close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сравнение характеристик фрактальных структур

код для вставкиСкачать
Павел Гусев
О работе
Выход
Сравнение
характеристик
фрактальных
структур
Содержание
Содержание
I. «Введение»
II. «Фракталы»
III. «Фрактальный треугольник»
IV. «Салфетка Серпинского»
V. «Пирамида Серпинского»
VI. «Правильный фрактальный
треугольник»
VII. «Заключение»
VIII. «Список использованной
литературы»
Вступление
Важным свойством фракталов является их
самоподобие. Это буквально означает, что структура
фрактала в одном масштабе подобна его структуре в
другом, большем масштабе. Иными словами, если
увеличить в какое-то число раз любой элемент
фрактальной структуры, то можно получить элемент
структуры того же фрактала. Это свойство очевидно
для точных фракталов, по одному классу которых и
проведено исследование.
Содержание
«Все формы похожи
И ни одна не одинакова с другой;
И так весь хор их
Указывает на тайный закон»
И. В. Гете
Обычно, изучение свойств фрактальных объектов
осуществляется методами высшей математики(теория
чисел, теория катастроф и др.). Авторами настоящего
исследования удалось изучить свойства фрактальных
объектов
методами
элементарной
математики.
В данной работе авторы проводят исследование с
целью сравнения характеристик фрактальных структур и
нахождения формул для вычисления этих характеристик
(объема и площади поверхности правильной фрактальной
пирамиды n-ого порядка, объема, площади поверхности и
суммы ребер пирамиды Серпинского; площади и периметра
правильного фрактального треугольника и салфетки
Серпинского),
а
также
приводят
результаты
соответствующих
численных
экспериментов
с
использованием
найденных
формул.
Содержание
Шаги достижения цели
1.Нахождение формул для вычисления
значений некоторых свойств
фрактальных объектов
2.Проведение численных
экспериментов.
3.Физическое моделирование
фрактальных структур.
Содержание
Определение фрактала:
“Фракталом называется структура,
состоящая из частей, которые в
каком-то смысле подобны целому”.
Б. Мандельброт
Содержание
«Снежинка Коха»
4 порядок
Содержание
«Фрактальное моделирование
природного объекта»
Содержание
«Салфетка Серпинского»
Содержание
«Пирамида Серпинского»
Содержание
Определение
фрактального треугольника:
«Фрактальным треугольником
называется равносторонний
треугольник, на сторонах которого
рекурсивным повторением
образуются равносторонние
треугольники, длины сторон
которых относятся к длине стороны
предыдущего треугольника как 1/3.»
Содержание
«Вычисление площади и периметра
правильного фрактального
треугольника»
Площадь и периметр правильного
фрактального треугольника нулевого порядка
Площадь и периметр треугольника
первого порядка
Содержание
Площадь и периметр треугольника
второго порядка
Содержание
Площадь и периметр треугольника
третьего порядка
Содержание
Площадь и периметр треугольника
четвертого порядка
Содержание
Площадь и периметр
фрактального треугольника nой степени:
Содержание
Авторы построили контуры фрактальных треугольников от 1-го
до 4-го порядка, вывели аналитическую зависимость площади и
периметра фрактального треугольника от его порядка,
произвели расчеты по вышеприведенным формулам на языке
программирования Паскаль и в среде электронных таблиц.
Получили графическую зависимость площади и периметра
фрактального треугольника от его порядка.
Вывод: площадь фрактального треугольника есть сумма
убывающей геометрической прогрессии (со знаменателем
q=4/9), и она конечна, что видно на графике. Периметр
фрактального треугольника – сумма возрастающей
геометрической прогрессии (со знаменателем q=4/3), и с
возрастанием номера порядка она также возрастает.
Содержание
Результаты вычислений, полученные с помощью
программы
написанной на языке Pascal и расчета,
выполненного с применением электронной
таблицы
Результаты вычислений, полученные с помощью
программы, написанной на языке Pascal
0
1
2
3
4
5
Площадь 0.433 0.577
0.642
0.670
0.683
0.688
Периметр 3.000 4.000
5.333
7.111
9.481
12.642
Результаты вычислений в электронных таблицах
Площадь 0.433 0.577
0.642
0.670
0.683
0.688
Периметр 3.000 4.000
5.333
7.111
9.481
12.642
Содержание
«График, иллюстрирующий
зависимость площади фрактального
треугольника от его порядка»
Содержание
«График, иллюстрирующий
зависимость периметра фрактального
треугольника от его порядка»
Содержание
‹ № порядок
0
1
2
3
4
‹ № порядок
0
1
2
3
4
S(площадь)
фрактального
треугольника
0.433
0.577
0.642
0.670
0.683
P(периметр)
фрактального
треугольника
3.000
4.000
5.333
7.111
9.481
S окружности
1.0471975512
Длина окружности
3.627598728
Площадь и периметр
«Салфетки Серпинсокого»
Содержание
Площадь и периметр «Салфетки
Серпинсокого» нулевого порядка
Содержание
Площадь и периметр «Салфетки
Серпинсокого» первого порядка
Содержание
Площадь и периметр «Салфетки
Серпинсокого» второго порядка
Содержание
Площадь и периметр «Салфетки
Серпинсокого» третьего порядка
Содержание
Площадь и периметр «Салфетки
Серпинсокого» четвертого порядка
Содержание
Площадь и периметр «Салфетки
Серпинсокого» n-ого порядка
Содержание
Результаты вычислений, полученные с
помощью программы
написанной на языке Pascal и расчета,
выполненного с применением
электронной таблицы
Результаты вычислений, полученные с помощью программы, написанной на языке
Pascal
0
1
Площадь 0.866025403 0.64951905
Периметр 3
4.5
Расчеты, выполненные
Площадь 0.866025403 0.64951905
Периметр 3
4.5
Содержание
2
3
4
0.48713928 0.36535446 0.27401585
6.75
10.125
15.1875
с применением электронных таблиц
0.48713928 0.36535446 0.27401585
6.75
10.125
15.1875
5
0.20551188
22.78125
0.20551188
22.78125
«График, иллюстрирующий зависимость
площади «Салфетки Серпинского» от ее
порядка»
0.9000 000
èÓ¾½‰ÓÍ:
0.8000 000
0.7000 000
è
Î
Ó
×
‡
‰
¸
:
0.6000 000
0.5000 000
0.4000 000
0.3000 000
0.2000 000
0.1000 000
0.0000 000
0
Содержание
10
20
èÓ¾½‰ÓÍ:
30
«График, иллюстрирующий зависимость
периметра «Салфетки Серпинского» от ее
порядка»
600 000.00
燷Ӿ 1
500 000.00
400 000.00
300 000.00
200 000.00
100 000.00
0.00
0
Содержание
10
20
30
Авторы построили контуры «Салфетки Серпинского» от 1-го до
4-го порядка, вывели аналитическую зависимость площади и
периметра «Салфетки Серпинского» от ее порядка, произвели
расчеты по вышеприведенным формулам на языке
программирования Паскаль и в среде электронных таблиц.
Авторы получили зависимость площади и периметра
«Салфетки Серпинского» от его порядка.
Вывод: площадь «Салфетки Серпинского» – есть убывающая
геометрическая прогрессия (со знаменателем q=3/4), и она
стремится к нулю при неограниченном увеличении порядка,
что видно на графике. Периметр «Салфетки Серпинского» –
возрастающая геометрическая прогрессия (со знаменателем
q=3/2), и с возрастанием номера порядка она также возрастает.
Содержание
Площадь поверхности, объем и
длина ребер
«Пирамида Серпинского»
Содержание
Площадь поверхности, объем и
длина ребер
«Пирамиды Серпинского»
нулевого порядка
Содержание
Объем и длина ребер
«Пирамиды Серпинского»
первого порядка
Содержание
Объем и длина ребер
«Пирамиды Серпинского»
второго порядка
Содержание
Объем и длина ребер
«Пирамиды Серпинского»
третьего порядка
Содержание
Объем и длина ребер
«Пирамиды Серпинского»
четвертого порядка
Содержание
Объем и длина ребер
«Пирамиды Серпинского»
n-ого порядка
Содержание
Результаты вычислений, полученные с
помощью программы написанной на языке
Pascal и расчета, выполненного с
применением электронной таблицы
Результаты вычислений, полученные с помощью программы,
написанной на языке Pascal
0
1
2
3
4
5
Сумма 6
12
24
48
96
192
ребер
Объем 0.11785113 0.05892556 0.02946278 0.01473139 0.00736569 0.00368284
Расчеты, выполненные с применением электронных таблиц
Сумма 6
12
24
48
96
192
ребер
Объем 0.11785113 0.05892556 0.02946278 0.01473139 0.00736569 0.00368284
Содержание
График, иллюстрирующий зависимость
объема
«пирамиды Серпинского» от её порядка
0.1200 0000
èÓ¾½‰ÓÍ:
0.1100 0000
0.1000 0000
0.0900 0000
é
·
Ý
Â
Ï
:
0.0800 0000
0.0700 0000
0.0600 0000
0.0500 0000
0.0400 0000
0.0300 0000
0.0200 0000
0.0100 0000
0.0000 0000
0
20
10
èÓ¾½‰ÓÍ:
Содержание
30
График, иллюстрирующий зависимость
длины ребер
«пирамиды Серпинского» от её порядка
600 00000 .0 0
èÓ¾½‰ÓÍ:
ë
500 00000 .0 0
Û
Ï
Ï 400 00000 .0 0
‡
300 00000 .0 0
¾
Â
· 200 00000 .0 0
Â
¾ 100 00000 .0 0
:
0.00
0
10
20
èÓ¾½‰ÓÍ:
Содержание
30
Авторы построили контуры «Пирамиды Серпинского» от 1го до 4-го порядка, вывели аналитическую зависимость
объема и суммы длин ребер «Пирамиды Серпинского» от ее
порядка, произвели расчеты по вышеприведенным формулам
на языке программирования Паскаль и в среде электронных
таблиц. Авторы получили зависимость объема и суммы длин
ребер « Пирамиды Серпинского» от его порядка.
Вывод: объем «Пирамиды Серпинского» есть сумма
убывающей геометрической прогрессии (со знаменателем
q=1/2), и она конечна, что видно на графике. Периметр
«Пирамиды Серпинского» – сумма возрастающей
геометрической прогрессии (со знаменателем q=2), и с
возрастанием номера порядка она также возрастает.
Содержание
Определение правильной
фрактальной пирамиды
‘‘Правильной фрактальной пирамидой
мы будем считать правильную
пирамиду (тетраэдр), на внешних
поверхностях которой создаются
также правильные пирамиды
(тетраэдры), длины ребра которой
относятся к длине ребра предыдущей
пирамиды как 1/2. ’’.
Содержание
Правильная фрактальная
пирамида нулевого порядка
(тетраэдр)
Тетраэдр — многогранник с
четырьмя треугольными
гранями, в каждой вершин
которого сходятся по 3 грани. У
тетраэдра 4 грани, 4 вершины
и 6 рёбер. У правильного
тетраэдра все грани являются
равносторонними
треугольниками, все
двугранные углы при рёбрах и
все трёхгранные углы при
вершинах равны.
Содержание
Правильная фрактальная
пирамида первого порядка
(звездчатый октаэдр)
Звездчатый октаэдр или «продолженный
октаэдр» был открыт Леонардо да
Винчи и переоткрыт через 100 лет
И.Кеплером и назван им «Stella
octangula» - звезда восьмиугольная.
Этот многогранник встречается в природе
в виде двойного сросшегося
кристалла, можно представить себе
как объединение двух
пересекающихся правильных
тетраэдра.
Содержание
Правильная фрактальная
пирамида
второго порядка
Содержание
Правильная фрактальная
пирамида
третьего порядка
Содержание
Правильная фрактальная
пирамида
четвертого порядка
Содержание
Площадь поверхности и объем
правильной фрактальной пирамиды
нулевого порядка(тетраэдр)
S0 =
V0 =
Содержание
a
a
3
2
2
2
2
3
*3
- 1
Площадь поверхности и объем
правильной фрактальной пирамиды
первого порядка(октаэдр)
S1 =
V1 =
Содержание
3 2
a
2
V0+
3
a3
2
22
*3-
1
*2-
1
Площадь поверхности и объем
правильной фрактальной пирамиды
второго порядка
S2 =
V2 =
Содержание
V1 +
9 2
a
4
a3
2
22
3
*3 0 *2-
3
Площадь поверхности и объем
правильной фрактальной пирамиды
третьего порядка
S3 =
V3 =
Содержание
27 2
a
8
V2 +
a3
3
2
22
*3 1 *2-
5
Площадь поверхности и объем
правильной фрактальной пирамиды
четвертого порядка
S4 =
V4 =
Содержание
81 2
a
16
V3 +
a3
3
2
22
*3 2 *2-
7
Площадь поверхности и объем
правильной фрактальной пирамиды
n-ого порядка
n
Sn =
Содержание
3 2
n a
2
3
Результаты вычислений, полученные с
помощью программы
написанной на языке Pascal и расчета,
выполненного с применением
электронной таблицы
Результаты вычислений, полученные с помощью программы,
написанной на языке Pascal
0
1
2
3
4
5
Объем
0.1179 0.1768
0.2210
0.2541
0.2790
0.2976
Площадь
1.7321 2.5981
3.8971
5.8457
8.7685
13.1528
поверхности
Расчеты, выполненные с применением электронных таблиц
Объем
0.1179 0.1768
0.2210
0.2541
0.2790
0.2976
Площадь
1.7321 2.5981
3.8971
5.8457
8.7685
13.1528
поверхности
Содержание
График, иллюстрирующий зависимость объема
правильной фрактальной пирамиды от её порядка
Содержание
График, иллюстрирующий зависимость площади
поверхности
правильной фрактальной пирамиды от её порядка:
Содержание
№ порядка
S (площадь поверхности)
фрактальной пирамиды
S(площадь
поверхности)
сферы
0
1.732050807569
4.71
1
2.598076211353
2
3.89711431703
3
5.845671475545
4
8.768507213317
5
13.15276081998
6
19.72914122996
7
29.59371184495
Содержание
№ порядка
V(объем)
фрактальной
пирамиды
0
0.117851130198
1
0.176776695297
2
0.220970869121
3
0.254116499489
4
0.278975722265
5
0.297620139347
6
0.311603452159
7
0.322090936767
Содержание
V сферы
0.961424724042
Сравнение объемов куба и
фрактальной пирамиды, вписанной в
него.
Содержание
V куба
№ порядка
V(объем)
фрактальной
пирамиды
0
1
2
3
4
5
6
7
0.117851130198 0.35355339
0.176776695297
0.220970869121
0.254116499489
0.278975722265
0.297620139347
0.311603452159
0.322090936767
Содержание
№ порядка
S (площадь
поверхности)
фрактальной
пирамиды
S(площадь
поверхности)
куба
0
1.732050807569
3
1
2.598076211353
2
3.89711431703
3
5.845671475545
4
8.768507213317
5
13.15276081998
6
19.72914122996
7
29.59371184495
Содержание
Вывод: Объем правильной фрактальной
пирамиды есть сумма элементов убывающей
геометрической прогрессии и эта сумма
конечна, что видно на графике.
Площадь поверхности правильной
фрактальной пирамиды есть возрастающая
геометрическая прогрессия, и с возрастанием
номера порядка пирамиды она тоже
возрастает, что также продемонстрировано
на графике.
Содержание
Заключение
Авторами
проанализированы
некоторые
свойства двумерных и трехмерных фрактальных
объектов,
для
чего
ими
были
выведены
аналитические зависимости некоторых свойств
фрактальных объектов значений до некоторого
порядка. Расчеты и графики, выполненные
авторами на основе выведенных аналитических
зависимостей,
показывают
сходимость
и
расходимость
значений
некоторых
свойств
фрактальных объектов. Результаты, полученные
авторами,
представляют
несомненный
теоретический и практический интерес.
Содержание
Список использованной литературы:
1. Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко., Колебания, волны, структуры,
МОСКВА: Физмалит, 2001
2. Пайтген Х.О.,Рихтер П.Х.,Красота фракталов, МОСКВА, МИР, 1993
3. Федер Е., Фракталы, Москва, МИР, 1991
4.А. Дмитриев. Хаос. Фракталы и информация. Наука и жизнь.
№5, 2001, стр. 44
5. Жиков. В.В. Фракталы, «Соросовский Образовательный журнал».
№12, 1996, стр. 109
6. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические
формулы, Минск, Вышэйшая школа, 1995
7. Колмогоров А.Н., Новиков С.П. Теория систем. Математические
методы и моделирование, М., Мир, 1989
8. Шредер М, «Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из
бесконечности рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная хаотическая динамика »,
2005, 528 стр
9. И. Н. Смирнова, «В мире многогранников» 1992, Просвещение
Содержание
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
60
Размер файла
3 874 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа