит из
всех этих кусков, за исключением
последних шестидесяти.
Икосододекаэдр имеет 32 грани, из
которых 12 являются правильными
пятиугольными гранями, а остальные 20 –
правильные треугольники. Что касается
вопроса о том, могут ли получившиеся
многогранники оказаться правильными, то
на него давно получен ответ. Великий
математик Каши ещё в 1811 году доказал,
что список правильных многогранников
исчерпывается
пятью
Платоновыми
телами
вкупе
с
четырьмя
многогранниками Кеплера - Пуансо.
Задача. С помощью семи кубов,
образующих пространственный "крест",
постройте ромбододекаэдр и покажите, что
ими можно заполнить пространство.
Решение. Кубами можно заполнить пространство.
Рассмотрим часть кубической решетки, изображенной на
рис.. Средний куб оставим нетронутым, а в каждом из
"окаймляющих" кубов проведем плоскости через все шесть
пар противолежащих ребер. При этом "окаймляющие" кубы
разобьются на шесть равных пирамид с квадратными
основаниями и боковыми ребрами, равными половине
диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому
кубу, и образуют вместе с последним ромбический
додекаэдр. Отсюда ясно, что ромбическими додекаэдрами
можно заполнить все пространство. Как следствие получаем,
что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному
объему куба, ребро которого совпадает с меньшей
диагональю грани додекаэдра.
1. Докажите, что если диагональ куба и
диагональ его грани не проходят через
одну вершину, то они взаимно
перпендикулярны.
2. В вершине А куба сходятся, очевидно, три
грани. В каждой из них мы отмечаем
вершину, противоположную вершине А.
Получим точки В, С, Б. Чему равен объем
тетраэдра АВСЮ, если объем куба равен
и?
3. Дубовую треугольную пирамиду распилили
на два куска. Плоскость среза отсекает на
одном боковом ребре 1/4 ребра (считая от
вершины), на другом -1/3 (считая от той же
вершины), на третьем -1/2. Во сколько раз
меньший из полученных кусков легче всей
пирамиды (весом опилок пренебречь)?
4. а) Как провести плоскость, чтобы в сечении
ею правильного тетраэдра образовался
квадрат? б) сколько можно провести таких
плоскостей?
Свойства этих многогранников изучали
ученые и священники; их модели можно
увидеть в работах архитекторов и
ювелиров, им приписывались различные
магические и целебные свойства.
Музей Плодов в Яманаши Ицуко Хасегава
Великая пирамида в Гизе
Великие пирамиды в Гизе
Александрийский маяк
Фаросский маяк
Один из Японских музеев
Альбрехт Дюрер «меланхолия»
Ромбоидальный или
ромбический додекаэдр – это
двенадцатигранник, гранями
которого являются ромбы.
Форму этого многогранника
придумал не сам человек, а
создала сама природа в виде
кристалла граната.
1. Имеется березовая треугольная пирамида весом в
1 кг. Срезом, параллельным основанию, от нее
отпилили пирамиду весом в а кг. От оставшейся
затем усеченной пирамиды срезом, проходящим
через вершину меньшего основания и
противоположную сторону большего основания,
отпилили еще один кусок — тот, который
примыкает к меньшему основанию. Докажите,
что оба отпиленных куска вместе весят і а кг.
2. Имеется тетраэдр, у которого противоположные
ребра равны между собой. Вы измерили только
боковые ребра. Как вычислить объем тетраэдра?
3. Основанием пирамиды с равными боковыми
ребрами служит прямоугольник, стороны
которого равны 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды
равна 2 дм. Вычислите площадь сечения,
проведенного через диагональ основания
параллельно боковому ребру.
4. Из куба выточен наибольший шар. Сколько
процентов материала сточено?
1) Сегодня на занятии мне больше всего
понравилось …
2) Сегодня на занятии я повторил …
3) Сегодня на занятии я узнал нового ...
4) Наиболее трудным для меня было...
5) Завтра, я буду успешней потому что …
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
220
Размер файла
4 782 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа