close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нормален закон на разпределение

код для вставкиСкачать
СТАТИСТИКА
Нормален закон на
разпределение
СТАТИСТИКА
Синоними:
Нормален закон
Закон на Гаус
Разпределение на Гаус-Лаплас
Разпределение на Лаплас-Гаус
Втори закон на Лаплас
СТАТИСТИКА
Кратки исторически бележки
Двама учени-математици, независимо един от
друг, почти едновременно получават един и същ
резултат, съдържащ закона на разпределение на
случайните грешки, наречен по-късно нормален закон.
Р. Едрейн (1775-1843г.), американски математик,
публикува своя резултат в 1808г.
К.Ф.Гаус (1777-1843г.) публикува своя резултат
в1809г.
При извеждането на нормалния закон Гаус
използва принципа на средната аритметична стойност,
който той формулира така:
СТАТИСТИКА
“Разбира се, трябва като аксиома да се приеме
хипотезата: ако дадена величина бъде определена въз основа на голям брой наблюдения,
проведени при еднакви обстоятелства и с
еднаква прецизност, то средната аритметична от
всички получени стойности ще се окаже найвероятната стойност.”
Нормалното разпределение се счита за най-важното
теоретично разпределение в Теорията на вероятностите и
Математическата статистика.
СТАТИСТИКА
Теоретични основи на
нормалното разпределение
Извънредно широкото приложение на нормалния закон се
основава на един от най-важните теоретични резултати в
Теорията на вероятностите и Математическата статистикацентралната гранична теорема. Всъщност става дума за
група от теореми под това название, една от които гласи:
Ако Y1 , Y 2 ........, Y nса n независими случайни величини
с крайни средни стойности и дисперсии и с един и
същ закон на разпределение, то при неограниченото
нарастване на n законът на разпределение на сумата,
съответно на средноаритметичната стойност на
дадените случайни
величини се приближава
неограничено към нормалния закон.
СТАТИСТИКА
СТАТИСТИКА
Плътност на нормалното разпределение
Всяка случайна величина е определена изцяло със своя
закон на разпределение, който има две форми. При
непрекъснатите случайни величини тези форми са
плътността на разпределение f(y) и функцията на разпределение F(y).
Те са свързани помежду си така:
f ( y) dF ( y )
dy
y
,
или
F ( y) f ( y ) dy .
СТАТИСТИКА
Плътността на разпределение на случайната
величина Y, подчинена на нормалния закон има
вида:
2
f ( y) y ,
1
e
( ya)
2b
b 2
a ,
2
,
b 0,
където, а и b са параметри на закона.
Доказва се, че параметърът а е равен на
средната стойност
а параметърът b -на
Е Y ,
средноквадратичното отклонение Y .
СТАТИСТИКА
f y
Графиката на функцията
стойности на параметрите а и b има вида:
при различни
СТАТИСТИКА
Ако случайната величина Y има
нормално
разпределение
с
параметри a E Y , b Y ,
ya
то величината T има
b
така нареченото нормирано
(стандартно) нормално
разпределение с параметри
a 0 и b 1.
Плътността на това
разпределение има вида:
СТАТИСТИКА
t където
t .
1
2
e
t
2
2
,
СТАТИСТИКА
За плътността на разпределение
1
e
2
t t
2
2
и за функцията на разпределение
Ф t на нормираното
таблици.
1
2
нормално
t
e
t
2
2
dt
разпределение
са
съставени
СТАТИСТИКА
Таблицата на функцията Ф t се използва при определяне
на вероятността за попадане на разпределената по нормален
закон случайна величина Y в даден интервал y1 , y 2 ,
където
P y 1 y y 2 Ф t 2 Ф t1 ,
t1 y
1
b
a
,
t 2
y2 a
b
Правило на 3-те сигми
Това
правило
изразява
факта, че вероятността
P E [Y ] 3 Y E [Y ] 3 0 ,9973
е достатъчно близка до 1 и
може да се приеме, че
интервалът
със
среда
средната стойност Е Y и граници, отстоящи от нея
на 3 ще съдържа всичките
стойности на Y.
СТАТИСТИКА
Изобщо, на нормалния
закон се подчиняват такива
случайни величини, върху
които влияят голям брой
независими и равностойни по
въздействието си причини,
като ефектите от техните
въздействия се сумират.
Този процес е бил за
първи
път
демонстриран
нагледно през 1889г. от
видния английски статистик
Франсис Галтон (1822-1911),
чрез създадения от него
прибор, носещ неговото име.
СТАТИСТИКА
Примери за нормално разпределение
N = 500
Брой
120
100
80
60
40
20
0
13,07
13,12
13,17
13,22
13,7
13,32
13,37
13,42
13,47
13,52
13,57
13,62
13,67
13,72
13,77
Размер, mm
СТАТИСТИКА
разпределение на съпротивлението на резистори
Резистори 4,7kОм , N=100
Брой
35
30
25
20
15
10
5
0
4,5712
4,5954
4,6196
4,6438
4,668
4,6922
4,7164
4,7406
4,7648
4,789 kOm
СТАТИСТИКА
разпределение на размера “дължина” на семена
Брой
Семена на царевица, сорт Н-708, N = 500
250
200
150
100
50
0
mm
8,56
9,13
9,7
10,27
10,84
11,41
11,98
12,55
13,12
13,69
СТАТИСТИКА
Разпределение на рьста на мъжете в Англия в края на ХІХ
век
Ръст- инчове,
Брой
N = 8585
1 инч = 2,54 cm
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
инчове
СТАТИСТИКА
Разпределение на IQ
Коефициент на интелигентност на обикновенни хора
%
25
20
15
m
10
5
0
45
55
65
75
85
95
105
115
125
135
145
155
СТАТИСТИКА
Нормалният закон в животинския свят
Така
големият
английски
статистик У. Госсет (Стюдънт)
вижда нормалната крива във
формите на животинския свят.
Документ
Категория
Презентации по философии
Просмотров
31
Размер файла
4 660 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа