close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Симметрия многогранников

код для вставкиСкачать
Правильные многогранники.
Симметрия в пространстве.
«Симметрия…есть идея, с помощью
которой человек веками пытался
объяснять и создавать порядок,
красоту и совершенство»
( Герман Вейль)
Многогранник- геометрическое тело, ограниченное со всех
сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями.
Стороны граней называются ребрами многогранника. По
числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и
т. д.
Многогранник называется правильным, если:
-он выпуклый
-все его грани являются равными правильными
многоугольниками
-в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.
Существует пять типов правильных многогранников. Эти
многогранники и их свойства были описаны более двух
тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем
и объясняется их общее название.
Каждому правильному многограннику соответствует другой
правильный многогранник с числом граней, равным числу
вершин данного многогранника. Число ребер у обоих
многогранников одинаково.
Закон взаимности
4
В каждой вершине многогранника должно сходиться столько
правильных n – угольников, чтобы сумма их углов была меньше
0
0
360 .
Т.е
должна выполняться формула βk < 360 ( βградусная мера угла многоугольника, являющегося гранью
многогранника, k – число многоугольников, сходящихся в одной
вершине многогранника.)
название
β
k
Сумма плоских углов
тетраэдр
60
3
180
октаэдр
60
4
240
икосаэдр
60
5
300
гексаэдр
90
3
270
додекаэдр
108
3
324
5
Выводы:
Многогранник называется правильным, если:
Он выпуклый;
Все его грани равные правильные
многоугольники;
В каждой вершине сходится одно число
граней;
Все его двугранные углы равны.
6
Тетраэдр - правильный четырехгранник. Он
ограничен четырьмя равносторонними
треугольниками (это – правильная треугольная
пирамида).
ППространственная
теорема Пифагора
Если все плоские углы при одной из вершин
тетраэдра- прямые, то квадрат площади грани,
противолежащей этой вершине, равен сумме
квадратов площадей остальных граней.
Гексаэдр - правильный
шестигранник. Это куб
состоящий из шести равных
квадратов
Октаэдр - правильный
восьмигранник. Он состоит
из восьми равносторонних и
равных между собой
треугольников, соединенных
по четыре у каждой
вершины.
Додекаэдр - правильный
двенадцатигранник, состоит
из двенадцати правильных и
равных пятиугольников,
соединенных по три около
каждой вершины.
Икосаэдр - состоит из 20
равносторонних и равных
треугольников, соединенных
по пять около каждой
вершины.
Если все грани — правильные р-угольники и q из них
примыкают к каждой вершине, то такой правильный
многогранник обозначается {p,q} .Это обозначение было
предложено Л.Шлефли (1814-1895г.р.), швейцарским
математиком, которому принадлежат не мало изящных
результатов в геометрии и математическом анализе.
Название
Запись
Шлефли
Число
вершин
N0
Число ребер
N1
Число
граней
N2
Тетраэдр
{3,3}
4
6
4
Куб
{4,3}
8
12
6
Октаэдр
{3,4}
6
12
8
Икосаэдр
{3,5}
12
30
20
Додекаэдр
{5,3}
20
30
12
Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках
был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (17071783), который без преувеличения «поверил алгеброй
гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между
числом вершин, ребер и граней выпуклого
многогранника, доказательство которой Эйлер
опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской
академии наук», окончательно навела
математический порядок в многообразном мире
многогранников.
Вершины + Грани - Рёбра = 2.
Рассматривая таблицу, можно заметить интересное
соотношение между числом вершин N0, числом рёбер
N1 и числом граней N2 любого выпуклого
правильного многогранника {p,q} .Речь идёт о
соотношении N0 - N1 +N2= 2, которое называется
«формулой Эйлера». Левая часть этой формулы
называется «эйлеровой характеристикой».
Полуправильные многогранники или Архимедовы тела — выпуклые,
многогранники обладающие двумя свойствами:
-Все грани являются правильными многогранниками двух или более типов
(если все грани — правильные многоугольники одного типа, это -правильный
многогранник);
-Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть
движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в
другую.
Двойственные к полуправильным многогранникам, так называемые
Каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и
правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют
полуправильными многогранниками.
Первое построение полуправильных многогранников приписывается, Архимеду
хотя соответствующие работы утеряны.
Существует две бесконечные последовательности полуправильных
многогранников — правильные призмы и антипризмы. Кроме них, существует
13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не
являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы.
Соответственно, существует 13 каталановых тел.
Усечённый
тетраэдр
Усечённый
додекаэдр
Усечённый
куб
Усечённый
октаэдр
Усечённый
икосаэдр
Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и
правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют
звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая
пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем
получать звездчатые многогранники.
Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней
октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по
отношению к октаэдру. Это малые тетраэдры, основания которых
совпадают с гранями октаэдра. Его можно рассматривать как
соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых
совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого
октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются
диагоналями граней (квадратов) этого куба. Дальнейшее продление
граней октаэдра не приводит к созданию нового многогранника.
Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый
многогранник был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя 100 лет
переоткрыт Иоганом Кеплером (1571-1630) в 1619 году, и назвал его
stella octangula - восьмиугольная звезда.
Малый звездчатый додекаэдр - звездчатый
додекаэдр первого продолжения. Он образован
продолжением граней выпуклого додекаэдра до
их первого пересечения.
Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует
правильный звездчатый пятиугольник. Пересекающиеся
плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые
"куски", внешние по отношению к додекаэдру. Это двенадцать
правильных пятиугольных пирамид, основания которых
совпадают с гранями додекаэдра. При дальнейшем продолжении
граней до нового пересечения образуется средний звездчатый
додекаэдр - звездчатый додекаэдр второго продолжения.
Последней же звездчатой формой правильного додекаэдра
является звездчатый додекаэдр третьего продолжения - большой
звездчатый додекаэдр. Он образован продолжением граней
звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового
пересечения.
Симметрией в геометрии называют способность
фигур к отображению. В переводе с
древнегреческого это слово обозначает
«соразмерность». Существует несколько видов
симметрии — зеркальная, лучевая, центральная,
осевая. На практике симметричные построения
применяются в архитектуре, дизайне и многих
других отраслях.
Основной интерес к правильным многогранникам вызывает
большое число симметрий, которыми они обладают. Под
симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника
мы понимаем такое его движение как твердого тела в
пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой,
отражение относительно некоторой плоскости и т.д .), которое
оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней
многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования
симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое
исходное положение, либо переводится в исходное положение
другой вершины, другого ребра или другой грани.
Рассматривается 3 случая
расположения центра
симметрии:
•центр вне фигуры;
•центр внутри фигуры;
•центр – точка данной
фигуры.
Практическая работа
Ж У Н Г О
Ш
Б
П Т
Распределите по видам симметрии.
Определение
Зеркальной симметрией (симметрией относительно
плоскости ) называется такое отображение
пространства на себя, при котором любая точка М
переходит в симметричную ей относительно этой
плоскости точку М1.
М
ММ
М
м
М
К
К
ОО
К1
М1М
ОМ=ОМ1 ; ММ1 М1
МК=М1К1
Фигуры, симметричные
относительно плоскости
Фигура ( тело) называется симметричной относительно
некоторой плоскости, если эта плоскость разбивает
фигуру на две равные симметричные части.
Сколько плоскостей
симметрии имеет куб?
Ответы : 2; 4; 5; 6; 9
Симметрия в пирамиде
Верно ли высказывание: правильная
четырехугольная пирамида имеет четыре
плоскости симметрии
Зеркальная симметрия в
призме
1)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная
четырехугольная призма?
Ответы:
а)2
б)4
в)3 г) г)5
5 д)12
2)Сколько плоскостей симметрии имеет прямая призма, в
основании которой лежит прямоугольник?
Ответы:
б)б)33 в)1
а)2
г)4 д)8
3)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная
призма?
Ответы:
а)
а)44
б)3
в)1
г)2 д)5
Симметрии тетраэдра
Любая прямая, проходящая через
любую вершину и центр
тетраэдра, проходит через центр
противоположной грани. Так
как у тетраэдра 4 вершины (и 4
грани), то мы получим всего 8
прямых симметрий. Любая
прямая, проходящая через центр
и середину ребра тетраэдра
проходит через середину
противоположного ребра. Так
как у тетраэдра 3 пары ребер,
мы получаем еще 3 прямые
симметрии. Следовательно,
общее число прямых
симметрий, включая
тождественное преобразование,
доходит до 12.
Элементы симметрии
правильных многогранников
тетраэдр
октаэдр
икосаэдр
гексаэдр
додекаэдр
Центры
симметрии
-
1
1
1
1
Оси
симметрии
3
9
15
9
15
Плоскости
симметрии
6
9
15
9
15
28
Задачи на дом.
1. Сколько плоскостей симметрии имеет пирамида, в
основании которой лежит прямоугольник, ромб?
Какое дополнительное условие должно присутствовать в условии
задачи, чтобы ваш ответ был верен?
Задачи на дом.
2. Начертить четырехугольную пирамиду, которая имеет
одну плоскость симметрии.
а) какой четырехугольник может лежать в основании
пирамиды?
б) куда должна проектироваться вершина пирамиды?
3.Существует ли четырехугольная пирамида, не имеющая
ни одной плоскости симметрии? (привести пример)
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
3 935
Размер файла
1 475 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа