close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 3

код для вставкиСкачать
Лекция 3
Основные правила
выводимости
1.
2.
3.
4.
H├A
H,W├A
H,C ├ A, H├C
H├A
.
H,C ├ A, W├C
H,W├A
.
H ├ C→A
H,C├A .
Теорема дедукции
Пусть Н - множество формул,
С,А формулы,
тогда
H, C├ A .
H├C→A
В частности, если C├ A C→A
Обобщенная теорема дедукции
{C1, C1, …, Ck}├ A
├C1 →(C2→(C3→…(Ck→A)…))
Теорема. (обратная теорема дедукции.)
Правило введения конъюнкции
и дизъюнкции
Построение вывода в логике
высказываний.
Проблемы аксиоматического исчисления
высказываний
.
Всякая аксиоматическая теория для ее
обоснования требует рассмотрения
четырех проблем:
проблемы разрешимости,
проблемы непротиворечивости,
проблемы полноты,
проблемы независимости.
Проблема разрешимости исчисления высказываний
Проблема заключается в доказательстве
существования алгоритма, который позволил бы для
любой заданной формулы исчисления высказываний
определить, является ли она доказуемой или не
является.
Теорема Проблема разрешимости для исчисления
высказываний разрешима.
Док-во
любая формула исчисления высказываний - формула
алгебры высказываний, и, следовательно, можно
рассматривать ее логические значения на различных
наборах значений входящих в нее переменных
Проблема непротиворечивости исчисления высказываний
Определение Логическое исчисление называется
непротиворечивым, если в нем не доказуемы
никакие две формулы, из которых одна является
отрицанием другой.
Иначе говоря, аксиоматическое исчисление
называется непротиворечивым, если в нем
не существует такая формула А, что доказуема
как формула А, так и формула не А.
Если в исчислении обнаруживаются
доказуемые формулы вида А и не А, то такое
исчисление называется противоречивым.
Проблема полноты исчисление высказываний
Определение .Аксиоматическое исчисление
высказываний называется полным в узком
смысле, если добавление к списку его аксиом
любой недоказуемой в исчислении формулы в
качестве новой аксиомы приводит к
противоречивому исчислению.
Определение . Исчисление высказываний
называется полным в широком смысле, если
любая тождественно истинная формула в нем
доказуема
Проблема полноты исчисления высказываний содержит два
вопроса:
Можно ли расширить систему аксиом аксиоматического
исчисления путем добавления к ней в качестве новой аксиомы
какой-нибудь недоказуемой в этом исчислении формулы?
Является ли всякая тождественно истинная формула алгебры
высказываний доказуемой в исчислении высказываний?
Рассмотренное нами исчисление высказываний полно как в узком
смысле, так и в широком.
Проблема независимости аксиом исчисления
высказываний.
Определение Аксиома А называется независимой от
всех остальных аксиом исчисления, если она не
может быть выведена из остальных аксиом.
Определение Система аксиом исчисления
называется независимой, если каждая
аксиома системы независима.
Рассмотренная нами система аксиом
исчисления высказываний независима
АВТОМАТИЧЕСКОЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ
В общем случае такой алгоритм построить
нельзя.
Но для некоторых частных случаев такие
алгоритмы существуют.
Доказательство теоремы равносильно
доказательству общезначимости некоторой
формулы.
Наиболее эффективно доказательство
общезначимости формул осуществляется
методом резолюций.
Процедура поиска доказательства
методом резолюций фактически является
процедурой поиска опровержения, т. е.
вместо доказательства общезначимости
формулы доказывается, что отрицание
формулы противоречиво
В 1965г. Робинсон предложил свой метод
резолюций, который и по сей день лежит в
основе большинства систем поиска логического
вывода.
метод резолюций был использован в качестве
основы нового языка программирования.
Так в 1972 году родился язык Пролог
(“ПРОграммирование в терминах ЛОГики”)
Суть этой идеи состоит в том, чтобы компьютеру
предлагать не алгоритмы, а описания предметной
области задачи и саму задачу в виде некоторой
аксиоматической системы,
решение задачи предлагать в виде вывода такой
системы.
От программиста при таком подходе требуется описать
с достаточной степенью полноты предметную область и
формулировку задачи на языке этой системы, а поиск
вывода, приводящего к решению задачи, поручается
компьютеру.
Метод резолюций – это метод автоматического
доказательства теорем. Это алгоритм,
проверяющий отношение выводимости Г├.А
В общем случае алгоритм автоматического
доказательства теорем не существует, но для
формальных теорий (таких как исчисление
высказываний, исчисление предикатов)
подобные алгоритмы известны.
Основные определения метода
резолюций
Определение Литерой будем называть выражения A
или ØA.
Определение. Предложением называется дизъюнкция
формул вида A или ØA
Определение Литеры A и ØA называются
контрарными, а множество {A, ØA} – контрарной
парой.
Определение Дизъюнкт – это дизъюнкция литер (или
элементарная дизъюнкция)
Определение Дизъюнкт пустой (обозначается ),
если он не содержит литер.
Пустой дизъюнкт всегда ложен, так как в нем нет литер,
которые могли бы быть истинными при любых наборах
переменных
Пример дизъюнктов
Правило Резолюций
Доказательство правила
резолюций
Пример
Метод резолюций соответствует методу
доказательства от противного.
Действительно, условие A1, A2, …, A ├ B
равносильно условию
A1, A2, …, An, ØB├ .
Метод резолюций относится к методам
непрямого вывода.
Алгоритм построения вывода
методом резолюций
Шаг 1. Формулы A1, A2, …, An и формулу ØB привести
к КНФ.
Шаг 2. Составить множество S дизъюнктов формул A1,
A2, …, An и ØB.
Шаг 3. Вместо пары дизъюнктов, содержащих
контрарные литеры записать их резольвенту по
правилу (2).
Шаг 4. Процесс продолжаем. Если он заканчивается
пустым дизъюнктом, то вывод обоснован.
Изложенный алгоритм называется резолютивным
выводом из S.
Резолютивный вывод из S.
Возможны три случая:
1. Среди множества дизъюнктов нет содержащих
контрарные литеры. Это означает, что формула B не
выводима из множества формул A1, A2, …, An.
2. В результате очередного применения правила
резолюции получен пустой дизъюнкт. Это означает, что
формула B выводима из множества формул A1, A2, …,
An .
3. Процесс зацикливается, т. е. получаются все новые и
новые резольвенты, среди которых нет пустых. Это
ничего не означает.
Пример
Продолжение примера
Правило резолюций более общее, чем
правило modus ponens и производные
правила,
Правило модус поненс также можно
считать частным случаем правила
резолюции при ложном A.
Докажем методом резолюций
правило modus ponens
Преимущества и недостатки
метода резолюций
Метод резолюций легко поддается
алгоритмизации. Это позволяет использовать
его в логических языках, в частности в
ПРОЛОГе.
Недостатком этого метода является
необходимость представления формул в КНФ.
Автоматическое доказательство теорем
методом резолюций основан на переборе и
этот перебор может быть настолько большим,
что затраты времени на него практически
неосуществимы – существенный недостаток.
В множестве дизъюнктов существует, как
правило, не одна пара дизъюнктов, к которым
можно применить правило резолюций.
Способ выбора дизъюнктов и летералов в них,
к которым применяется правило резолюций
для получения резольвенты, называется
стратегией метода.
применение метода резолюций в
доказательстве теорем и при планировании
действий.
Документ
Категория
Презентации по информатике
Просмотров
15
Размер файла
216 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа